cjr-matematika-fisika [PDF]

Citation preview

lOMoARcPSD|31330060



CJR Matematika Fisika Fisika (Universitas Negeri Medan)



Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



Critical Journal Review “Bilangan Kompleks” Dosen Pengampu : Drs. Pintor Simamora, M.Si



Oleh



Nama



: Shelvy Romianna Bancin



NIM



4203540003



Kelas



: PSF 20 A



Mata Kuliah



: Matematika Fisika



PRODI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2021



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



KATA PENGANTAR Dengan mengucap syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah senantiasa melimpahkan rahmat-Nya. Sehingga saya dapat menyelesaikan Critical Journal Review (CJR) epat pada waktunya. Critical Journal Review ini berjudul “Bilangan Kompleks” yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Fisika. Semoga CJR dapat memberikan manfaat yang baik bagi penulis maupun pembaca. Saya mengucapakn terimakasi kepada Bapak Drs. Pintor Simamora, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Matematika Fisika yang telah memberikan arahan dalam penyelesaian CJR ini. Saya menydari bahwa masih banyak kekurangan dalam Critical Journal Review ini, baik dari segi isi maupun penulisan. Maka dari itu, krtik dan saran sangat saya harapkan guna memperbaiki CJR ini menjadi lebih baik. Akhir kata, saya ucapkan termakasih. Medan, 2021



30



Penyusun



Shelvy Bancin



i



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



September



lOMoARcPSD|31330060



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR i DAFTAR



ISI



ii BAB I 3 PENDAHULUAN



3



1.1 Latar Belakang



3



1.2 Tujuan



3



1.3 Manfaat



3



BAB II



4



IDENTITAS JURNAL



4



2.1 Identitas Jurnal Utama



4



2.2 Identitas Jurnal Pembanding



4



BAB III



5



RINGKASAN ISI JURNAL



5



3.1 Ringkasan Isi Jurnal Utama



5



3.1.1 Tujuan Penelitian



5



3 1.2 Metode Penelitan



6



3 1.3 Hasil dan Pembahasan



6



3.2 Ringkasan Isi Jurnal Pembanding



8



3.2.1 Tujuan Penelitian



9



3 2.2 Metode Penelitian



9



3 2.3 Hasil dan Pembahasan



9



BAB IV



11



KELEBIHAN DAN KEKURANGAN JURNAL



11



4.1 Kelebihan dan Kekurangan Jurnal Utama



11



4 1.1 Kelebihan Jurnal Utama



11



4 1.2 Kekurangan Jurnal Utama



11



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



ii



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



4.2 Kelebihan dan Kekurangan Jurnal pembanding



11



4.2.1 Kelebihan Jurnal Pembanding



11



4.2.2 Kekurangan Jurnal Pembanding



11



BAB V



12 PENUTUP



12



4.1 Kesimpulan



12



DAFTAR PUSTAKA



13



iii



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bilangan kompleks pada umunya dinyatakan sebagai penjumlah dua suku, dengan suku pertama adalah bilang riil dan suku kedua adalah bilangan imajiner. Pada bilangan kompleks berbentuk a + ib, bagian "a" merupakan bilangan riil, sedangkan "ib" merupakan bilangan imajinernya. Bilangan imajiner adalah bilangan yang diperoleh dari akar bilangan rasional negative.



1.2 Tujuan Adapun tujuan dalam penyusunan CJR ini adalah : 1.



Mengulas isi jurnal tentang bilangan kompleks



2.



Meningkatkan dan melatih kemampuan berfikir tentang bilangan kompleks



3.



Sebagai penyelesaian tugas mata kuliah Matematika Fisika



1.3 Manfaat 1.



Meningkatkan kemampuan dan menentukan isi inti jurnal



2.



Mampu membantu mahasiswa mengendalikan dan menfaatkan pengaruh dari bilangan kompleks pada mahasiswa jurusa Fisika



4



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



BAB II IDENTITAS JURNAL 2.1 Identitas Jurnal Utama Judul Jurnal : Penerapan Bilangan Kompleks untuk Menyelesaikan Soal-Soal Geometri Datar Nama Jurnal : Jurnal Matematika dan Apikasi deCartersiaN Edisi Terbit Vol



: 11 Januari 2018 7



Hal



: 8-14



Penulis



:Dwi Tristianto, Lilik Linawati, Banmbang Susanto



ISSN



: 2302-4224



2.2 Identitas Jurnal Pembanding Judul Jurnal : Beberapa Sifat Akar Persamaan Kuadrat Berkoefisien Bilangan Kompleks Nama Jurnal : Saintifik Edisi Terbit Vol



: 1 Januari 2019 5



Hal



: 36-43



Penulis



: Ahmad Ansar, Muhammad Arafat



Abdullah ISSN : 2622-8904



5



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



BAB III RINGKASAN ISI JURNAL 3.1 Ringkasan Isi Jurnal Utama Soal-soal geometri datar pada umumnya dapat diselesaikan menggunakan definisi, aksioma dan teorema-teorema yang ada. Menurut Chandra soal-soal geometri datar dapat juga diselesaikan menggunakan pendekatan geometri analitik. Pendekatan ini memang dapat membantu pada kondisi yang tepat, namun memiliki beberapa masalah. Menurut Chen beberapa masalah itu diantaranya adalah: 1.



Untuk menentukan titik di bidang membutuhkan dua variabel



2.



Persamaan yang terbentuk pada soal tentang geometri transformasi di bidang pada umumnya rumit sehingga sulit diselesaikan.



Untungnya, masalah-masalah tersebut dapat ditangani dengan menggunakan bilangan kompleks. Representasi bilangan kompleks sebagai titik-titik di bidang datar secara alami mengarah pada interaksi dua arah antara geometri dan bilangan. Dalam artikel penelitian Shastri bilangan kompleks digunakan untuk penyelesaian soal-soal geometri di bidang yaitu:syarat dua segmen garis sejajar 1.



Syarat tiga titik A, B, C segaris



2.



Bagaimana menentukan titik tengah dari sebuah segmen garis



3.



Bagaimana menentukan diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus



4.



Syarat empat titik terletak pada satu lingkaran menggunakan cross-ratio. Sedangkan, pada artikel



Penelitian Shaw penggunaan bilangan kompleks digunakan untuk penyelesaian soal tentang garis yang menghubungkan titik tengah sisi segitiga membagi segitiga itu menjadi 4 1.



Segitiga yang sama luasnya dan segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi



2.



Syarat cukup suatu segi empat merupakan jajar genjang adalah diagonal6



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



diagonalnya saling memotong sama panjang Beberapa aplikasi sederhana penerapan bilangan kompleks dapat memberikan solusi terbaik dalam menyelesaikan soal-soal geometri datar. 3.1.1 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini, diterapkan konsep dan sifat bilangan kompleks untuk menyelesaikan permasalahan geometri datar. Untuk itu, diambil beberapa soal geometri datar yang akan diselesaikan. Soal-soal geometri yang diselesaikan berasal dari beberapa sumber seperti soal olimpiade matematika, catatan kuliah dan soalsoal dari karya para ahli. 3.1.2



Metode Penelitan A. Studi Literatur Studi ini dilakukan dengan cara mempelajari dan mensurvei teori-teori yang berkaitan dengan bilangan kompleks dan aplikasinya pada geometri datar.



B. Langkah-Langkah Penelitian Langkah-langkah dalam menyusun makalah ini adalah sebagai berikut. 1.



Studi awal tentang geometri datar selanjutnya bilangan kompleks.



2.



Kemudian dipelajari fakta-fakta tentang sifat-sifat bilangan kompleks yang dapat dipakai untuk menyelesaikan soal-soal geometri datar.



3.



Studi dilakukan dengan cara mempelajari buku, catatan kuliah dan karya ilmiah dengan topik terkait.



4.



Kemudian dari studi tersebut semua bahan dirangkum sebagai satu kesatuan yang utuh.



3.1.3 Hasil dan Pembahasan A. Sifat-sifat Bilangan Kompleks Setiap bilangan kompleks mewakili sebuah titik di bidang demikian pula sebaliknya. Dalam pembahasan selanjutnya, notasi huruf besar digunakan untuk mewakili titik di bidang yang bersesuaian dengan bilangan kompleks dan huruf kecil untuk bilangan kompleks yang bersesuaian, misalkan a adalah bilangan kompleks yang sesuai dengan titik A di bidang. Secara 7



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



khusus, titik pusat O bersesuaian dengan bilangan kompleks nol. Selanjutnya, akan dikemukakan beberapa sifat bilangan kompleks yang akan digunakan untuk pembahasan selanjutnya : 1.



Setiap bilangan kompleks z dapat dikaitkan dengan vektor posisi OZ di bidang kompleks dengan titik pangkal di O dan titik ujung di Z. Dengan perkataan lain setiap bilangan kompleks dapat dipikirkan sebagai suatu vektor. Ini berarti penjumlahan dua bilangan kompleks itu sama persis dengan penjumlahan dua vektor dibidang.



2.



Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 dua bilangan kompleks yang tidak segaris maupun tidak sejajar yang memiliki sifat xz 1 + xz2 = 0 dengan x dan y adalah dua bilangan real, maka pastilah x = 0 dan y = 0.



3.



Syarat cukup dua garis tegak lurus AB ⊥ CD adalah



d-c



merupakan b-a bilangan imajiner murni. Di sini a. b. c dan d adalah bilanganbilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D. ̅ c-a



( )



c-a = c c merupakan bilangan imajiner murni. Di sini a, b dan c adalah bilangan-bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A,B dan C.



4.



Syarat cukup agar ketiga titik A, B dan C segaris adalah



5.



Syarat cukup titik A,B,C dan D membentuk segiempat talibusur c-a d-a adalah : merupakan bilangan real. Di sini a,b, c dan d adalah c-b d-b bilangan-bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.



6.



Misalkan titik A terletak diluar lingkaran satuan S, AE dan AF adalah dua garis singgung pada lingkaran tersebut yang ditarik dari titik A sebagaimana terlihat pada Gambar 3.1.



8



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



Gambar 3.1. Sepasang garis singgung yang ditarik dari titik A Maka berlaku 2 a = e+f



B. Penerapan Bilangan Kompleks untuk Menyelesaikan Soal-Soal Geometri Datar Berikut ini disajikan soal-soal tentang geometri datar yang dapat diselesaikan dengan bilangan kompleks. Dipilih beberapa soal yang mewakili soal yang behubungan dengan kesejajaran, ketegaklurusan, kesegarisan dan segiempat talibusur. Soal-soal yang dipilih dianggap dalam penyelesaian dengan konsep dan sifat bilangan kompleks lebih mudah dibandingkan menggunakan hukum-hukum geometri Euclid. Contoh Soal :



z=



Diberikan tiga titik A, B dan C yang tak segaris, seperti pada Gambar 3.2. Misalkan Z adalah pencerminan dari C pada garis AB. Maka z dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : ̅ ̅ ̅ ̅ a c +b a -a b -b c ̅ a-b



Gambar 3.2. Z adalah pencerminan titik C terhadap garis AB 9



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



Penyelesaian : Perhatikan Gambar 3.2. Misalkan a, b, c dan z berturut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C dan Z. Misalkan pula M adalah titik tengan dari ZC. Jadi, ̅ m -b m -b = . a-b a-b



( )



Karena z+c m= 2 , maka z+c-2b 2(a-b)



̅ =



̅ ̅ z + c -2 b



.



2( a - b ) Demikian pula karena ZC tegak lurus terhadap garis AB z-c a-b



=



̅ z-c



(a-b ) =



̅



̅ c-z a -̅ b



.



Selanjutnya, diperoleh ̅ ̅ ̅ z + c -2 b z+c-2b = 2(a-b) 2( a - b )



(1)



dan ̅



z-c a-b



=



̅ c-z (2)



̅



a-b



Kedua persamaan (1) dan (2) dapat dipikirkan sebagai system persamaan ̅ ̅ dalam z dan z . System persamaan z dan z dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut :



10



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



̅ Pz + Q z = R ̅ Uz + V z = W



(3)



dengan ̅ ̅ P = a - b = Uq =a-b V = -(a-b) = b - a ̅ ̅ ̅ ̅ R=ac -bc + ac- bc ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ W = a c - b c - 2a b - a c + 2 a b + b c (4) Apabila system persamaan (3) dan (4) diselesaikan untuk system persamaan untuk z diperoleh R Q



|



|



RV-QW a c +b a -a b -b c (2b-2a) = = z= W V ̅ ̅ P Q PV-QU a - b -(2b-2a) U V ̅ ̅ ̅ ̅ a c +b a -a b -b c = ̅ a-b



|



(



)



3.2 Ringkasan Isi Jurnal Pembanding Perkembangan sistem bilangan dimulai sejak manusia mengenal bilangan asli untuk menghitung banyaknya hewan ternak yang mereka miliki hingga sistem bilangan real. Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Setelah mengenal sistem bilangan, dikembangkanlah persamaan matematika yang digunakan untuk membantu menyelesaiakan atau mencari solusi dari masalah-masalah nyata yang dihadapi manusia. Salah satu persamaan matematika yang banyak dikenal dan digunakan dalam matematika adalah persamaan kuadrat, yaitu persamaan yang berbentuk 2 ax + bx + c = 0, dengan a, b, c ∈ R. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar persamaan kuadrat. Metode menentukan akar-akar persamaan kuadrat dibahas oleh Al-Khwarismi dalam bukunya Algebra yang banyak digunakan hari ini 11



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



dalam Merino (2006). Selanjutnya, metode aljabar yang dikembangkan oleh AlKhwarismi diterjemahkan oleh Gerard of Cremona dan Leonardo da Pisa (Fibonacci) ke dalam bahasa Latin. Dalam Waerden (1985) dijelaskan bahwa Gerolamo Cardano menemukan solusi untuk mencari akar-akar persamaan kubik dan memperkenalkan bilangan baru seperti 5 + -15 dan 5 - -15 sebagai solusi dari persamaan kubik. Selanjutnya, Rafael Bombelli memperkenalkan notasi -1 yang disebut “pi’u di meno” serta Leonhard Euler pertama kali meperkenalkan notasi i = -1 yang disebut bilangan imajiner. Dengan dikenalnya bilangan imajiner, maka dikembangkanlah himpunan bilangan kompleks 3.2.1 Tujuan Penelitian Dalam tulisan ini akan dikaji tentang suku banyak berderajat dua atau persamaan kuadrat yang berkoefisien kompleks yang merupakan perumuman dari persamaan kuadrat berkoefisien real. Dalam kajian ini akan dijelaskan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat berkoefisien kompleks serta beberapa sifat dari akar-akar tersebut. Selanjutnya, dijelaskan pula cara menentukan persamaan kuadrat baru yang diketahui akar-akarnya. 3.2.2 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian studi literatur. Metode ini dilakukan dengan mengumpulkan dan mengkaji makalah-makalah serta buku-buku yang relevan dengan persamaan kuadrat koefisien kompleks. Hasil dari kajian tersebut akan menjadi landasan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat koefisien kompleks dan sifat-sifatnya. Selanjutnya, akan diselidiki cara menentukan persamaan kuadrat baru yang diketahui akar-akarnya 3.2.3



Hasil dan Pembahasan A. Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk z = a + ib



(1)



dengan a, b ∈ R dan i adalah imajiner satuan. Bilangan imajiner satuan i = -1 memiliki sifat i2 = -1. Jika z = a + ib maka a disebut sebagai bagian real dari z dan ditulis Re(z) = a maka serta b disebut sebagai bagian imajiner dari z dan ditulis Im(z) = b. Himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan C yaitu C = {z=a+ib|a∈R dan b∈R}



(2)



Jika Im(z) = 0, maka z = a ∈ R dan jika Re(z) = 0, maka z = bi ∈ Cdan 12



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



disebut bilangan imajiner murni. Diberikan bilangan kompleks z = a + ib. Konjugat dari bilangan kompleks z, ̅ ditulis z , didefinisikan sebagai z = a - ib. Fungsi suku banyak f yang berderajat n adalah fungsi yang berbentuk f(x) = a xn + a xn-1 + . . . + a x + a n



n-1



1



0



(3)



dengan an, an-1,.. . , a1,a0 ∈ C, an ≠ 0, n ∈ N, dan x ∈ C Setiap suku banyak berderajat n mempunyai solusi sebnayak n yang merupakan bilangan kompleks.



B. Akar-akar Persamaan Kuadrat Koefisien Kompleks Dalam Andreescu dan Andrica (2010) dijelaskan cara menentukan solusi persamaan kuadrat berkoefisien kompleks. Diberikan persamaan kuadrat dengan koefisien bilangan kompleks az2 + bz + c = 0 dengan a, b, c ∈ C dan a ≠ 0. Dengan manipulasi aljabar diperoleh



( ) b z+ 2a



2



=



b2-4ac 2



4a



(4)



(5)



Ekuivalen dengan 4a2z2 + 4abz + b2 = b2 - 4ac



(6)



Selanjutnya, b2 - 4ac disebut diskriminan dari persamaan (4) dan ditulis D = b2 - 4ac.



13



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



BAB IV KELEBIHAN DAN KEKURANGAN JURNAL 4.1 Kelebihan dan Kekurangan Jurnal Utama 4.1.1 Kelebihan Jurnal Utama  Jurnal memilki ISSN  Jurnal memiliki banyak referensi mengenai bilangan kompleks  Penjelasan pada bagian pembahasan cukup mudah dimengerti  Rumus-rumus yang singkat namun jelas 4.1.2 Kekurangan Jurnal Utama  Penyusunan jurnal yang masih berantakan



4.2 Kelebihan dan Kekurangan Jurnal pembanding 4.2.1 Kelebihan Jurnal Pembanding  Jurnal memiliki ISSN  Mempunyai banyak referensi 4.2.2 Kekurangan Jurnal Pembanding  Tata bahasa yang sulit dipahami  Penulisan yang kurang rapi  Referensi tidak banyak



14



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



lOMoARcPSD|31330060



BAB V PENUTUP 4.1 Kesimpulan Dalam makalah ini telah dibahas bagaimana membuktikan dan menyelesaikan beberapa soal geometri datar yang dapat diselesaikan dengan bantuan bilangan kompleks. Dengan memasukkan rumus sifat-sifat bilangan kompleks yang terkait ke soal geometri datar dapat diselesaikan. Tipe-tipe soal yang diselesaikan adalah pembuktian dua sifat istimewa dari jajar genjang, penentuan hasil pencerminan suatu titik terhadap garis tertentu dan penentuan letak titik tinggi dari suatu segitiga jika diketahui ketiga titik sudutnya. Pembaca disarankan menggunakan bilangan kompleks jika menemui kesulitan dalam usaha menyelesaikan soalsoal geometri yang berkaitan dengan kesejajaran (parallel), ketegaklurusandua segmen garis (perpendicullar) dan soal yang melibatkan collinier(segaris) dan concyclic (segiempat talibusur). Pada makalah ini tidak membandingkan pendekatan bilangan kompleks dengan metode klasik melainkan hanya sebagai pelengkap dari metode pembuktian yang ada.



15



Downloaded by Ari Andani ([email protected])



DAFTAR PUSTAKA



Ahmad Ansar, d. (2019). Beberapa sifat Akar Persamaan Kuadrat Berkoefisien Bilangan Kompleks. Saintifik, 36-43. Dwi Tristianto, d. (2018). Penerapan Bilangan Kompleks untuk Menyelesaikan Soal-Soal Geometri datar. Jurnal Matematik dan Aplikasi deCartesiaN, 8-14.



16



Downloaded by Ari Andani ([email protected])