![Buku Ajar Analisa Struktur I [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/buku-ajar-analisa-struktur-i.jpg)
8 0 638 KB
BUKU AJAR
ANALISA STRUKTUR I
OLEH : I PUTU LAINTARAWAN, ST, MT. I NYOMAN SUTA WIDNYANA, ST, MT. I WAYAN ARTANA, ST.MT.
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS HINDU INDONESIA
Analisis Struktur I
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, atas rahmatNya, penyusunan Buku Ajar Analisa Struktur I dapat diselesaikan. Buku Ajara ini disusun untuk menunjang proses belajar mengajar mata kuliah Analisa Struktur I sehingga pelaksanaannya dapat berjalan dengan baik dan lancar, serta pada akhirnya tujuan instruksional umum dari mata kuliah ini dapat dicapai. Diktat ini bukanlah satu-satunya pegangan mahasiswa untuk mata kuliah ini, terdapat banyak buku yang bisa digunakan sebagai acuan pustaka. Diharapkan mahasiswa bisa mendapatkan materi dari sumber lain. Secara garis besarnya Diktat ini mencakup materi mangenai gaya, analisis struktur statis tertentu, garis pengaruh struktur statis tertentu, serta balok gerber. Penulis
menyadari
bahwa
diktat
ini
masih
banyak
kelemahan
dan
kekurangannya. Oleh karena itu kritik dan saran pembaca dan juga rekan sejawat terutama yang mengasuh mata kuliah ini, sangat kami perlukan untuk kesempurnaan tulisan ini. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih.
Penulis
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
i
Analisis Struktur I
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ............................................................................................... i DAFTAR ISI ............................................................................................................. ii BAB I PENGANTAR ANALISIS STRUKTUR ........................................................ 1 1.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 1 1.2 Tujuan Analisis Struktur ...................................................................................... 2 BAB II STATIKA ...................................................................................................... 3 2.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 3 2.2 Pengertian Gaya .................................................................................................. 3 2.3 Vektor Resultan ................................................................................................... 4 2.4 Momen ............................................................................................................... 5 2.5 Keseimbangan Benda Tegar ................................................................................ 9 BAB III STRUKTUR STATIS TERTENTU ............................................................. 11 3.1 Modelisasi Struktur .............................................................................................. 11 3.2 Jenis-Jenis Beban ................................................................................................. 12 3.3 Perletakan / Tumpuan .......................................................................................... 13 3.4 Definisi Struktur Statis Tertentu ........................................................................... 14 BAB IV GAYA DALAM .......................................................................................... 17 4.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 17 4.2 Pengertian Gaya Dalam ....................................................................................... 17 4.2.1 Gaya Dalam Momen ......................................................................................... 18 4.2.2 Gaya Lintang .................................................................................................... 19 4.2.3 Gaya Normal .................................................................................................... 21 4.2.4 Contoh-Contoh Balok Struktur Statis tertentu .................................................. 21 4.3 Beban Segitiga ..................................................................................................... 28 BAB V GARIS PENGARUH .................................................................................... 31 5.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 31 5.2 Definisi Garis Pengaruh ....................................................................................... 31 5.3 Kegunaan dari suatu Garis Pengaruh .................................................................... 33 BAB VI BALOK GERBER ...................................................................................... 39 6.1 Pendahuluan ........................................................................................................ 39 6.2 Bentuk Sendi Gerber ........................................................................................... 40 6.3 Menentukan Letak Sendi Gerber ......................................................................... 41 6.4 Mekanisme Penyelesaian Balok Gerber .............................................................. 43 BAB VII GARIS PENGARUH BALOK GERBER ................................................... 50 7.1 Garis Pengaruh Balok Gerber .............................................................................. 50 7.2 Momen Maximum di Suatu Titik Pada Gelagar .................................................. 56 7.3 Mencari Momen Maximum Maximorum di Suatu Gelagar .................................. 61 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 67
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
ii
Analisis Struktur I
BAB I PENGANTAR ANALISIS STRUKTUR 1.1 Pendahuluan Di sepanjang sejarahnya, umat manusia telah berhasil membangun berbagai struktur bangunan dalam rangka memenuhi kebutuhan yang terkait dengan kenyamanan, mobilitas dan kepuasan kehidupannya. Awalnya, pembangunan dilakukan melalui proses coba-coba yang memerlukan banyak waktu dan tenaga. Setiap pembangunan selalu berhadapan dengan tantangan lebih baru ketimbang pendahulunya. Sampai suatu saat, harus mengalami kegagalan disertai timbulnya kesadaran bahwa batas kekuatan sistem strukturalnya telah dilampaui. Suatu struktur yang didirikan kemudian ternyata runtuh dan dibangun ulang dengan lebih kokoh lagi dengan merubah konfigurasi strukturnya. Setelah berabad-abad dilalui, proses mendirikan bangunan yang hanya didasarkan pada pengalaman dan cara coba-coba, sekarang telah berkembang menggunakan teknologi rekayasa berdasarkan hukum-hukum fisika. Teori analisis struktur bangunan telah ada sejak zaman Yunani Kuno, yang pertama kali menuangkan konsep-konsep yang berhubungan dengan gaya-gaya dan keseimbangannya. Analisis struktur sebagai disiplin yang terlepas dari analisis tegangan dalam perancangan material, baru mulai dikembangkan sejak pertengahan pertama abad XIX. Kemudian selama satu abad berikutnya, berbagai ragam teknik dikembangkan, sehingga analisis struktur tersusun menjadi suatu pengetahuan dan berkembang sangat pesat di Tahun 1950an. Di saat mana, muncul dua faktor penting yang sangat mendorong upaya pengembangan analisis melalui penggunaan metode matriks. Pertama, munculnya komputer dengan kecepatan tinggi yang membebaskan rekayasawan dari tugas berhitung secara manual, sehingga memungkinkan mengganti metode-metode perkiraan dengan metode analisis yang lebih eksak dan rasional. Kedua, berlangsungnya peningkatan dalam ukuran dan kompleksitas bangunan di bidang rekayasa sipil, mekanikal, struktur lepas pantai, ruang angkasa dan kebutuhan-kebutuhan lainnya, yang lebih sesuai apabila diselesaikan melalui penerapan metode analisis yang lebih singkat. Sampai saat ini, teori-teori struktur secara matematis merupakan bagian dari ilmu fisika yang telah memungkinkan penyelesaian berbagai permasalahan struktur. Dengan menggunakan alat bantu teknologi komputer, gagasan-gagasan rancangan
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
1
Analisis Struktur I
struktur kompleks lebih dimungkinkan untuk membuat keputusan logis secara simultan. Namun seorang rekayasawan struktur hendaknya tidak menerima begitu saja hasil keluaran
komputer,
kecuali telah diyakini
sesuai dengan
pengetahuan
dan
pengalamannya. Sehingga output komputer merupakan hanya alat bantu untuk mempermudah di dalam pengambilan keputusan rekayasa (engineering judgement), dalam rangka mencapai pendekatan hasil yang seharusnya.
1.2 Tujuan Analisis Struktur Tujuan utama analisis struktur adalah untuk menentukan respons struktur terhadap berbagai kemungkinan beban yang akan bekerja selama masa layannya. Respons
ini
dapat
berupa
deformasi,
perpindahan,
aksi-aksi
gaya
ataupun
tegangan-tegangan internal. Dalam praktek, ada dua keadaan yang membutuhkan analisis struktur: 1. Keadaan pertama, ketika struktur yang sudah berdiri harus dianalisis agar bisa menaksir kapasitasnya. Sebagai contoh, analisis struktur jembatan yang dikehendaki untuk ditingkatkan batas bebannya, atau bangunan gedung yang semula dirancang untuk ruang kuliah kemudian setelah berdiri dikehendaki berubah menjadi ruang perpustakaan. Analisis struktur di sini menetapkan reaksi (respons) struktur terhadap sistem pembebanan yang bekerja. 2. Keadaan kedua, merupakan kondisi yang lebih umum, muncul sebagai bagian yang tidak terpisahkan dari tahap-tahap proses perancangan bangunan secara keseluruhan. Merancang struktur adalah upaya mencipta dan memodifikasi konfigurasi fisik secara teratur sehingga struktur diperkirakan dapat memberikan respons yang sesuai dan akhirnya bisa berfungsi seperti yang dikehendaki. Analisis dan perancangan struktur, keduanya menuntut pemahaman mendalam mengenai sifat-sitat dan hukum-hukum pokok (penentu) perilaku material. Penerapan hukum-hukum statika dan kuat material yang seharusnya diperkenalkan sebagai pengetahuan dasar bagi mahasiswa di bidang rekayasa merupakan bagian kecil dari pengetahuan analisis struktur. Oleh karenanya, pembaca dianggap sudah cukup dibekali dan menguasai pengetahuan tentang mekanika statika dan kekuatan material tersebut.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
2
Analisis Struktur I
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
3
Analisis Struktur I
BAB II STATIKA 2.1 Pendahuluan Ilmu statika pada dasarnya merupakan pengembangan dari ilmu fisika, yang menjelaskan kejadian alam sehari-hari, yang berkaitan dengan gaya-gaya yang bekerja. Insinyur sipil dalam hal ini bekerja pada bidang perencanaan, pelaksanaan dan perawatan atau perbaikan konstruksi bangunan sipil. Fungsi utama bangunan sipil adalah mendukung gaya-gaya yang berasal dari beban-beban yang dipikul oleh bangunan tersebut. Sebagai contoh adalah beban lalu lintas kendaraan pada jembatan/jalan, beban akibat timbunan tanah pada dinding penahan tanah (retaining wall), beban air waduk pada bendung, beban hidup pada lantai bangunan gedung, dan lain sebagainya. Oleh karena itu, penguasaan ilmu statika sangat penting dan membantu insinyur sipil dalam kaitannya dengan perencanaan suatu struktur.
2.2 Pengertian Gaya Gaya adalah sesuatu yang menyebabkan deformasi pada suatu struktur. Gaya mempunyai besaran dan arah, digambarkan dalam bentuk vektor yang arahnya ditunjukkan dengan anak-panah, sedangkan panjang vektor digunakan untuk menunjukkan besarannya.
Gambar 2.1 Vektor Gaya Garis disepanjang gaya tersebut bekerja dinamakan garis kerja gaya. Titik tangkap gaya yang bekerja pada suatu benda yang sempurna padatnya, dapat dipindahkan di sepanjang garis kerja gaya tersebut tanpa mempengaruhi kinerja dari gaya tersebut. Apabila terdapat bermacam-macam gaya bekerja pada suatu benda, maka gaya-gaya tersebut dapat digantikan oleh satu gaya yang memberi pengaruh sama seperti yang dihasilkan dari bermacam-macam gaya tersebut, yang disebut sebagai resultan gaya.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
4
Analisis Struktur I
2.3 Vektor Resultan Sejumlah gaya yang bekerja pada suatu struktur dapat direduksi menjadi satu resultan gaya, maka konsep ini dapat membantu didalam menyederhanakan permasalahan. Menghitung resultan gaya tergantung dari jumlah dan arah dari gayagaya tersebut. Beberapa cara/metode untuk menghitung/mencari resultan gaya, yaitu antara lain: 1. Metode penjumlahan dan pengurangan vektor gaya. 2. Metode segitiga dan segi-banyak vektor gaya. 3. Metode proyeksi vektor gaya.
1. Metode penjumlahan dan pengurangan vektor gaya Metode ini menggunakan konsep bahwa dua gaya atau lebih yang terdapat pada garis kerja gaya yang sama (segaris) dapat langsung dijumlahkan (jika arah sama/searah) atau dikurangkan (jika arahnya berlawanan).
Gambar 2.2 Penjumlahan vektor searah dan segaris menjadi resultan gaya R 2. Metode segitiga dan segi-banyak vektor gaya Metode ini menggunakan konsep, jika gaya-gaya yang bekerja tidak segaris, maka dapat digunakan cara Paralellogram dan Segitiga Gaya. Metode tersebut cocok jika gaya-gayanya tidak banyak.
Gambar 2.3 Resultan dua vektor gaya yang tidak segaris
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
5
Analisis Struktur I
Namun jika terdapat lebih dari dua gaya, maka harus disusun suatu segibanyak (poligon) gaya. Gaya-gaya kemudian disusun secara berturutan, mengikuti arah jarum jam.
Gambar 2.4 Resultan dari beberapa vektor gaya yang tidak searah
Jika telah terbentuk segi-banyak tertutup, maka penyelesaiannya adalah tidak ada resultan gaya atau resultan gaya sama dengan nol. Namun jika terbentuk segi-banyak tidak tertutup, maka garis penutupnya adalah resultan gaya. 3. Metode proyeksi vektor gaya Metode proyeksi menggunakan konsep bahwa proyeksi resultan dari dua buah vektor gaya pada setiap sumbu adalah sama dengan jumlah aljabar proyeksi masingmasing komponennya pada sumbu yang sama. Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 2.7.
Gambar 2.5 Proyeksi Sumbu Xi dan X adalah masing-masing proyeksi gaya Fi dan R terhadap sumbu x. sedangkan Yi dan Y adalah masing-masing proyeksi gaya Fi dan R terhadap sumbu y.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
6
Analisis Struktur I
Dengan demikian, metode tersebut sebenarnya tidak terbatas untuk dua buah vektor gaya, tetapi bisa lebih. Jika hanya diketahui vektor-vektor gaya dan akan dicari resultan gaya, maka dengan mengetahui jumlah kumulatif dari komponen proyeksi sumbu, yaitu X dan Y, maka dengan rumus pitagoras dapat dicari nilai resultan gaya (R).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh di bawah ini. 1). Diketahui suatu benda dengan gaya-gaya seperti terlihat pada Gambar 2.6 sebagai berikut. Ditanyakan : Tentukan besar dan arah resultan gaya dari empat gaya tarik pada besi ring.
Gambar 2.6 Contoh soal pertama
2). Diketahui dua orang seperti terlihat pada Gambar 2.7, sedang berusaha memindahkan bongkahan batu besar dengan cara tarik dan ungkit. Ditanyakan: tentukan besar dan arah gaya resultan yang bekerja pada titik bongkah batu akibat kerja dua orang tersebut.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
7
Analisis Struktur I
Gambar 2.7 Contoh soal kedua
Gaya yang bereaksi pada suatu massa kaku, secara umum selain menyebabkan deformasi, ternyata juga menyebabkan rotasi (massa tersebut berputar terhadap suatu titik sumbu tertentu). Posisi vektor gaya yang menyebabkan perputaran terhadap suatu titik sumbu tertentu tersebut disebut sebagai momen.
Gambar 2.8 Model struktur kantilever Pada Gambar 2.8 dapat kita lihat bahwa akibat beban terpusat (lampu gantung dan penutup) yang bekerja pada titik B, maka akan timbul momen pada titik A. Pada kasus tertentu, akibat adanya momen untuk suatu beban yang memiliki eksentrisitas, akan menimbulkan suatu putaran yang disebut dengan torsi atau puntir. Ilustrasi mengenai torsi atau puntir sebagai contoh adalah pada sebuah pipa, seperti terlihat pada Gambar 2.9, Gambar 2.10, dan Gambar 2.11. Jika momen tersebut berputar pada sumbu aksial dari suatu batang (misal pipa) maka namanya adalah torsi atau puntir.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
8
Analisis Struktur I
Gambar 2.9 Torsi terhadap sumbu Z
Dari ilustrasi seperti terlihat pada Gambar 2.11 dapat dilihat bahwa torsi terhadap sumbu-z akan menyebabkan puntir pada pipa. Besarnya momen ditentukan oleh besarnya gaya F dan lengan momen (jarak tegak lurus gaya terhadap titik putar yang ditinjau).
Gambar 2.10 Torsi terhadap sumbu X Dari ilustrasi seperti terlihat pada Gambar 2.12 dapat dilihat bahwa momen terhadap sumbu-z akan menyebabkan bending pada pipa.
Gambar 2.11 Gaya menuju sumbu (konkuren)
Gaya yang menuju suatu sumbu disebut sebagai konkuren, tidak akan menimbulkan momen pada sumbu-z. Perilaku momen pada batang kantilever dapat terjadi dalam beberapa konfigurasi.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
9
Analisis Struktur I
Berikut ini terdapat tiga contoh soal latihan beserta pembahasan untuk menghitung momen.
Gambar 2.12 Contoh soal momen 2.5 Keseimbangan Benda Tegar Suatu benda berada dalam keseimbangan apabila sistem gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut tidak menyebabkan translasi maupun rotasi pada benda tersebut. Keseimbangan akan terjadi pada sistem gaya konkuren yang bekerja pada titik atau partikel, apabila resultan sistem gaya konkuren tersebut sama dengan nol. Apabila sistem gaya tak konkuren bekerja pada suatu benda tegar, maka akan terjadi kemungkinan untuk mengalami translasi dan rotasi. Oleh karena itu, agar benda tegar mengalami keseimbangan, translasi dan rotasi tersebut harus dihilangkan. Untuk mencegah translasi, maka resultan sistem gaya-gaya yang bekerja haruslah sama dengan nol, dan untuk mencegah rotasi, maka jumlah momen yang dihasilkan oleh resultan oleh semua gaya yang bekerja haruslah sama dengan nol. Sebagai ilustrasi, dapat dilihat Gambar 2.12 mengenai gaya dan momen pada sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
10
Analisis Struktur I
Gambar 2.12 gaya dan momen pada tiga sumbu
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
11
Analisis Struktur I
BAB III STRUKTUR STATIS TERTENTU
3.1 Modelisasi Struktur Dalam ilmu teknik sipil perlu diketahui tentang bangunan gedung, jembatan dan lain sebagainya. Untuk itu, perlu mengetahui bagaimana cara pemodelan dalam mekanika teknik, apa itu beban, balok, kolom, reaksi, gaya dalam dan bagaimana cara penggambarannya dalam mekanika teknik. Contoh:
pemodelan gedung bertingkat,
jembatan dalam mekanika teknik. a. bentuk gedung bertingkat dalam pemodelan di mekanika teknik
kolom
balok
perletakan
Gambar 2.1 Gambar portal gedung bertingkat dalam mekanika teknik
b. Bentuk jembatan sederhana dalam pemodelan di mekanika teknik. balok
perletakan Gambar 2.2 Gambar jembatan dalam mekanika teknik
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
12
Analisis Struktur I
3.2 Jenis-Jenis Beban Pada umumnya beban-beban yang bekerja pada struktur bangunan adalah beban mati, beban hidup, beban gempa, beban angin, beban suhu dan sebagainya. Beban yang bergerak umumnya disebut beban hidup, misalnya: manusia, kendaraan, dan lain sebagainya. Beban yang tidak dapat bergerak disebut beban mati, misal: meja, peralatan dan lain sebagainya. Ada beberapa macam bentuk beban yaitu beban terpusat dan beban terbagi rata. a.
Beban terpusat adalah adalah beban yang terkonsentrasi di suatu tempat. Contoh : manusia yang berdiri di atas jembatan, kendaraan yang berhenti di atas jembatan.
Kendaraan di atas jembatan
.
P1
P2 Penggambaran dalam mekanika teknik
Gambar 2.3 Idealisasi beban terpusat dalam mekanika teknik b.
Beban terbagi rata adalah beban yang tersebar secara merata baik kearah memanjang maupun ke arah luas.
anak-anak berbaris diatas jembatan
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
13
Analisis Struktur I
q t/m’ Penggambaran dalam mekanika teknik
Gambar 2.4 Penggambaran beban terbagi rata dalam mekanika teknik 3.3 Perletakan / Tumpuan Semua beban yang bekerja pada struktur akhirnya dilimpahkan ke perletakan yang segera akan memberikan respons gaya-gaya reaksi untuk mempertahankan keseimbangan. Fungsi utama perletakan/tumpuan dalam bidang teknik sipil adalah untuk menjaga struktur supaya kondisinya tetap stabil. Ada 3 (tiga) jenis perletakan antara lain: 1. Perletakan Sendi
Sifat-sifat perletakan sendi : -
Dapat menahan gaya vertikal dan horisontal
-
Tidak dapat menahan momen (rotasi)
2. Perletakan Rol
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
14
Analisis Struktur I
Sifat-sifat perletakan rol : -
Dapat menahan gaya vertikal
-
Tidak dapat menahan momen (rotasi)
3. Perletakan Jepit
Sifat-sifat perletakan jepit : -
Dapat menahan gaya vertikal dan horisontal
-
Dapat menahan momen (rotasi)
3.4 Definisi Struktur Statis Tertentu Dalam bangunan teknik sipil (gedung, jembatan, dan lain sebagainya) ada beberapa macam sistem struktur, mulai dari yang sederhana sampai dengan yang kompleks. Sistem struktur yang paling sederhana disebut struktur statis tertentu. Contoh: Balok jembatan diatas 2 tumpuan sederhana sendi-rol. Balok jembatan A
B
Gambar 2.5 Gambar struktur jembatan dalam Mekanika Teknik
Struktur disebut statis tertentu jika struktur tersebut bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan. Ada beberapa syarat-syarat keseimbangan, yaitu:
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
15
Analisis Struktur I
∑ V = 0 ( jumlah gaya − gaya vertikal sama dengan nol) ∑ H = 0 ( jumlah gaya − gaya horisontal sama dengan nol) ∑ M = 0 ( jumlah momen sama dengan nol) Dalam syarat keseimbangan ada 3 persamaan, maka pada struktur statis tertentu jumlah bilangan yang tidak diketahui dalam persamaan tersebut maksimum adalah 3 buah. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1
RAH
P
B
A
RBV
RAV
Gambar 2.6 Contoh struktur statis tertentu balok sederhana Diketahui balok sederhana diatas dua perletakan sendi-rol dengan beban P seperti pada gambar. Titik A adalah sendi dengan 2 reaksi tidak diketahui (RAV dan RAH) dan titik B adalah rol dengan 1 reaksi tidak diketahui (RBV). Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 3 buah, maka struktur tersebut adalah struktur statis tertentu.
Contoh 2 P
MA RAH A RAV Gambar 2.7 Contoh struktur statis tertentu struktur kolom
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
16
Analisis Struktur I
Suatu struktur kolom yang berkonsol. Titik A adalah jepit dengan 3 reaksi yang tidak diketahui (RAV , RAH , MA). Jumlah reaksi yang tidak diketahui ada 3 buah, maka struktur tersebut adalah statis tertentu.
Contoh 3 P
A B Gambar 2.8 Contoh struktur statis tak tentu Suatu balok diatas 2 perletakan sendi-sendi. Titik A adalah sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui (RAV dan RAH) dan titik B adalah sendi dengan 2 reaksi yang tidak diketahui (RBV dan RBH). Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 4 buah, sedang persamaan syarat keseimbangan hanya ada 3 buah, maka struktur tersebut adalah struktur statis tak tertentu.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
17
Analisis Struktur I
BAB IV GAYA DALAM 4.1 Pendahuluan Bangunan teknik sipil pada umumnya terbuat dari struktur beton, kayu, baja dan lain-lain. Dalam pembuatan struktur-struktur tersebut perlu diketahui ukuran / dimensi dari tiap-tiap elemen strukturnya (balok, kolom, pelat, dan sebagainya). Untuk menentukan dimensi-dimensi dari elemen struktur tersebut, memerlukan gaya dalam.
Contoh : dua buah struktur balok dengan beban dan bentang berbeda, sehingga gaya dalam yang diterima oleh kedua balok tersebut berbeda. Dengan demikian, kedua struktur tersebut mempunyai dimensi yang berbeda.
3.2 Pengertian Gaya Dalam Suatu balok terletak pada 2 perletakan dengan beban seperti pada gambar, maka balok tersebut akan menderita beberapa gaya dalam yaitu :
•
Balok menderita beban lentur yang menyebabkan balok tersebut melentur. Gaya dalam yang menyebabkan pelenturan balok tersebut disebut Momen (M).
•
Balok tersebut menderita gaya lintang, akibat adanya reaksi perletakan atau gayagaya yang tegak lurus ( ⊥ ) sumbu batang, balok tersebut menerima gaya dalam yang disebut Gaya Lintang (D).
•
Balok tersebut menderita gaya tekan karena adanya beban P dari kiri dan kanan. Balok yang menerima gaya yang searah dengan sumbu batang, maka akan menerima beban gaya dalam yang disebut Normal (N). P1
P
P B beban
reaksi A
RB
RA l
Gambar 3.1 Balok diatas 2 perletakan dan menerima beban P Dengan demikian, gaya-gaya dalam pada struktur antara lain Momen, Gaya Lintang, dan Gaya Normal.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
18
Analisis Struktur I
3.2.1 Gaya Dalam Momen Momen dapat didefinisikan sebagai perkalian antara gaya dengan jarak. Untuk lebih memahami gaya dalam momen ini, perhatikan ilustrasi di bawah ini. c
P (kg)
A
q kg/m’ B
c x
l (m)
RA
RB
Gambar 3.2 Balok yang menerima beban terpusat dan terbagi rata Diketahui suatu balok yang terletak diatas 2 tumpuan dengan beban seperti pada gambar. Balok tersebut menerima beban lentur, sehingga balok akan melendut, yang berarti balok tersebut menerima beban lentur atau gaya dalam momen. Balok yang terletak antara tumpuan A dan B menderita momen. Momen yang terjadi pada daerah balok antara perletakan A ke perletakan B dengan sejarak x dari A (ditinjau kiri potongan c-c) adalah: Mx = RA . x – q.x. ½ x
(3.1)
RA : reaksi di A merupakan gaya x
: jarak
q.x : gaya dari beban terbagi rata sejauh x yang diberi notasi (Q1 = qx) q (kg/m’) titik berat qx c
½x
c
Q1= qx x Gambar 3.3. Gambar potongan struktur bagian kiri Momen yang terjadi pada daerah balok antara perletakan A ke perletakan B dengan sejarak (l-x) dari B (ditinjau kanan potongan c-c) adalah:
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
19
Analisis Struktur I
Mx = RB (l-x) – q (l – x) . ½ (l -x) q (kg/m’)
c
(3.2)
titik berat dari q (l-x)
½ (l-x) c
Q2 = q (l-x) l -x
Gambar 3.4 Gambar potongan struktur bagian kanan Menghitung besarnya momen di c-c dari kiri potongan (persamaan 3.1) atau dari kanan (persamaan 3.2) akan menghasilkan nilai momen yang sama. Untuk memberi perbedaan antara momen-momen yang mempunyai arah berbeda, maka perlu memberi tanda terhadap momen tersebut. Jika momen tersebut mampu melentur suatu balok sehingga serat atas tertekan dan serat bawah tertarik maka momen tersebut diberi tanda (+) = positif. Demikian juga sebaliknya. Tertekan (-)
Tertarik (+)
Gambar 3.5 Tanda momen
3.2.2 Gaya Lintang Gaya lintang adalah gaya-gaya yang tegak lurus dengan sumbu batang. Sebuah balok terletak diatas 2 perletakan A dan B, menerima gaya-gaya yang arahnya tegak lurus terhadap sumbu balok. Gaya-gaya tersebut adalah RA, RB dan q. yang memberikan gaya lintang terhadap balok A-B tersebut
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
20
Analisis Struktur I
c
P (kg)
q (kg/m’)
c
RA
RB
Gambar 3.6 Balok sederhana di atas 2 tumpuan sendi-rol.
• Tinjau potongan di kiri c Dc = R A – q x = R A – Q1
(3.3) c
q (kg/m’)
c Q1=q x RA Gambar 3.7 Potongan balok bagian kiri c
• Tinjau potongan di kanan c Dc = RB – q (l-x) – P = RB – Q2 – P
(3.4)
P c
q (kg/m’)
c
Q2 = q (l-x) (l – x) RB
Gambar 3.8 Potongan balok bagian kanan c Gaya lintang diberi tanda positif (+), jika dilihat di kiri potongan titik yang ditinjau,
jumlah gaya arahnya ke atas, atau kalau dilihat di kanan potongan, jumlah
gaya arahnya ke bawah. Gaya lintang diberi tanda negatif (-), jika dilihat di kiri titik
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
21
Analisis Struktur I
potongan yang ditinjau arahnya kebawah ( ↓ ) dan bila ditinjau di kanan titik potongan yang ditinjau arahnya ke atas.
3.2.3 Gaya Normal Gaya normal adalah gaya-gaya yang arahnya sejajar (//) terhadap sumbu beban balok. Apabila sebuah balok tidak ada beban yang sejajar terhadap sumbu beban balok, maka dikatakan balok tersebut tidak memiliki gaya normal. P
P
RA
Gambar 4
RB
Gambar 3.9 Balok menerima beban gaya normal Gaya normal bertanda positif (+) bila arah gayanya menekan batang, sedangkan gaya normal bertanda negatif bila arah gayanya menarik balok.
3.2.4 Contoh-Contoh Balok Struktur Statis tertentu Contoh 1 (tanpa penyelesaian) Diketahui sebuah balok struktur statis tertentu dengan geometri dan pembebanan seperti pada gambar. Gambar M, D, N balok tersebut. 1t
4m
1 t/m B
A 8m
Gambar 3.10 Balok sederhana dengan dua tumpuan
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
22
Analisis Struktur I
Contoh 2 (tanpa penyelesaian) Diketahui balok konsol (kantilever) dengan perletakan titik A jepit dengan geometri dan pembebanan seperti pada gambar. Gambar bidang M, D, N 1 ton
1 t/m’
A
B 2m
Gambar 3.11 Balok kantilever
Contoh 3 (dengan penyelesaian) Sebuah balok statis tertentu diatas dua perletakan dengan beban seperti pada gambar. Gambar bidang momen (M), gaya lintang (D), dan gaya normal (N). P1 = 2 2 t (), P2 = 6t (), P3 = 2t () P4 = 3t ; q1 = 2 t/m’; q2 = 1 t/m’ P1 = 2 2 t
P1v = 2 t
q2 = 1 t/m’
P2 = 6 ton
q1 = 2t/m’
45°
P4 = 3 ton
C P1H = 2 t A
D P = 2t 3
E RBH
B RBV
6m RAV 2m
10 m
2m
Gambar 3.12 Balok diatas 2 perletakan dan pembebanannya
Penyelesaian • Mencari reaksi vertikal
Misalkan arah reaksi RA dan RB ke atas. Σ MB = 0
RAV.10 – P1ν.12 – q1.6.7 – P2.4 + 2.q2.1 = 0
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
23
Analisis Struktur I
RAV =
2.12 + 2.6.7 + 6.4 − 2.1.1 = 13 ton () 10
Σ ΜΑ = 0 RBV.10 – q2.q1 – P2.6 – q1.6.3 + P1ν.2 = 0 RBV =
1.2 .1 + 6.6 + 2.6.3 − 2.2 = 9 ton () 10
Karena tanda RAV dan RBV adalah positif berarti arah reaksi RBV sama dengan permisalan. Untuk mengetahui apakah reaksi RA dan RB adalah benar, maka perlu dilakukan kontrol dengan: ∑V=0
(P1ν + q1.6 + P2 + q2.2) – (RAν + RBν) = 0 (2 + 2.6 + 6 + 1.2) – (13 + 9) = 0 • Mencari Raksi Horizontal Perletakan A rol sehingga tidak ada RAH dan B sendi sehingga ada RBH. Untuk mencari RBH menggunakan syarat keseimbangan. ΣH = 0 RBH = P1H + P3 + P4 = 2 + 2 + 3 = 7 ton () • Menghitung dan Menggambar Gaya Lintang (D) Dihitung secara bertahap Daerah C A lihat dari kiri Gaya lintang dari C ke A bagian kiri adalah konstan DAkr = P1ν = - 2 ton (gaya lintang (D) di kiri titik A, di kiri potongan arah gaya lintang kebawah () DA kn (gaya lintang (D) di kanan titik A) DA kn = - P1ν + RAν = -2 + 13 = 11 ton (di kiri potongan arah gaya lintang ke atas). Beban P1 = 2 2 (45°) diuraikan menjadi P1V = 2t () dan P1H = 2t ()
2t
q1 = 2 t/m’ P2 = 6 ton P3 = 2 ton
C
D 6m RA = 13 t X
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
24
Analisis Struktur I
Variabel x berjalan dari A ke D (sebelah kiri titik P2), sedang beban yang dihitung dimulai dari titik C. Dx = -2 + 13 – q1 x = (-P1V + RA – q1x) Untuk x = 0 DAkn = -2 + 13 = + 11 ton Untuk x = 6 m DD kr= -2 + 13 – 12 = - 1 ton (di kiri potongan gaya lintang arahnya ke bawah)
DD kn : sedikit di kanan titik D, melampaui beban P2. DD kn : -2 + 13 – 12 – 6 = - 7 ton (dikiri potongan arah gaya lintang ke bawah) Dari titik D s/d B tidak ada beban, jadi Bidang D sama senilai DD kn (konstan dari D sampai B). q2 = 1 t/m’ B
E
P4 = 3 ton
x.2 RBV = 9 ton Lebih mudah kalau dihitung dari kanan dari E menuju B. Variabel x2 berjalan dari E ke B. DE = 0 Dx2 = q2 . x2 = + x2 (persamaan liniear) DB kn kanan perletakan B (x2 = 2 m) DB kn = + 2 ton (kanan potongan arah ke kebawah) DB kr (kiri titik B) DB kr = + 2 – 9 = - 7 ton (kanan potongan arah ke atas) • Menghitung dan Menggambar Bidang Normal (N)
Daerah C-D Dihitung dari kiri sampai D, P2 tidak termasuk dari C ke D nilai gaya normal konstan. ND kr = - P1H = - 2 ton (gaya normal menekan batang) Daerah D-B Dihitung dari kiri (beban yang dihitung mulai dari titik C, batang dari D ke B nilai gaya normal konstan). ND kn = (-2 – 2) ton = - 4 ton (gaya normal menekan batang) NB kr = NDkn = - 4 ton
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
25
Analisis Struktur I
Daerah B-E Dihitung dari kanan, dari E ke B nilai gaya normal konstan. NB kn = + 3 ton (gaya normal menarik batang) Kalau dihitung dari kiri, dimana gaya normal dihitung dari titik C. Dari kiri DBkn = (-4 + 7) t = + 3 ton (gaya normal menarik batang) • Menghitung dan menggambar bidang momen (m)
Daerah C A C
P1V = 2t
A
P1H = 2t 2m x Variabel x berjalan dari C ke A Mx = - P1v . x = - 2 x (linier) Untuk x = 0 Mc = 0 x = 2 MA = - 2.2 = - 4 tm. (momen P1v . x mengakibatkan serat atas tertarik, sehingga tanda negatif (-). Daerah A D Gaya-gaya yang dihitung mulai dari titik C q1 = 2 t/m’
C
P1V = 2t
A D
P1H = 2t
x.1 RAV = 13t 2m
6m
Variabel x1 berjalan dari A ke D
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
26
Analisis Struktur I
Mx1 = -P1V (2 + x1) + RA.x1 – ½ q1 x1² Mx1
= -2 (2 + x1) + 13 x1 – ½ q1 x12 (persamaan parabola) = - ½ q1 x12 + 11 x1 – 4
Mencari momen maksimum
D Mx1 =0 d x1 d Mx1 = − q1 x1 + 11 = 0 d x1
→ x1 = 5.5.m
Letak dimana harga Mmax = Letak dimana harga (D = 0) x1 = 5.5 m
Mmax = - ½ .2 (5.5)² + 11.5.5 – 4 = 26.25 tm.
Mencari titik dimana M = 0 Mx1
= - ½ .q1.x12 + 11 x1 – 4 = 0 = x12 – 11 x1 + 4 = 0
x1 = 0.3756 m (yang dipakai) x1’ = 10.62 m (tidak mungkin) Untuk x1 = 6 MD = -36 + 66 – 4 = + 26 tm Daerah A D Daerah E-B (dihitung dari kanan, titik E ke titik B) variabel x2 berjalan dari E ke B q2 = 1 t/m’
B
E
P4 = 3 t
2m x2 Mx2 = - ½ q2 x22 Untuk x2 = 0 ME = 0 Untuk x2 = 2 MB = - ½ . 1.4 = -2 tm
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
27
Analisis Struktur I
Gambar Bidang M, D, N P2 = 6 ton
q1 = 2t/m’
P1V = 2 t C P1H = 2 t
A
D
q2 = 1t/m’
B
P3 = 2 ton
RBV = 9 ton
RAV = 13 t
11 2
E P4 = 3 ton RBH = 7t
+
2t
1t
-
6t
+
-
7t
-
4t
BIDANG D
2t 2t
3t
+
BIDANG N 5.5 m
2 tm
linier -
4 tm
--
parabola
+ 0.286 linier 0.3756 parabola
BIDANG M Gambar 3.13 Gambar bidang momen, gaya lintang, dan gaya normal
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
28
Analisis Struktur I
4.3 Beban Segitiga Pada umumnya beban tak hanya terpusat atau terbagi rata, namun ada yang berbentuk segitiga seperti beban tekanan air dan tanah. Prinsip dasar penyelesaiannya adalah sama dengan yang lain, namun kita harus lebih hati-hati karena bebannya membentuk persamaan. Untuk mempermudah pengertian beban segitiga ini, maka akan diberikan contoh struktur balok sederhana yang dibebani beban merata segitiga.
ax =
x .3 6
x 2/3 x
h = 3 ton/m’
1/3 x
A
B Px
RA
RB P
2 l/3
l/3
l=6m
3t
+
D=0
6t
BIDANG D
3,464 m
+
BIDANG M
Mmax
Gambar 3.14 Gambar bidang momen, gaya lintang, dan gaya normal
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
29
Analisis Struktur I
Penyelesaian Total beban P=½lxh P=
3. 6 = 9 ton 2
Σ MB RA.l – P l/3 = 0 RA . 6-9.2 = 0
RA =
2 .9 = 3 ton 6
Σ MA RB . l – P.2/3 l = 0 RB .6-9.4 = 0
RB =
4 .9 = 6 ton 6
Menghitung Bidang D x = variable bergerak dari A ke B ax =
x x .3 = 6 2
Px = ½ x . ax
Px =
x x x² . = 4 2 4
Persamaan gaya lintang Dx = RA – Px Dx = 3 -
x² 4
Tempat dimana gaya lintang = 0 D=0
x² =3 4 x = 12 = 3,464 m
x = 0 DA = + 3 ton x = 6 DB = - 6 ton
Menghitung Bidang M Mx
= RA . x – Px . = 3x -
x 3
x² x x³ . = 3x − 4 3 12
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
30
Analisis Struktur I
D=0
M max (x = 3,464 m)
3 3,464 M max 3.3,464 - = 10,392 − 3,464 = 6,928 tm 12
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
31
Analisis Struktur I
BAB V GARIS PENGARUH 5.1 Pendahuluan Kalau kita meninjau atau melihat suatu jembatan, maka struktur tersebut selalu dilewati oleh beban yang berjalan. Di sisi lain kalau kita menganalisis struktur maka yang dicari dari struktur tersebut adalah reaksi kemudian gaya-gaya dalamnya (momen, gaya lintang dan gaya normal). Jika dua hal tersebut dipadukan, maka kaitannya adalah Berapa besarnya nilai maksimum dari gaya-gaya dalam di suatu tempat di struktur tersebut, jika ada beban yang berjalan di atasnya? Untuk
menjawab hal tersebut
diperlukan suatu garis pengaruh. Garis pengaruh ini berfungsi sebagai alat bantu untuk mencari nilai reaksi, momen, gaya lintang, dan gaya normal, jika di atas struktur jembatan tersebut berjalan suatu muatan. Untuk mempermudah suatu penyelesaian, maka suatu garis pengaruh, beban yang dipakai sebagai standar adalah beban P sebesar satu satuan (ton atau kg atau Newton) yang berjalan diatas struktur suatu jembatan tersebut. Sedangkan bentuk garis pengaruh tersebut adalah suatu garis yang menunjukkan nilai reaksi (R) atau momen (M), gaya lintang (D) atau gaya normal (N) di suatu tempat pada balok tersebut.
5.2 Definisi Garis Pengaruh Garis pengaruh adalah garis yang menunjukkan besarnya reaksi (R) atau momen (M), gaya lintang (D), gaya normal (N) disuatu titik akibat pengaruh dari beban sebesar 1 ton berjalan.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
32
Analisis Struktur I
Contoh 1 : Mencari garis pengaruh Reaksi (RA dan RB) x = variabel sesuai letak (posisi) P yang bergerak dari titik
x P = 1 ton
A ke titik B Muatan P = 1 ton berjalan dari A ke B
A
B RA
l
RB
G.P.RA (Garis Pengaruh Reaksi di A) Σ MB = 0 RA . l – P (l-x) = 0 RA =
G.P. RA
1 ton
P(l - x) l − x = ton (linier) l l
Untuk P di A x = 0 RA = 1 ton Untuk P di B x = l RA = 0 ton
+
G.P. RB +
G.P.RB (Garis Pengaruh Reaksi di B) Σ MA = 0 RB.l – P.x = 0 P.x x RB = = ton (linier) l l
1 ton Untuk P di A x = 0 RB = 0 Untuk P di B x = l RB = 1 ton
Gambar 4.1 Garis pengaruh RA dan RB
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
33
Analisis Struktur I
5.3 Kegunaan dari suatu Garis Pengaruh X
P=1t
A
B RA
l
RB Ini adalah GP.RA (Garis Pengaruh Reaksi di A)
1t
+
Garis ini menunjukkan besarnya nilai RA sesuai dengan posisi P yang berjalan diatas gelagar
GP.RA + P=1t GP.RB C
A a
1t
B
b y1
+
GP.RA
y2
+
GP.RB
P=1t
Gambar 2.39
1t
Ini adalah GP.RB (Garis Pengaruh Reaksi di B) Garis ini menunjukkan besarnya nilai RB sesuai dengan posisi P yang berjalan diatas gelagar
* Jika beban P = 1 ton berada di titik C sejauh a dari perletakan A dan sejauh b dari perletakan B, maka besarnya reaksi di A RA = y1 dan besarnya reaksi di B RB = y2, dimana b a ton, jadi y1 = ton dan y2 = l l 1t b a RA = ton dan RB = ton l l
Kegunaan dari garis pengaruh untuk beban di titik c D
A c 1t
B d
y3
+
GP.RA +
GP.RB
y4 +
1t
P= 4 ton C
A
B Kegunaan garis pengaruh untuk beban di titik D
a
1t
+
b
Bagaimana kalau P tidak sama dengan 1 ton Jika P = 4 ton terletak di titik c Maka RA = 4 . y1 dan RB = 4 . y2 atau 4b 4a RA = dan RB = l l
y1 GP.RA y2
GP.RB Gambar 4.2
* Jika beban P = 1 ton berada di atas titik D sejauh c dari perletakan A dan sejauh d dari perletakan B, maka besarnya reaksi di A RA = y3 dan besarnya reaksi di B RB = y4, dimana d c y3 = ton dan y4 = ton, jadi l l d c ton dan RB = ton RA = l l
+
1t
Kegunaan garis pengaruh untuk beban tidak sama dengan 1 ton
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
34
Analisis Struktur I
P=6t D
A
B
c
Maka RA = 6 . y3 dan RB = 6 y4 atau
d
RA =
y3
+
1t
Jika P = 6 ton terletak ti titik D
Kegunaan garis pengaruh untuk beban P = 6t
GP.RA y4
GP.RB
++
6d c ton dan R B = 6 ton l l
1t
Bagaimana kalau ada beberapa beban : •
Jika di atas gelagar ada beban
P= 4 ton P2= 6 ton P1 = 4t di c, sejarak dari titik A, sejarak b dari C
A
D
a
B
b
dari titik B, maka
c
1t
+
GP.RB
d y3
y1 y2
titik B, dan P2 = 6t sejarak c dari titik A, sejarak d
GP.RA +
y4
1t
RA = 4y1 + 6y3 = 4 .
b d ton + 6 ton l l
RB = 4 y2 + 6 y4 = 4
a c ton + 6 ton l l
Gambar 4.3 Kegunaan garis pengaruh untuk beban P1 = 4 ton dan P2 = 6 ton
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
35
Analisis Struktur I
Mencari Garis Pengaruh Gaya Lintang (G.P.D) P = 1 ton berjalan dari A ke B X = variabel yang bergerak sesuai dengan posisi P dari A ke B C = suatu titik terletak antara A – B P = 1t
G.P. Dc (Garis Pengaruh Gaya Lintang di C)
x
P berjalan dari A ke C B
A
C RA
RB
l a
Σ MA = 0 RB . l – P.x = 0 RB =
Px x = ton l l
Dc dihitung dari kanan
b
Dc = -RB = −
x ton (linier ) l
Untuk P di A x = 0 Dc = 0
P = 1t
Untuk P di Ckr x = a Dc = -
x A
B
C a l
a ton l
P berjalan dari C ke B RA =
P (l − x ) l − x = ton l l
Dc dihitung dari kiri
G.P. RB
Dc = RA =
+ G.P. RA b/l G.P. Dc
l−x ton (linier) l
Untuk P di Ckn x = a Dc =
l −a b = ton l l
Untuk P di B x = l Dc =
l−l = 0 ton l
Gambar 4.4. Gambar garis pengaruh gaya lintang
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
36
Analisis Struktur I
Mencari Garis Pengaruh Momen (G.P.M) P = 1 ton berjalan dari A ke B x = variabel yang bergerak dari A ke B sesuai posisi P. P = 1t G.P. Mc (Garis Pengaruh Gaya Lintang di C)
x
P berjalan dari A ke C B
A
C RB = RA
RB
l
Px x = ton l l
Mc dihitung dari kanan a
b
Mc = + RB . b = +
x . b tm (linier) l
Untuk P di A x = 0 Mc = 0 Untuk P di C x = a Mc = +
P = 1t
a.b tm l
x
P berjalan dari C ke B A
B
C
RA =
P (l − x ) l−x ton = ton l l
Mc dihitung dari kiri
l −x Mc = + RA . a tm = l + GP RB.b
Untuk P di C x = a Mc =
a.b tm l
l −a b = . a . tm l l GP RA.a
G.P. Mc
. a tm
l −l Untuk P di B x = l Mc = a . tm l = 0 tm
Gambar 4.5. Gambar garis pengaruh momen di c (GP Mc)
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
37
Analisis Struktur I
3. Contoh lain
Diketahui : Balok ABC diatas 2 perletakan A dan B
P
x D
Ditanya :
C
B
A 2m
l=6m
Gambar Garis Pengaruh RA, RB, MD, DD, DBkn
Jawab :
l 1= 2 m
GP.RA : Σ MB = 0 RA = GP.RA
1/3 t
-
Untuk P di A x = 0 RA = 1 ton Untuk P di B x = l RA = 0 Untuk P di C x = 8 l −8 6−8 2 1 RA = = = − ton = ton l 6 6 3
+
1t
+
1t
4 t 3
2/3 ton GP.MD
-
+ GP.RB.4
GP.RA.2 4 tm 3
1 t 3
2 3
1 t 3
GP.DD -
+
x ton lt Untuk P di A x = 0 RB = 0 Untuk P di B x = l RB = 1 ton Untuk P di C x = 8 8 8 4 RB = = = ton l 6 3 GP.RB : Σ . MA = 0 RB =
GP.RB
GP.RB
l−x ton l
GP. MD P antara A-D lihat kanan bagian x MD = RB . 4 = . 4 tm l Untuk P di A x = 0 MD = 0 Untuk P di D x = 2 m 2.4 4 MD = = tm 6 3 P antara D-C lihat bagian l−x M D = RA . 2 = .2 l Untuk P di D x = 2m l−2 6−2 4 MD = .2 = .2 = tm l 6 3 Untuk P di B x = 8 m 6−8 2 MD = . t = − tm 6−3 3
GP.RA
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
38
Analisis Struktur I
GP.DD P antara A-D lihat kanan bagian x DD = - RB = - ton l P di A x = 0 DD = 0 P di D x = 2 DD = -2/6 ton = -1/3 ton P antara D-C lihat kiri bagian
l−x ton l
DD = R A =
6−2 2 = ton 6 3 P di B x = 6 m DD = 0 P di D x = 2 DD =
P di C x = 8 m DD =
6−8 1 = − ton 6 3 GP.DBkr
Bkn
Bkr
C
B
A
P antara A-Bkr lihat kanan bagian DBkr = - RB P antara B-C lihat kiri bagian
GP.DBkr
DBkr = + RA -
1t
GP.RA
1/3t
GP.DBkn
GP.RB
P antara A – B lihat kanan bagian DBkn = 0 P antara B – C lihat kanan bagian
GP.DBkn
DBkn = P = 1 ton +
1t
GP.MB 2 tm
P antara A – B lihat kanan bagian MB = 0
-
GP.MB
P antara B – C lihat kanan bagian MB = -x tm
x
P di B x = 0 MB = 0 P di C x = 2m MB = -2 tm
Gambar 4.6 Garis pengaruh M, D, N Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
39
Analisis Struktur I
BAB VI BALOK GERBER 5.1 Pendahuluan Balok gerber adalah struktur balok yang mempunyai jumlah reaksi perletakan > tiga buah, namun masih bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan. Contohnya pada struktur jembatan balok pada sungai yang mempunyai lebar cukup besar, sehingga dibuatlah jembatan yang berbentang lebih dari satu. Dalam persamaan keseimbangan hanya mempunyai tiga buah persamaan keseimbangan yaitu ΣV = 0, ΣH = 0, ΣM = 0, berarti untuk bisa menyelesaikan struktur jembatan dengan dua bentang (sendi-rol-rol) masih memerlukan 1 buah persamaan baru lagi, supaya bilangan yang tidak diketahui (RAV, RAH, RBV, RCV) bisa didapat. Untuk struktur statis tertentu persamaan yang tersedia hanya tiga buah ΣV = 0, ΣH = 0, ΣM = 0, sehingga struktur tersebut disebut struktur statis tak tentu. Kalau satu persamaan baru tadi bisa disediakan maka syarat-syarat keseimbangan masih bisa dipakai untuk menyelesaikan struktur jembatan tersebut (4 buah bilangan yang dicari yaitu RAV; RAH; RBV, RCV dengan 4 buah persamaan yaitu
ΣV = 0; ΣH = 0; ΣM = 0 dan satu persamaan baru). Dalam kondisi tersebut struktur masih statis tertentu, karena masih bisa diselesaikan dengan syarat-syarat keseimbangan dan strukturnya dinamakan dengan struktur balok gerber. Contoh : Sendi gerber RAH A RAV
B
D
RBV
C RCV
Gambar 5.1 Contoh struktur balok gerber Suatu struktur balok gerber ABC dengan perletakan seperti gambar. A sendi (2 reaksi), B rol (1 reaksi), C rol (1 reaksi), jumlah reaksinya adalah 4 buah. Persamaan yang tersedia adalah ΣV = 0; ΣH = 0, ΣM = 0 dan 1 buah persamaan baru yaitu Σ MD = 0. Jadi jumlah persamaan ada 4 buah yaitu ΣV = 0; ΣH = 0; ΣM = 0 dan ΣMD = 0.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
40
Analisis Struktur I
Jumlah bilangan yang tidak diketahui = jumlah persamaan yang ada (ΣV = 0; ΣH = 0;
ΣM = 0 dan ΣMD = 0) = jumlah persamaan RAV; RAH; RBV dan RCV) = jumlah bilangan yang dicari. Jadi struktur tersebut disebut balok gerber yang masih statis tertentu.
6.2 Bentuk Sendi Gerber Kalau balok gerber tersebut adalah dibuat dari balok beton, maka bentuk struktur gerber tersebut seperti pada gambar. Sendi gerber D A
B
C
RAH
RAV
RB
RC
Detail perletakan D (sendi gerber) Gambar 5.2 Detail sendi gerber
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
41
Analisis Struktur I
6.3 Menentukan Letak Sendi Gerber q kg/m A
B
C
L1
L2
1
2
Gambar 5.3 letak sendi gerber
Jika balok ABC, sendi gerber belum ada, maka struktur masih statis tak tentu. Untuk dapat menyelesaikan struktur tersebut, maka perlu persamaan baru ΣMD = 0, maka sebaiknya posisi sendi gerber (titik D) ditempatkan dimana posisi momennya bernilai sama dengan 0. Alternatif tempat dimana momennya sama dengan nol adalah titik 1 dan 2 yang posisinya di kiri dan kanan perletakan B. Karena kita hanya membutuhkan 1 buah persamaan baru, maka kita cukup memilih salah satu dari 2 alternatif tersebut diatas, sehingga struktur bisa diselesaikan.
Alternatif (1) sendi gerber D Gambar a1 A
1
B
C
B
C
1 A
D
Gambar a2
D A Gambar a3 B
C
Gambar 5.4 Alternatif 1 untuk letak sendi gerber
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
42
Analisis Struktur I
Jika kita memilih titik (1) sebagai sendi gerber, maka gambarnya adalah seperti pada Gambar a1 dimana balok AD terletak di atas balok DBC. Balok tersebut jika disederhanakan akan seperti pada Gambar a2, dan diuraikan strukturnya seperti pada gambar a3. Balok AD dengan perletakan A sendi dengan 2 reaksi (RAV, RAH) perletakan D sendi dengan 2 reaksi (RDV, RDH), jumlah reaksi ada 4 buah, sehingga strukturnya adalah statis tak tentu. Balok DBC dengan perletakan B rol dengan 1 buah reaksi (RBV), perletakan C rol dengan 1 buah reaksi (RCV), jumlah reaksi ada 2 buah, karena perletakan B dan C adalah rol, maka struktur balok DBC tidak stabil, sehingga tidak mungkin memasang sendi gerber di titik tersebut.
Alternatif (2)
sendi gerber D
C Gambar b1 2
A
B C B Gambar b2
A RDH
C
D RDV
A
B D
Gambar b3
RDH
Gambar 5.5 Alternatif 2 untuk letak sendi gerber
Jika yang dipilih adalah titik (2) sebagai sendi gerber, maka gambarnya adalah seperti gambar (b1) dimana balok DC terletak diatas balok ABD. Balok tersebut jika
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
43
Analisis Struktur I
gambarnya disederhanakan menjadi gambar (b2) dan diuraikan strukturnya akan menjadi seperti pada gambar (b3). Balok DC yang terletak diatas balok ABD. Perletakan D sendi ada 2 reaksi (RDV dan RDH), dan perletakan C rol dengan 1 reaksi (RCV). Jumlah reaksi adalah 3 buah, maka balok DC adalah statis tertentu. Perhatikan balok ABD, perletakan A sendi ada 2 reaksi (RAH dan RAV), perletakan B rol ada 1 reaksi (RBV). Jumlah total reaksi adalah 3 buah, jadi balok ABD masih statis tertentu. Jadi pemilihan titik (2) sebagai sendi gerber adalah mungkin.
6.4 Mekanisme Penyelesaian Balok Gerber A
D
B
C
Gambar a
D Gambar b1 A
B
C
tidak mungkin D A
Gambar b2
RD
B RD
C
D C A
Gambar c1
B D
mungkin
C RD
Gambar c2
RD A
B
Gambar 5.6 Mekanisme penyelesaian balok gerber
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
44
Analisis Struktur I
Diketahui balok gerber seperti pada gambar 5.6 (a). Langkah pertama yang dikerjakan adalah memisahkan balok tersebut menjadi beberapa balok statis tertentu menjadi gambar 5.6 (b1 dan b2) dan gambar 5.6 (c1 dan c2).
Untuk Gambar b1 dan b2 Titik D dari balok ABD Gambar 5.6 b1 menumpu pada titik D pada balok DC, dan jika diuraikan strukturnya menjadi seperti pada gambar 5.6 b2, dimana titik D pada balok ABD menumpu pada titik D balok DC, sehingga reaksi RD dari balok ABD akan menjadi beban (aksi) pada titik D pada balok DC.
Balok ABD (gambar 5.6 b2), perletakan A sendi (ada 2 reaksi), perletakan B rol (ada 1 reaksi), perletakan D sendi (ada 2 reaksi). Jadi total perletakan balok ABD ada 5 buah, jadi balok ABD merupakan balok statis tak tentu.
Balok DC (gambar 5.6 b2), titik D bebas (tidak mempunyai tumpuan), jadi tidak ada reaksi, perletakan c rol (ada 1 reaksi), jadi jumlah total reaksi adalah 1 buah yaitu RCV di C. Dalam kondisi seperti tersebut diatas, balok DC merupakan balok yang tidak stabil, sehingga alternatif (b) adalah tidak mungkin.
Untuk Gambar C1 dan C2 Titik D dari balok DC (gambar 5.6 C1) menumpu pada titik D balok ABD, dan jika diuraikan strukturnya akan menjadi seperti pada gambar 5.6 C2, dimana titik D dari balok DC menumpu pada titik D balok ABD, sehingga reaksi RD dari balok DC akan menjadi beban (aksi) pada titik D balok ABD.
Balok DC (gambar 5.6 C2), perletakan D sendi (ada 2 reaksi), perletakan C rol (ada 1 reaksi), total jumlah perletakan ada 3 buah. Jadi balok DC adalah balok statis tertentu.
Balok ABD (gambar 5.6 C2), perletakan A sendi (ada 2 reaksi), perletakan B rol (ada 1 reaksi), jumlah perletakan ada 3 buah. Jadi balok ABD adalah balok statis tertentu juga. Jadi alternatif (C) adalah mungkin.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
45
Analisis Struktur I
Tahapan Penyelesaian q
Sendi gerber P
D
a A
B
C P D
C
RD
q
RD
RC
b
D A
B
Gambar 5.7 Mekanisme penyelesaian balok gerber
Diketahui balok gerber ABC seperti pada gambar 5.7(a), yang diuraikan menjadi pada gambar 5.7(b), maka tahapan pengerjaannya adalah sebagai berikut : ⇒
Balok DC dikerjakan dulu sehingga menemukan RD dan RC.
⇒
Reaksi RD dari balok DC akan menjadi beban di titik D dan balok ABD.
⇒
Dengan beban yang ada (q) dan beban RD, maka balok AB bisa diselesaikan.
⇒
Bidang-bidang gaya dalam (M, D, N) bisa diselesaikan sendiri-sendiri pada balok DC dan AB.
⇒
Penggambaran bidang M, D, N balok gerber merupakan penggabungan dari bidang M, N, D dari masing-masing balok.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
46
Analisis Struktur I
Contoh Soal 4t
q = 2t /m’
1m S B
A
C
2m
4m
6m
Gambar 5.8 Contoh soal balok gerber Diketahui balok gerber ABC dengan beban seperti pada gambar. A rol, B sendi, C rol, dan S sendi gerber. Gambar bidang M, D, N balo tersebut.
Penyelesaian Struktur balok gerber seperti pada gambar (a) kalau diuraikan akan menjadi struktur seperti pada gambar (b). Balok AS harus diselesaikan lebih dahulu, baru selanjutnya reaksi RS dari balok AS menjadi beban / aksi ke balok SBC. 4t
q = 2t /m’
1m
(a)
B
A
C
S
2m
4m x (b)
6m
4t S
A
RS 2 t/m’
RA
x2
x1
RS S
C
B RB
RC
Gambar 5.9 Contoh penyelesaian balok gerber
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
47
Analisis Struktur I
Balok A-S Mencari RA dan RS
Σ MS = 0
RA. 4 – P.3 = 0 RA.=
P.3 4.3 = = 3t 4 4
Σ MA = 0 RS. 4 – P.1 = 0 RS =
P.1 4.1 = = 1t 4 4
Reaksi RS = 1 t akan menjadi beban di titik S pada balok S B C (gambar b)
Balok S B C Mencari RB dan RC
Σ MC = 0 RB.6 – RS.8 – q.6.3 = 0 RB.6 – 1.8 – 2.6.3 = 0 RB = 44 t = 7 1 t 6
3
Σ MB = 0 RC.6 + RS.2 – q.6.3 = 0 RC.6 + 1.2 – 2.6.3 = 0 RC =
34 = 5 2/3t 6
Bidang Momen (M) Balok A-S Daerah A P Mx = RA.x = 3.x (linear) x = 0 MA = 0 x = 1 MP = 3 tm (momen dibawah P)
Daerah P S Mx = RA.x - P (x-1) = 3.x – 4 (x-1) x = 1 MP = 3 tm
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
48
Analisis Struktur I
x = 4 MS = 0
Balok SBC Daerah S B (dari kiri) Mx1 = - Rs.x1 = - 1.x1 (linear) = - x1 x1 = 0 Ms = 0 x2 = 2 MB = -2 tm
Daerah C B (dari kanan) Mx2 = Rc.x2 -
1 .q x2² (parabola) 2
Mx2 = 5.667.x2 -
1 .2.x2² 2
= 5.667 x2 - x2² Mencari Mmax dMx 2 = 0 5.667 – 2 x2 = 0 dx 2
x2 = 2.833 m (lokasi dimana terletak Mmax) Mx2 max =5.667. 2.833 – (2.833)² = 16.0546 – 8.02589 = 8.0287 tm. Mencari titik dimana momen = 0 Mx =5,667 x2 – x22 = 0 x2 (5,667-x2 ) = 0 x2 = 5,667 m (Letak dimana momen = 0)
Bidang D (Gaya Lintang) Balok A-S Daerah A P (dari Kiri) D2 = + Ra = +3 ( Konstan) Daerah P S (Dari kiri) Dx = + Ra - P = 3 – 4 = -1 t (Konstan)
Balok S – B C Daerah S B ( Dari Kiri ) Dx = - Rs = -1 t (Konstan)
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
49
Analisis Struktur I
Daerah C B (Dari Kanan) Dx2 = - Rc + q . x2 = - 5,667 + 2 . x2 (Linier) X2 = 0 Dc = - 5,667 t X2 = 6 Dbkn = -5,667 + 2.6 = + 6,333 t Mencari titik dimana D = 0 -5,667 + 2X2 = 0 X2 = 2,833 m (Letak D = 0 sama dengan letak Mmax ) Bidang N tidak ada
Bidang M, D, N
4t
q = 2t /m’
1m S
A
B
C
2m
4m 3 tm
6m 2 tm
-
8.0287 tm Bidang Momen
+ +
2.833 m 5.667 m 6.33t 3t
+
+ 1t
-
-
Bidang Gaya Lintang
Bidang Gaya Normal Gambar 5.10 Bidang M, D, N
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
50
Analisis Struktur I
BAB VII GARIS PENGARUH BALOK GERBER 7.1 Garis Pengaruh Balok Gerber Setelah kita mempelajari garis pengaruh pada balok sederhana, pada Bab ini akan diuraikan mengenai garis pengaruh pada balok sendi gerber. Untuk mempermudah pemahaman mengenai garis pengaruh pada sendi gerber ini, akan diberikan contoh dengan penyelesaian sebagai berikut: Diketahui balok gerber seperti pada gambar di bawah ini, Hitung dan gambar garis pengaruh reaksi-reaksinya.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
51
Analisis Struktur I
GP.RA (Garis Pengaruh Reaksi di A) P berjalan dari A ke S x = variable bergerak sesuai posisi P dari A ke C Σ Ms = 0 P(l1 − x ) l1 − x RA = ton = l1 l1 Untuk P di A x = 0 RA = 1 ton Untuk P di S x = l1 RA = 0
P dari S ke C tidak ada pengaruh terhadap RA GP.RS (Garis Pengaruh Reaksi di S) P dari A ke S Rs =
Px x = l1 l1
P di A x = 0 Rs = 0 P di S x = l1 RS = 1t P dari S ke C tidak ada pengaruh untuk reaksi di S (Rs)
GP.RB (Garis Pengaruh Reaksi di B) x1 variabel bergerak dari C ke A sesuai posisi. P berjalan dari C ke S Px1 x1 = l2 l2 P di C x1 = 0 Rs = 0 P di B x1 = l2 RB = 1t RB =
l +a P di S x1 = l2 + a RB = 2 l2 P di A Rs = 0 RB = 0
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
52
Analisis Struktur I
A
S
B
C
GP.Rc (Garis Pengaruh Reaksi di C) P berjalan dari C ke S
l − x1 Rc = 2 t l2 P di C x1 = 0 Rc = 1t
GP. Rc P = 1t x1
P di B x1 = l2 Rc = 0
+
P di S Rc = 1t
a/l2
Rs . a a =− karena (Rs l2 l2
= 1t) P di A Rs = 0 Rc = 0
Garis pengaruh reaksi (RA; Rs; RB dan Rc) Jika potongan I-I antara : A3 cari garis pengaruh DI-I dan MI-I Jika potongan II-II antara : BC cari garis pengaruh DII-II dan MII-II b
c
e
d
GARIS PENGARUH D DAN M
P
x
I
A
B S
I
II
C
II
l1
P berjalan di kiri potongan I-I (perhitungan dari kanan potongan)
l2
a
G.P.DI-I (Garis Pengaruh Gaya Lintang di potongan I-I)
A
DI = - Rs (dari kanan) Rs
B
c l1
G.P.. DI-I +
b/l1 G.P. MI-I
+
.b . c lt1 Garis pengaruh DI-I dan MI-I
C
Rs =
Px Px x → DI = − =− l1 l1 l1
Untuk P di I-I x = b b DI = - t l1 P berjalan di kanan potongan I-I (perhitungan kanan potongan I) DI = + RA (dari kiri) P (l − x ) l1 − x RA = 1 = l1 l1 Untuk P di I-I x = b l −b c DI = 1 = l1 l1 Untuk P di S x = l1 DI = 0 Jika P berjalan dari S ke C tidak ada DI
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
53
Analisis Struktur I
G.P.MI-I (Garis Pengaruh Momen di Potongan I-I) P berjalan di kiri potongan I-I (perhitungan dari kanan) Px x .c .c = lt1 lt1
MI = Rs . c =
Untuk P di A x = 0 MI = 0 Untuk P di I-I x = b MI =
b.c l1
P berjalan di kanan potongan (perhitungan dari kiri) l −x MI = RA . b = 1 .b l1 l −b c.b Untuk P di I-I x = b MI = 1 .b = l1 l1 Jika P berjalan dari S ke C tidak ada MI x
d
P S
A
e II
B
C
II l1
l2
a
P berjalan dari A ke Potongan II (perhitungan kanan potongan II) DII = - Rc (sama dengan g.p. Rc)
S
A
G.P. DII-II (Garis Pengaruh Gaya Lintang di potongan II-II)
Untuk P di S Rs = 1t a a Rc = - t → D II = + l2 l2 Untuk P di II d d Rc = → D II = − l2 l2
Rs
a/l2 b/l2 + -
+ d/l2
GP. DII-II
Sama dengan g.p. Rc
P berjalan dari II ke C (perhitungan dari kiri potongan) DII = RB (sama dengan g.p. RB) e c Untuk P di II RB = → D II = l2 l2
Sama dengan g.p. RB
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
54
Analisis Struktur I
G.P. MII-II (Garis Pengaruh Momen di potongan II-II) a/l2.b
P berjalan dari A ke II (perhitungan dari kanan potongan) d/l2 . e
-
MII = Rc . e (sama dengan GP.Rc x e) + Untuk P di S Rs = 1t Rc = g.p. Rc.e
MII = -
g.p. RB.d
a .e l2
d l2
Untuk P di II Rc =
Gambar 3.14. Garis pengaruh DII-II dan MII-II
a l2
MII = P berjalan dari II ke C (perhitungan dari kiri)
d .e l2
MII = RB . d Untuk P di II RB = MII =
e l2 e l2
dtm
e
l2
d
Mencari Harga Momen dan Gaya Lintang Dengan Garis Pengaruh Jika ada suatu rangkaian muatan atau muatan terbagi rata berjalan diatas gelagar berapa momen maximum di titik C dan berapa gaya lintang maximum di titik C. A
C
B Mencari harga Mc
a
b
Kondisi muatan seperti pada 1) Mc = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3
l * 1) P
1
* 2)
P1’
P2’
P3’
P2
Kondisi muatan seperti pada 2) Mc = P1’ y1’ + P2’ y2’ + P3’ y3’ + P4’
P3
y4’
P4’
Mc = Σ P.y y1’
GP.Mc A
y2
y3 y1 y4’y2
C P.a.b l
y3
B
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
55
Analisis Struktur I
Untuk muatan terbagi rata = q t/m’ dx
q t/m’
d Mc = y.q dx Mc = y.qdx = q y dx ∫ ∫
GP.Mc
∫ y dx = luas bagian yang diarsir = F
+ Mc = q F
Luas = F
q dx = muatan q sejarak dx, dimana dx 0 (mendekati 0)
y y P1’
P2’
P3’
= ordinat dibawah dx
P4’
Mencari harga Dc Untuk beban titik GP.Dc
Dc = -P1’ y1’ + P2’ y2’ + P3’ y3’ + P4’ y4’
+
y1’
-
y2’
y3’
y4’
Beban terbagi rata Dc = q F
F = luas arsir q t/m’
Dc = q F Luas = F
GP.Dc + P =
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
56
Analisis Struktur I
7.2 Momen Maximum di Suatu Titik Pada Gelagar Pada kenyataannya, muatan yang melewati suatu jembatan adalah tidak menentu, ada yang lewat sendirian atau merupakan suatu rangkaian muatan, Dalam kondisi tersebut kita tetap harus mencari berapa nilai momen maximum di suatu tempat pada gelagar tersebut. Misal : Suatu gelagar muatan P1
P2
P3
P4
P5
P6
A
B
C a
b
Suatu gelagar Jembatan
l Muatan berjalan diatas gelagar Berapa momen maximum yang terjadi di titik C jika ada suatu rangkaian muatan seperti pada gambar tersebut melewati jembatan seperti pada gambar.
Prinsip dasar yang digunakan dalam mencari momen maksimum di suatu titik adalah sebagai berikut: •
Untuk mencari nilai momen maximum di suatu untuk didalam gelagar maka kita perlu mencari posisi dimana muatan tersebut berada yang menyebabkan momen di titik tersebut maximum.
•
Untuk mencari nilai maximum tersebut perlu memakai garis pengaruh dari gaya dalam yang dicari sebagai perantaranya.
•
Nilai maximum tersebut didapat dengan cara mengalikan antara beban yang terletak diatas gelagar dengan ordinat dari garis pengaruh yang dipakai.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
57
Analisis Struktur I
Contoh soal Suatu balok terletak diatas 2 perletakan seperti pada Gambar, jika ada rangkaian muatan yang berjalan diatasnya, berapa Mc maximum yang terjadi. ∆x P1
P1’ P P2’ P3 P3’ P4 P4’ P5 P5’ 2
Jawab : B
A
Mencari Mc max untuk rangkaian
C
muatan berjalan (dari kiri ke kanan)
(l- c)
(c)
Jarak rangkaian muatan constant
l l
(tetap) r
= posisi awal
∆x y1’
y2’
y3’
y4’
= posisi kedua
y5’
y1 y5
y4
y2
Pada posisi awal, ordinat garis pengaruh dinyatakan dengan y1 s/d
y3 C1
y”
y’
yS, atau Mc = Σ Py
GP.Mc y’ y”
= P1y1 + P2 y2 + P3 y3 + P4 y4 + P5 y5
Perpindahan ordinat untuk muatan berjalan Muatan bergerak ke kanan sejauh ∆x, dimana ordinat garis pengaruh dinyatakan dengan y1’ s/d y5’ dan Mc = Σ Py’ (dalam hal ini y berubah menjadi y’) Jika ditinjau 2 bagian :
- bagian kiri titik C dan - bagian kanan titik C
Di kiri titik C ordinat bertambah y’ dan Di kanan titik C ordinat berkurang y”
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
58
Analisis Struktur I
y’ =
∆x . c1 c
y” =
∆x . c1 (l − c )
Perbedaan nilai momen (∆M) dari perpindahan posisi beban adalah sebagai berikut : ∆ Mc = P1 y’ + P2 y’ – P3 y” – P4 y” – P5 y” = (P1 + P2) y’
- (P3 + P4 + P5) y” jika (P1 + P2) = Σ Pl dan (P3 + P4 + P5) = Σ Pr
∆x ∆x = Σ Pl .c1 − ∑ Pr .c1 c l −c ∑ Pl ∑ Pr ∆ x.c1 − = ∆x.c1 [ql − qr ] l −c c ql
qr
ql = jumlah beban rata-rata di sebelah kiri titik C qr = jumlah beban rata-rata di sebelah kanan titik C Jika ql > qr ∆ M positif P Jika muatan bergeser terus ke kanan sehingga P2 melampaui C ql = 1 C ql menjadi kecil sehingga ql < qr ∆ M negatif (pergerakan P2 dari kiri C ke kanan C menjadikan tanda ∆ M dari positif ke negatif) Jadi Mmax terjadi jika P2 diatas C. M max terjadi jika salah satu muatan di atas potongan sehingga ∑
Pl Pr =∑ atau C l −c
ql = qr Mmax di suatu titik untuk muatan terbagi rata
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
59
Analisis Struktur I
a
Untuk muatan terbagi rata Mc max terjadi jika : ql = qr
b
A
B
a b a+b = = l c ( l − c)
C c
(l – c)
ql
qr
qs
Posisi beban terbagi rata untuk Mencari Mmaximum kiri kanan total Mmax terjadi jika psosisi beban ql = qr = qs Mencari perkiraan posisi beban dalam mencari momen max supaya beban di kiri dan di kanan potongan seimbang, maka bisa diperkirakan secara grafik sebagai berikut : Gelagar diatas 2 perletakan A-B, digunakan rangkaian muatan berjalan dengan nomor urut 01, 12, 23,34 dan 45 Cara : buat garis AB dibawah gelagar,- di ujung bagian kanan (B’) buat muatan tumpukan beban dari 45; 34; 23;12; dan 01 (dengan skala) - Tarik dari titik 0 (ujung dari beban 01) ke ujung garis bagian kiri (A’) sehingga membentuk sudut (α) - Kalau kita mau mencari dimana letak beban yang mengakibatkan momen di potongan I maksimum, yaitu dengan menarik garis dari potongan I kebawah, sampai memotong garis A’-B’ di I’. - Tarik dari titik I’ sejajar (//) dengan garis A’0 dan garis tersebut akan memotong tumpukan muatan di beban 01. - Jadi MI akan maximum jika beban 01 terletak di atas potongan I. * Bagaimana posisi beban untuk mendapatkan momen di potongan II maximum. - Dengan cara yang sama, tarik garis dari potongan II ke bawah sampai pada garis A’-B’ dan memotong di potongan II’. - Dari titik II’ ditarik garis // (sejajar) dengan A’ – O dan memotong tumpukan muatan di beban 12. - Jadi MII akan maximum jika beban 12 terletak diatas potongan II.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
60
Analisis Struktur I
A
°1
12
I
II
23
34
III
45
Mmax terjadi jika ql = qr = qs = tg α B tg α =
IV
01 + 12 + 23 + 34 + 45 l
l 0
1
2 3 4
α A’
I’
II’
III’
IV’
5 B’
Gambar 3.19. Mencari posisi muatan untuk mendapatkan Mmax dengan cara grafis MI max terjadi jika muatan OI terletak diatas potongan I-I. MII max terjadi jika muatan 12 terletak diatas potongan II-II. MIII max terjadi jika muatan 34 terletak diatas potongan III-III. MIV max terjadi jika muatan 34 terletak diatas potongan atau mutan 45 terletak diatas potongan IV-IV dan diambil yang besar.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
61
Analisis Struktur I
7.3 Mencari Momen Maximum Maximorum di Suatu Gelagar Momen maximum maximorum ini berbeda dengan mencari momen maximum di suatu titik pada gelagar, mencari momen maximum-maximorum di suatu gelagar ini posisi titiknya tidak tertentu. Jadi dalam hal ini titik letak dimana momen maximum terjadi, serta posisi beban yang menyebabkan terjadinya momen maximum harus dicari. Jadi dalam hal ini letak posisi titik dimana momen maximum terjadi dan letak posisi beban yang menyebabkan momen maximum harus di cari. Adapun dasar-dasar perhitungan yang digunakan adalah sebagai berikut: -
Untuk mencari momen maximum-maximorum di suatu gelagar ini tidak bisa memakai garis pengaruh karena titik letak momen maximum terjadi harus dicari.
-
Dalam mencari momen maximum-maximorum ini harus memakai persamaan.
Contoh 1 P1 (a)
P2
P3
P4 P5 B
A
P1
P2
R1
P3
P4
r
P5
R2
Suatu gelagar diatas 2 perletakan A – B, dan suatu rangkaian muatan dari P1 s/d P5. Berapa dan dimana momen maximummaximorumnnya ?.
Jawab: R1 = resultante dari P1 dan P2 R2 = resultante dari P3 dan P4 Rt = resultante dari R1; R2 dan P3 atau resultante P1; P2; P3; P4; P5 r = jarak antara Rt dan P3 a = jarak antara R1 dan P3 b = jarak antara R2 dan P3
Rt a
b
Rangkaian muatan terletak diatas gelagar dan dimisalkan momen maximum terletak dibawah beban P3 dengan jarak x dari perletakan A
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
62
Analisis Struktur I
r P1
P2
P4
P5
ΣM di P3 = 0
P3 (b)
Rt.r = R1 . a – R2 . b RB Σ MA = 0
RA R1
R2 a
1 {P3 .x + R1 ( x − a ) + R 2 ( x + b} lt Momen dibawah P3 dengan jarak x dari titik A RB =
b Rt
x
Mx = RB (l-x) – R2 . b
Rt l
P R Mx = 3 (l x − x ² ) + 1 (lx − a l − x ² + ax ) l l tengah-tengah AB (c) A
+
R2 (lx − bx − x ² + blt ) l
P3 B Mencari Mmax :
½r E ½r
dMx =0 dx dMx P3 = (l − 2x ) + R1 (l − 2x + a ) dx l l
Rt Mmax terdapat di potongan E (dibawah P3) ; ME max. = M3 max
+
R2 (lt − 2x − b) = 0 l
P3 (l – 2x) + R1 (l – 2x + a) + R2 (l – 2x – b) = 0
tengah-tengah AB
P3 l + R1 . l + R2 . l + R1 . a – R2 . b = 2 x (P3 + R1 + R2)
P4
(d) T 1 1 r r 2 2
t M max terdapatRdibawah P4 = M4max Dalam hal ini r = jarak antara Rt dengan P4 Mextrem = Mmax – maximorum adalah momen yang terbesar diantara Mmax (1,2,3,4,5).
B
Rt Rt . l + R1.a – R2 . b = 2x . Rt x=½l+½ . x=½l+½
R 1.a − R 2 .b Rt.r Rt
Rt.r Rt
x = ½ l + ½ r pada jarak x = ½ l + ½ r dari A terdapat M max.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
63
Analisis Struktur I
tengah-tengah bentang P1 Mmax terjadi dibawah beban P1 B M1 max
(e) A r ½r ½r
Dalam hal ini r = jarak antara Rt dengan P1. Rt
½r
½l
x
M max terdapat dibawah P1 = M1 max
P1
P2
P3
P4 P5
(f) A tengah-tengah bentang
r
B
Mmax terjadi dibawah beban P2 M2 max Dalam hal ini r = jarak antara Rt dengan P2.
½r Rt x=½l+½r M max terdapat dibawah P2 = M2 max P1 P2
P3 P4 P5
(g) A B
r tengah bentang
Dalam hal ini : r = jarak antara Rt dengan P5
½r ½r Rt x=½l+½r
Mmax terjadi dibawah beban P5 M5 max
M max terdapat di bawah P5 = M5 max
Posisi beban untuk kondisi Mmax1 s/d M max5 Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
64
Analisis Struktur I
Contoh 2
Suatu gelagar dengan bentang l = 10 m dan ada suatu rangkaian muatan berjalan dengan lebar seperti pada gambar. Cari besarnya momen maximum-maximum B maximorum.
P1=8t P2=6t P3=6t 1m
1m
A
Jawab : kondisi beban seperti pada gambar Kondisi 1
P1
P2
P3
8t
4t
6t
Dimana M max dibawah P1 tengah bentang P1 A
P2
P3
5m x=½l+½r = 5 + 0,45
Rt
Rt r = 0,90 = jarak antara Rt dengan P1 Σ MB = 0
Kondisi 2
Rt.(l − x ) 20.4,55 = = 9,1 ton l 10 B M1 max dibawah P1 adalah :
Dimana M max dibawah P2 P1 P2 P3
RA =
A
0,1 m tengah-tengah bentang
4,95 m
Rt
Kondisi 3 Dimana M max dibawah P3 P1 tengah-tengah bentang
1m
x
l-x 4,55
½r
4,45
1m
B
Rt = P1 + P2 + P3= 20 ton Statis momen terhadap P1 P2.1 + P3.2 = Rt.x 6.1 + 6.2 = 20 . x x= 6 + 12 = 0,90 m 20
P2
RA. (½ l – ½ r) = 9.1 (5 – 0,45) = 9,1 x 4,55 M1 max = 41,405 tm r = 0,1 m = jarak antara P2 dan Rt Σ MA = 0 Rt (1 / 2l − 1 / 2r ) 20(5 − 0,05) R B= − = 9,9 t l 10 M2 Max dibawah P2 adalah :
RB (½ l – ½ r) = P3 . 1 = 9,9 (4,95) – 6.1 = 49,005 – 6 = 43,005 tm B = M2 max
P3
r = 1,1 m = jarak antara P3 dengan Rt Σ MA = 0
r =1.1
4,45
Rt Posisi beban untuk mencari momen maximum maximorum
R B=
Rt (1 / 2l − 1 / 2r ) 20(5 − 0,55) = = 8,9 t l 10
M3 max dibawah P3 adalah RB (½ l – ½ r) = 8,9 x 4,45 = 39,605 tm =M3 max Momen maximum maximorum adalah M2 max = 43,005 tm
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
65
Analisis Struktur I
Latihan : Garis pengaruh pada balok menerus dengan sendi-sendi gerber Soal 1 : P=1t berjalan 2m S A
B
I
RA
RB
6m
C
2m
Soal 2 :
RC
4m
Balok ABC dengan sendi gerber S seperti tergambar. Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan : GP RA; GP RB; GP RC GP MI; GP DI; GP MB
P = 1 t berjalan
4m S1 A
I
S2
B
C RB
RA 8m
2m
D RD
RC 6m
2m
Balok ABCD dengan sendi gerber S1 dan S2 seperti tergambar.
6m
a). Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan; GP RA; GP RB; GP RC; GP RD GP MI; GP DI; GP MB; GP DB kanan b). Akibat rangkaian beban
2m
2m
berjalan, ditanyakan : MI max, M max
P1=4t P2=4t P3=2t maximorum pada balok tersebut.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
66
Analisis Struktur I
Soal Latihan Soal 1 : 2m S A
B
I
RA
RB
6m
C
2m
Soal 2 :
RC
4m
Balok ABC dengan sendi gerber S seperti tergambar. Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan : GP RA; GP RB; GP RC GP MI; GP DI; GP MB
P = 1 t berjalan
4m S1 A
I
S2
B
C RB
RA 8m
2m
D RD
RC 6m
2m
Balok ABCD dengan sendi gerber S1 dan S2 seperti tergambar.
6m
a). Akibat beban P = 1t berjalan diatas balok, ditanyakan; GP RA; GP RB; GP RC; GP RD GP MI; GP DI; GP MB; GP DB kanan b). Akibat rangkaian beban
2m
2m
berjalan, ditanyakan : MI max, M max
P1=4t P2=4t P3=2t maximorum pada balok tersebut.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
67
Analisis Struktur I
DAFTAR PUSTAKA 1. Gunawan, T., Margaret, S. (1999). Teori soal dan penyelesaian Mekanika Teknik I, Delta Teknik Group Jakarta. 2. Hibeller. (1999). Structural Analysis. Fourth Edition. Printice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 070458. 3. Frick H. (2006). Mekanika Teknik I (statika dan kegunanaannya). Penerbit Kanisius, Yogyakarta. 4. Chu Kia Wang (1986) “Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw-Hill, Book Company, Inc. 5. Dipohusodo I. (2001). Analisis Struktur. Penerbit PT Gramedia, Jakarta.
Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hindu Indonesia
68
