BAB II Relasi Antar Unsur Ruang PDF [PDF]

Citation preview

BAB II Relasi AntarUnsur-unsur Ruang Mathematics possesses not only truth, but supreme beauty Bertrand Russel



Tujuan Mendeskripsikan relasi Antarunsur Ruang



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[9]



A. Pengantar Unsur-unsur ruang adalah titik, garis, dan bidang. Garis dan bidang merupakan himpunan titik-titik, sedangkan ruang dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik. Apa bila tidak ada penjelasan khusus, penyebutan garis dimaksudkan untuk garis lurus dan bidang untuk bidang datar. Berikut ini diuraikan relasi antarunsrur-unsur ruang tersebut. B. Relasi Titik dengan Garis Suatu titik dapat terletak atau di luar suatu garis. Pada Gambar berikut, titik P terletak pada garis g, sedangkan Q di luar garis g. P  P



Gambar 2.1 Titik terletak di garis dan di luar garis C. Relasi Titik dan Bidang Suatu titik dapat terletak di suatu bidang atau di luar bidang. Pada gambar berikut, titik P terletak di bidang K dan titik Q di luar bidang K.



P



Q



K



Gambar 2.2 Titik di Bidang dan di Luar Bidang D. Relasi Garis dan Bidang Suatu garis dapat terletak, sejajar, berpotongan dengan suatu bidang. Garis g dikatakan terletak di bidang K apabila seluruh titik pada garis g



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[10]



terletak di bidang K. Garis g dikatakan berpotongan dengan bidang K apabila garis dan bidang tersebut memiliki tepat satu titik potong. Garis g dikatakan sejajar dengan bidang K apabila keduanya tidak memiliki titik potong atau titik persekutuan.



g



g K



K



g



K



Gambar 2.3 Relasi Garis dan Bidang E. Relasi Dua Bidang Dua bidang dapat berimpit, berpotongan, atau sejajar. Dua bidang K dan L dikakatan berimpit apabila seluruh titik-titik di himpunan K terletak di bidang L. Dua bidang K dan L dikatakan sejajar apabila dua bidang tersebut tidak memiliki titik potong. Dua bidang K dan L dikatakan berpotongan apabila apabila kedua garis tersebut memiliki tepat satu garis sekutu. Garis sekutu tersebut disebut juga garis potong, ditulis (K, L). Dengan demikian, garis (K, L) merupakan himpunan semua titik yang terletak bidang K dan bidang L.



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[11]



L



(K, L) K



K L



jGambar 2.4 Relasi Dua Bidang F. Relasi Dua Garis Dua garis dapat berimpit, sejajar, berpotongan, atau bersilangan. Dua garis disebut berimpit apabila semua titik di salah satu garis juga terletak pada garis yang lain. Dua garis g dan h dikatakan berpotongan apabila memiliki tepat satu titik potong. Titik potong tersebut dinotasikan (g, h). Dua garis g dan h dikatakan sejajar apabila keduanya terletak pada satu bidang dan tidak memiliki titik potong. Dua garis g dan h dikatakan bersilangan apabila keduanya tidak terletak pada satu bidang.



g



h g



g



h



h



Gambar 2.5 Relasi Dua Garis



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[12]



E. Garis Tegak Lurus Bidang Definisi 2.1 Garis g dikatakan tegak lurus bidang K apabila garis g tegak lurus dengan semua garis yang terletak di bidang K. Sifat/Teorema 2.1 Jika garis g tegak lurus dengan dua garis berpotongan yang terletak di bidang K, maka garis g tegak lurus dengan semua garis yang terletak di bidang K. Dengan kata lain, Jika garis g tegak lurus dengan dua garis berpotongan yang terletak di bidang K, maka garis g tegak lurus dengan bidang K.



g



g



p



a b K



d



c



K



q



Gambar 2.6 Garis Tegak Lurus Bidang Pada gambar di atas, garis g tegak pada bidang K. Garis-garis a, b,c, dan d terletak pada bidang K, maka g  a, g  b, g  c, dan g  d. Sedangkan jika garis g masing-masing tegak lurus dengan p dan q, sedangkan p dan q terletak di bidang K, maka garis g tegak lurus pada bidang K. Dengan demikian, untuk suatu garis tegak lurus terhadap suatu bidang, cukup ditunjukkan, garis itu masing-masing tegak lurus dengan dua garis berpotongan yang terletak di bidang K.



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[13]



F. Proyeksi Titik dan Garis pada Bidang Definisi 2.2 Proyeksi titik P ke bidang K adalah titik kaki garis tegak lurus yang ditarik dari titik P ke bidang K. Perhatikan gambar berikut. P



P’ H



Gambar 2.7 Proyeksi Titik pada Bidang Keterangan 



H disebut bidang proyeksi







P disebut titik yang diproyeksikan







P’ adalah proyeksi titik P







Ruas garis PP ' disebut garis proyeksi



Karena garis proyeksinya tegak lurus terhadap bidang K, maka proyeksi ini disebut proyeksi orthogonal, yang selanjutnya disebut proyeksi saja. G. Proyeksi Garis pada Bidang Setiap bangun geometri dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik. Oleh karena itu, proyeksi suatu bangun geometri dapat dipandang sebagai proyeksi semua titik dari bangun geometri tersebut. Meski demikian,pada kenyatannya,kita tidak perlu memproyeksi semua titik di bagun geometri tersebut, melainkan cukup memproyeksikan beberapa titik saja. Misalnya,proyeksi suatu garis dapat ditentukan dengan memproyeksi sembarang dua titik pada garis tersebut.



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[14]



A g



B



A’ g’



K



B’



K



Gambar 2.8 Proyeksi Garis pada Bidang Untuk



memproyeksikan



ruas



garis



AB cukup



dengan



memproyeksikan titik-titik ujungnya, A dan B saja, yaitu berturut-turut A’ dan B’. Selanjtnya dengan menghubungkan titik-titik A’ dan B’ diperoleh hasil proyeksi ruas garis AB , yaitu A' B' . Dapat dipahami bahwa jika ruas garis AB letaknya tegak lurus dengan bidang proyeksi, maka proyeksinya berupa sebuah titik. Latihan 2 1. Sebutkan kesamaan dan perbedaan “dua garis sejajar” dan “dua garis bersilangan”. 2. Jelaskan perbedaan antara antara: a.



Titik dan titik sudut



b. Garis dan garis bilangan c.



Bidang dan bidang kartesius



d. Ruang dan ruangan 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH a.



Sebutkan tiga pasang garis yang sepasang-pasang bersilangan



b. Apakah yang dimaksud dengan dua titik sudut berhadapan? Berikan dua contoh



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[15]



c.



Apakah yang dimaksud dengan dua rusuk berhadapan? Berikan dua contoh.



d. Apa yang dimaksud dengan dua sisi berhadapan? Berikan dua contoh e.



Apa yang dimaksud dengan diagonal sisi? Berikan contoh



f.



Apakah yang dimaksud dengan diagonal ruang? Berikan contoh



g. Apakah yang dimaksud dengan bidang diagonal? Berikan contoh 4. Lukis kubus ABCD dengan rusuk 6 cm. Bidang alas ABCD horizontal dan bidang sisi tegak ABFE frontal. Sebutkan: a.



garis-garis yang letaknya frontal, tetapi tidak horizontal



b. garis-garis yang letaknya horizontal, tetapi tidak frontal c.



garis-garis vertical yang tidak frontal



5. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tunjukkan bahwa a.



BD tegak lurus bidang ACGE



b. BD tegak lurus CE 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tunjukkan bahwa a.



AG tegak lurus BD



b. AC tegak lurus BH 7. Diketahui pada limas T.ABC, tiga rusuk yang bertemu di titik A saling tegak lurus. Tunjukkan bahwa a.



TA tegak lurus BC



b. AC tegak lurus BT 8. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan proyeksi a.



Titik G pada bidang ADHE



b. Titik H pada bidang ABFE c.



CD pada bidang ABCD



d. EC pada bidang BCGF e.



AC pada bidang EFGH



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[16]



9. Pada kubus ABCD.EFGH a.



Lukis proyeksi EF pada bidang ACGE



b. Lukis proyeksi AF pada bidang AEGC 10. Bagaimana kedudukan dua garis p dan q agar proyeksinya pada bidang K berupa garis lurus? 11. Bagaimana kedudukan dua garis a dan b agar proyeksinya pada bidang K berupa dua titik? 12. Lukis proyeksi segitiga ABC pada bidang K jika A, B, dan C terletak di atas bidang K. Kemudian lukis proyeksi titik berat segitiga ABC pada bidang K. Jika Zadalah titik berat segitiga ABC, sedangkan A’, B’, C’, dan Z’ berturut-turut adalah proyeksi A, B, C, dan Z pada bidang K, tunjukkan bahwa ZZ’ =



1  AA' BB 'CC ' 3



BAB II Relasi Antarunsur Ruang



[17]