882 - Modul Statistika (RORO) [PDF]

Citation preview

1



BAB 1 PENGENALAN STATISTIK



MATERI: Pada bab ini akan dibahas materi tentang: - Sejarah dan Ruang Lingkup Statistika - Pengertian dan Definisi Statistika - Data dan Macam Data - Populasi dan Sampel - Manfaat Statistika Dalam Bisnis TUJUAN: Setelah selesai mempelajari bab ini Anda diharapkan mampu: - Memahami alasan mempelajari statistika - Menjelaskan dan memberikan gambaran tentang pengertian dasar statistika - Menjelaskan dan mencontohkan pengertian data dan macam data - Memahami pengertian populasi dan sampel - Memanfaatkan statistika dalam bisnis



2



A.



Sejarah dan Ruang Lingkup Statistika Pada awalnya statistik digunakan sebagai keterangan yang dibutuhkan dan berguna bagi negara. Misalnya : untuk mencatat sejarah untuk penarikan pajak; mobilisasi rakyat untuk angkatan perang; untuk pelaksanaan sensus, dll. Pada Zaman Romawi, Kaisar Julius Caesar mengeluarkan diskrit, yang berbunyi bahwa tiap akhir bulan Desember, setiap orang harus kembali ke kota masing-masing dan melakukan pencatatan meliputi : nama, usia, jenis kelamin, pekerjaan, dan jumlah keluarga. Contoh lain dalam sejarah ialah pada waktu William memerintahkan mengadakan pencacahan jiwa dan kekayaan diseluruh wilayah Inggris untuk pengumpulan pajak dan tugas militer. Perkembangan selanjutnya, metode statistika digunakan untuk mencatat kepemilikan tanah, perkembangan penduduk (kelahiran, kematian, migrasi), perkawinan, penaksiran kematian yang disebabkan oleh suatu penyakit dan lain sebagainya. Perkembangan statistika hingga saat ini begitu pesat dan dapat diterapkan hampir dalam semua aspek kehidupan. Namun demikian dalam buku ini hanya akan dibahas mengenai statistika yang diaplikasikan dalam persoalan ekonomi dan bisnis. Misalnya bidang akuntansi (accounting), bidang ekonomi (economics), bidang keuangan (finance), bidang manajemen (management), bidang pemasaran (marketing).



B.



Pengertian dan Definisi Statistika Kata statistika berasal dari bahasa Italia, yaitu statista yang berarti negarawan. Istilah ini pertama kali digunakan oleh Gottfried Achenwall (1719-1772). Kemudian Zimmeman memperkenalkan istilah statistika di Inggris. Penggunaan statistika ini dipopulerkan oleh John Sinclair dalam pekerjaannya di Statistical Account Of Scotland (1791-1799). Jadi jauh sebelum abad 18, manusia sudah melakukan pencatatan dan penggunaan data. Mason dan Lind mendifinisikan statistika sebagai berikut: Statistika adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang cara mengumpulkan data, mengorganisasi, menganalisis dan menginterpretasi data numerik (angka) yang bertujuan membantu membuat keputusan agar lebih efektif. Definisi tersebut biasa disebut sebagai definisi statistik secara luas (statistika).



3



Sedangkan definisi statistik secara sempit (selanjutnya disebut statistik) berarti data yang merupakan hasil dari pengamatan atau penelitian. Definisi tersebut memberikan gambaran bahwa statistika merupakan ilmu yang sangat erat hubungannya dengan data. Ini berarti persoalan bisnis dan ekonomi yang akan diselesaikan menggunakan statistika memerlukan data tentang persoalan bisnis dan ekonomi tersebut. C.



Data dan Macam Data 1. Arti dan Kegunaan Data Menurut Webster’S New World Dictionary, data berarti sesuatu yang diketahui atau dianggap; gambaran keadaan atau persoalan dikaitkan dengan tempat dan waktu. Kegunaan data: sebagai dasar suatu perencanaan; - sebagai alat pengendalian; - sebagai dasar evaluasi. 2. Syarat Data yang Baik Sebuah data yang baik, harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: Data harus obyektif Data harus bisa mewakili (Representative) Kesalahan baku (Standard error) harus kecil Harus tepat waktu (up to date), dan harus relevan 3. Pembagian Data 3.1. Menurut Sifatnya - Data Kualitatif, yaitu data yang tidak berbentuk angka. Misalnya : jenis kelamin, status perkawinan, pendidikan dll. - Data Kuantitatif, yaitu data dalam bentuk angka. Misalnya : jumlah propinsi di Indonesia tahun 2013 sebanyak 33 0 propinsi, suhu di ruangan mencapai 39 C. 3.2. Menurut Sumbernya. - Data Internal, yaitu data yang menggambarkan keadaan/kegiatan di dalam organisasi. Misalnya: data keuangan, data personalia, data kekayaan, dll. - Data Eksternal, yaitu data yang menggambarkan keadaan/kegiatan di luar suatu organisasi. Misalnya : data tingkat daya beli, perkembangan harga, krisis moneter, dll.



4



3.3.



3.4.



3.5.



Menurut Cara Memperolehnya - Data Primer, yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu organisasi atau perseorangan langsung dari obyeknya. Misalnya : suatu perusahaan susu melakukan interview kepada rumah tangga untuk mengetahui rata-rata konsumsi susu per bulan per rumah tangga. - Data Sekunder, yaitu data yang diperoleh dalam bentuk yang sudah jadi, sudah dikumpulkan dan diolah oleh pihak lain, biasanya sudah dalam bentuk publikasi. Misalnya : data dari BPS. Menurut Waktu Pengumpulannya - Data Cross Section, yaitu data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu (at a point of time) yang bisa menggambarkan keadaan/kegiatan pada waktu tersebut. Misal : Sensus penduduk 2008 menggambarkan jumlah penduduk tahun 2008. - Data Berkala (Time Series), yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk memberikan informasi tentang perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu. Misal: - Perkembangan harga suatu barang 5 tahun terakhir; - Hasil penjualan 4 minggu terakhir, dll. Pengolahan Data Pengumpulan data ialah kegiatan mencatat peristiwa atau mencatat karakteristik suatu elemen. Hasil dari kegiatan pengumpulan data dinamakan data mentah. Pengolahan data adalah suatu proses untuk memperoleh data/angka ringkasan (Summary Figures), berdasarkan suatu kelompok data mentah dengan menggunakan rumus tertentu. Misal: jumlah (total), rata-rata (average), dll. Sedangkan data statistik yaitu angka-angka yang disusun menurut beberapa kategori. Misal : Jumlah mahasiswa STIEI menurut asal SMU, mahasiswa STIEI menurut jenis kelamin, dll. Grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan angka, berdasarkan tabel yang sudah dibuat.



5



D.



Populasi dan Sampel Populasi ialah kumpulan seluruh objek yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan satu sama lain. Lambang populasi adalah N Misal: Populasi : seluruh mahasiswa STIEI Kayutangi tahun 2013. Elemen : orang, yaitu mahasiswa STIEI Kayutangi (walaupun sama, tapi berbeda, TB, BB, sifat, ciri fisik, dll). Sampel ialah sebagian dari populasi, biasanya dilambangkan dengan n. Misal : Populasi (N) : seluruh mahsiswa STIEI kayutangi Sampel (n) : sebagian mahasiswa sebanyak 100 orang (n Tepi kelas > 64,5 > 67,5 > 70,5 > 73,5 > 76,5 > 79,5 > 82,5



fk > 40 37 31 19 6 2 0



18



SOAL LATIHAN: 1. Apa yang dimaksud dengan distribusi frekuensi, jelaskan. 2. Sebutkan dan contohkan jenis-jenis distribusi frekuensi! 3. Berikut ini adalah data gaji harian dari 50 orang karyawan pada suatu perusahaan sasirangan di Banjarmasin tahun 2012 (dalam ribuan rupiah) 60 33 85 52 65 77 84 65 57 74 71 81 35 50 35 64 74 47 68 54 80 41 61 91 55 73 59 53 45 77 41 78 55 48 69 85 67 39 76 60 94 66 98 66 73 42 65 94 89 88 Berdasarkan data diatas, buatlah tabel distribusi frekuensi menggunakan aturan Sturges.



19



4. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data berikut ini dengan ketentuan: - Banyaknya kelas = 6 - Nilai terendah kelas pertama = 6 - Interval kelas = 10 50 6 34 8 23 20 35 40 29 44 38 30 42 42 43 37 30 40 27 48 32 53 36 58 51 35 17 15 62 42 5. Berdasarkan hasil presensi karyawan, personalia PT Mandiri mencatat karyawan yang tidak hadir sebagai berikut: Jumlah absen (hari) 1–3 4–6 7–9 10 – 12 13 – 15 16 - 18



Jumlah karyawan 9 6 13 9 2 1



Buatlah histogram dan poligon ketidakhadiran karyawan tersebut! 6. Tabel berikut menunjukkan skor yang diperoleh 32 orang dosen STIEI Kayutangi Banjarmasin dalam proses pembelajaran. Skor 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99



Jumlah dosen 3 5 10 8 3 3



Berdasarkan tabel diatas, a. Hitung nilai tengah/titik tengah masing-masing kelas



20



b. Buat grafik histogram dan poligon nya c. Tentukan frekuensi relatif dan frekuensi kumulatif, kemudian gambarkan kurva ogivenya. 7. Data di bawah ini adalah data nilai ujian statistika 30 mahasiswa kelas A jurusan Akuntansi STIEI Banjarmasin tahun 2012. 67 67 65



76 43 73



58 58 58



80 61 4



59 40 48



51 58 49



63 46 50



69 57 64



70 72 53



75 71 64



Berdasarkan data di atas, a. Buatlah tabel distribusi frekuensi dengan batas bawah kelas adalah 40 dan interval kelas 7. b. Gambarkan histogram dan poligonnya c. Berapa jumlah mahasiswa yang memperoleh nilai kurang dari 54 d. Berapa persen jumlah mahasiswa yang memperoleh nilai lebih dari 68 8. PT Mandiri mencatat besarnya keuntungan (dalam jutaan rupiah) dari tahun 2008 sampai dengan tahun 2012 sebagai berikut: Tahun Keuntungan (jutaan rupiah) 2008 190 2009 220 2010 250 2011 300 2012 325 a. Gambarkan grafik garis dari keuntungan perusahaan tersebut! b. Buatlah interpretasi terhadap data tersebut. 9. Sebuah usaha travel mencatat jumlah penumpang per minggu selama 40 minggu terakhir sebagai berikut: 12 24



45 33



28 32



42 37



35 27



15 38



43 57



45 42



52



48



18



26



14



54



35



35



36



63



22



40



34



40



55



37



21



45



34



47



37



25



68



20



36



Berdasarkan data diatas, a. Buatlah tabel distribusi frekuensi dengan aturan sturges! b. Tentukan titik tengah masing-masing kelas c. Buatlah histogram dan poligonnya d. Tentukan frekuensi relatif dan frekuensi kumulatinya e. Gambarkan ogivenya 14. Carilah data (dapat berupa data penjualan, data pembelian, data keuntungan dll) dari sebuah toko di dekat tempat tinggal Anda. Berdasarkan data tersebut: a. Sajikan secara rapi seperti pada soal no.9 di atas, dengan jumlah baris dan kolom sesuai selera Anda masing-masing, selanjutnya disebut data tidak berkelompok b. Buatlah distribusi frekuensinya c. Gambarkan histogram dan poligonnya d. Tentukan frekuensi relatif dan frekuensi kumulatinya e. Gambarkan ogivenya 15. Identifikasikan kemudahan dan kesulitan Anda dalam mengumpulkan data tersebut (soal no. 14). Selanjutnya konsultasikan kepada dosen pengampu mata kuliah Anda.



22



BAB 3 UKURAN NILAI SENTRAL



MATERI: Pada bab ini akan dibahas materi tentang: - Pengertian nilai sentral - Mean (rata – rata) - Median (nilai tengah) - Modus TUJUAN: Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan mampu: - Menghitung nilai rata-rata dan mencontohkan penggunaannya - Menghitung nilai median dan mencontohkan pengunaannya - Menghitung nilai modus dan mencontohkan penggunaannya - Menjelaskan makna nilai rata-rata, median dan modus dalam suatu rangkaian data.



A. Pengertian Nilai Sentral



23



Nilai sentral suatu rangkaian data adalah nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Nilai sentral disebut juga dengan nilai tendensi pusat. Dalam sebuah rangkaian data biasanya hanya mempunyai 1 nilai sentral. Artinya, jika keseluruhan nilai data yang ada diurutkan besarnya (array), maka akan mempunyai kecenderungan (tendensi) terletak diurutan paling tengah/pusat. Dalam buku ini akan dibahas nilai sentral yang terdiri dari mean (rata-rata), median dan modus, masing-masing untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok. B. Perhitungan Nilai Sentral Pada awalnya data observasi disajikan, kegiatan selanjutnya adalah menentukan ukuran statistik agar gambaran data lebih lengkap. Jenis-jenisnya : 1. Rata - Rata Hitung (Mean) Adalah suatu nilai rata - rata dari seluruh data observasi. Rata-rata hitung (selanjutnya disebut rata - rata) dari populasi diberi simbol μ (dibaca miu), sedangkan untuk sampel diberi simbul X (dibaca eks bar). Rata-rata Data Tunggal / Data Tidak Berkelompok Rumusnya:



μ



X i N (lihat lagi contoh array untuk data tidak berkelompok)



Rata-rata Data Berkelompok. Rumusnya: μ



f i M i f i M i  f 2 M 2  . . .  f n M n  f i fi  f 2 . . .  f n



Dimana: μ = Rata - rata fi = Frekuensi kelas ke - i Mi = Nilai tengah /titik tengah kelas ke - i , ∑ = Jumlah Contoh :



24



Tabel 3.1. Perhitungan Nilai Rata-rata Pada Distribusi Frekuensi Nilai Statistika Semester II tahun 2012 dari 40 orang mahasiswa STIE Indonesia Kelas Pagi-1 jurusan Manajemen Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



fi 3 6 12 13 4 2 40



Fk 3 9 21 34 38 40 -



Mi 66 69 72 75 78 81 -



fi Mi 198 414 864 975 312 162 2925



Catatan : ∑fi = N = jumlah data f i M i 2925  f i μ = = 40 = 73,13 jadi rata-rata nilai statistika dari data diatas adalah 73,13 atau dibulatkan menjadi 73.



2. Median (Md) Adalah nilai data observasi yang berada di tengah-tengah array data tersebut (ingat, setelah data tersusun). Median untuk data tunggal (data tidak berkelompok) Langkah menentukan median data tunggal: - Susun array-nya. N 1 - Tentukan letak Md = data ke 2 (jika jumlah data ganjil) atau letak Md = -



[



dat a ke



Tentukan Md.



)]



N N +data ke +1 :2 , jika jumlah data genap. 2 2



(



25



Contoh : Lihat data tunggal untuk 7 pemodal di bab sebelumnya. Tentukan nilai mediannya. Jawab: - susun Array – nya 7



-



8



9



11



13



14



15



7 1 4 Letak Md = 2 Md = 11 juta (terletak pada urutan ke - 4 dari array).



Jika banyaknya data genap dicontohkan dengan: Dari data 7 8 9 11 13 tentukan nilai mediannya.



14



15



20



Jawab: - Susun array - nya 7



-



Md =



8



9



11



13



14



15



20



8 8 datake +data ke( +1) 2 2 11+13 = =12 2 2



Median untuk data berkelompok Langkah menentukan median data berkelompok N - Tentukan letak Md dengan rumus 2 - Tentukan kelas Md, yaitu kelas yang memuat Median (kelas dimana Md berada). - Tentukan nilai Md dengan rumus : N -F 2 Md = B + FMd x C Md



Dimana :



i



26



Bmd N FMd Ci F



= = = = =



Tepi kelas bawah kelas Md Jumlah data observasi (= Σf) Frekuensi kelas Md Interval kelas Md Frekuensi kumulatif sebelum kelas Md



Contoh : Tabel 3.2. Perhitungan Median Pada Distribusi Frekuensi Nilai Statistika semester II tahun 2012 dari 40 orang mahasiswa STIE Indonesia Kelas Pagi-1 jurusan Manajemen Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



fi 3 6 12 13 4 2 40



fk 3 9 21 34 38 40 -



Langkah-langkahnya: - Letak Md = data ke 40/2 = 20, lihat di fk (frekuensi kumulatif), data ke-20 terletak di fk=21 - Kelas Md adalah 71-73 - BMd = 71 – 0.5 = 70.5 - N = 40, sehingga N/2 = 40/2 = 20 - F=9 - FMd = 12 - Ci = interval kelas = 3 Sehingga mediannya :



Md =



70,5 



20  9 x3 12



70,5 



11 x3 12



= = 73,25 dibulatkan ≈ 73



27



3. Modus (Mode/ Mo) Adalah nilai data yang paling sering muncul dalam sebuah rangkaian data/distribusi data (cirinya mempunyai frekuensi tertinggi) Data observasi yang memiliki 1 modus disebut uni–modus atau mono-modus. Data observasi yang memiliki 2 modus disebut bi-modus. Data observasi yang memiliki > 2 modus disebut multi-modus. Modus untuk data tunggal/data tidak berkelompok. Contoh: a. 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15  Modus = tidak ada b. 7, 8, 9, 9, 11, 13, 14, 15, 15  Modus = 9 dan 15 c. 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11, 11, 13, 14, 15  Modus = 7, 8, 9 dan 11 Modus data berkelompok Langkah–langkah menghitung modus data berkelompok: - Tentukan kelas Mo (kelas yang mempunyai f tertinggi) - Tentukan nilai Modus dengan rumus: d1 Mo = BMo + x Ci d 1+ d2 dimana : BMo = Tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya Ci = Interval kelas modus Contoh : Tabel 3.3. Perhitungan Modus Pada Distribusi Frekuensi Nilai Statistika semester II tahun 2012 dari 40 orang mahasiswa STIE Indonesia Kelas Pagi-1 jurusan Manajemen Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



fi 3 6 12 13 4 2 40



28



Berdasarkan data di atas, maka: - Kelas modus = 74 – 76 - BMo = 74-0,5 = 73,5 - d1 = 13 – 12 = 1 - d2 = 13 – 4 = 9 - Ci = 3 Sehingga modusnya: 13  12 x3 ( 13  12 )  ( 13  4 ) Mo = 73,5 + 



1   x3 ≈ = 73,5 +  1  9  = 73,8 dibulatkan 



74



C. Hubungan Antara Rata - Rata (µ), Median (Md) dan Modus (Mo) Ketiga ukuran sentral tersebut digunakan untuk mengetahui kemencengan (Skewness) kurva poligon distribusi frekuensi. Ukuran kemencengan (Skewness) dalam statistik disebut koefisien kemencengan (Coefficient of Skewness/SK), dengan rumus : 3 (  - Md)  Sk = , dimana: Sk = Koefisien kemencengan μ = Nilai rata - rata Md = Nilai median σ = Deviasi standar Ketentuan : a. Jika Sk < 0 (negatif), maka bentuk kurvanya menceng ke kiri atau μ 0



Catatan : Perhitungan Sk akan dibicarakan pada bab berikutnya



30



Contoh : Dari array dan data observasi nilai 40 mahasiswa STIE Indonesia sebelumnya didapatkan: μ = 73,13 terkecil Md = 73,25 terbesar ke - 2 Mo = 73,8 terbesar Maka kemencengan kurva poligonnya μ < Md < Mo menceng kekiri.



SOAL LATIHAN: 1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan nilai sentral! 2. Sebutkan macam-macam dari ukuran nilai sentral! 3. Jika Anda mempunyai data tidak berkelompok sebanyak 175 buah, jelaskan bagaimana caranya Anda menentukan nilai median 4. Jika Anda mempunyai data tidak berkelompok sebanyak 250 buah, jelaskan bagaimana caranya Anda menentukan nilai median 5. Angka berikut adalah nilai hasil ujian statistika dari 7 orang mahasiswa, Nama Nilai



Ayu 40



Bayu 90



Citra 55



Deden 72



Euis 68



Fitri 70



Gina 50



Tentukan rata-rata, median dan modus dari nilai tersebut 6. Berikut adalah skor hasil tes psikologi yang dilaksanakan oleh bagian kepegawaian suatu instansi. Nama peserta Skor



A



B



C



D



E



F



G



H



I



130



125



120



150



165



145



140



130



125



Berdasarkan data di atas tentukan nilai rata-rata, median dan modusnya. 7. Data berikut merupakan gaji bulanan dari 5 orang karyawan suatu perusahaan (dalam ribuan rupiah). 5.000 6.000 6.500 35.000 10.000 a. Hitung rata-rata gaji bulanan dari 5 orang karyawan tersebut



31



b. Berdasarkan perhitungan tersebut, jelaskan mengapa rata-rata ini dikatakan tidak mewakili 8. Dalam suatu perusahaan yang mempunyai 500 orang karyawan, 360 orang menerima upah Rp.40.000/hari. Sedangkan lainnya menerima upah Rp.50.000/hari. Hitunglah rata-rata upah perhari dari semua karyawan 9. Jika upah rata-rata setiap hari pekerja bidang produksi Rp.55.000, dan upah ratarata setiap hari pekerja bidang perkebunan Rp. 75.000, dapatkah Anda mengatakan bahwa upah rata-rata harian dari semua perkerja adalah Rp. 65.000 ? jelaskan! 10. Sebuah perusahaan mencatat persentase kenaikan jumlah produksi selama 5 bulan terakhir sbb: Bulan keKenaikan



1 5%



2 6%



3 10%



4 5%



5 3%



Hitunglah rata-rata kenaikan jumlah produksi selama 5 bulan terakhir. 11. Tabel berikut menunjukkan besarnya pengeluaran setiap hari oleh 85 mahasiswa di kota Banjarmasin (dalam ribuan rupaih) Jumlah pengeluaran 40 – 59 60 – 79 80 – 99 100 – 119 120 – 139 140 – 159 160 – 179 180 - 199



Jumlah mahasiswa 7 10 15 20 12 10 8 3



Berdasarkan tabel di atas, hitunglah: a. Besarnya rata-rata pengeluaran perhari dari 85 mahasiswa tersebut b. Median dari pengeluaran mahasiswa tersebut c. Modus dari pengeluaran mahasiswa tersebut d. Berdasarkan hasil perhitungan a, b dan c di atas, bagaimana sifat distribusi pengeluaran mahasiswa tersebut (menceng ke kiri, normal atau menceng ke kanan) 12. Berdasarkan data pada soal no. 11 di atas,



32



a. Tentukan jumlah mahasiswa yang mempunyai pengeluaran perhari Rp.100.000 atau lebih. b. Tentukan persentase jumlah mahasiswa yang mempunyai pengeluaran perhari lebih dari Rp. 160.000. 13. Sebuah bengkel mempekerjakan 4 orang karyawan. Berdasarkan pengamatan, waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan 1 unit sepeda motor yang diservis oleh masing-masing karyawan sbb: Karyawan Parman Wahyu Kholis Rasyid



Waktu (menit) 45 48 35 53



Tentukan waktu rata-rata yang dibutuhkan seorang karyawan untuk menyelesaikan 1 unit sepeda motor yang diservis. 14. Sebuah instansi swasta mempunyai 30 karyawan. Kelompok usia dari 30 karyawan tersebut disajikan dalam tabel di bawah ini. Usia (tahun) 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 55



Jumlah 2 4 8 8 5 2 1



Tentukan rata-rata, median dan modus usia karyawan pada instansi tersebut. 15. Dengan menggunakan data pada soal no.14 diatas, a. Berapa jumlah karyawan yang mempunyai usia lebih dari 34 tahun b. Tentukan besarnya persentase jumlah karyawan yang berusia kurang dari 45 tahun. 16. Dengan menggunakan data soal no. 14 pada Bab 2 diatas, selesaikan masalah berikut: a. Berdasarkan data tidak berkelompok, hitunglah Mean, Median dan Modusnya b. Berdasarkan data berkelompok, hitunglah Mean, Median dan Modusnya



33



BAB 4 UKURAN LETAK



MATERI: Pada bab ini akan dibahas materi tentang: - Kuartil (Quartile) dan penggunaannya



34



-



Desil (Decile) dan penggunaannya Persentil (Percentile) dan penggunaannya



TUJUAN: Setelah selesai mempelajari bab ini Anda diharapkan mampu: - Menjelaskan, menghitung dan mencontohkan penggunaan kuartil - Menjelaskan, menghitung dan mencontohkan penggunaan desil - Menjelaskan, menghitung dan mencontohkan penggunaan persentil



A. Pengertian Ukuran Letak Ukuran letak suatu rangkaian data adalah ukuran yang didasarkan pada letak dari ukuran tersebut dalam suatu distribusi. Ukuran letak sangat diperlukan untuk memberikan gambaran karakteristik suatu data. Ukuran letak biasanya digunakan untuk mewakili sekelompok data pada suatu rangkaian data. Contohnya seorang pedagang memberikan informasi tentang hasil penjualannya dengan menggunakan rata-rata hasil penjualannya selama satu bulan, bukan dengan hasil penjualannya setiap hari. Pada bab ini akan dibahas mengenai ukuran letak untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok.



35



B. Macam Ukuran Letak Ada 3 macam ukuran letak yaitu kuartil, desil dan persentil. 1. Kuartil (K) Adalah ukuran letak yang membagi data observasi (suatu distribusi) menjadi 4 bagian yang sama banyak. Jadi masing-masing bagian mengandung 25% data observasi. Kuartil data observasi ada 3 yaitu kuartil 1 (K1), kuartil 2 (K2) dan kuartil 3 (K3). Sebagai ilustrasi dapat digambarkan dengan: 25%



25% K1



25% K2



25%



K3



Menghitung Kuartil Data Tunggal/Data Tidak Berkelompok Langkah-langkahnya: - Susun array-nya - Tentukan letak kuartil, dengan rumus : Ki  K1 



-



i (N  1) 4 , N 1 4 ;



i = 1, 2, 3 2 (N  1) K2  4 ;



K3 



3 (N  1) 4



Tentukan nilai kuartil



Contoh : Dari data 7 pemodal PT. Rahman pada Bab 2, hitunglah nilai K1 ; K2 dan K3 . Jawab: Array - nya adalah sebagai berikut: Nilai data : 7 8 9 11 13 Letak data : 1 2 3 4 5 Tentukan letak kuartil



14 6



15 7



36



7 1 Letak K1 = 4 = 2  artinya nilai K1 terletak pada data ke-2 2 (7  1) 4 Letak K2 = = 4  artinya nilai K2 terletak pada data ke-4 3 (7  1) 4 Letak K3 = = 6  artinya nilai K3 terletak pada data ke-6 Sehingga didapatkan hasil bahwa nilai K1 = 8 ; K2 = 11 dan K3 = 14



Catatan : K2 =



Median



Menghitung Kuartil Data Berkelompok Langkah - langkahnya: - Tentukan letak kuartil, dengan rumus : N K1 = 4



-



2N K2 = 4



3N K3 = 4



Tentukan kelas kuartil, yaitu kelas dimana kuartil tersebut berada. Menghitung nilai kuartil dengan menggunakan rumus median data berkelompok.



Contoh : Tabel 4.1. Perhitungan Nilai Kuartil Pada Distribusi Frekuensi Nilai Statistika Semester II tahun 2012 dari 40 orang mahasiswa STIE Indonesia Kelas Pagi-1 jurusan Manajemen Nilai



fi



Fk



37



65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



3 6 12 13 4 2 40



3 9 21 34 38 40 -



Dari data di atas, hitunglah nilai K1, K2, dan K3 Jawab: Mencari nilai K1 : -



-



N 40 = =10 4 4 Artinya K1 terletak pada data ke-10 Kelas K1 yaitu kelas yang memuat K1. Lihat di kolom frekuensi kumulatif, data ke-10 terletak pada Fk = 21 → kelas K1 = 71–73. BK1 = tepi bawah kelas K1 = 71 – 0,5 = 70,5 N/4 = letak K1 = 40/4 = 10 F = frekuensi kumulatif sebelum kelas K1 = 9 FK1 = frekuensi kelas K1 = 12 CK1 = panjang kelas (interval) kelas K1 = 3 10 - 9  1  70,5  x 3  70,5   x 3   70,5  0,25  70,75 12  12  K1 = Letak K1 =



2. Desil (D) Adalah ukuran letak yang membagi data observasi (suatu distribusi data) menjadi 10 bagian yang sama, sehingga setiap bagian besarnya 1/10 (10%) data observasi. Desil ada 9 yaitu D1, D2, ...... D9 Menghitung Desil Data Tunggal/Data Tidak Berkelompok. Langkah - langkahnya : - Susun array-nya - Tentukan letak D1, D2, ...... D9 dengan rumus : i (N  1) , 10 D1 =



i  1, 2, ... 9



38



N 1 Letak D1 = 10 2 (N  1) 10 Letak D2 =



Dst....



-



9 (N  1) 10 Letak D9 = Tentukan nilai D1 , D2 , .........., D9



Contoh 1: Lihat data jumlah pemodal (N = 7) PT. Rahman pada Bab 2. Nilai data : 7 8 9 11 13 14 15 Letak data : 1 2 3 4 5 6 7 Berdasarkan data di atas maka akan diperoleh letak Desil dan nilainya sebagai berikut: 7 1 8 Letak D1 = 10 = 10 = 0,8 dibulatkan data ke-1 , yaitu 7.



≈



2 (7  1) 16 10 Letak D2 = = 10 = 1,6 dibulatkan pada data ke-2, yaitu 8.



1, artinya niilai D1 terletak pada



≈



2, artinya nilai D2 terletak



Demikian seterusnya sampai D9 (silakan dicoba sebagai latihan). Catatan : Nilai D5 = Md (Median) Catatan : Silakan mencoba mencari D5, baik dengan rumus ataupun dengan array saja. Menghitung Desil Data Berkelompok. Langkah - langkahnya : - Tentukan letak desil, dengan rumus:



39



i (N) , i  1, 2, 3, ......, 9. Di = 10 2 (N) 1 (N) 9 (N) ; D2  ; ................; D 9  10 10 D1 = 10



-



Tentukan kelas desil, yaitu kelas dimana desil tersebut berada. Tentukan nilai D1, D2, ....... D9 dengan menggunakan rumus median data berkelompok.



Contoh : Tabel 4.2. Perhitungan Nilai Desil Pada Distribusi Frekuensi Nilai Statistika Semester II tahun 2012 dari 40 orang mahasiswa STIE Indonesia Kelas Pagi-1 jurusan Manajemen Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



fi 3 6 12 13 4 2 40



Fk 3 9 21 34 38 40 -



Dari data di atas, tentukan nilai D1 dan D5 (ingat = D5 = Md) Jawab: Mencari nilai D1 : - Tentukan letak D1



-



1 (40) 4 D1 = 10  artinya nilai D1 terletak pada data ke-4. Tentukan kelas D1 , yaitu kelas yang memuat D1 atau kelas dimana D1 berada. Lihat pada kolom frekuensi kumulatif, tampak bahwa data ke-4 terletak di Fk = 9 artinya berada di kelas 68- 70



40



-



Tentukan nilai D1 dengan menggunakan rumus median data berkelompok.  43   3   67,5  0,5  68  6   D1 = 67,5 +



Mencari nilai D5 : - Tentukan letak D5



-



-



5 (40)  20 D5 = 10  artinya nilai D5 terletak pada data ke-20. Tentukan kelas D5 , yaitu kelas yang memuat D5 atau kelas dimana D5 berada. Lihat pada kolom frekuensi kumulatif, tampak bahwa data ke-20 terletak di Fk = 21; artinya berada di kelas 71- 73. Tentukan nilai D5 dengan menggunakan rumus median data berkelompok.  20  9   3   70,5  2,75  73,25   D5 = 70,5 +  12 terbukti D5 = Md.



3. Persentil (P) Adalah ukuran letak yang membagi data observasi (suatu distribusi) menjadi 100 bagian yang sama; sehingga besarnya tiap bagian adalah 1% data observasi. Persentil data ada 99, yaitu P1, P2, P3,...., P99 Menghitung Persentil Data Tunggal/Data Tidak Berkelompok. Langkah - langkahnya : - Susun array - Tentukan letak P1, P2, ..., P99 dengan rumus i(N  1) , i  1, 2, ......99 100 Tentukan nilai P1 , P2 , ......................, P99. Pi 



-



41



Catatan: Data observasi yang diperlukan untuk persentil biasanya cukup besar; sehingga persentil untuk data tunggal jarang dibahas secara detail. Sddangkan untuk data yang cukup besar, dalam statistika tidak lagi digunakan data tunggal, karena lebih sistematis menggunakan data berkelompok dalam beentuk tabel distribusi frekuensi. Dalam bahasan ini akan diberikan contoh P10 dan P20 saja, tidak sampai P99 (lainnya, silakan mencoba sendiri). Contoh: Data upah karyawan CV Shafira dalam ribuan rupiah; yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95. Tentukan nilai P10 dan P20 Jawab: - Susun array X1 = 30 ; X2 = 35 ; X3 = 40 ; X4 = 45 ; X5 = 50 ; X6 = 55 ; X7 = 60 ; X8 = 65 ; X9 = 70 ; X10 = 80 ; X11 = 85 ; X12 = 95 ; X13 = 100 -



Letak dan nilai persentil 10 (13  1) 140   1,4 100 100 P10 = dibulatkan terletak pada data ke-1 yaitu 30 20 (13  1) 280   2,8 100 = 100



P20 dibulatkan terletak pada data ke-3 yaitu 40.



Menghitung Persentil Data Berkelompok Langkah - langkahnya : - Tentukan letak persentil, dengan rumus



≈



≈



1 , artinya nilai P1



3 , artinya nilai P20



42



i ( N) , i  1, 2, ...... 99 100 Tentukan kelas persentil, yaitu kelas yang memuat persentil atau kelas dimana persentil berada Tentukan nilai persentil dengan menggunakan rumus median data berkelompok. Pi 



-



Contoh : Tabel 4.3. Perhitungan Nilai Persentil Pada Distribusi Frekuensi Nilai Statistika Semester II tahun 2012 dari 40 orang mahasiswa STIE Indonesia Kelas Pagi-1 jurusan Manajemen Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



fi 3 6 12 13 4 2 40



Fk 3 9 21 34 38 40 -



Berdasarkan data di atas, hitung nilai P10 dan P50 (ingat P50 = Md) Jawab: Mencari nilai P10 : - Tentukan letak P10 10 (40) P10  4 100  Lihat frekuensi kumulatif yang memuat data ke 4  pada Fk = 9  kelas P10 (68 –70) - Hitung nilai P10 dengan menggunakan rumus median data berkelompok. 4-3 P10  67,5   3  67,5  0,5  68 6 SOAL LATIHAN: 1. Coba Anda jelaskan pengertian ukuran letak 2. Jelaskan bagaimana pengertian median jika dihubungkan dengan ukuran letak



43



3. Tabel berikut menunjukkan besarnya pengeluaran setiap hari oleh 85 mahasiswa di kota Banjarmasin (dalam ribuan rupaih) Jumlah pengeluaran 40 – 59 60 – 79 80 – 99 100 – 119 120 – 139 140 – 159 160 – 179 180 – 199



Jumlah mahasiswa 7 10 15 20 12 10 8 3



Berdasarkan data di atas, a. Tentukan besarnya pengeluaran tertinggi dari 25% mahasiswa yang mempunyai pengeluaran terendah b. Tentukan besarnya pengeluaran terendah dari 25% mahasiswa yang mempunyai pengeluaran tertinggi 4. Dalam rangka menjaga mutu dan kualitas produksi, suatu perusahaan garam melakukan observasi terhadap kandungan yodium dalam garam hasil produksinya. Untuk keperluan tersebut diperlukan 40 bungkus garam sebagai sampel. Dari hasil observasi didapatkan data sebagai berikut: Kandungan yodium (ppm) 0–3 4–7 8 – 11 12 – 15 16 – 19



Jumlah (bungkus) 20 10 6 3 1



Tentukan kandungan yodium tertinggi dari 15% garam yang mempunyai kandungan yodium terendah 5. Berdasarkan data pada soal nomor 3 diatas, a. Besarnya pengeluaran tertinggi dari 12% mahasiswa yang mempunyai pengeluaran terendah b. Besarnya pengeluaran terendah dari 18% mahasiswa yang mempunyai pengeluaran tertinggi. 6. Data berikut adalah nilai statistika dari 40 mahasiawa kelas A Akuntansi STIE Kayutangi tahun 2013 Nilai



Jumlah mhs



44



65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



3 6 12 13 4 2 40



Jika mahasiswa dengan nilai 5% terbaik akan mendapatkan beasiswa, berapa batas nilai terendah untuk mendapatkan beasiswa tersebut. 7. Berdasarkan data yang Anda dapatkan dalam soal no. 14 pada Bab 2 diatas, dengan menggunakan data berkelompok hitunglah kuartil, desil dan persentilnya.



45



BAB 5 UKURAN DISPERS1/UKURAN VARIABILITAS/ UKURAN PENYIMPANGAN



MATERI: Pada bab ini akan dibahas materi tentang: - Ukuran penyimpangan (dispersi) yang terdiri dari ukuran penyebaran absolut dan ukuran penyebaran relatif. - Ukuran kemencengan (skewness) - Ukuran keruncingan (kurtosis) TUJUAN: Setelah selesai mempelajari bab ini Anda diharapkan mampu: - Memahami dan menghitung ukuran penyimpangan absolut dan relatif, baik untuk data berkelompok maupun data tidak berkelompok. - Memahami dan menghitung ukuran kemencengan - Memahami dan menghitung ukuran keruncingan



46



Ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai–nilai data observasi dari nilai-nilai pusat (lihat ukuran nilai sentral) atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data observasi yang berbeda dengan nilai pusatnya. Ukuran ini pada dasarnya merupakan pelengkap dari ukuran nilai sentral dalam menggambarkan sekumpulan data observasi. Jenis-jenis ukuran penyimpangan: 1. Ukuran Penyebaran (Dispersi). Ada 2 macam ukuran penyebaran, yaitu: a. Ukuran penyebaran absolut Macam ukuran penyebaran absolut antara lain: - Range (R) - Deviasi Kuartil/Quartile Deviation (QD) - Deviasi Rata-rata/Average Deviation (AD) - Deviasi standar/Standard Deviation (SD) b. Ukuran penyebaran relatif yang meliputi: - Koefisien range/Coefficient of Range - Koefisien deviasi kuartil/ Coefficient of Quartile Deviation - Koefisien deviasi rata-rata/Coefficient of Mean Deviation - Koefisien deviasi standar (koefisien variasi)/Coefficient of Variation 2. Ukuran kemencengan (Skewness) 3. Ukuran keruncingan (Kurtosis) A. Ukuran Penyebaran (Dispersi) Adalah ukuran yang menunjukkan penyebaran data observasi terhadap nilai rata-rata data itu. Semakin besar ukuran penyebaran maka semakin dapat dikatakan data itu semakin menyebar. Sebaliknya, semakin kecil ukuran penyebarannya maka data itu semakin mengumpul (tidak menyebar). Dalam bab ini akan dibahas ukuran penyebaran absolut dan ukuran penyebaran relatif serta cara perhitungannya. Berikut akan dibahas macam-macam ukuran penyebaran absolut dan cara perhitungannya. 1. Ukuran Penyebaran Absolut Ukuran penyebaran absolut biasanya dinyatakan dalam satuan ukuran yang sama. a. Range (R) Range adalah selisih nilai terbesar dengan nilai terkecil dari data observasi. Range untuk data tunggal/data tidak berkelompok Secara matematis dapat dituliskan dengan rumus:



47



R = Xt - Xr Dimana: R = range data observasi Xt = nilai data tertinggi Xr = nilai data terendah Contoh: Sebuah perusahaan PT Rahman memiliki 7 pemodal dengan modal masing – masing sebagai berikut: XI = 15 juta X5 = 9 juta



X2 = 7 juta X6 = 14 juta



X3 = 11 juta X7 = 8 juta



X4 = 13 juta



Berdasarkan data di atas, maka range besarnya modal dari 7 pemodal tersebut adalah: R = Xt - Xr = 15 juta – 7 juta = 8 juta Range untuk data berkelompok Untuk data berkelompok perhitungan range dapat dirumuskan dengan: Range = tepi atas kelas terakhir - tepi bawah kelas pertama Contoh: Berikut adalah data nilai Statistika semester II tahun 2012 dari 40 orang mahasiswa STIE Indonesia Kelas Pagi-1 jurusan Manajemen Nilai 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82



Frekuensi 3 6 12 13 4 2



Berdasarkan data di atas, maka besarnya range nilai statistika tersebut adalah 82,5 – 64,5 = 18 b. Deviasi Kuartil (QD) Deviasi Kuartil suatu rangkaian data adalah setengah jarak antara Kuartil 1 dan Kuartil 3.



48



Untuk data tidak berkelompok maupun data berkelompok nilai deviasi kuartil dihitung dengan menggunakan rumus: K  K1 DQ  3 2 dimana: DQ = deviasi kuartil K3 = nilai kuartil 3 K1 = nilai kuartil 1 Contoh: Untuk data tidak berkelompok: Pada bab 4, dari 7 pemodal PT Rahman diperoleh nilai K1 = 8 dan K3 = 14. Sehingga nilai deviasi kuartil dari rangkaian data tersebut adalah: 14  8 DQ  3 2 Untuk data berkelompok: Pada bab 4, dari data nilai statistik 40 mahasiswa STIE Kayutangi diperoleh nilai K1 = 70,75 dan K3 = 75,58 Sehingga diperoleh nilai deviasi kuartil



75,58  70,75 4,83   2,415 2 2 c. Deviasi Rata-rata (AD) Deviasi rata-rata adalah ukuran yang menunjukkan seberapa besar penyimpangan rata-rata data observasi terhadap nilai rata-ratanya. Menghitung AD harus dalam tanda mutlak, jadi tidak memandang positif atau negatif, semuanya dianggap positif. Harga mutlak dari X ditulis │X│. DQ 



Deviasi rata-rata data tunggal/data tidak berkelompok Mencari nilai deviasi rata-rata untuk data tidak berkelompok digunakan rumus: Σ X -μ N AD = dimana: AD = deviasi rata-rata



49



X = μ = N = ││ = Ʃ =



nilai data obeservasi nilai rata-rata data observasi (atau X´ ) banyaknya data observasi tanda aljabar yang menunjukkan nilai mutlak jumlahan



Contoh: Data PT. Rahman yang memiliki 7 pemodal dalam juta rupiah yaitu: X1 = 15; X2 = 7 ; X3 = 11 ; X4 = 13 ; X5 = 9 ; X6 = 14 ; X7 = 8 Berdasarkan data tersebut dapat dihitung nilai deviasi rata-ratanya dengan langkah-langkah sebagai berikut: - Tentukan rata - rata 7 pemodal (lihat pembahasan nilai sentral di bab 3) ΣX i 77 μ   N 7 11 juta -



Tentukan ADnya, dengan memasukkan nilai-nilai yang diperlukan (biasanya dalam bentuk tabel). Modal (Xi) 15 7 11 13 9 14 8 Jumlah



Rata–rata ( μ ) 11 11 11 11 11 11 11



Sehingga diperoleh nilai deviasi rata-ratanya:



AD 



Σ Xi - μ N







18  2,6 7



│Xi – μ│ 4 4 0 2 2 3 3 Σ = 18 ↓ Ʃ│Xi – μ│



50



Deviasi rata-rata data berkelompok Menghitung nilai deviasi rata-rata data berkelompok menggunakan rumus: Σfi Mi - μ N



AD = dimana: AD = fi = Mi = µ = ││ = N = Ʃ =



deviasi rata-rata frekuensi kelas ke - i nilai tengah kelas ke - i nilai rata - rata data observasi data berkelompok tanda mutlak banyaknya data observasi (jumlah frekuensi) jumlahan



Contoh : Data nilai ujian Statistik 40 mahasiswa STIEI Kayutangi adalah sebagai berikut: Nilai 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82



Frekuensi 3 6 12 13 4 2



Berdasarkan data tersebut dapat dihitung nilai deviasi rata-ratanya dengan langkah-langkah sebagai berikut:



-



Buat distribusi frekuensi sesuai nilai data yang dibutuhkan untuk keperluan AD Nilai 65-67 68-70 71-73



f 3 6 12



Mi 66 69 72



μ 73,13 73,13 73,13



│Mi– μ│ 7,13 4,13 1,13



f│Mi – μ│ 21,93 24,78 13,56



51



74-76 77-79 80-82 Jumlah



13 4 2



75 78 81



73,13 73,13 73,13



1,87 4,87 7,87



24,31 19,48 15,74 119,26 ↓ Ʃ f│Mi – μ│



Catatan : Perhitungan rata - rata (μ) dapat dilihat pada bab 3 tentang nilai sentral. -



Tentukan AD 119,26 AD = 40 = 2,98



d. Deviasi Standar (SD/σ) Standar deviasi (deviasi standar) adalah suatu ukuran yang menunjukkan deviasi standar data observasi terhadap rata-ratanya. Jika dibandingkan dengan deviasi rata-rata, deviasi standar merupakan ukuran penyebaran yang lebih baik, karena ukuran ini tidak menggunakan asumsi ukuran absolut. Deviasi standar untuk sampel diberi simbol S. Sedang untuk populasi diberi simbol σ. Deviasi Standar data tunggal/data tidak berkelompok Untuk menghitung deviasi standar data tidak berkelompok digunakan rumus: Σ (X i  μ) 2 N Dimana : σ = deviasi standar Xi = nilai data μ = nilai rata - rata data observasi N = banyaknya data observasi σ



Contoh : Data PT. Rahman yang memiliki 7 pemodal dalam juta rupiah yaitu:



52



X1 = 15; X2 = 7 ; X3 = 11 ; X4 = 13 ; X5 = 9 ; X6 = 14 ; X7 = 8 Berdasarkan data tersebut, kita dapat menghitung deviasi standarnya dengan langkah-langkah sebagai berikut: - Tentukan rata-rata 7 pemodal ΣX i 77 μ   11 juta N 7 -



Tentukan σ-nya, dengan membuat tabel yang bersesuaian dengan keperluan. Modal (Xi) 15 7 11 13 9 14 8 Jumlah



Rata-rata (μ) 11 11 11 11 11 11 11



(Xi – μ)2 16 16 0 4 4 9 9 58 ↓ Σ (Xi – μ)2



Sehingga diperoleh:



58  8,29  2,88  7 merupakan ukuran yang lebih baik karena tidak menggunakan asumsi nilai mutlak (absolut).







Deviasi standar data berkelompok: Untuk menghitung deviasi standar data berkelompok dapat digunakan rumus: fi( Mi   ) 2 N Dimana: σ = deviasi standar



 



53



fi Mi µ ││ N Ʃ



= = = = = =



frekuensi kelas ke-i nilai tengah kelas ke - i nilai rata - rata data observasi data berkelompok tanda mutlak banyaknya data observasi (jumlah frekuensi) jumlahan



Contoh: Data nilai ujian Statistik 40 mahasiswa STIEI Kayutangi adalah sebagai berikut: Nilai 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82



Frekuensi 3 6 12 13 4 2



Berdasarkan data tersebut dapat dihitung nilai deviasi standarnya dengan langkah-langkah sebagai berikut: - Buat tabel distribusi frekuensi sesuai dengan data yang diperlukan seperti dibawah ini:



Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82



f 3 6 12 13 4 2



Mi 66 69 72 75 78 81 Jumlah



Μ 73,13 73,13 73,13 73,13 73,13 73,13



│Mi – μ│2 50,84 17,06 1,28 3,50 23,72 61,94



f│Mi – μ│2 152,52 102,36 15,36 45,5 94,88 123,88 534,5 ↓ Ʃ f│Mi – μ│2



54



-



Hitung σ dengan rumus:



534,5  13,3625  3,66 40 2. Ukuran Penyebaran Relatif Ukuran penyebaran relatif adalah untuk membandingkan berbagai ukuran yang mempunyai satuan yang berbeda. Ukuran penyebaran relatif ini adalah: a. Koefisien Range Perhitungan Koefisien Range dirumuskan sebagai berikut:







Koefisien Range=



nilai terbesar −nilai terkecil nilai terbesar+ nilai terkecil



Contoh: Sesuai dengan contoh dalam perhitungan Range sebelumnya didapatkan nilai data terbesar = 15 juta Nilai data terkecil = 7 juta Sehingga koefisien range-nya diperoleh: Koefisien Range=



15−7 8 = =0,36 15+7 22



b. Koefisien Deviasi Kuartil Menghitung Koefisien Deviasi Kuartil menggunakan rumus: Koefisien Deviasi Kuartil=



K 3−K 1 K3+ K1



Contoh: Sesuai dengan contoh perhitungan deviasi kuartil sebelumnya, didapatkan: Nilai K1 = 8 dan K3 = 14 Sehingga koefisien deviasi kuartil-nya adalah: Koefisien Deviasi Kuartil=



14−8 6 = =0,27 14+ 8 22



55



c. Koefisien Deviasi Rata-rata Menghitung Koefisien Deviasi Rata-rata menggunakan rumus: Koefisien Deviasi Rata−rata=



Deviasi Rata−rata Rata−rata



Contoh: Dalam contoh data nilai statistik dari 40 mahasiswa STIEI Kayutangi didapatkan: Nilai deviasi rata-rata = 2,98 Nilai rata-rata = 73,13 Sehingga koefisien deviasi rata-ratanya adalah: Koefisien Deviasi Rata−rata=



2,98 =0,04 73,13



d. Koefisien Deviasi Standar/Koefisien Variasi Koefisien Deviasi Standar atau Koefisien Variasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus: σ V = x 100 µ Dimana: V = Koefisien Variasi σ = deviasi standar µ = nilai rata-rata Koefisien Variasi mempunyai peranan yang sangat penting untuk membandingkan variasi dari sekelompok data dengan sekelompok data yang lain, baik yang mempunyai unit satuan yang sama maupun berbeda. Semakin kecil koefisien variasinya, maka data itu semakin homogen. Sebaliknya, semakin besar koefisien variasinya, maka data itu semakin heterogen. Contoh: Dalam data berat badan dan tinggi badan dari sejumlah mahasiswa didapatkan informasi bahwa: Berat badan (kg) µ = 60 kg



Tinggi Badan (cm) µ = 160 cm



56



σ = 15 kg



σ = 8 cm



Berdasarkan informasi di atas, maka didapatkan nilai: 15 V berat badan= x 100 =25 60 V tinggibadan =



8 x 100 =5 160



Berdasarkan hasil diatas, maka dapat disimpulkan bahwa tinggi badan lebih homogen dari pada berat badan. B. Ukuran Kemencengan (Skewness) Ukuran kemencengan adalah derajat ketaksimetrian, atau kejauhan simetri dari suatu distribusi. Ukuran tak simetri diperlihatkan oleh selisih nilai tengah. Jika kurva frekuensi (poligon frekuensi termuluskan) suatu distribusi mempunyai ekor yang lebih panjang ke kanan dari maksimum pusat dibanding kiri, disebut menceng ke kanan, dan sebaliknya. Rumus koefisien kemencengan Pearson adalah sebagai berikut: 3 (μ  Md) σ Sk =



Contoh: Contoh kasus dengan Sk < 0 Sesuai dengan hasil perhitungan data observasi nilai 40 mahasiswa STIEI Kayutangi telah didapatkan: µ = 73,13



Md = 73,25



sehingga diperoleh: 3 (73,13 - 73,25)  0,098 3 , 66 Sk = Artinya:



σ = 3,66



57



Sk < 0 (Negative Skewness) maka bentuk kurva poligonnya menceng ke kiri (ekor kurva lebih panjang ke kiri), atau µ< Md < Mo



Catatan: Untuk bentuk kemencengan yang lain sudah diterangkan di bab sebelumnya. Berdasarkan bentuk distribusi data, dapat diperoleh beberapa informasi sebagai berikut: 1. Suatu data yang mempunyai koefisien kemencengan negatif (Sk < 0), sebagian besar nilai datanya lebih besar dari nilai rata-ratanya. Dalam keadaan seperti ini, untuk mewakili data tersebut, modus mempunyai kemampuan yang lebih baik dari pada rata-rata. 2. Suatu data yang mempunyai koefisien kemencengan sama dengan nol (Sk=0), sebagian besar nilai datanya berada di sekitar nilai rata-ratanya. Dalam keadaan seperti ini , rata-rata cocok untuk mewakili data tersebut. 3. Suatu data yang mempunyai koefisien kemencengan positif (Sk > 0), sebagian besar nilai datanya lebih kecil dari nilai rata-ratanya. Dalam keadaan seperti ini, modus mempunyai kemampuan yang lebih baik dari pada rata-rata untuk mewakili data tersebut. Contoh kasus dengan Sk = 0 Data berikut menunjukkan besarnya pengeluaran sebuah keluarga (dalam ribuan rupiah) selama 1 bulan (bulan Oktober 2013). Besar pengeluaran (ribuan rupiah)



Jumlah hari



58



30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99



2 4 4 10 5 3 2



Berdasarkan data di atas diperoleh: µ = 64,83 Md = 64,5 σ = 16,27 sehingga didapatkan: Sk =



3(µ−Md ) 3( 64,83−64,5) = =0,06 σ 16,27



Besarnya koefisien kemencengan (Sk) = 0,06 yang mendekati nol, yang berarti distribusi pengeluaran tersebut mendekati simetris.



Contoh kasus dengan Sk > 0 Data berikut menunjukkan skor hasil uji kompetensi dari 11 karyawan sebuah instansi swasta di Banjarmasin tahun 2013. Nama A B C D F G



Skor 106 386 130 136 39 151



Berdasarkan data di atas, diperoleh: µ = 149,36 Md = 130 σ = 85,48



Nama I J K L M



Skor 174 176 200 75 170



59



sehingga didapatkan: Sk =



3(µ−Md ) 3( 149,36−130) = =0,68 σ 85,48



Besarnya koefisien kemencengan (Sk) = 0,68 > 0 , yang berarti distribusi skor hasil uji kompetensi tersebut menceng ke kanan. C. Ukuran Keruncingan (Kurtosis) Ukuran keruncingan adalah derajat/tingkat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil secara relatif terhadap distribusi normal (bentuk kurva simetris). Distribusi frekuensi data yang mempunyai bentuk kurva poligon simetris mempunyai beberapa kemungkinan bentuk kurva yang berbeda, yaitu: 1. Dua buah distribusi yang mempunyai penyebaran sama, nilai rata-rata berbeda (seperti terlihat pada gambar 5.1) 2. Tiga buah kurva distribusi yang memiliki rata-rata (µ) sama, penyebaran berbeda (terlihat pada gambar 5.2)



Gambar 5.1. Penyebaran sama μ berbeda



60



Gambar 5.2. Penyebaran berbeda μ sama Keterangan gambar: - Leptokurtik adalah distribusi yang memiliki puncak tertinggi dan ditentukan oleh nilai koefisien keruncingan atau α 4 > 3 . - Mesokurtik adalah distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar, ditunjukkan oleh nilai α 4 = 3 . Bentuk kurva ini juga sering disebut dengan kurva distribusi normal. - Platikurtik adalah distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tinggi mendatar, ditunjukkan oleh nilai α 4 < 3. Untuk menentukan keruncingan (kurtosis) suatu distribusi digunakan nilai alpha empat ( α 4 ). Ukuran keruncingan data tunggal/data tidak berkelompok Untuk mencari keruncingan data tunggal digunakan rumus: 1 ( X −μ)4 N i α 4= σ4 dimana: N = banyaknya data observasi Xi = nilai data observasi Μ = rata - rata data observasi



61



Σ = deviasi standar Contoh : Dari data 7 pemodal PT. Rahman, diketahui: X1 = 15



X2 = 7



X3 = 11



X4 = 13



X5 = 9



X6 = 14



X7 = 8



Berdasarkan data tersebut didapatkan: µ = 11 dan σ = 2,88 1 (15−11)4 +(7−11)4 +(11−11)4 +(13−11) 4 +(9−11)4 +(14−11)4 +( 8−11)4 7 α 4= 2,884 1 4 ( 4) +(−4) 4 +(0)4 +(2)4 +(−2)4 +(3)4 +(−3)4 7 α 4= 2,88 4 256+256+ 0+16+16+ 81+ 81 ¿ 1 ¿ 7 α 4=¿ Kesimpulan: Nilai α 4 = 1,47 < 3 , maka kurva dari data 7 pemodal adalah platikurtik. Ukuran keruncingan data berkelompok Untuk mencari keruncingan data berkelompok digunakan rumus: 1 Ʃ f i (M i−μ)4 N α 4= 4 σ dimana: N = banyaknya data observasi fi = frekuensi kelas ke - i Mi = nilai tengah kelas ke -i Μ = rata - rata data observasi Σ = deviasi standar



62



Contoh : Dari data nilai 40 mahasiswa STIEI Kayutangi, nilai-nilai yang sudah kita dapatkan: μ = 73,13 σ = 3,66 Untuk data berkelompok, buatlah tabel distribusi frekuensi yang berkesesuaian dengan rumus, seperti berikut ini: Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82



F 3 6 12 13 4 2



Mi 66 69 72 75 78 81 Jumlah



μ 73,13 73,13 73,13 73,13 73,13 73,13



│Mi – μ│4 2584,39 290,94 1,63 12,23 562,49 3836,18



f│Mi – μ│4 7753,17 1745,64 19,56 158,99 2249,96 7672,36 19599,68 ↓ Σfi│Mi – μ│4



Sehingga diperoleh: 1 (19599,68) 7 2799,954 α 4= = =15,60 4 179,442 3,66 Kesimpulan: Nilai α 4 = 15,60 > 3 , maka bentuk kurva poligonnya adalah leptokurtik. SOAL LATIHAN: 1. Ukuran penyebaran absolut dan ukuran penyebaran relatif mempunyai kegunaan yang berbeda, coba jelaskan! 2. Berikut ini adalah skor hasil tes kemampuan diri dari 5 orang karyawan suatu perusahaan swasta di Banjarbaru tahun 2013. 72



65



40



50



70



Berdasarkan data tersebut, tentukan: a. Range (R) b. Deviasi Rata-rata c. Deviasi standar d. Koefisien variasinya



63



3. Tabel berikut menunjukkan umur dari 75 pegawai di lingkungan dinas pendidikan kota Banjarmasin tahun 2013 Umur (tahun) 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54



Jumlah pegawai 8 10 20 15 10 7 5



Berdasarkan data di atas, tentukan: a. Besarnya penyebaran rata-rata b. Besarnya sebaran baku c. Besarnya koefisien variasi



4. Data berikut adalah gaji harian buruh pengemas garam di pabrik garam PT Sarana Cipta Mandiri Banjarbaru tahun 2012 Gaji (ribuan rupiah) 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99



Jumlah karyawan 9 32 43 21 11 3 1



Berdasar pada data tersebut, tentukan: a. Range dan koefisien range b. Deviasi kuartil dan koefisien deviasi kuartil 5. Berdasar soal no. 4, tentukan: a. Deviasi rata-rata dan koefisien deviasi rata-rata. b. Deviasi standar dan koefisien deviasi standar 6. Berdasar pada soal no. 4 di atas, tentukan:



64



a. bentuk distribusi poligonnya. Apakah distribusinya menceng? Jelaskan ! b. keruncingan kurva distribusinya 7. Berdasarkan data pada soal no.2 di atas, tentukan: a. Koefisien skewness (Sk) b. Keruncingan kurvanya ( α 4 ), jelaskan jawaban Anda. 8. Dengan menggunakan data yang Anda dapatkan pada soal no. 14 dalam Bab 2 di atas, hitunglah: a. Range (R) b. Deviasi Rata-rata c. Deviasi standar d. Koefisien variasinya e. Keruncingan kurvanya ( α 4 ), jelaskan jawaban Anda



65



BAB 6 ANGKA INDEKS



MATERI: Pada bab ini akan dibahas materi tentang: - Pengertian dan Kegunaan Angka Indeks - Macam Angka Indeks - Angka Indeks Laspeyres dan Paasche - Indeks Berantai - Penggunaan Khusus Indeks Harga TUJUAN: Setelah selesai mempelajari bab ini Anda diharapkan mampu: - Memahami dan menjelaskan pentingnya angka indeks - Memahami, menjelaskan dan mencontohkan perbedaan indeks sederhana dan agregatif. - Memahami, menjelaskan dan mencontohkan perbedaan indeks tertimbang dan tidak tertimbang. - Memahami penggunaan angka indeks dalam menyelesaikan masalah terutama masalah bisnis dan ekonomi.



A. Pengertian Angka Indeks



66



Angka indeks adalah angka relatif nilai suatu variabel pada waktu tertentu terhadap nilai variabel tersebut pada waktu dasar (periode waktu yang digunakan sebagai dasar perbandingan). Sebagai contoh dapat dikemukakan masalah sebagai berikut: Suatu perusahaan garam ingin mengetahui perubahan besarnya jumlah garam yang terjual selama 4 tahun terakhir. Berdasarkan data penjualan yang dimiliki perusahaan tersebut diketahui bahwa jumlah garam yang terjual pada tahun 2009 = 120 ton, tahun 2010 = 150 ton, tahun 2011 = 155 ton dan tahun 2012 = 160 ton. Dengan demikian perkembangan perubahan jumlah garam yang terjual setiap tahunnya dapat dihitung dengan menggunakan Angka Indeks sebagai berikut: Tabel 6.1. Perhitungan Angka Indeks Penjualan Garam Tahun 2009 – 2012 Tahun 2009 2010 2011 2012



Jumlah Garam Terjual (ton) 120 150 110 160



Angka Indeks Tahun dasar = 100% 150/120 x 100% = 125% 110/120 x 100% = 91,7% 160/120 x 100% = 133,3%



Berdasarkan tabel 6.1 di atas dapat dilihat perkembangan jumlah garam yang terjual setiap tahunnya (selama 4 tahun terakhir). Tahun 2009 digunakan sebagai tahun dasar diberi nilai 100% dengan anggapan bahwa pada tahun tersebut keadaannya normal. Tahun 2010 mempunyai angka indeks sebesar 125% artinya pada tahun ini mengalami peningkatan penjualan sebesar 25% dari tahun 2009. Tahun 2011 angka indeksnya 91,7% berarti pada tahun ini mengalami penurunan penjualan sebesar 8,3% dari tahun 2009. Tahun 2012 mengalami peningkatan penjualan sebesar 33,3% dari tahun 2009. Untuk selanjutnya (tanda) persentase boleh tidak ditulis lagi. B. Kegunaan Angka Indeks Pada dasarnya angka indeks digunakan untuk membandingkan perubahan dari suatu periode ke periode lain. Oleh karena itu penggunaan angka indeks bisa kita temui di berbagai cabang ilmu pengetahuan. Misalnya, - angka indeks untuk menghitung perubahan jumlah penduduk, natalitas, mortalitas (bidang sosiologi), - angka indeks kecerdasan / IQ (bidang psikologi), - angka indeks harga, kuantita, biaya hidup dll (bidang ekonomi),



67



pengukuran laju inflasi di Indonesia memakai Indeks Harga Konsumen,  diperoleh dari beberapa macam barang konsumsi - indeks perdagangan besar dan masih banyak di bidang yang lain. -



C. Angka Indeks Sederhana Pada bagian ini akan dibahas angka indeks utama dalam bidang ekonomi, yaitu Indeks Harga (IH), Indeks Kuantitas/Jumlah (IQ) dan Indeks Nilai (IN). Masing-masing angka indeks ini akan dijelaskan dalam tulisan berikut. 1. Indeks Harga (IH) Indeks harga menunjukkan perubahan relatif harga suatu barang dari suatu periode ke periode lain. Rumus Umum Indeks Harga: Pn  100 IH = P0 n,0



dimana: IHn,0 = indeks harga pada tahun n dengan tahun dasar 0 Pn = harga pada tahun n P0 = harga pada tahun dasar Periode Waktu Dasar/Tahun Dasar adalah periode yang dipakai sebagai dasar dalam membandingkan harga, produksi (kuantitas) maupun nilai. Periode Waktu/Tahun berjalan/Tahun bersangkutan adalah periode yang dipakai yang sedang berjalan atau periode yang dibandingkan. Contoh 1: Pada tahun 2006 harga gula pasir per kg di Banjarmasin Rp.5.000,00. Untuk tahun 2007 sampai dengan tahun 2012 harga gula pasir per kg dapat dilihat pada tabel dibawah ini.



Tabel 6.2. Harga Gula Pasir Per Kg di Banjarmasin Tahun 2007-2012 Tahun 2007



Harga (Rp) 5.500



68



2008 2009 2010 2011 2012



6.000 6.500 8.000 8.500 10.000



Berdasarkan data di atas, maka indeks harga gula pasir di Banjarmasin dapat dihitung dengan cara sebagai berikut (tahun dasar tahun 2006): Tahun (n) 2007 2008 2009 2010 2011 2012



Pn / P2006 5.500/5.000 = 1,1 6.000/5.000 = 1,2 6.500/5.000 = 1,3 8.000/5.000 = 1,6 8.500/5.000 = 1,7 10.000/5.000 = 2,0



Pn / P2006 x 100 1,1 x 100 1,2 x 100 1,3 x 100 1,6 x 100 1,7 x 100 2,0 x 100



IHn,2006 110 120 130 160 170 200



Berdasarkan data di atas tampak bahwa kenaikan harga gula pasir di Banjarmasin tahun 2007 sebesar 10% dibanding tahun 2006. Tahun 2008 mengalami kenaikan sebesar 20% dibanding tahun 2006, dan seterusnya.



Contoh 2: Harga rata-rata 9 macam bahan pokok di Pasar Kaki Lima Banjarmasin tahun 2011 - 2012, disajikan dalam tabel berikut: Tabel 6.3. Perhitungan Angka Indeks Harga 9 Macam Bahan Pokok di Pasar Kaki Lima Banjarmasin Tahun 2011-2012



69



No.



Jenis Barang



1. Beras 2. Ikan asin 3. Minyak kelapa 4. Gula pasir 5. Garam 6. Minyak tanah 7. Sabun cuci 8. Tekstil 9. Batik Jumlah Sumber: Data hipotesis



Satuan Liter Kg Liter Kg Bks Liter Kg Meter Lembar



Harga (Rp) 2011 2012 7.500 8.000 60.000 100.000 11.000 13.000 10.000 12.500 500 1.000 4.000 7.500 13.000 16.000 50.000 75.000 70.000 115.000 227.000 348.000



Berdasarkan data di atas, dapat dihitung: - besarnya Indeks Harga beras tahun 2012 sebagai berikut:



IH12,11



P 12 8000  100   100  106,7 P 7500 11 =



artinya harga beras tahun 2012 naik sebesar 6,7% dibanding tahun 2011 - Indeks Harga minyak tanah P 12 7500  100   100  187,5 P 4000 11 IH = 12,11



artinya harga minyak tanah tahun 2012 naik sebesar 87,5% dibanding tahun 2011. Sedangkan indeks harga rata-rata relatif (Ir ) merupakan indeks harga rata-rata pertahun selama periode waktu tertentu. Indeks I r ini dapat dicari dengan cara menjumlahkan indeks harga dibagi dengan banyaknya tahun yang digunakan. Secara matematis dapat dirumuskan dengan: Ir =



Ʃ IH N



70



Contoh: Berdasarkan data dari tabel 6.2 diperoleh indeks harga gula pasir tahun 20072012 dengan dasar tahun 2006 sebagai berikut: Tahun IH



2007 110



2008 120



2009 130



2010 160



2011 170



2012 200



Sehingga indeks harga rata-rata relatif (Ir) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: ƩIH = 110 + 120 + 130 + 160 +170 + 200 = 890 Ʃ IH 890 = =148,33 Ir = N 6 2. Indeks Kuantitas (IQ) Indeks Kuantitas menunjukkan perubahan relatif kuantitas suatu barang dari suatu periode ke periode lain. Rumus Umum Indeks Kuantitas: Qn  100 Q 0 IQ = n,0



dimana: IQn,0 = indeks kuantitas pada tahun n dengan tahun dasar 0 Qn = kuantitas pada tahun n Q0 = kuantitas pada tahun dasar Contoh: Sebuah usaha rumahan kecap manis merek ‘PEKAT’ di Banjarmasin dapat memproduksi kecap sebanyak 110 botol tahun 2008. Sedangkan jumlah produksi tahun 2009-2013 disajikan dalam tabel berikut: Tabel 6.4. Jumlah Produksi Kecap di Perusahaan Kecap ‘PEKAT’ Banjarmasin, 20092013 Tahun 2009



Kuantitas (botol) 108



71



2010 2011 2012 2013



125 150 155 180



Berdasarkan data di atas, maka indeks kuantitas (dengan tahun dasar tahun 2008) untuk produk kecap tersebut dapat dicari dengan cara sebagai berikut: Tahun (n) 2009 2010 2011 2012 2013



(Qn / Q2008) x 100 (108/110) x 100 (125/110) x 100 (150/110) x 100 (155/110) x 100 (180/110) x 100



IQn,2008 98,18 113,64 136,36 140,91 163,64



Berdasarkan tabel di atas, dapat diketahui perkembangan kuantitas/jumlah produksi kecap dari tahun ke tahun berdasarkan tahun dasar 2008. Artinya, jumlah produksi kecap pada tahun 2009 mengalami penurunan sebesar (100%-98,18%) atau 1,82%. Namun tahun 2010 mengalami kenaikan produksi sebesar 13,64%, dan seterusnya. Tentunya hal ini merupakan informasi yang sangat penting bagi perusahaan tersebut, terutama dalam pengambilan kebijakan atau keputusan. 3. Indek Nilai (IN) Nilai suatu barang merupakan hasil perkalian antara harga dan kuantitas barang tersebut. Jadi indeks nilai merupakan perbandingan nilai suatu barang pada suatu waktu dengan nilai barang tersebut pada tahun dasar. Indeks nilai ini dapat dirumuskan dengan: Nn P xQ  100  n n x100 P0 xQ0 IN = N 0 n,0



dengan: INn,0 = indeks nilai pada tahun n dengan tahun dasar 0 Nn = nilai suatu barang pada tahun n N0 = nilai suatu barang pada tahun dasar Contoh:



72



Harga dan kuantitas produksi jagung di Martapura, Kalimantan Selatan tahun 2008 dan tahun 2013 disajikan dalam tabel berikut: Tabel 6.5. Harga dan Kuantitas Produksi Jagung di Martapura, 2008 dan 2013 Harga/Kuantitas Harga (Rp/kg) Kuantitas (ton)



2008 3.000 400



2013 4.500 650



Berdasarkan data di atas, perhitungan indeks nilai produksi jagung tersebut dapat disajikan sebagai berikut: Tahun 2008 2013 IN2013,2008 =



Harga (P) 3.000 4.500



Kuantitas (Q) 400 490



N=PxQ 1.200.000 2.205.000



2.205 .000 x 100=183,75 1.200 .000



Indeks nilai produksi jagung di Martapura pada kurun waktu 2008 sampai dengan 2013 mengalami kenaikan sebesar 83,75%. D. Indeks Agregatif Tidak Tertimbang Indeks agregatif tidak tertimbang digunakan untuk menentukan angka indeks beberapa barang (sekelompok barang) dengan satuan yang sama. Indeks ini pada umumnya dapat digunakan untuk melihat persoalan secara agregatif/secara makro. Pada bagian ini akan dibahas indeks harga agregatif, indeks kuantitas agregatif dan indeks nilai agregatif dari beberapa barang/komoditi. 1. Indeks Harga Agregatif Indeks harga agregatif merupakan perbandingan hasil penjumlahan harga sekelompok barang pada waktu tertentu dengan hasil penjumlahan harga barang tersebut pada waktu dasar. Secara matematis indeks harga agregatif dapat dirumuskan dengan:



73



IHn,0 =



Ʃ Pn x 100 Ʃ P0



dengan: IHn,0 = indeks harga agregatif pada tahun n dengan tahun dasar 0 ƩPn = jumlah harga sekelompok barang pada tahun n ƩP0 = jumlah harga sekelompok barang pada tahun dasar Contoh 1: Indeks harga 9 bahan pokok di Pasar Kaki Lima Banjarmasin tahun 2012 dengan tahun dasar 2011 adalah (data dari tabel 6.3).



IH2012,2011



348.000  100  153,3 = 227.000



Hal ini artinya harga-harga 9 bahan pokok di Pasar Kaki Lima Banjarmasin tahun 2012 naik sebesar 53,3% dibanding tahun 2011. Contoh 2: Tabel berikut adalah harga 4 jenis barang paling laku di toko ‘Fadel’ Banjarmasin tahun 2012 dan 2013. Tabel 6.6 Harga Empat Jenis Barang Paling Laku di Toko ‘Fadel’ Banjarmasin tahun 2012 dan 2013 Jenis barang A B C D



Harga 2012 3.000 1.200 4.250 900



2013 3.000 1.500 4.500 1.000



Berdasarkan data di atas, maka indeks harga agregatif untuk 4 jenis barang tersebut dapat dicari dengan cara sebagai berikut: ƩP2012 = 3.000 + 1.200 + 4.250 + 900 = 9.350 ƩP2013 = 3.000 + 1.500 + 4.500 + 1.000 = 10.000



74



Jadi IH2013,2012 =



Ʃ P2013 10.000 x 100= x 100=106,95 Ʃ P2012 9.350



Artinya harga 4 jenis barang tersebut pada tahun 2013 mengalami kenaikan sebesar 6,95% dibanding tahun 2012. 2. Indeks Kuantitas Agregatif Indeks kuantitas agregatif merupakan perbandingan hasil penjumlahan kuantitas sekelompok barang pada waktu tertentu dengan hasil penjumlahan kuantitas barang tersebut pada waktu dasar. Secara matematis indeks kuantitas agregatif dapat dirumuskan dengan: IQn,0 =



Ʃ Qn x 100 Ʃ Q0



dengan: IQn,0 = indeks harga agregatif pada tahun n dengan tahun dasar 0 ƩQn = jumlah harga sekelompok barang pada tahun n ƩQ0 = jumlah harga sekelompok barang pada tahun dasar Contoh: Tabel 6.7 Jumlah (Kuantitas) Empat Jenis Barang Paling Laku di Toko ‘Fadel’ Banjarmasin tahun 2012 dan 2013 Jenis barang A B C D



kuantitas 2012 2013 100 110 90 85 70 90 200 250



Berdasarkan data di atas, maka indeks kuantitas agregatif dari 4 jenis barang tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: ƩQ2012 = 100 + 90 + 70 + 200 = 460 ƩQ2013 = 110 + 85 + 90 + 250 = 535



75



Jadi IQ2013,2012 =



Ʃ Q2013 535 x 100= x 100=116,3 Ʃ Q2012 460



Artinya jumlah (kuantitas) empat jenis barang tersebut pada tahun 2013 mengalami kenaikan sebesar 16,3% dibanding tahun 2012. 3. Indeks Nilai Agregatif Indeks nilai agregatif merupakan perbandingan hasil penjumlahan nilai (harga dikali kuantitas) sekelompok barang pada waktu tertentu dengan hasil penjumlahan nilai barang tersebut pada waktu dasar. Secara matematis indeks nilai agregatif dapat dirumuskan dengan: Ʃ N n Ʃ(P n x Q n) = x 100 Ʃ N 0 Ʃ( P 0 x Q 0)



INn,0 =



dengan: INn,0 = indeks nilai agregatif pada tahun n dengan tahun dasar 0 ƩNn = jumlah nilai sekelompok barang pada tahun n ƩN0 = jumlah nilai sekelompok barang pada tahun dasar Contoh: Tabel berikut adalah harga dan jumlah (kuantitas) empat jenis barang paling laku di Toko ‘Fadel’ Banjarmasin tahun 2012 dan 2013. Tabel 6.8 Harga dan Jumlah Empat Jenis Barang Paling Laku di Toko ‘Fadel’ Banjarmasin tahun 2012 dan 2013 Jenis barang A B C D



Harga 2012 2013 3.000 3.000 1.200 1.500 4.250 4.500 900 1.000



Kuantitas 2012 2013 100 110 90 85 70 90 200 200



Berdasarkan data di atas, untuk menghitung indeks nilai dari empat jenis barang tersebut dapat menggunakan tabel bantu sebagai berikut: Jenis



harga



kuantitas



P0Q0



PnQn



76



barang



2012 (P0)



2013 (Pn)



A B C D



3.000 1.200 4.250 900



3.000 1.500 4.500 1.000



jumlah



201 2 (Q0) 100 90 70 200



2013 (Qn) 110 85 90 200



300.00 0 108.00 0 297.50 0 180.00 0 885.50 0



330.000 127.500 405.000 200.000



1.062.50 0



Sehingga indeks nilai tahun 2013 dengan dasar tahun 2012 untuk empat jenis barang tersebut adalah:



IN2013,2012 =



P ¿2013 Q (¿ 1.062.500 2013 ) Ʃ x 100= =119,99 Ʃ(P2012 Q2012 ) 885.500 ¿



Indeks nilai tahun 2013 dengan tahun dasar tahun 2012 dari empat jenis barang tersebut adalah 119,99. Angka ini dapat diartikan bahwa nilai barang dari empat jenis tersebut mengalami kenaikan sebesar 19,99%. E. Indeks Agregatif Tertimbang Perhitungan indeks agregatif tertimbang ini menggunakan suatu besaran tertentu sebagai penimbang, yang selanjutnya disebut faktor penimbang (weight). Untuk menghitung indeks agregatif tertimbang ini dapat menggunakan rumus: Iw =



Ʃ( P n x w) x 100 Ʃ( P0 x w)



Dengan: Iw = indeks tertimbang Pn = harga barang pada tahun n P0 = harga barang pada tahun dasar



77



w = faktor penimbang Ada beberapa macam formulasi indeks agregatif tertimbang, yaitu Formula Laspeyres, Formula Paasche, Formula Fisher, Formula Marshall-Edgeworth, Formula Walsh, Formula Drobisch. Pada bagian ini akan dibahas indeks tersebut dengan jelas. 1. Formula Laspeyres Angka Indeks Laspeyres adalah angka indeks ditimbang dengan kuantitas tahun dasar (Q0) sebagai faktor penimbang. Indeks Laspeyres ini dapat dirumuskan dengan: ILn,0 =



Ʃ( P n Q 0 ) x 100 Ʃ( P0 Q 0 )



Dengan, IL = indeks Laspeyres Pn = harga barang pada tahun n P0 = harga barang pada tahun dasar Q0 = kuantitas barang tahun dasar (faktor penimbang) Contoh: Berdasarkan data pada tabel 6.8 di atas, untuk menghitung Indeks Laspeyres dari empat jenis barang tersebut dapat menggunakan tabel bantu sebagai berikut: Jenis barang



A B C D



jumlah



harga 2012 (P0)



2013 (Pn)



3.000 1.200 4.250 900



3.000 1.500 4.500 1.000



kuantitas 201 2013 2 (Qn) (Q0) 100 110 90 85 70 90 200 200



P0Q0



PnQ0



300.00 0 108.00 0 297.50 0 180.00 0 885.50 0



300.00 0 135.00 0 315.00 0 200.00 0 950.00 0



78



Sehingga Indeks Laspeyres tahun 2013 dengan dasar tahun 2012 untuk empat jenis barang tersebut adalah: IL2013,2012 =



Ʃ(P2013 Q 2012 ) 950.000 x 100= =107,28 Ʃ(P 2012 Q 2012 ) 885.500



Indeks Laspeyres tahun 2013 dengan tahun dasar tahun 2012 dari empat jenis barang tersebut adalah 107,28. Angka ini dapat diartikan bahwa harga barang dari empat jenis tersebut mengalami kenaikan sebesar 7,28%. 2. Formula Paasche Angka Indeks Paasche adalah angka indeks ditimbang dengan kuantitas tahun tertentu (Qn) sebagai faktor penimbang. Indeks Paasche ini dapat dirumuskan dengan: IPn,0 =



Ʃ( P n Qn ) x 100 Ʃ( P0 Qn )



Dengan, IP = indeks Paasche Pn = harga barang pada tahun n P0 = harga barang pada tahun dasar Qn = kuantitas barang tahun tertentu/tahun n (faktor penimbang) Contoh: Berdasarkan data pada tabel 6.8 di atas, untuk menghitung Indeks Paasche dari empat jenis barang tersebut dapat menggunakan tabel bantu sebagai berikut: Jenis barang A B C D jumlah



harga 2012 2013 (P0) (Pn) 3.000 3.000 1.200 1.500 4.250 4.500 900 1.000



kuantitas 2012 2013 (Q0) (Qn) 100 110 90 85 70 90 200 200



P0Qn



PnQn



330.000 102.000 382.500 180.000 994.500



330.000 127.500 405.000 200.000 1.062.500



79



Sehingga Indeks Paasche tahun 2013 dengan dasar tahun 2012 untuk empat jenis barang tersebut adalah: IP2013,2012 =



Ʃ(P2013 Q2013 ) 1.062.500 x 100= =106,84 Ʃ(P2012 Q2013 ) 994.500



Indeks Paasche tahun 2013 dengan tahun dasar tahun 2012 dari empat jenis barang tersebut adalah 106,84. Angka ini dapat diartikan bahwa harga barang dari empat jenis tersebut mengalami kenaikan sebesar 6,84%. 3. Formula Fisher Angka indeks ini merupakan penyempurnaan dari indeks Laspeyres dan Paasche, sehingga dikatakan sebagai Angka Indeks yang Ideal (dari Irving Fisher). Angka indeks ini dirumuskan dengan: IFn,0 =



√ IL x IP



Dengan, IF = indeks dengan Formula Fisher IL = indeks Laspeyres IP = indeks Paasche Contoh: Berdasarkan data tabel 6.8 pada contoh di atas, diperoleh IL=107,28 dan IP=106,84. Sehingga indeks Idealnya, dapat dihitung dengan: IF2013,2012 = √ 107,28 x 106,84 = √ 11.461,7952 = 107,06 Angka ini memberikan arti bahwa harga barang yang meliputi 4 jenis barang A, B, C, D pada tahun 2013 mengalami kenaikan sebesar 7,06% dibanding tahun 2012. 4. Formula Marshall-Edgeworth Angka indeks ini merupakan angka indeks ditimbang yang menggunakan kuantitas tahun dasar (Q0) dan kuantitas tahun tertentu (Q n) sebagai faktor penimbang. Angka indeks ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus:



80



IMEn,0 =



Ʃ[ Pn ( Q0 +Q n ) ] Ʃ[ P0 ( Q0 +Q n ) ]



x 100



Dengan: IME = indeks dengan Formula Marshall-Edgeworth P0 ; Q0 = harga dan kuantitas tahun dasar Pn ; Qn = harga dan kuantitas tahun tertentu (n) Contoh: Untuk menghitung Angka Indeks Marshall-Edgeworth data pada tabel 6.8 di atas, dapat digunakan tabel bantu sebagai berikut: Barang



A B C D



Harga 2012 2013 (P0) (Pn) 3.000 3.000 1.200 1.500 4.250 4.500 900 1.000



Kuantitas 2012 2013 (Q0) (Qn) 100 110 90 85 70 90 200 200



jumlah



Q0+Qn



P0( Q0+Qn)



Pn( Q0+Qn)



210 175 160 400



630.000 210.000 680.000 360.000



630.000 262.500 720.000 400.000



1.880.000



2.012.500



Dari tabel bantu di atas maka dapat dihitung indeks Marshall-Edgeworth dari keempat jenis barang, yaitu: IME2013,2012 =



2.012.500 x 100=107,05 1.880 .000



Angka ini memberikan arti bahwa harga barang yang terdiri dari 4 jenis (A,B,C,D) tersebut pada tahun 2013 mengalami kenaikan sebesar 7,05% dibanding tahun 2012. 5. Formula Walsh Angka indeks dengan Formula Walsh ini merupakan angka indeks yang menggunakan akar dari hasil kali antara Q 0 dan Qn dalam perhitungannya. Angka indeks ini dapat dirumuskan dengan: Ʃ(P n √ Q 0 Q n) x 100 IWn,0 = Ʃ(P0 √ Q 0 Q n) Dengan:



81



IW = indeks dengan Formula Walsh P0 ; Q0 = harga dan kuantitas tahun dasar Pn ; Qn = harga dan kuantitas tahun tertentu (n) Contoh: Untuk menghitung Angka Indeks Walsh data pada tabel 6.8 di atas, dapat digunakan tabel bantu sebagai berikut: Barang



A B C D



Harga 2012 2013 (P0) (Pn) 3.000 3.000 1.200 1.500 4.250 4.500 900 1.000



Kuantitas 2012 2013 (Q0) (Qn) 100 110 90 85 70 90 200 200



jumlah



√ Q0 Qn 104,88 87,46 79,37 200



P0 √ Q0 Qn



Pn √ Q0 Qn



314.640 104.952 337.322,5 180.000



314.640 131.190 357.165 200.000



936.914,5



1.002.995



Dari tabel bantu di atas maka dapat dihitung indeks Walsh dari keempat jenis barang, yaitu: IW2013,2012 =



1.002 .995 x 100=107,05 936.914,5



Angka ini memberikan arti bahwa harga barang yang terdiri dari 4 jenis (A,B,C,D) tersebut pada tahun 2013 mengalami kenaikan sebesar 7,05% dibanding tahun 2012. 6. Formula Drobisch Angka indeks ini dihitung dengan menjumlahkan indeks Laspeyres dan indeks Paasche dibagi 2. Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut: IDn,0 =



IL n+ IP n 2



Dengan: IDn,0 = indeks dengan Formula Drobisch IL = indeks Laspeyres IP = indeks Paasche Contoh:



82



Berdasarkan data pada tabel 6.8 di atas, telah diperoleh IL=107,28 dan IP=106,84. Sehingga indeks Drobisch dapat dihitung dengan, 107,28+106,84 214,12 = =107,06 2 2 Angka tersebut memberikan arti bahwa harga keempat jenis barang A,B,C,D pada tahun 2013 mengalami kenaikan sebesar 7,06% dibanding tahun 2012. ID2013,2012 =



F. Indeks Berantai Merupakan perbandingan yang bersifat pasangan dan disusun secara berantai dari tahun ke tahun. Umumnya lebih fleksibel terhadap pergantian jenis barang ataupun timbangan (weight) dibandingkan dengan angka-angka indeks biasa sebelumnya. Cara menghitungnya sama dengan perhitungan indeks biasa, hanya harus ditentukan terlebih dahulu berapa satuan (tahun) waktu sebelumnya yang akan digunakan sebagai tahun dasar. Secara umum Indeks Berantai dirumuskan dengan: IB =



Xn x 100 X n−1



Dengan: IB = indeks berantai Xn = variabel tahun tertentu (tahun n) Xn-1 = variabel pada tahun n-1 Contoh: Dengan menggunakan data pada tabel 6.2, diketahui harga gula pasir per kg di Banjarmasin tahun 2007-2012 adalah: Tahun Harga (Rp)



2007 5.500



2008 6.000



2009 6.500



2010 8.000



2011 8.500



2012 10.000



Berdasarkan data tersebut, maka kita dapat menghitung indeks berantai masingmasing tahun sebagai berikut: I2008,2007 =



H 2008 6.000 x 100= x 100=109,09 H 2007 5.500



83



H 2009 6.500 x 100= x 100=108,33 , dan seterusnya. H 2008 6.000 G. Contoh Penggunaan Khusus Angka Indeks ( Angka Indeks Untuk Menghitung Upah Riil) Pada contoh ini, akan terlihat bahwa upah nominal yang tinggi tidak selalu mencerminkan tingkat hidup yang lebih baik. Mengapa demikian? Sebab biarpun upah nominalnya tinggi tetapi perkembangan tingkat harga dari barang-barang kebutuhan pokoknya juga tinggi (atau bahkan lebih tinggi), maka upah riilnya akan menurun. Untuk perhitungan upah riil ini, dapat digunakan rumus: I2009,2008 =



Upa h Nominal( Rp) Indeks Harga ()



Upah Riil =



x 100%



Contoh: Data berikut ini menunjukkan perhitungan upah riil jika upah nominal dan indeks harga diketahui. Tabel 6.9 Perhitungan Upah Riil (Rp) Tahun 2008-2013 Tahun 2008 2009 2010 2011 2012 2013



Upah Nominal (Rp) 3.000.000 3.000.000 3.200.000 3.200.000 3.400.000 3.450.000



Indeks Harga (%) 100 160 200 210 225 240



Upah riil tersebut dihitung dengan cara: Upah riil2008 = Upah riil2009 = Upah riil2010 = Upah riil2011 =



3.000 .000 x 100=3.000 .000 100 3.000 .000 x 100=1.875 .000 160 3.200 .000 x 100=1.600 .000 200 3.200 .000 x 100=1.523 .809,5 210



Upah Riil (Rp) 3.000.000 1.875.000 1.600.000 1.523.809,5 1.511.111,1 1.437.500



84



3.400 .000 x 100=1.511 .111,1 dan seterusnya. 225 Berdasarkan hasil perhitungan upah riil di atas, dapat diartikan bahwa biarpun upah nominal meningkat, tetapi jika kenaikan harga melebihi dari kenaikan upah nominalnya, maka didapatkan indeks upah riil yang menurun. Hal ini juga dapat dikatakan bahwa daya beli upah tahun 2013 lebih rendah dibanding tahun 2008. Upah riil2012 =



SOAL LATIHAN: 1. Jelaskan pengertian angka indeks dan contohkan kegunaannya! 2. Jelaskan perbedaan angka indeks tertimbang dan angka indeks tidak tertimbang! 3. Jelaskan keuntungan dari indeks berantai! 4. Data berikut menunjukkan rata-rata harga minyak goreng per liter selama 6 tahun terakhir di kota Banjarmasin (tahun 2008-2013). Tahun Harga (Rp)



2008 10.000



2009 10.200



2010 10.500



2011 10.500



2012 11.000



2013 12.000



Berdasarkan data tersebut, hitunglah: a. Angka indeks harga minyak goreng dengan tahun dasar 2008 b. Jelaskan kenaikan harga untuk masing-masing tahun. 5. Berdasarkan data pada soal no.4 di atas, hitunglah angka indeks berantai untuk masing-masing tahun. 6. UD ‘FADEL’ adalah sebuah usaha bengkel sekaligus melayani penjualan sparepart sepeda motor. Berikut adalah rata-rata harga pokok penjualan dan kuantitas dari 5 barang yang paling laku pada tahun 2012 dan 2013 . Barang



Tahun 2012 Tahun 2013 Harga Kuantitas Harga Kuantitas Ban luar 100.000 120 120.000 150 Ban dalam 20.000 600 25.000 750 Oli 30.000 700 32.000 750 Busi 10.000 100 10.000 90 Rantai 50.000 50 65.000 60 Berdasarkan data tersebut, hitunglah: a. Indeks harga dan kuantitas agregatif tahun 2013 dengan tahun 2012 sebagai tahun dasar b. Indeks harga dan kuantitas agregatif tertimbang dengan formula Laspeyres dan Paasche c. Angka indeks Ideal (formula Fisher)



85



8. Berikut ini adalah data produksi garam di PT. Sarana Cipta Mandiri Banjarbaru selama 7 tahun terakhir (2007 -2013) Tahun 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013



Jumlah produksi (ton) 750 800 805 775 900 840 870



Berdasarkan data di atas, hitunglah: a. Angka Indeks Sederhana untuk seluruh tahun dengan menggunakan tahun 2007 sebagai tahun dasar b. Geser tahun dasar menjadi tahun 2010 kemudian hitung indeks sederhananya untuk masing-masing tahun. c. Buatlah indeks berantainya. 9. Berdasarkan data pada soal no. 6, hitunglah: a. Indeks Walsh b. Indeks Drobish c. Indeks Marshall-Edgeworth 10. Data berikut menunjukkan informasi mengenai gaji si Fulan dan Indeks Harga Konsumen (IHK) tahun 2002 dan 2012. Tahun Gaji (Rp) Indeks Harga Konsumen (IHK) 2002 2.100.000 100 2012 2.500.000 145 Berdasarkan data di atas, Anda diminta untuk: a. Tentukan gaji riil si Fulan tahun 2012 dengan tahun dasar tahun 2002. b. Jelaskan arti dari hasil perhitungan pada soal a.



10. Diketahui harga dan kuantitas 3 jenis kain di pasar Sudimampir Banjarmasin tahun 2010 dan 2013 sebagai berikut: No.



Jenis Kain



Kuantitas 2010 2013



Harga/meter 2010 2013



86



1. 2. 3.



sutra katun tetoron



200 300 200



220 450 150



100.000 70.000 20.000



Dari data diatas, hitunglah Angka Indeks Idealnya. 11. Carilah data (dapat berupa data penjualan, data pembelian, data keuntungan dll) dari toko/warung dekat tempat tinggal Anda. Buatlah urutan data tersebut selama 7 waktu terakhir (sebagai contoh lihat soal no.8 di atas). Catatan: untuk waktu Anda bisa menggunakan minggu, bulan atau yang lain. Berdasarkan data tersebut hitunglah: a. Angka Indeks Sederhana untuk seluruh waktu dengan menggunakan tahun paling awal sebagai tahun dasar b. Buatlah indeks berantainya.



125.000 75.000 25.000



87



BAB 7 DERET BERKALA



MATERI: Pada bab ini akan dibahas materi tentang: - Pengertian dan Kegunaan Deret Bekala - Komponen Deret Berkala - Trend dan Metode Menentukan Garis Trend - Penggunaan Trend untuk Peramalan TUJUAN: Setelah selesai mempelajari bab ini Anda diharapkan mampu: - Memahami pengertian dan kegunaan deret berkala - Memahami komponen deret berkala - Menentukan dan menggambar garis trend - Dapat menggunakan persamaan trend untuk peramalan



A. Pengertian dan Kegunaan Deret Berkala



88



Deret berkala (Time Series) adalah data yang disusun berdasarkan urutan waktu atau data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Waktu yang digunakan dapat berupa hari, minggu, bulan, tahun, dsb. Data berkala berhubungan dengan data statistik pada interval tertentu, seperti: penjualan, harga, persediaan, produksi, tenaga kerja dan lain-lain. Agar pergerakan perkembangan nilai data dari waktu ke waktu mudah diketahui, maka pola perubahannya digambarkan dengan sebuah grafik. Grafik yang dihasilkan dapat berupa garis yang menggambarkan hubungan antara waktu dengan nilai data dari waktu ke waktu. Analisis deret berkala mempunyai kegunaan dalam memperkirakan nilai suatu variabel untuk masa yang akan datang. Tentunya hal ini sangat penting sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan kebijakan atau pengambilan keputusan. Kegunaan dari analisis deret berkala adalah: 1. Mengetahui kecenderungan nilai variabel dari waktu ke waktu. 2. Meramalkan nilai suatu variabel pada suatu waktu tertentu di masa yang akan datang. B. Komponen Deret Berkala Dalam deret berkala terdapat 4 komponen variasi, yaitu Trend (Secular Trend), Variasi Musiman (Seasonal Variations), Fluktuasi Siklis (Cyclical Fluctuations), dan Gerak Tidak Beraturan (Irregular Movements). 1. Trend (Secular Trend) Adalah perubahan nilai variabel yang relatif stabil dari waktu ke waktu. Arah perubahan ini dapat digambarkan dengan garis linier yang halus (smooth).



Menurut geraknya kita dapat membedakan 3 macam trend, yaitu: - Trend naik (Upward Trend) Contoh: trend naik biaya hidup, jumlah penduduk, jumlah sepeda motor di kota Banjarmasin, dan lain-lain - Trend tetap (Constant Trend) Contoh: trend tetap kapasitas sebuah ruangan, gedung.



89



-



Trend turun (Downward Trend) Contoh: Trend turun pekerja di sektor pertanian, jumlah lahan pertanian, dan lain-lain. 2. Variasi Musiman (Seasonal Variations) Adalah perubahan nilai suatu variabel dari waktu ke waktu sebagai akibat dari adanya musim tertentu. Biasanya berlaku untuk jangka waktu yang relatif pendek, misalnya sebulan, seminggu atau sehari. Contohnya peningkatan volume penjualan pada saat menjelang lebaran, natal atau hari-hari besar yang lain. 3. Fluktuasi Siklis (Cyclical Fluktuations) Adalah perubahan nilai variabel dari waktu ke waktu yang disebabkan oleh faktor-faktor ekonomi. Sehingga disebut juga sebagai siklus bisnis (Business Cycle). Siklusnya adalah : -Periode Kemakmuran (prospesity). -Periode Kemunduran (secessen). -Periode Kesukaran (depression). -Periode Pemulihan (recovery). -



Keterangan: X = garis perkembangan normal A = puncak masa kemakmuran B = puncak kemunduran C = masa kesukaran paling bawah D1 = masa pemulihan Jangka waktu D – D1 disebut satu periode; sedangkan A – A1 disebut amplitude. 4. Gerak Tidak Beraturan (Irregular Movements)



90



Merupakan gerakan yang berbeda-beda dalam waktu yang singkat, tidak diikuti pola yang teratur, serta tidak dapat diperkirakan. Biasanya ditimbulkan karena perang, timbul pemogokan buruh, kematian pimpinan perusahaan, bencana alam, kebijakan baru pemerintah, dan lain-lain. Selanjutnya, pembahasan dalam bab ini hanya membatasi pada masalah trend (Secular Trend). C. Trend/Secular Trend dan Metode Menentukan dan Menggambar Trend Asumsi : Nilai variabel dan waktu mempunyai hubungan yang linier. Oleh karena itu analisis trend digunakan untuk menentukan suatu garis lurus yang betul-betul dapat menggambarkan nilai variabel tersebut dari waktu ke waktu. Apabila asumsi yang digunakan adalah bahwa pergerakan nilai Y dari waktu ke waktu membentuk garis linier, hubungan antara nilai Y dengan waktu (X) dapat ditulis sebagai berikut: Y = a + bX dimana : Y a b X



= = = =



nilai variabel Y pada suatu waktu perpotongan antara garis trend dengan sumbu Y kemiringan (slope) garis trend waktu



Beberapa metode menentukan garis trend: 1. Free-Hand Method (Metode Bebas) Adalah metode yang sangat sederhana serta tidak memerlukan perhitungan yang rumit, namun metode ini cenderung subyektif. Langkah-langkahnya: a. Data observasi digambarkan dalam diagram pencar (scatter plot), b. Dari diagram pencar tersebut, ditarik garis lurus secara bebas, arah garis sesuai dengan letak titik-titiknya. Contoh: Tabel 7.1



91



Data Rata-Rata Jumlah Penjualan Garam Cap ‘Ikan Duyung’ di Banjarmasin dari tahun 2002 - 2013 (dalam ton). 2002 10



’03 15



’04 20



’05 25



’06 30



’07 35



’08 40



’09 45



’10 50



’11 55



’12 60



Jika digambar, maka akan diperoleh garis trend seperti di bawah ini. 70 60



trend



50 40 30 20 10 0 2002 ’03



’04



’05



’06



’07



’08



’09



’10



’11



’12



’13



Gambar 7.1. Garis Trend 2. Semi-Average Method (Metode Semi Rata-rata) Adalah mencari rata-rata setiap bagian setelah data observasi dibagi menjadi dua bagian. Perlu diperhatikan tentang jumlah datanya (N) apakah ganjil/genap. Langkah-langkahnya : a. Membagi data observasi menjadi 2 bagian yang sama b. Menghitung jumlah setiap bagian (jumlah semi total) c. Menghitung rata-rata setiap bagian, yaitu X 1 dan X 2 d. Menghitung nilai b dengan rumus: X 2  X1 n b= e. Menentukan persamaan garis trend f. Menghitung nilai trend dan menggambarkan trendnya.



’13 65



92



Catatan: - Jika data observasi (N) jumlahnya genap maka data akan tepat terbagi menjadi 2 bagian, dengan komposisi genap-genap atau ganjil-ganjil. - Jika data observasi (N) jumlahnya ganjil maka data yang ada di tengah dihilangkan. Contoh : Dari jumlah penjualan garam pada 12 tahun terakhir (tabel 7.1), buatlah persamaan garis trendnya dan berapakah perkiraan jumlah penjualan tahun 2022? Jawab: Data pada tabel 7.1 dihitung dengan tabel bantu sebagai berikut: Tabel 7.2 Perhitungan Trend Rata-Rata Jumlah Penjualan Garam Cap ‘Ikan Duyung’ di Banjarmasin dari tahun 2002 - 2013 (dalam ton). Tahun 2002 2003 2004 2005 2006 2007



Jumlah (ton) 10 15 20 25 25 25



2008 2009 2010 2011 2012 2013



35 40 45 50 55 65



Semi Total



120



290



Rata-rata



X1 



X2 



120  20 6



290  48,33 6



Untuk jumlah data ganjil, silakan dicoba sendiri sebagai latihan !!! 3. Moving-Average Method (Metode Rata-rata Bergerak)



93



Metode ini disebut juga dengan metode rata-rata bergerak terpusat, karena rata-rata bergerak diletakkan pada pusat periode yang digunakan. Setelah ratarata dihitung, diikuti gerakan satu periode ke belakang. Langkah-langkahnya: a. Tentukan untuk rata-rata bergerak perberapa tahun; b. Menghitung jumlah data perberapa tahun dari poin (a); c. Menghitung rata-rata dari data paling awal; d. Menghitung data yang pertama; e. Mengulangi tahap (b) dan tahap (c). Contoh : Dari informasi ekspor propinsi Kalimantan Selatan didapatkan data tahun 2000 - 2008 sebagai berikut : Tabel 7.3 Jumlah Ekspor Propinsi Kalimantan Selatan Tahun 2000-2008 Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008



Jumlah ekspor (dalam ribuan ton) 125 155 176 155 180 580 675 800 980



Berdasarkan data di atas, tentukan: - trend rata-rata bergerak dengan dasar 3 tahun ! - trend rata-rata bergerak dengan dasar 4 tahun ! Untuk menyelesaikan masalah tersebut, kita memerlukan tabel bantu sebagai berikut: Tahun



Ekspor



2000 2001



125 000 155.000



Jumlah bergerak per 3 thn 456.000



Rata-rata Bergerak per 3 th 152.000



94



-



2002 176.000 486.000 162.000 2003 155.000 511.000 170.333 2004 180.000 915.000 305.000 2005 580.000 1.435.000 478.333 2006 675.000 2.055. 000 685.000 2007 800.000 2.455.000 818.333 2008 980.000 periode 2000 - 2002 Jumlah bergerak = 125.000 + 155.000 + 176.000 = 456.000 Rata-rata bergerak =



-



456.000 =152.000 3



periode 2001 – 2003 jumlah bergerak = 155.000 + 176.000 + 155.000 = 486.000 Rata-rata bergerak =



486.000 =162.000 3



Dan seterusnya, silakan dihitung sendiri sebagai latihan.........



Sedangkan untuk perhitungan rata-rata bergerak dengan dasar 4 tahun dilakukan dengan cara sebagai berikut:



Tahun



Ekspor



Jumlah bergerak per 4 thn



Trend (Recentered)



2000



125 000



-



-



95



2001



155.000



2002



176.000



2003



155.000



2004



180.000



2005



580.000



2006



675.000



2007



800.000



2008



980.000



611.000/4 =152.750



159.625 (2002)



666.000/4 = 166.500 219.625 (2003) 1.091.000/4 = 272.750 335.125 (2004) 1.590.000/4 = 397.500 478.125 (2005) 2.235.000/4 = 558.750 658.750 (2006) 3.035.000/4 = 758.750 -



-



-



-



4. Least-Squares Method (Metode Jumlah Kuadrat Terkecil) Metode ini sering digunakan untuk menentukan persamaan trend dan untuk peramalan nilai variabel pada waktu yang akan datang. Persamaan trend yang dibahas di sini adalah hanya persamaan trend linier yang berbentuk Y = a + bX. Langkah-langkahnya: a. Lihat jumlah data (N = ganjil atau genap) b. Tentukan nilai X (simpangan), total nilai X harus sama dengan 0. c. Bentuklah persamaan trend dalam bentuk Y = a + bX Ʃ XY ƩY Dengan a = dan b = 2 N ƩX d. Untuk menghitung perkiraan pada tahun tertentu, gantilah X dengan nilai simpangan pada tahun yang dimaksud. Perhitungan akan dibedakan untuk jumlah data (N) genap dan N ganjil. Contoh: Perhitungan untuk jumlah data (N) ganjil.



96



Dari data pada tabel 7.2 di atas, kita ambil 11 data terakhir maka dapat dilakukan perhitungan seperti pada tabel berikut: Tabel 7.4 Perhitungan Persamaan Trend dengan Menggunakan Metode Jumlah Kuadrat Terkecil untuk Data Ganjil Tahun 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 11 N



Jumlah penjualan (Y) 15 20 25 25 25 35 40 45 50 55 65 400 ΣY



Simpangan (x) -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 0 ΣX



X2



XY



25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 110



-75 -80 -75 -50 -25 +0 40 90 150 220 325 520



ΣX2



ΣXY



Y 400   36,4 11 a= N



XY 520   4,7 2 110 b = X sehingga diperoleh persamaan trend Y = 36,4 + 4,7 X



Misalnya kita ingin memperkirakan jumlah penjualan garam pada tahun 2020, maka: Y2020 = 36,4 + 4,7 (13), karena pada tahun 2020 nilai X =13 = 36,4 + 61,1 = 97,5



97



Contoh: Perhitungan untuk jumlah data (N) genap. Dari data pada tabel 7.2 di atas, dapat dilakukan perhitungan seperti pada tabel berikut: Tabel 7.5 Perhitungan Persamaan Trend dengan Menggunakan Metode Jumlah Kuadrat Terkecil untuk Data Genap Tahun



2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 12 Σn



Jumlah Penjualan (Y)



Simpangan (x)



X2



XY



10 15 20 25 25 25 35 40 45 50 55 65 410



-11 -9 -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7 +9 +11 0



121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121 572



-110 -135 -140 -125 -75 -25 +35 120 225 350 495 715 1330



ΣX2



ΣXY



ΣY



ΣX



Y 410   34,2 12 a= N



XY 1330   2,3 2 572 b = X



sehingga diperoleh persamaan trend Y = 34,2 + 2,3 X



98



SOAL LATIHAN: 1. Jelaskan, apa kegunaan dari deret berkala, dan contohkan! 2. Apa yang dimaksud dengan trend naik, trend tetap dan trend turun? Contohkan masing-masing! 3. Data berikut menunjukkan volume penjualan barang-barang kebutuhan pokok di Kota Banjarmasin selama 6 tahun terakhir (dalam ratusan juta rupiah) Tahun Volume penjualan



2008 120



2009 130



2010 125



2011 120



2012 150



2013 155



Berdasarkan data di atas, a. Gambarkan data aslinya dalam diagram b. Gambarkan trend dengan metode rata-rata bergerak dengan dasar 3 tahun c. Gambarkan trend dengan metode rata-rata bergerak dengan dasar 4 tahun 4. Berdasarkan data pada no.3 di atas, a. Tentukan trend dengan metode jumlah kuadrat terkecil dan gambarkan b. Berdasar hasil perhitungan pada no.a, perkirakan volume penjualan pada tahun 2020. 5. Berikut ini adalah data yang menunjukkan kenaikan biaya promosi dan kenaikan penjualan barang di PT. Sarana Cipta Mandiri Banjarbaru selama 5 tahun terakhir. Misalkan X = persentase kenaikan biaya promosi dari tahun ke tahun ke tahun Y = persentase kenaikan penjualan barang dari tahun ke tahun



Tahun 2009 2010 2011 2012 2013



Promosi (%) 4 5 7 6 9



Penjualan (%) 6 7 9 10 12



Dengan menggunakan metode jumlah kuadrat terkecil, dengan persamaan regresi Y’ = a + bX, berapakah perkiraan penjualan barang pada tahun 2015, apabila pada tahun tersebut terjadi kenaikan promosi sebesar 10%.



99



6. Sebuah bengkel sepeda motor ‘FADEL’ ingin melaksanakan program ekspansi. Untuk melaksanakan program tersebut terlebih dahulu perlu informasi mengenai perkiraan volume penjualan untuk tahun yang akan datang. Berikut ini data volume penjualan dari tahun 2008 - 2013. Tahun Penjualan



2008 140



2009 190



2010 220



2011 250



2012 310



2013 350



Berdasarkan data di atas, a. Tentukan persamaan garis trend penjualan tersebut dengan menggunakan metode semi rata-rata b. Buatlah perkiraan penjualan tahun 2014 – 2020 7. Sebuah jenis pipa PDAM di kota Banjarmasin diketahui mempunyai kapasitas maksimum mengalirkan air sebanyak 500.000 liter per hari. Pengoperasian selama tahun 2008 – 2012, diperoleh informasi bahwa kapasitas air yang mengalir rata-rata setiap hari pada tahun tertentu sebagai berikut ( dalam ribu liter). Tahun 2008 2009 2010 2011 2012 Produksi 250 275 290 300 340 Berdasarkan data di atas, a. Tentukan persamaan trendnya dengan menggunakan metode jumlah kuadrat terkecil b. Dengan menggunakan trend yang diperoleh pada soal a, buatlah perkiraan kapasitas air yang mengalir pada pipa tersebut pada tahun 2015. c. Dengan menggunakan persamaan trend yang diperoleh pada soal a, lakukan peramalan tahun berapa air yang mengalir pada pipa tersebut sesuai dengan kapasitas maksimumnya. 8. Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang properti ingin membuat ramalan laba pada tahun-tahun yang akan datang berdasarkan laba pada tahun-tahun terdahulu. Berikut ini adalah laba yang diperoleh perusahaan tersebut dari tahun 2005 – 2013 (dalam puluhan juta rupiah) Tahun Laba



2005 36



‘06 40



‘07 50



‘08 56



‘09 60



‘10 72



‘11 86



‘12 90



‘13 100



Berdasarkan pada data di atas, a. Buatlah persamaan trendnya dengan menggunakan metode jumlah kuadrat terkecil



100



b. Berdasarkan persamaan trend yang diperoleh pada soal a, perkirakan laba perusahaan tersebut untuk tahun 2015, 2016 dan 2017. c. Berdasarkan data di atas, tentukan besarnya perubahan laba setiap tahun 11. Dengan menggunakan data pada soal no.9, gambarkan garis trendnya dengan menggunakan metode bebas. 12. Dengan menggunakan data pada soal no. 11 dalam Bab 6 diatas, perkirakan data (penjualan/pembelian/keuntungan sesuai dengan data yang Anda dapatkan), untuk 5 waktu (minggu/bulan/tahun) yang akan datang.



101



BAB 8 REGRESI DAN KORELASI



MATERI: Pada bab ini akan dibahas materi tentang: - Persamaan Regresi Linier - Koefisien Korelasi - Koefiisien Determinasi TUJUAN: Setelah selesai mempelajari bab ini Anda diharapkan mampu: - Memahami variabel dependen dan variabel independen - Membuat persamaan regresi linier - Menggunakan persamaan regresi linier untuk penaksiran - Menghitung dan menginterpretasikan nilai koefisien korelasi dan koefisien determinsi.



A. Persamaan Regresi Linier



102



Analisis regresi bertujuan untuk menentukan persamaan regresi yang baik dan dapat digunakan untuk menaksir nilai variabel dependen. Taksiran yang dihasilkan diharapkan merupakan taksiran yang terbaik (yaitu taksiran dengan kesalahan yang terkecil. Regresi yang dibahas pada bab ini adalah analisa regresi linear sederhana (Simple Linier Regression Analysis). Dikatakan sederhana, karena dalam analisis ini hanya melibatkan dua variabel, yaitu : - Variabel yang mempengaruhi/variabel bebas (Indenpendent Variable). - Variabel yang dipengaruhi/variabel terikat (Dependent Variable). Dikatakan Linier, karena asumsi yang digunakan bahwa hubungan antara 2 variabel yang dianalisis menunjukkan hubungan linier. Bentuk persamaan regresi linier adalah: Y = a + bX dimana: a = konstanta (nilai Y apabila X = 0) b = koefisien regresi (kenaikan atau penurunan taksiran nilai Y jika X berubah satu unit). Y = nilai variabel yang nilai variabelnya dipengaruhi variabel lain (dependent variable). X = nilai variabel yang mempengaruhi nilai variabel lain (independent variable). Persamaan Y = a +bX akan ditaksir dengan menggunakan Y’ = a + bX, dengan Y’ = nilai taksiran untuk Y sedangkan a dan b diperoleh dari data observasi. Untuk mendapatkan persamaan regresi tersebut, akan digunakan metode jumlah kuadrat terkecil ( Least Sum of Square Method). Pada metode ini nilai konstanta (a) dan nilai koefisien regresi (b) dapat dihitung dengan menggunakan rumus: b= data.



n Ʃ XY −Ʃ X ƩY n Ʃ X 2−(Ʃ X )2



dan a =



ƩY ƩX −b n n



dengan n = jumlah



103



Contoh: Perusahaan batik "Shafira" ingin memproduksi hubungan fungsional antara biaya produksi (jutaan rupiah) dengan jumlah yang diproduksi. Biaya Produksi (Y) Jumlah (X)



64 20



61 16



84 34



70 23



88 27



92 32



72 18



77 22



Tentukan persamaan regresi linier yang menunjukkan hubungan antara biaya produksi (Y) tergantung dari jumlah yang diproduksi (X). Untuk menjawab masalah tersebut diperlukan tabel bantu sebagai berikut: Tabel 8.1 Perhitungan Untuk Menentukan Persamaan Regresi Linier Y



X



XY



X2



Y2



64 61 84 70 88 92 72 77 Σ = 608



20 16 34 23 27 32 18 22 Σ = 192



1280 976 2856 1610 2376 2944 1296 1694 Σ = 15.032



400 256 1156 529 729 1024 324 484 Σ = 4.902



4096 3271 7056 4900 7744 8464 5184 5929 Σ = 47.094



Dari data di atas, dapat dihitung: b=



n Ʃ XY −Ʃ X ƩY 8(15.032)−( 608 ) (192) 3.520 = = =1,5 2 2 2 2.352 n Ʃ X −(Ʃ X ) 8 ( 4.902 )−(192)



a=



ƩY Ʃ X 608 192 −b = −( 1,5 ) =76−( 1,5 ) 24=40 n n 8 8



jadi diperoleh Y’= 40 + 1,5 X



104



B. Koefisien Korelasi (r) Asumsi yang digunakan disini yaitu terdapat hubungan antara dua variabel yang digunakan dalam analisis (variabel X dan variabel Y). Tujuan dari perhitungan koefisien korelasi ini adalah untuk mengetahui keeratan hubungan antara dua macam variabel yang diamati. Jika : r=0 : berarti tidak ada hubungan antara dua variabel tersebut π = ± 1 : berarti dua variabel tersebut mempunyai hubungan yang sempurna. Sedangkan tanda (+) dan (-) mempunyai arti: (-) : Menunjukkan hubungan yang berlawanan arah Misal: Variabel yang satu naik, nilai variabel yang lain turun (+) : Menunjukkan hubungan yang searah Misal: Variabel satu naik, nilai variabel lain juga naik. Rumus: n Ʃ XY −Ʃ X ƩY √n Ʃ X −(Ʃ X)2 √ n Ʃ Y 2−( ƩY )2



r=



2



Contoh: Dengan menggunakan contoh di atas, dan menggunakan tabel 8.1 dapat diperoleh: r =



8 ( 15.032 )−( 192 ) (608)



√8 ( 4.902 )−(192)2 √ 8 ( 47.094 )−(608)2



=



120.256−116.736 √2352 √7088



=



3520 =0,86 4083



Jadi korelasi antara biaya produksi dan jumlah yang diproduksi adalah 0,86. C. Koefisien Determinasi (r2)



105



Adalah ukuran yang menunjukkan variabel dependen yang dapat dijelaskan (explained) oleh persamaan (model) yang diperoleh. Atau menunjukkan persentase pengaruh semua variabel independen yang terdapat didalam persamaan terhadap variabel dependennya. Misalnya dari hasil perhitungan pada koefisien korelasi (r) di atas didapatkan r = 0,86 Sehingga nilai r2 = (0,86)2 = 0,7396 = 73,96% Angka tersebut mempunyai arti bahwa Y dipengaruhi oleh X sebesar 73,96%. Sedangkan sisanya sebesar 26,04% dipengaruhi oleh variabel lain di luar persamaan tersebut. D. Penaksiran Nilai Variabel Dependen Penaksiran ini dilakukan dengan cara memasukkan independennya ke dalam persamaan regresi yang dimaksud.



nilai



variabel



Contoh: Berdasarkan persamaan regresi yang diperoleh pada contoh di atas yaitu Y = 40 + 1,5 X , maka kita dapat menghitung taksiran biaya total pada tingkat produksi 150 lembar. Caranya : Masukkan nilai X = 150 ke dalam persamaan regresi dan didapatkan : Y = 40 + 1,5 (150) = 40 + 225 = 265 Artinya: Biaya produksi yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi kain batik sebanyak 150 lembar ditaksir sebesar 265 juta rupiah.



106



SOAL LATIHAN: 1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan garis regresi! 2. Dalam analisa regresi dan korelasi terdapat beberapa istilah: a. Koefisien regresi b. Koefisien korelasi c. Koefisien determinasi Jelaskan masing-masing istilah tersebut dengan singkat! 3. Data berikut adalah data usia (X) dan detak jantung (Y) dari beberapa pasien di Puskesmas Kayutangi Banjarmasin. Usia (X) Tekanan Darah (Y)



56 140



42 120



70 160



36 110



63 135



47 120



55 150



Berdasarkan data di atas, a. Tentukan persamaan garis regresinya b. Hitunglah besarnya koefisien regresinya c. Hitunglah koefisien korelasinya d. Berapa taksiran tekanan darah seseorang yang berusia 80 tahun e. Gambarkan garis regresinya. 4. Berikut menunjukkan data tempat duduk berdasarkan baris pada waktu mengikuti kuliah (X) dengan nilai ujian yang diperoleh (Y) dari 10 mahasiswa STIE Indonesia Banjarmasin untuk mata kuliah Statistika. Baris (X) Nilai (Y)



6 90



1 79



4 87



3 98



25 60



12 86



9 73



30 55



13 80



27 71



Berdasarkan data di atas, a. Koefisien korelasinya b. Koefisien determinasinya c. Tentukan persamaan garis regresinya. 5. Dalam suatu penelitian dengan menggunakan satu variabel bebas dan satu variabel terikat, mempunyai nilai koefisien determinasi sebesar 74%. Jelaskan artinya. 6. Dengan menggunakan soal no.3 di atas, sebutkan mana variabel bebasnya dan mana variabel terikatnya. 7. Dengan menggunakan soal no.4 di atas, sebutkan mana variabel bebasnya dan mana variabel terikatnya.



107



8. Gaji yang diterima oleh 8 karyawan UD ‘Fadel’ dipengaruhi oleh masa kerja karyawan tersebut yang dilaporkan dengan tabel di bawah ini: Masa kerja dalam tahun. Gaji dalam ribuan rupiah perjam Karyawan Masa Kerja Gaji



Lia 1 5



Ani 2 7



Raihan 7 15



Jazuli 6 12



Rudi Enor 5 8 10 16



Nuli 9 25



Adul 3 8



Berdasarkan pada data di atas, a. Buatlah persamaan garis regresinya b. Taksirlah gaji per jam untuk karyawan yang mempunyai masa kerja 12 tahun dan 16 tahun. c. Carilah koefisien determinasinya d. Jelaskan nilai koefisien determinasi tersebut.



108



DAFTAR PUSTAKA Algifari, Statistika Deskrptif Plus untuk Ekonomi dan Bisnis, Edisi Revisi, UPP STIM YKPN, Yogyakarta, 2013. Budiyuwono Nugroho, Drs., Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan, Edisi Revisi, Cetakan Kedua, UPP AMP YKPN, Yogyakarta, 1995. Hazransyah, Irfani, Ir., M.M., Materi Kuliah Statistik I, Tidak dipublikasikan, STIE Indonesia,1995. Sekaran Uma, Research Methods for Business, Buku 1, Edisi 4, Salemba Empat, Jakarta, 2006. Setiawan, Budi, SE., M.Si., Menganalisa Statistik Bisnis dan Ekonomi dengan SPSS 21, Penerbit Andi, Yogyakarta, 2013. Spiegel, Murray R., (Terjemahan I Nyoman Susila dan Ellen Gunawan) Statistik, Edisi kedua, Sari Buku Schaum, Erlangga, Jakarta, 1994. Suharyadi, Purwanto, S.H., Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Buku 1, Edisi 2, Salemba Empat, Jakarta, 2011. Supranto, J., Statistik: Teori dan Aplikasi, Edisi ketujuh, Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 2009. .