Bab Persamaan Bernoulli (Mekanika Fluida [PDF]

Citation preview

SOAL DAN PENYELESAIN BAB PERSAMAAN BERNOULLI 1. Air mengalir melalui pipa dengan diameter mengecil secara berangsur-angsur dari 15 cm menjadi 10 cm. kecepatan aliran pada tampang pipa dengan diameter besar adalah 1,5 m/d. Hitung debit aliran. Hitung pula kecepatan aliran pada tampang dengan diameter kecil. Penyelesaian : Debit aliran dihitung berdasarkan karakteristik aliran di tampang A yang sudah diketahui, yaitu : Q



= AA V A = =



π D V 4 A A 2



π x 0.152 x 1,5 = 0.0265 m3/d. 4



Untuk menghitung kecepatan aliran di B digunakan persamaan kontinuitas : Q



= AA V A = AB V B



0.0265 =



π x 0.12 x V B 4



V B = 3.375 m/d



2. Air mengalir melalui pipa 1 dengan diameter 15 cm yang kemudian bercabang menjadi dua pipa yaitu pipa 2 dan 3, yang masing masing berdiameter 10 cm dan 5 cm. Kecepatan di pipa 2 adalah 0,5 kali kecepatan di pipa 1. Hitung debit aliran kecepatan maksimum disemua pipa tidak boleh lebih dari 3 m/d. Penyelesaian : Kecepatan aliran di pipa 2 terhadap pipa 1 : V2 = 0,5V1 Kecepatan terbesar terjadi di pipa 3, yang nilai maksimumnya adalah 3 m/d. Debit aliran maksimum adalah :



Q3 = A3 V3



=



π x 0,052 x 3 4



= 0,0059 m3/d = 5,9 l/d Debit aliran di pipa 1 dihitung dengan persamaan kontinuitas di titik cabang dan persamaan (1) : Q1 = Q2 + Q3 A1 V1 = A2 V2 + A3 V3 π π x 0,152 xV 1= x 0,12 x 0,5 V 1+ 0,0059 4 4 0,01767V1=0,00392 V2 + 0,0059 V1 = 0,429 m/d Debit aliran : Q1 = A1 V1



=



π x 0,152 x 0,429 4



= 0,0076 m3/d Kecepatan aliran melalui pipa 2 dihitung dengan rumus (1) : V2 = 0,5V1 = 0,5 . 0,429 = 0,215 m/d Debit aliran melalui pipa 2 : Q2 = A2 V2 =



π x 0,12 x 0,215 = 0,0017 m3/d 4



3. Hitung energi total air yang mengalir melalui pipa dengan tekanan 2 kgf/cm2 dan kecepatan 6 m/d sumbu pipa berada pada 10 m di atas garis refrensi. Penyelesaian : Z = 10 m P = 2 kgf/cm2 = 20.000 kgf/m2



Titik Tekanan : h=



p p. g



h=



20000 =2,04 1000.9,81



Tinggi Kecepatan : V2 62 = =1,84 2. g 2.9,81 p V2 H=Z + + =10+2,04+1,84 p . g 2. g H=13,88 m 4. Pipa horizontal dengan panjang 50 m mempunyai diameter yang mengecil dari 50 cm menjadi 25 cm. Debit aliran adalah 0,05 m3/d. Tekanan pada pipa dengan diameter besar adalah 100 kPa. Hitung tekanan pada tampang dengan diameter kecil. Penyelesaian : Debit aliran : Q = 0,05 m3 Id Tekanan di tampang A : PA = 100 k Pa = 100.000 N/m2 Luas tampang pipa di A : AA =



π π DA2 = = x 0,52 = 0,196 m2 4 4



Luas tarnpang pipa di B AB =



π π DB2 = x 0,252 = 0,049 m2 4 4



Kecepatan aliran di tampang A : VA =



Q 0,05 =0,225 m/d = AA 0,196



Kecepatan aliran di tampang B : V B =



Q 0,05 =1,02 m/d = AA 0,149



Persamaan Bernoulli pada tampang A dan B apabila kehilangan tenaga diabaikan :



zA +



PA VA 2 PB VB 2 + =zB+ + γ 2g γ 2g



Karena pipa horizontal maka zA = zB, sehingga : −100000 0,2252 PB 1,022 + = + 9,81 x 1000 2 x 9,81 9,81 x 1000 2 x 9,81



PB =10,144 m ρg



PB = 10,144 x 1000 x 9,81 = 99,513 N/m2 = 99,513 kPa



5. Air mengalir melalui pipa horizontal sepanjang 100 m dan mempunyai diameter yang mengecil dari 20 cm menjadi 10 c. perbedaan tekanan pada kedua ujung pipa adalah 1kgf/cm2. Hitung debit aliran Penyelesaian:



Perbedaan Tekanan pada kedua ujung pipa A dan B : ∆ p=p A− p B = 1 kgf/cm2 = 10000 kgf/cm2 Tinggi tekanan : ∆ p p A p B 10000 = − = =10 m γ γ γ 1000 Persamaan Bernoulli antara tampang A dan B untuk kehilangan tenaga diabaikan : p A V 2A p B V 2B z A + + =z B + + γ 2g γ 2g Untuk pipa horisontal ( z A= z B) persamaan tersebut ditulis dalam bentuk :



p A p B V 2B V 2A − = − γ γ 2g 2 g 10=



V 2B−V 2A 2 2 → 10x2x9.81 = V B −V A 2g



V 2B −V 2A =196,2



(1)



Persamaan kontinuitas : Q A =Q B →



π 2 π D V = D2 V 4 A A 4 B B



2



2 DB 0,1 V A= V B= V B=0,25V B DA 0,2



[ ] [ ]



V A =0,25 V B



(2)



Substitusi persamaan (2) ke dalam persamaan (1) V 2B −0,0625 V 2B → V B=14,47 m/d Debit aliran : π Q= A B V B = D 2B V B 4 ¿



π x 0,12 x 14,47 4



= 0,1136 m3/d = 113,6 t/d 6. Pipa dengan diameter mengecil dari 10 cm di A menjadi 5 cm di B. Titik A adalah 5 m diatas titk B. Titik A adalah 5 m di atas titik B. Kecepatan aliran di A adalah 2 m/d. Hitung tekanan di B apabila tekanan di A adalah 100 k Pa. Penyelesaian : Tekanan di titik A:



PA



= 100 k Pa = 100.000 N/m2



Persamaan kontinuitas : AAVA



= ABVB π π D A2 V A= D B 2 V B 4 4 2



2 DA 0,05 V B= V A= x 2=0,5 m/d DB 0,1



[ ] [ ]



Persamaan Bernoulli antara tampang A dan B : z A+ 5+



PA V A2 PB V B2 + =z B + + γ 2g γ 2g



PB 100000 22 0,5 2 + =0+ + 9,81 x 1000 2 x 9,81 9,81 x 1000 2 x 9,81



PB = 150925 N/m2 = 150,925 k Pa 7. Air mengalir melalui pipa sepanjang 100 m dan diameter 10 cm dari ttik A menuju titik B. Koefisian gesekan f = 0,015. Perbedaan tekanan di titik A dan B adalah 1 kgf /cm2. Hitung debit aliran. Penyelesaian : Koefisian gesekan : f = 0,015 Perbedaan Bernoulli antara titik A dan B : ∆ p=1 kgf /cm2 ¿ 10.000 kgf /m2



D = 0,1 m



V



Persamaan Bernoulli antara titik A dan B :



100 m



ZA +



pA V A2 p B V B2 + =Z B + + +h f γ 2g γ 2g



Karena pipa horizontal ( Z A =Z B ¿ dan kecepatan aliran di sepanjang pipa adalah sama, V A =V B , maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi :



hf=



p A −p B ∆ p = γ γ



Dengan menggunakan rumus kehilangan tenaga karena gesekan maka persamaan diatas menjadi : f



L V2 ∆ p = D 2g γ



0,015



100 V 2 10000 = 0,1 2.9,81 1000



V =3,617



m d



Debit aliran = π m3 l 2 Q= A V = x 0,1 x 3,617=0,0284 =28,4 4 d t 8. Air mengalir dari kolam A menuju kolam B melalui pipa sepanjang 100 m dan diameter 10 cm. Perbedaan elevasi muka air kedua kolam adalah 5 m. Koefisien gesekan pada pipa f = 0.015 ; sedang koefisien kehilangan tenaga karena perbedaan penampang pada sambungan antara pipa dan kolam A dan B adalah kA = 0.5 dan kB = 1. Hitung debit aliran. Penyelesaian :



Dipandang titik A dan B yang mempunyai tinggi elevasi sama. Persamaan Bernoulli pada kedua titik tersebut : zA +



p A V 2A p B V 2B + =¿zB + + + he A +hf + he B γ 2g γ 2g



Karena zA = zB dan VA = VB = 0 (tampang aliran di A dan B sangat besar), maka persamaan di ataas dapat ditulis menjadi : p A pB − =he A +h f +he B γ γ 5 = kA



V2 L V2 V2 +f +¿kB 2g D 2g 2g



5 = 0.5



5 = 16.5



V2 100 V 2 V2 +0.015 + ¿1.0 2g 0.1 2 g 2g V2  V = 2.438 m/d 2g



Debit aliran : Q=A.V=



π m3 2 . 0.1 . 2.438=0.0192 =19.2 l/d 4 d



9. Saluran pipa digunakan untuk mengalirkan minyak dengan rapat relatif 0,8 dan pipa tersebut berubah ukuran dari 25 cm di tampang P menjadi 60 cm pada tampang Q. Tampang P berada 4,0 m di bawah tampang Q dan tekanannya berturut-turut adalah 1,0 kgf/cm2 dan 0,7 kgf/cm2. Apabila debit aliran adalah 0,2 m3/d, hitung kehilangan tenaga dan arah aliran. Penyelesaian : Rapat relatif : S=



γ ZC =0,8 γ air



→ γ ZC=800 kgf /m3



Tekanan di P : ρP=1,0 kgf /cm2 ¿ 10.000 kgf /m2 Tekanan di Q : ρQ=0,7



kgf =7.000 kgf /m 2 2 cm



Debit aliran : Q=0,2m 3 /d Kecepatan aliran di P :



Vp=



Q 0,2 = =4,074 m/d A π 2 ×0,25 4



Q 0,2 Vq= = =0,707 m/d A π Kecepatan aliran di Q : 2 ×0,6 4 Persamaan Bernoulli untuk titik P dan Q : ρP Vp2 PQ Vq2 zp+ + =ZQ+ +hf γ 2g γ 2g 0+



10.000 4,0742 7000 0,7072 + =4+ + +hf 800 2 ×9,81 800 2 ×9,81



13,346=12,775+ hf →hf =0,57 m Karena hf bertanda positif berarti arah aliran adalah dari P ke Q dan besarnya kehilangan tenaga adalah hf =0,57 m. 10. Pipa CD sepanjang 30 m disambungkan pada saliran pipa dengan membentuk sudut 60 ° terhadap horizontal. Di C yang elevasinya lebih tinggi, diameter pipa adalah 15 cm. Di yang diameternya 30 cm tekanannya adalah 4,5 kgf /cm 2



dan



kecepatannya



adalah



D



2,5 m/d . Kehilangan tenaga diabaikan. Hitung tekanan di C. Apabila air mengalir dari elevasi rendah ke elevasi yang tinggi dan kehilangan tenaga karena gesekan adalah 4 m air, hitung perbedaan tekanan di C dan D. Penyelesaian : a. Menghitung tekanan di C : Kecepatan aliran di D : V D=2,5 m/d Tekanan di D : PD=4,5 kgf /cm2 ¿ 45.000 kgf /m2 Kecepatan aliran di C dihitung dengan menggunakan persamaan kontinuitas : AC V C = A D V D →



π π D c2 V C = ¿ ¿ 4 4



V C =¿ Tekanan di C dihitung berdasar persamaan Bernouli : ZC+



PC + ¿¿ ¿ γ



PC PD =( ZD −ZC ) + +¿¿¿ γ γ ¿−25,98+



2 45.000 (2,5 ¿ ¿ ¿ ¿ 2−10 ) + =14,24 m¿ ¿ 1.000 2× 9,81



PC=14,24 ×1.000=14.240 kgf /m 2=14.240 kgf /c m2 b. Menghitung perbedaan tekanan di D dan C jika air mengalir dari D ke C dan h f =4. Persamaan Bernoulli untuk aliran di D dan C :



ZC+



PC + ¿¿ ¿ γ



25,98+



PC 102 PD 2,52 + +4=0+ + γ 2 ×9,81 γ 2 ×9,81



PD −PC =34,758 m γ PD−PC =34,758× 10.000=34.758 kgf /m2=3,476 kgf /c m2 11. Pipa vertikal AB mengalirkan air. Diameter A dan B adalah 10 cm dan 5 cm. Titik B berada 4 m di bawah A dan apabila debit aliran ke arah bawah adalah 0,013 m 3 /d , tekanan di B adalah 0,14 kgf /cm2 lebih besar dari tekanan di A. Dianggap bahwa kehilangan tenaga antara A dan B dapat diberikan oleh bentuk k V 2 A /2 g dimana V A adalah kecepatan di A. Hitung koefisien k. Penyelesaian: Tekanan di B terhadap tekanan di A : pB=( pA+0,14)kgf /cm2 ¿(10.000 pA+1400) kgf /m 2 Debit Aliran : Q=0,013 m3 /d Rumus kehilangan tenaga : k AB =k Kecepatan aliran di A : V A=



Q 0,013 = =1,655 m/d AA π × 0,12 4



Kecepatan aliran di B : V B=



Q 0,013 = =6,621 m/d AB π 2 ×0,05 4



VA 2g



2



Persamaan Bernoulli antara tampang A dan B : z A+



PA V A P V + =z B + B + B +hf γ 2g γ 2g 2



2



4+



P A 1,6552 10.000 P A +1.400 6,6212 1,6552 + =0+ + +k γ 2 ×9,81 γ 2× 9,81 2 ×9,81



4−



1400 1,6552 −6,6212 1,6552 + =k 1000 2× 9,81 2 ×9,81



0,50527=0,1396 k → k=3,619 12. Pipa vertikal AB dengan elevasi tampang A lebih tinggi dari tampang B digunakan untuk mengalirkan air. Diameter tampang A adalah 10 cm dan kemudian berangsur-angsur mengecil sehingga diameter di tampang B adalah 5 cm. Pada tampang A dan B dipasang alat pengukur tekanan. Apabila debit aliran menuju ke atas adalah 1,0 m3 tiap menit,perbedaan tekanan A dan B adalah 0,3 kgf/cm2. Dianggap bahwa kehilangan tenaga karena gesekan merupakan fungsi dari kuadrat kecepatan. Tentukan debit aliran apabila tidak ada perbedaan tekanan pada kedua alat pengukur tekanan dan air mengalir ke bawah. Penyelesaian : Dalam soal ini hitungan dilakukan dalam dua tahap. Dalam kondisi pertama (aliran ke atas sebesar Q = 1,0 m3/menit dan Δp = 0,3kgf/cm2) digunakan untuk menghitung koefisien kehilangan tenaga. Setelah koefisien k ketemu dan dengan kondisi kedua (Δp = O dan aliran ke bawah), kemudian dihitung debit aliran. a. Mencari koefisien kehilangan tenaga. Debit aliran : QB− A=1,0 m3 /d=0,0167 m 3 / d Perbedaan telanan antara tampang A dan B : pB − p A =0,3 kgf /cm 2=3000 kgf /cm2 Kecepatan aliran di A :



V A=



Q 0,0167 = =2,126 m/d AA π 2 x 0,1 4



Kecepatan aliran di B V B=



0,0167 =8,505 m/d π x 0,052 4



Kehilangan tenaga karena gesekan untuk pengaliran dari A ke B : hf =k



V rt (1) 2g 2



dengan : V rt =



V A + V B 2.126+8,505 = =5,316 m/ d 2 2



sehingga persamaan (1) menjadi : hf =k



V rt 5,3162 =k =1,44 k (2) 2g 2 x 9,81 2



Persamaan Bernoulli antara tampang A dan B : z A+



PA V A P V + =z B + B + B +hf γ 2g γ 2g 2



hf =( z ¿ ¿ A−z B)+ hf =−2+



2



PB P A V B V A − + − ¿ γ γ 2g 2 g 2



2



3000 5,5052 2,1262 + − =4,456 m 1000 2 x 9,81 2 x 9,81



Dari persamaan (2) didapat dan nilai hf di atas didapat nilai k : hf = 1,44 k = 4,456  k = 3,094 b. Mencari debit aliran pada kondisi tidak ada perbedaan tekanan antara kedua titik (PA = PB) dan aliran ke bawah Persamaan Bernoulli untuk titik A dan B : z A+



PA V A P V + =z B + B + B +hf γ 2g γ 2g 2



Mengingat VB = 4VA maka : V rt = persamaan di atas menjadi :



2



V A+ V B V A+ 4 V A = =2,5 V A . sehingga 2 2



VA 16 V A (2,5 V A )2 2+ =0+ + 3,094 , V A=1,069 m/d 2g 2g 2 x 9,81 2



2



Debit aliran : Q= A A V A=



π x 0,12 x 1,069=0,00839 m 3 /d=0,504 m 3 /d 4



13. Venturimeter horizontal dengan diameter pipa masuk dan leher adalah 16 cm dan 8 cm digunakan untuk mengukur aliran minyak dengan rapat relative 0,8. Debit aliran adalah 0,05 m3/d apabila koefisien dari venturimeter adalah satu, tentukan perbedaan elevasi permukaan air raksa di dalam manometer Penyelesaian : Debit aliran : Q = 0,05 m3/d Pada manometer diferensial, tekanan di P dan Q adalah



sama



sehingga



dalam



kondisi



kesetimbangan terdapat hubungan : p1 + γ1 (y + h) = p2 + y γ1 + h γ2 p1 + γ1h = = p2 + γ2 h p1 p2 γ 2 +h= + h γ1 γ1 γ1 γ 2−γ 1 p 1− p2 =h γ1 γ1



(



=h



)



( 13,6−0,5 0,5 )



= 26,2 h Persamaan Bernoulli antara titik 1 dan 2 (pipa horizontal) p 1 V 12 p2 V 22 + = + γ1 2g γ1 2 g



Persamaan kontinuitas : V 1=



Q Q dan V 2= A1 A2



Subtitusikan kedua nilai kecepatan tersebut ke dalam persamaan Bernoulli : p1 p2 p2 p Q2 Q2 Q2 Q2 + = + − = – 1 => 2 2 2 2 γ 1 2 g A1 γ 1 2 g A 2 2 g A1 2 g A 2 γ 1 γ 1 Q2 (



p2− p1 p2 − p1 2 g A 1 2 A 2 2 1 1 2 − )= ( 2 ) =>Q = γ1 γ1 2 g A12 2 g A 22 A 1 − A 22



Q 2=



p2− p1 2 g A 22 ( 2 ) p 2 − p1 γ1 ¿) A2 = γ1 −1 2 A1



Q = A 2 √2 g ¿¿ A 22 D24 D2 Dengan : m = 2 = 4 = D1 A 1 D1



4



( )



Dengan memasukan koefisien venturimeter C maka persamaan di atas menjadi : Q = C A 2 √2 g ¿¿ Dengan memasukan nilai-nilai yang telah diketahui ke dalam persamaan di atas, maka : π x 0,08 2 x √2 x 9,81 4 0,05 = √2 0,08 (1−( ) ¿ ¿ 4 ) (26,2 h)√ 2 ¿ 0,16 0,98 x



h = 0,188 m 14. Venturimeter mempunyai diameter 100 cm pada pipa masuk dan 60 cm pada leher melewatkan air. Perbedaan tekanan antara pipa dan leher diukur dengan manometer berisi air raksa yang menunjukkan perbedaan permukaan sebesar 5 cm. Hitung debit melalui venturimeter dan kecepatan pada leher. Koefisien alat adalah 0,98.



Penyelesaian:



Rumus debit aliran melalui pipa yang diukur dengan venturimeter telah diturunkan dalam soal 13. Luas tampang pipa masuk : A1=



π 2 π D 1= ×12 =0,785 m2 4 4



Luas tampang leher venturimeter : A2=



π 2 π D 2= × 0,62=0,283 m 2 4 4



Perbedaan tinggi tekanan pada manometer diferensial (persamaan 1 dalam soal 13) : p 1 − p2 γ 2−γ 1 13,6−1 =h =h =12,6 h γ1 γ1 1



(



) (



)



12,6 ×0,5=0,63 m Debit aliran (dihitung dengan rumus 2 dalam soal 12) : Q=



C A2√2 g D 1− 2 D1



4



( ( ))



1 p1− p2 12 0,98 ×0,283 × √2 ×9,81 × = ( 0,63 ) 2 =1,045 m3 /s 1 1 4 γ 0,6 2 2 1− 1,0



(



)



Kecepatan pada leher : V 2=



Q 1,219 = =4,307 m/ s A2 0,283



( ( ))