Bahan UTS Logika [PDF]

Citation preview

A. Premis Dan Argumen Logika berkenaan dengan penalaran yang dinyatakan dengan pernyataan verbal.suatu diskusi atau pembuktian yang bersifat matematik atau tidak, terdiri atas pernyataan- pernyataan yang saling berelasi. Suatu penalaran disebut valid ( tepat, konsisten) jika kesimpulannya ditarik dari premis-premis yang ada. Premis adalah pernyataan-pernyataan, data, bukti atau dasar yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan. Sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedangkan yang dimaksud dengan argument adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu ( satu ) konklusi. Konklusi ( kesimpulan ) adalah pernyataan yang dihasilkan berdasarkan data yang terdapat dalam premis-premis. Dengan demikian, logika menaruh perhatian pada penalaran validitas atau ketepatannya tanpa memandang apakah premis-premis itu sesuai atau tidak sesuai dengan fakta-fakta. Logika tidak menaruh perhatian pada kebenaran premis-premis, juga tidak pada ketentuan dengan mana premis-premis itu diketahui. Contoh Premis Premis 1



: Semua doktor itu laki-laki (F)



Premis 2



: Ibuku seorang doktor (T)



konklusi



: Ibuku laki-laki (F)



Tentu saja ibu disini dalam arti biologis, sehingga ibu tidak mungkin laki-laki. Walaupun pengambilan konklusi valid, tetapi konklusi yang diperoleh bukanlah suatu kebenaran. Konklusi yang diperoleh tetaplah valid, dan tidak ada hubungannya dengan nilai kebenaran yang terkandung didalamnya Uraian diatas memperlihatkan bahwa logika menaruh perhatian pada validitas atau ketepatan penalaran. Namun karena tujuan logika adalah memperoleh kebenaran baik kebenaran formal (valid) maupun kebenaran material (benar), maka suatu argument atau penalaran disebut logis jika ia valid dan benar Nilai kebenaran yang terkandung didalam konklusi sendiri memang salah, dan kesalahannya dapat dipahami dengan mempelajari nilai kebenaran premisnya. Premis 1, memang memiliki nilai kebenaran yang salah bila diberikan counter Example premis 2, tetapi hal itu tidak menutup kenyataan bahwa Premis 1 valid sebagai pernyataan, walaupun memiliki nilai kebenaran yang salah. Karena itu, konklusi yang salah itu tetap dinyatakan valid. Pada kasus lain juga terlihat perbedaan yang mendasar tentang ke-valid-an dan kebenaran



B. Validitas Pembuktian Konklusi sebaiknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi. Dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah. Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus ponens dan Modus tolens. 1. Modus Ponens Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan. Bentuknya sebagai berikut: Premis 1



:pq



Premis 2



:p



Konklusi



:q



Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda  untuk menyatakan konklusi, seperti p  q, p  q) Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran daripernyataan-pernyataan komponennya. Tabel Kebenaran Modus Ponens Contoh dalam kalimat: p : Hari ini hari Senin. q : Saya belajar Matematika Diskrit. p→q : Jika hari ini hari Senin maka saya belajar Matematika Diskrit. p : Hari ini hari Senin. kesimpulan(q) : Saya belajar Matematika Diskrit.



Tabel kebenaran modus ponens ((p → q) ʌ p) → q :



T



p→q T



(p→q) ∧p T



((p→q) ∧p)→q T



T



F



F



F



T



F



T



T



F



T



F



F



T



F



T



p



q



T



2. Modus Tollens Adalah metode penarikan kesimpulan apabila ada pernyataan " p -> q " dan diketahui " -q " maka bisa ditarik kesimpulan "-p“ Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut: Premis 1



:pq



Premis 2



:~q



Konklusi



:~p



Contoh : Premis 1 : Jika hari ini hari senin maka saya belajar Premis 2 : saya tidak belajar Konklusi : Hari ini bukan hari senin modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut Tabel Kebenaran Modus Tollens Contoh dalam kalimat: p : Hari ini hari Senin. q : Saya belajar Matematika Diskrit. p→q : Jika hari ini hari Senin maka saya belajar Matematika Diskrit. -q : Saya tidak belajar Matematika Diskrit. kesimpulan(-p) : Hari ini bukan hari Senin.



Tabel kebenarannya ((p  q) ^ ~ q )  ~ p p



q



p→q



∼q



(p→q)∧∼q



∼p



((p → q) ^ ~ q ) → ~ p



T



T



T



F



F



F



T



T



F



F



T



F



F



T



F



T



T



F



F



T



T



F



F



T



F



F



T



T



3. Silogisme Hipotesis Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisme . Skema argumenya dapat dinyatakan sebagai berikut : Premis 1



:pq



Premis 2



:qr



Konklusi



:pr



silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut : Contoh kalimat: p : Saya belajar. q : Saya bisa mengerjakan soal. r : Saya lulus ujian. p→q : Jika saya belajar maka saya akan bisa mengerjakan soal. q→r : Jika saya bisa mengerjakan soal maka saya lulus ujian. kesimpulan (p → r) : Jika saya belajar maka saya lulus ujian.



Tabel kebenaran silogisme hipotesis (p → q) ʌ (q → r) → (p → r).



4. Silogisme Disjungtif Silogisme disjungtif adalah penarikan kesimpulan dimana jika diberikan dua pilihan "p" atau "q" sedangkan "q" tidak dipilih maka kesimpulannya yang dipilih adalah "p". CONTOH Premis 1 : p ∨ q Premis 2 : ~ q Konklusi : p Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid. Contoh 1: Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B) Premis 2: Pengalaman ini tidak berbahaya (B) Konklusi: Pengalaman ini membosankan (B) CONTOH : Premis 1 : p ∨ q Premis 2 : q Konklusi : ~ p



Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid. Contoh 2: Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B) Premis 2: Air ini panas (B) Konklusi : Air ini tidak dingin (B) Contoh kalimat: pvq : Bulan ini saya akan mudik ke Yogyakarta atau pergi ke Bali. -q : Bulan ini saya tidak pergi ke Bali. kesimpulan(p) : Bulan ini saya mudik ke Yogyakarta. tabel kebenaran silogisme disjungsi ((p v q) ʌ -q) → p atau ((p v q) ʌ -p) → q



5. konjungsi Premis 1



:p



Premis 2



:q



Konklusi



:p^q



Artinya : p benar, q benar. Maka p ^ q benar. CONTOH : Contoh kalimat 1 : premis 1(p): Andi adalah seorang mahasiswa. (BENAR) premis 2(q): Andi adalah seorang karyawan perusahaan swasta. (BENAR) konjungsi(p^q): Andi adalah seorang mahasiswa dan karyawan perusahaan swasta. (BENAR)



contoh kalimat 2 : premis 1(p): Ayam adalah unggas. (BENAR) premis 2(q): Burung kutilang adalah mamalia. (SALAH) konjungsi(p^q): Ayam adalah unggas dan burung kutilang adalah mamalia. (SALAH) Contoh dalam kalimat: pʌq : Saya mengambil mata kuliah Logika Matematika dan Kalkulus. kesimpulan1(p) : Saya mengambil mata kuliah Logika Matematika. kesimpulan2(q) : Saya mengambil mata kuliah Kalkulus. Tabel kebenaran penyederhanaan konjungsi (p ʌ q) → p atau (p ʌ q) → q



6. Tambahan (Addition)  Premis 1 : p  Premis 2 : q  Konklusi : p ∨ q  Artinya : p benar, maka p ∨ q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q). HUKUM-HUKUM LOGIKA 1. Hukum komutatif p∧q≡q∧p p∨q≡q∨p 2. Hukum asosiatif (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)



3. Hukum distributif p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 4. Hukum identitas p∧B≡p p∨S≡p 5. Hukum ikatan p∧S≡S p∨B≡B 6. Hukum negasi p ∧ ~p ≡ S p ∨ ~p ≡ B 7. Hukum negasi ganda ~(~p) ≡ p 8. Hukum idempotent p∧p≡p p∨p≡p 9. Hukum De Morgan ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 10. Hukum penyerapan p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p 11. Negasi B dan S ~B ≡ S ~S ≡ B



BAB 3 BENTUK NORMAL DARI KALIMAT LOGIKA Untuk membuat DNF dari suatu ekspresi logika yang dibuat dengan tabel kebenaran cukup mudah, yakni hanya mengambil nilai-nilai T dari ekspresi logika tersebut Untuk CNF sama saja, yakni mengambil nilai F dari tabel kebenaran dan membuatnya menjadi full conjunctive normal form (FCNF), dengan catatan nilai variabel-variabel proposisionalnya terbalik dari pasangan pada tabel kebenaran. T menjadi F dan F menjadi T  Hanya terdapat operator logika utama ( ~,  dan )  Bentuk normal konjungtif 



Conjungtive Normal Form (CNF)







A1  A2 ……..  Ai ……….  An







Setiap Ai berbentuk 1  2 …….. i  ……..m







Contoh : (~ p1  ~ p2  p3)  (p1  ~ p3  p4)







Rangkaian digital CNF = Product of Sum (POS)



 Bentuk normal disjungtif 



Disjungtive Normal Form (DNF)







A1  A2 ……..  Ai ……….  An







Setiap Ai berbentuk 1  2 …….. i  ……..m







Contoh : ( p1  ~ p2  ~ p3)  (~ p1  p3  p4)







Rangkaian digital CNF = Sum of Product (SOP)



 Contoh Soal 3.1  Ubahlah ekspresi logika A : ~ (a  b) (~ a  ~ c) ke dalam bentuk CNF dan DNF  Jawab :  Buat terlebih dahulu tabel kebenarannya



DNF : (~a ~b ~c)  (~a ~b c)  (~a b ~c)  (~a b c)  (a ~b ~c)  (a  b c) CNF : (~a  b  ~c)  (~a  ~b  c)



Latihan Soal 3.2 Tentukan bentuk DNF dan CNF dengan menggunakan tabel kebenaran dan hukum aljabar untuk kalimat ~(a  b)  (a  b) Jawab :



DNF: (~a ~b) (~ a b ) CNF:(~a  b)  (~a ~b) Bentuk normal dapat dibuat juga dengan hukum-hukum logika Contoh Soal 3.3 Ubahlah ekspresi logika ~ (a  b)  (a  b) ke dalam bentuk CNF Jawab :



Contoh Soal 3.4 Ubahlah ekspresi logika a  ~ (a  ~ (b  c)) ke dalam bentuk DNF Jawab :



Latihan Soal 3.5 Tentukan bentuk DNF dan CNF dengan menggunakan tabel kebenaran dan hukum aljabar untuk kalimat (a (~ b  c))  c Jawab :



Strategi Pembalikan Pengertian Strategi Pembalikan dilakukan dengan cara menyalahkan kesimpulan dari argumen, yakni: 1. Menegasikan Kesimpulan, atau 2. Memberi Nilai F (false/salah). Dengan Strategi Pembalikan akan ada perlawanan (opposite) dari kesimpulan yang tidak cocok dengan premis-premis, atau tidak konsisten. Contoh :  Terdapat argumen sebagai berikut : o Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah o Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian



o Jika Tono pergi kuliah, atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. o Pernyataan diatas menjadi variabel proporsional yaitu sebagai berikut : o A



=



Tono pergi kuliah



o B



=



Tini pergi kuliah



o C



=



Siska tidur



Selanjutnya pernyataan diubah menjadi ekspresi logika : o A→B o C→B o (A v C) → B menyusun ekspresi logika menjadi satu kesatuan. Untuk Argumen, cara menulis ekspresi logikanya ada beberapa pilihan, yaitu : o (A → B) Λ (C → B) → ((A v C) → B) o (A → B) Λ (C → B) |= ((A v C) → B) Untuk membuat tabel kebenaran digunakan penulisan ke-1 agar lebih mudah. Jika menggunakan strategi pembalikan. o Kesimpulan diberi negasi (¬), o Operator “jika maka” (→) diganti dengan operator “dan” (^).



Skema dari strategi pembalikan yaitu sebagai berikut : M =



A→B



N =



C→B



O =



(A → B) Λ (C → B)



P =



AvC



Q =



(A v C) → B



¬Q



=



R =



(A → B) Λ (C → B) Λ ¬((A v C) → B)



¬(A v C) → B



Tabel Kebenaran A



B



C



M



N



O



P



Q



¬Q



R



T



T



T



T



T



T



T



T



F



F



T



T



F



T



T



T



T



T



F



F



T



F



T



F



F



F



T



F



T



F



T



F



F



F



T



F



T



F



T



F



F



T



T



T



T



T



T



T



F



F



F



T



F



T



T



T



F



T



F



F



F



F



T



T



F



F



T



F



T



F



F



F



F



T



T



T



F



T



F



F



 Dapat dilihat bahwa nilai kesatuan ekspresi logika tersebut bernilai F. Atinya setelah dilakukan pembalikan kesatuan ekspresi logika hasil yang didapat adalah F, sehingga argumen diatas dapat dikatakan tidak valid. Jadi apabila kesatuan ekspresi logika tersebut dikembalikan keasal maka nilainya bernilai T semua.



Penyederhanaan HUKUM LOGIKA 1. Hukum Komutatif p∧q≡q∧p p∨q≡q∨p 2. Hukum Asosiatif (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)



3. Hukum Distributif p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 4. Hukum Identitas p∧T≡p p∨F≡p 5. Hukum Ikatan / Dominasi p∧F≡F p∨T≡T 6. Hukum Negasi p ∧ ~p ≡ F p ∨ ~p ≡ T 7. Hukum Negasi Ganda / Involusi ~(~p) ≡ p 8. Hukum Idempotent p∧p≡p p∨p≡p 9. Hukum De Morgan ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q 10. Hukum Penyerapan / Absorbsi p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p 11. Negasi T dan F ~T≡ F ~F ≡ T



PENYEDERHANAAN LOGIKA Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum dasar logika. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi. Umumnya bentuk yang paling sederhana mengandung 3 operator dasar atau operator alamiah, yaitu: ∧, ∨, ¬. CONTOH SOAL Sederhanakan bentuk, (p ∧¬q) ∨(p ∧q ∧r) (p ∧¬q) ∨(p ∧(q ∧r))



: Tambah kurung



p ∧(¬q ∨(q ∧r))



: Distributif



p ∧((¬q ∨q) ∧(¬q ∨r))



: Distributif



p ∧(T ∧(¬q ∨r))



: Tautologi



p ∧(¬q ∨r)



: Identitas ∧



CONTOH SOAL Sederhanakan bentuk, (¬(A ∧B) ∨A) =T ¬(¬A ∨¬B ∨A)



: De Morgan



¬((¬A ∨A) ∨¬B) : Komutatif ¬(T ∨¬B)



: Tautologi



F ∧¬B



: F ∧ 0 (hasilnya kontradiktif, tidak ekuivalen)



CONTOH SOAL Sederhanakan bentuk, (p→q) ˄ (q→p)



(¬p˅q) ˄ (¬q˅p)



: Ingat p→q = ¬p˅q



(¬p˅q) ˄ (p˅¬q)



: Hk. Komutatif



((¬p˅q)˄p) ˅ ((¬p˅q)˄¬q)



: Hk. Distributif



((p˄¬p)˅(p˄q)) ˅ ((¬p˄¬q) ˅ (q˄¬q)) : Hk. Distributif (F˅(p˄q)) ˅ ((¬p˄¬q)˅F)



: Hk. Kontradiksi



(p˄q) ˅ (¬p˄¬q)



: Hk. Identitas



PETA KARNAUGH Pengertian  Peta Karnaugh adalah penjelasan tentang fungsi tabel kebenaran boolean dalam bentuk gambar. Salah satu tujuan dari peta karnaugh untuk menyederhanakan fungsi bollean sampai lima variabel. Fungsi boolean dengan lebih dari lima variabel akan sulit disederhanakan menggunakan metode ini. Persamaan Boolean Hukum-Hukum Aljabar memiliki dua bentuk Kanonik yaitu : 1. SOP (Sum of Product) Bentuk kanonik ini adalah penjumlahan dari hasil kali, kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilakan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111. 2. POS (Product of Sum) POS yaitu Perkalian dari hasil jumlah, kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110. Cara Pengisian Data  Konversikan persamaan Boolean yang diketahui ke dalam bentuk persamaan SOP-nya (Sum of Product). Gunakan Tabel Kebenaran sebagai alat bantu



 Gambarlah Peta Karnaugh, dengan jumlah sel = 2n  Isi sel Peta Karnaugh sesuai dengan minterm pada tabel kebenaran.  Cover minterm-minterm bernilai 1 yang berdekatan,dengan aturan : a) Hanya minterm berdekatan secara vertikal dan horizontal yang boleh dicover. b) Jumlah minterm berdekeatan boleh dicover adalah : 2, 4, 8, 16, 32,…  Buat Persamaan SOP baru sesuai dengan hasil peng-cover-an minterm. Relasi-relasi dasar boole A+1=1 A∙1=A A+A=A A∙A=A A∙Ā=1 A∙Ā=0



Menyusun Peta Karnaugh 2



3 B



A



4 C



B A A



Contoh Penggunaan Peta Karnaugh  Dua Variabel



 Tiga Variabel



 Empat Variabel



 Jadi Peta Karnaugh memperlihatkan semua hasil kali fundamental yang dibutuhkan untuk menghasilkan keluaran 1 bagi kondisi-kondisi masukan yang bersangkutan. Jika dibandingkan dengan tabel kebenaran jauh lebih mudah menggunakan Peta Karnaugh karna pada tabel kebenaran memperlihatkan keluaran bagi masing-masing kondisi masukan.