Biostatistik Estimasi [PDF]

Citation preview

NAMA : RAHMADA DEVI NIM : I1A114053



TEORI ESTIMASI (PENDUGAAN) PENDAHULUAN Proses estimasi merupakan peristiwa yang dialami oleh setiap orang dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, bila kita akan menyebrang jalan dan melihat ada kendaraan yang akan lewat maka kita akan membuat estimasi tentang kecepatan kendaraan, lebar jalan, dan kecepatan kita untuk membuat keputusan, apakah kita menyebrag atau menunggu sampai kendaraaan lewat. Estimasi demikian sering digunakan oleh para manajer termasuk manajer kesehatan. Misalnya bila seorang manajer menghadapi peristiwa yang harus diputuskan dengan segera, tetapi dengan informasi yang tidak lengkap atau bahkan tidak terdapat informasi sama sekali maka dilakukan estimasi seperti kita akan menyebrang jalan. Bila waktu dan informasi cukup memadai maka dapat dilakukan estimasi yang akurat dan dapat dipertanggungjawabkan dengan menggunakan teori yang dikenal sebagai teori estimasi. Teori estimasi memegang peran yang sangat penting dalam statistika inferensial karena teori estimasi bersama-sama engan pengujian hipotesis merupakan dasar statistika inferensil yang dilandasi oleh teori peluan. Dalam metode statistika, teori estimasi digunakan untuk menaksir parameter populai seperti rat-rata atau proporsi variabel tertentu yang terdapat dalam populasi melalui perhitungan statistik sampel karena perhitungan langsung pada seluruh populasi tidak mungkin dilakukan. Di bidang kedokteran teori estimasi digunakan untuk menaksir banyaknya penderita penyakit tertentu di masa yang akan datang, menaksirkan jumlah pengunjung atau menaksir prognosa suatu penyakit dan lain-lain. Perlu diketahui beberapa istilah yang digunakan dalam teori estimasi adalah estimator, estimit, titik estimasi, dan inteval estimasi. ESTIMATOR DAN ESTIMIT Estimator ialah statitik sampel yang digunakan untuk menaksir parameter populasi. Misalnya, rata-rata sampel ( x ) digunakan untuk menaksir rata-rata ˆ ) untuk menaksir proporsi populasi (p), dan populasi (  ), proporsi sampel ( p jumlah ciri tertentu sampel (x’) untuk menaksir jumlah ciri tertentu populasi (X’). Estimit ialah angka atau nilai yang digunakan untuk menaksir parameter populasi. Misalnya, hasil pengukuran tinggi badan sampel adalah 163 cm dan angka ini digunakan untuk menaksir tinggi badan populasi.



Walaupun statistik sampel dapat digunakan sebagai estimator untuk menaksir parameter populasi, tetapi tidak semua statistik merupukan estimtor yang baik. Oleh karena itu, untuk menentukan statistik statistik sebagai estimator yang baik terdapat beberapa kriteria sebagai berikut: a. Tidak bias Suatu estimator dikatakn tidak bias bila nilai statistk sampel mempunyai nilai yang sama dengan parameter populasi. b. Efisien Suatu estimator dikatakan efisien bila statistik sampel mempunyai kesalahan baku yang kecil. c. Konsisten Bila besarnya sampel bertambah maka hampir dapat dipastikan bahwa nilai statistik sampel akan lebih mendekati nilai parameter populasi, estimator demikian disebut konsisten. MACAM-MACAM ESTIMASI 1. ESTIMASI SATU POPULASI a. ESTIMASI RATA-RATA 1) TITIK ESTIMASI Nilai tunggal yang digunakan untuk mengadakan pendugaan terhadap parameter populasi. Semakin dekat dengan parameter populasi semakin baik. Bila nilai parameter  dari populasi hanya diduga dengan memakai satu nilai statistik dari sampel yang diambil dari populasi tersebut Kelemahannya: sulit dipertanggungjawabkan karena tidak dapat ditentukan derajat keyakinan atau kepercayaannya TITIK ESTIMASI RATA-RATA ( x ) TERHADAP RATA-RATA POPULASI (  ) Contoh: Untuk membuat estimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa Fakultas Kedokteran dilakukan pengambilan sampel sebanyak 20 orang dengan hasil sebagai berikut. 160, 161,158, 157, 163, 171, 168, 166, 155, 173, 160, 165, 154, 156, 161, 162, 150, 153, 170, 164



x = 3227/20 = 161,4 cm Tinggi badan 161,4 cm merupakan titik estimasi terhadap tinggi badan mahsiswa fakultas kedokteran. TITIK ESTIMASI PROPORSI PROPORSI POPULASI (p) Contoh:



ˆ ) TERHADAP SAMPEL ( p



Bila kita ingin mengetahui persentase penduduk suatu kota yang menderita keratitis. Untuk itu, kita ambil sampel sebanyak 100 orang yang berkunjung ke Rumah Sakit Mata dan ternyata terdapat 5 orang yang menderita penyakit keratitis. Dari hasil tersebt dibuat taksiran bahwa 5% penduduk kota terebut menderita keratitis dengan perhitungan sebagai beriku.



Prorporsi (p) = x/n x= jumlah penderita n= besarnya sampel



p= 5/100 = 5% TITIK ESTIMASI JUMLAH CIRI TERTENTU SAMPEL (x’) TERHADAP CIRI TERTENTU DALAM POPULASI (X’) Titik estimasi jumlah ciri tertentu dalam variabel yang terdapat pada sampel digunakan untuk mengadakan estimasi terhadap jumlah ciri tersebut dalam populasi.



Rumus: x’ = (1/f)x Ket: x’ = jumlah kategori dalam variabel f = n/N n = banyaknya sampel N = besarnya populasi x = jumlah hasil outcome kategor yang ingin kita ketahui jumlahnya Contoh: Kita ingin mengetahui jumlah pengunjung wanita yang terdapat disuatu rumah sakit. Diketahui jumlah penderita yang berkunjung sebanyak 500 orang per minggu. Dari jumlah tersebut diambil sebanyak 50 orang sebagai sampel dan dari 50 tersebut terdapat 10 orang penderita wanita. f = n/N = 50/500 = 1/10 n’ = 1(50/500) x 10 = 100 100 orang pengunjung wanita digunakan sebagai titik estimasi terhadap 500 orang yang berobat ke rumah sakit. Dengan kata lain diestimasikan bahwa dari 500 orang yang berobat ke rumah akit tersebut 100 orang diantaranya adalah wanita. TITIK ESTIMASI DEVIASI STANDAR SAMPEL (s) TERHADAP DEVIASI STANDAR POPULASI (σ) Contoh: Untuk mengadakan estimasi terhadap kadar gula darah telah dilakukan pemeriksaan gula darah puasa terhadap 35 orang mahasiswa yang dianggap normal. Dari pemeriksaan tersebut dihasilkan rata-rata 102 mg



%. Dari hasil tersebut kita hitung deviasi standar menggunakan rumus sebagai berikut.



Hasil s = 6,01 merupakan nilai estimasi deviasi standar terhadap gula darah populasi. Hasil ini tidak bias karena sebagai penyebut digunakan koreksi “n-1”. ========================================================== RUMUS ESTIMASI RATA-RATA () Kasus Sampel Besar (n  30) dan atau  diketahui







Untuk Infinite Population



P  X  Z 0.5     X  Z 0.5    1   jika  diketahui n n 



  P X  Z0.5 s    X  Z0.5 s   1  jika n  30 n n 







Untuk Finite Population



 P X  Z0.5  n 



Nn    X  Z0.5  N 1 n



Nn   1  jika  diketahui N  1 



 Nn Nn P X  Z0.5 s    X  Z0.5 s   1  jika n  30 n N 1 n N  1  



Kasus Sampel Kecil (n  30) dan atau  tidak diketahui







Untuk Infinite Population



  P X  t0.5;df s    X  t0.5;df s   1  n n 







Untuk Finite Population



 P  X  t 0.5 ;df s n 



N n    X  t 0.5 ;df s n N 1



N n   1 N 1 



dengan df = n – 1



CONTOH SOAL ESTIMASI RATA-RATA Telah diambil secara acak sampel yang terdiri dari 100 orang murid sebuah Sekolah Menengah Atas di Banjarmasin. Melalui test IQ terhadap 100 murid tersebut diperoleh rata-rata IQ sebesar 112 dan varians 100. Dengan menggunakan tingkat keyakinan (confidence level) sebesar 95%, tentukan interval konfidens untuk nilai rata-rata IQ seluruh murid Sekolah Menengah Atas tersebut. Diketahui : n = 100 X  112 s2  100  s  10 1 –  = 0.95  0.5 = 0.025  Z0.025 = 1.96 Ditanyakan : P( . . .    . . . ) = 0.95   Jawab : P X  Z0.5 s    X  Z0.5 s   1  n n 



 10 10  P 112 1.96    112 1.96   0.95 100 100 



P110.04    113.96  0.95



P112 1.96    112 1.96  0.95







Kita merasa yakin sebesar 95% bahwa rata-rata IQ seluruh murid Sekolah Menengah Atas tersebut antara 110.04 dan 113.96 2) INTERVAL ESTIMASI



Sekumpulan nilai statistik sampel dalam interval tertentu yang digunakan untuk mengadakan pendugaan terhadap parameter populasi. Semakin lebar interval, semakin besar kebenarannya. Dalam prakteknya, harus dipilih interval yang sempit tetapi mempunyai derajat kepercayaan yang tinggi Contoh: Seorang kepala rumah sakit ingin menaksir rata-rata petugas rumah sakit yang absen setiap hari. Untuk itu diambil sampel sebanyak 50 hari kerja dan diperoleh rata-rata 8 orang petugas yang absen per hari. Bila hasil ini digunakan untuk menaksir rat-rata petugas yang absen maka taksiran tersebut merupakan titik estimasi, tetapi kepala rumah sakit ingin juga mengetahui besarnya variasi dari angka rata-rata tersebut untuk menentukan apakah akan mempengaruhi kegiatan rumah sakit atau tidak. Dari data yang lalu diketahui bahwa besarnya simpangan baku adalah 4 orang. Untuk mengetahui besarnya interval estimasi maka dihitung kesalahan baku dengan rumus berikut.



x= = 4/



= 0,57



Dari hasil tersebut dinyatakan bahwa probabilitas petugas yang absn 8 orang tersebut terletak antara ± 0,57 , yaitu terletak antara 7,43 dan 8,57 sebagai interval estimasi terhadap parameter populasi diharapkan nilai absen populasi terletak antara angka tersebut. b. ESTIMASI PROPORSI RUMUS ESTIMASI PROPORSI Kasus Sampel Besar (n  30)







Untuk Infinite Population



 ˆ  Z0.5 P p 







ˆ(1 p ˆ) p ˆ  Z0.5 p p n



ˆ(1 p ˆ)  p   1  n 



Untuk Finite Population



 ˆ  Z0.5 P p 



ˆ(1 p ˆ) N  n p ˆ  Z0.5 p p n N 1



ˆ(1 p ˆ) N  n  p   1  n N  1 



Kasus Sampel Kecil (n  30)







Untuk Infinite Population



 ˆ  t0.5 ;df P p 







ˆ(1 p ˆ) p ˆ  t0.5;df p p n



ˆ(1 p ˆ)  p   1  n 



Untuk Finite Population



 ˆ  t0.5;df P p 



ˆ(1 p ˆ) N  n p ˆ  t0.5;df p p n N 1



ˆ(1 p ˆ) N  n  p   1  n N  1 



dengan df = n – 1



CONTOH SOAL ESTIMASI PROPORSI Dari hasil survey yang dilakukan suatu research agency mengenai kebiasaan ibu rumah tangga menyaksikan tayangan iklan di TV Swasta. Ternyata diperoleh hasil bahwa 76 orang dari 180 orang ibu rumah tangga yang dipilih secara acak, biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu. Jika peneliti tersebut menggunakan taraf konfidens sebesar 90%, maka tentukan interval estimasi seluruh ibu rumah tangga yang biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu.



Diketahui : Misalkan X adalah ibu rumah tangga yang biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per hari. n = 180 dan X = 76 sehingga ˆ  76/ 180  0.42 p



1 –  = 0.90  0.5 = 0.05  Z0.05 = 1.645



Ditanyakan : P( . . .  p  . . . ) = 0.90



Jawab :



 ˆ  Z0.5 P p 



ˆ(1 p ˆ) p ˆ  Z0.5 p p n



ˆ(1 p ˆ)  p   1  n 



 0.42(1 0.42) 0.42(1 0.42)  P 0.42  1.645  p  0.42  1.645   0.90 180 180  



  0.90 P 0.42  0.060515732  p  0.42  0.060515732



  0.90 P 0.359484268  p  0.480515732 P 0.359  p  0.481  0.90



Kita merasa yakin sebesar 90% bahwa proporsi ibu-ibu yang biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per hari antara 35.9% dan 48.1%



2. ESTIMASI DUA POPULASI Estimasi perbedaan dua populasi pada prinsipnya tidak berbeda dengan estimasi terhadap satu populasi. a. ESTIMASI PERBEDAAN RATA-RATA Misalkan kita mempunyai dua populasi berukuran N1 dan N2 dengan ratarata  1 dan  2 . Dari masing-masing populasi diambil sampel sebesar n1 dan n2 dengan rata-rata x 1 dan x 2. Bila selisih rata-rata ( x 1 - x 2 ) digunakan untuk menaksir rata-rata populasi maka disebut titik estimasi. RUMUS ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA



A. Kasus σ1 = σ1 = σ diketahui :



Untuk Infinite Population























 1 1 1 1 P X1  X2  Z0.5    1  2  X1  X2  Z0.5     1  n1 n2 n1 n2  







Untuk Finite Population















 



P X1  X2  d  1   2  X1  X2  d  1 



dimana d  Z0.5 



1 1 (N1  N2)  (n1  n2)  n1 n2 N1  N2  1



B. Kasus σ1  σ1 diketahui :



Untuk Infinite Population







  2 2  2 2 P X1  X2  Z0.5 1  2  1  2  X1  X2  Z0.5 1  2   1   n1 n2 n1 n2   



















Untuk Finite Population



















 



P X1  X2  d  1   2  X1  X2  d  1 



dimana d  Z0.5



12 2 (N1  N2)  (n1  n2)  2 n1 n2 N1  N2  1



C. Kasus σ1 = σ1 tidak diketahui :



Untuk Infinite Population























 1 1 1 1 P X1  X2  t0.5;df sp   1  2  X1  X2  t0.5;df sp    1  n1 n2 n1 n2  







Untuk Finite Population















 



P X1  X2  d  1   2  X1  X2  d  1 



dimana d  t0.5;df sp



sp 



1 1 (N1  N2)  (n1  n2)  n1 n2 N1  N2  1



(n1  1)s12  (n2  1)s2 2 n1  n2  2



df = n1  n2 − 2



D. Kasus σ1  σ1 tidak diketahui :



Untuk Infinite Population







  s2 s2 s2 s2 P X1  X2  t' 1  2  1  2  X1  X2  t' 1  2   1   n1 n2 n1 n2   



















Untuk Finite Population



















 



P X1  X2  d  1   2  X1  X2  d  1 



dimana d  t'



w2 



s12 s2 (N1  N2)  (n1  n2)  2 n1 n2 N1  N2  1



tw t w t'  1 1 2 2 w1  w 2



s2 w1  1 n1



s22 n2



t1  t0.5;df n11



t2  t0.5;df n2 1



CONTOH SOAL ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA Sampel acak yang terdiri dari 22 orang buruh perusahaan A telah diperiksa ternyata rata-rata waktu menyelesaikan pekerjaannya per unit barang adalah 12 menit dengan standar deviasi 2 menit. Sedangkan dari perusahaan B yang sejenis diambil sampel acak berukuran 20, setelah diperiksa ternyata rata-rata menyelesaikan pekerjaan yang sama adalah 11 menit dengan standar deviasi 3 menit.



Tentukanlah interval keyakinan sebesar 95% untuk mengestimasi beda rata-rata waktu penyelesaian pekerjaan semua buruh di perusahaan A dan perusahaan B. Asumsi 1 = 2 Diketahui : n1 = 22



X1  12 s = 2



n1 = 20 X1  11 s = 3



Karena 1 = 2 tidak diketahui, maka digunakan rumus interval konfidens untuk kasus C. Sehingga 1 –  = 0.95   = 0.05  dengan 0.5 = 0.025 dan df = 40 dari tabel t diperoleh t 0.025;df=40 = 2.021 Ditanyakan : P...  1   2  ...  0.95



Jawab







:















 1 1 1 1 P X1  X2  t0.5;df sp   1  2  X1  X2  t0.5;df sp    1  n1 n2 n1 n2  



sp 



(n1  1)s12  (n2  1)s2 2 n1  n2  2







sp 



(22  1)22  (20  1)32 22  20  2







sp



=



2.524876235



 1 1 1 1  P 12  11  2.021(2.524876235 )   1  2  12  11  2.021 (2.524876235 )    22 20 22 20  



  0.95 P1 1.576538987 1   2  1 1.576538987



  0.95 P  0.576538987 1   2  2.576538987 P  0.58  1   2  2.58  0.95







Kita merasa yakin sebesar 95% bahwa beda rata-rata waktu penyelesaian pekerjaan semua buruh di perusahaan A dan perusahaan B antara – 0.58 dan 2.58 menit.



b. ESTIMASI PERBEDAAN PROPORSI



Dalam praktek sering kita jumpai event yang berdistribusi binomial dan kita akan mengadakan estimasi terhadap proporsi populasi melalui perhitungan proporsi sampel. Estimasi tersebut dapat dilakukan terhadap satu populasi, tetapi dapat pula dilakukan terhadap selisih proporsi dua populasi. Misalnya, kita mempunyai 2 populasi yang berdistribusi binomial dengan proporsi masing-masing p1 dan p2 dan kita ingin menaksir perbedaa antara dua proporsi tersebut, p1-p2. Untuk mengadakan estimasi terhadap selisih proporsi dua populasi maka diambl sampel pada masing-masing populasi sebesar n1 dan n2 dimana ˆ 2. Bila ukuran sampel cukup besar maka ˆ 1 dan p terdapat proporsi p distribusi binomial dapat mengadakan pendekatan ke distribusi normal. RUMUS ESTIMASI BEDA DUA PROPORSI Kasus Sampel Besar







Untuk Infinite Population



ˆ1  p ˆ 2)  d  p1  p 2  (p ˆ1  p ˆ 2)  d  1  P(p



d  Z 0.5







pˆ 1 (1  pˆ 1 ) pˆ 2 (1  pˆ 2 )  n1 n2



Untuk Finite Population



P(pˆ1  pˆ2 )  d  p1  p2  (pˆ1  pˆ2 )    1  



d  Z0.5



ˆ 1(1 p ˆ 1) p ˆ (1 p ˆ 2) p  2 n1 n2



Kasus Sampel Kecil







Untuk Infinite Population



N1  N2   n1  n2  N1  N2  1



ˆ1  p ˆ 2)  d  p1  p 2  (p ˆ1  p ˆ 2)  d  1  P(p



d  t0.5;df n1n2  2







ˆ1(1 p ˆ1) p ˆ (1 p ˆ 2) p  2 n1 n2



Untuk Finite Population



P(pˆ1  pˆ2 )  d  p1  p2  (pˆ1  pˆ2 )    1  



d  t0.5;df n1n2 2



ˆ 1(1 p ˆ 1) p ˆ (1 p ˆ 2) p  2 n1 n2



N1  N2   n1  n2  N1  N2  1



CONTOH SOAL ESTIMASI DUA PROPORSI Dua sampel acak masing-masing terdiri 700 mahasiswa dan 500 mahasiswi yang mengunjungi suatu bazar buku murah. Ternyata setelah kedua sampel tersebut diperiksa, terdapat 392 mahasiswa dan 325 mahasiswi yang merasa puas dengan adanya bazar tersebut. Tentukan interval konfidens sebesar 98% untuk mengestimasi perbedaan proporsi mahasiswa dan mahasiswi yang merasa puas terhadap bazar buku murah tersebut.



ˆ1  Diketahui : n1 = 700 x1 = 392  p ˆ2  325  p



392  0.56 700



n2 = 500



x2 =



325  0.65 500



Karena sampelnya besar, maka 1 –  = 0.98  0.5 = 0.01 Z0.01 = 2.32



Ditanyakan : P( …  p1 – p2  … ) = 0.98



Jawab :



d  Z0.5



ˆ 1(1 p ˆ 1) p ˆ (1 p ˆ 2) p  2 n1 n2



d  2.32



0.56(1 0.56) 0.65(1 0.65)   0.065905969 700 500







ˆ1  p ˆ 2)  d  p1  p 2  (p ˆ1  p ˆ 2)  d  1  P(p



P(0.56  0.65)  0.066 p 1  p 2  (0.56  0.65)  0.66  0.98 P  0.09  0.066 p 1  p 2   0.09  0.066  0.98  P  0.156 p 1  p 2   0.024  0.98



Kita merasa yakin sebesar 98% proporsi mahasiswi yang merasa puas terhadap bazar buku lebih besar daripada mahasiswa antara 2.4% dan 15.6%.