![Catatan Kuliah Mekanika Bahan (Hand Out) [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/catatan-kuliah-mekanika-bahan-hand-out.jpg)
7 0 13 MB
Catatan Kuliah
MEKANIKA BAHAN M. YUSUF
FAKULTAS TEKNIK UNTAN 2011
KATA PENGANTAR Hmm
ii
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .................................................................................................................................................................................... ii DAFTAR ISI ................................................................................................................................................................................................. iii BAB I. BESARAN-BESARAN PENAMPANG DATAR ........................................................................................................................ 1 1.1 Rumus Umum Sifat Penampang Datar ......................................................................................................................................... 1 1.2 Luas Permukaan ................................................................................................................................................................................. 1 1.3 Momen Statis ....................................................................................................................................................................................... 1 1.4 Titik Berat Penampang ..................................................................................................................................................................... 2 1.5 Momen Inersia Penampang ............................................................................................................................................................. 5 1.6 Radius Girasi ..................................................................................................................................................................................... 13 II. TEGANGAN DAN REGANGAN.......................................................................................................................................................... 25 2.1 JENIS-JENIS DEFORMASI ................................................................................................................................................................... 25 2.2 TEGANGAN ......................................................................................................................................................................................... 26 2.3 TEGANGAN DAN REGANGAN NORMAL .............................................................................................................................................. 26 2.3.1 Tegangan Merata ...................................................................................................................................................................... 26 2.3.2 Tegangan pada Potongan Miring ............................................................................................................................................ 27 2.3.3 Hukum Hooke .......................................................................................................................................................................... 28 2.3.4 Diagram Tegangan-Regangan ................................................................................................................................................. 29 2.3.4.1 Diagram Tegangan-Regangan Tipikal Baja........................................................................................................................................ 29 2.3.4.2 Perilaku Nonlinier ................................................................................................................................................................................. 30 2.3.4.3 Hukum Tegangan-Regangan Walter Ramberg-William R. Osgood 1943 ........................................................................................ 32
2.3.5 Aplikasi Hukum Hooke ............................................................................................................................................................ 33 2.3.5.1 Gaya Berubah Secara Teratur, Luas Tampang Tetap ........................................................................................................................ 33 2.3.5.2 Luas Tampang Berubah Secara Teratur ............................................................................................................................................. 33 2.3.5.3 Gaya dan Luas Tampang Berubah Secara Teratur ............................................................................................................................ 34
2.3.6 Rasio Poisson ............................................................................................................................................................................. 36 2.3.7 Nilai-Nilai Modulus Elastisitas dan Rasio Poisson .................................................................................................................. 37 III. MOMEN LENTUR .............................................................................................................................................................................. 38 3.1 LENTUR MURNI.................................................................................................................................................................................. 38 3.1.1 Lentur Monoaksial .................................................................................................................................................................... 38 3.1.1.1 Kapasitas Penampang ............................................................................................................................................................................ 39
3.1.2 Lentur Biaksial .......................................................................................................................................................................... 40 3.1.2.1 Contoh 1 .................................................................................................................................................................................................. 41 3.1.2.2 Contoh 2 .................................................................................................................................................................................................. 42
3.2 BALOK DENGAN BEBAN AKSIAL........................................................................................................................................................ 43 IV. TEGANGAN GESER DAN REGANGAN GESER .......................................................................................................................... 44 4.1 GESER LANGSUNG ............................................................................................................................................................................. 44 4.2 HUBUNGAN DALAH ARAH 45 ...................................................................................................................................................... 45 4.3 HUBUNGAN - ................................................................................................................................................................................... 46 4.4 TEGANGAN GESER AKIBAT GAYA LINTANG .................................................................................................................................... 47 4.4.1 Distribusi Tegangan Geser pada Penampang Persegi ............................................................................................................. 48 4.4.2 Distribusi Tegangan Geser pada Penampang Segitiga ............................................................................................................ 48 V. TORSI ..................................................................................................................................................................................................... 49 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
DEFORMASI TORSIONAL BATANG LINGKARAN................................................................................................................................ 49 TEGANGAN PADA POTONGAN MIRING ............................................................................................................................................... 50 TEGANGAN GESER AKIBAT TORSI .................................................................................................................................................... 51 KOMBINASI TORSI DENGAN LENTUR ................................................................................................................................................ 52 KONSTANTA TORSI ............................................................................................................................................................................ 53
VI. GAYA AKSIAL EKSENTRIS ............................................................................................................................................................ 54 6.1 INTI PENAMPANG (BIDANG KERN) ................................................................................................................................................... 55 6.1.1 Lentur Monoaksial .................................................................................................................................................................... 55 6.1.2 Lentur Biaksial .......................................................................................................................................................................... 55 6.1.2.1 Penampang Segitiga (Contoh 1) ............................................................................................................................................................ 56 6.1.2.2 Penampang Segitiga (Contoh 2) ............................................................................................................................................................ 57
6.2 KOMBINASI GAYA AKSIAL EKSENTRIS DENGAN MOMEN ................................................................................................................ 58 VII. STRUKTUR KOMPOSIT ................................................................................................................................................................. 59 7.1 AKSIAL ............................................................................................................................................................................................... 59 7.2 LENTUR .............................................................................................................................................................................................. 60 7.2.1 Lentur Monoaksial .................................................................................................................................................................... 60 7.3.3 Lentur Biaksial .......................................................................................................................................................................... 61 7.3 TORSI.................................................................................................................................................................................................. 62
iii
7.4 METODE TRANSFORMASI PENAMPANG ............................................................................................................................................ 63 VIII. ENERGI REGANGAN ..................................................................................................................................................................... 64 8.1 AKSIAL ............................................................................................................................................................................................... 64 8.1.1 Contoh 1 ..................................................................................................................................................................................... 65 8.1.2 Contoh 2 ..................................................................................................................................................................................... 66 8.1.3 Contoh 3 ..................................................................................................................................................................................... 67 8.2 LENTUR .............................................................................................................................................................................................. 69 8.3 TORSI.................................................................................................................................................................................................. 70 IX. LENTURAN BALOK .......................................................................................................................................................................... 71 9.1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ............................................................................................................................................................... 71 9.1.1 Contoh 1 ..................................................................................................................................................................................... 72 9.1.2 Contoh 2 ..................................................................................................................................................................................... 73 9.2 BEBAN SATUAN ................................................................................................................................................................................. 74 9.3 LUAS MOMEN .................................................................................................................................................................................... 75 9.4 BALOK KONJUGASI ........................................................................................................................................................................... 76 X. TEGANGAN BIDANG DAN REGANGAN BIDANG ....................................................................................................................... 77 10.1 TEGANGAN UTAMA .......................................................................................................................................................................... 77 10.1.1 Hubungan dan ................................................................................................................................................................ 78 10.1.2 Lingkaran Mohr ...................................................................................................................................................................... 78 10.2 APLIKASI TEGANGAN BIDANG ........................................................................................................................................................ 79 10.2.1 Contoh Numerik ...................................................................................................................................................................... 80 10.3 TRAYEKTORI TEGANGAN ................................................................................................................................................................ 81 10.3.1 Contoh Numerik ...................................................................................................................................................................... 81 10.3.2 Berbagai Gambar Trayektori Tegangan ................................................................................................................................. 82 10.3.2 Contoh Hasil-Hasil Percobaan ............................................................................................................................................... 87 10.4 KONTUR TEGANGAN ........................................................................................................................................................................ 89 10.4.1 Bentuk Tipikal pada Balok Terjepit ........................................................................................................................................ 89 10.4.2 Perhitungan Secara Manual ................................................................................................................................................... 89 10.4.3 Perhitungan dengan Metode Elemen Hingga ........................................................................................................................ 90 10.5 REGANGAN UTAMA ......................................................................................................................................................................... 93 10.5.1 Regangan Bidang versus Tegangan Bidang .......................................................................................................................... 93 10.5.2 Persamaan Transformasi untuk Regangan Bidang ............................................................................................................... 94 10.5.3 Lingkaran Mohr ...................................................................................................................................................................... 95 XI. KONSENTRASI TEGANGAN ........................................................................................................................................................... 96 11.1 BATANG DENGAN BEBAN TERPUSAT DI UJUNG .............................................................................................................................. 96 11.2 DISTRIBUSI TEGANGAN DENGAN METODE FOTOELASTIK ............................................................................................................. 97 11.3 DISTRIBUSI TEGANGAN DENGAN METODE ELEMEN HINGGA ....................................................................................................... 98 11.3.1 Korbel ....................................................................................................................................................................................... 98 11.3.2 Pelat Berlubang ..................................................................................................................................................................... 100 11.3.3 Pelat Bersirip dengan Beban Terpusat ................................................................................................................................. 102 11.4 AKSIAL ........................................................................................................................................................................................... 103 11.4.1 Penampang Pipih Berlubang ................................................................................................................................................ 103 11.4.2 Penampang Pipih dengan Fillet ¼ Lingkaran ..................................................................................................................... 104 11.4.3 Batang Bundar dengan Fillet ............................................................................................................................................... 104 11.5 MOMEN .......................................................................................................................................................................................... 105 11.5.1 Balok Berlubang .................................................................................................................................................................... 105 11.5.2 Balok dengan Takikan .......................................................................................................................................................... 106 11.5.3 Balok dengan Fillet ............................................................................................................................................................... 107 11.6 TORSI.............................................................................................................................................................................................. 108 XII. TEKUK .............................................................................................................................................................................................. 109 12.1 GAYA AKSIAL SENTRIS.................................................................................................................................................................. 109 12.1.1 Sendi-Sendi ............................................................................................................................................................................ 109 12.1.2 Jepit-Bebas ............................................................................................................................................................................. 110 12.1.3 Jepit-Jepit............................................................................................................................................................................... 111 12.1.4 Jepit-Sendi ............................................................................................................................................................................. 112 12.1.5 Batasan Rumus Tekuk Euler ................................................................................................................................................ 114 12.1.6 Kombinasi Aksial dan Lateral ............................................................................................................................................... 115 12.2 GAYA AKSIAL EKSENTRIS ............................................................................................................................................................. 116 12.2.1 Sendi-Sendi ............................................................................................................................................................................ 116 12.2.2 Jepit-Bebas ............................................................................................................................................................................. 118 12.2.3 Kombinasi dengan Beban Lateral ......................................................................................................................................... 119 XIII. TEORI KERUNTUHAN ................................................................................................................................................................ 121 REFERENSI............................................................................................................................................................................................... 126
iv
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
1
BAB I. BESARAN-BESARAN PENAMPANG DATAR
1.1 Rumus Umum Sifat Penampang Datar Semua besaran sifat penampang
dA
y
datar dapat diwakili dengan rumus-
A
dx
x
dy
rumus berikut:
M xm y m dA
(1.1a)
M yn
A
M yn x n dA
y
(1.1b)
A
M xymn y m x n dA
x
O
(1.1c)
M
m x
A
M n n dA ( x 2 y 2 )n 2 A
(1.1d)
A
Gambar 1.1 Rumus umum sifat penampnag datar
1.2 Luas Permukaan Dengan m = n = 0 maka diperoleh luas permukaan
A M 0 dA
(1.2)
A
Dalam koordinat Cartesius, dA = dx dy.
1.3 Momen Statis
dA
y
Pada Persamaan (1.1a) dengan m = 1 maka diperoleh rumus momen statis terhadap sumbu x:
S x M y dA 1 x
A
dx
x
dy
Sy y
(1.3a)
A
Pada Persamaan (1.1b) dengan n = 1 maka diperoleh rumus momen statis
O
terhadap sumbu y:
S y M 1y x dA
(1.3b)
A
Gambar 1.2 Momen statis
x Sx
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2
1.4 Titik Berat Penampang Jika C(x0, y0) adalah titik berat penampang
maka
dA
y
diperoleh
hubungan Ax0 = Sy
(1.4a)
Ay0 = Sx
(1.4b)
y x0 C y 0
adalah
x0
A
dy
Sy
sehingga koordinat titik C(x0, y0)
Sy
A
dx
x
xdA A
dA
x
O
Sx
(1.5a)
A
S y0 x A
ydA A
dA
(1.5b)
Gambar 1.3 Titik berat penampang
A
Momen statis terhadap sumbu (, ) yang melalui titik berat penampang di mana x x0
(1.6a)
y y0
(1.6b)
adalah
S x y dA y0 dA A
dA
y
A
y 0 dA dA A
A
Sy
S
x0 C y 0
A
S y x dA x0 dA
dy
S x S
S dA 0
A
dx
O
S x Sx
A
A
x0 dA dA A
A
S y S
S dA 0 A
Gambar 1.4 Momen statis terhadap sumbu berat penampang
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
3
Momen statis terhadap sumbu (s, t) yang melalui titik berat penampang yang mana terdapat hubungan:
s sin cos
(1.7a)
t cos sin
(1.7b)
adalah
dA
y
S s t dA cos sin dA A
t
A
cos dA sin dA A
A
Sy Ss
S cos S sin
dy
s
t t St
t
S
St St
0 cos 0 sin
ss
s
St
x0
SsSs
C y 0
0
A
dx
S
Ss
x
O
Sx
S t s dA sin cos dA A
A
sin dA cos dA A
A
Gambar 1.5 Momen statis terhadap sumbu berat penampang
S sin S cos 0
Momen statis suatu penampang terhadap semua garis yang melalui titik berat penampang, adalah nol. Momen statis terhadap sumbu
dA
y
(, ) yang digeser sejauh (a, b)
di mana terdapat hubungan:
xa
(1.8a)
y b
(1.8b)
Sy
S a x0
adalah
C y 0 O
A
dy
O
S dA
A
dx
S b x Sx
y b dA A
y dA b dA A
S x bA
A
(1.9a)
Gambar 1.6 Momen statis terhadap sumbu yang mengalami translasi
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
4
S dA A
x a dA A
x dA a dA A
A
S y aA
(1.9b)
Momen statis terhadap sumbu (s, t) yang diputar sebesar di mana terdapat hubungan s x cos y sin
(1.10a)
t x sin y cos
(1.10b)
adalah
S s t dA
dA
y
A
x sin y cos dA sin x dA cos y dA A
A
S y sin S x cos
dy
t
A
Sy St
(1.11a)
S t s dA
t
t
s
s
sS t s
x0 C
O
A
t
y
Ss St St
A
dx
x
Sys0
Ss
Ss
x Sx
x cos y sin dA A
cos x dA sin y dA A
A
S x sin S y cos
(1.11b)
Gambar 1.7 Momen statis terhadap sumbu yang mengalami rotasi
Persamaan (1.10) dan (1.11) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks menjadi
s cos t sin
sin x cos y
(1.12)
S s cos S t sin
sin S x cos S y
(1.13)
Atau
s x R t y
(1.14)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
S S s T x R St S y
5
(1.15)
di mana
cos R sin
sin cos
(1.16)
Terdapat pula hubungan RT = R–1
(1.17)
maka dikatakan matriks R bersifat kontragradiens.
1.5 Momen Inersia Penampang dA
y
Pada Persamaan (1.1a) dengan m=2 diperoleh rumus momen inersia terhadap sumbu x:
I x M y dA 2 x
2
A
dx
x
dy
Iy
(1.18a)
y
A
Dari Persamaan (1.1b) dengan n=2 x
diperoleh rumus momen inersia terhadap sumbu y:
I y M x dA 2 y
2
I
O
Ix
z
(1.18b)
A
Dari Persamaan (1.1c) dengan m=1
Gambar 1.8 Momen inersia penampang
dan n=1 diperoleh rumus momen inersia silang:
I xy M 11 xy xy dA
(1.18c)
A
Dari Persamaan (1.1d) dengan n=2 diperoleh rumus momen inersia polar.
I M z2 2 dA A
x 2 y 2 dA A
Ix Iy Ix, Iy, dan I bernilai positif. Ixy bernilai riel.
(1.18d)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
6
Momen inersia terhadap sumbu (, ) adalah
I 2 dA A
( y b) 2 dA A
y dA 2b y dA b 2
A
2
A
dA
y
dA
A
I x 2bS x b 2 A
(1.19a)
Iy
I 2 dA
I
A
dx dy
a O
A
x0
( x a) dA
b
C y 0
2
A
x
O
Ix
x 2 dA 2a x dA a 2 dA A
A
I
A
I y 2aS y a 2 A
(1.19b)
I dA
Gambar 1.9 Momen inersia terhadap sumbu yang mengalami translasi
A
( x a)( y b) dA A
xy dA a y dA b x dA ab dA A
A
A
I xy aS x bS y abA
y
A
dA
(1.19c)
Persamaan (1.18) berlaku umum di
Iy
I
mana titik O dan titik O terletak
A
dx dy
a O
sembarang. Jika titik O adalah titik
b
berat panampang (titik O berimpit O=C
dengan titik C) seperti pada Gambar
I
x Ix
1.10 maka Sx dan Sy pada Persamaan (1.19) bernilai nol sehingga
I I x b2 A
(1.20a)
I I y a 2 A
(1.20b)
I I xy abA
(1.20c)
Gambar 1.10 Momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang
Perhatikan bahwa sumbu (x, y) pada Persamaan (1.20) merupakan sumbu yang melalui titik berat penampang. Persamaan (1.20) dikenal sebagai teorema sumbu sejajar.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Momen inersia terhadap sumbu (s, t) yang berotasi sebesar adalah
dA
y
dy
t
2
Iy
s
t
t
St
A
( x sin y cos ) dA 2
s Ss
A
sin 2 x 2 dA cos 2 y 2 dA
x0
C y0
O
A
s
St
It A
A
dx
I s t dA
7
Ss
Is
x Ix
2 sin cos xy dA A
I x cos 2 I y sin 2 2I xy sin cos
Gambar 1.11 Momen inersia terhadap sumbu yang mengalami rotasi
(1.21a)
I t s 2 dA A
( x cos y sin ) 2 dA A
cos 2 x 2 dA sin 2 y 2 dA 2 sin cos xy dA A
A
A
I x sin 2 I y cos 2 2I xy sin cos
(1.21b)
I st st dA A
( x cos y sin )( x sin y cos )dA A
sin cos x 2 dA sin cos y 2 dA (cos 2 sin 2 ) xy dA A
A
I x sin cos I y sin cos I xy (cos 2 sin 2 )
A
(1.21c)
Dari rumus-rumus trigonometri terdapat hubungan cos 2 12 12 cos 2
(1.22a)
sin 2 12 12 cos 2
(1.22b)
sin 2 2 sin cos
(1.22c)
cos 2 cos 2 sin 2
(1.22d)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
8
Substitusi Persamaan (1.22) ke Persamaan (1.21) diperoleh
I s I x ( 12 12 cos 2 ) I y ( 12 12 cos 2 ) I xy sin 2 12 I x 12 I x cos 2 12 I y 12 I y cos 2 I xy sin 2 12 ( I x I y ) 12 ( I x I y ) cos 2 I xy sin 2
(1.23a)
I t I x ( 12 12 cos 2 ) I y ( 12 12 cos 2 ) I xy sin 2 12 I x 12 I x cos 2 12 I y 12 I y cos 2 I xy sin 2 12 ( I x I y ) 12 ( I x I y ) cos 2 I xy sin 2
(1.23b)
I st 12 I x sin 2 12 I y sin 2 I xy cos 2 12 ( I x I y ) sin 2 I xy cos 2
(1.23c)
Dari Persamaan (1.23a) dan (1.23b) diperoleh hubungan I s It I x I y
(1.24)
Persamaan (1.23) berlaku umum di
y dA
mana letak titik O adalah sembarang. Berikut ini akan ditinjau kasus di mana titik O berimpit dengan titik C seperti pada Gambar 1.12. Dengan demikian, momen-momen inersia pada Persamaan (1.23) akan dihitung
A
dx
t
Iy t
dy
s
St
s
t
s
Ss
It
St Is
O=C
x Ss Ix
terhadap tata sumbu yang melalui titik berat penampang. Sudut yang memberikan nilai-nilai Is, It, dan Ist ekstrim (maksimum
Gambar 1.12 Momen inersia terhadap tata sumbu yang melalui titik berat penampang
ataupun minimum) dapat diperoleh dengan menyamakan turunan Is, It, dan Ist terhadap dengan nol sebagai berikut dI s 0 d
(1.25a)
dI t 0 d
(1.25b)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
dI st 0 d
9
(1.25c)
Dari Persamaan (1.25a) diperoleh
d 12 ( I x I y ) 12 ( I x I y ) cos 2 I xy sin 2 d
( I x I y ) sin 2 2I xy cos 2 0
212 ( I x I y ) sin 2 I xy cos 2 0
I xy sin 2 1 cos 2 2 (I x I y )
tan 2 1
I xy 2 tan 1 1 2 (I x I y )
12 tan 1
0
I xy
(1.26a)
2 (I x I y )
(1.26b)
1 2 (I x I y ) I xy
(1.26c)
Dengan menggunakan trigonometri maka 1 2
dari Persamaan (1.26a) dapat diperoleh hubungan
seperti
pada
Gambar
2
1.13
I xy
sehingga diperoleh 1 2
cos 2 1 4
(I x I y )
Gambar 1.13 Hubungan trigonometri dari Persamaan (1.26a)
I xy
sin 2 1 4
2
I xy ) Iy 1 (I x 4 2
(1.27a)
( I x I y ) 2 I xy2
(I x I y )
(1.27b)
( I x I y ) 2 I xy2
Substitusi Persamaan (1.27) ke Persamaan (1.23a) diperoleh I sekst 12 ( I x I y ) 12 ( I x I y )
12 ( I x I y )
12 ( I x I y )
1 4
1 2 1 4
(I x I y )
( I x I y ) 2 I xy2
I xy
I xy 1 4
( I x I y ) 2 I xy2
( I x I y ) 2 I xy2
1 4
( I x I y ) 2 I xy2
1 4
( I x I y ) 2 I xy2
(1.28a)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10
Pari Persamaan (1.25b) juga diperoleh Persamaan (1.26). Karena itu, Persamaan (1.27) dapat disubstitusikan ke Persamaan (1.23b) sebagai berikut I tekst 12 ( I x I y ) 12 ( I x I y )
(I x I y ) 1 2
12 ( I x I y )
1 4
1 2 1 4
(I x I y )
( I x I y ) 2 I xy2
I xy
I xy 1 4
( I x I y ) 2 I xy2
( I x I y ) 2 I xy2
1 4
( I x I y ) 2 I xy2
1 4
( I x I y ) 2 I xy2
(1.28b)
Dari Persamaan (1.28a) dan (1.28b) diperoleh 1 I sekst ,t 2 ( I x I y )
1 4
( I x I y ) 2 I xy2
(1.28c)
Persamaan (1.28c) dikenal sebagai rumus momen inersia ekstrim. Rumus ini memberikan dua nilai ekstrim yaitu nilai maksimum dan minimum. Tata sumbu yang memberikan nilai momen inersia ekstrim ini disebut sumbu utama, yaitu sistem tata sumbu yang berotasi sebesar
s ,t 12 tan 1
1 2 (I x I y ) I xy
(1.26c)
Substitusi Persamaan (1.27) ke Persamaan (1.23c) diperoleh
I xy
I st 12 ( I x I y )
1 4
( I x I y ) 2 I xy2
I xy
1 2 1 4
(I x I y )
( I x I y ) 2 I xy2
=0
Jadi, pada sumbu utama terdapat Ist = 0. Dari Persamaan (1.25c) diperoleh
d 12 ( I x I y ) sin 2 I xy cos 2 d
0
( I x I y ) cos 2 2I xy sin 2 0
212 ( I x I y ) cos 2 I xy sin 2 0
sin 2 12 ( I x I y ) cos 2 I xy
tan 2
1 2
(I x I y ) I xy
(1.29a)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
11
1 2 (I x I y ) 2 tan I xy
(1.29b)
12 tan 1 2
1 (I x I y ) I xy
(1.29c)
1
Dengan menggunakan trigonometri maka 1 2
dari Persamaan (1.29a) dapat diperoleh hubungan
seperti
pada
Gambar
1.14 1 4
sehingga diperoleh
I xy
cos 2 1 4
1 4
(I
x
I
I xy y
) 2
Ix 2
2
y
(1.30a)
( I x I y ) 2 I xy2 1 2
sin 2
(I x I y )
Gambar 1.14 Hubungan trigonometri dari Persamaan (1.29a)
(I x I y )
(1.30b)
( I x I y ) 2 I xy2
Substitusi Persamaan (1.30) ke Persamaan (1.23c) diperoleh I
ekst st
1 2
(I x I y ) 1 2
1 4
( I x I y ) 2 I xy2
I xy
I xy 1 4
( I x I y ) 2 I xy2
( I x I y ) 2 I xy2
1 4
1 4
(I x I y )
( I x I y ) 2 I xy2 1 4
( I x I y ) 2 I xy2
(1.31)
Persamaan (1.31) merupakan rumus Ist ekstrim yang terjadi pada sudut 1 (I x I y ) I xy
st 12 tan 1 2
(1.29c)
Dari Persamaan (1.26a) dan Persamaan (1.29a) diperoleh hubungan antara s,t (sudut yang memberikan Is atau It ekstrim) dan st (sudut yang memberikan Ist ekstrim) yaitu (tan 2s,t)(tan 2st) =
I xy 1 2
(I x I y )
1 2
(I x I y ) I xy
sin 2 s ,t sin 2 st 1 cos 2 s ,t cos 2 st 1 2 1 2
cos(2 cos(2
s ,t s ,t
2 st ) cos(2 s ,t 2 st )
2 st ) cos(2 s ,t 2 st )
1
cos(2 s ,t 2 st ) cos(2 s ,t 2 st ) cos(2 s ,t 2 st ) cos(2 s ,t 2 st )
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2 cos(2 s ,t 2 st ) 0
2( s ,t st ) 90
st s ,t 45
12
(1.32)
Momen inersia ekstrim dapat pula ditentukan secara grafis menggunakan lingkaran Mohr seperti pada Gambar 1.15.
I x I y maks , I st 2
I xy
( I x , I xy )
( I y , 0) (0, 0)
( I smin ,t ,0)
( I x , 0) ( I smaks ,t ,0)
I x , y , s ,t
( I y , I xy ) I x I y min , I st 2 Gambar 1.15 Momen inersia ekstrim dengan lingkaran Mohr
Christian Otto Mohr (Jerman, 1835-1918)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
13
1.6 Radius Girasi Berikut ini, Ix dan Iy adalah momen inersia
terhadap
sumbu
utama
y
(momen inersia ekstrim). Hubungan A
antara momen inersia I dan luas permukaan A ditentukan dengan
Iy t t
s
radius girasi (jari-jari inersia) i St
sebagai berikut: Ai x2 I x
(1.33a)
Ai y2 I y
(1.33b)
Ai 2 I
(1.33c)
t
y
It
Ss
s
A
x
O=C
s
Is St
Ix
x Ss
Dengan demikian,
ix I x A
(1.34a)
iy I y A
(1.34b)
i I A
(1.34c)
Gambar 1.16 Radius girasi
Karena Ixy = 0 maka Persamaan (1.21a) menjadi
I s I x cos 2 I y sin 2
(1.35)
Mengikuti Persamaan (1.33), dapat ditulis At2 = Is
(1.36a)
t
Is A
(1.36b)
Substitusi Persamaan (1.35) ke Persamaan (1.36b), kemudian disubstitusikan lagi Persamaan (1.33a) dan (1.33b) diperoleh
t
I x cos 2 I y sin 2 A I x cos 2 I Y sin 2 I x i x2 I y i y2
i x2 cos 2 i y2 sin 2 Karena Ixy = 0 maka Persamaan (1.21c) menjadi
(1.37)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
I st I x sin cos I y sin cos
14
(1.38)
Nyatakan Persamaan (1.38) sebagai
I st Ast
(1.39a)
st
I st A
(1.39b)
Substitusi Persamaan (1.38) ke Persamaan (1.39b), kemudian substitusikan lagi Persamaan (1.33a) dan (1.33b) diperoleh
st
I x sin cos I y sin cos A
I x sin cos I y sin cos I x i x2 I y i y2
(i x2 i y2 ) sin cos
(1.40)
Pada Persamaan (1.37), misalkan
i x2 cos 2 i y2 sin 2 u
(1.41a)
sehingga
t u
u
(1.41b)
u
dan pada Persamaan (1.40) misalkan
(i x2 i y2 ) sin cos v
(1.41c)
sehingga
st v
(1.41d)
maka
s
v v t u
(1.41e)
Dari Gambar 1.15 terdapat hubungan x = s cos – t sin
(1.42a)
y = s sin + t cos
(1.42b)
Substitusi Persamaan (1.41b) dan (1.41e) ke Persamaan (1.42a) diperoleh
x
v u
cos
u u
v cos u sin u
sin (1.43a)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
15
Substitusi Persamaan (1.41a) dan (1.41c) ke Persamaan (1.43a) diperoleh
x
(i x2 i y2 ) sin cos cos (i x2 cos 2 i y2 sin 2 ) sin u i x2 sin cos 2 i y2 sin cos 2 i x2 cos 2 sin i y2 sin 2 sin u i y2 sin cos 2 i y2 sin 2 sin u
i y2 sin (cos 2 sin 2 ) u i y2 sin
(1.43b)
u
Kuadratkan Persamaan (1.43b) diperoleh 2 2 x 2 i y sin u i y2
(1.43c)
Substitusi Persamaan (1.41b) dan (1.41e) ke Persamaan (1.42b) diperoleh
y
v u
sin
u u
cos
v sin u cos
(1.44a)
u
Substitusi Persamaan (1.41a) dan (1.41c) ke Persamaan (1.44a) diperoleh
y
(i x2 i y2 ) sin cos sin (i x2 cos 2 i y2 sin 2 ) cos u i x2 sin 2 cos i y2 sin 2 cos i x2 cos 2 cos i y2 sin 2 cos u
i x2 sin 2 cos i x2 cos 2 cos u i x2 cos (sin 2 cos 2 ) u i x2 cos u
(1.44b)
Kuadratkan Persamaan (1.44b) diperoleh
y 2 i x2 cos 2 u i x2
(1.44c)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
16
Penjumlahan Persamaan (1.43c) dan Persamaan (1.44c) memberikan 2 2 x 2 y 2 i y sin i x2 cos 2 u u i y2 i x2
(1.45)
Substitusi Persamaan (1.41a) ke Persamaan (1.45) menghasilkan 2 2 2 2 x 2 y 2 i y sin i x cos i y2 i x2 i x2 cos 2 i y2 sin 2
x2 y2 1 i y2 i x2
(1.46)
Persamaan (1.46) merupakan
y
persamaan ellips. Jadi, titik A terletak pada keliling ellips
A Iy
dengan jari-jari ellips iy dan ix.
(0, ix)
Ellips ini disebut dengan ellips inersia.
Radius
girasi
iy
merupakan jarak dari titik berat penampang
ke
titik
C
potong
ellips dengan sumbu x. Radius girasi ix merupakan jarak dari titik berat penampang ke titik potong ellips dengan sumbu y.
Gambar 1.17 Radius girasi
x Ix
(iy, 0)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
17
Ellipse of Inertia In strength of materials, a graphic representation used to calculate the axial and centrifugal moments of inertia of a plane figure, such as the cross section of a rod, with respect to axes passing through its center of gravity. In constructing an ellipse of inertia, its semiaxes, which are numerically equal to the principal radii of gyration of the figure, are superposed on its principal central axes.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
= – a2h2/72
18
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
19
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
20
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
21
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
22
Referensi: Hariandja, Binsar. 1997. Mekanika Bahan dan Pengantar Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga. Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Timoshenko, S.P. & MacCullough, Gleason H. 1949. Elements of Strength of Materials. 3rd. Tokyo: Maruzen Company, Limited.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
II. TEGANGAN DAN REGANGAN 2.1 Jenis-Jenis Deformasi
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 21-22.
25
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.2 Tegangan
2.3 Tegangan dan Regangan Normal 2.3.1 Tegangan Merata
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 25-27.
26
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.2 Tegangan pada Potongan Miring
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.hal.91-97.
27
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.3 Hukum Hooke
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 27-28. Robert Hooke (Inggris, 1635-1703)
28
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.4 Diagram Tegangan-Regangan 2.3.4.1 Diagram Tegangan-Regangan Tipikal Baja
Kemiringan garis lurus dari O ke A disebut modulus elastisitas (E = /)
Jacob (Jacques) Bernoulli (Swiss, 1655-1705)
Jean Victor Poncelet (Prancis, 1788-1867)
Thomas Young (Inggris, 1733-1829) Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.Hlm.13.
29
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.4.2 Perilaku Nonlinier
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.Hlm.128.
30
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Ref: Boresi, Arthur, et al. 1993. Advanced Mechanics of Materials. 5th. Singapore: John Wiley & Sons, Inc. P. 117.
31
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.4.3 Hukum Tegangan-Regangan Walter Ramberg-William R. Osgood 1943
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.Hlm.130. ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19930081614_1993081614.pdf
32
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.5 Aplikasi Hukum Hooke 2.3.5.1 Gaya Berubah Secara Teratur, Luas Tampang Tetap Berat bagian di atas A : P y G h y PG h P G y / h Gy A A Ah d h dy E d h
E
y
dy h
G
Gy dy EAh G y dy EAh
dy
G h EAh 0
h
h A
1 2
y2
h 0
G EAh
1 2
h2
Gh 2 AE
2.3.5.2 Luas Tampang Berubah Secara Teratur O 2 b 2 a
y A b Aa y
yb ya
A y2 2 Ab yb
A
Ab Aa
y2 Ab yb2
y
Pyb2 P P 2 A y Ab y 2 A b yb2 d h dy E
ya
P Aa
d h
E
Pyb2 h EAb
dy
yb
ya
A
dy
Pyb2 dy EAb y 2
dy Pyb2 1 y 2 EAb y
h
h ya
yb
Pyb2 1 1 EAb ya yb
Pyb2 yb ya Pyb h Ph EAb ya yb EAb ya EAb
Ph E Aa Ab
Ab Ph Aa E Aa Ab
Ab
yb
33
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.5.3 Gaya dan Luas Tampang Berubah Secara Teratur Jika benda diperbesar sampai titik O maka beratnya adalah (misalkan) G0.
O
G1 = G0 – G
G1 ya3 G0 yb3
G G0 G1 G0
G0
y a3 G0 yb3
G1
ya3 ya3 yb3 ya3 G G 1 G 0 0 0 yb3 yb3 yb3
Aa
Gyb3 Gyb3 Gyb3 yb3 ya3 yb ya ya2 ya yb yb2 h ya2 ya yb yb2
A y2 2 Ab yb
A
y a2 A a 2 Ab yb
ya yb
Aa h 1 Ab yb
h
A
Ab Ab Aa
yb
dy
y2 Ab yb2
h G
Aa Ab
ya h 1 yb yb
ya yb h
yb h
ya y
Ab Aa
h 1 yb
Ab
Ab Aa Ab
h Ab
yb
Ab
Aa
Berat benda di atas A :
ya3 G y3 y3 G G G G0 30 y 3 ya3 0 1 0 3 3 3 yb yb yb yb
P
G0 3 y y a3 3 G0 y 3 y a3 G0 y a3 P y b 2 y A Ab yb y 2 Ab yb y y2 Ab yb2
d h dy
E
G0 ya3 d ( h) dy y 2 dy E EAb yb y
G0 h EAb yb
yb
ya
ya3 G0 y 2 ya3 y 2 dy EAb yb 2 y y
ya
G0 EAb yb
yb2 ya3 ya2 G0 yb3 2 ya3 3 ya2 yb 2 ya yb 2 2 yb 2 EAb yb 2 yb 2 yb
G0 G0 Gh yb3 3 ya2 yb 2 ya3 y ya yb2 ya yb 2 ya2 0 2 2 b 2 EAb 2 EAb yb 2 EAb yb
Gh 0 1 2 EAb
yb
Gyb3 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab / yb2
h 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab Aa Aa Gyb3 2 Ab Ab h ya2 y a yb yb2 2 EAb
2 EAb ya2 ya yb yb2 / yb2
Gy 1 A / A 2 A /y 2 EA 1 A / A A
Gyb 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab 2 EAb 1 y a / yb y a2
ya 2 ya2 1 2 yb yb
2 b
b
a
b
b
a
b
/A
a
/ Ab
a
b
34
G 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab
h Ab
Ab Aa 2 EAb 1 Aa / Ab Aa / Ab
Gh 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab
2 E Ab Aa Ab 1 Aa / Ab Aa / Ab
Gh 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab
2 E Ab
2 E Ab Ab Aa / Ab Aa Aa Ab Aa Ab Aa / Ab Aa Ab Aa / Ab
Gh 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab
Gh1 A / A 2E A A
2 E Ab Aa Ab Aa Aa Ab Aa Aa Ab Aa / Ab a
b
b
a
2 Aa / Ab Aa / Ab
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 31-33.
Ab Aa 1 Aa / Ab Aa / Ab
Gh 1 Aa / Ab 2 Aa / Ab
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
35
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
2.3.6 Rasio Poisson
36
Siméon-Denis Poisson (Prancis, 1781-1840)
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hlm. 46. Hariandja, Binsar. 1997. Mekanika Bahan dan Pengantar Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga. Hlm. 144. Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 22-24.
2.3.7 Nilai-Nilai Modulus Elastisitas dan Rasio Poisson Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.Hlm. 462. Bowles, Joseph E. 1996. Foundation Analysis and Design. 5th. Singapore: McGraw-Hill Companies, Ins. Pp. 123. & 125.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
37
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
III. MOMEN LENTUR 3.1 Lentur Murni 3.1.1 Lentur Monoaksial
Leonardo Da Vinci (Italia, 1452-1519)
Claude Louis Marie Henri Navier (Perancis, 1785-1836)
Ref: Theodosius, Gunawan. 1991. Mekanika Teknik I. Hlm. 158-160.
Galileo Galilei (Italia, 1564-1642)
38
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
3.1.1.1 Kapasitas Penampang
39
a
b
/3 ∙ ½h = h/6 C = ½a ∙ ½h ∙ b
1
h
j
T = ½b ∙ ½h ∙ b /3 ∙ ½h = h/6
1
b Gambar penampang
Diagram tegangan
Gaya
Lengan kopel: j = h – h/6 – h/6 = (2/3)h Kondisi setimbang: N = 0 C = T Kapasitas momen nominal (momen teoritis): Mn = Cj = Tj = (½a ∙ ½h ∙ b)(2/3h) = abh2/6 c
b
c
0,85c ½a C = 0,85cab
a
c
j=d–½a
d
As
l
l
T = Asl
s Gambar penampang
Diagram regangan
Diagram tegangan aktual
Diagram tegangan ekuivalen
Lengan kopel: j = d – ½a Kondisi setimbang: N = 0 C = T maka didapat a Kapasitas momen nominal (momen teoritis): Mn = Cj = Tj = Asl (d – ½a)
Resultan tegangan
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
3.1.2 Lentur Biaksial
40
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 352-354.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
3.1.2.1 Contoh 1
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hlm. 51-52.
41
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
3.1.2.2 Contoh 2
42
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
3.2 Balok dengan Beban Aksial
y
y
P
h
z
x
L y
b D
M N
D = P sin
N M A W
N = P cos M = P sin (L – z)
z
A = bh W = Ix /yekst z N A
Ix = bh3/12 M W
+ M W
N M A W
N A
M W
N M 0 A W
+ N A
= M W
M W
+ N A
bh3/12 Wa = Wb = = bh2/6 h/2
=
N A
N A
ya = yb = h/2
N M A W
N M A W
= M W
N M A W
N M A W
43
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
IV. TEGANGAN GESER DAN REGANGAN GESER 4.1 Geser Langsung
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 26-32.
44
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
4.2 Hubungan dalah arah 45
45
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 192-193.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
4.3 Hubungan -
46
Siméon-Denis Poisson (Prancis, 1781-1840)
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 114-116.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
4.4 Tegangan Geser Akibat Gaya Lintang
DJ Jourawski (Rusia, 1829–1891) Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 119.
47
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
4.4.1 Distribusi Tegangan Geser pada Penampang Persegi
4.4.2 Distribusi Tegangan Geser pada Penampang Segitiga
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 120 & 122.
48
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
V. TORSI 5.1 Deformasi Torsional Batang Lingkaran
Charles Augustin de Coulomb (Prancis, 1736-1806)
49
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (Perancis, 1797-1886)
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 168-170 & 200-201.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
5.2 Tegangan pada potongan miring
50
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 186-189. Hearn, E. J. 1985. Mechanics of Materials 1. 2nd. P.185.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
5.3 Tegangan Geser akibat Torsi
51
Thomas Young (Inggris, 1733-1829)
I /r modulus penampang polar
Carl Julius von Bach (Jerman, 1847-1931)
GI : kekakuan torsi
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 171-173. Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hal. 136-137.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
5.4 Kombinasi Torsi dengan Lentur
y x b a
c
P
d
z
L
a
y x b a
M = P(L – z) T = Pa c
d
z
D=P
y a
y b
a
b
T A
D
d
B
D
x
c
Tegangan geser akibat gaya lintang D
Tegangan geser di A: A = D + T
A
B
T
d
c
Tegangan geser akibat momen torsi T
Tegangan geser di B: B = D – T
x
52
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
5.5 Konstanta Torsi
53
Untuk penampang bukan lingkaran, I J (=konstanta torsi) a) Penampang ellips dengan jari-jari mayor a dan jari-jari minor b: J
a3b3
maks
a 2 b2
2T ab 2
b) Penampang segitiga sama sisi dengan tinggi h: h4 J 15 3
maks
15 3T 2h 3
c) Penampang persegi panjang dengan sisi panjang h dan sisi pendek b: J k1hb
3
maks
T k2b 2 h
k2 = 1/Bach
h/b 1 1,2 1,5 2 2,5 3 4 5 6 10 k1 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,299 0,312 0,333 k2 0,208 0,219 0,231 0,246 0,256 0,267 0,282 0,288 0,299 0,312 0,333
d) Penampang I, C, dan T J hb3/3 e) Tabung berdinding tipis e.1) Tebal t variabel 4 Am2 J Lm ds 0 t
Am = luas yang dibatasi garis median Lm = panjang keliling tabung t = tebal tabung s panjang busur tabung
e.2) Tebal t konstan 4tAm2 J Lm
e.3) Tabung persegi panjang 4 Am2 2b 2 h 2t1t2 4(bh) 2 4(bh) 2 J h ds b ds Lm ds h b bt1 ht2 2 2 0 t1 0 t2 2 t t 0 t 1 2
2b 2 h 2t1t2 J bt1 ht2
e.4) Tabung lingkaran J = 2 r3t = I Ref: Boresi, Arthur, et al. 1993. Advanced Mechanics of Materials. 5th. Singapore: John Wiley & Sons, Inc. P. 248-252. Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 210-211.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
VI. GAYA AKSIAL EKSENTRIS
Ref: Hariandja, Binsar. 1997. Mekanika Bahan dan Pengantar Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga. Hlm. 63.
54
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
6.1 Inti Penampang (Bidang Kern) 6.1.1 Lentur Monoaksial
55
Jacques Antoine Charles Bresse (Perancis, 1822-1883)
6.1.2 Lentur Biaksial
Ref: Hariandja, Binsar. 1997. Mekanika Bahan dan Pengantar Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga. Hlm. 64-67. Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 312-313.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
6.1.2.1 Penampang Segitiga (Contoh 1)
56
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
6.1.2.2 Penampang Segitiga (Contoh 2)
57
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
6.2 Kombinasi Gaya Aksial Eksentris dengan Momen
y
M z ey N
M Ney
N A
W
+
N A
N M Ney A W
=
atau
atau
M Ney W
eP
N M Ney A W
P
M L
P M PeP A W
eki
P M PeP A W
eka B
Batas bidang kern: i2 I A eki eka y y
1 12
B3 L ( BL) 1 6B 1 2 B
e
M M PeP eka N P
58
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
VII. STRUKTUR KOMPOSIT 7.1 Aksial
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hlm. 35.
59
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
7.2 Lentur 7.2.1 Lentur Monoaksial
Letak garis netral dihitung sebagai berikut: N = 0 I dAI II dAII 0 AI
AII
EI y EII y dAI dAII 0 AI AII r r EI y dAI EII y dAII 0
AI
AII
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hlm. 53. Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 342.
60
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
7.3.3 Lentur Biaksial
t b t
y
h x
M
Material II Material I
M x M cos M y M sin
Material II
I xI 121 bh3
I xII 2
I yI 121 b3h
I yII 2 121 ht 3 ht ( 12 b 12 t )2
M xI
M yI
M x EI I xI
M xII
EI I xI EII I xII
M y EI I y I
M yII
EI I yI EII I yII
Tegangan di titik :
1
M xI I xI
1 2
h
M yI I yI
1 12
h3t
M x EII I xII EI I xI EII I xII
M y EII I yII EI I yI EII I yII
Tegangan di titik : 1 2
b
2
M xII I xII
1 2
h
M yII (t 12 b) I yII
61
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
7.3 Torsi
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 198.
62
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
7.4 Metode Transformasi Penampang
63
ME1I1 E1I1 E2 I 2 M y ME1 I1 ME1 y y My My My 1 1 I1 E1 I1 E2 I 2 I1 E1 I1 E2 I 2 I E2 I 2 I1 nI 2 IK 1 E1 M1
My 1 IK M2
2
ME2 I 2 E1I1 E2 I 2 My E2 E1 M2 y ME2 I 2 ME2 y y nMy nMy EI I2 E1 I1 E2 I 2 I 2 E1 I1 E2 I 2 I1 nI 2 IK I1 2 2 E1
2
nMy IK
IK = I1 + nI2 n = E2 / E1 a1
a1
h1
a2
h2
a2 na2
a3
na3
Penampang semula
Penampang transformasi
h1
h2
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 348-350.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
VIII. ENERGI REGANGAN 8.1 Aksial
Benoit Paul Emile Clapeyron (Perancis, 1799-1864)
64
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
8.1.1 Contoh 1
65
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
8.1.2 Contoh 2
66
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
8.1.3 Contoh 3
67
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
68
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
8.2 Lentur
69
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
8.3 Torsi
70
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
IX. LENTURAN BALOK 9.1 Persamaan Diferensial
71
Leonhard Euler (Swiss, 1707-1783)
Ref: Soemono. 1989. Tegangan 1. Bandung: ITB. Hlm. 59-60. Claude Louis Marie Henri Navier (Perancis, 1785-1836)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
9.1.1 Contoh 1
72
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
9.1.2 Contoh 2
73
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
9.2 Beban Satuan
74
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
9.3 Luas Momen
75
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
9.4 Balok Konjugasi
76
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
X. TEGANGAN BIDANG DAN REGANGAN BIDANG 10.1 Tegangan Utama
77
Augustin Louis William John Cauchy MacQuorn Rankine (Scotlandia, 1820-1972) (Perancis, 1789-1857)
Ref: Hariandja, Binsar. 1997. Mekanika Bahan dan Pengantar Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga. Hlm. 107-109.
10.1.1 Hubungan dan
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Christian Otto Mohr (Jerman, 1835-1918)
10.1.2 Lingkaran Mohr
Ref: Hariandja, Binsar. 1997. Mekanika Bahan dan Pengantar Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga. Hlm. 109-111.
78
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.2 Aplikasi Tegangan Bidang
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 83.
79
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.2.1 Contoh Numerik
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 87-89.
80
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.3 Trayektori Tegangan
Trayektori tegangan utama dan kontur tegangan utama tarik 10.3.1 Contoh Numerik Data: beban merata q =40 kN/m; panjang balok L =2 m; tinggi balok h =40 cm; lebar balok b =20 cm
——— Tarik ——— Tekan
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 85. Nawy, Edward G. 2002. Beton Prategang. Jilid 1. Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga. Hlm. 156. Hardjasaputra, Harianto & Tumilar, Steffie. 2002. Model Penunjang dan Pengikat (Strut and Tie Model) pada Perancangan Beton. UPH. 7. 20 Struktur 40 60 Jakarta: 80 100 Hlm.120 140 160 180 200
220
240
260
280
300
320
340
360
81
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.3.2 Berbagai Gambar Trayektori Tegangan
Carl Culmann (Jerman, 1821-1881) Ref: Tumilar, Steffie. 2005. Penerapan Strut-and-Tie Model Berdasarkan ACI 318-02. Seminar Sehari HAKI Pontianak. Hardjasaputra, Harianto & Tumilar, Steffie. 2002. Model Penunjang dan Pengikat (Strut and Tie Model) pada Perancangan Struktur Beton. Jakarta: UPH. Hlm. 9.
82
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Ref: Tumilar, Steffie. 2005. Penerapan Strut-and-Tie Model Berdasarkan ACI 318-02. Seminar Sehari HAKI Pontianak.
83
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Ref: Tumilar, Steffie. 2005. Penerapan Strut-and-Tie Model Berdasarkan ACI 318-02. Seminar Sehari HAKI Pontianak.
84
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Ref: Tumilar, Steffie. 2005. Penerapan Strut-and-Tie Model Berdasarkan ACI 318-02. Seminar Sehari HAKI Pontianak.
85
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
86
Ref: Tumilar, Steffie. 2005. Penerapan Strut-and-Tie Model Berdasarkan ACI 318-02. Seminar Sehari HAKI Pontianak.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.3.2 Contoh Hasil-Hasil Percobaan
Ref: Kurrer, Karl-Eugen. 2008. The History of the Theory of Structures. Jerman: Berlin: Ernst & Sohn. P.565. MacGragor, James. 1997. Reinforced Concrete. 3rd. Singapore: Prentice-Hall, Inc. P. 89. Nawy, Edward G. 2002. Beton Prategang. Jilid 1. Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga. Hlm. 153.
87
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
88
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.4 Kontur Tegangan Trayektori tegangan utama dan kontur tegangan utama tarik 10.4.1 Bentuk Tipikal pada Balok Terjepit
89
Data: beban merata q =40 kN/m; panjang balok L =2 m; tinggi balok h =40 cm; lebar balok b =20 cm
——— Tarik ——— Tekan
10.4.2 Perhitungan Secara Manual Data: beban merata q=40 kN/m; panjang balok L=2 m; tinggi balok h=40 cm; lebar balok b=20 cm
20 200
40 220
60 240
80 260
100 280
120 300
140 320
160 340
180 360
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 85.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.4.3 Perhitungan dengan Metode Elemen Hingga
90
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Tegangan normal arah x (x)
Tegangan normal arah y (y)
Tegangan geser (xy)
91
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
Tegangan normal arah x (x)
Tegangan normal arah y (y)
Tegangan geser (xy)
92
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.5 Regangan Utama 10.5.1 Regangan Bidang versus Tegangan Bidang
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 43.
93
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.5.2 Persamaan Transformasi untuk Regangan Bidang
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 45-48.
94
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
10.5.3 Lingkaran Mohr
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 49.
95
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
XI. KONSENTRASI TEGANGAN 11.1 Batang dengan Beban Terpusat di Ujung
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 123. Hardjasaputra, Harianto & Tumilar, Steffie. 2002. Model Penunjang dan Pengikat (Strut and Tie Model) pada Perancangan Struktur Beton. Jakarta: UPH. Hlm. 4.
96
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
11.2 Distribusi Tegangan dengan Metode Fotoelastik
Ref: Boresi, Arthur, et al. 1993. Advanced Mechanics of Materials. 5th. Singapore: John Wiley & Sons, Inc. P. 583.
97
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
11.3 Distribusi Tegangan dengan Metode Elemen Hingga 11.3.1 Korbel 9
10
11
12
14
15
16
8
59
15
58
7 25
39
6
90
72
3
57 38
24
71
5
105
56
4
69 88
12 3 23
9
11
66
54
99
21
65
10 10
135
11
97
132
119 131
9831
86
130
118
12
129
13
11
14
15
16
13 28
7
15 47
42 58 58
59
74 90
72 57 57
38 38
72
77 107
106 91
105 104 105
89 70
37 37
69 69
36 36
2 34 34
103 102 88
55 55
67 67
121
102 101 120
99 98
108
140 110
93 109 139
136
124
141
142
143
133
119 131 130
98 22 33 54 65 86 97 118 130 129 22 33 54 65 86 97 118 129
135
136
137
138 139
140
96
21
63127
126 144
82 145
146 147 83
94
32
117 116 52 128
51 115
114
113
148
53
149 64
84
85
95 111
112
113
125 141
85 20
84
50
81
125 124
137 123
121 134
120 132 134 133 100 99 119 131 132
87 66 66
111 80
110 79
138 122
62 112
19
31 95
94
96 114
115
116
126
135
101 100
87
78 109
92 123
103 104
88
68 68
3 35 35
89
70
56 56
4
106 122 107
108
93
61
64
83
82
48 49
92
9176
90
78
77 60
53
52
63
18
30 81
80
79
21 32
51
50 17 62
61 47
20
31
46
76
75
71
60
71
24 24
23 23
45
75
74
73
39 39
5
44
59
73
6
19
49
48 16
29
43
25 25
46
2845
44
43
42
40 40
18 30
29
14
27
8 41 41
17
12 27
26 26
1
137 136
133
32
87
33
149
134
120
67
22
142
141
148
147
146
145
144
143
128
100
55
34
140
139
33
22
35
124
36
117
116
138
121
101
68
35
34
102
36
1
122
103
23
2
1
104
89 70
37
123
96
127 40
126 39
125 38
37
13
24
2
107
106
85
30
115
114
113
112
111
110
109
108
64 84
95
29
94
28
93
27
92
26
91
25
78
77
76
75
74
73
14
53
20
83
82
81
80
79
32 52
63
19
21
10
51
50 62
40
20
31
49
18
61
17
60
19
9
48
4 16
18 30
47
46
45
44
43
42
41
17
8
29
7
28
6
27
5
26
13
117
127 142
143
144
145
128 146
147
148
149
98
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan
x
y
99
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan100
11.3.2 Pelat Berlubang
xy
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan101
x
y
11.3.3 Pelat Bersirip dengan Beban Terpusat
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan102
(a) Kontur tegangan 11
(b) Kontur tegangan 22
(c) Kontur tegangan 33
(d) Kontur tegangan 12
(e) Kontur tegangan 13
(f) Kontur tegangan 23
(g) Kontur tegangan maksimum
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan103
11.4 Aksial 11.4.1 Penampang Pipih Berlubang
a 2 3a 4 4a 2 1 1 4 2 cos 2 2 r2 2 r r a 2 3a 4 1 2 1 4 cos 2 2 r 2 r
r
Stephen Prokofyevich Timoshenko (Степан Прокофьевич Тимошенко) (Rusia, 1878-1972)
3a 4 2a 2 1 2 sin 2 2 r4 r a 2 3a 4 Pada maka r 0 dan 2 2 4 2 r r 2 a 2 3a 4 2 Di titik m, nilai r = a maka 3 2 a2 a4
r
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 125. Timoshenko, S. & Goodier, J. N. 1951. Theory of Elasticity. 2nd. New York: McGraw- Hill Book Company, Inc. p.78-81.
11.4.2 Penampang Pipih dengan Fillet ¼ Lingkaran
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan104
11.4.3 Batang Bundar dengan Fillet
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 126-127.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan105
11.5 Momen 11.5.1 Balok Berlubang
2My 12Md B I b( h 3 d 3 ) My 6Mh C I b( h 3 d 3 ) Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 315.
11.5.2 Balok dengan Takikan
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan106
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 316. Boresi, Arthur, et al. 1993. Advanced Mechanics of Materials. 5th. Singapore: John Wiley & Sons, Inc. P. 590.
11.5.3 Balok dengan Fillet
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan107
Ref: Boresi, Arthur, et al. 1993. Advanced Mechanics of Materials. 5th. Singapore: John Wiley & Sons, Inc. P. 589.
11.6 Torsi
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan108
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 1. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 215-216.
XII. TEKUK 12.1 Gaya Aksial Sentris 12.1.1 Sendi-Sendi
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan109
12.1.2 Jepit-Bebas
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan110
Leonhard Euler (Swiss, 1707-1783)
12.1.3 Jepit-Jepit
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan111
12.1.4 Jepit-Sendi
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan112
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan113
Ref: Gere, James M. & Timoshenko, S.P. 1997. Mekanika Bahan. Jilid 2. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga. Hlm. 251.
12.1.5 Batasan Rumus Tekuk Euler
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan114
12.1.6 Kombinasi Aksial dan Lateral
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan115
12.2 Gaya Aksial Eksentris 12.2.1 Sendi-Sendi
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan116
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan117
12.2.2 Jepit-Bebas
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan118
12.2.3 Kombinasi dengan Beban Lateral
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan119
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan120
XIII. TEORI KERUNTUHAN
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan121
August Wöhler (Jerman, 1819-1914)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan122
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan123
Ref: Soemono. Tanpa tahun. Kokoh II. Bandung: ITB. Hlm. 19-27. Hearn, E. J. 1985. Mechanics of Materials 1. 2nd. P.401.
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan124
Gabriel Lamé (Perancis, 1795-1870) Jean Victor Poncelet (Prancis, 1788-1867)
Christian Otto Mohr (Jerman, 1835-1918)
Richard von Mises (Austria, 1883-1953)
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (Perancis, 1797-1886)
Tytus Maksymilian Huber (Jerman, 1872-1950)
Henri Édouard Tresca (1814-1885)
William John MacQuorn Rankine (Scotlandia, 1820-1972)
Charles Augustin de Coulomb (Prancis, 1736-1806)
Heinrich Hencky (Jerman, 1885-1951)
James Clerk Maxwell (Inggris, 1831-1879)
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan125
REFERENSI
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan126
II
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan127
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan128
M.Yusuf/FT Untan – Mekanika Bahan129
