1-Bahan Ajar Fungsi Numerik [PDF]

Citation preview

1



FUNGSI DISKRIT NUMERIK / FUNGSI NUMERIK Defenisi. Fungsi numerik adalah sebuah fungsi dengan himpunan bilangan cacah sebagai domainnya dan himpunan bilangan riil sebagai kodomainnya. Fungsi numerik digunakan dalam komputasi digital. Penyajian fungsi numerik dilakukan dengan menuliskan daftar panjang nilai-nilainya, namun dalam prakteknya dibutuhkan penyajian dalam bentuk yang tidak terlalu panjang.



an = ¿ ¿



Contoh:



bn = ¿ ¿



c n=



2n 3 n −1



{ {



0 3n



d n=



, 0≤n≤11 , n≥12 , 0≤n≤8 , n≥9



Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi Numerik



an +bn =n2 +2n −1 ,



n≥0



2n c n + d n= 2 n+3 n 2×3n −1



, 0≤n≤8 , 9≤n≤11 , n≥12



{



an −b n =n2 −2n −3 ,



n≥0



2n c n −d n = 2n−3n −1



, 0≤n≤8 , 9≤n≤11 , n≥12



{



Operasi Perkalian dan Pembagian Fungsi Numerik an ×b n =( n2 −2 ) ( 2n + 1 ) ,



n≥0



0 c n ×d n = 2 n×3 n 32n −3 n



, 0≤n≤8 , 9≤n≤11 , n≥12



{



an ÷b n =



d n ÷c n =



n2−2 , 2n +1



{



n≥0



0 3n 2n 3n 3n −1



, 0≤ n≤8 , 9≤n≤11 ,



n≥12



Materi Ajar “FUNGSI NUMERIK” Mata Kuliah Matematika Diskrit



2 i



Pergeseran Maju Fungsi Numerik ( S a )



S i a=



0 an−i



{



, 0≤n≤( i−1 ) , n≥i



Contoh: 2



Tentukan



n



3 S a dari fungsi numerik an =n +2 −1 ,



n≥0 2



Jawab: i = 3, →



untuk n ≥ 3,



S 3 a=a n−3 =( n−3 ) +2



maka:



( n−3 )



−1



1 S 3 a=n2 −6 n+ ( 2n ) +8 8 untuk 3



S a=



Jadi:



{



0≤n≤( 3−1 )



0



1 n2 −6 n+ ( 2 n ) +8 8



3



,



maka:



S a=0



, 0≤ n≤2 , n≥3 −i



Pergeseran Kebelakang Fungsi Numerik ( S a )



−i



S a=an+i , n≥0 Contoh: 2



Tentukan



n



−3 S a dari fungsi numerik an =n +2 −1 ,



Jawab: i = 3, →



untuk n ≥ 0,



maka:



n≥0



S−3 a=a n+3 =( n+3 )2 +2( n+3 )−1



S−3 a=n2 +6n+8 ( 2n ) +8 Jadi:



S−3 a=n2 +6 n+8 ( 2n ) +8 , n≥0



Beda Maju Fungsi Numerik ( Δa )



Δa=a n+1 −a n , n≥0 Contoh: Tentukan Jawab:



2 n Δa dari fungsi numerik an =n +2 −1 ,



an =n 2 +2n −1 ,



n≥0



n≥0



an+1 =n2 + 2 n+ 2 ( 2 n ) ,



n≥0



Materi Ajar “FUNGSI NUMERIK” Mata Kuliah Matematika Diskrit



3



Δa=a n+1 −a n =[ n2 + 2n+ 2 ( 2 n ) ] −[ n2 +2 n−1 ]



Jadi:



, n≥0



n



Δa=2 n+2 +1 , n≥0 Beda Kebelakang Fungsi Numerik ( ∇ a )



∇ a=



0 a n−an−1



, n=0 ¿¿ , n≥1



{



Contoh: 2 n ∇ a dari fungsi numerik an =n +2 −1 ,



Tentukan



an =n 2 +2n −1 ,



Jawab:



an−1= n2 −2 n+ an+1 −a n=2 n+



∇ a= Jadi:



n≥0



n≥0 1 2



1 2



( 2n ) ,



n≥ 0



( 2n )−1



, n≥1



0 , n=0 ( n−1 ) 2 n+2 −1 , n≥1



{



Soal-soal Latihan dan Tugas: Dibawah ini diketahui beberapa fungsi numerik.



an =7 n 3 +1 ,



bn =3 n 2−1 ,



n≥0



2n , 0≤n≤11 ¿¿ n 3 −1 , n≥12 2 , 0≤n≤3 e n = −n 2 +5 , n≥4



c n=



{ {



d n=



2n f n= 2 n+3n −1 , 0≤n≤8 ¿ 2 ( 3 n ) −1 ¿ , 9≤n≤11 , n≥12



n≥0



0 3n



, 0≤n≤8 , n≥9



{



2 n−1 gn = 2n+ 3n , 0≤n≤5 ¿ 2 ( 3n ) ¿ , 6≤n≤ 9 , n≥10



{



{



Tentukan: 1.



( c n +d n )



2.



S a



3.



−2



S a



4.



Δa



2



( c n−d n )



, 3



S b



,



,



2



S c



,



−3



,



S b



Δb



,



( c n +f n )



,



3



S d



,



−2



,



Δc



S c ,



, dan 4



,



S e



−3



S d



,



Δd



,



Δe



,



( f n −gn ) 2



, ,



Δf



Sg



, dan −2



−4



S e



3



S f ,



S f



, dan



Δg



! −3



, dan



S g



!



!



Materi Ajar “FUNGSI NUMERIK” Mata Kuliah Matematika Diskrit



4



5.



∇a



∇b



,



Tentukan: 3



S p



4



Sq



,



−3



2



,



S p



8.



Δp



9.



∇p



10.



( pn +q n )



,



, ,



S q Δq ∇q ,



, ,



∇e



,



∇r



, dan



,



∇g



!



r n =( cn +f n )



, dan



s n =( f n −gn )



.



! −3



S r



S s



, dan



Δs



, dan , dan



( pn−q n )



, dan



3



S s



−2



, Δr



∇f



,



q n=( c n −d n )



,



S r



−4



7.



∇d



,



pn =( c n +d n )



Jika 6.



∇c



,



,



∇s



!



! !



( r n +s n )



, dan



( r n −s n)



Materi Ajar “FUNGSI NUMERIK” Mata Kuliah Matematika Diskrit