![Bab 7 Integral Riemann [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bab-7-integral-riemann.jpg)
7 0 399 KB
INTEGRAL RIEMANN 7.1. Integral Riemann Partisi danTanda Partisi
Jika ∶= , adalah interval tertutup terbatas pada ℝ, maka sebuah partisi(bagian) dari I adalah terbatas, order himpunan ∶= ( , , … , , )
dari titik-titik di I sedemikian hingga
= < , … < < =
(Lihat gambar 7.1.1) Titik di Pdigunakan untuk membagi ∶= , ke dalam interval-interval bagian yang tidak tumpang tindih sebagai berikut : ∶= , , •
•
•
•
∶= , , … ,
a = x0
•
x1
•
x2 x3 xn-1
•
∶= , •
•
•
xn = b
Gambar 7.1.1 Partisi dari , Biasanya kita akan menunjukkan partisi Pdengan notasi P= , kita
mendefinisikan norma dari P:
‖ ‖ ∶= − , − , … , −
Sehingga aturan partisi hanya panjang dari interval bagian terbesar ke dalam
bagian partisi , . Jelas bahwa banyak partisi memiliki aturan yang sama, maka
partisi tersebut bukan fungsi dari suatu norma.
Jika sebuah titik ti telah dipilih dari masing-masing interval bagian = , , untuk = 1,2,3, … , !, maka titik tersebut disebut tanda dari interval bagian Ii. Sebuah pasangan himpunan P= ( , , " )dari interval bagian dan sesuai
tanda disebut tanda partisi dari I; lihat gambar 7.1.2. (titik di atas Pmenunjukkan bahwa sebuah tanda telah dipilih untuk masing-masing interval bagian). Kita dapat memilih tanda di titik akhir kiri, atau titik akhir kanan atau di titik tengah dari interval bagian, dan sebagainya. Karena masing-masing tanda dapat dipilih 1 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
dengan berbagai cara, maka masing-masing partisi dapat di tandai dalam berbagai cara. Aturan dalam menandai partisi didefinisikan untuk partisi biasa dan tidak bergantung pada pilihan tanda. t1
•
• a = x0
t2
•
t3
•
•
tn
•
x1
•
•
x2
•
• x3
• xn-1
xn = b
Gambar 7.1.2 Penandaan partisi dari , JikaP adalah tanda partisi seperti yang diberikan, kita definisikan jumlah
Riemann dari fungsi #: , ℝ sesuai pada Pmenjadi bilangan (1)
%(#; ) ∶= ' #(" )( − )
Kita juga akan menggunakan notasi ini ketika Pdinotasikan sebagai bagian dari partisi dan bukan keseluruhan partisi.
Pembaca mungkin mengira bahwa jika fungsi f positif pada , , maka jumlah
Riemann (2) adalah jumlah dari luas persegi m dimana alasnya adalah interval bagian ∶= , dimana tingginya adalah #(" ). (lihat gambar 7.1.3)
Gambar 7.1.3 Jumlah Riemann Definisi Integral Riemann 2 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Sekarang kita akan mendefinisikan Integral Riemann dari fungsi f pada Interval , .
7.1.1 Definisi
Sebuah fungsi #: , ℝ disebut Integral Riemann pada , jika terdapat
bilangan L∈ ℝ dimana untuk setiap Ԑ > 0 terdapat )Ԑ > 0 dimana jika P adalah
tanda partisi dari , dengan ‖ ‖ < )Ԑ , maka|%(#; ) − ,| 0 dimana jikaP2 adalah tanda partisi dengan ‖ ‖ < )"Ԑ/,
maka
|%(#; ) − ,"| 0 sedemikian hingga jika
adalah tanda partisi darir, dengan
‖ ‖ 0 mengikuti Kriteria
Cauchy 7.2.1. Ambil # sebagai pembatas dari f pada , r, dan ambil , E sebagai tanda partisi dari , r dengan ‖ ‖ < Ԑ dan ‖E ‖ < Ԑ . Dengan
menambahkan
partisi
penjumlahan
dan
tanda
dari
r,
kita
dapat
memperpanjang dan Ekepada tanda partisi P dan Q dari , sedemikian 19 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
‖ ‖ < Ԑ dan ‖E‖ < Ԑ . Jika kita gunakan titik penjumlahan yang sama dan tanda di r, untuk kedua P dan Q, maka
%(# ; ) − %(# ; E ) = %(#; ) − %(#; E)
Karena kedua P dan Q memiliki norma < Ԑ , maka%(# ; ) − %(# ; E ) < Ԑ. Sedemikian hingga Kondisi Cauchy menunjukkan pembatas # dari # kepada
, r yaitu dalam \, . Dengan cara yang sama, kita lihat pembatas # dari # kepada r, yaitu dalam \r, 0.
Persamaan (6) sekarang mengikuti bagian pertama dari teorema.
7.2.9. Corollary
Jika # ∈ \, dan jika r, 0 ⊆ , , maka pembatas dari fpada r, 0 berada dalam \r, 0. Bukti :
Karena # ∈ \, dan r ∈ , , mengikuti teorema bahwa pembatas r, berada dalam \r, .. Tapi jika 0 ∈ r, maka aplikasi lain dari teorema
menunjukkan bahwa pembatas dari fpada r, 0 berada dalam \r, 0. 7.2.10. Corollary
Jika # ∈ \, dan jika = r < r < ⋯ < rc = , maka pembatas dari f pada
masing-masing interval bagian r , r adalah integral Riemann dan .
c
- # = '/
s
s
#
Hingga sekarang, kita telah mempertimbangkan bahwa Integral Riemann pada interval , dimana < . Mudah mendapatkan definisi integral lebih umum. 7.2.11. Definisi
Jika # ∈ \, dan jika m, ∈ , dengan m < , kita definisikan
- # ∶= − - #
dan 20 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
- # ∶= 0
7.2.12 Teorema
Jika # ∈ \, dan jika m, , sembarang bilangan di , maka (8)
- # ∶= - # + - #
Dalam arti bahwa keberadaan
untuk setiap dua integral ini menyiratkan
keberadaan integral ke tiga dan persamaan (8). Bukti :
Jika setiap dua bilangan m, , adalah sama maka memenuhi persamaan (8). Selanjutnya kita anggap, bahwa ketiga bilangan tersebut berbeda. Berdasarkan simetri, kami memperkenalkan istilah
,(m, , ) ∶= - # + - # + - #
Jelas bahwa (8) terpenuhi jika dan hanya jika ,(m, , ) = 0. Sedemikian hingga, untuk membentuk pernyataan , kita harus menunjukkan bahwa , = 0 untuk
kedelapan pernyataan permutasi m, dan .
Kita catat bahwa Teorema Penjumlahan 7.2.8. menunjukkan bahwa ,(m, , ) =
0 di mana m < < . Tapi dengan mudah dapat dilihat bahwa kedua ,(, , m) dan ,(, m, )sama dengan ,(m, , ). Sehingga bilangan
,(, m, ), ,(m, , ) dan ,(, , m) adalah sama dengan −,(m, , ). Sedemikian
hingga, , hilang untuk semua konfigurasi yang mungkin dari ketiga titik ini. 7.3 Teorema Dasar Teorema Dasar (Formula Pertama)
Pertama dari Teorema Fundamental menyediakan dasar teoritis untuk metode perhitungan yang integral yang pembaca pelajari dalam kalkulus. Hal ini menegaskan bahwa jika fungsi ƒ adalah turunan dari F fungsi dan jikaƒ milik .
R [a, b], maka
integral 0 sehingga P adalah setiap partisi dengan tag |P | < δε maka
(2)
.
| S (ƒ ; P) - 0 terdapat c < x < c + ηε (4)
ƒ (c) - ε < ƒ (x) < (c) + ε
Biarkan h memenuhi 0 < h < ηε.. The aditif Teorema 7.2.8 menunjukkan bahwa f adalah terintegrasikan pada interval [a, c], [a, c + h] and [c, c + h] dan bahwa s^
F (c + h ) – F (c) = 0 adalah sewenang-wenang, kita menyimpulkan bahwa batas tangan kanan diberikan oleh lim
( ^ ) – ()
= ƒ (c)
Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama bahwa tangan kiri batas bagi perbedaan ini juga sama f (c) ketika c ∈ [a, b], mana pernyataan berikut. QED Jika f kontinu pada semua [a, b], kami memperoleh hasil sebagai berikut
7.3.6 Teorema Jika f kontinu pada semua [a, b], maka F integral tidak terbatas, yang didefinisikan oleh (3) terdiferensialkan pada [a, b] dan F’(x) = ƒ (x) untuk semua x ∈ [a, b]. Teorema 7.3.6 dapat disimpulkan: Jika f kontinu pada semua [a, b], maka integral tak tentu adalah antiturunan dari f. Kita sekarang akan melihat bahwa, secara umum integral waktu yang tidak terbatas tidak perlu menjadi seorang antidervative (baik karena derivatif dari integral tak tentu tidak ada atau tidak sama f (x))
7.3.7 Contoh (a) jika ƒ (x) = sgn x pada [-1, 1] kemudian ƒ ∈ r [-1,1] dan memiliki F integral waktu yang tidak terbatas (x) = | x | - 1 dengan basepoint -1. Namun, karena F '(0) tidak ada, F bukan antiturunan dari f pada [-1, 1]
7.3.8 Teorema Substitusi Biarkan J = [α, β] dan membiarkan ϕ : J R memiliki turunan kontinu pada J. jika F: Saya à R kontinu pada suatu interval I yang mengandung ϕ (J), maka
(5)
Bukti Teorema ini didasarkan pada Aturan Rantai 6.1.6 dan akan garis besar dalam latihan 15. Hipotesis bahwa f dan ϕ’ adalah terus menerus membatasi, tetapi digunakan untuk memastikan keberadaan Riemann integral di sisi kiri (5)
7.3.9 Contoh
26 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
K £] √F
(a) Pertimbangkan integral 0 terdapat koleksi dapat dihitung {(ak, bk)}f T interval terbuka seperti yang
27 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
(6)
(b) jika Q (x) adalah pernyataan tentang titik x ∈ I saya, kita katakan bahwa Q (x) memegang hampir di mana-mana di I (atau untuk hampir setiap x ∈I), jika terdapat set null Z ⊂ I seperti bahwa Q (x) berlaku untuk semua x ∈ I \ z. dalam hal ini kita dapat menulis Q(x) for a. e. x ∈ I Hal ini sepele bahwa setiap subset dari himpunan null juga satu set null dan mudah untuk melihat bahwa persatuan dua set null adalah satu set null.
Kita sekarang akan
memberikan contoh yang mungkin sangat mengejutkan.
7.3.11 Contoh Q1 dari bilangan rasional dalam [0, 1] adalah satu set null. Kami menghitung Q
1
= [r
1,
r
2,
..]. diberikan ε > 0, diketahui bahwa interval
terbuka J1 = (r1 - ε / 4, r1 + ε / 4) mengandung r 1 dan memiliki panjang ε/2; juga interval terbuka J2 = (r2 - ε / 8, r2 +ε / 8) berisi r
2
dan memiliki panjang ε/ 4. Secara umum,
interval terbuka.
Berisi rk dan memiliki panjang ε/2k. Oleh karena itu, persatuan ini berisi interval
T terbuka setiap titik Q1, apalagi, jumlah panjang adalah ∑f T(¦/2 ) = ε. .Sejak ε > 0
adalah sewenang-wenang, Q 1 adalah satu set null. Argumen yang diberikan hanya dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa: setiap set dapat dihitung adalah satu set null. Namun, dapat ditunjukkan bahwa terdapat set null terhitung dalam R, misalnya, set penyanyi yang akan diperkenalkan di 11.1.10 definisi. Kita sekarang negara integrability kriteria's Lebesgue.
Hal ini menegaskan
bahwa fungsi dibatasi pada interval adalah integrable Riemann jika dan hanya jika poin atas diskontinuitas dari satu set null.
7.3.12 Lebesgue's integrability Kriteria.
28 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Fungsi dibatasi f : [a, b] R adalah integrable Riemann jika dan hanya jika terus menerus hampir setiap di mana-mana pada [a, b]. Sebuah bukti dari hasil ini akan diberikan pada Lampiran C. Namun, kami akan menerapkan Legesgue Teorema di sini untuk beberapa fungsi tertentu dan menunjukkan bahwa beberapa hasil sebelumnya kita mengikuti langsung dari itu. Kami juga akan menggunakan teorema ini untuk mendapatkan komposisi yang penting dan teorema produk.
7.3.13 Contoh (a) fungsi langkah g pada contoh 7.1.3 (b) kontinu di setiap titik kecuali titik x = 1. Oleh karena itu mengikuti dari Lebesgue Integrabilitiy Kriteria yang g Riemann integrable. Bahkan, karena setiap fungsi step memiliki paling banyak satu set hingga titiktitik diskontinuitas, maka: setiap fungsi step pada [a, b] adalah Riemann integrable. (b) karena terlihat di Teorema 5.5.4 bahwa himpunan titik diskontinuitas sebuah fungsi monoton adalah dihitung, kita menyimpulkan bahwa: Setiap fungsi monoton pada [a, b] adalah Riemann integrable. (c) Fungsi G pada contoh 7.1.3 (e) terputus tepatnya di titik-titik D = {1, ½, .. , 1/n}. karena ini adalah satu set dihitung, itu adalah satu set null dan Lebesgue's Kriteria menyiratkan bahwa G adalah Riemann integrable (d) Fungsi Dirichlet ditunjukkan pada contoh 7.2.2 (b) tidak menjadi Riemann integrable. Perhatikan bahwa terputus di setiap titik [0, 1]. Karena dapat ditunjukkan bahwa interval [0, 1] adalah bukan null set, Lebesgue's Kriteria menghasilkan kesimpulan yang sama. (e) Mari h: [0, 1] R fungsi Thomaes, yang didefinisikan pada contoh 5.1.4 (h) dan 7.1.6. kontinu di setiap bilangan rasional dalam [0, 1]. Dengan contoh 7.3.11, itu terputus pada satu set null, jadi Lebesgue's Kriteria menyiratkan itu fungsi Thomae adalah Riemann terintegrasikan pada [0,1] seperti yang kita lihat dalam contoh 7.1.6 Kita sekarang memperoleh hasil yang akan memungkinkan kita untuk mengambil kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann.
Komposisi Teorema 7.3.14 ƒ ∈ R [a, b] dengan ƒ [a, b] ⊆ [c, d] and let ϕ: [c, d] R terus menerus. Kemudian komposisi ϕ o ƒ milik R [a, b].
29 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)
Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya
Bukti. Jika f kontinu di titik point µ ∈[a, b], kemudian ϕ o ƒ juga kontinu di µ. Karena D titik diskontinuitas set f adalah satu set null.
Oleh karena itu, D1 ⊆ D titik
diskontinuitas ϕ o ƒ juga satu set null. Oleh karena itu komposisi ϕ o ƒ juga milik R [a, b]. Akan terlihat latihan 22 bahwa hipotesis yang ϕ kontinu tidak dapat dijatuhkan. Hasil berikutnya adalah akibat wajar dari teorema komposisi.
7.3.15 Corollary Misalkan ƒ ∈ R [a, b]. maka nya nilai absolut | f | adalah dalam R [a, b] dan
Dimana | f (x) |
