Determinan Matriks [PDF]

Citation preview

Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan



• Pendahuluan determinan matriks • Determinan dengan OBE • Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi Determinan  Solusi SPL  Optimasi  Model Ekonomi  dan lain-lain.



pendahuluan



Misalkan A adalah matriks persegi n x n, Determinan A dapat diperoleh melalui: • OBE • Perluasan kofaktor Notasi determinan dari matriks A : Det(A) or |A| Det(A) ≠ 0 jika dan hanya jika matriks A memiliki invers.



Contoh :



 a11  Tentukan Determinan matriks A   a21  a  31



a12 a22 a32



a13   a23  a33 



Jawab : Det(A3x3) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 atau



a11 A  a21



a12 a22



a13 a23



a11 a21



a12 a22



a31



a32



a33



a31



a23



Contoh :



2  1  3   B  1 1 0   Tentukan determinan matriks  2 2 1   



Jawab :



2 3 2 1 3 det  B   1 1 0 1 1 2 2 1 2 2  (3)(1)(1)  (2)(0)(2)  (1)(1)(2)  (1)(1)(2)  (3)(0)(2)  (2)(1)(1)



 3 0 2 202 1



Menghitung Determinan dengan OBE Dengan mudah… Perhatikan :  1 2 Karena hasil kali elementer bertanda a. det    3  0 3 selain unsur diagonal adalah nol   b.



c.



1 2 3 0 4 5  24 0 0 6  1 0 0   det  4 5 0   45  7 8 9  



Det(A) = Hasil kali unsur diagonal?



Hitung Det. Matriks Bukan Segitiga???



Perlu OBE untuk menentukan determinan suatu matriks yang bukan segitiga. Caranya : Matriks persegi ~ OBE ~ matriks segitiga Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan suatu matriks, yaitu : 1.



Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris, maka Det (B) = – Det (A) Contoh : sehingga







1



 1



1



A  



2



  1 1  B    2 1







A 3 1 B  2



1  3   A 1



2.



Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k, maka Det (B) = k Det (A) Contoh : 



2  1



A  



1  1



dan B   2 1    2 2



A 3











makaB  2



OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah 2b2



2 1  2 2 2 1



1 2A 6 1



3. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain, maka Det (B) = Det (A) Contoh 3 :



 1 3   A    2  6



A  12



Perhatikan 1 3 1 3  0  12 2 6



 - 12



OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2



Contoh 3 :



 2 1 0   Tentukan determinan matriks A   1 2 1   0 1 2   Jawab : 2 1 0



A 1 0



2 1



1 2



1  2



2 1



1 0



0



1



2



b1 ↔ b 2



1 A  0



2



1



-3 -2



0



1



2



1



2



1



0



1



2



0



-3



-2



1



2



1



 0 0



1 0



2 4







= 4



-2b1 + b2



b2 ↔ b 3



3b2 + b3



(hasil perkalian semua unsur diagonalnya)



Determinan dengan ekspansi kofaktor  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2 n 



Misalkan A 



:



: 



:







 a a ... a  nn   n1 n 2



Beberapa definisi yang perlu diketahui : •



Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A. 2 1 0 



Contoh : A   1  0 



2 1



1  2 







maka M13 



1 2 0 1



1



Matriks Cij dinamakan kofaktor - ij, yaitu (-1)i+j Mij Contoh :



 2 1 0   A 1 2 1   0 1 2  



maka C21    1 21



= (– 1)3 .2 =–2



1 1



0 2



Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin • Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj  2 1 0    Contoh 6 : A 1 2 1   0 1 2  Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor  



Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3 2 1 0



A 1



2



1



0



1



2



3



det( A) 



 a3 j c3 j j 1



= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 2 0 2 3 3  0  1 (1) 3 2  2 (1) 1 1 1 =0–2+6 =4



1 2



Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3 2



1



0



A 1



2



1



0



1



2



3



det( A)   ai 3ci 3 i 1



= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 2 1 2 3 3  0  1 (1) 23  2 (1) 0 1 1 =0–2+6 =4



1 2



Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka C 



 C11   C21   C  n2 



C12  C1n   C22  C1n      Cn 2  Cnn 



dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A). adj ( A)  C T



 C11 C21    C12 C22     C  1n C2 n



T



 Cn1    Cn1     Cnn 







Misalkan A adalah matriks persegi, beberapa sifat determinan matriks adalah : 1. Jika A memiliki invers, maka A1 



1 adj ( A) det( A)



2. A memiliki invers jika dan hanya jika det (A)  0. 3. det (A) = det (At) 4. det (A) det (B) = det (AB) 1 5. Jika A memiliki invers, maka



det( A1 ) 



det( A)



Contoh :



 1 0 1   Diketahui A   1 - 1 0   0 2 1  



Tentukan matriks adjoin A dan A-1 Jawab : Perhatikan bahwa c11  (1)



11



1 0  1 2 1



c12  (1)



1 2



1 1 0 1 3 1 c  (  1 ) 2  1 13 0 2 0 1



c21  2, c22  1, c23  2, c31  1, c32  1, dan c33  1.



 -1  Matriks kofaktor dari A : C   2  1 



2   -2 - 1 



-1 1 1



 -1  T Matriks Adjoin dari A : adj ( A)  C   - 1  2 



2 1 -2



1  1 - 1 



det( A)  (1 1)  (0  1)  (1 2)  1



( first row)



 -1 1 1 1 A  Adj ( A)   -1 det( A) 1  2



-1 -1 2



2 1 -2



1 1  -1  







 



2 1 -2



1 1   -1 



Latihan Bab 2 1.



Tentukan determinan matriks dengan OBE dan  3 3 0 5 ekspansi kofaktor  3  2 0   Q   0 1 0   4 4 1  



 2 1 1   P   1 2 1  1 1 2  



2. Diketahui  2 1 :0  







A   3 4 0  0 0 2 dan  



 2 



2  R  4 1 3 0   2 10 3 2   2



0



 1 1 3    B   7 1 2  5 0 1  



Tunjukkan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)



 1 5 k   3. Diketahui : D    1 0 1   3 k 4   Tentukan k jika det (D) = 29 4. Diketahui matriks



 1 0  A 2 1  3 4 



0  0



5 



  det  A t B 



Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. 2 Tentukan nilai x  det 2 A  det  5B 