APLIKOM Catatan Hasil Belajar [PDF]

Citation preview

CATATAN HASIL BELAJAR Rina Saraswati 18301241009



1



Software Matematika. 1. Software Komersil. • Fermat. Fermat merupakan sistem aljabar komputer , di mana item yang dihitung dapat berupa bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, bilangan modular, elemen medan terbatas, polinomial multivariabel, fungsi rasional, atau modul polinomial modulo polinomial lainnya. Area aplikasi utama adalah aritmatika fungsi rasional multivariat dan aljabar matriks atas cincin polinomial multivariat atau fungsi rasional. Fermat tidak melakukan penyederhanaan fungsi transendental atau integrasi simbolik. Diciptakan oleh Robert H. Lewis pada 1986. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi macOS, Classic Mac OS, Linux, Unix, Windows • GEUP. GEUP merupakan program geometri interaktif untuk visualisasi matematika dan untuk melakukan perhitungan matematika dinamis, Geometri dan analisis interaktif terjadi di bidang geometri euclidean, geometri bola, atau geometri hiperbolik. Ini termasuk mesin simulasi fisika (dengan gravitasi nyata di komputer Apple ) dan bahasa scripting).Diciptakan oleh Ram´ on Alvarez Galv´an pada 2018. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows. • Macsyma. Macsyma merupakan salah satu sistem aljabar komputer tujuan umum tertua yang masih digunakan secara luas. tersedia untuk akademisi dan lembaga pemerintah AS, dan didistribusikan oleh Departemen Energi AS (DOE). Diciptakan oleh MIT Project MAC and Symbolics pada 1968. • Magma. sistem aljabar komputer yang dirancang untuk memecahkan masalah dalam aljabar, teori bilangan, geometri dan kombinatorik. Diciptakan oleh University of Sydney pada 1990. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris. • Mathcad. Mathcad adalah perangkat lunak komputer yang terutama ditujukan untuk verifikasi, validasi, dokumentasi, dan penggunaan kembali perhitungan teknik. Diciptakan oleh University of Sydney pada 1985. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi DOS, Windows, DOS, Windows. • Mathematica. Mathematica adalah sistem komputasi teknis modern yang mencakup sebagian besar bidang komputasi teknis - termasuk jaringan saraf , pembelajaran mesin, pemrosesan gambar , geometri , ilmu data, visualisasi, dan lain-lain. Sistem ini digunakan di banyak bidang teknis, ilmiah, teknik, matematika, dan komputasi. Diciptakan oleh Wolfram Research pada 1986. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux.



1



• Maple. Maple merupakan perangkat lunak yang berguna untuk komputasi simbolik dan numerik, dan juga merupakan bahasa pemrograman multi-paradigma. Diciptakan oleh Symbolic Computation Group, University of Waterloo, pada1980. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux. • Matlab (Symbolic Math Toolbox). Matlab dapat digunakan untuk manipulasi matriks, memplot fungsi dan data, implementasi algoritma, pembuatan antarmuka pengguna , dan interfacing dengan program yang ditulis dalam bahasa lain, termasuk C, C ++, C , Java, Fortran dan Python. Diciptakan oleh Mathworks, pada 1989. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, Saas. • Midaco. Midaco merupakan perangkat lunak untuk optimasi numerik berdasarkan komputasi evolusioner untuk menyelesaikan aplikasi ruang campuran-integer non-linear (MINLP) terbatas, European Space Agency and EADS Astrium, 2009, Perangkat lunak ini tersedia untuk beberapa bahasa pemrograman, termasuk Excel, VBA, Java, C , Matlab, Oktaf, Python, R, Julia, C / C ++ dan Fortran . • Minitab. Minitab dapat digunakan dalam pengolahan data stasistik khususnya Analysis of Variance (ANOVA), desain eksperimen, analisis multivariat, peramalan, Analisis time series, Statistical process control, Analisis data kualitatif, Analisis nonparametrik, Analisis reliabilitas dan lain-lain. Diciptakan oleh Barbara F. Ryan, Thomas A. Ryan, Jr., dan Brian L. Joiner pada tahun 1972. • Minuit. Minuit merupakan program untuk mencari minimal dalam fungsi yang ditentukan pengguna sehubungan dengan satu atau lebih parameter menggunakan beberapa metode berbeda seperti yang ditentukan oleh pengguna. Diciptakan oleh Fred James pada 1970-an. • The Geometer’s Sketchpad. The Geometer’s Sketchpad merupakan perangkat lunak geometri interaktif komersial untuk menjelajahi geometri Euclidean, aljabar, kalkulus, dan bidang matematika lainnya. Diciptakan oleh Nicholas Jackiw, pada 2013. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Mac OS X, Windows, Linux (di bawah Wine ). • Wolfram Alpha. Wolfram Alpha merupakan software komputasi yang memberikan layanan online yang menjawab pertanyaan faktual secara langsung dengan menghitung jawaban dari ”data terkuratori” yang bersumber dari luar. Diciptakan oleh Wolfram Research, pada 2009. 2. Sofware Gratis • Archimedes Geo3D. Archimedes Geo3D merupakan paket perangkat lunak untuk geometri dinamis dalam tiga dimensi Archimedes Geo3D dan dapat melacak pergerakan titik, garis, segmen, dan lingkaran dan menghasilkan garis dan permukaan lokus. Diciptakan pada tahun 2006. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows / Mac OS X / Linux. • Axiom. Axiom merupakan sebuah perangkat lunak yang terdiri dari lingkungan juru bahasa, kompiler dan perpustakaan, yang mendefinisikan hirarki jenis yang benar diketik, secara matematis (sebagian besar). Diciptakan oleh Richard Jenks, pada 1977. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows(Emulator), MacOS, Linux. • Cabri Geometry. Cabri Geometry dapat digunakan di pembelajaran dan pengajaran geometri serta trigonometri. Program ini memungkinkan pengguna untuk memvisualisasikan bentuk-bnetuk geometris,



2



membuktikan keunggulan signifikan dibandingkan gambar-gambar di papan tulis. Hubungan antara titik-titik pada objek geometris dapat dengan mudah ditunjukkan, yang dapat berguna dalam proses pembelajaran. Ada juga fungsi grafik dan tampilan yang memungkinkan eksplorasi koneksi antara geometri dan aljabar. Diciptakan oleh French company Cabrilog, pada 2004. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, Mac OS X. • C.a.R. C.a.R merupakan perangat lunak yang dapat digunakan untuk melakukan konstruksi geometri dalam geometri Euclidean dan non-Euclidean. Diciptakan oleh Ren´e Grothmann dari Catholic University of Eichst¨att-Ingolstadt, pada 1989. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Linux, Microsoft Windows, Mac OS X. • CaRMetal. CaRMetal merupakan program geometri interaktif, termasuk garis-berat, lingkaran melalui tiga titik, circum circular busur melalui tiga titik, dan irisan kerucut melalui lima poin. Juga adalah lokus, fungsi, kurva parametrik, plot implisit ketebalan. Diciptakan poleh Eric Hakenholz, pada 2006. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, GNU Linux, Mac OS X. • Cinderella 1.4. Cinderella 1.4. adalah sebuah perangkat lunak Geometri dan analisis interaktif terjadi di bidang geometri euclidean , geometri bola , atau geometri hiperbolik . Ini termasuk mesin simulasi fisika (dengan gravitasi nyata di komputer Apple ) dan bahasa scripting. Fitur ekspor ke blog memungkinkan publikasi 1-klik di web gambar. Diciptakan oleh J¨ urgen Richter Gebert and Ulrich Kortenkamp, pada 1985. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, Linux, Mac OS X (Java). • CoCoa. CoCoa merupakan perangkat lunak yang digunakan untuk menghitung dengan angka dan polinomial. Diciptakan oleh John Abbott, Anna M. Bigatti, Giovanni Lagorio, pada 1987. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris. • DrGeo. DrGeo merupakan perangkat lunak geometri interaktif yang memungkinkan penggunanya untuk merancang memanipulasi sketsa geometri interaktif. Diciptakan oleh Hilaire Fernandes, pada 1996. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, Linux, Mac OS X. • GeoGebra. GeoGebra merupakan program komputer yang bersifat dinamis dan interaktif untuk mendukung pembelajaran dan penyelesaian persoalan matematika khususnya geometri, aljabar, dan kalkulus. Sebagai sistem geometri dinamik, konstruksi pada GeoGebra dapat dilakukan dengan titik, vektor, ruas garis, garis, irisan kerucut, fungsi. Diciptakan oleh Markus Hohenwarter, pada 2001. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, macOS, ChromeOS, Linux; juga aplikasi web. • Euler Math Toolbox. Euler Math Toolbox merupakan perangkat lunak matematika untuk menyelesaikan masalah matematika dasar dan mampu membantu siswa untuk memecahkan masalah rumit secara efisien. Perangkat lunak ini dapat melakukan beberapa perhitungan matematika yang berbeda, seperti perkalian, pembagian, penambahan, pengurangan fungsi kalkulus, aljabar, matriks, dll. • GAP. GAP merupakan sistem aljabar komputer untuk aljabar diskrit komputasi dengan penekanan khusus pada teori grup komputasi. Diciptakan oleh GAP Group, pada 1986. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris. • Gekko. Gekko merupakan software yang dapat digunakan untuk memecahkan persamaan aljabar dan aljabar diferensial skala besar dengan pemecah pemrograman nonlinierMode operasi termasuk pembelajaran mesin, rekonsiliasi data, optimasi waktu 3



nyata, simulasi dinamis, dan kontrol prediktif model nonlinear. Selain itu, paket ini memecahkan pemrograman Linear (LP), pemrograman Quadratic (QP), Quadratically constrained program (QCQP), Nonlinear programming (NLP), Mixed integer programming (MIP), dan Mixed integer linear programming (MILP). Diciptakan oleh Logan Beal and John Hedengren, pada 2019. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, dan ARM (Raspberry Pi). • GNU Linear Programming Kit (GLPK). GLPK merupakan paket perangkat lunak yang ditujukan untuk menyelesaikan pemrograman linier skala besar (LP), pemrograman integer campuran (MIP), dan masalah terkait lainnya. Ini adalah satu set rutin yang ditulis dalam ANSI C dan diatur dalam bentuk perpustakaan yang dapat dipanggil. Diciptakan oleh Andrew O. Makhorin, pada 2000. • Graphmatica. Fungsi utamanya untuk membuat grafik fungsi. Tentu saja tujuan khusus penggunaan software ini ditujukan untuk pembelajaran matematika. Grafik fungsi yang dapat digambar dengan software ini antara lain grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi polinom, lingkaran, dll. Diciptakan oleh Keith Hertzer. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, McOS X, iOS. • jLab. jLab merupakan lingkungan komputasi numerik yang diterapkan di Java . Mesin scripting utama jLab adalah GroovySci, perpanjangan dari Groovy . Selain itu, J-Script yang diinterpretasikan (mirip dengan MATLAB ) dan tautan dinamis ke kode kelas Java juga didukung. Lingkungan jLab bertujuan untuk menyediakan platform komputasi ilmiah seperti MATLAB / Scilab yang didukung oleh mesin skrip yang diimplementasikan dalam bahasa Java. • KANT/KASH. KANT merupaka sistem aljabar komputer untuk matematikawan yang tertarik dengan teori bilangan aljabar, melakukan perhitungan canggih dalam bidang bilangan aljabar, di bidang fungsi global, dan di bidang lokal. KASH adalah antarmuka baris perintah yang terkait. Mereka telah dikembangkan oleh kelompok penelitian Aljabar dan Teori Angka dari Institut Matematika di Technische Universit¨at Berlin di bawah kepemimpinan proyek Prof Dr Michael Pohst. Kant gratis untuk penggunaan non-komersial. • KSEG. KSEG merupakan perangkat lunak geometri interaktif (GPL) gratis untuk menjelajahi geometri Euclidean, alat yang dirancang untuk memungkinkan Anda dengan mudah memvisualisasikan sifat dinamis dari kompas dan konstruksi sejajar dan untuk membuat eksplorasi geometris secepat dan semudah mungkin. Diciptakan oleh Ilya Baran, pada 2006. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Unix, Mac OS X, Microsoft Windows. • Macaulay2. Macaulay2 merupakan sistem aljabar komputer gratis yang dikembangkan oleh Daniel Grayson (dari University of Illinois di Urbana-Champaign ) dan Michael Stillman (dari Cornell University ) untuk perhitungan dalam aljabar komutatif dan geometri aljabar . Stillman, bersama dengan Dave Bayer telah menulis pendahulunya, Macaulay. Perangkat lunak ini dinamai setelah Francis Sowerby Macaulay, seorang ahli matematika Inggris yang membuat kontribusi signifikan untuk geometri aljabar. Diciptakan oleh Daniel Grayson and Michael Stillman, pada 1992. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi MacOS, Linux, BSD, Solaris. • Maxima. Maxima merupakan sistem aljabar komputer (CAS) berdasarkan Macsyma versi 1982. Ini ditulis dalam Common Lisp dan berjalan pada semua platform POSIX seperti macOS , Unix , BSD , dan Linux , serta di bawah Microsoft Windows dan Android . Ini adalah perangkat lunak gratis yang dirilis di bawah ketentuan GNU General Public License (GPL). Diciptakan oleh MIT Project MAC and Bill Schelter et al., pada 1967. Dapat 4



dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris, Android. • PARI/GP. PARI / GP adalah sistem aljabar komputer dengan tujuan utama memfasilitasi perhitungan teori bilangan . Versi 2.1.0 dan lebih tinggi didistribusikan di bawah Lisensi Publik Umum GNU . Ini berjalan pada sistem operasi yang paling umum. Diciptakan oleh Henri Cohen, Karim Belabas, Bill Allombert et al., pada 1985. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris, Android. • Reduce. Reduce adalah sistem aljabar komputer tujuan umum yang diarahkan pada aplikasi dalam fisika. Diciptakan oleh Anthony C. Hearn, pada 1960s. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris • Rlab. Rlab merupakan program perhitungan numerik yang interaktif dan ditafsirkan serta bahasa pemrograman intinya, yang ditulis oleh Ian Searle . Rlab (bahasanya) sangat tinggi dan dimaksudkan untuk menyediakan pembuatan prototipe dan program yang cepat, serta visualisasi data yang mudah, dan pemrosesan. • Scilab. Scilab adalah paket komputasi numerik cross-platform gratis dan open-source dan bahasa pemrograman tingkat tinggi yang berorientasi numerik. Dapat digunakan untuk pemrosesan sinyal , analisis statistik , peningkatan gambar , simulasi dinamika fluida , optimasi numerik , dan pemodelan, simulasi sistem dinamis eksplisit dan implisit dan (jika kotak peralatan yang sesuai dipasang) manipulasi simbolik. Diciptakan oleh Scilab Enterprises, pada 1990. • SciPy : digunakan untuk komputasi ilmiah dan komputasi teknis, berisi modul untuk optimasi, aljabar linier, integrasi, interpolasi, fungsi khusus, FFT, pemrosesan sinyal dan gambar, pemecah ODE dan tugas-tugas lain yang umum dalam sains dan teknik. Diciptakan oleh Travis Oliphant, Pearu Peterson, Eric Jones, pada 2006. • Sagemath. SageMath (sebelumnya Sage atau SAGE , ”System for Algebra and Geometry Experimentation”) adalah sistem aljabar komputer dengan fitur yang mencakup banyak aspek matematika, termasuk aljabar, kombinatorik, teori graf, analisis numerik, teori angka, kalkulus, dan statistik. Diciptakan oleh William A. Stein, pada 2005. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, Solaris, iOS, Saas. • SINGULAR. SINGULAR merupakan sistem aljabar komputer untuk perhitungan polinomial dengan penekanan khusus pada kebutuhan aljabar komutatif dan non-komutatif, geometri aljabar, dan teori singularitas. Diciptakan oleh University of Kaiserslautern , pada 1984. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris. • SMath Studio. SMath Studio adalah freeware ( bebas biaya , tetapi tidak gratis ), sumber tertutup, program notebook matematika mirip dengan Mathcad . Ini tersedia untuk Windows, Linux, iOS, Android, Universal Windows Platform , dan pada beberapa perangkat genggam. Diciptakan oleh Andrey Ivashov, pada 2004. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, Android, iOS, Saas. • SPSS. SPSS merupakan program komputer yang digunakan untuk membuat analisis statistika. Diciptakan oleh Norman Nie, pada 1968. • SymPy. SymPy adalah pustaka Python untuk perhitungan simbolik. SymPy termasuk fitur mulai dari aritmatika simbolis dasar untuk kalkulus, aljabar, matematika diskrit dan fisika kuantum . Ia mampu memformat hasil perhitungan sebagai kode LaTeX. Diciptakan 5



•



•



•



•



•



2



ˇ ık, pada 2006. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi oleh Ondˇrej Cert´ Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris, Android, iOS, Saas. Talking Math. Talking Math merupakan perangkat lunak matematika yang mengajarkan anak-anak matematika dasar dengan cara yang mudah, sehingga mereka dapat belajar dengan cepat. Program ini mendukung mode audio dan bekerja dalam tiga mode terpisah seperti standar, interaktif, dan timer. Perangkat lunka ini membantu anak-anak memecahkan masalah matematika dasar, sperti perkalian, pembagian, pengurangan, dan penambahan. Wingeom. Wingeom adalah software matematika yang dapat digunakan untuk membantu pembelajaran geometri dan pemecahan masalah geometri. Diciptakan oleh Ricard Parris. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows Xcas/Giac. Xcas adalah antarmuka pengguna untuk Giac , Sistem Aljabar Komputer (CAS) gratis, dasar untuk Microsoft Windows, Apple macOS dan Linux / Unix; Xcas ditulis dalam C ++. Giac dapat digunakan langsung di dalam perangkat lunak yang ditulis dalam C ++. Diciptakan oleh Bernard Parisse., pada 2006. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris, Android, Ios Yacas. Yacas adalah sistem aljabar komputer serba guna. Namanya adalah singkatan dari Yet Another Computer Algebra System. YACAS adalah program untuk manipulasi simbolik ekspresi matematika. Ini menggunakan bahasa pemrograman sendiri yang dirancang untuk perhitungan numerik simbolis serta presisi arbitrer. Diciptakan oleh Ayal Pinkus et al., pada 1998. Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, MacOS, Linux, BSD, Solaris, Android Yenka 3D Shapes. Yenka 3D Shapes merupakan perangkat lunak pendidikan yang memungkinkan siswa mensimulasikan eksperimen ilmiah, membuat model matematika, merancang sirkuit elektronik, atau belajar pemrograman computer. Diciptakan oleh Crocodile Clips Ltd., Dapat dijalankan di komputer dengan sistem operasi Windows, Macintosh, Linux (beta).



Software Matematika Euler Math Toolbox (EMT) Euler Math Toolbox merupakan perangkat lunak yang dikembangkan oleh Rene Grothmann, seorang professor matematika di Universitas Eichst¨att,, Jerman, untuk komputasi numerik serta visualisasi data. Euler bersifat freeware dan tersedia untuk sistem operasi Windows. Euler Math Toolbox dapat diunduh di http://euler.rene-grothmann.de/ 1. Tampilan Jendela Euler Math Toolbox. Setelah Euler dijalankan maka pada layar komputer akan muncul jendela Euler seperti yang terlihat pada gambar berikut.



6



Simbol kurang dari yang terdapat pada jendela Euler merupakan tanda bahwa Euler siap untuk untuk menerima suatu perintah. Bagi pemula yang masih awam bagaimana menggunakan Euler Math Toolbox, Euler Math Toolbox menyediakan beberapa tutorial bagaimana menggunakan software ini. Tutorial ini dapat diakses dengan membuka Menu Bar File, kemudian Open Tutorial or Examples, kemudian pilih file yang akan dibuka. 2. Tutorial 00-EMT For Schools. • EMT For Schools. Untuk menulis ekspresi matematika 1



(4



+



1 2



1 4



+



+5 1 7



)3 π



maka syntax yang harus dimasukkan adalah: >((1/4 + 1/2 + 5) / (1/4 + 1/7))^3 * pi Dengan mengklik tombol enter maka akan didapatkan hasil : 9850.29972274 Gunakan tanda ”/” untuk operasi pembagian dan tanda ”topi” untuk operasi perpangkatan. Letakkan tanda kurung di sekitar sub-ekspresi yang perlu dihitung terlebih dahulu. EMT membantu Anda dengan menyoroti ekspresi bahwa braket penutup selesai. Anda juga harus memasukkan nama ”pi” untuk simbol π. Hasil perhitungan ini adalah angka floating point. Secara default dicetak dengan akurasi sekitar 12 digit. Untuk menyelesaikan sebuah persamaan kuadarat seperti berikut x2 + x = 1 = 2x + 3 maka syntax yang harus dituliskan adalah : >&solve(x^2+x+1=2*x+3,x) Dengan mengklik tombol enter maka akan didapatkan hasil : x = 2 x = −1 Perintah ”solve” juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dua variabel seperti berikut x2 − x − y 2 , x + y = 6 maka syntax yang harus dituliskan adalah : >&solve([x^2-x-y^2=1,x+y=6],[x,y]) Dengan mengklik tombol enter maka akan didapatkan hasil : x=



37 29 , y= 11 11



• Symbolic Mathematics with Maxima in EMT. Pertama-tama, Maxima memiliki aritmatika ”tak terbatas” yang dapat menangani jumlah yang sangat besar. Untuk menyelesaikan masalah faktorial seperti berikut 44! Maka syntax yang dimasukkan adalah :



7



>&44! Dengan menekan tombol enter, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut : 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000



Untuk menyelesaikan sebuah permasalahan kombinasi 10 dari 44, maka syntax yang dimasukkan adalah : >& 44! / (34! * 10!) Dengan menekan tombol enter, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut : 2481256778 Selain itu permasalahan kombinasi di atas dapat diselesaikan dengan memasukkan syntax : >&binomial(44,10) dan akan diperoleh hasil yang sama seperti cara yang digunakan sebelumnya. Untuk menyimpan hasil perhitungan terakhir, maka dapat digunakan simbol %, seperti contoh berikut: >&solve(x^2+x-4=0,x), &x^3 with %[1], &expand(%) Maka akan diperoleh hasil : √ √ 17 − 1 − 17 − 1 , x= x= 2 2 • Step by Step Solutions. Untuk menyelesaikan suatu permasalahan sistem persamaan kuadrat seperti berikut x2 + y 2 + x = 6, x + y = 3 maka syntax yang dimasukkan adalah : Pertama-tama menyimpan dua persamaan dalam dua variabel simbolik. >eq1 &= (x^2+y^2+x=6), eq2 &= (x+y=3) Selanjutnya kita hilangkan x dari persamaan pertama. >&solve(eq2,x), &eq1 with %, res &= expand(%) Sekarang kita memecahkan persamaan kuadratik ini dengan ekstensi kuadratik. Kuncinya adalah bahwa setiap operasi aritmatika diterapkan ke kedua sisi persamaan, seperti yang seharusnya. >& expand(res/2), & %-6+(7/4)^2, & factor(%), & %*16 >&solve([eq1,eq2],[x,y])\\ maka akan diperoleh hasil : (x = 1, y = 2), (x =



8



3 3 ,y= ) 2 2



• Numerical Mathematics with EMT. Sebagai contoh, kami menghitung ketinggian menara dalam jarak 100m. Bagian atas menara diukur 10,5 derajat di atas cakrawala. Untuk menyelesaiakan permasalahan tersebut masukkan syntax : >100*tan(10.5) Dengan menekan tombol enter, maka akan diperoleh hasil : 18.5339044932 Gunakan F7 untuk mendapatkan simbol derajat jika Anda tidak memiliki kunci untuk itu. EMT dapat mencetak hasil dalam berbagai format. E.g., panjang output dapat diubah untuk nilai tunggal dengan mudah. >shortest 1/3, short 1/3, long 1/3, longest 1/3 Diperoleh hasil : 0.333 0.33333 0.333333333333 0.3333333333333333 Atau Anda dapat mengatur format tertentu untuk semua output. >format(10,2); exp(5.6) Diperoleh hasil : 270.43 Bagaimanapun, ”defformat” membawa Anda kembali ke format default. Tentu saja, memulai ulang EMT melakukan hal yang sama. >defformat; exp(5.6) Diperoleh hasil : 105.156 4023.36 0.9144 9.46073047258e+015 Hasil terakhir berarti sekitar 9,5 kali 10 pangkat 15 meter. EMT juga dapat mengkonversi antar unit. >3d->min // days to minutes Untuk sebagian besar masalah dunia nyata tidak ada solusi simbolis sama sekali. Misalnya, ekspresi cos(x) = x memiliki solusi unik. Tetapi kita dapat menemukannya hanya dengan metode numerik. Fungsi ”solve” adalah mitra numerik ”solve” dari Maxima. Ia menemukan solusinya dengan metode Secant. Tetapi perlu tebakan awal. >xsol = solve("cos(x)-x",1) Diperoleh hasil : 0.739085133215 Mari kita plot dua fungsi dan solusinya. Di atas, kami telah menyimpan solusi dalam variabel numerik ”xsol” dengan ”=”. 9



>plot2d("cos(x)",0,pi); plot2d("x",>add); plot2d(xsol,xsol,>points,>add):



>xsol, cos(xsol) Diperoleh hasil : 0.739085133215 0.739085133215 • Vector Data. Untuk mempelajari tentang vektor, kami membuat vektor acak lemparan dadu. >v = intrandom(10,6) Diperoleh hasil yang mungkin : (4, 2, 6, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 6) EMT memiliki banyak fungsi untuk vektor. Misalnya. kita dapat menghitung jumlah atau produk dari elemen-elemen vektor. >sum(v), prod(v) Diperoleh hasil : 33 55296 Menggunakan operator titik dua a: b, kami menghasilkan vektor angka dari a ke b. >1:10, prod(%), 10!



10



Diperoleh hasil : (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 3628800 3628800 Vektor juga berguna untuk tabel fungsi. >t=0:0.2:1, s=t^3-t Diperoleh hasil : (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1) (0, -0.192, -0.336, -0.384, -0.288, 0) Kuncinya di sini adalah bahwa t pangkat 3 dikurangi t diterapkan pada setiap elemen t. Ini disebut ”vektorisasi” operator dan fungsi. Kita sekarang dapat memplot nilai sebagai titik atau sebagai garis dengan titik. >plot2d(t,s,>addpoints):



Untuk menemukan nilai ekstrim, kita dapat menggunakan min (t) dan maks (t). Atau kita dapat menemukan indeks dari nilai-nilai ekstrim ini bersama dengan nilai-nilai itu. >min(s), max(s), extrema(s) Diperoleh hasil : -0.384 0 (-0.384, 4, 0, 1)



11



Untuk menghasilkan vektor nilai untuk y, syntax linspace (). x = cos(y) >y=linspace(-2*pi,2*pi,1000); x=cos(y); plot2d(x,y):



Lalu, tentu saja, kita juga bisa menggambar kurva. x = f (t), quady = g(t) dengan plot (x, y) di mana x adalah vektor nilai-x, dan y adalah vektor nilai-y. >t=linspace(0,2*pi,1000); plot2d(t/pi*cos(t),t/pi*sin(t),r=2):



12



• Matrices. Untuk dapat mencetak matriks kami tanpa jeda baris, kami menetapkan format fraksional pendek. >fracformat(8); A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9] Diperoleh hasil : 1 4 7



2 5 8



3 6 9



Operator juga vektor ke matriks. >1/(A*A) Diperoleh hasil : 1 1/16 1/49



1/4 1/25 1/64



1/9 1/36 1/81



Produk matriks Linear Aljabar dilambangkan dengan titik. >A.A Diperoleh hasil : 30 36 42 13



66 81 96 102 126 150 Garis-garis A adalah A [k] dll, dan kolom A [, k]. Mari kita menghitung determinan A menggunakan algoritma Gauss. >A[2]=A[2]-4*A[1] Diperoleh hasil : 123 0 -3 -6 789 >A[3]=A[3]-7*A[1] Diperolah hasil : 123 0 -3 -6 0 -6 -12 >A[3]=A[3]-2*A[2] Jika Anda ingin memeriksa perhitungan Gauss, Anda dapat menggunakan fungsi pivotize (), yang melakukan banyak langkah dalam satu. >A=[1,2,3;4,5,6;7,8,10]; b=[1;1;1]; M=A|b >pivotize(M,1,1) Diperoleh hasil : 1 4 7



2 5 8



3 6 10



1 1 1



Determinannya bernilai nol. >pivotize(M,2,2) Diperoleh hasil : 1 0 0



0 1 0



-1 2 1



-1 1 0



0 0 1



-1 1 0



>pivotize(M,3,3) Diperoleh hasil : 1 0 0



0 1 0



Kita membaca solusi Ax = b dari ini sebagai x = -1, y = 1, z = 0.



14



• Statistics. Pertama, mari kita plot distribusi binomial. bn (k) = nkpk (1 − p)n−k Sekali lagi, kami menggunakan bahasa matriks EMT untuk menghitung vektor nilai untuk n tetap. Function functionsplot () adalah salah satu plot statistik EMT. Perlu vektor label untuk sumbu-x. >n=20; k=0:n; p=0.3; columnsplot(bin(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),lab=k):



Fungsi intrandom (N, n) menghasilkan nilai integer N dari 1 hingga n, masing-masing dengan probabilitas yang sama. >intrandom(10,6) Diperoleh hasil : 2, 5, 2, 3, 2, 6, 2, 3, 1, 4 >v=intrandom(6000,6); getmultiplicities(1:6,v) Diperoleh hasil : 978, 1002, 981, 988, 1008, 1043 Selain menggunakan ”getmultiplicities”, kita juga dapat menggunakan bahasa matriks untuk menghitung angka 6 dengan cara berikut. Perhatikan bahwa ”==” membandingkan dua nilai untuk kesetaraan dan menghasilkan 1 = benar atau 0 = salah. Ini berfungsi untuk setiap elemen vektor.



15



>[1,2,3,6,5,4,6], %==6, sum(%) Diperoleh hasil : (1, 2, 3, 6, 5, 4, 6) (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1) 2 Dimungkinkan untuk menulis loop untuk mencapai hasil yang sama. Untuk pengguna dengan bahasa pemrograman dasar ini terlihat sebagai cara termudah. Namun, jauh lebih lambat. >v=[1,2,3,6,5,4,6]; ... k=0; ... for i=1 to length(v); ... if v[i]==6 then k=k+1; endif; ... end; ... k Diperoleh hasil : 2 • More about Plots. Asumsikan, kita ingin mencetak fungsi sinus dan kosinus pada halaman dengan lebar 10cm dan font dengan tinggi 8pt dalam rasio 2: 1. >aspect(2); setfont(8pt,10cm); plot2d(["sin(x)","cos(x)"],0,2pi):



Untuk mencetak plot seperti itu saya sarankan untuk menyimpannya tanpa anti-aliasing ke PNG. Cukup pilih ”For Print”. Anda mendapatkan file 2000x1000 piksel yang cukup baik untuk lebar cetak 30cm. Anda dapat memasukkan PNG dalam PDF-Lateks atau dalam dokumen Word apa pun. Untuk mengatur ulang ke nilai default gunakan ”reset”. >reset; 3. Tutorial Demo – Plots in Euler. Mari kita lakukan beberapa simulasi Monte-Carlo. • Functions of one Variable. Cara termudah untuk mendapatkan plot di Euler adalah ekspresi. Kisaran default adalah dari -2 hingga 2. Kisaran y adalah otomatis. Untuk demo, kami mengubah rentang dari -2 ke 1.



16



>plot2d("x^3+x^2-x",-2,1):



Perhatikan titik dua ”:” setelah plot, yang menyisipkan plot ke notebook. Untuk plot berikut, kami mengubah rasio aspek plot. Untuk memplot lebih dari satu fungsi, cara termudah adalah dengan menggunakan array ekspresi. >aspect(2); plot2d(["sin(x)","cos(x)"],0,2pi,-1.2,1.2):



Jika Anda telah mengubah aspek tetapi tidak ingin tetap mengatur ulang aspek () dengan perintah berikut. >aspect(); Cara lain untuk mengatur rentang adalah dengan jari-jari r. Pusat adalah (0,0) secara 17



default, tetapi kita dapat memilih pusat lainnya. (Alternatifnya adalah menetapkan parameter a, b, c, d untuk jendela plot [a, b] x [c, d]). Untuk demo, kami memplot dua fungsi dalam berbagai warna dan gaya menjadi satu plot. Selain itu, kami mengubah jenis kisi menggunakan garis kisi yang lebih sedikit. >plot2d(["cos(x)","x"],r=1.1,cx=0.5,cy=0.5, ... color=[black,blue],style=["-","."], ... grid=1); Jika Anda tidak melihat plot ini di tata letak jendela Anda, tekan tombol tabulator. Kita tambahkan titik persimpangan dengan label (pada posisi ”cl” untuk kiri tengah), dan masukkan hasilnya ke notebook. Kami juga menambahkan judul ke plot. >x0=solve("cos(x)-x",1); ... plot2d(x0,x0,>points,>add,title="Intersection Demo"); label("cos(x) = x",x0,x0,pos="cl",offset=20):



...



Dalam demo berikut, kami memplot fungsi sinc (x) dan ekspansi Taylor ke-8 dan ke-16. Kami menghitung ekspansi ini menggunakan Maxima melalui ekspresi simbolik. >&taylor(sin(x)/x,x,0,4) Plot ini dilakukan dalam perintah multi-line berikut dengan tiga panggilan ke plot2d (). Yang kedua dan yang ketiga memiliki¿ set flag tambah, yang membuat plot menggunakan rentang sebelumnya. Kita tambahkan kotak label yang menjelaskan fungsinya.



18



>plot2d("sinc(x)",0,4pi,color=green,thickness=2); ... plot2d(&taylor(sin(x)/x,x,0,8),>add,color=blue,); ... plot2d(&taylor(sin(x)/x,x,0,16),>add,color=red,); ... labelbox(["sinc","T8","T16"],styles=["-","--","-.-"], ... colors=[black,blue,red]):



>function map f(x) ... Parameter ”map” membantu menggunakan fungsi untuk vektor. Untuk plot, itu tidak perlu. Tetapi untuk menunjukkan bahwa vektorisasi bermanfaat, kami menambahkan beberapa poin kunci ke plot di x = -1, x = 0 dan x = 1. Dalam plot berikut, kami juga memasukkan beberapa kode LaTeX. Kami menggunakannya untuk dua label dan kotak teks. Tentu saja, Anda hanya akan dapat menggunakan LaTeX jika Anda telah menginstal LaTeX dengan benar. >plot2d("f",-1,1,xl="x",yl="f(x)",grid=6); ... plot2d([-1,0,1],f([-1,0,1]),>points,>add); ... label(latex("x^3"),0.72,f(0.72)); ... label(latex("x^2"),-0.52,f(-0.52),pos="ll"); ... textbox( ... latex("f(x) \begin{cases} x^3 & x>0 \\ x^2 & x \le 0\end{cases}"), ... x=0.7,y=0.2):



19



Anda dapat mengubah gaya kisi default secara global. Kami melakukannya di plot berikutnya. Selain itu, kami menggunakan string Unicode di plot berikut. String Unicode dapat digunakan di semua teks plot. Ini mungkin sering menjadi alternatif untuk LaTeX. >gridstyle(st1="->",color=blue,textcolor=blue); ... plot2d("x^3+x-x^2",0,1,grid=3,,vertical); ... labelbox(u"x³ + x - x²","--",x=0.5,y=0.2,):



20



Kembalikan ke gaya dan warna default dengan reset (). >reset; Untuk kontrol lebih lanjut, setiap sumbu dapat diplot secara terpisah. Pada contoh, kita plot sumbu y dua kali, sekali untuk sumbu dan label, dan sekali untuk kutu. Untuk demonstrasi, kami menggunakan warna biru. Selain itu, kami menempatkan sumbu ke kiri dan di bawah plot. Untuk ini, parameter pertama dari yaxis () dan xaxis () menentukan posisi yang tepat dari sumbu. >plot2d("sqrt(x)",0,1,grid,left,textcolor=blue); ... xaxis(-0.05,[0.5,1],["1","x"],,>grid,grid):



21



Seringkali, Anda membutuhkan plot EMT untuk makalah ilmiah atau buku. Maka ukuran label harus sesuai dengan ukuran teks. Dengan setfont (), font baru dapat dipilih. Anda memerlukan ukuran font dan tinggi output. Parameter apa yang benar-benar terlihat terbaik mungkin perlu sedikit bereksperimen. >setfont(10pt,12cm); aspect(2); expr&=sin(x)*exp(-x^2/10); ... plot2d([expr,&diff(expr,x)],-2pi,2pi,style=["-","--"],grid=7,plot2d("x*cos(x)","x*sin(x)",xmin=0,xmax=2pi,>square):



Poin utama dari bahasa matriks adalah memungkinkan untuk menghasilkan tabel fungsi dengan mudah. >t=linspace(0,2pi,1000); x=cos(3*t); y=sin(4*t); Kami sekarang memiliki vektor x dan y nilai. plot2d () dapat memplot nilai-nilai ini sebagai kurva yang menghubungkan titik-titik. Plotnya bisa diisi. Dalam hal ini, ini menghasilkan hasil yang bagus karena aturan belitan, yang digunakan untuk isian. >plot2d(x,y,t=linspace(0,2pi,7); ... plot2d(cos(t),sin(t),r=1,>filled,,fillcolor=red):



24



Kita juga dapat memplot satu baris nilai x dengan banyak baris nilai y. Untuk menghasilkan matriks seperti itu, kami menggunakan bahasa matriks Euler. >x=0:0.01:1; n=(0:6)’; y=bin(6,n)*x^n*(1-x)^(6-n); Sekarang kita memiliki yi,j = Bi (xj ) = 6i xij (1 − xj )6−i Ini adalah tabel dari polinomial Bernstein di (0,1). >plot2d(x,y,grid=8,plot3d("x^2+y^3",r=1,angle=60,height=20,zoom=2.5):



26



Untuk plot, Euler menambahkan garis kisi. Sebagai gantinya adalah mungkin untuk menggunakan garis level dan rona satu warna atau rona berwarna spektral. >plot3d("x^2+y^2",levels=-2:0.2:2,>spectral,n=100,frame=3,zoom=2.2):



27



Plot berikut menggunakan garis level, yang menunjukkan area, di mana fungsi berada di antara dua batas. Lebar batas dapat diatur oleh dl. Kami menggunakan nilai default. >plot3d("x^2*y-y^3-x",r=2,>contour,>cp,cpcolor=spectral):



28



Plot kutub juga tersedia. Parameter ”fscale” mengukur fungsi dengan skala sendiri. Kalau tidak, fungsi diskalakan agar sesuai dengan sebuah kubus. Kami menambahkan bidang kontur di bawah plot yang menunjukkan nilai dalam warna spektral. >aspect(1.5); ... plot3d("1/(x^2+y^2+1)",r=5,>polar, ... fscale=2,>hue,n=100,zoom=4,>contour,color=gray):



Euler juga dapat memplot permukaan yang diparameterisasi, ketika parameternya adalah 29



nilai x, y, dan z dari gambar kisi persegi di ruang tersebut. Untuk demo berikut, kami menyiapkan parameter u- dan v-, dan menghasilkan koordinat ruang dari ini.



>u=linspace(-1,1,10); v=linspace(0,2*pi,50)’; ... X=(3+u*cos(v/2))*cos(v); Y=(3+u*cos(v/2))*sin(v); Z=u*sin(v/2); ... plot3d(X,Y,Z,>ana



Plot ini adalah plot anaglyph. Anda perlu menggunakan kacamata merah / cyan untuk mengalami efek 3D yang bagus. Jangan lupa untuk mengatur ulang aspek. >aspect(); ... Berikut adalah contoh yang lebih rumit, yang megah dengan majestic merah / cyan. >u:=linspace(-pi,pi,160); v:=linspace(-pi,pi,400)’; ... x:=(4*(1+.25*sin(3*v))+cos(u))*cos(2*v); ... y:=(4*(1+.25*sin(3*v))+cos(u))*sin(2*v); ... z=sin(u)+2*cos(3*v); ... plot3d(x,y,z,frame=0,scale=1.5,hue=1,light=[1,0,-1],zoom=2.8,>anaglyph):



30



• Implicit Plots. Euler dapat menandai garis level f (x, y) = c fungsi apa pun. >plot2d("x^2+y^2-x*y-x",r=1.5,level=0,contourcolor=red):



31



Dimungkinkan juga untuk mengisi set dengan rentang level. a ≤ f (x, y) ≤ b >plot2d("x^4+y^4",r=1.5,level=[0;1],color=blue,):



32



>plot2d("x^3+y-x",r=2,>contour,level="thin"):



33



Ada juga gaya otomatis yang menunjukkan beberapa rentang garis level. Anda dapat menambahkan bayangan latar belakang. >plot2d("exp(x*y)-x",>contour,>hue,contourcolor=gray,>spectral):



34



>function map f(a) := bisect("fr",0,2;a); ... t=linspace(-pi/2,pi/2,100); r=f(t); ... s=linspace(pi,2pi,100)’; ... plot3d(r*cos(t)*sin(s),r*cos(t)*cos(s),r*sin(t), ... >hue,function f(x,y,z)



...



Plot adalah plot anaglyph. Anda perlu majestic merah / cyan untuk melihatnya dengan benar. >eplot3d("f(x,y,z)", ... xmin=0,xmax=1.2,ymin=-1.2,ymax=1.2,zmin=-1.2,zmax=1.4, ... implicit=1,angle=-30,zoom=2.5,n=[10,60,60],>anaglyph):



36



• Statistical Plots. Untuk distribusi sederhana, kita dapat menggunakan¿ distribusi di plot2d. >plot2d(normal(1,1000),>distribution); ... plot2d("qnormal(x)",color=red,thickness=2,>add):



37



Ada juga banyak plot khusus untuk statistik. >M=normal(5,1000); boxplot(quartiles(M)):



38



Berikut ini adalah 5 kali lemparan 100 dadu. Kami menghitung angka 1s hingga 6s di setiap lemparan. >Z=intrandom(5,100,6); v=zeros(5,6); ... loop 1 to 5; v[#]=getmultiplicities(1:6,Z[#]); end; ... columnsplot3d(v’,scols=1:5,ccols=[1:5]):



39



4. Tutorial 02 – 2D Grapphics. Tutorial ini memberikan pengantar berbagai plot 2D di Euler. Euler dapat memplot plot 2D. - fungsi, variabel, atau kurva parameter, - vektor nilai x-y, - Awan poin di pesawat, - kurva implisit dengan level atau level level. Gaya plot mencakup berbagai gaya untuk garis dan titik, plot bar dan plot berbayang. Functions in one Parameter. Rentang plot diatur dengan parameter yang ditetapkan berikut ini. - a, b: rentang-x (default -2,2) - c, d: y-range (default: skala dengan nilai) - r: atau radius di sekitar pusat plot - cx, cy: koordinat pusat plot (default 0,0) Berikut adalah contoh paling mendasar, yang menggunakan rentang default dan menetapkan rentang y yang sesuai agar sesuai dengan plot fungsi. Catatan: Jika Anda mengakhiri baris perintah dengan tanda titik dua ”:”, plot akan dimasukkan ke jendela teks. Jika tidak, tekan TAB untuk melihat plot jika jendela plot tertutup. •



>plot2d("x^2"):



40



Alternatif untuk titik dua adalah perintah insimg (baris), yang menyisipkan plot yang menempati sejumlah baris teks tertentu. Dalam opsi, plot dapat diatur agar muncul - di jendela resizable terpisah, - di jendela notebook. Bagaimanapun, tekan tombol tabulator untuk melihat plot, jika disembunyikan. >plot2d("x^3-x",0,2); insimg(20);



41



Di plot2d (), ada gaya alternatif yang tersedia dengan kisi = x. Untuk gambaran umum, kami menampilkan berbagai gaya kisi dalam satu gambar (lihat perintah di bawah ini). Grid gaya = 0 tidak termasuk. Itu tidak menunjukkan kotak dan tidak ada bingkai. Lebih banyak gaya dapat dicapai dengan perintah plot tertentu. >figure(3,3); ... for k=1:9; figure(k); plot2d("x^3-x",-2,1,grid=k); end; ... figure(0):



42



Jika argumen untuk plot2d () adalah ekspresi yang diikuti oleh empat angka, angkaangka ini adalah rentang x dan y untuk plot. Atau, a, b, c, d dapat ditentukan sebagai parameter yang ditetapkan sebagai = ... dll. Pada contoh berikut, kami mengubah gaya kisi, menambahkan label, dan menggunakan label vertikal untuk sumbu y. >plot2d("sin(x)",0,2pi,-1.2,1.2,grid=3,xl="x",yl="sin(x)"):



43



Plot kuadrat secara default. Anda dapat mengubah default ini di menu dengan ”Set Aspect” ke rasio aspek tertentu atau ke ukuran jendela grafis saat ini. Tetapi Anda dapat mengubahnya juga untuk satu plot. Untuk ini, ukuran area plot saat ini diubah, dan jendela diatur sehingga label memiliki cukup ruang. >aspect(2); plot2d("sin(x)+cos(2*x)",0,4pi):



Gambar yang dihasilkan dengan menyisipkan plot ke jendela teks disimpan di direktori yang sama dengan notebook, secara default di subdirektori bernama ”gambar”. Mereka juga digunakan oleh ekspor HTML. Anda cukup menandai gambar apa saja dan menyalinnya ke clipboard dengan Ctrl-C. Tentu saja, Anda juga dapat mengekspor grafik saat ini dengan fungsi di menu File. Fungsi atau ekspresi dalam plot2d dievaluasi secara adaptive. Untuk kecepatan lebih, matikan plot adaptive dengan ¡adaptive dan tentukan jumlah subintervals dengan n = 44



... Ini harus diperlukan dalam kasus yang jarang terjadi saja. >plot2d("sign(x)*exp(-x^2)",-1,1,columnsplot(ones(1,16),lab=0:15,grid=0,color=0:15):



>columnsplot(ones(1,16),grid=0,color=rgb(0,0,linspace(0,1,15))):



45



To plot more than one function into one window, call plot2d one more time, and use ¿add. >plot2d("cos(x)",r=2,grid=6); plot2d("x",,>add):



46



Atau, vektor string dapat digunakan. Anda kemudian dapat menggunakan larik warna, larik gaya, dan larik dengan ketebalan yang sama. >plot2d(["sin(x)","cos(x)"],0,2pi,color=4:5):



47



Dalam contoh berikut, kami menggunakan loop untuk memplot beberapa fungsi (lihat tutorial tentang pemrograman untuk loop). >plot2d({{"f",1}},-10,10); ... for a=2:10; plot2d({{"f",a}},>add); end:



48



Kita bisa mencapai hasil yang sama dengan cara berikut menggunakan bahasa matriks EMT. Setiap baris dari matriks f (x, a) adalah satu fungsi. Selain itu, kita dapat mengatur warna untuk setiap baris matriks. Klik dua kali pada fungsi getspectral () untuk penjelasan. >x=-10:0.01:10; a=(1:10)’; plot2d(x,f(x,a),color=getspectral(a/10)):



49



• Text Labels. Dekorasi sederhana bisa - judul dengan title = ”...” - label x dan y dengan xl = ”...”, yl = ”...” - label teks lain dengan label (”...”, x, y) Perintah label akan memplot ke plot saat ini di koordinat plot (x, y). Itu bisa mengambil argumen posisi. >expr := "log(x)/x"; ... plot2d(expr,0.5,5,title="y="+expr,xl="x",yl="y"); ... label("(1,0)",1,0); label("Max",E,expr(E),pos="lc"):



50



Ada juga labelbox fungsi (), yang dapat menunjukkan fungsi dan teks. Dibutuhkan vektor string dan warna, satu item untuk setiap fungsi. >function f(x) &= x^2*exp(-x^2); ... plot2d(&f(x),a=-3,b=3,c=-1,d=1); ... plot2d(&diff(f(x),x),>add,color=blue,); ... labelbox(["function","derivative"],styles=["-","--"], ... colors=[black,blue],w=0.4):



51



Kotak itu berada di kanan atas secara default, tetapi¿ kiri jangkar di kiri atas. Anda dapat memindahkannya ke tempat yang Anda suka. Posisi jangkar adalah sudut kanan atas kotak, dan jumlahnya adalah sebagian kecil dari ukuran jendela grafis. Lebar otomatis. Untuk plot titik, kotak label juga berfungsi. Tambahkan parameter¿ titik, atau vektor bendera, satu untuk setiap label. Dalam contoh berikut ini, hanya ada satu fungsi. Jadi kita bisa menggunakan string, bukan vektor string. Kami mengatur warna teks menjadi hitam untuk contoh ini. >n=10; plot2d(0:n,bin(n,0:n),>addpoints); ... labelbox("Binomials",styles="[]",>points,x=0.1,y=0.1, ... tcolor=black,>left):



52



• Latex. Anda juga dapat memplot rumus LaTeX jika Anda telah menginstal sistem LaTeX. Saya merekomendasikan MiKTeX. Jalur ke binari ”lateks” dan ”dvipng” harus berada di jalur sistem, atau Anda harus mengatur LaTeX di menu opsi. Perhatikan, parsing LaTeX itu lambat. Jika Anda ingin menggunakan LaTeX di plot animasi, Anda harus memanggil lateks () sebelum loop sekali dan menggunakan hasilnya (gambar dalam matriks RGB). Dalam plot berikut, kami menggunakan LaTeX untuk label x dan y, label, kotak label, dan judul plot. >plot2d("exp(-x)*sin(x)/x",a=0,b=2pi,c=0,d=1,grid=6,color=blue, ... title=latex("\text{Function $\Phi$}"), ... xl=latex("\phi"),yl=latex("\Phi(\phi)")); ... textbox( ... latex("\Phi(\phi) = e^{-\phi} \frac{\sin(\phi)}{\phi}"),x=0.8,y=0.5); ... label(latex("\Phi",color=blue),1,0.4):



53



Seringkali, kami menginginkan spasi dan label teks yang tidak sesuai pada sumbu x. Kita dapat menggunakan xaxis () dan yaxis () seperti yang akan kita tunjukkan nanti. Cara termudah adalah dengan melakukan plot kosong dengan bingkai menggunakan kisi = 4, dan kemudian menambahkan kisi dengan ygrid () dan xgrid (). Dalam contoh berikut, kami menggunakan tiga string LaTeX untuk label pada sumbu x dengan xtick (). >plot2d("sinc(x)",0,2pi,grid=4,plot2d("exp(x)*sin(x)",user=true, ... title="+/- or cursor keys (return to exit)"):



55



Berikut ini menunjukkan cara interaksi pengguna tingkat lanjut (lihat tutorial tentang pemrograman untuk detail). Fungsi built-in mousedrag () menunggu acara mouse atau keyboard. Ini melaporkan mouse ke bawah, mouse digerakkan atau mouse ke atas, dan penekanan tombol. Fungsi dragpoints () memanfaatkan ini, dan memungkinkan pengguna menyeret titik mana pun dalam plot. Kita perlu fungsi plot terlebih dahulu. Sebagai contoh, kami interpolasi dalam 5 poin dengan polinomial. Fungsi harus memplot ke area plot tetap. >function plotf(xp,yp,select) ... Perhatikan parameter titik koma di plot2d (d dan xp), yang diteruskan ke evaluasi fungsi interp (). Tanpa ini, kita harus menulis function plotinterp () terlebih dahulu, mengakses nilai secara global. Sekarang kami menghasilkan beberapa nilai acak, dan membiarkan pengguna menyeret poin. >t=-1:0.5:1; dragpoints("plotf",t,random(size(t))-0.5):



56



• Special Plot Styles. Gaya default sumbu dan label dapat dimodifikasi. Selain itu, label dan judul dapat ditambahkan secara manual. Untuk mengatur ulang ke gaya default, gunakan reset (). >gridstyle("->",color=gray,textcolor=gray,framecolor=gray); plot2d("x^3-x",grid=1); ... settitle("y=x^3-x",color=black); ... label("x",2,0,pos="bc",color=gray); ... label("y",0,6,pos="cl",color=gray); ... reset():



57



...



Untuk kontrol yang lebih besar lagi, sumbu x dan sumbu y dapat dilakukan secara manual. Perintah fullwindow () memperluas jendela plot karena kita tidak lagi membutuhkan tempat untuk label di luar jendela plot. Gunakan shrinkwindow () atau reset () untuk mengatur ulang ke default. >fullwindow; ... gridstyle(color=darkgray,textcolor=darkgray); ... plot2d(["2^x","1","2^(-x)"],a=-2,b=2,c=0,d=4,left); ... yaxis(2,2^(-2:2),,x=-10:0.1:10; y=exp(-x^2)*x; plot2d(x,y): Includegraphics56 Dalam contoh berikut, kami menghasilkan Bernstein-Polinomial. Bi (x) = nixi (1 − x)n−i Kami menghasilkan matriks nilai dengan satu Bernstein-Polinomial di setiap baris. Untuk ini, kami cukup menggunakan vektor kolom i. Lihat pengantar tentang bahasa matriks untuk mempelajari lebih lanjut. >x=0:0.01:1; n=10; i=(0:n)’; y=bin(n,i)*x^i*(1-x)^(n-i); ... plot2d(x,y): Includegraphics57 Perhatikan bahwa parameter warna dapat berupa vektor. Maka setiap warna digunakan untuk setiap baris matriks.



59



>x=linspace(0,1,200); y=x^(1:10)’; plot2d(x,y,color=1:10): Includegraphics58 Nilai x tidak perlu disortir. (x, y) cukup menggambarkan kurva. Jika x diurutkan, kurva adalah grafik fungsi. Dalam contoh berikut, kami memplot spiral γ(t) = t · (cos(2πt), sin(2πt)) Kita juga perlu menggunakan banyak poin untuk tampilan yang halus atau fungsi adaptif () untuk mengevaluasi ekspresi (lihat fungsi adaptif () untuk detail lebih lanjut). >t=linspace(0,1,1000); ... plot2d(t*cos(2*pi*t),t*sin(2*pi*t),r=1): Includegraphics59 Dalam contoh berikut ini, kami plot segi enam menggunakan kurva tertutup dengan 7 poin. - diisi = true mengisi plot. \\ - style = "...": Pilih dari "#", "/", "\", "\ /". - fillcolor: Lihat di atas untuk warna yang tersedia. >t=linspace(0,2pi,6); ... plot2d(cos(t),sin(t),>filled,,fillcolor=red,r=1.2): Includegraphics60 Vektor bilangan kompleks secara otomatis diplot sebagai kurva di bidang kompleks dengan bagian nyata dan bagian imajiner. Pada contoh, kami plot lingkaran unit dengan γ(t) = eit >t=linspace(0,2pi,1000); ... plot2d(exp(I*t)+exp(4*I*t),r=2): Includegraphics61 Matriks bilangan kompleks akan secara otomatis plot sebagai kisi-kisi di bidang kompleks. Dalam contoh, kami memplot gambar lingkaran unit di bawah fungsi eksponensial. Parameter cgrid menyembunyikan beberapa kurva kisi. >r=linspace(0,1,20); t=linspace(0,2pi,80)’; z=exp(r*exp(I*t)); plot2d(z,a=0,b=4,c=-2,d=2,cgrid=10):



...



Includegraphics62 • Implicit Functions Berikut adalah contoh dengan level otomatis. >plot2d("sin(x)*cos(y)",r=pi,>hue,>levels,n=100): Includegraphics63 Dimungkinkan untuk menentukan level tertentu. E.g., kita dapat memplot solusi dari persamaan seperti x3 − xy + x2 y 2 = 6 >plot2d("x^3-x*y+x^2*y^2",r=6,level=1,n=100):



60



Includegraphics64 Kami juga dapat mengisi rentang nilai seperti −1 ≤ (x2 + y 2 )2 − x2 + y 2 ≤ 0. >plot2d("(x^2+y^2)^2-x^2+y^2",r=1.2,level=[-1;0],): Includegraphics65 • Basic Plot Functions. plot2d () dan plot3d () dibangun di atas rutinitas plot yang lebih mendasar. Anda mungkin perlu rutinitas dasar ini untuk animasi yang cepat. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa Euler menggunakan buffer untuk menyimpan semua grafiknya, yang tidak dapat dinonaktifkan, karena digunakan untuk insimg () dan untuk ekspor grafik. Informasi lebih lanjut tentang rutinitas plot dasar terkandung dalam dokumentasi inti Euler, dan dalam beberapa file Euler. Jika Anda memutuskan untuk menulis hal-hal yang Anda rencanakan sendiri, Anda dapat menggunakan fungsi berikut sebagai permulaan. Ini plot bentuk seperti bintang dengan sudut spasi sama diberi vektor jari-jari. Secara opsional, pengguna dapat mengubah warna dan gaya isian, dan dimungkinkan untuk menambahkan label. Perhatikan, bahwa sudah ada fungsi starplot () di Euler. Kami tidak menganggap bahwa penahanan tidak aktif, karena fungsi tersebut dapat digunakan dalam jendela terpisah. Kemudian clg akan menghapus sisa plot. Selain itu, kami dengan hati-hati mengembalikan semua gaya dan warna. >function starplot1 (v, , color=green, lab=none) ... Tidak ada kutu kotak atau sumbu di sini. Selain itu, kami menggunakan jendela penuh untuk plot. Kami memanggil reset sebelum kami menguji plot ini untuk mengembalikan default grafik. Ini tidak perlu, jika Anda yakin plot Anda berhasil. >reset; starplot1(normal(1,10)+5,color=red,lab=1:10):



61



Terkadang, Anda mungkin ingin merencanakan sesuatu yang tidak bisa dilakukan plot2d, tetapi hampir. Dalam fungsi berikut, kami melakukan plot impuls logaritmik. plot2d dapat melakukan plot logaritmik, tetapi tidak untuk bilah impuls.



3



Software Matematika Geogebra GeoGebra adalah software matematika yang dinamis dan bersifat open source (free) untuk pembelajaran dan pengajaran matematika di sekolah. GeoGebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter dan tim pemrograman internasional. Mereka melakukan pekerjaan yang brilliant dan kita sebagai guru matematika dan dosen harus memberikan hormat kepada mereka. GeoGebra mengkombinasikan geometri, aljabar, statistic dan kalkulus. Software ini dapat didownload di situs website http://www.geogebra.org.



1. Geogebra Interface. Interface (tampilan) dasar GeoGebra dibagi dalam tiga bagian : Input Bar, Algebra View dan Graphic View.



62



63



64



65



2. Lesson 1—Poligon dan Sudut. • Mengkonstruksi Segitiga dan Ukuran Sudut Dalam.



66



• Mengkonstruksi Poligon.



3. Lesson 2—Garis-garis yang Tegak Lurus dan Sejajar. • Mengkonstruksi titik tengah dari segmen garis.



67



• Mengkonstruksi Garis tegak lurus dari garis yang ditentukan dan melalui titik yang ditentukan.



• Menkonstruksi Garis Sejajar dari Garis yang ditentukan dan melalui titik tertentu.



68



• Mengkonstruksi Bisektor tegak lurus dari suatu segmen garis.



• Mengkonstruksi Bisektor Sudut dari suatu Sudut.



69



4. Lesson 3—Menggambar Grafik. • Konstruksilah grafik berikut : 3x + 2y = 6 y = 3x2 − 4x − 6 x2 + 3x − 2y 2 − 3y = 25 y=



3 −3 x−2



y = 2.3x+2 − 1 y = 3x = 4



70



• Mengkonstruksi Grafik Trigonometri (dalam ukuran radian).



• Mengkonstruksi Grafik Trigonometri dengan menggunakan derajat : y = sin x.



71



• Mengkonstruksi Grafik Trigonometri dengan menggunakan derajat : f(x) = 2 cos x + 1 dan g(x) = - tan (x – 30o) dalam satuan derajat.



5. Lesson 4—Menggunakan Slider Untuk Mentransformasi Grafik. • Menggunakan Slider dalam Persamaan. 72



y = a(x + p)2 + q



y = a.2x+p + q



y=



73



a +q x=p



y = a.sink(x + p) + q



6. Lesson 5—Geometri Transformasi. • Mengkonstruksi Pencerminan pada Sumbu-X. Contoh : Tentukan koordinat dari bayangan titik P(3, 2) jika P dicerminkan terhadap 74



sumbu-x.



• Mengkonstruksi Pencerminan Titik terhadap garis y = x. Contoh : Tentukan koodinat bayangan titik P(3, 2) jika P dicerminkan terhadap garis y = x.



• Rotasi Titik Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik P(3, 2), jika P dirotasi dengan pusat rotasi 75



titik (0, 0) sebesar 90o berlawanan arah jarum jam.



• Translasi dari suatu titik. Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik P(3, 2) jika P ditranslasikan (digeser) 4 satuan ke kiri secara horizontal.



• Perbesaran dari suatu titik.



76



7. Lesson 6—Tools yang didefinisikan Pengguna (Mengkonstruksi Centroid). • Mengkonstruksi Pusat Segitiga.



77



8. Lesson 7—Layang-layang dan Jajargenjang. • Mengkonstruksi Suatu Jajargenjang.



78



• Mengkonstruksi Layang-layang.



79



9. Lesson 8—Statistik. • Mencari Mean, Median dan Modus. Diberikan data sebagai berikut : 48 38 42 54 40 34 58 44 52 36 26 46 60 20 26 Carilah nilai mean, median dan modus. Metode 1 : Menggunakan Input Bar



80



Metode 2 : Menggunakan Input Bar dan Spreadsheet View.



Dengan Create List, di Algebra Window akan muncul :



Mencari mean, median, dan modus dengan Input Bar :



81



• Menggambar Histogram. Contoh : Diberikan data sebagai berikut : 48 38 42 54 40 34 58 44 52 36 26 46 60 20 26 Metode 1 : Menggunakan Input Bar.



Metode 2 : Menggunakan Input Bar dan Spreadsheet View.



82



• Menggambar Diagram Balok Statistik Lima Serangkai. Contoh : Diberikan data sebagai berikut : 48 38 42 54 40 34 58 44 52 36 26 46 60 20 26 Gunakan GeoGebra untuk menampilkan diagram balok statistik lima serangkai. 83



Dengan Create List, di Algebra Window akan muncul :



84



• Mencari Kuartil dan Standart Deviasi (Simpangan Baku) dan Variansi. Contoh : Diberikan data : 48 38 42 54 40 34 58 44 52 36 26 46 60 20 26 Tentukan Kuartil, standar deviasi dan variansi dengan menggunakan GeoGebra.



85



• Menggambar Scatter Plots dan Garis Regresi.



86



10. Lesson 9—Kalkulus. • Mengkosntruksi garis singgung di suatu titik pada sebarang kurva dari fungsi f. Contoh : konstruksilah suatu garis singgung pada grafik f (x) = 2x3 + 3x − 2



87



• Turunan dan Mengkonstruksi kurva f’(x). Contoh : Cari turunan dari f (x0 = 3x2 + 2x2 − 6x + 5



• Mencari Aproksimasi dari Jumlah luas dibawah kurva pada suatu grafik (Integral) dengan menggunakan metode jumlah Riemann. Contoh : Taksir dan demonstrasikan jumlah Riemann untuk f (x) = 2x3 + 8x2 + 4x–2 dengan mengambil titik sampel a = -3 dan b = -1, dan n = 8. Sketsa grafik fungsinya dan persegi panjang Riemann dan gunakan Geogebra untuk menentukan luas daerahnya.



88



• Menghitung Luas di bawah Kurva : Mencai Integral Tentu. Contoh : Hitung luas daerah di bawah grafik f (x) = 2x3 + 3x − 2 dengan batas x=-3 dan x=-2.



89



• Menghitung luas daerah antara dua Kurva. Contoh : Cari luas daerah diantara kurva f (x) = 3x3 + 2x2 –6x + 5 dan g(x) = 18x2 –6x–8 dengan batas titik potong kedua kurva.



11. Lesson 10—Matriks Anda dapat menggunakan GeoGebra untuk melakukan operasi pada matriks. Sebagai contoh hitung nilai dari : 1 2 3 3 4 5 4 5 5 + 1 9 5 6 7 8 4 7 9



90



12. Persamaan Lingkaran dan Garis Singgungnya dengan Software GeoGebra.



91



• Lingkaran Luar Segitiga. Menggambar segitiga ABC dan lingkaran luarnya dengan GeoGebra. a. Menggambar dengan mouse.



b. Menggambar dengan keyboard.



Garis singgung lingkaran



92



Dengan menggunakan GeoGebra, gambar lingkaran c : (x − 3)2 + (y − 2) = 9 dan garis singgungnya yang melalui titik A = (-3,2).



Turunan dan garis singgung kurva fungsi. Dengan menggunakan GeoGebra, gambar kurva y = sin(x), turunannya dan garis singgung yang melalui suatu titik pada kurva serta segitiga yang menunjukkan gradien garis singgung. Versi 1: Titik pada kurva



93



Tuliskan fungsi lain dengan nama sama, misalnya f (x) = x3 − 2x2



Versi 2: Titik pada garis x = a



94



Menggambar garis singgung tanpa perintah. Menggambar kurva y = sin (x) dan garis singgung yang melalui suatu titik pada kurva serta segitiga yang merupakan gradien garis singgung.



Tips :



95



4



LATEX TEX merupakan perangkat lunak pengolah dokumen yang terutama ditujukan menghasilkan doku-men yang berisi simbol-simbol matematik. Perangkat lunak ini diciptakan oleh Donald E. Knuthpada bulan Mei 1977 sebagai bahasa pembentuk dokumen (document formatting language). Pa-da awalnya TEX diimplementasikan dengan menggunakan bahasa Pascal, namun implementasiyang banyak dipakai saat ini adalah TEX yang dituliskan dalam bahasa C. Demikian juga perintah-perintah yang ada dalam implementasi TEX yang digunakan saat ini sudah jauh berbeda denganyang dirancang oleh Knuth pada tahun 1977. Perangkat lunak TEX memiliki kemampuan yang baik untuk mengolah dokumen-dokumenyang berkualitas tinggi. Namun demikian, banyak pemakai yang memandang bahwa perintahperintahnya sulit digunakan untuk menuliskan dokumen terstruktur yang terdiri dari unsurunsur bab, sub-bab, paragraph, tabel dan gambar bernomor, dsb. Untuk mengatasi hal ini LeslieLamport menuliskan sejumlah perintah tambahan yang berjalan di atas TEX. Hasil penambahanperintah-perintah ini kemudian dikenal sebagai LATEX. TEX dan LATEX sudah diimplementasikan ke dalam berbagai lingkungan seperti: DOS, Win-dows 3.1, Windows 95, Windows NT, OS/2, VMS, Macintosh, dan berbagai varian Unix: Linux,Solaris, HPUX, AIX, dsb. LATEX sudah memilikihome pagesendiri dengan alamat http://www.latex-project.org 1. Dokumen LaTex. Sebuah dokumen LATEX memiliki struktur yang dicirikan dengan blok yang diapit oleh pasangan perintah \begin dan 96



\end Setiap dokumen harus dimulai dengan perintah \documentclass{...}



untuk menyatakan jenis dokumen yang akan diolah. Jenis dokumen ini dapat berupa buku,artikel, laporan, transparansi, thesis, dsb. Badan utama dokumen dituliskan di antara pasangan



\begin{document}



dan \end{document} 2. LaTex menggunakan Overleaf. LaTex juga dapat diakses secara online tanpa harus memasang sofware LaTex di komputer kita. Salah satu website yang menyediakan fitur ini adalah http://overleaf.com. Untuk memulai project pertama Anda, maka anda harus melakukan registrasi terlebih dulu dan website ini dijamin seratus persen gratis. Setelah Anda melakukan register Anda dapat segera membuat project Anda. Overleaf juga menyediakan beberapa template yang dapat memudahkan kita dalam membuat sebuah project, diantaranya : a. Academic Journal. b. Book. c. Format Letter. d. Homework Assignment. e. Poster. f. Presentation. g. Project/Lab Report. h. Resume/CV. i. Thesis. Untuk membantu mempermudah kita dalam menggunakan LaTex dengan Overleaf, website ini juga menyediakan tutorial yang dapat diakses di menu Help, kemudian pilih Documentation.



97



• Membuat Project dari Template. Untuk membuat dokumen dari templat, di halaman Manajemen Proyek klik New Project, menu drop-down akan muncul, di bawah Template klik pada jenis dokumen yang akan Anda tulis. Anda akan diarahkan ke daftar templat tempat Anda dapat memilih salah satu yang sesuai. Galeri ini mencakup templat resmi dari penerbit, dalam beberapa kasus cocok untuk dikirim langsung ke Overleaf. Mengklik thumbnail templat akan menampilkan beberapa informasi lebih lanjut tentang templat, dan Anda dapat mulai mengedit salinan templat Anda sendiri di Overleaf segera dengan mengklik ’Open as Template’.



98



• Memasukkan Gambar ke dalam Lembar Project. Untuk mengunggah gambar, di editor pergi ke sudut kiri atas dan klik ikon upload, kotak dialog akan muncul untuk Anda mengunggah file Anda, di sana Anda dapat menarik dan melepas file Anda atau klik Pilih file untuk membuka browser file, arahkan ke folder kanan dan pilih gambar untuk diunggah. Anda dapat mengunggah beberapa file sekaligus. Setelah proses pengunggahan selesai, Anda akan melihat file-file di panel kiri.



99



100



• Matematika dalam LaTex. Berikut beberapa cara penulisan simbol matematika dalam Latex :



101



102



103