Bilangan Cacah Dan Bilangan Bulat [PDF]

Citation preview

BILANGAN CACAH DAN BILANGAN BULAT



Dosen Pengampu : Dini Palupi, M. Pd Disusun oleh kelompok 1 : 1. Astri Ayu Oktavia (18591013) 2. Mulyadi Sanjaya (18591083) 3. Raihan Maulana Hafis (18591107) 4. Ria Elvani (18591112) 5. Suci Indah Sari (18591134)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU MADRASAH IBTIDAIYAH FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) CURUP TAHUN 2021 1



KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Bilangan cacah dan bilangan bulat” ini tepat pada waktunya. Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas Dosen Dini Palupi, M. Pd pada mata kuliah Matematika SD/MI. Selain itu makalah ini juga bertujuan untuk menambah wawasan bagi para pembaca juga bagi penulis. Kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Kami menyadari, makalah yang kami buat ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan sangat kami nantikan demi kesempurnaan makalah ini. Penulis, 27 September 2021



2



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR……………………………………………2 DAFTAR ISI……………………………………………………..3 BAB I PENDAHULUAN………………………………………..4 A. Latar Belakang………………………………………………..4 B. Rumusan Masalah…………………………………………….5 C. Tujuan Masalah……………………………………………….5 BAB II PEMBAHASAN………………………………………...6 1. Bilangan Cacah……………………………………………6 A. Sejarah Bilangan Cacah……………………………….6 B. Pengertian bilangan cacah…………………………….6 C. Operasi bilangan cacah ……………………………….7 2. Bilangan Bulat…………………………………………….9 A. Pengertian bilangan bulat……………………………..9 B. Operasi bilangan bulat dan sifat-sifat bilangan bulat...10 BAB III PENUTUP………………………………………………16 A. Kesimpulan……………………………………………………16 B. Saran…………………………………………………………..16 DAFTAR PUSTAKA…………………………………………….18



3



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan juga merupakan suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Simbul ataupun lambang yang digunakan adalah yang mewakili bilangan itu disebut angka atau lambang. Dalam penggunaan sehari-hari, angka, bilangan dan nomor seringkali disamakan. Secara definisi, angka, bilangan dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda. Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan sebuah bilangan, sedangkan nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Bilangan cacah merupakan bilangan yang dimulai dari nol, satu, dua, tiga, dan seterusnya. Bilangan cacah bisa digunakan dalam perhitungan praktis matematis. Apabila bilangan cacah dihubungkan dengan operasi bilangan,



maka



akan



ditemukan



adanya



operasi



penjumlahan,



pengurangan, perkalian dan pembagian. Selain itu akan pula ditemukan hitungan campuran dari operasi pada bilangan cacah. Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah dan bilangan bulat negative. Himpunan bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z



4



lambang ini berasal dari Bahasa Jerman, yaitu bZahlen yang berarti bilangan.



B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana sejarah bilangan cacah? 2. Apa pengertian bilangan cacah? 3. Apa saja operasi bilangan cacah? 4. Apa pengertian bilangan bulat? 5. Bagaimana operasi bilangan bulat dan sifat-sifat bilangan bulat? C. Rumusan Masalah 1. Mengetahui sejarah bilangan cacah 2. Mengetahui pengertian bilangan cacah 3. Mengetahui operasi bilangan cacah 4. Mengetahui pengertian bilangan bulat 5. Mengetahui operasi bilangan bulat dan sifat-sifat bilangan bulat



5



BAB II PEMBAHASAN 1. Bilangan Cacah A. Sejarah bilangan cacah Sebenarnya sejak awal peradaban, manusia telah mengenal ilmu matematika. Hanya saja pada waktu itu matematika tidak memakai angka-angka seperti pada zaman sekarang. Pada zaman dahulu untuk menunjukkan bilangan, manusia hanya menggunakan simbol-simbol seperti potongan kayu, simpul-simpul pada kayu atau anggota badan, seperti tangan. Tetapi seiring perkembangan zaman, penggunaansimbol untuk menunjukkan bilangan pun mulai ditinggalkan. Hal ini terjadi karena



para



matematikawan



mulai



berlomba-lomba



dalam



mengembangkan system bilangan. Pada awalnya, berhitung dengan bilangan hanya terdiri dari 1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9. Dan baru kemudian pada sekitar abad kedelapan, seorang matematikawan muslim dari negeri Persia yang dikenal dengan nama



Al-Khawarizmi,



menyempurnakan



sistemini



dengan



memperkenalkan bilangan nol. Sehingga terdapat suatu system bilangan 0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9. Yang kemudian disebut sebagai bilangan cacah.1 B. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang dimulai dari angka 0 (nol) dan bilangan ini selalu bertambah satu dari bilangan sebelumnya, atau bisa juga disebut himpunan bilangan bulat yang bukan negatif, dan bilangan cacah juga bisa diartikan sebagai himpunan bilangan asli ditambah dengan angka nol.



1



Abdul Halim Fathani, “Matematika Hakikat dan Logika”, (Yogyakarta : Arruz Media, 2009), Hal 26.



6



Bilangan bulat positif dengan bilangan nol. Contoh : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. } Jadi yang membedakan antara bilangan asli dan bilangan cacah hanyalah di angka bilangan nol. Contoh Bilangan Cacah. Dibawah ini adalah contoh bilangan cacah secara umum yang dimulai dari angka 0 dan selalu bertambah {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,….} Agar lebih jelas tentang contoh bilangan cacah disini akan diberikan contoh-contoh yang lainnya : Contoh bilangan cacah kurang dari 10. C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Contoh bilangan cacah kurang dari 13. C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } Contoh bilangan cacah kurang dari 15. C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } 15 bilangan cacah yang pertama. C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } Contoh bilangan cacah kuadrat. {0², 1², 2², 3², 4², 5², 6², …} = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, …} Keterangan: Didapatkan dari himpunan bilangan diatas dipangkatkan ² Contoh Bilangan cacah kelipatan. 2 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 …} Keterangan : Didapatkan dari angka 2 diawal yang ditambahkan dengan angka 2 dengan berurut. Contoh bilangan cacah genap. {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20…} Contoh Bilangan cacah ganjil. C = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19…} C. Operasi Bilangan Cacah Operasi bilangan cacah terdiri dari beberapa operasi antara lain: operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Berikut penjelas dari beberapa operasi: 7



1. Operasi Penjumlahan Didalam penjumlah bilangan cacah terdapat beberapa ciri atau sifat, diantaranya adalah : a) Komulatif (Sifat Pertukaran) sebagai contohnya x+y = y+x b) Asosiatif (Sifat Pengelompokan) sebagai contohnya (x+y) +z = x +(y+z) - Unsur Identitas (Sifat Identitas) sebagi contohnya x+0 = 0+x c) Tertutup adalah penjumlahan 2 buah bilangan cacah yang akan mendapatkan hasil bilangan cacah juga 2. Operasi Pengurangan Operasi ini adalah operasi kebalikan dari pengurangan x-y=z yang memiliki arti sama dengan y+z= x yang membuat sifatnya sama dengan penjumlahan. 3. Operasi Perkalian Dan konsep perkalian bilangan cacah itu adalah proses penjumlahan yang berulang-ulang dari bilangan cacah yang sedang dikalikan Contoh : 3×4=4+4+4 4×2=2+2+2+2 5×3=3+3+3+3+3 Di dalam operasi perkalian juga berlaku beberapa sifat : A X B = B X A (komutatif) (A X B) x C = A x (B X C) (Asosiatif) A x (B+C)= (A X B)+(A x C)= (A X B) – (A x C) (distributif) Unsur identitas perkalian adalah 1 : A X 1=A dan B X 1=B Dan semua bilangan cacah apabila dikalikan dengan angka nol maka hasilnya sama dengan nol 4. Operasi Pembagian Di bilangan cacah operasi pembagian itu merupakan kebalikan dari operasi perkalian A:B=C maka B:C= A, dan pembagian bilangan 8



cacah jika dengan nol maka tidak didefinisikan namun apabila nol dibagi dengan bilangan cacah maka hasilnya adalah Nol.2 Operasi pengurangan adalah kebalikan atau invres dari operasi penjumlahan. Adapun invres dari operasi perkalian adalah operasi pembagian. Misalnya, kamu mempunyai 12 apel yang akan kamu bagi rata kepada 4 orang. Berapa apelkah yang akan diterima oleh setiap orang? Pertama, bagikan satu apel kepada setiap orang. Dengan demikian, apel yang tersisa adalah 12 – 4 = 8. Proses ini terus dilanjutkan hingga semua apel habis terbagi. Agar apel dapat habis terbagi maka proses tersebut perlu dilakukan tiga kali. Artinya, setiap orang akan menerima apel dan ditulis 12 : 4 = 3.3 2. Bilangan Bulat A. Pengertian Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif.4 Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,... sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,... dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah. Himpunan semua bilangan bulat terdiri atas : 1) Bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu (1,2,3,4,5,…) 2) Bilangan bulat nol, yaitu 0 3) Bilangan bulat negative, yaitu (-1,-2,-3,-4,-5,…).5



2



Yonathan Saba Pasinggi, “Kesulitan Memahami Konsep Bilangan Cacah di SD”, (Sulsel: AGMA, 2019), Hal 17-21. 3 Marsigit dan Nugroho Budi Susilo, “Matematika 1.” (2006). Hal 17. 4 Wahyu Purnomo, “Pembelajaran Matematika Untuk PGSD”, (Jakarta: Erlangga, 2015). 5 Andhin Dyas Fioiani, “Pendalaman Materi Matematika”, (Jakarta : Modul Belajar Mandiri, 2019).



9



B. Operasi Bilangan Bulat Ada 4 macam operasi utama yang berlaku pada bilangan bulat, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Keempat operasi bilangan bulat ini sangat berhubungan satu sama lain. Berikut akan di jelaskan satu per satu mengenari operasi bilangan bulat berikut: 1.



Operasi Penjumlahan a) Bilangan bulat positif + Bilangan bulat positif



hasilnya



Bilangan bulat Positif Contoh : 9 + 4 = 13 b) Bilangan bulat negatif + Bilangan bulat negatif hasilnya Bilangan bulat Negatif Contoh : -12 + (-6) = -18 c) Bilangan bulat negatif + bilangan positif hasilnya: d) Bilangan bulat positif jika bilangan bulat positif lebih besar bilangannya dari pada bilangan bulat negative Contoh : -3 + 7 = 4 e) Bilangan bulat negatif jika bilangan bulat positif lebih besar bilangannya dari pada bilangan buat positif Contoh : -7 + 2 = -5 Sifat- sifat penjumlahan pada bilangan bulat 1) Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan. Untuk



sembarang



bilangan



bulat



a



dan



b,



berlaku:



a+b=b+a Artinya, hasil penjumlahan dua bilangan bulat yang tempatnya dipertukarkan selalu sama. 2) Unsur identitas pada penjumlahan Untuk



setiap



bilangan



bulat



a,



selalu



berlaku:



a+0=0+a=a Artinya, hasil penjumlahan suatu bilangan bulat dengan bilangan nol atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri.



10



0



disebut unsur identitas (netral) pada penjumlahan.



3) Sifat asosiatif (pengelompokkan) pada penjumlahan. Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku: (a + b) + c = a + (b + c) 4) Sifat tertutup pada penjumlahan Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a + b = c maka c juga bilangan bulat. Artinya, penjumlahan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga. 5) Sifat adanya Invers Penjumlahan untuk stiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0 bilangan b ini di sebut invers atau lawan dari a dan biasanya dinyatakan dengan lambang –a. 6) Sifat Ketertambahan Jika a, b, c, bilangan-bilangan bulat, dan a + c = b + c maka a = b6 2.



Operasi Pengurangan Pengurangan bilangan bulat di definisikan sebagai berikut : Misalkan a dan b bilangan bulat a – b = c yang berarti b + c = a kesimpulannya adalah bahwa a – b = c jika dan hanya jika a = b + c. Contoh : (-2) – 3 = -5 sebab 3 + (-5) = 2 Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat 1) Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku: a - b = a + (-b) Artinya, mengurangkan b dari a sama artinya dengan menambahkan lawan b pada a. a) Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif



6



Karso, “Pendidikan Matematika 1”, (Jakarta : Depdikbud. UT, 1998).



11



a - b tidak sama dengan b –c (a - b) - c tidak sama dengan a - (b - c) b) Sifat pengurangan bilangan nol (0) a-0=a 0



- a = -a



0



-0=0



c) jika a dan b bilangan bulat, maka a – b = a + (-b).7 3.



Operasi Perkalian Operasi perkalian bilangan bulat adalah hasil kali dua bilangan



bulat yang berlainan tanda ( + atau - ) adalah bilangan bulat negatif, dan hasil kali dua bilangan bulat yang bertanda sama adalah bilangan bulat positif. Contoh : (-3) (-2) = 3.2 = 6 5



(-2) = - (5.2) = -10



Sifat-sifat Perkalian bilangan bulat a) Hasil perkalian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya 1) Hasil kali dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif. a x b = ab atau (+) x (+) = (+) 2) Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif. a x (-b) = -ab atau (+) x (=) = (-) Contoh: 4 x (-5) = -20 1) Hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif. (-a) x b = -ab atau (-) x (+) = (-) Contoh: -3 x 6 = -18



7



Russefendi, “Pendidikan Matematika 3”, (Jakarta: Depdikbud, 1991).



12



2) Hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif (-a) x (-b) = ab atau (-) x (-) = (+) Contoh: (-5) x (-2) = 10 b) Hasil perkalian antara bilangan bulat dengan nol adalah nol Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku: ax0=0xa=0 c) Unsur identitas pada perkalian Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku: ax1=1xa=a Artinya, hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri. 1 disebut unsur identitas (netral) pada perkalian. d) Sifat komutatif (pertukaran) pada perkalian Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku: axb=bxa e) Sifat asosiatif (pengelompokkan) pada perkalian Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku: (a x b) x c = a x (b x c) f) Sifat distributif (penyebaran) pada perkalian 1) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 2) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku: a x (b - c) = (a x b) - (a x c) g) Sifat tertutup pada perkalian Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a x b = c, maka c juga bilangan bulat. h) Sifat Ketergandaan Untuk setiap bilangan bulat a, b, c jika a = b , maka a.c = b.c i) Sifat konselasi



13



Untuk setiap bilangan bulat a,b, c jika ac = bc dan c 0 , maka a = Teorema Operasi Perkalian Jika a bilangan bulat, maka (-1) a = -a8 4.



Operasi Pembagian Operasi bilangan bulat di definisi sebagai berikut: “jika a dan b bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a dibagi b di tulis a : b , ialah bilangan bulat x yang bersifat b.x = a”. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat a) Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian a : b = c c x b = a b) Hasil pembagian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya 1) Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif. (+) : (+) = (+) 2)Hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya adalah bilangan bulat negatif. (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-) Contoh: 8 : (-2) = -4 (-16) : 4 = -4 3) Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. (-) : (-) = (+) Contoh: (-18) : (-3) = 6 c) Pembagian dengan bilangan nol Untuk sembarang bilangan bulat a, maka: a : 0 tidak terdefinisikan 0



:a=0



d) Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif 8



Depdikbud, “Kurikulum Matematika Berbasis Kompetensi”, (Jakarta : 2004).



14



a : b tidak sama dengan b : a (a : b) : c tidak sama dengan a : (b : c) a, b, dan c adalah sembarang bilangan bulat dengan a, b, c bukan 0 dan 1. Contoh: 1). 8 : 2 tidak sama dengan 2 : 8 4



tidak sama dengan ¼



2). (16 : 4) : 2 tidak sama dengan 16 : (4 : 2) 4



:2



tidak sama dengan 16 : 2



5



tidak sama dengan 89



9



Muhammad Darwis, “Analisis ksalahan siswa pada operasi hitung campuran bilangan bulat dan alternative pemecahannya, vol 4, 2016), hal 39-40.



15



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Bilangan cacah merupakan bilangan yang dimulai dari nol, satu, dua, tiga, dan seterusnya. Bilangan cacah bisa digunakan dalam perhitungan praktis matematis. Apabila bilangan cacah dihubungkan dengan operasi bilangan, maka akan ditemukan adanya operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Selain itu akan pula ditemukan hitungan campuran dari operasi pada bilangan cacah. Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,... sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,... dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah. Himpunan semua bilangan bulat terdiri atas: 1.



Bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu : { 1, 2, 3, 4, 5,...}



2.



Bilangan bulat nol, yaitu 0



3.



Bilangan bulat negatif, yaitu : {-1, -2, -3, -4, -5, ...}



Operasi bilangan bulat terdiri dari penjumlahan, pengurangan , perkalian dan pembagian.Pengajaran operasi bilangan bulat tersebut dapat dilakukan dengan benda kongkrit, misalnya dengan menggunakan kartu berwarna.



B. Saran Kami sebagai penulis menyarankan kepada para mahasiswa, khususnya mahasiswa calon guru SD, untuk mengajarkan operasi bilangan bulat janganlah terlalu rumit dan membingungkan siswa, cukup dengan bahasa yang sederhana dan media yang murah dan sederhana serta mudah dipahami oleh anak didik. Contohnya saja dengan menggunakan kartu warna. Disini guru



16



dapat mengajarkan operasi bilangan bulat yang bersifat abstrak dengan media yang kongkrit.



17



DAFTAR PUSTAKA Abdul Halim Fathani, 2009, “Matematika Hakikat dan Logika”, (Yogyakarta : Arruz Media), Hal 26 Yonathan Saba Pasinggi, 2019, “Kesulitan Memahami Konsep Bilangan Cacah di SD”, (Sulsel: AGMA), Hal 17-21. Marsigit dan Nugroho Budi Susilo, (2006). “Matematika 1.” Hal 17. Wahyu Purnomo, 2015, “Pembelajaran Matematika Untuk PGSD”, (Jakarta: Erlangga). Andhin Dyas Fioiani, 2019, “Pendalaman Materi Matematika”, (Jakarta : Modul Belajar Mandiri. Karso,dkk.1998.Pendidikan Matematika I. Jakarta. Depdikbud. UT Russefendi, E,T. 1991. Pendidikan Matematika III, Jakarta, Depdikbud. Depdikbud,2004.



Kurikulum



Matematika



Berbasis



Kompetensi,



Jakarta,



Depdikbud. Darwis, Muhammad. 2016. Analisis Kesalahan Siswa Pada Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat dan Alternatif Pemecahannya. Vol 4 (39-40)



18