060 Peluang Diskrit [PDF]

Citation preview

Peluang Diskrit



II - 2012/2013



Discrete Probability



1



Peluang Diskrit Counting menjadi landasan bagi perhitungan peluang berlangsungnya suatu kejadian.



II - 2012/2013



Discrete Probability



2



Peluang Diskrit Abad 17: Pascal menentukan kemungkinan untuk memenangkan suatu taruhan yang didasarkan pada keluaran dari dua buah dadu yang dilemparkan berulangulang. II - 2012/2013



Discrete Probability



3



Abad 18: Laplace mempelajari perjudian dan mendefinisikan peluang suatu kejadian.



II - 2012/2013



Discrete Probability



4



Peluang Hingga Segala hal yang telah dipelajari dari teori pencacahan (counting) melandasi perhitungan peluang terjadinya suatu peristiwa. Dalam pembahasan berikut, istilah percobaan kita pakai untuk menyatakan prosedur yang menghasilkan satu dari sekumpulan kejadian yang mungkin. Himpunan kejadian yang mungkin ini disebut sebagai ruang sampel (ruang terok/sample space) dari percobaan. Suatu peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel ini.



II - 2012/2013



Discrete Probability



5



Peluang Hingga Jika semua peristiwa di ruang sampel memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi, maka berlakulah definisi berikut: Kemungkinan peristiwa E terjadi, yg merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S dimana setiap peristiwa didalamnya memiliki peluang yang sama untuk terjadi, diberikan oleh p(E) = |E|/|S|. Peluang mempunyai rentang nilai dari 0 (untuk peristiwa yang tidak pernah terjadi) sampai dengan 1 (untuk peristiwa yang selalu terjadi jika percobaan dilakukan). II - 2012/2013



Discrete Probability



6



Peluang Hingga Contoh I: Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Berapakah peluang terpilihnya sebuah bola berwarna biru yang diambil dari kotak tersebut?



Solution: Ada sembilan kemungkinan hasil yang muncul, dan empat diantaranya adalah peristiwa “bola biru terpilih”. Maka, peluang peristiwa ini adalah 4/9 atau sekitar 44.44%.



II - 2012/2013



Discrete Probability



7



Peluang Hingga Contoh II: Berapakah peluang memenangkan lotre 6/49, yaitu pengambilan 6 bilangan dari kumpulan 49 bilangan secara benar.



Jawaban: Terdapat C(49, 6) kemungkinan hasil yang muncul. Hanya satu yang dapat memenangkan lotre. p(E) = 1/C(49, 6) = 1/13,983,816



II - 2012/2013



Discrete Probability



8



Peluang Hingga Contoh III. Suatu kuis dengan soal benar/salah memiliki sepuluh pertanyaan. Jika anda menjawab setiap pertanyaan secara random, berapakah peluang bahwa nilai anda minimal 70 (dari skala 100)?



II - 2012/2013



Discrete Probability



9



Peluang Hingga Jawab. Untuk mendapat nilai minimal 70, anda perlu menjawab 7, 8, 9, atau 10 pertanyaan dengan benar dan terdapat:  C(10,10)=1 cara untuk menjawab 10 pertanyaan dengan benar,  C(10,9)=10 cara untuk menjawab 9 pertanyaan dengan benar,  C(10,8)=45 cara untuk menjawab 8 pertanyaan dengan benar,  C(10,7)=120 cara untuk menjawab 7 pertanyaan dengan benar, II - 2012/2013



Discrete Probability



10



Peluang Hingga  Jadi, peluang untuk menjawab minimal 7 pertanyaan dengan benar adalah:  p(min 7 benar) = p(10 benar) + p(9 benar) + p(8 benar) + p(7 benar) = 1/210 + 10/210 + 45/210 + 120/210 = 176/1024  0,172



II - 2012/2013



Discrete Probability



11



Peluang Hingga Contoh IV. Berapakah peluang bahwa bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 (dalam urutan tersebut) terpilih dari suatu wadah yang memuat 50 bola bernomor 1, 2, …, 50 jika a) bola yang telah terpilih tidak dikembalikan ke dalam wadah sebelum pemilihan bola berikut b) bola yang telah terpilih dikembalikan ke dalam wadah sebelum pemilihan bola berikut



II - 2012/2013



Discrete Probability



12



Peluang Hingga Jawab. a) sampling dengan penggantian Ada 50  49  48  47  46 cara memilih bola. Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah 1/(59  49  48  47  46) b) sampling tanpa penggantian Ada (50)5 cara memilih bola. Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah 1/(50)5



II - 2012/2013



Discrete Probability



13



Peristiwa Komplementer Misal E peristiwa dalam ruang sampel S. Peluang dari peristiwa –E, peristiwa komplementer, diberikan oleh p(–E) = 1 – p(E). Hal ini dapat ditunjukkan sbb: p(–E) = (|S|  |E|)/|S| = 1 – |E|/|S| = 1 – p(E). Kaidah ini berguna jika penentuan peluang peristiwa komplementer lebih mudah dari peristiwa itu sendiri.



II - 2012/2013



Discrete Probability



14



Peristiwa Komplementer Contoh I: Deretan 10 bit dibangkitkan secara acak. Berapakah peluang satu dari bit ini adalah nol ?



Jawaban: Terdapat 210 = 1024 kemungkinan membangkitkan deretan 10 bit. Peristiwa –E, “tidak ada satupun bit nol”, hanya terjadi sekali yaitu pada deretan 1111111111. Maka, p(–E) = 1/1024. Sekarang p(E) dapat dihitung secara mudah p(E) = 1 – p(–E) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.



II - 2012/2013



Discrete Probability



15



Peristiwa Komplementer Contoh II: Berapakah nilai peluang bahwa sedikitnya dua dari 36 orang memiliki hari ulang tahun (dilahirkan pada tanggal dan bulan) yang sama ?



Jawaban: Ruang sampel S berisikan semua kemungkinan hari ulang tahun ke 36 orang tsb, jadi |S| = 36536.



II - 2012/2013



Discrete Probability



16



Peristiwa Komplementer Tinjau peristiwa –E (“tidak ada dua dari 36 orang itu yang memiliki hari ulang tahun yang sama”). –E mengandung C(365, 36) kejadian. Maka p(–E) = C(365, 36)/36536 = 0,168. Jadi p(E) = 0,832 atau 83,2%.



II - 2012/2013



Discrete Probability



17



Peluang Diskrit Misalkan E1 dan E2 peristiwa dalam ruang sampel S. Maka: p(E1  E2) = p(E1) + p(E2)  p(E1  E2) Apakah ini mengingatkan kita pada … ? Tentu saja, prinsip inklusi-eksklusi.



II - 2012/2013



Discrete Probability



18



Peluang Diskrit Contoh: Berapakah peluang suatu bilangan positif terpilih secara acak dari sekumpulan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 100 dan dapat dibagi 2 atau 5 tapi tidak sekaligus keduanya?



Jawab: E2: “bilangan bulat dapat dibagi 2” E5: “bilangan bulat dapat dibagi 5”



II - 2012/2013



Discrete Probability



19



Peluang Diskrit E2 = {2, 4, 6, …, 100}; |E2| = 50; p(E2) = 0,5. E5 = {5, 10, 15, …, 100}; |E5| = 20; p(E5) = 0,2. E2  E5 = {10, 20, 30, …, 100}; |E2  E5| = 10; p(E2  E5) = 0,1. p(E2  E5) = p(E2) + p(E5) – p(E2  E5)



p(E2  E5) = 0,5 + 0,2 – 0,1 = 0,6.



II - 2012/2013



Discrete Probability



20



Peluang Diskrit Apa yang terjadi seandainya hasil dari percobaan tidak berpeluang sama? Dalam kasus tsb,kita hitung peluang p(s) untuk setiap hasil sS, dimana S ruang sampel. Dua kondisi harus dipenuhi:



(1) 0  p(s)  1 untuk setiap s  S, dan (2) sS p(s) = 1



II - 2012/2013



Discrete Probability



21



Peluang Diskrit Ini berarti, spt yang telah kita ketahui, bahwa (1) setiap peluang harus bernilai antara 0 dan 1, dan (2) jumlahan seluruh probabilitas sama dengan 1, karena satu dari hasil dijamin akan muncul.



II - 2012/2013



Discrete Probability



22



Peluang Diskrit Bagaimana cara menghitung peluang p(s)? Peluang p(s) dari hasil s sama dengan limit banyaknya muncul s dibagi dengan banyaknya percobaan dilakukan. Sekali kita tahu peluang p(s), kita dapat menghitung peluang peristiwa E sbb:



p(E) = sE p(s).



II - 2012/2013



Discrete Probability



23



Peluang Diskrit Contoh I: Suatu dadu mengalami bias sehingga angka 3 muncul dua kali lebih sering dibandingkan angka lainnya. Berapakah nilai peluang dari masing-masing mata dadu ?



II - 2012/2013



Discrete Probability



24



Peluang Diskrit Jawab: Ada 6 kemungkinan hasil s1, …, s6.



p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6), p(s3) = 2p(s1). Karena jumlahan peluang harus bernilai 1, maka: 5p(s1) + 2p(s1) = 1 7p(s1) = 1 p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) = 1/7, p(s3) = 2/7.



II - 2012/2013



Discrete Probability



25



Peluang Diskrit Contoh II: Berapakah peluang munculnya angka ganjil dari pelemparan dadu bias pada Contoh I?



Jawab: Eganjil = {s1, s3, s5} Ingat rumus p(E) = sE p(s). p(Eganjil) = sEganjil p(s) = p(s1) + p(s3) + p(s5)



p(Eganjil) = 1/7 + 2/7 + 1/7 = 4/7 = 57,14%. II - 2012/2013



Discrete Probability



26



Peluang Bersyarat Suatu uang logam memiliki dua muka: depan (H) dan belakang (T). Jika uang logam tsb dilempar tiga kali, berapakah peluang munculnya T dalam jumlah ganjil (peristiwa E), jika diketahui bahwa lemparan pertama menghasilkan T (peristiwa F) ?



Jika lemparan pertama menghasilkan T, deretan yang mungkin muncul adalah TTT, TTH, THT, and THH.



II - 2012/2013



Discrete Probability



27



Peluang Bersyarat Dua diantara empat kasus memiliki T ganjil. Maka, peluang E, dengan syarat bahwa F muncul adalah 0,5. Kita menyebut ini sebagai peluang bersyarat.



II - 2012/2013



Discrete Probability



28



Peluang Bersyarat Untuk menghitung peluang E jika diberikan F, kita pakai F sebagai ruang sampel. Peristiwa munculnya E dengan syarat F juga muncul, juga harus berada didalam E  F.



II - 2012/2013



Discrete Probability



29



Peluang Bersyarat Definisi Misalkan E dan F peristiwa dimana p(F) > 0. Peluang bersyarat dari E jika diberikan F, ditulis sebagai p(E | F), didefinisikan sebagai p(E | F) = p(E  F)/p(F).



II - 2012/2013



Discrete Probability



30



Peluang Bersyarat Contoh Berapakah peluang bit string acak dengan panjang empat mengandung sedikitnya dua nol berurutan, jika bit pertamanya nol ?



Jawab E: “bit string dengan sedikitnya dua nol berurutan”. F: “bit pertama dari string adalah 0”.



Kita tahu rumus p(E | F) = p(E  F)/p(F). II - 2012/2013



Discrete Probability



31



Peluang Bersyarat E  F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100}. p(E  F) = 5/16. p(F) = 8/16 = 1/2. p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0,625.



II - 2012/2013



Discrete Probability



32



Contoh Misalkan himpunan S = {1, 2, …, 20}. Anda memilih sebuah subhimpunan T  S dengan 3 anggota. (a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap. (b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima. (c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9. (d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap.



(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20. II - 2012/2013



Discrete Probability



33



Terdapat C(20,3) subhimpunan dengan kardinalitas 3 dan memilih satu di antaranya memiliki kemungkinan yang sama. (a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap. Terdapat 10 bilangan ganjil dan 10 bilangan genap di S. Jadi, C (10 ,2)  C (10 ,1) p(T memuat 2 ganjil & 1 genap) = C (20 ,3)



II - 2012/2013



Discrete Probability



34



(b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima. Terdapat 8 bilangan prima dalam S, maka



C (8,3) p(T memuat 3 prima) = C ( 20 ,3)



II - 2012/2013



Discrete Probability



35



(c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9. Terdapat 4 cara sehingga 3 bilangan mempunyai jumlah lebih kecil dari 9: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; dan 1,3,4. Akibatnya



C ( 4,3) p(jumlah anggota T < 9) = C ( 20 ,3)



II - 2012/2013



Discrete Probability



36



(d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap. Akan lebih mudah jika digunakan aturan peluang kejadian komplementer. Misalkan E: kejadian T memuat paling sedikit satu bilangan genap, maka Ē: kejadian T memuat bilangan ganjil saja.



C (10 ,3) Akibatnya p(E) = 1 – p(Ē) = 1  C ( 20 ,3)



II - 2012/2013



Discrete Probability



37



(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20. Digunakan aturan peluang dari gabungan dua kejadian, dengan E: kejadian 10  T dan F: kejadian 20  T,



p(E  F) = p(E) + p(F)  p(E  F) Banyaknya cara untuk memilih bilangan 10 di antara 3 bilangan adalah C(19,2) karena kita harus memilih 2 bilangan dari 19 bilangan yang tersisa. Demikian pula, terdapat C(19,2) cara untuk memilih bilangan 20 dan 2 bilangan lainnya; serta C(18,1) untuk memilih bilangan 10 dan 20 dan 1 bilangan lainnya. Maka, p( E  F )  II - 2012/2013



2  C (19 ,2)  C (18,1) C (20 ,3) Discrete Probability



38



Contoh Soal Suatu keluarga memiliki dua anak. Anda mengetuk pintu rumah keluarga tadi dan seorang anak perempuan membuka pintu. Berapakah peluang bahwa anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan? (Asumsikan bahwa mereka bukan anak kembar, kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah kejadian yang saling bebas, dan peluang kelahiran seorang anak perempuan adalah ½.)



II - 2012/2013



Discrete Probability



39



Jika anda berpikir bahwa jawabannya adalah ½, maka anda salah. Kesalahannya adalah dalam menentukan ruang sampel yang kemungkinan tiap keluarannya sama. Jika kita memilih ruang sampel {1 P dan 1L, 2 P}, maka kemungkinan tiap keluarannya tidaklah sama.



Kemungkinan mempunyai 1 P dan 1L adalah dua kali mempunyai 2 P. Karena ruang sampelnya adalah {PP,PL,LP,LL}, dgn setiap pasang menyatakan sulung dan bungsu. II - 2012/2013



Discrete Probability



40



Karena keluarga memiliki paling sedikit satu perempuan, maka LL dihapus sehingga ruang sampel menjadi {PP,PL,LP}. Setiap keluaran mempunyai peluang 1/3, sehingga p(anak yg lain P) = 1/3. Misalkan, kita mempunyai informasi tambahan bahwa anak tertualah yang menjawab pintu.



Dalam hal ini, ruang sampel berubah menjadi {PP,PL}. Jadi, peluang anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan adalah ½.



II - 2012/2013



Discrete Probability



41



Contoh Dalam kuis “Super Deal 2 Milyar”, Nico Siahaan menyilahkan pemain untuk memilih tiga angka, dari 24 angka yang tersedia (angka 1 s/d 24). Berapakah peluang pemain tersebut memenangkan hadiah utama?



II - 2012/2013



Discrete Probability



42



Solusi Terdapat C(24, 3) keluaran yang mungkin. Hanya satu dari keluaran ini yang menjadikan seseorang pemenang hadiah utama. p(E) = 1/C(24, 3) = 1/2024



II - 2012/2013



Discrete Probability



43



Teori Peluang Diskrit



II - 2012/2013



Discrete Probability



44



Peluang Diskrit Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak memiliki peluang yang sama? Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap keluaran s  S, di mana S adalah ruang sampel, yang memenuhi dua syarat: (1) 0  p(s)  1 untuk setiap s  S, dan (2) sS p(s) = 1



II - 2012/2013



Discrete Probability



45



Artinya, bahwa (1) setiap peluang bernilai antara 0 dan 1, dan (2) jika peluang dari semua keluaran yang mungkin dijumlahkan akan sama dengan 1, karena pada saat eksperimen dilakukan, satu dari keluaran tersebut dijamin akan terjadi. Fungsi p: S  [0, 1] dinamakan distribusi peluang.



II - 2012/2013



Discrete Probability



46



Bagaimana peluang p(s) diperoleh? Peluang p(s) dari suatu kejadian s sama dengan jumlah kemunculan s lim bany akny aeksperim en  banyaknya eksperimen



Setelah kita mengetahui p(s) untuk setiap s, peluang dari suatu kejadian E dapat dihitung sebagai berikut. p(E) = sE p(s)



II - 2012/2013



Discrete Probability



47



Contoh Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga muncul dua kali lebih sering dari angka-angka lainnya. (a)



Berapakah peluang dari semua keluaran yang mungkin?



(b)



Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan muncul ketika dadu tersebut digulingkan?



Solusi. (a)



Terdapat 6 kemungkinan keluaran s1, …, s6. p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) p(s3) = 2p(s1)



II - 2012/2013



Discrete Probability



48



Karena jumlah semua peluang tersebut haruslah sama dengan 1, maka 5p(s1) + 2p(s1) = 1 dan 7p(s1) = 1. Jadi, p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) = 1/7, p(s3) = 2/7.



(b) Eganjil = {s1, s3, s5} Ingat rumus p(E) = sE p(s). Maka, p(Eganjil) = sEganjil p(s) = p(s1) + p(s3) + p(s5) = 1/7 + 2/7 + 1/7



= 4/7 II - 2012/2013



Discrete Probability



49



Distribusi Uniform Misalkan S himpunan dengan n anggota. Distribusi uniform memadankan peluang 1/n pada setiap anggota S. Note: sama dengan definisi Laplace. Eksperimen yang memilih anggota dari suatu ruang sampel S dengan menggunakan distribusi uniform dikatakan sebagai memilih anggota dari S secara acak.



II - 2012/2013



Discrete Probability



50



Kombinasi Kejadian Teorema. Jika E1, E2, … adalah barisan kejadian yang saling bebas dalam ruang sampel S, maka p ( Ei )   p ( Ei ) i



II - 2012/2013



i



Discrete Probability



51



Peluang Kondisional Jika suatu uang logam dilemparkan tiga kali, dan kedelapan keluaran memiliki kemungkinan yang sama. Misalkan kita tahu bahwa kejadian F, yaitu pelemparan pertama menghasilkan muka, terjadi. Berapakah peluang kejadian E, yaitu bagian muka akan muncul sejumlah ganjil?



II - 2012/2013



Discrete Probability



52



Karena hasil pelemparan pertama adalah muka, maka keluaran yang mungkin adalah MMM, MMB, MBM, dan MBB. Kemunculan muka dalam jumlah ganjil terjadi sebanyak dua kali. Maka, peluang E, dengan syarat F terjadi, adalah 0.5. Ini dinamakan peluang kondisional.



II - 2012/2013



Discrete Probability



53



Untuk memperoleh peluang kondisional dari kejadian E diberikan F, digunakan (a) F sebagai ruang sampel, dan (b) setiap keluaran dari E yang muncul harus juga berada dalam E  F.



II - 2012/2013



Discrete Probability



54



Definisi. Misalkan E dan F kejadian dengan p(F) > 0. Peluang kondisional dari E diberikan F, dinotasikan oleh p(E | F), didefinisikan sebagai p(E | F) = p(E  F)/p(F)



II - 2012/2013



Discrete Probability



55



Contoh Suatu string bit dengan panjang 4 dibangun secara acak sehingga setiap 16 string dengan panjang 4 memiliki kemungkinan yang sama. Berapakah peluang string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan, diberikan bahwa bit pertamanya adalah 0 ?



II - 2012/2013



Discrete Probability



56



Solusi. Misalkan E: kejadian bahwa string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan. F: kejadian bahwa bit pertama dari string adalah 0. E  F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100} p(E  F) = 5/16 p(F) = 8/16 = 1/2



p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0.625 II - 2012/2013



Discrete Probability



57



Contoh Anda menarik 23 kartu satu per satu tanpa ada penggantian, secara acak dari satu set yang terdiri dari 52 kartu. Carilah (a) p(kartu kedua Jack | kartu pertama Jack).



(b) p(kartu kedua merah | kartu pertama hitam).



Solusi.



(a) Jika kartu pertama Jack, maka terdapat tiga kartu Jack lainnya dalam sisa 51 kartu. Jadi peluangnya adalah 3/51. (b) Jika kartu pertama hitam, maka tetap terdapat 26 kartu merah dari 51 kartu yang tersisa. Jadi peluangnya adalah 26/51.



II - 2012/2013



Discrete Probability



58



Independensi Kembali ke contoh koin yang dilemparkan tiga kali. Apakah peluang kejadian E (muka muncul sejumlah ganjil) bergantung pada kemunculan kejadian F (pada pelemparan pertama muncul muka) ? Dengan kata lain, apakah p(E | F) = p(E)? Ternyata p(E | F) = 0.5 and p(E) = 0.5.



Dalam hal ini, E dan F dikatakan sebagai kejadian yang saling bebas. II - 2012/2013



Discrete Probability



59



Karena p(E | F) = p(E  F)/p(F), p(E | F) = p(E)  p(E  F) = p(E)p(F).



Definisi. Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas jika dan hanya jika p(E  F) = p(E)p(F).



Jelas, definisi ini simetris untuk E dan F.



Jika p(E  F) = p(E)p(F), maka p(F | E) = p(F). II - 2012/2013



Discrete Probability



60



Contoh Suatu string biner dengan panjang empat dibangun secara random. Misalkan E: kejadian string biner tersebut diawali dengan 1 F: kejadian string biner tersebut mengandung sejumlah genap 0. Apakah E dan F saling bebas?



II - 2012/2013



Discrete Probability



61



Solusi. Jelas, p(E) = p(F) = 0.5.



E  F = {1111, 1001, 1010, 1100} p(E  F) = 0.25, sehingga p(E  F) = p(E)p(F)



Jadi, E dan F saling bebas.



II - 2012/2013



Discrete Probability



62



Contoh Misalkan E: kejadian di mana suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan F: kejadian di mana suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai paling banyak 1 anak laki-laki. Apakah E dan F saling bebas? Asumsikan bahwa kedelapan cara suatu keluarga memiliki 3 anak mempunyai peluang kejadian yang sama.



II - 2012/2013



Discrete Probability



63



Solusi. Dari asumsi, LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, dan PPP masing-masing mempunyai peluang terjadi 1/8. Karena E = {LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL}, F = {LPP,PLP,PPL,PPP}, dan E  F = {LPP,PLP,PPL}, maka p(E) = 6/8, p(F) = 4/8, dan p(E  F) = 3/8. Akibatnya, p(E  F) = p(E)p(F) Jadi, E dan F saling bebas. II - 2012/2013



Discrete Probability



64



Contoh Anda menulis string dengan panjang tiga dari alfabet, di mana tidak diperbolehkan pengulangan huruf. Misalkan, E1 adalah kejadian bahwa string dimulai dengan vokal, dan E2 adalah kejadian bahwa string diakhiri dengan vokal. Tentukan apakah E1 dan E2 saling bebas.



II - 2012/2013



Discrete Probability



65



Solusi Ruang sampel berukuran 262524. Kejadian E1 memuat semua string dengan tempat pertama diisi oleh vokal, maka |E1|= 5.25.24 Dengan cara yang sama, |E2|= 25.24.5



Jadi,



5  25  24 25  24  5 5 5 p( E1 )  p( E2 )     26  25  24 26  25  24 26 26



II - 2012/2013



Discrete Probability



66



E1  E2 memuat semua string dengan panjang tiga dengan tempat pertama dan terakhir diisi dengan vokal, maka |E1  E2|= 5  24  4 Akibatnya,



5  24  4 2 p( E1  E2 )   26  25  24 65



Jadi, kejadian-kejadian tersebut tidak saling bebas. II - 2012/2013



Discrete Probability



67



Percobaan Bernoulli Misalkan suatu eksperimen hanya memiliki dua keluaran yang mungkin. Contoh; pelemparan sebuah koin. Setiap pelaksanaan suatu eksperimen yang demikian disebut percobaan Bernoulli.



Secara umum, kedua keluaran yang mungkin tadi disebut kesuksesan atau kegagalan. Jika p adalah peluang sukses dan q peluang gagal, jelas p + q = 1. II - 2012/2013



Discrete Probability



68



Sering kali kita ingin tahu peluang terjadinya tepat k sukses ketika suatu eksperimen terdiri dari n percobaan Bernoulli yang saling bebas.



Contoh. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah 2/3. Apakah peluang dari tepat empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan sebanyak tujuh kali?



II - 2012/2013



Discrete Probability



69



Solusi. Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin. Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka di antara tujuh pelemparan adalah C(7, 4). Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah (2/3)4(1/3)3. Akibatnya, peluang kemunculan tepat empat muka adalah C(7, 4)(2/3)4(1/3)3 = 560/2187. II - 2012/2013



Discrete Probability



70



Teorema Bernoulli Peluang k sukses dalam n percobaan Bernoulli yang saling bebas, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p, adalah C(n, k) pk qn-k. Ini dinotasikan dengan b(k; n, p).



Jika b dipandang sebagai fungsi dari k, maka b dikatakan sebagai distribusi binomial.



II - 2012/2013



Discrete Probability



71



Ilustrasi dari bukti Teorema Misalkan „S‟: sukses dan „F‟: gagal, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p. Berapakah peluang dari dua sukses dalam lima percobaan Bernoulli yang saling bebas? Lihat salah satu barisan keluaran yang mungkin: SSFFF Berapakah peluang kita akan membangun barisan ini?



II - 2012/2013



Discrete Probability



72



Barisan:



S S F F F



Peluang:



p p q q q



= p2q3



Suatu barisan lain yang mungkin:



Barisan:



F S F S F



Peluang:



q p q p q



= p2q3



Setiap barisan dengan dua sukses dalam dua percobaan terjadi dengan peluang p2q3.



II - 2012/2013



Discrete Probability



73



Sekarang, ada berapa banyak barisan yang mungkin? Dengan kata lain, ada berapa cara untuk memilih dua obyek dari daftar yang berisi lima obyek?



Ada C(5, 2) = 10 cara, sehingga terdapat 10 barisan yang mungkin, setiap barisan terjadi dengan peluang p2q3. Maka, peluang salah satu dari barisan tersebut muncul pada saat melakukan lima percobaan Bernoulli adalah C(5, 2) p2q3. Secara umum, untuk k sukses dalam n percobaan Bernoulli, kita memiliki peluang C(n,k) pk qn-k.



II - 2012/2013



Discrete Probability



74



Contoh. Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-turut. Carilah (a) p(muncul tepat empat angka 1). (b) p(tidak ada angka 6 yang muncul).



II - 2012/2013



Discrete Probability



75



Jawab. (a) Ini adalah contoh dari suatu barisan dengan enam percobaan Bernoulli yang saling bebas, di mana peluang sukses adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6. Karena itu, peluang muncul tepat empat angka 1 pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah



1 C (6,4)  6



II - 2012/2013



4



2



5    0,008 6



Discrete Probability



76



(b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan angka selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan gagal adalah kemunculan angka 6, yang peluangnya 1/6. Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah



5 C (6,6)  6



II - 2012/2013



6



0



1    0,335 6



Discrete Probability



77



Variabel acak Dalam banyak eksperimen, kita ingin memadankan nilai numerik pada setiap keluaran yang mungkin untuk memungkinkan analisa matematis dari eksperimen tersebut. Untuk tujuan ini, diperkenalkan variabel acak.



Definisi. Suatu variabel acak adalah fungsi dari ruang sampel dari suatu eksperimen ke himpunan bilangan real. Yaitu, variabel acak memadankan suatu bilangan real tertentu pada setiap keluaran yang mungkin. II - 2012/2013



Discrete Probability



78



Catatan.  Variabel acak adalah fungsi, bukan variabel.  Variabel acak tidak dilakukan secara acak, tetapi memetakan hasil eksperimen yang acak ke bilangan real secara terdefinisi dengan baik.



II - 2012/2013



Discrete Probability



79



Contoh Misalkan X adalah hasil permainan “suit”. Jika pemain A memilih jari a dan pemain B memilih jari b, maka 1,  X (a, b)  0, - 1, 



II - 2012/2013



jika A menang jika A dan B memilih jari yang sama jika B menang



Discrete Probability



80



X(ibujari,ibujari) =



0



X(ibujari,kelingking) = 1 X(ibujari,telunjuk) =



1



X(kelingking,ibujari) =



1



X(kelingking,kelingking) =



0



X(kelingking,telunjuk) = 1 X(telunjuk,ibujari) = 1 X(telunjuk,kelingking) =



1



X(telunjuk,telunjuk) =



0



II - 2012/2013



Discrete Probability



81



The Birthday Problem Berapa jumlah minimum orang yang diperlukan sehingga peluang bahwa sedikitnya dua di antara mereka mempunyai tanggal ulang tahun yang sama adalah lebih besar dari ½?



II - 2012/2013



Discrete Probability



82



n: jumlah orang pn: peluang bahwa setiap orang mempunyai tanggal ulang tahun yang berbeda. Maka



365 364 363 367  n pn     366 366 366 366



Dan



365 364 363 367  n 1  pn  1     366 366 366 366 1 – pn ≥ 0,5 jika n ≥ 23 II - 2012/2013



Discrete Probability



83