Analisis Real [PDF]

Citation preview

ANALISIS REAL



DISUSUN OLEH : NAMA : NONI TRISNA ZAI NIM : 172117041 KELAS : A SEMESTER : VI (ENAM)



MATA KULIAH: ANALISIS REAL DOSEN PENGAMPU : INTEGRASI ANUGERAH BATE`E, M.Pd



INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (IKIP) GUNUNGSITOLI FAKULTAS PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FPMIPA) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2019/2020



BARISAN 1. Barisan Bilangan Real Barisan bilangan real merupakan fungsi x : N → R dengan aturan → x(n). Penulisan bilangan real x(n) ditulis dengan x n dan barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = ( x n) = { x n ∈ℝ : n ∈ N } untuk x n disebut suku ke-n dari barisan x. Contoh: a. x =



1 1 1 1 1 , , , ,…. . = 2n 2 4 6 8



( ) (



)



b. Jika b ϵ ℝ, barisan x = (b, b, b, ....) disebut barisan konstan. c. Barisan f = (fn) dengan f1 = 1, f2 = 1, dan fn+1 = fn+1+ fn untuk n > 2, bentuknya sebagai berikut : f = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ........). hal menarik dari suatu barisan (xn) adalah perilaku suku ke-n,yaitu xn, untuk n besar. a. Konvergensi Barisan Suatu barisan ( x n) konvergensi ke x 0 jika suku-suku xn cukup dekat dengan x 0 untuk n yang cukup besar. Defenisi formal konvergensi suatu barisan dinyatakan sebagai berikut. Defenisi 1 Barisan bilangan real ( x n) dikatakan konvergen ke x 0 di ℝ ditulis dengan notasi x 0= lim ( x n) atau x n → x 0untuk n → ∞ Jika untuk sebarang ε > 0 ada N ϵ ℕ sehingga xn ϵ Nε ( x 0) untuk setiap n ≥ N. Definisi xn ϵ N  ( x 0) untuk setiap n ≥ N ekuivalen dengan



|x n−x 0|< ε untuk setiap n ≥ N. Dalam hal ini, x 0 disebut limit dari barisan ( x n). Barisan yang tidak konvergen disebut barisan divergen. Contoh : a. Akan diperlihatkan 1/n → 0, untuk n → ∞. Untuk membuktikan peryantaan ini. Diambil sebarang bilangan ε > 0, maka 1/ε > 0. Akibatnya, dari sifat Archimedean, ada N ϵ ℕ sehingga 1/ε < N. Oleh karena itu, untuk setiap n ≥ N berlaku



|1n|= 1n ≤ N1 < ε . Karena untuk sebarang ε > 0 ada N ϵ ℕ sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku ¿1/n| < ε, maka 1/n → 0, untuk n → ∞.



b.



3n +¿ 2 → 3, untuk n → ∞. Untuk memperlihatkan hal ini, diambil sebagai n+ ¿1 bilangan ε > 0. Karena



|



3n +¿ 2 3 +¿ 2−3 n−¿ 3 −1 = −3 = n n+¿ 1 n+ ¿1 n+¿ 1



|| =



|| |



1 1 < n+¿ 1 n



Dan 1/ε > 0, maka dengan menggunakan sifat Archimedean, terdapat N ϵ ℕ dengan 1/ε < N. Oleh karena itu, untuk setiap n ≥ N berlaku



|



3n +¿ 2 1 1 < ε. −3 < ≤ n N n+ ¿1



Karena ε > 0 sebarang, hal ini berarti



|



3n +¿ 2 → 3, untuk n → ∞. n+ ¿1



Teorema 1 Jika suatu barisan ( x n) konvergen, maka limit barisan ( x n) tunggal. Bukti: Anggap barisan ( x n) konvergen ke x '0 dan x '0' , yaitu x n x '0 dan x n x '0' untuk n  . Hal ini berarti untuk sebarang ε > 0,terdapat N`, N``  N sehingga



|x n x'0|  /2 untuk setiap n  N` |x n x'0'|  /2 untuk setiap n  N`` Berarti untuk setiap n ≥ {N`,N``}berlaku



|x '0−x '0'| ≤ |x '0−x n| + |x n−x '0'|  ❑2 + ❑2 = . Karena ε > 0 sebarang, maka |x '0−x '0'|= 0. Hal ini berarti x '0 = x '0' . Hal ini berarti limit dari barisan real ( x n) tunggal.



Hal yang menarik dari konvergensi atau divergensi dari suatu barisan ( x n) adalah perilaku ekor barisannya, yaitu jika untuk sebarang bilangan natural m, dikeluarkan m suku pertama dari barisan ( x n), maka diperoleh barisan ( x m). Sifat yang terjadi adalah barisan ( x m) konvergen jika dan hanya jika barisan ( x n) konvergen. Dalam hal ini, nilai limitnya sama. Definisi 2 Jika x = ( x n) merupakan barisan bilangan real dan m sebarang bilangan natural, maka ekor kem dari x adalah barisan. x [m ] = ( x m+ n : n  N) = ( x m+1 , x m+2 , …) Contoh: Ekor ke-2 dari barisan x = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...) adalah barisan x [2] = (1/3, 1/4,...). Teorema 2 Diberikan barisan bilangan real x = ( x n) dan bilangan natural m. Ekor ke-m x [m ] dari barisan x konvergen jika dan hanya jika x konvergen. Dalam hal ini, lim x [m ] = lim x. Bukti: Diasumsikan x konvergen ke x 0. Berarti, untuk sebarang ε > 0 terdapat N ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ N pada suku di x berlaku



|x n x0|   Oleh karena itu, untuk k ≥ N − m pada suku di x [m ] berlaku



|x k x0|   Diambil N m = N − m. Karena ε > 0 sebarang, maka diperoleh barisan x [m ] konvergen ke x 0 . Sebaliknya, diambil barisan x [m ]] konvergen ke x 0, berarti terdapat N m∈ N sehingga untuk setiap k ≥ N m pada barisan x [m ] berlaku



|x n x0|   Jadi, jika diambil N = N m+ m, maka x n → x 0. Dengan demikian, teorema terbukti. Teorema 3 Diberikan barisan ( x n) ⊂ R dan x 0 ∈ R. Jika terdapat barisan (a n) dengan a n > 0 untuk setiap n ∈ N, a n → 0 untuk n → ∞, dan ada bilangan c > 0 sehingga | x n − a 0| ≤ c a n, maka x n x 0. Bukti: Diketahui:



(i) a n  0 untuk n → ∞ dan a n > 0 untuk setiap n ∈ N, (ii) c 0, dan (iii) |x n x0|  c a n Akan ditunjukkan x n → x 0. Untuk itu, diambil sebarang ε > 0,maka dari diketahui, ada N ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku ε



|a n| = a n  c Selanjutnya, untuk n ≥ N, diperoleh



|x n x0|  c a n   Karena ε > 0 sebarang, maka dapat disimpulkan x n x 0. Contoh: a. Jika a > 0, akan diperlihatkan



1  0. Karena a  0, maka 0  na  1 + na. 1+ na



Akibatnya, 1 1 1 1 1 −0|=   ( )( ) |1+na 1+ na na a n Jika diambil c = 1/a dan (a n) = (1/n), maka c > 0 dan a n → 0. Dari Teorema 3, maka 1 0 1+ na b. Jika 0 < b < 1, akan ditunjukkan b n→ 0. Karena 0 < b < 1, maka 1/b > 1, akibatnya a = 1/b – 1 > 0 atau b = 1/(1+a). Menurut pertidaksamaan Bernoulli berlaku (1+a)n ≥ 1 + na. Oleh karena itu, n 0b =



1 1 1  n  1+ na na (1+a)



Jika diambil c = 1/a dan (a n) = (1/n), maka c > 0 dan a n →0. Hal ini berakibat b n→ 0. Definisi 3 Barisan bilangan real ( x n) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sehingga | x n| ≤ M untuk setiap n  N Dengan demikian, barisan bilangan real ( x n) dikatakan terbatas jika dan hanya jika daerah hasil x(N) ={ x n ∈ R : n ∈ N} merupakan himpunan bagian terbatas dari R. Teorema 4 Setiap barisan konvergen di R bersifat terbatas.



Bukti Diberikan barisan ( x n) dengan x n →x, untuk suatu x ∈ R. Berarti, untuk ε = 1 terdapat N ∈ N sehingga berlaku | x n - x|  1 untuk setiap n  N Akibatnya, dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga, berlaku ¿ x n∨≤∨x n−¿+¿ x∨¿ untuk setiap n ≥ N Selanjutnya, dianggap M = max {¿ x 1|,¿ x 2|, … ,¿ x N −1∨,1+¿ x∨¿ } Diperoleh | x n| ≤ M untuk setiap n ∈ N. Oleh karena itu barisan ( x n) terbatas. Contoh: Diberikan barisan ( x n) = ( 1−(−1)n ), maka ¿ x n∨¿ = |1−(−1)n| ≤ 2 untuk setiap n  N Hal ini berarti ( x n) terbatas. 2. Sifat-sifat Limit Barisan a. Sifat Monoton Berikut ini akan dibahas tentang limit suatu barisan yang memenuhi suatu bentuk pertidaksamaan. Teorema 1 Jika ( x n) dan ( y n) merupakan barisan bilangan real yang konvergen dengan x n ≤ y n untuk setiap n ∈ N, maka Lim ( x n) ≤ lim ( y n) Bukti: Anggap x n → x 0 dan y n → y 0 untuk n→ ∞. Berarti, untuk sebarang ε > 0 ada N, N` ∈ N sehingga | x n - x 0|  /2 untuk setiap n  N, dan | y n - y 0|  /2 untuk setiap n  N` Oleh karena itu, untuk setiap n ≥ max {N, N ' } berlaku x 0 = x n + x 0 - x n  y n + /2 = y n - y 0 + y 0 + /2  y 0 +  Karena x 0 < y 0+ ε untuk setiap ε > 0, maka x 0 ≤ y 0. Akibat 1



Jika barisan bilangan real ( x n) konvergen dan x n≥ 0 untuk setiap n ∈ N, maka x = lim ( x n) ≥ 0. Bukti: Anggap bahwa x = lim ( x n) < 0. Jika dipilih ε = −x, maka ε > 0. Karena ( x n) konvergen ke x, hal ini berarti untuk ε = −x, terdapat N ∈ N sehingga x -   x n  x + ,untuk setiap n  N Oleh karena itu, x N < x + ε = x + (−x) = 0. Hal ini kontradiksi dengan diketahui, yaitu x n ≥ 0 untuk setiap n ∈ N. Jadi, x ≥ 0. Akibat 2 Jika barisan ( x n) konvergen dan a ≥ x n ≥ b untuk setiap n ∈ N, maka a ≥ lim ( x n) ≥ b. Teorema 2 (Teorema Sandwich) Diberikan barisan bilangan real ( x n), ( y n) dan ( z n) dengan x n ≤ z n ≤ y n, untuk setiap n ∈ N. Jika lim ( x n) = lim ( y n) = L, maka barisan ( z n) konvergen dan lim ( x n) = lim ( z n) = lim ( y n) = L. Bukti: Karena barisan (xn),(yn) konvergen, berarti untuk sebarang ε > 0, terdapat N’,N’’ ∈ ℕ sehingga. |xn−L| < ε untuk setiap n ≥ N’, dan |yn−L| < ε untuk setiap n ≥ N’’ Dipilih N = max {N’,N’’}, maka untuk setiap n ≥ N berlaku − ε < xn−L ≤ zn – L ≤ yn – L < ε. Oleh karena itu,|zn − L| < ε untuk setiap n ≥ ℕ. Contoh : Diberikan barisan bilangan real ((sin n) / n). Akan ditunjukkan bahwa barisan (sin n) / n) konvergen ke 0. Perhatikan bahwa untuk setiap n ∈ ℕ berlaku – 1 ≤ sin n ≤ 1. Hal ini berakibat bahwa −1 sin n 1 ≤ ≤ , untuk setiap n  ℕ. n n n



b. Sifat Linear Pada bagian ini akan dibahas tentang operasi aljabar penjumlahan dan perkalian. Teorema 1 Diberikan barisan bilangan real ( x n) dan ( y n) konvergen dan c ∈ R. Diperoleh barisan (c x n ), ( x n + y n), dan ( x n y n) konvergen, dan lim (c x n)



= clim ( x n),



lim( x n + y n)



= lim ( x n) + lim ( y n),



lim( x n y n)



= lim ( x n)lim( y n).



Selanjutnya, jika y 0 ≠ 0 dan y n ≠0 untuk setiap n ∈ N, maka Lim



xn lim ⁡( xn ) = y n lim ⁡( y ¿¿ n)¿



Bukti: Anggap x n → x 0 dan y n → y 0. Jika c ∈ R dengan c = 0, maka hasilnya jelas. Jika c ∈ R\ {0}, maka dari diketahui, untuk sebarang ε > 0 ada N ∈ N sehingga ❑ | x n - x 0|  ¿ c∨¿ ¿ untuk setiap n ≥ N Akibatnya, |c x n− c x 0| < ε untuk setiap n ≥ N. Selanjutnya untuk pernyataan kedua, diberikan sebarang ε > 0, dan dari diketahui ada P, Q ∈ N sehingga | x n - x 0|  /2 untuk setiap n  P, dan | y n - y 0|  /2 untuk setiap n  Q. Diambil N = max {P,Q}, maka untuk setiap n ≥ N berlaku |( x n+ y n) − ( x 0+ y 0)| ≤ | x n - x 0| + | y n - y 0| < ε. Hal ini berarti x n+ y n → x 0+ y 0 untuk n → ∞. Untuk pernyataan terakhir, digunakan hipotesa barisan ( x n) konvergen. ada M > 0 sehingga | x n| ≤ M untuk setiap n ∈ N. Karena | x n y n - x 0 y 0 ∨¿



= |( x n y n - x n y 0 ) + ( x n y 0 - x 0 y 0 )|



≤ | x n y n - x n y 0| + | x n y 0 - x 0 y 0| = | x n| | y n - y 0| + | y 0|| x n - x 0| maka jika diambil M = max{M,| y 0|}, diperoleh M > 0 dan | x n y n - x 0 y 0 ∨¿ ≤ M| x n - x 0| Selanjutnya, diambil sebarang ε > 0, maka dari diketahui terdapat P, Q ∈ N sehingga | x n - x 0|  /2M untuk setiap n  P, dan | y n - y 0|  /2M untuk setiap n  Q. Jika diambil N = max {P,Q}, maka untuk setiap n ≥ N berlaku



| x n y n - x 0 y 0 ∨¿  M 



e e +M = 2M 2M



Hal ini berarti x n y n → x 0 y 0 untuk n → ∞. Hal yang harus diperhatikan bahwa jika ¿+ y n) konvergen tidak berakibat ( x n) atau ( y n) konvergen, karena jika diambil x n = −n dan y n = n untuk setiap n ∈ N, maka ( x n) dan ( y n) tidak konvergen, tetapi ( x n+ y n) konvergen. Selanjutnya, jika diberikan ( x n) konvergen, maka ( y n) konvergen jika dan hanya jika ( x n+ y n) konvergen. Akan diperlihatkan Lim



xn lim ⁡( xn ) = yn lim ⁡( y ¿¿ n)¿



( )



Untuk itu, cukup dibuktikan lim (1/ y n) =1/ y 0. Karena y 0 ≠0 dan y n → y 0, maka ada bilangan asli N sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku | y n - y 0| 



1 |y | 2 0



Selanjutnya, karena untuk setiap n ≥ N berlaku | y 0| ≤ | y 0 - y n| + | y n| 



1 | y || y | 2 0 n



maka untuk setiap n ≥ N berlaku | y n|  | y 0| Oleh karena itu,



|



1 1 − =¿ y 0− y n∨ yn y0



|



¿



¿ 2 |y - y | ¿ y n∨¿ y 0 ∨¿ ¿ n 0 2 ¿ y 0∨¿ ¿



Kemudian diambil sebarang ε > 0. Karena y n → y 0, maka ada N 0 ≥ N, sehingga untuk setiap n ≥ N0 berlaku ¿ y n - y 0∨¿  



¿ y 0∨¿2 ¿ 2



Oleh karena itu, untuk setiap n ≥ N0 berlaku



|



1 1 − yn y0



|



Karena ε > 0 sebarang, maka lim(1/ y n) = 1/ y 0. Berdasarkan hasil lim ( x n y n) = lim ( x n) lim ( y n), maka teorema terbukti. c. Barisan Mototon Pada subbab ini diperlihatkan kekonvergenan suatu barisan bilangan real melelui bentuk kemonotonan barisan tersebut, meskipun nilai limitnya tidak diketahui.



Definisi Barisan bilangan real ( x n) dikatakan (i) Monoton naik (tidak turun), jika x n ≤ x n+1 untuk setiap n ∈ N dan ditulis x n ↑, (ii) Monoton turun (tidak naik), jika x n ≤ x n+1 untuk setiap n ∈ N dan ditulis x n ↓, (iii) Monoton, jika ( x n) merupakan barisan monoton naik atau barisan monoton turun. Teorema Monoton Konvergen Suatu barisan monoton, konvergen jika dan hanya jika terbatas. (i) Jika X = ( x n) merupakan barisan monoton naik dan terbatas, maka x n  sup { x n : n N } (ii) Jika Y = ( x n) merupakan barisan monoton turun dan terbatas, maka ❑n inf { x n :n N } 3. Barisan Bagian Pada subbab ini berhasil diperlihatkan bahwa untuk setiap barisan bilangan real terbatas mempunyai barisan bagian yang konvergen. Hal ini merupakan salah satu hasil fundamental dalam analisis real, yang disebut sebagai Teorema Bolzano-Weierstrass untuk barisan. Definisi Diberikan barisan bilangan real ( x n) dan suatu barisan bilangan bulat positif ( n k) dengan n1 < n2 < n3 0 ada n0 ∈ N sehingga | x n − x| < ε untuk setiap n ≥ n0. Selanjutnya, diambil barisan bilangan asli yang naik kuat (n k), maka dapat diperlihatkan bahwa n k ≥ k. Oleh karena itu, jika k ≥ n0, berlaku n k ≥ k ≥ n0. Jadi, | x nk − x| < ε. Hal ini berarti x nk → x untuk k → ∞. Teorema 2 Diberikan barisan bilangan real ( x n), maka pernyataan berikut ekuivalen. (i) Barisan ( x n) tidak konvergen ke x0 ∈ R. (ii) Ada ε0 > 0 sehingga untuk setiap k ∈ N ada n k ∈ N dengan n k ≥ k dan | x nk − x0| ≥ ε0. (iii) Terdapat ε0 > 0 dan barisan bagian ( x nk ) dari ( x n) dengan | x nk − x0| ≥ ε0 untuk setiap k ∈ N. Bukti: (i) ⇒ (ii) Jika x n  x0, maka menurut definisi, untuk suatu ε0 > 0 tidak mungkin dapat dicari bilangan asli k sehingga untuk setiap n ≥ k berlaku | x n− x| < ε. Dengan kata lain untuk setiap k ∈ N tidak benar bahwa setiap n ≥ k berlaku | x n − x0| < ε0 atau untuk setiap k ∈ N ada nk ∈ N dengan nk ≥ k sehingga | x nk − x0| ≥ ε0. (ii) ⇒ (iii) Dari diketahui ada ε0 > 0 dan diambil n1 ∈ N dengan n1 > 1 sehingga | x n1 − x0| ≥ ε0. Kemudian ambil n2 ∈ N dengan n2 > n1 dan | x n2 − x0| ≥ ε0. Selanjutnya anggap n3 ∈ N dengann n3 > n2 dan | x n3− x0| ≥ ε0. Demikian seterusnya, sehingga diperoleh barisan bilangan asli ( n k) yang naik kuat dengan | x nk − x0| ≥ ε0. Jadi, ada barisan bagian ( x nk ) dari ( x n) dengan | x nk − x0| ≥ ε0. (iii) ⇒ (i) Diketahui ada barisan bagian ( x nk ) yang memenuhi kondisi (iii), berarti x n  x 0. a. Eksistensi Barisan Bagian Monoton Telah dipahami bahwa tidak setiap barisan bentuknya monoton, tetapi berikut ini diperlihatkan bahwa sebarang barisan mempunyai barisan bagian yang monoton. Teorema 1 Jika ( x n) merupakan barisan bilangan real, maka ada barisan bagian dari ( x n) yang monoton.



Bukti: Diberikan barisan bilangan real ( x n). Untuk mencari barisan bagian yang monoton dari ( x n) dilakukan dengan cara berikut. Untuk sebarang n ∈ N, jika n ≥ m berlaku x m ≥ x n, maka dipilih suku ke-m dari ( x n), yaitu x m. Dari pemilihan suku dengan cara ini, terbentuk barisan turun, sementara untuk suku-suku yang tidak terpilih, terbentuk barisan naik. Pembuktian ini dibagi dalam dua kasus, yang dalam hal ini bergantung apakah pengambilan suku-suku dari ( x n) berhingga atau tidak berhingga. Kasus 1: Jika pada barisan ( x n) diambil suku-sukunya berjumlah tak berhingga, yaitu pengambilannya berbentuk x m1, x m2,..., x mk ,... maka setiap suku yang diambil dengan cara di atas berbentuk x m1 x m2  ...  x mk  ... Hal ini berarti ( x mk ) merupakan barisan bagian turun dari ( x n). Kasus 2: Jika pada barisan ( x n) diambil suku-sukunya berhingga. Anggap x m1, x m2,..., x mr dengan m1 < m2 < ··· < mr. Kemudian dibentuk s1 = mr +1 sebagai indeks terakhir dari pengambilan terakhir. Karena x s1 tidak diambil, maka ada s2 > s1 dengan x s1 < x s2. Karena x s2tidak diambil, maka ada s3 > s2 dengan x s2 < x s3.Lakukan terus langkah ini, sehingga akan diperoleh barisan bagian naik ( x sk ) dari ( x n). Teorema 2 (Teorema Bolzano-Weierstrass) Setiap barisan terbatas, mempunyai barisan bagian yang konvergen. Bukti: Anggap barisan ( x n) ⊂ R terbatas, terdapat barisan bagian ( x nk ) ⊂ ( x n) yang monoton. Karena ( x n) terbatas, maka ( x nk ) juga terbatas. Jadi menurut Teorema Monoton Terbatas, ( x nk ) konvergen. Teorema 3 Diberikan ( x n) barisan bilangan real terbatas. Jika sebarang barisan bagian ( x nk ) dari ( x n) berlaku x nk → x, maka x n →x. Bukti: Diberikan ( x n) ⊂ R terbatas, maka terdapat M > 0 sehingga | x n| ≤ M untuk setiap n ∈ N. Andaikan x n  x, maka ada ε0 > 0 dan barisan bagian ( x nk ) dari ( x n) sehingga



|x nk −x|  ε0 untuk setiap k  N



Karena ( x n) terbatas, maka ( x nk ) juga terbatas, yaitu | x nk | ≤ M untuk setiap k ∈ N. Selanjutnya terdapat barisan bagian ( x nk j ) dari ( x nk ) yang monoton dan terbatas. Oleh karenaitu, x nk j → x untuk j → ∞. Hal ini berarti x nk j ∈ N ❑0(x) untuk setiap j ∈ N. Kontradiksi dengan fakta (4.1) yaitu x nk / ∈ N ❑0(x). 4. Limit Superior dan Inferior Barisan Suatu barisan bilangan real dapat mempunyai limit tetapi dapat juga tidak mempunyai limit. Pada subbab ini diperkenalkan konsep limit yang selalu ada dari suatu barisan yaitu konsep limit superior dan limit inferior. Diberikan barisan bilangan real ( x n). Didefinisikan ak dan bk untuk setiap k ∈ N sebagai a k = inf{ x n : n ≥ k} b k = sup{ x n : n ≥ k} Jika E ⊂ R dengan E ≠ Ø dan terbatas atas, maka ada sup E atau terdapat batas atas dari E. Jika tidak demikian, maka batas atasnya menjadi tak berhingga. Dari definisi a k dan b k di atas, berlaku a k ≤ b k untuk setiap k dan barisan (a k) dan (b k) memenuhi sifat a k ≤ ak +1



b k ≤ bk +1



dan



untuk semua k. Hal ini dilakukan dengan cara sebagai berikut. Anggap Ek = { x n : n ≥ k}, maka Ek +1 ⊂ Ek , oleh karena itu jika b k = sup Ek , maka x n ≤ b k untuk setiap n ≥ k. Khususnya x n ≤ b k untuk n  k + 1 Jadi b k+1 = sup Ek +1 ≤ b k, yaitu barisan (b k) monoton turun. Dengan cara yang similar dapat diperlihatkan bahwa barisan (a k) merupakan barisan naik monoton. Karena barisan a k ↑dan barisan b k ↓, sehingga jika barisan (a k) dan (b k) terbatas, maka nilai limitnya selalu ada. Definisi Diberikan barisan bilangan real ( x n). Limit superior dari ( x n) ditulis dengan notasi lim ( x n) dan didefinisikan sebagai berikut ´ ⁡( x n )=lim ( b k ) =inf { x : n ≥k } ¿ ¿ lim n



Limit inferior dari barisan ( x n) ditulis dengan notasi lim ( x n) dan didefinisikan sebagai berikut lim ( x n) = lim (a k) = sup k ∈ N inf{ x n : n ≥ k}. Teorema 1 Diberikan barisan ( x n) di R dan β = lim ( x n) di R jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 (i) Terdapat n0 ∈ Nsehingga x n < β + ε untuk setiap n ≥ n0, dan



(ii) Untuk sebarang n ∈ N, ada k ∈ N dengan k ≥ n, sehingga x k > β − ε. Bukti: ´ ⁡( x n ) = lim (b k) dengan b k = sup{xn : n ≥ k}. Diambil sebarang ε > 0. Diberikan β = lim Karena lim (b k) = β, maka ada n0 ∈ N sehingga b k < β < ε untuk setiap k ≥ n 0. Karena x n ≤ b k untuk setiap n ≥ n0 maka x n < β +ε untuk setiap n ≥ n0. Dengan demikian (i) terbukti. Selanjutnya diambil sebarang n ∈ N. Karena b k → β dan barisan b k ↓, maka β ≤ b k untuk setiap k khususnya β ≤ b n. Menurut definisi b n, untuk sebarang ε > 0 ada k ∈ N sehingga untuk setiap k ≥ n berlaku x k > b n− ε ≥ β − ε. Dengan demikian (ii) terbukti. Diasumsikan (i) dan (ii) terpenuhi dan ε > 0 diberikan. Dari (i) berartia dan 0 ∈ N sehingga x n < β + ε untuk setiap n ≥ n0.Oleh karena itu x n : n n 0} ≤



b n ={ 0



¿β+ε



Karena barisan b n ↓, maka b n ≤ β + ε untuk setiap n ≥ n0. Jadi lim ( x n) = lim (b n) ≤ β + ε. Karena ε > 0 diberikan sebarang, maka lim ( x n) ≤ β. Selanjutnya, andai β0 = lim ( x n) < β untuk ε > 0 dengan β0 < β − 2ε, ada n0 ∈ N sehingga x n < β0 + ε < β + ε untuk setiap n ≥ n0. Kontradiksi dengan (ii). Jadi harusnya lim ( x n) = β. Contoh Untuk x n = (−1)n + 1/n, maka dari contoh di atas ´ ⁡( x n ) = 1 dan lim ( x n) = −1. lim Hal ini diperlihatkan dengan mengambil sebarang ε > 0, maka x n < 1 + ε untuk setiap n dengan n ≥ 1 ε. Karena pada suku ganjil x n dekat ke −1, maka tidak diperoleh n0 ∈ N sehingga x n > 1 − ε untuk setiap n ≥ n0. Dengan kata lain, untuk sebarang n ∈ N, ada bilangan asli genap k ≥ n sehingga x k > 1 − ε. Akibat ´ ⁡( x n ) = lim ( x n) jika dan hanya jika terdapat bilangan β sehingga β = lim( x n). lim Bukti Diberikan lim ( x n) = β, berarti untuk setiap ε > 0 ada n0 ∈ N, sehingga β − ε < x n < β + ε untuk setiap n ≥ n0. Karena



a k = inf{ x n : n ≥ k}dan bk = sup{ x n :n≥k}, maka Β − ε < a k≤ bk < β + ε untuk setiap k ≥ n0. Akibatnya, lim (a k) = lim (bk) =β. Jadi, lim ( x n) = lim ( x n) =β. Anggap lim ( x n) = lim ( x n) = β ∈ R. Diambil sebarang bilangan ε > 0, maka ada n 1, n2 ∈ N sehingga xn < β + ε untuk setiap n ≥ n1 dan x n > β − ε untuk setiap n ≥ n2. Jika diambil n0 = max{n1, n2}, diperoleh β − ε < x n < β + ε untuk setiap n ≥ n0. Dengan demikian x n →β. 5. Kriteria Cauchy pada bab ini diberikan kriteria Cauchy dari suatu barisan, yaitu barisan dengan bentuk sukusukunya saling berdekatan. Definisi 1 Barisan bilangan real ( x n) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ε > 0 ada N ∈ N, sehingga | x m − x n| < ε untuk setiap m, n ≥ N. Untuk memperlihatkan barisan ( x n) bukan merupakan barisan Cauchy, dapat dilakukan dengan cara menentukan ε0 > 0 sehingga untuk sebarang bilangan asli m, n dengan m ≥ n ≥ 1 berlaku | x m − x n| < ε0. Lemma Jika barisan bilangan real ( x n) merupakan barisan Cauchy, maka ( x n) terbatas. Bukti Diberikan ( x n) sebagai barisan Cauchy, maka untuk ε = 1, terdapat N ∈ N dengan N > 1 sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku | x n − x N | < 1. Akibatnya, | x n| ≤ | x n − x N | + | x N | < 1 + | x N | untuk setiap n ≥ N. Jika diambil M = | x 1|, | x 2|,···,| x N − 1|, | x N | + 1, maka M > 0 dan | x n∨¿ ≤ M untuk setiap n ∈ N. Hal ini berarti barisan ( x n) terbatas. Teorema Barisan bilangan real ( x n) konvergen jika dan hanya jika (xn) merupakan barisan Cauchy. Bukti. Diberikan barisan ( x n) konvergen, berarti untuk sebarang ε > 0 ada N ∈ N dan x∗ ∈ R sehingga | x n − x∗| < ε/2 untuk setiap n ≥ N. Oleh karena itu, untuk setiap m, n ≥ N berlaku | x m− x n| ≤ | x m− x∗| +| x n − x∗| < ε. Karena ε > 0 sebarang, maka ( x n) merupakan barisan Cauchy. Diberikan ( x n) merupakan barisan Cauchy, maka barisan ( x n) terbatas. Selanjutnya menurut Teorema Bolzano-



Weierstrass, ada barisan bagian ( x nk ) dengan x nk → x∗ untuk k → ∞, untuk suatu x∗ ∈ R. Akan ditunjukkan bahwa xn → x∗ untuk n → ∞. Karena diketahui ( x n) merupakan barisan Cauchy, maka untuk sebarang ε > 0, terdapat N = N(ε/2) ∈ N sehingga untuk setiap m, n ≥ N berlaku | x m− x n| < ε/2. Karena x nk → x∗, maka ada K ∈ {n1, n2,···} dan K ≥ N sehingga untuk n ≥ N berlaku | x K − x∗|< ε/2 . Karena K ≥ N, maka untuk m = K diperoleh | x n − x K |< ε/2 untuk n ≥ N. Oleh karena itu, untuk n ≥ N diperoleh | x n − x∗| ≤ | x n − x K | + | x K − x∗| < ε. Karena ε > 0 sebarang, maka x n → x∗ untuk n → ∞. a. Barisan Kontraktif Cara mencari nilai limit dari suatu barisan Cauchy. Cara yang lain dapat juga dilakukan dengan mencari bentuk barisan khusus, yang disebut barisan kontraktif. Definisi Barisan ( x n) di R disebut kontraktif, jika terdapat bilangan real C dengan 0 < C < 1 sehingga untuk setiap n∈N berlaku | x n+2− x n+1| ≤ C | x n+1− x n|. Bilangan C disebut konstanta dari barisan kontraktif ( x n). Jika ( x n) merupakan barisan kontraktif, maka | x n+2− x n+1|



≤ C | x n+1− x n| ≤ C2 | x n−x n−1| ≤ C3 | x n−1−x n−2| ≤…≤ Cn | x 2 - x 1∨¿



Selanjutnya untuk setiap m > n dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga dan barisan kontraktif diperoleh | x m− x n| ≤ | x m− x m−1| +| x m−1− x m−2| + ··· + | x n+1−x n| ≤ (Cm−2 + Cm−3 + ··· +Cn−1) |x2 − x1| = Cn−1 (Cm−n-1 + Cm−n-2 + ··· + C + 1) |x2 − x1| = Cn−1



(



1 1−C m−n |x2 − x1| ≤ Cn−1 |x2 − x1| 1−C 1−C



)



(



)



Karena 0 < C < 1, maka lim (C n) = 0.Oleh karena itu, setiap barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy. Teorema



Setiap barisan kontraktif (xn) di R merupakan barisan Cauchy, oleh karena itu konvergen. Akibat Jika ( x n) merupakan barisan kontraktif dengan konstanta C untuk 0 < C < 1 dan jika lim ( x n ) = x∗, maka C n−1 (i) |x∗ − x n|≤ |x2 − x1| 1−C (ii) |x∗ − x n|≤



C |x – x | 1−C n n-1



Bukti: Telah diperlihatkan sebelumnya bahwa untuk sebarang m > n, berlaku C n−1 | x m− x n| ≤ |x2 − x1| 1−C C n−1 Jika x m → x∗ untuk m → ∞, maka |x∗ − x n| ≤ |x2 − x1|. Dengan demikian ( i) terpenuhi. 1−C (ii) Perhatikan pertidaksamaan berikut | x m− x n| ≤ | x m− x n−1| + ··· + | x n+1−x n|. Karena | x n+k − x n+k − 1| ≤ Ck | x n − x n − 1|, maka | x m− x n| ≤ (Cm−1 + ··· + C2 + C)| x n − x n − 1| = C (Cm−2 +···+C+1)| x n − x n − 1|≤



C |xn – xn-1| 1−C



Jika xm → x∗ untuk m → ∞, maka |x∗ − x n| ≤



C |x – x | 1−C n n-1



Dengan demikian (ii) terpenuhi. 6. Deret Tak Hingga Pada bab ini, akan diperkenalkan mengenai deret tak hingga dari bilangan real. Suatu deret tak hingga ditulis dengan notasi ∞



∑ x i=x 1 + x 2+ …+ x n+ … i=1



dengan x i ∈ R untuk setiap i ≥ 1. Definisi 1: Jika x = ( x n) merupakan barisan bilangan real, maka deret tak hingga (atau deret saja untuk singkatnya) yang dibangun oleh x, adalah barisan s = ( sk ) dengan s1 = x 1



s2 = s1 + x 2 = x 1+ x2 s3 = s2 + x 3 = x 1+ x2 + x 3 . . .



sk = sk−1 + x k = x 1+ x2 + x 3 + … + x k



Bilangan x n disebut suku dari deret dan bilangan sk disebut jumlah parsial dari deret. Jika lim ( sk ) ada, maka dikatakan deret s = ( sk ) konvergen dan limit dari deret ini disebut jumlah dari deret atau nilai dari deret. Jika limitnya tidak ada, maka deret s dikatakan divergen. Definisi 2 (Tes Uji Suku Ke-n) Jika deret ∑ x n konvergen, maka x n → 0. Bukti. Karena x n = sn− sn−1 dan lim( sn) ada di R dan limit suatu barisan bernilai tunggal, maka x n → 0. Definisi 2 (Kriteria Cauchy untuk Deret) Deret



∑ xn



konvergen jika dan hanya jika untuk sebarang ε > 0 ada bilangan asli K(ε)



sehingga untuk setiap m > n ≥ K(ε) berlaku | sm −s n| = | x n+1 + x n + x m|   Teorema 2 Diberikan barisan bilangan real non-negatif ( x n). Deret



∑ x n konvergen jika dan hanya jika



barisan jumlah parsial s = ( sn) terbatas. Dalam hal ini n



∑ x n=lim ( s k ) ={s k :k ∈ N } k =1



Bukti: Karena x n ≥ 0 untuk setiap n ∈ N, maka barisan jumlah parsial s merupakan barisan naik monoton, yaitu s1 ≤ s2 ≤ … s k ≤ … Dari teorema monoton konvergen, maka barisan s = ( sn) konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas. Dalam hal ini, nilai limitnya sama dengan { sk : k ∈ N}. a. Uji Banding Salah satu cara yang paling banyak digunakan untuk menunjukkan deret mutlak konvergen adalah membandingkan deret yang lebih sederhana yang nilai konvergensinya diketahui.



Teorema (Uji Banding) Diberikan barisan ( x n) dan ( y n) di R dan suatu K ∈ Nsehingga 0 ≤ x n ≤ y n untuk n ≥ K. ❑



❑



(i) Jika ∑ y n konvergen, maka ∑ x n konvergen. n =1



n =1



❑



❑



(ii) Jika ∑ x n konvergen, maka ∑ y n divergen. n =1



n =1



Bukti: Anggap ❑



(i)



∑ y n konvergen, maka untuk sebarang bilangan ε > 0 ada M(ε) ∈ N sehingga jika m > n =1



n ≥ M(ε), berlaku Yn + 1 +···+ ym < ε. Jika m > {K, M(ε)}, maka 0 ≤ x n+1 +···+ x m ≤ y n+ 1+···+ y m < ε. ❑



Hal ini berarti ∑ x n konvergen. n =1



(ii) Dapat diperlihatkan dengan cara kontraposisi. Bentuk pertidaksamaan 0 ≤ x n ≤ y n untuk n ≥ K kadang tidak muda huntuk diperoleh, maka hasil berikut sering digunakan untuk mencari kekonvergenan dengan uji banding. Teorema (Limit Uji Banding) Diberikan barisan bilangan real positif kuat x = ( x n) dan y = ( y n) dan r =lim



xn ada di R yn



( )



❑



❑



(i) Jika r ≠ 0, maka ∑ x nkonvergen jika dan hanya jika ∑ y nkonvergen. n =1



n =1



❑



❑



(ii) Jika r ≠ 0, maka ∑ x nkonvergen, maka ∑ y nkonvergen n =1



n =1



Bukti: (i)



Karena r > 0, maka untuk ε = r ada bilangan asli K sehingga untuk setiap n ≥ K



berlaku 0 ≤ terbukti.



( 12 r ) y ≤ x n



n



≤ (2r) y n. Oleh karena itu dengan menggunakan uji banding, (i)



(ii)



Jika r = 0, maka terdapat bilangan asli K sehingga untuk setiap n ≥ K berlaku 0 ≤ x n



≤ y n. Selanjutnya dengan menggunakan uji banding, maka teorema tebukti.