117 20 30 MB
Turkish Pages 264 Year 2017
YGS-LYS ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI Copyright© Bu kitabın her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır.
Baskı-Cilt Özyurt Matbaacılık - Ankara
İletişim Ekstremum Yayınları 1513. Cad. No: 32 İvogsan - Yenimahalle / Ankara Tel: 0312 341 80 62-63 Faks: 0312 384 52 03 [email protected] www.ekstremum.com
ek t r em u m
ÖNSÖZ
Sevgili Öğrenciler,
Son yıllarda ÖSYM, merkezi sınavlarda bilhassa Matematik ve Geometri derslerinde ezbere dayalı sorular
sormak yerine öğrencilerin konuları ne denli kavradığını ölçücü sorular sormaya başladı. Artık sorular birkaç konuyu kapsayan ve öğrencinin mutlaka yorum yapmasını gerektiren tarzda sorulmaktadır. Bu yüzden, yüksek hedefleri olan öğrencilerin konuları ayrıntılı bir şekilde öğrenmeleri ve sıradan sorular yerine "Orijinal" sorular içeren kaynaklardaki soruları çözmeleri gerekmektedir. Bu amaçla EKSTREMUM Yayınları olarak, Geometrinin çok önemli bir bölümünü oluşturan Analitik Geometri konularını kapsayan bu kitabı hazırladık. Bu kitapta her konuyu en ince ayrıntısına kadar inceleyen çözümlü örneklere ağırlık verdik. ÖSYM'nin farklı sınavlarda sormuş olduğu sorular baz alınarak öğrencinin karşılaşması muhtemel olan tüm soru tiplerine yer vermeye çalıştık.
Güzel bir gelecek için iyi bir eğitimin şart olduğu günümüzde, gireceğiniz sınavların önemi çok büyüktür. Bizler
de sınavlardaki başarınızın artmasını sağlayacak bu kitabı sizlere ulaştırmanın mutluluğunu yaşıyoruz.
Tüm hayallerinizi gerçekleştirmeniz dileğiyle...
Bu kitabın çıkmasında desteklerini esirgemeyen Hakan BAKIRCI, İlhami EROL, Selçuk SAĞBAŞ, Ayla SAYDAM
hocalarımıza teşekkür ederiz.
Bu kitapla ilgili her türlü önerilerinizi eleştirilerinizi ve katkılarınızı bize ulaştırmanız dileğiyle... EKSTREMUM YAYINLARI [email protected]
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1
DOĞRU ANALİTİĞİ VE DÖNÜŞÜMLER Koordinat (Sayı) Doğrusu ...................................................................................... 7 Nokta Analitiği ........................................................................................................ 9 Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğim .......................................................................... 25 İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ................................................................... 34 Eşitsizlik Grafikleri ................................................................................................. 46 Grafik Okuma ........................................................................................................ 48 Dönüşümler ........................................................................................................... 59 UYGULAMA TESTLERİ ........................................................................................ 87
BÖLÜM 2
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Çemberin Standart Denklemi ............................................................................... 103 Çemberin Genel Denklemi ................................................................................... 118 Teğet ve Normal Denklemleri ............................................................................... 136 UYGULAMA TESTLERİ ....................................................................................... 149
BÖLÜM 3
KONİKLER Parabol ................................................................................................................ 167 Elips ..................................................................................................................... 175 Hiperbol ............................................................................................................... 187 UYGULAMA TESTLERİ ....................................................................................... 197
BÖLÜM 4
DÜZLEMDE VEKTÖRLER Vektör Kavramı .................................................................................................... 211 Vektörlerde İç (Skaler) Çarpım ............................................................................ 220 Bir Doğrunun Vektörel Denklemi ......................................................................... 232 UYGULAMA TESTLERİ ....................................................................................... 237
BÖLÜM 5
ANALİZ TESTLERİ ANALİZ TESTLERİ .............................................................................................. 249
DOĞRU ANALİTİĞİ ve DÖNÜŞÜMLER A) Nokta Analitiği B) Eğim ve Doğru Denklemleri C) İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları D) Doğru Demeti E) Eşitsizlik Grafikleri F) Grafik Okuma G) Dönüşümler (Öteleme, Dönme, Yansıma)
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
Koordinat (Sayı) Doğrusu
Gerçek sayılar doğrusunda A(– 2), B(8) ve C(x) noktaları için ×AC× = ×BC× olduğuna göre, x Î IR sayısını bulunuz.
Bir doğru kümesi ile IR gerçek sayılar kümesi;
ÇÖZÜM
• Doğrunun her noktasına bir gerçek sayı • Her gerçek sayıya doğrunun bir noktası gelecek
1. yol
şekilde bire bir eşlenebilir. (Cetvel aksiyomu)
×AC× = ×x – (– 2)× = ×x + 2×
Buna göre, bir P noktası x Î IR sayısı ile eşlenirse
×BC× = ×x – 8× olduğundan
“P noktasının koordinatı x dir.” denir ve P(x) olarak
×AC× = ×BC× ´ ×x + 2× = ×x – 8×
gösterilir.
x = 3 bulunur.
Sayı doğrusu üzerindeki P(x) ve Q(y) noktaları
2. yol
arasındaki uzaklık |PQ| ile gösterilir ve |PQ| = |x – y| olur.
C(x) noktası [AB] doğru parçasının orta noktası oldu-
NOT A(a), B(b) ve C(c) noktaları verilsin.
ek tremum
ğundan,
–2+8 = 3 bulunur. 2
ÖRNEK 2
[AB] doğru parçasının orta noktası C(c) ise; c=
x=
a+b olur. 2
A, B ve C noktaları doğrusal olmak üzere olduğuna göre, x kaçtır?
×AC×
×AB×
ÇÖZÜM A(– 1), B(5) ve C(x) için, 1. yol ×AC× = ×x – (– 1)× = ×x + 1× ×AB× = ×5 – (– 1)× = 6
×AC× ×AB×
=
×x + 1× 6
=
4 3
×x + 1× = 8 x = 7 ve x = – 9 x > 5 olduğundan x = 7 olur. Analitik Geometri
7
=
4 3
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 2. yol ×AC×
4 ´ ×AC× = 4k, ×AB× = 3k olsun. 3
=
×AB×
KAVRAMA TESTİ
1. Gerçek sayılar doğrusunda A(– 4), B(1) ve C(x) noktaları veriliyor.
×AB× = ×AC× olduğuna göre, x in alabileceği
değerler toplamı kaçtır?
Koordinatlardaki artış miktarlarını oranlarsak,
3k birimde
6 artarsa
4k birimde
a artar
Doğru orantı
a = 8 ve c = – 1 + 8 = 7 bulunur.
A) – 9
ÖRNEK 3
7 ve C Ï [AB] şartlarını sağlayan C nok5
=
D) – 6
E) – 5
tasının koordinatı x kaçtır?
C(12 – 2x) noktaları veriliyor.
ek tremum
taları veriliyor. ×AC×
C) – 7
2. Gerçek sayılar doğrusunda A(x), B(– x + 2) ve
Gerçek sayılar doğrusunda A(– 4), B(6) ve C(x) nok-
×AB×
B) – 8
A Î [BC] olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ÇÖZÜM C Ï [AB] olduğundan C noktası [AB] doğru parçasının dışındadır. ×AC× ×AB×
=
7 > 1 olduğundan C noktası B noktasına 5
daha yakındır. O halde ilgili şekil çizilirse;
3. Gerçek sayılar doğrusunda A(– 5), B(7) ve C(x) noktaları veriliyor. ×AC×
elde edilir. x değerini koordinatlardaki artış miktarlarından bulalım.
5k birimde
10 artarsa
7k birimde
a artar
Doğru orantı
a = 14 ve x = – 4 + 14 = 10 bulunur.
×BC×
ğerler toplamı kaçtır? A) 4
1) B 8
= 3 olduğuna göre, x in alabileceği de-
B) 9
C) 13
2) D
D) 15
E) 17
3) E Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Dik Koordinat Sistemi
gede olduğuna göre kaç farklı m tam sayısı vardır?
I. bölgede ise x > 0, y > 0
ÇÖZÜM
II. bölgede ise x < 0, y > 0
Analitik düzlemde A(m – 6, 2m + 4) noktası II. böl-
P(x, y) noktası
III. bölgede ise x < 0, y < 0
A(m – 6, 2m + 4) noktası II. bölgede olduğuna göre,
IV. bölgede ise x > 0, y < 0
m – 6 < 0, 2m + 4 > 0
m < 6 ve m > – 2
Bu şartları sağlayan 6 – (– 2) – 1 = 7 tam sayı vardır. B. İki Nokta Arasındaki Uzaklık
ÖRNEK 2
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık,
veriliyor.
×AC× = ×BC× şartını sağlayan,
a) y ekseni üzerindeki C noktasının kooordinatlarını,
×AB× = ŒŸ(x2 – x1) + (y2 – y1) 2
2
ek tremum
Analitik düzlemde A(5, 3), B(– 1, 1) ve C(x, y) noktaları
b) C(x, y) noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM a) C(x, y) noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, x = 0 olur.
P(a, b) noktasının orijine
(O(0, 0)) uzaklığı
×OP× = ŒŸa2 + b2
C. Bir Doğru Parçasının Orta Noktası
C (
x1 + x2 2
,
y1 + y2 2
Analitik Geometri
) dir.
×BC× = ŒŸ(0 + 1)2 + (y – 1)2 ve ×AC× = ×BC× olduğuna göre,
2 2 2 2 ŒŸ5 + (y – 3) = ŒŸ1 + (y – 1)
25 + y2 – 6y + 9 = 1 + y2 – 2y + 1
4y = 32, y = 8 ve C(0, 8) olur.
2 2 2 2 ŒŸ(x – 5) + (y – 3) = ŒŸ(x + 1) + (y – 1)
A(x1, y1) ve B(x2, y2) olmak üzere [AB] doğru par-
çasının orta noktası,
×AC× = ŒŸ(0 – 5)2 + (y – 3)2
b) A(5, 3), B(– 1, 1) ve C(x, y) için ×AC× = ×BC×
A(5, 3), B(– 1, 1) ve C(0, y) noktaları için
x2 – 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = x2 + 2x + 1 + y2 – 2y + 1
12x + 4y – 32 = 0
3x + y – 8 = 0 elde edilir.
NOT Bu bulduğumuz denklem [AB] doğru parçasının
orta dikme doğrusunun denklemidir.
9
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ
Analitik düzlemde A(2m – 4, m + 1) noktaları eksen-
1. Analitik düzlemde A(ab, a2b) noktası IV. bölge-
lerden eşit uzaklıkta olduğuna göre, bu şartı sağlayan
de olduğuna göre, B(a + b, ab) noktası hangi
A noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
bölgededir?
ÇÖZÜM
A) I
Bir P(x, y) noktasının eksenlere uzaklıkları ×x× ve ×y× dir.
B) II
C) III
D) IV
E) x ekseni üzerinde
O halde A(2m – 4, m + 1) noktası için ×2m – 4× = ×m + 1× olur. Buradan;
2m – 4 = m + 1 veya 2m – 4 = – (m + 1) m = 5 veya m = 1 ve A1(6, 6) ve A2(– 2, 2) olur. O halde
×A1A2× = ŒŸ(6 – (– 2)2) + (6 – 2)2 = 4ñ5 br bulunur.
ÖRNEK 4
2. Analitik düzlemde x ekseni üzerinde olup A(7, – 6)
Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 1, 2), B(0, 1)
ve B(3, 4) noktalarından eşit uzaklıkta olan nok-
ve C(6, – 3) noktaları olan ABC üçgeninde [BC]
ÇÖZÜM
tanın apsisi kaçtır?
ek tremum
kenarına ait kenarortayın uzunluğunu bulunuz.
A) 6
B)
13 2
C) 7
D)
15 2
E) 8
Önce D(x, y) noktasını bulalım. D(x, y) = D (
0 + 6 – 3 + 1 , ) ´ D(3, – 1) ve 2 2
×AD× = ŒŸ(3 + 1)2 + (2 + 1)2 = 5 br bulunur.
ÖRNEK 5 Analitik düzlemde y = 3 doğrusuna olan uzaklığı B(– 1, 2) noktasına olan uzaklığına eşit olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM Bir A(x, y) noktasının y = 3 doğrusuna uzaklığı ×y – 3×
3. Analitik düzlemde y = 2 doğrusuna olan uzaklığı A(– 2, 1) noktasına olan uzaklığına eşit olan
noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 = 4
B) x2 + 2x – 4 = 0
C) x2 + 4x + 2y + 1 = 0
D) x2 + 2y – 4 = 0
E) x2 + y2 + 2x – 2y – 4 = 0
olur. O halde, ×y – 3× = ×AB× = ŒŸ(x + 1)2 + (y – 2)2 Her iki tarafın karesi alınırsa,
y2 – 6y + 9 = x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 x2 + 2x + 2y – 4 = 0 elde edilir. 10
1) B
2) D
3) C Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme
×AC×
=
×AC×
=
×BC× ×BC×
x3 – x1 x2 – x3
Analitik düzlemde A(– 1, 2) ve B(5, – 10) noktaları veriliyor.
×AC×
a) [AB] doğru parçasını
,
bölen C noktasını,
y3 – y1
b) [AB] doğru parçasını
×AC×
×BC× bölen C noktasını bulunuz.
y2 – y3
Noktalar arasındaki uzaklıklar oranı noktaların ilgili koordinatları (apsisleri veya ordinatları) farkları oranı-
= 2 oranında içten
×BC×
= 3 oranında dıştan
ÇÖZÜM
na eşittir.
C(x, y) olsun B. Paralelkenar Kuralı
Köşe koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) ve
ek tremum
a) 1. yol
D(x4, y4) olan bir paralelkenarda,
×AC×
=
x+1 = 2 , x = 3 5–x
×AC×
=
y–2 = 2 , y = – 6 ve C(3, – 6) olur. – 10 – y
×BC× ×BC× 2. yol
x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4 eşitlikleri vardır.
Analitik Geometri
×AB× = 3 br dersek ×AC× = 2 br olur.
Apsis ve ordinatlardaki artış veya azalış oranlarını
yazarsak apsis,
3k br de
6 artarsa
(5 – (– 1) = 6)
2k br de
a artar
Doğru orantı
3 . a = 2 . 6, a = 4 artar x = – 1 + 4 = 3
Ordinat,
3k br de
12 azalırsa
2k br de
b azalır
Doğru orantı
3 . b = 2 . 12, b = 8 azalır y = 2 – 8 = – 6 ve
C(3, – 6) olur.
(– 10 – 2 = – 12)
11
Doğru Analitiği ve Dönüşümler b)
b) DÿEF ~ BÿAF (Kelebek benzerliği)
1. yol
×AC×
×BC×
=
x+1 = 3, x = 8 x–5
y–2 = = 3 , y = – 16 ve C(8, – 16) olur. y + 10 ×BC× ×AC×
2. yol Apsis,
2k br de
6 artarsa
(5 – (– 1) = 6)
3k br de
a artar
Doğru orantı
a = 9 artar x = – 1 + 9 = 8
Ordinat,
2k br de
12 azalırsa
3k br de
b azalır
Doğru orantı
b = 18 azalır y = 2 – 18 = – 16 ve
C(8, – 16) bulunur.
×DE× ×AB×
=
×DF× ×FB×
=
1 olur. O halde, 2
1 F noktası [BD] köşegenini oranında içten böl2 mektedir. F(a, b) olsun.
×DF×
=
a+1 1 = , 5–0 2
×DF×
=
b–3 1 = 0–b 2
a = 1, b = 2 ve D(1, 2) olur.
×FB× ×FB×
c) ×FB× = ŒŸ(5 – 1)2 + (0 – 2)2 = 2ñ5 br bulunur.
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde bir ABC üçgeninde B(– 3, 1), C(2, 6) ve A noktası da y ekseni üzerinde bulunmaktadır.
ek tremum
(– 10 – 2 = – 12)
A köşesine ait iç açıortay [BC] kenarının y eksenini kestiği noktadan geçtiğine göre, A noktasınının ordinatını bulunuz.
ÇÖZÜM İlgili şekil çizilir ve A(0, b), D(0, k) olarak alınırsa,
ÖRNEK 2
Analitik
düzlemde
ABCD bir paralelkenar
[AE] Ç [BD] = {F} E orta nokta olmak
×BD×
=
b) F noktasının koordinatlarını
×DC×
×BD×
=
c) ×FB× uzunluğunu bulunuz.
×AB×
=
üzere,
a) D noktasının koordinatlarını
ÇÖZÜM
×DC×
×AC×
0+3 k–1 = , k = 4 ve 2–0 6–k ×AB×
×AC×
=
3 bulunur. 2
2 2 ŒŸ3 + (b – 1) = 3 2 2 2 ŒŸ2 + (b – 6)
b2 – 2b + 10
=
9 4
D(x, y) olsun. ABCD bir paralelkenar olduğundan,
b2 – 12b + 40
a) x + 5 = 2 + 2 ve y + 0 = 5 – 2
b2 – 20b + 64 = 0 ve
x = – 1 ve y = 3
D(– 1, 3) olur. 12
her iki tarafın
( karesi alınırsa )
içler dışlar çarpımı
( yapılıp düzenlenirse )
b = 4 ve b = 16 bulunur.
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
KAVRAMA TESTİ
1. Analitik düzlemde A(2, – 1) ve B(– 4, 8) noktaları
veriliyor.
[AB] doğru parçasını 3 eşit parçaya ayıran C ve D noktalarının koordinatlar toplamı kaçtır? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Analitik düzlemde ABC üçgeni verilmiştir. E) 6
m(AéBC) = 60°, B(6, 0), C(4, y), ×CD× = 2×AD× olduğuna göre, Alan(A¿BC) kaç birim karedir? A) 12ñ3
2.
C) 10ñ3
5.
×DE× = 2 .×EC× olduğuna göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
D)
Analitik düzlemde ABCD bir paralelkenar
24 26 B) 5 C) 5 5
E) 8ñ3
27 28 E) 5 5
ek tremum
D) 9ñ3
A)
B) 11ñ3
Analitik düzlemde AOC dik üçgeni AC doğrusu boyunca katlanınca O noktası [AB] kenarı üzerine geliyor.
A(– 6, 0) ve B(0, 8) olduğuna göre, Alan(C¿OıB) kaç birim karedir? A) 6
3.
B) 8
C) 10
D) 3ñ3
E) 4ñ3
6.
Birim kareler üzerine çizilmiş yukarıdaki şekilde A, B, C ve D noktaları doğrusaldır. Buna göre, A) 1 B)
×AC×
×BD×
1) D
2) C Analitik Geometri
B, C ve D noktaları doğrusal, ×AB× = 8 cm Analitik düzlemde ABC bir dik üçgen, [AD] dış açıortay olduğuna göre, D noktasının ordinatı
oranı kaçtır?
8 3 C) 9 4
kaçtır? D)
7 2 E) 9 3 3) B
A) 11
4) E
B) 17
C) 22
5) A
D) 27
E) 33
6) C 13
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Köşe Koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) Olan Bir Üçgenin
i) Ağırlık Merkezinin Koordinatları
Analitik düzlemde ABC bir dik üçgen,
G ağırlık merkezi, A(6, 6) , B(– 6, 0)
Üçgenin Ağırlık merkezi
G (
x1 + x2 + x3 3
,
olduğuna göre, C ve G noktalarının koordinatlarını
y1 + y2 + y3 3
bulunuz.
)
ÇÖZÜM |HC| = x olsun ve ABC dik üçgeninde öklit bağıntısı
Köşe Koordinatları bilinen bir üçgenin alanı Sar-
rus Kuralından,
1 Alan(ABC) = 2
– – –
x1
y1
x3
y3
x2 x1
y2 y1
+ + +
1 = .€(x1 . y2 + x2 . y3 + x3 . y1) – (x2 . y1 + x3 . y2 + x1 . y3)€ 2
ek tremum
uygulanırsa,
ii) Alanı
h2 = p . x 62 = (6 + 6) . x
G (
x1 + x2 + x3 3
,
y1 + y2 + y3 3
x = 3 ve C(9, 0)
) = G (
olur.
6 – 6 + 9 6 + 0 + 0 , ) 3 3
G(3, 2) bulunur.
formülü ile bulunur.
B. Köşe Koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) ve
ÖRNEK 2
C(x3, y3) ve D(x4, y4) Olan Dörtgenin Alanı
Analitik düzlemde köşe koordinatları A(1, 5), B(1, – 2)
Yine Sarrus Kuralından
oludğuna göre, k değerlerini bulunuz.
1 Alan(ABCD) = 2
– – –
x1
y1
x3
y3
x2 x4
y2 y4
1 = .€(x1 . y2 + x2 . y3 + x3 . y4) – (x2 . y1 + x3 . y2 + x4 . y3)€ 2
formülü ile bulunur.
ve C(k, 1) olan ABC üçgeninin alanı 7 birim kare
ÇÖZÜM
+ + +
1 5 1 1 – 2 1 Alan(ABC) = . = €(5k – 1) – (6 – 2k)€ = 7 2 k 2 1 1 5 |7k – 7| = 14
14
|k – 1| = 2 ve k = 3 veya k = – 1 elde edilir.
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler Eş üçgenlerden ×AH× = 12 br ve ×KA× = 8 br
ÖRNEK 3
12 ×EK× = , ×EK× = 6 br, ×AE× = 10 br 16 8
ABCD bir kare
C¿FO ~ A¿KE (A.A Benzerliği)
Analitik düzlemde
×C ı E× = 16 – 6 = 10 br olur.
×AE× = ×ED×
İstenilen OAECı dörtgeninin alanı OAE ve OCıE dik
A(a, 6)
üçgenlerinin alanları toplamı olacağından,
Alan(OAECı) =
20 . 10 20 . 10 + = 200 br2 olur. 2 2
olduğuna göre, C(x, y) noktasının koordinatlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
ÖRNEK 5
genler eş olurlar.
×AE× = ×ED× ise
×KF× = ×FD× ve
kare arasındaki dik üç-
KLMN karesi çizilirse iki
×KD× = 6 br olduğundan
×KF× = ×LB× = ×MC× = ×DN× = 3 br ve
×AL× = ×KD× = ×NC× = ×BM× = 6 br olur. O halde C(6, 3) elde edilir.
ek tremum
Analitik düzlemde köşe koordinatları verilen iç bükey dörtgenin alanını bulunuz.
ÇÖZÜM 1. yol
ÖRNEK 4 Analitik düzlemde köşe koordinatlarından ikisi O(0, 0) ve C(– 12, 16) olan ve diğer köşeleri I. bölgede olan
bir OABC karesi veriliyor. Bu kare O köşesi etrafında saat yönünde bir miktar döndürülerek OAıBıCı karesi elde ediliyor. ı
C noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, bu iki
OABC dörtgeninin alanını Sarrus Kuralı’yla bulalım. Köşe koordinatlarını verilen sırada yazmalıyız. Yani OABC, OCBA, ABCO, BCOA gibi. O A B C
1 Alan(OABC) = . 2
karenin arakesit bölgesinin alanını bulunuz.
0 9 3 0
İlgili şekilde [CF] ve
1 = . 2
0 0 1 7
= 15 br2
2. yol
ÇÖZÜM
Analitik Geometri
[KH] dikmeleri çizilir ve açılar yazılırsa, ×OC× = 20 br
×OCı× = 20 br
×KH× = 20 br ve C¿FO @ O¿HA olur.
Bölgeyi üçgenlere ve dikdörtgene
ayırıp alanları bu-
lalım.
Alan(OABC) = 3 . 1 +
1 .6 3 .6 + = 15 br2 2 2 15
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 6
KAVRAMA TESTİ
Analitik düzlemde
ABC bir ikizkenar
1. Analitik düzlemde bir köşesi A(1, 3) noktası
dik üçgen
olan ve bu köşeden geçen kenarların orta nok-
[AB] ^ [AC]
taları B(2, 1) ve C(3, 5) noktaları olan üçgenin
C(6, – 4)
A) 4
ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
×AB× = ×AC×
olduğuna göre, D noktasının ordinatını bulunuz.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
ÇÖZÜM AEC dik üçgeni çizilir ve açılar yazılırsa, A¿OB @ A¿EC olur.
×OF× = ×AE× = 6 br
K
2.
×OA× = ×EF× = 6 br
×EC× = ×OB× = 10 br
×OB× ×BF×
=
×OD×
´
×FC×
reminden,
ÖRNEK 7
Analitik düzlemde M merkezli çember T noktasında
d doğrusuna ve A noktasın-
köşelerinin orijine uzaklıkları birbirine eşit ve
2ñ5 br olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir? A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
ğuna göre, Alan(A¿OB) kaç
×MA× = 2 cm olduğundan m(MéOA) = m(MéOT) = 30°
olur.
Analitik düzlemde ABCD karesinin C ve D
ve ×OT× = 2ñ3 cm oldu-
×OT× = ×OA× = 2ñ3 cm ve
birim karedir?
ÇÖZÜM
Çemberin yarıçapı 2 cm
da da x eksenine teğettir.
temel benzerlik teo-
10 x = ´ x = 2,5 bulunur. 16 4
BFC dik üçgeninde
ek tremum
OHT dik üçgeninde
×HT× = ñ3 cm ve AOB üçge1 ×HT× ninde, = olduğun2 ×OA× dan ×HT× orta taban olur.
3. Analitik düzlemde köşe koordinatları O(0, 0), A(1, 2) ve B(9, 2) olan AOB üçgeni veriliyor.
x = k doğrusu AOB üçgenini eşit alanlı 2 parçaya ayırdığına göre, k kaçtır? A) 5 B)
9 C) 4 2
D)
7 E) 3 2
Yani, ×OH× = ×BH× = 3 cm Alan(AOB) = 16
2ñ3 . 6 = 6ñ3 cm2 elde edilir. 2
1) C
2) A
3) E Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
UYGULAMA TESTİ 1
4. Analitik düzlemde
(Nokta Analitiği)
A(–2, k), B(–1, –2) ve C(3, 2) noktaları veriliyor.
1. Analitik düzlemde
|AB| = |AC| olduğuna göre, k kaçtır?
A(– 4, 2) ve B(k, –2)
A) – 1
noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
göre, k nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) – 8
B) – 7
C) – 6
D) – 5
E) – 4
5.
A
E D
2. Analitik düzlemde
B
noktası III. bölgede olduğuna göre, B(ab, a – b) noktası hangi bölgededir? A) I
B) II
C) III
D) IV
E) y ekseni üzerinde
ek tremum
a A d a 2 b, n b
C
Analitik düzlemde ABC üçgeni veriliyor.
|AE| = |BE|, |AD| = 2|CD|,
A(4,4), B(– 2, – 4) ve C(10, 1)
olduğuna göre, |DE| kaç birimdir? A) 2 14 B)
53 C) 2 13
D) 5 2
6. 3. D
E) 7
y
C C(1, 4) E
D
A
B
A
B
x
Köşe koordinatları A(–2,–3), B(6,a), C(4,b) ve D(c,2) noktaları olan ABCD paralelkenarının köşegenlerinin kesim noktası E(d, e) dir.
E noktası x ekseni üzerinde olduğuna göre, a + b + c + d + e toplamı kaçtır? A) – 6
B) – 5
1) A Analitik Geometri
C) – 4 2) B
D) – 3
E) – 2 3) E
Analitik düzlemde ACB ikizkenar üçgeni veriliyor.
|AD| = |CD|, |AB| = |BC ve C(1, 4) olduğuna göre, & Alan (ABC) kaç birim karedir? A) 6 4) D
B) 8
C) 10 5) B
D) 12
E) 14 6) C 17
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. Analitik düzlemde bir P(m – 1, m + 3) noktası ve-
10.
y
riliyor.
P noktasının orijine uzaklığının en küçük değeri
kaç birimdir? A)
5 B)
6 C)
A D
7 D) 2 2 E) 3 45°
Analitik düzlemde ABC üçgeni veriliyor.
|AD| = |CD| ve A(– 5, 2) olduğuna göre, & Alan (ABC) kaç birim karedir? A) 4
8. Analitik düzlemde A(m – 1, 3m + 1) ve B(m + 5, m – 7)
noktaları veriliyor.
[AB] doğru parçasının orta noktası, eksenlerden
ği değerler toplamı kaçtır? 1 3
B) 5
C)
16 3
D) 6
C) 8
D) 10
E) 12
ta bulunan noktaların geometrik yer denklemi
eşit uzaklıkta bulunduğuna göre m nin alabilece-
A)
B) 6
11. A(2, 2) ve B(– 3, – 1) noktalarından eşit uzaklık-
E)
19 3
aşağıdakilerden hangisidir?
ek tremum
x
C
B
A) 3x + 4y + 1 = 0
B) 4x+ 5y + 2 = 0
C) 4x + 3y – 1 = 0
D) 5x + 3y = 0
E) 5x + 3y + 1 = 0
12.
y D
A E
F
B
9. Analitik düzlemde A(5, 0), B(2, 3) ve C(–1, k) nok
taları veriliyor. & Alan (ABC) = 12 br2 olduğuna göre, k nin alabile-
ceği değerler toplamı kaçtır? A) 14
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
18
8) C
9) B
C
x
Analitik düzlemde ABC üçgeni veriliyor. [BD] = [AC], [BD] açıortay, |OB| = |OC| ve
A(–22, 16) olduğuna göre, |DF| kaç birimdir? A) 16
7) D
O
10) C
B) 15
C) 13 11) E
D) 12
E) 10 12) B
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Analitik düzlemde A(6, – 1) ve B(– 4, 4) noktaları
UYGULAMA TESTİ 2
veriliyor.
(Nokta Analitiği)
[AB] doğru parçasını
AC BC
=
2 oranında içten 3
bölen C noktasının koordinatlar toplamı kaçtır?
1. Analitik düzlemde A(–1,–2m + 6) ve B(1 – m, 3) noktaları aynı bölgede bulunduğuna göre, m
A) 3
nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
kaçtır? A) 3
B) 2
2.
C) 1
D) 0
E) – 1
K
5. Analitik düzlemde A(a + 3,7) ve B(3a + 4, a) noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç br dir? D
C
A E L
A) 4 2
ek tremum
B
B) 6
C) 2 10
D) 3 5 E) 4 3
Birim karelere ayrılmış zeminde verilen K ve L
noktalarının orijine uzaklıkları birbirine eşit olduğuna göre, orijin hangi noktadır? A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
6.
C(5, 4)
E(4, –1)
3. Analitik düzlemde y ekseni üzerinde olup, A(– 3, 1) ve B(5, – 1) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktanın ordinatı kaçtır? A) – 5
B) – 4
C) – 3
D) – 2
E) – 1
A(– 1, 2)
Analitik Geometri
2) C
3) B
B
ABC bir üçgen |CE| = |BE|, |AD| = 3|BD|,
A(–1, 2), C(5, 4) ve E(4, –1) olduğuna göre, D noktasının koordinatlar toplamı kaçtır? A) 2
1) B
D
4) A
B) 1
C) 0 5) D
D) – 1
E) – 2 6) E 19
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7.
10.
y
A
Analitik düzlemde
y
|OD| = |AD|,
B
|OC| = 2|BC|
C B C x O
Birim karelere ayrılmış analitik düzlemde ABCD pa-
ralelkenarı çizilecektir.
Buna göre, D noktasının koordinatları çarpımı
B) 30
C) 32
D) 33
E) 36
x
A
B(0, 6) ve D(2, 0) olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç
br2 dir? A) 11
kaçtır? A) 28
D
B) 10
C) 9
11.
D) 8
E) 7
Analitik
y
düzlemde
A
ABC ikizkenar dik
D
8.
B
ek tremum
y
D(2, 4) C
O
A
B
Analitik düzlemde [OD] = [AB], |CD| = |AC| ve
x
C
|AB| = |AC| = 2|AD| ve A(–2, y) olduğuna göre,
Alan(ABC) kaç br2 dir? A) 12
x
üçgen
B) 16
12.
C) 20
toplamı kaçtır? A) 7
B) 8
D(4, 5)
C) 9
D) 10
E) 11
B
9. Dik koordinat düzleminde y = 1 ve y = 5 doğruları
ile y = –x doğrusunun kesim noktalarını köşe kabul
eden bir paralelkenarın köşegenleri (0,3) noktasında kesişmektedir.
Buna göre, bu paralelkenarın alanı kaç br2 dir? A) 18 7) E 20
B) 21
E) 28
y
A
D(2, 4) olduğuna göre, C noktasının koordinatlar
D) 24
C) 24 8) B
D) 27
E) 30 9) C
O
x
C
Analitik düzlemde
[AB] = [AD], [DC] = Ox, |AB| = |AD|,
D(4, 5) ve Alan(ABCD) = 36 br2
olduğuna göre, A noktasının koordinatlar topla-
mı kaçtır? A) 2 10) D
B) 3
C) 4 11) B
D) 5
E) 6 12) C
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
UYGULAMA TESTİ 3 (Nokta Analitiği)
1.
A(1, 3)
D(2t – 1, t + 3)
Şekildeki birim karelerden oluşan kağıt üzerin-
deki taralı bölgelerin alanları toplamı kaç birim
Dik koordinat sisteminde A noktasından harekete
karedir?
başlayan bir karınca 3. saniyede B noktasına, 5. saniyede C noktasına t. saniyede ise D noktasına
A) 27
ulaşıyor.
B) 29
C) 30
D) 33
E) 35
Buna göre, ×BC× kaç cm dir? B) 3ñ2
2.
C) 2ñ5
D) 5
E) 6
ek tremum
A) 4
5. Analitik düzlemde A(– 1, 1) ve B(1, 2) noktaları veriliyor.
×PA×2 – ×PB×2 = 7 eşitliğini sağlayan P noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x – y = 3
Analitik düzlemde ABCD dikdörtgeninde D köşesinin koordinatları nedir? A) (5, – 3)
B) x + 2y = 3
C) 2x + y = 5
D) x – y = 5
E) 2x – y = 3
B) (4, – 2)
C) (6, – 4)
D) (6, – 3) E) (5, – 4)
3. Analitik düzlemde A(2, 0), B(0, – 1) ve y = x + 1 doğrusu üzerinde bir C noktası veriliyor.
Alan(A¿BC) = 3 br2 olduğuna göre, bu şartı sağlayan C noktalarının apsisler toplamı kaçtır? A) 0
B) – 2
1) C
C) – 4
2) C Analitik Geometri
D) – 6
E) – 8
3) E
6. Analitik düzlemde ağırlık merkezi orijinde olan bir ABC eşkenar üçgeni veriliyor.
[BC] kenarı x eksenine paralel, ×OB× = ×OC× ve ×OA× = 4 br olduğuna göre, Alan(A¿BC) kaç birim karedir? (O noktası orijindir.) A) 12ñ3
4) B
B) 10ñ3 C) 9ñ3
5) C
D) 8ñ3 E) 6ñ3
6) A 21
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7.
10.
Analitik düzlemde G(x, y) noktası OAB dik üçgeninin ağırlık merkezidir.
x2 + y2 = 2 olduğuna göre, ×AB× kaç br dir?
ABCD dörtgeninin alanı kaç br2 dir? B) 19
C) 20
Birim karelerden oluşmuş analitik düzlemde
A) 18
D) 21
A) 4
E) 22
B) 3ñ2
C) 2ñ5
D) 2ñ6
E) 3ñ3
8. Analitik düzlemde A köşesi y = 3x – 5 doğrusu üzerinde olan ve diğer köşeleri de B(3, – 1) ve
merkezinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3y = 9x – 25
B) y = 3x – 8
C) y = 3x – 9
D) 3y = 9x – 29
E) y = 3x – 10
9.
ek tremum
C(6, 4) noktaları olan ABC üçgeninin ağırlık 11. Analitik düzlemde köşe koordinatları O(0, 0), A(0, 5) ve B(5, 0) noktaları olan OAB üçgeni veriliyor.
Buna göre, OAB üçgeninin iç bölgesinde koordinatlarının ikisi de tam sayı olan kaç nokta vardır? A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
12. Analitik düzlemde iki kenarı x – y = 1 ve 2x – y = 4
doğrularının üzerinde olan bir paralelkenarın bir köşesi A(8, 9) olduğuna göre, bu paralelkenarın
Analitik düzlemde ABCD bir kare A(– 3, 0), B(9, y) ve C noktası y ekseni üzerin-
de olduğuna göre, C noktasının ordinatı kaçtır? A) 17
7) B 22
B) 19
C) 21
8) D
D) 24
9) C
E) 25
diğer köşelerinden birinin koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 6
10) B
B) 8
C) 10
11) A
D) 11
E) 13
12) D Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 6, 12),
UYGULAMA TESTİ 4
B(– 6, – 12) ve C(x, y) olan ABC üçgeni veriliyor.
(Nokta Analitiği)
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi ori-
jin olduğuna göre, Alan(A¿BC) kaç birim karedir?
1. Analitik düzlemde y ekseni üzerinde olup A(– 5, 7)
noktasından 13 br uzaklıkta bulunan noktaların
A) 144
ordinatları toplamı kaçtır? A) 9
B) 12
2.
C) 13
D) 14
B) 156
C) 168
D) 180
E) 192
E) 15
5.
Analitik düzlemde ABCD paralelkenarı çiziliyor. [CD] kenarının orta noktası E olarak işaretleniyor. Daha
sonra AB doğrusu üzerinde [EF] Ç [BC] = {G} olacak şekilde bir F noktası işaretleniyor.
A(– 5, 1), D(– 2, 6), E(1, 7) ve ×BG× = 3×CG× olduğuna göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre, bu şartı
sağlayan A noktaları arasındaki uzaklık kaç br dir?
Analitik düzlemde ABCD bir dikdörtgen B(6, – 4), ×AE× = 2×ED×, ×FB× = 3×AF× olduğuna göre, C noktasının koordinatları top-
A) 11
C) 4
D) 3ñ2
E) 2ñ5
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
6. Analitik düzlemde A(7, 1) ve B(3, 5) noktaların-
dan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x
B) 2ñ3
lamı kaçtır?
3. Analitik düzlemde A(m + 1, 2m + 5) noktaları
A) 2ñ2
ek tremum
B) y = x – 2
C) y = x + 2
D) y = x – 1
E) y = x + 3
1) D
2) B Analitik Geometri
3) E
4) E
5) A
6) B 23
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7.
10.
Analitik düzlemde AOB üçgeni verilmiştir.
Birim karelerden oluşan şekilde, köşe koordi-
[AO] ^ [BO] , A(4, 3), B(x, y), ×AB× = 5ñ5 br
natları K, L ve M noktaları olan KLM üçgeninin alanı kaç br2 dir?
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? B) 5
C) 4
D) 3
8. Analitik düzlemde 2x + y = 1 doğrusu üzerinde bulunan ve A(– 1, 1) noktasından 5 br uzaklıkta
bulunan noktalardan birinin koordinatlar toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) – 1
B) 0
C) 1
A) 6
E) 2
D) 2
E) 3
9. Analitik düzlemde köşe koordinatları O(0, 0),
ek tremum
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
11. Analitik düzlemde köşeleri A(– 2, – 3), B(– 6, 10) ve C(a, 3) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi
y = – x + 2 doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır? A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) – 1
12. Analitik düzlemde B açısı 90° olan ABC dik üç-
B(3, ñ3) ve C noktaları olan bir OBC eşkenar
geni veriliyor.
Bu şartı sağlayan C noktaları arasındaki uzaklık
ğuna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı B nok-
üçgeni veriliyor. kaç br dir? A) 4
7) E 24
B) 5
C) 6
8) A
D) 3ñ3
E) 4ñ3
9) C
A(– 1, 3), C(2, – 1) ve Alan(A¿BC) = 6 br2 oldu tası vardır? A) 0
10) B
B) 1
C) 2
11) A
D) 3
E) 4
12) E Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi
Bir doğrunun Ox ekseni ile pozitif yönde (saatin
tersi yönünde) yaptığı açıya doğrunun eğim açısı ve
bu açının tanjantına da doğrunun eğimi denir.
Şekildeki doğruların eğimlerini bulunuz.
ÇÖZÜM d1 doğrusunun eğimi m1 = tanà > 0
1. yol
d2 doğrusunun eğimi m2 = taná < 0 dır.
İki noktadan geçen doğrunun eğimi formülünü kullana-
0 < à < 90° ise eğim pozitiftir.
lım. A(0, 6), B(0, 4), C(– 2, 0), D(0, – 4), E(6, 0) ve F(8, 0) olduğundan,
B. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğru-
nun eğimi
m = tanà =
y2 – y1 x2 – x1
m2 = mAF = m3 = mDE =
0–4 –4 = =2 –2–0 –2
0–6 –6 –3 = = 8–0 8 4
0 – (– 4) 2 = 0–6 3
d1, d2 ve d3 doğrularının eğim açıları sırasıyla à, á ve å açılarıdır.
m1 = mBC =
2. yol
ek tremum
90° < à < 180° ise eğim negatiftir.
dir.
à, å < 90° ve á > 90° olduğundan m1, m3 > 0 ve m2 < 0 olur. m1 = tanà =
4 = 2, 2
m2 = taná = – m3 = tanå = Analitik Geometri
6 3 =– 8 4
4 2 = bulunur. 6 3 25
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 2
KAVRAMA TESTİ
Analitik düzlemde A(2, – 3) ve B(k, 2) noktalarından
1. Analitik düzlemde A(– 3, – 1), B(2, 2) ve C(7, a)
geçen doğru x ekseni ile pozitif yönde 135° lik açı
noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır?
yaptığına göre, k kaçtır?
A) 4
ÇÖZÜM Eğim = tanà =
y2 – y1
x2 – x1
tan135° = – 1 =
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
olduğundan
2+3 ve k = – 3 bulunur. k–2
2.
ÖRNEK 3
Analitik düzlemde A(– 1, 2) ve B(3, – 1) ve C(a, – 4) noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM
Analitik düzlemde ABCD eşkenar dörtgen,
A, B ve C noktaları doğrusal olduğuna göre,
E(3, 8) ve AD: 4x – 3y + k = 0
mAB = mAC olur.
–1–2 –4–2 –3 –6 = mAC = ´ = ve 3+1 a+1 4 a+1
a = 7 bulunur.
ÖRNEK 4
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
ABCD paralelkenar AD: 3y – 4x – 18 = 0
lamı kaçtır?
Analitik düzlemde
olduğuna göre, C noktasının koordinatları top-
ek tremum
mAB =
3.
B(k, 2) ve AB // Ox
olduğuna göre, k kaçtır?
ÇÖZÜM D noktası y ekseni üzerinde olduğundan, 3y – 4x – 18 = 0
Alan(ABCD) = 28 cm2
Analitik düzlemde ABCD bir kare
denkleminde x = 0 yazılırsa y = 6 ve D(0, 6) olur. AB
E(2, 0), B(15, 1)
ordinatı da 2 olur. 3y – 4x – 18 = 0 denkleminde y = 2
olduğuna göre, FC doğrusunun eğimi kaçtır?
doğrusu x eksenine paralel olduğundan A noktasının yazılırsa, 3 . 2 – 4x – 18 = 0 ve x = – 3 yani A(– 3, 2) olur. ×AD× = ŒŸ32 + (6 – 2)2 = 5 cm, ×AE× = 3 cm olduğundan,
A)
1 1 1 B) C) 6 5 4
D)
1 3 E) 3 5
AED dik üçgeninde pisagordan ×ED× = 4 cm Alan(ABCD) = ×AB× . ×ED× = 28
×AB× . 4 = 28 ise ×AB× = 7 cm ve ×AB× = ×AE× + ×EB× ´ 7 = 3 + k, k = 4 olur. 26
1) B
2) E
3) D Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun
Analitik düzlemde A(1, – 3ñ3) noktasından geçen ve
Denklemi
x ekseni ile pozitif yönde 120° lik açı yapan doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
Eğimi m olan ve A(x1, y1) noktasından geçen d doğrusu üzerinde bir P(x, y) noktası için
ÇÖZÜM
Eğim = tan120° = – ñ3 ve A(1, – 3ñ3) olduğundan doğrunun denklemi y + 3ñ3 = – ñ3 (x – 1) olur.
x eksenini kestiği noktada (ordinat) y = 0 olur. y = 0 için 3ñ3 = – ñ3(x – 1)
tanà = m =
y – y1 x – x1
x = – 2 bulunur.
ve y – y1 = m(x – x1) bulunur.
ÖRNEK 2
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulmak için önce eğim bulunur, sonra da eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi yazılır. m=
y2 – y1 x2 – x1
ve A(x1, y1) noktası için
ÇÖZÜM m(BéOA) = à ve
m(CéOA) = á olsun.
y = 2x ise
tanà =
×AC× = 7 br
×CD× = 5 br olur.
eğimi m dir.
CDB dik üçgeninde,
Doğru denklemi üzerindeki bütün noktalar doğru
tanà = 2 =
×AD×
×OA×
= 2 ve
×AD× = 2 br olur. y = 7x ise taná =
Doğru denklemi y = mx + n şeklinde ise doğrunun
denklemini sağlar.
[BC] ^ [OB]
olduğuna göre, B noktasının koordinatlarını bulunuz.
Doğru Denklemi
Doğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise doğa runun eğimi – dir. b
[AC] ^ Ox
NOT
denklemi denir.
liyor.
veya y = mx + n şeklindeki denklemlere doğru
ve A(1, 0) noktası veri-
y – y1 = m . (x – x1) olur.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli ax + by + c = 0
y = 7x, y = 2x doğruları
ek tremum
B. İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
Analitik düzlemde,
×AC×
×OA×
= 7 ve
×BD×
ve 2×BC× = ×BD× olur. ×BC× CDB dik üçgeninde pisagor bağıntısından ×BD× = 2ñ5 br olur.
Analitik Geometri
27
Doğru Analitiği ve Dönüşümler OHB dik üçgeninde temel benzerlik teoreminden
×OB×
×OD×
ñ5
3ñ5
= =
×OA×
×OH× 1
×OH×
= =
Eğimi m = – 3 olan ve A(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi
×AD×
×HB×
2
y – y1 = m . (x – x1)
y – 4 = – 3 . (x – 1)
×HB×
y = – 3x + 7
Doğrunun y eksenini kestiği noktada x = 0 olur.
×OH× = 3 br ve ×HB× = 6 br
x = 0 için y = 3 . 0 + 7 = 7 bulunur.
B(3, 6) elde edilir.
ÖRNEK 5 ÖRNEK 3
Analitik düzlemde
ABCD bir dikdörtgen
Analitik düzlemde A(2, – 1) ve B(0, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM
noktanın apsisini bulunuz.
doğrunun denklemi
ÇÖZÜM
ek tremum
y – y1 = m(x – x1) y + 1 = – 1 . (x – 2)
D(8, 0)
olduğuna göre, AC doğrusunun x eksenini kestiği
eğimi m = – 1 olan ve A(2, – 1) noktasından geçen
B(– 2, 0)
1 – (– 1) 2 Eğim m = = =–1 0–2 –2
y = – x + 1 bulunur.
BAD dik üçgeninde ök-
lit bağıntısı uygulanırsa, h2 = p . k
h2 = 2 . 8
h = 4
ÖRNEK 4
Yani A(0, 4) olur.
Analitik düzlemde köşe koordinatları A(1, 4), B(– 1, 3)
ABCD dikdörtgeni
ve C(5, – 1) olan ABC üçgeni veriliyor.
[BC] kenarına ait kenarortay doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
aynı zamanda bir paralelkenar olduğun-
dan paralelkenar şar
ÇÖZÜM Şekildeki D noktasının koordinatlarını bulalım.
tını sağlar.
Yani C(x, y) olmak üzere,
0 + x = – 2 + 8
x = 6
4 + y = 0 + 0
y = – 4
C(6, – 4) olur.
D (
–1+5 3–1 , ) = D(2, 1) olur. 2 2
4–1 D doğrusunun eğimi m, m = = – 3, 1–2 28
mAC =
4+4 –4 = ve A(0, 4) için 0–6 3
y – y1 = m(x – x1)
y – 4 =
y =
–4 . (x – 0) 3
– 4x + 4 ve y = 0 için x = 3 bulunur. 3 Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Dik koordinat düzleminde orijinden geçen d1 ve d2 doğruları, x + y = 12 doğrusunun eksenlerle
KAVRAMA TESTİ
oluşturduğu üçgenin alanını 3 eşit bölgeye ayırdı-
ğına göre, d1 ve d2 doğrularının eğimleri toplamı
1. A(– 3, 3), B(1, 5) ve C(3, k) noktaları doğrusaldır.
kaçtır?
Buna göre k kaçtır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
A)
E) 10
1 2
5.
B) 1
y
C)
3 2
Buna göre, [AB] kenarına ait kenarortay doğrusunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 5
3.
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
y
5 2
y=
x 2
B
A
ek tremum
C
E
ve C(– 2, 8) olan ABC üçgeni veriliyor.
E)
y = 2x
D
2. Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 4, 3), B(4, 5)
D) 2
x
B
Analitik düzlemde y = 2x, y =
dikdörtgeni veriliyor.
x doğruları ile ABCD 2
Alan(ABCD) = 54 br2 olduğuna göre, E noktası-
nın koordinatlar toplamı kaçtır? A) 6
B)
11 2
6.
C) 5
D)
9 2
E) 4
y B
D
A
A C
A
x
B
x
O
Analitik düzlemde ABCD kare ve D(4, 2) olduğu-
na göre, BD doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y = 4
B) x + y = 6
D) 2x + y = 10 1) A
2) D Analitik Geometri
C) x + 2y = 8
E) 2x + 3y = 14 3) B
Analitik düzlemde OABC bir kare ve B(–1, 5) ol-
duğuna göre, OA doğrusunun eğimi kaçtır? A) 1 4) E
B)
3 8 C) 5 2 5) D
D) 2
E)
5 2
6) B 29
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi
Eksenleri A(a, 0) ve B(0, b) noktalarında kesen x y doğrunun denklemi + = 1 dir. a b
Analitik düzlemde verilenlere göre, d1 ve d2 doğrularının denklemlerini bulunuz.
ÇÖZÜM d1: d2:
B. Özel Doğru Denklemleri
x y + = 1 ´ – 2x + y = 4 –2 4
x y + = 1 ´ x + 3y = 6 bulunur. 6 2
1. Eksenlere Paralel Doğrular
geçen ve Oy eksenine
paralel olan d1 doğru-
sunun denklemi x = a
ve Ox eksenine paralel olan d2 doğrusunun denklemi y = b dir.
ek tremum
A(a, b) noktasından
ÖRNEK 2 Analitik düzlemde A(2k – 1, k – 3) noktası I. açıortay
doğrusu üzerinde olduğuna göre A noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğru denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM 2. Orijinden Geçen Doğruların Denklemi
Orijinden geçen doğru
denkleminde sabit terim sıfır olup doğru denkle-
A(2k – 1, k – 3) noktası I. açıortay doğrusu olan y = x üzerinde olduğundan, k – 3 = 2k – 1, k = – 2 olur.
A(– 5, – 5) elde edilir. A(– 5, – 5) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğru y = – 5 doğrusudur.
mi y = mx şeklindedir.
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde
3. Açıortay Doğruları
d1: y = x doğrusuna
I. açıortay doğrusu,
d2: y = – x doğrusuna
da II. açıortay doğrusu denir.
y x + = 1 doğrusu 5 10
×AC×
eksenleri A ve B nok
=
talarında kesmektedir.
2 olduğuna göre orijinden ve C nokta3
×BC× sından geçen d doğrusunun denklemini bulunuz. 30
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÇÖZÜM
KAVRAMA TESTİ A(0, 5) ve B(10, 0) olur.
[AB] doğru parçasının orta noktası P(2, 3) ol-
mel benzerlik teoremi
talarında kesmektedir.
AOB dik üçgeninde te-
1. Analitik düzlemde bir doğru eksenleri A ve B nok-
[CH] dikmesi çekilir ve
duğuna göre, bu doğrunun denklemi aşağıdaki-
uygulanırsa
lerden hangisidir?
×OH× = 4 br ve
×CH× = 3 br olur.
A) x + 2y = 6
B) 2x + y = 12
3 Yani C(4, 3) ve OC doğrusunun eğimi olur. 4 3 O halde, d: y = mx = x bulunur. 4
C) 3x + y = 12
D) 3x + 2y = 12
E) 2x + 3y = 12
2.
ÖRNEK 4
rında bulunan üç karınca birer doğrultu seçip aynı anda ve eşit hızlarla yürümeye başlıyor. Bir süre sonra bu üç karınca aynı anda bir P noktasında buluşuyor.
Buna göre, orijinden ve P noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
şartını sağlayan P noktasını bulalım.
Analitik düzlemde 2y + x – 24 = 0 doğrusu y = mx doğrusunu C noktasında, y = nx doğrusunu D noktasında kesmektedir. ×AC× = ×CD× = ×DB× Yukarıdaki verilere göre, (
ABC üçgeni ikizkenar olduğundan,
×HA× = ×HB× = 3 br ×PA× = a olsun
×PH× = ×CK× – ×CP× – ×HK× = 10 – a – 1 = 9 – a olur. PAH dik üçgeninde pisagor bağıntısından
Analitik Geometri
1 1 E) 2 4
doğru parçaları ayıran ve orijine uzaklığı d br olan bir doğru veriliyor.
Buna göre, d nin a ve b türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) C)
1 1 1 = + d a b 1
2
d
=
1
a
2
–
B) 1
b
2
E)
O halde, P(3, 5) ve OP doğrusunun denklemi de, 5 x olur. 3
D)
3. Analitik düzlemde eksenlerden a ve b birimlik
a2 = 32 + (9 – a)2 ve a = 5 bulunur.
y=
m ) oranı kaçtır? n
×PA× = ×PB× = ×PC×
İlgili şekli çizelim. Önce
A) 6 B) 4 C) 2
ÇÖZÜM
ek tremum
Analitik düzlemde A(0, 1), B(6, 1) ve C(3, 10) noktala-
1) D
1 1 1 = – d a b
1
2
d
=
D) 1
a
2) B
2
+
1 a b = – d b a
1
b2 3) E 31
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Doğruların Kesişme (Kesim) Noktası
Doğru denklemlerinin ortak çözümünden elde edi-
len x ve y değerleri bu doğruların kesişme nokta-
sının koordinatlarıdır.
Analitik düzlemde verilenlere göre, a) d1 ve d2 doğrularının denklemlerini
b) K(x, y) noktasının koordinatlarını c) DOCK dörtgeninin alanını bulunuz.
ÇÖZÜM
B. Doğru Grafikleri
Denklemi verilen bir doğrunun grafiğini çizmek için
x y a) d1: + = 1 ´ – x + 2y = 4 (1) –4 2
lar doğrunun eksenleri kestiği noktalar seçilir.
Bunun için de doğru denkleminde sırasıyla x e sıfır
yazılıp doğrunun Oy eksenini kestiği noktanın ordinatı ve y ye sıfır yazılarak da doğrunun Ox eksenini kestiği noktanın apsisi bulunur.
ek tremum
bu doğrunun iki nokası bulunur. Genelde bu nokta-
d2:
x y + = 1 ´ 3x + 2y = 12 (2) bulunur. 4 6
b) (1) ve (2) nolu denklemler çözülürse,
– x + 2y = 4
x = 2 ve y = 3
3x + 2y = 12
K(2, 3) bulunur.
}
C. Doğrunun Parametrik Denklemi
c) Alan(DOCK) iki şekilde bulunabilir.
Alan(DOCK) = Alan(KBC) – Alan(BOD) veya
ken cinsinden yazılmasıyla oluşan denkleme denir.
Alan(DOCK) = Alan(AOC) – Alan(ADK)
Kullanılan değişkene de parametre denir. Bu tip
Biz ilk eşitliği kullanalım.
Doğru denklemindeki x ve y nin başka bir değiş-
denklemler parametreler yok edilerek çözülür.
KBC üçgeninin [BC] ye ait yüksekliği K(2, 3) nok-
tasının ordinatına eşit olur. O halde; Alan(DOCK) =
8 .3 4 .2 – = 8 br2 bulunur. 2 2
ÖRNEK 2 Analitik düzlemde y = 6 – 3t, x = 2 + 2t parametrik denklemleriyle verilen doğrunun grafiğini çiziniz ve eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını bulunuz.
32
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÇÖZÜM
2/ y = 6 – 3t
3/ x = 2 + 2t
KAVRAMA TESTİ 1.
önce t lerden kurtulursak
3x + 2y = 18 denklemi elde edilir. Doğrunun grafiğini çizmek
Alan(AÿOB) = elde edilir.
9 .6 = 27 br2 2
C(1, 0) D(0, – 3)
y = 0 için x = 6 olur.
B(0, 2)
x = 0 için y = 9 ve
A(– 4, 0)
için,
Analitik düzlemde
Yukarıdaki verilere göre, Alan(A¿KC) kaç birim karedir?
A) 6 B)
13 C) 7 2
D)
15 E) 8 2
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde A(– 4t + 12, 3t + 6) noktası veriliyor.
b) Bu şartı sağlayan bir P(a, b) noktası için ŒŸa + b 2
2
nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
ÇÖZÜM 3/ x = – 4t + 12
4/ y = 3t + 6
denklemi 3x + 4y = 60 olan bir doğru elde edilir.
Bu doğrunun grafiğini
çizersek
x = 0 için y = 15
B) 2y – x + 5 = 0
C) 2x + y + 5 = 0
D) 2x + y – 5 = 0
3. Analitik düzlemde A(2, m – 1), B(3, 2m – 1) ve C(m + 4, 8) noktaları ABC üçgeninin köşeleridir. ABC üçgeninin ağırlık merkezinin geometrik yer
İstenilen P noktası
Buna göre, d doğrusunun koordinat eksenleri
[OP] ^ [AB] şartını
2
AOB dik üçgeninde öklit bağıntısından bulalım.
×AB× . ×OP× = ×OA× . ×OB×
denklemi d doğrusudur.
ŒaŸ + b = ×OP× olacağından ×OP× uzunluğunu
A) 2y + x + 3 = 0
y = 0 için x = 20 olur.
sağlayan noktadır.
2
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
önce t lerden kurtulursak
eşitliğini sağlayan noktaların geometrik yer
E) 2y – x – 5 = 0
a)
b)
2. t Î R olmak üzere, x = 2t – 1 ve y = t + 2
ek tremum
a) Bu noktaların geometrik yer denklemini yazınız.
ile oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir? A)
49 15 B) 8 C) 6 2
D)
22 45 E) 3 8
25 . ×OP× = 15 . 20
×OP× = 12 br bulunur.
Analitik Geometri
1) D
2) E
3) A 33
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları
Analitik düzlemde,
d1: a1x + b1y + c1 = 0 doğrusunun eğimi m1 ve
d1: (k – 1)x + 2y – 6 = 0
olsun.
a) d1 ve d2 doğruları birbirine paralel olduğuna göre,
d2: (k + 1)x – 4y + 5 = 0 doğruları veriliyor.
d2: a2x + b2y + c2 = 0 doğrusunun eğimi m2
a1 b1 c1 1. = ¹ ise d1 ve d2 doğruları paraa2 b2 c2 leldir.
b) d1 ve d2 doğruları birbirine dik olduğuna göre, k değerlerini bulunuz.
Paralel doğruların eğim-
ÇÖZÜM
leri eşittir. Yani
a) d1 // d2 Û
d1 // d2 Û m1 = m2
olur.
2.
a1 a2
=
b1 b2
=
c1 c2
ise
doğrular çakışıktır.
ek tremum
b) m1 = –
k–1 2 = k+1 –4
´ k =
1 bulunur. 3
k–1 k+1 , m2 = olup 2 4
d1 ^ d2 Û m1 . m2 = – 1 olur.
–
k = – 3 veya k = 3 bulunur.
(k – 1) (k + 1) . = – 1 ise 2 4
ÖRNEK 2 Analitik düzlemde köşe koordinatları A(0, 3), B(– 1, 1) ve C(3, 5) olan ABC üçgeni veriliyor.
3.
a2
¹
b1 b2
ise doğrular
bir K noktasında kesişir.
a1
Bu nokta, doğru denklemleri ortak çözülerek bulunur.
Buna göre, a) A(0, 3) köşesinden geçen ve [BC] kenarına paralel olan doğrunun denklemini,
b) A(0, 3) köşesinden geçen ve [BC] kenarına dik olan doğrunun denklemini,
c) A(0, 3) noktasının [BC] kenarına en yakın olduğu noktayı bulunuz.
4.
eğimleri çarpımı – 1 dir.
Yani
Dik kesişen doğruların
d1 ^ d2 Û m1 . m2 = – 1
dir.
(m1 . m2 ¹ 0 olmak şartıyla)
34
ÇÖZÜM a)
Paralel doğruların
eğimleri eşittir. O halde,
m1 = mBC =
5–1 = 1 3+1
A(0, 3) dan geçen ve eğimi 1 olan d1 doğrusunun
denklemi, y – 3 = 1 . (x – 0), y = x + 3 bulunur. Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler b)
Dik doğruların eğimleri
Analitik düzlemde, A(1, 2), B(8, 3) ve C(x, y) noktaları
O halde,
ÖRNEK 4
çarpımı – 1 dir.
için [AC] ^ [BC[ şartı sağlanmaktadır.
m2 . mBC = – 1
a) C noktasının apsisi 4 iken ordinatı kaç olur?
mBC = 1 olduğundan
b) C noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
m2 = – 1 olur.
A(0, 3) dan geçen ve eğimi – 1 olan d2 doğrusu-
nun denklemi, y – 3 = – 1 . (x – 0), y = – x + 3
ÇÖZÜM
bulunur.
a) A(1, 2), B(8, 3) ve C(4, y) olduğundan,
c) H noktası d2 ve BC doğrularının kesim noktasıdır. mBC = 1 ve B(– 1, 1) için
dBC : y – 1 = 1 . (x + 1) ´ y = x + 2 olur. d2: y = – x + 3 ve dBC: y = x + 2
rından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerini bulunuz.
ÇÖZÜM Bizden [AB] doğru parçasının orta dikme doğrusunun denklemi isteniyor.
Önce C noktasını bulalım. C (
[AC] ^ [BC] ise mAC . mBC = – 1
– 1 + 5 3 – 1 , ) = C(2, 1) 2 2
d ^ AB olduğundan, md . mAB = – 1
–1–3 =–1 5+1 3 md = olur. 2 md .
y–2 y–3 . =–1 3 –4
y2 – 5y + 6 = 12
y2 – 5y – 6 = 0
y = 6 ve y = – 1 bulunur.
b) C(x, y) olmak üzere, y–2 y–3 , mBC = x–1 x–8
mAC =
mAC . mBC = – 1
ek tremum
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde A(– 1, 3) ve B(5, – 1) noktala-
mAC =
1 5 doğruları ortak çözülürse H ( , ) olur. 2 2
y–2 y–3 , mBC = ve 3 –4
y–2 y–3 . =–1 x–1 x–8
y2 – 5y + 6 + x2 – 9x + 8 = 0
x2 + y2 – 9x – 5y + 14 = 0
NOT C noktalarının geometrik yeri [AB] çaplı çember denklemidir.
3 C(2, 1) den geçen ve eğimi olan d doğrusunun 2 3 denklemi, y – 1 = (x – 2) ´ 2y – 3x = – 4 bulunur. 2
NOT d doğrusu üzerindeki bir P(x, y) noktası için ×PA× = ŒŸ(x + 1)2 + (y – 3)2 = ×PB× = ŒŸ(x – 5)2 + (y + 1)2 eşitliği çözülerek de sonuç bulunabilirdi. Analitik Geometri
ÖRNEK 5 x – y – 3 = 0, kx – y + 5 = 0, x – (k – 4)y – 3 = 0 doğrularının kesim noktalarını köşe kabul eden üçgen
bir dik üçgen olduğuna göre, k değerlerini bulunuz.
35
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÇÖZÜM
KAVRAMA TESTİ
1 olur. k–4 Dik açı olan köşedeki doğruların eğimleri çarpımı – 1 olur. Doğruların eğimleri m1 = 1, m2 = k, m3 =
1.
m1 . m2 = – 1 ise 1 . k = – 1, k = – 1 m1 . m3 = – 1 ise 1 . m2 . m3 = – 1 ise k .
1 = – 1, k = 3 ve k–4
1 = – 1, k = 2 bulunur. k–4
Analitik düzlemde
Buna göre, BC doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
OABC bir paralelkenar
B(2, 16)
A) y =
C(– 8, 8)
C) y =
olduğuna göre,
a) A noktasının koordinatlarını bulunuz.
ÇÖZÜM a) Paralelkenarda karşılıklı köşelerin koordinatları toplamı birbirine eşit olduğundan, A(x, y) için
x – 8 = 0 + 2, x = 10
y + 8 = 0 + 16, y = 8 yani A(10, 8) olur. Bizden H(x, y) noktası isteni-
denklemini bulalım.
16 – 8 mAB = =–1 2 – 10
D) y = – 4 x+6 3
4 x+6 3
2. Analitik düzlemde y = 2mx – 12 doğrusu 3x + 4y – 7 = 0 doğrusuna diktir. Buna göre, y = 2mx – 12 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir? A) 54 B) 48 C) 36
D) 30 E) 27
A(10, 8) noktası ve eğim – 1 için y = – x + 18 olur.
H noktası AB doğrusu üzerinde olduğundan H
noktasının koordinatları arasında y = – x + 18 bağıntısı olur. Yani H(x, y) = H(x, – x + 18)
OH ^ AB olduğundan mOH . mAB = – 1
MOH =
– x + 18 . (– 1) = – 1 ise x = 9 ve y = 9 olur. x
3 x – 6 4
4 x–8 3
dAB: y – 8 = – (x – 10)
yor. Önce AB doğrusunun
B) y =
ek tremum
koordinatlarını bulunuz.
3 x + 8 4
E) y =
b) Orijinin AB doğrusuna en yakın olduğu noktanın
noktaları olan ABCD eşkenar dörtgeni veriliyor.
Analitik düzlemde iki köşesi A(– 9, 0) ve D(0, 12)
ÖRNEK 6
b)
– x + 18 , mAB = – 1 x
Yani H(9, 9) olarak bulunur. 36
3. Dik koordinat düzleminde y – 3x + 5 = 0 doğrusuna A(1, – 2) noktasından çizilen dikmenin, x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) – 7 B) – 5 C) – 3
1) B
2) A
D) 1 E) 3
3) B Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
7. Analitik düzlemde a Î R ve Q Î (0, 2ã) olmak
3x – y + 1 = 0
üzere, P(a cos3å, a sin3å) noktasından geçen
x+y–5=0
2kx + (k – 1)y + 6 = 0
ve x . secå + y . cosecå = a doğrusuna dik olan doğru denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x . coså + y . sinå = a
doğrularının aynı noktadan geçmesi için k ne
B) x . coså – y . sinå = a . cos2å
olmalıdır?
A) – 1 B) –
1 1 C) – 2 3
D) 1 E)
C) x . coså + y . sinå = a . cos2å
2 3
D) x . coså – y . sinå = a . sin2å
E) x . coså + y . sinå = a . sin2å
5. Analitik düzlemde A(– 1, 2) ve B(3, 4) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = – 2x + 5 C) y = 2x – 3
B) y = x + 7
doğrusuna en yakın olduğu noktanın koordinat-
D) y = x – 5
ları toplamı kaçtır?
ek tremum
E) y = – 2x – 4
6.
8. Analitik düzlemde P(5, 1) noktasının x – y + 2 = 0
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2
Analitik düzlemde AD ve BE doğruları veriliyor. AD ^BE, ×ED× = 3×AE×
C(2, 0) ve E(x, 3) olduğuna göre, BE doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x – 2 C) y = 4x – 8
B) y = 5x – 10 D) y = 3x – 6
9. Analitik düzlemde x + y = 3 ve y = 2x doğrularının kesim noktasından geçen ve orijine olan
uzaklığı en büyük olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y = 3 C) 3x – y = 1
5) A Analitik Geometri
D) x + 2y = 5
E) x + 3y = 5
E) y = 2x – 4
4) C
B) 2x + y = 4
6) D
7) B
8) A
9) D 37
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. İki Doğru Arasındaki Açı
Analitik düzlemde y – 3x – 4 = 0 ile y + x – 5 = 0 doğruları arasındaki dar açının tanjantını bulunuz.
d1 doğrusunun eğim açısı à, eğimi m1 ve d2 doğrusunun eğim açısı á, eğimi m2 ve iki doğru arasındaki açı å olsun.
ÇÖZÜM
Doğruların eğimleri m1 = 3 ve m2 = – 1 olduğundan,
tanå =
m1 – m2
1 + m1 . m2
=
3+1 =–2 1–3
Dar açı denildiğinden cevap 2 olur.
à = å + á
å = à – á
ÖRNEK 2
tanà – taná tanå = tan(à – á) = ve 1 + tanà . taná
tanå =
m1 – m2
1 + m1 . m2
olur.
B. Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı
A(x1, x2) noktasının, d: ax + by + c = 0 doğrusuna
uzaklığı ×AH× olsun.
doğruları arasındaki geniş açının ölçüsünü bulunuz.
ek tremum
tanà = m1, taná = m2 olduğundan,
Analitik düzlemde y + x – 3 = 0 ve y – ñ3x – 7 = 0
ÇÖZÜM Doğruların eğimleri m1 = – 1 ve m2 = ñ3 olur.
Bu soruda formül yerine doğruların eğim açılarından gitmeliyiz.
m1 = – 1 ise bu doğrunun eğim açısı 135°,
m2 = ñ3 ise bu doğrunun eğim açısı 60° olur.
İki doğru arasındaki açı 135° – 60° = 75° bulunur.
Ama bizden geçiş açı istendiğinden cevap, 180° – 75° = 105° bulunur.
×AH× =
×a . x1 + b . y1 + c×
ŒŸa + b 2
2
dir.
ÖRNEK 3
Analitik düzlemde m(Aé OC) = m(Cé OB) olduğuna göre, m kaçtır? 38
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÇÖZÜM
D(
CD doğrusunun eğimi;
m(AéOC) = m(CéOB) = à olsun. m–1 tanà = = 1+m m = 2 bulunur.
7–1 –2+2 , ) = D(3, 0) 2 2
1 2 denklemi çözülürse 1 1+ 2
0+6 3 = 3+5 4
mCD =
1–
3 D(3, 0) den geçen ve eğimi olan doğru denklemi, 4 3 . (x – 3) 4
y–0=
3x – 4y – 9 = 0 olur. Son olarak ×AH× uzunluğu
ÖRNEK 4 Analitik düzlemde A(1, k) noktasının 4x – 3y + 5 = 0
×AH× =
doğrusuna uzaklığı 3 br olduğuna göre, k değer-
×– 3 – 8 – 9×
lerini bulunuz.
ŒŸ3 + 4 2
2
=
20 = 4 br bulunur. 5
ÇÖZÜM Noktanın doğruya uzaklığı formülünden, 3 =
3 =
×4 – 3k + 5×
ÖRNEK 6
2 2 ŒŸ4 + 3
×9 – 3k×
ek tremum
5
×9 – 3k× = 15
9 – 3k = 15 veya 9 – 3k = – 15
k = – 2 veya k = 8 bulunur.
Analitik düzlemde, d1: ax – y + b = 0 doğrusu ile d2: x + 2y + 5 = 0 doğrusu x ekseni üzerinde dik kesiştiklerine göre orijinin d1 doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
ÇÖZÜM m1 = a, m2 = – m1 . m2 = a . (–
ÖRNEK 5 Köşe koordinatları A(– 1, 2), B(7, – 2) ve C(– 5, – 6) olan ABC üçgeni veriliyor.
1 ve d1 ^ d2 olduğundan 2
1 ) = – 1 ve a = 2 bulunur. 2
d2 doğrusunun x eksenini kestiği nokta y = 0 için x+2.0+5=0
A köşesinin [AB] kenarına ait kenarortay doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.
x = – 5 ve bu (– 5, 0) noktası d1: 2x – y + b = 0 denklemini de sağlar. 2 . (– 5) – 0 + b = 0 ´ b = 10
ÇÖZÜM
Yani
d1: 2x – y + 10 = 0 bulunur.
O(0, 0) noktasının 2x – y + 10 = 0 doğrusuna olan
uzaklığı;
Yukarıdaki şekilde önce D noktasının koordinatlarını bulalım.
Analitik Geometri
×2 . 0 – 0 + 10×
ŒŸ2 + 1 2
2
=
10
ñ5
= 2ñ5 br bulunur.
39
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Analitik düzlemde 3x + 4y = 5 doğrusu ile 45° lik
KAVRAMA TESTİ
açı yapan ve A(3, 4) noktasından geçen doğru-
lardan birinin x eksenini kestiği noktanın apsisi
1. A(a, 3) noktasının 3x – 4y + 3 = 0 doğrusuna
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
olan uzaklığı 2 br olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 2 B)
7 16 C) 2 3
A) – 25 B) – 20 C) – 15 D) 6 E)
22 3
5. Bir köşesi A(2, 1) noktası, diğer köşeleri
2. Analitik düzlemde x + y + 1 = 0 ve 2x – y – 3 = 0
d: x + 2y – 9 = 0 doğrusu üzerinde olan
3 D) 2 E) 2
3. Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 3, 9), B(3, 1) ve C(7, 4) olan ABC üçgeni veriliyor.
Buna göre, [BC] kenarına ait yüksekliğin uzunluğu kaç br dir?
A) 5 B) 6 C) 8
D) 9 E) 10
ek tremum
doğruları arasındaki dar açının tanjantı kaçtır? 5 A) 4 B) 3 C) 2
eşkenar üçgenin alanı kaç birim karedir? A)
2 5 B) ñ3 C) ñ3 ñ3
40
2) B
3) E
D) 2ñ3 E) 3ñ3
6. Analitik düzlemde bir ikizkenar üçgenin eşit kenar-
ları 7x – y + 3 = 0 ve x + y – 3 = 0 doğruları üzerindedir.
Buna göre, ikizkenar üçgenin tabanını taşıyan
doğrunun eğiminin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) – 3 B) –
1) D
D) – 10 E) – 5
4) A
8 7 C) – 3 3
5) C
D) – 2
E) –
1 3
6) B Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık
Analitik düzlemde 3x – 4y – 6 = 0 ve ax + 8y – 8 = 0 paralel doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Birbirine paralel
d1: ax + by + c1 = 0 ve
ÇÖZÜM
d2: ax + by + c2 = 0
Doğrular paralel olduğundan,
doğruları arasındaki uzaklık AH olsun.
×c1 – c2×
×AH× =
2 2 ŒŸa + b
3 –4 = , a = – 6 olur. a 8
dir.
Doğru denklemlerindeki x ve y katsayılarını eşitlemek için ikinci denklemdeki her bir terim – 2 ye bölünürse,
Bu formülü uygulayabilmek için önce doğru denklemlerindeki x ve y nin katsayılarının eşitlenmesi gerekir.
d1: 3x – 4y – 6 = 0 ve
d2: 3x – 4y + 4 = 0 olur.
İki doğru arasındaki uzaklık; ×– 6 – 4×
B. Açıortay Doğruları
ŒŸ3 + 4
ek tremum
2
2
=
10 = 2 br bulunur. 5
Kesişen d1: ax + by + c = 0 ve
d2: dx + ey + f = 0 doğruları verilsin.
Açıortay üzerindeki bir P(x, y) noktasının açının kol-
larına olan uzaklıkları eşit olacağından, ×ax + by + c× 2 2 ŒŸa + b
=
×dx + ey + f× 2 2 ŒŸd + e
ÖRNEK 2 Analitik düzlemde 3x – 2y – 10 = 0 ve – 9x + 6y – 12 = 0
doğrularına eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
olur.
NOT 1. Bu eşitlikten birbirine dik olan iki açıortay denklemi elde edilir. Elde edilen açıortay doğrularının
eğimleri çarpımı – 1 olur.
2. ŒaŸ 2 + b2 = ŒŸd2 + e2 eşitliği varsa açıortay doğ-
ÇÖZÜM Doğrular paraleldir.
ruları, verilen doğru denklemleri taraf tarafa toplanarak ve çıkarılarak elde edilir. Analitik Geometri
41
Doğru Analitiği ve Dönüşümler Yine önce x ve y li terimlerin katsayılarını eşitlemek
KAVRAMA TESTİ
için ikinci denklemi – 3 e bölelim.
d1: 3x – 2y – 10 = 0
d2: 3x – 2y + 4 = 0
1. x – 3y – 1 = 0 ve 3x + y + 4 = 0 doğrularına
eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Yukarıdaki şekildeki d doğrusu; – 10 + 4 =0 2
3x – 2y +
3x – 2y – 3 = 0 olarak bulunur.
yer denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM
B) 4x – 2y – 3 = 0
C) 2x + 4y – 1 = 0
D) 2x – y + 3 = 0
2. Bir eşkenar üçgenin yüksekliği, x + ñ2y – 7 = 0
ek tremum
doğrularına eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik
E) 4x – 2y + 3 = 0
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde 2x – 3y – 4 = 0, ve 6x – 4y – 5 = 0
A) 2x – 4y + 1 = 0
ve x + ñ2y + 2 = 0 doğruları arasındaki uzaklığa eşit olduğuna göre, bu eşkenar üçgenin alanı kaç birim karedir?
A) 3ñ3 B) 6ñ3 C) 9ñ3
D) 12ñ3 E) 15ñ3
Verilen doğrular paralel olmadığından bizden açıortay doğrularının denklemleri istenmektedir.
Yine işlem kolaylığı olması için “NOT”ta belirtilen
ŒŸa2 + b2 = ŒŸd2 + e2 eşitliğini yakalamak için birinci denklemi 2 ile genişletelim;
d1: 4x – 6y – 8 = 0 ve
d2: 6x – 4y – 5 = 0 olur.
O halde açıortay denklemleri pratik olarak,
d1 + d2: 10x – 10y – 13 = 0 ve
d1 – d2: 2x + 2y + 3 = 0 elde edilir.
3. Analitik düzlemde x + 2y + 6 = 0 doğrusundan 5 br uzaklıkta bulunan doğruların, y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır? A) – 9 B) – 8 C) – 7
1) E 42
2) C
D) – 6 E) – 5
3) D Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler e) A noktasından ve orijinden geçen doğru denkle-
BİLGİ KUTUSU
mini bulunuz.
f) A noktasından geçen ve eğimi – 2 olan doğru denklemini bulunuz.
Doğru Demeti
g) A noktasından geçen ve 3x – 2y – 11 = 0 doğru-
d1: ax + by + c = 0 ve
suna dik olan doğru denklemini bulunuz.
d2: dx + ey + f = 0
doğrularının kesim noktasından geçen bütün
ÇÖZÜM
doğruların denklemi k Î R olmak üzere,
a) k parametresine farklı iki değer verelim. İşlem kolaylığı olması için k = 1 ve k = – 2 olsun.
ax + by + c + k (dx + ey + f) = 0 dır. Bu doğruların geçtiği sabit noktayı bulmak için k Î R
k = 1 için
k = – 2 için – 3x – 12 = 0 ,
de edilen doğruların kesim noktası bulunur.
A(– 4, 2) bulunur.
parametresine herhangi iki farklı değer verilerek el-
3y – 6 = 0 ,
y=2 x=–4
NOT Doğru demeti sorularında sabit nokta istenmiyorsa,
hangi uygun k değeri için istenilen şartların sağlandığı araştırılır.
ek tremum
b) A noktasından geçen tüm doğruların denklemi,
(k – 1)x + (k + 2)y + 2k – 8 = 0 şeklindedir.
Şimdi hangi k değeri için B(– 2, 3) noktasının bu
denklemi sağladığını bulalım.
Yani denklemde x = – 2 ve y = 3 yazalım.
(k – 1) (– 2) + (k + 2) . 3 + 2k – 8 = 0
– 2k + 2 + 3k + 6 + 2k – 8 = 0 ve k = 0 olur.
Bulunan bu k = 0 değeri doğru demetinde yerine
yazılarak soru çözülür.
k = 0 için – x + 2y – 8 = 0
K AV R A M A ÖRNEK 1
c) x eksenine paralel olan doğru y = b formatında olduğundan x in katsayısını sıfır yapan k değerini
Analitik düzlemde k bir parametre olmak üzere denk-
lemleri (k – 1)x + (k + 2)y + 2k – 8 = 0 olan doğruların geçtiği sabit nokta A olmak üzere,
bulmalıyız.
k – 1 = 0 ise k = 1 değeri doğru demetinde yazı-
lırsa, 3y – 6 = 0 ve y = 2 bulunur.
a) A noktasını bulunuz. b) A noktasından ve B(– 2, 3) noktasından geçen doğru denklemini bulunuz.
d) y eksenine paralel olan doğru denklemi x = a for-
matında olacağından y nin katsayısını sıfır yapan k
c) A noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğru denklemini bulunuz.
d) A noktasından geçen ve y eksenine paralel olan
değeri bulunur.
k + 2 = 0 , k = – 2 değeri doğru demetinde yerine
yazılır; – 3x – 12 = 0, cevap x = – 4 doğrusu olur.
doğru denklemini bulunuz.
Analitik Geometri
43
Nokta Analitiği e) Orijinden geçen doğru denklemi y = mx formatın-
ÖRNEK 3
da olup sabit terim sıfırdır.
O halde doğru demetindeki sabit terimi sıfır yapan k
Analitik düzlemde denklemleri 7x + 3y + 13 = 0 ve
demetinde yerine yazılır.
geçen ve y eksenine paralel olan doğru denklemini
13x + y + 5 = 0 olan doğruların kesim noktasından
değeri bulunursa; 2k – 8 = 0, k = 4 değeri doğru
3x + 6y = 0 , y = –
bulunuz.
x elde edilir. 2
f) Doğru demetinin eğimi –
ÇÖZÜM y eksenine paralel olan doğru denklemi x = a forma-
k–1 olduğundan k+2
tında olduğundan verilen denklemlerdeki y li terimleri
k–1 – = – 2 ve k = – 5 bulunur. k+2
yok edeceğiz.
İkinci denklem – 3 ile çarpılıp denklemler taraf tarafa
k = – 5 değeri tekrar doğru demetinde yazılırsa;
toplanırsa,
– 6x – 3y – 18 = 0, 2x + y + 6 = 0 bulunur.
3 g) Verilen doğrunun eğimi olduğundan, 2 k–1 3 – . = – 1 (Dik doğruların eğimleri çarpımı k+2 2
7x + 3y + 13 = 0
– 3 / 13x + y + 5 = 0
– 32x – 2 = 0, x = –
1 bulunur. 16
Bulunan k = 7 değeri doğru demetinde yazılırsa,
6x + 9y + 6 = 0 , 2x + 3y + 2 = 0 elde edilir.
ek tremum
– 1 dir.)
ÖRNEK 4 Analitik düzlemde sıfırdan ve birbirinden farklı a, b reel sayıları için denklemleri 2ax + by + 5a = 0 ve
2bx + ay + 5b = 0 olan doğruların kesim noktasından
geçen ve y eksenine paralel olan doğrunun denk-
ÖRNEK 2
lemini bulunuz.
Analitik düzlemde denklemleri 13x – 11y – 6 = 0 ve
ÇÖZÜM
17x + 15y + 3 = 0 olan doğruların kesim noktasından ve başlangıç noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
y eksenine paralel doğru denkleminde x li terim olmayacağından denklemlerdeki x li terimleri yok edelim.
(a ve b sıfırdan farklı olduğundan 1. denklemi a ile
ÇÖZÜM
2. denklemi – b ile çarpalım.)
a / 2ax + by + 5a = 0
önceki örnek sorudaki e) şıkkındaki mantıkla çözece-
– b / 2bx + ay + 5b = 0
x(2a2 – 2b2) + 5a2 – 5b2 = 0
Bu iki denklemdeki sabit terimi sıfır yapmak için ikinci
(a2 – b2)(2x + 5) = 0
sıfır olamaz. O halde,
2 / 17x + 15y + 3 = 0
2x + 5 = 0
x=–
Bu soruyu da doğruların kesim noktasını bulmadan bir ğiz.
denklemi 2 ile çarpıp taraf tarafa toplayacağız.
13x – 11y – 6 = 0 47x + 19y = 0
44
a ve b sıfırdan ve birbirinden farklı olduğundan a2 – b2
5 elde edilir. 2 Analitik Geometri
Nokta Analitiği 4. Analitik düzlemde,
KAVRAMA TESTİ 1. m bir parametre olmak üzere,
m(x + 2y) – x – 3y + 5 = 0 doğrularının kesim
y–x+5=0
x + 3y –1 = 0
doğrularının kesim noktasından geçen ve y = 2x
noktasının ordinatı kaçtır?
A) – 5 B) – 3 C) 1
doğrusuna paralel olan doğru denklemi aşağı-
D) 3 E) 5
dakilerden hangisidir? A) y = 2x – 1
B) y = 2x – 3
C) y = 2x – 5
D) y = 2x – 7
E) y = 2x – 9
2.
9x + 7y + 3 = 0
8x + 5y + 4 = 0
doğrularının kesim noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangi-
5. Analitik düzlemde (m + 1)x + (m – 1)y + m – 5 = 0
sidir?
B) 8x – 9y = 0
C) 12x – 11y = 0
D) 12x + 13y = 0
E) 8x + 5y = 0
3. Analitik düzlemde,
doğrularının kesim noktasından geçen ve
ek tremum
A) 5x – 13y = 0
x – 3y – 1 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3
D) 4
E) 5
6. Analitik düzlemde,
x+y+4=0
x–y–2=0
3x – y – 8 = 0
2x + 3y – 9 = 0
doğrularının kesim noktasından ve
P(2, – 3)
noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x – y – 7 = 0
B) x + y + 1 = 0
C) 3x – y – 9 = 0
D) 2x + y + 1 = 0
doğrularının kesim noktasından geçen ve orijine uzaklğı ò10 br olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) 11 B) 10 C) 9
D) 8
E) 7
E) 3x + y – 3 = 0
1) E
2) D Analitik Geometri
3) A
4) E
5) A
6) B 45
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
Eşitsizlik Grafikleri
Analitik düzlemde,
ax + by + c = 0 doğrusu, bulunduğu düzlemi iki yarı
düzleme ayırır.
A = {(x, y): ×x – 2× £ 1, 2x + y £ 12, y ³ 0}
ile verilen bölgenin alanını bulunuz.
y > mx + n eşitsizliğinin çözüm kümesi y = mx + n doğrusunun üst tarafında kalan bölgedir.
y < mx + n eşitsizliğinin çözüm kümesi y = mx + n
ÇÖZÜM
doğrusunun alt tarafında kalan bölgedir.
×x – 2× £ 1 ise 1 £ x £ 3 olur.
Eşitsizlikte ³ veya £ varsa doğrunun kendisi de
istenilen bölgeye dahil edilir. y
1 £ x £ 3 için
y x
x
y
x
x
2x + y £ 12 için
ek tremum
y
y ³ 0 için
NOT ax + by + c = 0 doğrusu ile A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. 1. (ax1 + by1 + c) . (ax2 + by2 + c) > 0 ise A ve B noktaları doğrunun aynı tarafındadır. 2. (ax1 + by1 + c) . (ax2 + by2 + c) < 0 ise A ve B noktaları doğrunun farklı tarafındadır.
Eşitsizlikler çizilirse iste
nilen bölge ABCD dik
yamuğu olur.
×CD× = 6 br
×BC× = 2 br
Alan(ABCD) =
46
×AB× = 10 br
olduğundan
6 + 10 . 2 = 16 br2 olur. 2 Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 2
KAVRAMA TESTİ
1.
R gerçel sayılar kümesi olduğuna göre,
Şekildeki taralı bölgeler hangi eşitsizlik sistemleriyle ifade edilebilir?
K = {(x, y): y > 3x, x + y – 2 > 0} Í R x R
L = {(x, y): x > 0} Í R x R kümeleri veriliyor.
ÇÖZÜM
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi K \ L küme-
Önce doğru denklemlerini bulalım.
sinin bir elemanıdır?
d1 doğrusunun denklemi y = x ve
A) A B) B C) C
x y + = 1, y – 2x = – 6 dır. 3 –6
Taralı bölgeler; d1 doğrusunun altında kaldığından, y £ x (doğru dahil) (1)
d2 doğrusunun üstünde kaldığından y – 2x > – 6 (doğru dahil değil) (2)
(1) ve (2) eşitsizliklerine ek olarak x . y > 0 (3) da olmalıdır.
ek tremum
d2 doğrusunun denklemi
D) D E) E
2. Analitik düzlemde A(3, – 1) ve B(1, 2) noktaları
y = x – n doğrusunun farklı taraflarında olduğuna göre, n nin kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde A(– 1, 2) ve B(3, – 2) noktaları
y = 2x + n doğrusunun farklı taraflarında kaldıklarına göre, n nin tanım aralığını bulunuz.
ÇÖZÜM y = 2x + n ifadesini y – 2x – n = 0 biçimine getirip noktaları denklemde yerine yazalım.
3. Analitik düzlemde P(m, m2) noktaları y = x , y = 9 ve y ekseninin oluşturduğu üçgenin iç bölgesinde olduğuna göre, m nin en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A(– 1, 2) için 2 – 2 . (– 1) – n = 4 – n ve
A) (– 1, 4) B) (0, 4) C) (– 1, 3)
B(3, – 2) için – 2 – 2 . 3 – n = – 8 – n
D) (0, 3)
E) (1, 3)
noktalar farklı tarafta olduğundan, (4 – n) . (– 8 – n) < 0 olmalıdır. Eşitsizlik çözülürse, – 8 < n < 4 elde edilir. Analitik Geometri
1) A
2) D
3) E 47
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 2. yol
BİLGİ KUTUSU
A ve B araçlarına ait doğruların denklemlerini bulalım. A için;
Grafik Okuma
x y + = 1, y = 90 – 10x 9 90
B için; (0,60) ve (3, 45) noktalarını kullanarak eğim
ve doğru denklemini yazalım.
60 – 45 = – 5 ve y – y1 = m(x – x1) 0–3
m=
y – 60 = – 5(x – 0)
y = 60 – 5x
Son olarak bu denklemleri eşitleyelim.
Verilerin çizgili grafik şeklinde verildiği sorularda doğ-
90 – 10x = 60 – 5x
ru denklemleri yazılarak, eğim bilgisi kullanılarak ya
x = 6 saat bulunur.
da artış - azalış miktarları kullanılarak çözüm yapılır.
Grafik problemlerini çözmeyi örneklerle açıklayalım.
ÖRNEK 2
K AV R A M A ÖRNEK 1 Yandaki grafik sabit
hızla hareket eden A
ve B araçlarının yolda
geçen süreye göre de-
polarında kalan ben-
zin miktarını göster
mektedir.
Hareketlerinden kaç saat sonra, bu araçların depolarında kalan benzin miktarı eşit olur?
ÇÖZÜM
ek tremum
Yukarıdaki grafikte A ve B bitkilerinin zamana göre boylarının uzama miktarları verilmiştir.
Buna göre kaçıncı ayın sonunda iki bitkinin boyları farkı 12 cm olur?
ÇÖZÜM Doğru denklemlerini yazalım.
Bu soruyu iki yoldan çözelim. 1. yol A aracı 9 saatte 90 litre benzin kullanıyor. Yani A aracı 1 saatte 10 litre benzin kullanıyor.
B aracı 3 saatte 15 litre benzin kullanıyor. Yani B aracı 1 saatte 5 litre benzin kullanıyor.
x saat sonra depolarda kalan benzin miktarlarını eşitleyelim.
A için;
(0, 8) ve (2, 12) noktalarını kullanırsak,
m=
y – 8 = 2x
y = 2x + 8 (1)
12 – 8 = 2 ve doğru denklemi 2–0
B için;
(0, 2) ve (2, 12) noktalarını kullanırsak,
m=
y – 2 = 5x
y = 5x + 2 (2)
12 – 2 = 5 ve doğru denklemi 2–0
A aracı için;
90 – 10 . x
B aracı için;
60 – 5x
(1) ve (2) nolu denklemlerin farkını 12 ye eşitleyelim.
O halde,
90 – 10x = 60 – 5x
5x + 2 – (2x + 8) = 12
x = 6 saat bulunur.
x = 6 bulunur.
48
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ
1.
Yandaki grafik sabit
hızla hareket eden A
ve B araçlarının yol-
da geçen süreye gö-
re depolarında kalan
benzin
miktarlarını
göstermektedir.
Bu iki araç aynı anda harekete başladıktan t1 ve t2 saat sonra, araçların depolarında kalan
Bir malın miktarlara bağlı olarak değişen birim satış fiyatı yukarıdaki doğrusal grafikte gösterilmiştir.
benzin miktarları birbirinin iki katı olduğuna göre, t1 . t2 çarpımı kaçtır?
c – a = 24 olduğuna göre, c – b kaçtır?
A)
4 16 B) C) 4 5 5
D) 5 E)
32 5
ÇÖZÜM 2.
ek tremum
×BC×
şımlarındaki şeker
Buna göre, 100 kg A karışımı ile kaç kg B karışımı karıştırılırsa elde edilen karışımın şeker oranı % 20 olur?
birine eşitleyelim.
=
homojen A ve B karımiktarları verilmiştir.
ABC ve AED dik üçgenlerinde tanà değerlerini bir×AB×
ve şekerden oluşan
m(AéCB) = m(AéDE) = à olsun.
tanà =
Yandaki grafikte un
A) 100 B) 120 C) 150
D) 200 E) 250
×AE×
×ED×
c–a c–b = 50 – 5 20 – 5 c – a = 24 verildiğinden c – b = 8 bulunur.
3.
Aynı yönde hareket
eden A ve B araçla-
rının yol-zaman gra-
fiği yandaki gibidir.
Bu iki araç, A aracı
harekete başladıktan kaç saat sonra yan yana gelirler?
A) 22 B) 21 C) 20 1) C Analitik Geometri
2) B
D) 19 E) 18 3) B 49
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. A(2, 1) noktasından geçen ve 2y – x + 3 = 0 doğ-
UYGULAMA TESTİ 1
rusuna dik olan doğrunun y eksenini kestiği
(Doğru Analitiği)
1.
noktanın ortinatı kaçtır? A) 6
y
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
d C B
A
x
D
Analitik düzlemde d doğrusu, A(–1, 0), B ve C(1, 6)
D(6, 0) olduğuna göre BD doğrusunun eğimi kaç-
noktalarından geçmektedir.
tır?
A) -
5. Köşe koordinatları A(4, 3), B(1, –1) ve C(–2, 5)
1 1 1 2 1 B) - C) - D) - E) 5 4 3 2 3
noktaları olan bir ABC üçgeni veriliyor.
2. A(2, a + 3) ve B(4, 2a – 1) noktalarından geçen doğru, x ekseni ile pozitif yönde 135° lik açı yapmakta-
ek tremum
Buna göre, A noktasından geçen ve [BC] kenarı-
na paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = – x + 7
B) y = x – 1
C) y = – 3x + 15
D) y = – 2x + 11
E) y = 2x + 2
dır.
Buna göre, AB doğrusunun y eksenini kestiği
noktanın ordinatı kaçtır? A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
3. Köşe koordinatları A(7, 8), B(– 2, 3) ve C(10, 1) noktaları olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi G noktasıdır.
1) D 50
B)
3 2
C) 2 2) B
D)
5 2
uzaklığı 2 br olduğuna göre, k nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 8
Buna göre AG doğrusunun eğimi kaçtır? A) 1
6. A(2, k) noktasının 4x – 3y + 7 = 0 doğrusuna
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
E) 3 3) C
4) B
5) D
6) C Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 10. x – 3y + 6 = 0 doğrusu 3x + ay + 1 = 0 doğrusuna
7. y – 7x + 6 = 0 ve x – y + 3 = 0
paralel, bx + 2y – 7 = 0 doğrusuna da dik oldu-
doğruları arasındaki dar açının açıortay doğru-
ğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
sunun eğimi kaçtır? 3 2
A)
B) 2
C)
5 2
D) 3
E)
A) – 3
7 2
B) – 2
11.
C) – 1
D) 0
y
y= F
C
K
kesişen doğrunun x eksenini kestiği noktanın C) – 2
D) – 3
E) – 4
ek tremum
apsisi kaçtır?
B) – 1
Analitik düzlemde y =
y
2x 3
doğrusu, ABCD ve
ve E noktaları doğrusaldır. Buna göre, A)
d2
x
B
CEFK kareleri veriliyor. O, D ve F noktaları ile B, C
9.
A
O
2x 3
E
D
8. 4x + y = 1 doğrusu ile y ekseni üzerinde dik
A) 1
E) 1
OA DK
oranı kaçtır?
3 6 5 7 4 B) C) D) E) 5 6 3 2 4
d1
B
C
A
D
x
O
12.
Yukarıdaki şekilde d1 = d2, A(2, 0), B(D, 6) ve
D(– 6, 0) olduğuna göre, Alan(OACD) kaç br2 dir? A) 10
B) 12
7) B Analitik Geometri
C) 14 8) E
D) 15
doğrularının kesim noktasının orijine uzaklığı kaç br dir? A)
3
B) 2 D)
E) 16 9) C
3x – 2y – 8 = 0 ve 4x + 3y – 5 = 0
10) A
C)
5
6 E) 2 2
11) E
12) C 51
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
UYGULAMA TESTİ 2
y
(Doğru Analitiği)
4x – 3y = 48 C
O
x
1. A(–1, 3) ve B(1, 1) noktalarından geçen doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç
A
br2 dir? A) 1
B)
3 2
C) 2
D)
5 2
D
B
E) 3
Analitik düzlemde 4x – 3y = 48 doğrusu ile OABC
Buna göre, D noktasının koordinatlar toplamı
karesi veriliyor.
kaçtır?
A) – 12
B) – 11
C) – 10
D) – 9
E) – 8
2. Analitik düzlemde 2x – y + 12 = 0 doğrusunun üzelıkları birbirine eşittir.
Buna göre |AB| kaç br dir? A) 9 5 B) 8 5 C) 6 5 D) 5 5 E) 4 5
ek tremum
rinde bulunan A ve B noktalarının eksenlere uzak-
5. Analitik düzlemde A(–1, 4), B(2, –2) ve C(8, 6) noktaları veriliyor.
Buna göre ABC üçgeninin [AB] kenarına ait yük-
seklik doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x + y + 2 = 0
B) 2x – y – 10 = 0
C) –x + 2y – 4 = 0
D) –2x + 3y – 2 = 0
E) x – 3y + 10 = 0
3. mx – y + 1 = 0
x – 2y + 5 = 0
3x + y – 7 = 0
6. Analitik düzlemde,
doğrularının kesim noktalarını köşe kabul eden
bx + 9y – b – 3 = 0
üçgen bir dik üçgen olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) -
1) C 52
8 5 2 1 4 B) - C) - D) E) 3 3 3 3 3
2) B
3) B
ax – 3y – 2 = 0 doğruları çakışık olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) – 6 4) D
B) – 5
C) – 4 5) C
D) – 3
E) – 2 6) A
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. Analitik düzlemde y – x + 6 = 0 doğrusu üzerin-
10. y + 2x – 10 = 0
de olan ve A(– 3, –1), B(5, 1) noktalarından eşit
uzaklıkta bulunan noktanın koordinatlar toplamı kaçtır? A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
doğrusunun orijine en yakın olduğu noktanın
koordinatlar toplamı kaçtır? A) 4
E) 2
B) 5
8. 4x – 3y – 3 = 0 ve 11x + 7y + 6 = 0
11. Analitik düzlemde
doğrularının kesim noktasından ve orijinden ge-
çen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangi-
A) 18x + y = 0
B) 19x + y = 0
C) 20x + y = 0
D) 21x + y = 0
E) 22x + y = 0
9. y – 2x – 5 = 0 ve 3y – x + 2 = 0
doğrularının arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
Analitik Geometri
8) B
9) C
E) 8
x – 2y = 6 3x + 4y = 8
doğruları aynı noktada kesiştiklerine göre,
a kaçtır? A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
12. mx – y + 4 = 0 ve x + 3y + n = 0
doğruları y ekseni üzerinde dik kesiştiğine göre,
m + n toplamı kaçtır? A) – 9
7) A
D) 7
(a + 2)x – (a + 1)y – 19 = 0
ek tremum
sidir?
C) 6
10) C
B) – 10
C) – 11 11) E
D) – 12
E) – 13 12) A 53
Doğru Analitiği ve Dönüşümler Analitik düzlemde,
4.
UYGULAMA TESTİ 3
(Doğru Analitiği)
d1: 3x + 4y = 24 ve
1. Analitik düzlemde y = x + 1 doğrusu üzerinde
d2: x + 2y = 10
olup 4x – 3y + 20 = 0 doğrusundan 5 br uzak-
lıkta bulunan noktaların apsisleri toplamı kaçtır? A) – 42
B) – 34
C) – 32
D) – 30
E) – 28
Buna göre, OABC dörtgeninin alanı kaç br2 dir? A) 21
B) 24
C) 27
2. Analitik düzlemde x eksenini A(5, 0) noktasında
AB doğrusunun
kesen negatif eğimli bir doğru çiziliyor.
denklemi
3x + 4y – 36 = 0 ve
B(– 5, 0) noktasının bu doğruya uzaklığı 6 br
B) x – y = 5
C) 2x + y = 10
D) 2x – y = 10
E) 2x + 3y = 10
ek tremum
olduğuna göre bu doğrunun denklemi aşağıda-
A) 3x + 4y = 15
E) 33
Analitik düzlemde
5.
kilerden hangisidir?
D) 30
[AC], OAB açısının
açıortayıdır.
Buna göre, C noktasının apsisi kaçtır? A)
3 2
B) 2
C) 3
D)
7 9 E) 2 2
3. Analitik düzlemde ABCD karesinin karşılıklı iki
6. Analitik düzlemde ax2 – 5xy + y2 = 0 denklemi
göre, BD köşegen doğrusunun denklemi aşağı-
re, a nın alabileceği en büyük tam sayı değeri
köşesi A(– 1, 2) ve C(4, 7) noktaları olduğuna dakilerden hangisidir? A) x – y = – 3
B) 4x – 2y = – 3
C) y = 3x
D) 4x + 2y = 15
orijinden geçen farklı iki doğru belirttiğine gökaçtır? A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
E) x + y = 6
1) B 54
2) A
3) E
4) C
5) E
6) D Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. Analitik düzlemde y – x + 1 = 0 ve y + x – 3 = 0
10. Analitik düzlemde x – y + 2 = 0 ve 2x + y – 7 = 0
doğrularından ñ2 br uzaklıkta bulunan noktala-
doğrularının kesim noktasından geçen ve ek-
rın apsisleri toplamı kaçtır? A) – 1
B) 2
C) 4
D) 6
senlerden eşit uzunlukta parçalar ayıran doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangi-
E) 8
sidir?
A) 2x + y = 7
B) x + y = 8
C) x – y = 10
D) 3x – 3y = 13
E) 3x + 3y = 16
8. Analitik düzlemde,
3x + y + 2 = 0
2x – y + 3 = 0
x + my – 3 = 0
11. Analitik düzlemde y = – x + 12 doğrusu üzerinde
herhangi bir A noktası alınıyor. A noktasından x eksenine dikme çiziliyor. Dikmenin x eksenini kestiği nokta B dir.
doğruları aynı noktadan geçtiğine göre, m kaç-
Buna göre,
tır?
[AB]
dikmesinin orta noktasının
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangiB) 4
C) 3
D) 2
sidir?
E) 1
ek tremum
A) 5
9.
×PB× = 3×PA×
A) x + y = 6
C) x + 2y = 12
B) 2x + y = 12
D) 3x + 2y = 12
E) 2x + 3y = 12
12.
P(2, – 3)
Yukarıdaki dik koordinat düzleminde d doğru-
Analitik düzlemde y = 2x, y =
x doğruları ve B(3, 0) 3
suna dik olan ve P noktasından geçen doğru-
noktası veriliyor.
nun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
OA ^ AC, AB ^ OB
A) x – 2y – 7 = 0
B) 2x + y – 1 = 0
olduğuna göre, C noktasının koordinatları topla-
C) x + 2y + 1 = 0
D) 2x – y + 7 = 0
A) 11
E) x + 2y – 3 = 0
7) E
8) B Analitik Geometri
mı kaçtır?
9) B
10) E
B) 12
C) 13
11) C
D) 14
E) 15
12) B 55
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Analitik düzlemde x + y – 3 = 0 ve 7x – y + 5 = 0
UYGULAMA TESTİ 4
doğrularının açıortay doğrularından birinin
(Doğru Analitiği)
hangisidir?
1. Analitik düzlemde A(– 2, 1) noktasından geçen
ve 2x + 3y = 9 doğrusuna paralel olan doğrunun
A) – 11
x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) –
1 2
B) – 1
C) –
3 2
D) – 2
E) –
3 x + 12 doğrusu x = – 2 4 ve x = 6 doğrularını sırasıyla A ve B noktalarında Buna göre, ×AB× kaç br dir? C) 10
D) 12
C) – 8
D) – 6
E) – 4
5. Analitik düzlemde köşeleri A(2, – 3), B(– 1, 4) ve
E) 15
3. Köşeleri A(– 2, 3), B(– 1, y), C(5, – 1) ve D(3, 5)
C(– 4, 2) noktaları olan ABC üçgeninin ağırlık
ek tremum
kesmektedir.
B) 8
B) – 10
5 2
2. Analitik düzlemde y =
A) 6
x
eksenini kestiği noktanın apsisi aşağıdakilerden
merkezinin 3x – 4y + k = 0 doğrusuna uzaklığı 3 birim olduğuna göre, k nin pozitif değeri kaçtır? A) 11
B) 15
C) 19
D) 22 E) 25
6. Analitik düzlemde A(3, 0), B(– 1, – 6) ve C(4, – 1)
olan ABCD dörtgeninin köşegenleri dik kesişmek-
noktalarının oluşturduğu üçgenin çevrel çembe-
tedir.
rinin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
Buna göre, B noktasının ordinatı kaçtır?
A) – 4
A) – 5
1) A 56
B) – 2
C) 1
2) C
B) – 3
C) – 2
D) 1
E) 2
D) 3 E) 5
3) B
4) B
5) D
6) C Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 10. Analitik düzlemde (x – 3)(2 + y) = x(y – 1) bağıntı-
7. Analitik düzlemde A(3, 1) noktasından geçen ve x
sının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
ekseniyle pozitif yönde 45° lik açı yapan bir doğru x + 2y + 1 = 0 doğrusu ile B noktasında kesişiyor.
Buna göre, ×AB× kaç br dir? A) ñ2
B) ñ3
C) 2
D) 2ñ2
E) 3
11.
8. Analitik düzlemde kenarları x + y = 1 ve
alanı kaç br2 dir?
E) 6
ek tremum
C) 5
x + y = – 2 doğruları üzerinde olan karenin
A) 4
11 D) 2
9 B) 2
Analitik düzlemde yukarıda verilen grafikte belirtilen A, B, C, D ve E noktalarından hangisi
– x £ y £ x , x . y < 0 koşullarının tümünü birlikte sağlar?
A) A B) B C) C
9. Analitik düzlemde (m – 3)x + (3m – 6)y + 9 = 0 doğrularının geçtiği sabit nokta P dir.
Buna göre, P noktasının orijine göre simetriği olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır? A) – 12
B) – 6
C) 0
D) 6
12.
D) D E) E
Analitik düzlemde
iki bitkinin boylarının
rilmiştir.
uzama miktarları ve-
E) 12
Buna göre, kaçıncı ayın sonunda iki bitkinin boyları farkı 7 cm olur? A) 9
7) D
8) B Analitik Geometri
9) B
10) E
B) 10
C) 11
11) D
D) 12
E) 13
12) A 57
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 13. Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 3, 5),
16. Analitik düzlemde y = 2x + 6 doğrusu üzerinde
B(– 1, – 3) ve C(11, 2) olan bir ABC üçgeni
herhangi bir A noktası alınıyor. A noktasından x
veriliyor.
eksenine indirilen dikmenin y = x doğrusunu kestiği nokta B olarak adlandırılıyor.
Buna göre, [BC] kenarına ait yükseklik doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x + y + 7 = 0
B) 2x + y + 1 = 0
C) 2x + 3y – 9 = 0
D) 7x + 5y – 4 = 0
Buna gröe, [AB] doğru parçasının orta noktasının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 12x + 5y + 11 = 0
A) 7y – 5x = 12
B) y – x = 12
C) 5y – 6x = 6
D) 2y – 3x = 6
E) 6y – 5x = 12
14. Analitik düzlemde,
x–y³2
x + 2y £ 8
17.
y³–1
eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin alanı kaç
br2 dir?
B) 12
15.
35 D) 15 E) 2
ek tremum
A) 9
27 C) 2
Analitik düzlemde 3x + 2y = 18 doğrusu verilmiştir. ×AC× = ×CD× = ×BD× ve m(DéOC) = à olduğuna göre, tanà kaçtır?
A)
1 1 7 B) C) 3 2 13
D)
8 9 E) 13 13
Yukarıda özel bir amaç için özel olarak üretilen bir aracın, trafiğe kapalı özel bir pistteki hız-zaman grafiği verilmiştir. Bu araç saatte 90 km ve altındaki hızlarda her saatte 8 litre, 90 km den yukarı hızlarda ise her saatte 10 litre benzin yakmaktadır.
Bu aracın deposunda 80 litre benzin oluğuna
18. Analitik düzlemde,
y ³ ×x – 2× y£x
x£2
göre, benzin bitene kadar bu araç toplam kaç
eşitsizlik sisteminin oluşturduğu bölgenin alanı
A) 900
A) 1
km yol alabilir?
13) E 58
B) 990
C) 1080
14) C
D) 1170
E) 1260
15) B
kaç birim karedir?
16) D
B)
3 2
C) 2
17) E
D)
5 2
E) 3
18) A Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
DÖNÜŞÜMLER A. Öteleme
Analitik düzlemde köşe koordinatları A(4, 2), B(0, 1) ve C(2, 0) olan ABC üçgeni x ekseni boyunca 1 birim
Bir şeklin boyutları, biçimi ve yönü değiştirilmeden
sağa ve y ekseni boyunca 3 birim aşağıya ötelenerek
hareket ettirilmesine öteleme denir.
AıBıCı üçgeni elde ediliyor.
Bir nokta, x eksenine paralel sağa doğru ötelenirse
Buna göre, AıBıCı üçgeninin ağırlık merkezinin ko-
apsis ile öteleme miktarı toplanır. Sola doğru ötelenirse öteleme miktarı çıkarılır.
ordinatlarını bulunuz.
Nokta, y eksenine paralel olarak yukarı doğru ötele-
nirse ordinat ile öteleme miktarı toplanır. Aşağı doğru ötelenirse öteleme miktarı çıkarılır.
ÇÖZÜM ABC üçgeninin her bir köşesini ayrı ayrı ötelemek yerine önce ABC üçgeninin ağırlık merkezini bulalım.
B. Bir Noktanın Bir Vektör Doğrultusunda Ötelenmesi
Q(x2, y2) noktası elde edilir ve Q = T (P) şeklinde Áu
gösterilir.
4+0+2 2+1+0 , ) = G(2, 1) 3 3
Şimdi G(2, 1) noktasını öteleyelim.
ek tremum
Düzlemde bir P(x1, y1) noktası Áu = (a, b) vektörü doğrultusunda ötelenirse Áu = ½PQ olacak şekilde bir
G (
G(2, 1) için Gı(2 + 1, 1 – 3) = Gı(3, – 2) elde edilir.
Q = P + Áu
(x2, y2) = (x1, y1) + (a, b) ve
(x2, y2) = (x1 + a, y1 + b) olur.
Q noktasının koordinatları, P noktası ile Áu vektörü-
nün koordinatları toplamına eşittir.
ÖRNEK 2 P(– 2, 3) noktasının Áu = (3, – 1) vektörü doğrultusunda ötelenmişi olan noktayı bulunuz.
ÇÖZÜM Ötelenmiş nokta P noktası ile verilen Áu vektörünün koordinatları toplamına eşittir. Q = P + Áu Q = (– 2, 3) + (3, – 1) = (1, 2) elde edilir.
Analitik Geometri
59
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 3
NOT
Analitik düzlemde y = x2 – 1 parabolünün x ekse-
1. Bu soru, y = x2 – 1 parabolünün Áu = (3, – 2)
nine paralel 3 birim sağa ve y eksenine paralel
vektörü doğrultusunda ötelenmesiyle elde edi-
2 birim aşağıya ötelenmesiyle elde edilen parabolün
len parabolün denklemini bulunuz şeklinde de
denklemini bulunuz.
sorulabilirdi.
2. Analitik düzlemde denklemi verilen herhangi bir
ÇÖZÜM
y = f(x) eğrisi Áu = (a, b) vektörü doğrultu-
sunda ötelenirse verilen denklemde x = x – a ,
y = x2 – 1 parabolü üzerindeki herhangi bir P(x, y)
y = y – b yazılır.
noktası alalım.
Parabol, x ekseni boyunca 3 birim sağa ve y ekseni
boyunca 2 birim aşağıya ötelenince P(x, y) noktası Pı(X, Y) noktasına dönüşür.
X = x + 3 ve Y = y – 2 olduğundan
x = X – 3 ve y = Y + 2 olur.
Şimdi bu soruyu bir de bu pratik yöntemle çözelim. y = x2 – 1 ve Áu = (3, – 2) için x = x – 3 ve y = y + 2 y + 2 = (x – 3)2 –1
O halde, denklemini sağlar.
y = x2 – 1 denkleminde
x = X – 3 ve y = Y + 2 yazılırsa
Y + 2 = (X – 3)2 – 1
Y = X2 – 6X + 6 yani
y = x2 – 6x + 6 elde edilir.
60
ek tremum
P(x, y) = P(X – 3, Y + 2) olup P noktası verilen parabol
y = x2 – 6x + 6 elde edilir.
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Bir doğru parçası ile bu doğru parçasının bir vektör-
KAVRAMA TESTİ 1.
le ötelenmişi olan doğru parçası birbirine paraleldir. A(5, – 1) ve B(2, 3) olmak üzere [AB] doğru parçası
Áu = (3, 4) vektörü boyunca ötelenerek [AıBı] doğru parçası elde ediliyor.
Buna göre, AAıBıB konveks dörtgeninin alanı
kaç birim karedir?
A) 24 B) 20 C) 15
D) 10 E) 5
Analitik düzlemde ABCD karesi x ekseni boyunca 2 birim sağa ve y ekseni boyunca 2 birim yukarıya ötelenerek AıBıCıDı karesi elde ediliyor.
Buna göre, ABCD ile AıBıCıDı karelerinin ortak
kesit alanı kaç birim karedir? A) 4ñ2 B) 8 C) 8ñ2
D) 16 E) 16ñ2 5. y = 2x – 1 doğrusunun Áu = (3, – 1) vektörü doğ-
2. Analitik düzlemde y = x2 parabolü önce Áu = (2, – 1)
vektörü boyunca öteleniyor. Elde edilen parabol, x ekseni boyunca 2 birim sola ve y ekseni boyunca da 2 birim yukarıya öteleniyor.
ek tremum
rultusunda ötelenmesiyle elde edilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6
B) y = 2x – 8
C) y = 2x – 4
D) y = 2x – 2
E) y = 2x
Son durumda oluşan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x2 – 1
B) y = x2
C) y = x2 + 1
D) y = x2 + 2
E) y = x2 + 2x + 2
6. Analitik düzlemde, y = ax + b doğrusu x ekseni boyunca 1 birim sola ve y = – bx – a doğrusu y
3. Analitik düzlemde, 2x2 – 3xy + y2 = 0 doğruları
Áu = (– 1, 1) vektörü boyunca ötelenirse elde edi-
len doğru çiftinin kesim noktasının koordinatları toplamı kaç olur?
2) C Analitik Geometri
oluşan doğrular P(– 2, – 8) noktasında kesiştiğine göre, a . b çarpımı kaçtır? A) – 2 B) – 3 C) – 5
A) – 1 B) 0 C) 1
1) D
ekseni boyunca 3 birim yukarıya ötelendiğinde
D) – 10
E) – 15
D) 2 E) 3
3) B
4) A
5) B
6) E 61
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
Dönme Dönüşümü
A(8, 6) noktasının a) orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülmesiyle,
b) orijin etrafında negatif yönde 450° döndürülmesiyle,
c) orijin etrafında 180° döndürülmesiyle,
d) orijin etrafında pozitif yönde 30° döndürülmesiyle, e) B(2, 1) noktası etrafında pozitif yönde 90° döndürülmesiyle elde edilen noktayı bulunuz.
Düzlemde bir P(x, y) noktasının orijin etrafında pozitif yönde à açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta Q ise
ÇÖZÜM
Q = Rà(P) = (x.cosà – y.sinà , x.sinà + y.cosà)
olur.
Rà ya dönme dönüşümü denir.
talar değişir. Değişmeyen noktaya dönme merkezi denir.
ek tremum
Dönme dönüşümünde bir nokta dışında tüm nok-
a) Orijin etrafında 90° ve 270° lik döndürmelerde
“Bilgi"de verdiğimiz formüller yerine şu pratik yön-
NOT
tem uygulanabilir;
1. Düzlemde bir P(x, y) noktası orijin etrafında
a) pozitif yönde 90° döndürülürse (– y, x),
b) negatif yönde 90° döndürülürse (y, – x)
c) 180° döndürülürse (– x, – y) noktası elde edilir.
2. Pozitif yönde 270° döndürmek ile negatif yönde
90° ve 270° lik döndürmelerde verilen noktanın ko-
ordinatları yer değiştirilir ve döndürülme sonucunda bulunduğu bölgeye göre işaretleri yazılır.
Yani A(8, 6) noktasının koordinatlarını yer değiş-
tirirsek Aı(6, 8) olur. Pozitif yönde 90° lik döndürülme sonucunda A noktası II. bölgeye geçtiğinden Aı(– 6, 8) olur.
90° döndürmek aynı şeydir. Yine negatif yönde
b) 450° nin esas ölçüsü 450 – 360 = 90° dir. A noktası
mek aynı şeydir.
c) 180° lik döndürme orijine göre simetriğini almak de-
IV. bölgeye geleceğinden Aı(6, – 8) olur.
270° döndürmek ile pozitif yönde 90° döndür-
3. Döndürme açısı [0, 360°] aralığında değilse ön-
ce à açısının esas ölçüsü bulunur sonra döndür-
me işlemi yapılır.
62
mektir. Aı(– 8, – 6) olur.
d) Bilgide verdiğimiz formülü kullanalım; à = 30° için
= (x.cosà – y.sinà , x.sinà + y.cosà)
= (8.cos30° – 6.sin30° , 8.sin30° + 6.cos30°)
= (4ñ3 – 3,4 + 3ñ3)
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler e) Önce B(2, 1) noktasını orijine öteleyelim.
Şimdi de elde ettiğimiz noktaları orijin etrafında negatif
Áu = (– 2, – 1) alırsak B = B + Áu = (0, 0) ve
yönde 90° döndürelim.
(6, 5) noktası orijin etrafında pozitif yönde 90° dön-
Cı(3, – 4)
ı
Bı(0, – 4)
Aı = A + Áu = (6, 5) olur.
ıı
dürülürse A = (– 5, 6) olur. Şimdi de geri öteleme
90°
(– 4, – 3)
Yani köşe koordinatlarından
Aııı = Aıı – ÁP = (– 5, 6) – (– 2, – 1)
(– 4, 0)
Şimdi de geri öteleme yapalım.
yapalım. Yani,
90°
Áu = (1, – 6) vektörünü çıkaralım.
= (– 3, 7) bulunur.
Aıı = Aı – Áu = (0, 0) – (1, – 6) = (– 1, 6)
Bıı = Bı – Áu = (– 4, 0) – (1, – 6) = (– 5, 6)
Cıı = Cı – Áu = (– 4, – 3) – (1, – 6) = (– 5, 3) Son olarak ilgili üçgenler çizilip benzerlik yazılırsa,
ÖRNEK 2
Analitik düzlemde verilen ABC dik üçgeni önce x ekseni boyunca sağa 4 birim ve y ekseni boyunca yukarıya 1 birim ötelenerek AıBıCı üçgeni elde ediliyor. Daha
sonra AıBıCı üçgeni de Aı noktası etrafında saat yöıı ıı ıı
nünde 90° döndürülerek A B C üçgeni elde ediliyor.
Buna göre, ABC üçgeni ile AııBııCıı üçgeninin ke-
ADCıı ~ ABC
2 2 Alan(ADCıı) =( ) 5 Alan(ABC)
Alan(ABC) =
Alan(ADCıı) =
siştikleri bölgenin alanı kaç birim kare olur?
ÇÖZÜM
4 .3 = 6 br2 olduğundan 2 24 2 br bulunur. 25
ÖRNEK 3
ı ı ı
Önce A B C üçgeninin köşelerinin koordinatlarını bulalım. 4 br sağa ve 1 br yukarı öteleme yapılırsa, ı
ı
ı
ı
ı
ı
A (x, y) = A (– 5 + 4, 5 + 1) = A (– 1, 6)
Analitik düzlemde y = x3 – 1 eğrisinin orijin etrafın-
da negatif yönde 90° döndürülmesiyle elde edilen eğrinin denklemini bulunuz.
B (x, y) = B (– 5 + 4, 1 + 1) = B (– 1, 2)
ÇÖZÜM
Cı(x, y) = Cı(– 2 + 4, 1 + 1) = Cı(2, 2) olur. AıBıCı üçgenini Aı(– 1, 6) noktası etrafında negatif yönı
de 90° döndürmek için önce A (– 1, 6) noktasını orijine ı ı ı
öteleyelim. Bunun için A B C üçgeninin köşe koordinatlarını Áu = (1, – 6) vektörü ile öteleyelim. A + Áu = (– 1, 6) + (1, – 6) = (0, 0) ı
Bı + Áu = (– 1, 2) + (1, – 6) = (0, – 4) Cı + Áu = (2, 2) + (1, – 6) = (3, – 4) Analitik Geometri
ek tremum
y = x3 – 1 eğrisi üzerinde herhangi bir P(x, y) noktası
alalım. P(x, y) noktası orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülürse, Pı(X, Y) = (y, – x) olacağından, X = y ´ y = X ve Y = – x ´ x = – Y
Yani, P(x, y) = (– Y, X) ve (– Y, X) noktası y = x3 – 1 eğri denklemini sağlar.
X = (– Y)3 – 1
x = – y3 – 1 elde edilir. 63
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. xOy düzleminde A(2, 6) noktası veriliyor. Eksenler
KAVRAMA TESTİ
orijin etrafında pozitif yönde 45° döndürülüyor.
Yeni oluşan xıOyı düzleminde A noktasının ko-
1. Analitik düzlemde A(– 1, 4) noktası orijin etrafında pozitif yönde önce à derece, sonra da á derece
ordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
kadar döndürülünce B(4, 1) noktası elde ediliyor.
D) (4ñ2, 2ñ2)
gisi olabilir?
A) 90 B) 180 C) 225
C) (3ñ2, 2ñ2)
A) (2, 6) B) (1, 3)
Buna göre, à + á toplamı aşağıdakilerden han-
E) (3 + ñ3, 2ñ3)
D) 270 E) 360
2. Analitik düzlemde A(– 3, 2) noktası önce Áu = (1, – 3) vektörü doğrultusunda öteleniyor. Sonra da elde edi-
5. Analitik düzlemde A(5, 3) noktasının B(– 1, 1)
len nokta orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülüyor.
noktası etrafında pozitif yönde 300° döndürül-
Son durumda elde edilen noktanın koordinatları
kaçtır?
toplamı kaçtır?
A) – 1 B) 0 C) 1
3.
D) 2 E) 3
ek tremum
mesiyle oluşan noktanın koordinatları toplamı
A) 3 – ñ3 B) 3 + ñ3 C) 4 – ñ3 D) 2 – ñ3
E) 4 – 2ñ3
6. xy dik koordinat düzleminde A(5, 4) noktası veri-
liyor. x ekseni 1 birim yukarıya, y ekseni 3 birim
sağa ötelenerek xıyı dik koordinat düzlemi oluşturuluyor. A noktası yeni oluşan xıyı dik koordinat
sisteminin orijini etrafında saat yönünde 90° döndü-
Birim karelerden oluşmuş analitik düzlemde ABCD
rülerek B noktası elde ediliyor.
AıBıCıDı karesi elde ediliyor.
mindeki koordinatları toplamı kaçtır?
karesi orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülerek
Buna göre, B noktasının xy dik koordinat siste-
Buna göre, ABCD ile AıBıCıDı karelerinin ortak
A) 1 B) 2 C) 3
kesit alanı kaç birim karedir? A) 7 B) 6 C) 5
1) D 64
2) C
D) 4 E) 5
D) 4 E) 3
3) B
4) D
5) E
6) E Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
Yansıma
Analitik düzlemde A(– 3, 2) ve B(1, 4) noktaları veri-
Bir şeklin bir noktaya veya bir doğruya göre simetri-
liyor.
ğinin alınmasına yansıma dönüşümü denir.
A noktasının B noktasına göre yansıması C, A
A. Bir Noktanın Bir Noktaya Göre Yansıması
noktasının orijine göre yansıması D ve B noktasının
(Simetriği)
y eksenine göre yansıması E noktası olduğuna
Düzlemde bir P(x1, y1) noktasının M(a, b) noktası-
göre, C, D ve E noktalarının koordinatlarını bulunuz.
na göre simetriği olan Pı noktasına P noktasının M
noktasına göre yansıması denir.
ÇÖZÜM
A(– 3, 2) ve B(1, 4) için C(2a – x1, 2b – y1) = C(2 . 1 – (– 3), 2 . 4 – 2) = C(5, 6)
A(– 3, 2) noktasının orijine göre yansıması
D(– x, – y) = D(3, – 2)
M noktası [PPı] doğru parçasının orta noktası olur. Pı(2a – x1, 2b – y1) formülü ile de bulunabilir.
B. Bir Noktanın Eksenlere ve Orijine Göre
ek tremum
B(1, 4) noktasının y eksenine göre yansıması E(– x, y) = E(– 1, 4) olur.
ÖRNEK 2
Yansıması
Analitik düzlemde A(– 1, 1) ve B(1, 3) noktaları verili-
noktasının B noktasına göre yansıması D noktasıdır.
yor. A noktasının x eksenine göre yansıması C ve C
D noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülmesiyle elde edilen noktayı bulunuz.
Düzlemde bir A(x, y) noktasının 1. Ox eksenine göre yansıması B(x, – y)
ÇÖZÜM A(– 1, 1) noktasının x eksenine göre yansıması C(x, – y) = C(– 1, – 1) , C(– 1, – 1) noktasının B(1, 3)
2. Oy eksenine göre yansıması D(– x, y)
noktasına göre yansıması,
3. Orijine göre yansıması C(– x, – y) dir.
D(2a – x1, 2b – y1)
= D(2 . 1 – (– 1), 2 . 3 – (– 1)) = D(3, 7) ve D(3, 7) noktası orijin etrafında pozitif yönde 90° dön-
dürülünce ikinci bölgeye geleceğinden istenilen nokta (– 7, 3) olur.
Analitik Geometri
65
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 2
BİLGİ KUTUSU
A) Bir Noktanın y = x ve y = – x Doğrularına Göre Yansıması
1. y = x doğrusuna göre yansıması (y, x)
2. y = – x doğrusuna göre yansıması (– y, – x)
dir.
B) Bir Noktanın x = a ve y = b Doğrularına Göre
Analitik düzlemde x = – 1 ve x = 3 doğrularına paralel
Yansıması
1. x = a doğrusuna göre yansıması (2a – x, y)
2. y = b doğrusuna göre yansıması (x, 2b – y)
olacak şekilde 9 br uzunluğunda [AB] doğru parçası alınıyor.
A noktasının x = – 1 doğrusuna göre yansıması Aı
dir.
ve B noktasının x = 3 doğrusuna göre yansıması
K AV R A M A ÖRNEK 1 Analitik düzlemde A(– 1, 4) noktasının y = – x doğrusuna göre yansıması B, A noktasının x = 3 doğrusuna göre yansıması C ve C noktasının y = x
ek tremum
Bı olduğuna göre, ×AıBı× kaç br dir?
ÇÖZÜM
doğrusuna göre yansıması D noktası olduğuna göre, ×BD× kaç br dir?
ÇÖZÜM A(– 1, 4) noktasının y = – x doğrusuna göre yansıması B(– y, – x) = B(– 4, 1) A(– 1, 4) noktasının x = 3 doğrusuna göre yansıması C(2a – x1, y) = C(2 . 3 – (– 1), 4) = C(7, 4)
İlgili şekil çizilir ve AıHBı dik üçgeni oluşturulursa ×AıH× = ×AB× = 6 br ve a + b = 4 br olduğundan, ×HBı× = 2a + 2b = 8 br
×AıBı× = ŒŸ62 + 82 = 10 br olur.
C(7, 4) noktasının y = x doğrusuna göre yansıması D(y, x) = D(4, 7) olur. B(– 4, 1) ve D(4, 7) için ×AD× = ŒŸ(– 4 – 4)2 + (1 – 7)2 = 10 br olur.
66
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
KAVRAMA TESTİ
1. Analitik düzlemde A(3, – 1) noktasının y = x doğ-
rusuna göre yansıması B ve B noktasının y = – 2
doğrusuna göre yansıması C noktasıdır. Buna göre, ×AC× kaç birimdir? A) 7 B) 5ñ2 C) 2ò13
D) 2ò15 E) 8
Analitik düzlemde verilen ABCD karesinin y = 4 doğrusuna göre yansıması AıBıCıDı karesidir.
Buna göre, ABCD ve AıBıCıDı karelerinin ortak kesit alanı kaç birim karedir? A) 20 B) 30 C) 20ñ2
2. A nalitik düzlemde Meltem, A(4, 3) noktasının önce x eksenine sonra da y eksenine göre yansımasını
D) 40 E) 30ñ2
alıyor. Elde ettiği noktayı B olarak adlandırıyor.
Meltem bu işlemi elde ettiği her bir nokta için
toplam 2017 kez yaptığında aşağıdaki noktalardan hangisini elde eder?
A) (3, 4) B) (4, 3) C) (– 4, 3) D) (– 4, – 3)
E) (4, – 3)
ek tremum
5. Analitik düzlemde A(a, b) noktası veriliyor. A nokta-
sının, x = 1 doğrusuna göre yansıması B, y = – 2 doğrusuna göre yansıması C ve orijine göre yansıması da D noktasıdır.
B ve D noktaları C noktasına göre simetrik olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) 4 B) 2 C) 1
3.
D) – 2 E) – 4
6. Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 5, 2),
Analitik düzlemde A(0, 8), C(x, 6) noktaları ve y = x
doğrusu üzerinde bulunan Aı ve B(7, y) noktaları veriliyor. A noktasının C noktasına göre yansıması ı
ı
A ve B noktasının C noktasına göre yansıması B noktasıdır.
1) C
2) D Analitik Geometri
veriliyor. ABC üçgeni önce B köşesi etrafında negatif yönde 90° döndürülerek AıBıCı üçgeni elde
ediliyor. Daha sonra AıBıCı üçgeninin orijine göre yansıması alınarak AııBııCıı üçgeni elde ediliyor.
Buna göre, AııBııCıı üçgeninin ağırlık merkezi-
Buna göre, ×AıBı× kaç birimdir? A) 6 B) 4ñ2 C) 5ñ2
B(– 2, 2) ve C(– 2, 5) noktaları olan ABC üçgeni
nin koordinatları toplamı kaçtır?
D) 3ñ6 E) 6ñ2 3) C
A) – 2 B) – 1 C) 1 4) D
5) D
D) 2 E) 3 6) A 67
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
Bir Noktanın Herhangi Bir Doğruya Göre
Analitik düzlemde A(1, 6) noktasının y = x + 3 doğ-
Yansıması
rusuna göre yansıması B noktasıdır.
Bir Noktanın ax + by + c = 0 Doğrusuna Göre
Buna göre, ×AB× uzunluğunu ve B noktasının ko-
Yansıması
ordinatlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
×AB× = 2×AH× olur.
A(1, 6) noktasının y – x – 3 = 0
doğrusuna uzaklığı
×AH× =
P noktasının d: ax + by + c = 0 doğrusuna göre
a) d doğrusuna dik olan PPı doğrusunun denkle-
B noktasını iki yoldan bulalım.
yansımasını bulmak için mi yazılır.
b) d doğrusu ile PP doğrusunun kesim noktası olan H noktası bulunur.
c) P noktasının H noktasına göre yansıması alınarak istenilen Pı noktası bulunmuş olur.
2 2 ŒŸ1 + 1
= ñ2 br
×AB× = 2×AH× = 2ñ2 br olur.
1. yol
ek tremum
ı
×6 – 1 – 3×
y = x + 3 doğrusunun eğimi 1 olduğundan,
mAB = – 1 olur.
mAB = – 1 ve A(1, 6) noktası için AB doğrusunun denklemi,
y – 6 = – (x – 1)
y=–x+7
H noktası y = x + 3 ile y = – x + 7 doğrularının kesim noktasıdır.
NOT
y–x–3=0
+
y+x–7=0
– 1 ise, P noktasının apsisi d doğrusunda x
y = 5, x = 2
sının ordinatı, d doğrusunda y yerine yazılarak
yansıması olduğundan,
1. d: ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi 1 veya ı
yerine yazılarak P noktasının ordinatı, P noktaı
da P noktasının apsisi bulunur.
2. P noktası ile P noktasının d doğrusuna göre
yansıması olan Pı noktası arasındaki uzaklık, P noktasının d doğrusuna olan uzaklığın 2 katıdır.
Yani; ×PPı× = 2×PH× dir.
Yani H(2, 5) olur.
B noktası A(1, 6) noktasının H(2, 5) noktasına göre
B(2 . a – x1, 2b – y1) = B(2 . 2 – 1, 2 . 5 – 6) B(3, 4) olur. 2. yol
y = x + 3 doğrusunun eğimi 1 olduğundan “NOT” kısmındaki pratik kullanılabilir.
A(1, 6) ve y = x + 3 olmak üzere, x = 1 için y = 1 + 3 = 4 ve y = 6 için 6 = x + 3 ´ x = 3 yani B(3, 4) bulunur. 68
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 2
KAVRAMA TESTİ
1. Analitik düzlemde A(m, m + 1) noktasının x – 3y + 5 = 0 doğrusuna göre yansıması
B(3m, m + 2) noktası olduğuna göre, m kaçtır?
A) –
1 1 1 B) – C) – 2 3 6
D)
1 1 E) 2 3
Analitik düzlemde P(m, 1) noktası verilmiştir. P noktasının y = mx doğrusuna göre yansıması olan R noktası işaretlenmiştir.
m(PO é B) = 10° olduğuna göre, m(PO é R) kaç derecedir? 2. Analitik düzlemde A(1, 2) noktasının
ÇÖZÜM
x + y – 4 = 0 doğrusuna göre yansıması olan
nokta x + 3y – m = 0 doğrusu üzerinde olduğu-
İlgili şekli çizelim.
na göre, m kaçtır?
A) 9 B) 11 C) 12
y = mx doğrusu üzerinde B(1, m) noktası alınırsa,
P¿OA @ O¿BC olur.
m(BéOA) = m(OéPA) = 80° olur.
ek tremum
3.
D noktasının [AC] kenarına göre yansıması F nok-
P noktasının y = mx doğrusuna göre yansıması alınınca, ×OP× = ×OR× ve
×AB× = ×BC× = 4 cm
D noktasının [BC] kenarına göre yansıması E ve
[AB] ^ [BC]
×BD× = 3 cm
ABC bir ikizkenar dik üçgen
D) 13 E) 15
tasıdır.
Buna göre, ×EF× kaç cm dir? A) 8 B) 3ñ6 C) 2ò13
D) 5ñ2 E) 7
POR üçgeni ikizkenar olacağından,
m(PéOR) = 140° bulunur. 1) D Analitik Geometri
2) B
3) D 69
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÇÖZÜM
BİLGİ KUTUSU
A. Bir Noktanın Birbirine Paralel İki Doğruya Göre
Yansımasının Bileşkesi
Verilen doğrular paralel olduğundan,
×PB× = 2×CD× olur.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünden,
×c1 – c2×
Düzlemde bir P noktasının birbirine paralel iki doğ-
×CD× =
sındaki uzaklığın iki katı kadar bir ötelemedir.
×PB× = 8 br olur.
ruya göre yansımasının bileşkesi, bu iki doğru ara-
2 2 ŒŸa + b
=
×13 – (– 7)× 2 2 ŒŸ3 + 4
=
20 = 4 br ve 5
×PPıı× = 2×HHı× dir. B. Bir Noktanın Kesişen İki Doğruya Göre Yansı-
ek tremum
masının Bileşkesi
ÖRNEK 2 Analitik düzlemde A(0, 4) noktasının y = ñ3x doğrusuna göre yansıması B ve B noktasının x eksenine göre yansıması C noktasıdır.
O noktası orijin olmak üzere Alan(AÿOC) kaç br2 dir?
ÇÖZÜM
Düzlemde bir P noktasının kesişen iki doğruya gö-
y = ñ3x doğrusu ile x ekseni arasındaki açı 60° oldu-
açının iki katı kadar bir dönmedir.
yönde 120° döndürülmesiyle oluşan noktadır.
re yansımasının bileşkesi, bu iki doğru arasındaki
ğundan C noktası, A noktasının orijin etrafında negatif
m(PéAPıı) = 2m(BéAC) dır.
K AV R A M A ÖRNEK 1 Analitik düzlemde bir P(x, y) noktasının 3x – 4y + 13 = 0
doğrusuna göre yansıması A noktası ve A noktasının
×OA× = ×OC× = 4 br ve m(AéOC) = 120° olduğundan,
3x – 4y – 7 = 0 doğrusuna göre yansıması B nokta-
Alan(AÿOC) =
Buna göre, ×PB× kaç br dir?
sıdır.
70
4 . 4 . sin120° 2
4 . 4 . ñ3 = = 4ñ3 br2 elde edilir. 2 .2 Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
K AV R A M A
BİLGİ KUTUSU
ÖRNEK 1
Bir Noktanın Bir Doğruya Göre Yansımasının Bazı
Uygulamaları A)
Analitik düzlemde
A(1, 5) ve B(3, 3) noktaları veriliyor.
a) ×AP× + ×PB× toplamını en küçük yapan P(x, 0) noktasını,
b) ×AP× – ×PB× farkını en büyük yapan P(x, 0) nok-
Düzlemde Ox ekseni üzerinde hareketli bir P(x, 0)
tasını bulunuz.
noktası ve Ox eksenine göre farklı bölgelerde olan A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları için ×AP× + ×PB×
ÇÖZÜM
toplamının en küçük değerini alması için A, P ve B
noktaları doğrusal olmalıdır.
a)
A ve B noktaları Ox eksenine göre aynı bölgede
ise önce A veya B noktalarından birinin Ox eksenine göre yansıması alınır.
eksenine göre yansıması olan Bı noktasını bulalım.
P(x, 0) noktası ABı doğrusunun x eksenini kestiği
noktadır. Yani A, P ve Bı noktaları doğrusal olmalıdır. O halde, mAP = mABı olur.
Ox eksenine göre A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları
aynı tarafta olmak üzere, Ox ekseni üzerindeki bir
A(1, 5), P(x, 0), Bı(3, – 3) noktaları için
mAP =
x=
b)
P(x, 0) noktası için
5–0 5 – (– 3) = mABı = ve 1–x 1–3
9 bulunur. 4
×AP× – ×PB× farkının
en büyük olması için A(1, 5), B(3, 3) ve
×AP× – ×PB× farkının en büyük değerini alması için A, B ve P noktalarının doğrusal olması gerekir.
A ve B noktaları Ox eksenine göre farklı bölge-
lerde ise önce A veya B noktalarından birinin Ox
Analitik Geometri
P(x, 0) noktalarının
doğrusal olması gerekir.
NOT
eksenine göre yansıması alınır.
Bı(x, – y) = Bı(3, – 3) olur.
bölgede olduğundan ön-
B)
A ve B noktaları aynı
ce B(3, 3) noktasının x
ek tremum
NOT
O halde,
mAB = mAP
5–3 0–5 = ve x = 6 bulunur. 1–3 x–1 Bu durumda ×AP× – ×PB× = ×AB× olduğuna dikkat
ediniz.
71
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
KAVRAMA TESTİ
1. Analitik düzlemde A(2, – 1) noktasının y = 2x – 3 doğrusuna göre yansıması B ve B nokasının da
y = 2x + 12 doğrusuna göre yansıması C nokta-
sıdır.
Buna göre, ×AC× kaç birimdir? A) 4ñ5 B) 5ñ5 C) 12
Analitik düzlemde
A(4, 0), B(– 3, 5)
noktaları
ve y = – x doğrusu üzerinde bir P noktası veriliyor.
D) 13 E) 6ñ5
×AP× + ×PB× toplamının en küçük değerini alması için P noktasının koordinatları çarpımı kaç olmalıdır?
A) – 1 B) – 4 C) – 9
5.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
ek tremum
2. Analitik düzlemde A(– 1, 4) noktasının y = 3x doğx rusuna göre yansıması B ve B noktasının y = 2 doğrusuna göre yansıması da C noktasıdır.
D) – 16 E) – 25
ABCD bir dikdörtgen, ×AB× = 9 cm, ×AD× = 4 cm A noktasındaki bir hareketli [DC] kenarı üzerindeki
bir E noktasına ve [AB] kenarı üzerindeki bir F noktasına uğramak şartıyla C noktasına gidiyor.
Bu hareketlinin alacağı en kısa yol kaç cm dir? A) 12 B) 13 C) 14
6.
D) 15 E) 17
3. Analitik düzlemde A(2, 3), B(5, 1) ve P(x, 0) nok-
taları veriliyor.
Buna göre, ×AP× + ×PB× toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 2ñ7
D) 4ñ2 E) 6
Analitik düzlemde A(2, 9), B(5, – 1) noktaları ve y = 2 doğrusu üzerinde bir P noktası veriliyor.
Buna göre, ×PA× – ×PB× farkının en büyük değeri kaçtır?
A) 5 B) 3ñ3 C) 4ñ2 1) E 72
2) C
3) B
4) B
5) D
D) ò73 E) ó109 6) A Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. A(a, 3) noktasının x – y + b = 0 doğrusuna göre
UYGULAMA TESTİ 1
yansıması B(1, 7) noktasıdır.
(Noktanın Yansıması)
1. Analitik düzlemde A(2, – 3) noktasının B(–1, b) noktasına göre yansıması C(a, 5) noktası oldu-
Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
ğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) – 4
B) – 3
C) – 2
D) – 1
E) 0
5. A(2, –1) noktasının 4x – 3y + 9 = 0 doğrusuna göre
2. Analitik düzlemde A(4, – 2) noktasının x ve y ek-
simetriği B noktasıdır.
senlerine göre yansıması sırasıyla B ve C nokta-
Buna göre, |BC| kaç birimdir? A) 7 5 B) 6 5 C) 5 5 D) 4 5 E) 3 5
3. A(1, – 3) noktasının y = x doğrusuna göre simet-
riği B, x = 3 doğrusuna göre simetriği C noktası olduğuna göre, |BC| kaç birimdir?
A) 4 5
B) 9
D) 10
1) B Analitik Geometri
ek tremum
larıdır.
Buna göre, |AB| kaç birimdir? A) 4 5
C) 2 15
D) 2 13 E) 5 2
6. A(4, –1) noktasının x + y + 7 = 0 doğrusuna gö-
re simetriği olan noktanın koordinatlar toplamı kaçtır?
C) 3 10
A) – 9
E) 5 3
2) D
B) 8
B) – 11 D) – 15
3) A
4) C
C) – 13 E) – 17
5) B
6) E 73
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. A(– 3, 1) noktasının orijin etrafında negatif yönde
10. A(2, 2) noktasının y = 3 x doğrusuna göre yansı-
90° döndürülmesiyle elde edilen nokta B ve A nok-
ması B noktası ve B noktasının y eksenine göre
tasının y = – 1 doğrusuna göre simetriği olan nokta
yansıması C noktasıdır.
da C noktasıdır.
& Buna göre, Alan (ABC) kaç birim karedir? A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
A) 2 2
E) 16
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
9. Analitik düzlemde bir P noktasının x + 2y + 7 = 0 doğ-
taları veriliyor.
Buna göre, |AC| + |BC| toplamının en küçük ol-
ması için x kaç olmalıdır? A) 2
B)
5 2
C) 3
D)
7 2
E) 4
rusuna göre yansıması A noktası ve A noktasının
12. Analitik düzlemde A(2, 5), B(4, 4) ve C(x, 0) nokta-
noktasıdır.
x + 2y – 3 = 0 doğrusuna göre yansıması da B
C) 2 3
11. Analitik düzlemde A(6, 2), B(1, – 3) ve C(x, 0) nok-
ek tremum
lamı kaçtır?
B) 3
D) 3 2 E) 2 6
8. A(– 3, 5) noktasının 2y – x – 8 = 0 doğrusuna
göre yansıması olan noktanın koordinatlar top-
Buna göre |AC| kaç birimdir?
Buna göre |PB| kaç birimdir? A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5
ları veriliyor.
Buna göre, |AC| – |BC| farkının en büyük olması
için x kaç olmalıdır? A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
D) 5 5 E) 6 5 7) A 74
8) E
9) C
10) A
11) E
12) C Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
UYGULAMA TESTİ 2
Düzlemde verilen AB, AC
doğruları ve BAC açısının iç
(Noktanın Yansıması)
bölgesinde yer alan P noktası kullanılarak aşağıdaki
1. Analitik düzlemde A(– 1, 2) noktasının y = 3 doğ-
adımlar izleniyor.
rusuna göre simetriği olan B noktası işaretleniyor. Daha sonra B noktasının y = x doğrusuna göre
simetriği olan C noktası işaretleniyor.
• AB doğrusu A noktası etrafında saat yönünde
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı
60° döndürülünce AC doğrusu elde ediliyor.
kaçtır? A) 2
• P noktasının AB doğrusuna göre yansıması alıB) 3
C) 4
D) 5
nıyor ve bu noktaya Pı deniliyor.
E) 6
• P noktasının AC doğrusuna göre yansıması alınıyor ve bu noktaya Pıı deniliyor.
×AP× = 6 br olduğuna göre, ×PıPıı× kaç birimdir?
2. Analitik düzlemde bir köşesi A(– 4, 1) olan ABCD dikdörtgeni veriliyor.
Bu dikdörtgenin simetri eksenleri x = – 1 ve
y = 3 doğruları olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir? A) 18
B) 20
C) 21
D) 24
E) 27
3. Analitik düzlemde A(3, – 6) noktasının 3x – 4y – 13 = 0 doğrusuna göre yansıması B noktasıdır.
B) 6
C) 8
D) 10
B) 8
C) 10
D) 6ñ2
E) 6ñ3
5. Analitik düzlemde A(– 2, 3) noktasının y eksenine göre yansıması B, B noktasının y = x doğrusuna
göre yansıması C ve C noktasının orijine göre yansıması da D noktasıdır.
Buna göre, ABCD konveks dörtgeninin alanı kaç birim karedir? A) 10
B) 12
C) 15
D) 18 E) 20
6. Analitik düzlemde P(2, – 1) noktasının y = mx – 4
doğrularına göre yansımalarının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, ×AB× kaç birimdir? A) 4
ek tremum
A) 6
E) 12
A) x2 + y2 = 9 B) x2 + (y + 4)2 = 9 C) (x + 4)2 + y2 = 13
D) x2 + (y + 4)2 = 13
E) (x + 4)2 + (y + 4)2 = 13
1) B
2) D Analitik Geometri
3) C
4) E
5) C
6) D 75
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7.
10. Analitik düzlemde A(1, 4) noktasının y = ax + b
doğrusuna göre yansıması B(5, 2) noktasıdır.
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) – 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Birim karelere bölünmüş analitik düzlemde P noktasının AB doğrusuna göre yansıması C ve P nokta-
sının y = – x doğrusuna göre yansıması D noktasıdır. Buna göre, ×CD× kaç birimdir? A) 3ñ6
B) 2ò15
C) 8
D) 2ò17
E) 6ñ2
11. Analitik düzlemde A(1, 3), B(9, 5) ve Ox ekseni üzerinde bir P noktası veriliyor.
×AP× + ×PB× toplamının en küçük değerini alması için P noktasının apsisi kaç olmalıdır?
A)
5 2
B) 3
C)
7 2
D) 4
E)
9 2
ek tremum
8.
Analitik düzlemde y = x + 3, y = x + 1 doğruları ve bu
doğrulara paralel olan [AB] doğru parçası veriliyor. B noktasının y = x + 3 doğrusuna göre yansıması Bı ve A noktasının y = x + 1 doğrusuna göre yansıması
12.
da A noktasıdır.
×AB× = 4 br olduğuna göre, ×AıBı× kaç birimdir? A) 2ñ5
B) 2ñ6
C) 3ñ3
D) 4ñ2
ABC bir üçgen
ı
E) 6
[AG] Ç [FC] = {H}
[FD] Ç [EC] = {K}
×AC× = 24 cm ×BF× = 16 cm
9. Analitik düzlemde A(3, – 1) noktasının y = x – 2
doğrusuna göre yansıması olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır? A) 5
7) D 76
B) 4
C) 3
8) B
D) 2
9) D
E) 1
B noktasının AG doğrusuna göre yansıması C, F noktasının EC doğrusuna göre yansıması A noktasıdır. Buna göre, ×DC× = x kaç cm dir? A) 16
10) A
B) 17
C) 18
11) D
D) 19
E) 20
12) C Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÇÖZÜM
BİLGİ KUTUSU
a) A(3, 2) noktasına göre yansımasını iki yoldan bulalım. 1. yol
Bir Doğrunun Bir Noktaya Ve Özel Doğrulara Göre
Yansıması
ax + by + c = 0 doğrusunun, 1) A(x1, y1) noktasına göre yansıması
a(2x1 – x) + b(2y1 – y) + c = 0
3) y eksenine göre yansıması a(– x) + by + c = 0 4) Orijine göre yansıması a(– x) + b(– y) + c = 0
6) y = – x doğrusuna göre yansıması
risi için de geçerlidir.
ek tremum
a(– y) + b(– x) + c = 0
NOT: Yukarıdaki formüller herhangi bir y = f(x) eğ-
ÖRNEK 1
Örneğin B(0, 2) olsun. B noktasının A noktasına
Son olarak Bı(6, 2) noktası 2x – 3y + k = 0 doğ-
rusunu sağlar.
x = 6, y = 2 için 2 . 6 – 3 . 2 + k = 0
k = – 6 ve istenilen doğru denklemi,
2x – 3y – 6 = 0 elde edilir. 2. yol
Bilgide verdiğimiz formülü kullanalım.
A(3, 2) ve 2x – 3y + 6 = 0 için
2(2x1 – x) – 3(2y1 – y) + 6 = 0
2(2 . 3 – x) – 3(2 . 2 – y) + 6 = 0 2x – 3y – 6 = 0 bulunur.
b) 2x – 3(– y) + 6 = 0
2x + 3y + 6 = 0
c) 2(– x) – 3y + 6 = 0
a) A(3, 2) noktasına
d) 2(– x) – 3(– y) + 6 = 0
2x + 3y – 6 = 0
– 2x + 3y + 6 = 0
c) y eksenine
e) 2y – 3x + 6 = 0
d) Orijine
f) 2(– y) – 3(– x) + 6 = 0
e) y = x doğrusuna
f) y = – x doğrusuna
g) 2(2 . 6 – x) – 3y + 6 = 0
g) x = 6 doğrusuna
h) y = – 1 doğrusuna
h) 2x – 3(2 . – 1 – y) + 6 = 0
göre yansımasını bulunuz.
Analitik Geometri
hangi bir B noktası
göre yansıması olan Bı noktasını bulalım.
Analitik düzlemde 2x – 3y + 6 = 0 doğrusunun
b) x eksenine
rusu üzerinde her-
K AV R A M A
2x – 3y + 6 = 0 doğ-
Bı(2a –x1, 2b – y1) = Bı(2 . 3 – 0, 2 . 2 – 2) = Bı(6, 2)
5) y = x doğrusuna göre yansıması ay + bx + c = 0
ax + b(2n – y) + c = 0 olur.
şeklindedir.
alalım.
2) x eksenine göre yansıması ax + b(– y) + c = 0
8) y = n doğrusuna göre yansıması
dan BıCı doğrusu2x – 3y + k = 0
len doğruya paralel olan bir doğrudur.
a(2m – x) + by + c = 0
BıCı // BC olduğunnun denklemi
NOT: Bir doğrunun bir noktaya göre yansıması veri-
7) x = m doğrusuna göre yansıması
2y + 3x – 6 = 0
2x + 3y – 30 = 0
2x + 3y + 12 = 0 bulunur. 77
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
ÖRNEK 2
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde orijin-
Analitik düzlemde y = 2x + 8 doğrusunun y = x
den geçen OB ve OC
doğrusuna göre yansıması d1, y = 2x + 8 doğrusunun x = 2 doğrusuna göre yansıması d2 doğrusudur.
doğruları verilmiştir. OB ^ BC
Buna göre d1, d2 ve x = 2 doğruları arasında kalan
AC ^ OA
bölgenin alanı kaç br2 dir?
B(6, 2) ve OB doğrusunun y = x doğrusuna göre
ÇÖZÜM
yansıması OC doğrusu olduğuna göre, A noktasının apsisi kaçtır?
d1: x = 2y + 8 ve d2: y = 2(2 . 2 – x) + 8
ÇÖZÜM
B(6, 2) olduğundan OB doğrusunun denklemi
İlgili doğruların grafiklerini çizelim.
x olur. 3
y=
y = – 2x + 16 olur.
x doğrusunun y = x 3 doğrusuna göre yansıması olan y = 3x olur.
OC doğrusunun denklemi; y =
yazalım.
tanà = mOB =
1 3
taná = mOC = 3 olur. O halde, ×OA× = k olursa,
×AC× = 3k ve CAD dik üçgeninde tanà =
×AD× ×AC×
olduğundan,
ek tremum
Yandaki şekli çizip açıları
d1 ve d2 doğruları x ekseni üzerindeki C noktasında dik kesişirler.
Doğru denklemleri ortak çözülürse A(2, 12), B(2, – 3) ve C(8, 0) olur.
×AD× = k ve ×OD× = 2k olur. Son olarak OBD dik üçgeninde öklit uygularsak,
Alan(AÿBC) =
×AB×.×DC× 2
(12 + 3) . 6 = = 45 br2 elde edilir. 2
×BE×2 = ×OE× . ×ED× 22 = 6 . ×ED×
×ED× =
2 br ve 3
×OD× = 2k =
k = 78
20 3
10 bulunur. 3 Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
BİLGİ KUTUSU
NOT d1 doğrusunun, eğimi 1 veya – 1 olan d2 doğ-
rusuna göre yansıması alınırken d2 doğrusunda x ve y yalnız bırakılır ve bulunan bu ifadeler d1
A. Doğrunun Kendisine Paralel Olan Bir Doğruya Göre Yansıması
doğrusunun denkleminde sırasıyla x ve y yerine
Düzlemdeki d1 doğrusunun kendisine paralel olan
yazılır. Çıkan sonuç d1 doğrusudur.
d2 doğrusuna göre yansıması bu doğrulara paralel
olan d3 doğrusudur.
K AV R A M A
×AB× = ×BC× olacağından c2 =
c1 + c3 2
ÖRNEK 1
olur.
Analitik düzlemde d: x – 2y + 6 = 0 doğrusunun
B. Bir Doğrunun Herhangi Bir Doğruya Göre Yansıması
Düzlemdeki d1 doğrusunun d2 doğrusuna göre yansıması olan d3 doğrusunu bulmak için,
1) d 1 ve d2 doğrularının kesim noktası olan A(x1, y1) noktası bulunur. 2) d 3 doğrusunun eğimi olan m3, iki doğru arasındaki açının tanjant formülünden hesaplanır. Yani
d1 ve d2 doğrularının eğimleri sırasıyla m1 ve m2 olmak üzere,
tanà =
m1 – m2
1 + m1 . m2
=
m2 – m3
1 + m2 . m3
3) Eğimi (m3) ve bir noktası A(x1, y1) bilinen doğ-
ru denklemi formülüyle d3 doğrusunun denklemi bulunur.
m3 ve A(x1, y1) noktası için,
ek tremum
a) d1: – 2x + 4y – 10 = 0 doğrusuna b) d2: y – x + 3 = 0 doğrusuna göre yansımasını bulunuz.
ÇÖZÜM a) d ve d1 doğruları paraleldir. (Eğimleri eşit)
Önce d ve d1 doğrularının katsayılarını eşitleyelim.
Biz d1 doğrusunun katsayılarını –
d1: – 2x + 4y – 10 = 0 x – 2y + 5 = 0
1 ile çarpalım. 2
d: x – 2y + 6 = 0
d1: x – 2y + 5 = 0 ve
d3: x – 2y + c = 0
olsun. 6+c 2
5=
c = 4 ve
d3: x – 2y + 4 = 0 bulunur.
y – y1 = m3 . (x – x1) Analitik Geometri
79
Doğru Analitiği ve Dönüşümler b)
ÖRNEK 2
1. yol
y = x2 – 1 parabolünün A(1, – 2) noktasına göre
d: x – 2y + 6 = 0 ve
d2: y – x + 3 = 0 doğrularının kesim noktasını
yansımasını bulunuz.
bulalım.
ÇÖZÜM
d ve d2 denklemleri
ortak çözülürse, kesim
y = x2 – 1 parabolünün, A(1, – 2) noktasına göre yan-
noktası A(12, 9) olur.
sıması olan parabol üzerinde bir P(x, y) noktası alalım.
d3 doğrusunun eğimi
P(x, y) noktasının A(1, – 2) noktasına göre yansıması Pı noktası olsun.
m olsun.
md =
1 2
P(x, y) noktasının bir A(a, b) noktasına göre yansıması Pı(2a – x, 2b – y) olduğundan
md = 1 ve md = m için 2
md – md
2
1 + md . md 1 –1 2 1 .1 1+ 2
= 2
md – md 2
Pı(2 . 1 – x, 2 . – 2 – y) = Pı(2 – x, – 4 – y) olur. Pı noktası y = x2 – 1 parabolü üzerinde olduğundan
3
1 + md . md 2
3
Şimdi de Pı(2 – x, – 4 – y) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine yazalım.
1–m = 1+1.m
m = 2 bulunur.
A(12, 9) ve m = 2 için,
y – y1 = m (x – x1)
y – 9 = 2(x – 12)
y = 2x – 15 bulunur.
ek tremum
tanà =
3
Yani y = x2 – 1 denkleminde 2. yol md = 1 olduğundan “NOT” kısmında verdiğimiz pratiği 2
kullanabiliriz.
d2: y – x + 3 = 0
y = x – 3 ve x = y + 3 bu ifadeleri
d: x – 2y + 6 = 0 denkleminde yazarsak,
y + 3 – 2(x – 3) + 6 = 0
y – 2x + 15 = 0
y = 2x – 15 elde edilir.
80
x ® 2 – x ve y ® – 4 – y yazalım.
y = x2 – 1
– 4 – y = (2 – x)2 – 1 ifadesi düzenlenirse,
y = – x2 + 4x – 7 elde edilir.
NOT Bu yöntem herhangi bir y = f(x) eğrisinin, yansıma-
sını bulmak için kullanılabilir.
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Analitik düzlemde A(4, 4) noktasının y = ñ3x doğ1 rusuna göre yansıması B ve A noktasının y = x ñ3 doğrusuna göre yansıması C noktasıdır.
KAVRAMA TESTİ 1. Analitik düzlemde 2x + y – 4 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre yansıması olan doğrunun
Buna göre, ×BC× kaç birimdir?
eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir?
A) 3 B) 4 C) 5
A) 4 B) 2ñ7 C) 4ñ2
D) 6 E) 7
5.
A) – 1 B) –
2 1 C) 3 3
D)
2 4 E) 3 3
ek tremum
Buna göre, m kaçtır?
2. A nalitik düzlemde my – x + 2 = 0 doğrusunun x eksenine göre yansıması olan doğru, y eksenini A(0, 3) noktasında kesmektedir.
D) 6 E) 4ñ6
Analitik düzlemde y = mx ve y = nx doğruları C mer-
kezli çembere sırasıyla A ve B noktalarında teğettir. y = mx doğrusunun y = nx doğrusuna göre yansıması x ekseni üzerinde ve C noktasının y = mx doğuru-
suna göre yansıması olan nokta y ekseni üzerindedir. Buna göre, m(AéOB) kaç derecedir? A) 45 B) 36 C) 30
3. Analitik düzlemde x – 2y + 5 = 0 doğrusunun
y = 2 doğrusuna göre yansıması olan doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3
1) B
2) D Analitik Geometri
D) 4 E) 5
3) C
D) 24
E) 15
6. Analitik düzlemde y = x doğrusunun y = 2x – 2
doğrusuna göre yansıması olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) – 6 B) – 8 C) – 10
4) C
5) B
D) – 12 E) – 14
6) D 81
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7.
10. Analitik düzlemde y = x2 parabolünün y = x – 1
doğrusuna göre yansımasının x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Analitik düzlemde ABCD dikdörtgeni verilmiştir. A(12, 0), D(0, 6) B noktasının x = k doğrusuna göre yansıması (– 2, 4) noktası olduğuna göre, k kaçtır? A)
11 13 B) 6 C) 2 2
D) 7 E)
15 2
11.
8. Analitik düzlemde 2x – 3y = 12 doğrusunun
A(3, 1) noktasına göre yansımasının eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir? A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
9. (m – 1)x + (m – 3)y + 2m = 0 doğrularının geçtiği sabit noktanın y = – x doğrusuna göre yansıması olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
82
Analitik düzlemde I. bölgede bulunan A(m, 1) noktası ve y = mx doğrusu veriliyor.
A noktasının y = mx doğrusuna göre yansıması B noktası olduğuna göre, m kaçtır? A) ñ5 B) 1 + ñ3 C) 1 + ñ2
8) A
D) ñ3 E) ñ2
12. Analitik düzlemde x – 2y – 12 = 0 doğrusunun
2x + y – 14 = 0 doğrusuna göre yansımasının y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) 14 B) 7 C) 4
A) – 2 B) – 1 C) 1
7) B
ek tremum
D) – 6 E) 7
D) 2 E) 3
9) D
10) B
11) C
12) D Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler Son olarak I. bölgedeki bir P(x, y) noktası orijin etra-
BİLGİ KUTUSU
fında pozitif yönde 90° döndürülürse Pı(– y, x) noktası elde edileceğinden,
Aıı(2, 6), Bıı(2, 3) ve Cıı(– 2, 6) noktaları için
ÖTELEME, DÖNME VE YANSIMA UYGULAMALARI
Aııı(– 6, 2), Bııı(– 3, 2) ve Cııı(– 6, – 2) elde edilir.
Bir şeklin bir doğru boyunca ötelenip sonra yansı-
O halde A(– 7, 2) ve Cııı(– 6, – 2) için
masına veya önce yansıması alınıp sonra ötelenmesine ötelemeli yansıma denir.
×ACııı× = ŒŸ(– 7 + 6)2 + (2 + 2)2 = ò17 br olur.
Bu bölümde bir şekle birden fazla dönüşüm uygula-
nan soru tiplerini inceleyeceğiz.
ÖRNEK 2
K AV R A M A
ÖRNEK 1
AıBıCı üçgenidir. AıBıCı üçgeni x eksenine paralel 4
br sağa ve y eksenine paralel 1 br aşağıya ötelene-
rek AııBııCıı üçgeni elde ediliyor. Son olarak da AııBııCıı
üçgeni orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülerek AıııBıııCııı üçgeni elde ediliyor.
ek tremum
ABC dik üçgeninin y = – x doğrusuna göre yansıması
Analitik düzlemde köşe koordinatları A(– 7, 2) , B(– 4, 2) ve C(– 7, 6) noktaları olan ABC dik üçgeni veriliyor.
Analitik düzlemde ABC dik üçgeni ve M noktası verilmiştir. ABC dik üçgeni önce x eksenine paralel 1 br
sola ve y eksenine paralel 4 br yukarı öteleniyor sonra da M noktası etrafında pozitif yönde 90° öteleniyor.
Buna göre, ABC dik üçgeninin son durumdaki gö-
Buna göre ×ACııı× kaç br dir?
rüntüsünü bulunuz.
ÇÖZÜM ÇÖZÜM
A(2, 1), B(2, – 3) ve C(5, – 3) noktalarını eksenlere
Bir P(x, y) noktasının y = – x doğrusuna göre yansı-
ması Pı(– y, – x) olduğundan A(– 7, 2), B(– 4, 2) ve
paralel olacak şekilde 1 br sola ve 4 br yukarıya öteleyelim.
C(– 7, 6) noktaları için ABC dik üçgeninin y = – x
doğrusuna göre yansıması, ı
ı
ı
A (– 2, 7), B (– 2, 4) ve C (– 6, 7) olur.
Şimdi de Aı, Bı, Cı noktalarını 4 br sağa ve 1 br aşağıya
öteleyelim.
Aıı(– 2 + 4, 7 – 1) = Aıı(2, 6) ıı
ıı
ıı
ıı
B (– 2 + 4, 4 – 1) = B (2, 3) C (– 6 + 4, 7 – 1) = C (– 2, 6) olur.
Aı(2 – 1, 1 + 4) = Aı(1, 5) Bı(2 – 1, – 3 + 4) = Bı(1, 1) Cı(5 – 1, – 3 + 4) = Cı(4, 1) olur.
Analitik Geometri
83
Doğru Analitiği ve Dönüşümler Oluşan AıBıCı dik üçgenini M(– 2, – 1) noktasında
ÇÖZÜM
pozitif yönde 90° döndürmek için önce M(– 2, – 1) nok-
OABC dikdörtgeni saat yönünde à derece döndürü-
tasını orijine ötelemeliyiz.
lünce aşağıdaki şekil oluşur.
Dolayısıyla AıBıCı dik üçgeninin koordinatlarını
Áu = (2, 1) vektörü ile toplayalım. Aı(1 + 2, 5 + 1) = Aı(3, 6) ı
ı
B (1 + 2, 1 + 1) = B (3, 2)
Cı(4 + 2, 1 + 1) = Cı(6, 2) elde edilir.
I. bölgedeki bir P(x, y) noktası pozitif yönde 90° dön-
dürülürse II. bölgeye geleceğinden yeni koordinatı ı
P (– y, x) olur.
O halde Aı(3, 6), Bı(3, 2) ve Cı(6, 2) noktalarının yeni
×OCı× = ×OC× = 12 br
koordinatları;
×OB× = 20 br olduğundan
Aıı(– 6, 3), Bıı(– 2, 3) ve Cıı(– 2, 6) olur. Son olarak bulduğumuz bu koordinatları geri öteleme
×BCı× = 8 br
noktalarını Áu = (– 2, – 1) vektörü ile toplamalıyız.
×CıD× = 9 br ve
yapmalıyız. Yani Aıı(– 6, 3), Bıı(– 2, 3) ve Cıı(– 2, 6)
CÿOB ~ CıÿOD olduğundan
O halde son durumda, ıı
×OD× = 15 br bulunur.
ıı
ek tremum
A (– 6 – 2, 3 – 1) = A (– 8, 2) Bıı(– 2 – 2, 3 – 1) = Bı(– 4, 2) Cıı(– 2 – 2, 6 – 1) = Cıı(– 4, 5)
OAıBıCı dikdörtgeninin OB doğrusuna göre yansımasını çizersek,
ÖRNEK 3
×OBıı× = 20 br olduğundan ×CBıı× = 8 br ve
Analitik düzlemde B(16, 12) olacak şekilde OABC
BııÿCE ~ BÿCO olduğundan,
dörtgen orijin etrafında saat yönünde à derece döndü-
×BııE× = 10 br ve
dikdörtgeni veriliyor. m(CéOB) = à olmak üzere bu dik-
×CE× = 6 br
rülerek OAıBıCı dikdörtgeni elde ediliyor. OAıBıCı dik-
×ECı× = 6 br bulunur.
dörtgeninin de OB doğrusuna göre yansıması alınarak OAııBııCı dikdörtgeni elde ediliyor.
Buna göre, OABC dikdörtgeni ile OAııBııCı dikdörtgeninin ara kesit bölgesinin alanı kaç br2 dir?
84
Bizden OCıEC dörtgeninin alanı isteniyor. Alan(OCıEC) = Alan(OCıE) + Alan(OCE) =
6 . 12 6 . 12 + = 72 br2 bulunur. 2 2 Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Aşağıda numaralandırılmış şekillerden hangi
KAVRAMA TESTİ
ikisi, birbirinin ötelemeli yansımasıdır?
1. A(– 2, 4) noktasının orijin etrafında saat yönünde 60° döndürülmesiyle elde edilen nokta B olduğuna göre, ×AB× kaç birimdir? A) 4 B) 2ñ5 C) 5
D) 2ñ7 E) 6
2. A(3, 1) noktasının önce Áu = (– 1, 1) vektörü
doğrultusunda ötelenip daha sonra da orijin etrafında 90° döndürülmesiyle oluşan noktanın koordinatları toplamı kaçtır? A) – 4 B) – 2 C) 0
3.
A) 1 ve 2 B) 1 ve 3 C) 2 ve 3
D) 2 E) 3
D) 2 ve 4
E) 1 ve 4
Dik koordinat düzlemin-
Birim karelere bölünmüş yukarıdaki analitik düz-
ek tremum
5.
de, merkezi O noktasında olan aşağıdaki
ABCDEFKH düzgün sekizgeni verilmiştir. Bu seK
sonrası elde edilen se-
döndürülüyor sonra da elde edilen şeklin orijine göre
kizgenin de x eksenine
yansıması alınıyor.
hangisi elde edilir?
göre simetriği alınıyor.
Buna göre, ilk durumda K noktasının bulunduğu köşeye, son durumda hangi nokta gelir?
saat yönünde 135° döndürülüyor. Döndürme
lemdeki şekil önce orijin etrafında pozitif yönde 90°
Buna göre, son durumda aşağıdaki şekillerden
kizgen, merkezi etrafında
A) A B) B C) C
D) D E) E
6. Analitik düzlemde 3x + 2y – 6 = 0 doğrusu x eksenini A, y eksenini B noktasında kesiyor.
Buna göre, A noktasının B noktasına göre yansıması olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
1) B
2) C Analitik Geometri
A) 1 B) 2 C) 3
3) A
4) C
5) E
D) 4 E) 5
6) D 85
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. Bir şekil merkezi etrafında 360° den küçük bir açı ile
10.
döndürüldüğünde kendisi ile çakışıyorsa dönme si-
metrisine sahiptir denir ve en küçük dönme açısına da en küçük dönme simetri açısı denir.
Aşağıda verilen şekillerden hangileri dönme si-
metrisine sahiptir?
Bir doğru, bir şekli birbirine simetrik iki şekle ayırıyorsa bu doğruya yansıma simetri ekseni denir.
Buna göre, yukarıdaki şekillerden hangileri yatay simetri eksenine sahiptir?
A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II
D) I ve III
E) II ve III
A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III
11. Bir şekil yatay ve dikey simetri eksenine sahipse bu
E) II ve III
şeklin eksenlere göre yansıması, bu şeklin ötelen-
8. xy dik koordinat düzleminde A(ñ2, 2ñ2) noktası alınıyor. xy dik koordinat sistemi orijin etrafında pozitif yönde 45° döndürülerek xıyı dik koordinat
ek tremum
mesiyle de elde edilebilir.
düzlemi oluşturuluyor.
Buna göre, A(ñ2, 2ñ2) noktasının xıyı dik koordinat sistemindeki koordinatları toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Buna göre, yukarıdaki şekillerden kaç tanesinin
x ve y eksenlerine göre yansıması aynı şeklin ötelenmesiyle de elde edilebilir? A) 1 B) 2 C) 3
9. Aşağıdakilerden kaç tanesi eşkenar üçgenin dönme simetri açılarından biridir? I. 60
II. 90
III. 120
A) 5 B) 4 C) 3
7) D 86
8) B
IV. 180
V. 240
D) 2 E) 1
9) D
D) 4 E) 5
12. A(– 2, 3) noktasının Áu vektörü doğrultusunda ötelenmesiyle oluşan B(1, y) noktası 2x + y – 3 = 0
doğrusu üzerinde olduğuna göre, Áu vektörünün koordinatları toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3
10) E
11) B
D) 4 E) 5
12) A Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. A(–2, – 4), B(a, 1) ve C(12, 6) noktaları doğrusal
UYGULAMA TESTİ 1
olduğuna göre, a kaçtır?
1. Analitik düzlemde A(–1, 3), B(3, – 5) ve C(1, 8)
A) 4
noktaları veriliyor.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Buna göre, ABC üçgeninin ağırlık merkezinin
orijine uzaklığı kaç birimdir? A)
2 B)
3
C) 2
D)
5 E)
6
5.
y
y = mx
2. (m + 1)x – 4y + 7 = 0 ve 6x – (m – 1)y – 5 = 0
y=x
doğruları birbirine paralel olduğuna göre m nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? B) – 5
C) 1
D) 5
E) 25
ek tremum
A) – 25
3.
y
x x=6
Analitik düzlemde y = mx, y = x ve x = 6 doğruları
Taralı bölgenin alanı 36 cm2 olduğuna göre, m
B
veriliyor. kaçtır?
A) 2
B)
5 2
C) 3
D)
7 2
E) 4
C
D
E
A
x
Analitik düzlemde x + y = 6 doğrusu ve CDE eşke-
& |AC| = |BC| olduğuna göre, Alan (CDE) kaç birim karedir?
nar üçgeni veriliyor.
A) 2 6
B) 5
C) 3 3
D) 2 7 E) 4 2 1) D Analitik Geometri
2) A
3) C
6. Analitik düzlemde
4x – 3y + 6 = 0 ve – 4x + 3y + k = 0 doğruları arasındaki uzaklık 3 birim olduğuna göre, k nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) – 21
4) B
B) – 15
C) – 13
5) C
D) – 12
E) – 9
6) D 87
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. y = 2x + 6 doğrusunun y = x doğrusuna göre si-
y
10.
metriği d1 doğrusu ve orijine göre simetriği de d2 doğrusudur.
y=x
Buna göre, d1 ve d2 doğrularının kesim noktasının koordinatlar toplamı kaçtır? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
x
Analitik düzlemde y = x ve x + y = 6 doğruları veriliyor.
Buna göre taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sis-
temi aşağıdakilerden hangisidir? A) y ≥ x
B) y ≥ x
x + y > 6
x + y < 6
x+y>6
y > 0
y > 0
x 0
C) y ≤ x
x+y0
11. Analitik düzlemde x = 3 doğrusu ve A(– 3, 0) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y = 3
B) y2 = 6x
D) x2 = 6x
C) y2 = –12x E) x2 = –12y
12. 2x – y – 4 = 0 ve x + 2y – 7 = 0 9. 3y – 6x + 5 = 0 ve 3y – x – 3 = 0
doğruları arasındaki dar açının ölçüsü kaç dere-
cedir? A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
doğrularının açıortay doğrularından birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = – x + 5
B) y = – 2x + 7
C) y = – 3x + 10
D) y = – 3x + 11
E) y = – 3x + 12 7) A 88
8) D
9) C
10) E
11) C
12) D Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
UYGULAMA TESTİ 2
y y = 4x
1. Kenarlarının orta noktaları D(–3, 2), E(–1, –2)
ve F(3, 1) olan ABC üçgeninin alanı kaç birim
y=
karedir? A) 40
B) 44
C) 48
D) 52
2 x 3
E) 56
x x+y=5
Analitik düzlemde x + y = 5, y = 4x ve y = ruları veriliyor.
2 x doğ3
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 3 2.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
y
C x
B
Analitik düzlemde ABC ikizkenar dik üçgeni veriliyor.
ek tremum
A
5. x – 2y – 6 = 0 ve –2x + 4y – 8 = 0
C noktasının koordinatlar toplamı kaçtır? B) 6
C) 5
D) 4
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
|AB| = |AC|, A(0, 4) ve B(– 3, 0) olduğuna göre, A) 7
doğrularından eşit uzaklıkta bulunan noktaların
E) 3
A) x – 2y – 1 = 0
B) x – 2y – 2 = 0
C) x – 2y – 3 = 0
D) x – 2y – 4 = 0
E) x – 2y – 5 = 0
6. Analitik düzlemde A(2, –1) noktasının x = 5 doğrusuna göre simetriği B noktası ve y = x + 3 doğrusuna göre simetriği de C noktasıdır.
3. 2y – 3x + 5 = 0 ve (m – 1)y + 6x – 1 = 0
doğruları birbirine dik olduğuna göre, m kaçtır? A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
Buna göre, |BC| kaç birimdir? A) 5 3
B) 12
D) 13 1) B Analitik Geometri
2) C
3) E
4) C
C) 4 10 E) 6 5
5) A
6) E 89
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. 2x – y – 2 = 0 doğrusunun A(–1, 2) noktasına
10.
göre yansımasının eksenlerle oluşturduğu üç-
A
genin alanı kaç birim karedir? A) 25
B) 30
C) 35
y
B
D) 40
E) 45
x
O
Analitik düzlemde OAB dik üçgeni veriliyor. OAB dik üçgeni orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülerek B′ açısı dik açı olan OA′B′ üçgeni elde ediliyor.
B(–2, 4) ve [OB] = [AB] olduğuna göre, & Alan (BOA') kaç birim karedir? A) 5 3 D) 4 5
y = x – 7 ve y = x + 5
doğrularının her ikisine de teğet olan çemberin yarıçapı kaç birimdir? B) 4
C) 3 2
D) 5
E) 6
ek tremum
8. Analitik düzlemde
A) 3
B) 10
C) 9 E) 8
11. y = 2x – 7 doğrusunun y = x – 1 doğrusuna göre
yansımasının eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir?
A) 7
B) 6
12.
C) 5
D) 4
E) 3
y C
B D
A
9. A(3, 1) noktasından geçen ve x ekseni ile 45°
açı yapan doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x – 6
B) y = x – 1
D) y = – x + 4
7) A 90
8) C
E) y =
x
Analitik düzlemde ABCD karesi veriliyor. C(0,8)
ve D (–2,3) olduğuna göre, AB doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
C) y = – 2x + 6
A) 2y – 5x + 11 = 0
B) 2y – 5x +12 = 0
x 3
C) 2y – 5x + 13 = 0
D) 2y – 5x +14 = 0
E) 2y – 5x+ 15 = 0 9) D
10) B
11) D
12) C Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4.
UYGULAMA TESTİ 3 1.
y C
y A
D
D
E
B
B
x
O
C
F
O
A
Analitik düzlemde –x + y – 6 = 0 ve 2x + y – 6 = 0
Buna göre, karelerin alanları toplamı kaç birim
eşkenar üçgeni veriliyor. Buna göre, A)
2 B)
karedir?
C) 9
D) 13
AD AC
oranı kaçtır?
3 C) 2
3
D) 2
E)
5 2
E) 25
A(k – 1, 3k – 2), B(2k + 1, 6 – k) ve C(3, 4k – 7)
ek tremum
B) 6
2. Analitik düzlemde
5. (k + 1)x + (k – 1)y + 6 = 0
noktaları veriliyor.
Analitik düzlemde y – x – 11 = 0 doğrusu ve OAB
doğruları ile OABC ve ODEF kareleri veriliyor.
A) 5
x
doğrusunun y = – x doğrusuna göre yansıması
olan doğru P(3, –1) noktasından geçtiğine göre, k kaçtır?
Buna göre, ABC üçgeninin ağırlık merkezinin
A) 5
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangi-
B) 3
C) 1
D) – 3
D) – 5
sidir?
A) y = x + 1
B) y = 2x – 1
D) y = 2x – 2
C) y = 2x + 1
E) y = 2x – 3
3. Analitik düzlemde 2x + my – 6 = 0 doğrusunun (m – 10)x + 3y + 1 = 0 doğrusuna göre simetriği kendisi olduğuna göre, m kaçtır? A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
6. my – x + 4 = 0 ve y + 3x + n = 0 doğruları y = x doğrusu üzerinde dik kesişmektedir.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 8
1) D Analitik Geometri
2) E
3) B
4) C
B) 9
C) 10 5) A
D) 11
E) 12 6) D 91
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. Analitik düzlemde y ekseninin negatif tarafında
10. Analitik düzlemde eğimi
3 birimlik doğru parçası ayıran ve x ekseniyle
1 olan bir d doğrusu, 2
pozitif yönde 120° lik açı yapan doğrunun denk-
(x2 – 4x)2 + (y2 – 3y)2 = 0 doğrularının oluştur-
A) y = – ñ3x – 1
B) y = – ñ3x – 2
bu d doğrusunun x eksenini kestiği noktanın
C) y = – ñ3x – 3
D) y = – ñ3x – 2ñ3
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
duğu dikdörtgeni eş iki parçaya ayırdığına göre, apsisi kaçtır?
E) y = – x – 3
A) 2
B) 1
C) – 1
D) – 2
E) – 3
11.
8. Analitik düzlemde bir ABCD dikdörtgeninin komşu olmayan iki köşesi A(1, 3) ve C(5, 1) noktalarıdır.
B ve D köşelerinden geçen doğrunun eğimi 2 olduğuna göre, BD doğrusunun y eksenini
K
A) – 5 B) – 4 C) – 3
9.
D) – 2 E) – 1
ek tremum
kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Analitik düzlemde y = 3x doğrusu ve ABCD ile BEFK eş dikdörtgenleri verilmiştir.
×OA× = ×AB× olduğuna göre, C ve F noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? A) –
3 2 3 B) – C) – 4 3 5
D) –
1 1 E) – 2 3
12. Analitik düzlemde x + 2y = 4 doğrusunun eksenlerden ayırdığı kirişin orta noktasından ve
Analitik düzlemde OABC bir dikdörtgen
A(– 3, – 2) noktasından geçen doğrunun denkle-
AD ^ OB, A(1, – 3)
mi aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, OD doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 15x B) y = 20x C) y = 21x
A) 2x – y + 4 = 0
B) 3x – 4y + 1 = 0
C) x – 5y – 2 = 0
D) 3x – 5y – 1 = 0
E) 4x – 3y + 6 = 0
D) y = 24x E) y = 27x
1) C 92
2) B
3) E
4) C
5) B
6) D Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. A(1, 2) noktasının Áu = (– 3, 1) vektörü doğrultusun-
UYGULAMA TESTİ 4 1.
da ötelenmesi sonucu B, B noktasının Áv = (6, – 5) vektörü doğrultusunda ötelenmesi ile C noktası olu-
şuyor.
Buna göre, ×AC× kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
Analitik düzlemde ABCD karesi veriliyor. 5. A(– 4, 3) noktasının y = 5 doğrusuna göre si-
A(5, 2) ve B(8, 9) olduğuna göre AD doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
metriği B, B noktasının y = – x doğrusuna göre
A) 2x + 11y = 32
sının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
C) x + 3y = 11
D) x + 2y = 9
simetriği C noktası olduğuna göre, C nokta-
B) 2x + 7y = 24
A) (7, 4)
E) 3x + 7y = 29
B) (– 7, 4)
C) (4, – 7)
2. Analitik düzlemde K(– 4, 6), L(6, 9) ve x ekseni
ek tremum
D) (3, – 7) E) (3, 4)
6.
üzerinde bulunan M noktası veriliyor.
×KM× + ×LM× toplamının en küçük olması için M noktasının apsisi kaç olmalıdır? A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
Şekildeki düzgün sekizgen merkezi etrafında
döndürüldüğünde aşağıdaki şekillerden hangisi oluşmaz?
3. Analitik düzlemde P(5, 2) noktasından geçen ve
3x + 2y + 5 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun x
eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 1
B) 2
1) E
C) 3
2) C Analitik Geometri
D) 4
E) 5
3) B
4) C
5) B
6) E 93
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. Analitik düzlemde A(3ñ3, 3) noktasından geçen
10. Analitik düzlemde,
ve y = ñ3x doğrusu ile eşkenar üçgen oluşturan
A = {(x, y): x – 2y ³ 2}
doğrulardan birinin x eksenini kestiği noktanın apsisi aşağıdakilerden hangisidir? A) 4ñ3
C) 2ñ3
B) 7
B = {(x, y): x + y £ 2} E) ñ3
D) 6
kümeleri veriliyor. Aağıda verilen kümelerden hangisinin A Ç B kümesi ile kesişimi boş kümedir? A) {(x, y): y = x} C) {(x, y): y = – 1}
8. Analitik düzlemde sıfırdan farklı a ve b reel sayıları için,
ax + 2by + 3b = 0
bx – 2ay – 3a = 0
B) {(x, y): x = 6} D) {(x, y): x + 2y = 4}
E) {(x, y): x – y = 6}
doğrularının kesim noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğru denklemi aşağıdaki-
11.
lerden hangisidir? A) y = 1
B) y =
1 2
C) y = –
9.
ek tremum
3 D) y = – 1 E) y = – 2
1 2
Yukarıdaki grafikte A bir ürünün satış fiyatını, B ise bu ürünün maliyetini göstermektedir.
Buna göre, bu üründen 240 adet satıldığında kaç TL kâr elde edilir? A) 750
Yukarıda verilmiş şekiller aşağıda sırayla yazılmış hangi hareketler sonucu oluşamaz?
B) 700
C) 650
D) 600
E) 550
12. Analitik düzlemde x eksenine, y eksenine, orijine
ve y = x doğrusuna göre simetrik olan noktalardan
A) Öteleme - Yansıma - Öteleme - Yansıma
bir A kümesi oluşturuluyor.
B) Yansıma - Öteleme - Öteleme - Yansıma
P(2, 1) noktası, bu A kümesinin bir elemanı
C) Yansıma - Öteleme - Yansıma - Öteleme D) Öteleme - Yansıma - Yansıma - Öteleme E) Yansıma - Yansıma - Öteleme - Öteleme
7) A 94
8) E
9) E
olduğuna göre, A kümesinin elaman sayısı en az kaçtır? A) 6
10) D
B) 7
C) 8
11) B
D) 9
E) 10
12) C Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Analitik düzlemde y – 2x + 12 = 0, 2y + x – 12 = 0
UYGULAMA TESTİ 5
ve x ekseninin oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç br dir?
1. Analitik düzlemde k Î Z olmak şartıyla
A(2k – 1, k + 3) ve B(3, 5 – 3k) noktaları veriliyor.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
[AB] doğru parçasının orta noktası I. bölgede olduğuna göre, A noktasının orijine uzaklığı en çok kaç birimdir? A) 3ñ6
B) 2ò15
C) ò61
D) 3ñ7
E) 8
5. Analitik düzlemde y = x + 6 doğrusu üzerinde her2.
hangi bir A noktası alınıyor. A noktasından y ek-
senine dikme çiziliyor. Dikmenin y eksenini kestiği
nokta B dir.
Buna göre, [AB] doğru parçasının orta noktasının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
Analitik düzlemde verilen şeklin y = x doğrusu-
ek tremum
A) y = 2x + 6
B) y = 3x + 6
C) y = 2x + 4
D) y = 3x + 4
E) y = x + 2
na göre yansıması alınırsa, verilen noktalardan kaç tanesi elde edilen görüntünün içinde kalır? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
6. Analitik düzlemde,
4x – y – 3 = 0
2x + ky – 5 = 0
alanı 6 br2 dir.
kx – y – 2 = 0
Bu şartı sağlayan doğrular arasındaki uzaklık
doğruları bir noktada kesiştiğine göre, k nin ala-
3. Analitik düzlemde 4x + 3y + 6 = 0 doğrusuna dik olan bir doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin
kaç br dir? A)
12 18 B) 5 5
1) C
C) 4
2) B Analitik Geometri
D)
24 E) 5 5
3) D
bileceği değerler toplamı kaçtır? A) – 2
4) C
B) – 1
C) 0
5) A
D) 1
E) 2
6) D 95
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 10. Analitik düzlemde A(12, – 1) noktasından
7. Analitik düzlemde bir köşesi A(3, – 1) noktası olan bir
geçen bir d doğrusunun 3x – 4y + 13 = 0 ve
ABC eşkenar üçgenin [BC] kenarı x + y + 4 = 0
3x – 4y – 7 = 0 doğruları arasında kalan kısmı-
doğrusu üzerindedir.
nın uzunluğu 5 br olduğuna göre bu d doğrusu-
Buna göre, Alan(AÿBC) kaç br2 dir? A) 12
B) 18
C) 6ñ3
nun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
D) 12ñ3
E) 18ñ3
A) 1 B)
3 C) 2 2
D)
5 E) 3 2
f(x) = €ŒŸx2 – 4x + 13 – ŒŸx2 – 8x + 52 €
11.
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? 8.
A) 2ñ3 B) ò13 C) ò15
D) 4 E) 3ñ2
Yukarıda aralarında 900 km uzaklık bulunan A ve
B kentlerinden birbirlerine doğru aynı anda hareket eden iki aracın yol zaman grafiği verilmiştir.
Buna göre, karşılaşmalarından kaç saat sonra A kentindeki araç B kentine ulaşır? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
12.
ek tremum
Dik koordinat sisteminde verilen şekil, önce orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor daha sonra da elde edilen şeklin x eksenine göre simetriği alınıyor.
Buna göre, son durumda oluşan şekil aşağıdakilerden hangisidir?
9. A(1, 2) noktasının y = mx + 5 doğrularının kesim noktasına göre simetriği olan nokta aşağıdakilerden hangisidir? A) (– 1, 8)
B) (– 1, 7)
C) (1, 5)
D) (2, – 1) E) (8, – 1)
7) C 96
8) C
9) A
10) D
11) B
12) B Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 4. Analitik düzlemde (m + 1)x – (m – 1)y + m + 9 = 0
UYGULAMA TESTİ 6
doğrusunun eğim açısı geniş açı olduğuna gö-
re, m nin en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden
1. Köşeleri A(1, 1), B(4, 1), C(6, 2) ve D(x, y) olan
hangisidir?
ABCD paralelkenarın D köşesinin koordinatları toplamı kaçtır? A) 2
A) 1 < m
B) 3
C) 4
D) 5
B) 2 < m
C) – 1 < m < 1
D) m < – 2 E) – 3 < m
E) 6
2. Analitik düzlemde A(3, a + 1) ve B(a, – 2) noktalarından geçen doğrunun y = 2x + 1 doğrusuna paralel olması için a kaç olmalıdır? A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
5.
ABCD bir
dikdörtgen m(DéAE) = à
3.
A kümesi yandaki grafik-
(x, y) sıralı ikililerinden
oluşmaktadır.
Buna göre, B = {(x, y) Î R2: (y, – x) Î A} biçi-
ek tremum
te taralı olan bölgedeki
×AD× = 12 cm
×DE× = 9 cm ×EC× = 11 cm
ABCD dikdörtgeni A köşesi etrafında saat yönünde à açısı kadar döndürülerek ABıCıDı dikdörtgeni elde ediliyor.
minde tanımlanan kümenin grafiği aşağıdakiler-
den hangisidir?
Bu döndürme sonucunda Dı Î [AE] ve
Dı, B, Cı noktaları doğrusal olduğuna göre
×BCı× kaç cm dir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6 E) 7
1) D
2) E Analitik Geometri
3) C
4) C
5) B 97
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 6.
9. Analitik düzlemde y = x doğrusu üzerinde bir A
noktası ve y = – x + 3 doğrusu üzerinde bir B noktası alınarak [AB] doğru parçası çiziliyor.
[AB] doğru parçasının orta noktası C(0, 1) ol-
duğuna göre, AB doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Analitik düzlemde 1. konumdaki şeklin 2. konuma geçişi aşağıda verilen hangi iki hareket sonucu oluşmuş olabilir?
A) y = 2x + 1
B) y = – x + 1
C) y = x + 1
D) y = 3x + 1
E) y = – 2x + 1
A) y eksenine göre yansıma, x eksenine göre yansıma
B) x eksenine göre yansıma ve orijin etrafında negatif yönde 180° dönme
C) y eksenine paralel öteleme ve x eksenine göre yansıma
D) x eksenine paralel öteleme ve x eksenine göre
10.
Analitik düzlemde
y = 3x ve y = – x
yansıma
doğruları veriliyor.
E) x eksenine paralel öteleme ve orijin etrafında
ek tremum
negatif yönde 180° dönme
Buna göre, taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
noktasına göre yansımasının y eksenini kesti-
A) y ³ 3x B) y ³ 3x C) y ³ 3x y³–x y£–x y³–x
A) – 13
D) y ³ 3x y³–x
7. Analitik düzlemde y = 3x + 3 doğrusunun A(2, – 1) ği noktanın ordinatı kaçtır? B) – 15
C) – 17
D) – 18
E) – 19
E) y ³ 3x y³–x
x£0
y³0
x³0
8. Analitik düzlemde y = – x + 9 doğrusu üzerinde bir
A noktası, y = 2x doğrusu üzerinde bir C(1, 2)
noktası alınıyor. y = – x + 9 doğrusu ile y = 2x doğrusunun kesim noktası B olarak işaretleniyor.
×AB× = ×AC× olduğuna göre, AC doğrusunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
11. Analitik düzlemde bir kenarı y = x + 2 doğrusu
üzerinde olan bir ABCD dikdörtgeninin iki köşesi (2, 4) ve (1, 11) noktalarıdır.
Buna göre, bu dikdörtgenin köşegen doğrularından birinin y eksenini kestiği nokta aşağıdaki-
E) 15
lerden hangisi olabilir? A) 14
6) D 98
7) C
8) E
9) D
B) 15
C) 16 10) C
D) 17
E) 18 11) E
Analitik Geometri
Doğru Analitiği ve Dönüşümler
1.
merkezi olan O noktası etrafında saat yönünde
Analitik düzlemde
ABCD karesinin
Yandaki eşkenar üçgen
4.
UYGULAMA TESTİ 7
300°
de aşağıdaki şekiller-
[CD] kenarı y = x
den hangisi oluşur?
doğrusu üzerindedir.
döndürüldüğün-
A(5, 3) olduğuna göre, B noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 9
B) 10
C) 11
D) 12 E) 13
4 x 3 4 doğrusu veriliyor. A ve B noktalarından y = x 3
doğrusuna indirilen dikmeler doğruyu sırasıyla C ve D noktalarında kesiyor. Buna göre, ×CD× kaç birimdir? A) 1
B) ñ2
C) ñ3
D) 2
E) ñ5
ek tremum
2. Analitik düzlemde A(1, 8), B(7, 1) noktaları ve y =
5. Analitik düzlemde m, n ¹ 0 olmak üzere,
y = mx + n doğrusunun y = – x doğrusuna
göre yansıması aşağıdakilerden hangisidir? A) y = nx + m C) y =
x n + n m
E) y =
3. Analitik düzlemde
A(2, a)
noktası
y = – 1
ve 4x – 3y + 5 = 0 doğrularından eşit uzaklık-
ta bulunduğuna göre, a nın alabilecği değerler çarpımı kaçtır? A) – 9
B) – 6
1) B
C) – 3
2) D Analitik Geometri
D) 1 E) 3
3) A
B) y = – nx + m
D) y =
x n + m m
6. Analitik düzlemde iki köşesi
x +1 m
A(– 2, – 3) ve
B(7, – 1) noktaları olan ABC üçgeninin diklik merkezi M(4, 0) noktası olduğuna göre, C köşesinin koordinatları toplamı kaçtır? A) 12
4) B
B) 11
C) 10
5) E
D) 9
E) 7
6) B 99
Doğru Analitiği ve Dönüşümler 7. Analitik düzlemde ABCD karesinin karşılıklı iki kö-
10. Analitik düzlemde A(3a + 1, 2a – 3) noktası I. açıor-
Buna göre, BD doğrusunun y eksenini kestiği
Buna göre, A noktasının x = – 1 doğrusuna gö-
şesi A(– 1, 2) ve C(3, – 2) noktalarıdır.
tay doğrusu üzerindedir.
noktanın ordinatı kaçtır? A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
re yansıması olan noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
E) 2
A) 24
B) 22
C) 2
D) 0
E) – 2
11. 8. Analitik düzlemde A(1, 3) noktasının x – y + 3 = 0
doğrusuna en yakın olduğu noktanın apsisi kaçtır? A)
1 3 B) 1 C) 2 2
D) 2
E) 3
ek tremum
9. K
Analitik düzlemde 1 ve 2 numaralı şekillere
bazı dönüşümler uygulanarak 3 numaralı şeklin elde edilebilmesi için,
I. 1 numaralı şekle x eksenine göre yansıma dönüşümü, 2 numaralı şekle y eksenine göre yansıma dönüşümü yapılmalıdır.
II. 1 numaralı şekle x eksenine göre yansıma dö-
nüşümü yapıldıktan sonra x eksenine paralel 2 birim sağa ve y eksenine paralel 1 birim yukarıya öteleme dönüşümü, 2 numaralı şekle orijin etrafında pozitif yönde 90° dönme dönüşümü yapılmalıdır.
III. 1 numaralı şekle x eksenine göre yansıma dönüşümü, 2 numaralı şekle y eksenine göre yan-
Analitik düzlemde ABCD karesi ve EFK dik üçgeni
sıma dönüşümü yapıldıktan sonra y eksenine
verilmiştir. Karenin orijine göre, dik üçgenin de x ek-
paralel 1 birim yukarıya öteleme dönüşümü ya-
senine göre yansıması alınıyor.
pılmalıdır.
Buna göre, son durumda kare ve dik üçgenin ara
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
kesit bölgesinin alanı kaç birimkaredir? A) 1
7) B 100
B)
3 2
C) 2
8) A
D)
5 2
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II
E) 3
D) I ve III E) II ve III
9) D
10) E
11) B Analitik Geometri
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ A) Çemberin Standart Denklemi B) Çemberin Genel Denklemi C) Teğet ve Normal Denklemleri
Çember Analitiği
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Çemberin Standart Denklemi
y r
P(x,y)
eksenini kestiği noktaların apsislerini bulunuz.
noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların
M(a,b)
geometrik yeri bir
ÇÖZÜM
çember belirtir.
x
M(2, –3) ve r = 5 olduğundan çemberin denklemi
Merkezi M(a, b) yarıçapı r ve üzerindeki bir nokta
|MP| = r
Merkezi M(2, –3) ve yarıçapı 5 cm olan çemberin 0x
Düzlemde sabit bir
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 dir.
P(x, y) olan çemberin standart denklemi;
Çemberin 0x eksenini kestiği noktaları bulmak için çember denkleminde y = 0 yazılır;
2
(x – a) + (y – b)2 = r2 dir.
(x – 2)2 + (0 + 3)2 = 25
B. Merkezil Çember
r
y B
C –r
O
x = 6 ve x = –2 bulunur.
çembere merkezil A r
(merkezcil) çember
x denir.
–r D
Merkezi orijinde olan
M(0, 0) ve yarıçapı r olmak üzere denklemi;
ek tremum
(x – 2)2 + 9 = 25 ise
ÖRNEK 2 A(–2, –4) ve B(6, 2) noktalarının oluşturduğu [AB]
doğru parçasını çap kabul eden çemberin denklemini bulunuz.
x2 + y2 = r2 olur.
ÇÖZÜM DİKKAT Yarıçapı 1 birim olan merkezil çembere de birim
çember denir. Denklemi
x2 + y2 = 1 dir.
A(–2, –4)
r
M(2, – 1)
B(6, 2)
Çemberin merkezi [AB] doğru parçasının orta noktası olacağından Md
-2+ 6 -4+ 2 , n = M (2, - 1) 2 2
Çemberin yarıçapı: r = |MA| = |MB| r=
(2 - (- 2)) 2 + (- 1 - (- 4)) 2 = 5 br
Çemberin denklemi: (x – 2)2 + (y + 1)2 = 25 bulunur.
Analitik Geometri
103
Çember Analitiği
ÖRNEK 3
Sina =
Merkezi M(–5, –1) olan ve P(–10, 4) noktasından gerişlerin uzunlukları toplamı kaç birimdir?
POA dik üçgeninde: Cos a =
Çemberin yarıçapı: r = MP
M(–5, –1)
=
2
OB
3 5 25 ve OB = br = 5 3 OB
ÇÖZÜM r
5
BOP dik üçgeninde: Sin a =
çen çemberin koordinat eksenlerinden ayırdığı ki-
P(–10, 4)
3 4 ve Cosa = olduğundan 5 5
(- 10 + 5) + (4 + 1)
25 5 4 ve OA = br = 5 4 OA
2
r = 5 2 br
Alan _ BOA i =
Çember denklemi:
5
OA
(x + 5)2 + (y + 1)2 = 50
=
OB . OA 2
=
25 . 25 . 1 3 4 2
625 2 br bulunur. 24
Çemberin eksenlerden ayırdığı kirişlerin uzunluklarını bulmak için x = 0 için (0 + 5)2 + (y + 1)2 = 50
D(0,4) C(2, 0)
A(–12, 0)
x
y = –6,
y = 4,
y = 0 için B(0, –6)
(x + 5)2 + (0 + 1)2 = 50,
x = –12,
x=2
|AC| = 14 br, |BD| = 10 br, 14 + 10 = 24 br olur.
ÖRNEK 5
ek tremum
y
A(1, 3) ve B(–3, 5) noktalarından geçen ve merkezi
y = x + 4 doğrusu üzerinde olan çemberin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM y=x+4 A(1, 3)
ÖRNEK 4
r
x2 + y2 = 25 çemberine P(4, y) noktasında teğet olan
M r
B(–3, 5)
olsun.
M(x, y) noktası y = x + 4
doğrusu üzerinde olduğundan M noktasının koordi-
doğrunun I. bölgede eksenlerle oluşturduğu üçge-
natları M(x, x + 4) şeklin-
nin alanı kaç br2 dir?
dedir. r = |MA| = |MB| olduğundan
ÇÖZÜM y
Çemberin merkezi M(x, y)
(x - 1) 2 + (x + 4 - 3) 2 = İlgili şekil çizildiğinde POH
B α
dik üçgeninde P(4, y)
5 α O 4 H
A
|OA| ve |OB| uzunluklarını x
bulmak için a açısının trigonometrik değerlerini kullanalım.
(x + 3) 2 + (x + 4 - 5) 2
x 2 - 2x + 1 + x 2 + 2x + 1 = x 2 + 6x + 9 + x 2 - 2x + 1 x = - 2 bulunur. M (- 2, 2) ve r = MA =
(- 2 - 1) 2 + (2 - 3) 2 =
10 br ve
Çember denklemi: (x + 2)2 + (y – 2)2 = 10 olarak bulunur.
104
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 6
ÖRNEK 8 y = –x + 4,
A(–2, 0), B(0, 6) ve O(0, 0)
y = x + 4 ve
noktalarından geçen çemberin denklemini bulunuz.
y = 2x + 7 doğrularının oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM y
İlgili şekil çizilirse [AB] çap olur.
B(0, 6)
ÇÖZÜM
M O
A(–2, 0)
y = –x + 4 doğrusu ile y = x + 4 doğrusu dik kesişirler.
x
(eğimleri çarpımları –1 dir.)
O hâlde; -2 + 0 , 0 + 6 Md n = M (- 1, 3) 2 2
B
10 br ve
çemberin denklemi (x + 1)2 + (y – 3)2 = 10 bulunur.
ÖRNEK 7
ek tremum
(- 1 - (- 2)) 2 + (3 - 0) 2 =
r = MA =
C
y=x+4
noktalarından geçen çemberin denklemini bulunuz.
y
İlgili şekil çizilirse
A
doğru
parçasının çembey = –x + 4
rin çapı olduğu görülür.
y = 2x + 7
4 & A (- 3, 1)
y = 2x + 7 y =-x+ 4
4 & C (- 1, 5) bulunur.
-3- 1 1+ 5 , n = M (- 2, 3) 2 2 (- 2 + 3) 2 + (3 - 1) 2 =
5 br
(x + 2) 2 + (y - 3) 2 = 5 elde edilir.
|AB| = 8 birim olduğundan
r r
[AC]
ise y = 2x + 7 ile y = –x + 4 doğrularının kesim noktasıdır.
r = MA =
C(6, 8)
lirse
A noktası; y = 2x + 7 ile y = x + 4 doğrularının, C noktası
Md
ÇÖZÜM
Yandaki şekil çizi-
A
y = x+ 4
A(2, 0), B(10, 0) ve C(6, 8)
y = 2x +7
|AH| = |HB| = 4 br
M
4H 4
B
x
|MA| = |MC| = r dersek |MH| = 8 – r olur.
AHM dik üçgeninde pisagor bağıntısı yazılırsa r2 = 42 + (8 – r)2 ve r = 5 br bulunur.
ÖRNEK 9 A(–3, 1) ve B(5, 7) noktaları veriliyor. [AP] = [PB] koşulunu sağlayan P noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
M(6, 3) ve r = 5 br olduğundan çember denklemi (x – 6)2 + (y – 3)2 = 25 olarak bulunur.
Analitik Geometri
105
Çember Analitiği
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM [AP] = [PB] koşulunu sağla-
P′
P(x, y)
y = 2x – 7
yan P(x, y) noktaları [AB] çap-
çemberin çap uzun-
lı çemberin üzerinde olur. Bu
A
M
B
luğunun x = –1 ve
soruyu iki yoldan çözelim;
A
x = 5 paralel doğru-
B
M
ları arasındaki uzaklığa eşit olduğu gö-
P″
rülür. x = –1
1. yol A(–3, 1) ve B(5, 7) noktaları için [AB] yi çap kabul eden
r=
çemberin merkezini bulalım. Md
(1 + 3) 2 + (4 - 1) 2 = 5 br
= 3 br
2
-1+ 5 = 2 olur. 2
ordinatını bulmak için y = 2x – 7 doğrusunda x = 2 yazılırsa;
P(x, y) için [AP] = [PB] verildiğinden AP ve BP doğrularının eğimleri çarpımı –1 olur. , m BP =
y-7
x-5
y-1 y-7 . m AP .m BP = =-1 x+3 x-5
ek tremum
y = 2.2 – 7 = –3 yani M(2, –3) ve r = 3 br olduğundan
2. yol
x+3
2
5 - (- 1)
=
O hâlde çemberin merkezinin apsisi 2 olur. Merkezin
(x – 1)2 + (y – 4)2 = 25 olur.
y-1
AB
x=5
olan doğrunun denklemi x =
Çemberin denklemi;
m AP =
x=2
Merkezden geçen ve x = –1, x = 5 doğrularına paralel
-3+ 5 1+ 7 , n = M (1, 4) 2 2
r = MA =
İlgili şekil çizilirse
çember denklemi (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9 bulunur.
ÖRNEK 11 x = –1 ve x = 6 doğrularının (x – 3)2 + y2 = 25 çemberini kestiği noktaları köşe kabul eden kirişler dörtgeninin alanını bulunuz.
eşitlik düzenlenirse; y2 – 8y + x2 – 2x – 8 = 0 ve 2
ÇÖZÜM
2
x – 2x + 1 + y – 8y + 16 = 25 A
HATIRLATMA Çember analitiğinde sık karşılaşılan geometrik yer
problemleri konu bitiminde toplu hâlde işlenecektir.
M(3, 0) ve r = 5 br
y
(x – 1)2 + (y – 4)2 = 25 elde edilir.
5
5
x = –1
MFD dik üçgenlerinx
E 1 3 M 3 F B
olduğundan AEM ve
D
C
de pisagor bağıntısı yazılırsa |AE| = 3 br ve
|DF| = 4 br bulunur.
x=6
ABCD dörtgeni bir yamuk olup |AB| = 6 br,
ÖRNEK 10 x = –1 ve x = 5 doğrularına teğet olan ve merkezi
2x – y = 7 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemini bulunuz. 106
|CD| = 8 br ve |EF| = 7 br olduğundan Alan (ABCD) = bulunur.
AB + DC 2
. EF = 6 + 8 . 7 = 49 br 2 2
Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. A(3, –1) noktasından geçen merkezil çemberin
KAVRAMA TESTİ 1
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 = 1
1. Merkezi M(2, – 1) ve yarıçapı 3 br olan çemberin
B) x2 + y2 = 8
D) x2 + y2 = 10
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
C) x2 + y2 = 9
E) x2 + y2 = 12
A) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9 B) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 C) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9 D) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 E) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9
5. x + y – 6 = 0 doğrusunun eksenlerle oluşturduğu
2. Merkezi M(–3, 1) olan ve P(1, 4) noktasından gesidir?
A) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 21 B) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 23 C) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 23
üçgenin çevrel çemberinin denklemi aşağıdaki-
ek tremum
çen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangi-
lerden hangisidir? A) x2 + y2 = 18
B) (x – 3)2 + (y + 3)2 = 18 C) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9 D) (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9
D) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 25
E) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 18
E) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 25
3. A(5, –2) ve B(–1, 4) noktalarının oluşturduğu [AB] doğru parçasını çap kabul eden çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
6. A(– 3, 1) ve B(1,5) noktalarından geçen ve merke-
zi x ekseni üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 18
A) (x – 3)2 + y2 = 37
B) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 18
B) (x – 3)2 + y2 = 29
C) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 18
C) (x – 2)2 + y2 = 26
D) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 18
D) (x – 1)2 + y2 = 17
E) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 18
E) (x – 2)2 + y2 = 25
1) D Analitik Geometri
2) E
3) B
4) D
5) E
6) C 107
Çember Analitiği 10. 3x + 4y – 24 = 0 doğrusunun eksenlerle oluştur-
7. Analitik düzlemde A(3, 2) ve B(5, – 4) noktaları ve-
duğu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç
riliyor.
birimdir?
Buna göre [AP] = [PB] koşulunu sağlayan P
noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdaki-
A) 1
lerden hangisidir?
B)
3 2
C) 2
D)
5 2
E) 3
A) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 10 B) (x – 4)2 + (y + 1)2 = 10 C) (x – 2)2 + (y + 2)2 = 12 D) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 12 E) (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9
11. (x – 1)2 + (y – 3)2 = 25
8. A(– 5, 3) noktası (x + 2)2 + (y + 1)2 = r2 çemberinin üzerindedir.
Buna göre, A noktasından geçen çapın diğer uç
ek tremum
çemberinin x ekseninden ayırdığı kirişi çap ka-
bul eden çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 4
B)
7 2
C) 3
D)
5 2
E) 2
noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) – 6
B) – 5
C) – 4
D) – 3
E) – 2
12. y – x = 0, y + x = 0 ve 2y – x – 3 = 0
doğrularının oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2 B) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5
9. 4x – 3y + 9 = 0 ve – 4x + 3y + 11 = 0
doğrularına teğet olan çemberin yarıçapı kaç bi-
rimdir? A) 4 7) B 108
B)
7 2
C) 3 8) C
D)
5 2
E) 2 9) E
C) (x + 2)2 + (y +1)2 = 5 D) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5 E) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5
10) C
11) A
12) E Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. A(–2, 1) ve B(4, 5) noktalarından geçen ve mer-
KAVRAMA TESTİ - 2
kezi y = –x + 5 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1. Merkezi M(4, –1) ve yarıçapı 5 br olan çemberin 0y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı
A) (x + 1)2 + (y – 6)2 = 26
kaçtır? A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
B) (x + 1)2 + (y – 6)2 = 25
E) 1
C) (x + 2)2 + (y – 7)2 = 26 D) (x – 2)2 + (y + 7)2 = 25 E) (x + 3)2 + (y – 8)2 = 27
5. Merkezi x + y + 1 = 0 ve x – 2y + 4 = 0 doğru-
2. Köşe koordinatları A(2, 2), B(5, 6) ve C(8, –2) olan
larının kesim noktası olan ve y = 3x + 2 ve
üçgenin ağırlık merkezi G(x, y) noktasıdır.
2y = –x + 4 doğrularının kesim noktasından ge-
Merkezi G(x, y) noktası olan ve A(2, 2) noktasın-
çen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangi-
dan geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden
sidir?
hangisidir?
A) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4
ek tremum
A) (x – 5)2 + (y – 2)2 = 25 B) (x – 5)2 + (y + 2)2 = 16 C) (x – 5)2 + (y – 2)2 = 16 D) (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9
B) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 C) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5 D) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 5 E) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 5
E) (x + 5)2 + (y – 2)2 = 16
3. Merkezi M(0, 3) olan ve P(5, 3) noktasından ge-
çen çemberin koordinat eksenlerinden ayırdığı kirişlerin uzunlukları toplamı kaç birimdir? A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
E) 21
6. A(–4, 0), B(0, –6) ve O(0, 0)
noktalarından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 3)2 + (y –2)2 = 13 B) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13 C) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 12 D) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 12 E) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 15
1) B Analitik Geometri
2) D
3) C
4) A
5) E
6) B 109
Çember Analitiği 7. A(–4, –7) ve B(5, –6) noktalarından geçen ve
10. y = –2 ve y = 8
merkezi 0y ekseni üzerinde bulunan çemberin
doğrularına teğet olan ve merkezi 3y – 4x = 1
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + (y – 3)2 = 36
B) x2 + (y + 2)2 = 36
C) x2 + (y – 4)2 = 41
D) x2 + (y + 2)2 = 41
doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 3)2 + (y –2)2 = 16 B) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
E) x2 + (y + 3)2 = 41
C) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 25 D) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 E) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
11. Merkezi xy – 3x + 2y – 6 = 0 doğrularının kesim
8. A(0, 2), B(0, 8) ve C(9, 5)
noktası olan ve başlangıç noktasından geçen
noktalarından geçen çemberin denklemi aşağı-
çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
dakilerden hangisidir?
A) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 13
ek tremum
A) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 25 B) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 C) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 25 D) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25
B) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 13 C) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 13 D) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 13 E) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13
E) (x – 4)2 + (y – 5)2 = 25
12. A(2, –2) ve B(4, 2) noktalarına olan uzaklıkları-
9. 2x – y = 0 ve
nın kareleri toplamı 60 birimkare olan noktaların
x + 2y – 8 = 0
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangi-
doğrularının 0x ekseniyle oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
sidir?
A) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 B) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
A) (x – 2)2 + y2 = 25
B) (x – 4)2 + y2 = 16
C) (x – 3)2 + y2 = 25
C) (x – 5)2 + y2 = 25
D) (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25
D) x2 + (y – 3)2 = 25
7) D 110
E) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 25
8) E
E) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
9) B
10) D
11) B
12) C Analitik Geometri
Çember Analitiği
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Merkezi Eksenler Üzerinde Olan Çemberler
Merkezi 0y ekseni üzerinde olan ve 0x eksenine te-
a) Merkezi 0x Ekseni Üzerinde Olan Çember
ğet olan çember P(4, –2) noktasından geçtiğine göre bu çemberin denklemini bulunuz.
Çemberin merkezi x ek-
y
seni
üzerinde
olursa
merkezin ordinatı sıfır
r M(a, 0)
O
ÇÖZÜM
olacağından çemberin x
denklemi;
Çemberin merkezi M(0, r)
y
2
2
olsun.
2
(x – a) + y = r olur. b) Merkezi 0y Ekseni Üzerinde Olan Çember y
Çemberin merkezi 0y
16 + r 2 + 4r + 4 = r 2
x2 + (y + 5)2 = 25 elde edilir.
x2 + (y – b)2 = r2 olur.
Çember 0x eksenine teğetse
r = |b| ve
M(a, b)
(x – a)2 + (y – b)2 = b2
r x
M(0, –5) ve r = 5 br olduğundan denklem
berin denklemi;
a) 0x Eksenine Teğet Çemberler y
4 2 + (r + 2) 2 = r
olur.
ek tremum
x
B. Eksenlere Teğet Çemberler
MP =
r = - 5 bulunur.
fır olacağından çem-
O
x
sa, merkezin apsisi sı-
M(0,b)
O
P(4, –2)
M(0, r)
ekseni üzerinde olurr
r r
|MP| = r olacağından
ÖRNEK 2 Merkezi 0x ekseni üzerinde olan A(3, 2) ve B(6, 5) noktalarından geçen çemberin denklemini bulunuz.
b) 0y Eksenine Teğet Çemberler
Çemberler 0y eksenine
y
teğetse r
r = |a| ve
M(a, b)
(x – a)2 + (y – b)2 = a2 x
O
olur.
y Ç2
Ç3
M2(–r, r) r r
M1(r, r) r r
M3(–r,–r) M4(r, –r)
Ç1
r
B(6,5) r M(k,0)
Çemberin merkezi M(k, 0) olsun. |MA| = |MB| = r olur. x
Ç1: (x – r)2 + (y – r)2 = r2 Ç2: (x + r)2 + (y – r)2 = r2 2 2 2 x Ç3: (x + r) + (y + r) = r
Ç4
y A(3,2)
c) Her İki Eksene Teğet Çemberler
ÇÖZÜM
2
2
2
Ç4: (x – r) + (y + r) = r
(k - 3) 2 + (0 - 2) 2 =
(k - 6) 2 + (0 - 5) 2
k 2 - 6k + 9 + 4 = k 2 - 12k + 36 + 25 k = 8 ve r =
29 br bulunur.
Denklemi; (x – 8)2 + y2 = 29 elde edilir. Analitik Geometri
111
Çember Analitiği
ÖRNEK 3
ÖRNEK 6
Merkezi M(–4, –3) noktası olan ve 0y eksenine teğet
Merkezi II. bölgede olan ve 0y eksenine teğet olan
olan çemberin denklemini bulunuz.
çember A(–9, 0) ve B(–1, 0) noktalarından geçtiğine göre çemberin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM y
Çember 0y eksenine teğet
ÇÖZÜM
olduğundan çemberin yarıO
x
r
çapı r = |–4| = 4 br olur.
|AB| = 8 br
(x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 elde
M(–4,–3)
Yandaki şekil çizilirse
y
O hâlde çemberin denklemi M
edilir.
|BC| = 4 br
r
|OB| = 1 br ve
r C
A
ÖRNEK 4
B O
x
C(–5, 0) olur.
Dolayısıyla çemberin yarıçapı r = 5 br bulunur.
Merkezi IV. bölgede bulunan yarıçapı 2 cm olan
MAC dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa
çember her iki eksene de teğet olduğuna göre çem-
|MC| = 3 br ve denklem (x + 5)2 + (y – 3)2 = 25 elde edilir.
berin denklemini bulunuz.
Çember, IV. bölgede her iki ek-
y O
x 2 2 M(2,–2)
sene de teğet olduğundan çemberin merkezi M(2, –2) olur. Çemberin denklemi; (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 bulunur.
ek tremum
ÇÖZÜM
ÖRNEK 7 Merkezi M(2, –3) noktası olan ve 3x – 4y + 2 = 0 doğ-
ÖRNEK 5
rusuna teğet olan çemberin denklemini bulunuz.
P(–2, 1) noktasından geçen ve her iki eksene de teğet olan çemberin yarıçapının alabileceği değerleri bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
3x – 4y + 2 = 0
Çember, her iki eksene de teğet
y
ve P(–2, 1) noktasından geçtiği
M(–r, r)
için çemberin yarıçapı r olmak üzere
P(–2,1) O
x
merkezin
M(–r, r) şeklindedir.
luğu merkezin doğruya
M(2, –3) r
olan uzaklığına eşit olur. H
koordinatları
|PM| = r olduğundan 2
Çemberin yarıçap uzun-
2
(2 - r) + (r - 1) = r r 2 - 4r + 4 + r 2 - 2r + 1 = r 2 r 2 - 6r + 5 = 0,
r = MH =
3.2 - 4. (- 3) + 2 2
3 + (- 4)
2
=
20 = 4 br 5
Çemberin denklemi (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16 bulunur.
r = 5 br ve r = 1 br bulunur. 112
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 8
ÇÖZÜM
Merkezi 2x + y – 12 = 0 doğrusu üzerinde bulunan
3x – 4y + 24 = 0
y
ve her iki eksene de teğet olan çemberin yarıçapının alabileceği değerleri bulunuz.
M4
A B
D
C
M2
doğrusu çizilirse
çemberlerin merkezlerinin
M1 x
M3
M1(r1, r1) M2(–r2, r2), M3(–r3, –r3) ve M4(–r4, r4) şeklinde
ÇÖZÜM
olduğu görülür.
Çemberin merkezi M(x, y) olsun.
Merkezin doğruya olan uzaklığı yarıçapa eşit olaca-
M(x, y) noktası 2x + y – 12 = 0 doğrusu üzerinde oldu-
ğından |M1A| = r1, |M2B| = r2, |M3C| = r3 ve |M4D| = r4
ğundan y = 12 – 2x olur.
eşitlikleri elde edilir.
Yani;
3r1 - 4r1 + 24
M1 A =
M(x, y) = M(x, 12 – 2x) elde edilir. Çember her iki eksene de teğet olduğundan M(x, y) noktasının koordinatları arasında |x| = |y| eşitliği olmak
|x| = |12 – 2x|
x = 12 – 2x veya x = –12 + 2x
x = 4 veya x = 12 bulunur.
O hâlde çemberin yarıçapının alabileceği değerler 4 br ve 12 br olarak bulunur.
ek tremum
O hâlde; M(x, y) = M(x, 12 – 2x) için
- 3.r2 - 4r2 + 24
M2 B =
zorundadır.
= r1 & r1 = 4 br
32 + 42
32 + 42 - 3r3 + 4r3 + 24
M3 C =
= r3 & r3 = 6 br
32 + 42 - 3r4 - 4r4 + 24
M4 D =
= r4 & r4 = 12 br
32 + 42
bulunur.
ÖRNEK 10 y
Yandaki şekilde verilen çemberin denklemini
C(0, 9)
bulunuz.
B O
ÇÖZÜM
3x – 4y + 24 = 0
y
rin yarıçapının alabileceği değerleri bulunuz.
x
A(3, 0)
ÖRNEK 9 doğrusuna ve her iki eksene de teğet olan çembe-
= r2 & r2 = 2 br
MHB dik üçgenini oluşturalım.
C H B O
3
M
r
r
3 A
|BC| = 9 br |MA| = r olduğundan x
|BH| = |CH| = 9 – r ve MHB dik üçgeninde pisagor teoremi uygularsak r2 = 32 + (9 – r)2 r = 5 br ve (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25 olur.
Analitik Geometri
113
Çember Analitiği 4. Merkezi x ekseni, üzerinde ve yarıçapı 3 br olan
KAVRAMA TESTİ - 1
çember I. bölgede y = x doğrusuna teğettir.
1. Merkezi y ekseni üzerinde olan, orijinden geçen
ve yarıçapı 3 birim olan çemberlerden birinin
Buna göre, bu çemberin merkezinin apsisi kaç-
tır?
A) 4
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3 2 C) 2 5 D) 2 6
A) (x – 3)2 + y2 = 9
E) 5
B) x2 + y2 = 9 C) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9 D) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9 E) x2 + (y – 3)2 = 9
5. Merkezi y ekseni üzerinde olan ve y = –1, y = 5
2. Merkezi M(3, –2) noktası olan ve y eksenine teğet
olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4
ek tremum
doğrularına teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 1)2 + y2 = 4 B) (x – 2)2 + y2 = 9 C) x2 + (y – 1)2 = 4
B) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4
D) x2 + (y + 2)2 = 9
C) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9
E) x2 + (y – 2)2 = 9
D) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 9 E) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 4
3. Merkezi I. bölgede bulunan ve her iki eksene de teğet olan çemberin yarıçapı 5 birimdir.
Buna göre, y = 2 doğrusunun bu çemberden
ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir? A) 10 1) E 114
B) 9
C) 8 2) D
D) 7
6. Merkezi M(– 3, – 5) noktası olan ve x eksenine te-
ğet olan çemberin y ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir? A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
E) 6 3) C
4) B
5) E
6) C Analitik Geometri
Çember Analitiği 7. Merkezi y ekseni üzerinde olan ve A(3,1) nokta-
10. Merkezi M(– 2, 4) noktası olan ve 2x – y – 2 = 0
sından geçen 5 br yarıçaplı çemberlerden birinin
doğrusuna teğet olan çemberin denklemi aşağı-
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
dakilerden hangisdir?
A) x2 + (y – 3)2 = 13
A) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 20
B) x2 + (y + 3)2 = 25
B) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 20
C) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 25
C) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16
D) x2 + (y – 3)2 = 25
D) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 16
E) x2 + (y – 4)2 = 25
E) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 18
8. Merkezi x ekseni üzerinde olan, A(0,3) ve B(9,0)
noktalarından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 4)2 + y2 = 25 B) (x – 3)2 + y2 = 18 C) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 20
11. Merkezi y = x + 1 doğrusu üzerinde bulunan ve
D) (x – 2)2 + y2 = 49
9.
y
A
her iki eksene de teğet olan çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 3
B)
5 2
C) 2
D)
3 2
E)
1 2
M
C
ek tremum
E) (x – 3)2 + y2 = 36
x
B
Analitik düzlemde M merkezli çember C noktasında y eksenine teğettir.
A(2,0) ve B(8,0) olduğuna göre, çemberin denk-
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
12. 4x – 3y + 8 = 0 doğrusuna ve her iki eksene teğet olan ve merkezi I. bölgede bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9
A) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1
B) (x – 4)2 + (y – 5)2 = 25
B) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 1
C) (x + 5)2 + (y – 4)2 = 16
C) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 D) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9
D) (x – 5)2 + (y – 4)2 = 25
E) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16
E) (x – 5)2 + (y – 4)2 = 16 7) B Analitik Geometri
8) A
9) D
10) B
11) E
12) C 115
Çember Analitiği 4. 0y eksenine (0, –4) noktasında teğet olan ve 0x
KAVRAMA TESTİ - 2
ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu 6 br olan çemberin denklemlerinden biri aşağıdakilerden
1. Merkezi IV. bölgede olan ve 0x eksenine teğet
hangisidir?
olan çember A(0, –2) ve B(0, –8) noktalarından
A) (x + 5)2 + (y + 3)2 = 25
geçtiğine göre bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) (x – 5)2 + (y + 4)2 = 25
A) (x – 4)2 + (y + 5)2 = 25
C) (x – 5)2 + (y – 6)2 = 25
B) (x – 5)2 + (y – 4)2 = 25
D) (x + 5)2 + (y – 3)2 = 25
C) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25
E) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25
D) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 25 E) (x – 3)2 + (y + 5)2 = 25
2. Merkezi II. açıortay doğrusu üzerinde bulunan,
5. Merkezi y – 3x = 12 doğrusu üzerinde bulunan ve
A(–6, –1) ve B(2, 3) noktalarından geçen çembe-
ek tremum
rin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
her iki eksene de teğet olan çemberin yarıçapı-
A) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25 B) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 C) (x – 3)2 + (y + 3)2 = 25 D) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25
nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
E) (x + 3)2 + (y – 3)2 = 25
3. P(–2, –4) noktasından geçen ve her iki eksene
de teğet olan çemberin yarıçapının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 17
B) 15
C) 13
D) 12
E) 10
x y + = 1 doğrusunun I. böl8 6 gede eksenlerle oluşturduğu üçgenin iç teğet
6. Analitik düzlemde
çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 B) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9 C) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16 D) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 E) d x -
1) A 116
2) E
3) D
4) B
3 2 3 2 9 n + dy - n = 2 2 4 5) A
6) D Analitik Geometri
Çember Analitiği 10. Merkezi 0y ekseni üzerinde olan, A(0, –2) ve B(4, 0)
7. xy – 9x – 8y + 72 = 0
noktalarından geçen çemberin 0y eksenini kesti-
doğrularına teğet olan ve orijinden geçen çem-
ği diğer noktanın ordinatı kaçtır?
berin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
A) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
B) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25 C) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 D) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 E) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 25
natlarının toplamı kaçtır? A) 15
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
9. Merkezi M(–3, 5) noktası ve yarıçapı 5 br olan çemberin eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç br2 dir? A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
ek tremum
senine teğet olan çemberin merkezinin koordi-
Analitik düzlemde [OA]
11.
8. A(9, 3) ve B(12, 6) noktalarından geçen ve 0x ek-
P(9, 6)
Analitik Geometri
8) A
9) A
tasından geçtiğine göre çemberin çapı kaç birim-
O
A) 17
A
dir?
B) 16
C) 15
D) 13
E) 10
12. Analitik düzlemde A(2, 4) ve B(10, –2) noktaları veriliyor.
[AB] çaplı çemberin 0x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır? A) –12
7) C
çaplı çember P(9, 6) nok-
10) D
B) –2
C) 0
11) D
D) 1
E) 12
12) E 117
Çember Analitiği
BİLGİ KUTUSU
ÇÖZÜM Md -
Çemberin Genel Denklemi
y r
D E 4 -2 , - n = Md , n = M (2, - 1) 2 2 2 2 r=
P(x,y)
D 2 + E 2 - 4F = 2
16 + 4 + 16 = 3 br 2
M(a,b)
ÖRNEK 2
x
x2 + y2 + 8x + 6y + 21 = 0
çemberinin 0y eksenine en uzak olduğu nokta A ve
Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin
0x eksenine en yakın olduğu nokta B olduğuna göre
standart denklemi
A ve B noktalarının koordinatlarını bulunuz.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 açılıp düzenlenirse x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 elde edilir.
ÇÖZÜM
Burada; x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 elde edilir.
Yarıçap: r =
D 2 + E 2 - 4F ve 2
Kök içindeki D2 + E2 – 4F ifadesine de çembe-
rin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.
A
x
r=
2
2
yarıçap uzunluğu
8 2 + 6 2 - 4.21 = 2 br ol2
duğundan
M
A noktası A(–6, –3) ve B(–4, –1) olur.
ÖRNEK 3
Yani,
x2 + y2 – 2x – 4y = 0
Diskriminant: D = D2 + E2 – 4F dir.
çemberinin eksenlerden ayırdığı kirişlerin uzunluk-
DİKKAT 2
ek tremum
D E Merkez: M d - , - n 2 2
O
B
Bu denkleme çemberin Genel Denklemi denir. x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 denkleminde
Çemberin merkezi M(–4, –3) ve
y
–2a = D, –2b = E ve F = a2 + b2 – r2 yazılırsa
ları toplamı kaç br dir?
ÇÖZÜM
2
x + y + Dx + Ey + F = 0 denkleminde F = 0 ise çember orijinden (başlangıç noktasından) geçer.
Çemberin
B
eksenleri
kestiği
noktaları bulalım; x = 0 için
K AV R A M A ÖRNEK 1
02 + y2 – 2.0 – 4.y = 0 O
A
y = 0 veya y = 4 yani B(0, 4) ve y = 0 için x2 + 02 – 2.x – 4.0 = 0
x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
x2 – 2x = 0
çemberinin merkezini ve yarıçap uzunluğunu bulu-
x = 0 veya x = 2 yani A(2, 0) olur.
nuz.
y2 – 4y = 0
O hâlde; OA + OB = 2 + 4 = 6 br bulunur.
118
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 4
ÖRNEK 6 0(0, 0), A(5, 1) ve B(4, 6)
x2 + y2 + mx + 2y – 11 = 0
noktalarından geçen çemberin denklemini yazınız.
çemberinin üzerindeki P(–1, 2) noktasından geçen çapın diğer ucunun koordinatlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM Önce m değerini bulmak için P(–1, 2) noktasını çember
Çember denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 olsun.
denkleminde yazalım.
Verilen noktaları denklemde yerine yazalım.
x = –1, y = 2 için (–1)2 + 22 + m.(–1) + 2.2 – 11 = 0
0(0, 0) için 02 + 02 + D.0 + E.0 + F = 0, F = 0
D E m = –2 ve M d - , - n = M (1, - 1) bulunur. 2 2
A(5, 1) için 52 + 12 + 5D + E = 0 5D + E = –26 (1) ve
P(–1, 2)
M(1, –1)
B(4, 6) için 42 + 62 + 4.D + 6E = 0
A(x, y)
2D + 3E = –26 (2) (1) ve (2) nolu denklemlerden D = –4 ve E = –6 bulunur.
İstenilen nokta A(x, y) olsun.
O hâlde çember denklemi
M(1, –1) noktası [PA] çapının orta noktası olduğundan
x2 + y2 – 4x – 6y = 0 dır.
ÖRNEK 5 Bir kenarı x2 + y2 – 8x + 2y – 8 = 0 çemberinin 0y
ekseninden ayırdığı kiriş olan ve diğer köşeleri de
bu çember üzerinde bulunan dikdörtgenin alanını bulunuz.
ÖRNEK 7 Merkezi II. açıortay doğrusu üzerinde bulunan ve yarıçapı
ÇÖZÜM İlgili şekil çizilirse A ve B nok-
B
17 br olan çember A(–3, 0) noktasından
geçtiğine göre bu şartı sağlayan çemberlerin denk-
y
x D
lemlerini bulunuz.
talarını bulmak için çember
C M
A
ek tremum
A(x, y) = A(2.1 – (–1), 2.(–1) –2) = A(3, –4) bulunur.
denkleminde x = 0 yazılırsa x = 0 için 02 + y2 – 8.0 + 2.y – 8 = 0
y2 + 2y – 8 = 0
y = –4 ve y = 2 bulunur.
ÇÖZÜM Merkez, y = –x doğrusu üzerinde olduğuna göre M(k, – k) formatındadır.
M(k, – k) ve r = elde edilir.
17 olduğundan (x – k)2 + (y + k)2 = 17
Yani, |AB| = 6 br
A(–3, 0) noktası bu denklemi sağlar.
Çemberin yarıçapı
(–3 – k)2 + (0 + k)2 = 17
r=
D 2 + E 2 - 4F = 2
|AC| = 10 br olur.
64 + 4 + 32 = 5 br ve 2
ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısından |BC| = 8 br ve Alan(ABCD) = |AB|.|BC| = 6.8 = 48 br2 bulunur. Analitik Geometri
2k2 + 6k – 8 = 0, k2 + 3k – 4 = 0 k = 1 veya k = – 4 olup denklemler x2 + y2 – 2x + 2y – 15 = 0, x2 + y2 + 8x – 8y + 15 = 0 bulunur. 119
Çember Analitiği
ÖRNEK 8
ÖRNEK 10
x2 + y2 – 12x – 14y + 20 = 0
4x – 3y + 25 = 0 ve 4x – 3y – 25 = 0
çemberinin 0x eksenini kestiği noktalardan geçen
doğrularına teğet olan ve orijinden geçen çemberin
ve merkezi 4x – 9y + 12 = 0 doğrusu üzerinde olan
denklemini bulunuz.
çemberin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM ÇÖZÜM
Verilen çemberin 0x ek-
y
senini kestiği A ve B M H
O A
Verilen doğrular birbirine
noktalarını bulalım. B
x
d
A
y = 0 için
M
daki uzaklık formülünden
x – 12x + 20 = 0, x = 2, x = 10 yani, A(2, 0) ve B(10, 0) olur.
|AB| çap uzunluğunu bu-
B
lalım.
İstenilen çemberin merkezi, [AB] doğru parçasının orta dikme doğrusu olan x = 6 doğrusu üzerindedir.
Merkezin ordinatını bulmak için verilen doğru denkle4x – 9y + 12 = 0, x = 6 için y = 4 olur. Yani M(6, 4) elde edilir. Çemberin yarıçapını bulalım. (6 - 2) 2 + (4 - 0) 2 = 4 2 br
O hâlde merkezi M(6, 4) ve r = 4 2 br olan çemberin denklemi
(x – 6) + (y – 4) = 32 veya
= 10 br
olan d doğrusunu bulalım.
d doğrusu diğer doğrulara paralel olduğundan 4x – 3y + k = 0 şeklindedir. k sayısı da verilen doğrulardaki sabit terimlerin toplamı25 + (- 25) 2
=0
O hâlde d doğrusu 4x – 3y = 0 olur. Yani merkezin koordinatları
ÖRNEK 9
4x – 3y = 0,
x2 + y2 – 6x + 2y + 9 = 0 çemberi ile aynı merkeze sahip ve 4x – 3y + 5 = 0 doğrusuna teğet olan çemberin denklemini bulunuz.
4x = 3y, y 4 x = 3
olduğundan x = 3t, y = 4t (t!R) alınabilir.
ÇÖZÜM
M(3t, 4t) yarıçap r = 5 br ve çember orijinden 0(0, 0) dan
Çemberin merkezi
4x – 3y + 5 = 0
4 2 + (- 3) 2
Şimdi de merkezden geçen ve verilen doğrulara paralel
k=
x2 + y2 – 12x – 8y + 20 = 0 olarak bulunur.
H
25 - (- 25)
nın yarısına eşittir.
2
M
AB =
ek tremum
minde x = 6 yazalım.
2
çap olur.
Paralel iki doğru arasın-
2
r = MA =
paralel olduğundan [AB]
6 2 M d , - n = M (3, - 1) ve 2 2 r = MH =
4.3 - 3. (- 1) + 5 2
4 +3
2
geçtiğinden r = MO =
(3t) 2 + (4k) 2 = 5t
5t = 5 ise t = 1, M(3, 4) olur. Çemberin denklemi de (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 bulunur.
r = 4 br Denklem; (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16 olarak bulunur. 120
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 11
KAVRAMA TESTİ
Merkezi y = x + 1 doğrusu üzerinde bulunan, P(8, 2)
1. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0
noktasından geçen ve 0x eksenine teğet olan çem-
berlerin denklemlerini bulunuz.
çemberi ile aynı merkezli ve 0x eksenine teğet
olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4 B) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9 C) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4
ÇÖZÜM
D) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 4
Çemberler P(8, 2) noktasından geçtiğinden ve 0x ekse-
E) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9
nine teğet olduğundan I. bölgede yer alırlar. Merkezin koordinatları y = x + 1 doğrusu üzerinde olduğundan M(k, k + 1) şeklindedir.
Çemberler 0x eksenine teğet olduğundan çemberlerin yarıçapı r = k + 1 olur.
r=
M
(k - 8) 2 + (k + 1 - 2) 2
= (k + 1)
r P
k = 4 veya k = 16 bulunur.
O hâlde çember denklemi;
ek tremum
|MP| = r olacağından 2. x2 + y2 + 8x + my – 5 = 0
çemberinin üzerindeki A(–8, –1) noktasından ge-
çen çapın diğer ucunun koordinatlarının toplamı kaçtır? A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) –2
k = 4 için M(4, 5) ve r = 5 br olup (x – 4)2 + (y – 5)2 = 25 k = 16 için M(16, 17) ve r = 17 br olup (x – 16)2 + (y – 17)2 = 289 bulunur. 3. x2 + y2 – 5x – 8y + 12 = 0
çemberinin 0y eksenini kestiği noktalardan ge-
çen ve merkezi I. açıortay doğrusu üzerinde olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 + 8x + 8y + 12 = 0 B) x2 + y2 – 8x + 8y + 12 = 0 C) x2 + y2 – 8x – 8y + 12 = 0 D) x2 + y2 + 8x – 8y + 12 = 0 E) x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0
1) C Analitik Geometri
2) B
3) C 121
Çember Analitiği 7. P(2, –1) noktası x2 + y2 + 6x + 8y – 3 = 0 çemberi
4. x2 + y2 – 10x – 8y + 16 = 0
çemberinin eksenleri kestiği noktaları köşe ka-
ile aynı merkezli olan x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
A) 12
A) –9
çemberi üzerinde bulunduğuna göre F kaçtır?
2
bul eden üçgenin alanı kaç br dir? B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
B) –8
C) –6
D) 6
E) 8
5. 3x – 4y + 10 = 0 ve
3x – 4y + 30 = 0 8. x2 + y2 – 2x + my – 4 = 0
doğrularına teğet olan ve merkezi y = x + 6 doğrusu üzerinde olan çemberin denklemi aşağıda-
kilerden hangisidir?
A) x2 + y2 – 6x + 8y = 0
A) –4
C) x2 + y2 – 6x – 4y – 2 = 0 D) x2 + y2 – 8x + 4y – 16 = 0 E) x2 + y2 + 8x – 4y + 16 = 0
çemberinin orijinden geçen çap doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2y + 3x = 0
B) 3y + 2x = 0
C) 2y – x = 0
D) 3y – x = 0
C) –12
D) –16
E) –25
9. x + y = 6, x – y = –2 ve y = 1
6. x2 + y2 – 4x + 6y = 0
B) –9
ek tremum
B) x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0
çemberinin yarıçapı 3 br olduğuna göre m nin
alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
doğrularının oluşturduğu üçgenin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 – 4x – 6y – 4 = 0 B) x2 + y2 – 2x – 4y – 3 = 0 C) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0
E) x + 2y = 0
D) x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 E) x2 + y2 – 2x – 8y – 10 = 0
4) A 122
5) E
6) A
7) A
8) D
9) C Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 2
BİLGİ KUTUSU
x2 + y2 – 4x + ky + 10 = 0 denklemi bir çember belirttiğine göre k nın alabile-
ÇEMBER BELİRTME ŞARTLARI 2
ceği en küçük pozitif tamsayı değerini bulunuz.
2
A. x + y + Dx + Ey + F = 0 denkleminde
D = D2 + E2 – 4F olmak üzere
ÇÖZÜM
1) D > 0 ise denklem çember belirtir.
D = D2 + E2 – 4F > 0 olmalıdır.
2) D = 0 ise denklem tek bir nokta belirtir. Bu
16 + k2 – 40 > 0, k2 > 24 bu şartı sağlayan en küçük
D E nokta M d - , - n dir. 2 2
pozitif tamsayı değeri 5 tir.
3) D < 0 ise denklem gerçek bir çember belirtmez.
ÖRNEK 3
B. Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y2 + 2kx – 4y + 5k = 0
Denkleminne genel konik denklemi denir. Bu denklemin çember belirtmesi için
denklemi bir reel çember belirtmediğine göre k nın
1) B = 0 3) A = C = 1 olduğunda D = D2 + E2 – 4F > 0 koşullarının sağlanması gerekir.
ek tremum
alabileceği tamsayı değerlerini bulunuz.
2) A = C
ÇÖZÜM D = D2 + E2 – 4F < 0 olmalıdır. 4k2 + 16 – 20k < 0 k2 – 5k + 4 < 0 ⇒ (k – 1).(k – 4) < 0
K AV R A M A
1 +
ÖRNEK 1 x2 + y2 – 2x + 6y + m = 0
İşaret tablosu yapılırsa 1 < k < 4 elde
4 –
+
edilir.
Buna göre k = 2 veya k = 3 tamsayı değerini alabilir.
denklemi bir nokta belirttiğine göre m değerini bulunuz.
ÖRNEK 4
ÇÖZÜM D = D2 + E2 – 4F = 0 olmalıdır.
4 + 36 – 4m = 0, m = 10 bulunur.
Analitik Geometri
(m – 1)x2 + 3y2 + (m.n + 8)xy – 12x + py – 12 = 0 denklemi, merkezi IV. bölgede olan ve yarıçapı 3 br
olan bir çember belirttiğine göre m + n + p toplamını bulunuz.
123
Çember Analitiği
ÇÖZÜM
KAVRAMA TESTİ
m – 1 = 3 ve m.n + 8 = 0 olmalıdır.
1. x2 + y2 – 2x + ky + k + 4 = 0
m = 4 ve m.n + 8 = denkleminden 4.n + 8 = 0, n = –2
bulunur.
3x2 + 3y2 – 12x + p.y – 12 = 0 denkleminde her terim 3 e p bölünürse; x 2 + y 2 - 4x + y - 4 = 0 elde edilir. 3
r=
16 +
D 2 + E 2 - 4F = 2 p2 9
p2
9 2
+ 16
denklemi bir çember belirttiğine göre k nın ala-
bileceği en küçük pozitif tamsayı değeri için bu çemberin yarıçapı kaç br dir? A) 1
B)
3 2
C) 2
D)
5 2
E) 3
=3
+ 32 = 36
p = –6 veya p = 6 bulunur. Çemberin merkezi IV. bölgede olduğundan p = 6 olur. O hâlde; m + n + p = 4 – 2 + 6 = 8 bulunur.
ÖRNEK 5 (a + b)x2 – 2y2 – 2ax + 12y + (b + 4)xy + b – 8 = 0
ek tremum
2. (m – n)x2 + 3y2 + (m – 1)x + 18y + (2n – m – 1) xy – 18 = 0
denklemi bir çember belirttiğine göre bu çembe-
rin yarıçap uzunluğu kaç br dir? A) 1
B)
2 C)
3
D) 2
E) 3
denklemi bir çember belirttiğine göre bu çemberin yarıçap uzunluğunu bulunuz.
ÇÖZÜM a + b = –2, b + 4 = 0 olmalıdır. O hâlde b = –4 ve a = 2 bulunur.
3. (2 – a)x2 + (3 – 2a)y2 + 2(k – a)x – 3(k + 2a)y – 13 = 0
Bu değerler denklemde yerlerine yazılırsa
–2x2 – 2y2 – 4x + 12y – 12 = 0 ve bu denklemdeki her bir terim –2 ye bölünürse x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 ve r=
2
2
D + E - 4F = 2
Çemberinin merkezi I. bölgede olduğuna göre k
için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) –6 < k < 3
4 + 36 - 24 = 2 br bulunur. 2
D) k < 3
1) B 124
B) –4 < k < 2
C) –2 < k < 1
E) k > –4
2) D
3) C Analitik Geometri
Çember Analitiği 1.
BİLGİ KUTUSU
4) r1
a
r2
M1
A. İki Çemberin Birbirine Göre Durumları
M2 B
Merkezleri M1 ve M2 yarıçapları r1 ve r2 olmak
üzere
|r1 – r2| < |M1M2| < r1 + r2 ise çemberler a
açısı altında iki noktada kesişir. 1) r1
a = 90° ise |M1M2|2 = r12 + r22
(Çemberler dik kesişirler)
r2
M1
M2
|M1 M2| > r1 + r2 ise çemberler ayrıktır. 5)
M1
2) r1 M1
T
r2 M2
ek tremum
A
M2
|M1M2| < |r1 – r2| ise çemberler kesişmezler.
|M1 M2| = r1 + r2 ise çemberler dıştan teğettir.
3) r2 M1
M2
T
|M1 M2| = |r1 – r2| ise çemberler içten teğettir.
Analitik Geometri
125
Çember Analitiği
ÖRNEK 3
K AV R A M A
(x + 4)2 + (y + 3)2 = 625 çemberine içten teğet olan ve
ÖRNEK 1
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 çemberine de dıştan teğet olan en küçük yarıçaplı çemberin denklemini bulunuz.
x2 + y2 – 10x – 6y + 26 = 0 ve
(x – 10)2 + (y – 8)2 = r2
çemberleri dıştan teğet olduklarına göre r değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM Çemberlerin merkezlerini ve yarıçaplarını bulalım. M1(5, 3), r1 =
2
2
10 + 6 - 4.26 = 2 2 br 2
M2
M2(10, 8) ve çemberler dıştan teğet olduğundan M1 M2 =
A
T M3
Önce ilgili şekil çizip çemberlerin merkezlerini ve yarı çaplarını bulalım.
M1
_ 10 - 5 i + _ 8 - 3 i = 5 2 br 2
2
5 2 = 2 2 + r, r = 3 2 br bulunur.
ek tremum
M1(–4, –3), r1 = 25 br, M2(4, 3), r2 = 5 br
ÖRNEK 2
M1 M2 =
_ 4 + 4 i + _ 3 + 3 i = 10 br dolayısıyla 2
2
M 1 A = 10 + 5 = 15 br olup istenilen çemberin çapı AT = 25 - 15 = 10 br olur. O hâlde çemberin yarıçapı 5 br olur.
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 49 ve
Çemberin merkezi
(x – a)2 + (y – 7)2 = 4
M3(a, b) olsun.
çemberleri içten teğet olduklarına göre a nın alabileceği değerleri bulunuz.
Yukarıdaki şekilden M 1 M 2 = M 2 M 3 olduğu görülür. Yani M2, [M1 M3] doğru parçasının orta noktasıdır.
ÇÖZÜM
O hâlde;
Çemberlerin merkezlerini ve yarıçaplarını bulalım. M1(–2, 3), r1 = 7 br ve M2(a, 7), r2 = 2 br çemberler içten teğet olduğundan M 1 M 2 = r1 - r2 olmalıdır. M1 M2 =
-3 + b =3 2 a = 12, b = 9 ve r = 5 br
_a + 2i + _7 - 3i = 7 - 2 2
-4 + a = 4, 2
2
olduğundan (x – 12)2 + (y – 9)2 = 25 bulunur.
_ a + 2 i + 16 = 25 2
a + 2 = 3 veya a + 2 = - 3 a = 1 veya a = - 5 bulunur.
126
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 4
ÖRNEK 5 x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 ve
Merkezi M 1 _ 0, 4 3 i ve yarıçapı 5 br olan çember ile
merkezi M2(4, 0) ve yarıçapı 3 br olan çember dıştan
(x + 1)2 + (y – 3)2 = r2
teğettir. M2(4, 0) merkezli çember üzerindeki bir T nok-
çemberleri farklı iki noktada kesiştiğine göre r kaç
tasından M1M2 doğrusuna paralel çizilen bir teğetin M1
farklı tam sayı değeri alabilir?
merkezli çemberi kestiği en uzak nokta A noktasıdır. Buna göre |AT| uzunluğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM A M1
H
ek tremum
y
B
T O
M2
x
İlgili şekil çizilirse M 2 T = M 1 H = 3 br,
Çemberlerin merkezlerini ve yarıçaplarını bulalım: M 1 (2, - 1), r1 =
4 2 + 2 2 + 16 = 3 br ve 2
M 2 (- 1, 3), r2 = r olur. Çemberler iki noktada kesiştiklerinden dolayı r1 - r2 < M 1 M 2 < r1 + r2 olmalıdır. M1 M2 =
(2 + 1) 2 + (- 1 - 3) 2 = 5 br ve
r - 3 < 5 < r + 3 elde edilir.
M 1 A = 5 br,
Bu eşitsizlikler çözülürse 2 < r < 8 olur.
M 1 M 2 = 8 br
Bu şartı sağlayan 8 – 2 – 1 = 5 tamsayı değeri vardır.
olduğu görülür. M1HA dik üçgeninde pisagor bağıntısından AH = 4 br bulunur.
HT = M 1 M 2 = 8 br olduğundan AT = HT + AH = 8 + 4 = 12 br bulunur.
Analitik Geometri
127
Çember Analitiği
ÖRNEK 6
ÖRNEK 7
(x + 5)2 + (y – 10)2 = r2 ve
(x + 3)2 + (y – 5)2 = 4 ve
(x + 2)2 + (y – 6)2 = 16
(x – a)2 + (y – 11)2 = 36
çemberleri dik kesiştiklerine göre r değerini bulunuz.
çemberleri 120° lik açı ile kesiştiklerine göre a nın alabileceği değerleri bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Çemberlerin merkezlerini ve yarıçaplarını bulalım.
Çemberlerin merkezlerini ve yarıçaplarını bulalım.
M1(–3, 5),
M1(–5, 10),
r1 = 2 br ve
r1 = r ve
M2(a, 11),
M2(–2, 6),
r = 6 br olur.
çemberler dik kesiştiklerinden 2
M 1 M 2 = r 21 + r 22 olmalıdır. M1 M2 =
(- 5 + 2) 2 + (10 - 6) 2 = 5 br
5 2 = r 2 + 4 2, r = 3 br bulunur.
ek tremum
r2 = 4 br
2
A
Çemberlerin ke-
120°
lardan biri A ol-
siştikleri
6
nokta-
sun.
M2
M1
O hâlde; m (M 1 WA M 2) = 120° olur. Şekildeki
M1 M2
uzunluğunu kosünüs teoreminden
hesaplayalım. 2
M 1 M 2 = 2 2 + 6 2 - 2.2.6.Cos120° Cos120° = -
1 değerini yerine yazıp ifadeyi düzenlersek 2
2
M 1 M 2 = 4 + 36 + 2.2.6.
1 = 52 olur. 2
Şimdi de M 1 M 2 yi iki nokta arasındaki uzaklık formülünden bulalım. 2
M 1 M 2 = (a + 3) 2 + (11 - 5) 2 = 52 (a + 3) 2 = 16, a = 1 veya a = - 7 bulunur.
128
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 8
ÇÖZÜM
(x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 ve
B
(x – 3)2 + (y – 10)2 = 9 çemberleri arasındaki en kısa ve en uzun uzaklıkları
A
hesaplayınız.
C
r
D
M
İlgili şekil çizilirse B noktası C noktasındayken |AB| nin
en küçük, B noktası D noktasındayken ise |AB| nin en büyük değerini alacağı görülür. O hâlde,
ÇÖZÜM
AC = MA - r ve AD = MA + r olur. M (7, 2), r = 5 br ve
C
r1
r1
A
M1
B r2
r2 M2
(7 + 5) 2 + (2 + 3) 2 = 13 br olup
MA = D
AC = MA - r = 13 - 5 = 8 br AD = MA + r = 13 + 5 = 18 br bulunur.
ÖRNEK 10
tendiği görülür.
M1(–3, 2), r1 = 5 ve M2(3, 10), r2 = 3 M1 M2 =
2
2
(3 + 3) + (10 - 2) = 10 br olduğundan
AB = M 1 M 2 - _ r1 + r2 i
ek tremum
İlgili şekil çizilirse bizden |AB| ve |CD| uzunluklarının is-
Analitik düzlemde her iki
y
eksene de teğet olan A ve B merkezli çemberlerin
B
yarıçapları sırasıyla 1 br
A x
= 10 - (5 + 3) = 2 br ve CD = M 1 M 2 + (r1 + r2) = 10 + 5 + 3 = 18 br bulunur.
ve 7 br olduğuna göre çemberler arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM y
A
B 6
C D 1
1 1
H
7
x
ÖRNEK 9 Bir A(–5, –3) noktası ve (x – 7)2 + (y – 2)2 = 25 çemberi üzerinde bir B noktası alınıyor.
Buna göre |AB| nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz.
AHB dik üçgeninde |AH| = 8 br, |BH| = 6 br
|AB| = 10 br olur. |AC| = 1 br |BD| = 7 br
olduğundan
|CD| = 10 – (1 + 7) = 2 br bulunur.
Analitik Geometri
129
Çember Analitiği 4. x2 + y2 – 6x + 4y – 23 = 0 ve
KAVRAMA TESTİ
1. x2 + y2 + 2x – 2y – 14 = 0 ve 2
2
2
(x – 7) + (y – 7) = r
çemberleri dıştan teğet olduğuna göre r kaç bi-
çemberleri farklı iki noktada kesiştiklerine göre
r nin alabileceği en büyük tamsayı ve en küçük tamsayı değerleri toplamı kaçtır?
rimdir? A) 5
(x + 5)2 + (y – 4)2 = r2
A) 21 B) 6
C) 7
D) 8
B) 20
C) 19
C) 18
E) 17
E) 10
5. Analitik düzlemde merkezleri sırasıyla (5, 0) ve
(4, 0) olan ve orijinden geçen çemberler çiziliyor. Bü-
2. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 81 çemberine içten teğet ve
yük çemberin küçük çembere teğet ve 0x eksenine
(x – 7)2 + (y – 1)2 = 4 çemberine de dıştan teğet
dik olan kirişi çiziliyor.
olan en büyük yarıçaplı çemberin yarıçapı kaç br
A) 2
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
3. Analitik düzlemde,
ek tremum
dir?
A) 6
1) B 130
D) 12
E) 14
2
dan biri A noktasıdır.
en kısa uzaklık kaç birimdir? B) 8
C) 10
_ x - 2 6 i + y 2 = 25 çemberinin kesim noktaların-
denklemleriyle verilen çemberlerin arasındaki
A) 10
B) 8
6. M1 merkezli x2 + (y – 5)2 = 9 çemberi ile M2 merkezli
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 (x + 4)2 + (y –7)2 = 9
Buna göre bu kirişin uzunluğu kaç br dir?
C) 6
2) C
D) 5
E) 3
3) D
Buna göre M1 A M2 açısının ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 60
4) B
B) 75
C) 90
5) B
D) 120
E) 135
6) D Analitik Geometri
Çember Analitiği 7.
10. (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25 ve
Analitik düzlemde M mer-
y
B
kezli çember ile O mer-
kezli çeyrek çember A
OB = AB x
O
çemberleri veriliyor.
noktasından içten teğettir.
A
M
Alan (AOB) = 9 3 br 2
Küçük yarıçaplı çemberin üzerindeki bir T noktasın-
dan merkezleri birleştiren doğruya paralel bir teğet çiziliyor. Bu teğetin büyük yarıçaplı çemberi kestiği noktalarından biri A noktasıdır.
olduğuna göre M merkezli çemberin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 B) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 2
(x – 5)2 + (y – 10)2 = 9
Buna göre AT nin alabileceği en büyük değer
kaçtır? A) 13
B) 14
C) 15
D) 17
E) 18
2
C) (x - 2 3 ) + (y - 2) = 4 D) (x - 2 3 ) 2 + (y - 2 3 ) 2 = 12 E) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16
8. x2 + y2 – 2x – 3 = 0 çemberi ile (x – 18)2 + y2 = 100
çemberinin ortak dış teğetlerininden birinin uzunluğu kaç birimdir? A) 18
B) 17
C) 15
D) 13
E) 12
ek tremum
11. Analitik düzlemde,
x2 + y2 – 6x – 4y + 12 = 0
çemberine ve y eksenine teğet olan çemberlerin
merkezlerinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 – 8x = 0 B) x2 – 4x – 8y + 12 = 0 C) x2 – 8x – 4y – 12 = 0 D) y2 – 8x – 4y + 12 = 0 E) y2 – 4x – 8y +12 = 0
12. Analitik düzlemde merkezleri A(1, 0) ve B(4, 0) olan
9. x2 + y2 – 4x + 6y – 5 = 0
çemberinin içindeki P(0 , –5) noktasına en yakın
ve orijinden geçen çemberler çiziliyor. [BC] = AB
hangisidir?
de bir C noktası alınıyor.
olacak şekilde I. bölgede B merkezli çember üzerin-
olduğu noktanın koordinatları aşağıdakilerden
A) (5, 0)
B) (–1, 0)
D) (3, –5)
7) C Analitik Geometri
C) (2, –3) E) (–1, –6)
8) C
C noktasından geçen ve A merkezli çembere dış-
tan teğet olan çemberin yarıçapı kaç birimdir? A)
9) E
1 2
10) B
B) 1
C)
5 3 D) 2 4
11) D
E) 2
12) E 131
Çember Analitiği 1.
BİLGİ KUTUSU
B. Merkezin Doğruya Uzaklığı
M(a, b) merkezli r yarıçaplı çemberin merke-
M
BİR DOĞRU İLE BİR ÇEMBERİN DURUMLARI
zinin
r
h
A. Ortak Çözüm Denklemi
A
y = mx + n
h
edilir. Bu denklemin Diskriminantı D = B2 – 4AC
çembere teğettir.
h
ek tremum
D = 0 ise doğru
ri kesmez.
M
D > 0 ise doğru
2)
r d
H
K AV R A M A ÖRNEK 1
T
3)
h > r ise doğru çembe-
3)
olmak üzere
B
d
H
ci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde
A
ser.
re teğettir.
M
düzenlenirse Ax2 + Bx + C = 0 biçiminde ikin-
noktada keser.
d
h = r ise doğru çembe-
Çember denkleminde y = mx + n yazılıp denklem
çemberi farklı iki
B
H
2)
sisteminin ortak çözümü belirler.
1)
ri farklı iki noktada ke-
M h
r
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
doğrusuna
MH = h ol-
h < r ise doğru çembe-
1)
olan bir çember ile denklemi y = mx + n olan bir doğrunun birbirine göre konumlarını,
sun.
d
H
Düzlemde denklemi x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
d
uzaklığı
D < 0 ise doğru çemberi kesmez.
y = 2x doğrusu ile x2 + y2 – 12x – 14y + 60 = 0 çemberinin birbirine göre durumunu inceleyiniz.
ÇÖZÜM y = 2x ifadesini çember denkleminde yerine yazalım. x 2 + (2x) 2 - 12x - 14.2x + 60 = 0 5x 2 - 40x + 60 = 0 xx2 - 8x + 12 = 0 x
-2 -6
x = 2 veya x = 6 x = 2 için y = 2x = 2.2 = 4 x = 6 için y = 2.6 = 12 dolayısıyla doğru ile çember A(2, 4) ve B(6, 12) noktalarında kesişirler.
132
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 2
ÇÖZÜM
y = x + m doğrusu (x +4)2 + y2 = 2 çemberini iki farklı
y = x + m ifadesini çember denkleminde yerine yazıp
noktada kestiğine göre m nin tanım aralığını bulunuz.
düzenleyelim.
(x - 4) 2 + (x + m) 2 = 18 2x 2 + x (2m - 8) + m 2 = 0
ÇÖZÜM
D = b 2 - 4ac = 0 olmalıdır.
y = x + m ifadesini çember denkleminde yerine yazıp
(2m – 8)2 – 4.2.(m2 – 2) = 0
düzenleyelim.
mm2 + 8m - 20 = 0
(x + 4)2 + (x + m)2 = 2
+ 10 -2
m
2x2 + x(8 + 2m) + m2 + 14 = 0
m = –10 veya m = 2 bulunur.
2
D = b – 4ac > 0 olmalıdır.
_ 8 + 2m i - 4.2. (m 2 + 14) > 0
2
2
mm2 - 8m + 12 < 0 m
+
6 –
ÖRNEK 5
+
y = x – 2 doğrusu ile (x – 8)2 + (y – 4)2 = 25 çemberinin
-6 -2
kesim noktaları A ve B dir.
İşaret tablosu çizilirse m nin tanım aralığı 2 < m < 6 olur.
Buna göre [AB] doğru parçasının orta noktasının
ÖRNEK 3 x2 + y2 + 6x + my – 3 = 0 çemberi y = 6 doğrusuna teğet olduğuna göre m değerini bulunuz.
ek tremum
koordinatlar toplamını bulunuz.
ÇÖZÜM B(x2, y2) C(x, y)
A(x1, y1)
A(x1, y1), B(x2, y2) ve [AB] nin orta noktası C(x, y) olsun.
M
ÇÖZÜM Çember denkleminde y = 6 yazalım ve düzenleyelim.
Önce denklemleri ortak çözelim.
x 2 + 6 2 + 6x + 6m - 3 = 0
(x – 8)2 + (x – 2 – 4)2 = 25
x 2 + 6x + 6m + 33 = 0 D = b 2 - 4ac = 0 olmalıdır. 36 - 4.1. (6m + 33) = 0 m = - 4 bulunur.
2x2 – 28x + 75 = 0 Bu denklemin kökleri x1 ve x2 olup x1 + x2 = -
b 28 = = 14 olur. a 2
y1 = x1 – 2 ve y2 = x2 – 2 olduğundan y 1 + y 2 = x 1 + x 2 - 4 = 14 - 4 = 10 olur.
ÖRNEK 4 y = x + m doğrusu (x – 4)2 + y2 = 18 çemberine teğet olduğuna göre m nin alabileceği değerleri bulunuz.
C = (x, y) = C d
x1 + x2 y1 + y2 14 10 n = Cd , , n = C (7, 5) 2 2 2 2
ÖRNEK 6 x2 + y2 = 1 çemberi ile y = mx + m (m!R) doğrusu
A(x1, y1) ve B(x2, y2) gibi iki farklı noktada kesişiyor. 1 olduğuna göre m 2 nin alabileceği değerleri bulunuz. Sıfırdan farklı x1, x2 için x 1 .x 2 =
Analitik Geometri
133
Çember Analitiği
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
y = mx + m ifadesini çember denkleminde yazıp düzenleyelim.
H
A
x2 + (mx + m)2 = 1
5
M(3, 1)
(1 + m2)x2 + 2m2x + m2 – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için x 1 .x 2 =
c m2 - 1 1 = = 2 a 2 1+m
2
Çemberin merkezi M(3, 1) ve yarıçapı 36 + 4 + 60 = 5 br dir. 2
r=
2
2m - 2 = m + 1
M(3,1) noktasının 3x – 4y + 10 = 0 doğrusuna olan
m 2 = 3,
uzaklığını bulalım.
m = " 3 bulunur.
MH =
4y – 3x + a = 0
r H
D -E Md - , n = M (4, 2) ve yarıçapı 2 2 D 2 + E 2 - 4F = 2
15 = 3 br 5
2
2
ÖRNEK 9 3x – 4y – 10 = 0 doğrusu ile x2 + y2 – 12x + 6y + 20 = 0 çemberinin kesim noktaları A ve B dir.
Çember üzerindeki diğer bir nokta C olmak üzere
ABC üçgeninin alanının alabileceği en büyük değeri bulunuz.
A
64 + 16 + 20 = 5 br ve 2 =
5
a = 29 veya a = - 21 bulunur.
x2+ y2 – 6x – 2y – 15 = 0 çemberi ile 3x – 4y + 10 = 0
doğrusunun oluşturdukları kirişin uzunluğu kaç bi-
5
Çemberin merkezi M(6, –3) ve yarıçapı
M(6, –3)
12 2 + 6 2 - 80 = 5 br dir. 2
r=
C
ABC üçgeninin alanının en büyük olması için C noktasının [AB] doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde
olması gerekir. M(6, –3) noktasının 3x – 4y – 10 = 0 doğrusuna olan uzaklığı MH =
ÖRNEK 8
B
H
5
a- 4
a - 4 = 25,
134
=
ÇÖZÜM
Çemberin merkezi
- 3.4 + 4.2 + a
ek tremum
ÇÖZÜM
rimdir?
2
AH = 4 br ve AB = 8 br bulunur.
ğerleri bulunuz.
42 + 32
3 +4
2
çemberine teğet olduğuna göre a nın alabileceği de-
5=
2
AH = MA - MH = 5 2 - 3 2 = 16
4y – 3x + a = 0 doğrusu x2 + y2 – 8x – 4y – 5 = 0
r=
3.3 - 4.1 + 10
AHM dik üçgeninde pisagor bağıntısından
ÖRNEK 7
M(4, 2)
3x – 4y + 10 = 0
B
3.6 - 4. (- 3) - 10 2
3 +4
2
=
20 = 4 br 5
AHM dik üçgeninde pisagor bağıntısından |AH| = 3 br dolayısıyla |AB| = 6 br ve üçgeninin yüksekliği olan |HC| = 4 + 5 = 9 br olduğundan 6.9 Alan (ABC) = = 27 br 2 bulunur. 2
Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. 3x – 4y + 17 = 0 ve 3x – 4y – 18 = 0
KAVRAMA TESTİ
1. x2 + y2 + 4x + 8y + k = 0
ğeri kaçtır?
A) 48
B) 12
C) 15
D) 16
kaçtır?
3 2
C) 2
D)
5 2
E) 3
3. y = x – 1 doğrusu (x – 3)2 + y2 = r2 çemberini farklı iki noktada kestiğine göre r nin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
D) 52
E) 60
berinin kesim noktaları arasındaki uzaklık 8 br
E) 0
olduğuna göre k nın alabileceği değerler toplamı
ek tremum
Buna göre [AB] kirişinin orta noktasının ordinatı
B)
C) 50
5. y = k doğrusu ile x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0 çem-
berinin kesim noktaları A ve B dir.
A) 1
B) 49
E) 18
2. y = x + 3 doğrusu ile x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0 çem
kesim noktalarının oluşturduğu yamuğun alanı kaç br2 dir?
çemberi 0y eksenine teğet olduğuna göre k de-
A) 8
doğrularıyla x2 + y2 – 10x – 6y + 9 = 0 çemberinin
kaçtır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6. Merkezi (2, –1) olan çemberin 3x – 4y + 10 = 0 doğrusu ile kesim noktaları A ve B dir.
|AB| = 4 br olduğuna göre çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 – 4x + 2y – 18 = 0 B) x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0 C) x2 + y2 – 4x + 2y – 9 = 0 D) x2 + y2 – 4x + 2y – 13 = 0 E) x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0
1) D Analitik Geometri
2) B
3) C
4) B
5) D
6) B 135
Çember Analitiği 1.
ÇÖZÜM
BİLGİ KUTUSU
Önce k değerini bulmak için P(–3, k) noktasını çember denklemine yazalım;
Teğet ve Normal Denklemleri
(–3)2 + k2 = 25 ise k = "4 ve II. bölgede olduğundan k = 4 olur. Bu soruyu 2 farklı yoldan çözelim;
P(x1, y1) M(a, b)
Teğet
1. yol
4)
Teğet
3, +
P(–
Normal
male P(x1, y1) noktasında teğet olan doğruya da teğet denir.
m Normal =
4- 0 4 =3 -3- 0
Normal
y1 - b ve P(x1, y1) den geçen x1 - a
Normal denklemi için; P(–3, 4) ve m Normal = ğundan
Normalin denklemi: y – y1 = mnormal(x – x1) olur. mnormal , mteğet ≠ 0 olmak üzere, mnormal . mteğet = –1 ve Teğetin denklemi: y – y1 = mteğet(x – x1) bulunur. 1) x2 + y2 = r2 merkezil çemberine üzerindeki P(x1, y1) noktasından çizilen teğetin denklemi;
y- 4 =-
4 (x + 3) düzenlersek 3
3y + 4x = 0 (Normal denklemi) Teğet denklemi için; mteğet.mnormal = –1 olduğundan mteğet. d -
3 4 olur. n = - 1 ve mteğet = 3 4
x.x1 + y.y1 = r2
P(–3, 4) ve mteğet =
2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 çemberine üzerindeki
y - y 1 = m (x - 1)
P(x1, y1) noktasından çizilen teğetin denkle-
3 olur. 4
3 (x + 3) 4
y- 4 =
2
mi (x1 – a).(x – a) + (y1 – b).(y – b) = r
4 oldu3
y - y 1 = m (x - x 1)
ek tremum
Normal ile teğet birbirine dik olduğundan
eğimini
doğru analitiğinden eğim
M(0, 0)
noktası verilsin MP doğrusuna normal ve nor-
2
normalin
formülü kullanarak bulalım.
M merkezli çember ve üzerindeki bir P(x1, y1)
m normal =
Önce
4y – 3x = 25 (Teğet denklemi) bulunur.
2
3) x + y + Dx + Ey + F = 0 çemberine üzerindeki P(x1, y1) noktasından çizilen teğetin denklemi x 1 .x + y 1 .y +
D E (x + x) + (y 1 + y) + F = 0 2 1 2
formülleri ile de bulunabilir.
2. yol Teğet denklemi için "Adım" da verdiğimiz 1. formülü kullanalım;
K AV R A M A ÖRNEK 1 2
2
x + y = 25 çemberine II. bölgede bulunan çember
P(–3, 4) için x.x1 + y.y1 = r2
–3x + 4y = 25 (teğet denklemi)
Normal denklemi de teğetin eğimi bilindiğinden kolayca hesaplanabilir.
üzerindeki P(–3, k) noktasından çizilen teğet ve normal denklemlerini bulunuz. 136
Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 2
ÖRNEK 3 (x + 1)2 + (y + 2)2 = 32
(x + 2)2 + (y – 4)2 = 100 çemberine üzerindeki P(6, –2)
noktasından çizilen teğet ve normal denklemlerini
çemberinin y = x – 2 doğrusuna paralel olan teğetle-
bulunuz.
rinin denklemlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM P(6, –2)
Teğet
Teğet, y = x – 2 doğrusuna
Bu soruyu doğru analitiği
M(–1, –2)
kullanarak çözelim.
Önce mnormal i bulalım.
=
Normal
-6 3 =8 4
3 P (6, - 2) ve m normal = - için Normal denklemi; 4 y - y 1 = m ( x - x 1) 3 y + 2 = - (x - 6) 4 4y + 3x = 10 (Normal denklemi) mteğet.mnormal = –1 3 4 mteğet. d - n = - 1 ise mteğet = ve P(6, –2) noktası için 3 4
paralel olduğundan denklemi y = x + k formatındadır.
H
ek tremum
M(–2, 4)
-2- 4 m normal = 6+ 2
y=x+k
M(–1, –2) merkezin teğete
y = x – 2
uzaklığı yarıçapa eşit olur.
y – x – k = 0, M(–1, –2) ve r = 4 2 için MH = k+ 1 2
-2+ 1- k 12 + 12
=4 2
=4 2
k + 1 = 8, k = 7 veya k = - 9 bulunur. O hâlde teğet denklemleri y = x – 9 ve y = x + 7 olur.
teğet denklemi; y - y 1 = m (x - x 1) y+ 2 =
4 (x - 6) 3
3y – 4x + 30 = 0 (Teğet denklemi) bulunur.
ÖRNEK 4 (x + 2)2 + y2 = 10 çemberinin y = 3x – 14 doğrusuna en yakın ve en uzak olduğu noktaları bulunuz.
Analitik Geometri
137
Çember Analitiği her iki tarafın karesi alınıp düzenlenirse
ÇÖZÜM
12m 2 - 7m - 12 = 0 4m 3m
Bizden A ve B noktaları is-
B y = 3x + k
M
teniyor. A noktasından ge-
m=-
çen ve verilen y = 3x – 14 doğrusuna paralel teğet
A
+3 -4
3 4 ve m = olup istenilen teğet denklemleri 3 4
4x – 3y = 25 ve 3x + 4y = 25 bulunur.
y = 3x + k olsun. y = 3x – 14
mteğet = 3 olduğundan mnormal = mMA = M(–2, 0) ve A(x, y) için m MA =
y
x+2
=-
1 olur. 3
1 3
x + 2 = - 3y olur. A(x, y) noktası çember denklemini sağlar; (x + 2)2 + y2 = 10 ve x + 2 = –3y için (–3y)2 + y2 = 10, y = –1 veya y = 1
ÖRNEK 6
O hâlde y = –1 için A(1, –1) ve y = 1 için B(–5, 1) bulunur.
x2 + y2 = 25 çemberine dışındaki P(7, 1) noktasından çizilen teğet denklemlerini bulunuz.
çemberine orijinden çizilen teğetler birbirine dik ol-
ek tremum
ÖRNEK 5
x2 + y2 – 2x – 14y + k = 0 duğuna göre k değerini bulunuz.
ÇÖZÜM Teğet denklemi
A
y = mx + n olsun.
5
P(7, 1)
M(0, 0)
P(7, 1) noktası bu denklemi sağlar.
ÇÖZÜM Teğetler orijinden geçtiğinden denklemleri y = mx şeklinde olur. (y = m1x ve y = m2x için m1.m2 = –1 dir.)
y = mx i çember denkleminde yerine yazıp düzenleyelim ve oluşan ifadenin diskriminantını sıfıra eşitleyelim.
B
1 = m.7 + n, n = 1 – 7m ve y = mx + n = mx – 7m + 1
x2 + (mx)2 – 2x – 14.mx + k = 0
olur.
(1 + m2)x2 – x(14m + 2) + k = 0 ve
M(0, 0), r = 5 br ve y – mx + 7m – 1 = 0 için
D = b2 – 4ac = (14m + 2)2 – 4.(1 + m2). k = 0
MA =
0 - m.0 + 7m - 1 1+ m
2
7m - 1 = 5. 1 + m 2
138
=5
(49 – k)m2 + 14m + 1 – k = 0 Bu denklemin kökler çarpımı m1.m2 = –1 olur. m 1 .m 2 =
1- k = - 1 ve k = 25 bulunur. 49 - k
Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
KAVRAMA TESTİ
1. x2 + y2 + 6x + my – 15 = 0
çemberine üzerindeki P(1, –2) noktasından çizi-
çemberinin 0x eksenini kestiği noktalardan çizi-
len teğetlerin kesiştikleri noktanın apsisi kaçtır? A) –1
len normalin 0y eksenini kestiği noktanın ordi-
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
natı kaçtır? A) –5
B) -
5 5 5 C) - D) - E) –1 3 2 4
2. x2 + y2 + mx + 2y – 23 = 0 çemberine üzerindeki P(4, 3) noktasından çizi-
x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
len teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç br2 dir? A) 25
B) 24
C) 20
D) 18
E) 15
3. x2 + y2 = 8 çemberinin y = x + 1 doğrusuna paralel teğetlerinden birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x – 1
B) y = x
D) y = x + 3
C) y = x + 2 E) y = x + 4
ek tremum
5. x2 + y2 = 4 ve
çemberlerinin her ikisine de teğet olacak şekilde
kaç farklı teğet çizilebilir? A) 1
B) 2
C) 3
Analitik Geometri
2) B
çemberinin y = 2x doğrusuna paralel teğetlerin-
den birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x – 1
3) E
E) 5
6. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 45
B) y = 2x + 1
D) y = 2x + 5
1) D
D) 4
4) C
5) C
C) y = 2x + 3
E) y = 2x + 7
6) D 139
Çember Analitiği 7. (x – 1)2 + y2 = 8
10. x2 + y2 – 4x – 6y – 2 = 0
çemberinin y = x + 5 doğrusuna en yakın olduğu
çemberine dışındaki bir P(–3, 1) noktasından çizilen
noktanın koordinatlar toplamı kaçtır? A) 1
B) 0
C) –1
D) –2
teğetlerin değme noktaları A ve B dir.
E) –3
Buna göre P, A ve B noktalarından geçen çembe-
rin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 + x – 4y – 3 = 0 B) x2 + y2 – 2x – y – 2 = 0 C) x2 + y2 – 2x – 3y – 1 = 0 D) x2 + y2 + x – 4y – 5 = 0 E) x2 + y2 – x + 2y – 1 = 0
8. x2 + y2 – 2y + k = 0 çemberine orijinden çizilen teğetler birbirine dik
olduğuna göre k kaçtır?
1 1 1 1 A) B) C) D) 5 6 2 4
E) 1
9. 5x + 12y + k = 0 doğrusu (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1
çemberine teğet olduğuna göre k nın pozitif değeri kaçtır? A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
ek tremum
11. İki eğri arasındaki açı, eğrilerinin kesim noktalarındaki teğetleri arasındaki açıdır.
Yukarıdaki bilgiye göre y = 3 doğrusu ile
(x + 1)2 + y2 = 18 çemberi arasındaki açı kaç derecedir? A) 60
140
8) D
9) C
C) 30
D) 22,5 E) 15
12. (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25
çemberinin üzerindeki A ve B noktalarından ge-
çen teğet doğrularının 0x eksenine paralel olduğu bilindiğine göre A ve B noktalarının ordinatları toplamı kaçtır? A) –2
7) A
B) 45
10) A
B) 4
C) 5
11) B
D) 6
E) 8
12) D Analitik Geometri
Çember Analitiği 1.
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
BİR NOKTA İLE BİR ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
P(–1, 2) noktasından (x – 3)2 + (y –5)2 = 9 çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğunu bulunuz.
Verilen bir P(x1, y1) noktasını,
x2 + y2 + Dx + Ey + F
çember denkleminde yerine yazdığımızda elde
ÇÖZÜM
edilen sayı K olsun. 1) K > 0 ise P(x1, y1) noktası çemberin dışında-
T
dır.
T
P(–1, 2)
M A
K = |PT|2 olduğundan
B
Bu durumda; K = |PT|2 = |PA|.|PB| dir.
2) K = 0 ise P(x1, y1) noktası çemberin üzerindedir.
K = (–1 – 3)2 + (2 – 5)2 – 9 = 16 = |PT|2
ek tremum
P
K = 16 ve |PT| = 4 br bulunur.
ÖRNEK 2 P(m, –1) noktası x2 + y2 – 2x – 3y – 12 = 0 çemberinin dışında olduğuna göre m nin tanım aralığını bulunuz.
3) K < 0 ise P(x1, y1) noktası çemberin içindedir. A
ÇÖZÜM P(m, –1) noktası çember dışında olduğundan K > 0 olmalıdır.
P
B
Bu durumda; K = – |PA|.|PB| dir.
m2 + 1 – 2m + 3 – 12 > 0 m2 – 2m – 8 > 0 m
–4
m
+2
–2 +
4 +
–
İşaret tablosu yapılırsa m nin tanım aralığı (–∞, –2) ∪ (4, ∞) olarak bulunur.
Analitik Geometri
141
Çember Analitiği
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ
P(3, –2) noktası x2 + y2 – 4x + 2y + m = 0 çemberinin
1. P(–1, 2) noktası x2 + y2 + mx – 8y + 16 = 0 çemberi-
iç bölgesinde olduğuna göre m nin alabileceği en
nin iç bölgesindedir.
büyük tam sayı değerini bulunuz.
Bu şartı sağlayan en küçük m tam sayısı için çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 3
ÇÖZÜM
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
K < 0 olmalıdır. 9 + 4 – 12 – 4 + m < 0 m 2x
ni belirtir.
M(a,b)
eşitsizlik sistemini sağlayan kümeyi düzlemde gösteriniz.
x
2)
y
(x – a)2 + (y – b)2 > r2 Çemberin dış bölge-
r
sini belirtir.
M(a,b)
ÇÖZÜM
B. Yarım Çember Denklemleri 2
2
x + y = r denkleminde y çekilirse
x
–r
bölgesidir.
y = 2x
y
y > 2x ifadesi y = 2x doğrusux
nun üst bölgesidir.
y = - r2 - x2 r
x y
–r
2
x2 + y2 = r2 denkleminde x çekilirse 3)
olan çemberin kendisi ve iç
y ≤ 0 için
y
r2 - x2
ek tremum
y= r
2)
x
y ≥ 0 için
y
r –r
orijinde olan ve yarıçapı 2 br 2
2
1)
x2 + y2 ≤ 4 ifadesi merkezi
y
x
x ≥ 0 için
y
x=
r r
r2 - y2
–2
y = 2x
Bu iki taralı bölgelerin kesişimini alırsak yandaki grafik
2
x
elde edilir.
–2
x
–r
4)
y
x ≤ 0 için
r
x = - r2 - y2
r
x –r
Analitik Geometri
denklemleri elde edilir.
143
Çember Analitiği
ÖRNEK 2
KAVRAMA TESTİ
y
1. x2 + y2 ≤ 1
3
Yandaki taralı bölgeyi ifa-
–3 –1
1
3
x de eden eşitsizlik sistemi-
ni bulunuz.
x.y ≥ 0 eşitsizlik sistemini sağlayan küme aşağıdakiler-
den hangisidir? A)
–3
B)
y
C)
y
x
x
D)
ÇÖZÜM
y x
E)
y
y
x
Taralı bölge merkezi orijinde olan 3 br yarıçaplı çembe-
x
rin kendisi ve iç bölgesiyle, merkezi yine orijinde olan 1
br yarıçaplı çemberin dış bölgesinin kesişimidir. Buna göre
1 < x2 + y2 ≤ 9
2. x =
4 - y 2 - 1 eğrisinin I. bölgede eksenlerle
oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç br2 dir?
ek tremum
eşitsizlik sistemi elde edilir.
A)
r - 3 3
B)
3 2r 2 3
C)
2r - 3 3
D)
r -1 3
E)
ÖRNEK 3 y=
16 - x 2 + 2
3.
Şekilde 2 br yarıçaplı
y
eğrisinin grafiğini çiziniz.
merkezil yarım çember
2
ile x = 1 doğrusu veril-
1
y=
6
y- 2 =
16 - x 2
(y – 2)2 = 16 –x2 4
x
x2 + (y –2)2 = 16
bölgeyi
ifade
eden eşitsizlik sistemi
aşağıdakilerden hangisidir?
16 - x 2 + 2
Yani merkezi M(0, 2) ve yarıçapı 4 br olan çemberin üst
A) y ≤
4 - x 2 B) x >
C) x ≥
4 - y2
x≥ 1
x≥ 1
4 - y2
4 - y 2 D) x ≤ x≥ 1
x≤ 1
4 - y2
E) x ≤ x≤ 1
yarısıdır.
1) D 144
Taralı
x=1
2 –4
x miştir.
2
–2
ÇÖZÜM y
3r - 3 4
2) B
3) D Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 2
BİLGİ KUTUSU
Analitik düzlemde A(–1, 2) ve B(2, 8) noktaları için |PB| = 2.|PA| koşulunu sağlayan P noktalarının geo-
Çember Analitiğinde Sık Karşılaşılan Bazı Geometrik Yer Problemleri
metrik yer denklemini bulunuz.
Aynı özellikteki noktaların oluşturduğu kümeye bu
noktaların geometrik yeri denir. Bu adımda çember
analitiğinde sık kullanılan bazı geometrik yer problemlerini örneklerle açıklayacağız.
ÇÖZÜM
K AV R A M A
P(x, y) olsun.
ÖRNEK 1 Analitik düzlemde A(–2, 2) ve B(6, 4) noktaları için
| PB | =
(x - 2) 2 + (y - 8) 2 ,
| PA | =
(x + 1) 2 + (y - 2) 2 ve
| PB | = 2. | PA | ise
[AP] = [PB] şartını sağlayan P noktalarının geomet-
(x - 2) 2 + (y - 8) 2 = 2. (x + 1) 2 + (y - 2) 2
rik yer denklemini bulunuz.
Her iki tarafın karesini alıp ifadeyi düzenlersek
ÇÖZÜM
3x2 + 3y2 + 12x – 48 = 0
ek tremum
Bu soruyu iki yoldan çözelim.
1. yol P
A(–2, 2)
B(6, 4)
M
x2 + y2 + 4x – 16 = 0 elde edilir.
ÖRNEK 3 Merkezi M(4, 3) ve yarıçapı 3 br olan çembere dış-
[AP] ⊥ [PB] olduğundan P noktalarının geometrik yer denklemi [AB] çaplı çemberdir. Çemberin merkezi M d çap r = | MA | =
tan teğet olan ve 1 br yarıçaplı çemberin merkezinin geometrik yer denklemini bulunuz.
-2 + 6 , 2 + 4 n = M (2, 3) ve yarı2 2
(2 + 2) 2 + (3 - 2) 2 = 17 br olur.
ÇÖZÜM
O halde çember denklemi
İstenilen çemberin merkezi O
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 17 veya x2 + y2 – 4x – 6y – 4 = 0 olur. 3
2. yol
A(–2, 2)
B(6, 4)
y- 2 x+ 2
M(4, 3)
P(x, y) olsun.
P(x, y)
m AP =
1 O
, m PB =
y- 4 x- 6
ve
olsun. Bu şartları sağlayan O noktaları, M(4, 3) noktasından
4 br uzaklıktaki noktalar kümesidir.
[AP] ⊥ [PB] olduğundan
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 16
mAP.mPB = –1 olur.
elde edilir.
y- 2 x+ 2
.
y- 4 x- 6
=-1
ifadesi düzenlenirse x2 + y2 – 4x – 6y – 4 = 0 elde edilir. Analitik Geometri
145
Çember Analitiği
ÖRNEK 4
ÖRNEK 6
x2 + y2 = 16 çemberine içten teğet olan ve 1 br yarıçaplı çemberin merkezinin geometrik yer denklemi-
A
ni bulunuz.
Analitik düzlemde B nok-
y
tası Ox ekseninde olacak
şekilde A noktası Oy ek-
O
B
x
seninde hareket ettiriliyor.
|AB| = 6 br olduğuna göre [AB] doğru par-
çasının orta noktasının geometrik yer denklemi-
ÇÖZÜM
ni bulunuz. İstenilen çemberin merkezi
1
2
O olsun. O noktalarının geo-
1 O
ÇÖZÜM
metrik yer denklemi merkezi
M(0, 0) olan ve 3 br yarıçaplı
M(0, 0)
bir çember denklemidir. 2
A
[AB] doğru parçasının orta
y
2
O halde x + y = 9 bulunur.
noktası M olsun. |AB| = 6 br ise
M O
B
x
|OM| = |MA| = |MB| = 3 br olur.
ÖRNEK 5 x2 + y2 = 100 çemberinin 12 br uzunluğundaki kiriş-
ek tremum
A noktası Oy ekseninde
hareket ettirildikçe M noktası, merkezi O(0, 0) olan
3 br yarıçaplı bir yarım çember oluşturur. 2
2
Yani x + y =9 çemberinin sağ tarafı istenilen cevaptır.
lerinin orta noktalarının geometrik yer denklemini
ÖRNEK 7
bulunuz.
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 40 çemberi üzerindeki P(4, 5)
noktasından geçen kirişlerin orta noktalarının geometrik yer denklemini yazınız.
ÇÖZÜM A
ÇÖZÜM P(x, y) noktası [AB] kişinin P(
x,
M(0, 0)
y)
orta noktası olsun.
|PA| = |PB| = 6 br ve MPB
6
10
B
kezi M(0, 0) olan ve 8 br yarçaplı bir çemberdir. Yani x + y = 64 elde edilir.
146
M(2, –1)
İlgili şekil çizilirse [PA] kirişlerinin orta noktası olan H noktasının [MP] çaplı çember üzerinde olduğu görülür. O halde istenilen çemberin merkezine
ğıntısından
O halde P(x, y) noktasının geometrik yer denklemi mer2
O
A
dik üçgeninde pisagor ba|PM| = 8 br bulunur.
2
P(4, 5)
H
O(x, y) dersek; O (x, y) = O d
2 + 4 , -1 + 5 n = O (3, 2) ve yarıçap uzun2 2
r = | MO | =
(3 - 2) 2 + (2 + 1) 2 = 10 br
luğu r ise
ve istenilen
denklem (x – 3)2 + (y – 2)2 = 10 elde edilir. Analitik Geometri
Çember Analitiği
ÖRNEK 8
ÖRNEK 10
A(3, –2) noktasının y = mx + 2 doğrularına göre si-
y
metriklerinin geomterik yer denklemini bulunuz.
B
O
Analitik düzlemde
A
H
x2 + y2 = 4 çemberi üzeC
x
tası alınıyor.
[AH] ⊥ [BC] olacak şekil-
ÇÖZÜM
de dikmeler çiziliyor. y = mx + 2 ifadesi bir doğru deme-
A(3, –2)
Oluşan [AH] dikmelerinin orta noktalarının geomet-
tidir. Önce bu doğru demetinin A′
M
rinde herhangi bir A nok-
rik yerini bulunuz.
geçtiği M sabit noktasını bulalım.
Bunun için m ye keyfi iki değer verelim.
m = 0 için y = mx + 2 ⇒ y = 2 m = 1 için y = mx + 2 ⇒ y = x + 2
ÇÖZÜM
y = 2 ise x = 0 olur. Yani M(0, 2) bulunur. A noktasının bu doğrulara göre simetrileri alındığından |MA| uzunluğu
A
ve |MA| yarıçaplı çember denklemidir.
3 2 + 4 2 = 5 br ve M(0, 2) için
2
2
x + (y – 2) = 25 elde edilir.
sun.
O
H
x
Bu durumda H(x, 0) ve A(x, 2y) olur.
(Çünkü P noktası [AH] nin orta noktasıdır.)
A(x, 2y) noktası x2 + y2 = 4 çemberi üzerinde olduğun-
ÖRNEK 9 2
orta noktası P(x, y) ol-
P(x,y)
ek tremum
| MA | =
[AH] doğru parçasının
y
değişmez. O halde istenilen denklem M(0, 2) merkezli
2
x + y = 4 çemberine bir P noktasından çizilen teğetler çemberi A ve B noktalarında kesmektedir.
% m (APB) = 90° şartını sağlayan P noktalarının geo-
metrik yer denklemini bulunuz.
dan çember denklemini sağlar. Yani çember denkleminde x yerine x ve y yerine 2y yazarsak x2 + (2y)2 = 4, x2+ 4y2 = 4 istenilen geometrik yer denklemidir.
ÇÖZÜM A
[PM] açıortay olacağından MAP bir ikiz-
2 P
45° 45°
M
B
kenar
dik
üçgendir
(PBMA bir karedir.)
|MA| = 2 br olduğundan
| PM | = 2 2 br
olur. P noktalarının geometrik yer denklemi M(0, 0) merkezli ve 2 2 br yarıçaplı bir çemberdir. Yani x2 + y2 = 8 elde edilir. Analitik Geometri
147
Çember Analitiği 4. x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 çemberine dışındaki bir
KAVRAMA TESTİ
P noktasından çizilen teğet parçalarından birinin uzunluğu 4 br dir.
1. Analitik düzlemde A(–3, –1) ve B(1, 1) noktaları
Bu şartı sağlayan P noktalarının geometrik yer
için [AP] = [PB] şartını sağlayan P noktalarının
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 + 2x – 4y – 13 = 0
A) x2 + y2 + 3x – 2y – 3 = 0 2
B) x2 + y2 + 2x – 4y – 15 = 0
2
B) x + y + 3x + 2y – 5 = 0
C) x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0
C) x2 + y2 + 2x – 4 = 0
D) x2 + y2 – 2x + 4y + 10 = 0
D) x2 + y2 – 2y – 6 = 0
E) x2 + y2 – 2x + 4y – 15 = 0
E) x2 + y2 + x + 2y – 5 = 0
2. Merkezi M(–2, 1) ve yarıçapı 4 br olan çembere
5. (x + 2)2 + (y – 4)2 = 25 çemberi üzerindeki P(2, 7)
dıştan teğet olan ve 1 br yarıçaplı çemberlerin
noktasından geçen kirişlerin orta noktalarının
merkezlerinin geometrik yer denklemi aşağıda-
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisi-
ek tremum
kilerden hangisidir?
A) x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 B) x2 + y2 + 4x – 2y – 31 = 0 C) x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0 D) x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0
dir?
A) x2 + y2 – 11y + 24 = 0 B) x2 + y2 – 6x – 10 = 0 C) x2 + y2 + 4x – 8y – 1 = 0 D) x2 + y2 + 2x – y – 5 = 0
E) x2 + y2 + 4x – 2y – 44 = 0
E) x2 + y2 – 5y + 4 = 0
3. P(0, 3) noktasının x2 + y2 = 4 çemberinin üzerindeki noktalardan geçen normal doğrularına göre
simetrilerinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
6. (x + 1)2 + (y – 3)2 = 36 çemberi içinde P(3, 0) noktasından geçen kirişlerin orta noktalarının geo-
metrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 + 2x – 3y – 3 = 0
A) x2 + y2 = 1
B) x2 + y2 + 2x + 3y + 3 = 0
B) x2 + y2 = 6
C) x2 + y2 – 2x + 3y – 3 = 0
C) x2 + y2 = 8
D) x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0
D) x2 + y2 = 9
E) x2 + y2 – 2x – 3y – 3 = 0
E) x2 + y2 = 16 1) C 148
2) A
3) D
4) B
5) A
6) E Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0 çemberinin merkezi
UYGULAMA TESTİ - 1
M(a,b) ve yarıçapı r birim olduğuna göre, a + b + r toplamı kaçtır?
1. Analitik düzlemde merkezi M(–2, 1) noktası olan ve orijinden geçen çemberin denklemi aşağıda-
A) – 2
kilerden hangisidir?
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
A) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 3 B) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5 C) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 5 D) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5 E) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5
2. Merkezi M(– 3, 1) noktası olan ve A(2, – 4) nokta-
5. Merkezi M(3, 1) noktası olan çember y = – 2 doğru-
sından geçen çemberin denklemi aşağıdakiler-
suna teğettir.
den hangisidir?
ek tremum
2
2
A) x + y – 2x + 4y – 20 = 0 B) x2 + y2 – 6x + 2y – 30 = 0 C) x2 + y2 + 6x + 2y – 40 = x D) x2 + y2 – 6x – 2y – 40 = 0
Buna göre, çemberin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x2 + y2 + 6x – y + 1 = 0 B) x2 + y2 – 6x – 2y+ 1 = 0 C) x2 + y2 + 6x – 2y – 1 = 0
E) x2 + y2 + 6x – 2y – 40 = 0
D) x2 + y2 – 6x – 2y + 3 = 0 E) x2 + y2 + 6x – 2y + 4 = 0
3. Merkezi x + 2y – 3 = 0 doğrusu üzerinde olan ve
II. bölgede her iki eksene de teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 + 6x – 6y + 9 = 0
6. x2 + y2 + 4x + 8y + b = 0
B) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0 C) x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0 D) x2 + y2 – 6x + 6y – 9 = 0 E) x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 1) C Analitik Geometri
2) E
çemberinin yarıçapı 5 birimdir.
Buna göre, bu çemberin x ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir? A) 10
3) A
4) D
B) 8
C) 7 5) B
D) 6
E) 5 6) D 149
Çember Analitiği 7. x2 + y2 + 6x – 16 = 0 çemberinin eksenlerden ayır-
10. x2 + y2 – 8x + 6y = 0 çemberinin y = x – 2 doğrusu
dığı kirişlerin uzunlukları toplamı kaç birimdir? A) 20
B) 18
C) 16
D) 15
ile kesim noktalarının apsisler toplamı kaçtır?
E) 15
A) –1
D) 3
E) 4
A(– 3, – 2) noktasından çizilen teğetin denklemi
x2 + y2 – 12x – 16y + 96 = 0
aşağıdakilerden hangisidir?
çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç
A) 2x – 3y + 6 = 0
birimdir?
21 B) 2 6
B) 2x + 3y – 6 = 0
C) 5
C) 4x + 3y + 4 = 0
ek tremum
A)
C) 2
11. x2 + y2 – 2x + 10y + k = 0 çemberine üzerindeki
8. P(2, 5) noktasından
B) 1
D) 2 7 E) 4 2
D) 4x – 3y + 4 = 0 E) 4x – 3y + 6 = 0
9. (x + 4)2 + (y – 1)2 = r2 çemberine üzerindeki
A(0, 4) noktasından çizilen normalin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
12. x2 + y2 – 10x + 2y + k = 0 çemberi y = x doğrusuna A(a, b) noktasında teğettir.
A) 3x – 4y – 15 = 0 B) 3x – 4y + 15 = 0
Buna göre, a + b + k toplamı kaçtır? A) 14
C) 3x + 4y + 16 = 0
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
D) 3x – 4y + 16 = 0 E) 3x – 4y + 25 = 0
7) B 150
8) A
9) D
10) D
11) E
12) B Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. x2 + y2 – 5x + 2y + k = 0
UYGULAMA TESTİ - 2
1. A(6, –1) ve B(– 2, – 3) noktalarının oluşturduğu [AB] doğru parçasını çap kabul eden çemberin
denklemi bir çember belirttiğine göre, k nin ala-
bileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 6
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A) x2 + y2 – 2x + 4y – 8 = 0 B) x2 + y2 – 4x + 2y – 9 = 0 C) x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0 D) x2 + y2 – 4x – 4y + 9 = 0
2. x2 + y2 + 2x + 8y + 1 = 0 çemberinin merkezi M(a,b) ve yarıçapı r birimdir.
Buna göre, a + b + r toplamı kaçtır? A) – 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
ek tremum
E) x2 + y2 + 4x – 4y – 8 = 0
5. (x + 4)2 + (y – 2)2 = 25
çemberinin üzerinde olan A(a, –1) ve B(b, –1)
noktaları için |AB| kaç birimdir? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
3. Merkezinin koordinatları M(– 2, – 4) olan ve y eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
6. x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 ve
A) x2 + y2 – 4x – 8y + 5 = 0
(x – 6)2 + (y + 3)2 = 25 çemberleri arasındaki en kısa uzaklık kaç birim-
B) x + y + 4x + 8y + 3 = 0
dir?
C) x2 + y2 + 4x – 8y + 4 = 0
A) 6
2
2
2
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
2
D) x + y + 4x + 8y – 16 = 0 E) x2 + y2 + 4x + 8y + 16 = 0 1) C Analitik Geometri
2) A
3) E
4) B
5) E
6) D 151
Çember Analitiği 7. y = x + m doğrusu (x – 1)2 + y2 = 2 çemberine
10. x2 + y2 – 8x – 2y – 8 = 0
teğet olduğuna göre, m nin alabileceği değerler
toplamı kaçtır? A) – 3
8.
B) – 2
C) – 1
D) 0
E) 1
çemberinin y ekseninden ayırdığı kirişin uzunlu-
ğu kaç birimdir? A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
y d
T 60°
A
B
C
x
11. A(6, 0), B(0, – 8) ve O(0, 0) noktalarından geçen çemberin merkezi M(a,b) ve yarıçapı r birimdir.
Şekildeki d doğrusu, C merkezli [AB] çaplı çembere
T noktasında teğettir.
OT = 2 3 br olduğuna göre, çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
ek tremum
O
Buna göre, a + b + r toplamı kaçtır? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) x2 + y2 – 6x + 10 = 0 B) x2 + y2 – 4x + 12 = 0 C) x2 + y2 – 8x + 16 = 0 D) x2 + y2 – 8x + 12 = 0 E) x2 + y2 – 8x + 15 = 0
9. y = – x + 8, y = x + 2 ve y = 0
doğrularının oluşturduğu üçgenin çevrel çembe-
rinin yarıçapı kaç birimdir? A) 3
7) B 152
B)
7 2
C) 4
8) D
D)
9 2
E) 5
9) E
12. x2 + y2 – 8x + 2y + 8 = 0 çemberi ile –3x + 4y – 9 = 0 doğrusu arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir? A) 4
10) C
B) 3
C)
5 2
11) B
D) 2
E) 1
12) D Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. x2 + y2 + kx + 6y + k + 8 = 0
UYGULAMA TESTİ - 3
denklemi bir nokta belirttiğine göre, k kaçtır?
1. Merkezi M(– 2, – 3) noktası olan ve y = 1 doğru-
A) 1
suna teğet olan çemberin denklemi aşağıdakiler-
B)
3 2
C) 2
D)
5 2
E) 3
den hangisidir?
A) x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0 B) x2 + y2 + 4x + 6y + 2 = 0 C) x2 + y2 + 4x + 6y – 1 = 0 2
5. Merkezi M(2, –1) noktası olan ve 4x – 3y – 1 = 0
doğrusuna teğet olan çemberin denklemi aşağı-
2
D) x + y + 4x + 6y – 2 = 0
dakilerden hangisidir?
E) x2 + y2 + 4x + 6y – 3 = 0
A) x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 B) x2 + y2 – 4x + 2y – 1 = 0 C) x2 + y2 – 4x + 2y = 0 D) x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0
2. P(–2, 3) noktası x2 + y2 + x – 2y + m = 0 çemberinin dış bölgesinde olduğuna göre, m nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) – 7
B) – 6
C) – 5
D) – 4
E) – 3
ek tremum
E) x2 + y2 – 4x + 2y + 2 = 0
6.
y B
A(3,1) x
O
3. II. Bölgede her iki eksene teğet olan ve merkezi
3x – 2y + 10 = 0 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? 2
Analitik düzlemde OAB dik üçgeni veriliyor.
[OA] = [AB] ve A(3, 1) olduğuna göre, OAB dik
üçgeninin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) x + y + 2x + 2y + 2 = 0
A) x2 + y2 – 6x = 0
B) x2 + y2 + 4x – 4y – 4 = 0
B) x2 + y2 – 10y = 0
C) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0 2
C) x2 + y2 – 6x – 10y = 0
2
D) x + y – 4x + 4y – 4 = 0
D) x2 + y2 – 8y = 0
E) x2 + y2 – 4x + 4y + 4 = 0 1) E Analitik Geometri
2) D
E) x2 + y2 – 12y = 0 3) C
4) C
5) D
6) B 153
Çember Analitiği 10. A(–3, 1) noktası ile x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0 çem-
7. x2 + y2 + 8x + 4y + m – 2 = 0
beri arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?
çemberi y = 1 doğrusuna teğet olduğuna göre, m kaçtır? A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
A) 4
E) 11
B) 3
C)
8. (x – 4)2 + (y – 1)2 = 4
11. x2 + y2 + 6x – 8y + 16 = 0
çemberinin orijine göre simetriğinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
ek tremum
A) x2 + y2 + 8x + 2y + 13 = 0 B) x2 + y2 – 8x + 2y + 13 = 0 C) x2 + y2 + 8x – 2y + 12 = 0 D) x2 + y2 + 8x + 2y + 12 = 0 E) x2 + y2 – 8x + 2y + 10 = 0
9. Analitik düzlemde y = mx doğruları ve bir P(0,6) noktası alınıyor.
Buna göre, P noktasından y = mx doğrularına çizilen dikmelerin kesim noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 – 4x = 0
B) x2 + y2 – 4y = 0
C) x2 + y2 – 6x = 0
D) x2 + y2 – 6y = 0
5 3
D) 2
E) 1
çemberinin x eksenine en yakın noktasının koordinatlar toplamı kaçtır? A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
12. A(– 2, 0) ve B(8, 0) noktalarından geçen en kü-
çük alanlı dairenin, y ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir? A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
E) x2 + y2 – 4x – 4y = 0 7) C 154
8) A
9) D
10) B
11) A
12) C Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. A(–1, 0), B(9, 0) ve C(0, 3)
UYGULAMA TESTİ - 4
1. Analitik düzlemde x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0
A) (x – 4)2 + y2 = 25
çemberinin yarıçapı kaç birimdir? A) 2
B) 2 2 D)
noktalarından geçen çemberin denklemi aşağı-
dakilerden hangisidir?
B) (x – 3)2 + y2 = 25 C) 3
C) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16
10 E) 2 3
D) (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 E) (x – 4)2 + y2 = 16
Analitik
5. 2. D
C
ABCD bir dikdörtgen [BD] + [AC] = {E}
6
E A
A
|BC| = 6 cm Alan(ABCD) = 108 cm
B
2 3
2
O
çemberin yarıçapı kaç cm dir? B) 8
C) 6
D) 5
E) 4
ek tremum
olduğuna göre B, E ve C noktalarından geçen A) 10
düzlemde
O merkezli çember
0y eksenine ve 0B
O
30°
doğrusuna sırasıyla A ve B noktala-
B
rında teğettir.
x
C
% m (BOC) = 30°, OA = 2 3 br
olduğuna göre O merkezli çemberin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 B) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9
y
3.
Analitik
y = 2x – 2
düzlemde
C) (x – 2 3 )2 + (y – 2)2 = 4
merkezleri I. bölge-
D) (x – 2)2 + (y – 2 3 )2 = 4
de y = 2x – 2 doğru-
B
su üzerinde olan ve
T
E) (x – 2 3 )2 + (y + 2)2 = 4
T noktasında dıştan
A
x
O
teğet olan A ve B merkezli çemberler verilmiştir.
A merkezli çember her iki eksene B merkezli çember
ise 0y eksenine teğettir.
6. x2 + y2 – 4x + 2y + sin2α + 5.cos2α = 0
Yukarıdaki verilere göre B merkezli çemberin ya-
rıçapı kaç birimdir? A)
5
B) 2
C) 3
çemberinin dışındaki bir P noktasından çizilen teğet-
ler arasındaki açının ölçüsü 2α dır.
Çemberin merkezi M olmak üzere |PM| kaç birim-
dir?
A) 2sinα
D) 3 + 5 E) 4 + 5
B) 2cosα
D) 2.tanα 1) B Analitik Geometri
2) D
3) D
4) A
C) 2.secα E) 2
5) D
6) E 155
Çember Analitiği 7.
2
A
6
P(3, –1)
10. Analitik düzlemde
Analitik düzlemde mer-
B
kezi M(–2, 3) olan çem-
(x – 8)2 + (y – k)2 = 144 ve
ber ile [PB] doğru parça-
M(–2, 3)
x2 + y2 + 8x –4y – 61 = 0
sı verilmiştir.
çemberleri dik kesiştiğine göre k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
P(3, –1),
A) –7
|PA| = 2 br
B) –2
C) 4
D) 7
E) 11
|AB| = 6 br olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir? B) 6
C) 7
A
O
E) 9
T
a
B
H
x
B) Cos2a 1 Cos2a
A) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 2
ğeti verilmiştir.
den eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
D)
çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
T noktasındaki AB te-
olduğuna göre AOB üçgeninin alanının a türün-
A) Sin2a
nin y – x – 2 = 0 doğrusuna göre simetriği olan
x2 + y2 = 1 çemberi ve
% m (TOB) = a
11. Analitik düzlemde (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4 çemberi-
Analitik düzlemde
y
8.
D) 8
C)
ek tremum
A) 5
B) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4 C) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 4 D) (x – 3)2 + (y + 5)2 = 4 E) (x + 3)2 + (y – 5)2 = 4
1 Sin2a
E) tan2a
9. Analitik düzlemde A(3, 4) noktasının y = mx doğrularına göre simetrilerinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
12. Analitik düzlemde x2 + y2 = 100 çemberine içten
teğet olan, O(0, 0) ve A(6, 0) noktalarından geçen çemberin merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) x2 + y2 = 25
A) (3, –4)
B) x2 + y2 = 16
B) (–3, 2)
D) (3, 5)
C) x2 + y2 = 9
C) (–3, 4) E) (–3, –4)
D) x2 + y2 = 32 E) x2 + y2 = 1 7) A 156
8) C
9) A
10) C
11) E
12) A Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. A(8, 3) noktasından geçen ve y = 2x – 3 doğrusu-
UYGULAMA TESTİ - 5
na B(2, 1) noktasında teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1.
A) (x – 4)2 + y2 = 16
T
B) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16 C) (x – 8)2 + (y + 2)2 = 20
A(–2, 0)
D) (x – 10)2 + (y + 3)2 = 20 E) (x – 6)2 + (y + 1)2 = 20
AT, denklemi x2 + y2 – 6x + 2y + k = 0 olan çembere
T noktasında teğettir.
A(–2, 0) ve |AT| = 3 2 br olduğuna göre k kaçtır? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5. Analitik düzlemde 2x + 5y = 4 ve 3x – 2y = –13 2. Analitik düzlemde (x – 4)2 + (y – 2)2 = 25 çemberi
ile I. bölgede A(1, k) noktasında dik kesişen çem-
berlerin merkezlerinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x – 4y + 21 = 0
B) 3x – 4y – 15 = 0
C) 3x + 4y – 14 = 0
D) 3x + 4y – 10 = 0
ek tremum
doğruları alanı 16r br2 olan bir dairenin çap doğruları olduğuna göre bu dairenin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 + 4x – 4y – 2 = 0 B) x2 + y2 + 6x + 4y – 5 = 0 C) x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 D) x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0
E) 4x – 3y – 15 = 0
E) x2 + y2 + 6x – 2y – 5 = 0
6. Analitik düzlemde i!R olmak üzere 3. Merkezi M(3, –1) olan bir çemberin
P(2 – cosi, –1 – sini)
x2 + y2 – 8x – 2y + 13 = 0
noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdaki-
çemberiyle kesim noktaları A ve B dir.
lerden hangisidir?
[AB] doğru parçası x2 + y2 – 8x – 2y + 13 = 0 çem-
A) x2 + y2 – 4x + 4 = 0
berinin çaplarından biri olduğuna göre M(3, –1) merkezli çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 2 3 D)
B) 3 6 E)
1) C Analitik Geometri
2) A
B) x2 + y2 – 4x + 2y + 4 = 0 C) x2 + y2 + 2y + 4 = 0
C) 2 2 5
D) x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 E) x2 + y2 – 2x + y – 2 = 0
3) B
4) E
5) D
6) B 157
Çember Analitiği 7. B(0, b)
Analitik düzlemde şe-
10. Analitik düzlemde P(4, 2) noktasından geçen ve
B(0, b) ve orijinden
tikleri diğer noktanın koordinatları aşağıdakiler-
her iki eksene de teğet olan çemberlerin kesiş-
kildeki çember A(a, 0),
P(7, 5)
den hangisidir?
geçmektedir. O
A) (2, 0)
A(a, 0)
B) (16, 2)
D) (2, 4)
Çemberin orijine en uzak noktası P(7, 5) olduğu-
C) (2, 1) E) (2, 16)
na göre a2 + b2 toplamı kaçtır? A) 25
B) 49
C) 74
D) 100
E) 121 11.
y P
8. Analitik düzlemde denklemi y = 4 - 4 - (x + 3)
O
x
H
2
olan yarım çemberin grafiği aşağıdakilerden hangisidir? B)
M
4
1
M –5
–5
–1
C)
–1
D)
5
5 M
M 1
1
–3
–3
M
–5
2
den hangisidir? A) x2 + y2 = 4 B) 4x2 + y2 = 16 C) x2 + 4y2 = 16
12. Analitik düzlemde x2 + y2 + 2x – 14y + a = 0 çem-
berine orijinden çizilen teğetler birbirine dik ol-
2
kaç br dir?
duğuna göre a kaçtır? A) 15
A) 4 3 B) 6 3
158
talarının geometrik yer denklemi aşağıdakiler-
–1
çemberinin üzerinde olan eşkenar üçgenin alanı
7) C
Bu durumdaki [PH] doğru parçalarının orta nok-
E) x2 + y2 = 8
9. Köşe noktaları x2 + y2 + 4x – 4y = 0
olsun. [PH] = Ox dikmeleri çiziliyor.
D) 2x2 + 3y2 = 16
E)
x2 + y2 = 16 çemberi üzerindeki herhangi bir nokta P
ek tremum
A)
D) 10 3 8) B
B) 16
C) 20
D) 24
E) 25
C) 8 3 E) 12 3 9) B
10) D
11) C
12) E Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. Analitik düzlemde A(8, 5) ve B(2, –3) noktaları ve-
UYGULAMA TESTİ - 6
riliyor.
2
2
1. x + y + D1x + E1y + F1 = 0 ve x2 + y2 + D2x + E2y + E2 = 0
B) Çemberin yarıçapı 5 birimdir.
D1.D2 + E1.E2 = 2(F1 + F2) şartının sağlanması gerekir.
C) Çember 0x eksenine teğettir.
Buna göre x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 çemberi ile
D) Çember 0y eksenine teğettir.
x2 + y2 + ax – 3y – 6 = 0 çemberinin dik kesişmesi için a değeri kaç olmalıdır?
2.
B) 0
C) 1
D) 2
dir.
E) 3
(2a – 3)x2 + (a – 1)y2 + (b(1 – a) – 4).xy – 2 = 0
doğrusu merkezi 0x ekseninde olan çembere P(3, k) noktasında teğettir.
M
Buna göre çemberin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (x – 4)2 + y2 = 17
B) (x – 5)2 + y2 = 20
C) (x – 4)2 + y2 = 18
D) (x – 7)2 + y2 = 20
26 birim-
5. Analitik düzlemde
Analitik düzlemde y = 2x – 4
y = 2x – 4 P(3, k)
E) Çemberin merkezinin orijine uzaklığı
denkleminin bir çember belirtmesi için a + b
ek tremum
A) –1
için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Çemberin merkezi M(5, 1) dir.
çemberlerinin dik kesişmesi için
[AB] doğru parçasını çap kabul eden çember
toplamı kaç olmalıdır? A) –6
B) –2
C) 0
D) 2
E) 6
E) (x – 7)2 + y2 = 24
6. Analitik düzlemde bir P noktasından 3. Analitik düzlemde x2 + y2 – 6x – 6y + 14 = 0 çemberi dışındaki P(–2, 1) noktasından çizilen teğetlerin çemberin merkezi ile oluşturduğu dörtgenin alanı kaç br2 dir? A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 16 çemberine çizilen teğetler
60° lik açı altında kesiştiğine göre P noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 – 2x + 6y = 0 B) x2 + y2 – 2x + 6y – 26 = 0 C) x2 + y2 – x + 3y – 20 = 0 D) x2 + y2 – 2x + 6y – 39 = 0 E) x2 + y2 – 2x + 6y – 54 = 0
1) C Analitik Geometri
2) D
3) B
4) C
5) B
6) E 159
Çember Analitiği 7. Analitik düzlemde 2
10. Analitik düzlemde y = x + 4 doğrusunun
2
x – 6x – 7 = 0 ve y – 2y – 15 = 0 doğrularının oluşturduğu karenin çevrel çemberinin merkezinin koordinatlar toplamı kaçtır? A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 çemberi ile kesim noktaları A
ve B dir.
[AB] doğru parçasının orta dikme doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = –x – 1
B) y = –x + 1
D) y = –x + 3
8. Analitik düzlemde
E) y = –x + 4
11. Analitik düzlemde A(3, 0) ve B(–1, 0) noktalarına olan uzaklıkları oranı 3 olan noktaların geomet-
A = & (x, y (x - 4) + (y - 2 3 ) # 16, x > 0, y < 0 0 2
2
rik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
kümesinin belirttiği daire parçasının alanı kaç
A) x2 + y2 + 3x = 0
8r 8r - 2 3 B) - 4 3 3 3 D) 4r – 3
C)
8r -8 3
E) 4r – 8
9. Analitik düzlemde A(5, 1) noktasının y = mx + 2
ek tremum
birim karedir? A)
C) y = –x + 2
B) x2 + y2 – 8x + 10 = 0 C) x2 + y2 + 7x – 10 = 0 D) x2 + y2 + 7x + 10 = 0 E) x2 + y2 + 8x – 10 = 0
12.
doğrularına göre simetrileri olan noktaların geo-
metrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + (y – 2)2 = 26
Analitik
y
ve B(–2, 0) olduğuna
D x
B(–2, 0)
B) (x – 2)2 + y2 = 26
göre ABCD karesinin çevrel
denklemi
C
C) (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25
düzlemde
ABCD bir kare A(0, 4)
A(0, 4)
çemberinin aşağıdaki-
lerden hangisidir?
D) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25
A) x2 + y2 – 4x – 4y – 8 = 0
E) x2 + y2 = 26
B) x2 + y2 – 2x – 4y – 6 = 0 C) x2 + y2 – 2x – 2y – 6 = 0 D) x2 + y2 – 4x – 2y – 8 = 0 E) x2 + y2 – 2x – 2y – 8 = 0
7) D 160
8) B
9) A
10) B
11) A
12) E Analitik Geometri
Çember Analitiği 4.
UYGULAMA TESTİ - 7
Analitik düzlemde
A(0, 12)
ABC üçgeni verilmiştir.
E
1. (k – 1)x + (k – 2)y + 6 = 0
D
doğrularının kesim noktası A dır. (m – 2)x + (m + 3)y – 10 = 0 doğrularının kesim
B(x, 0)
C(9, 0)
noktası B dir.
[AB] yi çap kabul eden çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Şekildeki eş yarım çemberler E ve D noktaların-
da ABC üçgenin kenarlarına teğet olduğuna göre B noktasının apsisi kaçtır?
A) (x + 4)2 + (y – 4)2 = 8
A) –8
B) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16
B) –7 D) –6
C) (x – 4)2 + (y + 2)2 = 16
C) - 4 3 E) - 3 3
D) (x – 4)2 + (y – 2)2 = 8 E) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 8
2. Analitik düzlemde (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 çemberimerkezlerinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 B) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 25
5. y = x + 1 doğrusu ile x2 + y2 + mx + 2y – 11 = 0 çem-
ek tremum
ne dıştan teğet ve yarıçapı 3 br olan çemberlerin
berinin kesim noktaları A ve B dir.
[AB] kirişinin orta noktası 0y ekseni üzerinde ol-
duğuna göre |AB| kaç birimdir? A) 2 2
B) 4
D) 4 2
C) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 4
C) 3 2 E) 6
D) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 E) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25
3. Analitik düzlemde x = –2 ve x = 4 doğrularına teğet olan ve merkezi 5x + 2y – 9 = 0 doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
6. Analitik düzlemde (x + 4)2 + (y + 1)2 = 18 çemberinin y = –x doğrusuna paralel teğetlerinden birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = –x – 2
A) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1
B) y = –x – 7
D) y = –x + 1
B) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4
C) y = –x – 9
E) y = –x + 3
C) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 D) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 9 E) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 1) A Analitik Geometri
2) E
3) C
4) C
5) D
6) D 161
Çember Analitiği 7.
B(10, k)
C(4, 9)
A(2, 3)
nine teğet olan çemberlerin merkezlerinin geom-
O merkezli [AB] çaplı çember ve
terik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
noktası verilmiştir.
A) x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
üstündeki
O
10. x2 + y2 –6x – 10y + 30 = 0 çemberine ve Ox ekse-
Analitik düzlemde
C(4,9)
B) x2 + y2 – 3x – 5y + 15 = 0 C) x2 + y2 – 6y – 7 = 0
A(2, 3) ve B(10, k) olduğuna göre çemberin denk-
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
D) x2 – 6x – 14y + 30 = 0
A) x2 + y2 – 12x – 10y + 41 = 0
E) x2 – 10y – 8 = 0
B) x2 + y2 – 10x – 6y + 25 = 0 C) x2 + y2 – 10x – 12y + 43 = 0 D) x2 + y2 – 10x +12y + 43 = 0 E) x2 + y2 – 8x – 10y + 33 = 0
8. Analitik düzlemde
11. Analitik düzlemde
2
x + y ≤ 25
x+y≥5 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin 0y ekseni
etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi r br3 tür? A)
625 500 B) 3 3 D)
9. Bir
ABCD
C)
dikdörtgeninin
köşelerinden
geçen
A(3, 3) ve B(9, 3) olduğuna göre Alan(ABCD) kaç
br2 dir?
7) A 162
çemberlerinin her ikisine de teğet olan en çok
kaç farklı doğru çizilebilir? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
125 250 E) 3 3
2y = 3x – 4 doğrusudur.
A) 36
x2 + y2 = 1 ve x2 + y2 – 8x – 6y – 11 = 0
375 3
bir çemberin çap doğrularından birinin denklemi
ek tremum
2
B) 48
C) 60
8) E
D) 72
E) 84
9) B
12. Analitik düzlemde M merkezli bir çemberin içinde
|MK| = 4 br olacak şekilde bir K(1, 2) noktası alınıyor.
K noktasından geçen en kısa kirişin çemberi
kestiği noktalardan biri A(–1, –2) olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 6 2 B) 4 3 D) 6
10) D
C) 2 10 E) 4 2
11) B
12) D Analitik Geometri
Çember Analitiği 4. y = 3x + 3 doğrusuna A(0, 3) noktasında teğet
UYGULAMA TESTİ - 8
olan ve B(1, 1) noktasından geçen çember denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1.
y
Analitik düzlemde
A) x2 + y2 – x – 4y + 3 = 0
ğet yarıçapı 9 br
B) x2+ y2 – 5x – 6y + 9 = 0
her iki eksene te-
C A
D
B
T
olan x
O
A
merkezli
C) x2 + y2 + 5x – y – 6 = 0
çember ile 0x ek-
D) x2 + y2 + x – 3y = 0
senine teğet yarı-
E) x2 + y2 – 3x – 5y + 6 = 0
çapı 16 br olan B merkezli çemberler veriliyor.
Çemberler T noktasında dıştan teğet ve [CD] = 0y
olduğuna göre |CD| kaç birimdir? A) 50
B) 49
C) 48
D) 45
E) 44
5. Analitik düzlemde x2 + y2 + 10x – 14y + 24 = 0
rinin kesim noktaları A ve B dir.
Merkezi Ox ekseninde olan, A ve B noktalarından
geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 5)2 + y2 = 26
B) (x – 6)2 + y2 = 49
2
2
2
C) (x – 7) + y = 50
en kısa kirişin uzunluğu kaç birimdir? A) 8
ek tremum
2. y = x + 1 doğrusu ile (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20 çembe-
çemberinin içindeki P(–2, 3) noktasından geçen
B) 10
6.
C) 12
D) 14
E) 16
y C D
2
D) (x – 8) + y = 65
B
E) (x – 9)2 + y2 = 82
x
O
A(7, –5)
3. Analitik düzlemde orijinden geçen ve y = 1 doğrusuna teğet olan çemberlerin merkezlerinin
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangi-
A) x2 + 2y = 1
sidir?
B) 2x2 + y2 = 1
D) x2 + 2y = 4
C) x2 + y2 = 2
E) 2x + y2 = 1
Analitik düzlemde denklemi
olan O merkezli [AB] çaplı çember ile ABC üçgeni
verilmiştir.
|AB| = |AC|, A(7, –5) ve D noktası Oy ekseni üze-
rinde olduğuna göre C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 2
1) B Analitik Geometri
2) C
3) A
4) E
B) 3
C) 4 5) B
D) 5
E) 6 6) C 163
Çember Analitiği 7. Analitik düzlemde 2x + y – 2 = 0 doğrusuna teğet
10.
C
y = –x
olan iki farklı çember A(2, 3) ve B(3, 6) noktalarında kesişmektedir.
Buna göre bu çemberlerin merkezlerinin apsis-
B) 12
C) 10
B
E) –14
A
larına
olan
ve
teğet
olan
çember verilmiştir.
düzlemde
merkezi 0y ekseni
y = x, y = –x doğru-
O
D) –12
Analitik
üzerinde
M
lerinin toplamı kaçtır? A) 14
y=x
OC = 4 + 2 2 br Yukarıdaki verilere göre M merkezli çemberin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + (y – 4)2 = 2
B) x2 + (y – 4)2 = 8
C) x2 + (y + 4)2 = 2
D) x2 + (y + 4)2 = 8
E) x2 + (y – 4)2 = 16
8. Analitik düzlemde x2 + y2 = 36 çemberini 60° lik
11. Her n doğal sayısı için
açı altında gören noktaların geometrik yer denkA) x2 + y2 = 9
B) x2 + y2 = 16
D) x2 + y2 = 81
C) x2 + y2 = 36
E) x2 + y2 = 144
ek tremum
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
fn: 7 - 2 n, 2 nA " R fn (x) =
biçiminde tanımlanan fonksiyonlar ile x ekseni arasın-
da kalan bölgelerin alanları An olarak tanımlanıyor.
f Buna göre nlim "3 A)
An
n=0
16 n
r r B) 3 2
C)
p işleminin sonucu kaçtır? 2r D) π 3
E)
3r 2
2x2 – 5xy + 2y2 + 18x – 12y + 16 = 0
x2 + (y + k)2 = 4
(x – 8)2 + y2 = k2 çemberlerinin dıştan teğet olması için k kaç ol-
malıdır? A) 9
n
/
12. Analitik düzlemde
9. Analitik düzlemde
4n - x2
doğrularının eksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 + 8x – 4y + 8 = 0
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
B) x2 + y2 + 8x – 6y + 8 = 0 C) x2 + y2 + 9x – 6y – 8 = 0 D) x2 + y2 + 9x – 6y + 8 = 0 E) x2 + y2 + 9x – 4y – 6 = 0
7) A 164
8) E
9) C
10) B
11) C
12) D Analitik Geometri
KONİKLER A) Parabol B) Parabol ile Doğrunun Durumları C) Elips
E) Hiperbol
ek tremum
D) Elips ile Doğrunun Durumları
F) Hiperbol ile Doğrunun Durumları
Konikler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Parabol Düzlemde
P
H D
sabit
x = –1 doğrusuna teğet olan ve F(1, 0) noktasından
bir
geçen çemberlerin merkezlerinin geometrik yer
doğruya ve sabit bir
T
denklemini bulunuz.
noktaya uzaklıkları eşit
F
olan noktaların geo-
metrik yerine parabol
ÇÖZÜM
denir.
d
Düzlemde sabit bir doğru-
y
Sabit d doğrusuna doğrultman, sabit F noktasına odak, T noktasına tepe noktası denir.
ya olan uzaklığı sabit bir noktaya olan uzaklığına
P(x,y)
Parabol üzerindeki her P noktası için PH = PF
dir.
eşit olan noktaların geox
F(1,0)
y P(x, y)
H O
F(c, 0)
x = –c
x
sı ise parabolün odağıdır.
F(1, 0) için c = 1 ve y2 = 4cx denkleminden parabolün
ek tremum
nin Pozitif Tarafında Olan Parabol
x = –1 doğrusu parabolün
doğrultmanı, F(1, 0) nokta-
x = –1
B. Tepe Noktası Orijinde ve Odağı Ox Ekseni-
metrik yeri parabol belirtir.
denklemi y2 = 4x bulunur.
ÖRNEK 2 Doğrultmanı y = x doğrusu ve odağı F(1, 0) noktası olan parabolün denklemini bulunuz.
Temel Kavramlar: Parabolün; ● Tepe Noktası: O(0, 0) ● Odağı: F(c, 0) ● Doğrultmanı: x = – c ● Denklemi: y2 = 4.c.x
ÇÖZÜM Parabol üzerindeki bir nokta P(x, y) olsun. Parabolün tanımı gereği PF uzunluğu P(x, y) noktasının y – x = 0 doğrusuna olan uzaklığına eşit olur. O hâlde; y=x H P(x, y)
F(1, 0)
PF = PH = (x - 1) 2 + y 2 =
( x - 1) 2 + y 2 , y- x 2 y- x 2
Her iki tarafın karesi alınıp ifade düzenlenirse, x2 + 2xy + y2 – 4x + 2 = 0 bulunur.
Analitik Geometri
167
Konikler
Çözüm
ÖRNEK 3
y
y2 = 8x parabolünün doğrultmanına teğet olan ve
merkezi parabolün odağı olan çemberin denklemini
L
ve çember ile parabolün kesim noktalarını bulunuz.
1
H 4
K
5 1
M
1
y2 = 4x parabolünde
F 3
4c = 4, c = 1, F(1, 0) ve d doğrusu x = –1 olur.
4 x
N
ÇÖZÜM y
A
B
F(2, 0)
x = –2
KF = KL = 5 br olduğundan KH = 4 br ve KLMN
y2 = 4cx olduğundan
x
F(2, 0)
d
Parabol denklemi,
y2 = 8x
4c = 8
dikdörtgeninde FN = 3 br , KFN dik üçgeninde pisa-
c = 2, F(2, 0) ve doğrult-
gordan KN = 4 br ve Çevre(KLMF) = 16 br bulunur.
man x = –c = –2 olur.
O hâlde çemberin merkezi F(2, 0) ve yarıçapı r = 4 br olur.
ÖRNEK 5
(x – 2)2 + y2 = 16 çember denklemidir.
y2 = 8x yazıp ifadeyi düzenlersek (x - 2) 2 + 8x = 16, x 2 + 4x - 12 = 0 x = –6 ve x = 2 olur. x = –6 eşitliği sağlamaz. O hâlde; A ve B noktalarının apsisleri 2 dir.
y
ek tremum
(x – 2)2 + y2 = 16 denkleminde
O
y2 = 4x parabolü üzerinde her-
A
hangi bir A noktası alınıyor. x
H
[AH] ⊥ 0x olduğuna göre [AH] doğru parçalarının
orta noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
y2 = 8x denkleminde x = 2 için y = " 4 bulunur. A(2, 4), B(2, –4) olur.
ÇÖZÜM y
H(x, 0)
x
Şekilde odağı F ve doğrultmanı
y L
F
x
7 KLA = ML ve KF = 5 br
d
olduğuna göre Çevre(KLMF) kaç birimdir?
lünden A noktasını bulalım. Ordinatı ise 2y olur.
verilmiştir.
5
H(x, 0) olur. Orta nokta formüA noktasının apsisi de x olur.
d doğrusu olan y2 = 4x parabolü
K
168
tası P(x, y) olsun. Bu durumda
P(x, y)
ÖRNEK 4
M
[AH] doğru parçasının orta nok-
A
A(x, 2y) noktası parabol üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlar. y2 = 4x denkleminde A(x, 2y) noktasının koordinatlarını yazalım. (2y2) = 4.x y2 = x elde edilir.
Analitik Geometri
Konikler
ÖRNEK 6
KAVRAMA TESTİ
A(1, 0) noktası ve y2 = 8x parabolü üzerinde herhangi
1. Analitik düzlemde doğrultmanı x = –4 doğrusu
bir B noktası alınıyor.
ve odağı F(4, 0) noktası olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre [AB] doğru parçasının orta noktasının geometrik yer denklemini bulunuz.
A) y2 = 4x
B) y2 = 8x
D) y2 = 16x
2.
ÇÖZÜM
A(1, 0)
x
tası P(x, y) olsun.
Bu durumda B noktasının koor-
dinatlarını bu kez A noktasının P noktasına göre simetriğini bularak hesaplayalım.
A (1, 0)
P (x, y) ye göre simetrisi
B (2.x - 1, 2.y - 0)
ek tremum
P(x, y)
Tepe noktası orijin ve
odağı F olan parabolde
13
[AB] doğru parçasının orta nok-
B
y
E) y2 = 20x
P
y
C) y2 = 12x
[PH] ⊥ OX x
F 5 H
|PF| = 13 br |FH| = 5 br
olduğuna göre parabolün denklemi aşağıdaki-
lerden hangisidir? A) y2 = 4x
B) y2 = 8x
D) y2 = 12x
O hâlde, B(2x – 1, 2y) olur.
C) y2 = 10x E) y2 = 16x
B noktası parabol denklemini sağlar. y2 = 8x denkleminde B(2x – 1, 2y) noktasının koordinatlarını yazalım.
(2y)2 = 8(2x – 1) ifadeyi düzenlersek y2 = 4x – 2 elde edilir. 3. y2 = 4cx parabolü ve P(x1, y1) noktası için
y12 – 4cx1 < 0 şartı sağlanıyorsa P(x1, y1) noktası parabolün iç bölgesindedir denir.
P(k, –k) noktasının y2 = 4x parabolünün iç bölge-
sinde olması için k nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) –1
1) D Analitik Geometri
B) 0
C) 1
2) E
D) 2
E) 3
3) E 169
Konikler 4.
Analitik düzlemde
y
7.
y2 = 4x parabolü, A
B
F
d doğrultman doğru-
C
su ve F odak noktası x
F
verilmiştir.
& [AB] ⊥ d ve |BF| = |AF| olduğuna göre Alan (ABF) kaç br2 dir?
C) 4 3 D) 5 2 E) 9
5. y = x2 + 10x + 16 parabolünün 0x eksenini kestiği noktalar A ve B dir.
A ve B noktalarından geçen çembere, orijinden
çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir? A) 2 5 B) 3 2 D) 2 3
metrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? B) y2 = 6x + 2
D) y2 = 6x – 8
170
x
tedir.
AD OA
oranı kaçtır?
2 3 B) C) 2 2 D)
3+1 E) 2
5-1 2
5+1 2
8. y2 = 8x parabolünün odağından geçen ve 0y
eksenine teğet olan çemberlerin merkezlerinin
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y2 = 4x
B) y2 = 4x – 4
C) y2 = 4x – 8
E) y2 = 4x – 16
E) 3
[AF] doğru parçalarının orta noktalarının geo-
4) C
D
D) y2 = 4x – 12
hangi bir A noktası alınıyor.
A) y2 = 8x
E köşelerinden geçmek-
A
C) 4
6. Odak noktası F olan y2 = 12x parabolü üzerinde her
karelerinin sırasıyla B ve
Yukarıdaki verilere göre A)
ek tremum
B) 6
parabolü OABC ve ADEF
E
B
O
d
A) 2 3
Analitik düzlemde y2 = 4x
y
5) C
9. Bir çember ile bir parabolün en çok kaç tane farklı ortak kirişi olabilir? A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
C) y2 = 6x – 2
E) y2 = 6x – 9
6) E
7) E
8) B
9) D Analitik Geometri
Konikler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. Tepe Noktası Orijinde ve Odağı Ox Ekseninin
0y eksenine göre simetrik, tepe noktası orijinde
Negatif Tarafında Olan Parabol P(x,y)
y H O
F(–c, 0)
olan ve P(6, –3) noktasından geçen parabolün
Temel Kavramlar: x
D x=c
a) denklemini
Parabolün;
b) odağını
● Tepe Noktası: O(0, 0)
c) doğrultmanını bulunuz.
● Odağı: F(– c, 0) ● Doğrultmanı: x = c
ÇÖZÜM
● Denklemi: y2 = – 4cx
Parabol 0y eksenine göre simetrik olduğundan denklemi x2 = 4cy veya x2 = –4cy şeklindedir.
Parabol üzerindeki P(6, –3) noktası IV. bölgede olduğundan parabolün denklemi x2 = –4cy olur. B. Tepe Noktası Orijinde ve Odağı Oy Ekseninin
P(6, –3) noktası denklemi sağlar.
Pozitif Tarafında Olan Parabol
Parabolün; P(x,y) x
O
● Tepe Noktası: O(0, 0) ● Odağı: F(0, c) ● Doğrultmanı: y = – c
y = –c
H
● Denklemi: x2 = 4cy
ek tremum
F(0,c)
Temel Kavramlar:
y
62 = (–4).c.(–3), c = 3 bulunur. Parabolün; a) denklemi x2 = –12y b) odağı F(0, –3) c) doğrultmanı y = 3 bulunur.
ÖRNEK 2 y2 = –12x ve x2 = –4y parabollerinin odakları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
C. Tepe Noktası Orijinde ve Odağı Oy Ekseninin Negatif Tarafında Olan Parabol y
y=c H
Parabolün;
x P(x,y) F(0, –c)
gibidir. F1(–3, 0)
● Odağı: F(0, –c)
x
c1 = 3 ve F1(–3, 0) olur.
● Doğrultmanı: y = c ● Denklemi: x2 = – 4cy
y2 = –12x parabolünde –4c1 = –12,
F2(0,–1)
x2 = –4y parabolünde –4.c2 = –4, c2 = 1 ve F2(0, –1) olur. F1 F2 =
Analitik Geometri
Parabollerin grafikleri şekildeki
y
Temel Kavramlar: ● Tepe Noktası: O(0, 0)
O
ÇÖZÜM
_ - 3 - 0 i + (0 + 1) 2 = 2
10 br bulunur. 171
Konikler
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ Şekilde tepe noktası orijin-
y x = 16y
C
2
1. Analitik düzlemde y2 = 8x, y2 = –4x ve x2 = –16y
de ve odağı F olan x2 = 16y
parabollerinin odaklarından geçen çemberin 0y
parabolü ve ABCF karesi F
den hangisidir?
Buna göre ABCF karesi-
x
A
eksenini kestiği noktanın ordinatı aşağıdakiler-
verilmiştir.
B
A)
nin alanını bulunuz.
1 1 1 B) C) 8 2 4
D) 1
E) 2
ÇÖZÜM y
x2 = 16y denkleminde,
C
4c = 16,
F 4 O
c = 4 ve
B
a
b b k
k
a A
4
H
x
F(0, 4) olur. 2. Analitik düzlemde x2 = –4y parabolü üzerindeki bir
& & [BH] dikmesi çizilir ve açılar yazılırsa FOA ile AHB eş
P(6, k) noktasından ve parabolün odağı olan F nok-
üçgenler olur.
manın kesim noktaları sırasıyla Q ve R dir.
2
B noktasının koordinatları B(k + 4, k) olup x = 16y denklemini sağlar.
x2 = 16y ise (k + 4)2 = 16.k ifade açılıp düzenlenirse k = 4 bulunur.
ek tremum
Yani OA = BH = k, OF = AH = 4 br olur.
tasından doğrultmana indirilen dikmelerle doğrult
Buna göre Alan(PQRF) kaç br2 dir? A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
E) 48
AF = 4 2 br ve Alan(ABCF) = 32 br2 elde edilir.
ÖRNEK 4 x2 = 12y parabolü üzerindeki P _ 4 3 , k i noktasının, parabolün doğrultmanına olan uzaklığını bulunuz.
3. Analitik düzlemde 0x eksenine göre simetrik, tepe noktası orijinde olan ve P(–4, 8) noktasından geçen
ÇÖZÜM P _ 4 3 , k i noktası parabol denklemini sağlar. 2
x = 12y,
_ 4 3 i = 12.k
bir parabol veriliyor.
Buna göre P(–4, 8) noktasının parabolün doğrultmanına uzaklığı kaç birimdir?
2
k = 4 bulunur.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 16
x2 = 12y parabolünde 4c = 12, c = 3, F(0,3) ve doğrultman y = –3 bulunur.
P _ 4 3 , 4 i noktasının y = –3 doğrusuna uzaklığı
4 – (–3) = 7 br dir. 172
1) C
2) D
3) A Analitik Geometri
Konikler
ÇÖZÜM
BİLGİ KUTUSU BİR PARABOL İLE BİR DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI
y2 = 8x parabolünde
A
y
4c = 8, c = 2 ve
T F
M
x
B
2
Düzlemde y = 4cx parabolü ile m ≠ 0 olmak üzere
çemberinin merkezi ise M(4, 0) olur.
y = mx + n doğrusu verilsin. Parabol denkleminde y = mx + n yazılıp ifade düzenlenirse
F(2, 0), (x – 4)2 + y2 = 2
Önce değme noktası olan T nin koordinatlarını bulalım.
Ax2 + Bx + C = 0 şeklinde ikinci dereceden bir bilin-
T noktasının apsisi [FM] doğru parçasının orta dikme
meyenli bir denklem elde edilir.
doğrusu üzerindedir. (FTM ikizkenar dik üçgendir.)
D = B2 – 4AC olmak üzere
F(2, 0) ve M(4, 0) olduğundan T noktası x =
1. D > 0 ise doğru parabolü farklı iki
doğrusu üzerindedir. T noktası çember üzerinde olduğun-
B
noktada keser.
2+ 4 =3 2
dan (x – 4)2 + y2 = 2 denkleminde x = 3 yazılırsa y = 1 bulunur. Yani T(3, 1) olur.
A
a) F(2, 0) ve T(3, 1) noktalarından geçen AB doğrusunun denklemini bulalım.
2. D = 0 ise doğru parabole teğettir.
3. D < 0 ise doğru parabolü kesmez.
ek tremum
T
1- 0 = 1 ve F (2, 0) için 3- 2
m AB =
y – y1 = m(x – x1), y – 0 = 1(x – 2), y = x – 2 olur.
b) y2 = 8x denkleminde y = x – 2 yazıp ifadeyi düzenlersek
(x – 2)2 = 8x, x2 – 12x + 4 = 0 A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun. O hâlde;
NOT
x1 + x2 = -
2
y = 4cx parabolü ve y = mx + n doğrusu için
y1 = x1 - 2
1) c > m.n ise doğru parabolü farklı iki noktada keser.
y2 = x2 - 2
2) c = m.n ise doğru parabole teğettir. 3) c < m.n ise doğru parabolü kesmez.
K AV R A M A
b - 12 == 12 a 1
4 & y 1 + y 2 = (x 1 + x 2) - 4 = 12 - 4 = 8
ve A(x1, y1), B(x2, y2) için [AB] doğru parçasının orta noktası d
x1 + x2 y1 + y2 12 8 n = d , n = _ 6, 4 i bu, 2 2 2 2
lunur.
ÖRNEK 1 y2 = 8x parabolünün odağından geçen ve I. bölgede (x – 4)2 + y2 = 2 çemberine teğet olan doğrunun a) denklemini, b) parabol ile kesim noktaları A ve B ise [AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. Analitik Geometri
173
Konikler
ÖRNEK 2
KAVRAMA TESTİ
y = x + k doğrusu y2 = 8x parabolüne teğet olduğuna
1. Analitik düzlemde y = mx + 1 doğrusu y2 = 12x
göre k kaçtır?
parabolüne teğet olduğuna göre değme noktasının apsisi kaçtır?
ÇÖZÜM
A)
1. yol
1 1 2 1 B) C) D) 12 3 3 4
E) 1
Diskriminant (D) ile çözüm yapalım. y = x + k ifadesini y2 = 8x denkleminde yazıp düzenleyelim. (x + k)2 = 8x ⇒ x2 + 2kx + k2 – 8x = 0 x2 + x(2k – 8) + k2 = 0 D = B2 – 4AC = (2k – 8)2 – 4 · 1 · k2 = 0 32k = 64 k = 2 bulunur. 2. Analitik düzlemde y2 = 4x parabolünün odağın-
2. yol c = m.n olur.
y2 = 8x ve y = x + k için 4c = 8, c = 2, m = 1, n = k olduğundan c = m.n ⇒ 2 = 1.k, k = 2 bulunur.
ek tremum
y2 = 4cx parabolü y = mx + n doğrusuna teğetse
dan geçen ve (x + 1)2 + y2 = 2 çemberine II. bölgede teğet olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x – 1
B) y = 2x – 2
C) y = –2x + 2
D) y = –x + 1
E) 2y = –x + 1
ÖRNEK 3 x – 2y = 3 doğrusu x2 = k.y parabolüne teğet olduğuna göre k kaçtır?
ÇÖZÜM Bu kez diskriminant (D) ile çözüm yapalım. x = 2y + 3 ifadesini x2 = k.y denkleminde yazıp, düzenleyelim.
(2y + 3)2 = ky ⇒ 4y2 + 12y – ky + 9 = 0 4y2 + y(12 – k) + 9 = 0 D = B2 – 4AC = (12 – k)2 – 4.4.9 = 0
3. Analitik düzlemde y = x – 6 doğrusunun y2 = –4x
parabolünün x = 3 doğrusuna göre simetriği ile kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? A) 18
B) 16
C) 15
D) 12
E) 10
k = 0 veya k = 24 bulunur. k ≠ 0 olduğundan k = 24 olur.
174
1) C
2) D
3) B Analitik Geometri
Konikler
BİLGİ KUTUSU A. Elips
B
A′
F′
y
K AV R A M A ÖRNEK 1 y2 x2 + = 1 elipsinin 25 16
P
a) Odaklarını
O
A
F
b) Odakları arası uzaklığını
x
c) Asal eksen uzunluğunu d) Yedek eksen uzunluğunu
B′
bulunuz.
Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları toplamı
sabit (2a) olan noktaların geometrik yerine elips denir.
ÇÖZÜM
Bu sabit noktalara (F ve F′) elipsin odakları,
[FF′] doğru parçasının orta noktasına da elipsin
Merkezil eliplsin denklemi
|PF| + |PF′| = 2a
a2 = 25 ve b2 = 16 olur.
merkezi denir.
[AA′] ve [BB′] elipsin eksenleridir.
a A′(–a, 0) F′(–c, 0)
B(0,b) b
O
a c
F(c, 0)
ek tremum
y
a=5
b2
= 1 olduğundan
a2 = b2 + c2 denkleminden c yi bulalım. 52 = 42 + c2 ise c = 3 bulunur. Bulduklarımızı şekille gösterirsek y
x
B(0,4)
A(a, 0)
F′(–3, 0)
B′(0, –b)
Yatay Elipste Temel Kavramlar:
y2
b = 4 bulunur.
A′(–5, 0) P(x, y)
a2
+
O halde;
B. Odakları Ox Ekseni Üzerinde Olan Merkezil Elips
x2
• Odakları: F(c, 0) ve F′(–c, 0) • Asal Eksen Uzunluğu: |AA′| = 2.a • Yedek Eksen Uzunluğu: |BB′| = 2b • Odakları Arası Uzaklığı: |FF′| = 2.c
a = 5 olduğundan A(5, 0) ve A′(–5, 0) b = 4 olduğundan B(0, 4) ve B′(0, –4), c = 3 olduğundan F(3, 0) ve F′(–3, 0) olur.
• Merkezi: O(0, 0)
O halde;
• Üzerindeki her P(x, y) noktası için
a) Elipsin odakları F(3, 0) ve F′(–3, 0)
|PF| + |PF′| = 2a
• a2 = b2 + c2 (BOF dik üçgeninden) • Denklemi:
x2
a2
+
• Alanı = π.a.b dir.
Analitik Geometri
y2
b2
=1
x A(5, 0)
B′(0, –4)
Merkezil Elipsin
• Köşeleri: A(a, 0), A′(–a, 0), B(0, b), B′(0, –b)
F(3, 0)
b) Odaklar arası uzaklık |FF′| = 2c = 6 br c) Asal eksen uzunluğu |AA′| = 2a = 10 br d) Yedek eksen uzunluğu |BB′| = 2b = 8 br olur.
175
Konikler
ÖRNEK 2
ÖRNEK 4 A(1, 0) noktasına olan uzaklığının x = 3 doğrusuna 1 olan uzaklığına oranı olan noktaların geometrik 3 yer denklemini bulunuz.
Analitik düzlemde F (4 2 , 0) ve F l (- 4 2 , 0) nokta-
larına olan uzaklıkları toplamı 12 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM İstenilen nokta P(x, y) olsun. | PA | =
ÇÖZÜM
x – 3 = 0 doğrusuna uzaklığı |x – 3| olduğundan (x - 1) 2 + y 2
Düzlemdeki sabit iki noktaya olan uzaklıkları toplamı
|x - 3 |
sabit olan noktalar bir elips belirtir. Bu sabit noktalar
odaklardır. O halde F (4 2 , 0) ve F l (- 4 2 , 0) elipsin
b2
2 x2 y + = 1 elde edilir. 3 2
B
= 1,
ek tremum
+
eşitliği elde edilir.
ÖRNEK 5
6 2 = b 2 + (4 2 ) 2 ise b = 2 ve elipsin denklemi a2
3
2x2 + 3y2 = 6 veya
a2 = b2 + c2 denkleminden b yi bulalım.
y2
1
=
Her iki tarafın karesi alınıp ifade düzenlenirse
odakları olup c = 4 2 ve 2a = 12, a = 6 bulunur.
x2
(x - 1) 2 + y 2 ve P(x, y) noktasının
y2 x2 + = 1 bulunur. 36 4
ÖRNEK 3
A′
Denklemi
Asal eksen uzunluğu odakları arası uzaklığının 2 ka-
tı ve odakları x ekseni üzerinde olan merkezil elips
F′
x2 a2
+
y2 b2
y
O
x
B′
= 1 olan merkezil elipste a
% m (F l BF) = 90° olduğuna göre
OF
A(2, 0) noktasından geçtiğine göre elipsin denklemini bulunuz.
A
F
oranı kaçtır?
ÇÖZÜM y B
ÇÖZÜM A′
A(2, 0) noktası x2
a2
+
y2 b2
O
c
F
A
x
Merkezil elipste yedek eksen simetri ekseni olduğundan F′BF üçgeni ikizkenar dik üçgendir. O halde
Odaklar arası uzaklık: 2c olduğundan 4 = 2 · 2c ⇒ c = 1 ve a2 = b2 + c2 denkleminde a = 2, c = 1 yazılırsa 2
4=b +1 ⇒b=
176
c
B′
+ =1& a=2 a2 b2 Asal ekseni uzunluğu: 2a = 4 br
2
F′
= 1 denklemini sağlar.
02
22
b
2
x2 y + = 1 elde edilir. 3 ve 4 3
|F′O| = |OF| = |OB| olur. (Muhteşem üçlü) Yani c = b olur. a2 = b2 + c2 denkleminde b = c yazılırsa a2 = 2c2 ve a = 2 c olur. Analitik Geometri
Konikler
ÖRNEK 6
ÇÖZÜM y
F(4, 0) olduğundan c = 4 ve |FH| = 9 br ise d doğrusu-
B A′
F′
nun denklemi x = 13 olur. A
F
O
a2 a2 , 13 = , a = 2 13 c 4 K ve L noktaları elips üzerinde olduğundan x = 13 =
x
B′
| KF | +| KF l | = | LF | +| LF l | = 2a = 4 13 br ve Çevre(KFLF′) = 8 13 br bulunur.
y2 x2 + = 1 olan elipsin F ve F′ noktaları denklemi 36 27
ÖRNEK 8
odakları olduğuna göre BF doğrusunun eksenler ile
2
x2 y + = 1 elipsinin 16 9 odaklarından geçen çember denklemini bulunuz.
oluşturduğu üçgenin alanını bulunuz.
Merkezi (0, 3) noktası olan ve
ÇÖZÜM ÇÖZÜM y2 x2 + = 1 denkleminden a = 6, b = 3 3 ve 36 27 2
ek tremum
2
y
2
a = b + c denkleminden de c = 3 bulunur. |OB| = b = 3 3 |OF| = c = 3 br 3·3 3 9 3 2 & = br olur. Alan (BOF) = 2 2
3 A′
F′
7
F
x
A
B′
Elips denkleminden a = 4, b = 3 ve c = 7 bulunur. |BFl| = |BF| yarıçap olacağından | BF | = | BF l | =
3 2 + 7 = 4 br ve çember denklemi
x2 + (y – 3)2 = 16 veya x2 + y2 – 6y – 7 = 0 bulunur.
ÖRNEK 7 y
d
ÖRNEK 9
L A′
B(0,3)
F
F′
A
H
(ÖSS 2009) y
x
C(x, y)
K A(–3, 0)
B(3, 0)
x
Yukarıda odakları F(c, 0) ve F′(c, –0) denklemi x2
a2
+
y2
b2
= 1 olan merkezil elips ve denklemi x =
a2 c
olan d doğrusu verilmiştir. F(4, 0) ve |FH| = 9 br olduğuna göre KFLF′ dörtgeninin çevresi kaç birimdir? Analitik Geometri
Şekildeki ABC üçgeninin [AC] ve [BC] kenarlarının 4 eğimleri çarpımı - olduğuna göre C köşesinin ko9 ordinatları arasındaki bağıntıyı bulunuz.
177
Konikler
ÇÖZÜM y-0
ÖRNEK 11
y-0
olduğundan x-3 y y 4 4 m AC .m BC = - ise . =9 x+3 x-3 9 m AC =
x+3
ve m BC =
A(–4, 0) noktasından geçen ve (x – 4)2 + y2 = 100
çemberine teğet olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yer denklemini bulunuz.
İfade düzenlenirse 2 x2 y + = 1 bulunur. 9 4
ÖRNEK 10 A
ÇÖZÜM
y
y T P(x, y)
r P(x,y) r
A(–4, 0) M(4, 0)
M(4, 0) merkezli çember ile P(x, y) merkezli
x
çemberler T noktasına teğet olsun.
x
Uzunluğu 5 br olan [AB] doğru parçası, A ve B noktaları eksenler üzerinde olmak şartıyla kaydırılıyor.
|AP| = 3 br olduğuna göre bu şartı sağlayan P(x, y) noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
ek tremum
B
İlgili şekli çizelim.
|MT| = 10 br, |PA| = r iken |PM| = |MT| – |PT| = 10 – r olur. A(–4, 0) ve M(4, 0) noktaları için |PA| + |PM| = r + 10 – r = 10 br olup sabittir. Yani P(x, y) noktasının düzlemde sabit iki noktaya göre
uzaklıkları toplamı sabit olduğundan P(x, y) noktaları bir elips belirtir.
ÇÖZÜM A
% m (ABO) = a olsun.
y 3
D
α
x
y O
x
C
2 α
B
x
PCB dik üçgeninde sin a =
y
2
c = 4 ve |PA| + |PM| = 10 = 2a yani a = 5 olur.
[PC] ve [PD] dikmeleri
a2 = b2 + c2 denkleminden b = 3 bulunur.
|OC| = x ve |PC| = y olur.
O halde istenilen denklem
ADP dik üçgeninde x (1) ve cos a = 3
edilir.
çizilirse
P(x, y)
Bu elipste, A(–4, 0) ve M(4, 0) noktaları odaklar olup
x2
a2
+
y2 b2
=
2 x2 y + = 1 elde 25 9
(2) olur.
(1) ve (2) nolu denklemlerin kareleri alınıp taraf tarafa toplanırsa
2 2 x2 y x2 y ve cos 2 a + sin 2 a = + + = 1 elde edilir. 9 4 9 4 14444244443 1
178
Analitik Geometri
Konikler
ÖRNEK 12
KAVRAMA TESTİ y
x2 + y2 = 36 çemberi
A
1. x2 + 5y2 = 45 elipsinin odaklar arası uzaklığı kaç
üzerinde herhangi bir
br dir?
A noktası alınıyor.
P
x
H
A) 14
A noktasından Ox ek-
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
senine [AH] dikmeleri çiziliyor.
[AH] dikmeleri üzerinde |AP| = 2.|PH| şartını sağla-
yan P(x, y) noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM 2. 4x2 + 5y2 = 80 elipsinin odaklar arası uzaklığının,
2k k
yedek eksen uzunluğuna oranı kaçtır?
A P(x, y)
H(x, 0)
x
A) 1
ek tremum
y
B)
3 1 2 C) D) 5 5 2
E) 2
P(x, y) için H(x, 0) olduğundan A noktasının da apsisi x olur. A noktasının ordinatını orantı kurarak bulalım;
k birimde ordinat y artarsa (0 iken y olmuş) 3k birimde
3y artar. H nin ordinatı 0 olduğundan A nın ordinatı 3y olur.
Yani A(x, 3y) olup çember denklemini sağlar. x2 + y2 = 36 denkleminde A(x, 3y) noktası yazılırsa x2+ (3y)2 = 36, x2 + 9y2 = 36 bulunur. 3.
2 x2 y + = 1 elipsinin odaklarından birinden asal 9 4
eksene dikme çiziliyor.
Bu dikmenin x2 + y2 = 9 çemberini kestiği nokta
P, elipsi kestiği nokta Q olduğuna göre |PQ| kaç birimdir? A)
1) B Analitik Geometri
3 3 1 2 B) C) D) 5 5 5 10
2) B
E)
2 3
3) E 179
Konikler 4. B
y
F′
A′
F
A
A′
x
y
B
7.
F′
F
B′
x
Yukarıdaki şekilde odakları F ve F′ olan merkezil elips verilmiştir.
B, F ve F′ noktalarından geçen çemberin yarıçapı
BF′F üçgeni eşkenar üçgen ve P(4, 6) noktası
kaç birimdir? 10
A
B′
2x2 + 3y2 = 48 elipsinin F ve F′ noktaları odaklarıdır.
A)
P(4, 6)
elipsin üzerinde olduğuna göre elipsin denklemi
5 C) D) 2 2 E) 2 2
B) 3
aşağıdakilerden hangisidir?
5. Odakları F(2, 0), F′(–2, 0) noktaları olan ve P(2, 3)
A)
y2 y2 x2 x2 + = 1 B) + =1 64 48 16 12
C)
y2 x2 x2 + y 2 = 4 D) + =1 2 12 16
noktasından geçen elipsin denklemi aşağıdaki-
E)
y2 x2 + =1 48 64
A)
2 x2 x2 y + y2 = 1 + = 1 B) 5 13 9
C)
2 y2 x2 y x2 + = 1 D) + =1 8 4 16 12
E)
ek tremum
lerden hangisidir?
y2 x2 + =1 12 16
8. x2 + y2 = 9 dairesi ile 4x2 + 9y2 = 36 elipsi arasında kalan bölgenin alanı kaç π br2 dir? A) 5
6.
y
F′
P
B) 4
y
9.
F
C) 3
x F′
D) 2
E)1
P F
x R
2
y x2 + = 1 elipsinin odakları F ve F′ noktalarıdır. 25 20 P elips üzerinde bir nokta olmak üzere PF′F üçgeninin alanının en büyük değeri kaçtır? A) 8 4) B 180
B) 10
C) 12 5) D
D) 15
E) 16 6) B
x2 + 9y2 = 36 elipsinin odakları F ve F′ noktalarıdır. P, F ve R noktaları doğrusal. Yukarıdaki verilere göre Çevre (PF′R) kaç birimdir? A) 12 7) A
B) 18
C) 20 8) C
D) 24
E) 36 9) D
Analitik Geometri
Konikler 13. Odakları F ve F′ noktaları olan ve asal eksen
10. A(3, 0) noktasından geçen ve (x + 3)2 + y2 = 64 çem-
uzunluğu sabit olan bir elipsin alanının en bü-
berine teğet olan çemberlerin merkezleri bir elips
yük değerini alması için aşağıdakilerden hangisi
belirtir.
yapılmalıdır?
Bu elipsin yedek eksen uzunluğu kaç birimdir? A)
A) Elips düşey olmalıdır.
7 B) 2 7 C) 4 2 D) 6
B) Elips yatay olmalıdır. C) F ve F′ noktaları arası uzaklık maksimum olmalı-
E) 3 5
dır.
D) F ve F′ noktaları üst üste gelmelidir. E) Alan sabittir değişmez.
11. A(2, 3) ve B(6, 1) noktalarından geçen merkezil elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
ek tremum
A) x2 + 6y2 – 5x – 18y – 6 = 0 B) 2x2 + y2 = 17 2
2
C) 2x + 3y = 35 2
2
D) x + 4y = 40 2
2
E) 2x + y = 73
12. P(x1, y1) noktası için
x 12 a2
+
y 12 b2
Buna göre P(m, –m) noktasının
2 x2 y + = 1 elip5 20
ğı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
D) (- 3 , 3 ) 10) B Analitik Geometri
11) D
kaç birim karedir? A) 36
B) 48
15. Denklemi
sinin iç bölgesinde olması için m nin tanım aralı-
B) (–3, 3)
taları köşe kabul eden konveks dörtgenin alanı
- 1 < 0 ise P(x1, y1)
noktası elipsin iç bölgesindedir denir.
A) (–1, 3)
14. 4x2 + 9y2 = 144 elipsinin eksenleri kestiği nok-
a2
+
y2
D) 60
E) 72
= 1 ve odaklarından biri
b2
F(c, 0) olan bir merkezil elipsin odaklar arası uzaklığı yedek eksen uzunluğuna eşit olduğuna c göre oranı kaçtır? a A)
C) (1, 3 )
1
10
B) D)
E) (–2, 2) 12) E
x2
C) 54
13) D
4
5
1
2
C)
E) 14) B
2
3
5
10 15) B 181
Konikler
NOT
BİLGİ KUTUSU
Odakları Oy Ekseni Üzerinde Olan Merkezil Elips
x2
a2
+
y2 b2
= 1 denkleminde y
y A(0,a)
F(0,c)
P(x,y)
B(b,0)
B′(–b,0)
a2 > b2 ise yatay elips
x
x
F′(0,–c)
y
A′(0,–a)
Düşey Elipste Temel Kavramlar
Elipsin;
a2 < b2 ise düşey elips
elde edilir.
• Köşeleri: A, A′, B ve B′
x
• Odakları: F(0, c) ve F′(0, –c)
• Yedek Eksen Uzunluğu |BB′| = 2b • Odaklar Arası Uzaklığı: |FF′| = 2c • Merkezi: O(0, 0) y
Elips üzerindeki her P(x, y)
A
için
F
B′
B
O
x
|PF| + |PF′| = 2a Dolayısıyla,
ve |FB| = |FB′| olduğundan F
|FB| = |FB′| = a ve FOB dik üçgeninden a
O
b
Elipsin denklemi de
182
K AV R A M A
|PF| + |PF′| = |FB| + |FB′| = 2a
A′
c
ek tremum
• Asal Eksen Uzunluğu: |AA′| = 2a
a2 = b2 + c2 elde edilir.
b2
y2 x2 + = 1 elipsinin 16 36 a) Odaklarını b) Odaklar arası uzaklığını c) Asal eksen uzunluğunu
B
x2
ÖRNEK 1
+
y2 a2
d) Yedek eksen uzunluğunu = 1 olur.
bulunuz.
Analitik Geometri
Konikler
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
2
y x + = 1 denkleminde y2 li terimin paydası (36), 16 36 2
İstenilen nokta P(x, y) olsun. A(0, 4) olduğundan
doğrusuna uzaklığı |y – 9| olduğundan
odakları Oy ekseni üzerindedir. x2
b2
+
y2 a2
x 2 + (y - 4) 2 ve P(x, y) noktasının y – 9 = 0
| PA | =
x2 li terimin paydasından (16) büyük olduğundan elipsin
x 2 + (y - 4) 2
= 1 olduğundan b2 = 16 ve a2 = 36 olur.
|y - 9 |
2 eşitliği elde edilir. 3
=
Her iki tarafın karesi alınıp eşitlik düzenlenirse
O halde; b = 4, a = 6 bulunur.
9x2 + 5y2 = 180 veya
a2 = b2 + c2 denkleminden c yi bulalım.
Bu eşitlikte x =
36 = 16 + c2 ise c = 2 5 bulunur.
_ 15 i
2
Bulduklarımızı şekille gösterelim. y
20
15 , y = k yazarsak
k2 = 1 ve k = " 3 bulunur. 36
A(0, 6)
ÖRNEK 3
F(0,2 5) B′(0, –4)
+
y2 x2 + = 1 elde edilir. 20 36
B(4,0)
x
y
A′(0, –6)
a = 6 olduğundan A(0, 6) ve A′(0, –6) b = 4 olduğundan B(4, 0) ve B′(–4, 0) c = 2 5 olduğundan F(0, 2 5 ) ve F′(0, - 2 5 ) olur. O halde; a) Odaklar F(0, 2 5 ) ve F′(0, - 2 5 ) b) Odaklar arası uzaklık |FF′ | = 4 5 br c) Asal eksen uzunluğu |AA′| = 12 br d) Yedek eksen uzunluğu |BB′| = 8 br olur.
ek tremum
F′(0, –2 5)
3 –4
Şekilde asal ve yedek
4
–3
eksenleri verilen mer-
P(x,y) 3
4
kezil elipsler için P(x, y) x
–3
noktasının koordinatlarını bulunuz.
–4
ÇÖZÜM Yatay elips için a = 4 ve b = 3 olduğundan y2 x2 + =1 16 9
(1)
Düşey elips için a = 4 ve b = 3 olduğundan y2 x2 + =1 9 16
(2)
elde edilir.
ÖRNEK 2 A(0, 4) noktasına olan uzaklığının y = 9 doğrusuna 2 olan uzaklığına oranı olan noktaların geomet3 rik yer denklemini bulunuz ve bu şartı sağlayan B ( 15 , k) noktası için k değerlerini bulunuz.
(1) ve (2) nolu denklemleri birlikte çözelim. _ b 16 y2 x2 9 2 + =1 b d 16 ny = 7 16 9 16 b 9 ` 12 b y2 x2 y=" -9 + = 1b 5 b 9 16 a 12 12 ve y = " için x = " olur. 5 5 O halde P d
Analitik Geometri
12 12 , n elde edilir. 5 5 183
Konikler 4. x2 + 4y2 = 20 ve
KAVRAMA TESTİ 1.
4x2 + y2 = 20 elipslerinin I. bölgedeki kesim noktasının koor-
y2 x2 + =1 20 36
dinatları toplamı kaçtır?
elipsinin odakları arasındaki uzaklık kaç birim-
A) 1
dir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
B) 2
5.
ni uzunluğu 10 br olan merkezil düşey elipsin
A
y2 x2 + =1 9 25
C)
y2 x2 + = 1 9 16
D)
y2 x2 + =1 15 20
E)
2
y2
x + =1 9 18
3. A(3, 2) ve B(1, 6) noktalarından geçen merkezil düşey elipsin yedek eksen uzunluğu kaç br dir? A) 2 7
B) 4 2
D) 2 10
E) 5
5x2 + y2 = 20 elipsinin
odakları F ve Fl noktalaB
B′
ek tremum
B)
y
F
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? y2 x2 + = 1 16 9
D) 4
E) 12
2. Odaklarından biri F(0, 4) noktası ve asal ekse-
A)
C) 3
rıdır. x
F′ A′
BF doğrusunun y = 5 doğrusuyla kesim noktası-
nın apsisi kaçtır? A) -
1 4
B) -
C) -
y
6.
E) 3 5
E
O
1 2
D) -
Denklemi
F
C) 6
1 3
D
3 2 E) 5 5
y2 x2 + =1 36 64
olan elipsin grafiği verilx
miştir.
E köşesi elipsin üzerinde olan ODEF karesinin çevresi kaç birimdir? A)
1) C 184
2) B
3) D
4) D
96 5
B)
72 5
C)
5) C
64 5
D)
48 5
E)
32 5
6) A Analitik Geometri
Konikler
BİLGİ KUTUSU
ÇÖZÜM Ortak çözüm yapalım. Elips denkleminde x yerine
Bir Elips ile Bir Doğrunun Birbirine Göre Durumları Düzlemde
x2
a2
+
y2 b2
x = 2y yazalım. 2 (2y) 2 y 2 x2 y + =1& + =1 8 2 8 2
= 1 elipsi ile y = mx + n doğrusu
y2 = 1 ve y = " 1 olur.
verilsin. Elips denkleminde y = mx + n yazılıp ifade
y = 1 için x = 2.1 = 2 ve
düzenlenirse Ax2 + Bx + C = 0 şeklinde ikinci dere-
y = –1 için x = 2.(–1) = –2
ceden bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
Demek ki, x = 2y doğrusu elipsi A(2, 1) ve B(–2, –1) gibi
∆ = B2 – 4.A.C olmak üzere
farklı iki noktada kesiyor.
1. ∆ > 0 ise doğru elipsi farklı iki noktada keser. B
2. ∆ = 0 ise doğru elipse teğettir. T
ek tremum
A
ÖRNEK 2 y = –x + k doğrusu
2 x2 y + = 1 elipsini iki farklı nok6 2
tada kestiğine göre k nin tanım aralığını bulunuz.
3. ∆ < 0 ise doğru elipsi kesmez.
ÇÖZÜM
K AV R A M A ÖRNEK 1 2 x2 y + = 1 elipsi ile x = 2y dğrusunun birbirine gö8 2
re durumlarını inceleyiniz.
Analitik Geometri
Elips denkleminde y = –x + k yazalım. 2 x 2 (- x + k) + =1 6 2
Bu ifade açılıp düzenlenirse 4x2 – 6kx + 3k2 – 6 = 0 elde edilir. Bu denklemde ∆ = B2 – 4AC > 0 olmalıdır. (6k)2 – 4.4.(3k2 – 6) > 0 ifade düzenlenirse k2 < 8 ve - 2 2 < k < 2 2 elde edilir. 185
Konikler
KAVRAMA TESTİ
ÖRNEK 3 y = –x + n doğrusu
1. y = 2x + k doğrusu x 2 +
y2
2
x + = 1 elipsine teğet oldu24 12
y2 4
= 1 elipsini kesmedi-
ğine göre k nın alabileceği en küçük pozitif tam
ğuna göre n nin alabileceği değerleri bulunuz.
sayı değeri kaçtır? A) 0
ÇÖZÜM
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Elips denkleminde y = –x + n yazalım. 2 x 2 ( - x + n) + =1 12 24
Bu ifade açılıp düzenlenirse 3x2 – 4nx + 2n2 – 24 = 0 2. y = –2x + k doğrusu 5x2 + y2 = 20 elipsine teğet
D = B2 – 4AC = 16n2 – 12(2n2 – 24) = 0
olduğuna göre k nın alabileceği değerler çarpımı
n = " 6 bulunur.
kaçtır?
ÖRNEK 4 y = 2x – 1 doğrusu x 2 + rında kesmektedir.
y2 4
= 1 elipsini A ve B noktala-
Buna göre [AB] doğru parçasının orta noktasının
B) –25
C) –16
D) –9
E) –4
ek tremum
A) –36
koordinatlarını bulunuz.
ÇÖZÜM A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun. Bizden C d x2 +
y2 4
x1 + x2 y1 + y2 n istenmektedir. , 2 2
3. y = –x + 4 doğrusu
= 1 denkleminde y = 2x – 1 yazıp düzenlersek
8x2 – 4x – 3 = 0 elde edilir. x1 + x2 = -
b 4 1 olur. = = a 8 2
talarında kesmektedir.
Buna göre elipsin merkezinin [AB] doğru parça-
sının orta noktasına olan uzaklığı kaç birimdir? A)
y = 2x – 1 için y1 = 2x1 – 1 ve y2 = 2x2 – 1 olacağından
x1 + x2 y1 + y2 1 1 n = C d , - n bulunur. , 2 2 2 4
186
2
B)
3
D) 2 2
1 y1 + y2 = 2x1 + 2x2 – 2 = 2(x1 + x2) – 2 = 2. – 2 = –1 2 ve C d
y2 x2 + = 1 elipsini A ve B nok8 24
1) D
C) 2 E)
2) A
10
3) E Analitik Geometri
Konikler 1.
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A) Hiperbol
2 x2 y = 1 hiperbolünün 16 9
y
P
B O
F′ A′
A
a) Odaklarını F
B′
b) Odaklar arası uzaklığını
x
c) Asal eksen uzunluğunu d) Yedek eksen uzunluğunu bulunuz.
Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları farkı sabit (2a) olan noktaların geometrik yerine hiperbol denir.
Bu sabit noktalara (F ve F′) hiperbolün odakları,
ÇÖZÜM
[FF′] doğru parçasının orta noktasına (O) da hiperbolün merkezi denir.
Merkezil hiperbolün denklemi
| PFl| - | PF | = 2a
y B(0,b) F(c,0)
ek tremum
Merkezil Hiperbol
A(a,0)
y2 b2
= 1 olduğundan
c2 = a2 + b2 = 42 + 32 ve c = 5 bulunur.
B) Odakları Ox Ekseni Üzerinde Olan
F′(–c,0) A′(–a,0)
a2
-
a2 = 16 ve b2 = 9 olur. O halde a = 4 ve b = 3 olur.
[AA′] ve [BB′] hiperbolün eksenleri
x2
Bulduklarımızı şekille gösterelim. y
B c F′
A′
a
b
A
B′
F
x
x
B′(0,–b)
a = 4 olduğundan A(4, 0) ve A′(–4, 0) b = 3 olduğundan B(0, 3) ve B′(0, –3)
Hiperbolde Temel Kavramlar: Hiperbolün • Köşeleri: A(a, 0), A′(–a, 0), B(0, b), B′(0, –b) • Odakları: F(c, 0) ve F′(–c, 0) • Asal Eksen Uzunluğu: |AA′| = 2.a • Yedek eksen Uzunluğu: |BB′| = 2b • Odaklar Arası Uzaklık: |FF′| = 2c
c = 5 olduğundan F(5, 0) ve F′(–5, 0) O halde
a) Hiperbolün odakları; F(5, 0) ve F′(–5, 0) b) Odaklar arası uzaklık; |FF′| = 10 br c) Asal eksen uzunluğu; |AA′| = 8 br d) Yedek eksen uzunluğu; |BB′| = 6 br
• Merkezi: O(0, 0) • c2 = a2 + b2 • Denklemi:
x2
a2
-
y2 b2
ÖRNEK 2 = 1 dir.
Asal ekseni uzunluğu 8 br ve odaklarından biri F (2 5 , 0) noktası olan merkezil hiperbolün denkle-
mini bulunuz.
Analitik Geometri
187
Konikler 4 olur. 3 4 O halde m TF = - ve F(5, 0) için TF doğrusunun denk3 lemi
ÇÖZÜM
mTF = –tanα = -
2a = 8 ⇒ a = 4 ve c = 2 5 olur. c 2 = a 2 + b 2 & (2 5 ) 2 = 4 2 + b 2 b = 2 ve x
a
2 2
-
y
2
b
2
=1&
y - y 1 = m (x - x 1)
2
y x = 1 elde edilir. 16 4 2
y - 0 =-
4 (x - 5) 3
3y + 4x = 20 bulunur.
ÖRNEK 3 Analitik düzlemde F(6, 0) ve F′(–6, 0) noktalarına
ÖRNEK 5
uzaklıkları farkı 4 5 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
Denklemi
y B
ÇÖZÜM O
Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları farkı sabit olan
y2 4
=1
kenar üçgeni verilmiştir.
A
noktalar bir hiperbol belirtir. Bu sabit noktalar da hiper-
a2
-
hiperbolü ve OAB eş-
x 4
x2
bolün odaklarıdır. Yani F(6, 0) ve F′(–6, 0) noktaları hiperbolün odaklarıdır.
c = 6, 2a = 4 5 ve a = 2 5 olur. c2 = a2 + b2 ⇒ 62 = (2 5 ) 2 + b2, b = 4 hiperbolün denklemi de bulunur.
x2
a2
-
y2 b2
= 1,
y2 x2 =1 20 16
ek tremum
|OA| = 4 br olduğuna göre hiperbolün odakları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM y B
4
ÖRNEK 4
O
30°
2 x2 y = 1 hiperbolünün odağından geçen ve 9 16
x
H A
x2 + y2 = 16 çemberine I. bölgede teğet olan doğru-
Hiperbol 0x eksenine göre simetrik olduğundan
nun denklemini bulunuz.
[AB] = 0x olur. OHB, 30°-60°-90° üçgeninde |HB| = 2 br ve
ÇÖZÜM
| OH | = 2 3 br olur.
y
İlgili şekli çizelim. T
4 O
A
a = 3, b = 4, α 5
F
x
c2 = a2 + b2 = 25 ve c = 5 olur. b = 4 olduğundan |OT| = b = 4 br olur.
OTF dik üçgeninde pisagordan |TF| = 3 br ve
188
Yani B (2 3 , 2) olur. B noktası hiperbol denklemini sağlar. x2
a
2
-
y2 4
=1,
(2 3 ) 2 a
2
-
4 =1 4
a = 6 ve b = 2 olduğundan c2 = a2 + b2 = 6 + 4 ⇒ c =
10 ve odaklar arası uzaklık
2 10 br olur.
Analitik Geometri
Konikler
ÖRNEK 6 x2 b2
-
y2 a2
KAVRAMA TESTİ
= 1 hiperbolü, y2 = 4ax parabolünün oda-
1. 9x2 – 4y2 = 36
ğından geçtiğine göre hiperbolün odaklar arası
uzaklığını a türünden bulunuz.
hiperbolünün asal eksen uzunluğu kaç br dir? A) 2
ÇÖZÜM
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
y2 = 4ax parabolünün odağı c = a olduğundan F (" a, 0) olur. F (" a, 0) noktası hiperbolün denklemini sağlar. x2
-
a2
-
b2 b
2
y2 a2 0
a2
=1 = 1 & a 2 = b 2 olur.
Hiperbolde c2 = a2 + b2 = a2 + a2 = 2a2 c=a 2 Odaklar arası uzaklık: 2c = 2 2 a bulunur.
ÖRNEK 7 (x – 5)2 + y2 = 64 çemberine teğet olan ve F(–5, 0)
noktasından geçen çemberlerin merkezlerinin geometrik yer denklemini bulunuz.
ek tremum
2. Yedek eksen uzunluğu 2 15 br olan ve P(2, 1)
noktasından geçen merkezil hiperbolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x2 – y2 = 11
B) 4x2 – 3y2 = 13
C) 5x2 – 2y2 = 18
D) 4x2 – y2 = 15
E) 5x2 – 3y2 = 17
ÇÖZÜM İlgili şekli çizelim. y M r F(5,0)
r
8 O
F′(5,0)
x
Bizden M(x, y) noktalarının geometrik yer denklemi isteniyor. |F′M| = r + 8, |MF| = r olduğundan sabit F(–5, 0) ve
F′(5, 0) noktaları için M noktasının F ve F′ noktalarına uzaklıkları farkı sabit olur.
Yani |MF′| – |MF| = (r + 8) – r = 8 br. O halde bizden odakları F(–5, 0) ve F′(5, 0) olan ve asal
3. 4x2 – 5y2 = 80 hiperbolünün odaklarından birinden, x2 + y2 = 16 çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir? A)
15
B) 4
C) 2 5
D) 2 6 E) 5
eksen uzunluğu 8 br olan hiperbolün denklemi isteniyor. c = 5, 2a = 8 ise a = 4 ve c2 = a2 + b2 , 52 = 42 + b2 , b = 3 2 x2 y = 1 elde edilir. 16 9
Analitik Geometri
1) C
2) D
3) C 189
Konikler 7. Odakları F(3, 0) ve F′(–3, 0) olan P(3, 8) noktasın-
4.
y2 x2 =1 144 25
hiperbolünün odaklarından birinin apsisi aşağı-
dan geçen hiperbolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
dakilerden hangisidir? A) 15
B) 13
C) 12
D) 5
E) 3
A) 6x2 – y2 = –8
B) 10x2 – y2 = 36
C) 11x2 – y2 = 33
D) 8x2 – y2 = 8
E) 9x2 – y2 = 8
5.
y H
K
8. Asal eksen uzunluğu 10 br ve yedek eksen uzun-
E
D
luğu 4 6 birim olan hiperbolün odakları arası
Merkezil çember ile merkezil hiperbolün ortak nokta-
ları D, E, F, K, H ve F′ dir.
Merkezil çember merkezil hiperbolün F ve F′ odaklarından geçmektedir.
Hiperbolün denklemi
y2 x2 = 1 olduğuna 256 144
uzaklığı kaç birimdir?
ek tremum
x
F
F′
A) 14
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
göre DFKFl dörtgeninin alanı kaç br2 dir? A) 326
B) 288
C) 240
D) 200
E) 144
9. Asal eksen uzunluğu 4 br olan bir hiperbolün odak-
6.
x2 b2
-
y2 a2
=1
hiperbolü,
x2 a2
+
y2 b2
ları =1
elipsinin
a odaklarından geçtiğine göre oranı kaçtır? b A)
3 2
B) 2
C)
5 2
D)
2
E) 1
y2 x2 + = 1 elipsinin odaklarıyla aynıdır. 25 9
Buna göre hiperbolün denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 4x2 – y2 = 12
B) 5x2 – 3y2 = 30
C) 5x2 – 4y2 = 10
D) 2x2 – 3y2 = 30
E) 3x2 – y2 = 12 4) B 190
5) B
6) D
7) D
8) A
9) E Analitik Geometri
Konikler 1.
NOT
BİLGİ KUTUSU
Denklemi
Odakları Oy Ekseni Üzerinde Olan
x2
a
2
y2 b
2
= 1 veya
y2 a
2
-
x2
b2
= 1 olan hiper-
bolde a = b ise hiperbole ikizkenar hiperbol denir.
Merkezil Hiperbol
İkizkenar hiplerbolün denklemi
x2 – y2 = a2 veya y2 – x2 = a2 dir.
y F(0, c)
Hiperbolde katsayısı pozitif olan terimin paydası a2
A(0,a) c
a b B(b,0)
B′(–b,0)
olur. x
K AV R A M A
A′(0, –a) F′(0,–c)
ÖRNEK 1
Temel Kavramlar: Hiperbolün
y2
• Köşeleri: A(0, a), A′(0, –a), B(b, 0), B′(–b, 0)
9
• Yedek eksen Uzunluğu: |BB′| = 2b • Odaklar arası uzaklığı: |FF′| = 2c
ek tremum
• Asal Eksen Uzunluğu: |AA′| = 2a
-
x2 = 1 hiperbolünün 27
a) Odaklarını
• Odakları: F(0, c) ve F′(0, –c)
b) Asal eksen uzunluğunu c) Yedek eksen uzunluğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
• Merkezi: O(0, 0)
y2 li terimin katsayısı pozitif olduğundan odaklar 0y ek-
• c2 = a2 + b2
• Denklemi:
-
seni üzerindedir. O halde
y
2
a
2
-
x
2
b2
a2 = 9, a = 3 ve b2 = 27, b = 3 3 ve = 1 dir.
c2 = a2 + b2, 9 + 27 = 36, c = 6 olur. Dolayısıyla a) Odaklar F(0, 6) ve F′(0, –6) b) Asal eksen uzunluğu 2a = 6 br c) Yedek eksen uzunluğu 2b = 6 3 br olur.
ÖRNEK 2 P(0, 3) ve Q (2, 3 2 ) noktalarından geçen merkezil hiperbolün denklemini bulunuz.
Analitik Geometri
191
Konikler
ÇÖZÜM
KAVRAMA TESTİ
Hiperbolün denklemi
x2
a2
-
y2 b2
= 1 olsun:
P noktası için 0
a2
-
9
b2
a2
x2
b2
x2 = 1 hiperbolünün odağı olan, 9
teğet olan çemberin yarıçapı kaç birimdir? A)
ni üzerinde olmalıdır. Yani denklemi; -
16
-
hiperbolün iç bölgesindeki kalan ve hiperbole
= 1 , b 2 = - 9 olur.
b2 negatif olamaz. O halde hiperbolün odakları 0y eksey2
y2
1. Merkezi
1 2
B) 1
C)
3 2
D) 2
E)
5 2
= 1 olmalıdır.
P(0, 3) noktası için 9
a
2
-
0
b2
= 1, a = 3 olur.
Q (2, 3 2 ) noktası için y2 9
-
x2
b2
=1
O halde
y2 9
x2 = 1 elde edilir. 4
-
ÖRNEK 3 2
y x - x 2 = 1 hiperbol- y 2 = 1 ve 3 3 2
Köşe noktaları
ek tremum
18 4 - 2 = 1 , b = 2 olur. 9 b 2.
y2 y2 x2 x2 + = 1 elipsi ile = 1 hiperbolünün 18 72 36 18 kesim noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı kaç br2 dir? A) 36 2
B) 40 2
D) 45 2
C) 44 2 E) 48 2
lerin odak noktaları olan dikdörtgenin alanını bulunuz.
ÇÖZÜM y
F1
2 F′
2
2 2
F
x
F ′1
x2 - y 2 = 1 için a = 3 , b = 1, c = 2 3 y2 3
- x 2 = 1 için a = 3 , b = 1, c = 2
O halde oluşan F1 F l F1l F dörtgeni kare olur. Alan (F1 F l F1l F) =
192
4.4 = 8 br 2 olur. 2
y2
x2 =1 20 16 olan hiperbolün üzerinde bir P noktası alınıyor. & Çevre (PFF l) = 28 br olduğuna göre |PF| + |PFl|
3. Odakları F ve F′ noktaları ve denklemi
-
toplamı kaç br dir? A) 10 1) B
B) 12
C) 14 2) E
D)16
E)18 3) D
Analitik Geometri
Konikler 1.
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
Bir Hiperbol ile Bir Doğrunun Birbirine Göre Durumları Düzlemde
x2
a2
-
y2
b2
x2 – 2y2 = 9 hiperbolü ile y = –x – 3 doğrusunun bir-
= 1 hiperbolü ile y = mx + n doğ-
birine göre durumlarını inceleyeniz.
rusu verilsin. Hiperbol denkleminde y = mx + n yazı-
lıp ifade düzenlenirse Ax2 + Bx + C = 0 şeklinde ikin-
ÇÖZÜM
ci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. ∆ = B2 – 4AC olmak üzere
Ortak çözüm yapalım.
1.
hiperbol denkleminde y = –x – 3 yazalım. x2 – 2y2 = 9 ⇒ x2 –2.(–x – 3)2 = 9 A
2x2 – 6x = 0, x = 0 ve x = 3
B
x = 0 için y = –x – 3, y = –3 x = 3 için y = –x – 3 , y = –6 O halde y = –x –3 doğrusu hiperbolü A(0, –3) ve
∆ > 0 ise doğru hiperbolü farklı iki noktada keser.
B(3, –6) noktalarında kesiyor.
T
∆ = 0 ise doğru hiperbole teğettir. 3.
ek tremum
2.
ÖRNEK 2 y = 2x+ 2 doğrusu
x2 a2
-
y2 12
= 1 hiperbolüne teğet ol-
duğuna göre, hiperbolün odaklar arası uzaklığı kaç br dir?
ÇÖZÜM ∆ < 0 ise doğru hiperbolü kesmez.
y = 2x + 2 ifadesini hiperbol denkleminde yerine yazıp, ifadeyi düzenleyelim. x2
a2
-
(2x + 2) 2 12
=1
(3 - a 2) x 2 - 2a 2 x - 4a 2 = 0 D = B 2 - 4AC = 4a 4 - 4 (3 - a 2) · - 4a 2 = 0 a2 = 4 & c2 = a2 + b2 c 2 = 4 + 12 & c = 4 ve odaklar arası uzaklık : 8 br dir.
Analitik Geometri
193
Konikler
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ
y = x + n doğrusu ile x2 – 2y2 = 4 hiperbolü kesişme-
1. y = 2x + n doğrusu 16x2 – 9y2 = 144 hiperbolüne
diklerine göre n nin alabileceği en büyük tam sayı
teğet olduğuna göre n nin alabileceği değerlerin
değerini bulunuz.
çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM
A) –25
B) –24
C) –20
D) –16
E) –15
y = x + n ifadesini hiperbol denkleminde yerine yazıp ifadeyi düzenleyelim; x 2 - 2 (x + n) 2 = 4 x 2 + 4nx + 2n 2 + 4 = 0 D = B 2 - 4AC = 16n 2 - 4·(2n 2 + 4) < 0 n2 < 2 O hâlde n nin en büyük tam sayı değeri 1 olur.
ÖRNEK 4
2. 2x2 – 9y2 = 4 hiperbolünün teğetlerinden biri 2x – 3y = 2 doğrusu olduğuna göre bu teğetin
x.y = 8 hiperbolüne üstündeki P(4, 2) noktasından
ÇÖZÜM y normal
değme noktasının apsisi kaçtır?
ek tremum
çizilen normalin denklemini bulunuz.
A) –4
B) –3
C) –2
D) 2
E) 4
P(4,2) x teğet
Önce P(4, 2) den çizilen teğetin eğimini türev yardımıyla bulalım.
8 P(4, 2) ve y = x y′ = mteğet = -
8 x2
=-
8 1 =16 2
O halde mnormal = 2 olur. P(4, 2) ve mnormal = 2 için
3. P(2, 4) noktasından geçen x.y = c hiperbolü ile y = x doğrularının kesim noktaları arası uzaklık kaç birimdir? A) 8 2
B) 8
D) 6 2
y – y1 = m(x –x1)
C) 10 E) 5 6
y – 2 = 2(x – 4) y = 2x – 6 bulunur. 1) C 194
2) D
3) B Analitik Geometri
Konikler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
Düzlemde, sabit bir noktaya uzaklığının sabit bir doğruya
Doğrultmanı y = 2 doğrusu odağı F(0, 1) ve dış mer-
uzaklığına oranı sabit olan nok-
M
kezliği e =
taların geometrik yerine konik
P
denir. F
ÇÖZÜM
Bu sabit noktaya koniğin odağı (F), sabit doğruya koniğin doğrultmanı (,) ve sabit orana da koniğin ğin temel elemanları denir.
PF =
Konik üzerindeki bir nokta P(x, y), P(x, y) noktasının
0 < e < 1 ise
konik elipstir
P
M
b PF < PM l
F
PF PM
ek tremum
Koniğin dış merkezliği e olmak üzere, 1)
x 2 + (y - 1) 2 ,
PF
senlerine göre simetriktir.
= e denklemini kullanacağız.
PM = y - 2 olduğundan
sabit noktasına (odak noktasına uzaklığı) PF ol-
doğruya koniğin ekseni denir ve konikler kendi ek-
PM
P(x, y) noktasının y – 2 = 0 doğrusuna uzaklığı
, doğrultmanına uzaklığı PM , P(x, y) noktasının F
= e ile bulunur. PM Koniğin odağından geçen ve doğrultmana dik olan
PF
P(x, y) olsun
dış merkezliği (e) denir ve bu elemanlara da koni-
mak üzere, koniğin denklemi
2 olan koniğin denklemini bulunuz. 3
x 2 + ( y - 1) 2 y- 2
=e
=
2 3
eşitliğin her iki tarafın karesini alıp düzenlersek 9x2 + 5y2 – 2y – 7 = 0 bulunur.
ÖRNEK 2 Doğrultmanı x = 6 doğrusu, odağı F(3, 0) ve konik
üzerindeki bir nokta A(–3, 0) olan koniğin çeşidini bulunuz. 2)
e = 1 ise
konik paraboldür.
F
P
M
b PF = PM l
ÇÖZÜM PF PM
= e denkleminde P noktası olarak A(–3, 0) nokta-
sını alalım. PF = AF = 3)
P
M
F
e > 1 ise
konik hiperboldür. b PF > PM l
6 2 + 0 2 = 6 br
PM = MA = x - 6 = - 3 - 6 = 9 br O hâlde; e=
PF PM
=
6 2 = >
C
G
3 3 3 : GA, BE = - . GB ve CK = - . GC 2 2 2
k 3k
A
E k
DE + DF vektörü
bulunuz.
vektörünü
türünden
B
ÇÖZÜM Soruya başlamadan önce AB = DC, DA = CB ve AE =
ABC üçgeninde G ağırlık
A
K
B
merkezidir.
E
G
AD + BE + CK
toplam
vektörü neye eşittir? D
3 3 3 3 . AB = DC, CF = . CB = . DA 4 4 4 4
olduğunu görelim.
ÖRNEK 3
C
DAE üçgeninde DE = DA + AE ve DCF üçgeninde + DF = DC + CF DE + DF = DA + CF + DC + AE = DA +
7 . _ DA + DC i 4
=
7 . _ DA + AB i _ DC = AB i 4
DE + DF =
214
3 3 . DA + DC + . DC 4 4
=
DB
eşitini
7 . DB elde edilir. 4
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4.
KAVRAMA TESTİ 1.
E
nin ağırlık merkezi P,
G noktası ABC üçgeni-
A
G noktası ABC üçgeni-
A
nin ağırlık merkezidir.
G
hangi bir nokta olduğu-
P
Buna göre aşağıdaki
D
ABC üçgeni içinde her-
G
B
ifadelerden kaç tanesi
na göre PA + PB + PC C
kilerden hangisine eşit-
0 vektörüne eşittir?
B
K
toplam vektörü aşağıdatir?
C
A) PG B) 2 PG C) 3 PG
I. GA + GB + GC
D) 4 PG E) 5 PG
II. AK + BD + CE III. AB + BC + AC IV. GE + GD + GK
5.
V. AB + AC - 2 AK B) 2
C) 3
D) 4
2. Doğrultuları farklı olan a ve b vektörleri için a + b toplam vektörü a ve b vektörleri ara-
sındaki açının açıortayı doğrusu üzerinde olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
F
B
ABC bir üçgen
AD vektörünün AB
ve AC vektörleri tüD
C
ründen eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2 AB + AC AB + 2 AC A) B) 3 3 AB + AC 2
C)
E)
D)
narların orta noktalarıdır.
C
3 AC C) 2 AC 2
A) AC B) D)
5 . AC E) 3 AC 2
6. Bir [AB] doğru parçasının orta noktası C dir. P
|BD| = 2.|DC|
B
kenar E ve F ke-
AE + AF toplam vektörü aşağıdakilerden hangi-
D) a = 2 b E) a = b
A
E
ABCD bir paralel-
sine eşittir?
A) a = b B) a // b C) a = b
3.
D
E) 5
ek tremum
A) 1
A
noktası AB doğrusu üzerinde olmayan bir nokta
olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) 2 PA + PB = 3 PC B) PA - PB = PC C) PA + PB = PC D) PA + PB = 2 PC
2 AB + 3 AC 5
E) PA + PB + PC = 0
3 AB + 2 AC 5
1) D Analitik Geometri
2) E
3) B
4) C
5) B
6) D 215
Düzlemde Vektörler 1.
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
ANALİTİK DÜZLEMDE VEKTÖRLER A) Konum Vektörü
A = (4, 3), B = (- 1, 1) vektörleri için
B(x2, y2) ) , y1 A(x 1
O
c)
vektörüne AB nin ko-
e) A ile aynı yönlü birim vektörü
P = P =
P(a, b)
f) A - B vektörü ile zıt yönlü birim vektörü bulunuz. 2
a +b
2
ÇÖZÜM
dir.
|P|
b
a) AB = B - A = (- 1, 1) - (4, 3)
ek tremum
a
C) Birim Vektör • Uzunluğu 1 birim olan vektöre denir. •
u = (a, b) birim vektör ise a2 + b2 = 1 dir.
•
u
vektörü ile aynı yönlü birim vektör
IA =
u
= (- 5, - 2) b) A + B = (4, 3) + (- 1, 1) = (3, 4) c) A + B = (3, 4)
u vektörü ile zıt yönlü birim vektör -
d) - 2 A + 3 B = - 2. (4, 3) + 3 (- 1, 1) = (- 8 - 3, - 6 + 3) = (- 11, - 3)
u u
dır.
e 1 = (1, 0) ve e 2 = (0, 1) vektörlerine stan-
e) A ile aynı yönlü birim vektör I A
Bir Reel Sayı ile Çarpma
A = (x 1, y 1) ve B = (x 2, y 2) ve k!R olmak üzere A = B + x 1 = x 2 ve y 1 = y 2
•
A + B = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)
•
A - B = (x 1 - x 2, y 1 - y 2)
•
k. A = (kx 1, ky 1) dir.
216
IA =
A A
=
(4, 3)
4 3 =d , n 5 5 4 +3 2
2
f) A - B = (4, 3) - (- 1, 1) = (5, 2) A- B =
D) İki Vektörün Eşitliği, Toplama, Çıkarma ve
•
3 2 + 4 2 = 5 br
A+ B =
u
dart (temel) birim vektörler denir.
A+ B
d) - 2 A + 3 B
num (yer) vektörü denir.
B) Bir Vektörün Uzunluğu (Normu)
•
b) A + B
(a, b) = (x2 – x1, y2 – y1)
P (a, b)
•
a) AB
P = OP = AB = B - A
52 + 22 =
29 br
A - B ile zıt yönlü birim vektör
-
A- B A- B
=-
(5, 2) 29
= f-
5
29
,
-2
29
p
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
ÖRNEK 2
KAVRAMA TESTİ
x0y düzleminde A = (k, 2) olarak veriliyor.
1. A(–1, 2), B(2, –4) ve C(x, y) noktaları için
Eksenler orijin etrafında pozitif yönde a derece
AB =
döndürülünce yeni xl0yl düzleminde A l = (k - 1, k) olduğuna göre k nın alabileceği değerleri bulunuz.
3 . BC 5
olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? A) –7
B) –3
C) 1
D) 4
E) 5
ÇÖZÜM Orijin etrafında döndürme sonucu vektörlerin uzunluğu değişmez. Yani;
A = A l olmalıdır. k2 + 22 =
(k - 1) 2 + k 2
2. A = (2, - 1),
k 2 - 2k - 3 = 0 k k
-3 +1
B = (7, - 6)
k = 3 ve k = –1 bulunur.
ek tremum
ÖRNEK 3
vektörleri için 2 A - B vektörü ile aynı yönlü bi-
rim vektör aşağıdakilerden hangisidir?
3 4 3 4 4 3 A) d , n B) d , n C) d - , n 5 5 5 5 5 5 3 3 4 4 D) d , - n E) d - , - n 5 5 5 5
V = (1 - Cosa, Sin 2 a) yer vektöründe a değiştikçe uç noktanın çizdiği eğrinin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM x = 1 – Cosa
3. Analitik düzlemde A = (a, 9) ve B = (3, - 6) vek-
2
y = Sin a için Cosa = 1 – x ve y = Sin2a = 1 – Cos2a = 1 – (1 – x)2 y = 2x – x2 bulunur.
törleri veriliyor.
AB = 17 br olduğuna göre a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 17
1) A Analitik Geometri
B) 15
C) 10
2) C
D) 8
E) 6
3) E 217
Düzlemde Vektörler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
A. İki Vektörün Paralelliği
A = 2 e1 - 3 e2
A = (x 1, y 1), B = (x 2, y 2) ve k!R için
B = 3 e1 + e2
x1 y1 A // B + A = k. B + x = y dir. 2 2
C = 2 e 1 - 2 e 2 ve D = (x, y) vektörleri için AD + 2 BC vektörü ile C vektörü lineer bağımlı olduğuna göre x + y toplamını bulunuz.
B. Vektörlerin Lineer (Doğrusal) Bileşimi
ÇÖZÜM
• x, y!R olmak üzere x. A + y. B vektör toplamına
•
A ve B vektörlerinin lineer bileşimi denir.
A = 2 e 1 - 3 e 2 = (2, - 3),
A ve B sıfır vektöründen farklı ve paralel olma-
B = 4 e 1 + e 2 = (4, 1) ve
yan iki vektör ise {A, B} vektörlerine taban vek-
C = 2 e 1 - 2 e 2 = (2, - 2) olur.
törleri denir. Taban vektörleri bulundukları uzayı
AD = D - A = (x - 2, y + 3)
• Düzlemdeki her vektör, taban vektörlerin bir lineer bileşimi olarak yazılabilir.
•
e 1 = (1, 0) ve e 2 = (0, 1)
olmak üzere {e1, e2} kümesine temel taban denir ve 6 A = (x, y) ! R 2 için A = x. e 1 + y. e 2 yazılabilir.
C. Lineer Bağımlılık • Düzlemde biri diğerinin katı olarak yazılabilen iki vektöre lineer bağımlı vektörler denir. • Doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır. •
A // B , A ve B lineer bağımlıdır.
• Lineer bağımlı vektörler, taban oluşturmazlar ve uzayı germezler. • Doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsız olup taban oluştururlar ve uzayı gererler.
ek tremum
gererler.
BC = C - B = (- 2, - 3) ve 2 BC = 2.(- 2, - 3) = (- 4, - 6) AD + 2 BC = (x - 2, y + 3) + (- 4, - 6) = (x - 6, y - 3) ve C = (2, - 2) için ( AD + 2 BC ) // C olur. y- 3 x- 6 & x + y = 9 bulunur. = 2 -2
ÖRNEK 2 C = (10, - 11) vektörünü A = (2, - 1) ve B = (- 2, 4)
vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazınız.
ÇÖZÜM Bizden C = m. A + n. B eşitliğini sağlayan m ve n reel sayılarını bulmamız isteniyor. C = m. A + n. B (10, - 11) = m.(2, - 1) + n. (- 2, 4) (10, - 11) = (2m - 2n, - m + 4n) 2m - 2n = 10 - m + 4n = - 11 Bu iki denklem ortak çözülürse m = 3 ve n = - 2 olur. Yani C = 3. A - 2. B elde edilir.
218
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ ABCD bir konveks dörtgen
C
D
1. Analitik düzlemde
P, [AB] kenarı üzerinde herhangi bir nokta olmak
üzere,
A
P
A = (- 7, 1), B = (1, 5) ve C = (- 4, 16)
B
vektörleri veriliyor.
PA + PB + PD + DC = PQ
eşitliğini sağlayan Q noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.
A vektörünün B ve C vektörlerinin lineer bile-
şimi olarak ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B + C B) - 3 B + C C) B - 3 C D) 3 B + 3 C E) 2 B + 2 B
ÇÖZÜM D
El
PD + DC = PC olur. PA ve PB vektörleri aynı doğrultuda olduğundan A
P
E
B
PA + PB toplam vektörü
2. A = - e 1 + 3 e 2
Öncelikle
ek tremum
C
B = k. e 1, - e 2 C = (3 - k) . e 1 + 2. e 2
yine [AB] kenarı üzerinde
vektörleri için AB ile AC vektörleri lineer ba-
ğımlı olduklarına göre k kaçtır? A) –3
olur.
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
Biz PA + PB = PE diyelim. Bu durumda PC + PE toplam vektörünü bulmalıyız. PC ve PE vektörlerini uç uca eklersek şekildeki gibi
3. Analitik düzlemde bir hareketli orijinden başlayarak
PEl vektörü oluşur.
önce u = (2, - 1) vektörü boyunca bir süre ilerliyor. Daha sonra ise bir süre daha V = (1, 2) vektörü yö-
O hâlde PA + PB + PD + DC = PE l = PQ elde ederiz. O hâlde Q noktası C noktasından geçen ve [AB] kenarına paralel olan bir doğru üzerinde yer alır.
nünde hareket ediyor.
Hareketli bu yolculuğunda aşağıdaki noktalar-
dan hangisine ulaşılabilir? A) (1, –4)
B) (–3, –2)
D) (3, –7)
1) B Analitik Geometri
C) (5, 6)
E) (4, –3)
2) E
3) C 219
Düzlemde Vektörler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
VEKTÖRLERDE İÇ (SKALER) ÇARPIM
A. B = A, B = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 işlemine
iç (skaler) çarpım denir.
G noktası köşe koordi-
A(–1, 2)
A) A = (x 1, y 1) ve B = (x 2, y 2) olmak üzere
natları verilen ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
Buna göre BG , AC iç
G
çarpımının B(2, 4)
B) İç çarpımın özellikleri 6 a, b, c ! R 2 ve 6k, , ! R için
1.
a, b = b, a (simetri özelliği)
2.
a. a = a
C(–4, 0)
bulunuz.
sonucunu
ÇÖZÜM Önce G noktasını bulalım. Gd
-1 + 2 - 4 , 2 + 4 + 0 n = G _ - 1, 2 i 3 3 BG = G - B = _ - 3, - 2 i
2
3. a. ( b + c ) = a. b + a. c
(Toplama üzerinde dağılma özelliği)
4. A. ( B. C ) ≠ ( A. B ) . C
(Birleşme özelliği yoktur.
ek tremum
AC = C - A = _ - 3, - 2 i BG, AC = (- 3) . (- 3) + (- 2) .(- 2) = 9 + 4 = 13 bulunur.
ÖRNEK 2 U ve V vektörleri için U+ V
5. k. a, b = k. a, b
2
ÇÖZÜM U+ V
- U- V
ifadesinin en sade hâlini bulunuz.
6. k. a, ,. b = k.,. a, b
7.
2
2
a, b = a, c ise b = c
= U + V, U + V = U. U + U. V + V. U + V. V
olmak zorunda değildir.
= U
2
+ 2. U. V + V
2
(1) dir.
Aynı şekilde,
NOT a, a = a
U- V 2
olduğundan
a + b, a + b = a + b = a
2
= U
2
+ 2. a, b + b
= U - V, U - V = U. U - U. V - V. U + V. V
2
dir.
2
- 2. U. V + V
2
(2)
(1) nolu denklemden (2) nolu denklemi çıkaralım. U+ V
220
2
2
- U+ V
2
= 4. U. V = 4. U, V elde edilir.
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
ÖRNEK 3 a, a = 4,
KAVRAMA TESTİ
b, b = 5 ve a, b = 6 1. A = (2, 3),
olduğuna göre a + b , a - 2 b iç çarpımının sonucunu bulunuz.
B = (k, - 6) ve C = (1, m) vektörleri veriliyor.
ÇÖZÜM
A ve B vektörleri birbirine paralel ve 2 A - C , B + C = - 9 olduğuna göre m kaçtır?
a + b, a - 2 b A) –4
= a . a - 2 a . b + b . a - 2. b . b = a
2
B) –2
C) 2
D) 4
E) 6
2
- a. b - 2. b
= 4 - 6 - 2.5 = - 12 bulunur.
ÖRNEK 4 a , b ve c birim vektörleri için a + b = c olduğuna göre a - b kaç birimdir?
ek tremum
2. Analitik düzlemde a, b ve c vektörleri veriliyor.
a + b + c = 0 ve a = 2 br, b = 3 br, c = 5 br olduğuna göre
a, b + a, c + b, c
kaçtır? A) –20
B) –19
C) –17
D) –15
toplamı
E) –10
ÇÖZÜM a + b = c ise _ a + b i = _ c i olur. 2
a
2
+ 2. a. b + b
2
= c
2
2
olur. 3. Analitik düzlemde
a, b ve c birim vektörler olduğundan
kilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
1 2 + 2. a. b + 1 2 = 1 2
A) a. c = 0
1 a. b = olur. 2 2
= a
2
B) b. c = 0
= 1 - 2. d 2
2
+ b
1 2
D) a
2
+ c
2
= b
1 n+ 1 2
E) b
+ c
2
= a
= 3 ve a - b =
2
2
= c
2 2
2
3 br bulunur. 1) E
Analitik Geometri
2
C) a
- 2. a . b + b : -
a- b
vektörleri için
a , b = 0 ve a + b = c olduğuna göre aşağıda-
a = b = c = 1 br dir.
a- b
a , b ve c
2) B
3) C 221
Düzlemde Vektörler
ÇÖZÜM
BİLGİ KUTUSU
İki Vektör Arasındaki Açı Sıfır vektöründen
A(x1, y1)
ri ve 0 ≤ a < r olmak
a . b .Cosa = a . c .Cosb
üzere
b .Cosa = c .Cosb ise b = c
A, B = A . B .Cosa dır. A, B A . B
elde edilir.
Sonuçlar
2.
A, B < 0 ise
r 0
b) a, b = a . b .Cosa
farklı A = (x 1, y 1),
a
2
a) a, a = a
a. ( b + c ) = 0
yani
a = ( b + c ) ifadesi doğrudur.
f) a = k. b ise a ile b aynı doğrultudadır.
K AV R A M A
olur ama k < 0 ise a ile b zıt yönlü olacağından
ÖRNEK 1
a, b = - a . b olur.
Sıfırdan farklı a , b ve c vektörleri için aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
k > 0 ise a ile b aynı yönlü olup a, b = a . b
O hâlde a, c ve e maddeleri doğru diğerleri yanlıştır.
a) a, a > 0 b) a, b = a, c & b = c
ÖRNEK 2
c) _ a + b i = _ a - b i ise a = b
A = (- 2, 3),
d) a, b + c = b, a + c
B = (k, 1)
e) a, b = - a, c ise a = _ b + c i
C = (2, - 1)
f) k!R olmak üzere a = k. b ise a, b = a . b
vektörleri için AB = AC olduğuna göre k kaçtır?
222
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM Bu soruyu iki yolla çözelim.
AB = B - A = (k + 2, - 2)
1. yol
AC = C - A = (4, - 4)
b = a - c ve b = c ise
AB = AC ise AB, AC = 0 olur.
b, c = a - c, c = 0 olur.
(k + 2) .4 - 2. _ - 4 i = 0
a. c - c
k = - 4 bulunur.
2
=0
a . c .Cosa = c Cosa =
ÖRNEK 3 a ve b vektörleri arasındaki açı 60° dir.
c a
c 2. c
=
1 2
b = c ve a = b + c ise vektörler şu şekilde olmalıdır.
b = 2 br
c
b
ÇÖZÜM 3 a - 2 b, a + b + 3 a. b - 2 b. a - 2. b
2
ek tremum
cunu bulunuz.
a = 2. c olduğundan
a
olduğuna göre 3 a - 2 b , a + b iç çarpımının sonu-
2
=
2. yol
a = 3 br,
=3 a
2
a
yandaki dik üçgenden
c a
Cosa =
b
2 c
c 2 c
=
1 2
elde edilir.
= 3.3 2 + a. b - 2.2 2 = 27 + a . b .Cos60° - 8 1 = 19 + 3.2. = 22 bulunur. 2
ÖRNEK 5 a + b + c = 0 ve a = 5 br,
b = 7 br,
c = 8 br
olduğuna göre a ile c arasındaki açı kaç derecedir?
ÖRNEK 4
ÇÖZÜM (ÖYS 1983)
a , b , c vektörleri için a = b+ c b = c ve a = 2. c olduğuna göre a ile c arasındaki açının kosinüsü kaçtır?
a+ c =- b ( a + c ) 2 = (- b ) 2 a
2
+ 2. a. c + c
2
= b
2
5 2 + 2. a . c .Cosa + 8 2 = 7 2 9 9 5
Cosa = -
8
1 2
a = 120° bulunur. Analitik Geometri
223
Düzlemde Vektörler 4. u , v , w vektörleri için
KAVRAMA TESTİ
1. A = (2, - 1) ve B = (3, 1)
u, v .
vektörleri arasındaki açı kaç derecedir? A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
u // v, w = (4, - 3) ve
E) 90
ek tremum
E) 90
3. a ve b vektörleri için
AB ve AC vektörleri arasındaki açının sinüsü kaçtır? A) 0
duğuna göre
B) Sina
D) Seca
olduğuna göre a + b kaç br dir?
224
a - b .Cosa değeri aşağıdakiler-
A) Cosa
b = 3 br
1) C
2 3 1 C) D) E) 1 2 2 2
den hangisine eşittir?
a = 4 br ve
B)
B)
6. a ve b birim vektörleri arasındaki dar açı a ol-
a - 2 b = 6 br,
A) 5
E) 1
C = (1, 3) vektörleri veriliyor.
törleri arasındaki açı kaç derecedir? D) 60
kaç br
B = (3, - 1) ve
a + b = a - b olduğuna göre a ile b vek-
C) 45
3 1 2 4 B) C) D) 5 5 5 5
u
5. A = (4, 2),
2. Sıfırdan farklı a ve b vektörleri için
B) 30
v
vektörü birim vektör olduğuna göre dir? A)
A) 15
w
C) tana E) 1
33 C) 3 3 D) 2 7 E) 4 2
2) E
3) B
4) A
5) E
6) B Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
1. yol
BİLGİ KUTUSU
D
3
E
3
C
a
İÇ ÇARPIMIN GEOMETRİK
% % m (DEA) = m (EAB) = a için
4
ŞEKİLLERE UYGULANMASI
AE = 5 br ve
AE. AB = AE . AB .Cosa
Bu adımda iç çarpımın geometrik şekillere nasıl uy-
a
gulanacağını örnekler üzerinde anlatacağız.
A
6
= 5.6.
B
3 = 18 5
bulunur.
K AV R A M A
2. yol D
ÖRNEK 1 D
3
E
3
A noktasını orijin olarak
C
E
düşünürsek
a 3
C
ABCD bir dikdörtgen
A(0, 0),
4
E(3, 4) ve
|AD| = 4 br
B(6, 0) olacağından
|DE| = |EC| = 3 br
4
A
Aşağıdaki iç çarpımları
B
AE = E - A = (3, 4)
hesaplayınız. B
a) AE. AB b) AE. AC
AB = B - A = (6, 0)
ek tremum
A
O hâlde AE. AB = 3.6 + 4.0 = 18 bulunur. b) Koordinatları hesaplayalım.
E(3, 4), C(6,4)
c) AE. BE
O hâlde; AE. AC = (3, 4) . (6, 4) = 3.6 + 4.4 = 34
d) AB. _ AD + DB i
c) E(3,4), B(6,0) için
e) AD _ AE + AB i
ÇÖZÜM Geometrik şekillerde iç çarpım yapılırken; istenilen vektörler arasındaki açının trigonometrik değerleri biliniyor-
AE. BE = (3, 4) .(- 3, 4) = - 9 + 16 = 7 d) AD + DB = AB olduğundan
sa a . b .Cosa formülü kullanılabilir. Bazı sorularda ise çözümü kolaylaştıracak bir nokta orijin olarak alınıp, vektörlerin uç noktalarının koordinatları hesaplanarak x1.x2 + y1.y2 iç çarpım formülü uygulanır. Yukarıda anlattıklarımızı a) şıkkına uygulayalım.
Analitik Geometri
BE = E - B = (- 3, 4)
AB. ( AD + DB ) = AB. AB = AB
2
= 6 2 = 36 olur.
e) AD ( AE + AB ) = AD. AE + AD.AB
AD = AB olduğundan AD. AB = 0 olur.
AD = (0, 4) ve AE = (3, 4) için
AD ( AE + AB ) = (0, 4) .(3, 4) = 16 bulunur.
225
Düzlemde Vektörler
ÖRNEK 2
ÇÖZÜM
2
A
[AB] = [AC]
D
6
B noktasını orijin seçip
y
Yandaki ABC dik üçgeninde
A
6
B
2
|AB| = |DC| = 6 cm C
AD = 2 cm B
olduğuna göre
4
a) BD . CB
O hâlde;
b) BA .( BC + AD )
E _ 4, 2 3 i,
şekildeki dik üçgenlerE
den E ve D noktasının 2
koordinatlarını D
lım. 2 x
F1 K 1 C
bula-
DK = 3 br, EF = 2 3 br
D _ 5, 3 i olur.
iç çarpımlarını bulunuz.
BE . BD = _ 4, 2 3 i . _ 5, 3 i = 26 olur.
ÇÖZÜM Orijin olarak A noktasını
B
ÖRNEK 4
seçip, koordinatları bula-
A
6
C
6
D
2
B(0, 6), D(–2, 0), C(–8, 0) x
A
O hâlde;
y
ek tremum
lım.
ABC dik üçgeninde [AB] = [AC] ve [AD] = [BC]
B
4 D
C
|BD| = 4 cm
olduğuna göre _ BA + AD i . _ AB + DA i iç çarpımı-
a) BD = D - B = (- 2, - 6) CB = B - C = (8, 6)
nın sonucunu bulunuz.
BD . CB = (- 2, - 6) .(8, 6) = - 16 - 36 = - 52
ÇÖZÜM
b) BA = (0, - 6), BC = (- 8, - 6), AD = (- 2, 0) BA. ( BC + AD ) = (0, - 6) . 7 (- 8, - 6) + (- 2, 0)A
A
BA + AD = BD olur. BD . _ AB + DA i
= (0, - 6) . (- 10, - 6) = 36 olur.
= BD . AB + BD . DA B
ÖRNEK 3 ABC eşkenar üçgen
A 2
|AE| = |ED| = |DC| = 2 cm
E
olduğuna göre
2 D
B
2 C
226
BE . BD iç çarpımını bu-
lunuz.
a 4
D
C
BD = DA = 0 olur.
BD ile AB vektörlerinin başlangıç noktaları çakıştırı-
lınca iki açı arasındaki açının geniş açı olduğu görülür. O hâlde sonuç negatif olur.
BD . AB = - 4. AB .Cosa = - 4. AB .
4 AB
= - 16 bulunur.
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4. D
KAVRAMA TESTİ
F
1 E
ABC bir dik üçgen
1. A
3
A
|AD| = |DC|
|AB| = 3 cm B
4
C
|BC| = 4 cm
|EC| = 1 cm
Yukarıdaki verilere göre AB . _ EA + EF i iç çarpı-
mının sonucu kaçtır? B) –16
C) –8
D) 4
E) 8
Yukarıdaki verilere göre BD , DC iç çarpımının sonucu kaçtır? A) 1
B)
7 7 7 7 C) D) E) 5 8 2 4 5.
A 3
F
gün sekizgen
K
D
|KC| = 4 cm olduğuna göre
H
C A
CK . KE iç çarpımının sonucu kaçtır?
B
B) 4
O
A) –8
B) –6
C) –4
D) –2
E) –1
E) –8 H
ABCDEFKH bir küp
K
|AB| = 1 cm
F
E
ABC bir eşkenar üçgen
C
D
|BD| = 2 cm
D
A
yukarıdaki verilere göre
2
CB , CD 6
A) 16
|AE| = 3 cm
mının sonucu kaçtır?
|BC| = 6 cm
B
C
Yukarıdaki verilere göre EC . _ EB + AB i iç çarpı-
6.
A
[BD] k [AC] = {E}
C) –4
D) - 4 2
3.
E
|EC| = 2 cm
B
A) 8
O merkezli yarım çemberde
D 2
ABCDEFKH bir düz-
E
ek tremum
2.
|BE| = 3 cm
B
A) –24
|DF| = |FC|
3
[AB] = [BC] D
ABCD bir kare
C
C
B) 20
1) D Analitik Geometri
iç
çarpımının
sonucu kaçtır? C) 30 2) E
D) 28
E) 36 3) C
B
1
Yukarıdaki verilere göre AK . AC iç çarpımının
sonucu kaçtır? A) 6 4) A
B) 4
C) 3 5) B
D) 2
E) 1 6) D 227
Düzlemde Vektörler
BİLGİ KUTUSU
3.
ABCD bir dörtgen
C
D
AC = (x 1, y 1), BD = (x 2, y 2)
A. Kosinüs Teoremi A
A
u
u–v
B
olmak üzere Alan (ABCD) =
a
2
= u
2
- 2. v . v .Cosa + v
B
elde edilir.
B. Vektör Yardımıyla Alan Bulma AB = (x 1, y 1), AC = (x 2, y 2)
olmak üzere,
A
ek tremum
a = b + c - 2.b.c.Cosa
7
5
2
B
% m (ABC) = a olsun. Kosinüs teoremi yazarsak 7 2 = 5 2 + 6 2 - 2. BA, BC olur. BA, BC = 6 olur.
ÖRNEK 2
ABCD bir paralelkenar
AB = (x 1, y 1), AD = (x 2, y 2) A
a = 8 br
8
C
Yandaki şekilde
A
1 . x .y - x 2 .y 1 2 1 2
D
C
ÇÖZÜM
60°
O
2.
bulunuz.
6
C
Alan (ABC) =
iç çarpımının sonucunu
2
yazılırsa
1.
ABC üçgeninde BA , BC
A
Bu eşitlikte, u - v = a, u = b, v = c
2
dir.
ÖRNEK 1
= u - v, u - v = u, v - 2. u, v + v. v
2
2
K AV R A M A
u
u- v
x 1 .y 2 - x 2 .y 1
B
olmak üzere Alan(ABCD) = |x1.y2 – x2.y1|
b = 5 br 5
olduğuna göre
B
a- b
kaç br dir?
ÇÖZÜM a - b = AB olduğundan AOB üçgeninde kosinüs teoremi uygulayalım. 2
AB = 8 2 + 5 2 - 2.8.5.Cos60° = 64 + 25 - 2.8.5.
1 2
= 89 - 40 = 49 AB = a - b = 7 br bulunur. 228
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ
a + b + c = 0, a = 2 br, b = 3 br ve c = 4 br
1. Analitik düzlemde a, b ve c vektörleri veriliyor.
olduğuna göre a ile b vektörü arasındaki açının
kosinüsünü bulunuz.
a = 4 cm b = 6 cm ve
ÇÖZÜM
A
b
olduğuna göre a ve b vektörleri arasındaki açı
kaç derecedir?
a + b + c = 0 olduğundan
3
4
a, b ve c vektörleri bir üç-
c
C
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
gen oluştururlar.
2
a
c = 2 7 cm
B
a
% m (ACB) = a için kosinüs teoremi yazalım.
4 2 = 2 2 + 3 2 - 2.2.3.Cosa -1 bulunur. 4
ÖRNEK 4 Yanda köşe koordi-
C(9,7)
D(4,8)
D(1,8)
2.
C
Şekildeki verilere göre Alan(ABCD) kaç br2 dir?
ek tremum
Cosa =
A(3,3)
A) 25
natları verilen dört-
B(9,1)
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
genin alanını bulunuz.
B(8,2)
A(2,5)
ÇÖZÜM
3.
C(4,3)
D(1,5)
"Adım"daki formülü kullanabilmek için AC ve BD vek-
Köşe koordinatları verilen ABCD dörtgeninin alanı kaç
törlerini bulalım.
br2 dir?
AC = (7, 2), BD = (- 4, 6) Alan (ABCD) = =
7.6 - 2. (- 4) 2 42 + 8 2
Analitik Geometri
A(–2, 2)
A) 25
B(3, –1)
B) 20
C) 19
D) 16
E) 15
= 25 br 2 olur. 1) D
2) B
3) C 229
Düzlemde Vektörler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
DİK İZDÜŞÜM
A = (2, 2) ve
A = (2, 2)
K
B = (4, 3) A
vektörleri için
a L
m
H
C
B
B
a) A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm
A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm
vektörünün uzunluğu
vektörü C olsun.
b) A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünü bulunuz.
KLH dik üçgeninde LH
A = LK olduğundan Cosa =
=
LK
C A
(1)
A, B = A . B .Cosa (2) (1) ve (2) nolu denklemlerden Cosa lar eşitlenirse
A
=
A, B A . B
ve C =
A, B B
bulunur.
Önce B vektörüyle aynı yönlü birim vektör olan I B yi bulalım. B
lir.
A, B B
2
a)
A
A, B
C =
=
B 2.4 + 2.3 42 + 32
=
14 olur. 5
B
b) C = C . B B =
B
C = C . I B olacağından C =
ÇÖZÜM
C
Şimdi de C vektörünü bulalım.
IB =
ek tremum
C = LH ,
C
B = (4,3)
(4, 3) 56 42 14 (4, 3) 14 = =d . . , n 2 2 5 5 5 25 25 4 +3
B elde edi-
NOT a > 90° olursa dik izdüşüm vektörü A ile zıt yönlü
ÖRNEK 2 A = (2, 3) vektörünün y = 2x – 4 doğrusu üzerindeki
dik izdüşüm vektörünü bulunuz.
olur.
230
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
ÇÖZÜM
KAVRAMA TESTİ Bir vektörün birbirine pa-
y = 2x
A
ralel iki doğru üzerindeki
1. A = (a, 4) vektörünün B = (5, 12) vektörü üze-
dik izdüşümleri aynı ol-
C
rindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu 1 br
duğundan biz işlem ko-
olduğuna göre a kaçtır?
laylığı için y = 2x – 3 yeri-
y = 2x – 3
A) 6
ne y = 2x doğrusunu kullanacağız.
Yine
B) 8
C) 10
D) –5
E) –7
işlem
kolaylığı için y = 2x doğrusu üzerinde bir B = (1,2) vektörü alacağız. Soru artık A = (2, 3) vektörünün B = (1, 2) vektörü üzerindeki iz-
düşüm vektörünü bulmaya dönüştü. A, B
Önce C =
B
=
2+ 6 12 + 22
C =
Analitik
2.
8 (1, 2) B br ve C = C . . = 5 5 5 B
8
A
doğrusu üzerindeki dik
izdüşüm vektörü aşağıdakilerden hangisidir?
–2
ek tremum
ÖRNEK 3
A = (4, 3) vektörünün d
d
4
8 16 =d , n elde edilir. 5 5
(86 ÖYS)
V1 = (3, 4),
A) (4, 2) B) d D) d
V2 = (12, 5)
düzlemde
18 9 22 11 , n C) d , n 5 5 5 5
16 8 , n E) (3, 1) 5 5
vektörleri arasındaki açıyı ortalayan bir vektör V = (1, a) olduğuna göre a kaç olabilir?
ÇÖZÜM
3. A = (2, 4), V1 = (3, 4)
V1 . V = V1 . V .Cosa (1) V . V2 = V . V2 .Cosa (2)
a a
V = (1, a)
(1) ve (2) nolu denklemlerdeki Cosa lar eşitlenirse V1 . V
V2 = (12,5)
=
V1 . V 3 + 4a 2
3 +4
2
=
Analitik Geometri
C vektörünün; A vektörü üzerindeki dik izdüşüm 5 br, B vektörü üzerindeki dik izdüşüm
Buna göre x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi
12 + 5a 2
13 (3 + 4a) = 5 (12 + 5a) ve a=
vektörleri veriliyor.
uzunluğu ise 2 5 br dir.
V . V2 12 + 5
C = (x, y)
uzunluğu
V. V2
2
B = (- 2, 1) ve
7 bulunur. 9
olabilir? A) 1
1) E
B) 2
C) 3
2) B
D) 4
E) –3
3) A 231
Düzlemde Vektörler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A ÖRNEK 1
BİR DOĞRUNUN VEKTÖREL DENKLEMİ
A(2, –3) noktasından geçen ve u = (- 1, 2) vektörüne
paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulunuz.
A. Bir Noktası Bilinen ve Bir Vektöre Paralel Olan Doğrunun Vektörel Denklemi u d P(x, y) A(x1, y1)
A(x1, y1) noktasından
ÇÖZÜM
vektörüne paralel olan d
P = A + k. u veya
geçen ve
doğrusu
u = (u 1, u 2)
üzerinde
bir
(x, y) = (2, - 3) + k (- 1, 2) elde edilir.
P(x, y) noktası alınırsa AP // u & AP = k. u
AP = P - A = k. u Doğrunun Vektörel Denklemi
ÖRNEK 2
P = A + k. u veya
Köşe koordinatları A(3,2), B(–1, 1) ve C(5, –3) olan ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortay doğru-
(x, y) = (x 1, y 1) + k (u 1, u 2) olur.
sunun vektörel denklemini bulunuz.
ek tremum
u = (u 1, u 2) vektörüne doğrultman vektörü denir.
ÇÖZÜM A(3,2)
B. İki Noktası Bilinen Doğrunun Vektörel Denklemi
P(x, y) B(x2, x1) A(x1, x2)
A(x1, y1) ve B(x2, y1) noktalarından doğrunun
geçen
doğrultman
vektörü AB dir.
Dolayısıyla doğru üze-
D
C(5, –3)
Önce D noktasını bulalım. -1+ 5 1- 3 , n = D (2, - 1) 2 2
rinde keyfi bir nokta
Dd
runun vektörel denklemi
Şimdi de doğrunun doğrultman vektörü olan AD vek-
P(x, y) olmak üzere doğP (x, y) = A + k. AB veya P (x, y) = B + k. AB
olur.
B(–1,1)
törünü bulalım.
AD = D - A = (- 1, - 3) A(3,2) den geçen ve doğrultmanı AD = (- 1, - 3) olan doğru denklemi (x, y) = (3, 2) + k.(–1, –3) olur.
232
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
K AV R A M A
BİLGİ KUTUSU
ÖRNEK 1
BİR NOKTASI BİLİNEN VE BİR VEKTÖRE PARALEL OLAN DOĞRUNUN
A(4, –1) noktasından geçen ve u = (- 2, - 3) vektörüne paralel olan doğrunun
A. Parametrik Denklemi
a) Vektörel
(x, y) = (x1, y1) + k.(u1, u2) ifadesinde x = x 1 + k.u 1 y = y 1 + k.u 2
b) Parametrik
4
c) Kapalı denklemlerini bulunuz.
denklemine doğrunun parametrik denklemi k
gerçel sayısına da doğrunun parametresi denir.
ÇÖZÜM a) (x, y) = (4, –1) + k(–2, –3)
B. Kapalı Denklemi
x = x1 + k.u1 denkleminde k parametresi yalnız
y = y1 + k.u2
x - x1 y - y1 k= u = u 1 2 elde edilir. Bu denklem, içler dışlar çarpımı yapılıp düzenle-
nirse a, b, c!R olmak üzere, ax + by + c = 0
k!R parametrik denklemleridir.
y = –1 – 3k
bırakılırsa
c) Yukarıdaki denklemlerdeki k ler eşitlenip, ifade düzenlenirse
ek tremum
b) x = 4 – 2k
k=
-1- y 4- x = 2 3
3x – 2y = 14 kapalı denklemidir.
denklemine doğrunun kapalı denklemi denir.
ÖRNEK 2 A(–1, 0) noktasından geçen ve u = (- 3, 4) vektörü-
NOT
ne paralel olan d doğrusunun kapalı denklemini ve B(2, 1) noktasının d doğrusuna uzaklığını bulunuz.
Kapalı denklemi ax + by + c = 0 olan doğrunun doğrultman vektörlerinden biri u = (b, - a) dır.
ÇÖZÜM (x, y) = (–1, 0) + k.(–3, 4) x = –1 –3k y = 4k ve k lar eşitlenip ifade düzenlenirse doğrunun kapalı denklemi 4x + 3y + 4 = 0 olur. B(2, 1) noktasının doğruya uzaklığı; 4.2 + 3.1 + 4 2
4 +3 Analitik Geometri
2
=
15 = 3 br bulunur. 5 233
Düzlemde Vektörler
BİLGİ KUTUSU
K AV R A M A
A. Bir Doğrunun Normal Vektörü
ÖRNEK 1
A(–1, 3) noktasından geçen ve N = (4, - 2) doğrusu-
ax + by + c = 0
N(a,b)
na dik olan doğrunun denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM d
P(x, y) için
N = (4, –2)
AP = (x + 1, y - 3) ve
Bir doğrunun doğrultusuna dik olan vektöre doğ-
runun normal vektörü denir ve N ile gösterilir.
P(x, y)
ax + by + c = 0 doğrusunun normal vektörü
N, AP = 0 olur.
A(–1, 3)
N = (a, b) dir.
N = AP olduğundan
(4, - 2), (x + 1, y - 3) = 0
B. Bir Noktası ve Normal Vektörü Bilinen Doğrunun Denklemi
N
ek tremum
4 (x + 1) - 2 (y - 3) = 0 4x - 2y + 10 = 0 bulunur.
ÖRNEK 2 A(–1, 2), B(3, –1) ve C(1, 0) noktaları veriliyor. A(–1, 2) noktasından geçen ve BC vektörüne dik olan doğrunun denklemini bulunuz.
P(x, y) A(x1, y1)
A(x1, y1) noktasından geçen ve normal vektörü N = (a, b) olan doğrunun denklemi AP = N olduğundan bulunur.
AP, N = 0 eşitliğinden
ÇÖZÜM BC = (–2, 1) vektörü bizden istenilen doğrunun normal
vektörüdür.
O hâlde P(x, y) için AP = (x + 1, y - 2) BC = AP BC, AP = 0 (- 2, 1), (x + 1, y - 2) = 0 - 2 (x + 1) + 1. (y - 2) = 0 - 2x + y - 4 = 0 elde edilir.
234
Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler
ÖRNEK 3
KAVRAMA TESTİ
k, t!R için d1: (x, y) = (2, 3) + k.(–1, 2) ve
1. A(–1, 2) ve B(2, 0) noktalarından geçen doğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
d2: (x, y) = (–1, 5) + t(m, –4)
A) (x, y) = (2, 0) + k(–1, 2)
doğruları birbirine paralel olduğuna göre m!R kaçtır?
B) (x, y) = (–1, 2) + k(2, 0) C) (x, y) = (2, 0) +k(3, –2)
ÇÖZÜM
D) (x, y) = (2, 0) + k(–2, 3)
d1 ve d2 doğruları paralel olduğuna göre doğruların doğ-
E) (x, y) = (–1, 2) + k(–3, –2)
rultman vektörleri olan u 1 ve u 2 de birbirine paralel olur.
u 1 = (- 1, 2) ve u 2 = (m, - 4) için u 1 // u 2 ise
-1 2 = m -4
2. m!R olmak üzere
m = 2 bulunur.
ek tremum
(m – 1)x + (m + 1)y + 2m – 4 = 0
ÖRNEK 4 d1: (x, y) = (–1, 3) + k(–2, 3) ve
doğrularının geçtiği sabit noktadan geçen ve
doğrultman vektörü u = (- 2, 4) olan doğrunun parametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = –3 – 2k
d2: (x, y) = (2, –1) + t.(–5, 1)
B) x = –2 – 3k
y = 1 + 4k
C) x = 3 – 2k
doğruları arasındaki açıyı bulunuz.
D) x = 2 – 2k
y = 1 + 4k
ÇÖZÜM
y=4+k
y=4+k
E) x = 1 – k
Doğrular arasındaki açı, doğruların doğrultman vektör-
y=1+k
leri arasındaki dar açıya eşittir. O hâlde; u 1 = (- 2, 3), u 2 = (- 5, 1) için
3. k!R olmak üzere x = 5 – m.k
u 1 . u 2 = u 1 . u 2 .Cosa Cosa =
_ - 2. i_ - 5 i + 3.1 2
2
2
2 +3 . 5 +1
a = 45° bulunur.
2
=
13
13 2
=
1
2
y = –1 + 3.k parametrik denklemleriyle verilen doğru P(3, 2) noktasından geçtiğine göre m kaçtır? A) 5 1) C
Analitik Geometri
B) 4
C) 3 2) A
D) 2
E) 1 3) D 235
Düzlemde Vektörler 7. Analitik düzlemde A(n, 0) noktasından geçen ve
4. 2x + y – 4 = 0 ve
doğrultu vektörü u = (2, 1) olan doğrunun kapalı
x–y+1=0
doğrularının
kesim
noktasından
geçen
denklemi x + (m – 1).y – 7 = 0 olduğuna göre m + n
ve
toplamı kaçtır?
N = (- 3, 2) vektörüne dik olan doğrunun kapalı
A) 6
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
A) 3x + 2y – 7 = 0 B) 3x – 2y + 1 = 0 C) –3x + 2y – 2 = 0 D) –3x + 2y + 2 = 0 E) 2x – 3y + 4 = 0
5. k!R olmak üzere,
8. (x, y) = (–1, 2) + k(4, –6)
x = –1 + 3k
y = 2 – 5k
parametrik denklemleriyle verilen doğrunun normal vektörü aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) (3, 5)
B) (3, –5)
D) (5, –3)
C) (–3, 5) E) (5, 3)
ek tremum
doğrusu u = (m, 2) vektörüne dik olduğuna göre
m kaçtır? A) -
4 4 B) 3 3
C) 1
D) 3
E) 4
9. A(3, 1), B(2, –2) ve C(–1, 1) noktaları veriliyor.
6. (x, y) = (–1, 2) + k(2, 4) ve
(x, y) = (4, –1) + t(–1, 2) doğruları arasındaki açının kosinüsü kaçtır? 3 2 1 2 4 A) B) C) D) E) 5 5 5 5 3
A(3, 1) noktasından geçen ve BC vektörüne dik
olan doğrunun kapalı denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y – 4 = 0
B) 2x – 2y – 5 = 0
C) x – y – 2 = 0
D) x – 2y – 1 = 0
E) x + 3y – 6 = 0
4) B 236
5) E
6) C
7) A
8) D
9) C Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4. Analitik düzlemde
UYGULAMA TESTİ - 1
1. Analitik düzlemde A(–3, –1), B(2, –3), C(4, 2) ve
vektörleri veriliyor.
D(–1, 5) noktaları veriliyor.
Buna göre, AB - 2 CD vektörü aşağıdakilerden
B) (10, – 4)
D) (10, – 8)
C = m . A + n . B olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
hangisidir? A) (5, – 8)
A = (- 3, 2), B = (- 4, - 1) ve C = (- 7, - 10)
A) – 1
C) (15, – 8)
B) 0
5. Analitik düzlemde
vektörleri veriliyor. 2 A - 3 B = C olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
ek tremum
A = (2, - 1), B = (m + 1, n - 2) ve C = (- 5, 10)
A) – 1
D) 2
E) 3
E) (15, – 5)
2. Analitik düzlemde
C) 1
A = (- 1, - 5), B = (4, 2) ve C = (3, - 3) vektörleri veriliyor.
Buna göre, A , A + A , B + B , C toplamı kaçtır? A) 46
B) 36
C) 32
D) 20
E) 18
6. Analitik düzlemde A, B ve C vektörleri ile k gerçel sayısı veriliyor.
3. Analitik düzlemde
Buna göre,
A = (3, - 1), B = (- 2, 4) ve C = (2, 3) vektörleri veriliyor.
Buna göre, AB + 2 BC kaç birimdir? A) 5
B) 2 6 C)
21
D) 2 5 E) 3 2
I.
k A, B = k A, k B
II.
k A, B = A, k B
III.
A, B + C = A, B + A, C
yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? A) Yalnız I
D) I ve II
1) C Analitik Geometri
2) B
3) E
4) C
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) II ve III
5) E
6) E 237
Düzlemde Vektörler 7. Analitik düzlemde
10. A 2
2
A - B = 4, 2
olduğuna göre, A , B iç çarpımı kaçtır? A) 2
ve
B) 3
A
+ B
C) 4
= 26
D) 5
D
6
E) 6
B
8
C
Analitik düzlemde ABC dik üçgeni veriliyor. [AB] = [BC], |AD| = |CD|, |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm olduğuna göre, BA , BD iç çarpımı kaçtır? A) – 18
B) – 6
C) 6
D) 12
E) 18
8. Analitik düzlemde A = (2, 1) ve B = (3, 4) vektörleri arasındaki açının kosinüsü kaçtır? A)
3 3 1 2 4 B) C) D) E) 5 4 5 5 5
ek tremum
11. Analitik düzlemde
A = (3, 1) vektörünün 4x – 2y = 5
doğrusu üzerindeki dik izdüşüm uzunluğu kaç birimdir? A)
6 B)
5
C) 2
D)
3 E)
2
12. Analitik düzlemde A(– 3, 2) noktasından geçen
ve u = (4, - 1) vektörüne paralel olan doğrunun
9. Analitik düzlemde
A (- 1, - 2), B (2, 0) ve C (- 4, k)
vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
nokları veriliyor.
A) (x, y) = (4, – 1) + k(– 3, 2) B) (x, y) = (–3, 2) + k(– 1, 4)
AB = BC olduğuna göre, k kaçtır? A) 9
B) 6
C) 3
D) 6
E) –9
C) (x, y) = (2, – 3) + k(– 4, – 1) D) (x, y) = (– 3, 2) + k(4, – 1) E) (x, y) = (– 3, 2) + k(4, 1)
7) B 238
8) D
9) A
10) E
11) B
12) D Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4. Aşağıda verilen vektör ikililerinden hangisi R2 de
UYGULAMA TESTİ - 2
bir taban oluşturur?
w = (2, - 1) A) u = (1, 3) B)
1. Analitik düzlemde sıfırdan farklı A, B ve C vek-
o = (0, 0) v = (- 2, - 6)
törleri için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğru değildir?
a = (0, 1) C) k = (3, 1) D)
A) A. ( B + C ) = A. B + A. C
m = (- 3, - 1) b = (0, 3)
B) A. B = B. A
E) c = (4, 1)
C) B = C ise A. B = A. C
d = (1, 4)
D) A + B = B + A E) A. B = A. C ise B = C
5.
y
A
C
2. Analitik düzlemde x
B = (2, - 1), C = (3, 1) ve D vektörleri veriliyor. D vektörü AB vektörüne paralel birim vektördür. Buna göre D vektörünün C vektörü üzerindeki dik izdüşüm uzunluğu kaç birimdir? 1
A)
10
B) D)
4
10
2
10
C)
E)
ek tremum
A = (- 1, 3), B
Analitik düzlemde A, B ve C vektörleri verilmiştir.
aşağıdakilerden hangisidir?
3
10
A) A + B B) 3 A - B C) 2 A + B
5
D) 3 A + B E) 2 A + 3 B
10
3. Analitik düzlemde A(2, –3) noktasından geçen ve
6. Analitik düzlemde a ve b vektörleri arasındaki açı 60° dir.
N = (2, 1) vektörüne dik olan doğru d dir.
a = 2 br,
Buna göre B(3, 5) noktasının d doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
b = 3 br
A) 3 2 B) 2 5 C) 2 6 D) 5 E) 2 7 1) E Analitik Geometri
C vektörünün A ve B vektörleri türünden eşiti
2) A
olduğuna göre a - b kaç birimdir? A) 2 2 B)
3) B
4) E
7 C) 5) E
6 D)
5
E) 2 6) B 239
Düzlemde Vektörler 7.
ABCD bir düzgün beşgen |AE| = 4 birim
D
E
C
a+ b+ c = 0
Yukarıdaki verilere göre
4
10. Analitik düzlemde a, b ve c vektörleri veriliyor.
AD , BA
a = 1 br,
iç çarpı-
b = 2 br ve
mının sonucu kaçtır? A
B
A) –2
c = 5 br
B) 0
C) –4
D) –8
E) 16
olduğuna göre
toplamı
a, b + a, c + b, c
kaçtır? A) –15
11.
8. Analitik düzlemde e 1 = (1, 0) ve e 2 = (0, 1) temel birim vektörleri veriliyor.
B) –14
C) –12
7 ABA = 7 ACA
dar döndürüldüğünde oluşan vektör aşağıdaki-
ek tremum
lerden hangisidir?
A) e 1 .Cosa + e 2 .Sina B) e 1 .Sina + e 2 .Cosa C) e 1 .Cosa - e 2 .Sina D) e 1 + e 2
9
12
B
E) –8
ABC bir dik üçgen
A
e 2 vektörü orijin etrafında saat yönünde a ka-
D) –10
D
DC = 2. BD
C
AB = 12 cm AC = 9 cm
Yukarıdaki verilere göre BC . AD iç çarpımının
sonucu kaçtır? A) –72
B) –70
C) –69
D) –64
E) –48
E) e 2 .Cosa + e 1
9. Analitik düzlemde A(3, –4) noktasını orijine ötelemek için kullanılacak vektörün uzunluğu kaç birimdir? A)
5
B) 3 D) 5
7) D 240
C) 4
y = 2x + 1 doğrusu üzerindeki dik izdüşüm vektö-
rünün uzunluğu kaç birimdir? A)
E) 2 5
8) B
12. Analitik düzlemde u = (1, 2) vektörünün
3
B) 2 D) 3
9) D
10) A
C)
5
E) 2 3
11) C
12) C Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4.
UYGULAMA TESTİ - 3
F
ABCDEFKH bir
E
K
D
1. A = (- 1, - 1) ve B = (3, 4) vektörleri arasındaki
B)
2
D) 7
KB . HE iç çarpımının sonucu aşağıda-
açı a olduğuna göre Cota kaçtır? A) –7
düzgün sekizgen
H
C) 5
C A
E) 5 2
kilerden hangisidir?
B
A) AB B) AE C) AC D) AD
2. Sıfırdan farklı A = (a, b) ve B = (c, d) vektörleri ve-
5. Analitik düzlemde a ve b birim vektörleri ara-
riliyor.
sındaki açı a olduğuna göre Sin d
Aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) A // B , ad = bc B) A ve B lineer bağımlı ise A ve B aynı doğrultudadır.
ek tremum
E) 0
ğıdakilerden hangisine eşit olur? A)
a+ b
B)
2 D)
C) A = B & ac - bd = 0
a+ b 4
a- b 2
a n ifadesi aşa2
C) a - b
E)
a- b 4
D) A. B = B. C & A = C E) A. B = B. A
3. Bir
eşkenar
dörtgenin
köşegen
vektörleri
P = (2, x) ve Q = (3, - 1) olduğuna göre eşkenar 2
dörtgenin alanı kaç br dir? A) 4
B) 5
C) 6
6. A(–1, 5) noktasından geçen ve N = (- 1, 2) vektörüne dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
D) 8
E) 10
A) x – 2y + 11 = 0
B) x + 2y – 11 = 0
C) 2x – y – 6 = 0
D) 2x – 2y + 7 = 0
E) x + y + 1 = 0 1) A Analitik Geometri
2) C
3) E
4) E
5) B
6) A 241
Düzlemde Vektörler 10. Analitik düzlemde A(2, 3) noktasının V = (1, - 2)
7. Analitik düzlemde a, b ve c vektörleri veriliyor.
vektörü tarafından ötelenmişi olan nokta
a = _ b + c i, b = _ a + c i, c = _ a + b i a =
3 br,
b =
2 br
2x – 3y + k = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre k kaçtır? A) –4
c = 2 br
B) –3
C) –1
D) 1
E) 3
olduğuna göre a + b + c kaç birimdir? A)
2 B)
3 C) 1
D) 2
E) 3
8. Analitik düzlemde
11. Analitik düzlemde vektörleri veriliyor.
A = (4, 2),
C = (- 1, m) vektörleri için AB = 2 C - B olduğuna göre k + m toplamı kaçtır?
B) 3
9. D
C) 4
C
D) 5
E) 6
Şekildeki dik silindirin taban
ek tremum
B = (k, 3) ve
A) 2
Aşağıda verilen vektörlerden hangisi V1 ve V2 vektörlerinin lineer bileşimi olarak yazılabilir? A) u = (3, 1)
E) , = (- 3, 6)
Analitik düzlemde
12.
B
çarpımı kaçtır?
A(0, 6), D(9, 0)
A
çapı, yüksekliğine eşittir.
B
|AB| = |BC| = |CD| C
olduğuna göre AO . AC iç O
B) v = (4, 1)
C) k = (- 7, 3) D) e 1 = (1, 0)
|AD| = 4 br
4
A
V1 = (- 1, 2) ve V2 = (2, - 4)
O
olduğuna göre OB + OC kaç birim-
D
dir? A) 8
B) 4 2
C) 4
D) 2 2 E) 2
A) 13
B) 15 D) 3 13
7) E 242
8) B
9) A
10) B
C) 2 13 E) 25
11) E
12) D Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4. Analitik düzlemde A(2, –3) ve B(m, n) noktaları ve-
UYGULAMA TESTİ - 4
riliyor.
1. Analitik düzlemde a ve b birim vektör olduğuna göre a - b
2
nin alabileceği en büyük değer
A) 2
kaçtır? A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) –2
elde ettiği üçgeni orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüyor.
D) 60
E) 90
Bu işlemden sonra elde ettiği üçgeni 2 br sola ve 1 br yukarı öteliyor.
ek tremum
dir? C) 45
D) –1
önce y = x doğrusuna göre simetriğini alıyor, sonra
olduğuna göre AOB açısının ölçüsü kaç derece-
B) 30
C) 0
5. Yağız, koordinat düzleminde bir ABC dik üçgeninin
OA + OB = OA - 2 OB
A) 15
B) 1
E) 2
2. Analitik düzlemde OA ve OB birim vektörler ve
T AB (A) = (- 1, - 1) olduğuna göre m + n toplamı
kaçtır?
Buna göre Yağız'ın ABC üçgenine uyguladığı tüm dönüşümlerin bileşkesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) A: (x, y) " (x + 2, y + 1) B) A: (x, y) " (2 - x, 1 - y) C) A: (x, y) " (1 - y, x - 2) D) A: (x, y) " (x - 2, 1 - y) E) A: (x, y) " (x - 2, y - 1)
3. Analitik düzlemde A(3,1) noktasından geçen ve normal vektörü N = (1, 3) olan doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
6. Analitik düzlemde a ve b birim vektörleridir.
_ 3 a - b i vektörü, _ 2 a - 10 b i vektörüne dik olduğuna göre a ile b vektörleri arasındaki açının kosinüsü kaçtır? A)
1) C Analitik Geometri
2) D
3) B
4) E
3 2 3 1 4 B) C) D) E) 5 5 2 2 2
5) D
6) A 243
Düzlemde Vektörler 7.
ABCD bir konveks
C
D
10. Analitik düzlemde a ve b vektörleri için
dörtgen
a = 3 br,
AC = (4, 6)
b = 1 br ve
BD = (- 9, 4)
a + b = 4 br
B
A
olduğuna göre a , b iç çarpımı kaçtır?
olduğuna göre Alan(ABCD) kaç br2 dir? A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
A) 6
B = (k - 1, 2)
tır?
E) –3
9. Analitik düzlemde u = _ 3 , 1 i vektörü pozitif yönde
ek tremum
D) –4
vektörleri için & A , B 0 R2 de taban oluşturduğu-
na göre k nın alamayacağı değerler çarpımı kaçtır?
A) –15
B) –12
C) 1
D)
3 2
E
A
ların orta noktasıdır.
F C
D
E) 2
E) 6
ve L bulundukları ayrıt-
ralelkenarın alanı kaç br2 dir? 3 1 B) 2 4
D) 1
ABCDEFPH bir küp K
P
K
Buna göre kenarları u ve v vektörleri olan pa-
A)
C) –9
H
12.
30° döndürülünce v vektörü elde ediliyor.
E) 2
A = (4, k + 1),
siyle oluşan noktanın koordinatlar toplamı kaçC) –5
D) 3
11. Analitik düzlemde
noktası etrafında pozitif yönde 90° döndürülme-
B) –6
C) 4
E) 45
8. Analitik düzlemde A(–1, 3) noktasının B(2, –1)
A) –7
B) 5
2
L B
AK , AL iç çarpımının sonucu kaçtır? A) 1
7) C 244
8) B
9) E
10) D
B) 2
C) 3
11) C
D)
2 E)
3
12) A Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4. D
UYGULAMA TESTİ - 5
3 K
1. Analitik düzlemde V = (2, 4) vektörünün orijin
F
1
ABCD bir kare
C
[AF] + [DE] = {K} % m (AKE) = a
a E
etrafında 90° döndürülmesiyle taradığı bölgenin
EC = BE
2
alanı kaç br dir? A) r
DF = 3 cm
B) 3r
C) 4r
D) 5r
E) 20r
A
FC = 1cm
B
Yukarıdaki verilere göre Cosa kaçtır? A)
-2
5 5
B) D)
-4 5
C)
-3 4
3 2 E) 5 5 5
2. Analitik düzlemde a = 2 br, b = 5 br
5. Analitik düzlemde a =
Buna göre
aşağıdakilerden hangisine
a+ b
eşit olamaz? A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
ek tremum
olacak şekilde a ve b vektörleri veriliyor.
7 br,
b = 2 14 br ola-
cak şekilde a ve b vektörleri veriliyor.
a ve b vektörleri arasındaki açı 135° olduğuna göre a + b kaç birimdir? A) 6
B)
35 C)
34
D) 4 2 E) 2 7
3. Sıfırdan farklı A ve B vektörleri için aşağıdaki-
6. Analitik düzlemde a, b ve a - b vektörleri birim vektörlerdir.
lerden hangisi yanlıştır?
A) A. ( B. C ) ≠ ( A. B ) . C
derecedir?
B) A // B , A. B = 0 C) A. A = A
Buna göre a ile b vektörü arasındaki açı kaç
A) 15
2
B) 30
C) 45
D) 60
E) 90
D) A. B = B. A E) A. _ B + C i = A. B + A. C
1) D Analitik Geometri
2) E
3) B
4) A
5) B
6) D 245
Düzlemde Vektörler 7. Analitik düzlemde y2 = 8x parabolü önce u = (1, - 1)
10. A = (- 3, 5) vektörünün B = (1, 4) vektörü üze-
vektörü boyunca öteleniyor sonra da ötelenmiş pa-
rindeki dik izdüşüm vektörü aşağıdakilerden
rabolün x = 2 doğrusuna göre simetriği alınıyor.
hangisidir?
Son durumda oluşan parabolün odak noktasının koordinatlar toplamı kaçtır? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A) (1,5)
a- b = a
11.
2 D)
9.
B) b 2
2
C)
a
ek tremum
A)
a+ b
2
E) 0
ABC bir ikizkenar üçgen
A
Yukarıdaki verilere göre BA + CA , BC iç çarpımı-
A) 0
7) A 246
dir.
E
K, EFLH yüzeyinin
F
ağırlık merkezi olduC
D
AC . CK
iç çarpımının sonucu
A
kaçtır?
B
A) –10
ğuna göre
B) –12
C) –14
D) –16
E) –18
12. A , B ve C vektörleri için C = 3B C. ( B - A ) = 0 A 2
olduğuna göre A ile B vektörleri arasındaki açı
C
B) –8
Küpün bir ayrıtı 4 br
L
B- A =
nın sonucu kaçtır? B
H
E) (5, 4)
K
olduğuna göre b .(2 a - b ) iç çar-
pımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? a- b
C) (1, 4)
D) (–3, 5)
E) 4
8. Analitik düzlemde a ve b vektörleri için
B) (–3, 4)
kaç derecedir?
C) –16
8) E
D) 24
E) 64
9) A
A) 30
10) C
B) 45
C) 60
11) D
D) 90
E) 120
12) A Analitik Geometri
Düzlemde Vektörler 4. Analitik düzlemde
UYGULAMA TESTİ - 6
V2 = (- 1, a)
1. Analitik düzlemde a ve b vektörleri arasındaki açı 80° dir.
a = b = 4 br açı kaç derecedir? B) 40
vektörleri için & V1 , V2 0 R2 de taban oluşturdu-
ğuna göre a nın alamayacağı değer aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre a ile a - b vektörleri arasındaki
A) 30
V1 = (a - 2, 1),
A) 2 C) 50
D) 60
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
E) 80
5. Analitik düzlemde 5x – 12y – 4 = 0 2. Analitik düzlemde verilen V1 ve V2 vektörleri
doğrusuna dik olan birim vektör aşağıdakilerden
hangisidir? A) d -
I. b V1 + V2 l = b V1 - V2 l ise V1 = V2
C) d
ek tremum
için aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
II. V1 = V2 ise V1 + V2 = V1 - V2 III. V1 = V2 ise V1 + V2 = V1 - V2 A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
5 12 5 12 , ,n B) d n 13 13 13 13
5 12 , n 13 13 E) d
D) d -
12 5 , n 13 13
5 12 ,n 13 13
C) Yalnız III
E) II ve III 6.
D
C
ABCD bir eşkenar dörtgendir. AB = a br
A D
3.
C
paralelkenar
K
F
L A
E
ABCD bir
DA + LC - 2 KF
olduğuna göre DB , AB iç çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) a2 – b2
B
C)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Analitik Geometri
2) D
3) A
a2 - b2 2 E)
A) 0 B) DE C) DC D) KD E) AB 1) C
AC = 2b br
B
4) B
B) 4b2 – a2
D) 2(a2 – b2)
a2 + b2 2 5) A
6) D 247
Düzlemde Vektörler 7.
ABC bir dik üçgen
A
B
vektörü boyunca ötelendiğinde A′B′C′D′ karesi elde
[AB] = [AC]
12
9
10. Bir kenar uzunluğu 4 br olan ABCD karesi u = (3, 2) ediliyor.
|DC| = 2.|BD|
D
C
|AB| = 9 cm |AC| = 12 cm
A) 8
Yukarıdaki verilere göre BC . _ BA + BD i iç çarpımı kaçtır? A) 72
B) 96
C) 108
B) 6
C) 4
D) 2
E) 1
E) 162
ABC bir üçgen
A
8.
D) 146
ABCD ve AlBlClDl karelerinin kesiştikleri bölge-
nin alanı kaç br2 dir?
|AB| = 5 br 7
B
A(–1, 3)
8
C
B(4, 2)
|AC| = 7 br
olduğuna göre BA . BC iç çarpımı kaçtır? A) 20
B) 15 3 C) 14 3 D) 10 3
E) 10
merkezinin orijin etrafında saatin tersi yönünde 180° döndürül-
O
mesiyle
elde
edilen
nokta (a – 1, b + 2) olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır? A) 0
9.
düzlemde
AOB üçgeninin ağırlık
|BC| = 8 br
ek tremum
5
Analitik
11.
B) 1
C) 3
D) 8
E) 12
A A1 3
A2 An
B
C
12. Bir konveks ABCD dörtgeninde [AB] doğru parçası-
ABC bir dik üçgen AB = AC, AB =
nın orta noktası E dir.
3 br
[AC] kenarı üzerinde A1, A2, A3, ... An noktaları alınıyor.
BA b BA 1 + BA 2 + ... BA 17 l iç çarpımının sonucu kaçtır? A) 0
7) E 248
B) 17
C) 34
8) A
D) –17
E) 51
9) E
DE doğrusu [BC] kenarının uzantısıyla F noktasında kesişiyor.
AB = a, BC = b ve DA = a - b olduğuna göre A)
FB BC
oranı kaçtır?
1 1 2 1 B) C) D) 3 2 3 4
10) D
11) A
E) 1 12) B
Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. Analitik düzlemde A(k, 2) ve B(– 1, 5) noktalarından
ANALİZ TESTİ - 1
geçen doğru x ekseniyle pozitif yönde 45° lik açı yapmaktadır.
1. Analitik düzlemde
A(m – 1, 2m + 5) ve B(5m + 3, 3 – 4m)
noktaları veriliyor.
[AB] doğru parçasının orta noktası I. bölgede
Buna göre, O noktası orijin olmak üzere OAB üç-
geninin alanı kaç birim karedir? A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 16
olduğuna göre, m nin kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. Analitik düzlemde
A(– 5, 0), B(– 2, –3) ve C(k, 4)
noktaları veriliyor. & Alan (ABC) = 15 br2 olduğuna göre, k nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) – 19
B) – 18 D) – 6
ekseni üzerinde dik kesişen doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 10
B) 9
C) 8
runun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? B) y = x + 3
D) y = – x – 3
C) y = – x – 2
6. Analitik düzlemde bir dikdörtgenin farklı iki ke-
narı mx + 6y – 7 = 0 ve 9x – 3y + 5 = 0 doğruları üzerinde olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) – 20
E) y = – x – 4
B) – 19 D) – 17
Analitik Geometri
E) 6
E) 1
kesen ve 2x – 2y + 7 = 0 doğrusuna dik olan doğ-
1) D
D) 7
C) – 12
3. Analitik düzlemde x eksenini (–3, 0) noktasında
A) y = – x + 1
ek tremum
5. Analitik düzlemde 3x + 2y + 12 = 0 doğrusu ile y
2) B
3) D
4) C
C) – 18 E) – 16
5) B
6) E 249
Analiz Testleri 7. Analitik düzlemde k < 0 olmak üzere A(1, –1) nok-
10. Analitik düzlemde x2 + y2 + mx – 2y + 4 – m = 0
ğuna göre, A(1, –1) noktasının bu doğruya göre
bileceği en büyük negatif tam sayı değeri kaçtır?
kaçtır?
A) – 9
tasının y = x + k doğrusuna uzaklığı
2 br oldu-
denklemi bir çember belirttiğine göre m nin ala-
yansıması olan noktanın koordinatlar çarpımı
A) – 1
B) – 4 D) – 16
B) – 8 D) – 6
C) – 9
C) – 7 E) – 5
E) – 25
8. Analitik düzlemde A(– 5, 2) noktasının y = – x doğrusuna göre yansıması B noktasıdır.
B noktasının orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülmesiyle de C noktası elde ediliyor. Buna göre, |AC| kaç birimdir? A) 8
9.
B) 10
y
C) 12
D) 13
E) 15
çemberi ile aynı merkezli olup 2x + y + 2 = 0 doğ-
ek tremum
11. (m – 2)x2 + 2y2 – 2mx + 4y = 0
rusuna teğet olan çemberin yarıçapı kaç birimdir? A)
6 B) D)
5
C) 2
3 E)
2
y = 3x D x 2
y=
B O
C x
A
Analitik düzlemde y = 3x ve y = A(2, 0) noktası veriliyor.
x doğruları ile 2
7 ADA = Ox ve 7 CDA = 7 OxA
12. Analitik düzlemde A(6, 0) noktasından geçen ve
y eksenine B(0, 12) noktasında teğet olan çem-
olduğuna göre, |BC| kaç birimdir?
A) 1
B)
2 C)
D) 2 7) C 250
E) 8) B
berin yarıçapı kaç birimdir?
3
A) 25
5 9) E
10) C
B) 20
C) 17
11) B
D) 15
E) 13
12) D Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. x + y – 7 = 0 doğrusu ile y - 3 x - 5 = 0 doğrusu
ANALİZ TESTİ - 2 1.
arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?
y
A) 15
A
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
E D
x
B C
Analitik düzlemde ABCD karesi veriliyor. |AE| = |ED| ve A (– 2, 2) olduğuna göre, B noktası-
nın koordinatlar toplamı kaçtır? A) – 4
B) – 6 D) – 10
C) – 8 E) – 12
2. Köşeleri A(–1, 1), B(11, 3) ve C(a, b) olan ABC üç-
geninin ağırlık merkezi G(2, 1) noktası olduğuna göre, |CG| kaç birimdir? A) 5 2
B) 7
C) 4 3
D) 3 5 E) 2 10
3. Köşeleri A(–1, 5), B(–3, 1) ve C(4, 0) olan ABC üçgeninin [AD] kenarının y eksenini kestiği nokta D dir.
Buna göre,
AD DC
oranı kaçtır?
1 1 1 2 B) C) D) 4 3 2 3
A) 1) B
Analitik Geometri
2) E
ek tremum
5. Analitik düzlemde
(m – 2)x + 3y – 5 = 0 ve (m + 1)x – 2y – 9 = 0
doğruları birbirine paralel olduğuna göre, m kaçtır?
A) -
3 2 1 1 2 B) - C) D) E) 5 5 5 5 5
6. Analitik düzlemde A(2, 3), B(8, 1) ve C(4, k) nok-
taları bir dik üçgenin köşeleri olduğuna göre, k nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) – 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
E) 1 3) A
4) E
5) C
6) B 251
Analiz Testleri 7. Analitik düzlemde 3x – 4y + 1 = 0 doğrusundan
10. Analitik düzlemde
2 br uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yer
denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 3x – 4y = 0
B) 3x – 4y – 5 = 0
C) 3x – 4y – 7 = 0
D) 3x – 4y – 9 = 0
mx2 + nxy + m + n + (y – 1) (2y + 4x) = 0 denklemi bir çember belirttiğine göre, bu çembe-
rin yarıçapı kaç birimdir? A)
E) 3x – 4y – 11 = 0
y
3 D) 2
5 E)
3
D
4 E
C
1 –1
2 C)
d1
d2
B
A
4
2
x d3
–1
Analitik düzlemde d1, d2 ve d3 doğruları veriliyor.
Buna göre, A, B, C, D ve E noktalarından hangisi
x+y≤4
y–x≤1
–x + 2y ≥ –2
x.y>0
ek tremum
8.
6 B) 2
11. Analitik düzlemde
A(1,0), B(7, 0) ve C(0, 1)
noktalarından geçen çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
eşitsizlik sistemini sağlar? A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
9. Analitik düzlemde
|x + 1| ≤ 3
12. Analitik düzlemde
|y – 2| ≤ 1
P(–1, k) noktası (x + 2)2 + (y – 1)2 = 17
eşitsizlik sisteminin belirttiği kapalı bölgenin
çemberinin iç bölgesinde olduğuna göre, k nin
alanı kaç birim karedir? A) 6 7) D 252
B) 9
C) 12 8) B
D) 15
E) 18 9) C
alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 4 10) C
B) 5
C) 6 11) B
D) 7
E) 8 12) D
Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. Analitik düzlemde y = –x doğrusu üzerinde olup
ANALİZ TESTİ - 3 1.
A(– 3, – 1) ve B(1, 5) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktanın koordinatları çarpımı kaçtır?
y
A) – 16 E
B) – 9
C) – 4
D) – 1
E) 0
D
F
C
B
O
A
x
Analitik düzlemde OABC ve ODEF eş dikdörtgenleri
|OC| = a br, |CD| = b br ve A, C ve E noktaları
veriliyor.
OF
doğrusal olduğuna göre,
OA
oranı aşağıdaki-
lerden hangisine eşittir?
5. Analitik düzlemde
a b 1 B) C) a b 2 b-1 b+1 D) E) a a
2. Analitik düzlemde y = 2x – 5 doğrusunun orijine en yakın olduğu noktanın koordinatlar toplamı kaçtır? A) 4
B) 3
3.
C) 2
D) 1
ek tremum
A)
x2 + y2 – x – 4y – 12 = 0 çemberinin eksenleri kestiği noktaları köşe ka-
bul eden konveks dörtgenin alanı kaç birim karedir? A) 20
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
E) 0
y d1 6
1 –2
x
3
6. m pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, y2 x2 =1 (m - 1) 2 (m + 1) 2
d2
Analitik düzlemde d1 ve d2 doğruları veriliyor.
Buna göre taralı bölgenin alanı kaç birim kare-
dir?
9 2
A)
hiperbolünün odaklar arası uzaklığı 4 5 br olduğuna göre, bu hiperbolün asal eksen uzunluğu kaç birimdir?
B) 4
1) C Analitik Geometri
C) 2) D
7 2
D) 3
E)
5 2
3) B
A) 2 4) A
B) 4
C) 6 5) C
D) 8
E) 10 6) B 253
Analiz Testleri 10. Analitik düzlemde orijinden geçen d1 ve d2 doğruları
7. Analitik düzlemde iki köşesi y ekseni üzerinde, diğer
ile x + y = 4 doğrusunun sınırladığı kapalı bölge, te-
A ve B köşeleri de I. bölgede olup sırasıyla y = x ve
pe açısı 120° olan bir ikizkenar üçgendir.
y = 3x doğruları üzerinde olan bir dikdörtgen veriliyor.
Bu dikdörtgenin çevresi sayıca alanına eşit ol-
duğuna göre, A noktasının koordinatlar toplamı
Buna göre, bu ikizkenar üçgenin alanı kaç birim karedir?
kaçtır? A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
A) 4 3 B) 8 3 C) 12 3 D) 16 3 E) 20 3
E) 10
11.
A(– 2, 0), B(6, 0) ve C(0, 6)
noktaları veriliyor.
Buna göre, ABC üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktasının koordinatlar toplamı kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
ek tremum
8. Analitik düzlemde köşeleri
y
D
C
A
B
x
O
Analitik düzlemde ABCD dikdörtgeni orijin etrafında
saat yönünde 90° döndürülünce A′ B′ C′ D′ dikdörtgeni elde ediliyor.
A(– 4, 0) ve C(– 1, 2) olduğuna göre, bu iki dikdörtgenin birbirine en uzak iki köşesi arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 7
B) 5 2 C) 2 13 D)
61
E) 8
9. Analitik düzlemde O(0, 0), A(1, 2) ve B(5, 0) noktaları veriliyor.
Buna göre, OAB üçgeninin çevrel çemberinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 – 5y = 0
B) x2 + y2 – 5x = 0
C) x2 + y2 – 4x = 0
D) x2 + y2 – 4y = 0
12. Analitik düzlemde
E) x2 + y2 – 5x – 4y = 0
A(– 3, 5) noktasından x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç
birimdir? A) 2 3
B) 4
D) 2 5 7) C 254
8) D
9) B
10) B
C) 3 2 E) 5
11) C
12) B Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. Analitik düzlemde A(–3, 4) noktasının y = 11x doğru-
ANALİZ TESTİ - 4 1.
D
E
C F O
Analitik düzlemde ABCDEF
y
suna göre yansıması B noktasıdır.
B
A
Buna göre B noktasının orijine uzaklığı kaç bi-
düzgün altıgeni veriliyor.
rimdir?
|OA| = |OF| = 1 br
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 11
x
olduğuna göre C noktasının ordinatı kaçtır? A)
2 B)
3
C) 2
D)
5 E)
6
5.
Parabolün odak noktası F
y
[AC] = Ox
A
|FB| = 2·|OF| 2. Analitik düzlemde karşılıklı iki köşesi A(1, 2) ve C(3, 8)
Buna göre BD köşegen doğrusunun x eksenini
kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 12
B) 13
C) 15
D) 17
E) 18
ek tremum
noktaları olan ABCD karesi veriliyor.
O
F
x
B
|AC| = 4 6 br
C
Yukarıdaki verilere göre parabolün denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
B) y2 = 6x C) y 2 = 4 2 x
A) y2 = 4x
E) y 2 = 8 2 x
D) y2 = 8x
3.
TL 350 300
Ali
250 Burcu Gün
2
Grafikte Ali ve Burcu kardeşlerin bayram haçlıklarının zamana göre değişimi verilmiştir.
6. Analitik düzlemde xy = 4 hiperbolünün y = 2
Buna göre Burcu'nun harçlığı Ali'den kaç gün
sonra biter? A) 4
B) 5
1) B Analitik Geometri
C) 6 2) D
D) 7
E) 8 3) B
doğrusuna göre yansımasının x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A) 5
4) A
B) 4
C) 3 5) C
D) 2
E) 1 6) E 255
Analiz Testleri 10. Analitik düzlemde köşe noktaları x2 + y2 = 25 çem-
x doğrusu üze3 rinde bulunan, Ox eksenine ve 4x – 3y – 28 = 0
7. Analitik düzlemde merkezi y =
beri üzerinde olan bir ABC üçgeni veriliyor.
doğrusuna teğet olan çemberlerin yarıçapları toplamı kaçtır? A) 2
B) 5
C) 7
D) 8
A(4, –3) ve B(3, 4) olduğuna göre C dar açısı kaç
derecedir? A) 60
E) 9
B) 45
C) 30
D) 22,5 E) 18
11. Analitik düzlemde A(5, 1) noktasından geçen ve
u = (2, 1) vektörüne paralel olan doğrunun denk-
lemi aşağıdakilerden hangisidir? 8. Analitik
düzlemde,
A = (- 3, 1)
A) (x, y) = (5, –1) + k(2, 1)
vektörünün
y – x + 4 = 0 doğru üzerindeki dik izdüşüm vektö-
B) (x, y) = (5, 1) + k(1, 2)
rünün uzunluğu kaç birimdir? 2 2
B) 1
C)
2
D) 2
C) (x, y) = (5, 1) + k(2, 1)
E) 2 2
D) (x, y) = (–5, –1) + k(2, 1) E) (x, y) = (5, 1) + k(–2, 1)
ek tremum
A)
12. Aşağıdakilerden hangisinde verilen şekiler, doğruya göre birbirinin ötemeli yansıması değildir?
y
9.
A)
B)
C)
D)
K F
Aı
Yukarıdaki
F
şekilde
verilen
A
x
elipsin
y x + = 1 ve odakları F′, F noktalarıdır. 12 9 2
2
ı
denklemi E)
[FF′] çaplı çemberin K noktasındaki teğeti A′ kö-
şesinden geçtiğine göre K noktasının apsisi kaçtır?
A) 7) E 256
3 B) –1 2
C) - 3 D) –2 8) C
E) - 6 9) A
10) B
11) C
12) C Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. Analitik düzlemde
1. Analitik düzlemde yedek eksen uzunluğu 20 br
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangi-
olan ve P(4, 0) noktasından geçen merkezil hi-
sidir?
perbolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2 y2 x2 x2 y A) = 1 B) =1 16 100 25 4 2 y2 x2 x2 y C) =1 = 1 D) 5 16 25 2
E)
C)
2 2 x2 y x2 y + = 1 B) + =1 8 4 9 4
(x + 2) 2 4
y2 x2 =1 16 50
2.
2
y x2 + = 1 elipsinin A(4, 0) 16 36 noktasından geçen kirişlerinin orta noktalarının
ANALİZ TESTİ - 5
+
E)
y2
= 1 D)
9
(x - 2) 2 4
+
y2 9
=1
2 x 2 (y - 2) + =1 4 9
y B A
x
O
ek tremum
C
Analitik düzlemde OABC karesi ve BC: 2x – y + 10 = 0 doğrusu veriliyor.
5.
Analitik düzlemde y2 = 8x
y
F
Buna göre AB doğrusunun denklemi aşağıdakiB) x + 2y = 6
C) x + 2y = 14
D) x + 2y = 8
odağı
F
noktası ve ABCF bir eş-
D B A
lerden hangisidir? A) x + 2y = 12
parabolünün
C
x
kenar dörtgen
|BD| = |DC| & Alan (CFD) = 24 br 2 oldu-
ğuna göre B noktasının apsisi kaçtır?
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
E) x + 2y = 10
3. Analitik düzlemde A noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B, B noktasının x = 3 doğrusunagöre simetriği C(–3, 2) olduğuna göre, A noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (–2, 8)
B) (2, 9)
D) (5, 2) 1) A Analitik Geometri
C) (3, 6)
6. Analitik düzlemde x2 + y2 + ax – 12y + 20 = 0 çemberine orijinden çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre a nın negatif değeri kaçtır? A) –3
B) –4
C) –5
D) –6
E) –7
E) (8, 2) 2) E
3) B
4) D
5) B
6) B 257
Analiz Testleri 7. Analitik düzlemde x + y = k doğrusu y2 = 16x pa-
10. Analitik düzlemde A(2, 4) noktasının orijin et-
rabolünün bir normali olduğuna göre k kaçtır? A) 15
B) 13
C) 12
D) 10
rafında pozitif yönde 60° döndürülmesiyle elde edilen noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangi-
E) 9
sidir?
A) 1 - 2 3
B) 2 3 - 1
C) 2 3 + 1
D)
E)
8.
1 olan d doğrusunun 2
d doğrusu x ekseni boyunca 2 birim sola ötele-
nirse elde edilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisi olur? A) 2y + x – 12 = 0
B) 2y + x – 8 = 0
C) y + 2x – 6 = 0
D) 2y + x – 6 = 0
ek tremum
Analitik düzlemde eğimi -
x
eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı 36 br2 dir.
3 +2
y
d
3 -2
11. Analitik düzlemde A(–2, 1) ve B(2, 3) noktaları veri-
liyor. AB vektörü A noktası etrafında negatif yönde 90° döndürülünce AN vektörü elde ediliyor.
Buna göre B noktasından geçen ve AN vektörüne paralel olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
E) 2y + x – 10 = 0
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
9. Analitik düzlemde y = –x + k doğrusunun (x + 2)2 + (y – 1)2 = 18 çemberi ile kesim noktaları A(x1, y1) ve B(x2, y2) dir.
12. Analitik düzlemde P(7, 2) noktasının, A(2, 1) nok-
Oy ekseni [AB] kirişini iki eşit parçaya ayırdığına göre x1 + x2 + y1 + y2 toplamı kaçtır? A) 3 7) C 258
B) 4
C) 5 8) E
D) 6
tasından geçen ve N = (5, - 12) vektörüne dik olan doğruya uzaklığı kaç birimdir?
E) 8 9) D
A)
1 2
10) E
B) 1
C)
3 2
11) C
D) 2
E)
5 2 12) B
Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. I. Düzgün sekizgenin yansıma simetri ekseni sayı-
ANALİZ TESTİ - 6 1.
sı sekizdir.
II. Düzgün altıgenin dönme simetri sayısı dokuz-
y
dur.
d1
III. Düzgün ongenin en küçük dönme simetri açısı
M A
B
O
36° dir.
d2
x
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? A) I ve III
Analitik düzlemde M merkezli çember orijinden ge-
B) II ve III
D) Yalnız II
çen d1 ve d2 doğrularına sırasıyla A ve B noktaların-
C) Yalnız I E) Yalnız III
da teğettir.
A(–1, 2) ve d1 ⊥ d2 olduğuna göre d2 doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
3x x 2x B) y = C) y = 5 5 10 x 2x D) y = E) y = 2 3
2.
F
E
K
D
H
C A
ek tremum
A) y =
B
5. Analitik düzlemde y = 2x doğrusu orijin etrafında
pozitif yönde 45° döndürüldüğünde elde edilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = –x
B) y = –2x
D) y = –4x
Analitik düzlemde merkezi orijinde olan ABCDEFKH
C) y = –3x E) y = –5x
düzgün sekizgeni veriliyor. Bu düzgün sekizgen, merkezi etrafında ok yönünde 90° döndürülüyor. Döndürme sonrası elde edilen düzgün sekizgenin de x eksenine göre yansıması alınıyor.
Buna göre ilk durumda K noktasının bulunduğu
köşeye son durumda hangi nokta gelir? A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
3. Analitik düzlemde y = x2 + 6 parabolüne üzerindeki P(1, 7) noktasından çizilen teğet aynı zamanda x2 + y2 + 8x – 4y + c = 0 çemberine de
teğet olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 1
B) 2
1) D Analitik Geometri
C)
5 D)
2) B
6. Analitik düzlemde (x – 3)2 + (y – 5)2 = 50 çemberinin
Ox eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerin kesim noktasının koordinatlar toplamı kaçtır? A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
6 E) 2 2 3) C
4) A
5) C
6) B 259
Analiz Testleri 7. Analitik düzlemde α ∈ [0, 2π) olmak üzere
10. Analitik düzlemde odakları F ve F′ olan
P(2 + 2cosa, –1 + 2sina) noktalarının geometrik yeri bir çember belirtir.
elipsi veriliyor. Elips Oy eksenini pozitif ordinatlı B
Buna göre bu çemberin x eksenini kestiği nokta-
noktasında kesiyor. Merkezi B noktası olan |BF| ya-
ların apsisler toplamı kaçtır? A) - 2 3 B) 2 3 C) 4
D) 6
y2 x2 + =1 25 16
rıçaplı çemberin y = 1 doğrusu ile kesim noktaları K
E) 8
ve L dir.
Buna göre |KL| kaç birimdir? A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
8. Analitik düzlemde, merkezi y2 = 8x parabolünün
odağı olan ve parabolün doğrultmanına teğet olan çember veriliyor.
Çember ile parabolün kesim noktaları A ve B olduğuna göre |AB| kaç birimdir? B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
ek tremum
A) 6
11. Analitik düzlemde y2 = 4x parabolü üzerindeki P(1, 2)
noktasından çizilen teğet y2 = 4x + 10 parabolünü A ve B noktalarında kesiyor.
[AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 3
9. Analitik düzlemde merkezi M(0, 4) noktası olan 1 br yarıçaplı çembere ve x eksenine teğet olan
çemberlerin merkezlerinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 10y + 15 = 0 B) x2 – 10y + 10 = 0
12. Analitik düzlemde a, b ve c vektörleri veriliyor.
2
C) x + 5y – 10 = 0
a = b , b = 2 a ve c = a + b olduğuna göre b ve c vektörleri arasındaki açının kosinüsü
2
D) y – 10x – 10 = 0
kaçtır?
E) x2 – 2x + 4y – 6 = 0
A) 7) C 260
8) B
9) A
10) B
2
5
B)
3 1 7 1 C) D) E) 5 5 2 10 11) E
12) A Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. Analitik düzlemde bir ABCD dikdörtgeninin köşe-
ANALİZ TESTİ - 7
denklemi y = x + 5 doğrusudur.
Analitik düzlemde [OP],
P(x,y)
1.
lerinden geçen çemberin çap doğrularından birinin
APB açısının açıortayı-
A(–3, 1) ve B(5, 5) olduğuna göre Alan(ABCD)
dır.
A(–3,0)
O
B(6,0)
kaç br2 dir?
A(–3, 0), B(6, 0) oldu-
A) 35
ğuna göre P(x, y) nok-
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
talarının geometrik yer
denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + y2 + 12x = 0 B) x2 + y2 + 6x = 0 C) x2 + y2 – 3x = 0 D) x2 + y2 – 12y = 0 E) x2 + y2 + 6y = 0 5. 4x + 3y + k = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktalar
2. Analitik düzlemde A(–1, 3) noktası önce V = (2, 3)
vektörü boyunca öteleniyor sonra da orijin etrafında 180° döndürülüyor.
Son durumda elde edilen nokta aşağıdakilerden
ek tremum
A ve B dir. P(–2, 6) noktasının y + x = 0 doğrusuna göre smetriği C noktasıdır.
C noktasının AB doğrusuna uzaklığı 6 birim
olduğuna göre k aşağıdaki değerlerden hangisini alabilir? A) –24
B) –12
C) –6
D) 12
E) 24
hangisidir? A) (1, 6)
B) (6, 1)
D) (6, –1)
C) (–1, 6) E) (–1, –6)
6. Doğrultmanı x = 1 doğrusu, odağı F(–2, 0) nokta-
sı ve dış merkezliği e = 1 olan koniğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 – 2y – 3 = 0
3. Analitik düzlemde y2 = 4x parabolü ile
x2 + y2 – 8x + 4 = 0 çemberi kaç farklı noktada kesişir? A) 0
B) y2 + 6x + 3 = 0 C) x2 + y2 – x – y – 1 = 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
D) x2 + 5x – 3 = 0 E) y2 – 4x – 5 = 0
1) A Analitik Geometri
2) E
3) C
4) B
5) B
6) B 261
Analiz Testleri 7. Analitik
düzlemde
verilen
V 1 = (x 1, y 1)
10. Analitik düzlemde A(2, 0) noktasından geçen bir
ve
V 2 = (x 2, y 2) vektörleri için aşağıdakilerden han-
merkezil çember veriliyor.
x1 y1 A) V 1 // V 2 ise x 2 ≠ y 2 dir.
orta noktalarının geometrik yer denklemi aşağı-
gisi her zaman doğrudur?
Çemberin, A(2, 0) noktasından geçen kirişlerinin dakilerden hangisidir?
B) V 1 = V 2 ise x 1 .y 1 = x 2 .y 2
A) x2 + y2 – 2x = 0
C) & V 1, V 2 0 vektör kümesi R2 de taban oluşturur.
B) x2 + y2 + 2y = 0 C) x2 + y2 + x = 0
D) x1.y2 + x2.y1 = 0 ise V 1 // V 2 dir.
D) x2 + y2 + y = 0
E) V 1 ve V 2 vektörleri temel birim vektörlerinin line-
E) x2 + y2 + x + y = 0
er bileşimi olarak yazılabilir.
11. x2 + y2 – 5x = 0 ve x2 + y2 – 10y = 0 8.
y y= 4 x 3
A) x2 + y2 – 2x – y = 0 B) x2 + y2 – 4x + 2y = 0
A (19, 12)
4 x ve A(19, 12) 3 noktası veriliyor. xy dik koordinat sistemi orijin etra-
xy dik koordinat sisteminde y =
fında saat yönünde bir miktar döndürülecek xlyl dik
ek tremum
C) x2 + y2 – 4x – 2y = 0
x
O
çemberlerinin kesim noktalarını çap kabul eden
çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
D) x2 + y2 + 2x – y = 0 E) x2 + y2 – 2x + 4y = 0
12.
koordinat sistemi elde ediliyor.
Analitik düzlemde
y
A(0, –1) ve B(4, 3)
noktalarından geçen
d2
4 Bu dönme sonunda y ekseni ile y = x doğrusu 3 çakıştığına göre A(19, 12) noktasının yeni oluşan xlyl dik koordinat sistemindeki koordinatları topB) 27
C) 28
D) 29
rusuna diktir.
Buna göre taralı
B (4, 3)
lamı kaç olur? A) 25
d1 doğrusu, d2 doğ-
d1
x
O
E) 31
bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden
A (0, –1)
hangisidir?
A) x – y ≥ 1
B) x – y ≤ 1
x + y > 7
x + y < 7
C) x – y ≤ 1
D) x – y ≥ 1
eksenini sırasıyla A ve B noktalarında kesmektedir.
x + y > 7
x + y < 7
Buna göre PAB üçgeninin alanı kaç br2 dir?
E) x – y ≥ 1
x + y ≤ 7
9. Analitik düzlemde x2 + y2 = 10 çemberi ile y2 = 9x
parabolünün I. bölgedeki kesim noktası P dir. P noktasından çembere ve parabole çizilen teğetler x
A)
35 2
7) E 262
B) 17
C)
33 2
8) D
D) 16
E) 15 9) C
10) A
11) C
12) C Analitik Geometri
Analiz Testleri 4. Analitik düzlemde, merkezi M(–2, 1) ve yarıçapı 3
ANALİZ TESTİ - 8
br olan çember d: x + y – 2 = 0 doğrusunu K ve L noktalarında kesmektedir.
1. Analitik düzlemde köşe koordinatları A(a, 6), B(0, 1)
ve C(5, –1) noktaları olan ABC üçgeninin ağırlık
merkezi 2x – 3y + 4 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre a kaçtır? A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
& Bunagöre KLM üçgeninin alanı kaç birim kare-
dir? A)
E) 0
2. Analitik düzlemde II. bölgede bulunan P(a, b) nok-
13 2
B) 6
C)
11 2
D) 5
E)
9 2
5.
tası x eksenine paralel 5 birim sağa ve y eksenine paralel 3 birim yukarıya ötelenerek Q noktası elde ediliyor.
Q noktası aynı zamanda P noktasının orijin etra-
fında saat yönünde 90° döndürülmesiyle de elde edilebildiğine göre a· b çarpımı kaçtır? A) 4
B) 2
C) –2
D) –3
E) –4
ek tremum
I
II
III
Yukarıdaki şekillerden hangileri hem yatay hem
de dikey simetri eksenine sahiptir? A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I ve III
3. Analitik düzlemde a ve b birim vektörlerinin aralarındaki açı α derecedir.
a ve b vektörlerinin açıortay doğruları üze-
rindeki birim vektör aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a+ b a+ b a+ b B) C) cos a a sin a cos 2
A)
D)
a+ b a+ b E) a a 2. cos 2. sin 2 2
1) C Analitik Geometri
2) E
6. Analitik düzlemde y2 = 4x parabolünün üzerin-
deki P(1, –2) noktasındaki normalinin parabolü kestiği diğer noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
A) 15
3) D
4) E
B) 12
C) 10
5) A
D) 9
E) 8
6) A 263
Analiz Testleri 10. Analitik düzlemde y2 = 4x parabolünün x = 2 doğ-
7. a , b ve c birim vektörleri için
rusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakiler-
a , b = a , c = b , c = 0 olduğuna göre
den hangisidir?
a + b + c kaç birimdir? A)
1 2
B) 1
C)
2 D)
3
E) 2
A) y2 = 4(8 – x)
B) y2 = 4(6 – x)
C) y2 = 4(4 – x)
D) y2 = 4(2 – x)
E) y2 = –4x
8. Analitik düzlemde A = (k, k 2 - 1) vektöründe k
değerleri değiştikçe A vektörünün uç noktasının geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) y = x2 + 2
D) y = x2
C) y = x2 + 1
E) y = x2 – 1
ek tremum
A) y = x2 + 3
11. Analitik düzlemde y2 = 8x parabolü ile x.y = –1
hiperbolünün ortak teğetlerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = x + 2
B) y = x + 1
C) y = x
D) y = x – 1
E) y = x – 2
9. Analitik düzlemde t!R olmak üzere P(t2 + t, t2 – t)
noktalarının geometrik yer denklemi aşağıdaki-
lerden hangisidir?
A) x2 + y2 + 2xy – 2x – 2y + 4 = 0 12. Analitik düzlemde 2x2 + 3y2 = 12 elipsi ile
B) x2 + y2 – 2xy + 2x – 2y = 0 2
2
2
2
C) x + y – 2xy – 2x – 2y = 0 D) x + y + 2xy + 2x – 2y = 0
264
8) E
turduğu dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir? A) 8 3 B) 2 30
E) x2 + y2 + 2xy – 2x = 0 7) D
x2 – y2 = 1 hiperbolünün kesim noktalarının oluş-
C) 10
D) 4 6 E) 4 5 9) C
10) C
11) A
12) D Analitik Geometri
![Ekstremum Analitik Geometri 2017-18 [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/ekstremum-analitik-geometri-2017-18.jpg)
