![Diferensial Vektor [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/diferensial-vektor.jpg)
14 0 497 KB
DIFERENSIASI VEKTOR
Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar
dikaitkan dengan suatu vektor , maka
dinyatakan sebagai fungsi vektor dari
atau
bisa
, yaitu suatu vektor yang
komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar . Dalam
fungsi vektor
biasa ditulis dengan,
Dalam
fungsi vektor
ditulis dengan,
Konsep
fungsi vektor ini dapat diperluas, jika sembarang titik
dikaitkan dengan suatu vektor
, maka
di
dapat dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor sebagai berikut.
Turunan Biasa Definisi Turunan Vektor adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel , didefinisikan turunan dari
sebagai berikut.
Jika limitnya ada.
1
Jika fungsi vektor skalar
,
maka
dengan fungsi –fungsi , dan
dapat dideferensialkan terhadap variabel ,
mempunyai turunan variabel yang dirumuskan sebagai berikut :
Sifat-sifat Turunan Biasa Fungsi Vektor Jika
,
, dan
adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar
diferensiabel dan
yang
sebuah fungsi skalar dari yang diferensiabel, maka :
(1) (2) (3) (4) (5)
(
(6)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)
Bukti : [
(1)
(2)
] [
[
] [
[
]
]
]
[
]
2
[
(3)
] [
[
[
(4)
]
] [
[
(5)
(
]
]
[
]
) )
( (
[
]
(
(6)
]
)
(
)
) ( (
) )
(
)
Contoh 1
3
Jika
, tentukan
Penyelesaian
(
(
))
(
)
(
(
)
)
Contoh 2 Jika
dan di
.
Tentukan
.
Penyelesaian Cara 1
Pada saat
, maka :
Cara 2
[
]
[
]
4
Pada saat
, maka :
Contoh 3 Jika
, tentukan vektor singgung satuan
pada titik
.
Penyelesaian Vektor singgung satuan
|
|
[
| |
]
√
√
√
√
Saat
, maka
√
Contoh 4 Diketahui
, carilah :
(a) (b) (c) | | (d) |
|
Penyelesaian
5
(a) (b)
( ) √
(c) | | (d) |
|
√
√
Contoh 5 Sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah
,
, dan
, dimana
adalah
waktu. (a) Tentukan kecepatan dan percepatannya pada sembarang saat. (b) Carilah besar dari kecepatan dan percepatan pada
.
Penyelesaian (a) Vektor kedudukan Maka kecepatannya Dan percepatannya (b) Pada
Maka : Besar kecepatan Besar percepatan
pada saat pada saat
adalah adalah
√ √
√ √
Contoh 6
6
Jika
dan
, carilah :
(a) (b) (c) Penyelesaian (a)
Atau dengan cara lain, kita cari dulu
, kemudian kita turunkan.
(b) |
|
|
|
[
]
[
]
Atau dengan metode lain, yaitu cari dulu
kemudian turunkan.
(c)
7
Atau dengan cara lain, kita cari dulu
, kemudian turunkan.
Contoh 7 (a) Carilah vektor singgung satuan pada sembarang titik terhadap kurva ,
, dan
.
(b) Tentukan vektor singgung satuan ini pada titik dimana
.
Penyelesaian (a) Vektor singgung
terhadap
kurva
pada
[
]
Vektor ini besarnya | | Maka
sembarang titik
vektor
adalah .
√
singgung
satuan
yang
dikehendaki
adalah
√
Perhatikan bahwa karena | | (b) Pada
⁄
, maka
, vektor singgung satuan adalah
⁄
√
.
Vektor Singgung Satuan
8
Misalkan
adalah
menghubungkan titik pangkal ruang
vektor
dengan sebarang titik
posisi
yang dalam
.
Jika u berubah, maka :
Adalah sebuah vektor yang searah dengan ⃑. Sedangkan,
[
] [
]
Adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada karva ruang di Jika
adalah vektor singgung satuanya, maka :
|
|
Rumus Frenet-Serret
9
Jika kurva oleh kurva ⃑
dalam ruang
adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan
, maka kita telah mengetahui bahwa
yang searah dengan garis singgung pada
adalah sebuah vektor
. Jika skalar
diambil sebagai
panjang busur yang diukur dari suatu titik pada , maka :
Adalah sebuah vektor singgung satuan pada . Laju perubahan
terhadap
adalah ukuran dari kelengkapan
dan
dinyatakan dengan,
Arah dari
pada sebarang titik pada
titik tersebut. Jika maka
adalah normal terhadap kurva pada
adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini,
disebut normal utama pada kurva.
Jadi,
10
Dimana
disebut kelengkungan dari
pada titik yang dispesifikasikan.
Besaran
Vektor satuan
yang tegak lurus pada bidang
dan
sedemikian rupa
sehingga
Disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa
,
, dan
membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada sebarang titik dari . Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektorvektor , , dan
dikenal dengan rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh :
dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi. Besaran
Disebut jari-jari torsi.
11
Contoh 1 Untuk
,
, dan
. Carilah :
(a) Vektor singgung satuan (b) Normal utama , kelengkungan
dan jari-jari kelengkungan
(c) Binormal , torsi dan jari-jari torsi Penyelesaian (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka :
√
| |
√
Jadi, ⁄ ⁄
(b)
(
) ⁄ ⁄
Karena
|
| | |
, maka :
|
|
√(
)
(
)
√ dan Dari
diperoleh : (
) 12
(c)
|
|
⁄ ⁄
Dari
, diperoleh :
dan
13
Soal-soal Latihan
1. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva
,
, dan
pada saat
serta carilah besarnya kecepatan dan percepatan. 2. Jika
dan
Tentukan
pada saat
.
3. Carilah vektor singgung satuan pada saat , dan
.
pada kurva
,
.
14
DAFTAR PUSTAKA
Alamsyah. 2014. Analisis Vektor. Pringsewu : STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung. Noeniek Soemartoyo. 1982. Analisa Vektor. Jakarta : Penerbit Erlangga. Calculus Vector. http://file.upi.edu. Diunduh : 13 April 2015. Diferensial Vektor. http://nurulsyaillah.files.wordpress.com. Diunduh : 13 April 2015. Diferensial Vektor. http://zacoeb.lecture.ub.ac.id. Diunduh : 13 April 2015. Diferensiasi Vektor. http://annymath.files.wordpress.com. Diunduh : 13 April 2015.
15
