Biografi Blaise Pascal [PDF]

Citation preview

Biografi Blaise Pascal - Penemu mesin penghitung dan teori probabilitas Biografi Blaise Pascal - Blaise sejak kecil dikenal sebagai seorang anak yang cerdas walaupun ia tidak menempuh pendidikan di sekolah secara resmi. Di usia 12 tahun, ia sudah bisa menciptakan sebuah mesin penghitung untuk membantu pekerjaan ayahnya. Karya-karyanya terus bertambah mulai dari merancang bangunan segienam (hexagram), menemukan prinsip kerja barometer, sistem kerja arloji, hingga ikut terlibat dalam pembuatan sistem transportasi bawah tanah kota Paris. Banyak kisah menarik dari kehidupan anak jenius ini semasa kecil. Berikut adalah Biografi Blaise Pascal. Blaise Pascal (1623 1662 M) terlahir di Clermont Ferrand Perancis pada 19 June 1623. Ayahnya Etienne Pascal, penasehat kerajaan yang kemudian diangkat sebagai presiden organisasi the Court of Aids di kota Clermont. Ibunya, Antoinette Begon, wafat saat ia berusia 3 tahun, meninggalkan ia dan dua saudara perempuannya, Gilberte dan Jacqueline. Blaise sejak kecil dikenal sebagai seorang anak yang cerdas walaupun ia tidak menempuh pendidikan di sekolah secara resmi. Di usia 12 tahun, ia sudah bisa menciptakan sebuah mesin penghitung untuk membantu pekerjaan ayahnya. Nama ayahnya adalah Étienne Pascal. Ayahnya adalah seorang petugas penarik pajak yang bekerja di wilayah Auvergne, Perancis. Sejak usia empat tahun Blaise telah kehilangan ibunya. Karya-karyanya terus bertambah mulai dari merancang bangunan segienam (hexagram), menemukan prinsip kerja barometer, sistem kerja arloji, hingga ikut terlibat dalam pembuatan sistem transportasi bawah tanah kota Paris. Sejak usia 12 tahun, ia sudah biasa diajak ayahnya menghadiri perkumpulan diskusi matematik. Ayahnya mengajarinya ilmu bahasa, khususnya bahasa Latin dan Yunani, tapi tidak matematik. Ayahnya sengaja melewatkan pelajaran matematik kepada Pascal semata-mata untuk memancing rasa keingintahuan si anak. Pascal lantas terbiasa berexperimen dengan bentuk-bentuk geometri, serta menemukan rumus-rumus geometri standar dan memberikan nama rumus tersebut dengan namanya sendiri.



Pada tahun 1631, Pascal sekeluarga pindah ke Paris. Ayahnya memutuskan untuk mendidik sendiri anak-anaknya, tak terkecuali Pascal. Sungguh menakjubkan, Pascal memang dikenal cerdas sejak kecil. Ia menunjukkan bakat yang luar biasa di bidang matematika dan sains. Pada umur 11 tahun, ia membuat karya tulis tentang getaran suara. Ayahnya yang melihat bakat besar ini cukup terkejut dan sempat melarang Pascal untuk mempelajari matematika hingga umur 15 tahun. Akan tetapi, pada umur 12 tahun, Pascal berhasil membuat perhitungan bahwa jumlah semua sudut sebuah segitiga adalah sama dengan 1800. Uniknya, perhitungan tersebut ditulis di dinding rumahnya. Akhirnya, Pascal diizinkan untuk mempelajari materi dari seorang ilmuwan besar, Euclid. Ia juga dianggap dapat disejajarkan dengan ilmuwan-ilmuwan besar Eropa lainnya, seperti Roberval, Desargues, Mydorge, Gassendi, dan Descartes. Tahun 1640 Pascal sekeluarga pindah ke kota Rouen. Saat itu, ia masih diajari langsung oleh ayahnya, namun Pascal belajar dengan sangat giat bahkan sampai menguras stamina dan kesehatannya sendiri. Jerih payahnya tak sia-sia, akhirnya ia berhasil menemukan teorema Geometri yang menakjubkan. Kadang-kadang ia menyebut teorema tersebut sebagai "hexagram ajaib” sebuah teorema tentang persamaan persilangan antar garis. Bukan sebuah teorema yang sekedar menghitung keseimbangan bentuk, tapi, lebih mendasar dan penting, yang saat itu sama sekali belum pernah dikembangkan menjadi sebuah cabang ilmu matematik tersendiri – geometri proyeksi. Pascal kemudian menggarapnya jadi sebuah buku, Essay on Conics, yang diselesaikannya sampai tahun 1640, di mana hexagram ajaib menjadi bahasan utama, yang membahas ratusan penghitungan tentang kerucut, juga membahas teorema Apollonius, yang mengagumkan bukan cuma karena usianya yang masih sangat muda saat itu (16 tahun) namun karena penghitungannya juga menyertakan unsure-unsur tangens, dsb. MENGANUT JANSENIS DAN BIARA PORT ROYA Tahun 1646 ayah Pascal mengalami kecelakaan kemudian dirawat di rumah. Beberapa tetangga berkunjung membesuk –kebetulan beberapa diantaranya



penganut Jansenist, yang didirikan oleh Cornelis Jansen, seorang professor kelahiran Belanda yang mengajar teologi di Universitas Louvain. Sebuah kepercayaan yang bertentangan dengan ajaran Jesuit. Pascal tampaknya terpengaruh dan menjadi pengikut Jansenists, dan menjadikannya amat menentang ajaran Jesuits. Adiknya, Jacqueline juga berniat ingin masuk biara Jansenist di Port Royal. Ayah Pascal, Etienne Pascal tak menyukai hal ini, kemudian mengajak keluarganya pindah ke Paris, namun setelah ayahnya meninggal pada tahun 1651 Jacqueline bergabung dengan biara Port Royal. Pascal masih sibuk menikmati kehidupan duniawinya --bersama teman-temannya dari kalangan bangsawan-menghabiskan uang warisan ayahnya. Akhirnya pada tahun 1614, ia sepenuhnya menjadi penganut Jansenisme, dan ia pun memulai kehidupan osteriknya di biara Port Royal. THE LETTRES PROVINCIALES (SURAT-SURAT KE DAERAH). Karya tulis ini ditulisnya tanpa mencantumkan namanya. Surat-surat ini berisi pembelaan Paskal terhadap Antoine Arnauld , seorang pemimpin gerakan Jansenisme yang diadili di Sorbonne oleh karena pandangan-pandangannya dianggap berbahaya. Ini sekaligus menjadi tulisan Pascal yang menyerang kaum Yesuit. Pada tahun 1655 Antoine Arnauld, seorang penulis kondang mengulas tentang ajaran Jansenisme, yang secara resmi dilarang pemerintah Sorbonne sebagai ajaran bidah, lalu Pascal menjawab tulisan tersebut dengan menulis di media kondang the Provincial Letters dengan menggunakan nama samaran Louis de Montalte, yang bertujuan untuk mempertahankan ajaran Jansenisme. Mereka seolah-olah berpolemik antara dua orang sahabat, mulai dari 13 Januari 1656, hingga 24 Maret 1657. Media the Provincial Letters beroplag ribuan dan beredar ke seluruh pelosok Paris, penganut Jesuits mencoba memancing siapa sebenarnya si penulis tersebut –-dengan cerdiknya malah mengolok-olok mereka yang berusaha mengungkap jati dirinya. THE PENSÉES Berisi kumpulan pemikiran-pemikiran Pascal yang sering ditulisnya pada secarik kertas. Melalui Pensées, Pascal hendak mengajukan suatu apologia atau pembelaan agama Kristen kepada orang-orang yang tidak percaya akan keberadaan Allah terutama kaum rasionalis. Ini merupakan usaha pembelaan terhadap kekristenan yang pertama dilakukan di zaman modern. Berita tentang kehidupan pribadi Pascal tak banyak terdengan semenjak ia memasuki kehidupan di Port Royal. Saudara perempuannya, Gilberte melihat dia menjalani kehidupan asketis. Pascal, selain tak terlalu suka melihat adik perempuannya sibuk dengan anak-anaknya, juga sebal dengan pembicaraannnya yang melulu soal urusan perempuan. Mulai 1658 penderitaan sakit kepalanya semakin memuncak, akhirnya meninggal pada 19 Agustus 1662. Ketika wafat Pascal meninggalkan sebuah karya tulis yang belum selesai perihal teologi, the Pensees, sebuah apologi Kekristenan, sehingga , baru diterbitkan 8 tahun kemudian oleh biara Port Royal dalam bentuk yang tak lengkap dan tak jelas. Sebuah versi terbitan yang lebih otentik pertama kali terbit tahun 1844. Yang mengupas tentang problem besar pemikiran Kristen, tentang kepercayaan yang



bertentangan dengan Sebab, Kehendak-bebas, dan Pengetahuan-Awal. Pascal menjelaskan kontradiksi dan problem moral kehidupan, doktrin tentang Kejatuhan (keterusiran dari surga) yang menjadi landasan kepercayaan dan menjadi dasar pembenaran dari doktrin Penebusan. The Pensees, berbeda dengan Provincial Letters, yang ditulis langsung oleh penulisnya, dengan gaya penulisan, yang tentu saja tidak sesuai, dengan kehebatannya sebagai sosok penulis termashur. The Letters, bagaimanapun juga, telah menempatkan Pascal ke dalam sejarah literatur bersama penulis-penulis besar Perancis. The Pensees terasa seolah ditulis oleh orang lain, yang seolah tak terlalu mementingkan soal agama. Namun demikian, meski berbeda antara keduanya, masing-masing tetap merupakan buku-buku penting dalam sejarah pemikiran keagamaan. PEMIKIRAN Le Coeur Le couer a ses raison ne connait point (Hati mempunyai alasan-alasan yang tidak dimengerti oleh rasio) adalah ungkapan Pascal yang sangat terkenal. Dengan pernyataan ini Pascal tidak bermaksud menunjukkan bahwa rasio dan hati itu bertentangan. Hanya saja menurut Pascal, rasio atau akal manusia tidak akan sanggup untuk memahami semua hal. Baginya "hati" (Le couer) manusia adalah jauh lebih penting. Hati yang dimaksudkan oleh Paskal tidak semata-mata berarti emosi. Hati adalah pusat dari segala aktivitas jiwa manusia yang mampu menangkap sesuatu secara spontan dan intuitif. Rasio manusia hanya mampu membuat manusia memahami kebenaran-kebenaran matematis dan ilmu alam. Dengan memakai hati, manusia akan mampu memahami apa yang lebih jauh daripada itu yakni pengetahuan tentang Allah. Kebenaran tidak hanya diketahui oleh akal saja tetapi juga dengan hati, bahkan menurut Paskal untuk dapat mengenal Allah secara langsung manusia harus menggunakan hatinya. Dengan demikian Paskal hendak menegaskan bahwa rasio manusia itu memiliki batas sedangkan iman tidak terbatas. Le Pari Le Pari atau "Pertaruhan" adalah argumen Paskal lainnya yang terkenal. Gagasan ini terkait dengan persoalan mengenai ada tidaknya Allah dalam sejarah filsafat. Ada orang-orang-orang skeptik yang kerap kali mencemooh orang-orang Kristen yang percaya bahwa Allah itu ada sementara mereka sendiri tidak dapat membuktikan secara rasional bahwa Allah itu tidak ada. Ia kemudian membuat sebuah pertaruhan mengenai ada atau tidaknya Allah. Dalam hal ini Paskal mengambil posisi sebagai orang yang percaya akan adanya Allah. Alasannya, bila ternyata Allah memang ada, orang-orang yang percaya kepada Allah akan menang dan hidup berbahagia bersama Allah yang diimani di sorga kelak. Sementara bila ternyata Allah memang tidak ada dan orang-orang percaya kalah maka mereka tidak akan menderita kerugian apapun. Hidup baik yang telah mereka jalani selama berada di dunia sudah merupakan keutamaan yang



membuat



kehidupan



mereka



dan



orang



lain



bahagia.



KARYA-KARYA MATEMATIK DAN ILMIAH LAINNYA Pascal juga menulis tentang hidrostatik, yang menjelaskan eksperi¬mennya menggunakan barometer untuk menjelaskan teorinya tentang Persamaan Benda Cair (Equilibrium of Fluids), yang tak sempat dipublikasikan sampai satu tahun setelah kematiannya. Makalahnya tentang Persamaan Benda Cair mendorong Simion Stevin melakukan analisis tentang paradoks hidrostatik dan dan meluruskan apa yang disebut sebagai hukum terakhir hidrostatik: bahwa benda cair menyalurkan daya tekan secara sama-rata ke semua arah (yang kemudian dikenal sebagai Hukum Pascal). Hukum Pascal dianggap penting karena keterkaitan antara Teori Benda Cair dan Teori Benda Gas, dan tentang Perubahan Bentuk tentang keduanya yang kemudian dikenal dengan Teori Hidrodinamik. Teori Pascal memberikan pengaruhnya pada teori matematik di saat Pascal memulai kehidupan di Port Royal yang digunakan mengatasi problem penghitungan yang berhubungan dengan kurva dan lingkaran, yang juga harus dikuasai oleh matematikawan modern. Ia banyak menerbitkan teorema yang diajukan sebagai tantangan kepada matematikawan lain untuk dipecahkan, tanpa satupun yang menjawabnya. Jawaban kemudian datang dari John Wallis, Christopher Wren, Christian Huygens, dan kawan-kawan, tanpa hasil yang memuaskan. Pascal akhirnya menerbitkan jawabannya sendiri dengan menggunakan nama samaran Amos DettonviIle (kemudian dikenal dengan anagram Louis de Montalte), kemudian matematikawan sekarang sering juga menyebut dirinya dengan nama ini. Teori matematik probabilitas menjadi berkembang pertama kali ketika terjadi komunikasi antara Pascal dan Pierre de Fermat yang akhirnya menemukan bahwa kedua teori Pascal dan Matematika Probabilitas memiliki kesamaan meski masingmasingnya tetap berdiri sendiri. Pascal merencanakan menulis makalah tentang itu, namun lagi-lagi cuma cuplikan-cuplikan yang ditinggalkannya, yang diterbitkan setelah kematiannya. Ia tak pernah menulis teori matematik yang panjang lebar berbelit-belit, melainkan tulisan-tulisan pendek yang singkat, jelas, dan abadi 1. Irisan Kerucut Pascal sangat tertarik pada pemikiran Desargues mengenai irisan kerucut. Tak disangka, ia mengembangkan pemikiran tersebut. Pada umur 16 tahun, ia berhasil membuat karya tulis yang berjudul Essai Pour Les Coniques. Dalam karya tulisnya tersebut, ia menyebutkan bahwa jika sebuah kerucut dipotong oleh sebuah bidang datar secara tegak lurus, maka diperoleh permukaan berupa lingkaran. Sebaliknya, jika dipotong dengan kemiringan tertentu, maka diperoleh permukaan berupa elips. Pemikiran Pascal tersebut cukup menarik perhatian Rene Descartes. Ia tidak percaya bahwa teori tersebut lahir dari seorang anak berusia 16 tahun. Descartes sempat berkata,”Saya tidak merasa heran jika ada seseorang yang mampu menunjukkan materi tentang kerucut lebih sempurna dari sebelumnya, akan tetapi sangat jarang hal ini dikemukakan oleh seorang anak yang berumur 16 tahun!”. 2. Kalkulator Mekanik Pada tahun 1642, ketika Pascal berumur kurang dari 19 tahun, ia berhasil membuat



sebuah kalkulator mekanik untuk melakukan perhitungan penjumlahan dan pengurangan. Hal ini ia lakukan untuk membantu ayahnya yang sering kesulitan menghitung besarnya pajak dan tagihan. Kalkulator yang diberi nama Pascaline ini sempat dipamerkan di Musee des Arts et Metiers di Kota Paris, Perancis dan di Zwinger Museum di Kota Dresden, Jerman. Karena harganya yang sangat mahal, kalkulator Pascal ini tidak laku dijual. Padahal, Pascaline adalah cikal bakal dari mesin komputer saat ini. Namun, Pascal tetap membuat dan mengembangkan kalkulator tersebut. 3. Permainan Judi Chevalier de Mere, salah seorang teman Pascal, sangat tertarik pada masalah perjudian. Ia ingin mengetahui bagaimana membagi uang taruhan secara adil sesuai dengan peluang untuk memenangkan permainan judi tersebut. Pemikiran ini sangat menginspirasi Pascal untuk mencari solusinya. Bersama De Fermat, Pascal berhasil menjawab semua masalah dalam permainan judi melalui teori peluang matematika. Ternyata, materi tersebut memberikan sumbangan yang besar bagi Leibniz dalam penulisan dasar-dasar kalkulus. “Tuhan Tidak Pernah Meninggalkanku!” Pada tahun 1659, Pascal menderita sakit keras. Ia memang memiliki riwayat kesehatan yang buruk sejak kecil. Menjelang akhir hidupnya, ia lebih banyak menolak pengobatan dari dokter. Ia mengatakan,”Sakit adalah sebuah ketentuan alam!”. Pada tahun 1662, penyakitnya bertambah parah. Menyadari hal ini, akhirnya Pascal berniat untuk ke rumah sakit. Akan tetapi, dokter menyatakan bahwa kondisi Pascal sangat tidak stabil. Pada tanggal 18 Agustus 1662, Pascal meninggal dunia di Kota Paris setelah menderita kejang-kejang sehari sebelumnya. Kata-kata terakhir yang keluar dari mulutnya adalah,”Mudah-mudahan Tuhan tidak pernah meninggalkanku!”. Ia dimakamkan di pemakaman Saint Etiene-du-Mont. Penyakit yang diderita Pascal memang masih menyimpan misteri. Namun, setelah dilakukan otopsi, misteri tersebut mulai terpecahkan. Penyakitnya diperkirakan berada di sekitar perut, rongga dada, dan kerusakan pada otak. Hasil otopsi menyebutkan bahwa Pascal diperkirakan menderita TBC, kanker perut, atau kombinasi keduanya. Sedangkan sakit kepala yang sering diderita Pascal ketika masih hidup disebabkan adanya luka pada otak. SEGITIGA PASCAL Segitiga pascal ini sangat membantu untuk banyak hal. Untuk pemfaktoran pada aljabar. misalnya untuk menjabarkan suatu bentuk pangkat yang di dalamnya terdapat penjumlahan atau pengurangan. Misalnya, (x + y)4 atau yang lain. Dengan menggunakan segitiga pascal ini sangat membantu untung menjabarkan lebih cepat lagi. Yang kita kenal dari segitiga pascal adalah bentuknya yang seperti segitiga dan bilangan yang bawah adalah hasil penjumlahan dua bilangan di atasnya Segitiga aritmatika yang ditunjukkan disini telah dikenal selama 600 tahun,tetapi Pascal menemukan bahwa banyak dari sifat-sifat segitiga dihubungkan dengan barisan-barisan dan deret-deret istimewa.



Pada saat segitiga selesai dibuat,bayangan dalam setiap persegi dengan bilanganbilangan ganjil di dalamnya dan Anda akan melihat sebuah pola yang muncul. Segitiga Pascal juga sangat membantu kita dalam melakukan perhitungan bilangan berpangkat. CONTOH (A+B)2=A2+2AB+B2 (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3



:



Yang unik dari segitiga pascal ini adalah jika setiap barisnya dijumlahkan maka hasilnya adalah merupakan bilangan 2 pangkat n dengan n berurutan dari 0. Baris pertama didapatkan 20. Baris kedua adalah sama dengan 21. Baris ketiga sama dengan 22. Dan seterusnya… 1 = 20 1 + 1 = 21 1 + 2 + 1 = 22 1 + 3 + 3 + 1 = 23 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 25 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 26 Matriks eksponen Disebabkan pembinaan sederhana dengan faktorial, pewakilan yang sangat asas pada segi tiga Pascal dalam bentuk matriks eksponen dapat diberikan: segi tiga Pascal adalah eksponens bagi matriks yang mempunyai urutan 1, 2, 3, 4, … pada subpepenjuru dan kosong pada mana-mana tempat lain. Ciri geometri Segi tiga Pascal dapat digunakan sebagai sebuah jadual pencarian untuk bilangan uncur berdimensi dalam sebuah versi dimensi berarbitrari tunggal pada sebuah segi tiga (digelar sebagai sebuah simpleks). Contohnya, anggapkan garisan ke-3 pada segi tiga, dengan nilai 1, 3, 3, 1. Sebuah segi tiga 2-dimensi mempunyai satu unsur 2-dimensi (sendiri), tiga elemen 1-dimensi (garisan, atau pinggir), dan tiga unsur 0dimensi (verteks, atau sudut). Erti nomor terakhir (1) adalah lebih sukar untuk dijelaskan (tetapi lihat di bawah). Berlanjutan dengan contoh kita, sebuah tetrahedron mempunyai unsur 3-dimensi (sendiri), unsur 2-dimensi (permukaan), enam unsur 1-dimensi (pinggir), dan empat unsur 0-dimensi (verteks). Menambahkan terakhirnya 1 semula, nilai-nilai ini berhubungan dengan barisan ke-4 pada segi tiga (1, 4, 6, 4, 1). Garisan 1 berhubungan dengan sebuah titik, dan Garisan 2 berkorespon dengan sebuah segmen garisan (dyad). Petak ini bersambung untuk hiper-tetrahedron berdimensi tinggi. Untuk memahami mengapa corak ini bermuncul, seorang harus memahami bahawa proses pembinaan sebuah simpleks-n dari sebuah simpleks-(n − 1) terdiri dengan hanya menambahkan sebuah verteks baru pada yang kemudiannya, ditempatkan seperti mana verteks baru ini terbaring di luar ruang simpleks asal, dan bercantum ke semua verteks asal. Sebagai contoh, anggapkan kes pembinaan sebuah terahedron dari sebuah segi tiga, yang kemudiannya dari elemen itu dihitung oleh



barisan 3 pada segi tiga Pascal: muka 1, sisi 3, dan verteks 3 (makna pada akhir 1 akan dijelaskan sebentar lagi). Untuk membina sebuah tetrahedron dari sebuah segi tiga, kita tempatkan sebuah verteks baru di atas plane segi tiga dan menyambungkan verteks ini ke kesemua verteks segi tiga asal. Nomor pada elemen berdimensi yang diberikan pada tetrahedron adalah sekarangnya jumlah pada dua nomor: pertama nomor yang pada elemen di segi tiga asal, tambah nomor elemen-elemen baru, setiap yang mana dibina pada elemenelemen salah satu dimensi berkurang dari segi tiga asal. Oleh itu, dalam tetrahedron, nomor sel (elemen-elemen polyhedral) adalah 0 (segi tiga asal memiliki kosong) + 1 (dibina pada permukaan single segi tiga asal) = 1; bilangan muka adalah 1 (segi tiga asal tersendiri) + 3 (muka baru, setiap dibina pada suatu tepi segi tiga asal) = 4; bilangan sisi adalah 3 (dari segi tiga asal) + 3 (sisi-sisi baru, setiap dibina pada sebuah verteks yang ditambahkan untuk mencipta tetrahedron dari segi tiga) = 4. Proses menjumlahkan bilangan elemen ini pada suatu dimensi yang diberikan pada yang salah dimensi yang berkurang satu untuk tiba di bilangan yang terdahulunya dijumpai di simpleks lebih tinggi seterusnya adalah bersamaan dengan proses penjumlahan dua nomor adjacent pada sebuah barisan segi tiga Pascal untuk yield nomor di bawah. Oleh itu, makna pada nomor akhir (1) pada sebaris segi tiga Pascal menjadi lebih difahami sebagai mewakili verteks baru yang ditambahkan ke simpleks yang diwakili oleh barisan itu untuk yield simpleks yang lebih tinggi seterusnya sebagai diwakili oleh barisan seterusnya. Verteks baru ini dicantumkan dengan setiap elemen di simpleks asal untuk yield sebuah elemen baru pada dimensi lebih tinggi pada simpleks baru, dan ini adalah asalnya corak yang didapati berkembar dengan yang dilihat pada segi tiga Pascal. Sebuah corak baru diperhatikan berkaitan dengan segi empat sama, yang berbeza dengan segi tiga. Untuk mencai coraknya, seorang harus membina sebuah analog pada segi tiga Pascal, yang entrinya adalah pekali (x + 2)Nomor Barisan, daripada (x + 1)Nomor Barisan. Adalanya dua cara untuk melakukan ini. Pengiraan suatu barisan individu Algoritma ini adalah suatu alternatif kepada cara piawai bagi pengiraan sel individu dengan faktorial. Bermula dengan kiri, nilai sel pertama adalah 1. Untuk setiap sel selepas itu, nilai ditentukan dengan mendarabkan nilai di kiri dengan sebuah pecahan yang berubah secara perlahan: v(c) = \frac{r-c}{c} yaitu r = baris + 1, bermula dengan 0 di atas, dan c = lajur, bermula dengan 0 di kiri. Contohnya, untuk mengira baris 5, r=6. Nilai pertama adalah 1. Nilai seterusnya adalah 1 x 5/1 = 5. Pengangkanya berkurangan sebanyak satu, dan pembawah bertambah sebanyak satu pada setiap langkah. Jadi 5 x 4/2 = 10. Kemudian 10 x 3/3 = 10. Kemudian 10 x 2/4 = 5. Kemudian 5 x 1/5 = 1. Nyatakan bahawa sel terakhir sentiasa bersamaan dengan 1, perdaraban terakhir untuk pengakhiran siri. Petak yang serupa muncul pada pepenjuru ke bawah. Bermula dengan nomor satu dan nomor asli di sel seterusnya, membentuk sebuah pecahan. Untuk menentukan sel seterusnya, tingkatkan pengangkanya dan pembawahnya sebanyak satu, dan kemudian darabkan penilaian terdahulu dengan fraksi. Contohnya, baris bermula dengan 1 dan 7 membentuk suatu pecahan 7/1. Sel kemudian adalah 7 x 8/2 = 28. Sel seterusnya adalah 28 x 9/3 = 84.



Nyatakan bahawa untuk mana-mana baris individu, kita hanya perlu mengira setengah bagi bilangan nilai-nilai di baris. Ini adalah kerana baris itu adalah bersimetri. SEJARAH Gambaran awal tentang sebuah segi tiga pekali binomial muncul pada abad ke-10 dengan ulasan dalam Chandas Shastra, sebuah buku India purba dalam prosodi bahasa Sanskrit yang ditulis oleh Pingala antara abad ke-5–ke-2 SM. Karya Pingala pula hanya muncul tentang pecahan, yang diulas oleh Halayudha, sekitar 975, menggunakan segi tiga itu untuk menjelaskan rujukan kabur pada Meru-prastaara, "Tangga Gunung Meru". Ia juga disedari bahawa pepenjuru pada jumlah segi tiga itu wujud pada nomor Fibonacci. ahli matematik India Bhattotpala (kk. 1068) kemudian memberikan barisan 0-16 pada segi tiga tersebut. Pada waktu yang sama, ia telah dibincangkan di Parsi (Iran) oleh ahli matematik AlKaraji (953–1029) dan penyajak-ahli nujum-matematik Omar Khayyám (1048-1131); oleh itu segi tiga dirujukkan sebagai "segi tiga Khayyam" di Iran. Beberapa teorem berkaitan dengan segi tiga untuk diketahui, termasuk teorem binomial. Ternyata kita boleh memastikan bahawa Khayyam menggunakan suatu cara mencari punca ke-n berasaskan pengembangan binomial, dan juga pada pekali binomial. Pada abad ke-13, Yang Hui (1238-1298) menyampaikan segi tiga aritmetik, yang sama dengan Segi tiga Pascal. Hari ini segi tiga Pascal digelar "segi tiga Yang Hui" di China. Akhirnya, di Itali, ia dirujuk sebagai "segi tiga Tartaglia", dinamakan untuk ahli algebra Itali Niccolò Fontana Tartaglia yang hidup seabad sebelum Pascal (15001577); Tartaglia dikreditkan dengan rumus umum untuk menyelesaikan polinomial kubik (yang mungkin dari Scipione del Ferro tetapi diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545). Petrus Apianus ( 1495 -1552 ) menerbitkan Segi tiga itu pada ilustrasi depan bukunya tentang perniagaan 1531/32 dan suatu versi asal pada 1527 yang merupakan rekod pertamanya di Eropah. Pada 1655, Blaise Pascal menulis sebuah Traité du triangle arithmétique (Perjanjian pada segi tiga aritmetik), iaitu dia mengumpul beberapa penilaian kemudian diketahui mengenai segi tiga itu, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teori kebarangkalian. Segi tiga itu kemudian dinamakan sempena nama Pascal oleh Pierre Raymond de Montmort (1708) dan Abraham de Moivre (1730).