Distribusi Pendekatan-1 [PDF]

Citation preview

DISTRIBUSI PENDEKATAN A. PENYELESAIAN DENGAN FUNGSI DISTRIBUSI Misalkan adalah fungsi distribusi dari peubah acak bilangan positif n. Jika



adalah fungsi ditribusi dan



y yang mengakibatkan



kontinu, maka peubah acak



pendekatan dengnan fungsi



yang bergantung pada untuk setiap nilai



dikatakan mempunyai distribusi



.



Dalam hal ini, peubah acak



tersebut hanya dikatakan mempunyai atau tidak



mempunyai distribusi pendekatan. Jika



dikatakan mempunyai distribusi pendekatan, mak



bentuk distribusi pendekatan itu tidak diketahui. Penentuan distribusi pendekatan dengan menggunakan fungsi distribusi dapat dinyatakan sebagai konvergen dalam distribusi. Misalkan



adalah barisan



darinpeubah acak yang didefinisikan atas ruang sampel yang sama S. Misalkan pula Z adalah peubah acak lain yang didefinisikan atas ruang sampel S. Peubah acak



dikatakan



konvergen dalam distribusi ke-Z, jika berikut:



B. PENYELESAIAN DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Misalkan peubah acak mempunyai fungsi distribusi dan fungsi pembangkit momennya M(t;n) ada, untuk –h < t < h, h > 0 dan setiap n. Jika ada fungsi distribusi



dan fungsi pembangkit momennya M(t), untuk | |



sedemikian hingga:



Maka



dikatakan mempunyai distribusi pendekatan dengan fungsi distribusi F(y)



C. PENYELESAIAN DENGAN DALIL LIMIT PUSAT Dalam hal ini, peubah acaknya berupa jumlah dan rata-rata dengan menggunakan transformasi tertentu (angka baku) akan berdistribusi normal baku. Jika menunjukan sampel acak dari distribusi yang mempunyai rerata µ dan , maka peubah acak: ̅



∑ √



√



Keduanya akan berdistribusi N(0;1) Biasanya yang akan diperhatikan dalam soalnya adalah penghitungan peluang dari peubah acak tersebut yang berharga tertentu. D. KONVERGEN STOKASTIK Misalkan merupakan fungsi distribusi dari peubah acak yang distribusinya bergantung pada bilangan positif n. Apabila c menunjukkan sebuah konstanta yang tidak bergantung pada n, maka peubah acak Yn dikatakan konvergen stokastik ke-c jika dan hanya jika untuk setiap > 0 berlaku |



|



Penentuan konvergen stokastik sebuah statistik terhadap parameternya atau konstanta dapat dinyatakan sebagai konvergen dalam peluang. Misalkan adalah barisan dari peubah acak yang didefinisikan atas ruang sampel yang sama S. Misalkan pula Z adalah peubah acak lain yang didefinisikan atas ruang sampel S. Peubah acak setiap > 0 berlaku



dikatakan konvergen dalam peluang ke-Z ( dituli |



Z ), jika untuk



|



Penentuan konvergen stokastik atau konvergen dalam peluang dilakukan dengan bantuan pertidaksamaan Chebycev ssebagai berikut



|



|



|



|



Ada beberapa dalil yang berkaitan dengan konvergen stokastik  Dalil 1 : Misalkan menunjukkan fungsi disttribusi dari peubah acak yang distribusinya bergantung pada bilangan bulat positif n. Jika konvergen stokastik ke- c (c ≠ 0), maka



konvergen stokastik ke-1.



 Dalil 2 : Misalkan menunjukkan fungsi disttribusi dari peubah acak yang distribusinya bergantung pada bilangan bulat positif n. Jika konvergen stokastik ke- c (c ≠ 0) dan untuk setiap n, maka√ konvergen stokastik ke-√ .  Dalil 3: Jika peubah acak dan konvergen stokastik masing-masing ke konstanta c dan d, maka: a. , konvergen stokastik ke konstanta c, d. b.



konvergen stokastik ke konstanta



, dengan d ≠ 0.



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA Misalkan Y menunjukkan rjumlah data pengamatan dari sampel acak berukuran 12 yang berasal dari distribusi dengan fkp berbentuk: f(x) = 1/6; x=1, 2, 3, 4, 5, 6. Hitung secara pendekatan



.



Penyelesaian: Kita menghitung dulu µ=E(X) dan 2 = Var(X) a. µ=E(X) = ∑



∑



b.



Jadi, 2 = Var (x)=(



)



( )



Jadi,



(



( ) ( ) (√



)(√



)



( ) √



( ) (√



)(√



)



)



Soal 1. Misalkan ̅̅̅̅ menunjukkan rata-rata dari sampel acak berukuran n yang berasal dari distribusi N(µ, 2). Apakah ̅̅̅̅ mempunyai distribusi pendekatan? 2. Misalkan merupakan varians dari sampel acak berukuran n yang berasal dari distribusi N



buktikan bahwa konvergen stokastik ke - . 3. Misalkan ̅̅̅̅̅ menunjukkan rerata dari sampel acak berukuran 25 yang berasal ari distribusi dengan fkp berbentuk: { Hitung secara pendekatan P(1,5 < ̅̅̅̅̅ < 1,65) 4. Misalkan ̅ menunjukkan rerata dari sampel acak berukuran 100 yang berasal dari distribusi . Hitung secara pendekatan P(49 < ̅ < 51)