Bab 7 Marginal [PDF]

Citation preview

BAB



VII



7.1. KONSEP MARGINAL Biaya marginal (marginal cost atau MC) dalam ilmu ekonomi didefinisikan sebagai perubahan dalam biaya total (total cost atau TC) yang terjadi sebagai akibat dari produksi suatu unit tambahan. Pendapatan marginal (marginal revenue atau MR) didefinisikan sebagai perubahan dalam pendapatan total (total revenue atau TR) yang disebabkan oleh penjualan suatu barang tambahan. Karena baik biaya total maupun pendapatan total merupakan fungsi dari tingkat output (Q), maka biaya marginal dan pendapatan marginal masing-masing dapat dinyatakan secara matematis sebagai turunan dari fungsi total mereka masing-masing. Jadi, Jika TC = TC(Q), maka MC =



𝑑𝑇𝐶 𝑑𝑄



Dan jika TR = TR(Q), maka MR =



𝑑𝑇𝑅 𝑑𝑄



Pendeknya, konsep marginal dari setiap fungsi ekonomi dapat dinyatakan sebagai turunan dari fungsi totalnya. CONTOH 1. Jika TR = 75Q - 4Q2, maka MR = dTR/dQ = 75 – 8Q. Jika TC = Q2 + 7Q + 23, maka MC = dTC/dQ = 2Q + 7.



CONTOH 2. Dengan mengetahui fungsi permintaan P = 30 – 2Q, maka fungsi pendapatan marginal dapat diperoleh dengan mencari lebih dulu fungsi pendapatan total dan kemudian mengambil turunan dari fungsi pendapatan total dan kemudian mengambil turunan dari fungsi itu berkenaan dengan Q. jadi, TR = PQ = (30 – 2Q)Q = 30Q - 2Q2 Kemudian, MR =



𝑑𝑇𝑅 dQ



= 30 − 4Q



Maka Q = 4, MR = 30 – 4(4) = 14; jika Q = 5, MR = 30 – 4(5) = 10



7.2. MAKSIMISASI DAN MINIMISASI SUATU FUNGSI Untuk mencapai suatu maksimum atau minimum relative suatu fungsi harus berada pada suatu dataran (yaitu tidak menaik juga tidak menurun pada titik tersebut). Jika fungsi tidak menaik juga tidak menurun, maka turunan dari fungsi tersebut pada titik tersebut pasti nol. Karena itu syarat pertama, dan yang penting (necessary condition) untuk mencapai maksimum atau minimum relatif adalah bahwa turunan pertama sama dengan nol. Syarat kedua, dan yang mencukupi (sufficient condition) adalah bahwa turunan yhang kedua adalah negatif untuk maksimum relatif, dan positif untuk minimum relatif. Jadi,



Untuk suatu mksimum relatif



𝑑𝑦



:



Untuk suatu minimum relatif



𝑑𝑥



:



𝑑𝑦 𝑑𝑥



=0 =0



𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2



0



CONTOH 3. Turunan mengukur tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi. Pada titik-titik di mana turunannya adalah positif (seperti digambarkan oleh kemiringna positif dari garis singgung di A dan E dalam Gambar 4 – 1), fungsi tersebut menaik. Pada titik-titik di mana turunannya adalah negatif (seperti digambarkan oleh kemiringan negatif dari garis singgung di C dan F), fungsi tersebut menurun. Pada titik-titik di mana fungsi tersebut berada pada suatu maksimum relatif atau minimum relatif (B dan D), kemiringannya jelas sama dengan nol. Ini adalah syarat penting baik untuk maksimum relatif maupun minimum relatif. Untuk membedakan mereka secara matematis, diperlukan turunan kedua. y B A



C



E



F



D D x Gambar 4 - 1



CONTOH 4. Turunan kedua mengukur tingkat perubahan dalam fungsi marginal (seperti diberiakn oleh turunan



pertama). Jika turunan pertamanya nol, yang mununjukkan suatu kemiringan nol dan karena itu suatu dataran dalam fungsi, sedangkan turunan keduanya negatif, yang berarti bahwa fungsi tersebut bergerak turun dari dataran dan harus telah berada pada suatu maksimum relatif. Jika turunan pertamanya nol, dan turunan keduanya positif, berarti fungsi tersebut bergerak ke atas dari dataran dan dataran tersebut adalah suatu minimum relatif. Dengan mengingat bahwa turunan kedua yang positif dalam lingkungam (++) berarti kurva sedang bergerak ke atas dari dataran ( U ),dan turunan kedua yang negatif (- -) berarti kurva sedang bergerak ke bawah dari dataran ( ∩ ), suatu cara sederhana untuk mengingat kaidah tersebut adalah +



+



-



-



B A



(a)



Minimum



(b) Maksimum



Titik di mana turunan pertama sama dengan nol disebut nilai kritis (eritical value), nilai stasioner (stasioner value), atau nilai ekstrim (eritical value). Jika turunan kedua sama dengan nol tetapi turunan ketiganya tidak sama dengan nol, maka nilai kritis bukanlah maksimum juga bukan minimum, tetai sebuah titik belok (inflection point) dimana fungsi berubah laju perubahannya. Titik A pada Gambar 4-4 (a) adalah suatu titik belok.



CONTOH 5. 1



Diketahui TC = 31 + 24Q – 5, 5Q2 + Q3,untuk mencari 3



minimum relatif atau maksimum relatif bagi suatu fungsi biaya total. 1. Pertama, carilah nilai kritis dengan mengambil turunan fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol. 𝑑𝑇𝐶 = 24 − 11𝑄 + 𝑄 2 = 0 𝑑𝑄 (Q − 8)(Q − 3) = 0 Nilai-nilai kritisnya adalah



Q=8 , Q=3



2. Ambillah turunan kedua untuk melihat apakah pada nilai kritis, fungsi tersebut akan minimum atau maksimum 𝑑 2 𝑇𝐶 = −11 + 2𝑄 2 𝑑𝑄 Pada Q = 8,



Pada Q = 3,



𝑑 2 𝑇𝐶 = −11 + 2(8) = 5 > 0 2 𝑑𝑄 𝑑 2 𝑇𝐶 = −11 + 2(3) = −5 < 0 𝑑𝑄 2



Jadi pada Q = 8, TC berada pada suatu minimum relatif dan pada Q = 3,TC berada pada suatu maksimum relatif. TC = 31 + 24(8) + 5,5(8)2



Pada Q = 8, + (8)3 = 41,67 Pada Q = 3, + (3)3 = 62,5



TC = 31 + 24(3) + 5,5(3)2



3. Hitunglah fungsi semula pada Q = 8 untuk mencari minimum relatif, dan pada Q = 3 untuk mencar maksimum relatif. 7.3. ELASTISITAS HARGA Dalam ilmu ekonomi, elastisitas harga (price elasticity) mengukur persentase perubahan dalm kuantitas dihubungka dengan persentase perubahan dalam harga. Secara matematis. ∈=



𝑑𝑄/𝑄 𝑑𝑃/𝑃



Untuk memudahkan perhitungan matematis, elastisitas harga sering dinyatakan dalam bentuk lain : 𝑑𝑄/𝑑𝑃 ∈= 𝑄/𝑃 fungsi marginal = fungsi rata − rata 𝑑𝑄 P = 𝑑𝑃 Q



atau



∈



Terdapat elastisitas harga baik untuk penawaran maupun permintaan. Keduanya dikatakan elastic jika |∈| > 1, tidak elastic jika |∈| < 1, dan elastic sempurna (unitary elastic) jika |∈| = 1 CONTOH 6. Dengan mengetahui fungsi permintaan Qd = 650 – 5P – P2, di mana P = 10, maka elastisitas harga dari permintaan (price elasticity of demand) ditentukan seperti terlihat di bawah ini. Dengan menggunakan bentuk bertahap dari rumus : 𝑑𝑄 𝑃 ∈= 𝑑𝑃 𝑄 Pertama, cari turunannya



𝑑𝑄 𝑑𝑃



= −5 − 2P Kemudian substitusikan tingkat harga yang telah diketahui (P = 10) 𝑑𝑄 = −5 − 2(10) = −25 𝑑𝑃 Selanjutnya, carilah tingkat output (Q) apabila P = 10 Q = 650 − 5(10) − 102 = 500 Dengan substitusi nilai-nilai ini dalam rumus elastisitas, ∈ = −25 (



10 ) = −0,5 500



(Untuk elastisitas dari balikan jenis fungsi ini, dengan P sebagai fungsi dari Q menurut cara tradisional dalam ilmu ekonomi, lihat Soal 4.25). CONTOH 7. Karena ∈ = (dQ/dP)/(Q/P) = fungsi marginal/fungsi rata-rata, elastisitas penawaran dan permintaan dapat dihitung secara visual seperti dalam Gambar 4-2 dengan memprakirakan fungsi marginal dan fungsi rata-rata. Fungsi marginal diprakirakan dengan kemiringan garis singgung pada kurva; fungsi rata-rata diprakirakan dengan kemiringan garis lurus dari titik asal ke titik yang dikehendaki pada kurva. Q



Q



s



D A d O



B



C (a)



P



O



E



F (b)



P



Gambar 4-2 Untuk fungsi permintaan dalam Gambar 4-2 (a) : Kemiringan fungsi marginal pada titik A adalah – AB/BC. Kemiringan fungsi rata-rata pada titik A adalah AB/OB. Karena itu, −AB/BC AB OB OB ∈d = = − = − AB/OB BC AB BC



Untuk fungsi penawaran dalam Gambar 4-2 (b) : Kemiringan dari marginal pada titik D adalah DF/EF. Kemiringan fungsi rata-rata pada titik D adalah DF/OF. Karena itu, ∈s =



DF/EF DF OF OF = = DF/OF EF DF EF



Apabila Q = f(P), elastisitas harga permintaan (price elasticity of demand) |∈𝑑 | pada titik tertentu sama dengan jarak horizontal titik tersebut dari titik asal (OB) dibagi dengan jarak horizontal titik tersebut dari titik di mana garis singgung pada kurva permintaan memotong sumbu datar (BC). Elastisitas harga penawaran (price elasticity of supply) di titik tertentu, apabila Q = f(P), sama dengan jarak horizontal titik tersebut dari titik asal (OF) dibagi dengan jarak horizontal titik tersebut dari titik di mana garis singgung pada kurva penawaran memotong sumbu datar (EF). Untuk penyesuaian terhadap hubunganhubungan ini apabila P = f(Q) dan pengukuran elastisitas permintaan menurut penggal-penggal kurva permintaan itu sendiri, lihat Soal-soal 4.25-4.44. CONTOH 8. Dengan menggunakan teknik-teknik dari Contoh 7, elastisitas permintaan dan penawaran pada titik-titik yang ditunjukkan dalam Gambar 4-3 dihitung di bawah ini.



Elastisitas permintaan :Elastisitas penawaran : Di titik A,



OE 30 ∈d = − = − EF 50



= −0,6



OK ∈s = IK



Di titik C,



70 = = 1,4 50 Di titik B,



∈d = −



OG 100 = − GH 60



= −1,67



OL ∈s = JL



Di titik D,



120 = =2 60 Q (1000s) F G 16 H



16.000



14



14.000



12 10 8 6 4 2



O



Q



s



D



12.000



A F G H



10.000 8000



C



6000



B F GG



4000



d E F FH 20 40 60 80 100 120 140 160 H G H



2000



P



O



I 20



40



J



K



60



80 100 120 140 160



L



P



Gambar 4-3



7.4. HUBUNGAN ANTARA KONSEP TOTAL, MARGINAL DAN RATA-RATA Hubungan antara konsep total, marginal dan ratarata adalah sangat penting dan diperlihatkan dalam Gambar 4-4. Gambar 4.4 (a) menunjukkan kurva produk total (total product atau TP) untuk input x



dengan input y konstan. Gambar 4-4 (b) menunjukkan kurva produk marginal (marginal produst atau MP) dan produk rata-rata (average product atau AP) untuk x. kurva produk marginal dalam (b) berasal dari kurva produk total dalm (a). Karena MPx adalah perubahan dalam TP sehubungan dengan perubahan dalam x, maka MPx sama dengan kemiringan kurva TP (dTP/dx), yang dapat diprakirakan secara visual dari kemiringan garis singgung pada berbagai titik sepanjang kurva TP. Lima sifat dari hubungan antara TP dan MP perlu diperhatikan : 1. Kemiringan positif dari O ke C 1. MP positif (diatas sumbu x) dari O ke C 2. Kemiringan menjadi lebih curam dari O 2. MP naik dari O ke A dan memuncak di A ke A, suatu titik belok 3. Kemiringan menjdi kurang curam (tapi 3.MP menurun (meskipun tetap positif) tetap positif) dari A ke C.dari A ke C 4. Kemiringan sama dengan nol di C4.MP sama dengan nol di C 5. Kemiringan negatif di sebelah kanan C5.MP negatif di sebelah kanan C



Total Output C TP B



A



O



(a)



Input X



Output marginal dan rata-rata



A



B



AP C



O (b)



MP



Input X



Gambar 4-4



Produk rata-rata (AP) adalah produk total dibagi dengan x. ini diprakirakan dari grafik (a) oleh kemiringan garis lurus yang ditarik dari titik asal ke titik pada kurva TP, seperti di B, karena kemiringan garis yang dibuat dengan cara ini sama dengan nilai dari koordinat tegak dibagi dengan nilai koordinat datar, atau TP/x. Tiga sifat kurva AP harus diperhatikan. 1. Kemiringan suatu garis dari titik asal 1. AP menaik dari O) ke B dan mencapai



pada kurva TP menjadi lebih curam O maksimum di B. ke B, di mana ia merupakan garis Singgung pada TP. 2. Karena garis dari titik asal ke kurva TP 2. Di B, AP = MP. adalah garis singgung pada kurva TP di B, ia juga sama dengan kemiringan, atau MP. 3. Di sebelah kanan B, kemiringan garis 3. AP menurun setelah B, tapi tetap positif dari titik asal ke kurva TP menurun (di atas sumbu x). Tetapi masih tetap positif. Juga terdapat suatu hubungan penting antara fungsi marginal dan fungsi rata-rata. Pada Gambar 4-4 (b), perhatikan bahwa kurva MP terletak di atas kurva AP (MP > AP) di seluruh bidang di mana AP sedang menaik; MP = AP di mana kurva AP berada pada suatu maksimum; dan MP < AP apabila AP sedang menurun. Ini berlaku untuk semua hubungan marginal dan ratarata. CONTOH 9. Misalkan bahwa tinggi rata-rata dari sebuah regu basket adalah 6 kaki. Jika seorang anggota baru (marginal) yang tingginya 7 kaki menggabungkan diri, tinggi rata-rata dari regu naik. Jika anggota marginal tingginya tepat 6 kaki, tinggi rata-ratanya tetap sama, jika dia lebih rendah dari 6 kaki, tinggi rata-rata akan menurun.



SOAL DAN JAWABAN KONSEP MARGINAL, RATA-RATA DAN TOTAL 1. Carilah fungsi (1) marginal dan (2) rata-rata untuk setiap fungsi total berikut. Hitunglah fungsi tersebut pada Q = 3 dan Q = 5. (a) TC = 3Q2 + 7Q + 12 dTC dQ = 6Q + 7 TC 12 = = 3Q + 7 + Q Q



(1) MC =



(2) AC



Pada Q = 3, MC = 6(3) + 7 = 25 Pada Q = 3, AC 12 ( ) = 3 3 + 7+ = 20 3 Pada Q = 5, MC = 6(5) + 7 = 25 Pada Q 12 = 5, AC = 3(5) + 7 + = 24,4 5 Catatan : Apabila mencari fungsi rata-rata, jangan lupa membagi suku konstan dengan Q. (b)  = Q2 - 13Q + 78 dπ (1) MC = dQ = 2Q − 13 π 78 = = Q − 13 + Q Q



(2) Aπ



dπ = 2(3) − 13 dQ = −7 Pada Q = 3, Aπ 78 = 3 − 13 + = 16 3



Pada Q = 3,



dπ Pada Q = 5, = 2(5) − 13 dQ = −3 Pada Q = 5, Aπ 78 = 5 − 13 + = 7,6 5 (c) TR = 12Q – Q2 dTR (1) MR = dQ = 12 − 2Q TR = = 12 − Q Q



(2) AR



Pada Q = 3, MR = 12 − 2(3) = 6 = 3, AR = 12 − 3 = 9



Pada Q



Pada Q = 5, MR = 12 − 2(5) = 2 = 5, AR = 12 − 5 = 7



Pada Q



(d) TC = 35 + 5Q - 2Q2 + 2Q3 dTC (1) MC = dQ = 5 − 4Q + 6Q2 =



35 + 5 − 2Q + 2Q2 Q



(2) AC =



TC Q



Pada Q = 3, MC = 5 − 4(3) + 6(3)2 = 47 Pada Q 35 = 3, AC = + 5 − 2(3) + 2(3)2 = 28,67 3 Pada Q = 5, MC = 5 − 4(5) + 6(5)2 = 135 Pada Q 35 = 5, AC = + 5 − 2(5) + 2(5)2 = 52 5 4.2. Carilah fungsi-fungsi MR yang berhubungan dengan setiap fungsi penawaran berikut. Hitunglah fungsifungsi tersebut pada Q = 4 dan Q = 10 (a) P = Q2 + 2Q + 1 Untuk mencari fungsi MR, dengan mengetahui fungsi penawaran (atau permintaan) sederhana, tentukan dulu fungsi TR cari turunannya berkenaan dengan Q. TR = PQ = (Q2 + 2Q + 1)Q = Q3 + 2Q2 + Q dTR MR = = 3Q2 + 4Q + 1 dQ Pada Q = 4, MR = 3(4)2 + 4(4) + 1 = 65. Pada Q = 10, MR = 3(10)2 + 4(10) + 1 = 341. (b)



P = Q2 + 0,5 Q + 3



TR = PQ = (Q2 + 0,5 Q + 3)Q = Q3 + 0,5 Q2 + 3Q MR = 3Q2 + Q + 3 Pada Q = 4, MR = 3(4)2 + 4 + 3 = 55. MR = 3(10)2 + 10 + 3 = 313.



Pada Q = 10,



4.3. Carilah fungsi-fungsi MR yang berhubungan dengan setiap fungsi penawaran berikut. Hitunglah fungsifungsi tersebut pada Q = 4 dan Q = 10. (a) Q = -72 + 3P Apabila fungsi penawaran (atau permintaan) dinyatakan sebagai Q = f (P), carilah fungsi balikan (inverse) denagn menyelesaikan P = f (Q) kemudian lanjutkan seperti dalam Soal 4.2. 1



𝑃 = 𝑄 + 24 3



1 1 2 𝑇𝑅 = ( 𝑄 + 24) 𝑄 = Q + 24--𝑄 3 3 MR =



dTR 2 = Q + 24 dQ 3



2



2 3



2



3 2



3



3



Pada Q = 4, MR = (4) + 24 = 26 . Pada Q = 10, MR = (10) + 24 = 30 . (b) Q + 60 – 5 P = 0 P = 0,2 Q + 12 TR = (0,2 Q + 12)Q = 0,2 Q2 + 12 Q dTR MR = = 0,4 Q + 12 dQ Pada Q = 4, MR = 0,4 (4) + 12 = 13,6. MR = 0,4 (10) + 12 = 16.



Pada Q = 10,



4.4. Carilah fungsi MR untuk setiap fungsi-fungsi permintaan berikut dan hitunglah mereka pada Q = 4 dan Q = 10. (a) Q = 36 – 2P (b) 44 – 4P – Q = 0 P = 18 - 0,5Q P = 11 - 0,25Q TR = (18 – 0,5Q) Q = 18Q – 0,5Q2 TR = (11 – 0,25Q) Q = 11Q – 0,25Q2 MR = MR =



dTR dQ dTR dQ



= 18 − Q = 11 − 0,5Q



Pada Q = 4, MR = 18 - 4 = 14. = 11 – 0,5(4) = 9.



Pada Q = 4, MR



Pada Q = 10, MR = 18 - 10 = 8. MR = 11 – 0,5(10) = 6.



Pada Q = 10,



4.5 Untuk setiap fungsi konsumsi berikut, gunakan turunan untuk mencari kecenderungan marginal untuk mengonsumsi, MPC = dC/dY. (a) C = C0 + bY MPC =



dC dY



=b



(b) C = 1500 + 0,75Y MPC =



dC dY



= 0,75



4.6 Diketahui C = 1200 + 0,8 Yd, dimana Yd = Y – T dan T = 100. Gunakan turunan untuk mencari MPC. Apabila C = f (Yd), buatlah C = f(Y) sebelum mencari turunannya. Jadi, C = 1200 + 0,8(Y – 100) = 1120 + 0,8Y



dC MPC = = 0,8 dY Perhatikan bahwa pemasukan pajak lump-sump ke dalam mocel penentuan penghasilan tidak mempengaruhi nilai MPC (atau multiplier). 4.7 Diketahui C = 200 + 0,9 Yd, dimana Yd = Y – T dan T = 300 + 0,2Y. Gunakan turunan untuk mencari MPC-nya. C = 2000 + 0,89(Y – 300 – 0,2Y) = 2000 + 0,9Y – 270 – 0,18Y = 1730 + 0,72Y dC MPC = = 0,728 dY Pemasukan pajak proporsional ke dalam mocel penentuan penghasilan mempengaruhi nilai MPC dank arena itu mempengaruhi nilai multiplier. 4.8 Carilah fungsi biaya marginal untuk biaya rata-rata berikut. (a) AC = 1,5Q + 4 +



setiap fungsi



46 Q



Apabila diketahui fungsi biaya rata-rata, fungsi biaya marginal ditentukan dengan terlebih dahulu mencari fungsi biaya total dan kemudian mencari turunannya, sebagai berikut. 46 TC = AC(Q) = (1,5𝑄 + 4 + ) 𝑄 𝑄 = 1,5𝑄 2 + 4𝑄 + 46



dTC MC = = 3Q + 4 dQ (b)



AC =



160 Q



+ 5 - 3Q + 2Q2



160 TC = ( + 5 − 3𝑄 + 2𝑄 2 ) 𝑄 𝑄 = 160 + 5𝑄 − 3𝑄 2 + 2𝑄 3 dTC MC = = 5 − 6Q + 6Q2 dQ AC = −



(c) AC =



18 Q



18 Q



– 0,1 – 0,5Q = 0



+ 0,1 + 0,5Q



18 TC = ( + 0,1 + 0,5𝑄) 𝑄 = 18 + 0,1𝑄 + 0,5𝑄 2 𝑄 dTC MC = = 0,1 + Q dQ MENGOPTIMUMKAN FUNGSI VARIABEL TUNGGAL 4.9 Maksimumkan fungsi pendapatan total dan fungsi laba total, sebagai berikut : (1) Cari turunan pertama dan samakan dengan nol untuk mendapatkan nilai (nilai-nilai) kritis, (2) cari turunan kedua dan hitunglah turunan tersebut pada nilai kritis untuk melihat apakah fungsi tersebut berada pada minimum atau maksimum relatif dan (3) hitunglah fungsi asal pada nilai kritis yang dikehendaki.



TR = 32Q – Q2



(a)



𝑑TR



(1)



𝑑Q



= 32 – 2Q = 0



Q = 16 𝑑 2 TR



(2)



𝑑Q2



=



𝑑 𝑑Q



(32 – 2Q) = - 2 < 0



Q = 16 memberikan suatu maksimum relatif (3) TR = 32Q – Q2 = 32(16) – (16)2 = 256



𝜋 = - Q2 + 11Q – 24



(b) (1)



𝑑π



= -2Q + 11 = 0



𝑑Q



Q = 5,5 (2)



𝑑2 π



𝑑



𝑑Q



𝑑Q



2 =



(-2Q + 11) = -2 < 0



Q = 5,5 memberikan suatu maksimum relatif (3) 𝜋 = - Q2 + 11Q – 24 = - (5,5)2 + 11(5,5) – 24 = 6,25 (c) (1)



1



𝜋 = − 𝑄 3 + 8𝑄 2 − 39𝑄 − 50 3



𝑑𝜋 = −𝑄 2 + 16𝑄 − 39 = 0 𝑑𝑄 (−𝑄 + 13)(𝑄 − 3) = 0 𝑄 = 13



𝑄=3



(2)



𝑑2 𝜋 𝑑 (−𝑄 2 + 16𝑄 − 39) = 2 𝑑𝑄 𝑑𝑄 = −2𝑄 + 16



Pada Q = 13, d2/dQ2 = -2(13) + 16 = -10 < 0. Pada Q = 3, d2/dQ2 = -2(3) + 16 = -+10 > 0 Jadi Q = 13 memenuhi persyaratan turunan kedua yang disyaratkan untuk suatu maksimum; Q = 3 ditolak karena memberikan suatu minimum relatif. 1 (3) 𝜋 = − 𝑄 3 + 8𝑄 2 − 39𝑄 − 50 3 1 = − (13)3 + 8(13)2 − 39(13) − 50 3 = 62,67 (d)  = -Q3 + 48Q2 – 180Q – 800 (1)



𝑑𝜋 = −3𝑄 2 + 96𝑄 − 180 = 0 𝑑𝑄 (−3𝑄 + 6)(𝑄 − 30) = 0 𝑄=2



(2)



𝑄 = 30



𝑑2 𝜋 𝑑 2 ( = −3𝑄 + 96𝑄 − 180) 𝑑𝑄 2 𝑑𝑄 = −6𝑄 + 96



Pada Q = 2, d2/dQ2 = -6(2) + 96 = 84 > 0.



Pada Q = 30, d2/dQ2 = -6(30) + 96 = -84 < 0 Q = 30 memberikan suatu maksimum relatif (3) 𝜋 = −𝑄 3 + 48𝑄 2 − 180𝑄 − 800 = −27.000 + 43.200 − 5400 − 800 = 10.000 4.10 Minimumkan fungsi-fungsi biaya berikut, gunakan cara yang diterangkan dalam Soal 4.9 (a) AC = 200 - 24Q + Q2 𝑑𝐴𝐶 (1) = 2𝑄 − 24 = 0 𝑑𝑄 Q = 12 𝑑 2 𝐴𝐶 𝑑 (2) (2𝑄 − 24) = 2 > 0 = 𝑑𝑄 2 𝑑𝑄 Q = 12 memberikan suatu minimum relatif (3) AC = 200 – 24(12) + (12)2 = 56 1



(b) TC = Q3 - 4,5Q2 + 14Q + 22 3



(1) 𝑀𝐶 = 𝑄 2 − 9𝑄 + 14 = 0 (𝑄 − 7)(𝑄 − 2) = 0 𝑄=7



𝑄=2



𝑑 2 𝑇𝐶 𝑑 (2) (𝑄 2 − 9𝑄 + 14) = 2𝑄 − 9 = 2 𝑑𝑄 𝑑𝑄 Pada Q = 7, d2TC/dQ2 = 2(7) - 9 = 5 > 0. Pada Q = 2, d2TC/dQ2 = 2 (2) - 9 = -5 < 0



Q = 7 memberikan suatu minimum relatif 1 (3) 𝑇𝐶 = (7)3 − 4,5(7)2 + 14(7) + 22 3 = 13,83 1



(c) TC = Q3 - 8,5Q2 + 60Q + 27 3



(1) 𝑀𝐶 = 𝑄 2 − 17𝑄 + 60 = 0 (𝑄 − 5)(𝑄 − 12) = 0 𝑄=5



𝑄 = 12



𝑑 2 𝑇𝐶 𝑑 2 (2) ( = 𝑄 − 17𝑄 + 60) = 2𝑄 − 17 𝑑𝑄 2 𝑑𝑄 At Q = 5, d2TC/dQ2 = 2(5) - 17 = -7 < 0. At Q = 12, d2TC/dQ2 = 2 (12) - 17 = +7 < 0 Q = 12 memberikan suatu minimum relatif 1 (3) 𝑇𝐶 = (12)3 − 8,5(12)2 + 60(12) + 27 3 = 99 4.11 Diketahui fungsi permintaan suatu perusahaan Q – 90 + 2P = 0 dan fungsi biaya rata-ratanya AC = Q2 – 39,5Q + 120 + 125/Q, carilah tingkat output yang (a) memaksimumkan pendapatan total (b) meminimumkan biaya marginal dan (c) memaksimumkan laba. (a) Fungsi permintaan adalah Q = 90 + 2P = 0 Karena itu,



P = 45 – 0,5Q TR = PQ = (45 – 0,5Q)Q = 45Q – 0,5Q2 (4.1) Untuk memaksimumkan TR, 𝑑𝑇𝑅 = 45 − 𝑄 = 0 𝑄 = 45 𝑑𝑄 Pengujian syarat turunan tingkat kedua, d2TR/dQ2 = -1 < 0. Karena itu, pada Q = 45 TR adalah maksimum. (b) Dari fungsi biaya rata-rata AC = Q2 – 39,5Q + 120 + 125/Q, TC = AC(Q) = (Q2 – 39,5Q + 120 + 125/Q)Q = Q3 – 39,5Q + 120Q + 125 (4.2) 𝑑𝑇𝐶 𝑀𝐶 = = 3𝑄 2 − 79𝑄 + 120 𝑑𝑄 Biaya marginal adalah minimum di mana 𝑑𝑀𝐶 1 = 6𝑄 − 79 = 0 𝑄 = 13 𝑑𝑄 6 Pengujian syarat turunan kedua, d2MC/dQ2 = 6 > 0. 1



Karena itu, pada = 13 , MC berada pada minimum 6



relatif. (𝑐 )



𝜋 = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶



Dengan substitusi dari (4.1) dan (4.2),



 = 45Q – 0,5Q2 – (Q2 – 39,5Q2 + 120Q + 125 = -Q2 + 39Q2 – 75Q – 125 (4.3) Maksimisasi , 𝑑𝜋 = −3𝑄 2 + 78𝑄 − 75 = 0 𝑑𝑄 (−3Q + 3)(Q − 25) = 0 Q=1 Q = 25 Pengujian syarat turunan kedua, 𝑑2 𝜋 = −6𝑄 + 78 2 𝑑𝑄 d2 π Pada Q = 1, = −6(1) + 78 = 72 > 0 dQ 2 d2 π Pada Q = 4, = −6(4) + 78 = −72 < 0 dQ 2 Laba adalah maksimum pada Q = 25, di mana dari (4.3),  = – (25)Q3 + 39(25)2 – 75(25) – 125 = 6750 4.12 Sebuah perusahaan mempunyai fungsi permintaan 1



22 - 0,5Q - P = 0 dan fungsi biaya rata-rata AC = Q2 3



– 8,5Q + 50 + 90/Q. Carilah tingkat output yang memaksimumkan (a) pendapatan total dan (b) laba total. (a) Dengan fungsi permintaan 22 - 0,5Q - P = 0 P = 22 – 0,5Q TR = (22 – 0,5Q)Q = 22Q – 0,5Q2



TR adalah maksimum apabila, 𝑑𝑇𝑅 = 22 − 𝑄 = 0 𝑄 = 22 𝑑𝑄 Pengujian syarat turunan tingkat kedua, d2TR/dQ2 = -1 < 0. Karena itu, pada Q = 22 TR adalah maksimum. (b)  = TR – TC, di mana TR = 22Q – 0,5Q2 1



90



3



Q



TC = AC(Q) = ( Q2 − 8,5Q + 50 + 1 3



)Q =



Q3 − 8,5Q2 + 50Q + 90



Jadi, 1



𝜋 = 22𝑄 − 0,5𝑄 2 − ( Q3 − 8,5Q2 + 50Q + 3



1



90) = − Q3 + 8Q2 − 28Q − 90 3



Memaksimisasi , 𝑑 = −𝑄 2 + 16𝑄 − 28 = 0 𝑑𝑄 (-Q + 14)(Q - 2) = 0 Q = 14 Q=2 Pengujian syarat turunan kedua, 𝑑2  𝑑 (−𝑄 2 + 16𝑄 − 28) = −2𝑄 + 16 = 2 𝑑𝑄 𝑑𝑄 Pada Q = 14, d2/dQ2 = -2(14) + 16 = -12 < 0. Pada Q = 2, d2/dQ2 = -2(2) + 16 = 12 > 0. π adalah maksimum pada Q = 14, di mana π 1 = − (14)3 + 8(14)2 − 28(14) − 90 3 = 171,33



4.13 Seorang produsen mempunyai kemungkinan untuk melakukan diskriminasi antara pasar dalam negeri dan pasar luar negeri untuk suatu produk di mana permintaannya masing-masing adalah Q1 = 21 – 0,1 P1 (4.4) Q1 = 50 – 0,4 P2 (4.5) Biaya total = 2000 + 10Q di mana Q = Q1 + Q2. Berapa harga yang akan dikenakan produsen untuk memaksimumkan laba (a) dengan diskriminasi di antara pasar? (b) tanpa diskriminasi? (c) Bandingkan perbedaan laba antara dengan diskriminasi dan tanpa diskriminasi. (a) Untuk memaksimumkan laba berdasar harga diskriminasi, produsen akan menetapkan harga sedemikian rupa sehingga MC = MR dalam masing-masing pasar. Jadi, MC = MR1 = MR2. Dengan TC = 2000 + 10Q, maka 𝑑𝑇𝐶 𝑀𝐶 = = 10 𝑑𝑄 Karena itu MC akan sama pada semua tingkat output. Di pasar dalam negeri, Q1 = 21 – 0,1 P1 Karena itu, P1 = 210 – 10 Q1 𝑇𝑅1 = (210 − 10𝑄1 )𝑄1 = 210𝑄1 − 10𝑄12 dTR1 dan MR1 = = 210 − 20Q1 dQ1



Apabila MR1 = MC, 210 – 20Q1 = 10 Q1 = 10 Apabila Q1 = 10, P1 = 210 – 10(10) = 110 Di pasar luar negeri, Q2 = 50 – 0,4P2 Karena itu, P2 = 125 – 2,5 Q2 𝑇𝑅2 = (125 − 2,5𝑄2 )𝑄2 = 125𝑄2 − 2,5𝑄22 dTR 2 Jadi, MR 2 = = 125 − 5Q2 dQ2 Apabila MR2 = MC, 125 – 5Q2 = 10 Q2 = 23 Apabila Q2 = 23, P2 = 125 – 2,5(23) = 67,5 Produsen yang melakukan diskriminasi akan mengenakan harga yang lebih rendah pada pasar luar negeri di mana permintaan relatif lebih elastic, dan suatu harga yang lebih tinggi (P1 = 110) pada pasar dalam negeri di mana permintaan relatif kurang elastis. (b) Jika produsen tidak melakukan diskriminasi, maka P1 = P2 dan dua fungsi permintaan (4.4) serta (4.5) dapat secara mudah dijumlahkan. Jadi, Q = Q1 + Q2 = 21 – 0,1P + 50 – 0,4P = 71 – 0,5P Karena itu, P = 142 – 2Q TR = (142 – 2Q)Q = 142Q – 2Q2 dTR Dan MR = = 142 − 42Q dQ Apabila MR = MC, 142 – 4Q = 10 Q = 33 Apabila Q = 33, P = 142 – 2(33) = 76 Jika tidak ada diskriminasi, harga akan turun pada suatu titik di antara harga pasar dalam negeri yang relatif tinggi dan harga pasar luar negeri yang relatif



rendah. Akan tetapi, perhatikan bahwa kuantitas yang dijual tetap sama : Q1 = 10, Q2 = 23, Q = 33 (c) Dengan diskriminasi, TR = TR1 + TR2 = P1Q1 + P2Q2 = 110(10) + 67,5(23) = 2652,50 TC = 2000 + 10Q, di mana Q = Q1 + Q2 TC = 2000 + 10(10 + 23) = 2330 Jadi,  = TR – TC = 2652,50 – 2330 = 322,50 Tanpa diskriminasi, TR = PQ = 76(33) = 2508 TR = 2330, karena biaya tidak berubah dengan atau tanpa diskriminasi, Jadi,  = 2508 – 2330 = 178. Laba akan lebih tinggi dengan diskriminasi (322,50) ketimbang tanpa diskriminasi. 4.14 Dihadapkan dengan dua fungsi permintaan yang berbeda Q1 = 24 – 0,2P1



Q2 = 10 – 0,05P2



Dimana TC = 35 + 40Q, berapakah perusahaan akan mengenakan harga (a) dengan diskriminasi dan (b) tanpa diskriminasi ?. (a) Dengan Q1 = 24 – 0,2 P1 P1 = 120 – 5Q1 TR1 = (120 – 5Q1)Q1 = 120 Q1 – 5𝑄12 MR1 = 120 - 10 Q1 Perusahaan akan memaksimumkan laba dimana MC = MR1 = MR2 TC = 35 + 40 Q MC = 40



Apabila MC = MR1 40 = 120 – 10 Q1 Q1= 8 Apabila Q1 = 8 P1 = 120 – 5 (8) = 80 Dalam pasar kedua, dengan Q2 = 10 – 0,5 Q2 P2 = 200- 20 Q2 TR1 = (200 = – 20Q2)Q2 = 200 Q2 – 20𝑄22 MR2 = 200 - 40 Q2 Apabila MC = MR2, Apabila Q2 = 4,



40 = 200 – 40 Q2 Q2= 4 P2 = 200 – 20(4) = 120



(b) Jika produsen tidak melakukan diskriminasi, maka P1 = P2 = P dan dua fungsi permintaan tersebut dapat digabungkan sebagai berikut. Q = Q1 + Q2 = 24 – 0,2P + 10 – 0,05P = 34– 0,25P Jadi, P = 136 - 4Q TR = (136 – 4Q)Q = 136Q – 4Q2 MR = 136 - 8Q Pada tingkat pemaksimuman laba, MC = MR 40 = 136 – 8 Q Q= 12 Pada Q = 12 P = 136 – 4(12) = 88 Untuk pembahasan lebih terinci tentang diskriminasi harus, lihat Soal 12.19 sampai 12.22



4.15.



Buktikan bahwa pendapatan total mencapai



maksimum untuk fungsi permintaan linear, P = a – bQ, pada titik dimana Q = a/2b TR = PQ Untuk fungsi permintaan linear yang khas : TR = (a – bQ)Q = aQ – bQ2 Agar TR berada pada suatu maksimum, (1) (2)



𝑑𝑇𝑅 𝑑𝑄



= 𝑀𝑅 = 𝑎 − 2𝑏𝑄 = 0



𝑑 2 𝑇𝐶 𝑑𝑄2



=



𝑑 𝑑𝑄



(𝑎 − 2𝑏𝑄 ) = −2𝑏 < 0



Pada Q = a/2b, fungsi tersebut berada pada makisimum relatif. Ini memberikan suatu metode yang mudah dan lebih singkat untuk menentukan titik pendapatan maksimum untuk fungsi permintaan linear yang khas. 4.16. Gunakan metode singkat yang diperoleh dalam Soal 4.15 untuk menentukan titik dimana pendapatan total akan maksimum untuk setiap fungsi permintaan linear berikut. Cek jawaban ke bagian (a). (a) P = 24 -3Q Suatu fungsi permintaan linear akan menghasilkan fungsi permintaan total yang akan mensapai maksimum pada tingkat output (Q) sama dengan titik potong dengan sumbu tegak (a) dibagi dengan dua kali nilai absolut dari kemiringan.



Q=



𝑎 2𝑏



=



24 2(3)



=4



Pengecekan, P = 24 - 3Q TR = PQ = (24 - 3Q)Q = 24Q – 3Q2 𝑑𝑇 𝑑𝑄



= 24 − 6𝑄 = 0



Pengujian syarat turunan kedua,



Q=4



d2TR/dQ2 = - 6