Bab 2 - R (Deret) [PDF]

Citation preview

BAB II DERET Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi aturan-aturan tertentu. Bilangan-bilangan membentuk sebuah deret disebut suku. Keteraturan



rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada pola



perubahan bilangan-bilangan tersebut dari suku satu ke suku berikutnya. Dilihat dari pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya maka deret dapat dibedakan menjadi 2 macam yaitu : a. Deret Aritmetika (DA) b. Deret Geoetri (DG) A. Deret Aritmetika Deret Aritmetika adalah deret yang pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dikarenakan penambahan atau pengurangan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret aritmetika dinamakan selisih suku atau selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Selisih suku dapat menggunakan notasi S. Contoh : 2,4,6,8,10,12,14,16,12, …..



( +2 )



(selisihnya 2)



5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60 …. ( +5 )



(selisihnya 5 )



50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, …… ( -5 )



(selisihnya -5 )



1. Nilai suku ke n dari deret aritmetika. Besarnya nilai suku tertentu ( suku ke n ) dari sebuah deret aritmetika dapat dicari dengan menggunakan rumus :



Sn = Sp + (n - 1) S Keterangan :



Sn



= Suku ke n



Sp = Suku pertama



Matematika Ekonomi



Hal : 9



S = Selisih suku n = suku yang dicari Contoh : Diketahui sebuah deret 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44 ….. Berapakah nilai suku ke 6 ? Jawab : Diket : n = 6 a= 4 b= 4 Sn = a + (n – 1).b S6 = 4 + (6 - 1).4 = 4+(5)4 = 4 + 20 = 24 Jadi suku ke 6 nilainya adalah 24 2. Jumlah n Suku dari deret hitung Jumlah n Suku adalah jumlah sebuah deret hitung dari suku pertama sampai dengan suku tertentu (suku ke n ). Besarnya jumlah



nilai suku tertentu ( Jn ) dari sebuah deret hitung dapat



dicari melalui rumus :



n Jn =



(2a + (n – 1) . b 2



Keterangan : Jn = Jumlah sampai suku ke n a = Suku pertama



Matematika Ekonomi



Hal : 10



b = Pembeda n = Jumlah suku yang dicari Contoh : Diketahui sebuah deret sebagai berikut 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 …. Berapakah jumlah deret tersebut sampai suku ke 6 ? Jawab : Diket : n = 6 a= 4 b= 4 n Jn =



(2a + (n – 1) . b 2 6



J6 =



(2a + (n – 1) . b ) 2 J6 = 3 ((2 x 4) + (6 – 1 ) . 4 ) = 3 (8 + (5 x 4) = 3 (8 +. 20) = 3 x 28 = 84 Jadi besarnya jumlah dari suku pertama sampai suku ke 6 adalah 84 B. Deret Ukur (DU) Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya. Pengganda biasanya menggunakan nnotasi p Contoh :



2,4,8,16,32,64,128, …( x 2 ) 5,25,125,625, ……. ( x 5 )



Matematika Ekonomi



(pengganda 2) (pengganda 5)



Hal : 11



1. Suku ke n dari deret ukur. Besarnya nilai suku tertentu ( suku ke n ) dari sebuah deret ukur dapat dihitung dengan menggunakan rumus :



Sn = a . p(n-1) Keterangan : Sn = Suku ke n a = Suku pertama p = Pengganda n = Suku yang dicari Contoh : Diketahui sebuah deret ukur sebagai berikut 2,4,8,16,32,64,128, ……. Tentukan nilai suku ke 4. Jawab : Diketahui a = 2 p= 2 n = 4 Rumus : Sn = a . p(n-1) S4 = 2 . 2(4-1) = 2 (23 ) = 2(8) = 16 Jadi Suku ke 4 nilainya adalah 16 2. Jumlah n Suku dari suku pertama sampai suku ke n



Matematika Ekonomi



Hal : 12



Yang dimaksud dengan jumlah n suku adalah jumlah sebuah deret ukur dari suku pertama sampai dengan suku tertentu (suku ke n ) Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut :



a ( pn-1) Jn = p-1 Keterangan :



Jn = Jumlah sampai suku ke n a = Suku pertama p = Pengganda n = Jumlah suku yang dicari



Contoh : Diketahui sebuah deret ukur sebagai berikut 2,4,8,16,32,64,128, ……. Tentukan jumlah dari suku ke 1 sampai suku ke 4. a ( pn – 1 )



Jawab : Jn =



p–1 2 ( 24 - 1 ) J4 = 2–1 2 ( 16 - 1 ) J4 = 1 J4



= 2 (15 )



J4



= 30



Jadi jumlah dari suku pertama sampai suku ke 4 adalah 30 Bukti : 2 + 4 + 8 + 16 = 30 C. Deret Penerapannya Didalam Ekonomi



Matematika Ekonomi



Hal : 13



Prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan bisnis dan ekonomi, terutama pada dunia usaha dan perbankan. 1. Penggunaan deret pada perkembangan usaha. Deret dapat digunakan untuk menganalisa atau mengukur dan menghitung rencana usaha, misalnya produksi pada suatu perusahaan. Dalam hal ini misalnya perusahaan sepatu dari keadaan produksi sekarang dibandingkan dengan produksi yang akan datang sehingga bisa diramalkan berapa tiap bulannya sepatu dapat diproduksi. Untuk lebih jelasnya simaklah contoh berikut ini : (1) Perusahaan sepatu “KUAT” menghasilkan 7000 sepatu pada bulan pertama produksinya. Dengan perkembangannya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 1500 sepatu setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, a. Berapa sepatu yang dihasilkan pada bulan ke 6 ? b. Berapa sepatu yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ? Jawab : Diketahui : a = 7000



b = 1500



n = 6



a) Sn = a + (n – 1 ) . b = 7000 + ( 6 – 1 ) . 1500 = 7000 + ( 5 ) 1500 = 14.500 Jadi sepatu yang diproduksi pada bulan ke 6 adalah sebanyak 14.500 sepatu n b) Jn =



(2a + (n – 1 ) . b 2 6



J6 =



( (2 x 7000 ) + (6 – 1 ) . 1500 ) 2



Matematika Ekonomi



Hal : 14



J6 = 3 (14.000 + 5 . 1500) J6 = 3 ( 14.000 + 7500) J6 = 3 x 21.500 J6 = 64.500. Jadi sepatu yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut sebanyak 64.500 sepatu (2) Besarnya penerimaan



“CV. Mirza Jaya Sentosa“ dari hasil penjualan



barangnya Rp 720.000 pada bulan ke lima, dan Rp. 980.000 pada bulan ke tujuh. a.



Apabila perkembangan penerimaan penghasilan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per bulan ?



b.



Berapa besarnya penerimaan pada bulan pertama ?



Jawab : Diket : S5 = 720.000 S7 = 980.000 a).



Sn = a + ( n – 1 ) . b Untuk S5 = a + ( 5 – 1 ). b



maka



720.000 = a + 4 b



S7 = a + ( 7 – 1 ). b



maka



980.000 = a + 6 b -160.000 = - 2b -160.000 = b -2 130.000 = b



Jadi perkembangan penerimaanya perbulan sebesar Rp. 130.000 b). Untuk menghitung besarnya penerimaan pada bulan pertama yaitu 720.000 = a + 4 . 130.000 720.000 = a + 520.000 a = 720.000– 130.000 a = 200.000 Jadi penerimaan pada bulan pertama sebesar Rp. 200 ribu.



Matematika Ekonomi



Hal : 15



(3). Deret pada perhitungan Bunga Majemuk (simpan pinjam) Deret selain dapat diterapkan pada dunia usaha, juga dapat diterapkan untuk menghitung bunga majemuk yang biasanya digunakan pada usaha simpan pinjam atau usaha perbankan. Misalnya menghitung besarnya pengembalian keredit dimasa datang berdasarkan tingkat bunga pertahun, atau untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimasa datang. Jika modal pokok (P) dibungakan dengan suku bunga pertahun (i) maka jumlah akumulatif modal dimasa datang (Fn), dapat dirumuskan sebagai berikut : Fn = P ( 1 + i )n Dimana : P = Jumlah nilai sekarang i = Tingkat suku bunga



n = Jumlah tahun F = Akum. modal dimasa datang



Rumus diatas digunakan apabila perhitungan bunga dilakukan per tahun atau satu tahun 1 kali pembayaran bunga. Apabila bunga dibayar lebih dari satu kali dalam satu tahun maka rumus yang digunakan adalah sebagai berikut : Fn = P ( 1 + i/m ) n.m



Dimana : P = Jumlah nilai sekarang i = Tingkat suku bunga



n = Jumlah Tahun m = Frek. pembayaran bunga / tahun



F = Akumulatif modal dimasa datang Contoh : Seorang nasabah meminjam uang di bank sebesar Rp. 8.000.000,- untuk jangka waktu 4 tahun, dengan suku bunga 2% per tahun.



Matematika Ekonomi



Hal : 16



a. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan.? b. Seandainya pembayaran bunga dilakukan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan ? Jawab : Diketahui : P = 8000.000 i = 2% n = 4 maka a. Fn = P ( 1 + i )n = 8000.000 ( 1 + 0,02 )4 = 8000.000 ( 1,02 ) 4 = 8000.0000 x 1,08243 = 8.659.440 Jadi jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan adalah sebesar Rp. 8.659.440,b. Fn = P ( 1 + i/m ) n.m = 8000.000 ( 1 + 0,02/2 ) 4.2. = 8000.000 ( 1,01) 8 = 8000.000 x 1,08286 = 8.662.880. Jadi jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan jika pembayaran bunganya dilakukan tiap semester adalah sebesar Rp. 8.662.880. Untuk mencari nilai sekarang (precent value) dari suatu nilai tertentu dimasa datang dapat digunakan rumus



1 P=



x Fn (1+i)



Matematika Ekonomi



n



Hal : 17



Contoh : Tabungan Mira akan menjadi Rp. 8.659.440 pada 4 tahun mendatang, jika tingkat bunga yang berlaku 2% per tahun, berapa tabungan Mira pada saat sekarang ini ? 1



1



P=



x Fn



P =



( 1 + i )n



x 8.659.440



(1 + 0,02)4 P = 8.000.000



(4). Deret pada model pertumbuhan penduduk. Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut : Pt = P1 . R t - 1



Dimana R = 1 + r



Keterangan : Pt = jumlah pada tahun ke t



r = % pertumbuhan per tahun



P1 = jumlah pada tahun ke 1



t = indeks waktu ( tahun )



Contoh soal : Penduduka suatu kota berjumlah 1.000.000 jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 % per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Diketahui :



P1 = 1.000.000



r



=4%



R = 0,04 + 1 = 1,04 Maka : Pt = 1.000.000 (1,04)16 – 1 P16 = 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 (1,800943)



Matematika Ekonomi



Hal : 18



= 1.800.943 jiwa RANGKUMAN Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Deret terdiri dari dua macam : 1. Deret Hitung, yaitu deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Mencari suku ke n dari deret hitung



Sn = a + ( n – 1 ) (b)



Mencari jumlah dari suku pertama ke suku ke n dari deret hitung : n Jn = (2a + (n – 1) . b 2 2. Deret Ukur, yaitu deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap satu bilangan tertentu. Mencari suku ke n dari deret ukur



Sn = a (P n – 1)



Mencari jumlah dari suku pertama ke suku ke n dari deret ukur : a (P n – 1) Jn = P - 1 Deret pada perhitungan bunga majemuk adalah F n = P ( 1 + i )n atau Fn = P ( 1 + i /m )n.m



Matematika Ekonomi



Hal : 19



Latihan Soal 1. Diketahui sebuah deret hitung



yang suku pertamanya mempunyai nilai 150.



Perbedaan antar suku-sukunnya adalah 25. Hitunglah : a. S5 ? b. J5 ? c. S20 ? d. J20 ? 2. Diketahui sebuag deret dengan a = 100 dan S15 = 240 Berapakah : a. b ? b. n ? untuk Sn = 250 c. J10 d. S10 3. Pengganda sebuah deret ukur diketahui sebesar 5. Jika S6 = 6.250, hitunglah a. S1 dan S8 b. J5 dan J8 4. Diketahui sebuah deret hitung X yang mempunyai nilai a = 180 dan b= -10 Sedangkan deret hitung Y mempunyai nilai a = 45 dan b = 5. Pada suku keberapa kedua deret ini mempunyai nilai yang sama ? buktikan ! 5. Mirza dan Lina sama-sama senang mengumpulkan gelang karet. Pada minggu pertama Mirza berhasil mengumpulkan 350 gelang karet dan Lina mengumpulan 200 gelang karet. Setiap satu minggu secara konstan Mirza dan Lina berhasil menambah masing-masing 25 gelang karet dan 50 gelang karet. a. Pada minggu ke berapa gelang karet yang mereka kumpulkan mempunyai nilai yang sama banyak ?



Matematika Ekonomi



Hal : 20



b. Buktikan hal diatas ! 6. Besarnya produksi keramik dari PT. ABC sebanyak 1.500.000 buah pada bulan pertama. Penambahan produksi secara konstan sebanyak 90 buah.tiap bulannya. a. Berapakah jumlah kramik yang telah diproduksi pada bulan ke 8 ? b. Berapakah nilai produksi pada bulan ke 9 ? 7. Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp. 5.000.000,- untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan ? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan ? 8. Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi Rp. 5.307.600,- tiga tahun mendatang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 2 % per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini ?



Matematika Ekonomi



Hal : 21