Bilangan Berpangkat & Akar [PDF]

Citation preview

-1-



PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK AKAR 1. PANGKAT 1.1 PANGKAT BULAT POSITIF Jika



a∈R



n∈ A



dan



maka didefinisikan : a = axaxax... xa sebanyak n faktor. a disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut eksponen (pangkat) n



Contoh 1 : Tentukan nilai dari Jawab



:



  −  2 5 dan   3 1



4



2 5 = ………….. 4



 1  −  = ……………..  3



Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari : a)



2 x2



b)



37 32



3



c)



4



d)



( ) 23



4



 2 e)    3



4



( pq ) 5



Jawab : a)



2 3 x 2 4 = …………. 37 b) 2 = …………. 3 3 c) ( 2 )



d)



4



= ………….



( pq ) = ………….. 5



 2 e)    3



4



= ……………



Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan : Jika a , b ∈ R , m ∈ A dan n ∈ A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb: 1.



a m . a n =.... am 2. =... an m 3. ( a ) =.... n



Matematika



X Smt 1



4. ( ab) =.... n



a 5.   =.... b



-2-



Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut : 2 d) ( x y )



a)



x2 .x7 n7 b) 2 n 2 c) ( x )



Jawab



3



 2 p2  e)    q 



4



3 2 f) ( 2 xy ) . x y



5



4



: a)



x 2 . x 7 = ... n7 b) 2 = ... n 2 c) ( x ) = .... 5



2 d) ( x y )



3



= ...



4



2p  e)   = ....  q  2



3 2 f) ( 2 xy ) . x y = ... 4



LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan 6 4 a) p xp



b)



x10 : x 3 g) 8k 5:2 k 2 h) 4 d 3x 2 d 2 : d 4



4a x 2a 3



2 5 c) 2 p xpx 6 p



 1 d)    2  2 e)    3



3 k) ( −3k )



f)



5



2 l) 2( 5 p )



(



(



2 j) 2 p



)



3



2 3 m) ( 3 p q )



10 2 3 i) 12 a : 2 a .3a



4



3



)



5



n) o)



( 4 p qr ) 2



5 3



8 pq 2 r 2



(



2 x2 y3



)



3



8x 5 y 4



2. Sederhanakan a)



a n+1 a



n +2 ) p n −1 b) ( 2 p



c)



2 x +3



d)



5.2 2 x +1



1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari :



23 35 b) 23 35 23 : a) 3 = …………….. 2 a)



Jawab



Matematika



X Smt 1



c)



23 25



d)



32 36



-3-



b)



35 = ……………… 35



c)



23 = ……………….. 25



d)



32 = ………………. 36



Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa : Untuk setiap a ∈ R , a ≠ 0 dan n ∈ R berlaku sifat-sifat : 1.



a 0 =... 2. a − n =... Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari : a) Jawab



5−3



b)



1 2 −3



2 c) ( −2 x y )



−2



: a)



5−3 = ... 1 b) = ... 2 −3



2 c) ( −2 x y )



−2



= ...



LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari : a)



a



−5



f)



b)



3k −2



g)



c)



2 −4 k 5



d)



4 x −3



e) ( 4 a )



−6



4



2



a b xa b



 5q −2  k)  3   h 



−2



2 −3 4 l) ( 3a b ) x( 2 a ) 3



4 m7 n −4 x 2 m−6 n −3 8a −6 h) 2a 4 56t 5 i) 7 t −2  8x 2 y 3  j)   16x 5 y 



−2



 5 p 2 q 3r    6 pq 5r 3 



m) 



3



2. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :  a 2b  a)    c 



−2



Matematika



b)



X Smt 1



( 2bc )



3 −2



4a



−2



c)



a 2b5 4 c x b 3c a −2



−2



−2



-4-



1.3 EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN) Seperti kita ketahui jika Maka jika



2 3 = 8 maka 2 = 3 8



2 2 =... maka 2 = ... maka 2 = ... 2 4 =.... 4 maka 3 = ... 3 =.... m/ n Misal a = x , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :



(



a n = xm/ n



)



n



a n = x .... Jadi :



a =



......



sehingga



x m / n =....... Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari : a) 21/ 2 b) 63/ 5 Jawab



c)



: a)



21/ 2 = .... b) 63/ 5 = .... c) 2 x 3/ 2 = ....



Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari : a) Jawab



: a) b)



b)



3



:



x2



3 = ...



1 3



x2



= .....



Contoh 3: Tentukan nilai dari Jawab



1 3



163/ 4



3/ 4 = ..... 163/ 4 = ( .......)



LATIHAN SOAL 1. Ubah menjadi bentuk akar



Matematika



X Smt 1



= .........



2 x 3/ 2



x1/ n =.......



-5-



a)



b)



31/ 2



1 −2 / 3 x 3



c)



5−1/ 3



d)



4 3/ 4



e)



x4/9



2. Ubah ke bentuk pangkat a) 2 5



b)



1 5 2



c)



3



d)



52



3 3



e)



34



25 x 2 7



3. Tentukan nilainya a)



3



b)



64



c)



2/3



8



32



d)



3/ 5



3/ 8



81



 27  e)    64 



2/3



4. Sederhanakan dalam bentuk akar a)



b)



2 3/ 4 .21/ 8



(



6



)



2



c) 2 2 . 18



5. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari x =



d)



2 2



e)



12 2. 3



−b + b 2 − 4 ac 2a



2. BENTUK AKAR 2.1 OPERASI BENTUK AKAR Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0 Contoh bentuk akar :



2 , 3 , 5 , 3 2 , 3 4 , 5 7 dsb



bukan bentuk akar : Catatan :



4 , 9 , 3 8 , 4 16 dsb



a adalah bilangan non negatif, jadi



Operasi Pada Bentuk Akar



Matematika



X Smt 1



a≥0



-6-



1. ax a = a 2. ab = a b 3. a c ± b c = ( a + b) c 4.



a = b



a b



Contoh 1: Sederhanakan : a) Jawab



: a) b) 3



3



a8



b) 4 3 + 7 3 − 5 3



c)



8 + 18



: a) 3 2 + 4 2 = ... b) 4 3 + 7 3 − 5 3 = ... c) 8 + 18 = ....



Contoh 3 : Sederhanakan : a)



Jawab



d)



x3



a 8 = ....



Contoh 2: Sederhanakan : a) 3 2 + 4 2 Jawab



c)



75



20 = ... 75 = .... x 3 = ....



c) d)



b)



20



: a) b) c)



b)



6x 3



(



5+ 3



)(



5− 3



)



c)



(2



2+ 3



)



2



6x 3 = ....



( 5 + 3)( 5 − 3) ( 2 2 + 3) = ....



= ....



2



LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan a) 72



b)



f) 3 12 a 5b 3 g)



160



c)



1200



d) 2 80



2 2



h)



9 3



i)



d)



72 + 180 45 + 18



2. Sederhanakan a)



12 + 50 − 48



Matematika



X Smt 1



8 9



e) j) 2



8x 2



a 3b 2 4 c4



-7-



b) 2 16 − 3 18 + 27 c)



2x 2 + x 8 4x



e)



3 20 + 4 45 2 5



3. Sederhanakan 2 +3 2 −3 a)



( b) (



5−



)( 3) (



)



5+ 3



(



)(



c) 3 5 + 2 3 3 5 − 2 3



)



d)



(x



x −



y



)



2



)



2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar. Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :



1. Pecahan Bentuk



a b b b



Diselesaikan dengan mengalikan



Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :



2 2 b) 3 3 3 2 2 : a) = x ... = ..... 3 3 2 2 b) = x ... = ..... 3 3 3 3 a)



Jawab



2. Pecahan Bentuk



a b+ c



Diselesaikan dengan mengalikan



b− c b− c



Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan Jawab



:



8 8 = x ... 3− 5 3− 5



3. Pecahan Bentuk



= ....



a b+ c



Diselesaikan dengan mengalikan



Matematika



8 3− 5



X Smt 1



b+ c b+ c



-8-



Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan Jawab



12 3 = 6− 2



:



12 3 x .... 6− 2



12 3 6− 2



= ........



LATIHAN SOAL 1. Rasionalkan penyebutnya a)



12 3



10 5



b)



9



c)



2 3



d)



7 3 7



e)



4 3 5 2



2 5 7 − 13



e)



4 6 8 −2 3



2. Rasionalkan penyebutnya a)



9 5+ 7



b)



20 4− 6



c)



5 11 + 6



d)



c)



8 3 11 − 7



d)



3. Rasionalkan penyebutnya a)



−10 2− 7



14 b) 10 + 13



6 3 2 e) 10 + 2 3 3 5 −4 2



3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA) Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah. 1. Jika 2. Jika



a f ( x ) = a p maka f(x) = p a f ( x ) = a g ( c ) maka f(x) = g(x)



dimana p suatu konstanta Contoh 1: Tentukan HP dari : a) 4 2 x + 3 = 8 Jawab



: a)



....



2



2 x =3



= 2....



............



=2



...



..........= .... x = ... HP:{............}



Matematika



82 x −1 = 163x + 2



b)



42x + 3 = 8



(2 )



b)



X Smt 1



82 x −1 = 163x + 2 ....



= ....



..... = .... ...... = ..... x = .... HP:{ .......



}



-9-



LATIHAN SOAL Tentukan HP dari : 1.



6.



27 x + 2 = 812 x − 5



5x − 9 = 253− x x



2.



8



2 x +1



=1



4 x +5 = 3. 9



4. 52x = 5.



(



3



)



 1 7.   = 82 x  2



1 = 1253x + 2 25x 8 2 x −1 = x +1 9. 16 2



1 27



8.



5 5



x −5



10.



=1



Matematika



X Smt 1



82 x + 3 1 = 8 4 32