BAB V PD Simultan [PDF]

Citation preview

BAB V PERSAMAAN DIFERENSIAL SIMULTAN I. Pendahuluan I.1. Diskripsi Bab V ini membahas persamaan diferensial simultan, yang akan diselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial operator. Walaupun dalam bab ini sudah disajikan contoh-contoh penyelesaian untuk membekali mahasiswa, akan lebih baik jika mahasiswa sudah memahami bab-bab sebelumnya yang menjadi dasar dari bab ini. Sebagai penutup, disajikan soal-soal latihan yang dapat diselesaikan oleh mahasiswa untuk meningkatkan pemahaman.



I.2. Manfaat/ Relevansi Persamaan diferensial simultan



seringkali dijumpai dalam persoalan Teknik Kimia,



misalnya adalah persamaan matematis yang disusun dari peristiwa perpindahan panas, perpindahan massa atau peristiwa lainnya. Untuk menyelesaikan persamaan ini harus memahami konsep dan metode penyelasaiannya. Sehingga dengan mempelajari bab ini akan membantu mahasiswa dalam menyelesaikan persoalan-persoalan Teknik Kimia yang berbentuk persamaan diferensial simultan.



I.3. Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Setelah membaca dan mempelajari Bab V ini, mahasiswa



mampu menyelesaikan



persamaan diferensial simultan.



1.4. Petunjuk Mempelajari a. Baca dan pahami semua yang ada dalam bab ini dengan hati-hati, teliti dan tidak perlu tergesa-gesa, ambillah waktu secukupnya. b. Tingkatkan pemahaman dengan menambah bahan bacaan lain yang relevan. c. Diskusi dengan teman untuk meningkatkan pemahaman. d. Berlatih dengan tekun untuk meningkatkan pemahaman. e. Jika ada kesulitan, bertanya dengan dosen atau narasumber lain yang relevan.



107



II. Penyajian II.1. Pendahuluan Suatu sistem persamaan dari fungsi-fungsi dan derivatif-derivatifnya dengan perubah bebas yang sama disebut sistem persamaan diferensial simultan. Contoh : 1. Y"  Y  6Z'  X



2Y'  Z"  5Z  4 Bentuk tersebut merupakan sistem persamaan diferensial dari fungsi Y dan Z dengan perubah bebas X. 2. Y"  Z"  W  1



Z"  W"  Y  X W"  Y"  Y  X 2



Bentuk tersebut merupakan sistem persamaan diferensial simultan yang terdiri dari tiga persamaan diferensial.



II.2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Simultan Menggunakan Diferensial Operator Tinjau sistem persamaan diferensial simultan dengan tiga fungsi yang belum diketahui dalam bentuk operator



P1 D x  Q1 D y  R 1 D z  f1 t 



P2 D x  Q 2 D y  R 2 D z  f 2 t 



P3 D x  Q 3 D y  R 3 D z  f 3 t 



dimana : D 



...............................................(1)



d dt



Persamaan (1) merupakan tiga persamaan dari fungsi-fungsi x, y, dan z yang belum diketahui dengan perubah bebas t. Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan (1), diambil metode Cramer dalam teori determinan yaitu :



f1 t  Q1 D  R1 D  f t  Q D  R D  2 2 2 f 3 t  Q3 D  R 3 D  x D 



   



...............................................(2)



108



P1 D  f1 t  R1 D  P D  f t  R D  2 2  2 P3 D  f 3 t  R 3 D  y D  P1 D  R1 D  P D  R D  2  2 P D  R 3 D  z  3 D 



P1 D D  P2 D P3 D



   



...............................................(3)



f1 t   f 2 t   f 3 t  



...............................................(4)



Q1 D



Q2 D



Q3 D



R1 D  R 2 D  R 3 D 



...............................................(5)



dan D  0 Dari persamaan (2), (3) dan (4) diperoleh persamaan-persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan dari tiap-tiap fungsi dengan perubah bebas t. Sehingga penyelesaian tiap-tiap persamaan diferensial dapat diketahui.



Contoh : 1. Tentukan penyelesaian umum sistem persamaan diferensial berikut :



dx dy x y0 dt dt dx dy  yt dt dt Penyelesaian : Sistem persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk operator, yaitu :



D  1 x  D  1 y  0 D x   D  1y  t Menentukan x :



D  1 0 t  D  1  D  1 t 1 t t 1 x     2 2 2 D  1 D  1 D  1 D  1  DD  1  D  1  D  D 2D  D  1 D  D  1   Persamaan diferensial liniernya adalah :



109



2D



2







 D 1 x  t 1



2D  1D  1x  t  1 Diperoleh : x c  C1e t / 2  C 2 e  t



t 1 2D  D  1 t 1   2 2 2D  D  1 2D  D  1 xp 



2



2D 2  D  1



1 D 1  2D 2  D  1  2D 2  D  2D 3  D 2  D  2D 3  3D 2



x p   1  Dt 



1   t 1 1   t  2 2D  D  1 2



Maka diperoleh : x  x c  x p  C1 e t / 2  C 2 e  t  t  2



Menentukan y :



0 D  1  D t  D  1 t 1 t t 1 Se y     2 2 D  1 D  1 D  1 D  1  DD  1  D  1  D  D  2D 2  D  1 D  D  1   hingga diperoleh :



 2D  D  1y  t  1  2D  1D  1y  t  1 2D  1D  1y   t  1 Diperoleh :



y c  C1e t / 2  C 2 e  t



yp 



 t 1 t 1     1  D t   1  t  2 2 2 2 2D  D  1 2D  D  1 2D  D  1



y  y c  y p  C1 e t / 2  C 2 e  t  t  2



Sehingga penyelesaian umum persamaan diferensial simultan tersebut adalah : x  x c  x p  C1 e t / 2  C 2 e  t  t  2 y  y c  y p  C1 e t / 2  C 2 e  t  t  2



110



2. Tentukan penyelesaian umum sistem persamaan diferensial berikut :



D  2x  3y  0 3x  D  2 y  2e 2 t Penyelesaian : Menentukan x :



3 0  2t  2e D  2  6e 2 t  6e 2 t  x   3  D  22  9 D 2  4D  5 D  2 3 D  2  Persamaan diferensial liniernya adalah :



D



2







 4D  5 x   6e 2 t



D  5D  1x   6e 2 t Diperoleh :



x c  C1e 5t  C 2 e t  6e 2 t  6e 2 t 6 xp     e 2t D  5D  1 2  52  1 7 Maka diperoleh :



x  x c  x p  C1e 5t  C 2 e t 



6 2t e 7



Menentukan y :



0  D  2   3 2e 2 t  D  22e 2 t 8e 2 t  y  2  2 3  D  4D  5 D  4D  5 D  2 3  D  2  Persamaan diferensial liniernya adalah :



D



2







 4D  5 x  8e 2 t



D  5D  1x  8e 2 t Diperoleh :



y c  C1e 5t  C 2 e t



111



yp 



8e 2 t  6e 2 t 8   e 2t D  5D  1 2  52  1 7



y  y c  y p  C1e 5 t  C 2 e t 



8 2t e 7



Sehingga penyelesaian umum persamaan diferensial simultan tersebut adalah :



x  x c  x p  C1e 5t  C 2 e t 



6 2t e 7



y  y c  y p  C1e 5 t  C 2 e t 



8 2t e 7



3. Tentukan penyelesaian umum sistem persamaan diferensial berikut :



D  3y  2 D  2z  2 sin x 2D  1y  D  1 z  cos x Penyelesaian : Menentukan y :



2 sin x cos x y  D  3 2D  1  y



2D  2 D  1  2D  1sin x  2D  2 cos x  2 cos x   2D  2 D  3D  1  4D  1D  2  3D 2  16D  5 D  1 



2 cos x 2 cos x  3D  16D  5 3D  1 D  5 2



Persamaan diferensial liniernya adalah :



3D  1D  5y  2 cos x Diperoleh :



y c  C1e  t / 3  C 2 e 5t yp 







2 cos x 2 cos x 2 cos x cos x 8D  1 cos x     3D  16D  5  3  16D  5 16D  2 8D  1 64D 2  1 2



 8 sin x  cos x 1  8 sin x  cos x   64  1 65



Maka diperoleh :



y  y c  y p  C1e t / 3  C 2 e 5 t 



1 8 sin x  cos x  65



112



Menentukan z :



 D3 2D  1 z  D  3 2D  1 



2 sin x  cos x  D  3cos x  4D  1sin x   5 sin x  7 cos x  2D  2 D  3D  1  4D  1D  2  3D 2  16D  5 D  1 



5 sin x  7 cos x 3D  1 D  5



z



Persamaan diferensial liniernya adalah :



3D  1D  5z  5 sin x  7 cos x Diperoleh :



z c  C1e  t / 3  C 2 e 5t zp 



5 sin x 7 cos x 5 sin x 7 cos x    2  3  16D  5  3  16D  5 3D  16D  5 3D  16D  5







2



5 sin x 7 cos x 16D  2 5 sin x  7 cos x    16D  2 16D  2 256 D 2  4



16D  2 5 sin x  7 cos x    1 16D5 sin x  7 cos x   25 sin x  7 cos x   256  4 260 1 165 cos x  7 sin x   25 sin x  7 cos x   260







 zp  



1 80 cos x  112 sin x  25 sin x  7 cos x 260 1 33 cos x  61sin x  1 61sin x  33 cos x 130 130



Maka diperoleh :



z  z c  z p  C1e t / 3  C 2 e 5 t 



1 61sin x  33 cos x 130



Sehingga penyelesaian umum persamaan diferensial simultan tersebut adalah :



y  y c  y p  C1e t / 3  C 2 e 5 t  z  z c  z p  C1e t / 3  C 2 e 5 t 



1 8 sin x  cos x  65 1 61sin x  33 cos x 130



113



III. Penutup III.1. Rangkuman Penyelesaian persamaan diferensial simultan dapat dilakukan dengan diferensial operator yaitu :



P1 D x  Q1 D y  R 1 D z  f1 t 



P2 D x  Q 2 D y  R 2 D z  f 2 t 



P3 D x  Q 3 D y  R 3 D z  f 3 t 



Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah :



f1 t  Q1 D  R1 D  f t  Q D  R D  2 2 2 f t  Q3 D  R 3 D  x 3 D 



   



P1 D  f1 t  R1 D  P D  f t  R D  2 2  2 P3 D  f 3 t  R 3 D  y D 



   



P1 D  R1 D  P D  R D  2  2 P D  R 3 D  z  3 D 



P1 D D  P2 D P3 D



Q1 D



Q2 D



Q3 D



f1 t   f 2 t   f 3 t  



R1 D  R 2 D  R 3 D 



dan D  0



114



III.2. Test Mandiri Selesaikan persamaan diferensial simultan berikut dengan fungsi operator : 1.



D  1x  Dy  2t  1 2D  1x  2Dy  t



2.



D  1x  D  3y  e  t  1 2D  1x  D  1y  e 2 t  t



3.



4.



Dx  D  1y   e t x  D  1y  e 2 t



D  1y



 2D  7 z  e x  2



 2 y  D  3z  e x  1



D 5.



2







 16 y  6Dz  0











6Dy  D 2  16 z  0



6.



D D



7.



D  5y  D  4z  e  x D  2y  D  1z  3



2 2



  1z



 4 y  z  sin 2 x  2 y  cos2 x



D  5y  D  3z  e  t D  2y  D  1z  3 D  1y  D  9z  x 9. D  2y  2D  9z  4 2D  3y  D  4z   cos x 10. D  1y  D  2z  2 sin x 8.



IV. Pustaka 1. Ayres, F.Jr, Ault, J.C., Lily Ratna, 1999, “Persamaan Differensial”, Erlangga, Jakarta. 2. Wardiman, 1981, “Persamaaan Differensial, Teori dan Contoh-contoh Penyelesaian Soal”, Citra Offset, Yogyakarta



115