7.perhitungan Jala [PDF]

Citation preview

PERHITUNGAN JALA – JALA



Perkembangan yang terus menerus dari komputer digital yang besar dan berkecepatan tinggi telah membawa suatu perubahan pada perbandingan pentingnya berbagai teknik penyelesaian masalah jala-jala yang luas. Hal yang penting dalam bab ini terutama ialah diperkenalkannya admintasi rel dan matriks impedansi yang ternyata akan sangat berguna dalam pembahasan-pembahasan selanjutnya. Kesetaraan Sumber Suatu prosedur yang sangat membantu dalam beberapa masalah pada analisis jala-jala adalah penggantian (substitution) suatu sumber arus konstan dalam hubungan parallel dengan suatu impedansi untuk suatu emf konstan dengan impedansi serinya. Kedua bagian dari gambar 7.1 melukiskan rangkaian-rangkaian itu. Kedua sumber dengan masing-masing impedansinya yang sesuai dihubungkan pada suatu jala-jala berkutub dua (two-terminal network) yang mempunyai suatu impedansi masukan ZL. Untuk sementara beban itu boleh dianggap sebagai suatu jala-jala pasif; yang berarti bahwa setiap emf dalam pada jala-jala beban dimisalkan terhubung singkat dan setiap sumber arus dalam keadaan terbuka. Untuk rangkaian yang mempunyai emf konstan Eg dan impedansi seri Zg, tegangan pada beban adalah



VL = Eg - ILZp di mana IL adalah arus beban. Untuk rangkaian yang mempunyai suatu sumber arus konstan Is dengan impedensi shunt Zp, tegangan pada beban adalah . VL = (Is – IL) Zp = IsZp – ILZp Kedua sumber dengan masing-masingimpedansinya akan menjadi setara (ekivalen) jika tegangan VL dalam kedua rangkaian tersebut sama. Sudah tentu, nilai-nilai VL yang sama akan berarti arus beban yang sama pula untuk beban-beban yang identik. Dengan membandingkan persamaan-persamaan (7.1) dan (7.2) terlihat bahwa VL pada kedua rangkaian akan menjadi identic dank arena itu emf dan impedansi serinya dapat dipertukarkan dengan sumber arus dan impedansi shunt-nya, asal Eg = Is ZpDanZg = Zp



Hubungan ini menunjukkan bahwa suatu sumber arus konstan dan impedansi shunt-nya dapat digantikan dengan suatu emf konstan dengan impedansi seri, jika emf itu sama dengan hasil kali arus konstan dan impedansi shunt dan jika impedansi seri sama dengan impedansi shunt. Jika impedansi shunt identic dengan impedansi seri dan jika arus konstan sama dengan nilai emf dibagi dengan impedansi serinya. Kita telah memperlihatkan syarat-syarat untuk kesetaraan sumber-sumber (equivalence of sources) yang dihubungkan pada suatu jala-jala pasif. Dengan meninjau prinsip superposisi, kita dapat membuktikan bahwa hal yang sama berlaku juga jika keluarannya (output) merupakan suatu jala-jala aktif, yaitu jala-jala yang mengandung sumber tegangan dan arus. Untuk menentukan sumbangan dari catu jika jala-jala keluaran aktif, prinsip superposisi mengharuskan kita untuk menghubung singkatkan semua emf pada jala-jala keluaran dan menggantikan sumber-sumber arusnya dengan rangkaian terbuka, sementara impedansiimpedansinya tetap seperti semula. Jadi bagi komponen arus dari sumber yang dipertukarkan itu keluarannya itu merupakan suatu jala-jala pasif. Persamaan-persamaan Simpul Titik-titik sambungan yang terbentuk jika dua buah elemen murni (R,L atau C atau suatu sumber tegangan atau arus ideal) dihubungkan satu sama lain pada ujung-ujungnya dinamakan simpul-simpul (nodes). Perumusan yang sistematis dari persamaan-persamaan yang ditentukan pada simpul-simpul suatu rangkaian dengan menerapkan hukum arus Kirchhoff adalah dasar yang sangat berguna untuk beberapa penyelesaianmasalah-masalah system tenaga dengan komputer. Biasanya masalah menjadi lebih mudah jika ditinjau hanya simpul-simpul dimana terhubung lebih dari dua elemen. Titik sambungan semacam ini dinamakan simpul-simpul besar (major nodes). Untuk dapat mempelajari beberapa ciri persamaan simpul, kita akan mulai dengan diagram segaris suatu system sederhana seperti ditunjukkan dalam gambar 7.2. Generator dihubungkan pada rel-rel tegangan tinggi 1 dan 3 melalui transformator dan mencatu suatu beban motor serempak pada rel 2. Untuk keperluan analisis, semua mesin pada setiap rel diperlakukan sebagai satu mesin saja dan dilukiskan sebagai satu emf



Gambar 7.4. Rangkaian dari Gambar 7.3 dengan sumber-sumber arus menggantikan sumber-sumber tegangan ekivalen. Nilai-nilai admitansi diperlihatkan dalam persatuan



dan reaktansi seri. Diagram reaktansi, dengan reaktansi-reaktansi yang diberikan dalam per satuan, ditunjukkan dalam gambar 7.3. simpul-simpul ditunjukkan dengan titik tetapi nomornomor hanya diberikan pada simpul-simpul besar. Jika rangkaian itu digambar kembali dengan emf-emf dan impedansi-impedansi seri yang menghubungkannya ke simpul-simpul besar digantikan dengan sumber arus ekivalen dan admitansi-admitansi shunt ekivalen,hasilnya adalah rangkaian pada gambar 7.4. Nilai admintasi diperlihatkan dalam persatuan menggantikan nilai-nilai impedansi. Notasi subskrip tunggal akan dipakai untuk menunjukkan tegangan masing-masing rel terhadap netral yang diambil sebagai simpul pedoman 0 (reference node). Dengan menerapkan hukum Kirchhoff pada simpul I, yaitu menyamakan arus dari sumber yang menuju simpul tersebut dengan arus yang meninggalkannya , di dapat



Persamaan –persamaan yang serupa dapat dibentuk untuk simpul-simpul 2 dan 3, dan keempat persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan serentak untuk tegangan-tegangan V1, V2, V3 dan V4. Semua arus cabang dapat ditentukan jika tegangan-tegangan ini diketahui, dan dengan demikian banyaknya persamaan simpul yang diperlukan adalah sama dengan banyaknya simpul dalam jala-jala itu dikurangi satu. Suatu persamaan simpul yang dibentuk untuk simpul pedoman tidak akan menghasilkan keterangan lebih lanjut. Dengan perkataan lain, banyaknya persamaan-persamaan simpul yang berdiri bebas adalah kurang satu dari banyaknya simpul. Pada simpul 1 suatu hasil kali adalah –V3Yf, yang memberikan arus yang mengalir meninggalkan simpul 1 jika semua tegangan-tegangan simpul adalah nol kecuali tegangan pada simpul 3 Bentuk standar untuk keempat persamaan-persamaan yang terdiri bebas itu dalam matriks adalah



Simetri persamaan-persamaan dalam bentuk ini membuatnya mudah untuk diingat, dan kemungkinan perluasannya untuk jumlah simpul yang berapapun banyaknya menjadi jelas pula bagi kita. Urutan dari subskrip-subskrip Y adalah sesuai dengan sebab akibat; yaitu, subskrip pertama adalah untuk simpul dimana arus itu dirumuskan, dan subskrip kedua adalah untuk tegangan yang menyebabkan komponen arus itu. Matriks Y ditunjukkan dengan Yrel (Ybus) dan dinamakan matriks admintasi rel. matriks ini simetris terhadap diagonal utamanya. Admintasi-admintasi Y11, Y22, Y33 dan Y44 dinamakan admintasi sendiri (selfadmittance) pada simpul-simpul itu, dan masing-masing sama dengan jumlah semua admintasi yang berujung pada simpul yang ditandai dengan subskrip-subskrip yang berulang. Admintasi-admintasiyang lain adalah admintasi bersama (mutual admittance) simpul-simpul itu, dan masing-masing sama dengan negative jumlah semua admitansi yang dihubungkan langsung antara simpul-simpul yang disebutkan menurut subskrip gandanya. Untuk jala-jala pada gambar 7.4 admitansi bersama Y13 adalah sama dengan –Yf. Beberapa penulis menamakan admitansi sendiri dan bersama suatu simpul sebagai admitansi titik penggerak (driving-point admittance) dan admitansi pemindah (transfer admittance) simpul tersebut. Rumus umum untuk arus sumber yang mengalir menuju simpul K suatu jala-jala yang mengandung N buah simpul bebas, yaitu N buah rel selain netral, adalah



Satu persamaan semacam itu harus dituliskan untuk masing-masing dari N buah rel di mana tegangan jala-jalanya tidak diketahui. Jika tegangan pada suatu simpul sudah ditetapkan, persamaan untuk simpul itu tidak ditulis. Misalnya, jika besar dan sudut fasa tegangan pada dua dari rel-rel tegangan tinggi dalam contoh telah ditetapkan, hanya di perlakukan dua persamaan. Persamaan-persamaan simpul hanya akan ditulsi untuk kedua rel yang lain dimana tegangan-tegangannya masih belum diketahui. Suatu emf dan impedansi seri yang telah diketahui diketahui tidak perlu digantikan dengan sumber arus ekivalennya jika ujung elemen emf itu dihubungkan ke simpul pedoman, karena dengan demikian simpul yang memisahkan emf dan impedansi serinya. Itu adalah simpul yang diketahui tegangannya. Contoh 7.1. Tulislah dalam bentuk matriks persamaan-persamaan simpul yang perlu untuk menyelesaikan tegangan pada rel-rel yang diberi nomor pada Gambar 7.4. Jala-jalanya adalahekivalen dengan yang dalam Gambar 7.3. Emf yang diperlihatkan dalam Gambar 7.3 adalah …………………………………………… JAWABAN : Sumber-sumber arus adalah



Admitansi-admitansi sendiri dalam per satuan adalah



Dan admitansi-admitansi bersama dalam per satuan adalah



Persamaan-persamaan simpul dala bentuk matriks adalah



Matriks bujur sangkar di atas kita kenal kembali sebagai matriks admitansi rel Yrel Contoh 7.2. Selesaikanlah persamaan-persamaan simpul dari contoh terdahulu untuk mendapatkan tegangan-tegangan rel dengan membalikkan (inverting) matriks admitansi rel. JAWABAN : Dengan lebih dulu mengalihkan kedua sisi persamaan matriks pada Contoh 7.1 dengan kebalikan (inverse) dari matriks admitansi rel (ditentukan dengan menggunakan program standart pada sebuah komputer digital), dihasilkan



Matriks bujur sangkar di atas yang didapat dengan membalikkan matriks admitansi rel



dinamakan matriks impedansi rel Zrel. Dengan melaksanakan perkalian matriks yang ditunjukkan, diperoleh



Dan karena itu tegangan-tegangan simpul adalah



7.3 PENYEKATAN MATRIKS Suatu metode manipulasi matriks yang banyak gunanya, yang disebut penyekatan (partitioning) ialah pengenalan kembali berbagai bagian suatu matriks sebagai submatrikssubmatriks yang diperlukan sebagai unsur-unsur tunggal dalam penerapan aturan-atruran yang biasa untuk perkalian dan penambahan. Misalnya, kita andaikan suatu matriks 3 x 3 A, di mana



Matriks ini disekat-sekat menjadi empat submatriks oleh garis terputus-putus mendatar dan tegak. Matriks itu dapat di tuliskan sebagai



Di mana submatriks-submatriksnya adalah



Untuk memperlihatkan langkah-langkah dalam perkalian matriks dalam suku-suku submatriks, kita andaikan bahwa A dipasca-kalikan (post-multiplied) dengan matriks lan B untuk membentuk hasil-hasil C di mana



Dengan penyekatan seperti yang ditunjukkan,



Di mana submatriks-submatriksnya adalah



Maka hasil kalinya adalah



Submatriks-submatriks itu diperlakukan sebagai unsur-unsur tunggal untuk memperoleh



Hasil-hasil ini akhirnya ditentukan dengan melakukan perkalian dan penjumlahan submatriks yang ditunjukkan itu. Jika C disusun dari submatriks M dan N sehingga



Perbandingan dengan persamaan (7.16) menunjukkan M = DH + EJ N = FH + GJ Jika kita hanya ingin mendapatkan submatriks N penyekatan itu menunjukkan bahwa



Matriks yang akan diperkalikan harus dapat digabungkan sejak awalnya. Setiap garis penyekat tegak antara kolom r dan r + 1 pada factor pertama memerlukan suatu garis penyekat mendatar antara baris r dan r + 1 pada factor yang kedua agar submatrikssubmatriks tersebut dapat diperkalikan. Garis-garis penyekat mendatar dapat ditarik antara setiap baris pada factor pertama, dan garis-garis penyekat tegak diantara setiap kolom pada yang kedua, atau dihilangkan pada salah satu atau keduanya. Sebuah contoh yang menerapkan penyekatan matriks akan diberikan pada akhir bagian yang berikut ini. 7.4 PENGHAPUSAN SIMPUL DENGAN ALJABAR MATRIKS Simpul-simpul dapat dihapuskan dengan manipulasi matriks pada peramaan-peramaan simpul standar. Tetapi, hanya simpul-simpul dimana arus tidak masuk atau meninggalkan jala-jala saja yang dapat dihapuskan. Persamaan-persamaan simpul standar dalam notasi matriks dinyatakan sebagai I = YrelV dimana I dan V adalah matriks-matriks kolomdari Yrel adalah matriks bujursangkar simetris. Matriks-matriks kolom harus diatur sedemikian sehingga unsur-unsur yang bersesuaian dengan simpul-simpul yang akan dihapuskan berada pada baris-barisbawah dari matriks tersebut. Unsur-unsur matriks admintasi bujursangkar juga ditempatkan sesuai dengan hal ini. Matriks-matriks kolom disekat sedemikian sehingga unsur –unsur yang berhubungan dengan simpul-simpul yang akan dihapuskan terpisah dari unsur-unsur yang lain. Matriks admintasi disekat sedemikian sehingga unsur-unsur yang ditandai hanya dengan simpul-simpul yang akan dihapuskan terpisah dari unsur-unsur lainya oleh garis-garis mendatar dan tegak. Bila disekat menurut peraturan-peraturan tersebut, diatas, persamaan (7.21) menjadi



dimana Ix adalah submatriks yang terdiri dari arus-arus yang memasuki simpul-simpul yang akan dihapuskan dan Vx adalah submatriks yang terdiri dari tegangan simpul-simpul tersebut. Tentu saja setiap unsur dalam Ix sama dengan nol, karena jika tidak simpul-simpul itu tidak dapat dihapuskan. Admintasi-admintasi sendiri dan bersama, yang membentuk K adalah yang ditandai hanya dengan simpul-simpul yang akan tetap ada. M terdiri dari admintasi-admintasi sendiri dan bersama yang ditandai hanya dengan simpul-simpul yang akan dihapuskan. M ini adalah sebuah matriks bujursangkar yang ordenya sama seperti banyaknya simpul-simpul yang akan dihapuskan. L transposenya LT hanya terdiri dari admintasi-admintasi bersama yang dimiliki oleh simpul yang akan tertinggal dan simpul yang akan dihapuskan. Dengan melakukan perkalian seperti yang ditunjukkan dalam persamaan di dapat IA



= KVA + LVX



Dan IA = L7VA + MVX Karena semua elemen IX adalah nol, dengan mengurangi L7VAdari kedua sisi persamaan (7.24) dan mengalikan kedua sisi tersebut dengan kebalikan dari M (dinyatakan dengan M-1), diperoleh



-M-1LTVA = Vx Dengan memasukkan rumus untuk Vx ini kedalam persamaan (7.23) didapat IA = KVA –LM-1L7VA Yang sebenarnya adalah persamaan simpul yang mempunyai matriks admintasi Yrel = K-LM-1LT Matriks admintasi ini memungkinkan kita untuk membuat rangkaian dimana simpul-simpul yang tidak dikehendaki dihapuskan, seperti yang akan kita lihat dalam contoh berikut : Contoh 7.3 Jika generator dan transformator pada rel 3 dihilangkan dari rangkaian gambar 7.3, hapuskanlah simpul-simpul 3 dan 4 dengan prosedur aljabar matriks yang baru saja diuraikan, berikanlah rangkaian ekivalen dengan simpul-simpul ini dihapuskan, maka carilah daya kompleks yang dipindahkan kedalam atau keluar jala-jala pada simpul-simpul 1 dan 2. Carilah juga tegangan pada simpul 1 Jawaban : Matriks admintasi rel dari rangkaian yang disekat-sekat untuk penghapusan simpul-simpul 3 dan 4 adalah



Kebalikan submatriks pada posisi kanan bawah adalah



Kemudian



Penelitian matriks ini menunjukkan bahwa admintasi antara kedua rel 1 dan 2 yang masih tertinggal adalah - /4,0736, dan kebalikannya adalah impedansi persatuan antara sel-sel tersebut. Admitansi antara masing-masing rel ini dan rel pedoman adalah



-



j4.8736 – ( - j4.0736) = - j0.800 per satuan



Rangkaian yang dihasilkan terlihat pada gambar 7.5a. Jika sumber-sumber arus dirubah menjadi sumber-sumber emf ekivalennya, rangkaian dengan impedansi-impedansi dalam persatuan adalah seperti terlihat pada gambar 7.5b. Maka arusnya adalah



Perhatikanlah bahwa voltampere reaktif dalam rangkaian sama dengan (0.3455)2 x 2.7455 = 0.328 = 1.164 + 0.164 Tegangan pada simpul 1 adalah 1.50 –j1.25(0.3278 – j0.1093) = 1.363 – j0.410 per satuan Pada rangkaian yang sederhana dalam contoh ini, penghapusan simpul dapat juga dicapai dengan transformasi Y-∆ dan dengan bekerja dengan gabungan impedansi seri dan paralel. Metoda penyekatan matriks adala suatu metoda umum yang lebih sesuai untuk penyelesaian dengan komputer. Tetapi untuk penghapusan suatu jumlah simpul yang besar, matriks M yang kebalikannya harus dicari juga akan besar. Pembalikan suatu matriks dapat dihindarkan denga menghapuskan setiap kali satu simpul saja, dan prosesnya menjadi sangat sederhana. Simpul yang akan dihapuskan harslah yang bernomor paling tinggi, dan penomoran kembali mungkin diperlukan. Matriks M menjadi berunsur tunggal dan M-1 adalah kebalikan dari unsur tersebut. Matriks admitansi asli yang disekat-sekat menjadi matriks K, L, LT, dan M adalah



dan menurut persamaan (7.27) matriks (n-1) x (n-1) yag direduksikan adalah



dan setelah manipulasi matriks yang ditunjukkan ini selesai, unsur pada baris k dan kolom/dari matriks (n-1) x (n-1) yang dihasilkan akan menjadi Ykj(baru) = Ykj(asli) Setiap unsur pada matriks asli K harus dirubah. Jika kita bandingkan persamaan (7.28) dan persamaan (7.30) akan kita lihat cara untuk meneruskannya. Kita harus mengalikan unsur pada klom terakhir dan baris yang sama seperti unsur yang sedang dirubah, dengan unsur pada baris terakhir dan kolom yang sama sepertti unsur yang sedang dirubah. Hasil kali ini kemudian kita bagi dengan Ynm dan hasilnya dikurangkan dari unsur yang sedang dirubah. Contoh yang berikut akan melukiskan prosedur yang sederhana ini. Contoh 7.4 Lakukanlah penghapusan simpul dari contoh 7.3 dengan mula-mula menghapuskan simpul 4 dan kemudian dengan menghapuskan simpul 3. Jawaban : Seperti pada contoh 7.3 matriks asli yang sekarang disekat-sekat untuk penghapusan sebuah simpul adalah



Untuk merubah unsur j2,5 pada baris 3 kolom 2, kurungkanlah dari unsur tersebut hasil kali unsur-unsur yang berada dalam segi empat yang dibagi dengan unsur disudut kanan bawah. Kita dapatkan unsur yang dirubah tersebut



Demikian pula unsur baru pada baris I, kolom I adalah



Unsur unsur lain ditemukan dengan cara yang sama untuk menghasilkan



Dengan mereduksikan matriks diatas untuk menghapuskan simpul 3, dihasilkan



yang ternyata identik dengan matriks yang didapatkan dengan metoda penyekatan matriks dimana dua buah simpul dihapuskan sekaligus. 7.5 ADMITANSI REL DAN MATRIKS IMPEDANSI Pada contoh 7.2 kita telah membalikan matriks impedansi rel Yrel dan menamakan matriks yang dihasilkan matriks impedansi rel Zrel. Menurut definisi



Dan untuk satu jala-jala dengan tiga buah simpul yang berdiri bebas



Karena Yrel simetris terhadap diagonal utamanya, Zrel juga harus simetris dengan cara yang sama. Unsur-unsur impedansi Yrelpada diagonal utama dinamakan impedansi titik penggerak (driving-point impedance) dari simpul-simpul, dan unsur-unsur diluar diagonal tersebut dinamakan impedansi pemindah (transfer impedance) dari simpul-simpul itu. Matriks admintansi rel tidak perlu ditentukan untuk dapat memperoleh Yreldan dibagian lain dari bab ini akan kita lihat bagaimana Yreldapat dirumuskan dengan langsung. Matriks impedansi rel adalah penting dan berguna sekali dalam membuat perhitungan gangguan seperti yang akan kita pelajari nanti. Untuk dapat memahami pentingnya bermacam-macam impedansi pada matriks tersebut secara fisik, kita akan membandingkannya dengan admitansi-admitansi simpul. Hal ini dapat kita lakukan dengan mudah dengan melihat persamaan-persamaan pada suatu simpul tertentu. Misalnya, mulai dengan persamaan-persamaan simpul yang dinyatakan sebagai



Pada simpul 2 dari tiga simpul-simpul yang berdiri bebas, kita mempunyai



Jika V1 dan V3 dibuat sama dengan nol dengan menghubungkan singkat simpul-simpul 1 dan 2 ke simpul pedoman dan arus I2 diinjeksikan pada simpul 2, admitansi sendiri pada simpul 2 adalah



Jadi admitansi sendiri suatu simpul tertentu dapat diukur dengan menghubungkan semua simpul yang lain pada simpul pedoman dan kemudian menemukan perbandingan dari arus yang disuntikkan pada simpul tersebut dan tegangan yang ditimbulkan pada simpul itu juga. Gambar 7.6 melukiskan metoda ini untuk suatu jala-jala reaktif dengan tiga simpul. Jelaslah bahwa hasilnya adalah ekivalen dengan penambahan semua admitansi yang terhubung langsung pada simpul, seperti prosedur yang kita ikuti hingga saat ini. Gambar 7.6 juga dapat melukiskan admitansi bersama. Pada simpul 1 dengan menguraiakn persamaan (7.33) didapatkan persamaan



Dan dari sini terlihat bahwa



Jadi admitansi bersama diukur dengan menghubungkan singkat semua simpul kecuali simpul 2 pada simpul pedoman dan menyuntikkan suatu arus I2 pada simpul 2 seperti ditunjukkan dalam gambar 7.6. Dengan demikian Y12 adalah perbandingan dari negatifnya arus yang meninggalkan jala-jala dalam hubungan singkat pada simpul 1 dan tegangan V 2. Negatifnya arus yang meninggalkan simpul 1 telah kita pergunakan karena I 1 didefinisikan sebagai arus yang memasuki ja-jala. Admitansi yang dihasilkan adalah negative dari admitansi yang terhubung langsung antara simpul-simpul 1 dan 2, seperti yang dapat kita harapkan. Persamaan (7.33) kita selesaikan dengan memprakalikan kedua sisi-sisinya dengan untuk memperoleh



V= Dan kita harus ingat jika bekerja dengan Zrel bahwa V dan I adalah berturut-turut matriks kolom dari tegangan-tegangan simpul dan arus-arus yang memasuki simpul-simpul dari sumber arus. Dengan menguraikan persamaan (7.38) untuk suatu jala-jala dengan tiga simpul bebas, kita dapatkan



Dari persamaan (7.40) kita lihat bahwa impedansi titik penggerak Z22 ditentukan dengan membuka hubungan sumber-sumber arus pada simpul-simpul 1 dan 3 dan menyuntikkan arus I2 pada simpul 2 kemudian



Gambar 7.7 menunjukkan rangkaian yang telah diuraikan. Karena Z22 didefinisikan dengan membuka sumber-sumber arus yang terhubung pada simpul-simpul yang lain sedangkan Y 22 didapatkan dengan menghubung singkatkan simpul-simpul yang lain itu, kita tidak dapat mengharapkan adanya suatu hubungan terbalik (reciprocal) antara kedua kuantitas ini. Gambar 7.7 juga memungkinkan kita uuntuk mengukur beberapa impedansi pemindah, karena kita lihat dari persamaan (7.39) bahwa dengan sumber-sumber arus I1 dan I3 dibuka



Jika kita dapat mengukur impedansi-impedansi pemindah Z12 dan Z32 dengan menyuntikan arus apada simpul 2 dan mendapatkan perbandingan dari Z1 dan V3 terhadap I2 dengan sumber-sumber terbuka pada semua simpul dihubung singkat keuali satu, dan bahwa suatu impedansi pemindah diukur dengan semua sumber terbuka kecuali satu.



Persamaan (7.39) menunjukkan pada kita bahwa jika kita suntikkan arus ke simpul I dengan sumber-sumber arus 2 dan 3 terbuka, satu-satunya impedansi yang dialiri arus I 1 adalah Z11. Dalam keadaan yang sama persamaan (7.40) dan (7.41) menunjukkan bahwa I1 menyebabkan tegangan-tegangan rel 2 dan 3 yang dinyatakan dengan V2 = I1 Z21 dan V3 = I1 Z31 Kita tidak dapat menyususn suatu rangkaian pasif yang secra fisik dapat dibuat dengan impedansi-impedansi gandengan ini, tetapi penting bagi kita untuk menyadari makna kesimpulan dari pembahasan yang baru saja kita selesaikan, karena Z rel kadang-kadang dipakai pada studi-studi aliran beban dan sangat berguna dalam perhitungan gangguan, seperti yang akan kita lihat kemudian. Contoh 7.5 Sebuah kapasitor yang mempunyai reaktansi 5.0 per satuan dihubungkan pada simpul 4 dalam rangkaian dari contoh-contoh 7.1 dan 7.2 Emf-emf Ea , Eb dan Ec tetap sama seperti dalam contoh-contoh tersebut. Hitunglah arus yang ditarik oleh kapasitor. JAWABAN : Ekivalen Thevenin rangkaian di belakang simpul 4 mempunyai emf sebesar



Yang merupakan tegangan pada simpul 4 sebelum kapasitor dihubungkan dan sama dengan tegangan V4 yang didapat dalam contoh 7.2 Untuk mendapatkan impedansi Thevenin emf dihubung singkat atau sumber –sumber arus dibuka, dan impedansi antara simpul 4 dan simpul pedoman harus ditentukan. Dari V = Zrel I kita daatkan pada simpul 4. V4= Z41 I1 + Z42I2 + Z44I4 Dan emf-emf terhubung singkat (atau dengan emf-emf dan impedansi serinya digantikan oleh sumber-sumber ekivalen dan admitansi-admitansi shunt dengan sumber arus terbuka), tidak ada arus yang memasuki rangkaian dari sumber-sumber pada simpul 1, 2, dan 3. Perbandingan antara suatu tegangan yang dikenakan pada simpul 4 terhadap arus yang mengalir karenanya ke dalam jala-jala adalah Z44, dan impedansi ini telah kita ketahui karena Zrel telah dihitung dalam contoh 7.2. dengan menunjuk pada contoh tersebut kita dapatkan Zth = Z44 = j0.4733 Arus yang ditarik oleh kapasitor adalah



per satuan



Contoh 7.6.



Jika suatu arus sebesar -0.316 / 78.03 0 per satuan disuntikkan kedalam jala-jala pada simpul 4 dari contoh 7.1, 7.2 dan 7.5, hitunglah tegangan- tegangan yang dihasilkan pada simpulsimpul 1, 2, 3, dan 4. Jawaban : Dengan emf aslinya terhubung singkat, tegangan pada simpul-simpul yang hanya disebabkan oleh arus yang disuntikkan dapat dihitung dengan menggunakan matriks impedansi rel yang telah didapat dari persamaan 7.2 impedansi-impedansi yang diminta berada pada kolom 4 dari Zrel. Dari V = ZrelI, tegangan-tegangan dengan semua emf terhubung singkat adalah :



Dengan superposisi, tegangan-tegangan yang dihasilkan ditentukan dengan menambahkan tegangan-tegangan yang disebabkan oleh arus yang disuntikkan dengan emf-emf tehubung singat dan tegangan-tegangan simpul yang telah didapatkan dalam contoh 7.2. Tegangantegangan simpul yang baru adalah



7.6 PERUBAHAN SUATU MATRIKS IMPEDANSI RELYANG SUDAH ADA Karena Zrel merupakan alat yang sangat penting dalam analisis system-tenaga, sekarang akan kita selidiki bagaimana suatu Zrelyang sudah ada dapat dirubah untuk menambah rel-rel baru atau menghubungkan saluran-saluran kepada rel-rel yang telah terpasang. Sudah tentu kita dapat saja membuat Zrelbaru dan membalikkannya, tetapi metoda-metoda langsung untuk mengubah Zrelada juga tersedia dan ini jauh lebih sederhana daripada suatu pembalikan matriks, bahkan juga untuk suatu jumlah rel yang kecil saja. Lagi pula jika kita tahu bagaimana merubah Zrelkita akan tahu pula bagaimana membangunnya dengan langsung. Kita mengenal kembali beberapa jenis perubahan-perubahan yang menyangkut penambahan suatu cabang yang mempunyai impedansi Zb pada suatu jala-jala yang Z relaslinya diketahui dan dikenal sebagai Zasli, suatu matriks n x n. Didalam analisis kita rel –rel yang sudah ada akan dapat dikenal dari angka-angka atau hurufhuruf h, i, j dan k. Huruf p akan menandai suatu rel baru yang akan ditambahkan pada jalajala dan merubah Zasli menjadi suatu matriks (n + 1) x (n + 1). Empat buah kasusu akan kita bahas bersama. KASUS 1 : menambahkan Zb dari suatu rel baru p pada rel pedoman. Penambahan rel baru p yang dihubungkan pada rel pedoman melalui Zb tanpa adanya suatu hubungan ke rel yang



manapun dari jala-jala aslinya tidak akan merubah tegangan-tegangan rel asli jika suatu arus Ip disuntikkan pada rel yang baru. Tegangan Vp pada rel baru sama dengan IpZb jadi



Kita perhatikan bahwa matriks kolom arus-arus dikalikan dengan Z rel baru tidak akan merubah tegangan dari jala-jala asli dan akan menghasilkan tegangan yang benar pada rel baru p. KASUS 2 : menambahakan Zb dari suatu rel baru p pada suatu rel k yang sudah ada. Penambahan sebuah rel baru p yang dihubungkan melalui Z b pada suatu rel k yang sudah ada dengan Ip disuntikkan pada rel p akan menyebabkan arus yang memasuki jala-jala asli pada rel k menjadi jumlah dari Ik yang disuntikkan pada rel k ditambaha arus Ip yang mengalir melalui Zb seperti ditunjukkan pada gambar 7.8. Arus Ip yang mengalir kedalam rel k akan meningkatkan Vk asli dengan tegangan sebesar IpZkk; jadi Vk (baru) = Vk (asli) + IpZkk Dan Vp akan menjadi lebih besar dari Vk yang baru dengan selisih tegangan sebesar IpZb. jadi



Gambar : 7.8. Penambahan rel baru p yang dihubungkan melalui impedansi Zb pada rel k yang sudah ada. Sekarang kita lihat bahwa baris baru yang ditambahkan pada Zasli agar dapat memperoleh Vp adalah Zk1 Zk2 … Zkn (Zkk + Zb) Karena Zrel harus beruba sebuah matriks bujur sangkar di sekeliling diagonal utamanya, kita harus menambahakan sebuah kolom baru yang merupakan transpose dari baris yang baru. Kolom baru memberikan kenaikan dari semua tegangan-tegangan rel yang disebabkan oleh Ip. persamaan matriksnya adalah



Perhatikan bahwa unsur-unsur n yang pertama dari baris yang baru adalah unsur-unsur baris k dari Zasli dan bahwa unsur-unsur n yang pertama dari kolom yang baru adalah unsur-unsur kolom k dari Zasli. KASUS 3 : Menambahkan Zb dari suatu rel yang sudah ada ke rel pedoman. Untuk melihat bagaimana merubah Zasli dengan menghubungkan suatu impedansi Zb dari sebuah rel k yang sudah ada pada rel pedoman, kita kaan tambahkan sebuah rel baru p yang dihubungkan melalui Zb ke rel k. kemudian rel p kita hubung-singkat ke rel pedoman dengan membuat V p sama dengan nol untuk menghasilkan persamaan matriks yang sama seperti persamaan (7.48) kecuali bahwa Vp adalah nol. Jadi untuk perubahannya, kita mulai dengan membuat sebuah baris baru dan kolom baru seperti pada kasus 2, tetapi kemudian kita hilangkan baris yang ke (n + 1) dan kolom yang ke (n + 1) hal ini mungkin karena adanya nol dalam matriks kolom tegangan-tegangan. Kita gunakan metode yang telah dikembangkan dalam persamaan (7.28) hingga (7.30) untuk mendapatkan masing-masing unsur Zhi dalam matriks baru dimana Zhi(baru) = Zhi(asli) KASUS 4 : Menambahkan Zb diantara dua buah rel j dan k yang sudah ada. Untuk menambah sebuah impedansi cabang Zb diantara rel-rel j dan k yang sudah terpasang. Kita selidiki gambar 7.9 yang memperlihatkan rel-rel ini dikeluarkan dari jala-jala aslinya. Arus Ib diperlihatkan mengalir melalui Zb dari rel k ke rel j. sekarang kita tuliskan beberapa persamaan untuk tegangan-tegangan simpul.



Dan dengan memasukkan rumus-rumus untuk Vj dan Vk yang diberikan oleh persamaan (7.52) dan (7.53) kedalam persamaan (7.55) kita peroleh



Dengan mengumpulkan koefisien-koefisien Ib dan menamakan jumlahnya Zbb kita dapatkan Zbb + Zb + Zjj + Zkk – 2Zjk denganmelihat persamaan (7.51) hingga (7.53) dan (7.56) dapat kita tuliskan persamaan matriks sebagai berikut



Kolom yang baru adalah kolom j dikurangi kolom k dari Z asli dengan Zbb pada baris yang ke (n + 1). Baris yang baru adalah transpose dari kolom yang baru. Dengan menghilangkan baris (n + 1) dan kolom (n + 1) dari matriks bujur sangkar dari persamaan (7.58) dengan cara yang sama seperti yang terdahulu, kita lihat bahwa masingmasing unsur Zhi dalam matriks baru adalah



Kita tidak perlu membahas kasus dimana dimasukkan dua buah rel baru yang di hubungkan oleh Zb , karena kita selalu dapat menghubungkan salah satu dari rel-rel baru ini melalui suatu impedansi pada suatu rel yang sudah ada atau pada rel pedoman sebelum menambahkan rel baru yang kedua.



Contoh 7.7 Rubahlah matriks impedansi rel pada contoh 7.2 untuk memperhitungkan dihubungkannya sebuah kapasitor yang mempunyai reaktansi 5.0 persatuan diantara rel 4 dan rel pedoman dari rangkaian dalam gambar 7.4 kemudian carilah V4 dengan menggunakan impedansiimpedansi dari matriks yang baru dan sumber-sumber arus dalam contoh 7.2. bandingkanlah nilai V4 ini dengan yang didapatkan dalam contoh 7.6. JAWABAN : kita gunakan persamaan (7.48) dan kita kenal kembali bahwa Z asli adalah matriks4 x 4 dari contoh 7.2, bahwa subskrip k = 4, dan bahwa Zb= - j5.0 per satuan dan kita dapatkan



Suku-suku pada baris dan kolom kelima diperoleh dengan mengulangi baris dan kolom keempat dari Zasli dan memperhatikan bahwa



Kemudian dengan menghilangkan baris dan kolom kelima kita dapatkan untuk Z rel(baru) dari persamaan (7.49)



Dan unsur-unsur lainnya dengan cara yang sama untuk memberikan



Matriks kolom arus-arus yang dengannya Zrel baru dikalikan untuk mendapatkan tegangan rel baru adalah sama seperti dalam contoh 7.2. jadi V4



= j0.4575 (-j1.20) + j.0.4557(-0.72-j0.96) + j0.4674(-j1.20) = 1.5474 – j0.3281 = 1.582 /-11.970 persatuan



Seperti yang telah didapatkan dalam contoh 7.6



7.7 PENENTUAN MATRIKS IMPEDANSI REL SECARA LANGSUNG Kita telah melihat bagaimana menetukan Zrel dengan mula-mula mendapatkan Yrel dan kemudian membalikannya . tetapi perumusan Zrel secara langsung adalah suatu proses yang sigkat pada komputer dan lebih sederhana dari pada membalikkan Yrel untuk suatu jala-jala yang besar. Sebagai permulaan kita mempunyai daftar kita mempunyai daftar impedansi-impedansi yang menunjukkan juga pada rel yang mana impedansi-impedansi tersebut dihubungkan. Kita mulai dengan menuliskan persamaan untuk suatu rel yang terhubung pada rel pedoman melalui suatu impedansi Za sebagai V1 = I1ZA danini dapat dianggap sebagai suatu persamaan matriks dimana masing-masing dari ketiga matriks mempunyai satu baris dan satu kolom. Sekarang kita boleh menambahkan sebuah rel baru yang dihubungkan pada rel pertama atau pada rel pedoman. Misalnya, jika rel kedua dihubungkan pada rel pedoman melalui Zb kita mempunyai persamaan matriks



Dan selanjutnya kita teruskan merubah matriks kita dengan menambahkan rel-rel yang lain menurut prosedur yang telah diuraikan dengan bagian 7.6. Biasanya rel-rel suatu jala-jala harus diberi nomor kembali yang sesuai dengan urutan penambahannya pada Zrel pada waktu susunannya dibuat. Contoh 7.8. Tentukanlah Zrel untuk jala-jala yang diperlihatkan dalam gambar 7.10 dimana impedansiimpedansi diberikan dalam per satuan. Pertahankanlah ketiga simpulnya. Jawaban : Kita mulai dengan menetapkan rel 1 dengan impedansinya yang menuju ke rel pedoman dan menuliskan



Jadi kita mempunyai matriks impedansi rel 1 X 1



Untuk menentukan rel 2 dengan impedansinya ke rel 1 kita ikuti persamaan (7.48) untuk menuliskan



Suku j1.4 diatas adalah jumlah dari j1.2 dan j0.2. Unsur-unsur j1.2 pada baris dan kolom baru adalah ulangan dari unsur-unsur baris 1 dan kolom pada matriks yang sedang diubah. Rel 3 dengan impedansi yang menghubungkannya pada rel 1 ditetapkan dengan menuliskan



Karena simpul 1 adalah ke mana jumlah dari Z11 matriks yang dihubungkan pada rel 1 dari rel ulangan dari baris 1 dan kolom terhubung pada rel 1.



simpul 3 yang baru dihubungkan, suku j1.5 diatas adalah sedang diubah dan impedansi Zb dari cabang yang 3. Unsur –unsur lain dari baris dan kolom baru adalah 1 dari matriks yang sedang diubah, karena simpul baru



Jika sekarang kita putuskan untuk menambahkan impedansi Zb = j1.5 antara rel 3 dan rel pedoman, kita ikuti persamaan (7.48) untuk menghubungkan sebuah rel baru 4 melalui Zb dan kita dapatkan matriks impedansi



dimana j3.0 diatas adalah jumlah dari Z33 + Zb. Unsur-unsur yang lain dalam baris dan kolom baru adalah ulangan dari baris 3 dan kolom 3 matriks yang sedang diubah karena rel 3 adalah rel yang kita hubungkan pada rel pedoman melalui Zb. Sekarang kita hilangkan baris 4 dan kolom 4. Beberapa unsure-unsur dari matriks baru pada persamaan (7.49) adalah



Jika semua unsur-unsur telah ditetapkan kita mempunyai



Ahirnya kita tambahkan impedansi Zb = 0.15 antara rel 2 dan 3. Jika kita buat j dan k dalam persamaan (7.58) berturut-turut sama dengan 2 dan 3, kita dapatkan unsur-unsur untuk baris 4 dan kolom 4.



dan ini adalah matriks impedansi rel yang harus ditentukan. Prosedur ini adalah sederhana saja bagi sebuah komputer yang mula-mula harus menentukan jenis-jenis perubahan yang terbwa serta oleh setiap penambahan impedansi. Tetapi pengerjaannya harus mengikuti suatu urutan sedemikian sehingga kita cegah perhubungan suatu impedansi antara dua buah rel baru. Bagi yang berminat dapat pula dilakukan pemeriksaan terhadap nilai-nilai impedansi Zrel dengan perhitungan jala-jala dari bagian 7.5 Contoh 7.9. Carilah Z11 dari rangkaian pada contoh 7.8 dengan menentukan impedansi yang diukur antara simpul 1 dan rel pedoman jika arus-arus yang disuntikkan pada simpul 2 dan 3 adalah nol.



Jawaban : Persamaan yang berhubungan degan persamaan (7.42) adalah



Kita mengenal kembali dua jalur sejajar antara simpul-simpul 1 dan 3 dalam rangkaian pada Gambar 7.10 dengan impedansi yang dihasilkan adalah



Impedansi yang terhubung seri dengan j1.5 ini adalah sejajar dengan j1.2 dan menghasilkan



yang identik dengan nilai yang didapat dalam contoh 7.8 meskipun metoda reduksi jala-jala dari contoh 7.9 kelihatannya lebih sederhana dibandingkan dengan metoda-metoda lain untuk membentuk Zrel, sebenarnya hal ini tidaklah demikian karena diperlukan reduksi jala-jala yang berbeda-bedauntuk menentukan nilai masing-masing unsur matriks. Pada contoh 7.9 misalnya, reduksi jala-jala untuk mendapatkan Z22 adalah lebih sukar daripada yang untuk mendapatkan Z11. Komputer digital dapat melakukan suatu reduksi jala-jala dengan penghapusan simpul, tetapi komputer itu harus mengulangi proses yang sama untuk setiap simpul. 7.8 RINGKASAN Kesetaraan sumber dan persamaan-persamaan simpul telah dibicarakan dengan singkat dalam bab ini untuk memberikan latar belakang yang penting untuk memahami matriks admitansi rel yang merupakan dasar dari kebanyakan studi-studi aliran beban. Penyekatan matriks telah pula dibahas karena kegunaannya dalam metoda-metoda penghapusan simpul. Matriks impedansi rel lebih disukai oleh sementara insinyur untuk studi-studi aliran beban, tetapi kegunaannya yang terbesar adalah dalam perhitungan-perhitungan gangguan yang akan kita bicarakan kemudian. Pengubahan Zrel telah dibicarakan untuk memperlihatkan kesederhanaan perhitungan untuk penambahan atau pengurangan suatu aliran transmisi tanpa harus membalikkanYrel kali suatu perubahan dilakukan. Perumusan Zrel secara langsung adalah suatu proses yang dapat diprogram dengan cara yang ringkas dan langsung.