Buku Ajar Pendidikan Fisika Zat Padat [PDF]

Citation preview

DAFTAR ISI BAB I PENGANTAR FISIKA ZAT PADAT A. B. C. D.



1



PENDAHULUAN TEORI ZAT PADAT SIFAT BAHAN ZAT PADAT PERCOBAAN TENTANG ZAT PADAT



2 2 3 7



E. RINGKASAN F. LATIHAN SOAL



8 9



BAB II STRUKTUR KRISTAL A. B. C. D.



10



PENDAHULUAN KEPERIODIKAN KRISTAL SIMETRI KRISTAL KISI BRAVAIS



11 11 14 17



E. RINGKASAN



22



F. LATIHAN DAN SOAL



24



BAB III DIFRAKSI KRISTAL A. PENDAHULUAN



25 26



B. DIFRAKSI SEBAGAI PROSEDUR UNTUK MENYELIDIKI KRISTAL



26



C. KEGUNAAN KETIGA JENIS RADIASI



27



D. HUKUM BRAGG E. EKSPERIMEN DENGAN DIFRAKSI SINAR-X



28 29



F. RINGKASAN



33



G. LATIHAN DAN SOAL



35



BAB IV IKATAN KRISTAL



36



A. PENDAHULUAN B. PERHITUNGAN ENERGI C. ION MOLEKUL HIDROGEN



37 37 39



D. IKATAN KOVALEN



42



E. IKATAN IONIK F. IKATAN VAN DER WAALS



43 45



G. RINGKASAN



46



H. LATIHAN DAN SOAL



49



BAB V GETARAN KISI A. PENDAHULUAN B. GELOMBANG ELASTIK, PERGESERAN ATOM DAN PHONON C. GETARAN MODE PADA KISI MONATOMIK D. GETARAN KISI KRISTAL BERBASISI DUA ATOM E. RINGKASAN F. LATIHAN DAN SOAL



ii



50 51 51 55 59 62 64



BAB VI KONDUKTIVITAS TERMAL KISI KRISTAL A. B. C. D.



PENDAHULUAN MODEL KLASSIK MODEL EINSTEIN MODEL DEBYE



E. RINGKASAN



65 66 66 67 68



71



BAB VII



GAS ELEKTRON BEBAS DALAM SATU DIMENSI A. TINGKAT ENERGI



72 73



B. TEORI KUANTUM SOMMERFELD C. ENERGI FERMI D. DISTRIBUSI FERMI



74 75 78



E. RINGKASAN F. LATIHAN DAN SOAL



79 80



BAB VIII TEORI PITA ENERGI



81



A. PENDAHULUAN B. ASAL MULA CELAH ENERGI C. NILAI CELAH ENERGI



82 82 86



D. RINGKASAN E. LATIHAN DAN SOAL



88 89



BAB IX KRISTAL SEMIKONDUKTOR A. KRISTAL SEMIKONDUKTOR INTRINSIK B. KRISTAL SEMIKONDUKTOR EKSTRINSIK C. PENGHANTARAN LISTRIK D. RINGKASAN E. LATIHAN DAN SOAL



90 91 97 99 102 103



BAB X TEMPERATUR KRITIS RENDAH A. SUPERKONDUKTOR TEMPERATUR RENDAH B. MACAM DAN KARAKTERISTIK SUPERKONDUKTOR C. RINGKASAN



104 105 107 111



BAB XI SIFAT MAGNETIK KRISTAL A. DIAMAGNETISME DAN PARAMAGNETISME B. FERROMAGNETISME DAN ANTIFERROMAGNETISME C. RINGKASAN D. LATIHAN DAN SOAL



112 113 119 123 124



DAFTAR PUSTAKA



125



BAB I. PENGANTAR FISIKA ZAT PADAT Kompetensi Dasar: Mendeskripsikan sifat mekanik, termal, optis, listrik dan sifat magnetis serta cara mengkarakterisasikannya. Indikator: 1. Menjelaskan perbedaan antara kristal, amorf dan polykristal 2. Menjelaskan sifat-sifat bahan padat 3. Mendeskripsikan cara mengkarakterisasikan bahan padat Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari BAB ini, Mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menjelaskan perbedaan antara kristal, amorf dan polykristal berdasarkan struktur susunan atomnya. 2. Menjelaskan sifat mekanik, sifat termal, sifat listrik, sifat magnetik dan sifat optis dari bahan padat 3. Mendeskripsikan percobaan yang digunakan untuk mengkarakteristikkan bahan padat



1 1



A. PENDAHULUAN Fisika zat padat secara umum dihubungkan dengan kristal dan elektron dalam kristal. Pengkajian tentang zat padat dimulai pada tahun-tahun awal abad ini sesudah berhasil dipelajarinya difraksi sinar-x oleh kristal. Dari gejala ini dapat ditemukan bukti bahwa kristal terdiri dari atom-atom yang susunannya teratur. Melalui keberhasilan memodelkan susunan atom-atom dalam kristal, para fisikawan dapat mempelajari lebih banyak dan lebih lanjut tentang zat padat. Dalam perkembangan selanjutnya, pengkajian zat padat telah meluas pada bahan bukan kristal (amorf), bahan gelas, dan bahkan bahan cair. Bidang yang lebih meluas ini dikenal sebagai fisika materi terkondensasi (condensed matter physics), dan kini telah menjadi bidang pengkajian yang paling luas dalam ilmu fisika.



B. TEORI ZAT PADAT Fisika zat padat pada umumnya membahas tentang sifat materi ditinjau dari elemen penyusunnya (elektron dan inti). Dalam hal ini penyelidikan didasari atas beberapa hal, diantaranya mengapa ada bahan yang bersifat sebagai penghantar yang baik dan yang lain tidak, mengapa ada bahan yang transparan dan yang lain tidak. Pada tingkat tertentu kita akan bertanya kenapa ada bahan yang menyerap cahaya dalam frekuensi tertentu akan tetapi meneruskannya pada frekuensi lainnya. Sifat zat padat yang sering menjadi bahan penyelidikan adalah pengaruh temperatur terhadap kemagnetan suatu bahan. Untuk hal itu dibutuhkan pemikiran yang berkaitan dengan pergerakan elektron dan inti dalam bahan dan interaksinya terhadap medan luar. Pemahaman akan sifat-sifat tersebut di atas berdasarkan penyelidikan terhadap pengembangan untuk penemuan materi yang baru dan pembuatan divais yang digunakan dalam pembuatan peralatan baru dalam industri elektromagnetik, industri komunikasi dan laser. Hukum dan dalil fisika yang banyak digunakan untuk memahami sifat zat padat adalah sama dengan memahami hukum yang diterapkan untuk memahami sifat atom dan molekul, penerapan persamaan Maxwell untuk medan elektromagnetik, persamaan Schrodinger untuk fungsi gelombang partikel dan juga penerapan persamaan hukum termodinamika, mekanika statistik dan hukum Coloumb. Atom dalam bahan padat selalu bergerak. Masing-masing atom bergetar dengan amplitudo yang sangat kecil pada posisi seimbang. Pergerakan atom dalam posisi seimbang ini memberikan gambaran akan struktur atom dan dapat membedakan bahan dalam kelompok bahan 2



cair atau gas. Distribusi atom dalam posisi seimbang mendefenisikan struktur dari bahan. Pada dasarnya struktur dari bahan padat dapat dibagi atas tiga bagian besar : Kristal, amorf dan polykristal. Bahan polykristal tersusun oleh beberapa kristal atomnya



yang



disebut



kristalit.



Pola



membentuk



susunan



pada



kristal. Gambar 1.1 Susunan atom dari kristal, polikristal dan amorf Dalam kristal, posisi seimbang atom membentuk pola secara geometrik yang berulang sepanjang bahan tanpa perubahan dalam komposisi, dimensi ataupun dalam orientasinya. Posisi seimbang atom dalam bahan amorf tidak membentuk pola yang berulang seperti pada kristal. Akan tetapi berubah secara sembarang pada setiap perbatasan antara kristalit. Karena atom dalam kristal tersusun secara periodik dan berulang pada keadaan seimbangnya, bahan ini mendapat penyelidikan yang lebih besar dibanding dengan bahan lainnya. Penerapan persamaan Schrodinger sebagai contohnya hanya diselesaikan pada suatu kondisi dengan pola tunggal. Jadi tidak diselesaikan pada setiap titik untuk seluruh kristal.



C. SIFAT BAHAN ZAT PADAT 1. Sifat Mekanik Rapat massa dari kebanyakan bahan padat berada pada rentang antara 1x103 dan 25x103 kg/m3. Rapat massa ini detentukan berdasarkan massa dari atom pembentuknya dan besar gaya ikat yang terbentuk. Gaya ikat ini memberikan gambaran posisi seimbang atom dan volume cakupannya. Umumnya rapat atom berada dalam orde 1028 atm/m3 rata- rata jarak antar atom, sekitar angstrom (A0). Gaya ikat juga merupakan cerminan dari energi kohesiv dari zat padat. Ini adalah energi per atom yang dibutuhkan untuk memisahkan zat padat kedalam atom yang netral, pada keadaan diam dan terpisah jauh dari atom lain. Kohesiv energi ini besarnya terletak antara 0,02 eV/atom sampai dengan 10 eV /atom. Energi ini didominasi oleh energi ikatan kovalen dan paling kecil dipengaruhi oleh energi Van Der Walls. Sedangkan energi metalik terletak di antaranya. 3



Gelombang elastik merambat dalam zat padat. Laju gelombang ini disebut laju bunyi yang ditentukan oleh massa atom dan gaya antar atom. Gaya geser umumnya lebih kecil dari gaya kompresinya, sehingga jenis gelombang yang terjadi lebih didominasi oleh gelombang longitudinal. Dalam aluminium sebagai contohnya, gelombang longitudinalnya merambat sekitar laju 6000 m/s sedangkan trasversalnya hanya sekitar 3000 m/s.



2. Sifat Termal Kapasitas panas adalah energi per kelvin yang harus diberikan kepada zat padat untuk menaikkan suhunya. Karena adanya parameter lain yang mengontrol bahan selama proses berlangsung mengakibatkan perbedaan kapasitas jenis bahan. Dalam hal ini kapasitas jenis pada volume konstan adalah pilihan yang paling sederhana, karena melihat sifat gerakan partikel. Saat zat padat dipanaskan, hal pertama yang mungkin terjadi adalah getaran pada atomnya. Selanjutnya jumlah phonon akan bertambah saat energi getaran semakin besar. Mekanika statistik klasikal menduga bahwa kapasitas panas bahan pada volume konstan haruslah 3NKB dimana KB adalah konstanta Boltzman dan N adalah jumlah atom dalam sampel. Hasil ini deperoleh secara eksperimen pada temperatur tinggi. Pada temperatur rendah kontribusi fonon dipengaruhi oleh pangkat 3 dari temperatur absolutnya. Konduktivitas termal adalah suatu pengukuran laju dimana energi ditransferkan dari suatu daerah dari bahan ke daerah lain akibat perbedaan temperatur. Secara umum, untuk semua bahan fluks energi Q sebanding dengan gradien temperaturnya, yang secara matematis dinyatakan oleh Q = -k (dT/dX), dimana k disebut konduktivitas termal. Elektron dan fonon adalah instrumen yang menstransfer energi dari suatu tempat ke tempat lain dalam bahan. Elektron merupakan pembawa energi utama dalam logam dan hal ini mengakibatkan bahan ini memiliki konduktivitas termal yang besar. Contohnya, pada suhu ruangan konduktivitas aluminium sekitar 235 W/m.k dan pada tembaga sekitar 400 W/m.k. Untuk non logam, dimana fonon sebagai pembawa energi utamanya memiliki konduktivitas yang relatif lebih rendah. Natrium Chlorida (NaCl) sebagai contohnya, konduktivitas termalnya hanya sekitar 6 W/ m.k.



4



3. Sifat Listrik Menurut hukum Ohm, hubungan antara medan listrik E dan rapat arus J memenuhi persamaan J



, dimana



adalah konduktivitas. Konduktivitas listrik bahan tergantung pada



konsentrasi pembawa muatan dan mobilitas elektron serta pada kecepatannya. Karena kecepatan elektron terbatas oleh hamburan dari getaran atom dan defek dari struktur atom, konduktivitas tergantung pada temperatur dan konsentrasi ketakmurnian, kekosongan dan cacat lain. Harga dari konduktivitas listrik mengindikasikan kualitas dari bahan sebagai konduktor listrik. Konduktor yang baik, seperti tembaga, perak dan emas memiliki konduktivitas listrik sekitar 5x107 (Ω.m)-1 pada suhu ruangan. Akan tetapi berlawanan dengan NaCl, konduktivitasnya pada suhu ruangan hanya sebesar 10-11 (Ω.m)-1. Beberapa bahan memiliki konduktivitas diantara konduktor dan isolator yang disebut dengan semikonduktor. Konduktivitasnya selanjutnya semakin besar saat temperaturnya semakin besar. Pada suhu ruangan konduktivitas germanium sekitar 2 (Ω.m)-1. Konduktivitas semi dapat meningkat dengan cepat. Hal ini bisa terjadi karena pengaruh ketakmurniaan bahan, dan hal inilah penyebab sangat baiknya bahan ini digunakan dalam peralatan elektronik. Superkonduktor memiliki harga resistivitas listrik nol pada suhu rendah. Saat arus listrik memasuki loopnya, pemanasan Joule tidak akan terjadi. Walaupun tidak ada sumber elektromotiv, dan gaya. Di atas temperatur kritis sampel menjadi konduktor normal dengan adanya resistivitas bahan. Medan magnetik yang cukup juga dapat mengubah superkonduktor menjadi konduktor yang normal. Timah hitam contohnya, adalah bahan superkonduktor dibawah suhu 7,23 K, akan menjadi konduktor normal diatas temperatur ini. Pada suhu 0 K, medan magnetik sekitar 8x10-2 T dapat merubah sampel ini menjadi konduktor normal. Polaritas P pada suatu titik dalam bahan adalah momen dipol per satuan volume dan untuk kebanyakan bahan, hal ini sebanding dengan jumlah medan listrik pada titik tersebut. Jika E adalah medan listrik, menghasilkan P = εo(K-1)E, dimana K adalah konstanta dielektrik bahan, εo adalah permitivitas ruang hampa. Bahan dengan konstanta dielektrik yang besar terpolarisasi dengan mudah. Ketika bahan dielektrik ditempatkan diantara dua plat sejajar, kapasitansinya meningkat sebesar faktor K. Celah antar plat sejajar digunakan untuk menyimpan energi.



5



4. Sifat Magnetis Medan magnetik mengubah orbit elektron dan arah spin, mengakibatkan atom dalam medan sering menghasilkan momen dipol magnetik. Magnetisasi M dari bahan adalah momen dipol per satuan volume dan untuk beberapa bahan hal ini sebanding dengan medan magnetik. Medan magnetik H pada beberapa titik didefenisikan oleh H = (1/µ0 ) B – M dimana B adalah induksi magnetik dan suseptibbilitas magnetik diberi oleh, M = XmH. Bahan yang memiliki suseptibilitas magnetik yang positif disebut paramagnetik. Jumlah total medan lebih besar dari medan yang diterapkan, sedangkan bahan yang memiliki suseptibilitas negatif disebut diamagnetik. Untuk bahan ini jumlah medan total lebih kecil dari medan yang diterapakn. Aluminium sebagai contohnya, bersifat sebagai paramagnetik pada suhu ruangan dengan suseptibilitas magnetik sekitar 2,1 x 10-5. Bismuth adalah diamagnetik dengan suseptibilitas magnetik sekitar – 1,64 x 10-5 pada suhu ruangan. Dibawah temperatur tertentu, yang disebut temperatur Curie, magnetisasi secara spontan menjadi feromagnetik. Bahan termagnetisasi walaupun tanpa medan luar. Pada temperatur diatas titik Curie sampel feromagnetik menjadi paramagnetik.



5. Sifat Optis Saat cahaya menyinari permukaan bahan sebagian berkas sinar dipantulkan dan sebagian lagi ditransmisikan dalam bahan. Selanjutnya cahaya dalam bahan merambat dalam arah yang bebeda dengan kecepatan fase yang berbeda dari berkas datang. Sebagian berkas diserap. Pembiasan, indeks bias dan koefesien penyerapan digunakan untuk menjelaskan fenomena ini. Indeks bias bahan adalah perbandingan antara kecepatan cahaya dalam vakum terhadap kecepatan fase dalam bahan. Hal ini dapat digunakan dengan menggunakan hukum snellius. Benda transparan memiliki koefisien absorbsi yang kecil sedangkan bahan gelap memiliki koefisien absorbsi yang besar. Indeks bias, koefisien pemantulan dan koefisien penyerapan, semuanya tergantung pada frekuensi sinar datang. Bahan padat transparan pada berkas sinar biru dari spektrum sinar biru dari spektrum sinar gelap pada berkas sinar merah. Sebagai contoh beberapa bahan padat digunakan sebagai filter untuk menghasilkan cahaya yang memiliki panjang gelombang dengan lebar celah yang sempit. Silika merupakan bahan yang transparan untuk panjang gelombang antara 100 hingga sekitar 4500 nm. Penyerapan kuat terjadi pada kedua batas tersebut. Indeks bias bervariasi antara 6



1,5 hingga 1,4. Sebagai bahan perbandingan dengan atom germanium, yang hanya transparan pada panjang gelombang dari 1.800 nm hingga 23.000 nm.



D. PERCOBAAN TENTANG ZAT PADAT Telah dilaksanakan secara eksperimental dalam menentukan besar harga yang diperlukan dalam menentukan sifat- sifat dari zat padat. Data dikumpulkan dari katalog dan digunakan dalam penerapannya oleh teknisi. Hal yang terpenting dalam peningkatan penjelajahan keilmuan pada bidang zat padat pertama-tama adalah penyesuaian hasil eksperimen. Percobaan dengan menggunakan sinar-x, hamburan neutron telah digunakan dalam variasi pengukuran. Sinar-x dan elektron berinteraksi dengan elektron dalam bahan, dan sinar-x dengan neutron berinteraksi lewat gaya inti kuat. Setelah hamburan gelombang elektromagnetik, elektron ataupun neutron, menghasilkan pola difraksi yang bergantung pada distribusi hamburan partikel dalam bahan. Energi elektron tidak akan memasuki bahan pada panjang gelombang sekitar 50 Å. Sehingga kondisi ini digunakan untuk menyelidiki sifat-sifat pada permukaan bahan. Sinar-x dan neutron sebaiknya masuk lebih dalam ke dalam bahan, dan lebih sering digunakan untuk menyelidiki struktur bulk dari bahan. Neutron juga sering digunakan untuk menyelidiki posisi dipol magnetik dalam bahan magnetik. Pola difraksi neutron juga dipengaruhi oleh getaran atom, sehingga sangat berperan penting dalam penyelidikan getaran spektrum atom. Sinar-x dengan energi yang cukup digunakan untuk menyelidiki distribusi inti elektron. Hal yang paling penting dalam bahan semikonduktor adalah berdasarkan efek Hall. Medan listrik dihasilkan oleh arus listrik dilewatkan melalui sampel dan medan magnetik diterapkan tegak lurus terhadap arus. Medan magnetik menyebabkan muatan berakumulasi sepanjang sisi sampel dan muatan ini menghasilkan medan magnetik tambahan, yang merambat ke arus dan medan magnetik. Transfer beda potensial dapat digunakan untuk menghitung konsentrasi pembawa dan mobilitas elektron dalam bahan, dan juga dapat digunakan untuk menentukan kecepatan elektron dalam bahan. Absorbsi optikal dan sifat pantulan memberikan informasi tentang energi elektron dan frekuensi simpul. Saat elektron menyerap cahaya menghasikan transisi energi ke tingkat yang lebih tinggi. Cahaya juga diserap oleh getaran atom, sehingga frekuensi dari beberapa puncak yang terjadi korespond dengan frekuensi normal simpul.



7



Teknik resonansi magnetik digunakan untuk menyelidiki interaksi-interaksi antara elektron dan inti ion dalam bahan magnetik. Tingkat energi elektron terpisah bila medan magnetik diberikan, dan penggukuran jarak pisah memberikan informasi tentang tingkat energi.



RINGKASAN 1. Fisika zat padat secara umum dihubungkan dengan kristal dan elektron dalam kristal. kristal terdiri dari atom-atom yang susunannya teratur. Dalam perkembangan selanjutnya, pengkajian zat padat telah meluas pada bahan bukan kristal (amorf), bahan gelas, dan bahkan bahan cair. 2. Hukum dan dalil fisika yang banyak digunakan untuk memahami sifat zat padat adalah sama dengan memahami hukum yang diterapkan untuk memahami sifat atom dan molekul, penerapan persamaan Maxwell untuk medan elektromagnetik, persamaan



Schrodinger untuk fungsi gelombang partikel dan juga penerapan persamaan hukum termodinamika, mekanika statistik dan hukum Coloumb. 3. Dalam kristal, posisi seimbang atom membentuk pola secara geometrik yang berulang sepanjang bahan tanpa perubahan dalam komposisi, dimensi ataupun dalam orientasinya. Posisi seimbang atom dalam bahan amorf tidak membentuk pola yang berulang seperti pada kristal. Akan tetapi berubah secara sembarang pada setiap perbatasan antara kristalit. Karena atom dalam kristal tersusun secara periodik dan berulang pada keadaan seimbangnya, bahan ini mendapat penyelidikan yang lebih besar dibanding dengan



bahan lainnya. Bahan polykristal tersusun oleh beberapa kristal yang disebut kristalit. Pola atomnya membentuk susunan pada kristal. 4. Ada beberapa sifat bahan zat padat diantaranya: sifat mekanik, sifat termal, sifat listrik, sifat magnetis dan sifat optis



8



Latihan Soal 1. Jelaskan perbedaan antara kristal, amorf dan polikristal 2. Tuliskan sifat listrik dan sifat magnetis dari bahan padat. 3. Jelaskan secara sederhana cara menentukan sifat bahan padat dengan difraksi sinar x.



9



BAB II STRUKTUR KRISTAL Kompetensi Dasar



:



Mendeskripsikan keperiodikan dari unit sell, rotasi sel serta menjelaskan sistim kristal dan tipe kristal. Indikator: 1. Menjelaskan tentang unit sel. 2. Menentukan rapat massa dari sebuah atom 3. Mendeskripsikan operasi simetri Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari BAB ini, Mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menjelaskan tentang titik kisi, kisi dan basis dari unit sel suatu kristal. 2. Menentukan besar rapat massa unit sel primitif dari sebuah atom 3. Mendeskripsikan simetri rotasi, simetri cermin dan simetri inversi dari susunaan atom pada kristal 4. Menggambarkan ke 7 sistem kristal dengan 14 tipe kisinya. 5. Menjelaskan cara menentukan posisi dalam sel, arah vektor dan orientasi bidang dari kristal



10



A. PENDAHULUAN Bahan padat dapat diklasifikasikan berdasarkan keteraturan susunan atom-atom atau ionion penyusunnya. Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan berulang (periodik) disebut bahan kristal. Dikatakan bahwa bahan kristal mempunyai keteraturan atom berjangkauan panjang. Sebaliknya, zat padat yang tidak memiliki keteraturan demikian disebut bahan amorf atau bukan-kristal. Bahan kristal, untuk yang selanjutnya cukup disebut kristal (saja), dapat dibentuk dari larutan, lelehan, uap, atau gabungan dari ketiganya. Bila proses pertumbuhannya lambat, atom-atom atau pertikel penyusun zat padat dapat menata diri selama proses tersebut untuk mrenempati posisi yang sedemikian sehingga energi potensialnya minimum. Keadaan ini cenderung membentuk susunan yang teratur dan juga berulang pada arah tiga dimensi, sehingga terbentuklah keteraturan susunan atom dalam jangkauan yang jauh, inilah yang mencirikan keadaan kristal.



B. KEPERIODIKAN KRISTAL 1. Titik kisi Gambar 2.1 mengilustrasikan ide dari keperiodikan kristal. Atom berada pada posisi seimbang dalam suatu bidang. Dua jenis atom dilambangkan oleh • ●, membentuk suatu grup atom yang disebut basis, yang berulang secara periodik dalam kristal. Sepanjang garis atas atom terduplikasi dengan jarak yang sama dengan replikanya. Setiap replika memiliki orientasi yang sama. Untuk menggambarkan struktur kristal, posisi atom seimbang ditentukan terlebih dahulu. Selanjutnya ditentukan jarak antara atom dan jarak antara atom dan antara basis. Jarak antara atom ●dengan atom ● dan atom • dengan atom • disebut panjang kisi.



Gambar 2.1. Struktur kristal



11



2. Kisi dan Basis Gambar 2.2 menunjukkan dua vektor pergeseran, a dan b dari titik kisi A ketika kisi atom tetangganya. Vektor ini disebut vektor dasar translasi kisi. Vektor dasar ini menjadi penentu dasar bagi penentuan posisi titik kisi lain dalam kristal. Untuk kristal dalam bidang penentuan posisi kisi lain ditentukan dengan persamaan n1a + n2b, dimana n1 dan n2 adalah bilangan asli (positif, negatif dan nol). Sebagai contoh, posisi titik kisi B diberikan oleh 3a. Untuk kristal dalam 3 dimensi dibutuhkan 3 vektor dasar translasi a, b, c. Untuk menentukan posisi titik kisi lain relatif terhadap A digunakan persamaan n1a + n2b + n3c. Apabila pada penentuan posisi translasi ini harga dari n adalah 1, maka vektor translasi yang digunakan disebut vektor translasi primitif. Untuk menentukan vektor primitif translasi ini digunakan dimulai dengan menentukan jarak terdekat terhadap atom acuan dan memberi nama a. Selanjutnya vektor b ditentukan dengan mencari terdekat yang lain dengan atom yang berbeda yang tidak sejajar dengan vektor a, dan memberi nama vektor b. Vektor c ditentukan dengan mencari jarak terdekat ke titik kisi lain yang tidak terletak pada bidang a dan b. Jika titik kisi acuan berada pada basis lain maka persamaan yang selanjutnya digunakan untuk menentukan posisi titik kisi lain relatif terhadap titik kisi acuan adalah n1a + n2b + pi, dimana lebel i menunjukkan posisi basis yang akan ditentukan.



y



B



C



D



E



C α



a



x



Gambar 2.2. Vektor kisi suatu kristal



3. Unit Sel Gambar 2.3 menunjukkan ilustrasi kristal dalam 3 dimensi vektor translasi dasar pembentuknya adalah a,b dan c . 12



Ruangan yang dibentuk oleh vektor dasar translasi yang paling kecil disebut unit sel. Sebuah kristal merupakan koleksi dari unit sel. Unit sel merupakan basis dari suatu kristal. Unit sel yang paling kecil disebut unit sel primitif, yang dibentuk oleh kisi primitif. Gambar 2.3. a. Kisi Kristal Platinum Variabel pada unit sel ada enam buah yaitu panjang dari unit sel yang direpresentasikan oleh tiga vektor (a, b, dan c) dan tiga independen sudut antara dua vektor (α, β, and γ), seperti pada gambar 2.4 dimana: α adalah sudut antara b dan c β adalah sudut antara c dan a γ adalah sudut antara a dan b Jika atom-atom terletak pada tiap sudut persegi panjang, terpisah sejauh vektor kisi primitif maka yang termasuk dalam basis hanyalah satu. Atom yang lain termasuk ke dalam basis unit sel lain. Saat kita menentukan jumlah atom per unit sel kita harus mengikutkan seluruh atom yang ada dalam unit sel tetapi dengan perhitungan satu per delapan, satu per empat atau setengah dari masing-masing. Volume dari unit sel dapat ditentukan berdasarkan vektor dasar translasi pembentuknya. Untuk bentuk unit sel seperti pada gambar 2.4, volumenya deberikan oleh persamaan : τ =|



| Karena masing-masing unit sel mengandung distribusi atom yang sama, maka kerapatan massa dari kristal diberikan oleh persamaan : ρ=M/τ Dimana, M adalah massa total dari unit sel. τ = volume unit sel ρ= rapat massa



Gambar 2.4. Menentukan volume unit sel



13



Contoh Soal



uiuhoihjiooi



Unit sel dari Zinc memiliki dasar berbentuk rhombus dengan panjang sisi a=2,66 Ao, dan sudut apit dalamnya γ = 60o. Sisi lain yang berbentuk persegi tegak lurus terhadap dasar dan panjang c = 4,95 Ao. Terdapat dua atom zinc dalam satu unit sel. Tentukanlah volume sel dan rapat massa dari zinc.



Penyelesaian Volume sel, τ =|𝑐 𝑎𝑥𝑏 | = c x a2 x sin γ = 4,95 x 10-10 x(2,66x10-10)2 sin 600 = 3,03 x 10-29 m3 Massa atom zinc = 65,68 Maka massa zinc dalam garam = 65,68/6,022 x 1023 = 1,086 x 10-22 gr karena terdapat 2 atom Zinc dalam satu unit sel, maka ρ =2 x 1,086 x10-25/3,03x10-29 = 7,13 x 103 kg/m3



C. SIMETRI KRISTAL Simetri merupakan salah satu sifat dari kristal yang dapat digunakan untuk membedakan satu sistim kristal dengan lainnya. Simetri adalah operasi transformasi untuk memberikan sesuatu yang mirip dengan yang beroperasi. Banyaknya unsur-unsur simetri yang terdapat pada kristal dapat untuk menentukan suatu kristal itu termasuk dalam kelas mana. Unsur-unsur simetri suatu kristal dapat dibedakan atas 3 yaitu bidang simetri, sumbu simetri, dan titik pusat simetri. Bidang simetri merupakan bidang pencerminan atau pengertiannya adalah bidang yang menembus titik pusat kristal dan membagi dua bagian yang sama, dimana bagian yang satu merupakan pencerminan dari bagian yang lain. Bidang simetri dapat dibedakan menjadi bidang 14



simetri pokok (axial) menunjukkan bidang yang melalui dua sumbu utama pada kristal, dan bidang simetri intermedier yaitu bidang simetri yang hanya melalui sebuah sumbu utama kristal. Sumbu simetri adalah sumbu kristal dimana bila kristal diputar 360º pada sumbu tersebut, pada kedudukan-kedudukan tertentu memberikan bentuk yang sama seperti sebelum diadakan pemutaran. Sumbu simetri dapat dibedakan atas : 1. Sumbu simetri biasa (gyre), apabila kita putar sebuah kristal melalui sumbu simetri maka akan terdapat keadaan dimana terdapat gambaran yang sama seperti sebelum diadakan pemutaran. Sumbu mempunyai nilai bila terdapat gambaran sama pada pemutaran sebesar sudut tertentu (360º/n). Pada bidang-bidang kristal, n hanya mempunyai nilai 2, 3, 4, dan 6. Sehingga pada kristal hanya dapat dilakukan dalam pemutaran sebesar sudut 180º, 120º, 90º, dan 60º. Bila terdapat sumbu simetri bernilai 2 karena jika kristal diputar dengan sudut 180º memberikan gambaran seperti keadaan semula dinamakan digyre, bila sumbu simetri bernilai 3 karena jika kristal diputar dengan sudut 120º memberikan gambaran seperti keadaan semula dinamakan trigyre, bila sumbu simetri bernilai 4 karena jika kristal diputar dengan sudut 90º memberikan gambaran seperti keadaan semula dinamakan tetragyre, dan bila sumbu simetri bernilai 6 karena jika kristal diputar dengan sudut 60º memberikan gambaran seperti keadaan semula dinamakan hexagyre. 2. Sumbu simetri cermin putar, didapatkan dari suatu pemutaran yang dikombinasikan dengan sebuah pencerminan melalui bidang cermin yang tegak lurus terhadap sumbu tersebut. Secara teoritis dapat dibedakan menjadi 4 macam, yaitu: digyroida, trigyroida, tetragryyroida dan hexagyroida. 3. Sumbu simetri inversi putar merupakan kombinasi dari pemutaran melalui sebuah sumbu dan inversi melalui sebuah titik pada sumbu tersebut yaitu titik pusat inversi juga disebut titik pusat simetri. Untuk pemberian simbol dinyatakan dengan memberikan garis di atas nilai sumbu. Ada 5 macam kemungkinan inversi putar ini, yaitu diperoleh dengan pemutaran sebesar 360º dan sebuah inversi, dengan pemutaran sebesar 180º dan sebuah inversi, dengan pemutaran sebesar 120º dan sebuah inversi, dengan pemutaran sebesar 90º dan diikuti inversi, kombinasi pemutaran sebesar 60º dan inversi. Suatu kristal dikatakan memiliki pusat simetri apabila setiap titik pada permukaan kristal memiliki satu titik yang identik pada sisi yang berseberangan dan berjarak sama dari titik pusat. Titik pusat simetri atau C merupakan suatu titik pusat kristal melalui suatu garis dapat dilukis 15



sedemikian rupa sehingga pada sisi yang satu dengan yang lain pada jarak yang sama terdapat gambaran yang sama. Titik ini biasanya berimpit dengan titik pusat kristal. Belum tentu suatu pusat kristal merupakan titik pusat simetri (C). Dalam



menggambarkan



kristal



sepenuhnya,



ada



beberapa



aspek



yang



harus



dipertimbangkan yakni, parameter kisi yang memberikan rincian tentang bingkai dari sel satuan, kisi Bravais yang membatasi bagaimana atom ditempatkan dalam titik kisi atau sisi atau bidang atau pusat dan space grup yang menggabungkan kisi Bravais. Operasi simetri dapat dibagi atas:



1. Simetri Rotasi Simetri rotasi menunjukkan bahwa kisi tetap berada pada posisi awalnya apabila kristal telah diputar dengan sudut α. Dalam hal ini besar sudut merupakan bilangan genap dari hasil pembagian 2π/n, dimana n adalah bilangan bulat. (n; 1, 2, 3, 4, 5 dan 6). Rotasi kisi sebesar α digambarkan pada gambar 3. Sumbu rotasi tegak lutus terhadap bidang dan ditandai dengan x. Sebuah titik kisi, pada titik A sebelum rotasi menjadi A’ setelah rotasi. Sebelum rotasi dilaksanakan telah terdapat sebuah kisi pada titik A’. Setiap rotasi dilaksanakan posisi tiap kisi selalu seperti berada pada posisi awal. Untuk menentukan peluang terjadinya simetri rotasi pada kristal adalah sebagai berikut. Misalkan A dan B adalah titik kisi, dan sudut α sebagai sudut yang diijinkan. Berarti A’ dan B’ adalah titik kisi juga. Panjang kisi kristal adalah a. Sehingga : A’B’ = PQ + 2a cos α Qa



= pa + 2a cos α



Cos α = (qa – pa)/ 2a=(q-p)/2 = n/2 Dengan n adalah bilangan bulat. Sehingga peluang terjadinya simetri rotasi ini terjadi hanya apabila harga α = 0, 600, 900, 1200 dan 1800.



16



Gambar 2.5 Simetri rotasi pada Kristal dengan order rotasi 2-fold, 3-fold dan 4-fold.



2. Simetri cermin Cermin tegak lurus terhadap bidang kertas yang digambarkan oleh garis. Setiap titik kisi dapat dipasangkan dengan bayangannya. Jika titik kisi dapat dipasangkan seperti hal di atas maka kisi dinamakan sama dengan bayangannya. Bidang simetri membelah objek padat menjadi dua bagian sedemikian rupa sehingga satu bagian merupakan bayangan bagi bagian lainnya.



Gambar 2.6. Simetri cermin pada kristal



3. Simetri inversi Jika kristal memiliki pusat simetri pada titik asal, selanjutnya titik kisi yang berjarak r dari titik asal memiliki titik kisi yang lain pada jarak –r dari titik asal. Demikian juga untuk distribusi atom yang berjarak r dari titik asal juga akan memiliki distribusi yang sama pada jarak –r dari titik asal.



D. KISI BRAVAIS Dalam ruang tiga dimensi : terdapat 7 sistem kristal dengan 14 tipe kisi yang berbeda. Pelukisan sistem ini didasarkan bahwa sisi dasar dibentuk oleh vektor kisi a dan b dengan sudut apitnya adalah γ. Bidang yang tegak lurus terhadap bidang alas dibentuk oleh vektor c . Sudut yang dibentuk oleh vektor b dan c disebut β dan sudut yang dibentuk oleh vektor kisi a dan c disebut α. Seperti yang ditunjukkan oleh gambar 4. Jika titik kisi berada hanya pada setiap pojok, maka kristal dikatakan sel primitif, dan dilambangkan dengan p. Jika titik kisi berada pada setiap pojok ditambah dengan sebuah titik kisi pada diagonal ruangnya maka sel disebut body center dilambangkan dengan I. Jika pada setiap pojok dan pada setiap diagonal bidang sisi terdapat titik kisi maka sel disebut face center, dilambangkan dengan F. Dan apabila pada diagonal dasar dan atapnya terdapat titik kisi ditambah dengan titik pada setiap pojoknya maka sel disebut base



17



center, dilambangkan dengan C. Gambar 2.5 merupakan contoh untuk masing-masing tipe kisi pada Kristal sistim kisi kubik.



Gambar 2.5 Gambar lattice Kristal.



Ada tujuh buah unit sel yang mungkin untuk semua jenis kristal. Ketujuh unit sel disebut tujuh kristal sistem yang terdiri dari: Cubic system, Tetragonal system, Orthorhombic system, Monoclinic system, Triclinic system, Hexagonal system, dan . Rhombohedral system. Tabel 3.1. Tujuh sistim kristal dan empat belas type kisi kristal dalam 3 dimensi No I



Sistim Kubik



Unit sel & Sudut a=b=c α=β=γ=π/2



II



Tetragonal



III



Orthorombik



a=b a=β=γ=π/2 A a=β=γ=π/2



IV



Monoklinik



V



Triklinik



VI



Hexagonal



VII



Trigonal



a a=β=π/2 A α β γ π/2 A=b a=β=π/2 A=b=c a=β=γ π/2



Kisi Bravais P(Primitif) I(Body Centered) F(Face Centered) P (Primitif) I(Body Centered) P(Primitif) C(Base centered) I(Body Centered) F(Face Centered) P(Primitif) I(Body Centered) P(Primitif) P(Primitif) P(Primitif)



18



1. Sistem kisi kubik Sistim ini juga disebut system regular. Jumlah sumbu kristalnya 3 dan saling tegak lurus satu dengan yang lainnya. Masing-masing sumbu mempunyai panjang kisi yang sama. Type kristal dalam hal ini adalah simpel kubik (P), body center (I) dan face center kubik (F). Pada sistem simpel kubik, jika panjang rusuk kubus adalah a, maka a = a ̂



b = a ̂ dan c = a ̂



Panjang kisi dari sistem ini adalah a. Pada sistim ini terdapat sebuah atom pada masing-masing sudut kubus. Untuk body center, a =



̂



̂ - ̂ ), b =



̂ + ̂ . Panjang kisi dari sistim ini adalah a/√



̂



̂ + ̂ , dan c =



̂



Pada sistim ini terdapat sebuah atom pada



masing-masing sudut kubus, dan terdapat satu atom pada pusat kubus. Untuk face center, a = ̂



̂ ), b=



̂ + ̂ , dan c=



̂ + ̂ . Pada sistim ini terdapat sebuah atom pada



masing-masing sudut kubus, dan terdapat sebuah atom pada perpotongan diagonal masingmasing permukaan sisi kubus. Panjang kisi pada sistim ini adalah a/√ hubungan antara panjang kisi yang satu dengan yang lainnya adalah: [



. Dalam sistim ini ][



].



2. Sistem titik tetragonal Sistim ini mempunyai 3 sumbu kristal yang masing-masing saling tegak lurus. Sumbu a dan b mempunyai satuan panjang yang sama, sedangkan sumbu c berbeda, bisa lebih panjang atau lebih pendek. Pada sistim ini, terdapat dua type kristal, primitif dan body center. Jika panjang rusuk alas tetragonal adalah a, dan tingginya adalah c maka pada sel primitif a= ̂ b=a ̂ dan c = c ̂ Panjang kisi dari sistem ini adalah a. Untuk body center, a = ̂ b=



̂



̂ )+



̂ , c=



̂



̂ )+



̂



̂ )-



̂. Dalam sistim ini hubungan antara



panjang kisi yang satu dengan yang lainnya adalah: [



] [



].



3. Sistim kisi Ortohorombik Sistim ini mempunyai 3 sumbu kristal yang masing-masing saling tegak lurus. Ketiga sumbu Kristal tersebut mempunyai panjang yang berbeda. Type kristal pada sistim orthorombik adalah primitif, body center, face center dan bace center. Dalam sistim ini hubungan antara panjang kisi yang satu dengan yang lainnya adalah:[



]*



+. Panjang 19



sumbu Kristal memenuhi a < b < c. Sumbu a disebut sumbu brakia, sumbu b disebut sumbu makro dan sumbu c disebut sumbu vertical. Sistem Kristal ini memiliki pusat simetri yang merupakan titik pertemuan antara bidang dan sumbu simetri. Sistem Kristal ini juga mempunyai tiga bidang simetri, karena jika bangun tersebut dibagi oleh sumbu simetri akan menghasilkan dua bagian yang sama besarnya.



4. Sistem kisi Monoklinik Monoklinik artinya mempunyai hanya satu sumbu yang miring dari tiga sumbu yang dimilikinya. Sumbu a tegak lurus terhadap sumbu b, b tegak lurus terhadap sumbu c, tetapi sumbu c tidak tegak lurus terhadap sumbu a. Ketiga sumbu umumnya tidak sama panjangnya, sumbu c yang paling panjang dan sumbu b yang paling pendek. Dalam sistim ini hubungan antara panjang kisi yang satu dengan yang lainnya adalah: Monoklinik ; [



] [



].



5. Sistim kisi triklinik Sistem ini mempunyai 3 sumbu simetri yang satu dengan lainnya tidak saling tegak lurus. Demikian juga masing-masing panjang sumbu tidak sama, yang saling berpotongan pada sisi miringnya. Dalam sistim ini hubungan antara panjang kisi yang satu dengan yang lainnya adalah: [



] [



].



6. Sistim kisi hexagonal Sistem ini mempunyai 4 sumbu simetri, dimana sumbu c tegak lurus terhadap ketiga sumbu lainnya. Sumbu a, b, dan d memiliki panjang yang sama dan masing-masing membentuk sudut 120o. Sedangkan sumbu c biasanya lebih panjang dari sumbu lainnya.



7. Sistim kisi trigonal Sistem ini mempunyai nama lain Rhombohedral. Dan beberapa ahli memasukkan system ini kedalam system Kristal Hexagonal. Trigonal mempunyai dasar segienam, kemudian dibentuk segitiga dengan menghubungkan dua titik sudut yang melewati satu titik sudutnya. Ke tujuh sistim kristal tersebut dapat digambarkan seperti pada tabel 2.1 dan gambar 2.5



20



Gambar 2.5 Ke tujuh sistim kristal



1. Posisi, Arah dan Bidang Kristal Notasi yang khusus digunakan untuk menentukan titik dalam sebuah unit sel, arah sepanjang sumbuh melalui titik-titik kisi, dan bidang pada sel.



a. Posisi dalam sel 



Tentukan koordinat titik yang dimaksud. (Misalnya P=2a 1,5b 3c).







Hilangkan a,b dan c, maka titik P dinyatakan sebagai P=21



( tanpa koma dan tanpa



kurung).



21



b. Arah vektor Dinyatakan dengan 3 bilangan u v w, yang ditentukan sebagai berikut : 



Pindahkan vektor ke titik 0







Proyeksikan ujung vektor pada sumbu







Buang a,b dan c



c. Orientasi Bidang Penentuan vektor posisi dalam kristal *Buang a, b, dan c



: 323



*Balikkan



:



*Kalikan dengan KPT



:232



Indeks Miller bidang adalah (hkl) = (232)



RINGKASAN 1. Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan berulang (periodik) disebut bahan kristal. sedangkan zat padat yang tidak memiliki keteraturan demikian disebut bahan amorf atau bukan-kristal. 2. Untuk susunan atom ●• , jarak antara atom ●dengan atom ● dan atom • dengan atom • disebut panjang kisi. 3. Ruangan yang dibentuk oleh vektor dasar translasi yang paling kecil disebut unit sel. 4. Variable pada unit sel ada enam buah yaitu panjang dari unit sel yang direpresentasikan oleh tiga vektor (a, b, dan c) dan tiga independen sudut antara dua vektor (α, β, and γ). 5. Volume dari unit sel dapat ditentukan berdasarkan vektor dasar translasi pembentuknya. volumenya deberikan oleh persamaan : τ =|𝑐 𝑎𝑥𝑏 | 6. Karena masing-masing unit sel mengandung distribusi atom yang sama, maka kerapatan massa dari kristal diberikan oleh persamaan :



ρ=M/τ



Dimana, M adalah massa total dari unit sel. τ = volume unit sel ρ= rapat massa 22



7. Simetri adalah operasi transformasi untuk memberikan sesuatu yang mirip dengan yang beroperasi. 8. Unsur-unsur simetri suatu kristal dapat dibedakan atas 3 yaitu bidang simetri, sumbu simetri, dan titik pusat simetri. 9. Simetri rotasi menunjukkan bahwa kisi tetap berada pada posisi awalnya apabila kristal telah diputar dengan sudut α. 10. Panjang kisi kristal adalah a. Sehingga : A’B’ = PQ + 2a cos α Qa



= pa + 2a cos α



Cos α = (qa – pa)/ 2a=(q-p)/2 = n/2 Dengan n adalah bilangan bulat. 11. Simetri Cermin tegak lurus terhadap bidang kertas yang digambarkan oleh garis. Setiap titik kisi dapat dipasangkan dengan bayangannya. 12. Simetri inversi digambarkan Jika kristal memiliki pusat simetri pada titik asal, selanjutnya titik kisi yang berjarak r dari titik asal memiliki titik kisi yang lain pada jarak –r dari titik asal. 13. Sistim kristal dan empat belas type kisi kristal dalam 3 dimensi: No I



Sistim Kubik



Unit sel & Sudut a=b=c α=β=γ=π/2



II



Tetragonal



III



Orthorombik



a=b a=β=γ=π/2 A a=β=γ=π/2



IV



Monoklinik



V



Triklinik



VI



Hexagonal



VII



Trigonal



a a=β=π/2 A α β γ π/2 A=b a=β=π/2 A=b=c a=β=γ π/2



Kisi Bravais P(Primitif) I(Body Centered) F(Face Centered) P (Primitif) I(Body Centered) P(Primitif) C(Base centered) I(Body Centered) F(Face Centered) P(Primitif) I(Body Centered) P(Primitif) P(Primitif) P(Primitif)



23



RINGKASAN



14. Pada system kisi kubik, jika panjang rusuk kubus adalah a, maka a = a𝑥̂ b = a𝑦̂ dan c = a𝑧̂ Panjang kisi dari sistem ini adalah a. Untuk body center, a = 𝑎



𝑥̂



𝑦̂ + 𝑧̂ , dan c = 𝑎 𝑥̂



Untuk face center, a =



𝑎 𝑥̂



𝑎 𝑥̂



𝑦̂ - 𝑧̂ ), b =



𝑦̂ + 𝑧̂ . Panjang kisi dari sistim ini adalah a/√



𝑦̂ ), b=



𝑎 𝑦̂ + 𝑧̂ , dan c= 𝑎 𝑥̂ + 𝑧̂ . Panjang kisi pada



sistim ini adalah a/√ . 15. Pada system titik tetragonal, Jika panjang rusuk alas tetragonal adalah a, dan tingginya adalah c maka pada sel primitif a=𝑎𝑥̂ b=a𝑦̂ adalah a. Untuk body center, a =



𝑎 𝑥̂



dan c = c 𝑧̂ Panjang kisi dari sistem ini



𝑦̂ )- 𝑐𝑧̂ b=



𝑎



𝑥̂



𝑦̂ )+ 𝑐𝑧̂ , c= 𝑎 𝑥̂



𝑦̂ )+ 𝑐𝑧̂.



Latihan Soal 1. Tuliskan pengertian dari kristal, amorf dan polykristal 2. Vektor kisi dasar dari CsCl dapat dituliska dalam bentuk a=a 𝑥̂ b =a𝑦̂ dan c = a(𝑥̂ 𝑦̂ + 𝑧̂). Tentukamlah volume dari unit selnya apabila a= 4,11Ao. 3. Besi memiliki type face centered cubic pada suhu 1190 K dengan panjang kisi 3,647A o, dan pada suhu 1670Ao K bertipe body centered cubic dengan panjang kisi 2,932Ao. Jika pada masing-masing kasus basis primitifnya mengandung 1 atom, tentukanlah rapat massa dari besi pada kedua temperatur tersebut. Diberikan bahwa massa atom dari besi adalah 55,85. 4. a. Apa yang dimaksud dengan operasi simetri? b. Operasi simetri apa yang harus dimiliki oleh setiap Kristal? c. Apa artinya bila kristal memiliki operasi simetri 90o?



24



BAB III DIFRAKSI KRISTAL Kompetensi Dasar: Mendeskripsikan cara menentukan panjang kisi dan posisi atom dari suatu kristal melalui berbagai jenis percobaan yang menggunakan diffraksi sinar X. Indikator: 1. Menentukan besar panjang gelombang dari energi gelombang-partikel yang sering digunakan untuk menyelidiki struktur kristal. 2. Menjelaskan hubungan antara posisi detektor dengan puncak intensitas hamburan pada percobaan difraksi kristal 3. Menentukan bidang yang sesuai dengan kondisi Bragg berdasarkan puncak hamburan Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari BAB ini, Mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menjelaskan alasan difraksi digunakan untuk menyelidiki jarak spasi antar atom pada kristal 2. Menentukan besar panjang gelombang dari energi gelombang-partikel yang sering digunakan untuk menyelidiki struktur kristal. 3. Menjelaskan metode Laue, metode Rotasi Kristal dan metode Serbuk dalam menentukan jarak spasi pada kristal 4. Menentukan jarak spasi antar atom pada kristal sistim kubik dan kristal sistem tetragonal. 5. Menjelaskan hubungan antara posisi detektor dengan puncak intensitas hamburan pada percobaan difraksi kristal 6. Menentukan bidang yang sesuai dengan kondisi Bragg berdasarkan puncak hamburan.



25



A. PENDAHULUAN Sejarah mengenai difraksi sinar-x telah berjalan hampir satu abad ketika tulisan ini disusun. Tahun 1912 adalah awal dari studi intensif mengenai difraksi sinar-x. Dimulai dari pertanyaan M. van Laue kepada salah seorang kandidat doktor P.P. Ewald yang dibimbing A.Sommerfeld, W. Friedrich (asisten riset Sommerfeld) menawarkan dilakukannya eksperimen mengenai 'difraksi sinar-x'. Pada saat itu eksperimen mengenai hamburan sinar-x sudah dilakukan oleh Barkla Laue mengawali pekerjaannya dengan menuliskan hasil pemikiran teoretiknya dengan mengacu pada hasil eksperimen Barkla. Laue berargumentasi, ketika sinar-x melewati sebuah kristal, atom-atom pada kristal bertindak sebagai sumber-sumbergelombang sekunder,layaknya garis-garis pada geritan optik (optical grating). Efek-efek difraksi bisa jadi menjadi lebih rumit karena atom-atom tersebut membentuk pola tiga dimensi. Eksperimen difraksi sinar-x yang pertama dilakukan oleh Herren Friedrich dan Knipping menggunakan kristal tembaga sulfat dan berhasil memberikan hasil pola difraksi pertama yang kemudian menjadi induk perkembangan difraksi sinar -x selanjutnya. Difraksi sinar-x merupakan proses hamburan sinar-x oleh bahan kristal. Pembahasan mengenai difraksi sinar-x mencakup pengetahuan yang berhubungan dengan hal-hal berikut ini: 1. pembentukan sinar-x, 2. hamburan (scattering) gelombang elektromagnetik 3. sifat kekristalan bahan (kristalografi). Dengan demikian, difraksi sinar-x adalah topik lanjut di bidang fisika (atau kimia) yang memerlukan pengetahuan dasar yang cukup banyak dan kompleks.



B. DIFRAKSI SEBAGAI PROSEDUR UNTUK MENYELIDIKI KRISTAL Susunan atom dalam kristal tidak dapat dilihat dengan mata telanjang. Mata telanjang manusia hanya peka terhadap cahaya yang berpanjang gelombang sekitar 600 nm. Sedangkan dimensi dari atom berada pada satuan Amstrong. Untuk menyelidiki sifat dan struktur kristal manusia harus menggunakan alat bantu. Alat ini harus memiliki dimensi dari atom itu sendiri. Solusi pertama agar dapat diselidiki struktur dari kristal datang dari seorang ahli fisika von Laue pada tahun 1912. Dia menyarankan agar digunakan difraksi dengan menggunakan gelombang elektromagnetik yang berpanjang gelombang sebanding dengan jarak spasi antar atom. Informasi dari hasil difraksi akan memberikan tentang susunan atom itu sendiri. 26



Terdapat tiga jenis energi gelombang – partikel yang sering digunakan dalam dunia kristalographi. Foton dari sinar –X. λ= =



( 3.1)



Untuk mendapatkan foton yang berpenjang gelombang λ = 1 A , dibutuhkan energi sekitar 12.000 eV. Jika digunakan elektron : λ=



=



½



( 3.2 )



Untuk mendapat elektron yang berpanjang gelombang λ = 1 A dibutuhkan energi sebesar 150 eV . Jika yang digunakan neutron : λ=



=



1/2



( 3.3 )



Untuk mendapat neutron yang berpanjang gelombang λ = 1A dibutuhkan energi sebesar 0,0 eV. Laju neutron pada keadaan ini adalah sekitar 4000 m/s.



C. KEGUNAAN KETIGA JENIS RADIASI Ketiga jenis radiasi diatas berbeda fungsi dalam penggunaannya. Ketiga gelombang – partikel berinteraksi dengan menggunakan hukum yang sama. Gelombang sinar –X dengan besar energi antara 10 keV ke 100 keV dapat menembus dengan baik sedikit dibawah permukaan kristal dan mendasari hampir semua teknik konversional untuk menganalisis struktur kristal dalam tiga dimensi. Sinar – X pada dasarnya terhambur oleh inti elektron, jadi kurang baik untuk digunakan mendeteksi struktur atom berat. Pola difraksi oleh elektron pada kristal tunggal memberikan demonstrasi yang sangat baik dalam keperiodikan struktur kristal dan dalam dualitas gelombang partikel. Karena elektron adalah partikel bermuatan, dia berinteraksi sangat kuat dengan materi dan dapat menembus beberapa angstrom dalam kristal sebelum dipengaruhi oleh tumbuhan elastis dari bahan. Sehingga elektron tidak terlalu baik digunakan untuk menyelidiki bulk dari bahan. Akan tetapi, sangat baik digunakan dalam hal : 1. Penelitian pada lapisan permukaan kristal 2. Penelitian lapisan tipis Neutron lambat dapat berinteraksi dengan bahan dalam beberapa cara. Dalam bahan yang nonmagnetik, interaksi terjadi hanya dengan inti, karena neutron tidak bermuatan. Hamburan



27



elastik yang koheren bisa terjadi, yang menghasilkan pola difraksi neutron memiliki momen magnetiknya.



D. HUKUM BRAGG Proposal yang disampaikan oleh Bragg pada tahun 1913 yang mengandung informasi tentang formulasi sederhana dan ekspressi tentang kondisi geometris yang sesuai digunakan adalah harus sesuai apabila gelombang didifraksikan oleh bidang yang paralel. Argumen dari Bragg jauh dari keraguan karena saat itu ia tidak menggunakan hukum optik geometric, akan tetapi menggunakan optik fisis untuk meninjau sifat gelombang pada peristiwa interferensi. Hasil yang diperoleh sangat bersesuaian dengan apa yang telah disarankan oleh Von Laue dan Ewald. Suatu hal yang penting yang membedakan difraksi antara kisi dengan kristal adalah, pada difraksi oleh kisi sudut datang tidak sama besarnya dengan dimana berkas sinar didifraksikan, dan terdapat hubungan antara kedua sudut ini, panjang gelombang yang digunakan dan jarak antara dua celah pada kisi. Kondisi difraksi Bragg lebih spesifik, dimana sudut berkas sinar datang dan sudut berkas pantulan adalah sama, dan menyatakan bahwa berkas pantulan dipenuhi apabila besar sudut berkas gelombang yang sesuai dan jarak antara dua bidang paralelnya. Kondisi Bragg tidak menyelidiki untuk selapis bidang.



Gambar 3.1 Difraksi sinar-x Anggap dua gelombang datang dengan sudut



, pada dua bidang paralel yang terpisah



sejauh d. Vektor rambatan dari gelombang 1 yang dipantulkan oleh permukaan bawah memiliki beda lintasan dengan gelombang 2 yang dipantulkan oleh permukaan atas sebesar 2d sin Ɵ. Kedua gelombang berinterferensi secara maksimum untuk menghasilkan intensitas maksimum jika jarak ini kelipatan dari panjang gelombang, sehingga:



28



2dhklsinƟ = n λ



(3.4)



n = 1,2,3 ...merupakan orde refleksi Bragg. Dari persamaan diatas terlihat bahwa harga sin Ɵ haruslah 1 atau lebih kecil dari 1. Tidak akan ada puncak intensitas yang teramati bila harga λ lebih besar dari dua kali jarak bidang maksimum. Untuk sistim kubik:



dhkl



√



(3.5)



untuk sistim tetragonal:



(3.6) √



E. EKSPERIMEN DENGAN DIFRAKSI SINAR-X 1. Hukum Bragg Dari persamaan Hukum Bragg, pada difraksi sinar –X membutuhkan Harga Ɵ dan λ yang saling bersesuaian. Panjang gelombang sinar X yang mengenai kristal secara sembarang tidak dipantulkan kembali. Standard difraksi yang digunakan untuk menganalisis kristal terdiri dari :



a. Metode Laue Metode difraksi ini tidak menggunakan berkas sinar monokromatik dari spektrumnya, juga tidak menggunakan karakteristik, melainkan menggunakan spectrum kontinu dari logam targetnya. Agar sudut difraksi bernilai konstan, maka digunakan Kristal tunggal sebagai spesimennya. Hukum Bragg dapat terpenuhi jika sinar-X mendifraksikan yang sesuai dengan panjang gelombangnya pada bidang dari Kristal tunggal. Metode Laue biasanya digunakan untuk menentukan orientasi kristal tunggal besar yang bersifat relatif terhadap adanya pancaran. Metode ini merupakan metode difraksi sinar X tertua. Radiasi putih tercermin atau ditransmisikan melalui kristal tetap. Kristal tetap adalah kristal yang memiliki bidang hkl, jarak d (hkl) dan sudut Bragg (hkl) yang tetap. Sinar yang terpantul akan ada jika sebuah panjang gelombang yang tepat yang memuaskan persamaan Bragg terdapat dalam sebuah spektrum



29



kontinyu.sinar pantul yang berbeda memiliki panjang gelombang yang berbeda sehingga membuat pola laue yang terbentuk menjadi berwarna. Metode ini sangat mudah dalam hal operasi dan konsepnya. Kristal tunggal ditempatkan pada sebuah meja, dan dikenai oleh radiasi secara kontiniu dari panjang gelombang sinar-X. Panjang gelombang yang bersesuain dengan kristal akan menghasilkan difraksi yang ditangkap oleh layar. Pola difraksi yang dihasilkan adalah



berupa titik-titik yang secara langsung



merupakan struktur kristal dengan metode itu sendiri. Akan terkadang penafsiran untuk penentuan struktur kristal dengan metode ini sangat membingungkan akibat adanya pola difraksi orde ke-2, ke-3 dst. Sehingga metode metode ini sangat jarang digunakan untuk menentukan struktur kristal yang masih belum diketahui.



Gambar 3.2. Percobaan dengan metode Laue



b. Metode rotasi kristal Dalam metode Kristal berputar ini berbeda dengan metode Laue. Untuk metode Kristal berputar menggunakan Kristal tunggal dan sinar-X monokromatik. Proses metode Kristal berputar ini terjadi ketika Kristal dan sampel uji coba di sinari oleh sinar-X, dan sinar-X tersebut mengelilingi Kristal sehingga Kristal pada orientasi tertentu akan menghasilkan difraksi yang kemudian direkam oleh film. Kristal tunggal dirotasikan pada sumbu tetap yang ditembak dengan berkas monokromatis. Arah datang berkas sinar tegak lurus terhadap kristal. Kemudian dibentuk grafik



30



yang dihasilkan oleh variasi



dengan fungsi waktu. Tehnik ini digunakan untuk menentukan



bentuk dan ukuran unit sel. Contoh,



untuk



kristal



yang



berbentuk ortorombik,dimana vektor dasar c tegak lurus dengan arah datangnya sinar. Vektor dasar a dan b tegak lurus terhadap vektor c. Metode ini digunakan untuk analisis struktur pada Kristal tunggal. Kristal ini biasanya berdiameter sekitar 1 mm dan terpasang pada poros yang dapat Gambar 3.3. Bagan percobaan dengan metode rotasi kristal



berputar. Film fotografi ditempatkan pada sisi dalam dari silinder konsentris dengan sumbu rotasinya.



Sebuah sinar datang dengan panjang gelombang λ dan dibuat untuk menimpa pada Kristal. Specimen kemudian diputar, maka akan diperoleh kondisi difraksi, dimana lamda dan teta sesuai hukum Bragg.



c. Metode Serbuk Dalam metode ini, Kristal yang akan diamati dalam bentuk serbuk, dan setiap serbuk berlaku sebagai Kristal berukuran kecil dengan orientasi acak dan diputar tidak melalui satu sumbu saja. Sampel diletakkan diatas sebuah bidang dan disebarkan secara merata dan disinari dengan berkas monokromatis.



Karena serbuk memiliki kristal dalam jumlah besar,dan setiap kristal memiliki



orientasi



masing-masing,



setiap puncak hamburan berhubungan dengan vektor kisi yang lebih pendek Gambar. 3.4. Bagan percobaan dengan metode serbuk



dari



.



31



Contoh, untuk kristal yang berbentuk kubus dengan panjang kisi setiap sisi a. Harga a akan ditemukan dari hasil percobaan. Dalam hal ini d = a / (a2 + b2 + c2) ½ Dimana N = n2 (a2 + b2 + c2 ). Sudut hamburan diukur untuk masing-masing cincin.



Contoh Soal



uiuhoihjiooi



Anggap kristal berbentuk kubus sederhana yang panjang rusuknya 3,50 A° disinari dengan sinar –X yang berpanjang gelombang 3,10 A°. Tentukanlah kumpulan bidang yang sesuai dengan kondisi Bragg, dan untuk masing –masing puncak,tentukanlah besar sudut Braggnya.



Penyelesaian



Menurut kondisi Bragg, Sin 𝜃 = n𝜆



𝑑



Untuk kubus sederhana, Jarak kisi bidangnya berada pada (hkl) adalah d = a /(h2 + k2 + l2 ) ½. Jadi, Sin 𝜃 = (n λ / 2a )(h2 + k2 + l2 ) ½ = n (3,10 / 7)(h2 + k2 + l2)1/2 = 0,443 x (h2+k2 +l2 )1/2.



Jadi harga ini harus lebih kecil dari 1. Artinya bila harga sin



adalah 1 atau lebih kecil



dari 1 akan dapat diperoleh variasi harga h,k,dan 1 yang sesuai. Orientasi yang sesuai dengan puncak memberikan struktur dari kristal itu sendiri. Hasil dari perhitungan diberikan pada tabel dibawah ini : 32



Tabel.1. Hasil Perhitungan sudut hamburan untuk berbagai bidang kristal (hkl)



N



0,433n (h2+k2+l2)1/2



(100)



1



0,433



26,3°



(101)



2



0,866



62,3°



(110)



1



0,626



38,8°



(111)



1



0,767



50,1°



(210)



1



0, 990



82,0°



RINGKASAN 1. Eksperimen difraksi sinar-x yang pertama dilakukan oleh Herren Friedrich dan Knipping menggunakan kristal tembaga sulfat dan berhasil memberikan hasil pola difraksi pertama yang kemudian menjadi induk perkembangan difraksi sinar x selanjutnya. 2. Difraksi sinar-x merupakan proses hamburan sinar-x oleh bahan kristal. Pembahasan mengenai difraksi sinar-x mencakup pengetahuan yang berhubungan dengan halhal berikut ini: a. Pembentukan sinar-x, b. Hamburan (scattering) gelombang elektromagnetik c. Sifat kekristalan bahan (kristalografi). 3. Agar dapat diselidiki struktur dari kristal, seorang ahli fisika Von Laue pada tahun 1912. Dia



menyarankan



agar



digunakan



difraksi



dengan



menggunakan



gelombang



elektromagnetik yang berpanjang gelombang sebanding dengan jarak spasi antar atom. Informasi dari hasil difraksi akan memberikan tentang susunan atom itu sendiri.



33



RINGKASAN



4. Pola difraksi oleh elektron pada kristal tunggal membeikan demonstrasi yang sangat baik dalam keperiodikan struktur kristal dan dalam dualitas gelombang partikel. Karena elektron adalah partikel bermuatan, dia berinteraksi sangat kuat dengan materi dan dapat menembus beberapa angstrom dalam kristal sebelum dipengaruhi oleh tumbuhan elastis dari bahan. Sehingga elektron tidak terlalu baik digunakan untuk menyelidiki bulk dari bahan. Akan tetapi, sangat baik digunakan dalam hal : a. Penelitian pada lapisan permukaan kristal



b. Penelitian lapisan tipis 5. Suatu hal yang penting, membedakan difraksi antara kisi dengan kristal adalah pada difraksi oleh kisi sudut datang tidak sama besarnya dengan dimana berkas sinar didifraksikan, dan terdapat hubungan antara kedua sudut ini, panjang gelombang yang digunakan dan jarak antara dua celah pada kisi. 6. Kondisi difraksi Bragg, dimana sudut berkas sinar datang dan sudut berkas pantulan adalah sama, dan menyatakan bahwa berkas pantulan dipenuhi apabila besar sudut berkas gelombang yang sesuai dan jarak antara dua bidang paralelnya. Kondisi Bragg tidak menyelidiki untuk selapis bidang. 7. Pada difraksi sinar –X membutuhkan Harga Ɵ dan λ yang saling bersesuaian. Panjang gelombang sinar X yang mengenai kristal secara sembarang tidak dipantulkan kembali. Standard difraksi yang digunakan untuk menganalisis kristal terdiri dari : a. Metode Laue b. Metode Rotasi Kristal c. Metode Serbuk



34



Latihan Soal 1. Sinar –X yang berpanjang gelombang ditembakkan sepanjang sumbu z pada dua atom yang terpisah sejauh 3,2 A°. Pergeseran relatifnya terjadi pada bidang yz disekitar atom. Saat 𝜃𝑟 r = 0 dan 𝜃r = 45° tentuakan posisi detektor saat ditemukan puncak dari intensitas hamburan. 2. A. Tentukan panjang gelombang foton yang berenergi 45 keV dan berapa besar momentum linearnya. B. Berapa energi neutron agar panjang gelombang ke Broglienya 0,5A° 3. Anggap pada kristal yang bertipe kubus sederhana hanya memilki satu atom pada basis primitifnya. Panjang rusuk kubus adalah 4,50 A°. a) Tentukan panjang gelombang yang digunakan agar diperoleh puncak dengan sudut hamburan 40° berapa sudut hamburan agar diperoleh puncak pada (100) dan (111). b) Bila panjang gelombang yang sama digunakan dan diperoleh puncak (110) dengan sudut 40° , berapakah besar sudut hamburan untuk puncak (100) dan (111) ?



35



BAB IV IKATAN KRISTAL Kompetensi Dasar: Menentukan besar energi yang dimiliki atom-atom kristal dalam keadaan terpisah satu sama lain dan energi yang dimiliki atom didalam kristal dengan menggunakan persamaan Schrodinger Indikator: 1. Menentukan besar energi total untuk atom Hidrogen. 2. Menentukan besar kontribusi energi Madelung terhadap energi total panjang gelombang dari energi gelombang-partikel yang sering digunakan untuk menyelidiki struktur kristal. 3. Menentukan besar parameter dalam penetuan besar energi total untuk ikatan ionik. 4. Menetukan besar parameter ε dan σ bila terjadi interaksi Van der Waals. III. Tujuan Pembelajaran: Setelah mempelajari BAB IV ini diharapkan Mahasiswa dapat: 1. Menjelaskan penerapan persamaan Schrodinger dalam menentukan besar energi elektron 2. Menjelaskan ikatan dasar yang terdapat pada atom Hidrogen 3. Menentukan besar energi total pada atom Hidrogen. 4. Menjelaskan ikatan kovalen dan melukiskan gambarnya untuk atom Hidrogen 5. Menentukan besar kontribusi energi Madelung terhadap energi total panjang gelombang dari energi gelombang-partikel yang sering digunakan untuk menyelidiki struktur kristal. 6. Menentukan besar parameter dalam penetuan besar energi total untuk ikatan ionik. 7. Menetukan besar parameter ε dan σ bila terjadi interaksi Van der Waals.



36



A. PENDAHULUAN Apakah yang menyebabkan sebuah kristal tetap bersatu? Jawabannya adalah interaksi paling besar yang bertanggung jawab untuk terjadi kohesi pada zat padat adalah interaksi tarik menarik elektrostatik antara muatan-muatan positif pada inti dengan mutan-muatan negatif dari elektron. Energi kohesi dari sebuah kristal di definisikan sebagai energi yang harus diberikan kepada kristal untuk memisahkan komponen-komponenya menjadi atom-atom bebas yang netral pada keadaan diam dan pada jarak tak hingga untuk kristal. Kristal yang bersifat ionik ,lazim digunakaan istilah Energi lattice (kisi) yang didefenisikan sebagai energi yang harus di berikan pada kristal untuk memisahkan komponen-komponenya menjadi ion-ion bebas pada keadaan diam dan pada jarak tak hingga. Zat padat merupakan zat yang memiliki struktur yang stabil. Kestabilan sruktur zat padat disebabkan oleh adanya interaksi antara atom membentuk suatu ikatan kristal. Sebagai contoh: Kristal sodium clorida (NaCl) memiliki struktur yang lebih stabil dibandingkan dengan sekumpulan atom-atom bebas dari Na dan Cl sehingga implikasinya : atom-atom bebas Na dan Cl akan saling berinteraksi satu sama lain untuk membentuk struktur yang stabil, terdapat gaya interaksi antar atom untuk mengikat atom satu-sama lain, besarnya energi atom-atom bebas penyusun kristal lebih besar daripada energi kristalnya. Energi yang diperlukan untuk memisahkan atom-atom penyusun kristal menjadi atom-atom bebas dan netral dinamakan energi kohesif.



B. PERHITUNGAN ENERGI 1. Persamaan Schrodinger Pada dasarnya perhitungan energi total dari bahan dimulai dengan menemukan solusi persamaan schrodinger untuk energy electron dan fungsi gelombang. Fungsi gelombang Ψ(r,t), berhubungan dengan electron dan mengandung informasi tentang sifat elektron. Sebagai contoh, besaran dP =|



| dτ memberikan peluang yang saat t, electron berada dalam volume dτ



yang berlokasi pada r, Ψ mungkin kompleks dan kuadrat yang dihitung sebagai produk dari Ψ dengan kompleks konjugatnya, yang dituliskan sebagai produk Ψ*. | | yang disebut sebagai rapat peluang dari elektron.



37



Fungsi gelombang dan juga rapat peluang electron ditentukan oleh fungsi energy potensial elektron. Fungsi gelombang merupakan sebuah solusi dari persamaan Schroodinger:



(4.1) dalam hal ini m adalah massa elektron,



adalah operator persamaan diferensial Laplace,



dimana:



(4.2) Hubungan frekuensi anguler dengan energi: E = ħɷ kepada pers (1), disubsitusikan pers



sehingga:



(4.3)



2. Fungsi Energi Potensial Ada dua hal yang sangat mempengaruhi fungsi energy potensial dalam bahan. Pertama adalah



hasil



interaksi



∑



antara



|



elektron



dan



inti



yang



diberikan



oleh



persamaan: (4.4)



|



dimana Ri adalah posisi dan inti i, Zi adalah jumlah proton. Karena inti beratraksi dengan electron maka harga



negatif. Yang kedua adalah interaksi elektrostatik antara elektron



dengan elektron lain. Kontribusi elcktron terhadap fungsi energy potensial adalah:



∫|



( )



(4.5)



|



persamaan diatas dikenal dengan persamaan Hartree. dimana



= ∑|



|



(4.6) 38



C. ION MOLEKUL HIDROGEN 1. IkatanDasar



Gambar 4.l. Geometri dari atom Hidrogen, Proton dengan proton terpisah sejauh R. Elektron terpisah sejauh r dan r - R dan proton Sistim terdiri dari 2 proton dan sebuah electron seperti digambarkan pada gambar 4.1. Sebuah proton diberi label a dan terletak pada titik asal dan yang lain diberi label b berjarak R dan a. Jarak electron dan proton a adalah r dan jarak dari b adalah r-R sehingga energy protonelektron dari gambar di atas diberikan oleh:



|



|



Anggap fungsi gelombang pada orbital 1S . Sebagai pendekatan kepada fungsi gelombang untuk electron yang terletak dekat proton dalam ion, molekul diberikan oleh: [



|



| ]



(4.8)



Dimana suku pertama adalah persamaan fungsi gelombang pada proton a, dan suku kedua adalah persamaan gelombang pada proton b, N adalah konstanta normalisasi. Orbital ternomalisasi ∫|



|



39



[



√ Dengan



]



adalah radius Bohr = 0,529 Ao, karena



[



adalah real maka diperoleh:



]



Untuk menentukan energy pada keadaan dasar digunakan perhitungan dengan mengambil harga rata-rata dari yang diberikan oleh :



∫



[



|



Persamaan (4.8) digunakan untuk mensubstitusi untuk



|



dan



|



]



selanjutnya digunakan persamaan schrodinger



| dan akan diperoleh :



Dan |



|



|



|



|



|



|



|



Dimana E 1s adalah energy atom hydrogen pada keadaan. Selanjutnya 〈 〉



∫[



|



| ]*



|



|



|



|



+



(4.14)



Misalkan: ∫



∫



|



(4.15)



|



|



|



(4.16)



40



Dari hasil pemisalan ini bila disubstitusikan kembali ke persamaan (4.14), akan diperoleh: 〈 〉



(4.17)



Karena harga A dan B positif, persamaan (4.17) menduga terjadi pengurangan energy dari keadaan dasarnya. Energi total molekul ion Hidrogen diperoleh selajutnva dengan menambahkan energy interaksi proton dengan proton terhadap persamaan (4.17) dan diperoleh:



(4.18)



dengan mensubsitusi persamaan (4.9), pers (4.10), pers (4.15), pers (4.16) dapat diperoleh: *



+



*



(4.19)



(



)+



(4.20)



(4.21)



Bila jarak antar proton besar, maka A Els - e2/



R dan Etotal



e2/



Els - e2/



Dalam hal ini interaksi



0, dan



0, Sehingga



. Dalam hal ini interaksi yang terjadi hanyalah energy electron



pada keadaan dasarnya. Dan apabila R kecil, maka A sehingga



R, B



dan Etotal



e2/



,B



e2/



dan



,



besar dan positif.



merupakan rata-rata energi potensial elektron =- merupakan rata rata energi kinetik; merupakan energi interaksi antar proton;



2. Gaya Tolak Jika atom-atom sangat berdekatan maka akan terjadi tolakan. Tolakan ini secara umum disebabkan oleh tolakan dan proton. Untuk atom berelektron banyak, tolakan ini sangat 41



dipengaruhhi oleh inti elektron sendiri. Analisis gaya tolak ditinjau dan prinsip gaya yang dihasilkan oleh energi tolakan inti sebagai fungsi dan jarak pisah antar atom. Secara umum energi interaksi oleh dua inti dalam bentuk: (4.22) atau dalam bentuk (4.23) dimana R adalah jarak antar atom,



n dan



adalah parameter yang tergantung pada inti atom.



Untuk gas lamban secara empiris memenuhi persamaan: E= - C( dimana: -C(



)



) merupakan energi akibat tarikan antar atom; dan merupakan energi akibat tolakan antar atom.



D. IKATAN KOVALEN Ikatan ini terjadi apabila dua atom atau lebih saling mernberikan elektronnya dan akan membentuk elektron urunan (penggunaan bersama). Pada keadaan seirnbangnya, energi total mol adalah -4,5 eV. Gaya tariknya berasal dan konsentrasi muatan elektron sepanjang garis yang menghubungkan inti berurutan dan gaya tolaknya berasal dan prinsip Pauli.



a



b



c .



Gambar 4.2. Ikatan kovalen hidrogen. a) Dua orbit atorn terisolasi,(b) Penggabungan dua elektron dan (c) orbit molekul 42



Ikatan kovalen terjadi pada atom-atom yang memiliki perbedaan nilai elektronegatifitas kecil. Ikatan kovalen terbentuk karena adanya pemakaian bersama pasangan elektron dengan spin anti parallel. Terbentuknya ikatan kovalen karena adanya kecenderungan dari atom-atom untuk memiliki konfigurasi elektron gas mulia (orbital terluarnya terisi penuh elektron). Beberapa kristal yang memiliki ikatan kovalen seperti pada table dibawah ini: Tabel 4.1. Zat Padat Kovalen Kristal



Jarak tetangga terdekat



Energi Kohesif(eV)



ZnS



0,235



6,32



C



0,154



7,37



Si



0,234



4,63



Ge



0,244



3,85



Sn



0,280



3,14



SiC



0,189



12,3



E. IKATAN IONIK Saat ikatan yang terjadi pada kristal adalah ikatan ion murni maka persamaan untuk energi potensial total dan sistem sangat sederhana. Karena masing-masing ion bermuatan, maka energi potensial elektrostatisnya dijumlahkan, kemudian ditambahkan dengan energi tolakan dan masing masing inti. Sehingga menghasilkan: ∑∑



|



|



Ikatan yang terjadi antara elemen-elemen elektropositif dan elektronegatif. Seluruh ion, baik ion negatif ataupun ion positif memiliki energi potensial yang sangat besar. Energi ini disebut energi Madelung, yang besarnya:



dimana



adalah konstanta Madelung,



adalah energi Madelung. Besarnya konstanta



Madelung diperoleh dengan menggunakan persamaan: (∑



|



|



∑



| |



) 43



Untuk mendapatkan energi total pada ikatan ionik, energi antar inti dengan inti atom haruslah diperhitungkan. Sehingga:



Persamaan ini dapat digunakan untuk mendapatkan posisi seimbang. Hukum termodinamika adalah: dE Pd



+ Tds



(4.29) 5



dimana P adalah besar tekanan, S adalah entropi dan sampel dan r adalah volume sampel. Anggap tekanan sangat kecil. Pada saat T = 0, volume seimbang dan sampel selanjutnya diperoleh dengan persamaan dE/d



= 0. Kondisi ini dapat dikatakan sama dengan dE/dR = 0.



Tabel 4.2. Harga konstanta Madelung untuk beberapa senyawa zat padat. Senyawa



Konstanta Madelung (



NaCl



1,74756



CsCl



1,76267



ZnS



1,63805



Dengan menurunkan persamaan (4.28) terhadap R dan disamakan dengan nol, akan diperoleh: [



]



Hasil dan penurunan diatas bila disubsitusikan kembali ke persamaan (4.28) akan diperoleh persamaan untuk energi: (



)



Harga parameter A, R0 dan n diperoleh dari pengukuran seperti pada table 4. Atau dengan menggunakan persamaan:



Kompressibilitas isotermalnva diperoleh dengan menggunakan persamaan:



C adalah konstanta yang tergantung pada struktur bahan 44



Tabel 4.3. Parameter energi untuk beberapa kristal Alkali Halide Kristal



R0



N



A (J.mn)



LiF



2,014



6,20



2,61 x 10-79



LiCl



2,570



7,30



2,34 x 10-89



NaF



3,317



6,41



4,98 x 10-88



NaCl



2,820



8,38



1, 77 x 10-99



KF



2,674



7,39



4,21 x 10-90



KCl



3,174



8,55



1,01 x 10-100



RbF



2,815



8,14



3,85 x 10-99



CsF



3,004



10,22



8,03 x 10-117



CsCl



3,571



10,65



3,44 x 10-120



F. IKATAN VAN DER WAALS Ikatan yang terjadi akibat jarak pisah atom yang sangat dekat. Atom menunjukkan sifat ketidakkohesian dan tidak memadat. Atom menginduksi momen dipole yang mengakibatkan suatu interaksi tarik - menarik antara atom - atom. Ikatan ini sering terjadi pada gas mulia. Besar energi potensial total Van der Waals ditentukan oleh persamaan: [( dimana



dan



)



(



) ]



adalah parameter yang bergantung pada polarisasi dan rata-rata momen dipol



dan atom. Untuk gas lamban dengan mengabaikan energy kinetik, persamaan energi totalnya diberikan oleh: [



(



)



(



) ]



dimana N jumlah atom dalam kristal. Pada tekanan dan temperatur 0, jarak antar atom pada keadaan seimbang ditentukan oleh harga dE/dRo = 0. Untuk Gas lamban:



Untuk kristal yang berstruktur FCC kompressibilitas isotermalnya diberikan oleh:



45



Tabel 4. Parameter Lennard-Jones untuk kristal gas dalam R0 (A0)



Elemen Ne



3,13



50



2,74



Ar



3,76



167



3,40



Kr



4,01



225



3,65



Xe



4,35



320



3,98



RINGKASAN 1. Zat padat merupakan zat yang memiliki struktur yang stabil. Kestabilan sruktur zat padat disebabkan oleh adanya interaksi antara atom membentuk suatu ikatan kristal. 2. Persamaan Schrodinger Hubungan frekuensi anguler dengan energi: E = ħɷ ħ 𝑚



𝛹 𝑟𝑡



𝑈 𝑟 𝛹 𝑟



𝐸𝛹 𝑟



3. Kontribusi elcktron terhadap fungsi energy potensial adalah:



𝑈𝑒𝑒



𝑒 𝑛 𝑟 ∫ 𝑑𝑟 |𝑟 𝑟 | 𝜋𝜖



persamaan diatas dikenal dengan persamaan Hartree. dimana 𝑛 𝑟 = ∑|𝜳𝒊 𝑟 𝑡 |𝟐 4. Energy proton-elektron pada ikatan dasar ion hydrogen diberikan oleh:



𝑈𝑟



𝑒 𝑒 𝜋𝜀 𝑟 𝜋𝜀 |𝑟



𝑅|



46



RINGKASAN



5. Untuk menentukan energy pada keadaan dasar digunakan perhitungan dengan mengambil harga rata-rata dari yang diberikan oleh :



𝐸



∫𝜓



𝑟 [



𝑚



𝜓 𝑟



𝑒 𝜓 𝑟 𝜋𝜀



𝑒 𝜋𝜀 |𝑟



𝑅|



𝜓 𝑟 ] 𝑑𝜏



6. Energi total molekul ion Hidrogen diperoleh selajutnya dengan menambahkan energy interaksi proton dengan proton 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙



𝐸𝑙𝑠



𝐴 𝐵



7. Energi potensial elektron



𝑒 𝜋𝜖



𝐸



𝑅 𝑁 𝑐 𝜋𝜀𝑎 𝑎𝑎



8. Energi kinetic rata-rata =- 9. Energi interaksi antarproton



𝑐 𝜋𝜀𝑎 𝑅



10. Energi interaksi oleh dua inti dalam bentuk: 𝐸𝑐



𝛽 𝑅



atau dalam bentuk 𝐸𝑐



𝛽𝑒



𝑅𝜌



dimana R adalah jarak antar atom, 𝛽 n dan 𝜌 adalah parameter yang tergantung pada inti atom. 11. Besar energi Madelung: 𝐸𝑀



𝑁𝑒 𝛼 𝜋𝜀 𝑅



dimana 𝛼 adalah konstanta Madelung, 𝐸𝑀 adalah energi Madelung.



47



RINGKASAN 𝛼𝑒 𝑛



12. Kompressibilitas isotermal diperoleh dengan menggunakan persamaan: 𝐾



𝜋𝜀 𝐶𝑅𝑒𝑞



C adalah konstanta yang tergantung pada struktur bahan 𝜏𝑠



𝐶𝑁𝑅



13. Besar energi potensial total Van der Waals: 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙



𝑎 ) 𝑅



𝜀 [(



𝑎 ) ] 𝑅



𝐵(



dimana 𝜍 dan 𝜀 adalah parameter yang bergantung pada polarisasi dan rata-rata momen dipol dan atom. 14. Untuk kristal yang berstruktur FCC kompressibilitas isotermalnya diberikan oleh: 𝐾



𝜀 𝑅𝑒𝑞



48



Latihan Soal 1. Untuk ion Hidrogen, jarak pisah protonnya adalah 2,50 Ao. Tentukanlah: a. Besar energi elektron rata-ratanya. b. Besar energi potensial elektron rata-ratanya c. Besar energi kinetik elektron rata-ratanya d. Energi totalnya 2. Pada temperatur rendah, Jarak posisi seimbang atom NaCI dengan atom tetangganya adalah 2,79 Å, dan kompressibilitas isotermalnya adalah 3,39 x 1011 m3/J. Tentukanlah besar parameter energi n dan A nya, tentukan juga besar kontribusi energi Madelung terhadap energi totalnya per unit sel dan juga kontribusi inti terhadap energinya. 3. Energi total dua atom Argon diberikan oleh: 𝐸



𝑎



𝐶 (𝑅)



𝑎



𝐵(𝑅)



dimana C = 2,35 x 103 eV, B = 1,69 x 108 eV dan a0 adalah



jari-jari atom Bohr. Hitunglah:



a. Jarak posisi seimbangnya b. Besar energi tarikannya c. Besar energi tolakannya d. Besar energi totalnya 4. Kristal Argon berstruktur FCC dengan panjang kisi 5,31 A0. Kompressibilitas isotermalnya adalah 93x10-11 rn2/N. Anggap atom berinteraksi hanya dengan gaya van der Waals. Hitunglah parameter energi 𝜀 dan 𝜍 nya.



49



BAB V GETARAN KISI Kompetensi Dasar: Menganalisis karakteristik spektrum getaran dari kristal padat, menjelaskan pengaruh kondisi dan perambatan gelombang dalam kisi yang periodik serta menentukan batas frekuensi yang diijinkan dan Indikator: batas frekuensi terlarang 1. Menjelaskan karakteristik dari getaran pada getaran kisi kisi dalam kristal monatomik dan kisi 2. Menjelaskan getaran simpul pada kisi diatomik. monatomik 3. Menjelaskan getaran simpul pada atom diatomic III. Tujuan Pembelajaran: Setelah mempelajari BAB ini diharapkan Mahasiswa dapat: 1. Menjelaskan karakteristik dari getaran kisi dalam kristal 2. Menetukan besar pengaruh temperature treshold terhadap frekuensi getaran dan panjang gelombang treshold yang berkesesuaian 3. Menentukan frekuensi anguler dari getaran simpul pada kisi monoatomik 4. Menjelaskan hubungan dispersi pada rangkaian monatomik 5. Menentukan besar kecepatan vase dan kecepatan grup dari getaran kisi pada rangkaian monoatomik 6. Menentukan besar frekuensi anguler maksimum dan minimum untuk cabang akustik dari rangkaian atom diatomik 7. Menentukan besar frekuensi anguler maksimum dan minimum untuk cabang optis dari rangkaian atom diatomik 8. Menjelaskan penerapan persamaan Schrodinger dalam menentukan besar energi elektron 50



A. PENDAHULUAN Pada bab ini kita membahas tentang karakteristik spektrum getaran dari kristal padat. Subjek ini mengarah pada pengaruh kondisi dari perambatan gelombang dalam kisi yang periodik, energi yang memiliki dan panas jenis dari gelombang kisi, aspek partikel dari phonon, dan pengaruh dari ketidakharmonisan getaran antar atom – atom. Topik ini juga memberikan pola yang spesifik pada fisika zat padat, dan pada pembahasannya yang memperkenalkan pada kita tentang konsep batas frekuensi yang diizinkan dan batas frekuensi terlarang. Konsep yang kemudian yang dikaitkan dengan spektrum dari zat padat. Titik energi nol dan enargi panas dari zat padat memberikan peran dalam kekompleksan getaran pada atom. Getaran – getaran ini memiliki komponen fourier dengan beragam frekuensi. Gerakan tambahan akan terlihat bila di pengaruhi oleh beberapa sumber dari luar, dan biasanya kita anggap bahwa prinsip superposisi dapat di terapkan terhadap getaran tambahan ini. Sebagai contoh, kita menganggap bahwa efek dari beberapa gangguan ini dapat di temukan dengan menambahkannya secara bersama – sama. Anggapan ini kedengarannya rasional, mengingatkan kita bahwa kita masih tetap berada dalam daerah yang linier, seperti gaya pemulihan pada setiap atom selalu sebanding dengan pergeserannya (hukun hooke). Seperti yang akan kita lihat pada topik konduktivitas, terdapat beberapa efek dari ketidakharmonisan walaupun pada pergeseran atom yang paling simpul. Efek ketidakharmonisan juga sangat penting pada interaksi foton dan phonon.



B.



GELOMBANG ELASTIK, PERGESERAN ATOM DAN



PHONON Kelajuan dengan gelombang longitudinal yang merambat dalam cairan berkerapatan ρ di berikan oleh: V0 = λv = (Bs / ρ)1/2



(5.1)



dimana Bs adalah modulus elastik bulk adiabatis, atau koefisien kekakuan (stiffness). Untuk zat padat, persamaan ini harus dimodifikasi dengan menghitung batas kepejalan. Untuk lebih jelasnya, kita akan menjelaskan transmisi dan gelombang akustik yang merambat dalam zat padat yang dalam beberapa element yang tak dapat di hilangkan hingga orde ke empat dari 51



koefisien kekakuan. Jadi walaupun pada materi kristal yang paling sederhana, kecepatan bunyi adalah secara umum merupakan fungsi dari arah perambatan dari gelombang transversal, yang merambat lebih lambat dari gelombang longitudinal. Dengan demikian, kita akan mengharapkan persamaan 5-1 memberikan orde magnitudo yang benar untuk laju longitudinal dari bunyi. Semakin besar modulus bulk, dan semakin kecil harga kerapatan, maka rambatan gelombang bunyi akan semakin besar. Besar laju V0 dari persamaan 5-1, seperti yang ditentukan rapat jenis kristal yang di ketahui dan modulus bulk yang di ukur untuk sejumlah zat padat di tunjukan pada tabel 5-1. Harga-harga dari V0 ini sebanding dengan harga laju bunyi yang di peroleh dengan pengamatan langsung. Perbandingan ini dapat ditoleransi dan sangat sesuai untuk semua zat pada yang tercatat, dan mendemonstrasikan bahwa laju bunyi adalah pada orde 5000 m/s untuk tipe ikatan metalik, ikatan kovalen dan ikatan ionik. Pengggunaan konsep makroskopik untuk perambatan gelombang adalah sangat tepat menjelaskan bahwa panjang gelombang dari gelombang akan di jelaskan sangat besar bila dibandingkan dengan jarak antar atom. Untuk gelombang yang mempunyai amplitudo yang tidak terlalu besar (sehingga tidak melingkupi hukum hooke), terdapat tidak lebih dari 21 koefisien ketergantungan dalam tensor kekakuan waluapun untuk kisi tiga dimensi. Jumlah ini berkurang hanya kepada konstanta 3 kekakuan non ekivalen untuk kristal kubik. Koefisien – koefisien ini tentu saja terhubung secara langsung dengan gaya pemulih yang mendesak setiap perpindahan atom dalam kisi. Penjelasan ini menyatakan bahwa kita harus selalu mengingat kegunaan dari usaha dalam teori dan eksperimen dari kontniu, atau makroskopik, pendekatan terhadap perambatan gelombang dalam koloid. Batas frekuensi pada nondispersi gelombang akustik, dimana produk (λv) dari panjang gelombang dan frekuensi adalah rambatan kecepatan yang konstan, adalah sangat lebar. Batas ini mendapat perhatian besar dari percobaan – percobaan. Volume oleh Mason (1964) mencatat secara detail dalam capter bibliography termasuk study tentang hubungan antara tensor kekakuan dan simpul dari rambatan akustik. Konstanta kekakuan dapat diukur dengan mengirimkan pulsa ultrasonik melalui kristal, suatu tehnik



yang disarankan oleh Hearmon. Tehnik ultra sonik dalam kristal telah



dikembangkan hinggga batas GHz, yang akan kita lihat dan masih jauh dari batas kemungkinan maksimum dari kemungkinan perambatan dalam kristal. Saat gelombang bunyi merambat dalam 52



soloid dengan kelajuan 5000m/s, gelombang 1 GHz mempunyai panjang gelombang kira – kira 5 μm, atau lebih dari 20.000 spasi atom. Ada beberapa hal penting yang dapat kita pelajari dari kekomplitan spektrum getaran dari soloid yang paling sesuai dengan mempertimbangkan kisi alamiah dari materi kristal. Pendekatan dengan sistem kontinu gagal menjelaskan saat pertukaran kondisi yang tercatat saat kelipatan panjang gelombang tidak terlalau besar di bandingkan dengan jarak spasi antar atom, walaupun penjelasan dalam konstanta gaya atom valid pada frekuensi rendah atau tinggi. Jadi dalam chapter ini kita akan menggunakan pendekatan mikroskopik. Getaran gelombang kisi dalam kristal adalah rangkaian yang berulang dan sisitimatik dari pergeseran atom, yang dikarakterisasikan oleh: Kecepatan perambatan



(v)



Panjang gelombang (λ) atau vektor gelombang | | = (2π/λ) Frekuensi (υ) atau frekuensi anguler (ω) = (2πv) = (vk) Semua ini adalah ciri – ciri dari sifat gelombang. Dengan mempertimbangkan gaya pemulih pada pergeseran atom – atom, kita dapat membuat persamaan gerak pada tiap pergeseran, dan menciptakan hubungan dispersi antara frekuensi dan panjang gelombang. Kita akan kadang – kadang akan mengulang kepada frekuensi dan panjang gelombang, akan tetapi lebih sering mengaitkan dengan frekuensi anguler dan bilangan gelombang. Dari penjelasan klasik, sebuah gelombang yang sesuai dengan hubungan dispersi dapat dirambatkan dengan sembarang amplitudo. Pada titik ini, akan tetapi, kita akan mencatat kuantitas elementeri dari getaran kisi mempunyai sifat dualisme, seperti



sifat radiasi



elektromagnetik dan sifat partikel. Sifat partikel disebut phonon, dan kita harus menganggap bahwa pergeseran gelombang dalam materi sebagai pergerakan dari satu phonon atau lebih, masing – masing pergeseran memiliki energi hv = hw, dan momentm kristal hk. Konduksi panas, hamburan elektron dan proses lain yang terjadi pada materi mencakup peristiwa annihilasi atau proses pembemtukan sebuah phonon, dan dalam proses ini aspek partikel memang berperan penting seperti peranan gelombang. Dengan fenomena yang lain, kehati – hatian kita akan sifat diskrit energi exsitasi partikel akan tergantung pada apakah panas menyediakan energi phonon besar.



53



Tabel 5.1. Modulus Elastik Bulk dan Kelajuan Bunyi dari beberapa jenis Zat Padat. Solid



Struktur



Jarak Kerapa Modulus dgn tan elastik bulk atom ρ Bs 3 10 tetangga (kg/m ) (10 N/m2) ro (A) 3.71 970 0.52



Laju gelombang yang terukur V0 (Bs / ρ) ½ (m/s) 2320



Laju bunyi yang teramati (m/s) 2250



Na



B.C.C



Co



F.C.C



2.55



8960



13.4



3880



3830



Zi



H.C.P



2.66



7130



8.3



3400



3700



Al



F.C.C



2.86



2700



7.35



5200



5110



Le



F.C.C



3.49



11340



4.34



1960



1320



Ni



F.C.C



2.49



8900



19.0



4650



4970



Ge



DIAMOND



2.44



5360



7.9



3830



5400



Si



DIAMOND



2.35



2330



10.1



6600



9150



SiO3



HEXAGONAL



1.84



2650



5.7



4650



5720



NaCl



ROCKSALT



2.82



2170



2.5



3400



4730



LiF



ROCKSALT



2.01



2600



6.7



5100



4950



CaF2



FLUORIT



2.36



3180



8.9



5300



5870



Dalam pengembangan teori kuantum, panas jenis dari materi dihitung dari teori klasik teori eqipartisi. Kristal dengan N atom disusun sebagai suatu susunan dari 3N osilasi harmonik bebas, masing – masing energi koT, untuk jumlah energi getaran kisi U = 3NkoT. Pada keadaan volume konstan, keadaan ini mempunyai panas jenis per mole : Cv = (δU/ δT)v = 3NAko = 24.94 joule / mole. Kelvin



(5.2)



yang di kenal sebagai hukum Dulog-Petit (1869). Hukum klasik ini bekerja dengan baik untuk beberapa jenis meterial pada suhu ruangan dan di atas suhu ruangan, tetapi gagal pada suhu rendah. Kegagalan ini di akibatkan oleh keberlakuan kondisi kuantum, seperti yang didiskusikan pertama kali oleh Einstein (1907), dan di perbaharui oleh Debye (1912) dan oleh Born dan von Karman (1912). Statistik kuantum memberikan jawabaan yang lumayan berbeda dari yang diberikan oleh ekipartisi energi klasik untuk frekuensi yang bersesuaian dengan energi phonon hw sebanding dengan atau lebih besar dari energi termal koT. Sehingga aspek pertikel pada getaran kisi terlihat 54



untuk frekuensi dalam keadaan pengaruh temperatur treshold vth = (ωth / 2π)= (koT). Untuk suhu ruangan situasi treshold ini sesuai dengan vth = 6 x 1012 Hz, atau ωth = 4 x 1013 radians perdetik, dan ini sesuai untuk di atas frekuensi yang di selidiki dengan beberapa teknik akustik. Panjang gelombang trershould yang bersesuaian adalah : λth = (2πv / ωth)



(5.3)



dan saat di ketahui bahwa pergeseran rambatan gelombang pada kelajuan 5000 m/s, akan terlihat bahwa sifat partikel dari gelombang pada suhu ruangan akan menyolok hanya pada gelombang dengan λ≤ 10-9m. Kita dapat mencatat sebagai tambahan, bahwa yang terakhir adalah gelombang yang meterialnya beratomik diskrit harus lebih di pentingkan, karena jarak antar atom dalam zat padat terletak pada jarak antara 1 ke 4x10-10m. Akan tetapi pada temperature yang sangat rendah larangan kuantum akan membatasi pilihan akan amplitudo walaupun untuk gelombang yang berpanjang gelombanglebih besar dari ukuran atom.



C. GETARAN MODE PADA KISI MONOATOMIK Pada zat padat yang homogen, transmisi gelombang bidang pada sumbu x dapat dituliskan dengan persamaan: U = A exp [i(kx-ωt)]



(5.4)



untuk gelombang monokromatik dengan amplitudo A, gelombang vektor k, dan frekuensi anguler ω. Anggap susunan kelinieran atom yang identik (gambar 5.1) dengan massa masingmasing m, dan jarak interaksi antar atom a. Untuk susunan atom ini, pergeseran u dari gelombang pada persamaan 5.4 dapat digambarkan pada masing-masing sisi atom, u tidak mengandung arti untuk harga yang lebih lanjut dari x. Jadi kita harus membuat persamaan tersebut menjadi lebih spesifik. Besar pergeseran atom ke r adalah: Ur = A exp [i(kra-ωt)]



(5.5)



Percepatan dari pergeseran ini dapat menunjukkan besar percepatan dari atom ke r adalah (d2Ur/dt2) = -ω2A exp [i(kx-ωt)] = -ω2Ur



(5.6)



Sehingga dari hukum kedua Newton, besar gaya pemulih akibat atom ke r haruslah Fr = m(d2Ur/dt2) = -mω2Ur



(5.7)



55



Gambar 5.1 Atom yang saling bertetangga yang tersusun secara linier dalam keadaan seimbang dan sesudah terjadi pergeseran Dengan pertimbangan pendekatan hukum Hooke, gaya pada atom ke r menjadi: Fr = µ (Ur+1 – Ur)- µ (Ur –Ur-1) = µ (Ur+1 + Ur-1-2Ur) Bila persamaan 5.7 dibandingkan dengan persamaan 5.6 akan diperoleh: ω2 = (µ/m) [2-(Ur+1/Ur) – Ur-1/Ur)] ω2 = (µ/m) [2-exp (ika) – exp (-ika)] = 2(µ/m) [1-cos(ka)] = 4(µ/m) sin2(ka/2) ω2 = + 2(µ/m)1/2sin (ka/2) = + ωm sin(ka/2)



(5.8)



Tanda negatif-positif menandakan arah perambatan gelombang. Pergerakan pada setiap titik adalah periodik terhadap waktu. Gambar bentuk



kurva



5.2



menunjukkan



dispersi



yang



digambarkan oleh persamaan 5.8. hasil grafik yang sama secara kualitatif terhadap ini juga akan dihasilkan juga walau



dengan



menyertakan



atom



tetangga yang lebih jauh dilibatkan.



Gambar 5.2 hubungan dispersi pada rangkaian monoatomic



56



Dalam gambar 5.2 terlihat hasil yang ini lebih sesuai diplot dengan vektor gelombang k dari pada panjang gelombang λ sebagai variabel bebas. Daerah untuk k kecil adalah daerah spektrum gelombang panjang, dimana konsep kontinuitas dari gelombang akustik sesuai. Untuk daerah jika (ka)



terlentang dalam rentang terlarang dari frekuensi spektrum. Kita



akan temukan bahwa konsep ini berperan dengan baik untuk tiga dimensi padat yang nyata, akan tetapi kita harus menggeneralisasikan konsep yang lain yang telah kita gunakan sebelumnya.



58



D.



GETARAN KISI KRISTAL BERBASIS DUA ATOM



Gambar 5.3. rangkaian linier Kristal diatomic



Anggap kristal dalam satu dimensi susunan atomnya seperti pada gambar 2. Kedua atom memiliki massa atom masing-masing m dan M, M > m. bila gelombang longitudinal merambat pada rangkaian atom maka pada kedua jenis atom akan memiliki amplitudo yang berbeda. U2r = A exp {i(2kra - ωt)} U2r+1 = B exp {i[(2r + 1) ka – ωt]}



(5.13)



Dengan menerapkan hukum Hooke, -m ω2U2r = md2U2r/dt2) = µ[U2r+1 + U2r-1 2U2r] -M ω2U2r+1 = M (d2U2r+1/dt2) = µ[U2r+2 + U2r – 2U2r+1]



(5.14)



dengan mensubstitusikan persamaan 5.13 ke persamaan 5.14 akan diperoleh: -m ω2 A = µB[exp(ika) + exp(-ika)] -2 µA -m ω2 B = µA[exp(ika) + exp(-ika)] -2 µB



(5.15)



atau A(2µ - m ω2) = 2 µB cos( ka) B(2µ - m ω2) = 2 µA cos( ka)



(5.16)



Hubungan dispersi antara k dan ω dapat dituliskan: (2µ-m ω2)(2µ-M ω2) = 4µ2 cos2 (ka)



(5.17)



Sehingga: ω2 = µ(



)+µ[(



)2 –



]1/2



(5.18)



59



untuk k > 0, gelombang merambat ke kanan dan untuk k < 0, gelombang merambat ke arah kiri. Diperoleh dua harga ω untuk setiap k, yang menghasilkan spektrum terbagi atas dua daerah seperti yang dilukiskan pada gambar 4. Cabang yang dibawah menandakan penggunaan tanda negatif. Cabang ini lebih sering disebut dengan cabang akustik. ⁄



untuk



, diperoleh bahwa frekuensi anguler adalah:



ω1 = (2µ/M)1/2



(5.19)



Persamaan di atas tidak dipengaruhi oleh massa atom yang lebih ringan dalam rangkaian atom. Frekuensi ini juga merupakan frekuensi maksimum pada cabang akustik ini. Frekuensi minimum, saat k = 0 diperoleh frekuensi akustiknya adalah 0. Hal ini bisa dipahami apabila persamaan 5.16 disusun kembali maka akan diperoleh hubungan: [ ]=[



]=[



]



(5.20)



Hasil ini menunjukkan bahwa perbandingan amplitudo atom bermassa lebih besar dengan atom bermassa lebih ringan selalu mendekati angka bulat. Pada cabang ini memberikan kondisi: Frekuensi anguler



: ω1 = (2µ/M)1/2



Vektor gelombang



: k = +(π/2a)



Kecepatan vase



: (ω/k) = ( µa2/π2M)1/2



Kecepatan grup



: (dω/dk) = 0



Laju



: V0 = [



]1/2



(5.21)



Gambar 5.4. Grafik hubungan antara frekuensi anguler dengan vector gelombang pada rangkaian diatomic 60



Pemakaian tanda (+) pada persamaan 5.18 memberikan grafik garis pelengkungan paling atas dari gambar 4. Garis ini sering disebut sebagai frekuensi cabang optis. Frekuensi maksimum dan minimum diperoleh saat harga k = 0 dan



⁄



.



]2



ωopmax = [2µ



(5.22)



Dan ωopmin = [ ]1/2



(5.23)



Dalam hal ini: Frekuensi angular



: ωopmax = [2µ



Vector gelombang



: k→0



Kecepatan fase



: (ω/k) → ∞



Kecepatan grup



: (dω/dk) → 0



]2 dan ωopmin = [ ]1/2



[B/A] = - [m/M]



(5.24)



Contoh Soal



uiuhoihjiooi



Rangkaian linier diatomic tersusun oleh atom sodium dan chlorine. Jarak kedua atom pada posisi seimbangnya adalah 2,81 Å. Atom sodium memiliki massa 3,82x10-26 kg dan atom chlorine bermassa 5,89x10-26 kg. anggap atom hanya berinteraksi secara elektrostatis, dengan muatan masing-masing +e dan –e dimana e adalah muatan dari proton. Tentukanlah frekuensi dari masing-masing cabang.



Penyelesaian Magnitude interaksi yang terjadi adalah: F=



𝑒 𝜋ɛ𝑜 𝑟



Dimana r adalah jarak kedua atom. Kita tuliskan r = (1/2)a + x, dengan x adalah pergeseran atom dari posisi seimbangnya. Dari teorema binomial memberikan : r-2 = ( a+x)-2 ≈ ( a)-2 – 2( a)-3x,



61



sehingga



γ=



𝑒 1



𝜋ɛ𝑜 𝑎



3



=



𝑥 𝜋𝑥8 85𝑥



−1



−19



8 𝑥



−1



3



= 20,7 J/m2



Untuk cabang akustik ωacmin = 0 ωacmax = √ 𝛾 𝑀 = 2,65x1010 rad/sec untuk cabang optis ωqpmin = √ 𝛾 𝑚 = 3,25x1013 rad/sec ωqpmax = √ 𝛾 𝑀



𝑚 𝑀𝑚 4,23x1013 rad/sec



RINGKASAN 1. Karakteristik spektrum getaran dari kristal padat yang mengarah pada pengaruh kondisi dari perambatan gelombang dalam kisi yang periodik, energi yang memiliki dan panas jenis dari gelombang kisi, aspek partikel dari phonon, dan pengaruh dari ketidakharmonisan getaran antar atom – atom. 2. Kelajuan dengan gelombang longitudinal yang merambat dalam cairan berkerapatan ρ di berikan oleh V0 = λv = (Bs / ρ)1/2 3. Getaran gelombang kisi dalam kristal adalah rangkaian yng berulang dan sisitimatik dari pergeseran atom, yang dikarakterisasikan oleh Kecepatan perambatan (v), Panjang gelombang (λ) atau vektor gelombang |𝑘| = (2π/λ), Frekuensi (υ) atau frekuensi anguler (ω) = (2πv) = (vk) 4. Getaran kisi mempunyai sifat dualisme seperti sifat radiasi elektromagnetik dan sifat partikel, sifat partikel disebut phonon. 5. Hukum Dulog-Petit (1869). Hukum klasik ini bekerja dengan baik untuk beberapa jenis meterial pada suhu ruangan dan di atas suhu ruangan, tetapi gagal pada suhu rendah. Cv = (δU/ δT)v = 3NAko = 24.94 joule / mole. Kelvin



62



6. Pada zat padat yang homogen, transmisi gelombang bidang pada sumbu x dapat dituliskan dengan persamaan RINGKASAN



U = A exp [i(kx-ωt)] 7. Hubungan dispersi pada rangkaian monoatomic, memenuhi persamaan: ω2 = + 2(µ/m)1/2sin (ka/2) = + ωm sin(ka/2) 8. kecepatan fase dan kecepatan grup pada rangkaian monoatomic, memenuhi persamaan dibawah ini: 𝑘𝑎



V = (ω/k) = vo *



𝑘𝑎



+



Vg = ((δω/δk) = vo cos (ka/2) 9. Hubungan dispersi antara k dan ω dapat dituliskan ω2 = µ(𝑚



)+µ[(𝑚 𝑀



)2 – 𝑀



𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑎 1/2 ] 𝑚𝑀



10. Untuk k > 0, gelombang merambat ke kanan dan untuk k < 0, gelombang merambat ke arah kiri, diperoleh: Frekuensi anguler



: ω1 = (2µ/M)1/2



Vektor gelombang



: k = +(π/2a)



Kecepatan vase



: (ω/k) = ( µa2/π2M)1/2



Kecepatan grup



: (dω/dk) = 0



Laju



: V0 = [𝑀



11. Harga k = 0 dan 𝑘



𝑎 𝑚



]1/2



𝜋⁄ 𝑎 . Diperoleh: 𝑀 𝑚



Frekuensi angular



: ωopmax = [2µ 𝑀𝑚 ]2 dan ωopmin = [ 𝑚 ]1/2



Vector gelombang



: k→0



Kecepatan fase



: (ω/k) → ∞



Kecepatan grup



: (dω/dk) → 0



[B/A] = - [m/M]



63



Latihan Soal 1. Laju bunyi pada rangkaian linier monatomic adalah 1,08 x 104 m/det. Jika massa masing-masing atom adalah 6,31 x 10-26 kg, dan jarak posisi seimbangnya adalah 4,85 Å, tentukanlah: a. konstanta gayanya b. frekuensi anguler maksimumnya



2. Hubungan dispersi antara frekuensi anguler dengan vector gelombang pada rangkaian diatomic memenuhi: ω2 = µ(𝑚 + 𝑀) + µ[(𝑚 + 𝑀)2 -



𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑎 1/2 ] 𝑚𝑀



dari persamaan ini turunkanlah hingga diperoleh bahwa: a. frekuensi anguler akustik minimumnya adalah 0 atau ωacmin = 0 b. frekuensi anguler akustik maksimumnya adalah ωacmax = √ 𝛾 𝑀 c. frekuensi anguler optis minimumnya adalah ωopmin = √ 𝛾 𝑚



d. frekuensi anguler optis maksimumnya adalah ωopmax = √ 𝛾 𝑀



𝑚 𝑀𝑚



3. Atom dalam rangkaian monatomik memilki jarak kisi pada posisi seimbangnya 4,85 Ao, dan memiliki frekuensi anguler maksimumnya 4,46x1013 rad/det. Jika getaran yang frekuensi angulernya 5,75x1013 rad/det terjadi pada rangkaian, berapakah besar simpangannya!



4. Atom pada rangkaian linier monatomic memiliki jarak kisi pada posisi seimbangnya 4,72 Å. bila massa masing-masing atom adalah 6,44x10-25 kg, dan konstanta gayanya 15 N/m, tentukanlah besar energy dan momentum Kristal pada saat frekuensi angulernya maksimum.



64



BAB VI KONDUKTIVITAS TERMAL KISI KRISTAL Kompetensi Dasar: Mendeskripsikan energi getaran kisi dan kapasitas panas atom pada volume konstan berdasarkan model klassik, model Einstein dan model Debye Indikator: 1. Menentukan besar energi kisi dan kapasitas panas atom berdasarkan model Klassik 2. Menentukan besar energi kisi dan kapasitas panas atom berdasarkan model Einstein 3. Menentukan besar energi kisi dan kapasitas panas atom berdasarkan model Debye Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari BAB ini Mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menentukan besar energi kisi atom berdasarkan model Klassik 2. Menentukan besar kapasitas panas atom berdasarkan model Klassik 3. Menentukan besar energi kisi panas atom berdasarkan model Einstein 4. Menentukan besar kapasitas panas atom berdasarkan model Einstein 5. Menentukan besar energi kisi atom berdasarkan model Debye 6. Menentukan besar Kapasitas panas kisi atom berdasarkan model Debye



65



A. PENDAHULUAN Kristal tersusun oleh atom-atom yang diam´ pada posisinya di titik kisi. Sesungguhnya, atom-atom tersebut tidaklah diam, tetapi bergetar pada posisi kesetimbangannya. Getaran atomatom pada suhu ruang adalah sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dimiliki atom-atom pada suhu tersebut. Pada bagian ini akan dibahas proses penentuan kapasitas panas pada bahan kristal berdasarkan persamaan Klassik, Model Einstein dan model Debye.



B. MODEL KLASSIK Menurut fisika klassik, getaran-getaran atom pada zat padat dapat dipandang sebagaai getaran harmonic sederhana. Osilator harmonic sederhana merupakan suatu konsep yang secara makroskopik dapat dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas C. Anggap bahwa sebuah atom bermassa m, bergetar dengan simpangan maksimum Xm dan frekuensi angular ω dan gaya pemulih µ. Pada setiap keadaan besar pergeserannya x, dengan kecepatan ẋ dan percepatannya adalah ẍ = (- µx/m ) = - ω2x, total energy yang berhubungan dengan getaran atom adalah : E = energy kinetic + energy potensial = ( mv2/2 ) + ( µX2/2 ) = ( m/2 ) ( v2 + ω2x2 )



( 6.1 )



Rata-rata distribusi Bolzmann, harga harapan energy secara klassikal: (E)=



∫ ∫



∫ ∫



( (



)



( 6.2 )



)



Dengan mensubtitusi persamaan 6.1 kepersamaan 6.2 harga E, akan diperoleh hasil integrasi : = koT



(6.3)



Untuk atom berjumlah N dalam ruang 3 derajat kebebasan, total energy kisi adalah : U = 3Nk0T



( 6.4 )



Dan Cv = (



Ako



( 6.5 )



Dari persamaan 6.5 ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong -Petit yang hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku. 66



Gambar 6.1 kapasitas panas jenis beberapa zat dengan variasi temperature pada tekanan yang konstan. Besar harga Cp dan Cv hampir sama pada setiap zat, dan hal ini sesuai dengan pengukuran Cp dengan model klasssik yang digambarkan oleh teori Debye.



C. MODEL EINSTEIN Pada model Einstein, atom kristal dianggap bergetar satu sama lainnya di sekitar posisi seimbangnya secara bebas. Getaran atom dianggap harmonic sederhana, dengan frekwensi yang sama. Bila dalam bahan terdapat N atom, maka ia akan mempunyai 3N osilator harmonic yang bergetar secara bebas. Sesuai dengan mekanika kuantum, tingkatan energinya adalah: E = En



( 6.7 )



Dengan n = 1,2,3,… Harga rata-rata energy pada keadaan seimbang termalnya : =



∑



(



∑



)



(



( 6.8 )



)



Persamaan di atas dapat lebih disederhanakan menjadi : =



[



(



+



( 6.9 )



]



Harga energy getaran kisi untuk N atom pada 3 derajat kebebasan : [



(



+



]



( 6.10)



Besar kapasitas panas pada volume konstan adalah : Cv = (



3NkoFE( ωE , T )



( 6.11 )



Dimana FE ( ωE , T ) adalah fungsi Einstein yang besarnya : FE ( ωE , T ) =



[



(



+



(6.12)



Harga fungsi Einstein mendekati harga stabil pada suhu tinggi, sehingga berkesesuaian dengan pendekatan model klassik. Akan tetapi harga fungsi menurun secara exponensial dibawah 67



temperature karakteristik Einstein. Dari pandangan fisika, model Eintein tidaklah realistis. Karena pada pendekatan ini atom di anggap bergetar secara bebas satu sama lain TE=( jika T> ⁄ 1, sahingga harga Cv



mendekati 0.



Gambar 6.2. Model Einstein memberikan hasil yang baik terhadap capasitas jenis panas zat mendekati nol pada saat temperature mendekati nol. Akan tetapi hasil ini tidak sesuai dengan hasil experiment



D. MODEL DEBYE Debye mengikuti model Einstein yang mempostulatkan bahwa bahan yang memliki jumlah atom N akan memiliki getaran simpul 3N. Frekuensi angulernya di pengaruhi oleh vector gelombangnya, mengakibatkan akan terdapat frekuensi anguler maksimum yang memenuhi: 3N = ∫



.d



(6.14)



Besar total energi getaran dipengaruhi oleh frekuensi yang mungkin, yang besarnya adalah: ∫



[



(



)



(6.15) 68



Debye menyarankan untuk menyelesaikan persamaan diatas haruslah mengekspresikan g(ω) sebagai komponen dari kecepatan fase v (ω/k) dan kecepatan bunyi pada setiap simpul. Parameter yang paling penting dari model Debye ini adalah laju bunyi dan frekuensi anggapan yang maksimum atau



. Pada akhir penyelesaian (



kharateristik Debye, ⁄



ini lebih sering digantikan oleh suhu



). Pada getaran longitudinal getaran simpul memberikan



Dengan mensubstitusikan harga g(k) kepada persamaan 6.14 dan persamaan



6.15 akan diperoleh : *



3



3



⁄



+



(6.16)



Dan berfungsi sebagai rapat keadaan yang bergantung pada frekuensi pada gelombang panjang pada batas akustik. Selanjutnya pendekatan Debye dapat dituliskan ; ⁄



untuk



.



(6.17)



Untuk atom yang memiliki 3 derajat kebebasan dan terdiri dari N atom, dalam suatu ruang volume memiliki jumlah simpul persatuan volume: ( )



3



∫



(6.18)



3



Dengan karakteristik Debye: (



)



(6.19)



(



Dimana



)



Energi getaran persatuan volume selanjutnya dapat dituliskan: (



3



)∫



[



Dengan menggantikan variabel [



3



(



)



]



(6.20)



akan diperoleh



3



]∫



(6.21)



dan panas jenis diperoleh [



3 3



]∫



(6.22)



Untuk temperatur T>> D, hasil integrasi persamaan 6.21 memberikan hasil memberikan hasil terhadap energi



dan



dan kapasitas panas



. Hasil ini sesuai dengan pendekatan klassik. 69



Untuk T < D/10, hasil integrasi dari persamaan 6.21 adalah (π4/15). Jadi [



5



] dan



3



(6.23) 5



3



Joule/mol kelvin (6.24) Gambar 6.3. Model Debye memprediksi dengan tepat kapasitas panas akibat getaran kisi Kristal sebanding dengan T3 seperti pada model Einstein pada suhu rendah dan pada suhu tinggi kapasitas panas mendekati batas eqipartisi.



70



RINGKASAN 1. Menurut fisika klassik, getaran-getaran atom pada zat padat dapat dipandang sebagai getaran harmonic sederhana. total energy yang berhubungan dengan getaran atom adalah : E = energy kinetic + energy potensial = ( mv2/2 ) + ( µX2/2 ) = ( m/2 ) ( v2 + ω2x2 ) 2. Untuk atom berjumlah N dalam ruang 3 derajat kebebasan, total energy kisi adalah : U = 3Nk0T Dan Cv = (



Ako



3. Pada model Einstein, atom kristal dianggap bergetar satu sama lainnya di sekitar posisi seimbangnya secara bebas. Sesuai dengan mekanika kuantum, tingkatan energinya adalah: E = En Dengan n = 1,2,3,…



4. Debye mengikuti model enistein yang mempostulatkan bahwa bahan yang memliki jumlah atom N akan memiliki getaran simpul 3N. 5. Besar total energi getaran dipengaruhi oleh frekuensi yang mungkin, yang besarnya adalah: ∫



[



(



)



71



BAB VII GAS ELEKTRON BEBAS DALAM SATU DIMENSI Kompetensi Dasar: Mendeskripsikan tingkat energi berdasarkan teori Druze-Lorenzt dan menerapkan statistik Maxwell Boltzman dalam menentukan besar energi fermi dari suatu elektron bebas Indikator: 1. Menjelaskan tingkat energi suatu elektron berdasarkan teori Drude-Lorentz. 2. Menjelaskan energi kinetik elektron berdasarkan teori kuantum Sommerfeld. 3. Menentukan besar energi Fermi dari suatu atom. 4. Menjelaskan pengaruh temperature terhadap tingkat energi Fermi suatu atom. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari BAB ini Mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menjelaskan tingkat energi suatu elektron berdasarkan teori Drude-Lorentz. 2. Menjelaskan energi kinetik elektron berdasarkan teori kuantum Sommerfeld. 3. Menentukan besar energi Fermi dari suatu atom. 4. Menjelaskan pengaruh temperature terhadap tingkat energi Fermi suatu atom.



72



A. TINGKAT ENERGI Drude berpostulat bahwa logam terdiri dari ion postif dengan elektron valensi yang bebas bergerak diantara pusat ion tersebut. Elektron valensi tersebut dibatasi untuk bergerak di dalam logam akibat adanya gaya tarik elektrostatika antara pusat ion postif dan elektron valensi tersebut. Medan listrik diseluruh bagian logam dianggap konstan, dan gaya tarik antar elektron dapat diabaikan. Sifat elektron yang bergerak dalam logam dianggap sama dengan tingkah laku molekul dalam gas mulia. Karena itu eleketron dianggap bebas bergerak dan sering disebut gas elektron bebas, dan teori yang membahas topik ini disebut model gas elektron bebas. Elektron valensi mematuhi prinsip Pauli dan bertanggung jawab atas penghantaraan arus listrik. Energi potensial elektron ini selalu konstan dan sering dianggap nol karena elektron bergerak dalam medan elektrostatis yang serba sama. Energi elektron konduksi sama dengan energi kinetiknya saja. Energi potensial elektron dalam logam lebih kecil dari pada energi potensial elektron yang berada diluar permukaan logam. Perbedaan energi potensial ini berfungsi sebagai penghalang dan menyebabkan elektron dalam logam tidak dapat meninggalkan permukaan logam. Oleh karena itu gerakan elektron bebas dalam logam diibaratkan sebagai gerakan sebuah gas elektron bebas didalam sebuah kotak energi potensial. Selanjutnya Lorent berpostulat, bahwa elektron yang menyusun elektron bebas dalam keadaan seimbangnya mematuhi statistika Maxwell-Boltzman. Kedua postulat ini sering digabungkan menjadi teori Drude-Lorentz yang didasarkan oleh teori klasik Maxwell-Boltzman. Teori ini berhasil membuktikan keabsahan hukum Ohm. Perbandingan antara konduktifitas listrik



terhadap konduktivitas panas



selalu konstan: (7.1)



Persamaan 7.1 lebih sering disebut hukum Wiedemann-Franz. Akan tetapi teori ini juga mengalami beberapa kegagalan, diantaranya adalah kegagalan teori ini menjelaskan ketergantungan resistivitas terhadap temperatur. Menurut teori ini resistivitas dipengaruhi oleh akar kuadrat dari temperatur. Padahal pada kenyataanya, resistivitas memiliki hubungan yang linear dengan temperaturnya. Kegagalan yang lain adalah dalam hal kapasitas panas elektron konduksi dan suseptibilitas paramagnetik elektron konduksi yang memberikan perbedaan hasil antara teori dengan hasil eksperimen.



73



B. TEORI KUANTUM SOMMERFELD Sommerfeld memperlakukan elektron valensi yang bebas bergerak secara kuantum mekanik, yaitu dengan cara menggunakan statistika Fermi-Dirac. Karena itu tingkat-tingkat elektron didalam kotak energi potesial ditentukan secara statistik kuantum. Apabila sebuah elektron yang bermassa m bergerak bebas dalam kristal yang panjangnya L, maka elektron tersebut tidak dapat meninggalkan kristal akibat adanya potensial pengahalang yang sangat tinggi pada permukaan kristal. Karena itu keadaannya hampir sama dengan sebuah elektron yang bergerak dalam kotak energi potensial yang dibatasi oleh energi penghalang yang tingginya tak hingga, sedangkan energi potensial dalam kotak dianggap nol, sehingga dapat dituliskan persamaannya : V(x) = 0 untuk 0 < x < L V (x) =



7.2



untuk 0



7.3 Fungsi gelombang untuk elektron pada keadaan n ditentukan dengan persamaan schrodinger : 7.4 Dimana



menyatakan energi kinetik elektron pada tingkat n, V menyatakan energi



potensial elektron dan



menyatakan fungsi gelombang elektron pada tingkat n. Karena



potensial dalam kotak adalah 0, maka persamaan (7.4) menjadi :



7.5 Solusi persamaan diatas dapat dituliskan : 7.6 Dimana A dan B adalah konstanta sembarang yang dtentukan dari syarat batas. Persamaan 7.5 sering juga dituliskan dalam bentuk : 7.7 Dengan demikian diperoleh bahwa harga k √



7.8



74



Karena kedalaman kotak adalah tak hingga, maka tidak mungkin didapati elektron di luar kotak, hal ini mengakibatkan bahwa di luar kotak



Sedangkan pada x = 0 dan x = L,



harus kontiniu. Dengan demikian pada x = 0 diperoleh B = 0. Sehingga persamaan 7.6 menjadi 7.9 Pada x = L



pun diperoleh harga



, sehingga harga k diberikan oleh



.



Selanjutnya persamaan 7.9 dituliskan menjadi 7.10 Persamaan ini merupakan fungsi gelombang electron didalam sebuah energy potensial yang tingginya tak hingga. Energy kinetic electron pada tingkat n ditentukan oleh: En =



( )2 =



=



8



7.11



Persamaan 7.10 selanjutnya donormalisasikan untuk mendapatkan harga konstanta A. hasil integrasi menunjukan A = √ , sehingga persamaaan gelombang menjadi: Ψn (x) = √ sin( )x



7.12



Persamaan ini menunjukan bahwa total peluang untuk mendapatkan electron dalam kotak besarnya adalah 100%.



C. ENERGI FERMI Electron terdistribusi diantara berbagai tingkat energy yang dimunngkinkan yang mematuhi prinsip Pauli yang menyarankan bahwa setiap tingkat energy hanya dapat ditempati oleh paling banyak sebuah electron, kecuali jika orientasi spin electron tersebut berbeda. Hal ini berarti tiap tingkat energi dapat diisi oleh dua electron konduksi, satu electron memiliki spin (+1/2) dan satu lagi memiliki spin (-1/2). Misalnya kita memiliki sebuah atom yang terdiri dari N buah electron keadaan dasarnya. (anggap N bilangan genap). Untuk menempatkan N buah electron tersebut ke dalam tingkattingkat energy maka kita hanya memerlukan N/2 buah tingkat energy. Jika tingkat teratas yang terisi penuh itu ditandai dengan nf maka nf = N/2. Energy Fermi (Ef) didefenisikan sebagai energy dari tingkat teratas yang terisi penuh electron pada keadaan dasar. Karena setiap tingkat energy ini dapat diisi oleh dua buah electron, maka nf = N/2. Secara matematis energy Fermi dituliskan sbb: 75



Ef =



(



)2 =



=(



)2



7.13



Dalam menentukan besar tingkat energy Fermi pada gas yang memiliki kerapatan n, perlu dicatat bahwa : ∫



(



−



7.14



)



Dimana N€ merupakan kerapatan pada keadaan dasar. Integral ini pada dasarnya digunakan untuk mengevaluasi pada suhu 0 K. Pada keadaan ini: (



−



)



= 1 jika E



7.15 = 0 untuk harga lain.



Sehingga



∫



Besar harga kerapatan pada keadaan dasar menjadi: √ √



∫ 3 3



Atau



7.16 7.17



Pernyataan dari persamaan di atas dapat diterapkan pada logam seperti tembaga, emas dll. Persamaan ini tidak dapat diterapkan pada bahan semikonduktor karena adanya faktor lain. Besaran EF yang tertinggi yang dimiliki energy keadaan pada suhu T 0 disebut Energi Fermi. Kita dapat mendefenisikan hubungan antara vector gelombang k F yang disebut vector Fermi dan kecepatan yang disebut kecepatan Fermi, yakni:



7.18 Sangat penting untuk dicatat bahwa walaupun pada temperature 0 K, kecepatan tertinggi dari keadaan dasar yang tercakup adalah vF dan bukan nol bila kita gunakan statistic Boltzman. Pada suhu yang terbatas, tidaklah mudah untuk menentukan n dalam bentuk EF. Jika kerapatan electron sangat kecil, f(E) juga kecil, fungsi Fermi dapat dinyatakan dengan:



76



Fungsi ini dapat digunakan bila harga dari f(E) sangat kecil (disebut casus statistic nongenerate). Kerapatan electron dapat di tentukan sebagai: ∫ 7.19 Dimana NC disebut kerapatan efektif dasar dan diberikan oleh: 7.20 Kondisi dimana kerapatan electron sangat kecil sehingga f(E) kecil disebut kondisi nondegenerate. Seperti yang sudah dijelaskan di atas pendekatan Boltzmann dapat digunakan untuk kasus non degenerate. Jika kerapatan electron yang tinggi maka penyelesaian diusulkan dengan menggunakan pendekatan Joyce-Dixon, yakni: [



√8



]



7.21



Contoh Soal



uiuhoihjiooi



Logam tertentu mengandung 1022 elektron per centimeter kubik. Hitunglah besar energy Fermi dan kecepatan Fermi pada suhu 0K Jawab Energi Fermi tertinggi yang tercakup pada 0 K diberikan oleh



5



−3



] 3



[ −3



= 2,75 x 10-19 J = 1,72 eV Kecepatan Fermi diberikan oleh: ħ 5



−3



]1 3



[ −3



= 7,52 x 105 m/s 77



D. DISTRIBUSI FERMI Pengaruh suhu terhadap penempatan distribusi electron diatur oleh fungsi distribusi yang dikemukakan oleh Fermi dan Dirac yang lebih sering disebut fungsi distribusi Fermi-Dirac. Fungsi ini secara matematis dapat dituliskan:



F(E) = [



7.14



]



Dimana f(E) adalah peluang untuk menemukan electron ditingkat energy E. kB adalah konstanta Boltzman, T adalah suhu dalam Kelvin dan µ adalah energy potensial kimia yang harganya bergantung pada suhu. Karena persamaan 7.13 menyatakan nilai peluang f(E), maka nilainya terletak pada rentang 0 hingga 1. Pada persamaan ini terlihat bahwa pada keadaan dasar (T = O K) semua tingkat energy terletak dibawah energy Fermi, dan energy Fermi itu sendiri akan diisi penuh oleh electron. Artinya pada keadaan dasar, peluang untuk menemukan electron ditingkat-tingkat energy tersebut adalah satu (100%). Sebaliknya tidak satupun tingkat energy yang terletak di atas energy Fermi yang terisi oleh electron. Peluang menemukan electron ditingkat energy yang lebih besar dari energy Fermi adalah 0%.



Apabila suhunya lebih sedikit diatas 0 K, sehingga E-µ > kBT, maka beberapa electron yang terletak sedikit di bawah energy Fermi akan memperoleh cukup energy untuk loncat ke tingkat energy yang lebih besar dari energy Fermi. Sehingga peluang untuk menemukan electron ditingkat energy yang lebih besar dari energy Fermi tidak lagi 0. Untuk semua suhu nilai f(E) = ½ pada saat E = µ, karena saat ini penyebut dari persamaan 7.13 akan sama dengan 2.



l



Contoh Soal



uiuhoihjiooi



Jika N/L = 2 elektron/A = 2 x 108 elektron/cm, tentukanlah energy Fermi untuk system tersebut! Penyelesaian Dari persamaan diperoleh: Ef =



(



)2 =



=(



)2 = Ef =



5 8



− −



(2x108 x 3,14/2)2 = 150 Ev



78



RINGKASAN 1. Eleketron dianggap bebas bergerak dan sering disebut gas elektron bebas, dan teori yang membahas topik ini disebut model gas elektron bebas. Karena elektron yang bergerak dalam logam dianggap sama dengan tingkah laku molekul dalam gas mulia. 2. Drude berpostulat bahwa logam terdiri dari ion postif dengan elektron valensi yang bebas bergerak diantara pusat ion tersebut. 3. Lorent berpostulat, bahwa elektron yang menyusun elektron bebas dalam keadaan seimbangnya mematuhi statistika Maxwell-Boltzman. 4. Kedua postulat diatas, sering digabungkan menjadi teori Drude-Lorentz yang didasarkan oleh teori klasik Maxwell-Boltzman. Teori ini berhasil membuktikan keabsahan hukum Ohm. Perbandingan antara konduktifitas listrik



terhadap konduktivitas panas



selalu



konstan:



5. Sommerfeld memperlakukan elektron valensi yang bebas bergerak secara kuantum mekanik, yaitu dengan cara menggunakan statistika Fermi-Dirac. Karena itu tingkat-tingkat elektron didalam kotak energi potesial ditentukan secara statistik kuantum. 6. Fungsi gelombang untuk elektron pada keadaan n ditentukan dengan persamaan Schrodinger :



7. Energy Fermi (Ef) didefenisikan sebagai energy dari tingkat teratas yang terisi penuh electron pada keadaan dasar. Karena setiap tingkat energy ini dapat diisi oleh dua buah electron, maka nf = N/2. Secara matematis energy Fermi dituliskan sbb: Ef =



(



)2 =



=(



)2



8. Hubungan antara vector Fermi dan kecepatan Fermi, yakni: dan



79



Latihan Soal 1. Sebuah electron konduksi berada dalam kotak energy potensial yang kedalamanya takhingga. Jika lebar kotak 2 Å, tentukanlah: a. energy untuk tingkat ke-1 sampai 5 b. panjang gelombang untuk tingkat ke-1 sampai 5 c. fungsi gelombang untuk tingkat ke-1 sampai 5 d. gambar bentuk gelombang untuk fungsi gelombang ke-1 sampai ke-5



2. Hitunglah energy Fermi untuk kasus dimana massa efektif electron adalah 0,067 mo pada suhu 77 K dan 300 K. Gunakan statistic Boltzmann dan pendekatan Joyce-Dixon. Kerapatan electron adalah 1017cm-3.



3. Sebuah electron ditempatkan dalam sebuah sumur potensial satu dimensi yang kedalamanya tak hingga dan lebarnya 4 Å. tentukanlah besar simpangan gelombang electron yang terletak pada tingkat ke-2 pada posisi 2Å dari sisi sumur. 4. Energy Fermi sebuah electron adalah 150 eV. Bila massa electron 9,1 x 10-27 kg, tentukanlah jumlah electron persatuaan panjangnya!



80



BAB VIII TEORI PITA ENERGI Kompetensi Dasar: Mendeskripsikan energi celah berdasarkan daerah Brillouin serta menentukan besarnya berdasarkan model Kronig-Penny



Indikator: 1. 2.



Menentukan besar nilai celah energi dari suatu kristal. Menetukan Daerah terlarang dan daerah yang diijinkan untuk ditempati oleh elektron.



Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari BAB ini Mahasiswa diharapkan dapat: 1. 2.



3. 4. 5. 6.



Menjelaskan asal mula celah energi Membedakan grafik hubungan energi sebagai fungsi gelombang menurut elektron bebas dengan energi sebagai fungai gelombang menurut elektron hampir bebas. Menjelaskan teorema Bloch Menentukan besar nilai celah energi dari suatu kristal Menjelaskan nilai celah energi dengan Model Kronig-Penny. Menetukan Daerah terlarang dan daerah yang diijinkan untuk ditempati oleh elektron.



81



A. PENDAHULUAN Penghantaran (konduksi) listrik dalam bahan memegang peranan penting dalam teknologi. Kita mengenal logam yang mudah dilalui arus listrik, sehingga banyak dipakai dalam transmisi energi listrik dari suatu tempat ke tempat lain. Kita mengenal semikonduktor yang mempunyai sifat hantaran listrik yang sangat menarik sehingga orang dapat membuat berbagai jenis piranti yang bersandarkan pada sifat semikonduktor ini. sebagai produk akhir kita kenal radio transistor, televisi, komputer, dan alat elektronik lain yang pirantinya sangat bergantung pada sifat semikonduktor. Selain bahan tersebut di atas kita mengenal juga bahan semikonduktor atau isolator, misalnya plastik, gelas, kayu, dan sebagainya. Kita tahu bahwa sifat isolator ini pun memegang peranan yang penting dalam teknologi. Dengan menggunakan ketiga sifat hantaran listrik itulah kita dapat merancang berbagai peralatan yang sangat membantu pekerjaan kita sehari-hari dan membantu menyegarkan hidup kita. Fisika klasik tidak dapat menerangkan sifat listrik bahan-bahan tersebut.kita perlu memahami itu dari pandangan fisika modern. Modul ini akan mengajak pembaca menyelami berbagai konsep yang penting dalam teori pita energi yang merupakan teori dasar untuk menerangkan sifat bahan-bahan itu. Dengan memahami isi modul ini anda akan lebih mudah mengikuti perkembangan teknologi yang berdasarkan sifat listrik bahan. Selain mempermudah mengikuti perkembangan teknologi, dengan memahami konsep pita energi, anda juga diberi senjata untuk mengembangkan ilmu sehingga dapat mempunyai peranan yang besar dalam proses pendidikan yang memerlukan landasan fisika yang kuat dan dapat juga ikut serta dalam pengembangan teknologi dan ilmu di indonesia.



B. ASAL MULA CELAH ENERGI Masih banyak sifat logam yang tidak dapat di jelaskan dengan teori elektron bebas, misalnya sifat-sifat semikonduktor dan hubungan antara perubahan resistivitas konduktor dengan suhu. Kegagalan ini umumnya disebabkan penyederhanaan yang berlebihan tentang elektron konduksi. Teori elekron bebas menganggap elektron konduksi tidak mengalami perubahan energi potensial. Elektron dianggap dapat bergerak dalam potensial. Energi ini merupakan fungsi posisi elektron. Teori ini juga tidak dapat menjelaskan perbedaan antara isolator, semikonduktor, dan konduktor.



82



Kegagalan teori elektron bebas kemudian diperbaharui dengan menganggap bahwa badan atom diam dan energi potensial merupakan fungsi yang periodik dari konstanta kisi kristal. Pendekatan ini didasarkan pada kenyataan bahwa atom-atom dalam kristal disebarkan secara periodik pada setiap kisi. Pendekatan ini juga menganggap energi potensial akibat elekron lainnya selalu konstan. Energi potensial elektron sebagai fungsi posisi (x) dalam sebuah kristal satu dimensi yang periodik dengan perioda sama dengan konstanta kisi a. Energi potensial yang periodik ini merupakan dasar dari teori pita energi dalam zat padat. Tingkah laku sebuah elektron didalam potensial seperti ini dijelaskan dengan cara mengkonstruksi fungsi gelombang elektron dengan menggunakan pendekatan elektron tunggal. Fungsi gelombang total diperoleh dari gabungan fungsi gelombang setiap elektron. Medan listrik yang dialami sebuah elektron tertentu dianggap sebagai resultan medan listrik inti dan medan listrik rata-rata elektron lainnya. Gerak elektron didalam energi potensial seperti ini menghasilkan : 1.



Pita-pita energi yang dipisahkan oleh energi celah



2.



Fungsi energi elektron adalah periodik



Pendekatan ini memodifikasi teori elektron bebas menjadi teori elektron hampir bebas. Menurut teori elektron hampir bebas, V ( x



0 ) elektron tidak lagi kontiniu untuk semua



k, tetapi tepat pada nilai-nilai k tertentu energi elektron mengalami diskontiniu, yaitu pada nilai k =



π/a, dimana n = 1,2,3 dan seterusnya.



Gambar 1. Energi sebagai fungsi gelombang menurut (a) elektron bebas dan (b) elektron hampir bebas.



83



Daerah dari –π/a hingga π/a disebut Brillouin pertama. Celah energi pertama terjadi untuk nilai k =



π/a. Celah energi lainnya terjadi untuk nilai k yang merupakan kelipatan dari



π/a.



π/a, bukan merupakan gelombang berjalan dari elektron bebas,



Fungsi Gelombang di k =



tetapi fungsi gelmbang di titik k =



adalah merupakan gabungan gelombang yang berjalan



kekanan dan kekiri. Hasilnya gelombang di titik k =



adalah gelombang berdiri, yang terdiri



atas gelombang yang saling menguatkan dan saling melemahkan. Secara matematis kedua gelombang tersebut dapat di tuliskan: ( )



(



)



( )



(



)



(8.1)



Dan



Kedua fungsi gelombang



(8.2) dan



merupakan elektron di dua tempat yang



berbeda, dan karena itu kedua kelompok elektron itu memiliki nilai energi potensial yang berbeda. Rapat peluang kedua fungsi gelombang adalah: |



|



(8.3)



|



|



(8.4)



Persamaan 8.3 menjelaskan elektron ditumpukkan di atas ion positif yang dipusatkan pada titik x = 0, ±a, ±2a, ±3a dst. Jadi elektron berada pada daerah yang energi potensialnya rendah. Sedangkan dari persamaan 8.4 menjelaskan elektron ditumpukkan di tengah-tengah antara ion positif, sehingga elektron ini memiliki energi potensial yang tinggi. Fungsi gelombang di titik A (gambar 1) tepat di bawah celah energi adalah sedangkan di titik B tepat di atas celah energi adalah



. Tepat pada daerah Brillouin



pertama, yaitu di titik k = ±π/a, ke dua fungsi gelombang dinormalisasi masing-masing adalah √



√



. Besar energi potensial di titik x adalah U(x)= U cos 2πx/a. Besar



Energi Eg adalah: ∫



|



|



∫



(



) |√



∫ ∫



|



) |



( (



)



|



(8.5) | |



|√ |



| |



(8.6) (8.7) (8.8) 84



Jadi nilai celah energi ini sama dengan komponen dari deret Fourier energi potensial. Adanya energi celah ini merupakan karakteristik yang sangat penting dalam logam. Lebar pita energi dalam arah horizontal adalah selalu sama, yaitu sebesar 2π/a. Lebaar pita ini sama dengan lebar satu daerah Brillouin. Energi celah ini merupakan hasil interaksi antara fungsi gelombang elektron konduksi dengan badan atom dalam kristal.



1. Teorema Bloch Persamaan schrodinger untuk elektron yang bergerak dalam energi potensial yang nilainya tetap Vo adalah satu dimensi dapat ditulis: (8.9) Dengan solusi persamaan tersebut adalah berupa gelombang datar yang berbentuk : Ψ(x) = e±ikx



(8.10)



Dimana (E-Vo) = h2k2/2m = energi kinetik. Untuk elektron yang bergerak dalam energi yang periodik satu dimensi, persamaan Schrodingernya adalah : +



(E – V(x))Ψ(x) = 0



(8.11)



Disini V(x) tidak lagi konstan, tetapi merupakan fungsi dari posisi (x). Disamping itu energi potensial V(x) ini juga adalah periodik dengan periode sama dengan konstanta kisi a. Artinya, `V(x) = V(x + a)



(8.12)



Solusi dari persamaan 8.11 diatur oleh sebuah teoremah, yaitu teoremah Bloch. Berdasarkan teorema ini solusi untuk persamaan 8.11 adalah sama dengan gelombang- datar dengan gelombang- gelombang datar yang dimodulasi oleh sebuah fungsi U(x) yang memiliki periode yang sama dengan konstanta kisi a. Jadi menurut teorema ini solusi yang cocok dengan persamaan 8.11 adalah : Ψ(x) =



k (x)



(8.13)



Dimana U(x) = U( x + a). Persamaan 8.13 lebih sering disebut sebagai fungsi Bloch yang digunakan untuk menghitung nilai celah.



85



C. NILAI CELAAH ENERGI 1. Model Kronig – Penney Model ini menjelaskan tingkah laku elektron dalam sebuah energi potensial yang periodik, dengan periode a + b. Di dasar sumur yaitu 0