Bab 5 Variabilitas Data [PDF]

Citation preview

PENGUKURAN VARIABILITAS DATA MAKALAH UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Statistika Pendidikan Yang di bina oleh Yuniawatika, S.Pd., M.Pd Oleh:



Dewi Sulasriani



(170151602567)



Rosita Kurniawati



(170151602627)



Mita Musyahidah



(170151602570)



Kelompok 5 Offering H7



UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN JURUSAN PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR DAN PRASEKOLAH PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR Februari 2019



iii



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga makalah ini dapat tersususn hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikiranya. Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman para pembaca, untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, oleh karena itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat positif dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.



Blitar, 23 Februari 2019



Penyusun



iii



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR …………………………………………………………..ii DAFTAR ISI …………………………………………………………………...iii BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………….........1 A. Latar Belakang …………………………………………………...............1 B. Rumusan Masalah ………………………………………………....……..1 C. Tujuan ………………………………………………………………........1 BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Ukuran Variabilitas……………………………………………2 B. Jenis-Jenis Ukuran Dispersi……………………………………………….3 C. Cara Menentukan Ukuran Dispersi Dengan Menggunakan Software Ms. Excel……………………………………………………………………..42 D. Soal Kuis…………………………………………………………...…….49 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan ………………………………………………………….…..50 DAFTAR RUJUKAN …………………………………………………...……..51



iii



BAB I PENDAHULUAN



A. LATAR BELAKANG Statistik adalah data, informasi, ataupun hasil penerapan algoritam statistika suatu data. Sedangkan statistika adalah ilmu yang memperlajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisi, mengintrespetasi, dan mempresentasikan data. Data statistik tersebut merupakan kumpulan fakta maupun angka. Dalam mengolah data dapat dengan secara manual maupun Microsoft Excel. Stastitika sendiri terbagi menjadi berbagai cabang ilmu. Salah satu yang dipelajarai ialah dispersi. Dispersi merupakan ukuran yang menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif. Dengan memperlajari dispersi akan membantu dalam menganalisis data. Serta mempermudah dalam membandingkan penyebaran dua distribusi data atau lebih.



B. MASALAH 1. Apakah yang dimaksud dengan ukuran variabilitas? 2. Apa saja jenis-jenis ukuran dispersi? 3. Bagaimana menentukan ukuran dispersi dengan menggunakan software Ms. Excel?



C. TUJUAN 1. Memahami pengertian ukuran variabilitas. 2. Memahami jeni-jenis ukuran dispersi. 3. Memahami cara menentukan ukuran dispersi dengan menggunakan software Ms. Excel



iii



BAB II PEMBAHASAN



A. PENGERTIAN UKURAN VARIABILITAS Ukuran variabilitas atau dispersi digunakan untuk menggambarkan derajat penyebaran data kuantitatif. Ukuran penyebaran sangat penting yang dapat memberikan gambaran dan informasi sebagai suatu pengetahuan terhadap gejala yang menjadi objek pengukuran itu sendiri. Besar kecilnya setiap skor dari suatu pengukuran menentukan besar kecilnya variabilitas atau dispersi. Apabila suatu data hasil pengukuran menunjukkan jarak yang besar, maka semakin besar variasi skornya. Begitu juga sebaliknya, semakin kecil jarak atau rentang data, maka akan semakin kecil juga variasi data tersebut. Dalam menafsirkan suatu data apabila hanya didasarkan pada skor ratarata dapat menyebabkan interpretasinya menjadi kurang tepat. Suatu contoh, dari hasil tes statistika diperoleh skor data dari 20 mahasiswa yang berasal dari kelas yang berbeda, yaitu sebagai berikut: Kelas A



70 71



72



73



74



76



77



78



79



80



Kelas B



46 58



66



69



75



80



83



88



90



95



Dari kedua kelompok data tersebut menunjukkan skor rata-rata yang sama, yaitu 75. Namun memiliki variabilitas atau dispersi yang berbeda. Apabila data tersebut diinterpretasikan hanya berdasarkan nilai rata-rata yang dimaknai bahwa kedua kelompok mahasiswa tersebut memiliki kemampuan dalam mata kuliah statistika yang sama, maka akan menjadi kurang tepat. Apabila dilihat dari skor hasil tes tersebut menunjukkan bahwa secara individual 10 mahasiswa dalam kelas A skornya kurang bervariasi dibandingkan dengan hasil kelas B yang bervariasi.



iii



Individual menunjukkan bahwa kelas A cenderung memiliki kemampuan dan penguasaan terhadap materi perkulaiahan yang merata. Sedangkan kelas B menunjukkan kemampuan dan penguasaan terhadap materi perkuliahan statistika yang bervariasi, mulai dari kemampuan dan penguasaan materi perkuliahan yang rendah sampai dengan kemampuan dan penguasaan yang sangat baik. Dari kedua kelompok data tersebut menunjukkan bahwa kelas A memiliki variabilitas atau dispersi lebih kecil dibandingkan dengan kelas B. Perbedaan variabilitas atau dispersi ini terlihat dari rentang data masing-masing kelas. Dimana untuk kelas A memiliki rentang data sebesar 10, sedangkan kelas B memiliki rentang data 49. Rentang data merupakan salah satu ukuran dari variabilitas atau dispersi dan menentukan besar kecilnya variabilitas sebaran data. Variabilitas atai dispersi inilah yang membedakan kedua kelompok data tersebut. Besar kecilnya dispersi tergantung pada skor individual. Ukuran variabilitas meliputi : renttangan data, Rentang antar kuartil, rata-rata simpangan, simpangan baku, dan varians.



B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI Dalam ukuran dispersi terdiri atas bebagai jenis ukuran dispersi. Jenisjenis ukuran dispersi tersebut, antara lain rentangan, rata-rata simpangan, standar deviasi, raw score, varians, koefisien variasi, nilai standar, ukuran kemiringan, dan kurtosis. Berikut ini penjelasannya mengenai jenis-jenis ukuran dispersi. 1. Rentangan Rentangan adalah jarak atau selisih antara skor tertinggi dengan skor terendah pada suatu kumpulan atau kelompok data. Dengan demikian rentang adalah jara perbedaan antara skor tertinggi dengan skor terendah. Untuk mencari rentang dibedakan menjadi dua yaitu berdasarkan data tunggal dan data kelompok. a. Rentangan data tunggal Rentangan data tunggal dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut.



iii



Rentang (R) = XA – XB Keterangan: R = Rentang XA = skor tertinggi XB = skor terendah



Contoh soal: Hitunglah rentangan dari hasil ujian siswa kelas 1 SMA, dimana setelah diurutkan diperoleh skor sebagai berikut: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 30.



Penyelesaian: Diketahui: XA = 30 XB = 2 Ditanya: R ? Jawaban: R = XA – XB = 30 – 2 = 28 Jadi, rentangan data tunggal tersebut adalah 28. b. Rentangan Data Berkelompok Untuk menentukan rentangan pada data kelompok dapat menggunakan denagn dua cara yaitu dengan menggunakan titik atau nilai tengah dan tepi kelas. 1) Dengan menggunakan titik atau nilai tengah, rengtangan merupakan selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik iii



2) Dengan menggunakan tepi kelas, rengtangan merupakan selisis tepi atas kelas dengan tepi bawah kelas.



Contoh soal: Tentukan rentangan dari data berat badan siswa berikut ini.



Tabel 1. Berat Badan Siswa Kelas 6 SDN 1 Jombang Berat Badan (kg) 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 Jumlah



Frekuensi 4 6 2 3 5 20



Penyelesaian: Diketahui: Titik tengah kelas terendah = 38 Titik tengah kelas tertinggi = 58 Tepi bawah kelas terendah = 35,5 Tepi atas kelas tertinggi



= 60,5



Ditanya: R ? Jawaban: a. Menghitung rentangan dengan titik tengah kelas R = 58 – 38 = 20



b. Menghitung rentangan dengan tepi atas kelas R = 60,5 – 35,5 = 25



iii



Jadi, rentangan data berkelompok tersebut adalah 20 dan 25. 2. RATA-RATA SIMPANGAN Rata-rata simpangan disebut juga dengan deviasi rata-rata. Deviasi ratarata adalah nilai rata-rata hitung dari harga multlak dari simpangannya. Untuk mencarinya dapat menggunakan dua cara berdasarkan datanya, data tunggala atau kelompok. a. Simpangan Rata-Rata Data Tunggal Untuk menghitung simpangan rata-rata data tunggal, dapat menggunakan rumus sebagai berikut: SR =



1  | xi -x |  | xi -x | = n n



Contoh soal: Hitunglah rata-rata simpangan dari data berikut: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 30.



Penyelesaian: 



𝑋 = =



2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+21+30 20 240 20



= 12



X 2 3 4 5 6 7 8 9 10



X -X -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2



|𝐗 − 𝐗| 10 9 8 7 6 5 4 3 2



iii



11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 30 240







-1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 18 8



 | xi -x |



SR = =



1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 18 110



n 110 20



= 5,5 Jadi, simpangan rata-rata data tunggal tersebut adalah 0,4. b. Simpangan Rata-Rata Data Berkelompok Untuk menghitung simpangan rata-rata data kelompok, dapat menggunakan rumus sebagai berikut: 1 𝑓 | x -x | 𝑓 | x -x | = n n



SR =



Contoh soal: Hitunglah simpangan rata-rata dari berat badan siswa kelas 6 SDN 1 Jombang. Berikut tabel berat badan siswa tersebut.



Tabel 2. Berat Badan Siswa Kelas 6 SDN 1 Jombang Berat Badan (kg)



Frekuensi



36 – 40



4



41 – 45



6



46 – 50



2



iii



51 – 55



3



56 – 60



5



Jumlah



20



Penyelesaian: Berat Badan (kg)



xi



fi



𝒇𝒊.xi



| x -x |



Σf| x -x |



36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 Jumlah



38 43 48 53 58 –



4 6 2 3 5 20



152 258 96 159 290 955



9.75 4.75 0.25 5.25 10.25 –



39 28.5 0.5 15.75 51.25 135



Untuk mencari nilai rata-rata dari semua data yaitu: 𝒙 =



Σ 𝒇𝒊 𝐱𝐢 Σ 𝒇𝒊



=



𝟏𝟓𝟐 + 𝟐𝟓𝟖 + 𝟗𝟔 + 𝟏𝟓𝟗 + 𝟐𝟗𝟎 𝟐𝟎



= 𝟒𝟕. 𝟕𝟓



Jadi, simpangan rata-rata: SR = SR =



𝑓 | x -x | n 135 20



= 𝟔. 𝟕𝟓



Jadi, simpangan rata-rata data berkelompok tersebut adalah 6,75. 3. STANDAR DEVIASI Standar deviasi atau disebut juga dengan simpangan baku adalah akar dari jumlah simpangan skor dari rata-rata yang dibagi dengan banyaknya data. Simpangan baku dapat ditentukan dengan menghitung variansi dahulu. Sehingga simpangan baku merupakan akar dari variansi. Untuk menghitung simpangan baku pada suatu data dibedakan menjadi dua, yaitu antara data tunggal dan data kelompok. a. Simpangan Baku Data Tunggal



iii



Untuk menghitung simpanagn baku pada data tunggal dapat menggunakan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar. 1) Metode Biasa 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



Σ(X − X)2 𝑠=√ n−1







Untuk Sampel Besar (n > 30)



Σ(X − X)2 𝑠=√ n



2) Metode Angka Kasar 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



Σ𝑋 2 (𝛴𝑋)2 𝑠=√ − n − 1 𝑛(𝑛 − 1)







Untuk Sampel Besar (n > 30) Σ𝑋 2 ΣX 2 𝑠=√ − ( ) n n



Contoh Soal: Tentukan varians dari data 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 30.



Penyelesaian: 𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠: 𝑠 2 =



Σ (X − X)2 n



iii



n



= 20



X



=



X



= 12 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 30 240



2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+21+30 20



X -X -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 18 -



(𝐗 − 𝐗)𝟐 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 81 324 930



X2 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 441 900 3810



1) Metode Biasa Σ (X − X)2 n−1 930 𝑠2 = 20 − 1 𝑠2 =



𝒔𝟐 = 𝟒𝟖, 𝟗𝟓 (dibulatkan 49) Σ(X − X)2 𝑠=√ n−1 𝑠 = √49 𝒔=7 2) Metode Angka Kasar Σ 𝑋2 (Σ𝑋)2 𝑠 = − n − 1 𝑛(𝑛 − 1) 2



iii



𝑠2 =



3810 (240)2 − 20 − 1 20(20 − 1)



𝑠2 =



3810 240.240 − 19 20(19)



𝒔𝟐 = 𝟒𝟖, 𝟗𝟓 (dibulatkan 49) Σ𝑋 2 (𝛴𝑋)2 𝑠=√ − n − 1 𝑛(𝑛 − 1) 𝑠 = √49 𝒔=𝟕 Jadi, simpangan baku data tunggal tersebut adalah 7. b. Simpangan Baku Data Berkelompok Untuk menghitung simpangan baku pada data berkelompok dapat menggunakan tiga macam metode, yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan metode coding. 1) Metode Biasa 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



Σ𝑓 (X − X)2 𝑠=√ n−1







Untuk Sampel Besar (n > 30)



Σ𝑓 (X − X)2 𝑠=√ n



2) Metode Angka Kasar 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



iii



Σ𝑓 𝑋 2 (𝛴𝑓𝑋)2 √ 𝑠= − n−1 𝑛(𝑛 − 1)







Untuk Sampel Besar (n > 30) Σ𝑓𝑋 2 Σ𝑓 X 2 √ 𝑠= − ( ) n n



3) Metode Coding 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



Σ𝑓 𝑢2 (𝛴𝑓𝑢)2 𝑠=𝐶√ − n − 1 𝑛(𝑛 − 1)







Untuk Sampel Besar (n > 30) Σ𝑓𝑢2 Σ𝑓𝑢 2 𝑠=𝐶√ − ( ) n n



Contoh soal: Tentukanlah simpangan baku dari distribusi frekuensi pada tabel 3! Penyelesaian: Diketahui, jika varians yang diperoleh dari tabel 3 dengan menggunakan tiga metode ialah 𝑠 2 = 59.145. Maka, simpangan bakunya yaitu: Σ𝑓 (X − X)2 𝑠=√ n−1 𝑠 = √𝑠 2 𝑠 = √59. 145 s = 7,69



iii



Jadi, simpangan baku dari data ditribusi pada tabel 3 adalah 7, 69. Dimana data dapat diperoleh dengan menggunakan ketiga macam metode.



c.



Simpangan Baku Gabungan Untuk mencari simpangan baku gabungan yaitu dengan menarik akar dari



varians gabungan. Berikut ini rumus dari simpangan baku gabungan. 2 sgab = √𝑠𝑔𝑎𝑏



sgab = sgab =



(𝑛−1)𝑠1 +(𝑛−1)𝑠2 +⋯+(𝑛−1)𝑠𝑘 (𝑛1 +𝑛2 + ⋯+𝑛𝑘 )−𝑘 Σ(𝑛−1)𝑠 Σ𝑛−𝑘



Contoh soal: Tentukanlah simpangan baku gabungan dari tabel 4! Penyelesaian: No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Jumlah



sgab =



Jumlah Objek (n) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 390



Jumlah s



(𝒏 − 𝟏)𝒔



3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 -



12 45 98 171 264 377 510 663 836 1029 1242 1475 6722



Σ(𝑛−1)𝑠 Σ𝑛−𝑘 6722



sgab = 390−12 sgab =



6722 378



iii



sgab = 𝟏𝟕. 𝟕𝟗 Jadi, simpangan baku gabungan tersebut adalah 17,79. 4. VARIANS Varians merupakan nilai tengan kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Varians disimbolkan dengan s2. Untuk mencari simpangan dibedakan menjadi dua, yaitu data tunggal dan data kelompok. a. Varians Data Tunggal Pada varians data tunggal dapat ditentukan dengan menggunakan dua macam metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar. 1) Metode Biasa 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30) Σ (X − X)2 𝑠 = n−1 2







Untuk Sampel Besar (n > 30) Σ (X − X)2 𝑠 = n 2



2) Metode Angka Kasar 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



𝑠2 =







Σ 𝑋2 (Σ𝑋)2 − n − 1 𝑛(𝑛 − 1)



Untuk Sampel Besar (n > 30) Σ 𝑋2 ΣX 2 𝑠 = − ( ) n n 2



iii



Contoh soal: Tentukan varians dari data 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 30.



Penyelesaian: 𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠: 𝑠 2 =



Σ (X − X)2 n



n



= 20



X



=



X



= 12 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 30 240



2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+21+30 20



X -X -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 18 -



(𝐗 − 𝐗)𝟐 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 81 324 930



X2 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 441 900 3810



2) Metode Biasa Σ (X − X)2 n−1 930 𝑠2 = 20 − 1 𝑠2 =



𝒔𝟐 = 𝟒𝟖, 𝟗𝟓 iii



3) Metode Angka Kasar 𝑠2 =



Σ 𝑋2 (Σ𝑋)2 − n − 1 𝑛(𝑛 − 1)



3810 (240)2 𝑠 = − 20 − 1 20(20 − 1) 2



𝑠2 =



3810 240.240 − 19 20(19)



𝒔𝟐 = 𝟒𝟖, 𝟗𝟓 Jadi, varians data tunggal tersebut adalah 48,95. b. Varians Data Berkelompok Untuk menentukan varians data berkelompok, dapat menggunakan tiga metode, yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan metode coding. 1) Metode Biasa 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



𝑠2 =







Σ𝑓 (X − X)2 n−1



Untuk Sampel Besar (n > 30)



𝑠2 =



Σ𝑓 (X − X)2 n



2) Metode Angka Kasar 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)



𝑠2 =







Σ𝑓 𝑋 2 (𝛴𝑓𝑋)2 − n−1 𝑛(𝑛 − 1)



Untuk Sampel Besar (n > 30) 𝑠2 =



Σ𝑓𝑋 2 Σ𝑓 X 2 − ( ) n n iii



3) Metode Coding 



Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30) Σ𝑓 𝑢2 (𝛴𝑓𝑢)2 𝑠 =𝐶 − n − 1 𝑛(𝑛 − 1) 2







2



Untuk Sampel Besar (n > 30) Σ𝑓𝑢2 Σ𝑓𝑢 2 𝑠 =𝐶 − ( ) n n 2



2



Keterangan: C = panjang kelas interval 𝑑



u=𝐶=



𝑋−𝑀 𝐶



M = rata-rata hitung sementara atau modus



Contoh soal: Tentukanlah varians dari distribusi berikut ini!



Tabel 3. Berat Badan Siswa Kelas 6 SDN 1 Jombang Berat Badan (kg)



Frekuensi



36 – 40



4



41 – 45



6



46 – 50



2



51 – 55



3



56 – 60



5



Jumlah



20



Penyelesaian: a) Dengan Metode Biasa



iii



Berat Badan (kg) 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 Jumlah



𝑠2 =



X



f



X -X



( X -X )2



f ( X -X )2



38 43 48 53 58 –



4 6 2 3 5 20



-9.75 -4.75 0.25 5.25 10.25 –



95,0625 22.5625 0.0625 27.5625 105.0625



380.25 135.375 0.125 82.6875 525.3125 1123.75



Σ𝑓 (X−X)2



↔ 𝑋 = 47,75



n−1



1123.75 20 − 1 1123.75 𝑠2 = 19 𝑠2 =



𝒔𝟐 = 𝟓𝟗. 𝟏𝟒5



b) Dengan Metode Angka Kasar Berat Badan (kg) 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 Jumlah



X



f



X2



fX



fX2



38 43 48 53 58 –



4 6 2 3 5 20



1444 1849 2304 2809 3364 -



152 258 96 159 290 955



5776 11094 4608 8427 16820 46725



𝑠2 =



Σ𝑓 𝑋 2 (𝛴𝑓𝑋)2 − n−1 𝑛(𝑛 − 1)



𝑠2 =



46725 (955)2 − 20 − 1 20(20 − 1)



𝑠2 =



46725 912025 − 19 20(19)



𝑠2 =



46725 912025 − 19 380



𝑠2 =



427025 7220



𝒔𝟐 = 59,145 iii



c) Dengan Metode Coding Berat Badan (kg) 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 Jumlah



X



f



38 43 48 53 58 –



4 6 2 3 5 20



u=



𝑋−𝑀 𝐶



-1 0 1 2 3 -



u2



fu



fu2



1 0 1 4 9 -



-4 0 2 6 15 19



4 0 2 12 45 63



Σ𝑓 𝑢2 (𝛴𝑓𝑢)2 𝑠 =𝐶 ( − ) n − 1 𝑛(𝑛 − 1) 2



2



63 (19)2 𝑠 =5 ( − ) 20 − 1 20(20 − 1) 2



2



63 361 − ) 19 380 17081 𝑠 2 = 25 ( ) 7220 𝑠 2 = 25 (



𝒔𝟐 = 𝟓𝟗. 𝟏𝟒𝟓 Jadi, varians data berkelompok tersebut adalah 59,145. c. Varians Gabungan Misalkan, terdapat k buah subsampel sebagai berikut: 



Subsampel 1, berukuran n1 dengan varians 𝑠12







Subsampel 2, berukuran n2 dengan varians 𝑠22







……………………………………………







Subsampel k, berukuran nk dengan varians 𝑠𝑘2



Jika subsampel-subsampel tersebut digabung menjadi sebuah sampel yang berukuran 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + … + 𝑛𝑘 = n, maka bentuk varians gabungannya sebagai berikut. 2 𝑠𝑔𝑎𝑏 =



2 𝑠𝑔𝑎𝑏 =



(𝑛1 − 1)𝑠12 +⋯+(𝑛𝑘 − 1)𝑠𝑘2 (𝑛1 +⋯+ 𝑛𝑘 ) − 𝑘 Σ(𝑛−1)𝑠2 Σ𝑛 − 𝑘



iii



Contoh Soal: Berdasarkan pengamatan pada beberapa objek diperoleh data sebagai berikut. Tabel 4. Data Hasil Pengamatan No



Jumlah Objek (n) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Jumlah s 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25



Penyelesaian: No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Jumlah



2 𝑠𝑔𝑎𝑏 =



Jumlah Objek (n) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 390



Σ(𝑛−1)𝑠2 Σ𝑛 − 𝑘



Jumlah s



s2



(𝒏 − 𝟏)𝒔𝟐



3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 -



9 25 49 81 121 169 225 289 361 441 529 625 -



36 225 686 1539 2904 3509 7560 11271 15884 21609 28566 36875 130664



k = 12



130664



2 𝑠𝑔𝑎𝑏 = 390−12



iii



2 𝑠𝑔𝑎𝑏 =



130664 378



𝒔𝟐𝒈𝒂𝒃 = 345, 672 Jadi, varians gabungan tersebut adalah 345, 672. 5. RAW SCORE Raw score adalah nilai mentah. Nilai awal dari suatu data yang akan dikonversikan menjadi nilai standar. Nilai mentah disimbolkan dengan simbol (X). Misalkan tes hasil belajar dalam bidang studi bahasa inggris menyajikan lima butir soal tes uraian di mana untuk setiap butir soal yang dijawab dengan betul diberikan bobot 10. Siswa bernama fatimah, untuk kelima butir soal tes uraian tersebut memberikan jawaban sebagai berikut: 



Untuk butir soal nomor 1 dapat dijawab dengan sempurna, sehingga kepadanya diberikan skor 10.







Untuk butir soal nomor 2 hanya dijawab betul separohnya, sehingga skor yang diberikan kepada siswa tersebut adalah 5.







Untuk butir soal nomor 3, hanya sekitar seperempat bagian saja yang dapat dijawab dengan betul, sehingga diberikan skor 2,5.







Untuk butir soal nomor 4 dijawab betul sekitar separohnya sehingga diberikan skor 5.







Untuk butir soal nomor 5 dijawab betul sekitar tiga perempatnya, sehingga diberikan skor 7,5.



Dengan demikian untuk kelima butir soal tes uraian tersebut, siswa bernama fatimah tersebut mendapatkan skor sebesar= 10+5+2,5+5+7,5= 30. Angka 30 disini belum dapat disebut nilai, sebab angka 30 itu masih merupakan skor mentah (raw score). yang untuk dapat disebut nilai masih memerlukan pengolahan atau pengubahan (-konversi). Setiap tes diperiksa dan diberi angka (skor). Jika tes terdiri dari 8 soal dan tiap-tiap soal sama bobotnya, dapat saja setiap soal diberi angka dan skor 10. Jika betul semua, siswa mendapat skor maksimum 8x10= 80. Tetapi tidak setiap soal dapat dijawab benar, sehingga jumlah angka dan jumlah skornya bukan 80 melainkan misalnya 50 dan 65. Jumlah angka ini disebut skor mentah belum



iii



diberi arti. Baru ada artinya jika skor sudah diberi arti dengan mengubahnya menjadi nilai kuantitatif atau nilai kualitatif. Pada umumnya guru mengubahnya menjadi nilai kuantitatif dengan mengunakan rumus: Nilai =



skor mentah x (10 atau 100)nilai skor maksimum



Sehingga jika dipakai skala penilaian 1-100, maka skor mentah 50 diatas nilainya menjadi: 50 x 100= 62,5 80 Jika soal-soal dalam tes berbeda bobotnya, setiap skor harus dikalikan bobot, baru dijumlah menjadi skor mentah. Jumlah skor maksimum tentu saja juga dikalikan dengan bobot soal masing-masing, sehingga rumus penilaian tersebut di atas tetap dapat dipakai. Misalnya dalam sebuah tes ada 5 soal dengan bobot 1, 1, 2, 2, 3 dan siswa mendapat skor 10, 9, 7, 8, dan 6. Skor mentah



= (1x10) + (1x9) + (2x7) + (2x8) + (3x6) = 10 + 9 + 14 + 16 + 18 = 67



Skor maksimum = (1x10) + (1x10) + (2x10) + (2x10) + (3x10) = 10 + 10 + 20 + 20 + 30= 90 skor mentah x (10 atau 100)nilai skor maksimum 67 𝑋 100 Nilai = = 74.4 90 Nilai =



Nomor Tingkat Bobot soal kesukaran



Skor maksimun kali bobot



Skor siswa



1 2 3 4 5



10 10 20 20 30



10 9 7 8 6



Mudah Mudah Agak sukar Agak sukar Sukar



1 1 2 2 3



iii



Bobot kali skor siswa 10 9 14 16 18



Jumlah 67



Nilai = 90 x 100 =



9 6700 90



90



67 = skor mentah



= 74, 4



6. KOEFISIEN VARIASI Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut. Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase. 𝐾𝑉 =



𝑆𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵𝑎𝑘𝑢 𝑅𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎



× 100%



Koefisien variasi tidak bergantung pada satuan yang digunakan karenanya dapat dipakai untuk membandingkan variasi relative beberapa kumpulan data dengan satuan berbeda. Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data sebagai berikut. 



Semakin kecil koefisien variasi berarti semakin seragam atau homogen data tersebut.







Semakin besar koefisien variasi berarti semakin data tersebut tidak seragam atau heterogen







Jika dua kelompok data KV1 dan KV2, dengan KV1>KV2, maka kelompok pertama lebih bervariasi atau lebih heterogen dari kelompok kedua.



Contoh : Pada ujian akhir mahasiswa di suatu kelas, nilai matematika di mana ratarata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 88 dan 10. Lalu, pada ujian akhir IPA di mana rata-rata kelompok 94 dan simpangan baku 18. Hitunglah koefisien variansi dari data di atas!



iii



Penyelesaian: 10



𝐾𝑉1 (𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎) = 88 × 100% = 11.36% 18



𝐾𝑉2 (𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐼𝑃𝐴) =



94



× 100% = 19.14%



Jadi, karena dari dua kelompok data KV1 dan KV2 diperoleh KV2>KV1, maka, kelompok kedua lebih bervariasi, atau lebih heterogen dari kelompok pertama. Terdapat beberapa kegunaan ketika kita menggunakan koefisien variansi dalam kehidupan sehari-hari, antara lain sebagai berikut :  Koefisien variasi berguna untuk membandingkan tingkat variasi suatu seri data ke data yang lain, bahkan jika nilai rata-ratanya sangat berbeda dengan data yang lain.  Untuk mengetahui perbandingan (membandingkan) antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; (dalam) Untuk menilai keadaan dengan jalan menguji perbedaan antara gejala yang satu dengan gejala yang lain.  Untuk menilai resiko bisnis yang akan muncul yaitu dengan membandingkan aset dan return yang diharapkan.  Untuk menjadi dasar atau pedoman, baik di dalam menarik kesimpulan, mengambil keputusan, serta memperkirakan terjadinya sesuatu hal atas dasar bahan-bahan keterangan (data) yang telah berhasil dihimpun, dan lain sebagainya.



7. NILAI STANDAR Nilai standar atau bilangan baku merupakan bilangan yang diperoleh dari penyimpangan, atau deviasi data dari rata-rata yang dinyatakan dalam satuan simpangan baku. Bilangan yang didapat dinamakan bilangan z. Variabel z1, z2, z3, .... , Zn ternyata mempunyai rata-rata=0 dan simpangan baku=1. Seperti rumus berikut.



𝐳𝐢 =



𝐱 𝐢 −𝐱̅ 𝐬



untuk i = 1, 2, .... , n (Rumus 1)



iii



Dalam penggunaannya, bilangan z ini sering diubah menjadi model baru, atau distribusi baru, yang mempunyai rata-rata ̅̅̅ 𝑥0 dan simpangan baku 𝑠0 yang ditentukan. Bilangan yang diperoleh dengan cara ini dinamakan



bilangan baku atau bilangan standar dengan rata-rata 𝑥̅̅̅0 dan simpangan baku 𝑠0 . Dengan rumus: 𝐱 𝐢 − 𝐱̅ 𝐳𝐢 = ̅̅̅ 𝐱 𝟎 + 𝐬𝟎 ( ) 𝐬 Jika ̅̅̅ 𝑥0 = 0 dan 𝑠0 = 1 maka rumus 2 berubah menjadi rumus sebenarnya, sehingga bilangan z sering pula disebut bilangan standar. Contoh : 



Dalam psikologi, test Wechsler-Bellevue diubah ke dalam bilangan baku dengan rata-rata= 10 dan simpangan baku= 3







Test Klasifikasi Umum Tentara di Amerika Serikat biasa dijadikan bilangan baku dengan rata-rata= 100 dan simpangan baku= 20







“Graduate Record Examination” di USA dinyatakan dalam bilangan standar dengan rata-rata= 500 dan simpangan baku= 100 Bilangan baku sering dipakai untuk membandingkan keadaan



distribusi fenomena (Sudjana, 2005). Contoh Soal : Seorang mahasiswa mendapat nilai 86 pada ujian akhir matematika di mana rata-rata dan simpangan baku kelompok, masing-masing 78 dan 10. Pada ujian akhir statistika di mana rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku 18, ia mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana ia mencapai kedudukan yang lebih baik? Jawaban : Dengan rumus 1 didapat bilangan baku : Untuk matematika z =



86−78



Untuk statistika z =



92−84



10 18



= 0.8 = 0.44



iii



Jadi, mahasiswa tersebut mencapai kedudukan lebih baik dalam hal matematika. Jika nilai-nilai diatas ke dalam angka baku dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20, maka : Untuk matematika z



86−78



= 100 + 20 (



) = 116



10



92−84



Untuk statistika z = 100 + 20 (



18



) = 108.9



Dalam sistem ini mahasiswa juga unggul dalam matematika.



8. UKURAN KEMIRINGAN Kemiringan adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi, dimana sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya dan hanya akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan miring. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang kanan daripada yang ke kiri, maka distribusi disebut miring ke kanan atau memiliki kemiringan positif dan sebaliknya.



Untuk mengetahui konsentrasi distribusi miring ke kanan atau ke kiri dapat menggunakan metode-metode berikut ini. a. Koefisien Kemiringan Pearson 𝑠𝑘 =



𝑋 − 𝑀𝑜 𝑠



𝑎𝑡𝑎𝑢



𝑠𝑘 =



3(𝑋 − 𝑀𝑒) 𝑠



Keterangan: sk



= koefisien kemiringan pearson



Mo



= modus (nilai yang sering muncul)



iii



Modus data berkelompok,Mo = Tb + p 𝑑



𝑑1



1 +𝑑2



Me



= nilai tengah data Untuk jumlah data tunggal ganjil, letak Me =



𝑋𝑛+1 2 𝑋𝑛 + 𝑋𝑛+2



Untuk jumlah data tunggal genap, letak Me =



2



Rumus median data berkelompok = 𝑀𝑒 = 𝐵 + 𝐶



2



2 (1⁄2𝑛−𝑓𝑘) 𝑓𝑀𝑒



Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva, maka: 



sk = 0, maka kurva memiliki bentuk simetris







sk > 0, maka nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (rata-rata terletak di sebelah kanan modus), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva miring ke kanan atau miring positif







sk < 0, maka nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (rata-rata terletak di sebelah kiri modus), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva miring ke kiri atau miring negative



Contoh soal: Berikut ini adalah nilai ujian statistik dari 20 mahasiswa Universitas Negeri Malang. Nilai Ujian 76-80 81-85 86-90 91-95 Jumlah



Frekuensi 3 3 6 8 20



a. Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut)! b. Gambarlah kurvanya! Penyelesaian: Nilai Ujian 76-80 81-85 86-90



Frekuensi 3 3 6



xi 78 83 88



fixi 234 249 528



iii



91-95 Jumlah



Mean (𝑥̅ ) =



=



8 20



93 342



744 1755



𝛴𝑓𝑖𝑥 𝑖 𝛴𝑓 1755 20



= 87,75 Nilai Ujian 76-80 81-85 86-90 91-95 Jumlah



fi 3 3 6 8 20



xi 78 83 88 93 342



fixi 234 249 528 744 1755



Simpangan baku (s) = √s2 s2 =



∑𝑓𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥̅ )2



s2 =



573,75



∑𝑓𝑖



20



s2 = 28,66 s = √28,66 s = 5,35 Median (Me) = 𝑇𝑏 + 𝑝



(1⁄2𝑛−𝑓𝑘) 𝑓𝑀𝑒



= 85,5 + 5



(10−6) 6



= 85,5 + 3,35 = 88, 85 Modus (Mo) = Tb + p 𝑑



𝑑1



1 +𝑑2



2



= 90,5 + 5 2+8



iii



̅ )2 (xi-𝒙 95,06 22,56 0,062 27,56 145,25



̅ )2 fi(xi-𝒙 285,18 67,68 0,37 220,48 573,75



= 90,5 + 1 = 91,5 1)



𝑋−𝑀𝑜



sk =



𝑠 87,75−91,5



=



5,35



= -0,7 2)



sk = = =



3(𝑋−𝑀𝑒) 𝑠 3(87,75−88,85) 5,35 3 (−1.1) 5,37 −3,3



= 5,37



= -0,61 Oleh karenanya sk-nya negatif (-0,69 atau -0,61) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif. Gambar kurvanya 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 78



83



88



93



b. Koefisien Kemiringan Bowley Koefisien kemiringan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi data. Berikut ini rumus koefisien kemiringan Bowley. 𝑠𝑘𝐵 =



(𝑄3 − 𝑄2 ) − (𝑄2 − 𝑄1 ) (𝑄3 − 𝑄2 ) + (𝑄2 − 𝑄1 )



𝑎𝑡𝑎𝑢



iii



(𝑄3 − 2𝑄2 + 𝑄1 ) (𝑄3 − 𝑄1 )



Keterangan: 𝑠𝑘𝐵 = Koefisien kemiringan Bowley 𝑄 = kuartil, rumus 𝑄𝑖 = 𝑇𝑏 + 𝑝



𝑖 4



( 𝑛−𝑓𝑘) 𝑓



Contoh soal: Berikut ini adalah nilai ujian statistik dari 20 mahasiswa Universitas Negeri Malang. Tentukan kemencengan kurvanya! Nilai Ujian 61-70 71-80 81-90 91-100 Jumlah



Frekuensi 3 3 6 8 20



Penyelesaian: 1) Q1 = 𝑇𝑏 + 𝑝



1 4



( 𝑛−𝑓𝑘) 𝑓



= 70,5 + 5



(5−3) 3



= 70,5 + 5 . 0,67 Q1 = 73,85 2) Q2 = 𝑇𝑏 + 𝑝



2 4



( 𝑛−𝑓𝑘) 𝑓



= 80,5 + 5



(10−6) 6



= 80,5 + 5 . 0,67 Q2 = 83,85 3) Q3 = 𝑇𝑏 + 𝑝



3 4



( 𝑛−𝑓𝑘) 𝑓



iii



= 90,5 + 5



(15−12) 8



= 90,5 + 5 . 0,37 Q3 = 92,37







(𝑄 −𝑄 )−(𝑄 −𝑄 )



SkB = (𝑄3−𝑄2)+(𝑄2−𝑄1 ) 3



2



2



1



(92,37−83,85)−(83,85−73,85)



skB = (92,37−83,85)+(83,85−73,85) (8,52)−(10)



skB = (8,52)+(10) −1,48



skB= 18,52 skB = -0,07 



skB = skB = skB =



(𝑄3 −2𝑄2 +𝑄1 ) (𝑄3 −𝑄1 ) (92,37−2.83,85+73,85) (92,37−73,85) (92,37−167,7+73,85) (92,37−73,85) (−1,48)



skB = (18,52) skB = -0,07



Karena skB negatif (= -0,07) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti. c. Koefisien Kemiringan Persentil Koefisien kemiringan persentil berdasarkan pada hubungan antarpersentil dari sebuah distribusi data. Berikut ini rumus koefisien kemiringan Bowley. 𝑠𝑘𝑝 =



(𝑃90 − 𝑃50 ) − (𝑃50 − 𝑃10 ) (𝑃50 − 𝑃10 )



𝑎𝑡𝑎𝑢



Keterangan: 𝑠𝑘𝑃 = Koefisien kemiringan persentil P = persentil, rumusnya Pn = Tb + p



I 𝑛−𝑓𝑘 100



𝑓



iii



(𝑃90 − 2𝑃50 + 𝑃10 ) (𝑃50 − 𝑃10 )



Contoh soal: Berikut ini adalah nilai ujian statistik dari 20 mahasiswa Universitas Negeri Malang. Tentukan nilai skp! Nilai Ujian 61-70 71-80 81-90 91-100 Jumlah



Frekuensi 3 3 6 8 20



Penyelsaian: 1) P90 = Tb + p



I 𝑛−𝑓𝑘 100



𝑓 90



P90 = 90,5 + 5 100



20−12 8



P90 = 90,5 + 5 . 0,75 P90 = 94,25 2) P50 = Tb + p



I 𝑛−𝑓𝑘 100



𝑓 50 20−6 100



P50 = 80,5 + 5



6



P50 = 80,5 + 5 . 0,67 P50 = 83,85 I



𝑛−𝑓𝑘



3) P10 = Tb + p 100 𝑓 10



P10 = 60,5 + 5 100



20−12 3



P10 = 60,5 + 5 . -3,33 P10 = 43,85







Skp = Skp = Skp =



(𝑃90 −𝑃50 )−(𝑃50 −𝑃10 ) (𝑃50 −𝑃10 ) (94,25−83,85)−(83,85−94,25) (83,85−43,85) (10,4)−(40) (40)



Skp = -0,7 iii







Skp = Skp =



(𝑃90 −2𝑃50 +𝑃10 ) (𝑃50 −𝑃10 ) (94,25−2.83,85+43,85) (83,85−43,85)



Skp = -0,7 Jadi, skp nya adalah -0,7 d. Koefisien Kemiringan Momen Koefisien kemiringan momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien kemiringan momen dilambangkan dengan 3 . Koefisien kemiringan disebut juga dengan kemencengan relatif. Jika nilai 3 dihubungkan dengan keadaan kurva, maka: 



Nilai 3 = 0, untuk distribusi simetris (normal)







Nilai 3 = +, untuk distribusi miring ke kanan







Nilai 3 = −, untuk distribusi miring ke kiri







Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai 3 > ± 0,50 adalah distribusi yang sangat miring.







Menurut Kenney dan Keeping, nilai 3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang miring.



Untuk mencari nilai 3 dibedakan menjadi dua, yaitu data tunggal dan data berkelompok. 1) Untuk Data Tunggal 3 =



𝑀3 1⁄𝑛 Σ(X − X)3 = 𝑠3 𝑠3



2) Untuk Data Berkelompok 𝑀3 1⁄𝑛 Σ(X − X)3 𝑓 3 = 3 = 𝑠 𝑠3 atau: 3



𝐶3 Σ𝑓𝑢3 Σ𝑓𝑢2 Σ𝑓𝑢 Σ𝑓𝑢 3 = 3 = ( − 3( )( ) + 2( ) ) 𝑠 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛



iii



Contoh soal: 1) Tentukanlah ukuran kemiringan data berikut: 2, 3, 5, 6, 9 2) Tentukanlah ukuran kemiringan data pada Tabel 1! Nilai Ujian 61-70 71-80 81-90 91-100 Jumlah



Frekuensi 3 3 6 8 20



Penyelesaian: 1) Ukuran kemiringan data tunggal Mean =



2+3+5+6+9 5



=5 X 2 3 5 6 9 Jumlah



̅ xi-𝒙 -3 -2 0 1 4



̅ )2 (xi-𝒙 9 4 0 1 16 30



̅ )3 (xi-𝒙 -27 -8 0 1 64 30



∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2



s=√



𝑛−1 30



s=√4



s = 2,73



3 =



1⁄ Σ(X − X)3 𝑛 𝑠3 7,5



= 20,34 𝟑 = 0,36



iii



2) Ukuran kemiringan data kelompok Nilai Ujian 76-80 81-85 86-90 91-95 Jumlah



Mean (𝑥̅ ) =



=



Frekuensi 3 3 6 8 20



xi 78 83 88 93 342



fixi 234 249 528 744 1755



𝛴𝑓𝑖𝑥 𝑖 𝛴𝑓 1755 20



= 87,75 Nilai Ujian 76-80



fi



xi



fixi



̅ )2 (xi-𝒙



̅ )3 (xi-𝒙



̅ )2 fi(xi-𝒙



3



78



234



95,06



-926,85



285,18



81-85



3



83



249



22,56



-107,17



67,68



86-90



6



88



528



0,062



0,01



0,37



91-95



8



93



744



27,56



144,7



220,48



Jumlah



20



342



1755



145,25



-889,31



573,75



Simpangan baku (s) = √s2 s2 =



∑𝑓𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥̅ )2



s2 =



573,75



∑𝑓𝑖



20



s2 = 28,68 s = √28,68 s = 5,35



1⁄ Σ(X − X)3 𝑓 𝑛 3 = 𝑠3



iii



1⁄ (−889,31) 3 = 20 5,353



3 =



−44,46 153,1



𝟑 = -0,29 9. KURTOSIS Kurtosis atau keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusinya dibedakan menjadi tiga, yaitu: 



Leptokurtik, yaitu distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.







Platikurtik, yaitu distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar.







Mesokurtik, yaitu distribusi yang memiliki puncak yang tidak tinggi dan tidak mendatar.



Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi dapat menggunakan dua cara yaitu koefisien keruncingan dan koefisien persentil. 1) Koefisien Kurtosis Keruncingan Koefisien keruncingan dilambangkan dengan 4 . Jika hasil perhitungan keruncingan diperoleh:



iii







Nilai lebih kecil dari 3 (3), maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik







Nilai lebih sama dengan dari 3 (=3), maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik



Untuk mencari nilai 4 dibedakan menjadi dua, yaitu data tunggal dan data berkelompok. 1) Untuk Data Tunggal 1⁄ Σ(X − X)4 𝑛 4 = 𝑠4 Contoh soal: Tentukan keruncingan kurva dari data: 2, 3, 6, 8, 11 Penyelesaian: 𝑥̅ = 6 S = 3,67 X 2 3 6 8 11 Jumlah



𝐗 − 𝐗 -4 -3 0 2 5 0



(𝐗 − 𝐗)𝟒 256 81 0 16 625 978



1⁄ Σ(X − X)4 𝑛 4 = 𝑠4 1⁄ x 978 4 = 5 4 367 4 =



195,6 181,4



iii



𝟒 = 1,08 Karena nilainya lebih kecil dari 3 = (1,08) maka distribusinya adalah distribusi plakurtik. 2) Untuk Data Berkelompok 4 =



1⁄ Σ(X − X)4 𝑓 𝑛 𝑠4



atau: 2



𝐶4 Σ𝑓𝑢4 Σ𝑓𝑢3 Σ𝑓𝑢 Σ𝑓𝑢2 Σ𝑓𝑢 4 = 4 = ( − 4( )( ) + 6( )( ) 𝑠 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 4



Σ𝑓𝑢 − 3( ) ) 𝑛 Contoh soal: Berikut ini nilau ujian statistik 40 mahasiswa Universitas Negeri Malang Nilai Ujian 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



Frekuensi 2 5 13 14 4 2 40



a. Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya b. Gambarkan grafiknya Penyelesaian: Dari perhitungan didapat s = 3,42 X 66 69 72 75 78 81 Jumlah



1) 4 =



f 2 5 13 14 4 2 40



𝐗 − 𝐗 -7,425 -4,425 -1,425 1,575 4,575 7,575 -



(𝐗 − 𝐗)4 3.039,3858 383,4009 4,1234 6,1535 438,0911 3.292,5361 -



1⁄ Σ(X−X)4 𝑓 𝑛 𝑠4



iii



f (𝐗 − 𝐗)4 6.078,7716 1.917,0044 53,6047 86,1490 1.752,3642 6.585,0722 16.472,9661



1⁄ x 16.472,9661 4 = 40 (3,42)4 411,8241 136,8058



4 =



4 = 3,01 Dengan rumus kedua, perhitungan 4 ialah sebagai berikut Nilai 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79 80-82 Jumlah



s=C√



𝛴𝑓 𝑢2 𝑛



63



X 66 69 72 75 78 81



−(



s = C √40 − (



f 2 5 13 14 4 2 40



𝛴𝑓 𝑢 𝑛



u2 9 4 1 0 1 4



u -3 -2 -1 0 1 2



u3 -27 -8 -1 0 1 8



u4 81 16 1 0 1 16



Fu -6 -10 -13 0 4 4 -21



fu2 18 20 13 0 4 8 63



fu3 -54 -40 -13 0 4 16 -87



2



)



−21 2 40



)



= 3 √1,575 – 0,276 = 3,42 𝐶 4 Σ𝑓𝑢4 Σ𝑓𝑢3 Σ𝑓𝑢 Σ𝑓𝑢2 Σ𝑓𝑢 4 = 4 ( − 4( )( ) + 6( )( ) 𝑠 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛



2



4



Σ𝑓𝑢 − 3( ) ) 𝑛 4 =



34 291 −87 −21 63 −21 2 −21 4 ( − 4 ( ) ( ) + 6 ( ) ( ) − 3 ( ) ) (3,42)4 40 40 40 40 40 40 81



= 136,81 (2,7075 + 2,6046 + 0,2279) = 3,0102 Karena nilai keruncingannya hampir sama atau sama dengan 3 maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik. 2) Gambar grafiknya



iii



fu4 162 80 13 0 4 32 291



16 14 12 10 8 6 4 2 0 66



c.



69



72



75



78



91



Koefisien Kurtosis Persentil Koefisien kurtosis persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk



distribusi normal, nilai K = 0,263. Berikut ini rumusnya. 𝐾=



1⁄ (𝑄 − 𝑄 ) 1 2 3 𝑃90 − 𝑃10



Contoh soal: Berikut ini dsisajikan tabel distribusi frekuensi dari nilai statistik 20 mahasiswa Universitas Negeri Malang a.



Tentukan koefisien persentil (K)



b.



Apakah distribusinya termasuk distribusi normal?



Nilai Ujian 61-70 71-80 81-90 91-100 Jumlah



Frekuensi 3 3 6 8 20



Penyelesaian: 1) Q1 = 𝑇𝑏 + 𝑝



1 4



( 𝑛−𝑓𝑘)



= 70,5 + 5



𝑓 (5−3) 3



= 70,5 + 5 . 0,67



iii



Q1 = 73,85 2) Q3 = 𝑇𝑏 + 𝑝



3 4



( 𝑛−𝑓𝑘) 𝑓



= 90,5 + 5



(15−12) 8



= 90,5 + 5 . 0,37 Q3 = 92,37 3) P90 = Tb + p



I 𝑛−𝑓𝑘 100



𝑓 90 20−12 100



P90 = 90,5 + 5



8



P90 = 90,5 + 5 . 0,75 P90 = 94,25 I



𝑛−𝑓𝑘



4) P10 = Tb + p 100 𝑓 10



P10 = 60,5 + 5 100



20−12 3



P10 = 60,5 + 5 . -3,33 P10 = 43,85



1⁄ (92,37 − 73,85) 𝐾= 2 94,25 − 43,85 𝐾=



9,26 50,4



= 0,18 Karena K = 0,18 (K < 0,263) maka distribusinya bukan distribusi normal.



C. PENENTUAN UKURAN DISPERSI DENGAN MENGGUNAKAN SOFTWARE MS. EXCEL 1. Rentangan Untuk menentukan ukuran rentangan dapat dengan menggunakan Ms. Excel. Data yang terdapat dalam rentangan dapat berupa data tunggal maupun data



iii



berkelompok. Berikut ini langkah-langkah yang harus diikuti dalam menentukan rentangan menggunakan Ms. Excel. a. Rentangan Data Tunggal 



Masukan data yang akan dihitung rentangannya ke Ms. Excel.







Tuliskan rumus rentangan pada kolom kosong, misalnya disamping data. Rumus rentangan, yaitu =nilai maksimum-nilai minimum. Untuk tanda kurang (-) dimasukkan sendiri dikarenakan tidak dapat muncum secara otomatis







Sorot kolom yang berisi data maksimal dan minimal. Jangan lupa beri tanda (-) di antara nilal maksimal dan minimal.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul rentangan yang dari data tersebut.



b. Rentangan Data Berkelompok 



Masukan data yang akan dihitung rentangannya ke Ms. Excel.







Tentukan nilai tengah data.







Kemudian, tentukan nilai maksimal dan minimal dari data. Rumus nilai maksimal, yaitu =max kemudian sorot data dan tekan enter. Sedangkan untuk nilai minimal data, yaitu =min kemudian sorot data dan tekan enter.







Setelah menentukan nilai max dan min, tuliskan rumus rentangan pada kolom kosong, misalnya disamping data. Rumus rentangan, yaitu =nilai maksimum-nilai minimum. Untuk tanda kurang (-) dimasukkan sendiri dikarenakan tidak dapat muncum secara otomatis







Sorot kolom yang berisi data maksimal dan minimal. Jangan lupa beri tanda (-) di antara nilal maksimal dan minimal.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul rentangan yang dari data tersebut.



2. RATA-RATA SIMPANGAN



iii



Untuk menentukan ukuran rata-rata simpangan dapat dengan menggunakan Ms. Excel. Data yang terdapat dalam rata-rata simpangan dapat berupa data tunggal maupun data berkelompok. Berikut ini langkah-langkah yang harus diikuti dalam menentukan rata-rata simpangan menggunakan Ms. Excel. a. Rata-Rata Simpangan Data Tunggal 



Masukan data yang akan dihitung rentangannya ke Ms. Excel.







Tuliskan rumus rata-rata simpangan pada kolom kosong, misalnya disamping data. Rumus rata-rata simpangan, yaitu =AVEDEV (rentang sel) misalnya, "=AVEDEV(D4:D13)"







Sorot kolom yang berisi data.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul rata-rata simpangan yang dari data tersebut.



b. Rata-Rata Simpangan Data Berkelompok 



Masukan data yang akan dihitung rata-rata simpangannya ke Ms. Excel.







Tentukan nilai tengah data.







Tuliskan rumus rata-rata simpangan pada kolom kosong, misalnya disamping data. Rumus rentangan, yaitu =AVEDEV.







Sorot kolom yang berisi data.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul rata-rata simpangan yang dari data tersebut.



3. VARIANS Untuk menentukan ukuran varians dapat dengan menggunakan Ms. Excel. Data yang terdapat dalam varians dapat berupa data tunggal maupun data berkelompok. Berikut ini langkah-langkah yang harus diikuti dalam menentukan varians menggunakan Ms. Excel. a. Varians Data Tunggal 



Masukan data yang akan dihitung variansnya ke Ms. Excel.







Tuliskan rumus varians pada kolom kosong, misalnya disamping data. iii



Rumus varians, yaitu =VAR (rentang sel) misalnya, "=VAR(D4:D13)" 



Sorot kolom yang berisi data.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul varians yang dari data tersebut.



b. Varians Data Berkelompok 



Masukan data yang akan dihitung variansnya ke Ms. Excel.







Tentukan nilai tengah data.







Tuliskan rumus varians pada kolom kosong, misalnya disamping data. Rumus varians, yaitu =VAR.







Sorot kolom yang berisi data.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul varians yang dari data tersebut.



4. STANDAR DEVIASI Untuk menentukan ukuran standar deviasi dapat dengan menggunakan Ms. Excel. Data yang terdapat dalam varians dapat berupa data tunggal maupun data berkelompok. Berikut ini langkah-langkah yang harus diikuti dalam menentukan varians menggunakan Ms. Excel. a. Standar Deviasi Data Tunggal 



Masukan data yang akan dihitung standar deviasinya ke Ms. Excel.







Tuliskan rumus standar deviasi pada kolom kosong, misalnya disamping data.







Rumus standar deviasi, yaitu =STDEV(rentang sel) misalnya, "=STDEV(D4:D13)".







Sorot kolom yang berisi data.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul standar deviasi yang dari data tersebut.



b. Standar Deviasi Berkelompok 



Masukan data yang akan dihitung standar deviasinya ke Ms. Excel.







Tentukan nilai tengah data.



iii







Tuliskan rumus standar deviasi pada kolom kosong, misalnya disamping data.







Rumus standar deviasi, yaitu =STDEV(rentang sel) misalnya, "=STDEV(D4:D13)".







Sorot kolom yang berisi data.







Terakhir, tekan enter dan kemudian akan muncul standar deviasi yang dari data tersebut.



5. RAW SCORE, KOEFISIEN VARIASI, DAN NILAI STANDAR Mencari Koefisien Variansi dan Skor Baku dengan menggunakan Microsoft Excel sebagai berikut : a) Memasukkan data pada Microsoft Excel 30, 50, 70, 20, 40, 60, 80, 100, 90



b) Urutkan data yang masih acak 20 30 40 50 60 70 80 90 100



c) Menjumlahkan semua data dengan menggunakan =SUM(block data awal hingga akhir) lalau tekan enter



c



iii



d) Mencari rata-rata/mean dengan menggunakan =AVERAGE(block data dari awal hingga akhir) lalau tekan enter



e) Mencari simpangan baku (S) dengan menggunakan =STDEV(blok data dari awal hingga akhir) lalu tekan enter



f) Mencari skor baku dengan menggunakan =(array1-array2)/array3 lalu tekan enter



iii



g) Mencari koefisien variansi dengan menggunakan rumus =(array1/array2)*100% lalu tekan enter



6. UKURAN KEMIRINGAN (SKEWNESS) Cara penulisan fungsi skewness adalah a. =SKEW(Number 1;Number 2;...) Number1, number2 ... berupa 1-255 argumen yang ingin dighitung skewnessnya. Atau menggunakan array tunggal atau referensi ke array, bukan argumen yang dipisahkan oleh koma. Keterangan: a. Argumen bisa berupa angka atau nama, array, atau referensi yang berisi angka-angka. b. Nilai logika dan teks representasi angka yang Anda ketikkan secara langsung ke dalam daftar argumen akan dihitung. c. Jika array atau argumen referensi berisi teks, nilai logika, atau sel kosong, nilai-nilai itu diabaikan; akan tetapi, sel dengan nilai nol dimasukkan. d. Argumen yang merupakan nilai kesalahan atau teks yang tidak dapat diterjemahkan menjadi angka menyebabkan kesalahan. e. Jika terdapat kurang dari tiga titik data, atau contoh simpangan baku adalah nol, SKEW mengembalikan nilai kesalahan #DIV/0!. f. Persamaan untuk nilai kecondongan ditentukan sebagai:



iii



Misalnya kita memiliki data dari cell A2 hingga A11 untuk mencari kemiringannya maka pada cell selanjutnya ketik =SKEW(A2;A11) b. =SKEW.P(Number 1;Number 2;...) SKEW.P menggunakan persamaan berikut:



Keterangan: a) Argumen bisa berupa angka atau nama, array, atau referensi yang berisi angka-angka. b) Nilai logika dan teks representasi angka yang Anda ketikkan secara langsung ke dalam daftar argumen akan dihitung. c) Jika argumen array atau referensi berisi teks, nilai logika, atau sel kosong, nilai-nilai itu diabaikan; akan tetapi, sel dengan nilai nol (0) dimasukkan. d) SKEW.P menggunakan simpangan baku seluruh populasi, bukan sampel. e) Jika argumen adalah nilai yang tidak valid, SKEW.P mengembalikan nilai kesalahan #NUM!. f) Jika argumen menggunakan tipe data yang tidak valid, SKEW.P mengembalikan nilai kesalahan #VALUE!. g) Jika terdapat kurang dari tiga titik data, atau contoh simpangan baku adalah nol, SKEW.P mengembalikan nilai kesalahan #DIV/0!. 7. KURTOSIS =KURT(Number 1;Number 2;...) Keterangan: 1) Argumen bisa berupa angka atau nama, array, atau referensi yang berisi angka-angka. 2) Nilai logika dan teks representasi angka yang Anda ketikkan secara langsung ke dalam daftar argumen akan dihitung. 3) Jika array atau argumen referensi berisi teks, nilai logika, atau sel kosong, nilai-nilai itu diabaikan; akan tetapi, sel dengan nilai nol dimasukkan.



iii



4) Argumen yang merupakan nilai kesalahan atau teks yang tidak dapat diterjemahkan menjadi angka menyebabkan kesalahan. 5) Jika titik datanya kurang dari empat, atau jika simpangan baku sampel



iii



BAB III PENUTUP



A. KESIMPULAN Ukuran dispersi terdiri atas bebagai jenis ukuran dispersi. Jenis-jenis ukuran dispersi tersebut, antara lain rentangan, rata-rata simpangan, standar deviasi, raw score, varians, koefisien variasi, nilai standar, ukuran kemiringan, dan kurtosis. Berikut ini penjelasannya mengenai jenis-jenis ukuran dispersi. Untuk menentukan ukuran dispersi selain dengan menghitung secara manual, juga dapat menggunakan Ms. Excel. Jika menentukan nilai ukuran dispersi menggunakan Ms. Excel, maka sebelumnya harus mengetahui rumusrumus dari setiap cabang dispersi. Dengan menggunakan rumus-rumus tersebut, maka akan mempercepat seseorang dalam menentukan ukuran dispersi dari sebuah distribusi data.



iii



DAFTAR RUJUKAN



Hasan. M. Iqbal. 2001.Pokok-Pokok Materi Statistik 1.Jakarta:Bumi Aksara. Sudijono. Anas. 2003. Pengantar Evaluasi Pendidikan. Jakarta: PT Raja Grafindo Prasada http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Drs.%20Amat%20Jaedun,%20M.Pd. /Dispersi%20&%20Variasi.docx. (Diakses 22 Februari 2019)



iii