![MATRIKS [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/div-class2qs3tf-truncatedtext-modulewrapperfg1km9p-classtruncatedtext-modulelineclamped85ulhh-style-max-lines5matriks-p-div-q672bb8532207f.jpg)
5 2 615 KB
MATERI MODUL PERTEMUAN 1 A. Pengertian Matriks Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau perdegi panjang dan ditulis dalam kurung biasa atau kurung siku. Contoh :
A=
6 2 0 9
B=
4 5 2 3 0 -4
Komponen-komponen Matriks : 1. Elemen Elemen adalah bilangan-bilangan yang menyusun matriks Contoh : Pada matriks A di atas, elemennya adalah 6, 2, 0, 9. Pada matriks B di atas, elemennya adalah 4, 5, 2, 3, 0, -4. 2. Baris dan Kolom Baris adalah susunan elemen yang ditulis mendatar / horisontal. Kolom adalah susunan elemen yang ditulis menurun / vertikal. Contoh :
A=
6 2
Baris 1
0 9
Baris 2
Kolom 1
Kolom 2
B=
4 5 2
Baris 1
3 0 -4
Baris 2
Kolom Kolom Kolom 1 3 2
Baris 1 kolom 2 pada matriks A ditulis A 1.2 dengan elemen 9. Baris 2 kolom 2 pada matriks B ditulis B2.2 dengan elemen 0. 3. Ordo Ordo adalah banyak baris (m) dan banyak kolom (n). Ordo matriks = m x n Contoh : Matriks A di atas banyak baris 2 dan banyak kolom 2, sehingga ordonya 2x2, ditulis A2x2. 8
Matriks B di atas banyak baris 2 dan banyak kolom 3, sehingga ordonya 2x3, ditulis B2x3. 4. Diagonal Diagonal matriks hanya terdapat pada matriks persegi, yang terdiri dari diagonal utama dan diagonal samping. Contoh :
A=
6 2
Diagonal samping
0 9
Diagonal utama
B. Jenis-jenis Matriks Matriks berdasarkan ukuran dibedakan menjadi : 1. Matriks Baris
C= 2 1 4 2. Matriks Kolom
1 D= 5 2 3. Matriks Persegi
A2x 2 =
6 2 5 9
A3x 3
6 3 2 = 2 4 3 4 2 5
A4 x 4
3 2 = 2 1
6 5 3 2
2 3 5 2
5 2 dan seterusnya. 4 3
a. Matriks Segitiga Atas
A3x 3
6 3 2 = 0 4 3 0 0 5
b. Matriks Segitiga Bawah
3 0 0 A3x 3 = 2 4 0 4 5 2 c. Matriks diagonal
3 0 0 A3x 3 = 0 2 0 0 0 5
9
d. Matriks Identitas
I 2x2 =
1 0 0 1
I 3x 3
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
I 4x4
1 0 0 0 0 1 0 0 = dan seterusnya. 0 0 1 0 0 0 0 1
C. Kesamaan Matriks Kesamaan dua buah matriks adalah jika dua matriks berordo sama dan elemen yang seletak memiliki nilai sama. Perhatikan dua matriks
B=
A=
6 2 5 9
dan
6 2 . Matriks A dan B memiliki ordo sama, yaitu 2x2, dan elemen 5 9
seletaknya sama, maka matriks A dan B memenuhi syarat kesamaan matriks. Jadi jika matriks A =
a b c d
dan B =
e g
f h
maka nilai a = e , b = f , c = g dan d = h .
Kesamaan dua buah matriks dapat digunakan untuk menentukan elemen yang tidak diketahui. Contoh :
A=
2a + 1 3b - 2 7 4 dan B = . Jika A=B, tentukan nilai a, b, dan c! 5 11 5 2c + a
Jawab : 2a + 1 = 7 2a = 7 - 1 2a = 6 6 a= 2 a=3
3b - 2 = 4 3b = 4 + 2 3b = 6 6 b= 3 b=2
2c + a = 11 2a + 3 = 11 2c = 11 - 3 2c = 8 8 2 c=4 c
10
PERTEMUAN 2 A. Tranpose Matriks Tranpose matriks A dilambangkan dengan A’ atau AT. Tranpose matriks adalah mengubah elemen baris menjadi kolom. Contoh :
6 3 2 6 2 4 T Jika matriks B = 2 4 3 maka B = 3 4 2 4 2 5 2 3 5 B. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks yang berordo sama. Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan dengan menjumlah / mengurang elemen yang seletak.
a b c d
e g
f a e b = h c g d
f h
Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks adalah komutatif.
Contoh :
4 3 2 Jika A = 2 1 3
0 3 1 dan B = - 1 2 1 tentukan nilai dari : 2 -3 5 4 0 -2
1) A + B 2) B – A Jawab:
4 + 0 3 + 3 2 +1 4 3 2 0 3 1 4 6 3 1) A + B = 2 1 3 + - 1 2 1 = 2 + (-1) 1 + 2 3 + 1 = 1 3 4 4 0 -2 2 -3 5 4 + 2 0 + (-3) - 2 + 5 6 -3 3 0 3 1 4 3 2 2) B – A = - 1 2 1 - 2 1 3 2 -3 5
4 0 -2
0 - 4 3 - 3 1- 2 = -1 - 2 2 -1 1- 3 2 - 4 - 3 - 0 5 - (-2)
- 4 0 -1 = -3 1 -2 -2 -3 7
11
PERTEMUAN 3 Operasi Perkalian Matriks A. Perkalian Matriks Dengan Suatu Bilangan Perkalian matriks dengan suatu bilangan dioperasikan dengan :
k
a b k.a k .b = c d k .c k .d
Contoh :
4 3 2 Jika A = 2 1 3
tentukan nilai dari 3A dan
4 0 -2
1 A! 2
Jawab :
4 3 2 34 1) 3A = 3 2 1 3 = 32 4 0 -2 34
33 31 30
1 4 2 4 3 2 1 1 1 2) A= = 2 1 3 2 2 2 2 4 0 -2 1 4 2
32 12 9 6 = 6 3 9 33 3 -2 12 0 - 6
1 3 2 1 1 2 1 0 2
3 1 2 2 2 2 1 1 = 1 3 2 2 1 2 0 -2 2
1 3 2 -1
B. Perkalian Matriks Dengan Matriks Perkalian matriks dengan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks Am
x n
dengan matriks Bn x k (jumlah kolom matrik A sama dengan jumlah baris matriks B) dan akan menghasilkan matriks baru Cm x k
a b
e
c d
h i
Ordo 2x2
f
g j
=
ae + bh af + bi ag + bj ce + dh cf + di cg + dj
Ordo 2x3
Harus sama Ordo hasil
12
Contoh :
A=
1 0 1 -1 2 dan B = tentukan hasil dari AxB dan BxA! -4 3 3 0 2
Jawab : 1) AxB = =
1 0 -4 3
1 1 + 0 3 1 -1 + 0 0 1 2 + 0 2 1 -1 2 = 3 0 2 - 4 1 + 3 3 - 4 -1 + 3 0 -4 2 + 3 2
1+ 0 -1+ 0 2 + 0 1 -1 2 = - 4+9 4+ 0 -8+ 6 5 4 -2
2) BxA = tidak dapat dilakukan operasi perkalian dari BxA, karena tidak memenuhi syarat perkalian matriks dengan matriks B 2x3 dan A2x2, jumlah kolom matrik B sama dengan jumlah baris matriks A.
13
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK Pertemuan 1 Nama : … Kelas : … Kompetensi Dasar 3.15 Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks. 4.15 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks
Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti serangkaian kegiatan pembelajaran daring dengan model Blended Learning peserta didik dapat : 1. Siswa dapat mengidentifikasi konsep matriks berdasarkan komponen-komponennya dengan aktif dan santun. 2. Siswa dapat mengidentifikasi jenis-jenis matriks dengan aktif dan santun 3. Siswa dapat mengidentifikasi kesamaan matriks dengan aktif dan santun 4. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan konsep matriks berdasarkan komponen-komponennya dengan aktif dan santun 5. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan jenis-jenis matriks dengan aktif dan santun 6. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kesamaan matriks dengan aktif dan santun Petunjuk Umum 1. Tulis identitas dengan benar. 2. Pastikan kalian telah membaca materi modul dengan teliti. 3. Pastikan kalian telah menyimak video pembalajaran dari guru. 4. Baca, pahami, dan cermati LKPD dengan benar ! 5. Kerjakan pada buku tugas dan diskusikan LKPD melalui grup WA ! 6. Jika ada hal yang belum dipahami silahkan tanyakan kepada guru melalui grup WA.
14
Kerjakan!
-1 1. Diketahui matriks A = a. b. c. d. e. f. g.
3 0
2
4
3 -5 -4 -2
Banyak baris pada matriks A adalah… Banyak kolom pada matriks A adalah… Elemen-elemen baris kedua matriks A adalah… Elemen-elemen kolom ketiga matriks A adalah… A2.2 adalah… A3.1 adalah… Ordo matriks A adalah…
2. Termasuk matriks apakah matriks-matriks berikut? a. termasuk matriks …. Karena …
2 9 8 b. B = 0 8 1 0 0 7 c. B =
1 0 0 1
termasuk matriks …. Karena …
termasuk matriks …. Karena …
3. Coba kalian perhatikan empat buah matriks berikut, manakah matriks yang sama? 1 2 1 2 2 4 1 4 C= 3 4 A= B= D= 3 4 1 3 9 22 5 6 Jawab : Matriks yang sama adalah matriks … dan matriks … Karena … 4. Tentukan x dan y dari
3 3x 3 -9 = 8 -5 2y - 5
Jawab : Menentukan nilai x Perhatikan baris 1 kolom 2 3x = ... ... ... x = ... Menentukan nilai y Perhatikan baris 2 kolom 1 2 y = ... x=
... ... y = ... y=
15
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK Pertemuan 2 Nama : … Kelas : … Kompetensi Dasar 3.15
Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks.
4.15
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks
Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti serangkaian kegiatan pembelajaran daring dengan model Blended Learning peserta didik dapat : 1. Siswa dapat menentukan tranpose matriks dengan responsif 2. Siswa dapat menentukan hasil operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dalam menyelesaikan masalah dengan responsif 3. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan tranpose matriks dengan responsif 4. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dalam menyelesaikan masalah dengan responsif Petunjuk Umum 1. Tulis identitas dengan benar. 2. Pastikan kalian telah membaca materi modul dengan teliti. 3. Pastikan kalian telah menyimak video pembalajaran dari guru. 4. Baca, pahami, dan cermati LKPD dengan benar ! 5. Kerjakan pada buku tugas dan diskusikan LKPD melalui grup WA ! 6. Jika ada hal yang belum dipahami silahkan tanyakan kepada guru melalui grup WA.
16
Kerjakan!
2 -1 3 0
1. PT dari matrik P =
2. Jika A = a. A + B =
3 0 5 1
2 0 1 3
adalah…
2 -1 3 0 3 1 C= 2 4 3 0 5 1 ... + ... ... + ... ... ... ... ... B=
... ... ... ...
+
... ...
... ...
b. A + (B + D) =
... ...
+
=
... + ... ... + ...
=
D=
5 -2 4 0
... ...
... ... ... ... + ... ... ... ...
=
... ... ... + ... ... + ... + ... + ... ... + ... ... ...
=
... ... ... ... + ... ... ... ...
... + ... ... + ... ... + ... ... + ... ... ... = ... ... ... ... ... ... ... ... ... - ... ... - ... = = c. D – A = ... - ... ... - ... ... ... ... ... ... ... =
... ... ... ... ... ... ... ...
d. (A – B) + C =
+
... ... ... ...
... ... ... - ... ... - ... + ... - ... ... - ... ... ... ... ... ... ... = + ... ... ... ... ... + ... ... + ... = ... + ... ... + ... ... ... = ... ... =
e. A + C = tidak dapat dioperasikan, karena …
17
LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK Pertemuan 3 Nama : … Kelas : … Kompetensi Dasar 3.15
Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks.
4.15
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks
Tujuan Pembelajaran Setelah mengikuti serangkaian kegiatan pembelajaran daring dengan model Blended Learning peserta didik dapat : 1. Siswa dapat menentukan hasil operasi perkalian matriks dengan bertanggungjawab dan disiplin 2. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi perkalian matriks dengan bertanggungjawab dan disiplin Petunjuk Umum 1. Tulis identitas dengan benar. 2. Pastikan kalian telah membaca materi modul dengan teliti. 3. Pastikan kalian telah menyimak video pembalajaran dari guru. 4. Baca, pahami, dan cermati LKPD dengan benar ! 5. Kerjakan pada buku tugas dan diskusikan LKPD melalui grup WA ! 6. Jika ada hal yang belum dipahami silahkan tanyakan kepada guru melalui grup WA.
18
Kerjakan!
2 1. Perhatikan matriks A = - 24
3
-4 6 8 1 -1 0 1 ... 2
1 ... 2 1 ... 2
... ... ... 1 1 ... ... ... = ... ... . Nilai dari A = 2 2 ... ... ... 1 . ... .... ... 2 2 3 1 0 0 2 1 4 C 2. A = B= 4 0 1 2 2 -1 1 5
1 ... 2
... ... ...
... ...
= ... ... ...
... ... ... 1 ... . 2 2 1 = 0 0
a) A x B = tidak dapat dioperasikan karena … ... ... ... ... ... ... b) C x A = ... ... ... ... ... ...
+ + + + ... + ... ... + ... ... + ... ... + ... = ... + ... ... + ... ... + ... ... + ... ... ... ... ... = ... ... ... ... =
+ +
+ +
19
RANGKUMAN MATERI PERTEMUAN 1 A. Pengertian Matriks Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau perdegi panjang dan ditulis dalam kurung biasa atau kurung siku. Komponen-komponen Matriks : 1. Elemen 2. Baris dan Kolom 3. Ordo 4. Diagonal B. Jenis-jenis Matriks Matriks berdasarkan ukuran dibedakan menjadi : 1. Matriks Baris 2. Matriks Kolom 3. Matriks Persegi a. Matriks Segitiga Atas b. Matriks Segitiga Bawah c. Matriks diagonal d. Matriks Identitas C. Kesamaan Matriks Kesamaan dua buah matriks adalah jika dua matriks berordo sama dan elemen yang seletak memiliki nilai sama. Kesamaan dua buah matriks dapat digunakan untuk menentukan elemen yang tidak diketahui.
PERTEMUAN 2 A. Tranpose Matriks Tranpose matriks A dilambangkan dengan A’ atau AT. Tranpose matriks adalah mengubah elemen baris menjadi kolom.
20
B. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks yang berordo sama. Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan dengan menjumlah / mengurang elemen yang seletak. Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks adalah komutatif.
PERTEMUAN 3 Operasi Perkalian Matriks A. Perkalian Matriks Dengan Suatu Bilangan Perkalian matriks dengan suatu bilangan dioperasikan dengan :
k
a b k.a k .b = c d k .c k .d
B. Perkalian Matriks Dengan Matriks Perkalian matriks dengan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks Am
x n
dengan matriks Bn x k (jumlah kolom matrik A sama dengan jumlah baris matriks B) dan akan menghasilkan matriks baru Cm x k
21
LATIHAN SOAL Pertemuan 1 Petunjuk Umum 1. Tulis identitas dengan benar. 2. Pastikan kalian telah menyelesaikan Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) dengan lengkap dan teliti. 3. Baca, pahami, dan cermati pertanyaan dengan benar ! 4. Kerjakan pada buku tugas dan diskusikan melalui grup WA ! 5. Jika ada hal yang belum dipahami silahkan tanyakan kepada guru melalui grup WA. Kerkajan Soal Berikut Dengan Teliti!
1 -1 2 4 5 2 5 3 1. Diketahui P = 0 3 1 0 -1 3 5 Tentukan : a. elemen-elemen baris ke-2 b. elemen-elemen kolom ke-4 c. elemen baris ke-1 kolom ke-3 d. elemen baris ke-3 kolom ke-5
e. ordo P f. P2.3 g. P1.2 h. P3.5
2. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?
1 2 a. A = 0 1
3 b. B = - 1 0 2
0 0
4 0 0
c. C = - 1 3 0
d. D = 0 4 0
4
3 3
0 0 4
3. Tentukan x dan y dari : 3 3x 3 -9 a. = 8 -5 2y - 5 b. c.
-4
2x 1 x 2 0
- 4 2y - x y +1 = 3 x-5 3 1 y+3
=
4 1 0 x
22
LATIHAN SOAL Pertemuan 2 Petunjuk Umum 1. Tulis identitas dengan benar. 2. Pastikan kalian telah menyelesaikan Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) dengan lengkap dan teliti. 3. Baca, pahami, dan cermati pertanyaan dengan benar ! 4. Kerjakan pada buku tugas dan diskusikan melalui grup WA ! 5. Jika ada hal yang belum dipahami silahkan tanyakan kepada guru melalui grup WA. Kerkajan Soal Berikut Dengan Teliti! 1. Tentukan tranpose dari matriks berikut :
4
2 1
a. B = 5
0 3
-1 2 5 b. A = c. B =
3 4 -1 2 -3 2 0
5
2. Jika matriks A =
dan B =
. Tentukan operasi dari :
a. A + B b. A + A c. A - B d. Jika Matriks C = B – A , tentukan matriks C ! e. Tentukan CT pada soal 2d !
23
LATIHAN SOAL Pertemuan 3 Petunjuk Umum 1. Tulis identitas dengan benar. 2. Pastikan kalian telah menyelesaikan Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) dengan lengkap dan teliti. 3. Baca, pahami, dan cermati pertanyaan dengan benar ! 4. Kerjakan pada buku tugas dan diskusikan melalui grup WA ! 5. Jika ada hal yang belum dipahami silahkan tanyakan kepada guru melalui grup WA. Kerkajan Soal Berikut Dengan Teliti! 1. Diketahui matriks P =
Q=
R=
-3 2 0 5
Tentukan operasi perkalian dari ; a. 2P b.
1 Q 3
c. P x R d. R x P e. Q x R f. R x Q g. P x Q h. R x R
24
