![D-1 - Kelompok 6 - Lapres 8 [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/d-1-kelompok-6-lapres-8.jpg)
10 0 475 KB
LABORATORIUM TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK UPN “VETERAN” JAWA TIMUR
Praktikum Percobaan
: MATEMATIKA TEKNIK : METODE RUNGE-KUTTA
Tanggal : 6 MEI 2021 Pembimbing : IR. MUTASIM BILLAH, MT.
Nama NPM/Semester Sesi Paralel NPM/Teman Praktek
: ADITYA ARINTON. : 19031010142/IV : DI :D : 19031010142/ARAH GUNTUR SETIO M.
LAPORAN RESMI
Soal : 1.
Buatlah persamaan dengan batas dan interval yang berbeda. Selesaikan dengan Metode Runge-Kutta (order 2-4) mengunakan Matlab disertai algoritma, flowchart dan perhitungan manual! (Setiap kelompok harus berbeda persamaan)
2.
Diketahui Persamaan kecepatan reaksi sebuah reactor plug flow yang mendekomposisi suatu senyawa A pada suhu 700oC adalah sebagai berikut : −rA = 0.5(CA4 − 2CA3 + 10CA2 − 5CA + 12.25)3⁄5
Diketahui 𝜀𝜀 A = 0.82
mol/lit. hr
Dengan persamaan dibawah ini hitunglah berapa volume plugflow reactor yang diperlukan jika beroperasi pada suhu 700oC dan tekanan 420 kPa yang mengandung 120 mol A per jam murni perjam nya dan konversi keluar plugflow diminta 90%. V=
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹
k 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
�(1 + εA) ln
1
1−𝑋𝑋𝑋𝑋
− εA XA�
Kerjakan secara manual dan program menggunakan metode Runge Kutta Orde 3 dengan ∆x = 4 untuk CA0 = 24 sampai CA = 4!
19
Jawaban : 1. Program Perhitungan Persamaan Polinominal dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 2, 3, dan 4 A. Algoritma 1.
Mulai program
2.
Menampilkan dan memasukkan pilihan metode
3.
Pemilihan kondisi A. Jika memilih 1 (Metode Runge-Kutta Orde 2 Raltson) 1) Memasukkan persamaan (perss), nilai x awal (xatas), nilai x akhir (xbawa), nilai y awal (yawal), dan nilai delta x (deltx) 2) Melakukan perulangan dengan for loop=xatas:deltx:(xbawa-deltx) 3) Memproses perhitungan substitusi persamaan dengan variabel x dan y, perhitungan k1, k2, dan yi 4) Menampilkan hasil perhitungan nilai x, nilai y, nilai k1, nilai k2, dan jumlah iterasi B. Jika memilih 2 (Metode Runge-Kutta Orde 3) 1) Memasukkan persamaan (perss), nilai x awal (xatas), nilai x akhir (xbawa), nilai y awal (yawal), dan nilai delta x (deltx) 2) Melakukan perulangan dengan for loop=xatas:deltx:(xbawa-deltx) 3) Memproses perhitungan substitusi persamaan dengan variabel x dan y, perhitungan k1, k2, k3 dan yi 4) Menampilkan hasil perhitungan nilai x, nilai y, nilai k1, nilai k2, nilai k3, dan jumlah iterasi C. Jika memilih 3 (Metode Runge-Kutta Orde 4) 1) Memasukkan persamaan (perss), nilai x awal (xatas), nilai x akhir (xbawa), nilai y awal (yawal), dan nilai delta x (deltx) 2) Melakukan perulangan dengan for loop=xatas:deltx:(xbawa-deltx) 3) Memproses perhitungan substitusi persamaan dengan variabel x dan y, perhitungan k1, k2, k3, k4 dan yi 4) Menampilkan hasil perhitungan nilai x, nilai y, nilai k1, nilai k2, nilai k3, nilai k4, dan jumlah iterasi
4. Program selesai
20
B. Flowchart Start
Menampilkan dan memasukkan pilihan metode
Case 1
YES
Memasukkan persamaan (perss), nilai x awal (xatas), nilai x akhir (xbawa), nilai y awal (yawal), dan nilai delta x (deltx)
NO for loop=xatas:deltx:(xbawadeltx)
Memproses perhitungan substitusi persamaan dengan variabel x dan y, perhitungan k1, k2, dan yi
Menampilkan hasil perhitungan nilai x, nilai y, nilai k1, nilai k2, dan jumlah iterasi
Case 2
YES
Memasukkan persamaan (perss), nilai x awal (xatas), nilai x akhir (xbawa), nilai y awal (yawal), dan nilai delta x (deltx)
NO
A
B
C
21
A
B
C
for loop=xatas:deltx:(xbawadeltx)
Memproses perhitungan substitusi persamaan dengan variabel x dan y, perhitungan k1, k2, k3, dan yi
Menampilkan hasil perhitungan nilai x, nilai y, nilai k1, nilai k2, nilai k3, dan jumlah iterasi
Case 3
NO
YES
Memasukkan persamaan (perss), nilai x awal (xatas), nilai x akhir (xbawa), nilai y awal (yawal), dan nilai delta x (deltx)
for loop=xatas:deltx:(xbawadeltx)
Memproses perhitungan substitusi persamaan dengan variabel x dan y, perhitungan k1, k2, k3, k4, dan yi
Menampilkan hasil perhitungan nilai x, nilai y, nilai k1, nilai k2, nilai k3, nilai k4. dan jumlah iterasi
End
22
C. Listing clear all; clc; syms x y; disp('-------------------------------------------------------------------------------'); disp('
PROGRAM PENYELESAIAN PERSAMAAN
MENGGUNAKAN METODE RUNGE KUTTA
');
disp('-------------------------------------------------------------------------------'); disp(' METODE YANG DAPAT DIGUNAKAN'); disp(' 1. Metode Runge Kutta Orde 2 (Raltson)'); disp(' 2. Metode Runge Kutta Orde 3'); disp(' 3. Metode Runge Kutta Orde 4'); pil=input(' Masukan pilihan metode yang akan digunakan (1/2/3) = '); disp(' '); switch pil case 1 disp('------------------------------------------------------'); disp('
RUNGE KUTTA ORDE 2 METODE RALTSON ');
disp('------------------------------------------------------'); perss=input(' Masukkan Persamaan
= ');
xatas=input(' Masukkan Nilai x Awal = '); yawal=input(' Masukkan Nilai y Awal = '); xbawa=input(' Masukkan Nilai x Akhir = '); deltx=input(' Masukkan Nilai Delta x = '); no=1; disp(' '); disp('------------------------------------------------------'); disp(' Iterasi
x
y
k1
k2
');
disp('------------------------------------------------------'); for loop=xatas:deltx:(xbawa-deltx); xaks=subs(perss,x,xatas); k1=subs(xaks,y,yawal); kpers=xatas+3/4*deltx; kperrs=yawal+1/4*k1*deltx; ksubs=subs(perss,x,kpers);
23
k2=subs(ksubs,y,kperrs); fprintf('%5.0f%10.1f%11.4f%12.4f%13.4f\n',no,xatas,yawal,k1,k2); no=no+1; xatas=xatas+deltx; hsl=(1/3*k1)+(2/3*k2); y=yawal+hsl*deltx; yawal=y; end fprintf('%5.0f%10.1f%11.4f\n',no,xatas,yawal); disp('------------------------------------------------------'); case 2 disp('------------------------------------------------------------------'); disp('
RUNGE KUTTA ORDER 3
');
disp('------------------------------------------------------------------'); perss=input(' Masukkan Persamaan
= ');
xatas=input(' Masukkan Nilai x Awal = '); yawal=input(' Masukkan Nilai y Awal = '); xbawa=input(' Masukkan Nilai x Akhir = '); deltx=input(' Masukkan Nilai Delta x = '); no=1; disp(' '); disp('------------------------------------------------------------------'); disp(' Iterasi x
y
k1
k2
k3 ');
disp('------------------------------------------------------------------'); for loop=xatas:deltx:(xbawa-deltx); xaks=subs(perss,x,xatas); k1=subs(xaks,y,yawal); persx=xatas+1/2*deltx; persy=yawal+1/2*k1*deltx; ksubs=subs(perss,x,persx); k2=subs(ksubs,y,persy); persxx=xatas+deltx; persyy=yawal-k1*deltx+2*k2*deltx; ksubss=subs(perss,x,persxx); k3=subs(ksubss,y,persyy);
24
fprintf('%5.0f%8.1f%13.4f%13.4f%13.4f%13.4f\n',no,xatas,yawal,k1,k2,k 3); no=no+1; xatas=xatas+deltx; y=yawal+1/6*(k1+4*k2+k3)*deltx; yawal=y; end fprintf('%5.0f%8.1f%13.4f\n',no,xatas,yawal); disp('-------------------------------------------------------------------'); case 3 disp('--------------------------------------------------------------------'); disp('
RUNGE KUTTA ORDE 4
');
disp('---------------------------------------------------------------------'); perss=input(' Masukkan Persamaan
= ');
xatas=input(' Masukkan Nilai x Awal = '); yawal=input(' Masukkan Nilai y Awal = '); xbawa=input(' Masukkan Nilai x Akhir = '); deltx=input(' Masukkan Nilai Delta x = '); no=1; disp(' '); disp('---------------------------------------------------------------------'); disp(' Iterasi x
y
k1
k2
k3
k4 ');
disp('---------------------------------------------------------------------'); for loop=xatas:deltx:(xbawa-deltx); xaks=subs(perss,x,xatas); k1=subs(xaks,y,yawal); persx=xatas+1/2*deltx; persy=yawal+1/2*k1*deltx; ksubs=subs(perss,x,persx); k2=subs(ksubs,y,persy); persxx=xatas+1/2*deltx; persyy=yawal+1/2*k2*deltx; ksubss=subs(perss,x,persxx); k3=subs(ksubss,y,persyy);
25
persxxx=xatas+deltx; persyyy=yawal+k3*deltx; ksubsss=subs(perss,x,persxxx); k4=subs(ksubsss,y,persyyy); fprintf('%5.0f%8.1f%13.4f%13.4f%13.4f%13.4f%13.4f\n',no,xatas,yawal, k1,k2,k3,k4); no=no+1; xatas=xatas+deltx; y=yawal+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)*deltx; yawal=y; end fprintf('%5.0f%8.1f%13.4f\n',no,xatas,yawal); disp('---------------------------------------------------------------------'); end
26
D. Hasil Run
E. Perhitungan Manual (Terlampir)
27
2. Program no 2 A. Algoritma 1. Memulai program 2. Memasukan nilai k, 𝜀𝜀𝐴𝐴 , Fa0, Xa, Ca0, Ca, ∆𝑥𝑥, dan persamaan volume reaktor
3. Menghitung dengan rumus
a. Volume reaktor pada Ca0 𝑉𝑉 ==
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 1 �(1 + εA) ln − εA XA� k 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 1 − 𝑋𝑋𝑋𝑋
b. Nilai k1 dengan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0
𝑘𝑘1 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥0) 1
c. Nilai k2 dengan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + ∆x 2
𝑘𝑘2 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥2)
d. Nilai k3 dengan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥
𝑘𝑘3 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥3)
4. Menampilkan Ca0, V, k1, k2, dan k3
5. Untuk nilai Ca0=24 sampai batas Ca=4, maka a. Menghitung dengan rumus 1.) Nilai k1 dengan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0
𝑘𝑘1 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥0) 1
2.) Nilai k2 dengan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥 2
𝑘𝑘2 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥2)
3.) Nilai k3 dengan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥
𝑘𝑘3 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥3)
4.) Volume reaktor dengan persamaan rung kutta orde 3 1 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦0 + (𝑘𝑘1 + 4𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘3)∆𝑥𝑥 6
b. Menampilkan Ca0, V , k1, k2, dan k3 6. Selesai
28
B. Flowchart Memulai program
Memasukan nilai k, ea , Fa0, Xa, Ca0, Ca, delta x, dan persamaan V
Menghitung volume reaktor pada Ca0, k1, k2, dan k3
Menampilkan Ca0, V, k1, k2, dan k3
For end
Menghitung k1,k2, k3, dan V dengan rung kutta orde 3
Menampilkan Ca0, V, k1, k2, dan k3
Selesai
29
C. Listing clc; syms x disp('PERHITUNGAN VOLUME REAKTOR PLUG FLOW'); disp('======================================'); k=input('Masukan nilai k = '); e=input('Masukan nilai Ea = '); f=input('Masukan nilai Fa0 = '); xi=input('Masukan konversi produk = '); x0=input('Masukan nilai Ca0 = '); xa=input('Masukan nilai Ca = '); dx=input('Masukan nilai interval Ca = '); y=input('Masukan rumus volume reaktor = '); V=(f/(k*x0))*(((1+e)*(log(1/(1-xi))))-(e*xi)); disp('Ca
V
k1
k2
k3');
disp('==========================================='); k1=subs(y,x,x0); xk2=x0+((1/2)*dx); k2=subs(y,x,xk2); xk3=x0+dx; k3=subs(y,x,xk3); fprintf('%4.1f%10.4f%10.4f%10.4f%10.4f\n',x0,V,k1,k2,k3); for x0=(x0+dx):dx:xa k1=subs(y,x,x0); xk2=x0+((1/2)*dx); k2=subs(y,x,xk2); xk3=x0+dx; k3=subs(y,x,xk3); x01=x0-dx; k11=subs(y,x,x01); xk12=x01+((1/2)*dx); k12=subs(y,x,xk12); xk13=x01+dx; k13=subs(y,x,xk13); y1=V+((1/6)*(k11+k13+(4*k12))*dx);
30
V=y1; fprintf('%4.1f%10.4f%10.4f%10.4f%10.4f\n',x0,y1,k1,k2,k3); end
31
D. Hasil Run
E. Perhitungan Manual (Terlampir)
32
LAMPIRAN 1. Perhitungan Manual Program Perhitungan Persamaan Polinominal dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 2, 3, dan 4 A. Metode Runge-Kutta Orde 2 (Raltson) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑥𝑥 3 + 10𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 7 𝑑𝑑𝑑𝑑
Dari 𝑥𝑥 = 0 sampai 𝑥𝑥 = 2 dengan ∆𝑥𝑥 = 0,5 dan kondisi awal 𝑦𝑦(0) = 1 Penyelesaian :
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 )
3 3 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 4 4 1 2 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 3 3 𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦0 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆𝑥𝑥
Iterasi 1 :
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(0)3 + 10(0)2 − 5(0) + 7 = 7 3 3 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 4 4 3 3 = 𝑓𝑓 �0 + (0,5); 1 + (7)(0,5)� 4 4
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(0,375 ; 3,625)
= 4(0,375)3 + 10(0,375)2 − 5(0,375) + 7 = 6,7422
Kemiringan rerata adalah :
1 2 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (7) + (6,7422) = 6,8281 3 3 𝑦𝑦0,5 = 𝑦𝑦0 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆𝑥𝑥
𝑦𝑦0,5 = 1 + 6,8281(0,5) = 4,4141
Iterasi 2 : 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(0,5)3 + 10(0,5)2 − 5(0,5) + 7 = 7,5 3 3 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 4 4 3 3 = 𝑓𝑓 �0,5 + (0,5); 4,4141 + (7,5)(0,5)� 4 4
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(0,875 ; 7,2266)
= 4(0,875)3 + 10(0,875)2 − 5(0,875) + 7 = 12,9609 33
Kemiringan rerata adalah : 1 2 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (7,5) + (12,9609) = 10,9609 3 3 𝑦𝑦0,5 = 𝑦𝑦0 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆𝑥𝑥
𝑦𝑦0,5 = 4,4141 + 10,9609(0,5) = 9,9844
Iterasi 3 : 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(1)3 + 10(1)2 − 5(1) + 7 = 16 3 3 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 4 4 3 3 = 𝑓𝑓 �1 + (0,5); 9,9844 + (16)(0,5)� 4 4
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,375 ; 12,7969)
= 4(1,375)3 + 10(1,375)2 − 5(1,375) + 7 = 29,4296
Kemiringan rerata adalah :
1 2 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (16) + (29,4296) = 24,953 3 3 𝑦𝑦0,5 = 𝑦𝑦0 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆𝑥𝑥
𝑦𝑦0,5 = 9,9844 + 24,953(0,5) = 22,4609
Iterasi 4 : 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(1,5)3 + 10(1,5)2 − 5(1,5) + 7 = 35,5 3 3 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 4 4 3 3 = 𝑓𝑓 �1,5 + (0,5) ; 22,2609 + (35,5)(0,5)� 4 4
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,875 ; 49,3859)
= 4(1,875)3 + 10(1,875)2 − 5(1,875) + 7 = 59,1484
Kemiringan rerata adalah :
1 2 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (35,5) + (59,1484) = 51,2656 3 3 𝑦𝑦0,5 = 𝑦𝑦0 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 ∆𝑥𝑥
𝑦𝑦0,5 = 22,2609 + 51,2656(0,5) = 48,0938
34
Sehingga pada Metode Runge-Kutta Orde 2 didapatkan hasil sebagai berikut : Iterasi
x
y
k1
k2
1
0
1
7
6,7422
2
0,5
4,4141
7,5
12,9609
3
1
9,9844
16
29,4297
4
1,5
22,4609
35,5
59,1484
5
2
48,0938
35
B. Metode Runge-Kutta Orde 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑥𝑥 3 + 10𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 7 𝑑𝑑𝑑𝑑
Dari 𝑥𝑥 = 0 sampai 𝑥𝑥 = 2 dengan ∆𝑥𝑥 = 0,5 dan kondisi awal 𝑦𝑦(0) = 1 Penyelesaian :
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) 𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥) 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 +
Iterasi 1 :
1 (𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘3 )∆𝑥𝑥 6 1
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(0)3 + 10(0)2 − 5(0) + 7 = 7 1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �0 + (0,5); 1 + (7)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(0,25 ; 2,75)
= 4(0,25)3 + 10(0,25)2 − 5(0,25) + 7 = 6,4375
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�0 + (0,5) ; 1 − 7(0,5) + 2(6,4375)(0,5)� = 𝑓𝑓(0,5 ; 3,9375)
= 4(0,5)3 + 10(0,5)2 − 5(0,5) + 7 = 7,5
𝑦𝑦0,5 = 1 + Iterasi 2 :
1 (7 + 4(6,4375) + 7,5)(0,5) = 4,3542 6
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(0,5)3 + 10(0,5)2 − 5(0,5) + 7 = 7,5 1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �0,5 + (0,5); 4,3542 + (7)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(0,75 ; 6,2292)
= 4(0,75)3 + 10(0,75)2 − 5(0,75) + 7 = 10,5625
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�0,5 + (0,5) ; 4,3542 − 7,5(0,5) + 2(10,5625)(0,5)� = 𝑓𝑓(1 ; 11,1667)
36
= 4(1)3 + 10(1)2 − 5(1) + 7 = 16
𝑦𝑦1 = 1 + Iterasi 3 :
1 (7,5 + 4(10,5625) + 16)(0,5) = 9,8333 6
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(1)3 + 10(1)2 − 5(1) + 7 = 16 1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �1 + (0,5); 9,8333 + (16)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,25 ; 13,8333)
= 4(1,25)3 + 10(1,25)2 − 5(1,25) + 7 = 24,1875
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�1 + (0,5) ; 9,8333 − 16(0,5) + 2(24,1875)(0,5)� = 𝑓𝑓(1,5 ; 26,0208)
= 4(1,5)3 + 10(1,5)2 − 5(1,5) + 7 = 35,5
1 (16 + 4(24,1875) + 35,5)(0,5) = 22,1875 6
𝑦𝑦1,5 = 9,8333 + Iterasi 4 :
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(1,5)3 + 10(1,5)2 − 5(1,5) + 7 = 35,5 1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �1,5 + (0,5); 22,1875 + (35,5)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,75 ; 31,0625)
= 4(1,75)3 + 10(1,75)2 − 5(1,75) + 7 = 50,3125
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�1,5 + (0,5) ; 22,1875 − 35,5(0,5) + 2(50,3125)(0,5)� = 𝑓𝑓(2 ; 54,75)
= 4(2)3 + 10(2)2 − 5(2) + 7 = 69
𝑦𝑦2 = 22,1875 +
1 (35,5 + 4(50,3125) + 69)(0,5) = 47,6667 6
37
Sehingga pada Metode Runge-Kutta Orde 3 didapatkan hasil sebagai berikut : Iterasi
X
y
k1
k2
k3
1
0
1
7
6,4375
7,5
2
0,5
4,3542
7,5
10,5625
16
3
1
9,8333
16
24,1875
35,5
4
1,5
22,1875
35,5
50,3125
69
5
2
47,6667
38
C. Metode Runge-Kutta Orde 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑥𝑥 3 + 10𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 7 𝑑𝑑𝑑𝑑
Dari 𝑥𝑥 = 0 sampai 𝑥𝑥 = 2 dengan ∆𝑥𝑥 = 0,5 dan kondisi awal 𝑦𝑦(0) = 1 Penyelesaian :
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 )
1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥) 2 2 𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘3 ∆𝑥𝑥) 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 +
Iterasi 1 :
1 (𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘3 + 𝑘𝑘4 )∆𝑥𝑥 6 1
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(0)3 + 10(0)2 − 5(0) + 7 = 7 1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �0 + (0,5); 1 + (7)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(0,25 ; 2,75)
= 4(0,25)3 + 10(0,25)2 − 5(0,25) + 7 = 6,4375
1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �0 + (0,5); 1 + (6,4375)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(0,25 ; 2,6093)
= 4(0,25)3 + 10(0,25)2 − 5(0,25) + 7 = 6,4375
𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘3 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�0 + (0,5) ; 1 − (6,4375)(0,5)� = 𝑓𝑓(0,5 ; 3,9375)
= 4(0,5)3 + 10(0,5)2 − 5(0,5) + 7 = 7,5
𝑦𝑦0,5 = 1 + Iterasi 2 :
1 (7 + 2(6,4375) + 2(6,4375) + 7,5)(0,5) = 4,3542 6
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(0,5)3 + 10(0,5)2 − 5(0,5) + 7 = 7,5 𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2
39
= 𝑓𝑓 �0,5 +
1 1 (0,5); 4,3542 + (7)(0,5)� 2 2
= 𝑓𝑓(0,75 ; 6,1042)
= 4(0,75)3 + 10(0,75)2 − 5(0,75) + 7 = 10.5625
1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �0,5 + (0,5); 4,3542 + (10.5625)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(0,75 ; 6,9948)
= 4(0,75)3 + 10(0,75)2 − 5(0,75) + 7 = 10.5625
𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘3 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�0,5 + (0,5) ; 4,3542 − (10.5625)(0,5)� = 𝑓𝑓(1 ; 9,6354)
= 4(1)3 + 10(1)2 − 5(1) + 7 = 16
𝑦𝑦1 = 4,3542 + Iterasi 3 :
1 (7 + 2(10.5625) + 2(10.5625) + 16)(0,5) = 9,8333 6
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(1)3 + 10(1)2 − 5(1) + 7 = 16 1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �1 + (0,5); 9,8333 + (16)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,25 ; 13,8333)
= 4(1,25)3 + 10(1,25)2 − 5(1,25) + 7 = 24,1875
1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �1 + (0,5); 9,8333 + (24,1875)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,25 ; 15,8801)
= 4(1,25)3 + 10(1,25)2 − 5(1,25) + 7 = 24,1875
𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘3 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�1 + (0,5) ; 9,8333 − (24,1875)(0,5)� = 𝑓𝑓(1,5 ; 21,9270)
= 4(1,5)3 + 10(1,5)2 − 5(1,5) + 7 = 35.5
𝑦𝑦1,5 = 9,8333 +
1 (16 + 2(24,1875) + 2(24,1875) + 35.5)(0,5) = 22,1875 6 40
Iterasi 4 : 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖 ) = 4(1,5)3 + 10(1,5)2 − 5(1,5) + 7 = 35.5 1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �1,5 + (0,5); 22,1875 + (35,5)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,75 ; 31,0625)
= 4(1,75)3 + 10(1,75)2 − 5(1,75) + 7 = 50,3125
1 1 ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 + 𝑘𝑘2 ∆𝑥𝑥) 2 2 1 1 = 𝑓𝑓 �1,5 + (0,5); 22,1875 + (50,3125)(0,5)� 2 2
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 +
= 𝑓𝑓(1,75 ; 34,7656)
= 4(1,75)3 + 10(1,75)2 − 5(1,75) + 7 = 50,3125
𝑘𝑘4 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 + ∆𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑘𝑘3 ∆𝑥𝑥)
= 𝑓𝑓�1,5 + (0,5) ; 22,1875 − (50,3125)(0,5)� = 𝑓𝑓(2 ; 47,3437)
= 4(2)3 + 10(2)2 − 5(2) + 7 = 69
𝑦𝑦1,5 = 22,1875 +
1 (35.5 + 2(50,3125) + 2(50,3125) + 69)(0,5) = 47,6667 6
Sehingga pada Metode Runge-Kutta Orde 4 didapatkan hasil sebagai berikut : Iterasi
x
Y
k1
k2
k3
k4
1
0
1
7
6,4375
6,4375
7,5
2
0,5
4,3542
7,5
10,5625
10,5625
16
3
1
9,8333
16
24,1875
24,1875
35,5
4
1,5
22,1875
35,5
50,3125
50,3125
69
5
2
47,6667
41
2. Perhitungan Volume Reaktor Plug Flow dengan Metode Rung Kutta Orde 3 a. Menghitung volume reactor pada Ca0 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 1 �(1 + εA) ln − εA XA� k 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 1 − 𝑋𝑋𝑋𝑋 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 120 1 ℎ𝑟𝑟 𝑉𝑉 = ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 1 − 0,9 �24 � 𝐿𝐿 ℎ𝑟𝑟 𝑉𝑉 =
𝑉𝑉 = 34,527 L
b. Menghitung volume reactor dengan metode rung kutta orde 3 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 1 = 𝑉𝑉 = �(1 + εA) ln − εA XA� 𝑑𝑑𝑑𝑑 k (𝑥𝑥) 1 − 𝑋𝑋𝑋𝑋 1 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦0 + (𝑘𝑘1 + 4𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘3 )∆𝑥𝑥 6
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 )
1 1 𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓 ��𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥� , �𝑦𝑦0 + 𝑘𝑘1 ∆𝑥𝑥�� 2 2
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓�(𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥), (𝑦𝑦0 − ∆𝑥𝑥𝑘𝑘1 + 2∆𝑥𝑥𝑘𝑘2 )�
1. Untuk iterasi pertama
𝑥𝑥0 = 24 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦0 = 34,527 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(24, 34,527) 𝑘𝑘1 =
1 120 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (24) 1 − 0,9
𝑘𝑘1 = 34,527
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(22, −34,527)
𝑘𝑘2 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (22) 1 − 0,9
𝑘𝑘2 = 37,665
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(20, −128,692) 𝑘𝑘3 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (20) 1 − 0,9
𝑘𝑘3 = 41,432
1 𝑦𝑦1 = 34,527 + (34,527 + (4 𝑥𝑥 37,665) + 41,4324)(−4) 6
𝑦𝑦1 = −116,555
2. Untuk iterasi kedua
𝑥𝑥0 = 20 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦0 = −116,555 42
𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(20, −116,555) 𝑘𝑘1 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (20) 1 − 0,9
𝑘𝑘1 = 41,432
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(18, −199,42)
𝑘𝑘2 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (18) 1 − 0,9
𝑘𝑘2 = 46,036
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(16, −319,114) 𝑘𝑘3 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (16) 1 − 0,9
𝑘𝑘3 = 51,790
1 𝑦𝑦1 = −116,555 + (41,432 + (4 𝑥𝑥 46,036) + 51,790)(−4) 6 𝑦𝑦1 = −301,466
3. Untuk iterasi ketiga
𝑥𝑥0 = 16 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦0 = −391,466 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(16, −391,466) 𝑘𝑘1 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (16) 1 − 0,9
𝑘𝑘1 = 51,79
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(14, −405,048) 𝑘𝑘2 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (14) 1 − 0,9
𝑘𝑘2 = 59,189
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(12, −567,818) 𝑘𝑘3 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (12) 1 − 0,9
𝑘𝑘3 = 69,054
1 𝑦𝑦1 = −301,466 + (51,79 + (4 𝑥𝑥 59,189) + 69,054)(−4) 6 𝑦𝑦1 = −549,868
4. Untuk iterasi keempat
𝑥𝑥0 = 12 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦0 = −539,868 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(12, −539,868)
43
𝑘𝑘1 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (12) 1 − 0,9
𝑘𝑘1 = 69,054
𝑘𝑘2 = 𝑓𝑓(10, −677,976)
𝑘𝑘2 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (10) 1 − 0,9
𝑘𝑘2 = 82,864
𝑘𝑘3 = 𝑓𝑓(8, −926.57) 𝑘𝑘3 =
120 1 ��(1 + 0,82) ln � � � − (0,82 x 0,9) � 0,5 (8) 1 − 0,9
𝑘𝑘3 = 103,581
1 𝑦𝑦1 = −875,931 + (69,054 + (4 𝑥𝑥 82,864) + 103,581)(−4) 6 𝑦𝑦1 = −1451,38 x=Ca0
y=V
k1
k2
k3
24
34,527
34,527
37,665
41,432
20
-166,555
41,432
46,036
51,79
16
-301,466
51,79
59,189
69,054
12
-539,868
69,054
82,864
103,581
8
-875,931
103,581
138,108
207,162
4
-1451,38
207,162
414,324
0
44
