Crout Method [PDF]

Citation preview

mETODE NUMERIK LANJUTAN



CROUT METHOD Prescott Durand Crout (1907-1984) adalah seorang matematikawan amerika.Crout lahir di Ohio tetapi hidup dan besar di Massachussetts. Tahun D1929 dia menyelesaikan MIT class dengan tesis PhD yang berjudul Approximation of Function and Integrals by a Linear Combination of Function. Metode Crout Dalam Algebra linier dekomposisi matriks crout, adalah sebulah dekomposisi LU yang mendekompisisi sebuah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L), segitiga atas (U) dan selain itu ada juga permutasi matriks (P) walaupun tidak banyak digunakan. Algoritma dekomposisi matriks Crout sedikit berbeda dari metode Doolittle. Metode Doolittle mengembalikan sebuah unit matriks segitiga bawah ke segitiga atas sedangkan metode Crout mengembalikan matriks segitiga bawah ke sebuah unit segitiga atas. Jadi, jika dekomposisi matriks dari matriks A adalah A = LDU. Maka L adalah sebuah unit segitiga bawah matriks, D adalah matriks diagonal dan U adalah matriks segitiga atas. Kemudian pada metode Doolittle menghasilkan A = L(DU). Dan metode Crout menghasilkan A = (LD) U. Maka L adalah matriks segitiga bawah, D adalah Matriks diagonal dan U adalah normalisasi matriks segitiga. Algoritma Metode Crout 𝑙11 Step 1 : Tulis A = LU = [𝑙21 𝑙31



0 𝑙22 𝑙32



0 1 𝑢12 0 ] [0 1 𝑙33 0 0



𝑢13 𝑢23 ] 1



Step 2 : hitung Product dari L dan U 𝑎11 𝑎 [ 21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑙11 𝑎23 ] = [𝑙21 𝑎33 𝑙31



𝑙11 𝑢12 𝑙21 𝑢12 + 𝑙22 𝑙31 𝑢12 + 𝑙32



𝑙11 𝑢13 𝑙21 𝑢13 + 𝑙22 𝑢23 ] 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑙33



Step 3 : Tulis L dan U 𝑙11 𝐿 = [𝑙21 𝑙31



0 𝑙22 𝑙32



0 1 𝑢12 0 ] [0 1 𝑙33 0 0



𝑢13 𝑢23 ] 1



Step 4 : Solve LY = B dengan forward Substitution 𝑙11 [𝑙21 𝑙31



0 𝑙22 𝑙32



0 𝑦1 𝑏1 0 ] [𝑦2 ] [𝑏2 ] 𝑙33 𝑦3 𝑏3



Step 5 : solve UX = Y dengan backward substitution 1 𝑢12 [0 1 0 0



𝑢13 𝑥 𝑦1 𝑢23 ] [𝑦] [𝑦2 ] 1 𝑧 𝑦3



KELOMPOK 2



mETODE NUMERIK LANJUTAN Contoh Hitungan 2 x1 + 4 x2 + x3 = -11 - x1



+ 3 x2 - 2 x3 = -16



2 [−1 2



Matrix



2 x1 - 3 x2 + 5 x3 = 21



4 3 −3 [A]



𝑥1 1 −11 −2] ൭𝑥2 ൱ = [−16] 𝑥3 5 21 {X}



[b]



X1, X2, X3 [L]



2 4 1| −11 [−1 3 −2| −16] 2 −3 5| 21



[U]



2 0 0 1 [−1 3 0 ] [0 2 −3 5 0



A = LU



4 1 1 −2] 0 1



Hit product L&U [U]



[L]



2 0 0 1 2 1/2 0 ] [0 1 −3/10] [−1 5 2 −7 19/10 0 0 1



Tulis L & U



2 [−1 2



2 2 1/2 4 1 3 −2] = [−1 5 −3/10] 2 −7 19/10 −3 5



Forward subsitution



2 0 [−1 5 2 −7



1 [0 0



𝑦1 0 −11 0 ] [𝑦2 ] = [−16] 19/10 𝑦3 21



𝑥1 2 1/2 −11/2 𝑥 1 −3/10] [ 2 ] = [−43/10] 𝑥3 0 1 1



2𝑦1 = −11 y1 = -11/2 −1𝑦1 + 5𝑦2 = −16 y2 = -43/10 19 2𝑦1 − 7𝑦2 + ( ) 𝑦3 = 21 10 y3 = 1



𝑦1 + 2𝑦2 + 1/2𝑦3 = −11/2 𝑦2 − 3/10𝑦3 = −43/10 𝑦3 = 1



X1 = 2 X2 = -4 X3 = 1



KELOMPOK 2



mETODE NUMERIK LANJUTAN



Metode Crout dengan Program Dev C++ Soal 2



2 x1 + 4 x2 + x3 = -11 - x1



+ 3 x2 - 2 x3 = -16



2 4 1| −11 [−1 3 −2| −16] 2 −3 5| 21



Matrix



2 x1 - 3 x2 + 5 x3 = 21



 Flow Chart



Start



Input data



Pengelolahan Data (Run)



MATRIX Tidak



Ya



Cetak



Finish



KELOMPOK 2



mETODE NUMERIK LANJUTAN  Pengolahan Data (Run)



KELOMPOK 2



mETODE NUMERIK LANJUTAN NILAI & HASIL







Maka



diperoleh nilai, X1 = 2 X2 = -4 X3 = 1



KELOMPOK 2