Bab7 LIMIT FUNGS1 [PDF]

Citation preview

BAB 7 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga 2. Menggunakan sifat limit untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri A. Pengertian Limit Fungsi 1. Limit f(x) untuk x  c x2 x 2 Tinjau sebuah fungsi f(x) = , apakah fungsi f tersebut sama dengan x1 fungsi g(x) = x -2 ? Daerah asal dari fungsi g adalah semua bilangan real, sedangkan daerah asal fungsi f adalah bilangan real tetapi x ≠ 1. Dengan demikian g(x) ≠ f(x) sebab daerah asal dan daerah hasilnya tidak sama. Nilai fungsi g untuk x = 1 adalah g(1) = 1 -2 = -1, sedangkan nilai f untuk x = 1 tidak terdefinisi sebab f(1) = merupakan bentuk tak tentu. Pertanyaan selanjutnya, apakah untuk x sekitar 1 nilai f itu ada? Dengan menggunakan kalkulator, coba kita cari nilai-nilai f untuk nilai-nilai x yang dekat dengan 1, seperti 0,9, 0,95, 0,99 juga 1,1, 1,05, dan 1,01 seperti terlihat dalam tabel 7.1. Tabel 7.1



1



x2 x 2



x



x1 0,9 0,95 0,99 1



2,9 2,95 2,99 Tidak terdefinisi 3,01 3,05 3,1



1,01 1,05 1,1



Gambar 7.1



Ternyata nilai f untuk sekitar x = 1 mendekati 3 baik untuk didekati dari kiri (bilangan kurang dari 1) maupun dari kanan (bilangan lebih dari 1). Nilai f (x) untuk x sekitar 1 disebut nilai limit f(x) untuk x menuju 1 ditulis x2  x  2 lim f (x)  lim



=3



x 1 Nilai atau bilangan real x sekitar 1 maksudnya bilangan-bilangan x yang selisihnya dengan 1 sangat kecil (mendekati 0). x1



x1



x Sekarang perhatikan g(x) = untuk x = 0 jelas nilai g tak terdefinisi. Sekarang x kita cari nilai-nilai g untuk x sekitar 0 baik dari sebelah kiri 0 atau sebelah kanan 0.



y



Tabel 7.2 x



-0,1 -0,01 -0,001 1 0,00 0,01 0,1



x x -1 -1 -1 Tidak terdefinisi 1 1 1



0



Gambar 7..2. Dari sebelah kiri 0 nilai g adalah -1, sedangkan untuk nilai sebelah kanan 0 adalah x 1. Nilai g untuk x sekitar 0 berbeda, bila demikian lim tidak ada x0 x Tugas 1 Apabila ada, carilah nilai limit berikut ini. 1. lim3



2



x



x1



2. lim 2x x2



3. lim 4x 6 x2



4. limx2 x2 5. limx3 x3



lim x 4



6. x  5



7..



2



x  x  6 lim x x1



x 3



8. lim x3



x1 9. Periksa apakah limada! x1 x1  x2,x  0 10. Perhatikan grafik fungsi f berikut ini, dengan f(x) =  x 1,x  0 y 4 2



-4



-2



0



2



4



x



-2 -4



Gambar 7. 3 Apakah lim f (x) ada? Berikan alasan! x0



2. Limit Fungsi di Takhingga dan Limit Fungsi Bernilai Takhingga 1



3



Perhatikan fungsi f(x) =



,x≠0 x



Gambar 7.4 Untuk nilai-nilai x > 0, ternyata nilai f makin kecil mendekati 0, tetapi tidak menyentuh 0



Tabel 6.3 x



x



1



1



x



x



x0 … … 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,5 1 2 4 10 20 50 100 1.000 10.000 … …



?



x 0



?



10000 1000 100 10 2 1 0,5 0,25 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 0,0001



-0,0001 -0,001 -0,01 -0,1 -0,5 -1 -2 -4 -10 -20 -50 -100 -1.000 -10.000 … …



-100 -10 -2 -1 -0,5 -0,25 -0,1 -0,05 -0,02 -0,01 -0,001 -0,0001



x 



?



x  -



?



4



Berdasarkan Gambar 7. 4 dan Tabel 7.3, dapat disimpulkan untuk x   maka 1 1 nilai f(x) =  0, demikian pula x  - nilai f(x) =  0. x x Dengan demikian dapat ditetapkan 1 1 (1) lim 0 (2) lim 0 x x x x 1



1 (4) lim



lim   



(3) x0



x



x0



x



(1) dan (2) adalah nilai limit fungsi di takhingga, sedangkan (3) dan (4) disebut limit fungsi bernilai takhingga (  atau -). 1 1 Dari fakta lim 0 dapat diturunkan bahwa untuk k bilangan asli lim k 0 x x x x Bukti: 1 1k limx



xk  limx( x) k











1 k 0 lim( )  0   x x  Contoh 7.1 2x2 Tentukan nilai



limx 2



1



x



Jawab: 2x2 Grafik f(x) = x2 1 terlihat seperti pada Gambar 6.5. Untuk menghitung nilai limit tersebut, bagilah pembilang dan penyebut oleh x2,



5



2x2 2x222 x



2



2



1 lim x2 limx1 12 = 1 0 = 2 x



1 = limx x  = 



Gambar 6.5 Contoh 7.2 1 Periksa apakah nilai limx1



(x 2 ada ? 1)



Jawab: Grafik dari f(x) =



terlihat seperti pada Gambar 6.6



Gambar 6.6 Bila x  -1-, maka (x + 1)2  0+, dan 



1



(x 1)2 = ,



6



lim







1



x



Bila x  -1+, maka (x + 1)2  0+, dan



lim



1







2



= . x1



(x1)



1 Karena nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan maka limx1 (ada)



2



=



(x1)



Contoh 7.3 1 Periksa apakah nilai lim ada ? x1 x 1 Jawab: 1 Grafik dari f(x) = terlihat seperti pada Gambar 6.7 x 1



Gambar 6.7 1



Bila x  1-, maka (x - 1)  0-, dan lim x1



 1+, maka (x - 1)  0+, dan lim



1



= - ,



x 1 Bila x



= .



x1



x 1 1



Karena nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, maka lim x 1



7



tidak x1



ada. Latihan 2 Periksa apakah nilai limit berikut ada ? 1. lim



x



2. xlim



3



x



1 2x



xx232



x23x  2 3. lim x2



x



 2



(x  1)3



4. limx1 x2 5.



limx



2







(x 2)2



B. Sifat-sifat Limit Fungsi Bila n bilangan asli, k suatu konstanta, serta f dan g fungsi yang memiliki limit di x = c, maka (1) limk  k (2) lim x  c x c (3) limkf ( x ) k lim f ( x ) (4) lim[ f ( x ) g( x )]  lim f ( x )lim g( x ) (5) lim[ f ( x ) g( x )]  lim f ( x )lim g( x ) (6) lim f ( x ).g( x )]  lim f ( x ).lim g( x ) xc xc



xc



xc



xc



xc



xc



xc



xc



xc



(7) lim



xc



f(x)



g( x )



xc



 limxc f ( x ) ,lim g( x ) 0 xc lim g( x ) xc (8) lim[ f( x)]n 



[lim f( x)]n (9) limn f ( x )  n lim f ( x ) xc



8



xc



xc



xc



xc



Contoh 7.4 Tentukan lim 4x2 x3 Jawab: 2 lim 4x = 4 x3x3x



4 [lim x]2 = 4 [3]2 = 36



lim x2 =



3



(3) (8) Contoh 7.5 Tentukan lim(2x3 4x)



(2)



x2



Jawab: lim(2x3 4x) = lim 2x3 lim 4x= 2lim x3 4lim x = 2(lim x)3 4lim x x2x2



(5) = 2.(2) – 4.2 = 8



x2x2



x2x2



(3)



(8)



3



(2)



Contoh 7.6  x2



Tentukan lim 10 x1 2x Jawab:



9



x2



(9)



10  x lim x 1 2x



2



lim 10  x = x 1 lim 2x x 1



2



=







(7)



(5)



lim 10  x x 1



2







2 lim x x 1



=



lim 10  lim x x 1 x 1 







( 3)



2







2.1



(2)



(1)



=



1 1 2 10  ( lim x) = 10 1 = 4,5 x 1 2 2



(8)



(2)



Teorema Subsitusi Ingat kembali fungsi sukubanyak f yang memiliki bentuk f (x)  anxn  an1xn1 ...  a1x  a0 Juga fungsi rasional dengan pembilang dan penyebutnya berupa fungsi sukubanyak dengan bentuk f (x)  bamnxxmn abnm11xxnm11......ab11xxab00



Jika f suatu fungsi sukubanyak atau fungsi rasional, maka lim f ( x )  f (c ) xc



Untuk f fungsi rasional syaratnya adalah nilai fungsi penyebut tidak nol untuk x = c. Contoh 7.7 Hitunglah lim(2x2 3) x2 Jawab: Karena f(x) = 2x3 – 3 adalah suatu fungsi sukubanyak, maka lim 2x2 3 = f(2) = 2.22 -3 = 5 x2



10



Contoh 7.8 7x33x2x2 x 5x10 40



Carilah limx2 Jawab:



7x3  x2 5x  4010 1 3x2  x 10



limx2



= f(2) =



3.2  210  4  2 2



Contoh 7.9 x2



x2



Carilah lim x2 Karena untuk x = 2 nilai fungsi pembilang dan penyebut sama dengan 0, maka Teorema Subsitusi tidak berlaku. Bentuk 0/0 disebut bentuk tak tentu, dan untuk mencari nilai limitnya dilakukan penyederhanaan aljabar dengan faktorisasi seperti berikut. x2



x2  x  2 lim



(x  2)(x 1) = lim



= lim(x1)= 3



2 x2 x x2 x2 Pembilang dan penyebut dapat dibagi (x-2) sebab untuk x  2 , x -2 ≠ 0 2



x



Contoh 7.10 2x2  3x 10 Carilah



limx x2 5x  2



Jawab: 3



x22



10



lim 2x2  3x 10 2  x  x2 pembilang dan penyebut dibagi x2. = lim x x2 5x  2 x 1 5x 



Berdasarkan teorema utama limit diperoleh 3 10 1 1



11



x



lim 2  



x



lim



2



x



lim



23



x



lim



x 10



x



0



x2  2  0   2



= x



1 5x  x22



limx15limx 1x  x x1 1 0  0 2lim 2



Contoh 7.11 Carilah lim 2x 3



1



x



x2



Jawab: 1 



2 2x 1 x = 2  0 = 2 lim = lim



x



3



x2  3 x 1 x 2 1 Pembilang dan penyebut dibagi x dan ingat di dalam tanda akar harus dibagi x2, karena x = x2 Contoh 7.12 2



2



Carilah xlim ( 2 x  3x  2 x  5 )   Jawab: 2



2



lim ( 2 x  3x  2 x  5 ) =



x  



2



2



2 x  3x  2 x  5 = 2 2 2 x  3x  2 x  5 2 2 ( 2 x  3x )  ( 2 x  5) 3x  5 )= = xlim ( lim ( 2 2 2 2 x     2 x  3x  2 x  5 2 x  3x  2 x  5 2



2



lim ( 2 x  3x  2 x  5 )  x  



5 lim x



3 5 2  2 2 x x



)=



3 ( x 3 0 = 3  3 2 2 0  2 0 2 2 4



12



Latihan 3 Carilah nilai limit berikut ini. 1. lim 3x 5



1



 4y2



x3



2. lim  y 48y  3 y 2  x2



x2  7x 10



3. lim x2



x 14 51x  2 2



x2



4. lim 2 x 1 2 



x 1



x



5. lim 2 4x  21 x 3 x  Untuk soal nomor 6 sampai dengan 8 diketahui lim f (x)  3 dan 4. lim g(x) 1 xa



xa



Carilah nilai limit berikut. 6. limf 2(x)  g2(x) xa



7. lim 3 g(x)[ f (x)3] xa 8. lim f (x)  3g(x) xa



Untuk soal nomor 9 dan 10. carilah lim 3



f (x)



 f (2)



x2



x2



xa



2



9. f(x) = 3x + 2x + 1 3 10. f(x) = x2



Hitunglah x2 x3



x2



13



apabilalim f (x) 



11.



lim



(x 5)(3 x)



x



12.



lim



x



x2 1 x2  3x  2 9y3



1 13. limx x3 1



14. ylim y2  2y  2



15. lim( x2  2x  x) x



C. Limit Fungsi Trigonometri Pada fungsi trigonometri sering digunakan dua macam satuan sudut yaitu derajat dan radian. Simbol sin x0 berarti satuan yang digunakan adalah satuan derajat, sedangkan bila satuan radian disimbolkan sin x saja. Dalam limit trigonometri satuan yang digunakan adalah satuan radian. Seperti telah kita ketahui bahwa 1 putaran = 3600 = 2 radian = 2.(3,14) radian, atau 1 radian  57, 30 . Perlu diingat bahwa satuan radian tidak pernah ditulis dibelakang ukuran sudut. Jadi bila ukuran sudut tidak ada simbul derajatnya berarti satuannya adalah radian. Sebagai contoh, sin 30 tidak sama dengan sin300 , sin 300 = ½ tetapi sin 30 artinya sin 30 radian = - 0,99. Sebelum kita membicarakan limit fungsi trigonometri, sekarang perhatikan suatu teorema yang penting mengenai limit fungsi yang dikenal dengan Teorema Apit: Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi f(x)  g(x)  h(x) untuk semua x yang memuat c. Jika lim f (x)  lim h(x)  L, maka lim g(x)  L xc



xc



xc



Gambar 4 Sebagai contoh, perhatikan sketsa grafik f, g, dan h pada Gambar 4., f(x) = x2 -2x + 3,



14



g(x) = ¼ x + 7/4, dan h(x) = -x2 + 2x +1. Untuk -1  x  3 terlihat f(x) g(x)  h(x). sehingga lim f (x)  lim g(x)  lim h(x) lim(x2 2x3)  lim g(x)  lim(x2 2x1) x1



x1



x1



x1



x1



11  2  lim( x  )  2 lim( )  2 x1 4x1 4



x1



x



Teorema 1. limsint  sinc 2. limcost  cosc 3. limtant  tanc 4. limcott  cotc 5. limsect  secc 6. limcsct  cscc tc



tc



tc



tc



tc



tc



Ambil kasus untuk c = 0, akan ditunjukkan bahwa lim sint  0 . Misalkan t > 0 t0



dan titik A,B, dan P dengan lingkaran berjari-jari satu satuan (lingkaran satuan). Dari Gambar 5., dapat diperoleh kesimpulan 0 < BP < Busur AP. Sedangkan BP BP t = = sin t dan panjang busur AP = 2.1 = t, sehingga disimpulkan 0 < 1 2 sin t < t. Berdasarkan teorema apit 0 < lim sint  lim t  0< limsint < 0  limsint = 0. t9



t0



t9



t9



15



y P(cos t, sin t) 1 t O



B



A x



Gambar 5. Selanjutnya dengan menggunakan identitas trigonometri dapat dicari lim cost  lim 1sin2 t  1 t0



limsint  10 1



t0



2



2



t0



Sekarang akan ditunjukkan limsint  sinc . Misalkan h = t –c, sehingga tc



h  0 ekivalen dengan t  c limsint  limsin(ch)  limsinccos hcoscsin h tc



h0



h0



Ingat identitas sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B limsinccos hcoscsin h sinclim cos hcosclimsin h= sin c. 1 + cos c. 0 = h0 h0 h0 sin c. Dengan menggunakan identitas cos t = 1sin2 t dapat ditunjukkan limcost  cosc tc tc



lim cost  lim 1sin2 t  1 tc



limsint  1sin c  cos c  cosc. 2



tc



Teorema Limit Trigonometri Khusus t sint 1. lim 1 2. lim 1 t0 sint t0 t tant t



16



2



2



1



3. lim t0



t



t0



1



4. lim tant



Bukti: t lim 1 t0 sint Perhatikan luas daerah  OAB, luas juring OAB, dan luas daerah  OAQ pada Gambar 6., diperoleh kesimpulan y



P Q (1,tan t) 1 t O



B



A x



Gambar 5.



Luas daerah  OAP  Luas Juring OAP  Luas daerah  OAQ Luas daerah  OAP = alastinggi  OA BP  1sint  sint 2 2 2 2 tluas lingkaran



t(1)2 



Luas Juring OAP = 2



t 



2



2



Luas daerah  OAQ = alastinggi  OA AQ  1tant  tant 2 2 2 2 Selanjutnya diperoleh sint t tant t 1   sint t  tant  1  2 2 2 sint cost



17



t 1  1 lim  sint lim cost



t 1  1 lim t0 sint



 lim t0 sint t0 cost



t lim1 lim 1. t0



t0



t0



t Berdasarkan Teorema Apit disimpulkan lim 1 t0 sint Bukti: sint lim 1 t0 t 1



 sint







1







1



1 lim  lim   t0 t  lim 1



t



 sint 



 1 t0 t t0



sint



 sint  t











lim tan  lim 



cost  lim sint  limsint  1 



lim sint lim t0



t



t    



t0



tcost 



t0



t



t0



cost 



t0



t



1 = t0 cost



1.1=1 Contoh 7.13 Carilah nilai limit berikut sin 4x sin3x (a) lim (b) lim x0 x x0 tan2x Jawab: sin 4x sin 4x sin 4x (a) lim 0 = lim 4 = 4 lim x0 x x 4x x0 4x sin 4x 1 6x



3



2x



3 x0



2x



Misalkan y = 3x dan z = 2x, jika x  0, maka y  0 dan z0



18



sin y



Misalkan y = 4x, jika x  0, maka y  0 dan 4 lim = 4.1 = x0



= 4 lim 4x



y0



y



4. sin3x



1



sin3x



1



sin3x



 lim sin3x = lim 2



6x



3x



= 2 x0



3x 1



(b) lim = lim x0 tan2x x0 tan2x x0 1  tan2x lim tan2x lim lim Latihan 3 Hitunglah cos2 t



3xtan x (b) lim 1 x0 sin x 3



1. (a) lim sint 3 z0



t0 3



3 x0



2x



z



sin3



tan5



2. (a)lim  0



0



2 3. (a) lim







(b) lim



sin(3t)



 4t



t0



sin 2 tsect



(b) limt0 1 cost2 2t   4. lim sin x cosx (b) lim cos2 z x 1 tan x z 1sin z 4



2



5. Hitunglah lim



f (x



 h)  f (x)



untuk



h (a) f(x) = sin x (b) f(x) = tan x Prakata bab 7 Konsep limit fungsi diciptakan para matematikawan untuk dapat mendefinisikan konsep turunan fungsi dengan baik. Dengan demikian sifat-sifat turunan fungsi h0



1 sin3x1 lim sin y lim



2 x0 3x 3 tan2x 1



= 2 y0 tanz



1



y



=23



2



19



pun dengan sendirinya didasarkan atas sifat-sifat limit fungsi. Oleh karena itu agar dapat memahami konsep turunan fungsi dengan baik, diperlukan pemahaman limit fungsi beserta sifat-sifatnya. Soal Apersepsi x2 3x  4 1. Diketahui f(x) = , apakah nilai f(4) ada? x  4 2. Diketahui deret 2 + 1 + ½ + ¼ + ..., tentukan julah deret tersebut untuk n   Perdalam konsepmu 1. Apakah syaratnya agar lim f( x) ada? x1



ax 2. Diketahui f(x) =



m



bxn , tentukan limx f( x)



a. jika m = n b. jika m < n c. jika m > n



Rangkuman 1. lim f( x) = L artinya nilai f(x) di sekitar c adalah L xc 1



1 2. (1) lim



k



0



(2) lim   0  x k 



x 3. Sifat-sifat limit fungsi Bila n bilangan asli, k suatu konstanta, serta f dan g fungsi yang memiliki limit di x = c, maka (1) limk  k (2) lim x  c x c (3) limkf ( x ) k lim f ( x ) (4) lim[ f ( x ) g( x )]  lim f ( x )lim g( x ) (5) lim[ f ( x ) g( x )]  lim f ( x )lim g( x ) (6) lim f ( x ).g( x )]  lim f ( x ).lim g( x ) x



xc xc



xc



xc



xc



xc xc



xc



xc xc



xc xc



20



(7) lim



f(x)



 limxc f ( x ) ,lim g( x ) 0 xc lim g( x ) xc (8) lim[ f( x)]n 



g( x ) [lim f( x)]n



xc xc



xc



(9) limn f ( x )  n lim f ( x ) xc



xc



4. Limit fungsi Trigonometri dengan satuan ukuran sudut radian (1). limsint  sinc (2). limcost  cosc tc



tc



(3). limtant  tanc



(4). limcott  cotc



tc



tc



(5). limsect  secc



(6). limcsct  cscc



tc



tc



sint 1



(7). lim t0



(8). lim 1 t0 sint t (10). lim 1 t0 tan t



t tan t 1



(9). lim t0



t



t



Prakata bab 8 Turunan fungsi merupakan sebagai bagian dari topik hitung diferensial, yang didasrkan atas gagasan (ide) laju perubahan yang dikembangkan sekitar permulaan abad ketujuh belas. Newton matematikawan Inggris dan Leibniz matematikawan Jerman merupakan orang –orang yang paling berjasa dalam mengembangkan ide dan metoda hitung diferensial. Limit fungsi yang melandasi konsep turunan baru dikembangkan dalam abad kesembilanbelas. Soal apersepsi 1. Tentukan gradien persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2). f( x  h) f( x)



2. Diketahui f(x) = x2, tentukan lim h



h0



3. Tentukan x dari f(x) = x2 + 4x + 5 agar f(x) bernilai minimum.



21



Perdalam Konsepmu 1. Manakah pernyataan yang benar di bawah ini. a. Jika h(x) =f(x) + g(x), maka h’(x) = f ’(x) + g’(x) b. Jika h(x) =f(x) g(x), maka h’(x) = f ’(x) g’(x) c. Jika h(x) = (fog)(x) maka h’(x) = (f ’og’)(x) 2. Operasi manakah yang terkait dengan aturan rantai? 3. Apa bedanya f naik pada interval a < x < b dan f tidak turun pada interval a < x < b? 4. Jelaskan jenis-jenis titik ekstrim!



Rangkuman 1. Turunan dari fungsi f ditulis f ’ dengan definisi f ’(x) = lim 



h)







f (x



f (x) . h0



h



2. Turunan dari f(x) = axn adalah f ’(x) = an x n-1 untuk n bilangan rasional. 3. Sifat-sifat turunan fungsi Bila g(x) dan h(x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan dan k konstanta, berlaku: (1) Jika f(x) = k g(x) maka f ’(x) = k g’(x) (2) Jika f(x) = u(x) + v(x) maka f ’ (x) = u’(x) + v’(x) (3) Jika f(x) = u(x) - v(x) maka f ’ (x) = u’(x) - v’(x) (4) Jika f(x) = u(x).v(x) maka f ’ (x) = u’(x)v(x) + u(x)v(x) u(x) u'(x)v(x) u(x)v'(x) (5) Jika f(x) = v(x) maka f ’ (x) = [v(x)]2 dy 4. Jika y = f(x) turunan dari f ditulis f ’(x) oleh Leibniz dilambangkan dengan dx 5. Turunan fungsi Trigonometri (1) Jika f(x) = sin x maka f ’(x) = cos x (2) Jika f(x) = cos x maka f ’(x) = -sin x 1 (3) Jika f(x) = tan x maka f ’(x) = cos2 x 6. Aturan Rantai (1) Jika h(x) = (f(g(x)) maka h ’(x) = f ’(g(x)) g(x) atau dy dy du (2) Jika y = f(u) dan u = g(x), maka 



22



dx



du dx



7. Turunan dan grafik fungsi (1) Grafik f naik pada interval yang memenuhi f ’(x) >0 (2) Grafik f turun pada interval yang memenuhi f ’(x) 0 (5) Grafik f cekung ke bawah turun pada interval yang memenuhi f ”(x)