Bab 12 Ringkasan Fisika Statistika [PDF]

Citation preview

Bab 12. Statistik Sistem Kuantum Pada bab ini kita akan mempelajari penggunaan penggunaan prosedur fisika statistik yang dijelaskan pada bab III untuk sistem kuantum yang mempunyai tingkatan energi diskrit. Seperti dijelaskan sebelumnya, pada sistem kuantum (energi diskrit) prinsip ekuipartisi energi tidak dapat digunakan. Efek kuantum seperti sifat tak bisa dibedakan atau indistinguishable, degenerasi tingkatan energi (degenerate) dan jenis statistika atau simetri dari partikel harus diperhatikan dalam penentuan probabilitas dan fungsi partisi. Partikel-partikel dalam suatu sistem kuantum dapat dibagi menjadi dua kasus yaitu : a. Kasus partikel yang bisa dibedakan (distinguishable) b. Partikel yang tidak bisa dibedakan (indistinguishable) Partikel yang bisa dibedakan berarti kita mampu secara fisis membedakan antara partikel yang satu dengan partikel yang lain. Mungkin kita bisa membedakan dari segi ukuran, massa, dan muatan, atau komposisisi partikel. Atau dengan kata lain kita mampu melakukan sebuah eksperimen untuk dapat membedakan jenis partikel tersebut. Dari segi mekanika klasik walaupun bendanya sama, kita mampu membedakan partikel dengan melihat lokasi dan kecepatan partikel tersebut. Dalam mekanika kuantum ini tidaklah mungkin.



12.1. Distinguishable Partikel Untuk sistem distinguishable, dengan energi diskrit, fungsi partisinya berbentuk, 𝑍 = ∑ exp(−𝛽𝐸) 𝑚𝑠



ms adalah semua konfigurasi sistem (microstate) keadaan mikro. 𝑁



𝑍= ∑∈𝑖 𝑖=1



Fungsi partisinya menjadi 𝑁



𝑍



= ∑ exp(−𝛽 ∑ ∈ 𝑖 ) 𝑚𝑠



𝑖=1



= ∑ exp(−𝛽[∈1 +∈2 + ⋯ +∈𝑁 ]) 𝑚𝑠



= ∑ exp(−𝛽 ∈1 ) . exp (– 𝛽 ∈2 ) … exp(−𝛽 ∈𝑁 ) 𝑚𝑠



= [∑∈1 exp(−𝛽 ∈1 ] . [∑∈2 exp(−𝛽 ∈2 ] . [∑∈𝑁 exp(−𝛽 ∈𝑁 ]



𝑁



= ∏ ∑ exp( − 𝛽 ∈1 ) 𝑖=1 ∈1



12.2 Indistinguishable Partikel Karena partikel tidak bisa dibedakan, maka kita tidak bisa memberi label pada partikel, tetapi kita bisa memberikan tingkatan energi. Kita dapat menentukan jumlah partikel pada tingkatan energi tertentu. Simbol yang kita gunakan adalah ns yang artinya jumlah partikel pada tingkatan energi s, dan jumlah partikel adalah N. Sekarang keadaan mikro (microstate) dapat dideskripsikan degan nilai nilai ns. sebagai contoh (n1, n2, n3,…). Energi setiap keadaan mikro adalah ∞



𝐸𝑚𝑠 = ∑ 𝑛𝑠 𝐸𝑠 𝑠=1



Dan jumlah partikel ∞



𝑍 = ∑ 𝑛𝑠 𝑠=1



Fungsi partisi 𝑍 = ∑ exp(−𝛽𝐸) 𝑚𝑠



=



∑



exp[−𝛽 (𝑛1 ∈1 + 𝑛2 ∈2 + 𝑛3 ∈3 + ⋯ )]



(𝑛1 ,𝑛2 ,𝑛3,… )



Aproksimasi dengan menggunakan anggapan bahwa sistem non degenerate. Dengan ketentuan bahwa jumlah partikel N, sehingga kemungkinan dua partikel N, sehingga kemungkinan dua partikel berada pada tingkat energi yang sama sangat kecil. Dengan kata lain setiap tingkatan energi cenderung diisi oleh suatu partikel. Dalam asumsi ini, kita akan memulai menghitung fungsi partisi dengan contoh dengan nilai N yang terkecil terlebih dahulu. Jika N = 1, keadaan mikronya yaitu (1, 0, 0, 0, …), (1, 0, 0, 0, …),(0, 0, 1, 0, …),(0, 0, 0, 1, …) dan seterusnya. Maka fungsi partisinya menjadi 𝑍=



∑



exp[−𝛽 (𝑛1 ∈1 + 𝑛2 ∈2 + 𝑛3 ∈3 + ⋯ )]



(𝑛1 ,𝑛2 ,𝑛3,… )



= exp( − 𝛽 ∈1 ) + exp( − 𝛽 ∈2 ) + exp( − 𝛽 ∈3 ) + ⋯



= ∑ exp(−𝛽 ∈𝑠) 𝑠



dengan cara yang sama, untuk N = 2 dan melakukan pengisian seperti untuk N = 1, kita memperowh keadaan mikronya yaitu (1, 1, 0, 0, …), (1, 0, 1, 0, …) 𝑍=



∑



exp[−𝛽 (𝑛1 ∈1 + 𝑛2 ∈2 + 𝑛3 ∈3 + ⋯ )]



(𝑛1 ,𝑛2 ,𝑛3,… )



= exp( − 𝛽(∈1 +∈2 ) + exp( − 𝛽 ∈1 −∈3 ) + exp( − 𝛽 ∈1 ∈3 ) + exp( − 𝛽 ∈2 ∈3 ) + ⋯



= [∑𝑠 exp(−𝛽 ∈𝑠 ]2



1 2!



[(𝑁 = 1)]2



Langkahnya kurang disini Begitu pula untuk N = 3, kita mendapatkan Z =



1 3!



[𝑧(𝑁 = 1)]3, dan seterusnya. Jadi



secara umum untuk N partikel kita memperoleh, 1



𝑍(𝑁) ≈ 𝑁! [𝑍(𝑁 = 1)]N Sebagai perbandingan untuk partikel yang bisa dibedakan, kita mempunyai 𝑍(𝑁) ≈ [𝑍(𝑁 = 1)]N Jadi ada faktor 1/N!, karena kita tidak bisa membedakan partikel. Dengan kata lain, jika kita melihat fungsi partisi untuk sistem partikel yang bisa dibedakan, untuk mengubah ke bentuk fungsi partisi untuk partikel yang tidak bisa dibedakan kit harus membagi fungsi partisinnya dengan N! karena ada N! keadaan mikro yang sama. Contoh sistem Untuk gas kuantum ideal, tanpa interaksi antar partikel



𝑍(𝑁) ≈



1 𝑛 𝑧 𝑁



Dengan, 𝑧 = ∑ exp(−𝛽𝜖𝑠 ) 𝑠



Untuk molekul, energi dapat dibagi menjadi beberapa bagian seperti energi translasi, energi rotasi dan energi vibrasi ∈ = ∈𝑖,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 +∈𝑗,𝑟𝑜𝑡 +∈𝑘,𝑣𝑖𝑏 Fungsi partisinya 𝑧 = ∑ exp( − 𝛽[∈𝑖,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 +∈𝑗,𝑟𝑜𝑡 +∈𝑘,𝑣𝑖𝑏 ]) 𝑖𝑗𝑘



Indeks i, j, dan k adalah indeks untuk tingkatan energi translasi, rotasi dan vibrasi. Karena penjumlahan indeks i, j, dan k dapat dilakukan secara independen, maka



𝑧 = [∑ exp(−𝛽 ∈𝑖,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 )] . [∑ exp(−𝛽 ∈𝑖,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑗,𝑟𝑜𝑡) ] . [∑ exp(−𝛽 ∈𝑘,𝑣𝑖𝑏 )] 𝑖



𝑗



𝑘



= ∈𝑖,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 +∈𝑗,𝑟𝑜𝑡 +∈𝑘,𝑣𝑖𝑏 Kita tentukan logaritma dari fungsi partisi, ln 𝑍 ≈ ln 𝑧 − ln 𝑁 = 𝑁 ln 𝑧𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝑁 ln 𝑧𝑟0𝑡 + 𝑁 ln 𝑧𝑣𝑖𝑏 − ln 𝑁



Energi dalamnya menjadi,



𝑈=



=𝑁



𝜕𝑙𝑛𝑍 𝜕𝛽



𝜕𝑙𝑛𝑧𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 𝜕𝑙𝑛𝑧𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑙𝑛𝑧𝑣𝑖𝑏 −𝑁 −𝑁 𝜕𝛽 𝜕𝛽 𝜕𝛽 = 𝑈𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝑈𝑟𝑜𝑡 + 𝑈𝑣𝑖𝑏