02 Aliran Seragam [PDF]

Citation preview

HIDRAULIKA SEMESTER GANJIL 2015 – 2016 Doddi Yudianto



DISTRIBUSI KECEPATAN PADA SALURAN TERBUKA Adanya permukaan air bebas dan gesekan di sepanjang dinding saluran mengakibatkan kecepatan dalam saluran tak terbagi merata Kecepatan maksimum dalam saluran biasa umumnya terjadi di bawah permukaan bebas sedalam 0,05 sampai 0,25 kedalaman air, semakin dekat ke tebing, kecepatan maksimum semakin dalam. Gambar berikut melukiskan pola dari pembagian kecepatan sepanjang bidang vertikal dan horisontal dari suatu penampang segi empat. Pola umum pembagian kecepatan untuk beberapa bentuk penampang saluran yang lain disajikan pada gambar berikutnya. 2



DISTRIBUSI KECEPATAN PADA SALURAN TERBUKA



3



DISTRIBUSI KECEPATAN PADA SALURAN TERBUKA



DISTRIBUSI KECEPATAN PADA SALURAN TERBUKA



DISTRIBUSI KECEPATAN PADA SALURAN TERBUKA Pembagian kecepatan pada penampang saluran juga tergantung dari beberapa faktor lain seperti bentuk penampang yang tak lazim, kekasaran saluran dan adanya belokan. Pada saluran yang kasar, aliran deras dan dangkal, atau pada saluran yang sangat halus, kecepatan maksimum sering kali terdapat di permukaan air. Kekasaran saluran akan mengakibatkan kelengkungan dari kurva pembagian aliran secara vertikal semakin besar (lihat gambar di bawah). Pada belokan, kecepatan bertambah cukup besar pada belokan luar akibat adanya gaya sentrifugal. Kecepatan angin di permukaan air sangat kecil dampaknya terhadap pembagian kecepatan pada penampang saluran. 6



DISTRIBUSI KECEPATAN PADA SALURAN TERBUKA



Pengaruh kekasaran terhadap pembagian kecepatan dalam saluran terbuka



7



KOEFISIEN PEMBAGIAN KECEPATAN Sebagai akibat dari distribusi kecepatan yang tidak merata pada penampang saluran, tinggi kecepatan pada saluran terbuka biasanya lebih besar dari nilai V2/2g, dimana V adalah kecepatan rata-rata pada penampang. Jika digunakan prinsip energi dalam perhitungan, tinggi kecepatan sesungguhnya dapat disajikan sebagai  V2/2g, dimana  adalah koefisien energi atau koefisien Coriolis. Dari data percobaan dapat diketahui besarnya koefisien Coriolis berkisar antara 1,03 sampai 1,36 untuk saluran prismatis relatif lurus. Nilai ini akan lebih besar untuk saluran kecil dan lebih besar untuk sungai besar dengan dalam air cukup dalam.



8



KOEFISIEN PEMBAGIAN KECEPATAN Pembagian kecepatan yang tidak merata juga berpengaruh pada perhitungan momentum pada aliran saluran terbuka. Besarnya momentum aliran melalui penampang saluran per satuan waktu adalah: wQv/g, dimana  adalah koefisien momentum atau koefisien Boussinesq, w adalah berat satuan air, Q adalah debit aliran dan v adalah kecepatan ratarata aliran. Secara umum nilai  untuk saluran prismatis relatif lurus berkisar antara 1,01 sampai 1,12. Kedua koefisien kecepatan tersebut di atas selalu lebih besar dari 1, yaitu nilai untuk aliran dengan distribusi kecepatan merata pada penampang saluran.



9



KOEFISIEN PEMBAGIAN KECEPATAN Untuk kepentingan praktis, Kolupaila memberikan nilai koefisien kecepatan seperti tabel berikut. Koefisien Pembagian Kecepatan Menurut Kolupaia



10



Koefisien Pembagian Kecepatan Besarnya  dan  dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut : 3 v  dA



3 v A   3  ; 3 V A V A



2 v  dA



2 v A   2  V A V 2A



dimana v adalah kecepatan pada setiap sub penampang, A adalah luas sub penampang, V adalah kecepatan rata-rata penampang dan A adalah luas penampang basah.



11



ALIRAN SERAGAM Dalam aliran seragam pada saluran terbuka: 1. kedalaman aliran, luas penampang basah, debit, dan kecepatan aliran pada seluruh penampang saluran adalah tetap. 2. kemiringan garis energi Sf, permukaan air Sws, dan dasar saluran So adalah sama.



ALIRAN SERAGAM



2



1



A 13



ALIRAN SERAGAM Gaya hidrostatis F1 dan F2 Berat air, W dengan komponen searah gerak air : W sin Hambatan dinding saluran : Ff Jumlah semua gaya adalah : F1 + W sin - F2 – Ff = 0……………………(1) Karena tidak ada perubahan kedalaman antara tampang 1 dan 2, maka : F1 = F 2 14



ALIRAN SERAGAM Berat total dari air adalah : W =  A L …………………………………… (2) dimana :  : berat jenis air [N/m3], A : luas penampang basah tegak lurus aliran [m2] L : panjang segmen saluran [m]



Umumnya aliran pada saluran terbuka mempunyai kemiringan dasar saluran kecil sehingga sin = S, yaitu kemiringan dasar saluran atau kemiringan garis enersi 15



ALIRAN SERAGAM Komponen gravitasi dapat disajikan sebagai : W sin =  A L S…………………………… (3) Gaya hambatan oleh dinding dan dasar saluran dapat disajikan dalam bentuk gaya hambatan per satuan luas dasar saluran kali luas keliling basah. Luas keliling basah = keliling basah P kali panjang segmen saluran L. Pada tahun 1769, seorang Insinyur Perancis bernama Antoine Chezy menyatakan bahwa gaya hambatan per unit luas dasar saluran adalah proporsional dengan kwadrat dari kecepatan aliran, K V2, dimana K adalah konstanta. 16



ALIRAN SERAGAM Dengan demikian gaya hambatan total dapat dituliskan sebagai : Ff = 0 P L = K V2 P L……………………… (4) dimana 0 adalah gaya hambatan per satuan luas dasar saluran, dikenal juga sebagai wall shear



stress



Substitusi (3) ke (4) :  A L S = K V2 P L, atau V 



 A KP



S 17



FORMULA CHEZY Pada persamaan di atas, A/P = R, dan (/K) dapat disajikan sebagai konstanta C, sehingga : V  C RS



………………….……………(5)



dimana : R = Radius hidraulik [m] C = Koefisien Chezy [m1/2/s]



Rumus di atas disebut sebagai rumus Chezy, nilai C bervariasi sesuai kondisi saluran dan aliran. 18



TIPIKAL NILAI KOEF. CHEZY



19



ALIRAN SERAGAM Beberapa rumus yang telah dikembangkan untuk menentukan koefisien Chezy C antara lain: 1. Bazin Pada tahun 1897 H.Bazin, seorang ahli hidraulika Perancis merumuskan suatu persamaan untuk menghitung koef. Chezy sebagai fungsi dari jari-jari hidraulis dan berat jenis fluida.



C



87 1



 R



ALIRAN SERAGAM 2.



Gangguillet dan Kuetter Pada tahun 1869 Gangguillet dan Kuetter, ahli hidraulika Swiss merumuskan suatu persamaan untuk menghitung koef. Chezy sebagai fungsi dari kemiringan, jari-jari hidraulis, dan koefisien kekasaran m seperti diberikan oleh Bazin. 0,00155 1  S m C m  0,00155  1  23   S  R 23 



ALIRAN SERAGAM 3.



Colebrook Hidraulik kasar Hidraulik halus



 12R  C  18 log   k   42R  C  18 log     dimana k = diameter kekasaran butiran dasar a = jari-jari butiran  = tebal batas laminer z0 tergantung pada kondisi kekasaran dasar aliran



ALIRAN SERAGAM 4.



Manning Pada tahun 1889 Robert Manning, ahli asal Irlandia mengemukakan suatu persamaan untuk menghitung kecepatan rata-rata aliran seragam sebagai berikut: 2



1



1 v  R3S 2 n dimana n adalah koef. Manning dan bukan bilangan nondimensional, tetapi berdimensi TL-1/3. Korelasi antara koef Chezy dan Manning adalah



C



1 6



R n



FAKTOR YG BERPENGARUH THD NILAI KOEF. MANNING Nilai n dipengaruhi oleh : 1. 2. 3.



4.



5. 6. 7. 8.



Kekasaran permukaan tebing dan dasar saluran, Tumbuhan yang tumbuh di saluran, berakibat meningkatkan kekasaran, Ketidak teraturan saluran (penampang berubah, adanya beting pasir dll), Alinemen saluran, tikungan dengan radius besar dan peralihan halus akan memberikan nilai n kecil dan sebaliknya, Endapan dan erosi, merubah kekasaran dasar saluran, Penyempitan, misalnya oleh jembatan, gorong-2 dll akan meningkatkan nilai n, Bentuk dan ukuran saluran, lihat gambar Elevasi muka air dan debit, pada sebagian besar saluran, nilai n akan berkurang dengan bertambahnya debit dan kedalaman aliran. 24



FAKTOR YG BERPENGARUH THD NILAI KOEF. MANNING Cowan mengembangkan prosedur untuk memperkirakan nilai n sbb : n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) m5 dimana n0 : nilai dasar n untuk saluran lurus, teratur, permukaan halus, n1 : pengaruh ketidak teraturan permukaan saluran, n2 : pengaruh variasi bentuk dan ukuran saluran, n3 : pengaruh penyempitan, n4 : pengaruh tumbuhan kondisi aliran, m5 :koreksi karena saluran bermeander 25



FAKTOR YG BERPENGARUH THD NILAI KOEF. MANNING



ALIRAN SERAGAM Koefisien Manning



ALIRAN SERAGAM



PEMBENTUKAN ALIRAN SERAGAM



Saat air mengalir dalam saluran terbuka, air akan mengalami tahanan saat mengalir ke hilir. Tahanan ini akan dilawan oleh komponen gaya berat searah aliran. Besarnya tahanan aliran ini sebanding dengan kwadrat kecepatan aliran. Aliran seragam akan terjadi bila tahanan ini seimbang dengan komponen gaya berat searah gerak air Kedalaman air pada aliran seragam disebut dengan kedalaman seimbang atau kedalaman normal.



KARAKTERISTIK PENAMPANG MELINTANG SALURAN Lebar permukaan air : B atau T



1



Dalam air : h atau y



z



Vertikal V Horisontal H



Lebar dasar saluran : b



P



Luas penampangbasah : A  (b  z  h)h Keliling basah



: P  b  2  h 1 z2



Radius Hidraulik



:R



Kedalaman Hidraulik : D 



A (b  z  h)h  P b  2  h 1 z2 A B



A



37



SOAL LATIHAN Untuk setiap bentuk penampang melintang saluran seperti gambar di bawah, hitung luas penampang basah A, keliling basah P dan jari-jari hidraulik R.



SOAL LATIHAN a)



A= ½[()(4)2/4]=6,283 m2 P = ½[()(4)] = 6,283 m2 R = A/P = 6,283/6,283 = 1,000 m



b)



A = (5)(2,5) = 12,5 m2



R = 2,5 + 5,0 + 2,5 = 10,00 m P = A/P = 12,5/10 = 1,250 m



c)



A = (5+1 x 1,2)1,2 = 7,440 m2 P = 5,0 + 2x1,2(2) = 8,394 m R = A/P = 7,440/8,394 = 0,886 m



SOAL LATIHAN Air mengalir dalam saluran beton berbentuk segi empat lebar 12 m dengan kedalaman air 2,5 m. Kemiringan dasar saluran So = 0,0028. Hitunglah : Kecepatan aliran V dan debit aliran Q



h = 2,5 m



b = 12 m



Saluran beton, tabel A-13 : n = 0,013 A = b x h = 12 x 2,5 = 30 m2 P = b + 2 x h = 12 + 2 x 2,5 = 17 m R = A/P = 30/17 = 1,765 m V = 1/n x R2/3 x So1/2 = 1/0,013 x 1,7652/3 x 0,00281/2 = 5,945 m/s Q = A x V = 30 x 5,945 = 178,342 m3/s



SOAL LATIHAN Suatu saluran berbentuk trapesium seperti tergambar di bawah, mempunyai lebar dasar 10 m dan kemiringan sisi samping 1 V : 2 H. Dinding saluran dilapis dengan beton halus (smooth concrete). Jika kemiringan dasar saluran So = 0,0001 dan saluran direncanakan untuk mengalirkan air dengan kedalaman normal 2 m, Hitunglah debit aliran Q.



SOAL LATIHAN Jawab : A = (b + z x h) h = (10 + 2 x 2)2 = 28 m2 P = b + 2 x h (1+z2) = 10+ 2 x 2 (1+22) = 18,944 m R = A/P = 28/18,944 = 1,478 m Saluran dilapis beton halus (smooth concrete), Tabel : n = 0,011 Q = 1/n R2/3 So1/2 A = 1/0,011 x 1,4782/3 x 0,00011/2 = 33,03 m3/s



SOAL LATIHAN Sebuah saluran bertampang segitiga tidak simetris dengan kemiringan sisi kiri m1 = 2,4 dan sisi kanan m2=0,75, mempunyai kemiringan dasar So= 0,01 dan kekasaran Manning n = 0,018. Pada suatu saat mengalirkan air dengan kedalaman y = 1,2 m. Hitunglah kecepatan dan debit aliran!



SOAL LATIHAN



A



2,88  0,91,2  2,268m 2



2 P  2,882  1,22  0,92  1,22  4,62m A R   0,491m P 2 1 1 v  0,491 3  0,012  3,457m / s 0,018 Q  vA  3,457  2,268  7,841m3 / s



SOAL LATIHAN Suatu saluran irigasi berbentuk segi empat lebar dasar 3 m, direncanakan untuk mengalirkan debit sebesar 25,3 m3/s dengan kedalaman normal h = 1,2 m. Tentukanlah kemiringan dasar saluran jika diketahui koefisien kekasaran Manning n = 0,022.



h = 1,2 m



b=3m



Untuk saluran segi empat maka z = 0, sehingga : A = (b + z x h) h = b x h = 3 x 1,2 = 3,6 m2 P = b + 2 x h (1 + z2) = b + 2 x h = 3 + 2 x 1,2 = 5,4 m R = A/P = 3,6/5,4 = 0,667 So = (Q x n/(A x R2/3))2 = = (25,3x0,022/(3,6x0,6672/3))2 = 0,041



SOAL LATIHAN Sebuah saluran berdinding beton dengan kekasaran Manning 0,013 berbentuk seperti tersaji pada gambar berikut ini. Apabila saluran direncanakan untuk dapat mengalirkan debit sebesar 30 m3/s, hitunglah kemiringan dasarnya!



SOAL LATIHAN v



2m 2m



2



1



Q 30 30    2,419m / s 1 A by   2  2 12,4 2



R



A 12,4   1,236m P 3,6  2  2 2  1,6



1 v  R3S 2 n n 2 v 2 0,0132  2,419 2 S 4   0,000746 4 R3 1,236 3



MENGHITUNG YN TAMPANG TRAPESIUM Untuk menghitung kedalaman normal dapat digunakan rumus Manning atau Chezy :



1 A5 / 3 1/ 2 Q S 2/ 3 o nP Q  A  C R So Secara umum perhitungan akan melibatkan 7 variabel: 1. 2. 3.



Koefisien kekasaran saluran (n atau C) Kemiringan dasar saluran So Geometri penampang melintang saluran, meliputi:   



4. 5.



Luas penampang basah A Radius hidraulik R Kedalamlan normal Yn



Debit aliran Q Kecepatan aliran V



48



MENGHITUNG YN TAMPANG TRAPESIUM Penyelesaiannya umumnya dilakukan dengan cara coba-coba (trial and error). Alternatif lain adalah dengan menggunakan tabel yang dibuat dengan cara berikut: 1



yn



m



b



A  (b  mYn )Yn  (1  mYn / b )(Yn / b )  b 2



 











P  (b  2Yn 1  m 2 )  1  2 1  m2 (Yn / b ) b A5 / 3 Q n  1/2  2/3 P S0



1  m (Yn / b )5 / 3 Yn / b 5 / 3 1  2(Y / b )( 1  m 2    n  



2/3







Qn S 01 / 2 b 8 / 3 49



MENGHITUNG YN TAMPANG TRAPESIUM Dapat dibuat tabel dan grafik hubungan antara (Yn/b) dan (Q.n)/(So1/2 b8/3) sebagai berikut: y/b 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Qn/(So0,5 x b8/3) m=0 0,0005 0,0014 0,0028 0,0044 0,0064 0,0085 0,0109 0,0135 0,0162 0,0191 0,0547 0,0983 0,1468 0,1984 0,2523 0,3079 0,3646 0,4223 0,4807 1,0858 1,7053 2,3295 2,9559 3,5834 4,2115 4,8401 5,4689 6,0980



m=1 0,0005 0,0015 0,0029 0,0047 0,0067 0,0091 0,0118 0,0147 0,0179 0,0214 0,0687 0,1382 0,2297 0,3440 0,4822 0,6453 0,8347 1,0516 1,2973 5,5985 14,0368 27,6349 47,3236 73,9675 108,3807 151,3364 203,5744 265,8060



m=2 0,0005 0,0015 0,0029 0,0048 0,0070 0,0095 0,0123 0,0155 0,0190 0,0228 0,0783 0,1669 0,2919 0,4571 0,6660 0,9222 1,2293 1,5907 2,0095 10,0373 26,9853 55,3399 97,3376 155,0433 230,3931 325,2220 441,2821 580,2557



m=3 0,0005 0,0015 0,0030 0,0049 0,0071 0,0098 0,0128 0,0162 0,0199 0,0241 0,0868 0,1928 0,3486 0,5606 0,8350 1,1777 1,5946 2,0911 2,6725 14,2389 39,3457 81,9196 145,4798 233,2686 348,3230 493,5186 671,5993 885,1987



m=4 0,0005 0,0015 0,0030 0,0050 0,0073 0,0101 0,0132 0,0168 0,0208 0,0253 0,0952 0,2181 0,4038 0,6614 0,9996 1,4266 1,9505 2,5787 3,3187 18,3465 51,4498 107,9754 192,7055 310,0427 464,1078 658,8012 897,8434 1184,8049



50



MENGHITUNG YN TAMPANG TRAPESIUM Dapat dibuat tabel dan grafik hubungan antara (Yn/b) dan (Q.n)/(So1/2 b8/3) sebagai berikut: y/b 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Qn/(So0,5 x b8/3) m=0 0,0005 0,0014 0,0028 0,0044 0,0064 0,0085 0,0109 0,0135 0,0162 0,0191 0,0547 0,0983 0,1468 0,1984 0,2523 0,3079 0,3646 0,4223 0,4807 1,0858 1,7053 2,3295 2,9559 3,5834 4,2115 4,8401 5,4689 6,0980



m=1 0,0005 0,0015 0,0029 0,0047 0,0067 0,0091 0,0118 0,0147 0,0179 0,0214 0,0687 0,1382 0,2297 0,3440 0,4822 0,6453 0,8347 1,0516 1,2973 5,5985 14,0368 27,6349 47,3236 73,9675 108,3807 151,3364 203,5744 265,8060



m=2 0,0005 0,0015 0,0029 0,0048 0,0070 0,0095 0,0123 0,0155 0,0190 0,0228 0,0783 0,1669 0,2919 0,4571 0,6660 0,9222 1,2293 1,5907 2,0095 10,0373 26,9853 55,3399 97,3376 155,0433 230,3931 325,2220 441,2821 580,2557



m=3 0,0005 0,0015 0,0030 0,0049 0,0071 0,0098 0,0128 0,0162 0,0199 0,0241 0,0868 0,1928 0,3486 0,5606 0,8350 1,1777 1,5946 2,0911 2,6725 14,2389 39,3457 81,9196 145,4798 233,2686 348,3230 493,5186 671,5993 885,1987



m=4 0,0005 0,0015 0,0030 0,0050 0,0073 0,0101 0,0132 0,0168 0,0208 0,0253 0,0952 0,2181 0,4038 0,6614 0,9996 1,4266 1,9505 2,5787 3,3187 18,3465 51,4498 107,9754 192,7055 310,0427 464,1078 658,8012 897,8434 1184,8049



51



MENGHITUNG YN TAMPANG TRAPESIUM Kedalaman Normal Penampang Trapesium Segi empat



10



m= 1



m= 2 m= 3 m= 4



Yn/b



1



0,1



0,01 0,001



0,010



0,100



1,000



10,000



100,000



1000,000



(nQ)/(So^0,5 b^8/3) m=0



m=1



m=2



m=3



m=4



52



Tabel Menghitung Kedalaman Normal



y/b 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090 0,095 0,100 0,105 0,110 0,115 0,120 0,125 0,130



(Q n)/(So0,5 x b8/3) m=0 0,0005 0,0009 0,0014 0,0021 0,0028 0,0036 0,0044 0,0054 0,0064 0,0074 0,0085 0,0097 0,0109 0,0122 0,0135 0,0148 0,0162 0,0176 0,0191 0,0206 0,0221 0,0237 0,0253 0,0269 0,0286



m=1 0,0005 0,0009 0,0015 0,0021 0,0029 0,0037 0,0047 0,0057 0,0067 0,0079 0,0091 0,0104 0,0118 0,0132 0,0147 0,0163 0,0179 0,0196 0,0214 0,0232 0,0251 0,0270 0,0290 0,0311 0,0332



m=1,5 0,0005 0,0009 0,0015 0,0021 0,0029 0,0038 0,0047 0,0057 0,0069 0,0080 0,0093 0,0107 0,0121 0,0136 0,0152 0,0168 0,0185 0,0203 0,0221 0,0241 0,0261 0,0281 0,0303 0,0325 0,0347



m=2 0,0005 0,0009 0,0015 0,0022 0,0029 0,0038 0,0048 0,0058 0,0070 0,0082 0,0095 0,0109 0,0123 0,0139 0,0155 0,0172 0,0190 0,0209 0,0228 0,0248 0,0269 0,0291 0,0314 0,0337 0,0361



m=3 0,0005 0,0009 0,0015 0,0022 0,0030 0,0039 0,0049 0,0059 0,0071 0,0084 0,0098 0,0112 0,0128 0,0144 0,0162 0,0180 0,0199 0,0220 0,0241 0,0263 0,0286 0,0310 0,0334 0,0360 0,0387



y/b 0,135 0,140 0,145 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 0,240 0,245 0,250 0,255



(Q n)/(So0,5 x b8/3) m=0 0,0303 0,0320 0,0338 0,0356 0,0374 0,0392 0,0410 0,0429 0,0448 0,0467 0,0487 0,0507 0,0526 0,0547 0,0567 0,0587 0,0608 0,0629 0,0650 0,0671 0,0692 0,0714 0,0735 0,0757 0,0779



m=1 0,0354 0,0376 0,0399 0,0422 0,0446 0,0471 0,0496 0,0522 0,0548 0,0575 0,0602 0,0630 0,0658 0,0687 0,0717 0,0747 0,0778 0,0809 0,0841 0,0873 0,0906 0,0939 0,0973 0,1007 0,1043



m=1,5 0,0371 0,0395 0,0420 0,0445 0,0471 0,0498 0,0526 0,0554 0,0583 0,0612 0,0643 0,0674 0,0705 0,0737 0,0770 0,0804 0,0839 0,0874 0,0910 0,0946 0,0983 0,1021 0,1060 0,1099 0,1139



m=2 0,0386 0,0412 0,0438 0,0466 0,0494 0,0523 0,0552 0,0583 0,0614 0,0646 0,0679 0,0713 0,0747 0,0783 0,0819 0,0856 0,0894 0,0932 0,0972 0,1012 0,1054 0,1096 0,1139 0,1182 0,1227



m=3 0,0415 0,0444 0,0473 0,0504 0,0536 0,0569 0,0602 0,0637 0,0673 0,0710 0,0748 0,0787 0,0827 0,0868 0,0910 0,0954 0,0998 0,1043 0,1090 0,1138 0,1187 0,1237 0,1288 0,1340 0,1393



53



Tabel Menghitung Kedalaman Normal



y/b 0,260 0,265 0,270 0,275 0,280 0,285 0,290 0,295 0,300 0,305 0,310 0,315 0,320 0,325 0,330 0,335 0,340 0,345 0,350 0,355 0,360 0,365 0,370 0,375 0,380



(Q n)/(So0,5 x b8/3) m=0 0,0801 0,0823 0,0846 0,0868 0,0891 0,0914 0,0937 0,0960 0,0983 0,1006 0,1029 0,1053 0,1077 0,1100 0,1124 0,1148 0,1172 0,1196 0,1220 0,1245 0,1269 0,1294 0,1318 0,1343 0,1368



m=1 0,1078 0,1114 0,1151 0,1188 0,1226 0,1264 0,1303 0,1342 0,1382 0,1423 0,1464 0,1505 0,1547 0,1590 0,1633 0,1677 0,1721 0,1766 0,1812 0,1858 0,1904 0,1952 0,1999 0,2047 0,2096



m=1,5 0,1180 0,1221 0,1264 0,1306 0,1350 0,1394 0,1439 0,1485 0,1532 0,1579 0,1627 0,1676 0,1725 0,1776 0,1827 0,1878 0,1931 0,1984 0,2038 0,2093 0,2149 0,2205 0,2262 0,2320 0,2378



m=2 0,1273 0,1319 0,1366 0,1414 0,1464 0,1513 0,1564 0,1616 0,1669 0,1722 0,1777 0,1832 0,1889 0,1946 0,2004 0,2063 0,2123 0,2184 0,2246 0,2309 0,2373 0,2438 0,2504 0,2570 0,2638



m=3 0,1448 0,1504 0,1561 0,1619 0,1678 0,1739 0,1801 0,1864 0,1928 0,1994 0,2060 0,2128 0,2198 0,2268 0,2340 0,2413 0,2488 0,2564 0,2641 0,2719 0,2799 0,2880 0,2962 0,3046 0,3131



y/b 0,385 0,390 0,395 0,400 0,405 0,410 0,415 0,420 0,425 0,430 0,435 0,440 0,445 0,450 0,455 0,460 0,465 0,470 0,475 0,480 0,485 0,490 0,495 0,500 0,505



(Q n)/(So0,5 x b8/3) m=0 0,1392 0,1417 0,1442 0,1468 0,1493 0,1518 0,1543 0,1569 0,1594 0,1620 0,1645 0,1671 0,1697 0,1723 0,1748 0,1774 0,1800 0,1827 0,1853 0,1879 0,1905 0,1931 0,1958 0,1984 0,2011



m=1 0,2146 0,2196 0,2246 0,2297 0,2349 0,2401 0,2454 0,2507 0,2561 0,2616 0,2671 0,2727 0,2783 0,2840 0,2897 0,2955 0,3014 0,3073 0,3133 0,3193 0,3254 0,3315 0,3377 0,3440 0,3504



m=1,5 0,2438 0,2498 0,2559 0,2621 0,2683 0,2747 0,2811 0,2876 0,2942 0,3008 0,3076 0,3144 0,3213 0,3283 0,3353 0,3425 0,3497 0,3570 0,3644 0,3719 0,3795 0,3871 0,3949 0,4027 0,4106



m=2 0,2707 0,2777 0,2848 0,2919 0,2992 0,3066 0,3141 0,3216 0,3293 0,3371 0,3450 0,3530 0,3611 0,3693 0,3776 0,3860 0,3945 0,4031 0,4118 0,4207 0,4296 0,4387 0,4478 0,4571 0,4665



m=3 0,3218 0,3306 0,3395 0,3486 0,3578 0,3671 0,3766 0,3863 0,3961 0,4060 0,4161 0,4263 0,4366 0,4472 0,4578 0,4686 0,4796 0,4907 0,5020 0,5134 0,5249 0,5367 0,5485 0,5606 0,5728



54



55



MENGHITUNG YN TAMPANG TRAPESIUM Cara menggunakan tabel dan grafik tersebut sebagai berikut :    







Dari soal diketahui : Q, n, So, m dan b Dicari kedalaman normal Yn Dari variable yang diketahui dihitung nilai (Q. n)/(So1/2 b8/3) Dengan menggunakan nilai tersebut, dengan menggunakan tabel atau grafik di atas dicari besarnya Yn/b Yn dapat dihitung dengan mengalikan besarnya Yn/b dengan b.



56



m  m2   A   b  Yn 1 Yn , 2  



Mencari Yn dan Yc saluran berbentuk trapesium







P  b  Yn 1  m12  Yn 1  m22



B 1



1 m1



Y



m2



b



Diketahui : 10 m3/s



Q : So : b



:



n



:



Jawaban :



0,002 3m



2,000 m



Yc =



1,000 m



0,02



m1 :



2



m2 :



2,5



Mencari Yn : Yn :



Yn =



Mencari Yc : 2,000 m



Yc :



A



:



15,0000



m2



A



P



:



12,8573



m



B



A^(5/3)/P^(2/3) Qn/So1/2 Delta



1,000 m



: :



5,2500



m2



7,5000



m



16,6234



g/Q^2 :



0,0980



4,4721



B/A^3 :



0,0518



-12,1512



Delta :



0,0462



Tetapkan nilai awal Yn =2m Beda nilai ruas kiri dan kanan dari persamaan = -12,1512 Artinya nilai pendekatan awal adalah salah Nilai Yn dicari dengan mengubah-ubah nilai Yn shg persamaan dipenuhi Mengubah nilai Yn dapat dilakukan secara manual atau dengan solver







MENGHITUNG YN TAMPANG TRAPESIUM Cara tanpa grafik atau tabel adalah dilakukan dengan coba-coba (trial and error) sbb:



A  (b  mYn )Yn ; P  (b  2Yn 1  m2 ) A5 / 3 Q n  1/ 2  2/3 P S0



(b  mYn )Yn  5 / 3



(b  2Y



n



1 m ) 2







2/3







Qn S01/ 2



Cara penyelesaian sebagai berikut :  



 



Dari variabel yang diketahui, hitung Q.n/So1/2 (ruas kanan pers) Nilai ruas kiri dihitung dengan mengambil sembarang nilai Yn, bila nilai ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka nilai Yn yang dimisalkan salah, kemudian diubah sampai persamaan tersebut dipenuhi. Nilai Yn yang dicari adalah nilai Yn terakhir yang memenuhi persamaan di atas. Untuk mempercepat proses, dapat digunakan solver di kalkulator atau di spread sheet excel sebagai berikut. 60



SOAL LATIHAN Pada sebuah saluran berpenampang segi empat dengan lebar 3 m dimana debit aliran = 40 m3/s, s = 0,041, dan koef. Manning = 0,022, hitunglah kedalaman normal aliran! Jawab : A = bxh=3h P = b+2xh=3+2h R = A/P = 3 h/(3 + 2 h) Q = 1/n A R2/3 So1/2  A R2/3 = Q x n/So1/2 40 = 1/0,022 (3 h) (3 h/(3 + 2 h))2/3 0,0411/2 AR2/3 = (3h) (3 h/(3 + 2 h))2/3 = (0,022 x 40)/(0,041)1/2 Dengan trial error (coba-coba) diperoleh : h = 1,689 m 61



62



SOAL LATIHAN Dengan tabel: (Q n)/(S1/2 b8/3) = (40 0,022)/(0,0411/2 38/3) = 0,2321 Dari Tabel Yn/b = 0,5269, Yn = 1,689 m.



63



SOAL LATIHAN Pada sebuah saluran berbentuk trapesium dengan lebar dasar 3,5 m, talud 1:1, dan kemiringan dasar saluran 1:1000, serta koef. Manning adalah 0,015 akan dialirkan debit sebesar 20 m3/s. Hitunglah kedalaman aliran normal aliran! 5 1 A  (3,5  yn ) yn



20 



P  3,5  2 yn 2 A (3,5  yn ) yn R  P 3,5  2 yn 2 Q



2 3



1 2



5 3



1 1A R S A S 2 n n 3 P



1 2



1 (3,5  yn ) yn 3 0,0012 2 0,015 3,5  2 yn 2 3











5 5  3 (3,5  yn ) y n 3   9,4868   2 3,5  2 yn 2 3











Dengan cara trial error yn = 1,73 m



SOAL LATIHAN 1,2 m yn



1,8 m



2,4 m



Suatu saluran dengan penampang melintang seperti gambar di samping direncanakan untuk mengalirkan debit sebesar 7 m3/s dengan kemiringan dasar saluran S = 0,001. Koefisien kekasaran Chezy C = 55 m1/2/s. Hitunglah kedalaman normal saluran.



Untuk yn > 1,8 m : A = (1,8 x 2,4)/2 + (yn – 1,8) 2,4 = 2,4 yn – 2,16 P = 1,8 + (1,82 + 2,42) + 2 (yn – 1,8) = 2 yn + 1,2 Q = A x C (R x S) = C x A3/2 x S1/2 / P1/2 A3/2/P1/2 = Q/(C x S1/2) (2,4 yn – 2,16)3/2 / (2 yn + 1,2)1/2 = 7/(55 x 0,001) = 4,0247 Trial  yn = 2,93 m > 1,8 m (OK)



SOAL LATIHAN Sebuah saluran bertampang trapesium tidak simetris dengan kemiringan sisi kiri dan m1 = 0,75 dan sisi kanan m2 = 1,875 serta mempunyai kemiringan dasar 0,0036 dan kekasaran efektif saluran k = 1 cm. Apabila pada saluran tersebut direncanakan untuk mengalirkan debit sebesar 5 m3/s dengan kedalaman aliran sama dengan lebar dasar saluran, tentukan b dan y! Diasumsikan aliran adalah hidraulik kasar.



SOAL LATIHAN



Bb (0,75b  b  1,875b)  b y b  2,3125b 2 2 2 P  (0,75b) 2  y 2  b  (1,875b) 2  y 2  4,375b A R   0,529b P 12R 12  0,529b C  18 log  18 log  18 log 634,8b k 0,01 v  C RS  18 log 634,8b 0,529b  0,0036 2,753 dengan trial error b = 0,993 m log 634,8b  5 b2 A



SALURAN DGN KEKASARAN KOMPOSIT Bila kekasaran dinding dan dasar saluran berbeda, dalam penggunaan rumus Manning digunakan nilai n ekuivalen yang berlaku untuk seluruh penampang saluran. Prinsipnya luas penampang aliran dibagi menjadi N bagian yang mempunyai keliling basah P1, P2, ….. PN, dengan kekasaran n1, n2 …. nN. Horton dan Einstein berasumsi bahwa setiap sub-luasan mempunyai kecepatan sama dengan kecepatan rata-rata, sehingga : 2/3



N 3/ 2  n1 P  n  i i   n   i1 P1 P     dimana : P = keliling basah total Pi = keliling basah sub luasan i ni = kekasaran Manning sub luasan i



n2



n3 P3



P2



68



SALURAN DGN KEKASARAN KOMPOSIT Pavlovskij dan kawan-2 menggunakan pendekatan lain, yaitu jumlah hambatan bagian sama dengan hambatan total, sehingga menghasilkan rumus sebagai berikut : N 2 P  n  i i   i 1  n P    



1/ 2



Lotter menggunakan rumus Manning untuk menghitung debit pada sub-luasan dan jumlah debit sub-luasan sama dengan debit total, sehingga menghasilkan rumus berikut : P  R5 / 3 n N  Pi  Ri5 / 3     n i 1  i 



dimana : R = jari-jari hidraulis



69



SOAL LATIHAN Suatu saluran berbentuk trapesium dengan kemiringan sisi samping 1 : 1 dan kemiringan dasar saluran 1 : 1000, mempunyai lebar dasar 3 m dengan dasar berpasir (n = 0,02) dan dinding dilapis beton (n = 0,014). Hitunglah besarnya debit Q bila kedalaman aliran adalah 2 m.



1



2



P1



3



2m



3m P2



Jawab : P1 = P3 = 22 = 2,828 m, P2 = 3 m, P = 2 x 2,828 + 3 = 8,656 m A1 = A3 = 2 x 2/2 = 2 m2, A2 = 3 x 2 = 6 m2, A = 2 x 2 + 6 = 10 m2 R1 = R3 = A/P = 2/2,828 = 0,7072 m, R2 = 6/3 = 2 m, R = 10/8,656= 1,1552 m



SOAL LATIHAN Menghitung kekasaran komposit n : Rumus Horton dan Einstein : N 3/ 2    Pi  ni   n   i1 P    



2/3



 2  2,828  0,0141,5  3  0,021,5    8,656  



2/3



 0,0162



Rumus Pavlovskij : N 2 P  n  i i   i 1   n P    



1/ 2



 2  2,828  0,014 2  3  0,02 2    8,656  



1/ 2



 0,0163



Lotter : P  R5 / 3 8,656  1,1555 / 3 n N   0,0157  Pi  Ri5 / 3  2  2,828  0,70725 / 3 3  25 / 3     0 , 014 0,02 n i 1  i 



SOAL LATIHAN Menghitung debit aliran dengan kedalaman air y = 2 m : Rumus Horton dan Einstein :



1 2 / 3 1/ 2 1 Q R S A 1,1552 / 3  0,0011/ 2  10  21,489 m3 / s n 0,0162 Rumus Pavlovskij :



Q



1 2 / 3 1/ 2 1 R S A 1,1552 / 3  0,0011/ 2  10  21,357 m3 / s n 0,0163



Lotter :



Q



1 2 / 3 1/ 2 1 R S A 1,1552 / 3  0,0011/ 2  10  22,173 m3 / s n 0,0157



SALURAN DGN TAMPANG BERSUSUN Contoh tipikal tampang bersusun (compound) adalah penampang sungai dengan bantaran banjir. Kekasaran pada bantaran banjir berbeda dengan palung sungai (umumnya lebih kasar). Dengan menggunakan rumus Manning, dihitung debit pada setiap bagian, maka debit total merupakan penjumlah debit pada semua bagian tersebut. Bantaran kiri



Palung sungai



Bantaran kanan



Tampang sungai bersusun 73



SALURAN DGN TAMPANG BERSUSUN Dengan demikian bila kemiringan dasar saluran bantaran dan palung sungai sama, debit total pada penampang dapat dihitung dengan rumus berikut :



 A1 2 / 3 A2 2 / 3 A3 2 / 3  1/ 2 Q   R1  R2  R3 So n2 n3  n1 



74



SOAL LATIHAN Penampang melintang sungai pada saat banjir diperlihatkan pada gambar di bawah. Bila diperkirakan koefisien kekasaran untuk bantaran n = 0,04 dan palung sungai n = 0,03, hitunglah besarnya debit banjir sungai tersebut. Kemiringan dasar sungai S = 0,005, luas penampang palung sungai sampai setinggi tebing adalah 280 m2 dan keliling basah palung sungai adalah 54 m. Bantaran kiri



Palung sungai



280 m2



Bantaran kanan



SOAL LATIHAN Jawab : Luas aliran di bantaran = 2 x 50 x 1,5 + 2 x 1,5 x 1,5/2 = 152,25 m2 Keliling basah bantaran = 2 x 50 + 2 x 1,5 2 = 104,24 m Luas aliran palung sungai = 280 + 40 x 1,5 = 340 m2



 Abantaran 2 / 3 Apalung 2 / 3  1/ 2  Debit Q   Rbantaran  R palung So n palung  nbantaran   152,25  152,25  2 / 3 340  340  2 / 3  0,0051/ 2  3079 m3 / s Debit Q         0,04  104,24   0 , 03 54    



TINGGI JAGAAN Tinggi jagaan (freeboard)



Adalah jarak antara elevasi muka air sampai tebing saluran. Diperlukan untuk keamanan terhadap :  Kesalahan/ketidak telitian perhitungan,  Kesalahan pengukuran,  Penurunan/settlement tanah  Gelombang



KRITERIA FREEBOARD USBR



KRITERIA FREEBOARD USBR



TUGAS ALIRAN SERAGAM 1.



2.



3.



4.



Pada debit sebesar 40 m3/s kedalaman normal pada suatu saluran berbentuk segi empat dengan lebar 5 m dan kemiringan dasar saluran S : 0,001 adalah 4,59 m. Hitunglah koefisien kekasaran Manning n saluran tersebut. (n = 0,025) Dengan menggunakan nilai n dari soal no. 1 di atas, hitunglah besarnya debit aliran pada saat kedalaman normalnya 5 m. (Q = 44,45 m3/s) Hitunglah kedalaman normal dan kedalaman kritis pada suatu saluran berbentuk trapesium dengan lebar dasar 4 m, kemiringan dasar saluran 0,0005 dan kemiringan sisi samping membentuk sudut 45 derajad terhadap bidang horisontal. Dinding dan dasar saluran dilapis beton (n = 0,014). Debit aliran dalam saluran 35 m3/s ( yn = 2,559 m, yc = 1,708 m) Suatu saluran berbentuk trapesium dengan lebar dasar 3 m, kemiringan sisi samping 1 V : 1,5 H, mempunyai kemiringan dasar salulran 0,005. Koefisien n dinding saluran 0,025, sedangkan dasar saluran n = 0,013. Hitung debit aliran pada kedalaman normal 1,5 m dengan rumus a). Einstein, b) Pavlovskij, dan c) Lotter. ( a) 30,11 m3/s, b) 29,29 m3/s, c) 30,11 m3/s)



TUGAS ALIRAN SERAGAM 5.



Gambar di bawah memperlihatkan penampang melintang suatu sungai. Palung sungai mempunyai luas basah pada tebing (bank full) sebesar 300 m2, keliling basah 65 m, dinding samping vertikal, dan koefisien Manning n = 0,025. Bantaran sungai mempunyai koefisien n = 0,035 dengan dinding samping dapat dianggap vertikal. Kemiringan dasar sungai untuk bantaran dan palung sungai sama, yaitu 0,00125. Hitunglah kedalaman air di atas bantaran sungai pada debit sebesar 2470 m3/s (2,5 m)



PENAMPANG SALURAN EKONOMIS Suatu saluran mempunyai penampang yang ekonomis apabila tersedia luas penampang dan kemiringan dasar saluran untuk mengalirkan debit maksimum. Penampang yang ekonomis didefinisikan pula sebagai penampang yang mempunyai keliling basah P minimum sehingga memberikan hambatan minimum, dengan demikian menghasilkan debit maksimum. Diantara berbagai bentuk penampang saluran, penampang berbentuk ½ lingkaran dengan Pminimum merupakan bentuk yang paling ekonomis.



PENAMPANG SALURAN EKONOMIS Tetapi dalam pelaksanaan di lapangan, pembuatan saluran berbentuk ½ lingkaran ini memerlukan biaya yang mahal dan sulit dalam pemeliharaan. Dalam praktis, bentuk saluran yang sering digunakan adalah segi empat dan trapesium.



PENAMPANG SALURAN EKONOMIS



A  b y



P  b  2y Pmin 



Bila A tertentu, maka P 



P A  2 20 y y b y  2 20 y



b  2y



A  2y y



R



A y  P 2



Jadi penampang ekonomis untuk saluran berbentuk segi empat adalah segi empat yang menyinggung ½ lingkaran dengan jari-jari y.



PENAMPANG SALURAN EKONOMIS



A  my 2 b y



A  b  myy P  b  2y 1 m Pmin 



2



2 A  my Bila A tertentu, maka P   2 y 1  m2 y



P A   2  m  2 1  m2  0 y y A 2  m  2 1  m y2 (b  my) y 2  m  2 1  m y2



PENAMPANG SALURAN EKONOMIS



(b  my) y 2  m  2 1  m y2 b  2my  2 1  m2 y b  2my  y 1  m2 2 ½ lebar muka air



Panjang sisi miring



R



A (b  my) y  P b  2 y 1  m2



(b  my) y b  2 y 1  m2







(b  my) y b  b  2my



(b  my) y y  2(b  my) 2 Debit aliran maksimum apabila 1. Panjang sisi miring = ½ lebar permukaan 2. R = ½ kedalaman aliran



PENAMPANG SALURAN EKONOMIS Bila ingin dicari m agar Pminimum maka …….(1) P  b  2y 1 m2



b  2my  y 1  m2 2



b  2 y( 1  m2  m) ……(2)



P  2y ( 1 m2  m)  2y 1 m2



P  4 y 1  m2  2my 1  P 1 P min   4 y (1  m 2 ) 2 2m  2 y  0 m 2 4my 2  2y 2 m  1  m 1  m2 1 m  cot g 60o m 3 3



m2 



1 3



PENAMPANG SALURAN EKONOMIS Dengan demikian



b  2 y( 1  m2  m)  1 3  2 3  b  2 y 1    3 y 3 3  



y



3 b  b sin 60 o 2



Penampang ekonomis adalah ½ segi enam sama sisi



m 60o



1 3  3 tan 60 o



y  b sin 60 o 



3 b 2



SOAL LATIHAN Suatu saluran trapesium mempunyai kemiringan sisi samping 2V:3H. Saluran mengalirkan debit 20 m3/s dengan kemiringan dasar 1:2000 dengan koef. Manning sebesar 0,01. Tentukan dimensi ekonomis saluran! Talud 2V:3H  m=1,5, slope = 1:2000 = 0,0005 Saluran ekonomis bila ½ lebar muka air = panjang sisi miring



b  2my  y 1  m2 2 b  2  1,5  y  y 1  1,52 2 b  3 y  2 y 1,8  3,6 y



b  0,6 y



SOAL LATIHAN Radius hidraulik = 0,5 y  dengan rumus Manning maka 2 3



1



2 3



1



1  y Q     0,0005 2  (b  1,5 y) y 0,01  2  1  y 20      0,0005 2  (0,6 y  1,5 y) y 0,01  2  2 3



1  y 20      0,0005 2  2,1y 2 0,01  2  1



8 3



y  6,761



y  2,048m



b  0,6  2,048  1,229m



SOAL TUGAS Sebuah saluran bertampang trapesium simetris direncanakan untuk mengalirkan debit 1 m3/s dengan kedalaman aliran 0,4 m dan kemiringan saluran 0,0065. Apabila kekasaran Manning saluran 0,011, hitunglah lebar dasar dan kemiringan dinding salurannya agar tampang ekonomis!



JAWAB



A  (b  my) y  0,4b  0,16m b  2,5 A  0,4m 0,4b  A  0,16m P  b  2 y 1  m2 P  2,5 A  0,4m  0,8 1  m2











1 P 1 2 2  0,4  0,8  1  m  2m  0 m 2 0,4  2m  0,4 4m2  m2  1 1 1  m 2 2



3m 2  1 1 m  cot g 3



  60



JAWAB



1  0,4b  0,0924 3 1 1 P  2,5(0,4b  0,0924)  0,4  0,8 1  P  b  0,924 3 3 A 0,4b  0,0924 R  P b  0,924 2 1 2 1 1 1  0,4b  0,0924  3 Q 1 3 2  v  R S   0,0065 2 0,4b  0,0924 0,011  b  0,924  A n A  0,4b  0,16



b  0,924



2 3



 7,329  0,4b  0,0924



dengan trial error b = 0,684 m



5 3



SOAL TUGAS Untuk mengalirkan debit sebesar 1 m3/s, sebuah saluran dengan kemiringan 0,0065 dan kekasaran Manning 0,011 direncanakan bertampang trapesium dengan satu sisi vertikal. Hitunglah lebar dasar, kemiringan sisi lainnya dan kedalaman alirannya agar tampang efisien!



JAWAB



A my my b   A  (b  ) y y 2 2 A my P  b  y  y 1  m2 P   y  y 1  m2 y 2 1  P 1 1   y  y1  m 2  2  2m  0 m 2 2 2m 2 2 4 m  m 1  1 1 1  m2 2 3m 2  1 1   60 m  cot g 3



JAWAB



A my   y  y 1  m2 y 2 1 P A m 2 2   2  1 1 m  0 y 2 1 y P











A  12 1,866 y 2  A   1  1    2 y 2 3  3 A my 1,866y 2 y b     1,866y  0,289y  1,577y y 2 y 2 3 5 1 2 1 1 P  1,577y  y  y 1   3,732y 1 3 2 1 A3 2 3 Q R S A S 2 n n 3 P 1



JAWAB



2 3



1



5 3



1



1 1A 2 Q R S2A S 2 n n 3 P 5 2 3



1



1 (1,866 y ) 2 1 0 , 0065 2 0,011 (3,732 y) 3 8 3



y  0,116



y  0,446m



SOAL TUGAS Sebuah saluran bertampang segitiga dengan sisi vertikal direncanakan untuk mengalirkan debit sebesar 400 liter/s dengan kemiringan dasar saluran 0,0001 dan kekasaran Manning 0,02. Hitunglah kemiringan sisi kanan dan kedalaman aliran agar tampang saluran ekonomis!



JAWAB



my  y my 2 A  2 2



2A y2 1  2 4 A2  2 2 2 P  y  y  (my)  y   y  2  y   P 1  2 4 A2   8 A2   1   y  2    2 y  3   0 y 2 y   y  1 8 A2   2 y  3  2 y   2 4 A2   y  2  y  



1 2



 1



m



 2 4 A2  4 A2  y   y  2  3 y y  



1 2



JAWAB



my  y my 2 A  2 2 1 2 2 2  2 4A  4A  y  2   y  3 y y  



 m2 y 4 m2 y 4  4 4 4  y   y2  4  y3 y2  











1 2 2



     



1 2



Kuadratkan lalu bagi dengan m2y2 m y y  y m y m2  2  1 m  3    60o 2



2



2



JAWAB



my 2 A  0,866 y 2 2 1 2 2  4A  P  y   y 2  2   3 y y   2



R



A  0,289 y P



1



Q 1 3 2  R S A n 2 1 0,4 1  (0,289 y) 3 0,00012 2 0,02 0,866 y 8 3



y  2,113



y  1,324m