6 Mekban-Tegangan Dalam Balok [PDF]

Citation preview

* TEGANGAN DALAM BALOK



Prodi Teknik Sipil Fakultas Teknik UNS Endah Safitri



KONSEP DASAR Suatu balok yang dikenakan beban-beban yang bekerja secara transversal terhadap sumbu longitudinal balok tersebut, maka balok akan mengalami lenturan. → Hal ini disebabkan karena beban-beban luar ini menciptakan aksi internal, atau resultan tegangan dalam bentuk tegangan normal, tegangan geser dan momen lentur. → sumbunya terdeformasi membentuk lengkungan yang disebut kurva defleksi (lendutan) balok Balok kantilever AB tanpa dibebani. Balok kantilever AB memikul beban P di ujung bebas. Sumbu yang semula lurus akan melentur membentuk lengkungan yang besarnya tergantung pada besar beban yang bekerja 2



Lentur disebabkan oleh momen. Akibat lenturan maka sebagian penampang menerima tekan, sebagian lagi menerima tarik. Peralihan daerah tekan dengan daerah tarik disebut garis netral (daerah dengan regangan dan tegangan = 0). 3



Untuk balok beton, kekuatan tarik beton sangat kecil sehingga bagian penampang beton yang menerima tarik kekuatannya diabaikan dan tugasnya akan digantikan oleh baja tulangan.



4



TIPE-TIPE LENTURAN 1. Lenturan Murni (Pure Bending) Lenturan dihasilkan oleh kopel momen dan tidak ada gaya geser transversal yang bekerja pada batang. Balok dengan lenturan murni hanya mempunyai tegangan lentur tarik dan tekan. M1



M1 B



Balok Sederhana



M2 A



M2 B



- M2 Balok Kantilever



M1



Lentur murni pada balok terjadi akibat momen lentur konstan



5



Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. M1



M1 B



M1



M1 B



Kopel yang bekerja pada suatu benda tidak menyebabkan benda itu bergerak translasi, tetapi hanya menyebabkan benda berputar terhadap porosnya 6



2. Lenturan Biasa (Ordinary Bending) Lenturan dihasilkan oleh gaya-gaya yang bekerja pada batang dan tidak terdapat kopel. Balok dengan lenturan biasa mempunyai tegangan lentur dan tegangan geser. P



P



Balok sederhana AB dibebani beban P, dan reaksi perletakan



B



A a



a



RA



RB



P 0



SFD



Gaya geser di sepanjang balok AB



-P BMD



0 Pa



Momen lentur berubah sepanjang sumbu balok



7



Berdasarkan tegangan yang bekerja, batang dapat diklasifikasikan :



8



TEGANGAN LENTUR Pada suatu balok yang dibebani, kemungkinan balok akan melengkung akibat gaya momen yang bekerja.



Bagian atas garis netral memendek (tekan)



Bagian bawah garis netral memanjang (tarik)



9



a. Balok tumpuan sederhana



b. Distribusi regangan



c. Distribusi tegangan



Gambar. Distribusi Regangan dan Tegangan 10



MOMEN POSITIF



Diagram tegangan lentur



11



MOMEN NEGATIF



Diagram tegangan lentur



12



PENURUNAN RUMUS TEGANGAN LENTUR



Gambar a. menunjukkan pandangan samping bagian kecil dari balok tumpuan sederhana dengan tegangan pada lokasi tertentu. Gambar b. menunjukkan penampang balok dengan lebar b.



13



Jarak dari sumbu netral ke luas infinitesimal a dilambangkan dengan y. Jarak dari sumbu netral ke segmen terluar penampang dilambangkan dengan c. Tegangan lentur (baik tarik maupun tekan) yang bekerja pada segmen terluar balok (jarak c dari sumbu netral) dilambangkan dengan sb(max). Untuk tegangan lentur pada jarak y dari sumbu netral dilambangkan dengan sb dapat dinyatakan sebagai :



sb 



sb (max) y c



14



Gaya yang ditimbulkan pada luas infinitesimal a :



P



sb(max) y



A



c Momen dari gaya terhadap sumbu X-X dapat dihitung sebagai berikut : sb (max) y 2 M A c Momen total terhadap sumbu X-X dari semua gaya internal yang bekerja pada luasan infinitesimal dapat ditulis : sb (max) 2 M y A  c sb (max) I Dengan I x   y 2 dA maka M  c A



15



Tegangan lentur menunjukkan bahwa tegangan sebanding dengan momen lentur dan berbanding terbalik dengan momen inersia penampang. →



besarnya tegangan bervariasi secara terhadap jarak y dari sumbu netral.



Rumus tegangan lentur max :



Rumus tegangan lentur yang terjadi pada suatu jarak y dari sumbu netral : dimana : sb M c y I



: : : : :



sb (max) 



sb 



linier



M c I



sb(max)



M y I



sb(max) tegangan lentur (MPa) besarnya momen yang bekerja (Nmm) jarak dari sumbu netral ke serat tepi terluar (mm) jarak dari sumbu netral ke serat yang ditinjau (mm) momen inersia penampang balok terhadap sumbu netral (mm 4 )16



MOMEN LENTUR IJIN Kapasitas momen atau momen lentur ijin :



M ijin 



sb ( ijin )



dimana :



c



I



Mijin : momen lentur ijin/kapasitas momen (Nmm) Sb(ijin) : tegangan lentur ijin (MPa)



Jika I/c disebut modulus penampang (disimbolkan S), maka :



sb (ijin )



M  S



17



18



Rumus lentur valid jika memenuhi kriteria sebagai berikut : 1.



Balok harus lurus sebelum pembebanan.



2.



Balok harus homogen, mengikuti hukum Hooke, dan nilai dari modulus elastisitas sama, baik untuk tarik maupun untuk tekan.



3.



Beban dan reaksi harus terletak pada pada bidang vertikal yang tegak lurus terhadap sumbu longitudinal balok.



4.



Balok harus mempunyai penampang yang seragam.



5.



Tegangan lentur proporsional.



6.



Balok harus memiliki ketahanan tekuk (buckling resistance) yang cukup.



7.



Semua bagian komponen balok harus memiliki ketahanan tekuk lokal yang cukup.



8.



Panjang balok harus proporsional terhadap lebarnya.



maksimum



tidak



boleh



mencapai



batas



19



CONTOH SOAL TEGANGAN LENTUR Suatu balok tumpuan sederhana direncanakan dibuat dari bentuk T dengan pengelasan plat baja ukuran 300 mm x 12 mm dengan plat baja ukuran 12 mm x 250 mm. Balok jenis ini sering digunakan dalam konstruksi bangunan menggunakan batu, sebagai kusen yang melingkupi bukaan dinding, misal pintu dan jendela.



B



C



12x250



Jika balok menyangga beban dinding 9 kN/m dengan panjang bentang 5 m. Tentukan : a. b. c. d.



Persamaan momen lentur. Diagram momen. Momen lentur maksimum Apakah balok cukup kuat jika diketahui tegangan lentur ijin 150 MPa ? e. Diagram tegangan lentur di daerah Mmax. 20



Penyelesaian : Struktural tidak simetri terhadap sumbu X-X, maka sumbu netral harus ditetapkan dengan cara mencari titik berat ӯ yang dihitung dari serat tepi bawah. 12x250



y



A



i



yi



A 12  250 137  300 12  6  12  250  300 12  65,55 mm (dari serat tepi bawah)



Pada rumus lentur, nilai ӯ menunjukkan jarak c ke serat tepi bawah → cbawah = ӯ = 65,55 mm. → catas = (250+12) - ӯ = 196,45 mm.



21



Momen inersia terhadap sumbu netral (sentroid) X-X.







I   I 0i  Ai d i



2







1  1    12  2503  12  250  71,52     300 123  300 12  59,52   12   12   43.749.850 mm 4



a. Persamaan momen lentur. Reaksi di tumpuan B = reaksi di rumpuan C → RB = RC = qL/2 =(9 x 5)/2 = 22,5 kN Mx = RB x – ½ q x2 Jadi persamaan momen lentur :



Mx = 22,5.103 x – ½ 9 x2 Nmm 22



b. Diagram momen



q = 9 N/mm



B RB



5000 mm



c. Momen lentur maksimum Momen lentur maksimum terjadi saat D = 0, yaitu terjadi di tengah bentang (2500 mm dari tumpuan B).



C



M max  22,5.103 x  1 2 9 x 2 Rc



 22,5.103  2500  1 2  9  2500 2



x



 28.125.000 Nmm BMD Mx



DB = RB



 28,13 kNm



Mmax SFD DC = RC 23



d. Analisa balok apakah cukup kuat, jika diketahui tegangan lentur ijin 150 MPa. Untuk menghitung kapasitas momen atau momen lentur ijin ambil nilai c terbesar. → dipakai catas = 196,45 mm.



M ijin 



sb (ijin ) c



I



150  43749850  33.405.332,15 Nmm 196,45



 33,41 kNm Momen lentur yang dibutuhkan = 28,13 kNm Momen lentur aktual (yang disediakan oleh penampang balok) = 33,41 kNm



M butuh < M sedia → Balok kuat → Aman ! 24



e. Diagram tegangan lentur → catas = 196,45 mm



→ cbawah = 65,55 mm



sb ( atas ) 



M catas



sb (bawah ) 



I



28,13.106 196,45   126,31 MPa 43749850



M cbawah I



28,13.106  65,55   42,15 MPa 43749850



126,31 MPa



12x250 mm 196,45 mm



sb(atas) < sb(ijin) Garis netral



126,31 < 150 Mpa 65,55 mm



300 x 12 mm



→ Balok kuat → Aman !



42,15 MPa 25



KOMBINASI LENTUR DAN BEBAN AKSIAL Suatu balok yang akibat pembebanan terdapat tegangan normal, maka tegangan lentur yang terjadi adalah resultan dari tegangan akibat momen lentur dan tegangan normal



→ tegangan lentur superposisi Dirumuskan :



sb 



M y I



P  A



26



TEGANGAN GESER Suatu balok yang mengalami gaya geser V, tegangan geser (τ) yang bekerja di penampang dapat diasumsikan bekerja sejajar dengan gaya geser, yaitu sejajar dengan sisi vertikal → Tegangan geser mempunyai distribusi terbagi rata di seluruh lebar balok, .



27



PENURUNAN RUMUS TEGANGAN GESER P



MD



ME



28



CD dan CE menunjukkan resultan tegangan lentur tekan pada bidang D dan E Karena elemen dalam kesetimbangan dan jumlah gaya-gaya horisontal harus sama dengan nol, maka gaya geser horisontal ada pada bidang F = CE - CD . Gaya geser horisontal adalah hasil dari tegangan geser horisontal dan luas permukaan bawah elemen yang dinyatakan sebagai ssbx. 29



Gambar (c) memperlihatkan luas persegi panjang infinitesimal a yang sejajar terhadap sumbu netral bidang E. Luas sentroid a terletak pada jarak y dari sumbu netral. Tegangan lentur pada luas ini menggunakan rumus lentur : s  M E y b I ME y Gaya yang bekerja pada luasan a : P A I



Gaya total yang bekerja pada luasan total di atas bidang F adalah sama dengan CE : CE  



ME y A I



CE 



ME I



y



A 30



Besaran Ʃya menunjukkan momen dari luas total elemen (di atas bidang F) pada bidang E terhadap sumbu netral, disimbolkan Q yang merupakan momen statis luas, maka : ME Q CE 



I



Dengan cara yang sama, resultan gaya CD yang bekerja pada bidang D : M Q CD  D I Beda diantara 2 gaya :CE  C D 



ME Q MD Q Q   M E  M D  I I I



Jadi gaya horisontal pada bidang F (ssbx)



Q I M E  M D Q ss  I b x



ss bx  M E  M D 



31



Perubahan momen lentur di antara 2 titik pada balok adalah sama dengan luas digram geser diantara 2 titik yang sama. M E  DD  V x



Maka diperoleh :



V xQ ss  I b x



V Q ss  I b



dimana : ss : tegangan geser (horisontal dan vertikal) pada bidang penampang balok (MPa) V : gaya geser vertikal dihitung dari luas penampang(N) Q :



I



:



b :



momen statis terhadap sumbu netral dari luas penampang di antara bidang horisontal dimana tegangan geser dihitung dan sisi atas atau bawah balok (mm 3 ) momen inersia penampang balok terhadap sumbu netral (mm 4 ) lebar penampang balok pada bidang horisontal dimana tegangan geser dihitung (mm) 32



Tegangan geser menunjukkan bahwa tegangan sebanding dengan gaya geser dan berbanding terbalik dengan momen inersia penampang.



V Q ss  I b



→ besarnya tegangan geser bervariasi secara kuadratik terhadap jarak y dari sumbu netral. y



h/2 ss(max)



z 0 h/2



b



33



GAYA GESER IJIN Kapasitas geser atau gaya geser ijin : Vijin 



ss ( ijin ) I b Q



dimana : Vijin



: gaya geser ijin/kapasitas geser (N)



Ss(ijin) : tegangan geser ijin (MPa)



34



CONTOH SOAL TEGANGAN GESER Suatu bahan struktural dibuat dari 3 plat baja yang dilas bersama membentuk unit tunggal (plat girder). Girder dikenai beban vertikal, sehingga menimbulkan gaya geser maksimum V = 2100 MN. Hitung : 629



a. Tegangan geser maksimum pada bidang sumbu netral. b. Tegangan geser pada sambungan flange dan web (bidang E-E)



38



c.



Gambar. Penampang Girder



Plot distribusi tegangan geser pada penampang balok.



35



Penyelesaian : Sumbu netral membagi atas dan bawah sama besar (simetri). Momen inersia penampang girder : I  I 0  Ad 2 1  1   2    400  383  400  38  629 2    12  12203  12 1220  0 2   12   12   1,38.1010 mm 4



a. Tegangan geser maksimum pada bidang sumbu netral. Sumbu netral membagi atas dan bawah sama besar (simetri), maka : Qa = Qb 36



Qa  Q flange  Qweb







 



 A flange  y flange  Aweb  y web







 400  38  629   12  610  305  11.793.400 mm 3



sehingga



VQ Ib 2100 106  11793400  1,38 1010 12  149.553,99 MPa



ss 



 149,55 GPa 37



b. Tegangan geser pada sambungan flange dan web (bidang E-E) Momen luasan di atas bidang E-E:



Qa  Q flange  A flange  y flange  400  38  629  9.560.800 mm 3 Di sambungan flange dan web ada 2 b yaitu 12 mm dan 400 mm, keduanya memiliki tegangan geser sendiri-sendiri. Untuk lebar di sambungan flange dan web, b = 12 mm. Sehingga :



VQ Ib 2100 106  9560800  1,38 1010 12  121.242,03 MPa



ss 



 121,24 GPa 38



Untuk lebar di sambungan flange dan web, b = 400 mm. Sehingga : VQ 2100 106  9560800 ss    3.637,26 MPa  3,64 GPa 10 Ib 1,38 10  400 c. Plot distribusi tegangan geser pada penampang balok. 0 3,64 GPa



121,24 GPa



Sumbu netral



149,55 GPa



121,24 GPa 3,64 GPa 0



Gambar. a. Tampak Samping



b. Distribusi Tegangan Geser Plat Girder 39



Tegangan geser web rata-rata :



ss ( rata  rata ) 



V d tw



dimana : ss(rata-rata) : tegangan geser web rata-rata (MPa) V



: gaya geser vertikal (N)



d



:



kedalaman balok (mm)



tw



:



ketebalan balok (mm)



Tegangan geser ijin atau kapasitas geser penampang balok :



Vijin  ss (ijin ) d t w 40



ANALISIS BALOK Analisis balok adalah penyelidikan penampang yang diketahui.



balok



dengan



Tiga jenis analisis balok : 1. Perhitungan tegangan aktual yang terjadi (lentur dan geser) pada balok, pembebanan, panjang bentang yang diberikan dan kemudian dibandingkan dengan tegangan ijin. 2. Perhitungan kapasitas beban yang dibawa balok berdasarkan tegangan ijin yang diberikan (lentur dan geser) dan panjang bentang. 3. Perhitungan panjang bentang maksimum balok berdasarkan kondisi pembebanan dan tegangan ijin (lentur dan geser). 41



DESAIN BALOK



Masalah desain meliputi pemilihan ukuran dan bentuk balok berdasarkan beban dan panjang bentang yang diketahui, sehingga tidak mencapai tegangan ijin material. Tujuan utama desain adalah keamanan struktural. → Pertimbangan lain misal ekonomi, fungsi, perawatan dan lama pakai merupakan pertimbangan kedua.



42



PROSEDUR DESAIN BALOK Prosedur umum dalam desain balok : 1. Tentukan lokasi, besar, dan jenis beban yang bekerja sepanjang bentang balok dan kondisi tumpuan balok. 2. Tetapkan batasan, misal tegangan ijin dan dimensi bahan. 3. Buat diagram beban dan hitung reaksi balok. 4. Buat diagram geser (SFD) 4. Buat diagram momen lentur (BMD). Tentukan momen lentur pada titik dimana gaya geser nol atau menuju nol. → titik dimana gaya geser nol maka momen lenturnya mencapai maksimum 43



6. Menggunakan nilai momen lentur terbesar (abaikan tanda), hitung modulus penampang menggunakan rumus lentur. M S sb (ijin ) 7. Pilih balok yang paling ekonomis dengan modulus penampang sedikit lebih besar dari yang diperlukan. Pilih balok yang paling ringan (kN/m) 8. Setelah penampang dipilih, hitung momen tambahan akibat berat balok. 9. Momen desain total adalah jumlah momen karena beban yang bekerja dan momen karena berat balok sendiri. 44



10. Hitung modulus penampang pada kondisi no 9. → Jika modulus penampang lebih kecil daripada yang diperlukan, pilih balok baru dan ulangi langkah 7, 8 dan 9. 11. Cek tegangan geser menggunakan rumus geser. → Jika tegangan geser hasil perhitungan mencapai tegangan geser ijin, pilih balok baru yang memiliki kapasitas geser lebih tinggi dan ulangi 8, 9 dan 10.



45



RETAK PADA BALOK Di dalam analisis dan desain struktur balok, lentur umumnya adalah faktor yang paling kritis, yaitu jika tegangan lentur akan mencapai batas ijin. Akan tetapi pada beberapa balok, karena beban yang sangat berat dan atau panjang bentang yang sangat pendek, geser mungkin menjadi sangat kritis.



46



CONTOH SOAL TEGANGAN DI DALAM BALOK Suatu balok 150 x 250 mm ditumpu sendi roll dengan pembebanan seperti tergambar. P = 10 Ton



A



30o



C 3



B



D 1



2 m



Soal : a. b. c. d. e. f.



Hitung dan gambar diagram tegangan lentur di titik C Hitung dan gambar diagram tegangan aksial di titik C Hitung dan gambar diagram tegangan geser di titik C Hitung tegangan lentur superposisi di titik C Hitung tegangan lentur maksimum dan tentukan letaknya Hitung tegangan geser maksimum dan tentukan letaknya. 47



Penyelesaian : P = 10 Ton RAH



A



30o



C RAV



3



P = 10 sin 30o Ton



B



D 1



2 m



P = 10 cos 30o Ton



RBV



Reaksi di tumpuan A



M



B



 0  RAV  6  P sin 300  2  0



Reaksi di tumpuan B



M



A



 0  RBV  6  P sin 300  4  0



Kontrol :



K



V



RAV  1,67 ton  



RBV  3,33 ton  



 0  RAV  RBV  P sin 300  0 1,67  3,33  5  0 ok !



0 K  0  R  P cos 30 0  H AH



RAH  8,66 ton  48



5 ton



8,66 tonA



8,66 ton 3m



1,67 ton



C



1m



D



B



2 m



Di titik C



3,33 ton



3 M C   6,68 4  5,01 Tm



BMD 6,68 Tm



NFD



 5,01.107 Nmm NC = - 8,66 ton = - 8,66.104 N



8,66 ton



VC = 1,67 ton = 1,67.104 N



1,67 ton



SFD 3,33 ton 49



a. Tegangan lentur di titik C MC = 5,01.107 N Karena penampang balok simetri, maka : Garis netral



250 ca  cb   125 mm 2 250 mm



Momen inersia terhadap sumbu netral (sentroid) X-X : 1 3



I



150 mm



Tegangan lentur :



150  250



12  195.312.500 mm 4  1,96.108 mm 4



M catas



5,01.107 125 sb ( atas )    31,95 MPa (teg. tekan) 8 I 1,96.10 karena penampang simetri, maka : sb (bawah)  sb ( atas )  31,95 MPa (teg. tarik) 50



b. Tegangan normal/aksial di titik C NC = - 8,66.104 N Garis netral



Tegangan normal/aksial : 250 mm



P 8,66.10 4 sn    2,31 MPa A 150  250



150 mm



51



c. Tegangan geser di titik C VC = 1,67.104 N Karena penampang balok simetri, maka : Garis netral



250 mm



125 Qa  Qb  A y  150 125 2  1.171.875 mm 3 Tegangan geser :



150 mm



VQ Ib 1,67.10 4  1171875  1,96.108  150  0,67 MPa



ss 



52



Diagram tegangan di titik C 0



31,95 MPa



Garis netral



150 mm



2,31 MPa



250 mm



31,95 MPa Diagram Tegangan Lentur



0,67 MPa



0 Diagram Tegangan Normal



Diagram Tegangan Geser :



53



d. Tegangan lentur superposisi di titik C



34,26 MPa



31,95 MPa



Garis netral



150 mm



2,31 MPa



250 mm



31,95 MPa Diagram Tegangan Lentur



29,64 MPa Diagram Tegangan Normal



Diagram Tegangan Lentur Superposisi



54



e. Tegangan lentur maksimum dan letaknya Mmax = 6,68.107 N Tegangan lentur maksimum terjadi di titik D :



sb  max( atas )



M max catas 6,68.107  125    42,60 MPa 8 I 1,96.10 42,60 MPa



Garis netral



150 mm



250 mm



42,60 MPa 55



f. Tegangan geser maksimum dan letaknya Vmaksimum = 3,33 T = 3,33.104 N Tegangan geser maksimum terjadi di daerah D-B :



ss  max



VQ 3,33.10 4  1171875    1,33 MPa 8 Ib 1,96.10  150 0



Garis netral



150 mm



1,33 MPa



250 mm



0 56



Prodi Teknik Sipil Fakultas Teknik UNS Endah Safitri



57