Espa4123-Edisi 1 - Statistik Ekonomi PDF [PDF]

Citation preview

Hak Cipta  dan Hak Penerbitan dilindungi Undang-undang ada pada



Universitas Terbuka - Kementerian Riset, Teknologi, dan Pendidikan Tinggi Jalan Cabe Raya, Pondok Cabe, Pamulang, Tangerang Selatan – 15418 Banten – Indonesia Telp.: (021) 7490941 (hunting); Fax.: (021) 7490147; Laman: www.ut.ac.id



Dilarang mengutip sebagian ataupun seluruh buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin dari penerbit Edisi Kesatu Cetakan pertama, Agustus 2012 Cetakan kedua, Desember 2012 Cetakan ketiga, Januari 2013 Cetakan keempat, April 2014



Cetakan kelima, Juni 2014 Cetakan keenam, September 2014



Penulis Penelaah Pengembang Instruksional



: Dra. Christina Suparmi, S.U. : Dr. Samsubar Saleh, M.A. : Ir. Tri Kurniawati R., M.Si.



Desain Cover & Ilustrator Lay-Outer Copy Editor



: Anggiat Mangapul : Nono Suwarno : Brillianing Pratiwi



330.015195 SUP m



SUPARMI, Christina Materi pokok statistika ekonomi; 1 – 9; ESPA4123/ 3 sks/ Christina Suparmi. -- Cet.6; Ed.1 --. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka, 2014. 416 hal; ill; 21 cm ISBN: 978-979-011-710-5 1. statistika ekonomi I. Judul



iii



Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH ...........................................................



ix



MODUL 1: KONSEP DASAR STATISTIKA Kegiatan Belajar 1: Pengertian Dasar Statistika dan Data ................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………….…….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



1.1 1.2 1.10 1.11 1.12



Kegiatan Belajar 2: Distribusi Frekuensi ........................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



1.15 1.31 1.32 1.35



Kegiatan Belajar 3: Distribusi Frekuensi Relatif dan Distribusi Frekuensi Kumulatif ...... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 3 ……………………………..……..............................



1.40 1.50 1.51 1.51



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



1.54 1.55



MODUL 2: UKURAN TENDENSI PUSAT DAN UKURAN LETAK Kegiatan Belajar 1: Ukuran Tendensi Pusat ....................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………….…….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



2.2 2.14 2.15 2.17



Kegiatan Belajar 2: Ukuran Letak ...................................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



2.20 2.32 2.33 2.35



2.1



iv



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



2.38 2.39



MODUL 3: UKURAN PENYIMPANGAN Kegiatan Belajar 1: Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar ............................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………….…….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



3.1 3.3 3.19 3.21 3.24



Kegiatan Belajar 2: Ukuran Kecondongan dan Keruncingan ............................................ Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



3.32 3.45 3.46 3.48



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



3.52 3.53



MODUL 4: KONSEP PROBABILITAS, DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL, DAN BINOMIAL Kegiatan Belajar 1: Probabilitas Peristiwa Sederhana ....................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



4.2 4.10 4.10 4.12



Kegiatan Belajar 2: Probabilitas Peristiwa Majemuk ................................……………..... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



4.15 4.29 4.29 4.33



Kegiatan Belajar 3: Distribusi Binomial dan Normal ...............................……………..... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 3 ……………………………..……..............................



4.36 4.55 4.58 4.58



4.1



v



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



4.63 4.64



MODUL 5: TEORI CUPLIKAN (SAMPLING) Kegiatan Belajar 1: Cuplikan Acak dan Sifat-sifatnya ....................................................... Latihan ………………….……………...………............................... Rangkuman ……………….………………….................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



5.1 5.3 5.13 5.15 5.15



Kegiatan Belajar 2: Pengecualian Sifat-sifat Cuplikan Acak ............................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman ……………………….………….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



5.18 5.21 5.22 5.23



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



5.26 5.27



MODUL 6: ESTIMASI (PENDUGAAN STATISTIK) Kegiatan Belajar 1: Sifat-sifat yang Diperlukan oleh Suatu Penduga yang Baik (Pendugaan Statistik) .......................................................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



6.1



6.4 6.11 6.13 6.13



Kegiatan Belajar 2: Pendugaan Titik dan Pendugaan Rentang .......................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………….…….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



6.17 6.39 6.41 6.41



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ LAMPIRAN ………………………………………………………...



6.45 6.46 6.47



vi



MODUL 7: UJI HIPOTESIS Kegiatan Belajar 1: Uji Hipotesis dengan Menggunakan Dugaan Rentang (Interval Estimasi) dan Uji Hipotesis Klasik (Satu Sisi) ................................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



7.1



7.2 7.12 7.14 7.15



Kegiatan Belajar 2: Uji Hipotesis Klasik Dua Sisi dan Uji Hipotesis Lanjut .................... Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………….…….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



7.19 7.31 7.34 7.35



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



7.38 7.41



MODUL 8: ANALISIS VARIAN Kegiatan Belajar 1: Analisis Varian Sederhana ................................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



8.1 8.2 8.17 8.22 8.23



Kegiatan Belajar 2: Analisis Varian Dua Faktor ................................................................ Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………….…….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



8.26 8.32 8.35 8.37



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................ LAMPIRAN ………………………………………………………..



8.40 8.41 8.42



MODUL 9: ANGKA INDEKS Kegiatan Belajar 1: Indeks Harga ...................................................................................... Latihan …………………………………………...............................



9.1 9.2 9.10



vii



Rangkuman …………………………………..................................... Tes Formatif 1 ……………………………..……..............................



9.11 9.13



Kegiatan Belajar 2: Indeks Kuantitas ................................................................................. Latihan …………………………………………............................... Rangkuman …………………………….…….................................... Tes Formatif 2 ……………………………..……..............................



9.15 9.22 9.23 9.24



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ............................................. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................



9.26 9.27



ix



Tinjauan Mata Kuliah



M



ata kuliah Statistik Ekonomi merupakan mata kuliah keahlian khusus yang berisi tentang alat analisis yang digunakan untuk membantu memecahkan suatu permasalahan terutama dalam bidang ekonomi. Dari perhitungan statistik dapat diketahui gambaran tentang keadaan sosial suatu negara beserta permasalahannya, juga dapat untuk mengetahui permasalahan produksi suatu perusahaan. Saat ini, alat statistik sangat dibutuhkan karena dapat membantu untuk (1) menjabarkan dan memahami suatu hubungan, (2) mengambil keputusan yang lebih baik, dan (3) menangani perubahan. Buku Materi Pokok ini berbobot tiga sks dan terdiri dari 9 modul dengan perincian sebagai berikut: Modul 1, membahas topik: “Konsep Dasar Statistika”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menerapkan konsep dasar statistika untuk penyajian data secara sistematis. Modul ini terdiri dari tiga kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Pengertian Dasar Statistik dan Data. Kegiatan Belajar 2, menerangkan Distribusi Frekuensi. Kegiatan Belajar 3, menerangkan tentang Distribusi Frekuensi Relatif dan Distribusi Frekuensi Kumulatif. Modul 2, membahas topik: “Ukuran Tendensi Pusat dan Ukuran Letak”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menghitung besaran nilai sentral dan ukuran letaknya. Modul ini terdiri dari dua kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Ukuran Tendensi Pusat. Kegiatan Belajar 2, menerangkan tentang Ukuran Letak. Modul 3, membahas topik: “Ukuran Penyimpangan”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menerapkan konsep ukuran penyimpangan untuk mengetahui penyimpangan data dari reratanya. Modul ini terdiri dari dua kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar.



x



Kegiatan Belajar 2,



menerangkan tentang Ukuran Kecondongan dan Keruncingan.



Modul 4, membahas topik: “Konsep Probabilitas, Distribusi Probabilitas Normal, dan Binomial”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menghitung distribusi probabilitas sesauai dengan konsepnya. Modul ini terdiri dari tiga kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Probabilitas Peristiwa Sederhana. Kegiatan Belajar 2, menerangkan Probabilitas Peristiwa Majemuk. Kegiatan Belajar 3, menerangkan tentang Distribusi Binomial dan Normal. Modul 5, membahas topik: “Teori Cuplikan (Sampling)”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menentukan sampel penelitian dengan benar. Modul ini terdiri dari dua kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Cuplikan Acak dan Sifat-sifatnya. Kegiatan Belajar 2, menerangkan Pengecualian Sifat-sifat Cuplikan Acak. Modul 6, membahas topik: “Estimasi (Pendugaan Statistik)”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menduga karakteristik populasi berdasarkan hasil perhitungan dengan sampel. Modul ini terdiri dari dua kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Sifat-sifat yang Diperlukan Oleh Suatu Penduga yang baik (Penduga Statistik). Kegiatan Belajar 2, menerangkan Pendugaan Titik dan Pendugaan Rentang. Modul 7, membahas topik: “Uji Hipotesis”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menyimpulkan hasil dari perhitungan uji hipotesis. Modul ini terdiri dari tiga kegiatan belajar yaitu:



xi



Kegiatan Belajar 1,



Kegiatan Belajar 2,



menerangkan tentang Uji Hipotesisi dengan menggunakan Dugaan Rentang (Interval Estimasi) dan Uji Hipotesisi Klasik (Satu Sisi). menerangkan tentang Uji Hipotesisi Klasik Dua Sisi dan Uji Hipotesisi Lanjut.



Modul 8, membahas topik: “Analisis Varian”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat melakukan pengujian sampel dengan menggunakan metode analisis varian. Modul ini terdiri dari dua kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Analisis Varian Sederhana. Kegiatan Belajar 2, menerangkan tentang Analisis Varian Dua Faktor. Modul 9, membahas topik: “Angka Indeks”. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan keadaan perekonomian suatu negara atau perusahaan berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan konsep angka indeks. Modul ini terdiri dari dua kegiatan belajar yaitu: Kegiatan Belajar 1, menerangkan tentang Indeks Harga. Kegiatan Belajar 2, menerangkan tentang Indeks Kuantitas.



xii



Peta Kompetensi Statistika Ekonomi/ESPA4123/3 sks



Daftar TIK 1. menerapkan konsep mematut garis regresi; 2. menerapkan konsep analisis regresi; 3. menganalisis dengan menggunakan konsep regresi sederhana; 4. menganalisis dengan menggunakan konsep koefisien determinasi sederhana; 5. menganalisis dengan menggunakan konsep regresi berganda; 6. menganalisis dengan menggunakan konsep koefisien determinasi berganda; 7. menganalisis dengan menggunakan konsep uji parameter regresi dan interval kepercayaan;



xiii



8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.



menganalisis dengan menggunakan konsep asumsi-asumsi OLS; menganalisis dengan menggunakan konsep uji asumi klasik; menganalisis dengan menggunakan konsep analisis runut waktu; menganalisis dengan menggunakan konsep trend non-linier; menganalisis dengan menggunakan konsep distribusi chi square; menganalisis dengan menggunakan konsep uji kepatutan menganalisis dengan menggunakan konsep tes homogenitas; menganalisis dengan menggunakan konsep teorema Bayes; menganalisis dengan menggunakan konsep teori Bayes; menganalisis permasalahan ekonomi menggunakan konsep-konsep statistika ekonomi dan bisnis.



Modul 1



Konsep Dasar Statistika Dra. Ch. Suparmi, S.U.



PE NDAHUL UA N



D



alam modul ini akan dibahas konsep-konsep dasar Statistika Ekonomi, yang meliputi pengertian dasar statistika, data statistik, dan distribusi frekuensi. Selain itu akan dibahas pula cara pengumpulan data sehingga kita akan mempelajari juga mengenai distribusi frekuensi. Setelah data dikumpulkan, langkah selanjutnya adalah menyusun data dalam susunan yang teratur dan sistematis sehingga sifat-sifat data dapat dengan mudah dilihat. Data sekunder yang kita ambil dari pihak lain, biasanya sudah tersedia dalam bentuk tabel ataupun gambar sehingga hanya perlu sedikit modifikasi, disesuaikan dengan kebutuhan peneliti. Sedangkan data primer yang dikumpulkan menggunakan daftar pertanyaan ataupun dengan wawancara, bentuknya masih belum teratur. Segala macam jawaban seorang responden masih menjadi satu dalam suatu daftar pertanyaan. Maka dari itu perlu disusun dalam bentuk tabel-tabel supaya mudah dilihat. Apabila tabeltabel tadi dirasa belum cukup memberikan informasi maka dapat digambar dan dapat dilakukan analisis terhadap data tersebut. Dalam hal ini penyusunan data dalam bentuk tabel sangat membantu untuk kegiatan analisis data. Secara umum, setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat menyusun distribusi frekuensi. Secara khusus, setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1. Menjelaskan pengertian dasar statistika. 2. Menjelaskan pengertian variabel. 3. Menjelaskan konsep data. 4. Menerapkan konsep data. 5. Menjelaskan tentang konsep distribusi frekuensi. 6. Menerapkan konsep penyusunan distribusi frekuensi. 7. Menjelaskan konsep distribusi frekuensi relatif dan kumulatif. 8. Menerapkan konsep distribusi frekuensi relatif dan kumulatif.



1.2



Statistika Ekonomi 



Kegiatan Belajar 1



Pengertian Dasar Statistika dan Data A. PENGERTIAN STATISTIK Kegiatan belajar ini kita akan membahas pengertian dasar statistika. Kita sudah sering mendengar istilah statistik, misalnya: kantor statistik, statistik penduduk, statistik pertanian dan sebagainya, selain itu, kita juga mengenal istilah statistika. Kedua pengertian tersebut semuanya benar karena pengertian statistik memang ada dua. Modul satu ini akan membahas statistika. Adapun pengertian statistik ada dua yaitu: statistik dalam arti sempit dan statistik dalam arti luas. 1. Statistik dalam arti sempit adalah kumpulan dari data yang berupa angka, seperti statistik penduduk maupun statistik pertanian, data yang dinyatakan dalam bentuk angka. Data tersebut dapat ditampilkan dalam bentuk deretan angka, atau dibuat tabel, dan dapat pula berupa grafik. 2. Statistik dalam arti luas yang biasa disebut statistika. Statistika adalah keseluruhan dari metode pengumpulan data, pengolahan data, dan analisis terhadap data tersebut. B. TAHAP-TAHAP KEGIATAN STATISTIK Setelah membahas definisi statistik sebagai metode maka sesuai dengan definisi di atas kita dapat membagi kegiatan statistik ke dalam tahap-tahap sebagai berikut: 1. Pengumpulan Data (Collection of Data) Tahap kegiatan statistik yang pertama adalah pengumpulan data. Ada 2 cara atau metode pengumpulan data yaitu: a. Pengumpulan data secara keseluruhan disebut metode sensus (census). b. Pengumpulan data berdasarkan sampel (sample) disebut metode sampel. 2.



Penyusunan Data (Organization of Data) Tahap berikutnya setelah data dapat dikumpulkan adalah menyusun data dalam susunan yang teratur agar mudah dibaca dan dilihat secara visual. Kegiatan penyusunan data ini dapat dibedakan dalam tiga tahap, yaitu:



 ESPA4123/MODUL 1



1.3



a.



Editing Editing adalah kegiatan mendeteksi adanya kemungkinan kesalahan, ketidakkonsistenan, dan ketidakteraturan atau ketidaktepatan dari data yang telah dikumpulkan. b.



Klasifikasi Kegiatan klasifikasi adalah kegiatan mengelompokkan data sesuai dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh data. Kegiatan ini dilakukan setelah kita melaksanakan editing. c.



Tabulasi Tabulasi adalah kegiatan untuk mengadakan pengelompokan data sesuai dengan sifat-sifat data yang telah kita tentukan dalam susunan kolom-kolom dan baris-baris, sehingga data tersebut mudah ditarik kesimpulannya. 3.



Pengumuman Data (Presentation of Data) Pengumuman data dimaksudkan agar data yang telah disusun dapat disebarluaskan dan mudah dilihat secara visual. Supaya data tersebut dapat dengan mudah dibaca dan dilihat secara visual maka data tersebut dibuat dalam bentuk tabel, grafik maupun diagram. 4.



Analisis Data (Analysis of Data) Analisis data adalah kegiatan menganalisis data yang sudah dikumpulkan dan telah disusun. Analisis data dilakukan dengan menggunakan metode statistik seperti: rata-rata hitung, penyimpangan, regresi maupun korelasi. Dengan melakukan analisis data, kita dapat memperoleh gambaran keseluruhan dari data yang telah dikumpulkan. 5.



Interpretasi Data (Interpretation of Data) Interpretasi data merupakan kegiatan yang paling sulit karena memerlukan keahlian tinggi, sikap hati-hati, pertimbangan yang masak, dan sikap objektif. Apabila kegiatan interpretasi data dapat dilakukan dengan baik maka akan dapat diambil suatu kesimpulan yang baik pula.



1.4



Statistika Ekonomi 



C. PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL Dalam statistika kita selalu berhubungan dengan data. Data adalah faktafakta yang dapat dipercaya kebenarannya. Pengumpulan fakta-fakta yang disebut data tersebut kadang-kadang dapat kita kumpulkan seluruhnya, tetapi kadang-kadang hanya dapat kita kumpulkan sebagian saja. Jadi, kita mengenal istilah populasi dan sampel. 1. Populasi adalah keseluruhan dari objek yang diselidiki. Misalnya kita akan mengukur kadar gula darah seseorang maka populasinya adalah seluruh darah yang ada di dalam tubuh orang tersebut. 2. Sampel adalah sebagian dari objek yang diselidiki. Dari contoh di atas, untuk mengukur kadar gula darah orang tersebut, tidak perlu seluruh darah orang tersebut diambil dan diperiksa, tetapi cukup diambil setetes darah orang tersebut sebagai sampel. Dalam mengadakan penelitian, kita boleh meneliti seluruh populasi, tetapi boleh juga hanya meneliti sebagian dari populasi (sampel). Hasil pengamatan terhadap sampel akan sama baiknya dengan pengamatan terhadap populasi, dengan syarat sampel yang diambil harus bisa mewakili keseluruhan populasi yang diteliti. Oleh karena itu, pemilihan sampel harus diupayakan sehingga sampel itu dapat mencerminkan gambaran tentang keadaan seluruh populasi. Jumlah sampel jangan terlalu sedikit dan penentuannya secara random atau acak. Akan tetapi, apabila dalam penelitian kita menggunakan seluruh populasi maka hasilnya akan lebih bagus. Akan tetapi, dalam praktek sebagian besar penelitian dilakukan dengan mengadakan pengamatan terhadap sampel, dengan alasan: 1. Populasi jumlahnya tak terhingga/relatif banyak, misalnya kita akan meneliti pendapatan rata-rata penduduk Indonesia, maka kita tidak mungkin meneliti semua penduduk Indonesia. 2. Penelitian bersifat merusak, sehingga tidak mungkin dilakukan penelitian terhadap seluruh populasi sebab akan merusak semua elemen populasi. Sehingga dalam keadaan seperti itu, penelitian sebaiknya dilakukan terhadap sampel saja. Sebagai contoh, kita akan meneliti daya tahan bola lampu yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Untuk itu kita harus menghidupkan lampu tadi dan diteliti berapa jam daya tahannya. Jadi, lampu itu harus dihidupkan sampai akhirnya mati.



 ESPA4123/MODUL 1



3.



4.



5.



6. 7.



1.5



Populasinya homogen. Misalnya kita akan mengetes kadar gula darah seseorang, darah manusia itu homogen, sehingga kita cukup mengambil setetes darah orang tersebut untuk diteliti kadar gula darahnya. Hasil penelitian segera dibutuhkan, misalnya: hasil penelitian akan digunakan untuk membuat kebijakan. Kalau kita meneliti sampel saja, maka hasilnya segera diperoleh dan dapat segera dibuat kebijakan berdasarkan hasil penelitian tersebut. Menghemat biaya, penelitian terhadap sampel lebih murah daripada penelitian terhadap populasi karena populasi jumlahnya lebih banyak dari pada sampel. Menghemat waktu, penelitian terhadap sampel lebih cepat daripada penelitian terhadap populasi. Menghemat tenaga, penelitian terhadap sampel membutuhkan tenaga yang lebih sedikit dibandingkan meneliti populasi.



D. PENGERTIAN SENSUS DAN SAMPLING Cara pengumpulan data ada dua cara, yaitu secara sensus dan sampling. Sensus adalah pengumpulan data yang dilakukan dengan meneliti semua anggota populasi. Pemerintah melakukan beberapa sensus, seperti: Sensus Penduduk, Sensus industri, dan Sensus Pertanian. Sensus penduduk dilakukan dengan meneliti semua penduduk, dengan mendatangi semua rumah satu persatu. Maka dari itu, sensus hanya dilakukan beberapa tahun sekali, sebab memerlukan biaya yang cukup besar. Tenaga yang terlibat dalam melakukan sensus juga banyak dan waktu yang diperlukan untuk mengadakan sensus mulai dari persiapan, pelaksanaan sampai pengolahan data cukup banyak. Maka dari itu, kebanyakan peneliti melakukan penelitian secara sampling. Sampling adalah pengumpulan data yang dilakukan dengan meneliti sebagian dari anggota populasi. Dengan hanya meneliti sebagian dari anggota populasi maka akan dapat menghemat biaya, waktu, dan tenaga. Penelitian dengan cara mengambil sampel ini dapat juga menghasilkan data yang bagus, bila pengambilan sampelnya benar, sehingga sampel ini dapat mewakili populasi, dan karakteristik sampel dapat mencerminkan karakteristik populasi.



1.6



Statistika Ekonomi 



Bahkan banyak peneliti yang berpendapat bahwa penelitian dengan pengambilan sampel bisa diperoleh data yang bagus karena objeknya sedikit maka dapat dibuat daftar pertanyaan yang lebih rinci dari pada daftar pertanyaan untuk sensus. E. PENGERTIAN STATISTIKA DESKRIPTIF DAN STATISTIKA INDUKTIF Dalam statistika (statistik dalam arti luas) kita mengenal istilah statistika deskriptif dan statistika induktif. Statistika Deskriptif adalah bagian dari statistika yang membahas tentang cara pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, penentuan nilai-nilai statistika, dan pembuatan gambar mengenai sesuatu. Setelah dikumpulkan, data dapat disajikan dalam bentuk yang lebih mudah dipahami dan dibaca agar dapat memberikan gambaran tentang suatu peristiwa atau suatu keadaan. Misalnya diperoleh informasi bahwa suatu daerah mayoritas penduduknya bekerja di sektor pertanian. Informasi ini dapat kita peroleh dengan menghitung proporsi penduduk yang bekerja di sektor pertanian. Misalnya di suatu daerah proporsi penduduk yang bekerja di sektor pertanian (P) = 0,6 berarti 60% penduduk di daerah tersebut bekerja dan memperoleh pendapatan dari sektor pertanian. Informasi lain, pendapatan rata-rata penduduk di suatu kabupaten Rp1.000.000,00 per bulan dengan deviasi standar sebesar Rp200.000,00. Adapun yang dimaksud dengan statistika induktif atau statistika inferensi adalah bagian statistika yang berhubungan dengan kegiatan analisis untuk pengambilan kesimpulan mengenai populasi yang sedang diselidiki dengan pendekatan sampel. Sebagai contoh, dari hasil penelitian diperoleh informasi bahwa pendapatan rata-rata responden Rp1.000.000,00 per bulan, maka kita dapat menghitung pendapatan rata-rata semua penduduk di daerah tersebut dengan mengadakan estimasi berdasarkan hasil pengamatan data sampel. Pada penelitian yang dilakukan, kita akan memperoleh bermacam-macam data. Data tersebut dapat dibagi menjadi beberapa macam, sesuai dengan dasar pembagiannya. F. DATA INTERN DAN DATA EKSTERN Menurut sumber data yang dikumpulkan, data dapat dibagi menjadi dua yaitu data intern dan data ekstern. Data intern adalah data yang dikumpulkan



 ESPA4123/MODUL 1



1.7



oleh suatu badan mengenai kegiatan badan itu, dan hasilnya digunakan untuk kepentingan badan itu. Sebagai contoh, sebuah perusahaan mengadakan penelitian tentang produktivitas tenaga kerja di perusahaan tersebut. Sedangkan data ekstern adalah data yang diperoleh dari luar badan yang memerlukannya. Misalnya data tentang jumlah penganggur di negara tempat perusahaan tadi beroperasi. Data tersebut dapat diperoleh dari hasil penelitian departemen tenaga kerja. Sehingga bagi badan tersebut data jumlah penganggur merupakan data ekstern. G. DATA PRIMER DAN DATA SEKUNDER Data ekstern dapat dibagi lagi menjadi dua yaitu data primer dan data sekunder. Data primer adalah data ekstern yang diperoleh dari hasil penelitian sendiri, misalnya suatu perusahaan ingin mengetahui preferensi konsumen terhadap produk yang dihasilkan maka perusahaan tersebut mengadakan survei pasar. Sementara itu, data sekunder adalah data yang diperoleh dari pihak lain atau dari hasil penelitian orang lain. Biasanya ada lembaga-lembaga tertentu yang memang bertugas untuk mengumpulkan data. Badan lain yang membutuhkan data, tinggal mengambil saja dari lembaga yang mengumpulkan data tersebut. Jadi, badan yang menggunakan data bukan badan yang mengumpulkan data. Sebagai contoh, seorang mahasiswa mengumpulkan data untuk keperluan pembuatan skripsi. Ia mengambil data dari BPS dan melakukan wawancara dengan responden. Jadi, data yang diperoleh dari BPS merupakan data sekunder. Sementara itu, data yang diperoleh dari hasil wawancara dengan responden merupakan data primer bagi mahasiswa tersebut. H. DATA KUANTITATIF DAN DATA KUALITATIF Dalam suatu penelitian sebagian besar data yang dikumpulkan berupa data kuantitatif yaitu data yang dinyatakan dengan menggunakan angka. Sebagai contoh : umur responden, pendapatan, jumlah anak, luas tanah yang dimiliki, jumlah barang yang diproduksi dan sebagainya. Dari data kuantitatif tersebut kita dapat menghitung dan mengetahui karakteristik objek penelitian. Akan tetapi, penelitian itu akan lebih lengkap apabila kita mengumpulkan data kuantitatif maupun data kualitatif. Dengan menggunakan data kuantitatif dan kualitatif tulisan kita akan lebih lengkap karena kita dapat mengetahui



1.8



Statistika Ekonomi 



latar belakang masyarakat/objek penelitian kita. Data kualitatif adalah data yang tidak dinyatakan dalam satuan angka tetapi dinyatakan dalam kategori, golongan atau sifat dari data tersebut. Misalnya, data tentang jenis kelamin maupun mata pencaharian responden, golongan kepegawaian, jabatan, warna yang disukai, dan agama. I.



DATA DISKRIT DAN DATA KONTINU



Data kuantitatif dapat dibagi menjadi dua, yaitu data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli, tidak boleh berbentuk pecahan. Data seperti ini cukup banyak, seperti jumlah anak, produksi bola, pakaian, kursi, meja, dan sebagainya. Sedangkan data kontinu adalah data yang satuannya dapat berupa bilangan pecahan, seperti umur, tinggi badan, produksi beras, minyak goreng, dan kain. J.



SKALA PENGUKURAN DATA



1. 2. 3. 4.



Skala pengukuran dapat dibedakan menjadi empat macam, yaitu : Skala pengukuran nominal. Skala pengukuran ordinal. Skala pengukuran interval. Skala pengukuran rasio.



1.



Skala Nominal Pada data nominal, data digabungkan pada kriteria yang jelas dan tegas serta bersifat diskrit. Kelompok yang satu dengan yang lain pada skala nominal tidak dapat dikatakan yang satu lebih tinggi dari yang lain. Contoh: Karyawan di suatu instansi dikelompokkan menjadi beberapa kelompok: suku Jawa, Sunda, Bali, Batak, Dayak, dan Madura. Pada data seperti ini pengukurannya dilakukan dengan cara menjumlahkan frekuensinya. Misalnya jumlah karyawan di instansi ini sebanyak 100 orang, angka ini diperoleh dari penjumlahan nominal: karyawan suku Jawa 30, Sunda 20, Bali 15, Batak 10, Dayak 10, dan Madura 15.



 ESPA4123/MODUL 1



1.9



2.



Skala Ordinal Data dikumpulkan pada urutan, misalnya: tinggi, sedang, dan rendah. Pada pengelompokan ini kita tidak dapat membedakan nilai data antara kelompok yang satu dengan yang lain, sehingga tidak dapat dipergunakan dalam perhitungan. Contoh: Pengelompokan penghasilan masyarakat dalam kelompok: penghasilan rendah, penghasilan sedang, dan penghasilan tinggi. Kelompok yang satu dapat dibedakan lebih rendah dan lebih tinggi dari pada kelompok yang lain, tetapi jumlah besarnya perbedaan antara kelompok yang satu dengan yang lain tidak dapat dihitung. 3.



Skala Interval Skala ini dipergunakan untuk menunjukkan adanya pengelompokan yang mempunyai besaran yang sama. Pada skala ini nilai 0, mempunyai arti yang relatif, bukan harga 0 secara mutlak. Nilai dari 0° Farenheit sebagai titik awal pengukuran bukan berarti tidak mempunyai nilai suhu. Contoh: Tahun 1000, 2000 merupakan skala interval, yang dinilai dari 0 tetapi bukan dalam arti mutlak. 4.



Skala rasio Skala rasio memiliki skala yang hampir sama dengan skala interval. Pada skala rasio nilai 0 merupakan nilai mutlak, titik 0 pada skala panjang menunjukkan tidak ada panjang. Data pada skala rasio mempunyai kualitas bilangan riil yang dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi. Contoh: Berat badan dalam satuan kg, si A beratnya 40 kg sedang si B beratnya 80 kg, jadi berat si B 2 kali dibanding berat si A.



1.10



Statistika Ekonomi 



LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Dalam modul ini dibahas statistik dalam arti sempit atau dalam arti luas? Coba jelaskan pengertian statistika tersebut. 2) Kalau kita mengadakan wawancara terhadap 10 orang pedagang dan kita peroleh data yang menggambarkan keadaan pedagang tersebut maka penelitian tersebut termasuk statistika deskriptif atau statistika induktif? 3) Mengapa kebanyakan peneliti mengadakan penelitian dengan mengambil sampel, bukan meneliti seluruh populasi? 4) Mengapa pemerintah hanya mengadakan sensus penduduk setiap 10 tahun sekali. 5) Benarkah penelitian yang dilakukan dengan hanya meneliti sebagian dari populasi dapat diperoleh hasil yang bagus? Jelaskan jawaban saudara! 6) Apa perbedaan antara data primer dan data sekunder? 7) Apa perbedaan data ekstern dan data intern 8) Apa perbedaan antara data kualitatif dan data kuantitatif? 9) Dari data berikut, tentukan mana yang termasuk data diskrit dan mana yang termasuk data kontinu? a. Banyaknya saham yang dijual di pasar saham b. Data curah hujan per hari yang dicatat oleh dinas meteorologi c. Usia hidup bola lampu yang diproduksi sebuah perusahaan d. Penghasilan dosen di sebuah perguruan tinggi per tahun e. Tinggi badan siswa suatu sekolah Petunjuk Jawab Latihan 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)



Pelajari materi mengenai statistik dalam arti sempit dan arti luas. Pelajari materi mengenai statistik deskriptif dan induktif. Pelajari materi mengenai sampel. Pelajari materi mengenai sensus. Pelajari materi tentang penelitian populasi. Pelajari materi data primer dan data sekunder. Pelajari materi data ekstern dan intern.



 ESPA4123/MODUL 1



1.11



8) Pelajari materi data kualitatif dan data kuantitatif. 9) Pelajari materi data diskrit dan data kontinu. RA NGK UMA N Statistik ada dua macam, yaitu statistik dalam arti sempit dan statistik dalam arti luas, yang dibahas dalam modul ini adalah statistik dalam arti luas yang sering disebut dengan istilah statistika. Statistika adalah keseluruhan dari metode pengumpulan data, pengolahan data, dan analisis terhadap data tersebut. Metode statistik ada dua macam yaitu statistika deskriptif dan statistika induktif. Statistika deskriptif adalah bagian dari statistika yang membahas tentang cara untuk pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, penentuan nilai-nilai karakteristik sampel, agar dapat memberikan gambaran mengenai suatu keadaan. Sementara itu, statistika induktif atau statistika inferensi adalah bagian statistika yang berhubungan dengan kegiatan analisis untuk pengambilan kesimpulan mengenai populasi yang sedang diselidiki pendekatan sampel. Dalam statistika kita selalu berhubungan dengan data. Data adalah fakta-fakta yang dapat dipercaya kebenarannya. Fakta-fakta yang disebut data tersebut kadang-kadang dapat kita kumpulkan seluruhnya, tetapi kadang-kadang hanya dapat kita kumpulkan sebagian saja. Maka kita mengenal istilah populasi dan sampel. 1. Populasi adalah keseluruhan dari objek yang diselidiki. 2. Sampel adalah sebagian dari objek yang diselidiki. Cara pengumpulan data ada dua cara, yaitu secara sensus dan sampling. Sensus adalah pengumpulan data yang dilakukan dengan meneliti semua anggota populasi. Maka dari itu, sensus hanya dilakukan beberapa tahun sekali, sebab memerlukan biaya yang cukup besar. Sedangkan kebanyakan peneliti melakukan penelitian secara sampling, yaitu pengumpulan data yang dilakukan dengan meneliti sebagian dari anggota populasi. Dengan hanya meneliti sebagian dari anggota populasi maka akan dapat menghemat biaya, waktu, dan tenaga. Suatu badan yang mengadakan penelitian, dapat mengambil data intern dan data ekstern. Data intern adalah data yang dikumpulkan oleh suatu badan mengenai kegiatan badan itu, sedangkan data ekstern adalah data yang diperoleh dari luar badan yang memerlukannya. Data ekstern dapat dibagi lagi menjadi dua yaitu data primer dan data sekunder. Data primer adalah data ekstern yang diperoleh dari hasil



1.12



Statistika Ekonomi 



penelitian sendiri. Sedangkan data sekunder adalah data yang diperoleh dari pihak lain atau dari hasil penelitian orang lain. Dalam suatu penelitian sebagian besar data yang dikumpulkan berupa data kuantitatif yaitu data yang dinyatakan dengan menggunakan angka, sisanya berupa data kualitatif yaitu data yang tidak dinyatakan dalam satuan angka tetapi dinyatakan dalam kategori, golongan atau sifat dari data tersebut. Data kuantitatif dapat dibagi menjadi dua, yaitu data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli, tidak boleh berbentuk pecahan. Sedangkan data kontinu adalah data yang satuannya dapat berupa bilangan pecahan. Skala pengukuran dapat dibedakan menjadi empat macam, yaitu : skala pengukuran nominal, skala pengukuran ordinal, skala pengukuran interval, dan skala pengukuran rasio. TES FO RMA TIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Untuk mengetahui tingkat penghasilan masyarakat suatu kabupaten, masyarakat dikelompokkan menjadi 5 kelompok: petani, pedagang, pegawai negeri, pengusaha, dan buruh. Masing-masing kelompok diambil 10 orang untuk diwawancarai. Cara seperti ini disebut penelitian secara .... A. sensus B. sampling C. survei D. random 2) Informasi mengenai jumlah penduduk sangat diperlukan sebagai dasar untuk pembuatan perencanaan, baik oleh pemerintah maupun swasta. Akan tetapi, Indonesia tidak setiap tahun melaksanakan sensus penduduk. Sebab .... A. penduduk Indonesia banyak B. butuh tenaga pencacah yang banyak C. membutuhkan biaya yang besar D. semua jawaban di atas benar 3) Biro Pusat Statistik mengadakan bermacam-macam penelitian seperti tercantum di bawah mi. Penelitian yang dilakukan dengan cara pengambilan sampel adalah



 ESPA4123/MODUL 1



A. B. C. D.



1.13



sensus penduduk sensus industri sensus pertanian perhitungan Produk Domestik Bruto



4) Pada umumnya, peneliti mengadakan penelitian dengan cara mengambil sampel, dengan alasan .... A. populasinya terlalu banyak B. penelitian bersifat merusak C. populasinya homogen D. semua jawaban di atas benar 5) Sebelum mengadakan pemilihan umum, biasanya mengadakan penelitian yang cakupannya nasional, yaitu .... A. sensus penduduk B. sensus industri C. sensus pertanian D. survei sosial ekonomi



pemerintah



6) Seorang pengusaha ingin mengetahui kemampuan membeli yang dimiliki oleh konsumennya, dengan melihat perkembangan pendapatan per kapita masyarakat. Untuk keperluan tersebut ia melihat laporan yang dibuat oleh pemerintah daerah setempat. Data yang digunakan itu disebut .... A. data intern B. data kualitatif C. data primer D. data sekunder 7) Sebuah biro konsultasi manajemen CITRA mendapat pekerjaan untuk meneliti keadaan pasar gaplek dewasa mi. Untuk membuat laporan penelitian, Citra menggunakan data yang diterbitkan oleh Biro Pusat statistik, laporan yang dibuat oleh KADIN dan laporan dari Departemen Pertanian. Di samping itu, Citra juga melakukan wawancara dengan konsumen dan mengamati perdagangan gaplek antardaerah. Hal yang termasuk data primer adalah .... A. data dari BPS B. data hasil wawancara dengan konsumen C. data dari KADIN D. hasil observasi perdagangan gaplek



1.14



Statistika Ekonomi 



8) Berikut ini ada beberapa macam data, manakah yang termasuk data diskrit di antara data yang ada di bawah ini .... A. berat badan B. jumlah anak C. suhu udara D. jumlah anggaran belanja 9) Suatu perusahaan kadang-kadang perlu mengadakan penelitian terhadap keadaan perusahaan, data yang diperoleh disebut data intern. Beberapa data berikut ini termasuk data intern kecuali data .... A. mengenai motivasi kerja karyawan B. pengadaan bahan baku C. harga pasar D. keuntungan perusahaan 10) Seorang mahasiswa yang sedang mengadakan penelitian untuk keperluan skripsi yang dibuatnya, kalau ingin cepat selesai maka dia sebaiknya .... A. mengadakan sensus B. menggunakan data sekunder C. menggunakan data hasil penelitian sendiri D. mengambil data dari skripsi mahasiswa lain Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.15



 ESPA4123/MODUL 1



Kegiatan Belajar 2



Distribusi Frekuensi



D



alam Kegiatan Belajar 1 sudah dibahas cara mengumpulkan data. Langkah selanjutnya setelah data terkumpul adalah menyusun data dalam susunan yang teratur dan sistematis sehingga sifat-sifat data dapat mudah dilihat. Dalam Kegiatan Belajar 1 juga sudah dibahas mengenai data primer dan data sekunder. Pada data primer yang dikumpulkan dengan menggunakan daftar pertanyaan, setelah data tersebut dikumpulkan perlu diklasifikasikan dan di tabulasi agar nampak sifat data yang menonjol. Klasifikasi data akan sangat membantu untuk kegiatan analisis data. A. PENGERTIAN KLASIFIKASI DATA Langkah awal analisis data adalah mengklasifikasikan data. Klasifikasi data berarti memilah-milah data dari yang bersifat heterogen ke dalam kelompok-kelompok yang homogen, sehingga sifat-sifat data yang menonjol mudah dilihat Tujuan utama mengklasifikasikan data adalah: 1. Menggolongkan sifat data yang sama ke dalam kelompok-kelompok tertentu atau kelas-kelas tertentu 2. Mempermudah untuk membandingkan 3. Mengelompokkan informasi yang menonjol dan menghilangkan hal-hal yang tidak perlu 4. Menunjukkan sifat yang menonjol sehingga secara sekilas mudah dilihat 5. Mempermudah untuk melakukan analisis terhadap data yang sudah dikumpulkan, menginterpretasikan data, dan penyusunan laporan. a.



Dasar-dasar klasifikasi Pada dasarnya ada 2 macam klasifikasi data 1) Klasifikasi berdasarkan sifat-sifat (Attribute). 2) Klasifikasi berdasarkan bilangan (Variables). b.



Klasifikasi berdasarkan sifat-sifat (attribute) data Klasifikasi berdasarkan sifat-sifat atau ciri tertentu dari data, biasanya diterapkan pada data kualitatif. Misalnya: warna kulit, ada putih, kuning, dan



1.16



Statistika Ekonomi 



coklat. Klasifikasi secara kualitatif ini sulit untuk diukur secara kuantitatif. Apabila kita menghadapi kejadian seperti itu maka cara yang dapat kita lakukan adalah kita menentukan satu kelompok data dengan sifat tertentu, misal : kulit putih maka kelompok yang lain adalah kelompok bukan kulit putih, atau muslim dan nonmusim. Klasifikasi menjadi 2 subkelompok ini disebut pembagian dikotomi (dichotomy), sedang klasifikasinya disebut klasifikasi sederhana (simple classification). Dan apabila subkelompok tersebut dirinci lebih lanjut maka klasifikasi ini disebut manifold classification. c.



Klasifikasi berdasarkan bilangan Klasifikasi berdasarkan bilangan adalah klasifikasi secara kuantitatif, misalnya upah karyawan, jumlah barang yang diproduksi dan sebagainya Klasifikasi berdasarkan bilangan disebut klasifikasi berdasarkan kelas interval (class interval). B. PENYUSUNAN DATA SECARA SISTEMATIS (SERIATION) Seriation adalah penyusunan data dalam urutan yang sistematis Penyusunan data secara sistematis dapat dilakukan dengan berbagai cara, yaitu: 1. Berdasarkan waktu (time series, chronological, historical series). 2. Berdasarkan daerah/wilayah (geographical series, cluster). 3. Berdasarkan keadaan/frekuensi (frequency, conditional series). 1.



Berdasarkan Waktu Waktu di sini merupakan dasar utama untuk menyusun data maka selanjutnya disebut dengan data time series. Contoh:



1.17



 ESPA4123/MODUL 1



Tabel 1.1. Produksi Padi di Kabupaten MAKMUR (dalam ribuan ton)



Tahun Produksi padi 2000 10 2001 11 2002 13 2003 15 2004 16 2005 17 2006 19 2007 22 2008 25 2009 26 Sumber: Kabupaten MAKMUR dalam angka 2.



Berdasarkan Daerah/Wilayah Daerah/wilayah merupakan faktor penting untuk menyusun data. Sebagai contoh disajikan dalam Tabel 1.2 Tabel 1.2. Produksi padi di Propinsi RAHARJO, Tahun 2009 (dalam ribuan ton)



1. 2. 3. 4. 3.



Kabupaten Makmur Subur Ayem Tentrem



Produksi padi 26 30 25 20



Berdasarkan Keadaan/Frekuensi Penyusunan data berdasarkan kondisi fisik seperti: tinggi, berat, ataupun metode gradasi yang lain, berdasarkan banyaknya kejadian di suatu tempat tertentu dan waktu tertentu.



1.18



Statistika Ekonomi 



Penyusunan data berdasarkan keadaan/frekuensi ini dapat dilakukan dengan 2 cara. a. Secara individual b. Secara kelompok a.



Metode seriation secara individual Metode ini merupakan cara menyusun data sesuai dengan hasil observasi. Sebagai contoh: seorang dosen mengadakan penelitian mengenai jumlah anak dalam keluarga mahasiswa yang mengikuti kuliahnya. Hasil penelitiannya adalah sebagai berikut: Tabel 1.3. Jumlah Anak Dalam Keluarga Mahasiswa



2 3 1 4 2



3 4 2 6 1



3 2 1 4 5



1 2 5 3 2



4 1 3 2 5



Dari data tersebut dapat diketahui komposisi jumlah anak dalam keluarga mahasiswa, tetap masih agak susah diamati karena belum tersusun secara rapi. Cara penyusunan seperti itu hanya dapat diterapkan pada data yang jumlahnya terbatas. Data seperti itu disebut dengan data mentah (raw data). Untuk memperjelas, data tersebut dapat disusun menjadi lebih teratur seperti tampak dalam Tabel 1.4 berikut: Tabel 1.4. Susunan Data yang Teratur (Array) Komposisi Jumlah Anak dalam Keluarga Mahasiswa



1 1 1 1 1



2 2 2 2 2



3 3 3 3 3



3 3 4 4 4



4 5 5 5 5



1.19



 ESPA4123/MODUL 1



Data individual (ungrouped data) tersebut disusun secara teratur, sehingga dengan mudah dapat diketahui berapa orang mahasiswa yang merupakan anak tunggal, berapa yang dua bersaudara dan seterusnya. b.



Metode seriation secara kelompok Metode ini merupakan cara menyusun data dalam kelompok-kelompok berdasarkan interval tertentu. Selanjutnya dari masing-masing kelompok akan tampak berapa kali terjadinya (berapa frekuensinya). Pengelompokan berdasarkan interval ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: 1) Rangkaian yang diskrit (discrete series atau discontinuous series) 2) Rangkaian yang kontinu (continuous series) Perbedaan cara penyusunan data ini didasarkan pada sifat dari data tersebut, apakah variabelnya bersifat diskrit atau kontinu. Data atau variabel diskrit adalah data yang hanya dapat dinyatakan dalam bilangan bulat. Contoh : jumlah anak, jumlah penduduk, jumlah mobil dan sebagainya. Contoh distribusi data yang bersifat diskrit dapat dilihat dalam Tabel 1.5. Tabel 1.5. Distribusi Jumlah Anak dalam Keluarga Mahasiswa



Jumlah anak per keluarga



Jumlah keluarga



1–2 3–4 5–6



12 9 4



Sedangkan data atau variabel kontinu adalah data yang dapat dinyatakan dengan bilangan pecahan. Misalnya: tinggi badan, berat badan, nilai, produksi beras, keuntungan perusahaan dan sebagainya. Contoh distribusi data yang bersifat kontinu dapat dilihat dalam Tabel 1.6. Tabel 1.6 disebut juga dengan distribusi frekuensi atau tabel frekuensi.



1.20



Statistika Ekonomi 



Tabel 1.6. Distribusi keuntungan perusahaan batik Di Yogyakarta, tahun 2009 (dalam juta rupiah)



Keuntungan 10 – 19,9 20 – 29,9 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9



Jumlah perusahaan 3 5 9 6 4



C. PENGERTIAN DISTRIBUSI FREKUENSI Di dalam statistik deskriptif kita mengusahakan agar data dapat disajikan dalam bentuk yang lebih berguna, lebih mudah dipahami, dan lebih cepat dimengerti. Kalau datanya hanya sedikit, tanpa dibuat tabel pun data tetap mudah dibaca tetapi kalau datanya banyak sekali maka membacanya agak sulit, dan memerlukan waktu yang cukup lama untuk mencermatinya. Untuk memudahkan dan mempercepat kita memahami data tersebut maka data yang sudah dikumpulkan, disusun agar lebih teratur, dalam bentuk tabel yang disebut dengan distribusi frekuensi. Hal yang dimaksud distribusi frekuensi adalah suatu daftar yang membagi data yang ada ke dalam beberapa kelas. D. MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI



1.



2.



Kita mengenal dua macam distribusi frekuensi yaitu : Distribusi frekuensi menurut bilangan adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya dinyatakan dalam angka-angka atau secara kuantitatif. Distribusi frekuensi menurut kategori adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya berdasarkan atas macam-macam data, atau golongan data, yang dilakukan secara



Dalam membuat distribusi frekuensi, kita dapat membuat satu distribusi frekuensi untuk satu macam data dan selanjutnya disebut dengan distribusi frekuensi bersifat tunggal. Akan tetapi, dapat pula dibuat suatu distribusi frekuensi yang dipakai untuk menyusun dua macam variabel. Namun, pada



1.21



 ESPA4123/MODUL 1



umumnya peneliti membuat distribusi frekuensi yang bersifat tunggal, karena distribusi frekuensi semacam ini lebih sederhana, mudah dibaca, dan dapat dianalisis lebih lanjut. Berikut ml dapat dilihat beberapa contoh distribusi frekuensi. a. Distribusi frekuensi menurut bilangan dan bersifat tunggal Tabel 1.7. Umur Pegawai PT Garuda



b.



Umur



Frekuensi



20 – 29,9 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 Jumlah



5 10 15 13 7 50



Distribusi frekuensi menurut bilangan dan bersifat ganda Tabel 1.8. Berat Badan dan Tinggi Badan Karyawan PT Garuda



Berat badan 50 -59,9



60 - 69,9



70 - 79,9



2



4



2



1



6 6 4 20



7 6 2 17



80 - 89,9



Tinggi badan 150 – 159,9 160 – 169,9 170 – 179,9 180 – 189,9 Jumlah



3



4 5 1 10



1.22



c.



Statistika Ekonomi 



Distribusi frekuensi menurut kategori dan bersifat tunggal Tabel 1.9. Mata Pencaharian Penduduk di Kota ”DAMAI”



Mata Pencaharian Penduduk Petani Pedagang Pegawai Negeri Sipil Pegawai swasta Pengusaha Lain-lain Jumlah d.



Frekuensi 500 400 100 200 50 50 1.300



Distribusi frekuensi menuruti/dan bersifat ganda Tabel 1.10. Mata Pencaharian dan Jenis Kelamin Penduduk di Kota DAMAI



Jenis kelamin Laki-laki Mata pencaharian 250 Petani Pedagang 150 75 Pegawai Negeri Sipil 75 Pegawai swasta Pengusaha 30 Lain-lain 25 Jumlah 605



perempuan 250 250 25 125 20 25 695



Pembahasan dalam membuat suatu distribusi frekuensi dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dibahas mengenai penyusunan distribusi frekuensi menurut bilangan. Dalam bagian ini akan dibahas tahap-tahap pembuatan distribusi frekuensi, mulai dari penentuan banyaknya kelas, perhitungan range maupun perhitungan calss interval, dilanjutkan dengan penentuan kelas dan diakhiri dengan tabulasi. Bagian kedua adalah pembuatan distribusi frekuensi menurut kategori. Cara membuat distribusi frekuensi menurut kategori lebih cepat daripada pembuatan distribusi frekuensi menurut bilangan. Langkah yang harus



 ESPA4123/MODUL 1



1.23



dilakukan hanya terdiri dari dua tahap, yaitu menentukan kelas dan yang ke dua mengadakan tabulasi. E. PENYUSUNAN DISTRIBUSI FREKUENSI MENURUT BILANGAN Penyusunan distribusi frekuensi menurut bilangan dapat dilakukan melalui beberapa tahap: 1. Menentukan Jumlah Kelas Kita tentukan jumlah kelas untuk mengelompokkan data yang ada. Dalam menentukan jumlah kelas ini bebas, bisa dibagi menjadi 5 kelas atau 10 kelas atau berapa saja sesuai dengan kebutuhan dan banyak sedikitnya data. Salah satu cara untuk menentukan jumlah kelas adalah dengan menggunakan rumus Sturges. Menurut Sturges banyaknya klas dipengaruhi oleh banyaknya data. Hubungan antara jumlah kelas dan banyaknya data dapat dinyatakan dalam bentuk rumus sebagai berikut:



K  1  3,3 log N atau 2K  N Dalam hal ini K = banyaknya kelas N = jumlah data Apabila jumlah data yang kita kumpulkan sebanyak 100 maka jumlah kelas dapat dihitung menggunakan rumus di atas: K = 1 + 3,3 log 100 K= 1+ 3,3(2) =7,6 Banyaknya kelas harus merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu, kita lakukan pembulatan. Caranya seperti yang biasa kita lakukan dalam mengadakan pembulatan, yaitu apabila bilangan pecahan lebih dari 0,5 maka kita bulatkan ke atas, dan apabila kurang dari 0,5 kita bulatkan ke bawah. Maka dalam hal ini kita akan membuat 8 kelas. 2.



Menghitung Range, (Rentang Data) Range adalah perbedaan antara data terkecil dengan data terbesar, atau sama dengan selisih antara data terbesar dan data terkecil.



1.24



Statistika Ekonomi 



Penentuan range sangat mudah, yaitu kita cari data terbesar dan data terkecil, kemudian kita cari selisihnya. Misalnya data terbesar adalah 90 dan data terkecil 40 maka rangenya sebesar 50, yaitu 90 dikurangi 40. 3.



Menghitung Lebar Kelas (Interval Class) Lebar kelas dapat dihitung dengan membagi range dengan banyaknya kelas yang sudah dibulatkan. Lebar kelas (interval class) dapat dihitung R dengan rumus C i = . K Dari contoh di atas kita sudah menentukan banyaknya kelas (K) = 7 dan range sebesar 40 maka kita dapat menghitung kelas interval yaitu SO : 8 = 6,25. Pada dasarnya kelas interval tidak harus merupakan bilangan bulat. Akan tetapi, seandainya merupakan bilangan bulat akan lebih bagus. Untuk itu diperlukan pembulatan. Dalam membulatkan , dianjurkan pembulatannya ke atas, karena kalau dibulatkan ke bawah, dikhawatirkan kelasnya menjadi terlalu kecil sehingga tidak dapat menampung semua data yang ada. Maka kelas intervalnya dapat dibulatkan menjadi 7. 4.



Menentukan Kelas Pada dasarnya kita bebas menentukan kelas, asalkan sesuai dengan banyaknya kelas dan besarnya kelas interval yang sudah kita hitung. Hanya saja ada sedikit pedoman yang perlu kita patuhi yaitu:  4 Semua data dapat masuk, artinya data terkecil dapat masuk ke dalam kelas terkecil dan data terbesar dapat masuk ke dalam kelas terbesar.  4 Batas atas suatu kelas dibuat sedikit lebih kecil dari batas bawah kelas di atasnya. Dari contoh tadi kita kelasnya sebagai berikut: Kelas ke 1 40 – 46,9 Kelas ke 2 47 – 53,9 Kelas ke 3 54 – 60,9 Kelas ke 4 61 – 67,9 Kelas ke 5 68 – 7 4,9 Kelas ke 6 75 – 81,9 Kelas ke 7 82 – 88,9 Kelas ke 8 90 – 96,9



 ESPA4123/MODUL 1



1.25



Setelah selesai menentukan kelas, kita periksa sekali lagi apakah data terkecil dapat masuk kelas ke 1 dan apakah data terbesar dapat masuk kelas ke 8. Dan seterusnya kita periksa apakah besarnya batas atas kelas ke 1 sedikit di bawah batas bawah kelas ke 2, dan seterusnya. Kalau semuanya sudah beres, selesailah sudah pembuatan kelas, dan kita dapat meneruskan langkah terakhir yaitu menentukan frekuensi dari masing-masing kelas. 5.



Menentukan Frekuensi Untuk mencari frekuensi masing-masing kelas dilakukan dengan cara mengadakan tabulasi yaitu memasukkan data ke dalam tabel. Contoh: Berikut ini adalah data tentang besarnya keuntungan bersih per tahun dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta masing-masing sebagai berikut : (Juta rupiah) 60 33 85 52 65 77 84 65 57 77 71 81 35 50 38 64 74 41 68 54 41 41 61 91 55 73 54 53 45 77 44 78 55 48 69 85 67 39 76 60 94 66 98 66 79 42 65 94 89 88 Pertanyaan: buatlah distribusi frekuensi yang baik menggunakan data tersebut. Jawab Untuk membuat distribusi frekuensi tentang keuntungan 50 perusahaan di atas dapat dilakukan dengan beberapa langkah. a. Langkah pertama, kita menentukan jumlah kelas dengan pedoman Sturges, K = 1 + 3,3 log N maka kita peroleh K = 1 + 3,3 log 50 = 6,6 Banyaknya kelas merupakan bilangan diskrit, jadi harus bulat, tidak boleh pecahan maka kalau K diperoleh bilangan pecahan maka harus kita bulatkan. Sehingga jumlah kelasnya kita bulatkan menjadi 7. b.



Langkah kedua, kita menentukan range Dua data di atas kita dapat dihitung rangenya, yaitu dengan mencari selisih antara data terbesar dan data terkecil = 98 – 33 = 65



1.26



Statistika Ekonomi 



c.



Langkah ketiga, kita menentukan kelas interval/lebar kelas Dua data di atas dapat dihitung kelas intervalnya, yaitu range dibagi banyaknya kelas  Ci = 65/7 = 9,28. Pada dasarnya kelas interval tidak harus bulat, tetapi seandainya bulat, akan lebih bagus. Dalam melakukan pembulatan disarankan untuk membulatkan ke atas. Misalnya: Ci = 9,28 dibulatkan menjadi 10 d.



Menentukan kelas Dalam menentukan kelas, kita memakai hasil perhitungan yang sudah dilakukan, yaitu banyak kelas 7 dan kelas interval 10. Kita melakukan pembulatan kelas interval dari 9,28 menjadi 10. Maka kita membuat kelas pertama dengan batas bawahnya 30 dan batas atas 39,9. Sedangkan kelas kedua dengan batas bawah 40 dan batas atas 49,9, dan seterusnya kita buat 7 kelas. e.



Menghitung frekuensi masing-masing kelas Frekuensi tiap-tiap kelas dapat dihitung dengan memakai tanda garis (stik) setiap ada data yang masuk di dalamnya. Misalnya, dalam contoh data pertama sebesar 60 maka pada kelas ke 4 diberi tanda garis (/). Data kedua 33 maka pada kelas ke 1 diberi tanda garis (/) dan seterusnya, sampai semua data sudah dimasukkan ke dalam tabel. Selanjutnya, kita hitung banyak garis dalam masing-masing kelas, itulah frekuensi dari kelas tersebut. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam Tabel 1.5. Tabel 1.11. Perhitungan Frekuensi untuk Tiap Kelas Keuntungan 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9 Jumlah



//// ///// ///// ///// ///// ///// ////



Frekuensi =4 =7 // /// =8 ///// // = 12 //// =9 / =6 =4 50



Dari proses di atas kita mengetahui frekuensi dari masing-masing kelas, setelah selesai tabulasi, kita bisa membuat distribusi frekuensi yang baik yaitu distribusi frekuensi yang memenuhi beberapa kriteria (syarat).



1.27



 ESPA4123/MODUL 1



Syarat distribusi frekuensi yang baik: 1) mempunyai nomor tabel. Tujuannya agar kita bisa membedakan tabel yang satu dengan tabel yang lain. 2) mempunyai judul dan subjudul yang jelas, dengan satuan tertentu. 3) mempunyai kelas yang baik yang ditentukan sesuai pedoman Struges. 4) menghindari overlapping class (kelas yang tumpang tindih). Kelas yang overlap yaitu kelas yang batas atasnya sama dengan batas bawah kelas di atasnya. Seperti terlihat pada tabel berikut. Tabel 1.12. Penentuan Kelas yang Overlap Keuntungan 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100 Jumlah



Frekuensi 4 7 8 12 9 6 4 50



5) Menghindari kelas yang tidak sama Suatu distribusi frekuensi dikatakan mempunyai kelas yang tidak sama, apabila distribusi frekuensi tersebut memiliki kelas yang kelas intervalnya tidak sama dengan kelas yang lain. Hal seperti itu harus dihindari karena akan mengaburkan perpencaran dari data. Contoh distribusi yang memiliki kelas yang tidak sama dapat dilihat dalam tabel berikut: Tabel 1.13. Penentuan Kelas yang Tidak Sama



Keuntungan



Frekuensi



30 – 39,9 40 – 59,9 60 – 99,9 Jumlah



4 15 31 50



1.28



Statistika Ekonomi 



6) Menghindari kelas terbuka. Kelas terbuka adalah kelas yang tidak mempunyai salah satu batas, seperti yang dapat kita lihat dalam tabel berikut: Tabel 1.14. Distribusi frekuensi yang memilik kelas terbuka



keuntungan



frekuensi



30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 ke atas jumlah



4 7 8 12 19 50



7) Sumber data harus disebutkan Sebagai contoh Sumber : BPS, Sensus Penduduk, tahun 2000 Dari proses yang sudah kita lakukan maka kita dapat bentuk suatu distribusi frekuensi yang baik, yang sesuai dengan kriteria tersebut di atas, sebagai berikut Tabel 1.15. Keuntungan Per Tahun 50 Perusahaan Batik di DIY (Dalam Juta Rupiah)



Keuntungan



Frekuensi



30 – 39,9 4 40 – 49,9 7 50 – 59,9 8 60 – 69,9 12 70 – 79,9 9 80 – 89,9 6 90 – 99,9 4 Jumlah 50 Sumber : BPS, Statistik Industri, tahun 2003



1.29



 ESPA4123/MODUL 1



Nama bagian-bagian suatu distribusi frekuensi 1) Batas kelas ada dua macam yaitu batas bawah dan batas atas 2) Frekuensi adalah banyaknya data dalam tiap-tiap kelas 3) Class Boundary/tepi kelas adalah pertengahan antara batas atas suatu kelas dengan batas bawah kelas di atasnya 4) Class Mark/mid point/titik tengah adalah pertengahan tiap-tiap kelas 5) Class interval/klas interval/lebar kelas adalah perbedaan antara class boundary suatu kelas dengan class boundary kelas sebelumnya 6) Kelas terbuka adalah kelas yang tidak memiliki salah satu batasnya 6.



Cara Menggambar Distribusi Frekuensi Menurut Bilangan Suatu distribusi menurut bilangan dapat digambar menjadi suatu histogram atau poligon. a. Histogram Histogram sering disebut sebagai diagram kolom. Cara membuatnya dengan membuat masing-masing kelas menjadi sebuah kolom, seperti terlihat pada gambar berikut.



Gambar 1.1. Histogram



b.



Poligon Cara menggambarkan poligon adalah dengan cara menghubungkan titiktitik yang absisnya adalah titik tengah (mid point) dan ordinatnya adalah frekuensi, seperti terlihat dalam gambar berikut.



1.30



Statistika Ekonomi 



Gambar 1.2. Poligon



F. PENYUSUNAN DISTRIBUSI FREKUENSI MENURUT KATEGORI Cara membuat distribusi frekuensi menurut kategori tidak diperlukan prosedur yang berbelit-belit. Langkah pertama kita menentukan kelas, kelas yang kita tentukan sesuai dengan kategori dari data tersebut. Selanjutnya, kita mengadakan tabulasi data. Sebagai contoh kita mempunyai data tentang mata pencaharian penduduk. Dari data tersebut dapat diketahui bahwa penduduk di daerah tersebut memiliki 5 jenis mata pencaharian, yaitu petani, pedagang, pengusaha, pegawai negeri sipil dan pegawai swasta. Kita membuat kelas berdasarkan kelima mata pencaharian tersebut. Adapun langkah terakhir kita mengadakan tabulasi untuk menentukan frekuensi masing-masing kelas.



1.31



 ESPA4123/MODUL 1



Tabel berikut adalah distribusi frekuensi menurut kategori Tabel 1.16. Mata Pencaharian penduduk di Desa TARUNA



Mata Pencaharian penduduk Petani Pedagang Pengusaha Pegawai Negeri Sipil Pegawai Swasta Jumlah Sumber : Kantor Desa TARUNA



frekuensi 3.600 2.500 700 200 1.000 8.000



LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Mengapa kita perlu memasukkan data primer yang kita peroleh dalam bentuk tabel? 2) Kalau kita mempunyai data tentang penghasilan masyarakat yang diperoleh dari hasil wawancara terhadap 10 orang responden, perlukah data tersebut dibuat menjadi sebuah distribusi frekuensi? 3) Mengapa pada umumnya distribusi frekuensi yang dibuat oleh peneliti merupakan distribusi yang bersifat tunggal? 4) Berikut ini adalah data kiriman uang yang diterima mahasiswa Fakultas ekonomi dari orang tua mereka (dalam ribuan rupiah). 300 500 700 400 500 700 800 600 900 1000 400 700 750 800 600 900 400 500 650 1200 750 800 650 900 800 500 450 800 700 1100 Data ini dapat dibuat menjadi distribusi frekuensi seperti apa 5) Berikut ini disajikan data tentang kiriman uang yang diterima mahasiswa di Yogyakarta (dalam ribu rupiah)



1.32



Statistika Ekonomi 



300 400 600 600 600



400 500 540 750 700



500 600 700 560 800



350 900 800 850 400



700 750 600 400 500



550 650 500 660 600



350 400 670 740 700



800 700 780 950 800



900 600 900 800 600



1450 1000 1200 1500 1200



Pertanyaan: Buatlah suatu distribusi frekuensi yang baik. Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2) 3) 4) 5)



Bacalah bagian pengertian distribusi frekuensi. Bacalah bagian pengertian distribusi frekuensi. Bacalah bagian macam distribusi frekuensi. Bacalah bagian macam distribusi frekuensi. a. Tentukan jumlah klas dengan menggunakan pedoman Sturges. Ingat banyaknya kelas harus bulat, silakan dibulatkan. b. Hitunglah range, dengan cara mencari selisih antara data terbesar dan data terkecil. c. Hitunglah kelas interval, dengan membagi range dengan jumlah klas yang sudah dibulatkan. d. Tentukan klas dari distribusi. e. Tabulasikan data tersebut dalam tabel yang sudah dibuat. RA NGK UMA N Dalam mengadakan penelitian kita dapat mengumpulkan banyak data, tetapi dapat pula kita hanya mengumpulkan sedikit data. Kalau datanya hanya sedikit, tanpa dibuat tabel pun data tetap mudah dibaca, tetapi kalau datanya banyak sekali maka membacanya agak sulit, dan memerlukan waktu yang cukup lama untuk mencermatinya. Untuk memudahkan dan mempercepat kita memahami data tersebut maka data yang sudah dikumpulkan, disusun agar lebih teratur, dalam bentuk tabel. Langkah awal analisis data adalah mengklasifikasikan data. Klasifikasi data berarti memilah-milah data dari yang bersifat heterogen ke dalam kelompok-kelompok yang homogen, sehingga sifat-sifat data yang menonjol mudah dilihat.



 ESPA4123/MODUL 1



1.



2.



1.33



Pada dasarnya ada 2 macam klasifikasi data Klasifikasi berdasarkan sifat-sifat (Attribute) Klasifikasi berdasarkan sifat-sifat atau ciri tertentu dari data, biasanya diterapkan pada data kualitatif. Misalnya: warna kulit, ada putih, kuning, dan coklat. Klasifikasi berdasarkan bilangan (Variables) Klasifikasi berdasarkan bilangan adalah klasifikasi secara kuantitatif, misalnya upah karyawan, jumlah barang yang diproduksi dan sebagainya Klasifikasi berdasarkan bilangan disebut klasifikasi berdasarkan kelas interval (class interval).



Seriation adalah penyusunan data dalam urutan yang sistematis. Penyusunan data secara sistematis dapat dilakukan dengan berbagai cara, yaitu : 1. Berdasarkan waktu (time series, chronological, historical series) Waktu di sini merupakan dasar utama untuk menyusun data maka selanjutnya disebut dengan data time series. 2. Berdasarkan daerah/wilayah (geographical series) Daerah/wilayah merupakan faktor penting untuk menyusun data. 3. Berdasarkan keadaan/frekuensi (frequency, conditional series) Penyusunan data berdasarkan kondisi fisik seperti: tinggi, berat, ataupun metode gradasi yang lain, berdasarkan banyaknya kejadian di suatu tempat tertentu dan waktu tertentu. Penyusunan data berdasarkan keadaan/frekuensi ini dapat dilakukan dengan 2 cara 1. Secara individual Metode ini merupakan cara menyusun data sesuai dengan hasil observasi. 2. Secara kelompok Metode ini merupakan cara menyusun data dalam kelompokkelompok berdasarkan interval tertentu. Selanjutnya dari masingmasing kelompok akan tampak berapa kali terjadinya (berapa frekuensinya). Pengelompokan berdasarkan interval ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu (1) Rangkaian yang diskrit (discrete series atau discontinuous series) (2) Rangkaian yang kontinu (continuous series) Perbedaan cara penyusunan data ini didasarkan pada sifat dari data tersebut, apakah variabelnya bersifat diskrit atau kontinu. Data atau variabel diskrit adalah data yang hanya dapat dinyatakan dalam



1.34



Statistika Ekonomi 



bilangan bulat. Sedangkan data atau variabel kontinu adalah data yang dapat dinyatakan dengan bilangan pecahan. Distribusi data yang bersifat kontinu disebut juga dengan distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Jenis distribusi yang kita buat tergantung macam data yang kita kumpulkan. Apabila kita mengumpulkan data kualitatif maka kita buat menjadi distribusi frekuensi menurut kategori. Jika kita mengumpulkan data kuantitatif maka data tersebut kita buat menjadi distribusi frekuensi menurut bilangan. Penyusunan distribusi frekuensi menurut bilangan Penyusunan distribusi frekuensi menurut bilangan dapat dilakukan melalui beberapa tahap: 1. Menentukan jumlah kelas Untuk menentukan jumlah kelas adalah dengan menggunakan rumus Sturges. Hubungan antara jumlah klas dan banyaknya data dapat dinyatakan dalam bentuk rumus: K = 1 + 3,3 log N. 2. Menentukan range Range dapat dihitung dengan mencari selisih antara data terbesar dan data terkecil. 3. Menghitung panjang kelas (interval class) Panjang kelas dapat dihitung dengan membagi range dengan banyaknya klas yang sudah dibulatkan. Panjang kelas (interval R class) dapat dihitung dengan rumus C i = . K 4.



5.



Menentukan kelas Pada dasarnya kita bebas menentukan kelas, asalkan sesuai dengan banyaknya kelas dan besarnya klas interval yang sudah kita hitung. Hanya saja ada sedikit pedoman yang perlu kita patuhi yaitu  4 Semua data dapat masuk, artinya data terkecil dapat masuk ke dalam kelas terkecil dan data terbesar dapat masuk ke dalam kelas terbesar.  4 Batas atas suatu kelas dibuat sedikit lebih kecil dari batas bawah kelas di atasnya Menentukan frekuensi Untuk mencari frekuensi masing-masing kelas dilakukan dengan cara mengadakan tabulasi yaitu memasukkan data ke dalam tabel.



 ESPA4123/MODUL 1



1.35



Penyusunan distribusi frekuensi menurut kategori Cara membuat distribusi frekuensi menurut kategori tidak diperlukan prosedur yang berbelit-belit. Langkah pertama kita menentukan kelas, kelas yang kita tentukan sesuai dengan kategori dari data tersebut. Selanjutnya kita mengadakan tabulasi data. TES FO RMA TIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dari sampel yang dipilih, diperoleh data berat badan 5 orang mahasiswa. Apabila Saudara ditanya: perlukah data tersebut dibuat menjadi suatu distribusi frekuensi maka jawaban saudara .... A. tidak perlu, karena datanya sedikit B. tidak perlu, karena datanya kontinu C. perlu, agar datanya mudah dilihat D. tergantung ketersediaan data 2) Seorang ibu anggota PKK mempunyai data tentang berat dan tinggi badan balita yang menghadiri program taman gizi. Untuk persiapan lomba desa, dia akan membuat distribusi frekuensi menggunakan data tersebut. Maka sebaiknya dia membuat distribusi frekuensi seperti apa? A. Sebuah distribusi frekuensi menurut bilangan bersifat tunggal. B. Sebuah distribusi frekuensi menurut bilangan bersifat ganda. C. Distribusi frekuensi menurut kategori dan program. D. Datanya distribusi frekuensi berat balita. 3) Agar tulisan yang dibuat kelihatan segar maka seorang peneliti menggunakan data kualitatif. Berikut ini yang bukan termasuk data kualitatif adalah .... A. warna rambut B. jenis kelamin C. golongan pegawai D. pendapatan 4) Data kuantitatif dapat dikelompokkan menjadi 2, yaitu data diskrit dan data kontinu. Berikut ini yang bukan termasuk data diskrit adalah .... A. jumlah anak B. jumlah telur C. umur D. jumlah meja



1.36



Statistika Ekonomi 



5) Seriation adalah penyusunan data dalam urutan yang sistematis. Nama susunan data yang dibuat berdasarkan waktu, adalah sebagai berikut, kecuali .... A. time series B. chronological C. historical series D. distribusi frekuensi 6) Distribusi data yang bersifat kontinu disebut juga dengan .... A. distribusi tabel B. tabel frekuensi C. data mentah D. olah data 7) Klasifikasi berdasarkan sifat-sifat (Attribute) yaitu klasifikasi berdasarkan sifat-sifat atau ciri tertentu dari data, biasanya diterapkan pada data .... A. kualitatif B. kuantitatif C. diskrit D. kontinu 8) Yang bukan termasuk data kontinu adalah .... A. jumlah produksi padi B. jumlah penduduk C. umur penduduk D. pendapatan penduduk 9) Data hasil penelitian yang belum disusun disebut juga sebagai A. data kualitatif B. data kuantitatif C. data mentah D. distribusi frekuensi 10) Seorang peneliti yang menggunakan data sekunder tidak perlu menyusun data menjadi bentuk tabel karena data sekunder .... A. tidak dapat dibuat tabel B. biasanya sudah dibuat dalam bentuk tabel C. berupa data mentah D. berupa data diskrit



1.37



 ESPA4123/MODUL 1



11) Apabila kita memiliki data mengenai nilai test mata kuliah statistik milik 70 orang mahasiswa maka kita dapat membuat suatu distribusi frekuensi dengan kelas sebanyak A. 7 B. 10 C. 5 D. 9 Untuk soal nomor 12, 13, dan 14 Dari catatan sebuah rumah sakit bersalin diperoleh data tentang dan berat badan bayi yang dilahirkan di rumah sakit tersebut. Dari sampel random sebanyak 20 orang bayi, berat badannya sebagai berikut (kg) 2,5 2,8



3 3



4 3,5



2,4 3,2



3,65 2,6



2,8 3,3



2,3 2,8



2,9 3,7



3,5 3,7



4,1 2,9



3,4 2,6



12) Data tersebut dapat dibuat menjadi suatu distribusi frekuensi dengan banyaknya kelas .... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 13) Range data tersebut sebesar .... A. 1,8 B. 2 C. 2,3 D. 4,1 14) Kelas interval distribusi frekuensi yang dapat ditentukan .... A. 0,4 B. 0,5 C. 0,3 D. 1,8 15) Apabila kita mengadakan penelitian mengenai pendapatan masyarakat, ternyata ada satu data yang sangat ekstrim karena orang tersebut menjadi wakil rakyat di DPR maka agar distribusi frekuensi pendapatan masyarakat tersebut baik maka kita boleh membuat .... A. class boundary B. kelas terbuka



1.38



Statistika Ekonomi 



C. class mark D. class interval 16) Class mark/titik tengah dapat dihitung dengan cara mencari rata-rata .... A. menggunakan hanya batas bawah B. batas bawah suatu kelas dengan batas atas di atasnya C. class boundary suatu kelas dengan class boundary kelas sebelumnya D. menjumlahkan data yang ada dan membaginya 17) Untuk menentukan banyaknya kelas untuk distribusi frekuensi menurut kategori kita menggunakan A. banyaknya data yang kita miliki B. pedoman Sturges C. banyaknya kategori D. batas kelas 18) Suatu saat ada seorang mahasiswa yang akan membuat distribusi frekuensi tentang kiriman uang yang diterima beberapa mahasiswa jurusan manajemen dari orang tua mereka. Dari perhitungan yang dia lakukan diperoleh angka banyaknya kelas 5,4 dan range sebesar 500.000 rupiah. Maka dia harus membuat distribusi frekuensi dengan banyaknya kelas dan klas interval sebesar A. K = 5 dan Ci = 100.00 B. K = 5 dan Ci = 110.000 C. K = 5,4 dan Ci =90.000 D. K = 6 dan Ci = 80.000 19) Suatu kelas dikatakan overlap apabila .... A. batas atasnya tidak sama dengan batas bawah kelas di atasnya B. batas atasnya sama dengan batas bawah kelas di atasnya C. batas atasnya sama dengan batas atas kelas di atasnya D. batas atasnya tidak sama dengan batas atas kelas di atasnya 20) Class boundary dapat dihitung dengan cara menghitung rata-rata batas .... A. bawah dan batas atas B. bawah dengan batas bawah kelas di atasnya C. atas suatu kelas dengan batas bawah kelas di atasnya D. atas suatu kelas dengan batas atas kelas di atasnya



1.39



 ESPA4123/MODUL 1



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.40



Statistika Ekonomi 



Kegiatan Belajar 3



Distribusi Frekuensi Relatif dan Distribusi Frekuensi Kumulatif



D



i samping distribusi frekuensi yang dijelaskan pada Kegiatan Belajar 2, masih ada lagi beberapa macam distribusi frekuensi yaitu distribusi frekuensi relatif dan distribusi frekuensi kumulatif dan distribusi frekuensi kumulatif relatif. A. DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF Distribusi frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka absolut, tetapi dinyatakan dalam angka relatif atau dalam persentase dari jumlah frekuensi semua kelas yang ada. Sebagai contoh dalam Kegiatan Belajar 2 kita sudah membuat distribusi frekuensi biasa, yaitu distribusi frekuensi mengenai keuntungan dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta seperti terlihat dalam Tabel 1.15. Distribusi frekuensi tersebut dapat kita buat menjadi distribusi frekuensi relatif dengan cara mengubah frekuensinya dari angka absolut menjadi angka relatif. Frekuensi relatif adalah frekuensi absolut dibagi total frekuensi dikalikan 100%.



1.41



 ESPA4123/MODUL 1



Perhitungan angka relatif dapat kita lakukan sebagai berikut: Keuntungan per tahun



Frekuensi absolut



30 – 39,9



4



40 – 49,9



7



50 – 59,9



8



60 – 69,9



12



70 – 79,9



9



80 – 89,9



6



90 – 99,9



4 50



Frekuensi relatif



4 100%  8% 50 7 100%  14% 50 8 100%  16% 50 12 100%  24% 50 9 100%  18% 50 6 100%  12% 50 4 100%  8% 50 100%



Dari perhitungan frekuensi relatif di atas kita dapat membuat suatu distribusi frekuensi relatif seperti terlihat dalam Tabel 1.17. Tabel 1.17. Distribusi Frekuensi Relatif



Keuntungan per tahun



Frekuensi relatif



30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9 Jumlah



8 14 16 24 18 12 8 100



1.42



Statistika Ekonomi 



Suatu distribusi frekuensi menurut kategori dapat juga dibuat menjadi suatu distribusi frekuensi relatif, caranya dengan mengubah frekuensi dari angka absolut menjadi angka relatif yaitu dalam bentuk persentasi terhadap total frekuensi. Seperti terlihat dalam tabel berikut: Keuntungan per tahun



Frekuensi absolut



Petani



250



Pedagang



150



Pengusaha



50



Pegawai Negeri Sipil



50



Jumlah



500



Frekuensi relatif



250 100%  50% 500 150 100%  30% 500 50 100%  10% 500 50 100%  10% 500 100%



Tabel 1.18. Distribusi Frekuensi Relatif Mata Pencaharian Penduduk



Mata Pencaharian penduduk Petani Pedagang Pengusaha Pegawai Negeri Sipil Jumlah



Frekuensi relatif 50 30 10 10 100



Suatu distribusi frekuensi relatif dapat digambar menjadi suatu diagram lingkaran seperti dapat dilihat dalam gambar berikut.



1.43



 ESPA4123/MODUL 1



Gambar 1.3. Diagram Lingkaran



B. DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang secara berturut-turut dan bertahap memasukkan frekuensi pada kelas-kelas yang lain. Ada 2 macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu Distribusi Frekuensi kumulatif ”kurang dari” dan Distribusi Frekuensi kumulatif ”atau lebih”. Distribusi Frekuensi Kumulatif ”Kurang Dari” Distribusi frekuensi kumulatif ”kurang dari” adalah distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi pada kelas-kelas sebelumnya. Untuk menghitung frekuensi kumulatif caranya kita jumlahkan frekuensi-frekuensi pada kelas-kelas sebelumnya. Misalnya frekuensi kumulatif kelas kedua merupakan penjumlahan frekuensi (pada distribusi frekuensi biasa) pada kelas pertama dan kelas kedua dan seterusnya. Sedangkan pembagian kelasnya menggunakan nama dari jenis distribusi frekuensi kumulatif tersebut. Karena kita akan membuat distribusi frekuensi kumulatif ”kurang dari” maka kelasnya menggunakan istilah ”kurang dari”. Dengan menggunakan data keuntungan 50 perusahaan batik di Yogyakarta yang sudah dibuat menjadi distribusi frekuensi biasa yang terdapat dalam Tabel 2.15. Perhitungan frekuensi kumulatif dapat kita lakukan dengan cara berikut: 1.



1.44



Statistika Ekonomi 



Keuntungan Kurang dari 30 Kurang dari 40 Kurang dari 50 Kurang dari 60 Kurang dari 70 Kurang dari 80 Kurang dari 90 Kurang dari 100



Frekuensi



Frekuensi kumulatif



0 4 4+7 4+ 7+ 8 4 + 7 + 8 + 12 4 + 7 + 8 + 12 + 9 4 + 7 + 8 + 12 + 9 + 6 4 + 7 + 8 + 12 + 9 + 6 + 4



0 4 11 19 31 40 46 50



Dari perhitungan distribusi frekuensi pada Tabel 2.15 dapat kita ubah menjadi distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari" yang dapat dilihat dalam Tabel 2.18 berikut ini. Tabel 1.19. Distribusi Frekuensi Kumulatif ”Kurang Dari”



Keuntungan Kurang dari 30 Kurang dari 40 Kurang dari 50 Kurang dari 60 Kurang dari 70 Kurang dari 80 Kurang dari 90 Kurang dari 100



Frekuensi kumulatif 0 4 11 19 31 40 46 50



Distribusi frekuensi kumulatif dapat di gambar menjadi suatu diagram yang diberi nama ogive, seperti tampak pada gambar berikut.



1.45



 ESPA4123/MODUL 1



Gambar 1.4. Frekuensi Kumulatif ”Kurang Dari”



Distribusi Frekuensi Kumulatif ”Atau Lebih” Distribusi frekuensi kumulatif "atau lebih" adalah distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi pada kelas sesudahnya. Sebagai contoh, frekuensi kumulatif pada kelas pertama adalah sama dengan frekuensi pada kelas pertama ditambah dengan frekuensi pada kelas sesudahnya. Mengenai pembagian kelasnya kita menggunakan nama dari distribusi frekuensi kumulatif tersebut. Dalam hal ini untuk kelas pertama kita menggunakan istilah 30 atau lebih. Perhitungan frekuensi kumulatif dari distribusi frekuensi tentang keuntungan yang terdapat dalam Tabel 2.15 dapat kita lakukan dengan cara berikut. 2.



Keuntungan 30 atau lebih 40 atau lebih 50 atau lebih 60 atau lebih 70 atau lebih 80 atau lebih 90 atau lebih 100 atau lebih



Frekuensi



Frekuensi kumulatif



4 + 7 + 8 + 12 + 9 + 6 + 4 7 + 8 + 12 + 9 + 6 + 4 8 + 12 + 9 + 6 + 4 12 + 9 + 6 + 4 9+6+4 6+4 4 0



50 46 39 31 19 10 4 0



1.46



Statistika Ekonomi 



Dari perhitungan di atas kita dapat mengubah distribusi frekuensi tentang keuntungan per tahun 50 perusahaan batik pada Tabel 1.15 menjadi distribusi frekuensi kumulatif atau lebih yang dapat dilihat dalam Tabel 1.20 berikut: Tabel 1.20. Distribusi Frekuensi Kumulatif “Atau Lebih”



Keuntungan per tahun 30 atau lebih 40 atau lebih 50 atau lebih 60 atau lebih 70 atau lebih 80 atau lebih 90 atau lebih 100 atau lebih



Frekuensi kumulatif 50 46 39 31 19 10 4 0



Distribusi frekuensi kumulatif ”atau lebih” dapat kita gambar menjadi suatu ogive sepersi terlihat dalam gambar berikut:



Gambar 1.5. Frekuensi Kumulatif ”Atau Lebih”



1.47



 ESPA4123/MODUL 1



C. DISTRIBUSI KUMULATIF RELATIF Distribusi frekuensi kumulatif relatif adalah distribusi frekuensi kumulatif yang frekuensinya dinyatakan secara relatif yaitu dalam bentuk persentase. Dalam hal ini kita mengenal ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif relatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif relatif atau lebih. 1.



Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif Kurang Dari Pada dasarnya distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari adalah distribusi freekuensi kumulatif kurang dari yang frekuensinya diubah menjadi dalam bentuk persentasi. Cara menghitungnya adalah sebagai berikut. Keuntungan per tahun



Frekuensi kumulatif



Kurang dari 30



0



Kurang dari 40



4



Kurang dari 50



11



Kurang dari 60



19



Kurang dari 70



31



Kurang dari 80



40



Kurang dari 90



46



Kurang dari 100



50



Frekuensi kumulatif relatif



0 100%  0% 50 4 100%  8% 50 11 100%  22% 50 19 100%  38% 50 31 100%  62% 50 40 100%  80% 50 46 100%  92% 50 50 100%  100% 50



1.48



Statistika Ekonomi 



Sehingga distribusi frekuensi kumulatif kurang dari yang berada dalam Tabel 1.19 dapat diubah menjadi distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari, yang dapat kita lihat dalam Tabel 1.21 berikut ini. Tabel 1.21. Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif Kurang Dari



Keuntungan per tahun Frekuensi kumulatif relatif Kurang dari 30 Kurang dari 40 Kurang dari 50 Kurang dari 60 Kurang dari 70 Kurang dari 80 Kurang dari 90 Kurang dari 100 2.



0 8 22 38 62 80 92 100



Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif atau Lebih Pada dasarnya distribusi frekuensi kumulatif relatif atau lebih adalah distribusi frekuensi kumulatif atau lebih yang frekuensinya diubah menjadi dalam bentuk persentasi.



1.49



 ESPA4123/MODUL 1



Cara menghitungnya adalah sebagai berikut. Keuntungan per tahun



Frekuensi kumulatif



30 atau lebih



50



40 atau lebih



46



50 atau lebih



39



60 atau lebih



31



70 atau lebih



19



80 atau lebih



10



90 atau lebih



4



100 atau lebih



0



Frekuensi kumulatif relatif



10 100%  100% 50 46 100%  92% 50 39 100%  78% 50 31 100%  62% 50 19 100%  38% 50 10 100%  20% 50 4 100%  8% 50 0 100%  0% 50



Sehingga distribusi frekuensi kumulatif kurang dari yang berada dalam Tabel 1.21 dapat diubah menjadi distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari, yang dapat kita lihat dalam Tabel 1.22 berikut Tabel 1.22. Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif atau Lebih



Keuntungan per tahun 30 atau lebih 40 atau lebih 50 atau lebih 60 atau lebih 70 atau lebih 80 atau lebih 90 atau lebih 100 atau lebih



Frekuensi kumulatif 100 92 78 62 38 20 8 0



1.50



Statistika Ekonomi 



LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Berikut ini adalah distribusi frekuensi tentang kiriman uang mahasiswa Fakultas Ekonomi Kiriman uang (dalam ribuan rupiah) Frekuensi



1) 2) 3) 4) 5)



300 – 399,9 5 400 – 499,9 12 500 – 599,9 20 600 – 699,9 25 700 – 799,9 23 800 – 899,9 11 900 – 999,9 4 Buatlah distribusi frekuensi relatif Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari Buatlah distribusi frekuensi kumulatif atau lebih Buatlah distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari Buatlah distribusi frekuensi kumulatif relatif atau lebih



Petunjuk Jawaban Latihan 1) Ubahlah frekuensi tersebut menjadi frekuensi relatif yaitu persentase terhadap total frekuensi. 2) Ubahlah frekuensi menjadi frekuensi kumulatif, yaitu dengan menjumlahkan frekuensi pada kelas-kelas sebelumnya. 3) Ubahlah frekuensi menjadi frekuensi kumulatif, dengan cara menjumlahkan frekuensi pada kelas-kelas sesudahnya. 4) Ubahlah frekuensi kumulatif menjadi frekuensi relatif, yaitu persentase terhadap total frekuensi. 5) Ubahlah frekuensi kumulatif menjadi frekuensi relatif, yaitu persentase terhadap total frekuensi.



 ESPA4123/MODUL 1



1.51



RA NGK UMA N Di samping distribusi frekuensi yang dijelaskan pada Kegiatan Belajar 2, masih ada lagi beberapa macam distribusi frekuensi yaitu distribusi frekuensi relatif dan distribusi frekuensi kumulatif dan distribusi frekuensi kumulatif relatif. Distribusi frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka absolut, tetapi dinyatakan dalam angka relatif atau dalam persentase dari jumlah frekuensi semua kelas yang ada. Hal yang disebut distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang secara berturut-turut dan bertahap memasukkan frekuensi pada kelas-kelas yang lain. Ada 2 macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu Distribusi Frekuensi kumulatif ”kurang dari” dan Distribusi Frekuensi kumulatif ”atau lebih”. Distribusi frekuensi kumulatif ”kurang dari” adalah distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi pada kelas-kelas sebelumnya. Sedangkan Distribusi kumulatif "atau lebih" adalah distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi pada kelas sesudahnya. Distribusi frekuensi kumulatif relatif adalah distribusi frekuensi kumulatif yang frekuensinya dinyatakan secara relatif yaitu dalam bentuk persentase. Dalam hal ini kita mengenal ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif relatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif relatif ”kurang dari” dan distribusi frekuensi kumulatif relatif ”atau lebih”. Distribusi frekuensi kumulatif relatif ”kurang dari” adalah distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari” yang frekuensinya diubah menjadi dalam bentuk persentasi. Sedangkan distribusi frekuensi kumulatif relatif ”atau lebih” adalah distribusi frekuensi kumulatif ”atau lebih” yang frekuensinya diubah menjadi dalam bentuk persentasi. TES FO RMA TIF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Suatu distribusi frekuensi relatif dapat dibuat dengan cara .... A. mengubah frekuensi menjadi frekuensi relatif B. menjumlahkan frekuensi pada kelas sebelumnya C. menjumlahkan frekuensi pada kelas sesudahnya D. mengubah frekuensi kumulatif menjadi frekuensi relatif



1.52



Statistika Ekonomi 



2) Suatu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dapat dibuat dengan cara .... A. mengubah frekuensi menjadi frekuensi relatif B. menjumlahkan frekuensi pada kelas sebelumnya C. menjumlahkan frekuensi pada kelas sesudahnya D. mengubah frekuensi kumulatif menjadi frekuensi relatif 3) Suatu distribusi frekuensi kumulatif atau lebih dapat dibuat dengan cara A. mengubah frekuensi menjadi frekuensi relatif B. menjumlahkan frekuensi pada kelas sebelumnya C. menjumlahkan frekuensi pada kelas sesudahnya D. mengubah frekuensi kumulatif menjadi frekuensi relatif 4) Suatu distribusi frekuensi kumulatif relatif kurang dari dapat dibuat dengan cara .... A. mengubah frekuensi menjadi frekuensi relatif B. menjumlahkan frekuensi pada kelas sebelumnya C. menjumlahkan frekuensi pada kelas sesudahnya D. mengubah frekuensi kumulatif kurang dari menjadi frekuensi relatif 5) Suatu distribusi frekuensi kumulatif relatif atau lebih dapat dibuat dengan cara .... A. mengubah frekuensi menjadi frekuensi relatif B. menjumlahkan frekuensi pada kelas sebelumnya C. menjumlahkan frekuensi pada kelas sesudahnya D. mengubah frekuensi kumulatif atau lebih menjadi frekuensi relatif 6) Total frekuensi pada sebuah distribusi frekuensi relatif selalu bernilai .... A. 0 B. 100 C. 50 D. 1 7) Frekuensi terakhir pada distribusi frekuensi kumulatif kurang dari bernilai ..... A. 0 B. 100 C. 50 D. jumlah data



1.53



 ESPA4123/MODUL 1



8) Frekuensi pertama pada distribusi frekuensi kumulatif kurang dari bernilai .... A. 0 B. 100 C. 50 D. 1 9) Frekuensi terakhir pada distribusi frekuensi kumulatif atau lebih bernilai .... A. 0 B. 100 C. 50 D. 10 10) Frekuensi total pada distribusi frekuensi kumulatif relatif atau lebih bernilai .... A. 0 B. 100 C. 50 D. 75



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.54



Statistika Ekonomi 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) B 2) D 3) D 4) D 5) A 6) D 7) B 8) B 9) C 10) B



Tes Formatif 2 1) A 2) B 3) C 4) D 5) D 6) B 7) A 8) B 9) C 10. B 11) A 12) B 13) A 14) A 15) B 16) C 17) C 18) B 19) B 20) C



Tes Formatif 3 1) A 2) B 3) C 4) D 5) D 6) B 7) D 8) A 9) A 10) B



 ESPA4123/MODUL 1



1.55



Daftar Pustaka Budijoewono, Nugroho. (1997). Pengantar Statistik Ekonomi dan Bisnis. Edisi Keempat. Yogyakarta: UPP AMP YKPN. Kohler, Heinz. (1994). Statistics For Business And Economics. Third Edition, New York: Harper Collins. Pangestu Subagyo.(2003). Statistik Deskriptif. Edisi 4. Yogyakarta: BPFE. Wonnacott, Thomas H., and Wonnacott, Ronald J. (1990). Introductory Statistics For Business And Economics. Forth Edition. Madison: University of Wisconsin.



Modul 2



Ukuran Tendensi Pusat dan Ukuran Letak Dra. Ch. Suparmi, S.U.



PEN D A HU L UA N



D



alam modul sebelumnya telah dibahas masalah distribusi frekuensi. Data primer yang dikumpulkan disusun menjadi suatu distribusi frekuensi maka mengakibatkan data tersusun menjadi sesuatu yang lebih teratur dan sistematis, sehingga sifat-sifat data dapat dengan mudah dilihat. Selanjutnya, dalam modul ini akan dibahas mengenai cara menghitung ukuran tendensi pusat dan ukuran letak. Untuk memenuhi kepentingan supaya dapat diucapkan secara singkat dan yang lebih penting lagi dapat digunakan untuk membandingkan keadaan berbagai kelompok data, maka statistik perlu menyediakan nilai tunggal yang cukup representatif bagi keseluruhan nilai yang terdapat dalam data tersebut. Nilai tunggal yang representatif bagi keseluruhan nilai dalam data, oleh ahli-ahli statistik dianggap sebagai rata-rata (averages). Karena nilai rata-rata tersebut dihitung berdasarkan keseluruhan nilai yang terdapat dalam data bersangkutan. Apabila keseluruhan nilai yang ada dalam data diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukkan ke dalamnya, maka nilai rata-rata tersebut memiliki tendensi terletak di urutan/deretan paling tengah atau pusat. Berkaitan dengan hal tersebut, maka rata-rata sering juga dinamakan sebagai ukuran tendensi pusat (measures of central tendency) atau ukuran nilai pusat (measures of central value). Setelah mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan dapat menjelaskan tentang ukuran tendensi pusat dan ukuran letak. Secara khusus, setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1. Menjelaskan konsep ukuran tendensi pusat (mean, median, modus) 2. Menghitung ukuran tendensi pusat (mean, median, modus) 3. Menjelaskan konsep ukuran letak (median, kuartil, decil, persentil) 4. Menerapkan konsep ukuran letak (median, kuartil, decil, persentil)



2.2



Statistika Ekonomi 



Kegiatan Belajar 1



Ukuran Tendensi Pusat



S



eperti telah disebutkan di muka, bahwa untuk memudahkan dan mempercepat pemahaman mengenai data, data tersebut disusun menjadi sebuah distribusi frekuensi, tetapi dapat pula dihitung nilai-nilai atau ukuranukuran statistiknya. Ukuran-ukuran statistik antara lain ukuran tendensi pusat, ukuran letak, ukuran penyimpangan, ukuran kemencengan untuk mengukur kemencengan suatu distribusi dan ukuran keruncingan yang mengukur runcing tidaknya suatu kurva. Hal yang akan dibahas dalam kegiatan belajar satu ini adalah ukuran-ukuran tendensi pusat (measures of central tendency). Ukuran-ukuran itu antara lain: rata-rata hitung, median, dan modus. A. RATA-RATA HITUNG Rata-rata hitung (arithmetic mean) yang biasanya disingkat dengan ratarata (mean) adalah seperti rata-rata yang sudah kita kenal dalam kehidupan sehari-hari, yaitu jumlah dari semua data dibagi dengan banyaknya data. Rata-rata hitung untuk sampel biasanya dinyatakan dengan simbul X (dibaca X bar) dan untuk mean populasi biasanya dinyatakan dengan simbul ii (dibaca myu). 1.



Mencari Rata-rata Hitung Data yang tidak Dikelompokkan Data hasil penelitian bisa dibedakan menjadi dua, yaitu data yang tidak dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan. Kalau jumlah datanya sedikit maka biasanya data tersebut tidak perlu dikelompokkan. Akan tetapi, jika datanya cukup banyak maka data tersebut biasanya dikelompokkan, maksudnya dibuat menjadi sebuah distribusi frekuensi. Jadi, yang dimaksud data yang tidak dikelompokkan adalah data yang belum dibuat menjadi distribusi frekuensi, masih merupakan data mentah yang belum diolah sama sekali. Perhitungan rata-rata hitung bagi data yang tidak dikelompokkan sangat sederhana, yaitu dengan menjumlahkan semua data yang ada dibagi dengan banyaknya data, yang dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut:



2.3



 ESPA4123/MODUL 2



X 



in1 X n



Dalam ha l ini:  = tanda jumlah (dibaca sigma) X = besarnya nilai tiap-tiap data n = banyaknya data Rumus di atas dapat pula ditulis sebagai berikut:



X



X1  X 2  X 3  n



 Xn



Hal yang artinya rata-rata hitung sama dengan X 1 (data ke 1) ditambah X 2 (data ke 2) ditambah X 3 (data ke 3) dan seterusnya ditambah X n (data ke n) dibagi dengan banyaknya data (n). Sebagai contoh : diketahui data berat badan 5 orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah statistika sebagai berikut: 59 kg, 60 kg, 54 kg, 62 kg, 65 kg Rata-rata berat badan dari 5 orang mahasiswa tersebut adalah:



X



 X 59  60  54  62  65 300    60 n 5 5



Cara menghitung mean cukup mudah, selain itu, hasilnya bagus karena semua data digunakan dalam mencari mean. Akan tetapi, karena semua data dipergunakan untuk menghitung mean maka nilai mean mempunyai kelemahan yaitu sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Sebagai contoh, kalau data di atas ditambah satu dengan nilai yang ekstrim, misalnya berat badan mahasiswa yang ditambahkan tadi sebesar 120 kg maka rata-rata berat badan mahasiswa akan naik drastis. Rata-rata berat badan 6 orang mahasisiwa dapat dihitung dengan rumus berikut:



X



 X 59  60  54  62  65  120 420    70 n 6 6



2.4



Statistika Ekonomi 



Apabila kita mempunyai beberapa kumpulan data, dan masing-masing sudah dihitung rata-ratanya maka untuk menghitung rata-rata secara keseluruhan kita tidak perlu menghitung dari data aslinya, melainkan cukup dihitung dengan menggunakan rata-rata yang sudah ada. Sebagai contoh kita akan menghitung rata-rata gaji seluruh karyawan di sebuah instansi: Tabel 2.1. Rata-rata Gaji Satu untuk Setiap Kelompok Pegawai Di Perguruan Tinggi "Makmur"



Golongan pegawai IV III II



Jumlah pegawai 10 70 30



Rata-rata gaji satu bulan 4.000.000 3.000.000 2.000.000



I



20



1.000.000



Rata-rata gaji semua karyawan di perguruan tinggi "makmur" dapat dihitung dengan rumus:



X  X 



n1 X 1  n2 X 2  n3 X 3  n4 X 4 n1  n2  n3  n4



10  4.000.000   70  3.000.000   30  2.000.000   20 1.000.000 



10  70  30  20 40.000.000  210.000.000  60.000.000  20.000.000 X  130 330.000.000 X   2.538.461,538 130 2.



Mencari Rata-rata Hitung untuk Data yang Dikelompokkan Data yang sudah dikelompokkan artinya data tersebut sudah dibuat menjadi suatu distribusi frekuensi. Data yang sudah dibuat distribusi frekuensi menjadi tidak asli lagi, data sudah dimasukkan ke dalam kelaskelas, sehingga yang ada tinggal frekuensi dari masing-masing kelas saja. Oleh karena itu, yang dipergunakan dalam menghitung rata-rata bukan nilai data melainkan clas mark/mid point yaitu nilai pertengahan suatu kelas. Selanjutnya rata-rata hitung dihitung dengan rumus berikut:



2.5



 ESPA4123/MODUL 2



X 



X1 f1  X 2 f 2  X 3 f3   X k f k f1  f 2  f3   f k



Rumus di atas dapat pula ditulis dengan cara berikut:



X 



ik1 X i fi ik1 fi



Dalam hal ini X = titik tengah (class mark/mid point) f = frekuensi Sebagai contoh kita gunakan distribusi frekuensi yang sudah dipakai dalam modul sebelumnya. Tabel 2.2. Keuntungan Per Tahun dari 50 Perusahaan Batik di Yogyakarta (Dalam Juta Rupiah)



Keuntungan per tahun 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9 Jumlah



Jumlah (f)



Clas mark (X)



f.X



4 7 8 12 9 6 4 50



35 45 55 65 75 85 95



140 315 440 780 675 510 380 3240



Tabel di atas menunjukkan keuntungan per tahun 50 perusahaan batik di Yogyakarta dalam juta rupiah. Kolom pertama menunjukkan klas yang menunjukkan keuntungan, kolom ke dua menunjukkan frekuensi dari masing-masing kelas. Untuk menghitung rata-rata, langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menghitung titik tengah (class Mark). Ada dua cara menghitung titik tengah. Hal yang pertama kita jumlahkan batas bawah dan batas atas kemudian dibagi 2. Cara yang ke dua, batas bawah ditambah batas bawah kelas berikutnya dibagi dua. Setelah itu, kita



2.6



Statistika Ekonomi 



kalikan masing-masing titik tengah (X) dengan frekuensi (f). Kemudian kita jumlahkan perkalian titik tengah dengan frekuensi  f . X  tersebut. Hasilnya penjumlahan tersebut dibagi dengan total frekuensi. Hasilnya adalah sebagai berikut:



X



3240  64,8 50



Cara menghitung mean bagi data yang sudah dikelompokkan relatif mudah namun kurang teliti bila dibandingkan dengan perhitungan mean menggunakan data individual seperti yang sudah dibahas di depan. Selain itu, kita akan menemui kesulitan untuk menggunakan rumus di atas apabila distribusi frekuensi tersebut memiliki Class mark yang besar apalagi pecahan atau distribusi frekuensi tersebut memiliki klas terbuka karena suatu klas terbuka tidak dapat dihitung titik tengahnya. Untuk memudahkan dan mempercepat perhitungan maka skalanya diubah dari skala X menjadi skala d yang satuannya bulat, yaitu 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Oleh karena itu, apabila suatu distribusi frekuensi memiliki klas terbuka, atau memiliki titik tengah yang besar apalagi pecahan, perhitungan mean dapat dilakukan dengan rumus yang lain, seperti terlihat di bawah ini:



X  X0  X0 d f Ci



 f .d  Ci f



= class mark yang kita anggap merupakan mean = deviasi = frekuensi = lebar kelas (Class Interval)



Sebagai contoh kita akan menggunakan distribusi frekuensi di atas dengan sedikit modifikasi, yaitu kita misalkan klas terakhir merupakan klas terbuka seperti terlihat dalam tabel berikut:



2.7



 ESPA4123/MODUL 2



Tabel 2.3. Keuntungan Per Tahun dari 50 Perusahaan Batik di Yogyakarta (Dalam Juta Rupiah)



Keuntungan per tahun 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 ke atas jumlah



Jumlah (f) 4 7 8 12 9 6 4 50



d –3 –2 –1 0 1 2 3



fd –12 –14 –8 0 9 12 12 –1



Tahap pertama yang harus kita lakukan adalah memilih sebuah titik tengah yang akan kita anggap sebagai mean (mean anggapan). Misalnya X0 adalah 65, yaitu titik tengah Has keempat. Selanjutnya, kita tentukan nilai d, pada klas di mana X0 berada kita tentukan d = 0. Pada klas berikutnya kita tentukan nilai d adalah 1, 2 dan 3. Sedangkan untuk klas sebelumnya d nya sebesar –1, –2 dan –3. Langkah berikutnya, kita kalikan nilai d dengan frekuensi pada masing-masing klas maka akan kita peroleh nilai f . d . Langkah terakhir kita jumlahkan semua perkalian antara f dan d maka kita peroleh  f . d ; dan seterusnya kita dapat menghitung nilai rata-rata keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik dengan memasukkan semua komponen yang kita miliki ke dalam rumus berikut:



X  X0 



 f .d  Ci f



Hasilnya adalah sebagai berikut:



X  65 



1 10  64,8 50



Hasil perhitungan mean dengan rumus ke dua, hasilnya sama dengan hasil perhitungan menggunakan rumus pertama tadi. Keunggulan rumus ke dua adalah dapat digunakan untuk menghitung mean bagi data yang sudah dikelompokkan, meskipun distribusi frekuensi tersebut mempunyai kelas



2.8



Statistika Ekonomi 



terbuka. Selain itu, nilai d relatif lebih kecil bila dibandingkan dengan nilai class mark. B. MEDIAN Ukuran tendensi pusat yang ke dua yang akan dibahas adalah median. Median adalah nilai yang letaknya di tengah-tengah setelah data tersebut diurutkan. Atau rata-rata dari dua nilai yang letaknya di tengah apabila jumlah data genap. 1.



Mencari Median untuk Data yang tidak Dikelompokkan Untuk data yang tidak dikelompokkan, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan data. Urutannya boleh dari kecil ke besar, boleh juga dari besar ke kecil. Langkah berikutnya, kita cari letak median dengan rumus: L Md 



n 1 2



Sebagai contoh: 7 1 4 2 8 1  4,5 Dan jika datanya sebanyak 8 maka letak median  L Md   2



Jika banyaknya data 7 maka letak median  L Md  



Langkah selanjutnya adalah mencari nilai median. Untuk mencari nilai median mudah sekali, tidak ada rumus yang dipergunakan. Kita mencari median dalam data yang sudah diurutkan tadi. Nilai median adalah nilai data n 1 urutan ke . 2 Contoh: a. Data berikut adalah umur 7 orang anak peserta lomba melukis (th) 5 4 3 4 6 7 8 Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mengurutkan data tersebut. Setelah diurutkan data tersebut susunannya menjadi seperti di bawah ini 3 4 4 5 6 7 8



2.9



 ESPA4123/MODUL 2



Langkah kedua kita tentukan letak median dengan rumus: letak median 7 1 4  L Md   2 Langkah yang ke tiga kita mencari nilai median, yaitu kita mencari data urutan ke 4 dari data yang sudah diurutkan tadi. Data nomor 4 bernilai 5, berarti median data tersebut adalah 5. b.



Cara menghitung median apabila data kita genap Misalnya kita mempunyai data umur warga dalam sebuah RT (rukun tetangga) adalah 36



40



55



44



60



54 33



50



70



66.



Langkah pertama kita urutkan sehingga susunannya menjadi: 33



36



40



44



50



54



55



60



66



70



Langkah kedua kita mencari letak median dengan rumus



 L Md  



n  1 10  1   5,5 2 2



Langkah ke tiga kita mencari nilai median, yaitu nilai data yang berada pada urutan ke 5,5. Data urutan ke 5,5 ternyata tidak ada maka median adalah rata-rata dari data nomor 5 dan data nomor 6, yaitu sama dengan 50 ditambah 54 dibagi dua = 52. 2.



Mencari Median untuk Data yang Dikelompokkan Untuk mencari median langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menentukan letak median. Rumus untuk mencari letak median bagi data yang sudah dikelompokkan tidak sama dengan rumus untuk mencari letak median bagi data yang belum dikelompokkan. Letak median dapat dihitung dengan menggunakan rumus: L Md 



n 2



Langkah berikutnya kita hitung frekuensi kumulatifnya. Caranya menghitung sama dengan mencari distribusi frekuensi kumulatif ”kurang dari”. Dan langkah terakhir kita menghitung nilai median dengan rumus:



2.10



Statistika Ekonomi 



Md  L  Ci



j fm



Dalam hal ini Md = nilai median L = class boundary bawah pada klas median Ci = lebar kelas (Class Interval) j = selisih antara letak median dengan frekuensi kumulatif sebelum klas n median letak median  L Md   2 f m = frekuensi pada klas median Sebagai contoh kita akan mencari nilai median dari keuntungan 50 perusahaan batik di Yogyakarta yang sudah kita pakai pada bagian sebelumnya. Tabel 2.4. Perhitungan Nilai Median Keuntungan Per Tahun Perusahaan Batik di Yogyakarta



Keuntungan 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9 Jumlah



Frekuensi 4 7 8 12 9 6 4 50



Frekuensi kumulatif 4 11 19 31 40 46 50



Langkah pertama kita hitung frekuensi kumulatif kurang dari. Setelah itu kita hitung letak median. Jumlah data dalam Tabel 2.4 ada 50 maka letak median dari data tersebut dapat dihitung letak median  L Md  



n 50   25 2 2



Setelah mengetahui letak median maka kita mencari klas median, caranya kita mencari klas yang frekuensi kumulatifnya memuat angka 25, yaitu klas ke empat dengan frekuensi kumulatif sebesar 31.



2.11



 ESPA4123/MODUL 2



Perhitungan nilai median kita pusatkan pada klas median tersebut. Dari pengamatan terhadap klas median tersebut dapat diketahui bahwa: Class boundary bawah dari klas median  L   39,95



 fm   12 Class interval pada klas median  Ci   10 Frekuensi pada klas median



n  25 2 Frekuensi kumulatif sebelum klas median = 19



Letak median  L Md  



Untuk menghitung nilai median, semua angka tersebut kita masukkan ke dalam rumus median. Md  39,95  10



25  19  44,95 12



Atau median keuntungan per tahun 50 perusahaan batik di Yogyakarta sebesar Rp44.950.000,00 C. MODUS Ukuran tendensi pusat yang ke tiga adalah modus. Untuk data kualitatif, yang dimaksud dengan modus adalah keadaan atau sifat yang paling sering terjadi. Sedang untuk data kuantitatif modus adalah nilai yang paling sering terjadi yaitu data yang frekuensinya paling besar. Dalam praktek dimungkinkan suatu kumpulan data tidak mempunyai modus, atau mempunyai satu modus (mono modus), tetapi dapat pula mempunyai lebih dari satu modus (bimodus). 1.



Mencari Modus untuk Data yang tidak Dikelompokkan Untuk mencari modus untuk data yang tidak dikelompokkan, sangat mudah. Pertama-tama data kita urutkan, kemudian kita cari data yang frekuensinya paling besar. Contoh 1: Kita memiliki data berat badan 20 orang mahasiswa yang mengikuti kuliah statistika sebagai berikut:



2.12



Statistika Ekonomi 



40 39 70 50 50 49 71 68 55 45 61 60 42 40 64 51 63 60 60 65 Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mengurutkan data tersebut menjadi 39 40 40 42 45 49 50 50 51 55 60 60 60 61 63 64 65 68 70 71 Setelah itu, kita teliti, apakah ada data yang paling sering terjadi. Ternyata 60 terjadi tiga kali maka modus dari data tersebut adalah 60 dengan frekuensi terbesar sebanyak 3. Sedang data yang lain frekuensinya di bawah 3. Contoh 2 Kita memiliki data tentang umur 5 orang peserta lomba mewarnai sebagai berikut: 3 4 5 6 7 Data tersebut sudah diurutkan maka selanjutnya kita tinggal mencari modus, yaitu mencari data yang frekuensinya paling besar. Ternyata masing-masing data mempunyai frekuensi yang sama, yaitu 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa kelompok data tersebut tidak mempunyai modus. Contoh 3 Diketahui sekumpulan data mengenai pendapatan per bulan penduduk di suatu RT (rukun tetangga) sebagai berikut (dalam juta rupiah): 3 5 2 1 1 6 4 3 2 2 Langkah pertama data tersebut diurutkan, susunannya menjadi : 1 1 2 2 2 2,5 3 3 3 4



3



2,5



5



6



Selanjutnya, kita mencari data yang frekuensinya paling banyak. Ternyata di sini tampak bahwa ada dua data yang frekuensinya paling besar, yaitu 2 dan 3. Sehingga dapat disimpulkan bahwa data tersebut mempunyai dua modus, yaitu 2 dan 3, dengan frekuensi 3.



2.13



 ESPA4123/MODUL 2



2.



Mencari Modus untuk Data yang Dikelompokkan Untuk mencari modus dilakukan dengan 2 tahap. Langkah pertama kita mencari letak modus. Modus terletak pada klas yang mempunyai frekuensi paling besar. Langkah ke dua kita mencari nilai modus. Nilai modus dapat dicari dengan rumus: d1 M0  L  Ci d1  d 2 Dalam hal ini L = class boundary bawah dari kelas modus d1 = selisih antara frekuensi pada kelas modus dengan frekuensi di bawah kelas modus d2 = selisih antara frekuensi pada klas modus dengan frekuensi di atas kelas modus Ci = lebar kelas (Class interval) Sebagai contoh, kita akan menghitung modus dari keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta. Tabel 2.5. Perhitungan Modus untuk Keuntungan Per Tahun dari 50 Perusahaan Batik di Yogyakarta



Keuntungan 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9



Frekuensi 4 7 8 12 9 6 4 50



Langkah pertama kita mencari kelas dengan frekuensi paling besar. Kelas ke 4 mempunyai frekuensi terbesar yaitu 12, maka kelas ke 4 adalah merupakan kelas modus, yaitu kelas di mana modus terletak. Perhitungan modus akan kita pusatkan pada kelas tersebut. Dan i kelas tersebut dapat kita hitung:



2.14



Statistika Ekonomi 



class boundary bawah sebesar 39, 95, kelas interval sebesar 10, d1  12  8  4 d 2  12  9  3



Untuk menghitung modus, angka-angka tersebut dimasukkan ke dalam rumus:



Mo  59,95  10



4  65,6643 43



Artinya data yang frekuensinya paling besar adalah 65,6643, atau paling banyak perusahaan mempunyai keuntungan 65,6643 , dan kalau data tersebut digambar, puncaknya terjadi pada saat keuntungan sebesar 65,6643 juta. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Diketahui data produksi padi dari 20 orang petani di suatu kabupaten sebagai berikut: (dalam kuintal) 2 4 6 5 8 3 9 10 8 7 3



5



2



7



6



5



6



7



4



11



2) Diketahui jumlah tenaga kerja yang dipergunakan dalam 40 perusahaan garmen seperti terlihat dalam distribusi berikut: Jumlah karyawan di beberapa perusahaan garmen Jumlah tenaga kerja Frekuensi 10 – 19 8 20 – 29 10 30 – 39 20 40 – 49 17 50 – 59 5 Hitunglah mean, median, dan modus data jumlah karyawan tersebut.



 ESPA4123/MODUL 2



2.15



Petunjuk Jawaban Latihan 1) Untuk menghitung mean: Jumlahkan data tersebut, kemudian bagilah dengan banyaknya data untuk menghitung median: Urutkanlah data tersebut dan carilah rata-rata dari dua data yang letaknya di tengah-tengah. Untuk mencari median: Carilah data yang paling sering muncul. Untuk menentukan modus, periksalah data yang sudah diurutkan tadi, carilah data yang paling sering muncul. 2) Untuk menghitung mean: hitunglah titik tengah dari masing-masing kelas  X  , kalikan dengan frekuensi masing-masing kelas  f . X  , dan jumlahkan hasil kali tersebut. Hasilnya kita bagi dengan banyaknya data. Untuk menghitung median: hitunglah frekuensi kumulatif kurang dari, hitung pula letak median. Kemudian, carilah kelas median. Perhitungan median kita pusatkan pada kelas median tersebut. Dengan mencari class boundary bawah, kelas interval, frekuensi kumulatif sebelum kelas median, frekuensi pada kelas median. Langkah terakhir, masukkan semua komponen tadi dalam rumus median. Untuk menghitung modus: kita cari kelas yang mempunyai frekuensi paling besar, kita cari class boundary bawah dan kelas interval pada kelas modus. Hitung selisih antara frekuensi pada kelas modus dan frekuensi sebelum kelas modus. Hitung pula perbedaan antara frekuensi pada kelas modus dengan frekuensi pada kelas di atas kelas modus. Masukkan semua komponen ke dalam rumus maka akan kita peroleh modus. R A NG KU M AN Ukuran tendensi pusat dapat dihitung dengan menggunakan banyak cara. Dalam modul ini hanya dibahas tiga macam ukuran tendensi pusat, yaitu mean, median, dan modus. Data hasil penelitian bisa dibedakan menjadi dua, yaitu data yang tidak dikelompokkan dan data yang dikelompokkan. Untuk data yang tidak dikelompokkan. Mean atau rata-rata hitung adalah jumlah data dibagi banyaknya data. Untuk mencari mean bagi data yang sudah dikelompokkan yaitu data yang sudah dibuat menjadi suatu distribusi frekuensi kita menggunakan cara lain. Data yang sudah dibuat distribusi



2.16



Statistika Ekonomi 



frekuensi menjadi tidak asli lagi, data sudah dimasukkan ke dalam kelaskelas, sehingga yang ada tinggal frekuensi dari masing-masing kelas saja (f). Oleh karena itu, dalam menghitung rata-rata kita menggunakan clas mark yaitu pertengahan suatu kelas (X) dan frekuensi. Rata-rata hitung dapat dihitung dengan rumus berikut:



X 



X1 f1  X 2 f 2  X 3 f3   X k f k k X f atau X  i k1 i i f1  f 2  f3   f k i 1 fi



Apabila distribusi frekuensi tersebut memiliki kelas terbuka, maka titik tengah pada kelas terbuka tidak dapat dihitung, sehingga kita tidak dapat menghitung mean menggunakan rumus di atas. Maka titik tengah kita ganti dengan d (deviasi). Sehingga mean kita hitung dengan rumus:



X  X0 



 f .d  Ci f



Untuk menghitung median bagi data yang tidak dikelompokkan, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan data. Urutannya boleh dari kecil ke besar, boleh juga dari besar ke kecil. n 1 Langkah berikutnya kita cari letak median dengan rumus L Md  . 2 n 1 . Nilai median adalah nilai data urutan ke 2 Untuk mencari median bagi data yang dikelompokkan, pertamatama kita tentukan letak median. Letak median dapat dihitung dengan n menggunakan rumus L Md  . Langkah berikutnya, kita hitung 2 frekuensi kumulatifnya. Caranya menghitung sama dengan mencari distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Dan langkah terakhir kita j . menghitung nilai median dengan rumus: Md  L  Ci fm Untuk menghitung modus bagi data yang tidak dikelompokkan, langkah pertama kita urutkan data tersebut, kemudian kita cari data yang paling sering terjadi. Untuk menghitung modus bagi data yang dikelompokkan, kita cari kelas yang mempunyai frekuensi paling besar. Untuk menghitung modus: kita cari kelas yang mempunyai frekuensi paling besar, kita cari class boundary bawah dan kelas interval pada kelas modus. Hitung selisih antara frekuensi pada kelas modus dan frekuensi sebelum kelas modus. Hitung pula perbedaan antara frekuensi pada kelas



 ESPA4123/MODUL 2



2.17



modul dengan frekuensi pada kelas di atas kelas modus. Masukkan n 1 semua komponen ke dalam rumus, L Md  maka akan kita peroleh 2 modus TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Untuk soal nomor 1, 2 dan 3: diketahui umur 5 orang anak sekolah dasar yang ikut piknik adalah 6, 8, 7, 11 dan 9 tahun 1) Umur rata-rata murid SD tersebut .... A. 8,2 B. 8 C. 8,5 D. 7,5 2) Median umur anak sekolah tersebut .... A. 8,5 B. 8 C. 7 D. 9 3) Modus data di atas .... A. tidak ada B. 8,5 C. 7 D. 8 4) Suatu set data dapat mempunyai modus sebanyak .... A. hanya satu modus B. tidak lebih dari dua modus C. kurang dari dua modus D. satu, dua maupun tidak punya modus 5) Satu set data yang jumlahnya genap dan sudah diurutkan maka nilai median adalah .... A. nilai data yang di tengah B. rata-rata dua data yang letaknya di tengah C. tidak ada mediannya D. rata-rata data antara data pertama dan terakhir



2.18



Statistika Ekonomi 



6) Berat badan 5 orang mahasiswa FIB UGM ditimbang,masing-masing: 59 kg, 60 kg, 54 kg, 62 kg, dan 65 kg. Maka rata-rata berat badan kelima mahasiswa tersebut adalah .... A. 60 kg B. 55 kg C. 63 kg D. 59 kg 7) Dari data dalam soal no. 6 maka modus dari berat badan kelima mahasiswa tersebut .... A. 60 kg B. 59 kg C. 62 kg D. Tidak ada 8) Dari data dalam soal no. 6 maka median dari berat badan kelima mahasiswa tersebut .... A. 60 kg B. 59 kg C. 62 kg D. 61 kg 9) Umur penduduk di suatu wilayah adalah sebagai berikut; 21 36 22 45 25 28 22 10 37 19 50 24 15 23 33 55 26 63 31 21 Rata-rata data tersebut adalah sebesar .... A. 63 B. 45 C. 30,3 D. 30 10) Median dari data dalam soal no. 18 tersebut adalah .... A. 10,5 B. 25,5 C. 15,75 D. 21,25



2.19



 ESPA4123/MODUL 2



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.20



Statistika Ekonomi 



Kegiatan Belajar 2



Ukuran Letak



U



kuran letak suatu rangkaian data adalah ukuran yang didasarkan letak dari ukuran tersebut dalam suatu distribusi. Sebagai contoh, median adalah data yang letaknya di tengah-tengah maka median membagi suatu distribusi menjadi dua bagian yang sama, artinya 50% dari data terletak di atas median, sedang 50% lainnya berada di bawah median. Maka median selain menjadi ukuran tendensi pusat juga merupakan ukuran letak karena letaknya membagi 2 suatu distribusi. Selain median ada ukuran letak yang lain, yang membagi suatu distribusi menjadi 4, 10 dan 100 bagian. Sehingga kita mengenal ada berbagai macam ukuran letak, antara lain: 1. Median 2. Kuartil (Quartile) 3. Desil (Decile) 4. Persentil (Percentile) A. MEDIAN Dalam Kegiatan Belajar 1 kita sudah membahas ukuran tendensi pusat. Salah satu ukuran tendensi pusat adalah median. Di sana median didefinisikan sebagai data yang letaknya di tengah-tengah. Karena median letaknya di tengah-tengah maka median juga merupakan salah satu ukuran letak karena median membagi suatu distribusi menjadi 2 bagian yang sama besar.



 ESPA4123/MODUL 2



2.21



Cara mencari median sudah dibahas bada Kegiatan Belajar 1, maka tidak akan dibahas dalam Kegiatan Belajar 2. Untuk menghitungnya dapat dilihat pada ukuran tendensi pusat B. KUARTIL



2.22



Statistika Ekonomi 



Kuartil membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama besar masing-masing sebesar 25%. Dalam ini kita mengenal ada 3 kuartil, yaitu kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3. 1.



Mencari Kuartil untuk Data yang tidak Dikelompokkan Untuk mencari kuartil bagi data yang tidak dikelompokkan, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan data dari kecil ke besar. Langkah berikutnya kita mencari letak kuartil dengan rumus



K1  K2  K3 



n 1 4 2  n  1 4 3  n  1







n 1 2



4



Langkah terakhir kita mencari nilai kuartil. Untuk mencari nilai kuartil kita tidak membutuhkan rumus, tugas kita hanyalah mencarinya didalam data yang sudah diurutkan



n 1 4 n 1 K 2 adalah data urutan ke 2 3  n  1 K 3 adalah data urutan ke 4 K1 adalah data urutan ke



Sebagai contoh, kita memiliki data tentang umur penduduk suatu wilayah sebagai berikut 21 36 22 45 25 28 22 10 37 19 50 24 15 23 33 55 26 63 31 21 Cara menghitung kuartil dari data tersebut, langkah pertama kita urutkan dulu data tersebut dari kecil ke besar sehingga urutannya menjadi



 ESPA4123/MODUL 2



2.23



10 15 19 21 21 22 22 23 24 25 26 28 31 33 36 37 45 50 55 63 Langkah ke dua kita hitung letak kuartil



20  1  5, 25 4 2  20  1 20  1 LK 2    10,5 4 2 3  20  1 LK3   15, 75 4 LK1 



Langkah berikutnya kita mencari nilai kuartil Kuartil 1 adalah data nomor 5,25, dapat kita hitung dengan cara menjumlahkan data urutan ke lima ditambah 0,25 kali selisih antara data urutan ke lima dan data urutan ke 6. Sehingga nilai K1  21  0, 25  22  21  21, 25 Dengan cara yang sama kita dapat menghitung nilai K2  25  0,5  26  25  25,5 Begitu pula kuartil 3 dapat kita hitung, nilai



K3  36  0,75 37  36  36,75 2.



Mencari Kuartil untuk Data yang Dikelompokkan Untuk mencari kuartil bagi data yang sudah dikelompokkan menjadi suatu distribusi frekuensi prosedurnya sama dengan mencari kuartil bagi data yang tidak dikelompokkan, kecuali mengurutkan data karena datanya sudah dalam bentuk distribusi frekuensi. Dua langkah, yaitu kita mencari letak kuartil dan mencari nilai kuartil. Letak kuartil dapat dicari dengan menggunakan rumus:



n 4 2n n LK 2   4 2 3n LK3  4 LK1 



2.24



Statistika Ekonomi 



Langkah berikutnya adalah mencari nilai kuartil. Kuartil dapat dihitung menggunakan rumus:



K1  L1  Ci



J1 f K1



K 2  L2  Ci



J2 fK 2



K 3  L3  Ci



J3 fK 3



Sebagai contoh kita akan menghitung kuartil dari keuntungan 50 perusahaan batik di Yogyakarta Tabel 2.6. Mencari Kuartil Keuntungan Per Tahun Perusahaan Batik di Yogyakarta



Keuntungan



Frekuensi



Frekuensi kumulatif



30 — 39,9 40 — 49,9 50 — 59,9 60 — 69,9 70 — 79,9 80 — 89,9 90 — 99,9



4 7 8 12 9 6 4 50



4 11 19 31 40 46 50



Langkah pertama kita menghitung frekuensi kumulatif kurang dari, kemudian kita menghitung letak kuartil 1 = 50 : 4 = 12,5. Selanjutnya, kita mencari klas kuartil 1, yaitu frekuensi kumulatif yang mengandung 12,5, yaitu klas ke 3. Maka perhitungan kuartil 1 kita pusatkan di klas ke 3. Cara mencari kuartil seperti mencari median. klas boundary bawah = 49,95, f K1  8, C = 10 dan j = 12,5 – 11 = 1,5. Maka kita dapat menghitung kuartil 1 dengan rumus:



2.25



 ESPA4123/MODUL 2



K1  49,95  10



12,5  11  51,825 8



Artinya keuntungan tertinggi dari 25% terendah sebesar Rp51.825.000,00. Dengan langkah yang sama kita cari letak kuartil 2 = 2(50) : 4 = 50 : 2 = 25 letak kuartil 2 ini sama dengan letak median dan seterusnya kita hitung nilai kuartil 2 karena letak kuartil 2 sama dengan letak median maka nanti nilai kuartil 2 juga sama dengan nilai median. Nilai kuartil 2 dapat kita hitung dengan rumus: K 2  49,95  10



25  19  64,95 12



Selanjutnya kita dapat mencari nilai kuartil 3 dengan cara yang sama, yaitu kita menghitung letak kuartil 3 = 3(50) : 4 = 37,5. Dan selanjutnya kita menghitung nilai kuartil 3 dengan rumus :



K3  69,95  10



37,5  31  77,172 9



Artinya, keuntungan terendah dari 25% tertinggi adalah sebesar Rp77.172.000,00. C. DECILES/DESIL Pengertian deciles adalah angka yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar. Oleh karena itu, kita mengenal ada 9 deciles. 1.



Mencari Deciles untuk Data yang tidak Dikelompokkan Untuk mencari deciles bagi data yang tidak dikelompokkan, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan data dari kecil ke besar. Langkah berikutnya kita mencari letak deciles dengan rumus :



2.26



Statistika Ekonomi 



LD1  LD2  LD3  LD4 



LD9 



n 1 10 2  n  1 10



 3n  1 10 4  n  1 10 9  n  1 10



Langkah selanjutnya adalah mencari nilai deciles



D1 adalah data urutan ke D2 adalah data urutan ke



D9 adalah data urutan ke



n 1 10 2  n  1 10 9  n  1 10



Sebagai contoh, kita memiliki data tentang umur penduduk suatu wilayah sebagai berikut 21 36 22 45 25 28 22 10 37 19 50 24 15 23 33 55 26 63 31 21 Cara menghitung deciles dari data tersebut, langkah pertama kita urutkan dulu data tersebut dari kecil ke besar, sehingga urutannya menjadi 10 15 19 21 21 22 22 23 24 25 26 28 31 33 36 37 45 50 55 63



2.27



 ESPA4123/MODUL 2



Letak deciles di cari dengan rumus di atas dan selanjutnya kita hitung nilai deciles



D1  15  0,119  15   15, 4



LD2



D2  21



LD3 LD4 LD5 LD6 LD7 LD8 LD9 2.



20  1  2,1 10 2  20  1   4, 2 10 3  20  1   6,3 10 4  20  1   8, 4 10 5  20  1   10,5 10 6  20  1   12, 6 10 7  20  1   14, 7 10 8  20  1   16,8 10 9  20  1   18,9 10



LD1 



D3  22 D4  23  0, 4  24  23   23, 4 D5  25  0,5  26  25   25,5 D6  28  0, 6  31  28   29,8 D4  33  0, 7  36  33  35,1 D5  37  0,8  45  37   43, 4 D9  50  0,9  55  50   54,5



Mencari Decile Data Dikelompokkan Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mencari letak deciles. Untuk mencari deciles bagi data yang sudah dikelompokkan menjadi suatu distribusi frekuensi, prosedurnya sama dengan mencari deciles bagi data yang tidak dikelompokkan, kecuali mengurutkan data karena datanya sudah dalam bentuk distribusi frekuensi. Dua langkah yang harus dilakukan adalah kita mencari letak deciles dan mencari nilai deciles. Letak deciles dapat dicari dengan menggunakan rumus:



2.28



Statistika Ekonomi 



n 10 2n LD2  10 3n LD3  10 LD1 



LD9 



9n 10



Langkah berikutnya adalah mencari nilai deciles. Deciles dapat dihitung menggunakan rumus :



j1



D1  L1  Ci



f D1



D2  L1  Ci



j2 fD2



D3  L3  Ci



j3



D9  L9  Ci



f D3 j9 f D9



Sebagai contoh kita akan menghitung Deciles dari keuntungan 50 perusahaan batik di Yogyakarta. Tabel 2.7. Mencari Kuartil Keuntungan Per Tahun 50 Perusahaan Batik di Yogyakarta



Keuntungan Frekuensi Frekuensi kumulatif 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9



4 7 8 12 9 6 4 50



4 11 19 31 40 46 50



 ESPA4123/MODUL 2



2.29



Langkah pertama kita hitung frekuensi kumulatif kurang dari, langkah yang ke dua kita menghitung letak decil: Letak decil 1 = 50 : 10 = 5 Letak decil 2 = 2(50) : 10 = 10 Letak decil 3 = 3(50) : 10 = 15 Letak decil 4 = 4(50) : 10 = 20 Letak decil 5 = 5(50) : 10 = 25 Letak decil 6 = 6(50) : 10 = 30 Letak decil 7 = 7(50) : 10 = 35 Letak decil 8 = 8(50) : 10 = 40 Letak decil 9 = 9(50) : 10 = 45 Selanjutnya kita cari klas decil: Kelas Decil 1 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 5, yaitu kelas ke 2 Kelas Decil 2 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 10, yaitu kelas ke 2. Kelas Decil 3 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 15, yaitu kelas ke 3. Kelas Decil 4 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 20, yaitu kelas ke 4. Kelas Decil 5 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 25, yaitu kelas ke 4. Kelas Decil 6 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 30, yaitu kelas ke 4. Kelas Decil 7 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 35, yaitu kelas ke 5. Kelas Decil 8 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 40, yaitu kelas ke 5. Kelas Decil 9 adalah kelas yang frekuensi kumulatif mengandung angka 45, yaitu kelas ke 6. Maka perhitungan masing-masing decil kita pusatkan di kelas tersebut. Langkah berikutnya kita menghitung nilai decil, dengan cara mencari class boundary bawah (L), kelas interval (Ci), frekuensi pada kelas tersebut (fD) dan selisih antara letak decil dengan frekuensi kumulatif sebelum kelas



2.30



Statistika Ekonomi 



decil yang bersangkutan (j). Maka selanjutnya kita dapat menghitung nilai decil dengan rumus:



54  41,38 7 10  4  39,95  10  48,52 7 15  11  49,95  10  54,95 8 20  19  59,95  10  60, 78 12 25  19  59,95  10  64,95 12 30  19  59,95  10  69,12 12 35  31  69,95  10  74,39 9 40  31  69,95  10  79,95 9 45  40  79,95  10  88, 28 6



D1  39,95  10 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9



D. PERSENTIL Persentil membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama besar. 1. Mencari Persentil untuk Data yang tidak Dikelompokkan Untuk mencari persentil bagi data yang belum dikelompokkan dapat dilakukan melalui 3 langkah. Langkah yang pertama kita mengurutkan data tersebut dari kecil ke besar. Langkah ke dua kita mencari letak persentil dengan rumus:



 ESPA4123/MODUL 2



LP1  LP2 



2.31



n 1 , 100 2  n  1



LP99 



2 99  n  1 100



Selanjutnya kita mencari nilai prosentil ke dalam data yang sudah diurutkan tadi. 2.



Mencari Persentil untuk Data yang Dikelompokkan Untuk menghitung prosentil bagi data yang sudah dikelompokkan, dilakukan dengan 4 langkah, yaitu langkah pertama kita menghitung frekuensi kumulatif kurang dari. Langkah kedua kita menghitung letak persentil dengan rumus:



n , 100 2n LP2  100 LP1 



LP99 



99n 100



Langkah ketiga kita mencari kelas persentil. Dan langkah terakhir kita menghitung nilai persentil menggunakan rumus:



P1  L1  Ci



j1 , f p1



P2  L2  Ci



j2 f p2



P99  L99  Ci



j99 f p 99



2.32



Statistika Ekonomi 



Khusus untuk persentil tidak diberi contoh karena membutuhkan data yang cukup banyak   100 agar dapat dihitung procentilnya. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Dalam sebuah rumah dihuni oleh 10 anggota keluarga yang beratnya masing-masing sebagai berikut: 40 kg 25 kg 54kg 63kg 57kg 73kg 54kg 30kg 71kg 14kg Hitunglah besarnya kuartil 1, kuartil 2, dan kuartil 3. 2) Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi gaji karyawan di sebuah bank swasta dari 120 karyawan yang dipilih sebagai sampel (dalam juta rupiah per tahun) Gaji karyawan Jumlah karyawan 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9



1 3 11 21 43 32 9



Petunjuk Jawaban Latihan 1) Pertama urutkan data tersebut dari kecil ke besar. Hitunglah letak kuartil dan cari letaknya di antara data yang sudah diurutkan. Hitunglah nilai kuartil. 2. Hitunglah frekuensi kumulatif kurang dari. Hitunglah letak decil dan carilah kelas decil. Hitunglah nilai decil.



2.33



 ESPA4123/MODUL 2



R A NG KU M AN Ukuran letak suatu rangkaian data adalah ukuran yang didasarkan letak dari ukuran tersebut dalam suatu distribusi. Kita mengenal ada berbagai macam ukuran letak, antara lain: Median, Kuartil (Quartile), Desil (Decile), dan Prosentil (Procentile). Median adalah data yang letaknya di tengah-tengah. Median letaknya di tengah-tengah maka median juga merupakan salah satu ukuran letak karena median membagi suatu distribusi menjadi 2 bagian yang sama besar. Cara mencari median sudah dibahas bada kegiatan belajar 1 maka tidak akan dibahas dalam kegiatan belajar 2. Untuk menghitungnya dapat dilihat pada ukuran tendensi pusat. Kuartil membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang sama besar. Dalam ini kita mengenal ada 3 kuartil, yaitu kuarti11, kuartil 2, dan kuartil 3. Untuk menghitung kuartil pada data yang belum dikelompokkan, langkah pertama adalah mengurutkan data dari kecil ke besar. Langkah berikutnya kita mencari letak kuartil dengan rumus:



LK1 



2  n  1 n  1 3  n  1 n 1 , LK2   dan LK3  , 4 4 2 4



Langkah terakhir kita mencari nilai kuartil. Untuk mencari nilai kuartil kita tidak membutuhkan rumus, tugas kita hanyalah mencarinya n 1 di dalam data yang sudah diurutkan. K1 adalah data urutan ke , 4 3  n  1 n 1 K1 adalah data urutan ke dan K 3 adalah data urutan ke . 2 4 Untuk mencari kuartil bagi data yang sudah dikelompokkan menjadi suatu distribusi frekuensi ada dua langkah yang harus dilakukan, yaitu kita mencari letak kuartil dan mencari nilai kuartil. Letak kuartil dapat dicari dengan menggunakan rumus: LK1 



n 2n n 3n , LK 2   , LK3  4 4 2 4



Langkah berikutnya adalah mencari nilai kuartil. Kuartil dapat dihitung menggunakan rumus :



2.34



Statistika Ekonomi 



K1  L1  Ci



J1 f K1



K 2  L2  Ci



J2 fK 2



K3  L3  Ci



J3 fK 3



Pengertian deciles adalah angka yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar. Oleh karena itu, kita mengenal ada 9 deciles. Untuk mencari deciles bagi data yang tidak dikelompokkan, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan data dari kecil ke besar. Langkah berikutnya kita mencari letak decile dengan rumus: 2  n  1  3n  1 n 1 LD2  LD3  10 10 10 4  n  1 9  n  1 LD4  dan LD9  10 10 LD1 



Langkah selanjutnya adalah mencari nilai deciles: D1 adalah data  n  1 D adalah data urutan ke 2  n  1 ... D adalah data urutan ke 2 9 10 10 9  n  1 urutan ke . 10 Persentil membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama besar. Untuk mencari persentil bagi data yang belum dikelompokkan dapat dilakukan melalui 3 langkah. Langkah yang pertama kita mengurutkan data tersebut dari kecil ke besar. Langkah kedua kita mencari letak persentil dengan rumus:



LP1 



2  n  1 n 1 , LP2  100 100



LP99 



99  n  1 100



Selanjutnya, kita mencari nilai persentil ke dalam data yang sudah diurutkan tadi. Untuk menghitung persentil bagi data yang sudah dikempokkan dilakukan dengan 4 langkah, yaitu langkah pertama kita menghitung frekuensi kumulatif kurang dari. Langkah kedua kita menghitung letak n 2n 99n persentil dengan rumus: LP1  , langkah , LP2  LP99  100 100 100 ketiga kita mencari klas persentil. Dan langkah terakhir kita menghitung nilai persentil menggunakan rumus:



P1  L1  Ci



j1 j , P2  L2  Ci 2 f p1 f p2



P99  L99  Ci



j99 f p99



 ESPA4123/MODUL 2



2.35



Khususnya untuk persetil tidak diberi contoh karena membutuhkan data yang cukup banyak  100  agar dapat dihitung persentilnya. TES F OR M AT I F 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Untuk soal nomor 1, 2, 3 dan 4. Diketahui Umur penduduk di suatu wilayah adalah sebagai berikut; 21 36 22 45 25 28 22 20 37 20 50 24 25 23 33 55 25 30 21 1) Kuartil satu dari data tersebut sebesar .... A. 21 B. 22 C. 25 D. 33 2) Kuartil dua data tersebut sebesar .... A. 21 B. 22 C. 25 D. 33 3) Kuartil tiga dari data tersebut sebesar .... A. 22 B. 25 C. 33 D. 36 4) Median dari data tersebut adalah .... A. 20 B. 25 C. 45 D. 30 5) Decile satu data tersebut .... A. 20 B. 22 C. 25 D. 28



2.36



Statistika Ekonomi 



Untuk soal nomor enam sampai dengan sepuluh. Diketahui distribusi frekuensi tentang omset penjualan per hari perusahaan batik di Pekalongan Omset penjualan (juta rupiah) 5 – 99,9 10 – 19,9 20 – 29,9 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 5 – 99,9 6) Letak kuartil 1 adalah .... A. 12 B. 20 C. 19 D. 13 7) Nilai kuartil 1 adalah .... A. 21 B. 12 C. 19 D. 20 8) Letak median adalah .... A. 20 B. 40 C. 40,5 D. 19 9) Nilai median adalah .... A. 20 B. 40,5 C. 31,45 D. 37,5



jumlah 6 12 19 20 13 8 6



2.37



 ESPA4123/MODUL 2



10) Nilai decile 9 adalah .... A. 52,45 B. 40,5 C. 40 D. 50 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.38



Statistika Ekonomi 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) A 2) B 3) A 4) D 5) B 6) A 7) D 8) A 9) C 10) B



Tes Formatif 2 1) B 2) C 3) C 4) D 5) A 6) B 7) A 8) B 9) C 10) A



 ESPA4123/MODUL 2



2.39



Daftar Pustaka Budijoewono, Nugroho. (1997). Pengantar Statistik Ekonomi dan Bisnis. Edisi Keempat. Yogyakarta: UPP AMP YKPN. Kohler, Heinz. (1994). Statistics For Business And Economics. Third Edition. Harper Collins. Subagyo, Pangestu.(2003). Statistik Deskriptif. Edisi Keempat. Yogyakarta: BPFE. Wonnacott, Thomas H., and Wonnacott, Ronald J. (1990). Introductory Statistics For Business And Economics. Forth Edition.



Modul 3



Ukuran Penyimpangan Dra. Ch. Suparmi, S.U.



PE NDAHUL UA N



D



alam modul sebelumnya kita sudah mempelajari tentang ukuran tendensi pusat. Ukuran-ukuran tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan keadaan sekelompok data, tetapi gambaran tersebut masih kurang lengkap apabila tidak disertai dengan ukuran-ukuran penyimpangan. Sebab dengan ukuran tendensi pusat saja, ada kemungkinan dua kelompok data yang sebenarnya berbeda bisa disimpulkan sama karena mempunyai rata-rata hitung yang sama. Maka dalam modul ini akan dibahas tentang ukuran penyimpangan. Ada beberapa macam ukuran penyimpangan yang bisa kita gunakan antara lain: range (rentang data), deviasi rata-rata, deviasi standar, variance, inter quartile range, deviasi kuartil dan koefisien variasi. Adapun yang dimaksud deviasi standar adalah standar penyimpangan data dari rata-ratanya. Perhitungan deviasi standar dan deviasi rata-rata hampir sama. Perbedaannya terletak pada upaya menghindari hasil perhitungan total penyimpangan sama dengan nol. Pada perhitungan deviasi rata-rata upaya tersebut dilakukan dengan cara menghitung harga mutlak penyimpangan, sedangkan pada perhitungan deviasi standar, penyimpangan itu kita kuadratkan karena bilangan negatif maupun positif kalau dikuadratkan menjadi positif. Notasi yang digunakan untuk deviasi standar ada dua macam yaitu  bagi deviasi standar populasi dan S bagi deviasi standar sampel. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat menerapkan konsep ukuran penyimpangan. Secara khusus, setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1. Menjelaskan konsep ukuran penyimpangan. 2. Menghitung range (rentang data). 3. Menghitung deviasi rata-rata. 4. Menjelaskan konsep deviasi standar. 5. Menghitung deviasi standar.



3.2



6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.



Statistika Ekonomi 



Menghitung deviasi kuartil. Menjelaskan konsep koefisien variasi. Menjelaskan konsep ukuran kecondongan. Menghitung kecondongan dari mean. Menghitung kecondongan dari modus. Menghitung kecondongan dari median. Menghitung kecondongan dari deviasi standar. Menjelaskan konsep ukuran keruncingan. Menghitung keruncingan dari mean. Menghitung keruncingan dari deviasi standar.



3.3



 ESPA4123/MODUL 3



Kegiatan Belajar 1



Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar



P



enyimpangan adalah ukuran yang menunjukkan besar kecilnya perbedaan data dari rata-ratanya (mean). Ada beberapa ukuran penyimpangan: range, deviasi rata-rata, deviasi standar, deviasi kuartil, varians, koefisien variasi. Dalam Kegiatan Belajar 1 kita mempelajari range (rentang data) dan deviasi rata-rata. A. RANGE (RENTANG DATA) Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat dalam sekelompok data. Sesuai dengan pengertian range tersebut, maka range hanya dapat dicari dalam sekelompok data yang belum dikelompokkan. Range ini sudah dibahas dalam Modul 2, yaitu pada saat menyusun distribusi frekuensi. Range adalah ukuran penyimpangan yang mudah dipahami serta menghitungnya cepat dan mudah, sehingga range ini sering digunakan apabila ukuran penyimpangan segera dibutuhkan, meskipun range mempunyai kelemahan. Kelemahan range ini adalah kurang teliti karena hanya dihitung dengan mencari perbedaan antara data terbesar dan data terkecil saja, tidak memperhatikan data-data lainnya yang terletak diantara kedua nilai ekstrim tersebut. Sehingga dapat saja terjadi ada beberapa kelompok data yang berbeda mempunyai range yang sama apabila nilai data tertinggi dan nilai data terkecilnya sama. Selain itu, range hanya dapat dihitung bagi data yang belum dikelompokkan. Contoh: Diketahui umur 10 orang buruh sebagai berikut: 35



40



60



Range = 60 – 25 = 35



35



55



45



27



25



31



34



3.4



Statistika Ekonomi 



B. DEVIASI RATA-RATA Deviasi rata-rata adalah rata-rata penyimpangan data dari rata-rata (mean) nya. Di dalam menghitung deviasi rata-rata, kita harus mencari ratarata harga mutlak dari selisih antara tiap-tiap data dengan meannya. Penyimpangan data terhadap mean ada yang positif dan ada yang negatif maka yang dijumlahkan adalah harga mutlak penyimpangan, bukan penyimpangan data dengan meannya. Hal yang dimaksud harga mutlak adalah nilai dengan tanpa memandang tanda positif atau negatif, semuanya dianggap positif. Harga mutlak X biasa ditulis dengan X . 1.



Mencari Deviasi Rata-rata untuk Data yang Tidak Dikelompokkan Untuk menghitung deviasi rata-rata bagi data yang tidak dikelompokkan dapat digunakan rumus:  X X dX  n Dalam hal ini d X = deviasi rata-rata X n X



= nilai data = banyaknya data = rata-rata hitung



Kita harus menghitung harga mutlak penyimpangan data terhadap mean lebih dulu karena penyimpangan data terhadap mean ada yang positif ada pula yang negatif, sehingga kalau langsung dijumlahkan maka ada kemungkinan total penyimpangan = 0, sehingga penyimpangan rata-rata juga = 0, yang dapat diartikan semua data sama dengan rata-ratanya. Meskipun kenyataannya tidak demikian. Contoh Produksi batik dari 5 buah perusahaan: 70 65 45 40 30 Untuk mempermudah perhitungan deviasi rata-rata, kita akan menggunakan pendekatan tabel. Data di atas kita masukkan ke dalam tabel, seperti yang terlihat dalam Tabel 3.1. berikut.



3.5



 ESPA4123/MODUL 3



Tabel 3.1. Perhitungan Deviasi Rata-rata untuk Data yang Tidak Dikelompokkan



X



XX



X X



70 65 45 40 30 250



70 – 50 = 20 65 – 50 = 15 45 – 50 = –5 40 – 50 = –10 30 – 50 = –20 0



20 15 5 10 20 70



250  50 5 70   14 5



X  dX



Untuk menghitung deviasi rata-rata, pertama-tama kita hitung mean, kita peroleh produksi rata-rata dari 5 perusahaan tersebut sebanyak 50 lembar. Proses seterusnya kita hitung penyimpangan data dari rata-ratanya. Berhubung penyimpangan ini ada yang negatif dan ada pula yang positif maka kita cari harga mutlak penyimpangan. Setelah itu, baru kita hitung deviasi rata-rata, kita peroleh deviasi rata-rata = 70: 5 = 14. 2.



Mencari Deviasi Rata-rata untuk Data yang Dikelompokkan Untuk menghitung deviasi rata-rata bagi data yang dikelompokkan, kita dapat menggunakan rumus berikut: dX 



Dalam hal ini d X = deviasi rata-rata X n X f



= = = =



nilai data banyaknya data rata-rata hitung frekuensi



f



X X n



sudah



3.6



Statistika Ekonomi 



Sebagai contoh kita akan menghitung deviasi rata-rata keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta. Proses perhitungan deviasi rata-rata dapat kita lihat dalam Tabel 3.5 berikut. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menghitung mean, diperoleh rata-rata keuntungan per tahun 50 perusahaan tersebut sebesar 64,8 juta rupiah. Langkah selanjutnya kita hitung penyimpangan mid point terhadap rata-ratanya, kemudian kita cari harga mutlaknya. Langkah berikutnya kita kalikan frekuensi masing-masing kelas dengan harga mutlak penyimpangan, kemudian kita jumlahkan. Proses terakhir, hasil penjumlahan tersebut kita bagi dengan total frekuensi. Hasilnya, deviasi rata-rata = 672,4: 50 = 13,448 Tabel 3.2. Perhitungan Deviasi Rata-rata untuk Data yang Sudah Dikelompokkan Keuntungan



F



X



FX



XX



XX



F X X



30 - 39,9 40 - 49,9 50- 59,9 60 - 69,9 70 - 79,9 80- 89,9 90 - 99,9 Jumlah



4 7 8 12 9 6 4 50



35 45 55 65 75 85 95



140 315 440 780 675 510 380 3240



35 - 64,8 = - 29,8 45 - 64,8 = - 19,8 55 - 64,8 = - 9,8 65 - 64,8 = 0,2 75 - 64,8 = 10,2 85 - 64,8 = 20,2 95 - 64,8 = 30,2



29,8 19,8 9,8 0,2 10,2 20,2 30,2



119,2 138,6 78,4 2,4 91,8 121,2 120,8 672,4



X



3240  64,8 50



dX 



672, 4  13, 448 50



C. DEVISASI STANDAR 1.



Mencari Deviasi Standar Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan Untuk menghitung deviasi standar kita menggunakan beberapa rumus, yaitu deviasi standar untuk populasi, deviasi standar untuk sampel besar  n  100 dan deviasi standar untuk sampel kecil  n  100



3.7



 ESPA4123/MODUL 3



a.



Deviasi standar populasi Rumus pertama digunakan untuk mencari deviasi standar untuk data populasi rumusnya adalah sebagai berikut:







 X   



2



N



Dalam hal ini  adalah deviasi standar X adalah nilai data  adalah mean N adalah banyaknya anggota populasi b.



Deviasi standar sampel besar n < 100



Rumus deviasi standar untuk sampel besar pada dasarnya sama dengan rumus deviasi standar bagi data populasi. Perbedaannya hanyalah tampak pada penggunaan notasi saja. Rumus deviasi standar untuk sampel besar adalah sebagai berikut:



S



 X  X 



2



n



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel X adalah nilai data X adalah rata-rata hitung c.



Deviasi standar untuk sampel kecil (n < 100 ) Rumus deviasi standar bagi sampel kecil pada prinsipnya hampir sama dengan rumus untuk mencari deviasi standar bagi sampel besar. Perbedaannya adalah terletak pada pembaginya, yaitu (n – 1). Sehingga rumusnya menjadi seperti di bawah ini.



S



 X  X  n 1



2



3.8



Statistika Ekonomi 



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel X adalah nilai data X adalah rata-rata hitung Sebagai contoh kita mempunyai data produksi batik dari 5 buah perusahaan: 70, 65, 45, 40, dan 30. Untuk menghitung deviasi standar, pertama-tama kita hitung mean, seterusnya kita hitung penyimpangan data dari rata-ratanya. Berhubung penyimpangan ini ada yang negatif dan ada pula yang positif maka penyimpangan itu kita kuadratkan. Setelah itu baru kita hitung deviasi standar nya. Perhitungannya dapat kita lihat dalam Tabel 3.3 berikut. Tabel 3.3. Perhitungan Deviasi Standar untuk Data yang Tidak Dikelompokkan



X



XX



X  X 



70 65 45 40 30 250



70 – 50 = 20 65 – 50 = 15 45 – 50 = –5 40 – 50 = –10 30 – 50 = –20 0



400 225 25 100 400 1.150



2



Hasil perhitungan tersebut kita masukkan ke dalam rumus deviasi standar. Hal yang perlu kita perhatikan untuk memilih rumus yang akan digunakan adalah data itu populasi atau sampel, kalau sampel termasuk sampel besar atau sampel kecil. Dari kondisi data tersebut maka kita dapat memutuskan bahwa data tersebut adalah data sampel dan merupakan sampel kecil maka kita dapat memasukkan informasi tersebut ke dalam rumus:



S



 X  X  n 1



2



S



1150  16,96 5 1



3.9



 ESPA4123/MODUL 3



Artinya kelima perusahaan batik tersebut per bulan menghasilkan 50 helai batik, dengan deviasi standar sebesar 16,96.



rata-rata



2.



Menghitung Deviasi Standar untuk Data yang Dikelompokkan Untuk menghitung deviasi standar bagi data yang sudah dikelompokkan, kita mempunyai banyak rumus. a.



Deviasi standar untuk data yang dikelompokkan dihitung menggunakan mean Ada 3 macam rumus untuk menghitung deviasi standar yaitu untuk populasi, sampel besar, dan sampel kecil. 1) Populasi Rumus pertama digunakan untuk mencari deviasi standar untuk data populasi, rumusnya adalah sebagai berikut:







 f X  



2



N



Dalam hal ini  adalah deviasi standar N adalah banyaknya sampel X adalah nilai data  adalah rata-rata hitung f adalah frekuensi 2) Sampel besar : yaitu jika n  100 Rumus untuk menghitung deviasi standar untuk sampel besar pada dasarnya sama dengan rumus deviasi standar bagi data populasi. Perbedaannya hanyalah terletak pada penggunaan notasi saja. Rumus deviasi standar untuk sampel besar adalah sebagai berikut:



S



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel



 f X  X  n



2



3.10



Statistika Ekonomi 



X adalah nilai data f adalah frekuensi X adalah rata-rata hitung 3) Sampel kecil: yaitu jika n < 100 Pada dasarnya rumus untuk menghitung deviasi standar pada sampel kecil hampir sama dengan rumus untuk menghitung deviasi standar sampel besar. Hanya saja jika sampel kita kurang dari 100 maka rumus deviasi standar pembaginya n – 1 sehingga rumusnya menjadi



S



 f X  X 



2



n 1



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel X adalah nilai data f adalah frekuensi X adalah rata-rata hitung Sebagai contoh kita akan menghitung deviasi standar keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta. Tabel 3.4. Perhitungan Deviasi Standar untuk Data yang Sudah dikelompokkan Menggunakan Mean Keuntungan 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9 90 – 99,9 Jumlah



F



X



FX



XX



4 7 8 12 9 6 4 50



35 45 55 65 75 85 95



140 315 440 780 675 510 380 3240



35 – 64,8 = –29,8 45 – 64,8 = –19,8 55 – 64,8 = - 9,8 65 – 64,8 = 0,2 75 – 64,8 = 10,2 85 – 64,8 = 20,2 95 – 64,8 = 30,2



X  X 



2



888,04 392,04 96,04 0,04 104,04 408,04 912,04







F X X







2



3.552,16 2.744,28 768,32 0,48 936,36 2.448,24 3.648,16 14.098



3.11



 ESPA4123/MODUL 3



Proses perhitungan deviasi standar



3240  64,8 50 Langkah kedua kita hitung deviasi (perbedaan) antara data dengan mean Langkah pertama kita hitung rata-rata hitung, diperoleh X  kemudian kita kuadratkan, diperoleh  X  X 



2



Langkah ketiga deviasi kuadrat kita kalikan dengan frekuensi masing-masing kelas, selanjutnya kita jumlahkan, diperoleh



 f X  X 



2



 14.098



Langkah terakhir kita masukkan hasil perhitungan tersebut ke dalam rumus deviasi standar. Hal yang perlu kita perhatikan untuk memilih rumus yang akan digunakan adalah mengidentifikasi data itu populasi atau sampel, kalau sampel termasuk sampel besar atau sampel kecil. Dari kondisi data tersebut maka kita dapat memutuskan bahwa data tersebut adalah data sampel dan merupakan sampel kecil maka kita dapat memasukkan informasi tersebut ke dalam rumus. S



14.098  16,962 50  1



Perhitungan deviasi standar menggunakan rumus di atas sangat berbelitbelit. Maka kita dapat menggunakan rumus berikut. Rumusnya lebih panjang tetapi perhitungannya lebih cepat. b.



Deviasi standar untuk data yang dikelompokkan dihitung menggunakan titik tengah Rumus deviasi standar ini lebih panjang daripada rumus sebelumnya, tetapi perhitungannya lebih cepat. Ada tiga macam rumus yang dapat digunakan, yaitu untuk populasi, sampel besar, dan sampel kecil. 1) Populasi Rumus pertama digunakan untuk mencari deviasi standar untuk data populasi. Rumusnya adalah sebagai berikut:







 fX 2    fX  N



 



N



 



2



3.12



Statistika Ekonomi 



Dalam hal ini  adalah deviasi standar N adalah banyaknya populasi X adalah nilai data f adalah frekuensi 2) Sampel besar : n  100 Rumus untuk menghitung deviasi standar untuk sampel besar pada dasarnya sama dengan rumus deviasi standar bagi data populasi. Perbedaannya hanyalah tampak pada penggunaan notasi saja. Rumus deviasi standar untuk sampel besar adalah sebagai berikut: S



 fX 2    fX   



n



n



2



 



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel X adalah nilai data f adalah frekuensi 3)



Sampel kecil : n < 100 Pada dasarnya rumus untuk menghitung deviasi standar pada sampel kecil hampir sama dengan rumus untuk menghitung deviasi standar sampel besar. Hanya saja jika sampel kita kurang dari 100 maka rumus deviasi standar pembaginya ( n – 1) sehingga rumusnya menjadi



S



 fX



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel X adalah nilai data f adalah frekuensi



2



  fX   n 1



n



2



3.13



 ESPA4123/MODUL 3



Sebagai contoh kita akan menghitung deviasi standar keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta. Tabel 3.5. Perhitungan Deviasi Standar untuk Data yang Sudah Dikelompokkan Menggunakan Titik Tengah Keuntungan



f



X



fX



30 — 39,9 40 — 49,9 50 — 59,9 60 — 69,9 70 — 79,9 80 — 89,9 90 — 99,9



4 7 8 12 9 6 4



35 45 55 65 75 85 95



140 315 440 780 675 510 380



jumlah



50



2



X 1.225 2.025 3.025 4.225 5.625 7.225 9.025



3240



Proses perhitungan deviasi standar: Langkah pertama kita hitung titik tengah



X 



2



FX 4.900 14.175 24.200 50.700 50.625 43.350 36.100 224.050



masing-masing kelas,



kemudian kita kalikan dengan frekuensi masing-masing kelas, diperoleh fX . Langkah kedua kita jumlahkan fX tadi sehingga diperoleh  fX  3240 . Langkah ke tiga kita kuadratkan titik tengah, kemudian kita kalikan dengan frekuensi masing-masing kelas, diperoleh fX 2 Langkah ke empat kita jumlah fX 2 , maka akan diperoleh  fX 2  224.050 Langkah terakhir kita masukkan hasil perhitungan tersebut ke dalam rumus deviasi standar. Hal yang perlu kita perhatikan untuk memilih rumus mana yang akan digunakan, adalah mengidentifikasi apakah data itu populasi atau sampel, kalau sampel termasuk sampel besar atau sampel kecil. Dari kondisi data tersebut maka kita dapat memutuskan bahwa data tersebut adalah data sampel dan merupakan sampel kecil, maka kita dapat memasukkan informasi tersebut ke dalam rumus.



3.14



Statistika Ekonomi 



S



S



 f .X



2



  f .X   n



n 1



2 3240   224.050 



50  1



2



50



 16,962



Perhitungan deviasi standar menggunakan rumus terakhir (menggunakan mid point) lebih cepat daripada rumus sebelumnya (menggunakan mean). Akan tetapi, rumus tersebut masih mengandung kelemahan yaitu tidak dapat digunakan untuk menghitung deviasi standar untuk distribusi frekuensi yang memiliki kelas terbuka karena kelas terbuka tidak dapat dihitung mid pointnya. Apabila suatu distribusi frekuensi memiliki kelas terbuka, kita harus menghitung deviasi standar menggunakan deviasi (d). c.



Deviasi standar untuk data yang dikelompokkan dihitung menggunakan deviasi (d) Rumus deviasi standar ini sama panjangnya dengan rumus sebelumnya, tetapi perhitungannya lebih mudah karena kita tidak menggunakan titik tengah tetapi menggunakan deviasi yang angkanya lebih kecil dari pada titik tengah. Selain itu, rumus berikut dapat dipergunakan untuk menghitung deviasi standar bagi distribusi frekuensi yang memiliki kelas terbuka. Ada tiga rumus yang dapat digunakan, yaitu untuk data populasi, sampel besar, dan sampel kecil. 1) Populasi Rumus pertama digunakan untuk mencari deviasi standar untuk data populasi, rumusnya adalah sebagai berikut:



  Ci



 fd 2    fd 



Dalam hal ini  adalah deviasi standar N adalah banyaknya populasi d adalah deviasi



N



 



N



 



2



3.15



 ESPA4123/MODUL 3



Ci adalah class interval (lebar kelas) f adalah frekuensi 2) Sampel besar : n  100 Rumus untuk menghitung deviasi standar untuk sampel besar pada dasarnya sama dengan rumus deviasi standar bagi data populasi. Perbedaannya hanyalah tampak pada penggunaan notasi saja. Rumus deviasi standar untuk sampel besar adalah sebagai berikut: S



 fd 2    fd   



n



n



2



 



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel d adalah deviasi f adalah frekuensi Ci adalah class interval (lebar kelas) 3) Sampel kecil: n < 100 Pada dasarnya rumus untuk menghitung deviasi standar untuk sampel kecil hampir sama dengan rumus untuk menghitung deviasi standar bagi sampel besar. Hanya saja jika sampel kita kurang dari 100 maka rumus deviasi standar pembaginya (n – 1) sehingga rumusnya menjadi



S  Ci



 fd



  fd  



2



n 1



Dalam hal ini S adalah deviasi standar n adalah banyaknya sampel d adalah deviasi Ci adalah class interval (lebar kelas) f adalah frekuensi



n



2



3.16



Statistika Ekonomi 



Sebagai contoh kita akan menghitung deviasi standar keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta. Tabel 3.6. Perhitungan Deviasi Standar untuk Data yang Sudah Dikelompokkan Menggunakan Deviasi Keuntungan



F



X



Fd



d2



F .d 2



30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9 60 – 69,9 70 – 79,9 80 – 89,9



4 7 8 12 9 6



–3 –2 –1 0 1 2



–12 –14 –8 0 9 12



9 4 1 0 1 4



36 28 8 0 9 24



90 – 99,9 Jumlah



4 50



3



12 –1



9



36 141



Cara menghitung deviasi standar: Langkah pertama, kita hitung total frekuensi Langkah kedua kita menentukan nilai deviasi (d), langkah ini kita mulai dengan meletakkan d = 0 pada salah satu kelas. Diteruskan dengan menentukan nilai d pada kelas sesudahnya, yaitu 1, 2, dan 3, begitu juga nilai d pada kelas sebelumnya sebesar –1, –2 dan –3. Langkah ketiga kita kalikan d dengan frekuensi masing-masing kelas, kemudian jumlahkan, diperoleh  fd  1 . Langkah keempat, kita kuadratkan d tadi kemudian kita kalikan dengan frekuensi masing-masing kelas, diperoleh fd 2 . Langkah kelima, kita jumlahkan fd 2 tadi, diperoleh  fd 2  141 . Langkah terakhir kita menghitung besarnya deviasi standar dengan memasukkan semua hasil perhitungan tadi ke dalam rumus deviasi standar. Hal yang perlu kita perhatikan untuk memilih rumus yang akan digunakan, adalah mengidentifikasi data itu populasi atau sampel, kalau sampel termasuk sampel besar atau sampel kecil. Dari kondisi data tersebut maka kita dapat memutuskan bahwa data tersebut adalah data sampel dan merupakan sampel kecil maka kita dapat memasukkan informasi tersebut ke dalam rumus.



3.17



 ESPA4123/MODUL 3



S



141 



 1 2



50 50  1



 16,962



Dari hasil perhitungan tersebut dapat disimpulkan bahwa data tersebut mempunyai deviasi standar sebesar 16,962. D. UKURAN PENYIMPANGAN YANG LAIN Pada dasarnya ukuran penyimpangan ada bermacam-macam. Selain yang sudah dibahas dalam Kegiatan Belajar 1 dan Kegiatan Belajar 2, kita masih mengenal ada beberapa ukuran penyimpangan yang akan dibahas dalam Kegiatan Belajar 3, antara lain variance, koefisien variasi, interquartile range, dan semi inter quartile range (deviasi kuartil). 1.



Variance/Varians Varians/variance adalah deviasi standar dikuadratkan. Apabila sudah diketahui deviasi standar sekumpulan data maka mencari varians sangat mudah yaitu dengan mengkuadratkan deviasi standar tersebut. Notasi yang dipergunakan untuk varians menyesuaikan dengan notasi dari deviasi standar. Apabila deviasi standar kita tulis dengan notasi  maka varians kita tulis dengan notasi  2 . Dan jika deviasi standar kita tulis dengan notasi S maka varians kita tulis dengan notasi S 2 . Sebagai Contoh : diketahui deviasi standar  S   16, 48



 



 maka dapat dihitung besarnya varians S2 = 16, 48  2.



2



Koefisien Variasi Koefisien variasi adalah presentasi deviasi standar terhadap rata-ratanya. Kegunaan koefisien variasi adalah untuk mengukur keseragaman data. Semakin kecil koefisien variasi berarti data tersebut semakin seragam, sedang apabila koefisien variasi semakin besar, berarti data tersebut semakin tidak seragam (heterogen). Untuk mencari besarnya koefisien variasi dapat dilakukan dengan rumus sebagai berikut:



3.18



Statistika Ekonomi 



Untuk populasi: V 



 100% 



V



S 100% X



Untuk sampel:



Contoh: Sebuah perusahaan memiliki dua buah mesin yang dipergunakan untuk memproduksi tekstil. Mesin A dapat menghasilkan kain dengan lebar ratarata  X  64,8 cm dengan penyimpangan standar  S  sebesar 6,96 meter. Sedangkan mesin B dapat menghasilkan kain dengan lebar rata-rata 50 cm dengan deviasi standar  S  sebesar 5 cm. Mesin manakah yang dapat menghasilkan kain yang lebih seragam? Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dihitung koefisien variasinya, dengan cara sebagai berikut: 6,96 Mesin A : V  100%  10, 74% 64,8 5 Mesin B : V  100%  20% 50 Ternyata mesin B memiliki koefisien variasi yang lebih rendah daripada mesin A sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa mesin B dapat menghasilkan barang lebih seragam dari pada mesin A. 3.



Inter Quartile Range Inter quartile range adalah selisih antara kuartil 3 dengan kuartil 1. Inter quartile range berbeda dengan range (rentang data). Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil, sedangkan inter quartile range adalah perbedaan antara kuartil 3 dan kuartil 1. Sehingga inter quartile range dapat dicari dalam data yang sudah dikelompokkan maupun data mentah yang belum dikelompokkan. Sedangkan range hanya dapat dihitung pada data yang belum dikelompokkan saja, sedangkan data yang sudah dikelompokkan tidak akan dapat dihitung rangenya. Inter quartile range dapat dihitung dengan rumus berikut : IQR  K3  Ki



3.19



 ESPA4123/MODUL 3



Sebagai contoh, dalam satu set data diketahui K1 = 20 dan K3 = 60. Maka inter quartile range dapat dihitung.



IQR  60  20  40 4.



Semi Inter Quartile Range/Deviasi Kuartil Semi inter quartile range adalah setengah dari inter kuartile range. Semi inter kuartile range disebut dengan istilah deviasi kuartil. Deviasi kuartil dapat dihitung menggunakan rumus : dK 



K3  K1 2



Contoh di atas dapat dihitung deviasi kuartilnya, karena K3 = 60 dan 60  20  20 K1 = 20 maka deviasi kuartil dapat dihitung: d K  2 LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Diketahui umur beberapa karyawan di sebuah perusahaan adalah sebagai berikut 30 40 50 35 25 55 54 45 25 32 34 Pertanyaan: hitunglah range dan deviasi rata-rata umur karyawan tersebut 2) Diketahui distribusi frekuensi produksi tekstil per hari dari beberapa perusahaan di kota Bandung Produksi 10 – 19,9 20 – 29,9 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9



Jumlah perusahaan 2 5 8 4 3



3.20



Statistika Ekonomi 



3) Pada suatu hari sebuah rumah sakit swasta melayani 500 orang pasien rawat jalan. Di antara 500 pasien tersebut diteliti waktu pelayanan yang diberikan kepada 10 orang pasien sebagai berikut: 20, 15, 10, 8, 5, 16, 20, 25, 11, 30 Hitunglah deviasi standarnya 4) Nilai ujian sisipan kelas statistik dapat dilihat dalam tabel berikut. Nilai Frekuensi 0 – 1,9 2 2 – 3,9 7 4 – 5,9 20 6 – 7,9 10 8 – 9,9 6 Hitunglah deviasi standarnya 5) Kita mempunyai data dengan deviasi standar = 5, hitunglah variansnya 6) Satu set data mempunyai standar deviasi = 5 dan mean = 50, hitunglah koefisien variasinya 7) Sekumpulan data dihitung K1 = 25 dan K3 = 75, hitunglah inter quartile range dan deviasi kuartilnya Petunjuk Jawaban Latihan 1) a. b.



Hitung selisih antara data terbesar dan data terkecil Hitung mean dari data tersebut, kemudian hitung selisih antara nilai data dengan mean dan cari harga mutlaknya. Jumlahkan harga mutlak deviasi tersebut, kemudian bagilah dengan banyaknya data 2) Hitunglah mean, kemudian carilah harga mutlak selisih antara data dengan mean. Kalikan harga mutlak deviasi tersebut dengan frekuensi masing-masing kelas dan jumlahkan hasil perkalian tersebut. Hitunglah deviasi rata-rata dengan membagi jumlah perkalian antara frekuensi dan harga mutlak deviasi dengan banyaknya data. 3) Hitunglah rata-rata hitung dari data tersebut Hitunglah deviasi ( perbedaan) antara data dengan rata-rata hitungnya Kuadratkan deviasi tersebut, kemudian jumlahkan Hitunglah deviasi standar dengan mencari akar dari jumlah deviasi kuadrat dibagi 9.



3.21



 ESPA4123/MODUL 3



4) Hitunglah total frekuensi Hitunglah titik tengah masing-masing kelas dan kalikan dengan frekuensinya Hitunglah mean, kemudian hitung pula deviasi (perbedaan) antara nilai data dengan mean, diperoleh  X  X  Kuadratkan hasil perhitungan tersebut dan kalikan dengan masingmasing frekuensi, kemudian jumlahkan, diperoleh  f  X  X 



2



Masukkan hasil perhitungan tersebut ke dalam rumus deviasi standar. 5) Untuk mencari varians, standar deviasi tersebut kita kuadratkan 6) Untuk menghitung koefisien variasi caranya deviasi standar dibagi mean, kemudian dikalikan 100% 7) Untuk menghitung inter quartile range kita cari selisih antara K3 dengan Untuk menghitung deviasi kuartil, kita cari selisih antara K3 dan K1 kemudian dibagi 2. RA NGK UMA N Penyimpangan adalah ukuran yang menunjukkan besar kecilnya perbedaan data dari rata-ratanya (mean). Ada beberapa ukuran penyimpangan: range, deviasi rata-rata, deviasi standar, deviasi kuartil, varians, koefisien variasi. Dalam Kegiatan Belajar 1 kita mempelajari range dan deviasi rata-rata. Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat dalam sekelompok data. Sesuai dengan pengertian range tersebut, maka range hanya dapat dicari dalam sekelompok data yang belum dikelompokkan. Range adalah ukuran penyimpangan yang mudah dipahami serta menghitungnya cepat dan mudah, sehingga range ini sering digunakan meskipun range mempunyai kelemahan. Kelemahan range ini adalah kurang teliti karena hanya dihitung dengan mencari perbedaan antara data terbesar dan data terkecil saja, tidak memperhatikan data-data lainnya yang terletak di antara kedua nilai ekstrim tersebut. Deviasi rata-rata adalah rata-rata penyimpangan data dari rata-rata (mean) nya. Di dalam menghitung deviasi rata-rata kita harus mencari rata-rata harga mutlak dari selisih antara tiap-tiap data dengan meannya. Penyimpangan data terhadap mean ada yang positif ada yang negatif



3.22



Statistika Ekonomi 



maka yang dijumlahkan adalah harga mutlak penyimpangan, bukan penyimpangan data dengan meannya. Untuk menghitung deviasi rata-rata bagi data yang tidak dikelompokkan dapat digunakan rumus: dX 



 X X n



Untuk menghitung deviasi rata-rata bagi data yang sudah dikelompokkan menjadi suatu distribusi frekuensi kita dapat menggunakan rumus berikut: dX 



f



X X n



Deviasi standar adalah standar penyimpangan data dari rata-ratanya. Perhitungan deviasi standar dan deviasi rata-rata hampir sama. Perbedaannya terletak pada upaya menghindari hasil perhitungan total penyimpangan sama dengan nol. Pada perhitungan deviasi rata-rata upaya tersebut dilakukan dengan cara menghitung harga mutlak penyimpangan, sedangkan pada perhitungan deviasi standar, penyimpangan itu kita kuadratkan karena bilangan negatif maupun positif kalau dikuadratkan menjadi positif. Notasi yang digunakan untuk deviasi standar ada dua macam yaitu a bagi deviasi standar populasi dan S bagi deviasi standar sampel. 1. Untuk menghitung deviasi standar data yang tidak dikelompokkan dapat digunakan beberapa rumus, a.



b.



c.



Deviasi standar populasi  



 X  



2



n



Deviasi standar sampel besar  n  100  S 



 X  X 



Deviasi standar untuk sampel kecil  n  100  S 



2



n



 X  X 



2



n 1 2. Untuk menghitung deviasi standar bagi data yang sudah dikelompokkan, kita mempunyai banyak rumus. a. Deviasi standar untuk data yang dikelompokkan dihitung menggunakan mean



3.23



 ESPA4123/MODUL 3



(1) Populasi  



 f X   n



 f X  X 



(2) Sampel besar n  100 S 



2



n 1 Deviasi standar untuk data yang dikelompokkan dihitung menggunakan titik tengah (1) Populasi  



 fX 2    fX   



n



(3) Sampel kecil n  100 S 



2



 



n



 fX 2    fX 



(2) Sampel besar n  100 S 



c.



2



n



 f X  X 



(3) Sampel kecil n  100 S 



b.



2



 



n



 fX



2



n 1



 



n



  fX  



2



2



n







Deviasi standar untuk data yang dikelompokkan dihitung menggunakan deviasi (d) (1) Populasi   Ci



 fd 2    fd  n



 



(2) Sampel besar n  100 S  Ci



(3) Sampel kecil n  100 S  Ci



2



 



n



 fd 2    fd   



n



 fd



2



n 1



 



n



  fd   n



2



2







Varians/variance adalah deviasi standar dikuadratkan. Cara mencari varians adalah dengan mengkuadratkan deviasi standar. Notasi varians adalah  2 untuk populasi dan S 2 untuk data sampel.



3.24



Statistika Ekonomi 



Koefisien variasi adalah persentase deviasi standar terhadap rataratanya. Cara mencarinya deviasi standar dibagi mean dikalikan 100%. Kegunaan koefisien variasi adalah untuk mengukur keseragaman data. Semakin kecil koefisien variasi berarti data tersebut semakin seragam (homogen), sedang apabila koefisien variasi semakin besar, berarti data tersebut semakin tidak seragam (heterogen). Inter quartile range adalah selisih antara kuartil 3 dengan kuartil 1. Semi inter quartile range adalah setengah dari inter kuartile range. Semi inter quartile range disebut dengan istilah deviasi kuartil. Deviasi kuartil dapat dihitung menggunakan rumus: dK 



K3  K1 2



TES FO RMA TIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Range merupakan suatu ukuran penyimpangan yang bagus karena perhitungannya .... A. mudah dan cepat B. menggunakan semua data C. hanya membutuhkan dua data ekstrim D. tidak ada jawaban yang benar 2) Range merupakan suatu ukuran penyimpangan yang kurang bagus karena perhitungannya .... A. mudah dan cepat B. menggunakan semua data C. hanya membutuhkan dua data ekstrim D. tidak ada jawaban yang benar 3) Diketahui data berat badan beberapa pasien di sebuah rumah sakit sebagai berikut 30kg



60kg



40kg



70kg



25kg



80kg



Maka range dari data tersebut sebesar .... A. 30 kg B. 85 kg C. 25 kg D. 60 kg



85 kg



33kg



35kg



62kg



 ESPA4123/MODUL 3



3.25



4) Dengan menggunakan data dalam soal nomor 3 maka dapat dihitung deviasi rata-rata data tersebut, yaitu sebesar .... A. 25 kg B. 60 kg C. 30 kg D. 19,4 kg 5) Untuk menghitung deviasi rata-rata, kita mencari .... A. jumlah perbedaan data dengan meannya B. jumlah harga mutlak perbedaan data dengan meannya C. rata-rata perbedaan data dengan meannya D. rata-rata harga mutlak perbedaan data dengan meannya 6) Dalam suatu distribusi frekuensi maka nilai range .... A. sama dengan nilai mean B. sama dengan nilai median C. sama dengan titik tengah kelas yang di tengah D. tidak dapat dihitung 7) Dua buah kumpulan data akan mempunyai range yang sama apabila .... A. banyaknya data sama B. nilai data terkecil sama C. nilai data terbesar D. kombinasi B dan C 8) Mahasiswa tertinggi dalam kelas statistik mempunyai tinggi badan 180 cm sedang mahasiswa terpendek tinggi badannya 150 cm maka range dari tinggi badan mahasiswa sebesar .... A. 165 cm B. 30 cm C. 15 cm D. tidak dapat dihitung karena berat badan mahasiswa yang lain tidak diketahui 9) Dengan menggunakan data dalam soal nomor 8 maka deviasi rata-rata dari tinggi badan mahasiswa sebesar .... A. 165 cm B. 30 cm C. 15 cm D. tidak dapat dihitung karena berat badan mahasiswa yang lain tidak diketahui



3.26



Statistika Ekonomi 



10) Kalau kita bandingkan range dan deviasi rata-rata, sebagai tolok ukur penyimpangan maka dapat kita simpulkan bahwa .... A. range lebih bagus dibandingkan deviasi rata-rata karena hanya menggunakan dua nilai ekstrim B. range kurang bagus dibandingkan deviasi rata-rata karena hanya menggunakan dua nilai ekstrim C. deviasi rata-rata lebih bagus dibandingkan range karena hanya menggunakan semua data D. deviasi rata-rata kurang bagus dibandingkan range karena hanya menggunakan semua data yang ada 11) Berat badan 5 orang mahasiswa FIB UGM ditimbang, masing-masing: 59 kg, 60 kg, 54 kg, 62 kg, dan 65 kg. Maka deviasi standar berat badan kelima mahasiswa tersebut adalah .... A. 6,0 kg B. 5,5 kg C. 3 kg D. 5 kg 12) Berikut ini adalah data umur 7 anak peserta lomba lukis (tahun), yaitu 5, 6, 5, 5, 6, 7, dan 8. Deviasi standar dari umur anak-anak tersebut adalah .... A. 1,3 B. 0,8 C. 1,155 D. 1,4 13) Umur beberapa penduduk di suatu wilayah adalah sebagai berikut; 21



36



22



45



25



28



22



22



37



19



50



24



15



23



33



50



26



50



31



21



Deviasi standar data tersebut adalah sebesar .... A. 13,3 B. 10,5 C. 12,2 D. 11,12 14) Berat badan semua peserta pertandingan bulu tangkis yang terdiri dari 5 orang, sebagai berikut: 57 kg, 60 kg, 61 kg, 65 kg, dan 59 kg. Maka deviasi standar berat badan sebesar .... A. 2,65



3.27



 ESPA4123/MODUL 3



B. 2,5 C. 2,6 D. 2,45 15) Distribusi volume barang yang dibeli oleh 80 pelanggan di Yogyakarta terlihat dalam tabel berikut ....



A. B. C. D.



Titik tengah volume



Frekuensi



7,5



6



12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 Jumlah



12 19 20 13 8 2 80



7 7,45 8 8,5



16) Data penjualan kendaraan bermotor pada agen penjualan selama 7 bulan terakhir dalam tahun 2009 di Yogyakarta: 1, 3, 3, 4, 7, 8, dan 9. Maka deviasi standar penjualan motor di agen tersebut sebesar .... A. 3 B. 2 C. 2.7 D. 3,5 17) Data berikut menunjukkan upah 9 karyawan yang bekerja pada industri konstruksi tahun 1989 (dalam ribuan rupiah): 20, 21, 22, 25, 25, 27, 23, 20 dan 24. Berdasarkan data tersebut maka besarnya deviasi standar upah karyawan pada industri konstruksi .… A. 2,45 B. 2,5 C. 2,4 D. 2,6



3.28



Statistika Ekonomi 



18) Tabel berikut menunjukkan distribusi gaji 70 manajer yang bekerja pada berbagai perusahaan swasta tahun 2009 di Jakarta (dalam juta rupiah) Gaji manajer Jumlah manajer 10 – 19,9 8 20 – 29,9 10 30 – 39,9 20 40 – 49,9 15 50 – 59,9 10 60 – 69,9 7 Deviasi standar gaji manajer tersebut sebesar .... A. 15 B. 14,5 C. 14,75 D. 15,25 19) Data berikut menunjukkan distribusi gaji pada rentang 5 tahun di suatu perusahaan, yakni tahun 2000 dan 2005 (dalam ribuan rupiah) Jumlah karyawan Nilai tengah gaji Jumlah karyawan th 2000 tahun 2005 61 5 10 64 18 20 67 42 40 70 27 20 73 8 10 Deviasi standar gaji tahun 2000 sebesar .... A. 1,5 B. 1,63 C. 1,65 D. 1,7 20) Deviasi standar gaji tahun 2005 sebesar .... A. 0,5 B. 1 C. 0 D. 1,5 21) Besarnya koefisien variasi (Coefficient of variation) berkisar antara .... A. –1 dan +1 B. –2 dan +2 C. 0 dan +1 D. –1 dan 0



 ESPA4123/MODUL 3



3.29



22) Satu set data diketahui mempunyai mean sebesar 64,8 dan standar deviasi sebesar 16,96 maka koefisien variasi data tersebut sebesar .... A. 47,84 B. 3,82 C. 0,26 D. 26 23) Umur penduduk di suatu daerah memiliki kuartil 1 sebesar 25 tahun dan kuartil 3 sebesar 65 tahun maka deviasi kuartil data tersebut sebesar .... A. 20 tahun B. 45 tahun C. 50 tahun D. 5 tahun 24) Pendapatan rata-rata penduduk di suatu daerah sebesar Rp1.000.000,00 per bulan dengan deviasi standar sebesar Rp100.000,00 maka varians dari pendapatan penduduk sebesar .... A. Rp10.000,00 B. Rp10.000.000.000,00 C. Rp100.000.000.000,00 D. Rp1.000,00 25) Diketahui satu set data mempunyai kuartil 3 sebesar 150 dan kuartil 1 sebesar 100 maka Inter quartile range-nya .... A. 50 B. 100 C. 150 D. 250 26) Dengan menggunakan data dari soal nomor 5, kita dapat menghitung deviasi kuartilnya, yaitu sebesar .... A. 25 B. 50 C. 75 D. 125 27) Pendapatan penduduk di suatu kalurahan mempunyai penyimpangan standar sebesar Rp50.000,00 maka varians data tersebut sebesar .... A. Rp50.000,00 B. Rp100.000,00 C. Rp2.500.000.000,00 D. Rp25.000,00



3.30



Statistika Ekonomi 



28) Umur peserta lomba melukis di suatu sanggar mempunyai varians sebesar 25 tahun maka deviasi standarnya .... A. 5 tahun B. 25 tahun C. 50 tahun D. 12,5 tahun 29) Rata-rata pendapatan penduduk di suatu kabupaten diketahui sebesar Rp2.000.000,00 dengan deviasi standarnya sebesar Rp 400.000,00 maka koefisien variasinya sebesar .... A. 20% B. 20 C. 5 D. 5% 30) Dari suatu penelitian tentang pendapatan masyarakat di 4 kabupaten di Propinsi DIY diperoleh informasi bahwa koefisien variasi di Kabupaten Kulon Progo sebesar 30 %, di Kabupaten Bantul 20%, di Kabupaten Sleman 40% dan di Kabupaten Gunung Kidul 25%. Dari informasi tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa dilihat dari tingkat pendapatannya, masyarakat yang paling homogen adalah yang berdomisili di Kabupaten… A. Sleman B. Bantul C. Kulon Progo D. Gunung kidul Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



 ESPA4123/MODUL 3



3.31



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



3.32



Statistika Ekonomi 



Kegiatan Belajar 2



Ukuran Kecondongan dan Keruncingan



U



kuran-ukuran tersebut dapat digunakan untuk mengetahui cara penyebaran sekelompok data, tetapi gambaran masih tersebut kurang lengkap apabila tidak disertai dengan ukuran-ukuran kecondongan dan ukuran keruncingan. Sebab dengan ukuran tendensi pusat dan ukuran penyimpangan saja, kita tidak tahu bentuk gambar dari data tersebut. Ada kemungkinan dua kelompok data yang bentuk gambarnya berbeda meskipun mempunyai rata-rata hitung dan ukuran penyimpangan yang sama. Oleh karena itu, dalam modul ini akan dibahas tentang ukuran kecondongan dan keruncingan. Ukuran kecondongan adalah ukuran yang menunjukkan menceng tidaknya suatu data. Dalam suatu distribusi biasanya kelas yang berada di tengah mempunyai frekuensi yang paling besar dan kelas sebelum dan sesudahnya mempunyai frekuensi yang lebih kecil. Apabila digambar maka kelas-kelas yang di tengah diagramnya akan tinggi, sedang yang di tepi akan rendah. Akan tetapi, dalam kenyataan, tidak semua distribusi jika digambar seperti itu bentuknya, hal ini tergantung pada koefisien kecondongannya. Ada dua macam ukuran kemencengan, yaitu ukuran kecondongan yang dibuat oleh Pearson dan 3 . A. BENTUK DISTRIBUSI Dilihat dari bentuk kurvanya, ada tiga macam bentuk distribusi.



3.33



 ESPA4123/MODUL 3



1.



Distribusi Berbentuk Bel



Gambar 3.1.



2.



Distribusi Berbentuk J



Gambar 3.2.



3.34



3.



Statistika Ekonomi 



Distribusi Berbentuk U



Gambar 3.3.



Seperti yang telah dikemukakan di muka, biasanya kelas-kelas yang berada di tengah suatu distribusi frekuensi itu mempunyai frekuensi yang besar, sedang yang berada di tepi mempunyai frekuensi yang lebih kecil. Sementara itu, kalau digambar maka kelas-kelas yang ada di tengah kurvanya lebih tinggi dari pada bagian pinggir, seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3.1. bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk bel, disebut seperti itu karena bentuknya mirip bel atau lonceng yang ditengkurapkan menghadap ke bawah. Tidak semua distribusi kalau digambar bentuknya seperti lonceng, ada distribusi yang kalau digambar menyerupai huruf J. Bentuknya seperti huruf J maka biasanya disebut dengan bentuk J yaitu pada kelas yang rendah frekuensinya kecil dan kelas yang lebih tinggi mempunyai frekuensi yang lebih besar. Begitu juga sebaliknya, kelas yang lebih rendah mempunyai frekuensi yang lebih besar dari pada kelas berikutnya seperti yang tampak pada Gambar 3.2. Ada pula distribusi yang gambarnya rendah di tengah, maksudnya kelaskelas yang rendah mempunyai frekuensi yang tinggi, kelas berikutnya mempunyai kelas yang lebih kecil dan kelas-kelas yang lebih tinggi lagi frekuensinya semakin besar. Distribusi yang seperti itu kalau digambar menyerupai huruf U, oleh karena kurvanya menyerupai huruf U maka disebut berbentuk U, seperti yang dapat dilihat dalam Gambar 3.3.



3.35



 ESPA4123/MODUL 3



Pada data yang normal, gambar distribusi berbentuk bel dan simetris, artinya bila diagram itu dibelah di tengah maka besar dan bentuk belahan sebelah kiri akan sama besar dan bentuknya dengan belahan sebelas kanan. Tidak semua distribusi kalau digambar bentuknya simetris, ada juga yang bentuknya condong (menceng). Ada yang condong ke kiri, ada juga yang condong ke kanan. Untuk mengukur tingkat kecondongan, atau simetris tidaknya suatu distribusi dapat kita gunakan koefisien kecondongan atau koefisien skewness. Seperti telah dikemukakan di muka, pada distribusi yang normal, kalau digambar bentuknya simetris. Seperti terlihat pada Gambar 5.6. Kalau ukuran tendensi pusatnya dihitung maka besarnya mean sama dengan median dan sama dengan modus. Di dalam gambar, ketiga ukuran tendensi pusat tersebut berimpit. Pada distribusi yang tidak normal, gambar tidak simetris. Kalau ukuran tendensi pusatnya dihitung, besarnya mean tidak sama dengan median dan tidak sama dengan modus. Pada distribusi semacam ini, jika datanya cukup banyak berlaku ketentuan sebagai berikut: Modus – median = 2 ( median – mean) Atau Modus = 3 median – 2 mean B. UKURAN KECONDONGAN 1.



Untuk mengukur kecondongan dari suatu kurva, kita gunakan koefisien kecondongan/skewness, yang dapat dihitung dengan rumus Pearson sebagai berikut:



Sk 



X  Mo S



Dalam hal ini Sk adalah koefisien kecondongan X adalah mean atau rata-rata hitung Mo adalah modus S adalah devlasi standar



3.36



Statistika Ekonomi 



Dalam suatu distribusi ada kemungkinan tidak ada satu pun modus, bisa juga ada sebuah modus, dan kemungkinan mengandung lebih dari satu modus. Apabila dalam sebuah distribusi tidak memiliki modus maka kita dapat memanfaatkan hubungan antara mean, median, dan modus. Apabila data yang dipakai banyak maka mean, median, dan modus mempunyai hubungan: Modus = 3 median –2 mean. Sehingga koefisien kecondongan dapat dihitung menggunakan rumus berikut : SK 



3  X  Md  S



Setelah diketahui besarnya koefisien skewness maka untuk menentukan gambar distribusi itu condong ke kiri, condong ke kanan atau simetris, didasarkan atas tanda dari koefisien kecondongan, dengan ketentuan sebagai berikut: a. Bila koefisien kecondongan (skewness) itu positif berarti mean lebih besar dari pada median dan modus maka diagram distribusinya condong ke kiri atau ekornya di sebelah kanan.



Gambar 3.4.



b.



Bila koefisien kecondongan (skewness) itu negatif berarti mean lebih kecil dari pada median dan modus maka kurva itu condong ke kanan atau ekornya di sebelah kiri.



3.37



 ESPA4123/MODUL 3



Gambar 3.5.



c.



Bila koefisien kecondongan (skewness) itu besarnya sama dengan 0 berarti mean sama dengan median sama dengan modus maka kurva itu simetris.



Gambar 3.6.



Sebagai contoh (1) Suatu distribusi mempunyai mean = 65 median = 60 dan deviasi standard = 7 Maka koefisien kecondongan distribusi itu



3.38



Statistika Ekonomi 



3  65  60 



15  2,14 7 7 Koefisien kecondongan tersebut bertanda positif berarti kurvanya condong ke kini dan ekornya di sebelah kanan. (2) Distribusi kedua mempunyai mean = 47 dan modus = 51 dan deviasi standar = 3. Maka koefisien kecondongan distribusi kedua. 47  51 4 1   1  SK   3 3 3 Koefisien kecondongan tersebut bertanda negatif berarti kurvanya condong ke kanan dan ekornya ada di sebelah kiri.



 SK  



2.







Di samping menggunakan rumus Pearson, untuk menentukan kecondongan suatu distribusi dapat pula ditentukan dengan melihat nilai 3 (alpha tiga), 3 adalah rata-rata penyimpangan data-data dari mean, dipangkatkan tiga, dibagi dengan deviasi strandard pangkat tiga kalau dinyatakan dalam rumus adalah sebagai berikut: (1) Untuk data yang tidak dikelompokkan. Untuk menghitung 3 bagi data yang tidak dikelompokkan, kita dapat menggunakan rumus berikut: 1  X   3  n







3



3



Dalam hal ini 3 adalah koefisien kecondongan X adalah nilai data  adalah mean



 adalah deviasi standar n adalah banyaknya data Untuk menghitung 3 pertama-tama kita harus menghitung mean dan selanjutnya kita hitung penyimpangan (deviasi) masing-masing data terhadap mean. Deviasi ini kita kuadratkan untuk menghitung deviasi standar dan pangkat tiga. Langkah terakhir hasil perhitungan tersebut dimasukkan ke dalam rumus untuk memperoleh 3 .



3.39



 ESPA4123/MODUL 3



Contoh : Sebagai contoh kita akan menggunakan data produksi batik di lima perusahaan sebagai berikut: 70, 65, 45, 40, dan 30. Untuk mempermudah perhitungan data tersebut kita masukkan ke dalam tabel, seperti yang tampak pada Tabel 3.7 berikut ini: Tabel 3.7. Perhitungan 3 untuk Data yang Tidak Dikelompokkan



X



XX



X  X 



70 65 45 40 30 250



70 – 50 = 20 65 – 50 = 15 45 – 50 = –5 40 – 50 = –10 30 – 50 = –20 0



400 225 25 100 400 1.150



X 



250  50 5



S



2



X  X 



3



8.000 3.375 –125 –1.000 –8.000 2.250



1 2250 1150 450  16,96  3  3   0, 092 3 5 1 16,96  4878, 4



Data tersebut mempunyai koefisien kecondongan yang bertanda positif berarti kalau digambar distribusi tersebut condong ke kiri. (2) Untuk data yang dikelompokkan Untuk menghitung 3 kita dapat menggunakan rumus berikut 1 3 f X   n  







3



3



Dalam hal ini 3 adalah koefisien kecondongan X adalah nilai data X adalah mean  adalah deviasi standar



 adalah banyaknya data f adalah frekuensi Contoh: Sebagai contoh kita akan mencari koefisien kecondongan dari distribusi keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik di



3.40



Statistika Ekonomi 



Yogyakarta. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menghitung mean. Selanjutnya, kita menghitung deviasi antara masing-masing titik tengah dengan mean, kemudian kita kuadratkan untuk menghitung deviasi standar. Kemudian, kita pangkatkan tiga untuk menghitung 3 dengan cara memasukkan semua hasil perhitungan tadi ke dalam rumus. Tabel 3.8. Perhitungan Koefisien Kecondongan Distribusi Keuntungan Per Tahun 50 Perusahaan Batik di Yogyakarta Keuntungan



F



X



F



XX



 X  X 2



F  X X 



30 - 39,9 40 - 49,9 50 - 59,9 60 - 69,9 70 - 79,9 80- 89,9 90 - 99,9 Jumlah



4 7 8 12 9 6 4 50



35 45 55 65 75 85 95



140 315 440 780 675 510 380 3240



35 - 64,8 = - 29,8 45 - 64,8 = - 19,8 55 - 64,8 = - 9,8 65 - 64,8 = 0,2 75 - 64,8 = 10,2 85 - 64,8 = 20,2 95- 64,8 = 30,2



888,04 392,04 96,04 0,04 104,04 408,04 912,04



3.552,16 2.744,28 768,32 0,48 936,36 2.448,24 3.648,16 14.098



2



 X  X 3



F  X X 



-26.467,168 -7.762,392 -941,192 0,008 1.061,208 8.242,408 27.543,608



-105.868,672 -54.336,744 -7.529,536 0,096 9.550,872 49.454,448 110.174,432 1.444,896



1 1.444,896  28,89796  3  50   0, 00594 4.878, 4 16,963



(3) Data dikelompokkan yang mempunyai kelas terbuka, kita tidak dapat menggunakan deviasi rumus di atas karena kelas yang terbuka tidak dapat dihitung titik tengahnya. Oleh karena itu, untuk menghitung koefisien kecondongan kita menggunakan deviasi (d), sehingga r  3 dapat dicari dengan rumus berikut: 3 3    fd 2    fd    fd   Ci3   fd  3  3  3   2    n  n   n     n       



3



3.41



 ESPA4123/MODUL 3



Tabel 3.9. Perhitungan 3 pada Data yang dikelompokkan Menggunakan Deviasi Keuntungan 30 - 39,9 40 - 49,9 50 - 59,9 60 - 69,9 70 - 79,9 80 - 89,9



X 35 45 55 65 75 85



f 4 7 8 12 9 6 50



3 



d -3 -2 -1 0 1 2



Id -12 -14 -8 0 9 12



d2 9 4 1 0 1 4



-1



fd2 36 28 8 0 9 24



d3 -27 -8 -1 0 1 8



141



fd3 -108 -56 -8 0 9 48 -7



3 103  7  141  1   1    3  2        16,963  50  50  50   50  



Koefisien kecondongan bertanda positif, artinya distribusi tersebut kalau di gambar menceng ke kiri. Di samping mengukur kecondongan suatu distribusi, kita juga dapat mengukur tingkat keruncingan atau tumpulnya diagram suatu distribusi, dengan mencari koefisien keruncingan atau peakedness atau kurtosisnya Untuk mengukur runcing atau tumulnya suatu distribusi biasanya digunakan  4 Yaitu rata-rata dari selisih antara data-data dengan mean pangkat empat, dibagi deviasi standar pangkat empat. Tingkat keruncingan suatu distribusi dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut: C. UKURAN KERUNCINGAN DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN Untuk menghitung tingkat keruncingan bagi data yang dikelompokkan, kita dapat menggunakan rumus berikut:



1 4  X    n 4  4







tidak



3.42



Statistika Ekonomi 



Dalam hal ini  4 adalah koefisien kecondongan X adalah nilai data  adalah mean



 adalah deviasi standar n adalah banyaknya data Untuk menghitung 3 pertama-tama kita harus menghitung mean dan selanjutnya, kita hitung penyimpangan (deviasi) masing-masing data terhadap mean. Deviasi ini kita kuadratkan untuk menghitung deviasi standard an kita pangkatkan tiga. Langkah terakhir hasil perhitungan tersebut dimasukkan ke dalam rumus untuk memperoleh 3 . Contoh: Sebagai contoh kita akan menggunakan data produksi batik di lima perusahaan sebagai berikut : 70, 65, 45, 40, dan 30. Untuk mempermudah perhitungan data tersebut kita masukkan ke dalam tabel, seperti yang tampak pada Tabel 5.4 berikut ini: Tabel 3.10. Perhitungan Tingkat Keruncingan Data yang tidak Dikelompokkan



X 



X



XX



X  X 



70 65 45 40 30 250



70 – 50 = 20 65 – 50 = 15 45 – 50 = –5 40 – 50 = –10 30 – 50 = –20 0



400 225 25 100 400 1.150



250  50 5



S



1150  16,96 5 1



3 



X  X 



2



1 381250 3 4



16,96 



4



160.000 50.625 625 10.000 160.000 381.250 



76250  0,92 82737.664



3.43



 ESPA4123/MODUL 3



D. UKURAN KERUNCINGAN UNTUK DATA DIKELOMPOKKAN MENGGUNAKAN MEAN Untuk menghitung tingkat keruncingan data yang sudah dikelompokkan kita dapat menggunakan rumus berikut.



1 4  f X   n 4  4







Contoh: Sebagai contoh kita akan mencari koefisien keruncingan dari distribusi keuntungan per tahun dari 50 perusahaan batik di Yogyakarta. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menghitung mean. Selanjutnya, kita menghitung deviasi antara masing-masing titik tengah dengan mean, kemudian kita kuadratkan untuk menghitung deviasi standar. Kemudian kita pangkatkan empat untuk menghitung  4 dengan cara memasukkan semua hasil perhitungan tadi ke dalam rumus Tabel 3.11. Perhitungan Koefisien Kecondongan Distribusi Keuntungan Per Tahun 50 Perusahaan Batik di Yogyakarta Keuntungan



F



X



F



XX



 X  X 2



F  X X 



2



 X  X 3



F  X X 



3



30- 39,9



4



35



140



35 - 64,8 = - 29,8



888,04



3.552,16



788615,04



3154460,2



40- 49,9



7



45



315



45 - 64,8 = - 19,8



392,04



2.744,28



153695,36



1075867,5



50 - 59,9



8



55



440



55 - 64,8 = - 9,8



96,04



768,32



9223,6816



73789,453



60 - 69,9



12



65



780



65 - 64,8 = 0,2



0,04



0,48



0,0016



0,0192



70- 79,9



9



75



675



75 - 64,8 = 10,2



104,04



936,36



10824,322



97418,894



80- 89,9



6



85



510



85 - 64,8 = 20,2



408,04



2.448,24



166496,64



998979,85



90 - 99,9



4



95



380



95 - 64,8 = 30,2



912,04



3.648,16



831816.96



3327267,8



Jumlah



50



3240



14.098



1 8727783, 7  1745555, 67 50 4    2,1 82737, 69 16,944



8727783,7



3.44



Statistika Ekonomi 



E. UKURAN KERUNCINGAN UNTUK DATA DIKELOMPOKKAN MENGGUNAKAN DEVIASI Apabila dalam suatu distribusi frekuensi memiliki kelas terbuka, rumus di atas tidak dapat dipergunakan karena kelas yang terbuka tidak dapat dihitung titik tengahnya. Jadi, untuk menghitung koefisien keruncingan kita menggunakan deviasi (d), sehingga tingkat keruncingan dapat dicari dengan rumus berikut : 4 4    fd 4    fd    fd   Ci4   fd  4  4  4   3    n  n   n     n       



Tabel 3.12. Perhitungan 3 pada Data yang Dikelompokkan Keuntungan 30 - 39,9 40 - 49,9 50 - 59,9 60 - 69,9 70 - 79,9 80 - 89,9



X 35 45 55 65 75 85



F 4 7 8 12 9 6 50



4 



104 16,9634



d -3 -2 -1 0 1 2



Id -12 -14 -8 0 9 12



d2 9 4 1 0 1 4



-1



fd2 36 28 8 0 9 24 141



d3 -27 -8 -1 0 1 8



fd3 -108 -56 -8 0 9 48



d4 81 16 1 0 1 16



-7



Fd4 324 122 8 0 9 96 787



2 4  787  7  1   141  1   1    4     6      3     50  50   50  50   50    50



Untuk menentukan diagram distribusi itu runcing atau tumpul, digunakan ketentuan berikut a. Bila  4  3  diagram distribusi itu runcing dan disebut leptocurtic b. Bila  4  3  diagram distribusi itu tumpul dan disebut platycurtic c. Bila  4  3  diagram distribusi itu berbentuk bel dan normal  tidak terlalu tumpul dan tidak terlalu runcing



3.45



 ESPA4123/MODUL 3



LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Diketahui distribusi umur penduduk di suatu daerah sebagai berikut. Umur penduduk 0 – 9,9 10 – 19,9 20 – 29,9 30 – 39,9 40 – 49,9 50 – 59,9



f 5 20 15 45 10 5



Hitunglah koefisien kecondongan. 2) Diketahui suatu set data mengenai pendapatan penduduk suatu daerah per bulan dalam juta rupiah sebagai berikut. 4 5



3 7



5 3



7 8



3 4



9 6



4 2



3 5



4 3



Hitunglah tingkat keruncingannya Petunjuk Jawaban Latihan 1) a) b) c) d) e) 2) a) b) c)



Tentukan nilai d dan kalikan dengan frekuensi masing-masing. Hitunglah d2 dan kalikan dengan frekuensi masing-masing. Hitunglah d3 dan kalikan dengan frekuensi masing-masing. Hitung deviasi standar umur penduduk tersebut. Hitunglah a3 distribusi tersebut. Hitunglah mean data tersebut. Hitung deviasi standar data tersebut. Masukkan ke dalam rumus maka akan diperoleh koefisien keruncingan.



3.46



Statistika Ekonomi 



RA NGK UMA N Ukuran kecondongan adalah ukuran yang menunjukkan menceng tidaknya suatu data. Ada dua macam ukuran kemencengan, yaitu ukuran kecondongan yang dibuat oleh Pearson dan a3. 1. Ukuran kecondongan yang dibuat oleh Pearson Untuk mengukur kecondongan dari suatu kurva, kita gunakan koefisien kecondongan/skewness, yang dapat dihitung dengan rumus Pearson sebagai berikut: X  Mo Sk  S Apabila data yang dipakai banyak maka mean, median, dan modus mempunyai hubungan: Modus = 3 median — 2 mean. Sehingga koefisien kecondongan dapat dihitung menggunakan rumus berikut: 3  X  Md  SK  S 2.



3 3 adalah rata-rata penyimpangan data-data dari mean, dipangkatkan tiga, dibagi dengan deviasi strandar pangkat tiga . kalau dinyatakan dalam rumus adalah sebagai berikut: a. Untuk data yang tidak dikelompokkan Untuk menghitung 3 bagi data yang tidak dikelompokkan, kita dapat menggunakan rumus berikut: 1  X   3  3  n 3







b.



Untuk data yang dikelompokkan untuk menghitung 3 kita dapat menggunakan rumus berikut



1 3  f X   n 3  3







c.



Data dikelompokkan yang mempunyai kelas terbuka, kita tidak dapat menggunakan rumus di atas karena kelas yang terbuka



 ESPA4123/MODUL 3



3.47



tidak dapat dihitung titik tengahnya. Jadi, untuk menghitung koefisien kecondongan kita menggunakan deviasi (d), sehingga r 3 dapat dicari dengan rumus berikut : 3 3    fd 2    fd    fd   Ci3   fd  3  3  3   2    n  n   n     n       



Untuk menentukan gambar distribusi itu condong ke kiri, condong ke kanan atau simetris, didasarkan atas tanda dari koefisien kecondongan, dengan ketentuan sebagai berikut: a. Bila koefisien kecondongan (skewness) itu positif berarti mean lebih besar dari pada median dan modus maka diagram distribusinya condong ke kiri atau ekornya di sebelah kanan. b. Bila koefisien kecondongan (skewness) itu negatif berarti mean lebih kecil dari pada median dan modus maka kurva itu condong ke kanan atau ekornya di sebelah kini c. Bila koefisien kecondongan skewness) itu besarnya sama dengan 0 berarti mean sama dengan median sama dengan modus maka kurva itu simetris. Untuk mengukur runcing atau tumpulnya suatu distribusi biasanya digunakan  4 yaitu rata-rata dari selisih antara data-data dengan mean pangkat empat, dibagi deviasi standar pangkat empat. Tingkat keruncingan suatu distribusi dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut: a. Untuk menghitung tingkat keruncingan bagi data yang tidak dikelompokkan, kita dapat menggunakan rumus berikut: 1  X   4 n  







4



b.



4



Untuk menghitung tingkat keruncingan data yang dikelompokkan kita dapat menggunakan rumus berikut 1 4 f X    n



sudah







4



c.



4



Apabila dalam suatu distribusi frekuensi memiliki kelas terbuka, rumus di atas tidak dapat dipergunakan karena kelas yang terbuka tidak dapat dihitung titik tengahnya. Jadi, untuk menghitung koefisien keruncingan kita menggunakan deviasi (d), sehingga tingkat keruncingan dapat dicari dengan rumus berikut:



3.48



Statistika Ekonomi 



4 4    fd 4    fd    fd   Ci4   fd   4  4 4    3    n  n   n     n        Untuk menentukan diagram distribusi itu runcing atau tumpul, digunakan ketentuan berikut a. Bila  4  3  diagram distribusi itu runcing dan disebut leptocurtic. b. Bila  4  3  diagram distribusi itu tumpul dan disebut platycurtic. c. Bila  4  3  diagram distribusi itu berbentuk bel dan normal  tidak terlalu tumpul dan tidak terlalu runcing.



TES FO RMA TIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diketahui suatu distribusi mempunyai mean=20 modus=25 dan standar deviasi = 2 Maka tingkat kecondongannya sebesar .... A. 2,5 B. –2,5 C. 22,5 D. 5 2) Suatu distribusi kalau digambar bentuknya seperti bel dan simetris maka distribusi data tadi disebut sebagai distribusi .... A. normal B. tidak normal C. relatif D. kumulatif 3) Untuk menghitung koefisien kecondongan kita memerlukan data mean, modus, dan deviasi standar. Bila distribusi tersebut tidak memiliki modus maka modus dapat diganti dengan .... A. median B. range C. deviasi rata-rata D. alpha 3 4) Angka kecondongan suatu distribusi akan bertanda positif jika .... A. kurvanya condong ke kini



 ESPA4123/MODUL 3



3.49



B. mean > median C. mean > modus D. semua jawaban di atas benar 5) Jika suatu distribusi kurvanya condong ke kanan maka .... A. koefisien kecondongannya positif B. mean > median C. mean > modus D. semua jawaban di atas salah 6) Suatu distribusi mempunyai mean sebesar 64, modus sebesar 65 sedang deviasi standar sebesar 5 maka koefisien kecondongannya sebesar .... A. 1 B. –1 C. –1/5 D. 5 7) Suatu distribusi normal jika dihitung ukuran tendensi pusatnya maka .... A. Mean = median = modus B. Mean  median  modus C. Mean > median > modus D. Mean < median < modus 8) Suatu set data dapat dikatakan berdistribusi normal jika .... A. Kurvanya menyerupai bel B. Kurvanya simetris C. Mean = median = modus D. Kombinasi dari ketiga jawaban di atas 9) Suatu data diketahui mempunyai mean = 40 median = 30 dan deviasi standar = 5 maka dengan menggunakan rumus Pearson, koefisien kecondongan distribusi tersebut sebesar .... A. 10 B. 5 C. 6 D. –6 10) Apabila suatu distribusi tidak normal, diketahui mean sebesar 50 median sebesar 55 dan diketahui pula bahwa jumlah sampelnya banyak maka modusnya sebesar .... A. 60 B. 50



3.50



Statistika Ekonomi 



C. 65 D. 70 11) Suatu distribusi dikatakan runcing bila koefisien keruncingannya .... A. > 3 B. < 3 C. = 3 D. < 0 12) Suatu distribusi dikatakan tumpul bila koefisien keruncingannya .... A. > 3 B. < 3 C. = 3 D. < 0 13) Bila satu set data mempunyai tingkat keruncingan sebesar 2 maka jika digambar kurvanya .... A. runcing B. tumpul C. menceng D. simetris 14) Suatu distribusi yang normal akan mempunyai ciri .... A. kurvanya berbentuk bel B. simetris C. tidak tumpul dan tidak runcing D. kombinasi dari ketiga kriteria di atas 15) Apabila kita mempunyai dus distribusi, distribusi A, dan B. kedua distribusi tersebut memiliki mean yang sama, tetapi distribusi A memiliki tingkat keruncingan yang lebih besar dari pada distribusi B maka kalau digambar, akan tampak bahwa .... A. kurva A sama dengan kurva B B. kurva A lebih runcing dari pada kurva B C. kurva A lebih tumpul dari pada kurva B D. semua jawaban di atas salah Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



3.51



 ESPA4123/MODUL 3



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



3.52



Statistika Ekonomi 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) A 2) C 3) D 4) D 5) D 6) D 7) D 8) B 9) D 10) C 11) C 12) C 13) D 14) A 15) B 16) C 17) A 18) C 19) B 20) C 21) C 22) C 23) A 24) B 25) A 26) A 27) C 28) A 29) A 30) B



Tes Formatif 2 1) B 2) A 3) A 4) D 5) D 6) C 7) A 8) D 9) C 10) C 11) A 12) B 13) B 14) D 15) B



 ESPA4123/MODUL 3



3.53



Daftar Pustaka Budijoewono, Nugroho. (1997). Pengantar Statistik Ekonomi dan Bisnis. Edisi Keempat. Yogyakarta: UPP AMP YKPN. Kohler, Heinz. (1994). Statistics For Business And Economics. Third Edition. Harper Collins. Subagyo, Pangestu.(2003). Statistik Deskriptif. Edisi Keempat. Yogyakarta: BPFE. Wonnacott, Thomas H., and Wonnacott, Ronald J. (1990). Introductory Statistics For Business And Economics. Forth Edition.



Modul 4



Konsep Probabilitas, Distribusi Probabilitas Normal, dan Binomial Dra. Ch. Suparmi, S.U.



PE NDAHUL UA N



M



odul ini akan membahas tentang konsep probabilitas yang meliputi probabilitas sederhana dan Probabilitas Peristiwa majemuk, distribusi probabilitas normal dan binomial. Probabilitas adalah mekanisme yang digunakan untuk memberikan informasi tentang populasi. Dengan probabilitas memungkinkan kita untuk menggunakan informasi parsial yang dikandung dalam suatu himpunan data sampel untuk menyimpulkan keadaan yang sebenarnya dari himpunan data yang lebih besar, yaitu populasi. Penggunaan probabilitas untuk mengambil kesimpulan dapat dijelaskan oleh contoh berikut ini. Sebuah pabrik panci ingin membandingkan pilihan (preferensi) konsumen terhadap dua model produksinya yaitu A dan B jika melihat modelnya. Anda berasumsi bahwa konsumen akan menyukai model A. Untuk menguji asumsi ini, dipilih 30 konsumen secara acak yang diminta untuk memilih model yang disukai. Misalkan 20 konsumen ternyata memilih model B, kesimpulan apa yang dapat diambil mengenai asumsi ini. Untuk mengetahui kesimpulan ini kita dapat menggunakan perhitungan yang menggunakan konsep teori probabilitas Setelah mempelajari modul ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. Menjelaskan konsep Probabilitas. 2. Menjelaskan konsep Probabilitas Sederhana. 3. Menghitung dengan menggunakan konsep Probabilitas Sederhana. 4. Menjelaskan konsep Probabilitas Peristiwa Majemuk. 5. Menghitung dengan menggunakan konsep Probabilitas Peristiwa Majemuk. 6. Menjelaskan konsep distribusi probabilitas. 7. Menerapkan konsep distribusi probabilitas normal. 8. Menerapkan konsep distribusi probabilitas binomial.



4.2



Statistika Ekonomi 



Kegiatan Belajar 1



Probabilitas Peristiwa Sederhana



P



engetahuan tentang probabilitas telah dikenal sejak berabad-abad lamanya. Akan tetapi, penjelasan secara ilmiah baru dirintis pada abad ke-17. Pada saat itu teori probabilitas timbul sebagai usaha memberi penjelasan tentang cara-cara pemecahan soal-soal probabilitas dalam permainan judi Teori probabilitas kita pelajari saat ini tentu tidak bertujuan untuk memenangkan perjudian tetapi untuk memecahkan masalah yang kita hadapi karena dalam kehidupan sehari-hari kita selalu menghadapi ketidakpastian (uncertainty). Seorang pengusaha menghadapi masalah ketidakpastian mengenai berhasil tidaknya usaha yang dilakukan. Begitu juga seorang pedagang kaki lima maupun pengusaha restoran dalam melaksanakan usahanya juga menghadapi ketidakpastian. Seorang petani juga menghadapi ketidakpastian dalam usahataninya karena usaha di sektor pertanian sangat dipengaruhi oleh keadaan alam. Begitu juga, seorang mahasiswa juga menghadapi ketidakpastian dalam hal lulus tidaknya dia dalam menghadapi ujian. Oleh karena itu, ketidakpastian ini dicoba untuk diukur atau dikuantifisisasi, dengan konsep probabilitas. Jadi, kemungkinan terjadinya sesuatu dicoba diukur dengan konsep probabilitas. Probabilitas (P) dinyatakan dalam angka-angka antara 0 dan 1. Probabilitas  P   0, artinya suatu peristiwa atau kejadian mempunyai kemungkinan terjadi sebesar 0% atau dengan kata lain peristiwa itu tidak mungkin terjadi. Sebagai contoh : musim salju di Yogyakarta. Di lain pihak, apabila suatu peristiwa atau kejadian probabilitasnya  P  1, berarti peristiwa atau kejadian tersebut mempunyai kemungkinan terjadi sebesar 100%, atau kejadian tersebut pasti terjadi. Sebagai contoh; matahari terbit dari timur, orang hidup akan mati.



4.3



 ESPA4123/MODUL 4



A. PERUMUSAN PROBABILITAS Ada beberapa metode atau pendekatan yang digunakan untuk menjelaskan pengertian probabilitas ini, antara lain: 1.



Perumusan Klasik atau Matematik (Classical/Mathematical) Teori probabilitas berkembang pada abad 19 di Perancis, pada waktu perjudian mengalami kejayaan, sehingga untuk menjelaskan teori probabilitas banyak diambil contoh-contoh dari dunia perjudian yang berupa alat perjudian seperti: dadu, kartu dan sebagainya. Menurut pendekatan klasik atau matematik, Probabilitas terjadinya sesuatu adalah sama dengan jumlah kejadian yang diinginkan dibagi jumlah seluruh kejadian, apabila setiap kejadian mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Apabila kita rumuskan maka probabilitas terjadinya suatu peristiwa,



P



kejadian yang diinginkan seluruh kejadian



Sebagai contoh dapat dikemukakan beberapa hal berikut: a. Sebuah mata uang logam Mata uang logam mempunyai 2 sisi yaitu sisi gambar dan sisi yang berisi tulisan disebut sisi angka. Jadi, jumlah seluruh kejadian ada 2. Apabila munculnya sisi gambar adalah kejadian yang diinginkan maka probabilitas terjadinya sisi gambar adalah: P gambar  



1  0,5 . 2



Sebaliknya, apabila munculnya sisi angka adalah kejadian yang diingkinkan maka probabilitas terjadinya sisi angka adalah



P gambar  



1  0,5 . 2



Hal di atas berarti bahwa probabilitas terjadinya sisi gambar dan sisi angka sama, yakni =



1 , artinya probabilitas terjadinya sisi gambar sama 2



dengan probabilitas terjadinya sisi angka yaitu = 0,5. Dengan demikian, dikatakan mata uang logam tersebut seimbang (fair coin). Oleh karena itu, sebuah mata uang banyak dipergunakan untuk mengadakan undian. Misalnya: dalam pertandingan olah raga.



4.4



Statistika Ekonomi 



b.



Sebuah dadu mempunyai 6 sisi Dadu adalah sebuah alat perjudian yang berbentuk kubus dan bersisi 6, masing-masing sisi diberi nilai 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Untuk jelasnya dapat dilihat dalam Gambar 4.1.



Gambar 4.1. Sisi Dadu dengan Nilainya Masing-masing



Sebuah dadu mempunyai 6 sisi maka keseluruhan kejadian ada 6. Jika munculnya sisi dadu dengan nilai 2 dianggap sebagai kejadian yang diinginkan maka probabilitas terjadinya peristiwa munculnya sisi dadu dengan nilai 2 adalah



P sisi 2 



1 6



Apabila kejadian yang diinginkan adalah munculnya sisi dadu yang nilainya genap, maka: P genap   2.



3 6



Perumusan secara Frekuensi Relatif atau Pendekatan Empiris (Empirical/Frequency Approach) Pendekatan ini disebut pendekatan frekuensi relatif karena perhitungannya di dasar pada frekuensi relatif tetapi sering juga disebut sebagai pendekatan empiris karena perhitungannya menggunakan data empiris. Probabilitas terjadinya suatu peristiwa menurut pendekatan empiris atau frekuensi relatif adalah sama dengan frekuensi relatif dari terjadinya peristiwa tersebut di dalam percobaan yang terjadi secara berulang-ulang sampai tak terhingga. Percobaan yang dilakukan secara berulang-ulang sampai tak terhingga tidak mungkin dilaksanakan maka di dalam perhitungan ini jumlah percobaannya terbatas.



 ESPA4123/MODUL 4



4.5



Contoh: Jumlah bayi yang lahir di sebuah rumah sakit bersalin selama 10 tahun ada 1000 yang terdiri dari 550 bayi perempuan dan 450 bayi laki-laki. Maka probabilitas lahirnya seorang bayi laki-laki dapat dihitung seperti berikut ini.



P L  



450  0, 45 1000



P P  



550  0,55 1000



3.



Probabilitas Subyektif (Subjectively Probability) Dalam kehidupan sehari-hari kadang-kadang kita menjumpai peristiwa yang jarang-jarang terjadi: misalnya pemilihan presiden, gunung meletus, dan sebagainya. Probabilitas terjadinya peristiwa yang jarang-jarang terjadi ini pada hakikatnya sangat tergantung pada pandangan masing-masing individu. Maka disebut probabilitas subyektif. Probabilitas subyektif dirumuskan sebagai pengukur atas keyakinan seseorang terhadap terjadinya suatu peristiwa tertentu maka besarnya probabilitas tergantung pada masingmasing individu. Misalnya kita menanyakan pada seseorang, berapa probabilitasnya sebuah Gunung Merapi akan meletus, jawabannya akan sangat tergantung pada: latar belakang individu yang kita tanya, tempat tinggalnya apakah dekat dengan gunung berapi tersebut? Apakah dia mempunyai latar belakang pendidikan tentang kegunungapian? Dan sebagainya. B. RUANG SAMPEL DAN SUB RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE AND SUB SAMPLE SPACE) 1.



Pendekatan Klasik (Matematis) Ruang Sampel Menurut pendekatan klasik ruang sampel adalah suatu himpunan yang mempunyai unsur seluruh peristiwa atau kejadian. Untuk memperjelas pengertian ini kita ambil contoh beberapa peristiwa berikut:



4.6



Statistika Ekonomi 



a.



Pelemparan sebuah mata uang Dalam pelemparan sebuah mata uang, kita akan menjumpai dua peristiwa, yaitu sisi gambar yang di atas atau sisi angka yang di atas. Maka ruang sampelnya ada 2, jika dinyatakan dalam bentuk himpunan, yaitu :



S  G, A Jika kita gambar dalam bentuk diagram akan Gambar 4.2 berikut



dapat dilihat seperti



Gambar 4.2. Ruang Sampel pada Pelemparan Sebuah Mata Uang



b.



Pelemparan dua buah mata uang secara bersama-sama Dalam pelemparan dua buah mata uang secara bersama-sama, kita akan menjumpai 4 peristiwa yang mungkin terjadi. Maka ruang sampelnya ada 4, jika dinyatakan dalam bentuk himpunan, yaitu:



S  GG, AA, GA, AG c.



Pelemparan tiga mata uang secara bersama-sama Dalam pelemparan tiga buah mata uang secara bersama-sama, kita akan menjumpai 8 peristiwa yang mungkin terjadi. Maka ruang sampelnya sebanyak 8 dan kalau dinyatakan dalam bentuk himpunan, yaitu



S  GGG, AGG, GAG, GGA, AAG, AGA, GAA, AAA d.



Pelemparan sebuah dadu Dalam pelemparan sebuah dadu karena sisi dadu ada 6, maka ruang sampelnya ada 6 , yaitu:



4.7



 ESPA4123/MODUL 4



S  1, 2, 3, 4, 5, 6 e.



Pelemparan dua buah dadu bersama-sama Dalam pelemparan dua buah dadu secara bersama-sama, kita akan menjumpai 36 peristiwa yang mungkin terjadi maka ruang sampelnya = 36, yaitu: S = {11; 12; 13; 14; 15; 16;21; 22; 23; 24; 25; 26; 31; 32; 33; 34; 35; 36;



41; 42; 43; 44; 45; 46; 51; 52; 53; 54; 55; 56; 61; 62; 63; 64; 65; 66} f.



Kartu bridge Dalam satu set kartu bridge terdapat 52 kartu, maka ruang sampelnya mengandung 52 unsur yang terdiri dari 4 macam kartu, masing-masing sebanyak 13 buah kartu. Sub Ruang Sampel Sub ruang sampel adalah kumpulan dari kejadian tertentu. Subruang sampel merupakan bagian dari sampel Contoh: a. Dari pelemparan 2 mata uang secara bersama, peristiwa munculnya 1 sisi gambar dan 1 sisi angka ada 2, subruang sampel ini kalau ditulis dalam bentuk himpunan adalah: SS = { GA, AG } b. Dari peristiwa pelemparan 2 buah dadu secara bersama-sama, peristiwa munculnya jumlah mata dari dua dadu sebanyak 5 ada 4, kalau ditulis dalam bentuk himpunan adalah: SS = { (4,1), (3,2), (2,3), (1,4)} 2.



Pendekatan Frekuensi Relatif/Empiris Ruang Sampel dan Sub Ruang Sampel Seperti yang telah dijelaskan di muka, dalam pendekatan frekuensi relatif yang dipergunakan sebagai landasan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa adalah frekuensi. Maka ruang sampel menurut pendekatan frekuensi adalah jumlah seluruh frekuensi. Sedangkan subruang sampel adalah jumlah peristiwa tertentu.



4.8



Statistika Ekonomi 



Penjelasan lebih lanjut dapat diberikan contoh sebagai berikut: a.



Pedagang kaki lima di Yogyakarta Dari hasil penelitian diketahui di Yogyakarta terdapat 5.000 pedagang kaki lima maka ruang sampel dari pedagang kaki lima ini mempunyai unsur sebanyak 5.000 pedagang kaki lima. Ruang sampel ini dapat dibagi menjadi beberapa subruang sampel sesuai dengan keinginan kita. Misalnya, kita bagi menurut daerah asal, menurut jenis barang yang dijual, menurut lokasi tempat mereka berdagang dan sebagainya. Sebagai contoh pedagang kaki lima di Yogyakarta dikelompokkan menurut jenis barang yang diperdagangkan seperti terlihat dalam Tabel 4.1 berikut: Tabel 4.1. Jumlah Pedagang Kaki Lima di Yogyakarta Menurut Jenis Barang yang Diperdagangkan



Jenis barang yang diperdagangkan Makanan Minuman Buah-buahan Kerajinan Pakaian Jumlah



jumlah 1.000 500 400 2.000 1.100 5.000



Dari tabel di atas maka dapat disimpulkan bahwa dari sebuah ruang sampel yang terdiri dari 5.000 pedagang kaki lima, dapat disusun menjadi 5 subruang sampel berdasarkan jenis barang yang diperdagangkan. Sebagai contoh subruang sampel untuk pedagang makanan sebanyak 1.000 orang. b.



Mahasiswa Fakultas Ekonomi Jumlah mahasiswa baru yang diterima di Fakultas Ekonomi pada suatu saat sebanyak 400 orang yang terdiri dari tiga jurusan, yaitu mahasiswa jurusan Akuntansi sebanyak 250, mahasiswa jurusan Manajemen sebanyak 150 orang, dan mahasiswa jurusan Ilmu Ekonomi sebanyak 50 orang, maka ruang sampel dari data tersebut 400 orang. Sub ruang sampel untuk jurusan Akuntansi 250, jurusan Manajemen 150, dan Jurusan Ilmu Ekonomi 50.



4.9



 ESPA4123/MODUL 4



C. PERISTIWA DAN PROBABILITAS SUATU PERISTIWA Dalam bagian sebelumnya sudah dibahas mengenai konsep probabilitas, bagaimana cara menghitung probabilitas suatu peristiwa. Maka pada bagian ini akan dibahas mengenai peristiwa dan bagaimana menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa. 1.



Pengertian Peristiwa Ruang sampel merupakan suatu kumpulan kejadian yang bersifat universal. Dari ruang sampel ini dapat dibagi menjadi beberapa subruang sampel yang mempunyai sifat-sifat tertentu. Sub ruang sampel yang mempunyai unsur-unsur yang memiliki sifat tertentu ini dapat disebut sebagai suatu peristiwa. Sebagai contoh : a. Dalam pelemparan dua buah mata uang, kita dapat membagi menjadi 3 macam peristiwa, yaitu peristiwa munculnya dua gambar, peristiwa munculnya satu gambar dan peristiwa munculnya 0 gambar atau tidak munculnya gambar atau yang muncul angka semua. b. Dalam pelemparan sebuah dadu, kita dapat membedakan menjadi dua peristiwa, yaitu peristiwa sisi dadu genap dan peristiwa sisi dadu ganjil. 2.



Probabilitas Suatu Peristiwa Jika sudah mengetahui ruang sampel dan subruang sampel yang kita inginkan, maka kita dapat menghitung probabilita terjadinya suatu peristiwa, yaitu dengan cara membagi sub ruang sampel dengan ruang sampel. Jika ditulis dalam bentuk rumus sebagai berikut:



P



sub ruang sampel ruang sampel



Probabilitas suatu peristiwa yang biasanya diberi notasi P(..), yang dibaca probabilita dari peristiwa … , dan jika peristiwa A terjadi sebanyak n kali dari m percobaan, maka



P A  Dalam hal ini : P adalah probabilitas A adalah peristiwa A



n m



4.10



Statistika Ekonomi 



n adalah banyaknya peristiwa yang terjadi m adalah jumlah seluruh peristiwa sebagai contoh a. b.



Dalam pelemparan dua buah mata uang, probabilitas munculnya dua gambar P(2 gambar) =1/4 Dalam pelemparan sebuah dadu, probabilitas diperolehnya sisi dadu genap P(genap) = 3/6 LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!



Dalam satu set kartu bridge kita ambil sebuah kartu, berapa probabilitasnya kita memperoleh sebuah kartu jantung? Petunjuk Penjawab Latihan 1) Kita hitung jumlah seluruh kartu. 2) Kita hitung jumlah kartu jantung. 3) Kita hitung probabilitas diperolehnya kartu jantung, yaitu jumlah kartu jantung dibagi jumlah seluruh kartu. RA NGK UMA N Perumusan Probabilitas Ada beberapa metode atau pendekatan yang digunakan untuk menjelaskan pengertian probabilitas ini, antara lain: 1. Perumusan klasik atau matematik (Classical/Mathematical) Menurut pendekatan klasik atau matematik, probabilitas terjadinya sesuatu adalah sama dengan jumlah kejadian yang diinginkan dibagi jumlah seluruh kejadian, apabila setiap kejadian mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. 2. Perumusan secara frekuensi relatif atau pendekatan empiris (empirical/frequency approach) Pendekatan ini disebut pendekatan frekuensi relatif, karena perhitungannya di dasar pada frekuensi relatif, tetapi sering juga



 ESPA4123/MODUL 4



3.



4.11



disebut sebagai pendekatan empiris karena perhitungannya menggunakan data empiris. Probabilitas terjadinya suatu peristiwa menurut pendekatan empiris atau frekuensi relatif adalah sama dengan frekuensi relatif dari terjadinya peristiwa tersebut di dalam percobaan yang terjadi secara berulang-ulang sampai tak terhingga. Probabilitas subyektif (subjectively probability) Dalam kehidupan sehari-hari kadang-kadang kita menjumpai peristiwa yang jarang-jarang terjadi: misalnya pemilihan presiden, gunung meletus dan sebagainya. Probabilitas terjadinya peristiwa yang jarang-jarang terjadi ini pada hakikatnya sangat tergantung pada pandangan masing-masing individu. Maka disebut probabilitas subyektif. Probabilitas subyektif dirumuskan sebagai pengukur atas keyakinan seseorang terhadap terjadinya suatu peristiwa tertentu, maka besarnya probabilitas tergantung pada masing-masing individu.



Ruang sampel dan subruang sampel (sample space and sub sample space) 1. Pendekatan klasik (matematis) Menurut pendekatan klasik ruang sampel adalah suatu himpunan yang mempunyai unsur seluruh peristiwa atau kejadian. Sedangkan Subruang sampel adalah kumpulan dari kejadian tertentu. Sub ruang sampel merupakan bagian dari ruang sampel. 2.



Pendekatan frekuensi relatif/empiris Ruang sampel dan subruang sampel. Seperti yang telah dijelaskan di muka, dalam pendekatan frekuensi relatif, yang dipergunakan sebagai landasan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa adalah frekuensi. Maka ruang sampel menurut pendekatan frekuensi relatif adalah jumlah seluruh frekuensi. Sedangkan subruang sampel adalah frekuensi terjadinya peristiwa tertentu.



Peristiwa dan probabilitas suatu peristiwa 1. Pengertian peristiwa Ruang sampel merupakan suatu kumpulan kejadian yang bersifat universal. Dari ruang sampel ini dapat dibagi menjadi beberapa subruang sampel yang mempunyai sifat-sifat tertentu. Sub ruang sampel yang mempunyai unsur-unsur yang memiliki sifat tertentu ini dapat disebut sebagai suatu peristiwa.



4.12



2.



Statistika Ekonomi 



Probabilitas suatu peristiwa Probabilitas suatu peristiwa yang biasanya diberi notasi P(..), yang dibaca probabilitas dari peristiwa … , dan misalnya peristiwa A terjadi sebanyak n kali dari m percobaan, maka



P A 



n m



TES FO RMA TIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dalam pelemparan sebuah koin, probabilitas diperolehnya permukaan gambar sebesar .... A. 1/2 B. 1/4 C. 2 D. 1 2) Dalam pelemparan dua buah koin, ruang sampelnya ada .... A. 2 B. 4 C. 1/2 D. 1/4 3) Dalam pelemparan 3 mata uang secara bersama-sama, probabilitas diperolehnya 2 gambar sebesar .... A. 1/8 B. 3/8 C. 1/4 D. 1/2 4) Probabilitas diperolehnya mata dua dalam pelemparan sebuah dadu sebesar .... A. 1/2 B. 1/6 C. 6 D. 1/2



 ESPA4123/MODUL 4



4.13



5) Pelemparan 2 buah dadu mempunyai ruang sampel sebanyak .... A. 6 B. 24 C. 36 D. 12 6) Dalam pelemparan 2 buah dadu, probabilitas munculnya jumlah mata kedua dadu sebanyak 10 adalah sebesar .... A. 10/36 B. 3/36 C. 4/36 D. 5/36 7) Dalam pelemparan 2 buah dadu, subruang sampel diperolehnya jumlah mata dari dua dadu sebanyak 8 adalah .... A. 8 B. 4 C. 5 D. 6 8) Berdasarkan pertanyaan nomor 7, maka probabilita terjadinya peristiwa, jumlah mata kedua dadu sebanyak 8, dari pelemparan dua buah dadu, sebesar .... A. 1/6 B. 1/2 C. 5/36 D. 6/36 9) Jika ditanyakan kepada seorang mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik berapa probabilitasnya dia akan lulus dalam mata kuliah tersebut? Maka jawabannya P(lulus) = 0,8. Maka probabilitasnya dia akan lulus dengan nilai A sebesar .... A. = O,8 B. > 0,8 C. < 0,8 D. 1 10) Probabilitas seorang laki-laki melahirkan seorang anak sebesar .... A. 1 B. 0 C. 1/2 D. 2



4.14



Statistika Ekonomi 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.15



 ESPA4123/MODUL 4



Kegiatan Belajar 2



Probabilitas Peristiwa Majemuk



S



etelah kita membahas tentang pengertian probabilitas, ruang sampel, dan subruang sampel, peristiwa, dan probabilitas suatu peristiwa, maka selanjutnya kita akan membahas tentang asas-asas untuk menghitung probabilitas. A. ASAS-ASAS MENGHITUNG PROBABILITAS Untuk membahas asas-asas menghitung probabilitas ini kita perlu selalu ingat tentang perumusan probabilitas yang sudah dibahas dalam Kegiatan Belajar 1, dalam pembahasan tersebut kita menganggap bahwa suatu peristiwa yang terjadi tidak mempunyai hubungan dengan peristiwa yang lain (disebut peristiwa sederhana). Namun, dalam kenyataan, suatu peristiwa yang terjadi biasanya mempunyai hubungan dengan peristiwa yang lain. Hubungan antara peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain tersebut antara lain. 1.



Peristiwa yang saling meniadakan/saling asing (Mutually Exclusive) Dua peristiwa dikatakan saling meniadakan atau saling asing apabila kedua peristiwa tidak dapat terjadi bersama-sama. Secara matematis dikatakan dua peristiwa A dan B saling meniadakan atau saling asing, apabila kedua peristiwa itu tidak memiliki unsur yang sama (peristiwa A dan B tidak ada). Dengan menggunakan diagram venn dapat dilukiskan sebagai berikut:



Gambar 4.3. Peristiwa yang Saling Meniadakan (Mutually Exclusive)



4.16



Statistika Ekonomi 



Apabila peristiwa A dan B saling meniadakan, maka peristiwa A tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan peristiwa B, artinya jika A terjadi maka B tidak akan terjadi dan sebaliknya. Secara matematis probabilitas terjadinya peristiwa A atau B dirumuskan sebagai berikut:



P  A atau B   P  A   P  B  P  A  B   P  A  P  B  Contoh: a. Pelemparan sebuah mata uang



P  G atau A  P  G   P  A  1 2 1 2 1



b.



Pelemparan sebuah dadu



P  ganjil atau genap   P  ganjil   P  genap 



=1 2  1 2 = 1 Apabila peristiwanya lebih dari 2, misalnya 3 maka tetap berlaku asas penjumlahan. Diagram venn atas tiga peristiwa tersebut dapat disajikan sebagai berikut:



Gambar 4.4. 3 Peristiwa yang Saling Meniadakan



 ESPA4123/MODUL 4



4.17



Secara matematis probabilitas 3 peristiwa yang saling meniadakan dirumuskan sebagai berikut:



P  A atau B atau C   P  A  P  B   P C  Atau dapat ditulis



P  A  B  C   P  A  P  B   P C  a.



b.



2.



Sebagai contoh penggunaan rumus di atas adalah sebagai berikut. Pelemparan sebuah dadu Peristiwa A adalah sisi dadu 2  P(A) = 1/6 Peristiwa B adalah sisi dadu 4  P(B) = 1/6 Peristiwa C adalah sisi dadu 6  P(C) = 1/6 P (genap) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 P (ganjil) = P(1) + P(3) + P(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 Kartu Bridge Peristiwa A adalah terpilihnya kartu AS  P(A) = 4/52 Peristiwa B adalah terpilihnya kartu yang bernilai 10  P(B) = 4/52 Peristiwa C adalah terpilihnya kartu dengan nilai di bawah 5  P(C) = 12/52 P( A atau B atau C ) = 4/52 + 4/52 + 12/62 =20/52 = 10/26



Peristiwa yang Tidak Saling Meniadakan Dua peristiwa dikatakan tidak saling asing atau tidak saling meniadakan, apabila peristiwa yang satu dapat terjadi bersama dengan peristiwa yang lain. Peristiwa yang tidak saling asing dapat digambarkan dalam diagram venn sebagai berikut:



4.18



Statistika Ekonomi 



Gambar 4.5. 2 Peristiwa yang tidak Saling Meniadakan



Daerah AB adalah daerah terjadinya peristiwa A dan B secara bersamasama atau boleh ditulis A  B . Probabilitas terjadinya dua peristiwa yang tidak saling meniadakan ini dapat dirumuskan sebagai berikut: P(A atau B) = P(A) + P (B) – P (A dan B) Atau dapat ditulis:



P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B) Dalam penjumlahan P(A) dan P(B) sebenarnya P(A dan B) dihitung 2 kali, maka harus dikurangi 1 kali. Sebagai contoh a. Karyawan sebuah perusahaan Tabel 4.2. Jumlah Karyawan di Sebuah Perusahaan Menurut Umur dan Jenis Kelamin



NAMA A B C D E



JENIS KELAMIN L L L P P



UMUR 30 40 32 45 20



Peristiwa A adalah terpilihnya karyawan laki-laki  P(A) = 3/5 Peristiwa B adalah terpilihnya karyawan berumur > 30 tahun  P(B) = 3/5



 ESPA4123/MODUL 4



4.19



P(A dan B) adalah terpilihnya karyawan laki-laki dan berumur > 30 tahun  P(A dan B) = 2/5  P(A atau B) = 3/5 + 3/5 – 2/5 = 4/5 b.



Pelemparan 2 dadu bersama-sama Peristiwa A = nilai dadu pertama adalah 1  P(A) = 6/36 Peristiwa B = nilai dadu kedua adalah 1  P(B) = 6/36 Peristiwa (A dan B) = nilai dadu 1 dan dadu 2 adalah 1  P(A dan B) = 1/36  P(A atau B) = 6/36 + 6/36 – 1/36 = 11/36



c.



Kartu bridge Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu, Peristiwa A adalah terambilnya kartu jantung  P(A) = 13/52 Peristiwa B adalah terambilnya kartu AS  P(B) = 4/52 P(A dan B) adalah terambilnya kartu AS Jantung  P(A dan B) = 1/52  P (A atau B) = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13



Apabila ada tiga peristiwa yang saling meniadakan, maka kita dapat menggambarkan diagram venn nya sebagai beriku.



Gambar 4.6. 3 Peristiwa yang Tidak Saling Asing



4.20



Statistika Ekonomi 



Dari gambar di atas dapat kita simpulkan bahwa peristiwa yang dapat terjadi, A; B; C; AB; AC; BC; dan ABC. Maka probabilitas terjadinya peristiwa A atau B atau C dapat dihitung dengan rumus berikut: P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Contoh penggunaan rumus di atas: Suatu populasi terdiri dari para pelanggan surat kabar, menunjukkan persentase langganan surat kabar A, B dan C A = 10% A dan B = 5% A dan B dan C = 3% B = 25% A dan C = 4 % C = 15% B dan C = 6 % 1) Probabilitas seorang pelanggan surat kabar berlangganan 1 dari 3 surat kabar tersebut: P( A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) 0,1 + 0,25 + 0,15 – 0,05 – 0,04 – 0,06 + 0,03 = 0,38 2) Probabilitas seorang pelanggan berlangganan surat kabar A atau C: P (A atau C) = P(A) + P(C) – P(AC) = 0,1 + 0,15 – 0,04 = 0,21 3.



Peristiwa yang Komplimen Apabila di dalam sebuah ruang sampel terdapat peristiwa A dan



 



peristiwa bukan A A , sedang peristiwa



 A



mengandung semua unsur



dalam ruang sampel kecuali peristiwa A maka dikatakan peristiwa



 A



merupakan peristiwa yang komplimenter bagi peristiwa A. Peristiwa A dan



 A



merupakan peristiwa yang eksklusif secara



bersama-sama. Gabungan antara A dan sampel.



 A



merupakan sebuah ruang



4.21



 ESPA4123/MODUL 4



Keadaan ini dapat digambarkan dalam suatu diagram Venn berikut:



Gambar 4.7. Peristiwa A dan Komplemennya



 A



Probabilitas peristiwa bukan A dirumuskan sebagai berikut



P  A   1  P  A



P  A atau A   P  A  P  A   1 Sebagai Contoh: Dalam satu set kartu bridge , peristiwa A adalah terambilnya kartu AS 4 P A  52 4 48 12 P A  1    52 52 13 4 48 52 P A  P A     1 52 52 52



4.



Peristiwa yang Independent Dua peristiwa dikatakan independent apabila peristiwa yang satu tidak mempengaruhi peristiwa yang lain. Artinya terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi peristiwa yang lain.



4.22



Statistika Ekonomi 



Probabilitas dari suatu peristiwa yang independen ini dapat dibedakan menjadi 3 macam, yaitu: a. Marginal Probability (probabilitas marginal) b. Joint probability (probabilitas gabungan) c. Conditional Probability (probabilitas bersyarat) Untuk lebih jelasnya dapat diuraikan sebagai berikut : Probabilitas marginal Probabilitas marginal atau probabilitas yang tidak bersyarat adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa yang lain a.



Contoh: Pada pelemparan sebuah mata uang (coin), probabilitas munculnya gambar, P(G) = 1/2 dan probabilitas munculnya sisi angka P(A) = 1/2  peristiwa gambar dan angka dengan probabilitas masing-masing 1/2 adalah probabilitas marginal b.



Probabilitas gabungan Probabilitas terjadinya dua peristiwa atau lebih yang terjadi secara bersama-sama atau secara berurutan merupakan perkalian dari probabilitas marginal masing-masing peristiwa. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut: P(A dan B) = P(A) × P(B) P(A dan B dan C) = P(A) × P(B) × P(C) P(A) = probabilitas marginal peristiwa A P(B) = probabilitas marginal peristiwa B P(C) = probabilitas marginal peristiwa C P(A dan B) = probabilitas terjadinya peristiwa A dan B secara bersamasama atau berurutan P(A dan B dan C) = probabilitas terjadinya peristiwa A dan B dan C secara bersama-sama atau secara berurutan Sebagai contoh: Pada pelemparan sebuah mata uang (koin) dua kali, peristiwa A adalah munculnya gambar pada pelemparan pertama, peristiwa B adalah munculnya gambar pada pelemparan kedua



 ESPA4123/MODUL 4



4.23



P(A) = 0,5 P(B) = 0,5  P(A dan B) = P(A) × P(B) = 0,5 × 0,5 = 0,25 Keadaan ini dapat dilukiskan dalam diagram pohon (tree diagram) berikut ini



Gambar 4.8. Diagram Pohon Pelemparan Sebuah Mata Uang 2 Kali



c.



Probabilitas bersyarat pada peristiwa yang independent Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa yang lain sudah terjadi. Sedangkan peristiwa independen adalah peristiwa yang tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Oleh karena itu, besarnya probabilitas bersyarat pada peristiwa independen adalah sama dengan probabilitas marginalnya dan dapat dirumuskan secara matematis sebagai berikut. P(B/A) = P(B) atau P(A/B) = P(A) P(B/A) = probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A sudah terjadi P(A/B) = probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa B sudah terjadi



4.24



Statistika Ekonomi 



Sebagai contoh: Dalam pelemparan sebuah mata uang (coin) sebanyak dua kali, peristiwa G1 adalah munculnya gambar pada lemparan pertama dan peristiwa G2 adalah munculnya gambar pada lemparan kedua maka probabilitas lemparan kedua muncul gambar dengan syarat lemparan pertama muncul gambar adalah sama dengan probabilitas munculnya gambar pada pelemparan sebuah mata uang (coin). Untuk lebih jelasnya dapat ditulis sebagai berikut: P(G2/G1) = P(G) = 1/2 5.



Peristiwa yang dependen Dua peristiwa dikatakan dependen adalah bila peristiwa yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peristiwa yang lain. Probabilitas pada peristiwa dependen ada 3 macam: marginal probability, joint probability, dan conditional probability. Pembahasan peristiwa yang dependen ini akan dimulai dari probabilitas bersyarat karena probabilitas yang lain dapat dijelaskan dengan lebih jelas apabila didasarkan pada probabilitas bersyarat. a.



Probabilitas bersyarat pada peristiwa yang dependen Dalam pembahasan ini dimulai dari probabilitas bersyarat karena probabilitas jenis ini dipergunakan dalam menghitung probabilitas jenis yang lain.



P A B  



P A, B 



P B, A



atau P B A  P B  P A



Untuk menjelaskan probabilitas bersyarat pada peristiwa yang dependen digunakan contoh: Sebuah kotak berisi 10 bola dengan rincian 3 bola merah bergaris 1 bola merah kotak-kotak 2 bola biru bergaris 4 bola biru kotak-kotak Dari data yang diketahui kita dapat menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa yang lain sudah terjadi



4.25



 ESPA4123/MODUL 4



3 3 P G M    10  4 4 P M  10 1 P K , M  1 10 P K M     4 4 P M  10 2 P G , B  2 P G B    10  6 P M  6 10 4 P K , B  4 P K B    10  6 6 P B  10 P G , M 



b.



Probabilita gabungan dari peristiwa yang dependen (joint probability) Rumus probabilitas gabungan diambil dari rumus probabilita bersyarat P A, B  P A B    P A, B   P A B   P B  P B 



P B , A P B A   P B , A  P B A  P A P A Dari contoh di atas diketahui bahwa: P K



M







1 4 dan P M   4 10



maka



1 4, 4 1 P K , M   P K M   P M    10 10 c.



Marginal probability dari peristiwa dependen Dihitung dengan menjumlahkan semua probabilita gabungan



3 1 4 P M   PGM   P KM     10 10 10



4.26



Statistika Ekonomi 



B. TEORI BAYES Teori bayes yang lebih dikenal dengan nama kaidah Bayes memainkan peranan penting dalam penggunaan probabilita bersyarat. Teori ini dikembangkan oleh Thomas Bayes pada tahun 1763. Apabila A1, A2, A3.......An merupakan suatu sekatan dari ruang sampel S dan apabila peristiwa A1, A2, A3.....An merupakan peristiwa yang lengkap terbatas (mutually exhaustive) dengan probabilitas ≠ 0, maka probabilitas Contoh: Dari suatu himpunan yang terdiri dari para pengusaha ekonomi lemah, 30% dari himpunan ini berusaha di sektor makanan, 25% minuman, 25% pakaian jadi dan 20% di sektor kerajinan. 50% dari pengusaha makanan, 30% pengusaha minuman, 10% pengusaha pakaian jadi dan 2% dari pengusaha kerajinan telah mengikuti penataran yang diselenggarakan oleh kanwil perdagangan DIY. Apabila kita memilih secara random anggota himpunan tersebut jumlah probabilitanya yang terpilih sudah mengikuti penataran yang diselenggarakan oleh kanwil perdagangan DIY. Apabila A adalah anggota himpunan pengusaha ekonomi lemah yang telah mengikuti penataran dan A1, A2, A3 dan An masing-masing merupakan peristiwa anggota yang terpilih adalah pengusaha makanan, minuman, pakaian jadi dan kerajinan maka (A1, A2, A3, A4) merupakan sekatan dari ruang sampel yang terdiri dari pasangan teratur objek (X,Y) dimana X merupakan idendifikasi jenis usaha sedangkan Y merupakan identifikasi sudah atau belum mengikuti penataran. Maka dapat dihitung probabilitanya



P A  P A P A A  P A P A A  P A P A A  P A P A A



 1 



1







 2 



2







 3 



3







 4 



4







P(A) = (0,30)(0,50) + (0,25)(0,30) + (0,25)(0,10) + (0,20)(0,02) = 0,254 Probabilitas anggota himpunan pengusaha ekonomi lemah yang sudah mengikuti penataran yang diselenggarakan oleh kanwil perdagangan DIY 0,254 Sesuai dengan rumus probabilita bersyarat maka kaidah bayes dapat pula dirumuskan sebagai berikut.



4.27



 ESPA4123/MODUL 4



P  Ak A 



 A  Ak  P  Ak   P  A  P  A P  A



Ak 



Apabila P(A) diganti dengan rumus di atas maka akan menjadi



P  Ak A 



P  Ak   P  A Ak 



 P  An   P  A A n 



Penggunaan rumus tersebut dapat diberikan contoh berikut. Peti A berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah, sedang peti B berisi 2 bola hijau, 1 bola merah, dan 2 bola kuning. Apabila kita memilih sebuah peti tersebut secara random dan selanjutnya dipilih sebuah bola secara random pula berapa, probabilitanya bola hijau yang terpilih? Jika A merupakan peristiwa terpilihnya bola hijau, sedang terpilihnya peti A dinyatakan degan A1 dan terpilihnya peti B dengan A2, maka



PA  PA



 1



 2



PA A 







1



PA A











1 2



3



 8



2



2



5



P  Ak A   



P  Ak   P  A Ak 



 P  An   P  A An  1 2  2 5 1 2  3 8  1 2  2 5



P  Ak A   16 31 C. HARAPAN MATEMATIS (MATHEMATICAL EXPECTATION) Apabila P1, P2, ....Pn merupakan probabilitas terjadinya peristiwa A1, A2, ... An yang merupakan peristiwa yang independen dan lengkap terbatas (exhaustive), maka jumlah seluruh harapan matematis dirumuskan dengan:



4.28



Statistika Ekonomi 



A = A1.P1 + A2.P2 + ...... + An.Pn Apabila seseorang memenangkan uang sebesar X1 bila terjadi A1, memenangkan uang sebesar X2 bila terjadi A2 dan memenangkan uang sebesar Xn bila terjadi An, maka harapan matematis untuk memperoleh kemenangan A(X) dirumuskan: A(X) = X1.P1 + X2.P2 + ...+ Xn.Pn = X.P Harapan matematis ini biasa digunakan dalam sistem perjudian dan asuransi. Contoh: Dari tabel mortalitas (mortality table) diketahui bahwa probabilitas seseorang yang berusia 35 tahun dapat hidup selama setahun = 0,992 sehingga probabilita mortalitanya = 1 – 0,992 = 0,008. Apabila perusahaan asuransi akan menjual polis asuransi senilai Rp1.000.000,00 pada seseorang yang berusia 35 tahun untuk jangka waktu 1 tahun dengan premi sebesar Rp10.000,00 berapa harapan keuntungan secara matematis dari perusahaan asuransi tersebut? Dari soal tersebut kita dapat membedakan 2 macam peristiwa a. Peristiwa meninggal dalam setahun: X1 = – (1.000.000 – 10.000) dengan P1 = 0,008 b. Peristiwa tetap hidup dalam setahun: X2 = + 10.000 Dengan P2 = 0,992 Maka harapan matematisnya dapat dihitung: A(X) = X1 . P1 + X2 . P2 = –990.000(0,008) + 10.000(0,992) = –7.920 + 9.920 = 2.000 Selama harapan matematis positif, perusahaan asuransi itu masih dapat melanjutkan usahanya.



 ESPA4123/MODUL 4



4.29



LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Dalam pelemparan 3 buah koin, hitunglah probabilitas munculnya 2 sisi gambar dan 1 sisi angka Petunjuk Jawab Latihan 1) Hitunglah jumlah seluruh kejadian, yang juga disebut ruang sampel. 2) Hitunglah jumlah kejadian munculnya 2 sisi gambar dan 1 sisi angka, yang disebut subruang sampel. 3) Hitunglah probabilitas munculnya 2 sisi gambar dan 1 sisi angka dengan membagi subruang sampel dengan ruang sampel. RA NGK UMA N Suatu peristiwa yang terjadi biasanya mempunyai hubungan dengan peristiwa yang lain. Hubungan antara peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain tersebut antara lain. 1. Peristiwa yang saling meniadakan/saling asing (mutually exclusive) Dua peristiwa dikatakan saling meniadakan atau saling asing apabila kedua peristiwa tidak dapat terjadi bersama-sama. Secara matematis dikatakan dua peristiwa A dan B saling meniadakan atau saling asing, apabila kedua peristiwa itu tidak memiliki unsur yang sama (peristiwa A dan B tidak ada). Secara matematis probabilitas terjadinya peristiwa A atau B dirumuskan sebagai berikut: P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A U B) = P(A) + P(B) Secara matematis probabilitas 3 peristiwa yang saling meniadakan dirumuskan sebagai berikut: P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) atau dapat ditulis



P  A  B  C   P  A  P  B   P C 



4.30



2.



Statistika Ekonomi 



Peristiwa yang tidak Saling Meniadakan Dua peristiwa dikatakan tidak saling asing atau tidak saling meniadakan, apabila peristiwa yang satu dapat terjadi bersama dengan peristiwa yang lain. Probabilitas terjadinya dua peristiwa yang tidak saling meniadakan ini dapat dirumuskan sebagai berikut: P(A atau B) = P(A) + P (B) – P (A dan B) atau dapat ditulis:



P  A  B  P  A  P  B   P  A  B 



Apabila ada tiga peristiwa yang saling meniadakan maka probabilitas terjadinya peristiwa A atau B atau C dapat dihitung dengan rumus berikut: P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)



3.



Peristiwa yang Komplimen Apabila di dalam sebuah ruang sampel terdapat peristiwa A dan



 



 



peristiwa bukan A A , sedang peristiwa bunan A A mengandung semua unsur dalam ruang sampel kecuali peristiwa A maka dikatakan peristiwa A merupakan peristiwa yang komplimenter bagi peristiwa A. Peristiwa A dan A merupakan peristiwa yang eksklusif secara bersama-sama. Maka gabungan antara A dan A merupakan sebuah ruang sampel. Probabilitas peristiwa bukan A dirumuskan sebagai berikut



P  A   1  P  A



P  A atau A   P  A  P  A   1 4.



Peristiwa yang Independen Dua peristiwa dikatakan independen apabila peristiwa yang satu tidak mempengaruhi peristiwa yang lain. Artinya terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi peristiwa yang lain. Probabilitas dari suatu peristiwa yang independen ini dapat dibedakan menjadi 3 macam, yaitu: probabilitas marginal (marginal probability), probabilitas gabungan (joint probability), dan probabilitas bersyarat (conditional probability). a. Probabilitas marginal Probabilitas marginal atau probabilitas yang tidak bersyarat adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa yang lain.



 ESPA4123/MODUL 4



4.31



Sebagai contoh: pada pelemparan sebuah koin, probabilitas munculnya gambar, P(G) = 1/2 dan probabilitas munculnya sisi angka P(A) = 1/2  peristiwa gambar dan angka dengan probabilitas masing-masing 1/2 adalah probabilitas marginal b.



c.



Probabilitas gabungan Probabilitas terjadinya dua peristiwa atau lebih yang terjadi secara bersama-sama atau secara berurutan merupakan perkalian dari probabilitas marginal masing-masing peristiwa. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut: P(A dan B) = P(A) × P(B) P(A dan B dan C) = P(A) × P(B) × P(C) P(A) = probabilitas marginal peristiwa A P(B) = probabilitas marginal peristiwa B P(A dan B) = probabilitas terjadinya peristiwa A dan B secara bersama-sama atau berurutan. P(A dan B dan C) = probabilitas terjadinya peristiwa A dan B dan C secara bersama-sama atau secara berurutan. Probabilita bersyarat pada peristiwa yang independen Probabilita bersyarat adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa yang lain sudah terjadi. Sedangkan Peristiwa independent adalah peristiwa yang tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Oleh karena itu Probabilitas bersyarat pada peristiwa independent adalah sama dengan probabilitas marginalnya, dan dapat dirumuskan secara matematis sebagai berikut P(B/A) = P(B) atau P(A/B) = P(A) P(B/A) = probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A harus terjadi P(A/B) = probabilitas peristiwa A dengan syarat peristiwa B harus terjadi



5.



Peristiwa yang Dependen Dua peristiwa dikatakan dependen adalah bila peristiwa yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peristiwa yang lain.



4.32



Statistika Ekonomi 



Probabilitas pada peristiwa dependen ada 3 macam: marginal probability, joint probability, dan conditional probability. a. Probabilita bersyarat pada peristiwa yang dependen Dalam pembahasan ini dimulai dari Probabilitas bersyarat, karena probabilitas jenis ini dipergunakan dalam menghitung probabilitas jenis yang lain. P A, B  P B, A atau P B A  P A B   P A P A b.



c.



Probabilita gabungan dari peristiwa yang dependen (joint Probability) Rumus probabilitas gabungan diambil dari rumus probabilita bersyarat P A, B  P A B    P A, B   P A B   P B  P B 



P B , A P B A   P B , A  P B A  P A P A Marginal probability dari peristiwa dependen Dihitung dengan menjumlahkan semua probabilita gabungan 3 1 4 P M   PGM   P KM     10 10 10



P  Ak A 



 A  Ak  P  Ak   P  A  P  A P  A



Ak 



Apabila P(A) diganti dengan rumus di atas, maka akan menjadi



P  Ak A 



P  Ak   P  A Ak 



 P  An   P  A A n 



 ESPA4123/MODUL 4



4.33



TES FO RMA TIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dari 400 orang mahasiswa baru, setelah diteliti 50 di antaranya perokok, dan di antara perokok tersebut 10 orang menghisap rokok kretek. Jika peristiwa A adalah terpilihnya mahasiswa yang tidak merokok, maka probabilitas seorang mahasiswa tidak merokok sebesar .... A. P(A) = 1/8 B. P(A) = 8 C. P(A) = 7/8 D. P(A) = 1/5 2) Dari data dalam soal nomor 1. Jika peristiwa B adalah terpilihnya mahasiswa yang menghisap bukan rokok keretek, maka P(B) sebesar .... A. P(B) = 5/40 B. P(B) = 1/40 C. P(B) = 1/10 D. P(B) = 1/5 3) Dari data dalam soal nomor 1, jika C adalah peristiwa terpilihnya seorang mahasiswa perokok maka P(C) sebesar .... A. P(C) = 1/8 B. P(C) = 1/5 C. P(C) = 1/40 D. P(C) = 1/10 4) Dalam pelemparan dua buah dadu secara bersama-sama maka jumlah seluruh kejadian yang dapat terjadi ada .... A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 5) Dalam pelemparan dua dadu secara bersama-sama, probabilitas munculnya dua dadu dengan mata yang sama sebesar .... A. 1/6 B. 4/36 C. 5/36 D. 1/36



4.34



Statistika Ekonomi 



6) Dalam pelemparan dua dadu secara bersama-sama, probabilitas munculnya jumlah mata dari kedua dadu sebesar 8 adalah .... A. 8/36 B. 5/36 C. 8/12 D. 6/36 7) Apabila kita mengambil sebuah kartu dari suatu set kartu bridge maka probabilitas kita memperoleh kartu AS sebesar .... A. 13/52 B. 4/52 C. 4/13 D. 1/2 8) Probabilitas kita memperoleh kartu diamond sebesar .... A. 1/2 B. 1/4 C. 1/13 D. 1/52 9) Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 4 bola biru, 5 bola hijau, dan 3 bola kuning. Jika diambil sebuah bola, probabilitasnya akan diperoleh bola berwarna merah sebesar .... A. 1/3 B. 4/18 C. 5/18 D. 1/6 10) Jika kita mengambil sebuah bola, ternyata diperoleh bola merah, tanpa mengembalikan bola tersebut diambil lagi sebuah bola, probabilitas terambilnya bola biru pada pengambilan yang kedua sebesar .... A. 5/18 B. 5/17 C. 4/17 D. 4/18 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



4.35



 ESPA4123/MODUL 4



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat dapat meneruskan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



Kegiatan Belajar 3



4.36



Statistika Ekonomi 



Distribusi Binomial dan Normal



D



alam Modul Pertama Anda sudah memahami arti distribusi frekuensi relatif yang bila digambar akan diperoleh sebuah grafik yang disebut Poligon. Distribusi relatif tersebut dihasilkan dari mengolah data hasil sebuah penelitian sampel. Untuk tujuan proses induksi diperlukan konsep yang lebih luas dibanding konsep distribusi relatif tersebut. Konsep yang lebih luas diberi istilah distribusi probabilitas. Sekadar mengingatkan saja; probabilitas adalah angka relatif jangka panjang. Apabila nilai probabilitas sebuah peristiwa adalah nilai variabel random X, dan variabel tersebut memiliki banyak kemungkinan untuk terjadi maka dengan cara apapun, apakah dengan cara membuat tabel ataupun dengan cara fungsi matematika maka hasilnya merupakan suatu “distribusi-probabilitas”. Jumlah nilai probabilitas dari semua kemungkinan hasil (peristiwa) harus sama dengan 1 (satu). Dalam hubungannya dengan “distribusi probabilitas”, masing-masing nilai probabilitas dapat dituliskan sebagai P  X  yang dapat menggambarkan adanya fungsi matematis. A. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT Bila variabel X diketahui sebagai “set diskrit” (himpunan bilangan bulat X k , masing-masing dengan probabilitas saja) dari nilai-nilai X1 , X 2 , X 3 , p1 , p2 , p3 , pk , di mana p1  p2  p3  pk  1; maka berarti kita telah mengetahui “distribusi probabilitas atas X “. Fungsi px yang secara berturutpk , untuk X  X1 , X 2 , X 3 , X k . Karena X turut adalah p1 , p2 , p3 , dapat dianggap sebagai nilai tertentu dengan probabilitas tertentu maka X sering disebut dengan “variabel acak diskrit”. Variabel acak sering juga disebut “variabel random”, variabel kesempatan “atau” “variabel stokastik”. Contoh 1: Misalnya dua buah dadu dilemparkan bersama-sama; dan misalnya X adalah “jumlah” biji yang keluar pada kedua dadu tersebut (yaitu: 1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, …, 6 + 6). Maka “distribusi probabilitas” dapat terlihat seperti pada tabel berikut ini. Tabel A



4.37



 ESPA4123/MODUL 4



X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



p(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36



Tabel A di atas diperoleh dari perhitungan pada Tabel B di bawah ini. Kemungkinan ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 – 15 16 – 21 22 – 26 27 – 30 31 – 33 34 35 36



Biji pada dadu 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4



5 6 6



Biji pada dadu 2 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1



6 5 6



Biji total (X)



Frekuensi



P(X)



2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 7 8 9 10 11 11 12



1 2



1/36 2/36



3



3/36



4



4/36



5 6 5 4 3 2



5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36



1 36



2/36 36/36=1



Perhatikan Tabel A di atas, probabilitas mendapatkan “jumlah biji” = 5 adalah 4/36 = 1/9. Jadi, apabila seseorang melakukan percobaan melempar sepasang dadu sebanyak 900 kali maka secara matematis kita bisa menghitung bahwa 1/9-nya adalah jumlah biji = 5, atau 100 kali lemparan



4.38



Statistika Ekonomi 



akan menghasilkan jumlah biji = 5. Sehingga “frekuensi relatif” = probabilitas = 1/9. Distribusi probabilitas ini mempunyai kesamaan dengan distribusi frekuensi relatif. Dengan demikian, apabila observasi sangat besar maka “distribusi probabilitas teori” atau “frekuensi distribusi relatif yang ideal akan tercapai. Dengan demikian, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa distribusi probabilitas” adalah distribusi “populasi”, sedang “distribusi frekuensi relatif “ adalah “sampel” yang ditarik dari “populasi” itu. B. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU Apabila hasil sebuah pengamatan atau penelitian kita beri simbol variabel X, nilai variabel ini adalah bilangan pecah (variabel diskrit) maka secara teoritis (atau apabila jumlah sampel sangat besar sehingga mendekati jumlah populasi), poligon dari frekuensi relatif dari sampel akan berbentuk kurva yang kontinu seperti terlihat pada gambar: “Luas area di bawah kurva itu yang dibatasi oleh alas sumbu x, akan sama dengan 1 (satu). Sedangkan “luas area” di bawah kurva yang dibatasi oleh garis X  a dan X  b (area yang diarsir) menggambarkan nilai probabilitas bahwa X berada di antara a dan b, atau dapat ditulis sebagai berikut: Pr  a  X  b



Fungsi p  X  sering disebut dengan probablilitv density function atau secara singkat sering disebut “fungsi density”. Apabila “fungsi density' diketahui maka berarti kita sudah mengetahui “distribusi probabilitas kontinu untuk X”. Sedang variabel X disebut variabel random kontinu. Seperti halnya



4.39



 ESPA4123/MODUL 4



juga dalam kasus diskrit, kita dapat juga mencari “distribusi probabilitas kumulatif” dengan menggunakan “fungsi distribusi density” ini. C. HARAPAN MATEMATIS Konsep harapan matematis menjelaskan perhitungan nilai rata-rata jangka panjang, yaitu nilai rata-rata yang hanya benar bila kejadian yang diamati berlangsung dalam jangka panjang. Bila p adalah probabilitas bahwa seseorang akan menerima uang sejumlah S, “harapan matematis” dapat didefinisikan sebagai p.s. Contoh 2: Apabila probabilitas (seseorang akan memenangkan undian berhadiah Rp1000.000,00) diketahui sebesar 1/10 maka “harapan matematisnya” adalah sebesar (1/10) (Rpl000.000,00) = Rp 100.000,00. Konsep “harapan matematis” atau sering disebut “Ekspektasi” atau ratarata, dengan mudah dapat diperluas. Bila X adalah “variabel random diskrit” X k , masing-masing dengan yang dapat dianggap bernilai X1 , X 2 , X 3 , nilai probabilitas p1 , p2 , p3 , , pk di mana p1  p2  p3  , pk  1. Maka “harapan matematis” dari X atau Ekspektasi X , E  X  adalah:



E  X   p1 X1  p2 X 2  K



  pj xj j 1



 pk X k



 pX



Bila probabilitas pj pada “ekspektasi” ini diganti dengan “frekuensi relatif”



 fX 



fj . Di mana N  N



 fj



maka “ekspektasi” berubah bentuk menjadi



yang tidak lain adalah nilai rata-rata hitung (arithmatic mean) X dari N X k , masing-masing memiliki frekuensi sampel N di mana X1 , X 2 , X 3 , fj akan mendekati N probabilitas pj . Jadi, kita dapat menganggap bahwa E(X) menggambarkan



relatif sendiri. Bila N semakin besar, frekuensi relatif



4.40



Statistika Ekonomi 



nilai “rata-rata” dari populasi, dari mana sampel berasal. Bila rata-rata sampel adalah “m” maka rata-rata populasi dapat disebut µ (miyu). D. DISTRIBUSI BINOMIAL DAN NORMAL Terdapat beberapa macam variabel diskrit random (acak). Hal yang paling sering dipakai adalah distribusi untuk variabel biner atau variabel yang memiliki dua kategori, misal nol atau satu, sukses atau gagal, laki-laki atau perempuan. Distribusi untuk data macam ini disebut distribusi binomial. Kita akan mempelajari bagaimana suatu rumus umum (rumus binomial) dapat dikembangkan sehingga diperoleh sebuah distribusi probabilitas. Kejadian binomial secara umum memiliki dua kategori yaitu “sukses” atau “gagal” Bila probabilitas kejadian sukses, Pr (sukses) =  maka Pr (gagal) 1    . Untuk pembicaraan yang lebih lanjut, sel kejadian sukses dan gagal adalah berasal dari percobaan sebanyak n kali yang bebas satu terhadap yang lain (independent). Di bawah ini disajikan tabel variabel binomial. Percobaan Melempar mata uang logam



Sukses burung



Gagal angka







Kelahiran bayi



perempuan



Lakilaki



Mendekati 1 2



Besarnya keluarga



Melempar 2 dadu



Jumlah 7 titik



Yang lain



6/36



n lemparan



1 2



n n lemparan



S Jumlah berapa kali burung menghadap atas Jumlah anak perempuan dalam keluarga Jumlah 7 titik yang didapat



 ESPA4123/MODUL 4



4.41



Sekarang kita mulai proses penurunan rumus sederhana untuk mendapatkan distribusi probabilitas (P(S)) dengan memakami “contoh” di bawah. Diberikan contoh pelemparan lima mata uang, yang secara teoritis kita harap hasilnya sebagai berikut:



Bila didapat 3 burung (dan 2 angka) maka peristiwa ini dikatakan sukses. Agar pembicaraan kita terpusat maka diambil peristiwa 3 burung sebagai kejadian sukses (yang kita kehendaki). Kita berusaha dari sini untuk melakukan generalisasi (menarik kesimpulan Secara umum). Peristiwa BBB AA memiliki probabilitas  . . 1   1      3 , 1    . 2



Secara umum untuk peristiwa 5 kali sukses dan  n  s  gagal, (3 sukses dan 2 gagal dari lima lemparan) dari n kali percobaan didapat nilai probabilitas   n 1   



ns



. Berapa kalikah peristiwa 3 burung mungkin terjadi dalam



4.42



Statistika Ekonomi 



seluruh kemungkinan (teoritis). Untuk menghitungnya dipakai rumus



 



kombinasi Csn . Dalam contoh di atas 3 C 5 



5! 5  4  3  2  1 120   10 3! 5  3! 3  2  1 2  1 12



Jadi, probabilitas terjadinya peristiwa 3 burung adalah Pr  s' = 3  = C 5 3 1    3



2



1 1 = 10 .     2 2 10 = 32



2



Secara Umum : pr  S   Csn x n 1   



ns



di mana: n = 1, 2, ………… n. 0! = 1 pendefinisi Sering 1    disingkat q dan  ditulis p. Contoh 3: Probabilitas untuk memperoleh sekurang-kurangnya 2 gambar burung dari 6 kali lemparan sebuah mata uang adalah:  62 



2



1  1 6 C2   . 1   2  2







6!



 2!.4! . 



 



1 2 1 4 2 2







15 . 64



Contoh 4: Distribusi probabilitas diskrit seperti dinyatakan dalam rumus di atas sering disebut “distribusi binomial” atau “distribusi Bernouli” (penemu distribusi ini adalah James Bernouli). Distribusi binomial untuk x  1, 2, , N berkaitan dengan “perkalian binomial” yaitu:



q



 P  qN  N



N C1 q



N 1



p



N C2



q



N 2



p2



 pN



4.43



 ESPA4123/MODUL 4



di mana:



bilangan-bilangan: 1,



N C1 , N C2 , N C3 ,



1 disebut koefisien



Binomial. Contoh 5:



 q  p 4  q 4  4 C1 q3 p  4C3qp3  p 4  q 4  4q3 p  6q 2 p 2  4 gp3  p 4



Berikut ini adalah dengan Distribusi Binomial: 1. Rata-rata (Mean):   nP 2.



Variance:  2  Np  q



3.



Standard deviasi (simpangan baku):   Np  q



4.



Koefisien momen pada kemencengan:  3 



5.



Koefisien momen pada kurtosis:  4  3 



q p Np  q



1  6 pq Npq



Contoh 6: Dani 100 kali lemparan sebuah koin (mata uang) rata-rata jumlah “burung” (B) yang muncul adalah: µ  Np  100 1 2  50 Angka ini merupakan jumlah “ekspektasi” (nilai yang diharapkan) dari hasil B (burung) apabila koin dilemparkan 100 kali. Standard deviasinya (simpangan baku) adalah:  1  1    Npq  100     5  2  2  1.



Distribusi Normal Umum (Distribusi Gauss) Apabila variasi x dianggap sebagai suatu himpunan bilangan kontinu, atau apabila x adalah himpunan bilangan diskrit, dan jumlah anggota sampel (cuplikan) cukup besar, maka secara teoritis poligon dari frekuensi relatif sampel akan berbentuk kurva kontinu berupa bentuk lonceng simetri, dengan simbol matematis p  x  , yang juga merupakan distribusi probabilitas. Apabila p  x  secara eksplisit diberi fungsi; p  x 



1



 2



e



1   2



 x      



2



4.44



e







Statistika Ekonomi 



adalah tetapan = 2,72 adalah tetapan = 3,14



Maka distribusi (probabilitas) ini dinamakan distribusi normal umum. Distribusi ini akan berbentuk “Bel” (lonceng) yang simetris. Apabila dari suatu populasi yang diketahui nilai µ dan a nya kita ambil satu sampel maka probabilitas terjadinya sampel tersebut terambil dapat dihitung dengan mengambil nilai integral fungsi di atas. Pemakaian fungsi di atas untuk menghitung nilai probabilitas kurang praktis sehingga perlu dibakukan dan dibuatkan nilai integralnya untuk setiap kemungkinan harga x yang dicari, sehingga diperoleh tabel yang sangat praktis. 2.



Distribusi Normal Baku Bila variabel x random, kita transformasikan ke variabel z random,  xµ dengan rumus z    dan kemudian nilai z kita gantikan ke dalam    fungsi distribusi normal umum maka didapat distribusi normal baku sebagai: p z 



Tetapan



1



 2 1



2



1   z 2 e 2



adalah faktor perubah skala yang diperlukan agar total area



adalah seluas 1. Distribusi normal baku memiliki nilai rata-rata nol dan simpangan baku 1 atau wring ditulis (N; (0,1))



Distribusi normal baku N (0,1)



4.45



 ESPA4123/MODUL 4



Secara grafis, maka proses transformasi di atas dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.



Distribusi Normal Baku



Terlihat bahwa bagaimanapun bentuk distribusi yang dinyatakan dengan variabel random x (= distribusi normal umum), setelah dikonfirmasikan, diperoleh satu bentuk distribusi yang baku. Oleh karenanya dua distribusi baku dapat diperbandingkan luas area di bawah kurva normal (baku) merupakan nilai probabilitas untuk berbagai kejadian yang dinyatakan ke dalam nilai z terlebih dahulu, yang dicari untuk menghitung luas area di bawah kurva normal yang diperlukan juga proses integral yang kurang praktis. Untuk mengatasinya telah dibuat tabel luas kurva normal, yang disajikan di bagian belakang modul. Karena bentuk kurva normal simetris maka tabelnya disajikan untuk setengah bangun, yang luasnya 50%. Nilai rata-rata z = 0 merupakan garis pemisah ke dua bagian luas kurva. Cara membaca tabel. Anda diharuskan membaca tabel di belakang. Angka-angka yang disajikan di kolom paling kini merupakan nilai z yang ingin dicari probabilitasnya. Angka yang disajikan hanya satu digit di depan koma dan satu digit di belakang koma. Angka-angka yang disajikan di kolom-kolom berikutnya merupakan angka kenaikan nilai z, digit keduanya, yang ingin dicari luasnya.



4.46



Z



Statistika Ekonomi 



1



2



3



4…



0,0 0,1 0,2 . . . 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 Bila kedua angka digabung menunjukkan nilai z dalam bentuk dua angka di belakang koma. Dalam gambar diberi contoh untuk nilai z = 0,21. Angkaangka yang terdapat di “tubuh” Label merupakan luas (kumulatif) kurva yang dibatasi oleh dua nilai z. Secara implisit z = 0,00 merupakan satu batas dan nilai z yang terdapat di kolom paling kini dan baris paling atas merupakan batas yang kedua. Hubungan antara kurva normal dengan tabelnya juga terlihat pada gambar di atas. Luas kurva yang dibatasi oleh z = 0,00 dan z = 0,21 adalah bagian yang terarsir. Pada Label di belakang luas tersebut adalah 8,32 %. Contoh 7: Nilai rata-rata dan simpangan baku dari sebuah ujian tercatat sebesar 74 dan 12. Hitunglah nilai ujian dalam satuan baku bila dia memperoleh angka a) 65 b) 74 c) 86 d) 92. Penyelesaian: 1) z (nilai ujian dalam satuan baku) = 2) 3) 4)



74  74 z 0 12 86  74 z  1, 0 12 92  74 z  1,5 12



x











65  74  0,75 12



4.47



 ESPA4123/MODUL 4



Contoh 8: Dengan data dan contoh nomor 1, hitunglah nilai ujian seorang mahasiswa yang terdapat nilai dalam satuan baku sebesar: a) –1 b) 0,5 c) 1,25 d) 1,75. Penyelesaian: x  74 1) 1  atau = –12 + 74 = 64 12 x  74 2) 0,5  atau x = 6 + 74 = 80 12 x  74 3) 1, 25  atau x = 15 + 74 = 89 12 x  74 4) 1, 75  atau x = 21 + 74 = 95 12 Contoh 9: Cari luas kurva normal baku yang dibatasi oleh: a) z = 1,63 b) z = –0,75 c) z = –2,08 Penyelesaian: 1) Carilah pada kolom paling kiri angka 1,6 dan tarik garis ke kanan hingga di dapat kolom ke 3. Diperoleh angka 0,4484 atau 44,84%. 2) Karena simetri maka z = –0,75 sama dengan z = 0,75. Pada tabel diperoleh angka 0,2734 atau 27,34%. 3) z – 2,08 = Z + 2,08 pada tabel diperoleh angka 0,4812 atau 48,12%. Contoh 10: Carilah besarnya probabilitas terjadinya x bila: 1)  0  x  1, 42 5)  1,79  x  0,54 2) 3) 4)



 0,73  x  0  1,37  x  .2,01  1,37  x  1, 26



6) 7)



 x  1,13  x  0,5



Penyelesaian: Mencari nilai probabilitas adalah sama dengan mencari luas kurva normal baku yang dibatasi oleh dua nilai z yang diketahui.



4.48



1)



Statistika Ekonomi 



pr  0  x  1, 42 adalah sama dengan luas kurva normal baku antara z = 0 dan z = 1,42



Dari tabel pr  0  x  1, 42  0, 4222. 2)



pr  0,73  x  0 dalam grafik,



Dari tabel pr  0,73  x  0  0, 2673. 3)



pr  1,37  x  2,01 dalam grafik,



4.49



 ESPA4123/MODUL 4



pr  1,37  x  2, 01  pr  1,37  x  0   pr  0  x  2, 01  0, 4147  0, 4778  0,8925.



4)



pr  0,65  x  1, 26  pr  0  x  1, 26  pr  0  x  0,65 = 0,3962 – 0,2422 = 0,1540



5)



pr  1,79  x  0,54  pr  0,54  x  1,79  pr  0  x  1, 79   pr  0  x  0,59   0, 4633  0, 2054  0, 2579



6)



pr  x  1,13  pr  x  0  pr  0  x  1,13 = 0,5000 – 0,3708 = 0,1292



4.50



Statistika Ekonomi 



z 7)



pr  x  0,5  pr  0,5  x  0,5  2  pr  0  x  0,5   2  (0,1915)  0,3830



Contoh 11: Bila y adalah variabel acak dalam distribusi normal baku maka carilah nilai z atas peristiwa berikut ini: 1) pr  0  y  z   0, 4236 2)



pr  y  z   0,7967



3)



pr  z  y  2  0,1000



Penyelesaian: Pada soal macam ini luas kurva diketahui, Anda diminta mendapatkan batas nilai z nya: 1) Dari tabel carilah angka 0,4236 di dalam tubuh tabel, bacalah angka pada kolom yang paling kiri yang sejajar angka 0,4236 dan angka pada kolom di atas angka mi. Dani ke dua pembacaan di dapat 1,43 Dalam Gambar.



z?



4.51



 ESPA4123/MODUL 4



2)



pr  y  z   0,7967 bila digambar;



z?



Karena luas yang diketahui lebih besar dari 0,500 dan peristiwa y d iri z = 0 maka Bata z pastilah angka positif. Pr  0  y  z   pr  y  z   0,5000  0, 7967  0,5000  0, 2967



Dari tabel didapat z = 0,83. 3)



pr  z  y  2  0,1000 dalam gambar



Dari tabel kita dapat mencari luas antara z = 0 sampai z = 2. pr  0  x  2  0, 4772. Dari pertanyaan diketahui luas yang diarsir = 0,1000. Jadi, luas antara z = 0 sampai z = z adalah = 0,4772 – 0,1000 = 0,3772. Da1am tubuh tabel angka 0,3772 terletak di antara 0,3770 dan 0,3790. Untuk mencari nilai z = pakailah angka yang selisihnya terkecil (dapat juga dilakukan interpolasi linier, untuk angka 0,3770 memiliki z = 1,16 dan untuk 0,3790 memiliki z = 1,117; selisih z = 0,01; selisih luas = 0,0020; selisih lokasi = 0,3772 – 0,3770 = 0,000 2, jadi z 



0, 0002  0, 01  1,16  1,16) , jadi z = 1,16. 0, 0020



4.52



Statistika Ekonomi 



Contoh 12: Misal suhu rata-rata kota Malang berdistribusi normal dengan rata-rata 20°C dan simpangan bakunya 3,33°C. Berapa probabilitas bahwa suatu hari suhu akan berada di antara 21,11°C dan 26,66°C. Penyelesaian: Di ubah dulu data kita ke dalam unit bakunya. 21,11  20 21,11°C dalam unit baku =  0,33 3,33 26,66  20 26,66°C dalam unit baku =  2, 00 3,33 pr  21,11  suhu.  26,66 dalam gambar;



Dalam unit baku  pr  0,33  z  2  pr  0  z  2   pr  0  z  0,33   0, 4772  0,1293  0,3479



Jadi, probabilitas bahwa suatu hari suhu Kota Malang adalah antara 21,11°C dan 26,66°C adalah 34,79%. 3.



Beberapa Catatan dalam Pemakaian Tabel Luas Kurva Normal Baku Pertama, dalam contoh di atas kita pakai angka kontinu. Maksud angka kontinu adalah angka yang tepi dan batas angkanya adalah sama. Untuk angka diskrit tempat tepi dan atas angkanya berbeda maka diperlukan sebuah koreksi, yaitu koreksi (untuk menjadi) angka kontinu atau singkatnya koreksi kontinuitas.



4.53



 ESPA4123/MODUL 4



60,5 61,5



Pada gambar; untuk angka 61 kita punya dua batas angka yaitu 60,5 dan 6 Apabila dikehendaki mencari luas kurva normal yang dibatasi oleh 61 ke atas maka koreksi kontinuitas menghendaki angka 60,5 sebagai batasnya atau x   60,5  x pr  x  61  pr   Sd Sebagai pegangan untuk mencari batas angka diskrit, ambillah setengah dari tepi angka, baik setengah ke bawah atau setengah ke atas, misal; angkaangka diskrit: 0,1; 0,2; 0,3; dan seterusnya maka batas angka 0,1 adalah 0,05 (batas bawah) atau, 0,15 (batas atas). Contoh lain: angka-angka yang dimiliki 127; 128; 129; dan seterusnya maka batas angka 127 adalah 126,5 dan 127,5. Kedua, sering tabel kurva normal baku disajikan sebagai;



atau luas yang disajikan adalah luas kumulatif “lebih besar atau sama dengan”. Hati- hatilah! Ketiga, untuk jumlah anggota cuplikan yang kecil, kurva distribusi normal kurang tepat sebagai pendekatan untuk distribusi sampel kita. Untuk mengatasi hal di atas seorang ahli statistik yang menyamar dengan nama “t”



4.54



Statistika Ekonomi 



(Student “t”) melakukan berbagai percobaan yang hasilnya distribusi “t” lebih mendekati distribusi sampel kita. Di bagian belakang modul ini disajikan tabel distribusi (normal) t. Untuk memakainya perlu dicari lebih dulu derajat kebebasan distribusi kita, yang dihitung dengan rumus (n - 1) dan kita tentukan luasnya juga. Distribusi t juga simetris, sehingga disajikan dalam tabel hanya setengah bentuk distribusinya saja. Contoh 13: Diketahui n = 10 dan luasnya 95% carilah nilai t batasnya:



Penyelesaian: Nilai t batas luas 95%, sisanya 5% di sisi kiri dan kanan, masing-masing 2,5% atau disingkat t 0,025 = t? Dalam tabel distribusi t, t 0,025 = 2,262 dengan derajat kebebasan 9. Contoh 14 Carilah nilai t batas untuk n = 25 dan 90 Penyelesaian: Sisa luas adalah (100% – 90%) = 10% ada di sisi kini dan kanan, masingmasing 5% = 0,05, atau disingkat t batas = t0,05 = 1,711 dengan derajat kebebasan 24. Dani tabel terlihat untuk n t adalah z atau distribusi t = distribusi z.



4.55



 ESPA4123/MODUL 4



LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tentukan distribusi probabilitas anak laki-laki (L) dan anak perempuan (P) di dalam sebuah keluarga yang memiliki 3 anak, dengan anggapan probabilitas anak laki-laki (L) sama dengan probabilitas anak perempuan (P). 2) Bila seseorang membeli undian berhadiah dengan hadiah I sebesar Rp1000.000,00; hadiah II sebesar Rp500.000,00 dan hadiah ke III sebesar Rp250.000,00 Apabila probabilitas untuk memenangkan hadiah I, hadiah II dan hadiah III berturut-turut adalah: 0,001, 0,003, dan 0,005. Berapakah harga yang pantas (fair) bagi undian itu? 3) Tentukan nilai a. E (X) b. E (X2), dan c. E (X-X)2 Apabila diketahui probabilitas berikut ini X P(X)



8 1/8



12 1/6



16 3/8



20 1/4



24 1/12



4) Bila y adalah variabel random di dalam distribusi normal baku maka carilah: a. pr  4,5  y  6,5 di mana µy  5 dan  y  3 b.



pr  y  800 di mana µy  500 dan  y  200 (hati-hati tanda GW atau GP < GW. Hipotesis alternatif yang dipilih dalam suatu penelitian akan menentukan jenis uji hipotesisnya, dapat berupa uji dua sisi (bila, Ha : GP  GW) atau uji satu sisi (bila, Ha : GP < GW atau Ha : GP > GW ).



7.3



 ESPA4123/MODUL 7



Contoh 1: Dari suatu perusahaan biro perjalanan diambil cuplikan sebanyak 52 karyawan pria dan wanita secara tak gayut (independent). Data cuplikan adalah sebagai berikut: Tabel 7.1. Data Gaji Pria dan Wanita suatu Biro Perpajakan



Karyawan Pria (X 1.000) GP = (X1) 12 11 19 16 22   80



Karyawan Wanita (X 1.000) GW = (X2) 9 12 8 10 16   55



X 1  16



X 1  11



Hasil cuplikan ini, bila cuplikannya tak bias akan menggunakan estimasi yang kasar tentang gaji rata-rata seluruh karyawan biro perjalanan tersebut, yaitu  1 dan  2 . Kenyataan ini menimbulkan dua pendapat (hipotesis). Dengan simbol B = 1   2 , para suami berpendapat B = 0 sedangkan para istri berpendapat bahwa ada perbedaan gaji antara pria dan wanita. Dari data di atas kita hitung dugaan rentang kita dengan memakai 95% derajat kepercayaannya.



 1   2     X1  X 2   t0,025 Sp  16  11  2,16



1 1  n1 n2



153 1 1  13 10 5



 5  2,16(1,87)  5  4, 0 Kita hitung nilai dugaan rentang perbedaan gaji pegawai wanita sebesar antara 1 sampai dengan 9 ribu. Dengan demikian pendapat bahwa   0



7.4



Statistika Ekonomi 



telah dapat dibenarkan karena terletak di luar nilai dugaan rentangnya. Secara umum setiap hipotesis yang terletak di luar nilai dugaan rentangnya dapat dikatakan “tidak dapat dibenarkan” atau ditolak, sebaliknya setiap hipotesis yang terletak di dalam nilai dugaan rentangnya dikatakan “dapat dibenarkan” atau diterima. Dengan kata lain nilai dugaan rentang dapat diperlakukan sebagai himpunan hipotesis yang dapat dibenarkan. Karena nilai dugaan rentang kita memakai derajat kepercayaan 95%, maka uji hipotesis kita otomatis juga memakai derajat kepercayaan 95%. Secara formula dikatakan bahwa hipotesis   0 ditolak dengan derajat kepercayaan 95% Contoh 2: Andaikata penelitian di atas menghasilkan data   5  8 atau nilai dugaan rentang terletak antara –3 sampai dengan 13 maka hipotesis   0 dapat dibenarkan. Dari sini dapat disimpulkan bahwa perbedaan gaji antara karyawan pria dan wanita secara statistik tidak meyakinkan (Statistically Indiscernible) pada derajat kepercayaan 95%. Kata “perbedaannya secara statistik meyakinkan/tidak meyakinkan sering disalahartikan. Pada umumnya pengertian “perbedaannya tidak meyakinkan” diartikan tidak penting (bisa abaikan) Misalnya: Syarat untuk mendapatkan kesempatan belajar di suatu Perguruan Tinggi adalah calon mahasiswa di atas 35 tahun tidak bisa diterima. Apabila ada calon mahasiswa berumur 35 + 5 hari, maka tambahan umur 5 hari dapat diabaikan (tidak ada perbedaan). Padahal yang dimaksud perbedaannya secara statistik meyakinkan “menyatakan bahwa dari data yang dikumpulkan secara sampling sudah memenuhi syarat kecukupan untuk menyatakan ada perbedaannya dan tidak menunjukkan bahwa perbedaannya bisa diabaikan. Bila kita buat ringkasannya, bila nilai dugaan rentang sudah dihitung, maka secara langsung uji hipotesis bisa dilakukan tanpa melakukan perhitungan yang lain. UJI HIPOTESIS KLASIK (SATU SISI) Andaikata kita hendak menguji sebuah hipotesis pada masalah tabung televisi di mana diketahui  = 1.200 jam dan  = 300 jam, secara klasik maka hal-hal yang dilakukan adalah:



7.5



 ESPA4123/MODUL 7



1.



Menyusun Hipotesis secara Formal hipotesis nol :  = 1.200 hipotesis alternatif :  < 1.200



2.



Menyatakan Kriteria Penerimaan/Penolakan Hipotesis Untuk hal ini kita menganggap bahwa, H 0 adalah benar dan distribusi



populasi kita adalah normal. Bila distribusi populasi adalah normal maka distribusi sampel yang diambil darinya juga normal. Cara yang lain adalah menganggap sampel (cuplikan) kita adalah random dan tak gayut dan juga kita percaya bahwa Central Limit Theorem berlaku. Dengan demikian distribusi sampel kita adalah normal (mendekati). Langkah berikutnya adalah membekukan nilai rata-rata sampel kita dengan rumus







X 







sehingga tabel kurva – kurva normal dapat kita manfaatkan.



n Bila kita tetapkan derajat kepercayaan kita sebesar 95% maka kita bisa menyatakan kriteria penerimaan hipotesis nol.



Daerah Penerimaan Ho



Daerah Penolakan Ho Z kritis



Luas = 5% Z observasi



0



Z



X observasi = 1265 1200 =  = Ho



Xkritis = 1249



Apabila z observasi terletak di daerah penolakan H 0 , maka H 0 ditolak (dan H a diterima) dan sebaliknya bila observasi terletak di daerah penerimaan H 0 maka H 0 diterima (dan H a ditolak). Masalah berikutnya adalah menentukan batas kedua daerah tersebut.



7.6



Statistika Ekonomi 



Karena derajat kepercayaan sudah kita tetapkan, yaitu 95% maka dengan melihat tabel luas kurva normal baku diperoleh z batas/kritis = 1,64. Dengan demikian kriteria penerimaan/penolakan secara kuantitatif dapat dinyatakan sebagai berikut: H 0 ditolak bila z observasi > 1,69 dan H 0 diterima bila z observasi  1,64 3.



Menghitung z Observasi Z observasi  



X observasi  o



 n 1.265  1.200 300 / 100



 2,167



di mana, o = nilai rata-rata hipotesis nol 4.



Mengambil Kesimpulan Uji z observasi (2,167) lebih besar dari z kritis sehingga H 0 ditolak ( H a



diterima) 5.



Menarik Kesimpulan Karena H 0 ditolak maka dari uji statistik ini dapat ditarik kesimpulan



bahwa proses baru dalam pembuatan tabung televisi menghasilkan rata-rata umur yang lebih lama dibanding dengan cara lama, dengan derajat kepercayaan 95%. Cara lain dalam melakukan uji hipotesis ini adalah dengan memakai nilai X (bukan z) Untuk hal ini yang diubah adalah penentuan nilai X batas/kritis. Kita tahu bahwa dengan derajat kepercayaan 95% satu sisi kita z = 1,64 sehingga X Kritis  o Z  1, 64 30 X Kritis  1.200   1, 64 30 X Kritis  1.200  1, 64 (30)



 1.249



 ESPA4123/MODUL 7



7.7



Kriteria penerimaan H 0 akan berbunyi :



H 0 ditolak bila observasi > 1249 dan Ho diterima bila X observasi  1.249 Kesimpulannya; X observasi adalah 1265 > 1249, dengan demikian kesimpulan kita tidak berbeda dari cara yang pertama. Contoh 1: Ujilah sekali lagi masalah tabung televisi ini dengan memakai derajat kepercayaan 98,5%. Penyelesaian: zKritis  2,17 (lihat tabel di mana luas kurva normal sisi paling kanan = 0,015) Kriteria Penerimaan/penolakan hipotesis nol : ho diterima bila zobservasi  2,17 dan diterima bila zobservasi  2,17.



Zobservasi  2,167  2,17 Ternyata zobservasi tepat di titik zKritis . Keputusan uji hipotesis: H 0 diterima karena zobservasi



ada di daerah



penerimaan H 0 . Catatan :



Pada kedua kasus di atas di mana derajat kepercayaan dipilih 95% ditolak dan pada 98,5% H 0 diterima tepat di titik kritis (batas penerimaan dan penolakan).



Pada derajat kepercayaan 98,5 kita memiliki  = 1,5%. Angka 1,5% diberi nama “Nilai Prob” yaitu besarnya probabilitas bahwa angka rata-rata sampel adalah sebesar yang kita peroleh  X  1.265 jam  dengan anggapan H 0 benar. Disajikan gambar berikut ini untuk lebih menjelaskan “ H 0 benar” maka dibaca distribusi frekuensi yang memiliki   1200 .



7.8



Statistika Ekonomi 



Distribusi frekwensi Dimana H0 benar



Distribusi Frekwensi dimana Ha benar



Prob Value = 1,5%



X



 = 1200



X = 1265



Dari gambar di atas terlihat bahwa nilai rata-rata sampel X  1.265 (yang merupakan nilai rata-rata umur tabung televisi proses baru dengan distribusi frekuensi yang di gambar dengan garis patah-patah) memiliki probabilitas 1,5% adalah diambil dari distribusi frekuensi yang memiliki   1200 (= Hipotesa nol besar). “Nilai Probabilitas” dapat, juga dipakai untuk melakukan Uji hipotesis. Hipotesis nol ditolak jika dan hanya jika “nilai probabilitas” lebih kecil atau sama dengan  . Menghitung “Nilai Probabilitas”: “Nilai Prob” = Pr ( X  angka rata-rata observasi). X dan angka ratarata observasi masing-masing dibakukan didapat:



 X  o 1265  1200   Pr    300 100   n  Pr  z  2,17  0, 015  1,5% Bila ditentukan bahwa  = 5% maka dengan Nilai prob = 1,5% hipotesis nol ( = 1200) tidak dapat dibenarkan (= ditolak). Untuk menguji hipotesis-hipotesis yang lain seperti kasus sampel kecil, beda dua rata-rata kasus sampel berbeda dan kasus sampel sama, proporsi, beda dua proporsi dapat dikerjakan dengan mengganti beberapa variabel di dalam menghitung z observasi di mana,



zobservasi 



X obs  







n



 ESPA4123/MODUL 7



7.9



Penggantian ini juga berlaku bila kita mencari “nilai Prob” sebuah sampel. Pada dasarnya X hendaknya diganti dengan variabel hasil sampling dan  0 diganti dengan Parameter populasi yang dinyatakan sebagai hipotesis nol. Langkah-langkah lain di dalam Uji hipotesis tidak diubah. Untuk sampel kecil dipakai distribusi “t” sehingga : X obs  o dengan catatan t kritis didapat dengan memakai tobservasi   n tabel luas kurva distribusi t dengan derajat kepercayaan  n  1 Untuk beda dua rata-rata sampel besar dipakai:



z



 X 1 obs  X 2 obs    o1  o2   S1 n1  S2 n2 



Bila 1 dan  2 tidak diketahui maka didekati dengan S1 dan S2 dengan catatan bahwa distribusi yang berlaku adalah distribusi “t” (meskipun sampelnya besar),



t obsevasi 



 X 1 obs  X 2 obs    o1  o2   S1 n1  S2 n 2 



dengan catatan t kritisnya didapat dengan mempergunakan derajat kebebasan  n1 1   n2  1 Untuk menguji hipotesis tentang proporsi sampel besar harus dipakai



zobservasi 



Pobservasi   o



 o (1   o ) n



H 0 adalah proporsi populasi yang diajukan sebagai hipotesis nol. Untuk menguji hipotesis tentang beda dua proporsi (sampel besar) dipakai :



7.10



Statistika Ekonomi 



zobservasi 



( P1 obs  P2 obs )  ( o1   o2)



1 (1  1 )  2 (1   2 ) n1







n2



Contoh 2: Suatu pabrik tahu memiliki standar produksi 85% produksinya adalah baik (15% rusak) . Suatu hari kepala bagian produksi memperoleh data bahwa kerusakan hari itu adalah 20%. Ujilah apakah hal di atas bersifat random atau benar-benar kerusakan tersebut bersifat permanen (= perlu perbaikan mesin). Angka 20% diperoleh dari sampel sebesar: (pakai  = 5%) a. 10 b. 250 c. 2500 Penyelesaian: a. 1) Hipotesis H 0  0,15



H a  0,15



2)



Hipotesis ini memasalahkan apakah produksi hari ini disebabkan oleh kerusakan permanen (untuk seterusnya)?. Bila jawabannya Ya, maka proporsi kerusakan 20% adalah permanen, dengan kata lain adalah hipotesis alternatif benar. Kemungkinan yang lain kerusakan 20% bersifat sementara (= merupakan hal yang acak) jadi hipotesis nol yang besar. Dengan sampel 10, maka derajat kebebasan adalah 10 – 1 = 9 Dan tabel t9,0,05 didapat tkritis 1.8883.



t Ho Daerah Penerimaan Ho



1,833 Daerah Penolakan Ho



7.11



 ESPA4123/MODUL 7



Ho diterima bila tobservasi  1,833 Ho ditolak bila tobservasi  1.883 3)



Menghitung tobservasi :



tobservasi 



4) 5)



b.



0, 20  0,15 0,15(0,85) 10







0, 05  0, 492 0,113



Karena tobservasi berada di dalam daerah penerimaan maka H 0 diterima. Kesimpulan; Produksi bulan ini mempunyai tingkat kesalahan sebesar 0,20 hanyalah merupakan hal yang acak (= bersifat sementara). Jadi perbaikan terhadap mesin tidak diperlukan.



Untuk hal ini yang perlu diubah adalah kriteria penerimaan/penolakan hipotesis. Dengan sampel sebesar 250 diperoleh z0,05  1, 645.



Daerah Penerimaan Ho



Daerah Penolakan Ho



z Z kritis = 1,645



H 0 diterima bila zobservasi  1,645 H 0 ditolak bila zobservasi  1,645



zobservasi 



0, 20  0,15 0,15(0,85) 250







0, 05  2, 222 0, 0225



Kesimpulan uji; karena zobservasi berada di daerah penolakan H 0 , maka



H 0 ditolak.



7.12



Statistika Ekonomi 



Kesimpulan umum; kerusakan produksi tahu sebesar 20% adalah permanen dengan demikian diperlukan reparasi mesin tahu sehingga standar pabrik dapat dicapai kembali. c.



Dengan sampel sebesar 2500 maka zobservasi sebesar 7,0 (Anda diminta menghitungnya sendiri) zkritis adalah 1,645.



Catatan : Dari hasil latihan ini sebuah hipotesis bisa diterima atau ditolak tergantung dari besarnya n (= jumlah sampel). LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Bila 3    13 , dapat disimpulkan bahwa perbedaan gaji seluruh karyawan pria dengan wanita adalah nol, sedangkan perbedaan gaji sebesar 5 dari hasil cuplikan hanyalah merupakan fluktuasi random saja. 2) Dari 3    13 , dapat disimpulkan bahwa perbedaan gaji seluruh karyawan pria dengan wanita mungkin memiliki angka negatif dan positif dengan kata lain kita bisa menyatakan apabila gaji pria secara rata-rata lebih baik atau lebih buruk dari gaji wanita. 3) Dari   5  8 kita lihat bahwa kesalahan cuplikannya sebesar 8 adalah lebih besar dari nilai duga titiknya (= 5) Dalam hal ini dapat dikatakan (bila kesalahan cuplikan lebih besar dari nilai duga titiknya) bahwa perbedaan gaji rata-rata selaku karyawan pria dengan wanita secara statistik tidak meyakinkan 4) Sebuah pabrik mobil menyatakan bahwa dengan memakai mesin yang lebih besar kapasitas ruang bakarnya akan diperoleh konsumsi rata-rata per galon bensin yang lebih tinggi (lebih irit) Untuk membuktikannya dipakai lima buah mobil dengan mesin yang bisa diganti. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan mesin 1000 cc diperoleh konsumsi rata-rata 170 km/gallon dengan simpangan baku 15,36/galon. Sedangkan dengan mesin jenis 1.200 cc diperoleh konsumsi rata-rata 179 km/galon dengan simpangan baku 14,71 km/galon. a. Buatlah hipotesis nol dan alternatifnya.



7.13



 ESPA4123/MODUL 7



b. c.



Buatlah kriteria penerimaan/penolakan H 0 dengan  = 5% Hitunglah tobservasi nya



d. Ambillah kesimpulan uji dengan membandingkan butir b dan c. e. Buatlah kesimpulan umum atau pernyataan pabrik mobil tersebut. 5) a. Hitunglah “Nilai Prob” untuk beda rata-rata konsumsi bensin per galon b. Lakukan uji hipotesis atas persoalan di atas dengan membandingkan Nilai Prob dengan  = 5%. c. Kesimpulan apa yang dapat diambil bila kita bandingkan dengan cara uji di atas ? Petunjuk Jawaban Latihan 1 – 3) 4) a.



Semua pernyataan di atas dapat dibenarkan. Pada umumnya dengan isi silinder yang lebih besar diharapkan konsumsi rata-ratanya per galon bahan bakar juga mengecil (lebih boros) atau paling baik sama. Maka hipotesis nolnya adalah: H 0 :  B   K  0 , B = besar, K = kecil akan tetapi yang diperlukan adalah titik batasnya yaitu :  B   K  0 , sehingga



H0 :  B   K  0 Ha :  B   K  0 b.



tkritis  t  0,05 ;8  1,806



Daerah Penerimaan Ho



t=0



H 0 diterima bila tobservasi  1,806 dan H 0 ditolak bila tobservasi  1,806



Daerah Penolakan Ho



1,806



7.14



Statistika Ekonomi 



tobservasi 







( X oB  X oK )  (  B   K ) SB S  K nB nK



179  170   0 15,36 5  14, 71 5







4  0, 665 6, 014



c.



Kesimpulan uji H 0 diterima



d.



Dengan sampel sebesar 5 dan  = 5% kita belum bisa membenarkan pernyataan pabrik mobil tersebut. Bila  B   K diberi simbol B



5) a.



Pr  B  X OB  X OK



B    Pr SB







B K



  174  170  0



S  K n n  Pr  z  0, 665   0, 2546



6, 014



 24,56



b. c.



Artinya angka beda rata-rata konsumsi bahan bakar sebesar 4 memiliki probabilitas 25,46% adalah berasal dari populasi yang memiliki beda rata-rata konsumsi bahan bakar = 0. Dengan  = 5% berdasarkan perjanjian di depan, maka H 0 diterima. Uji hipotesis dengan cara klasik maupun dengan memakai Nilai Prob, menghasilkan kesimpulan yang sama. Keunggulan memakai Nilai Prob yaitu kita tahu seberapa besar kemungkinan sampel kita berasal dari distribusi yang memiliki parameter o ( H 0 adalah benar). R A NG KU M AN



Uji hipotesis secara langsung dapat dilakukan bila sudah dihitung nilai dugaan rentangnya, dengan berpedoman bahwa nilai dugaan rentang adalah himpunan hipotesis yang dapat dilakukan. Untuk menyusun hipotesis kita letakkan hipotesis nol terlebih dahulu dengan mengingat para ahli hukum di pengadilan dalam melaksanakan tugasnya.



 ESPA4123/MODUL 7



7.15



Untuk menguji hipotesis secara klasik diperlukan lima langkah. Pelajari baik-baik lima langkah ini. Pada langkah pertama kesulitan yang sering dihadapi adalah menyusun hipotesis alternatifnya. Kesulitan tersebut diungkapkan dalam pertanyaan mengapa Ha = a > … atau b < … Hal lain juga sering menjadi masalah adalah menyatukan jenis ujinya, apakah beda dua rata-rata (proporsi) dari dua sampel (cuplikan) atau perbedaan suatu populasi, dinyatakan dengan o atau o, dengan populasi yang lain, yang dinyatakan dengan a atau a. Pada tahap kedua yang sering menjadi problem adalah menentukan distribusi yang sesuai dengan masalahnya (distribusi t atau z yang akan dipakai). Tahap-tahap selanjutnya bersifat mekanis, yaitu membandingkan dua angka mana yang lebih besar, bila z obs > z kritis, maka H0 ditolak. Hal yang sering dilupakan dalam menguji hipotesis, dan merupakan hal yang pokok yaitu mencari jawab atas pertanyaan apakah “sampel” kita berasal dari distribusi yang dinyatakan oleh H 0 atau berasal dari distribusi yang dinyatakan oleh Ha. Lebih tepat lagi mencari berapa besar probabilitas sampel kita berasal dari distribusi H 0 . Kelemahan Uji hipotesis klasik yaitu ketergantungan pada besarnya sampel dan penentuan  yang bersifat mekanis. TES F OR M AT IF 1 Untuk soal nomor 1 dan 2 jawablah pertanyaan di bawah ini. 1) Perusahaan Teh Kotak merencanakan mengganti disain kartonnya. Untuk hal ini dilakukan penelitian dengan mempergunakan karton disain lama dan yang baru. Bagian pemasaran perusahaan tersebut memilih 2500 keluarga secara acak sebagai objek penelitian. Setiap keluarga menerima dua karton dengan ciri TEH KOTAK A (lama) dan B (baru). Dari penelitian diperoleh data sebagai berikut : 850 keluarga mengakui TEH KOTAK “A” lebih bagus, 1220 keluarga mengakui Teh Kotak “B” dan sisanya 450 keluarga menyatakan keduanya sama saja. Ujilah pernyataan bagian pemasaran yang menyatakan bahwa disain yang baru lebih baik. Petunjuk : Pakailah Nilai Dugaan Rentang beda dua proporsi sebagai himpunan hipotesis yang dapat dibenarkan. Pakailah derajat kepercayaan 95%. 2) Perusahaan yang sudah memproduksi jutaan Tabung Televisi menghitung rata-rata lama lampu pijar seluruh barang yang diproduksi



7.16



Statistika Ekonomi 



dan tanda simpangan bakunya. Angka yang didapat  = 1200 jam dan  = 300 jam. Sebuah mesin dengan sistem baru sedang dicobajalankan. Dari mesin baru ini diambil sampel sebesar 100 buah dan diteliti ratarata dari lampu pijarnya, X = 1265. Apakah sistem baru tersebut dalam jangka panjang akan menghasilkan rata-rata lama pijar (umur) tabung lebih besar dari cara yang lama, yaitu  = 1200 jam. Ujilah pernyataan ”Sistem baru akan menghasilkan rata-rata lampu pijar yang relatif lama dibanding yang baru”. a.  B   A , dengan  = 1% b. c. d.



 B   A , dengan  = 5%  B   A , dengan  = 10%  B   A , dengan  = 20%



Untuk soal nomor 3 – 9 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 3) Sebuah majalah merencanakan mengganti kulit mukanya dengan desain yang lebih populer. Bagian perencanaan mengharapkan bahwa rata-rata tingkat penjualan majalahnya akan meningkat  S  . Hipotesis yang cocok untuk masalah ini adalah; ( S L = rata-rata tingkat penjualan sebelum perubahan dan S S adalah tingkat penjualan sesudah perubahan



SL  SS  S ) A. H 0 = Δ S = 0 H0 = Δ S  0 B.



H0 = Δ S > 0 Ha = Δ S > 0



C.



H0 = Δ S = 0 Ha = Δ S > 0



D.



Ha = Δ S = 0 Ha = Δ S  0



4) Rata-rata tingkat penjualan majalah tersebut selama 5 tahun terakhir ini adalah S = 5000 eksemplar per hari. Selama seminggu beredar dengan wajah baru ternyata rata-rata per hari dicapai sebesar S = 5.800 eksemplar, dengan simpangan baku sebesar 1000 eksemplar perhari. “t” kritis untuk hal di atas dengan  = 55 adalah ….



 ESPA4123/MODUL 7



A. B. C. D.



7.17



2,447 1,943 1,96 1,833



5) Hipotesis penerimaan/penolakan berbunyi …. A. H 0 diterima dan ditolak pada kisaran tobservasi  1.943 B. H 0 ditolak pada kisaran tobservasi  1.943 dan diterima bila



tobservasi  1.943 C. H 0 diterima bila tobservasi  1.943 dan ditolak bila tobservasi  1.943 D. H 0 diterima bila tobservasi  1.943 dan ditolak bila tobservasi  1.943 6)



tobservasi dari data soal no 2 sebesar …. A. 2,117 B. 1,97 C. 3,06 D. 2,06



7) Kesimpulan uji setelah membandingkan hasil soal no.3 dengan no.4 adalah …. A. H 0 ditolak, sehingga H a diterima B.



H 0 ditolak dan H a ditolak



C. H 0 diterima dan H a ditolak D. soal tersebut tidak dapat dibandingkan 8) Nilai Probabilitas atas data soal no.2 adalah …. A. 5% B. di atas 5% C. di bawah 5% tetapi di atas 2,5% D. di bawah 2,5% 9) Bila  = 5% dengan Nilai prob seperti pada soal no 6, maka keputusan uji seperti pada soal no.1 adalah …. A. H 0 ditolak, sehingga H a ditolak C.



H 0 ditolak dan H a diterima H 0 diterima dan H a ditolak



D.



H 0 dan H a dapat diterima semua



B.



7.18



Statistika Ekonomi 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar  100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



7.19



 ESPA4123/MODUL 7



Kegiatan Belajar 2



Uji Hipotesis Klasik Dua Sisi dan Uji Hipotesis Lanjut ada kegiatan belajar yang baru lalu kita memakai hipotesis nol = a > … atau a < … Pemilihan hipotesis semacam ini mempunyai konsekuensi terhadap kriteria penerimaan dan penolakan H 0 . Bila dipakai a > … maka daerah



P



Penerimaan H 0 akan digambarkan dengan :



Daerah



Penerimaan Ho



Daerah Penolakan Ho



5% 0



tkritis



t



Bila dipakai a < … maka daerah penerimaan H 0 akan digambarkan dengan:



Daerah Penolakan Ho



Daerah Penerimaan Ho



5%



- t kritis



0



t



Secara singkat uji hipotesis macam ini disebut uji hipotesis satu sisi. Hipotesis seperti di atas dibuat karena peneliti sudah memiliki informasi (sebelum melakukan penelitian) yang mana informasi tersebut mampu meyakinkan peneliti sehingga dibuat hipotesis ini. Misal dalam contoh tabung televisi di depan sang manajer produksi yakin bahwa proses baru akan menghasilkan tabung dengan umur yang lebih lama. Keyakinan ini dapat



7.20



Statistika Ekonomi 



disebutkan adanya informasi tentang teknologi baru yang lebih baik dibanding yang lama. Dapat pula sang manajer tidak yakin apakah proses baru akan menghasilkan produk dengan umur yang lebih lama dibandingkan produk dari teknologi yang sudah ada. Hal semacam ini menyebabkan hipotesis kita adalah sebagai berikut: Ho : o = 1200 jam (misalnya) Ha : a  1200 jam Konsekuensi pemilihan hipotesis alternatif macam ini adalah pada kriteria penerimaan/penolakan H 0 yang bila digambarkan adalah sebagai berikut:



Daerah penolakan Ho



Daerah Penerimaan Ho



Daerah Penolakan Ho



2,5%



2,5%



-z kritis



o



z kritis



Kriteria penerimaan/penolakan H 0 berbunyi :



H 0 ditolak bila zobservasi  zkritis atau bila zobservasi   zkritis . H 0 diterima bila :  zkritis  zobservasi  zkritis . Contoh 1: Sebuah biro perjalanan menyatakan bahwa rata-rata pendapatan penduduk di Kabupaten “AB” adalah Rp15.000,00/bulan dan simpangan bakunya sebesar Rp2.000,00 /bulan. Sebuah pusat pertokoan baru hendak didirikan di kabupaten tersebut. Untuk hal tersebut dibutuhkan data rata-rata pendapatan penduduk di sekitar lokasi. Setelah dilakukan penelitian dengan sampel sebesar 15 orang didapat data bahwa rata-rata pendapatannya sebesar Rp14.000,00. Ujilah kebenaran pendapat Biro Penelitian tersebut dengan memakai  = 5%.



7.21



 ESPA4123/MODUL 7



Penjelasan: Dalam kasus di atas kita tidak memiliki informasi yang menyebabkan kita yakin bahwa pendapatan penduduk kabupaten “AB”naik atau turun. Oleh karena itu, kita susun hipotesis sebagai berikut : H 0 : 0  15.000 H a : a  15.000



Dengan sampel 15 orang, maka distribusi tkritis pakai :



tkritis  t  0,025;14  2,145



Ho ditolak bila tobservasi  2,145 atau bila tobservasi  2,145 Ho diterima bila 2,145  tobs  2,145



Daerah Penolakan Ho



-2,145



Daerah Penerimaan Ho



0



Daerah Penolakan Ho



2,145



Perhitungan tobservasi



tobservasi 



X obs  0







n 14000  15000 1000    1,936 2000 516, 4 15 Karena tobservasi berada di daerah penerimaan H 0 maka hipotesis nol diterima. Jadi pendapat biro penelitian masih dapat dibenarkan.



7.22



Statistika Ekonomi 



Contoh 2 : Apabila dalam penelitian tentang rata-rata pendapatan penduduk di atas dipakai sampel sebanyak 200 orang, maka ujilah sekali lagi biro penelitian itu. Penyelesaian: Dengan n  200 sudah cukup untuk membenarkan dipakainya kurva normal. Zkritis  1,96   5% Kriteria penerimaan /penolakan H 0



H 0 diterima bila 1,96  zobs  1,96 H 0 ditolak bila zobservasi  1,96 atau bila zobservasi  1,96



zobservasi 



X observasi   0







n 14000  15000 1000    7, 072 2000 144, 4 200 Kesimpulan; karena zobservasi lebih kecil dibanding –1,96 maka H 0 ditolak. Kesimpulan Umum; karena H 0 ditolak maka Ha jadi pendapat bahwa rata-rata pendapatan penduduk di kabupaten “AB” adalah 15000 rupiah adalah tidak benar. Catatan: Sekali lagi Anda mendapat pengalaman bahwa memperbesar sampel maka H 0 dapat berubah statusnya. Untuk menguji beda dua rata-rata, proporsi beda dua proporsi dan lainlain, maka hal-hal yang harus diubah pada uji satu sisi juga berlaku di sini(di samping membagi dua  nya). Untuk menghitung nilai prob, guna menguji hipotesis dua sisi pada dengan dasarnya dilakukan dengan mengalikan dua nilai prob yang terhitung dengan uji hipotesis satu sisi.



7.23



 ESPA4123/MODUL 7



Contoh: Kembali ke problem tabung televisi, kita sudah mempunyai nilai Prob = 1,5% Hitunglah Nilai Prob bila hipotesis alternatifnya adalah a  1200. Penyelesaian : untuk mengetahui seberapa jauh (letak) X  1265 terhadap o = 1200 diambil harga mutlaknya X obs   dan 1265  1200











Pr X obs  o   1265  1200      X obs  0   1265  1200 Pr     300   n   100  Pr  z  2,17   2 Pr ( z  2,17)



    



 2 (0, 015)  0, 03 Selanjutnya bila ditetapkan  = 5% maka H 0 tidak dapat dibenarkan (ditolak). Dari pengalaman Anda melakukan uji hipotesis klasik baik satu sisi maupun dua sisi ternyata cara uji ini memiliki kelemahannya yaitu (mekanistis). Yang paling sering dipakai adalah  = 5%. Kedua , hasil uji tergantung pada besarnya sampel. Semakin besar sampel, semakin besar nilai t atau z observasinya, semakin mudah menolak H 0 . Berkaitan dengan pemilihan  yang mekanistis tersebut, maka keputusan/kesimpulan yang ditarik juga akan bersifat mekanistis. Implikasi yang lebih dalam lagi yaitu bila hasil uji klasik mengatakan H 0 diterima padahal secara teknologi proses baru diharapkan akan lebih menjelaskan. Pada masalah rencana pendirian pusat pertokoan diperlukan informasi tentang pendapatan rata-rata penduduk kabupaten “AB” guna menentukan apakah prospek pusat pertokoan cukup baik sehingga layak didirikan. Apabila dari pengalaman yang tingkat pendapatan Rp 15.000,00 /bulan dipandang sebagai titik yang minimum untuk memutuskan “prospek” yang baik, maka dari pengalaman Anda melakukan uji hipotesis dengan jalan n yang berbeda dapat dikemukakan hal berikut : Bila setelah didirikan (karena H 0 diterima) ternyata pembeli yang datang ke pusat pertokoan adalah di bawah yang diperkirakan (= ha benar, yaitu distribusi pendapatan penduduk di kabupaten AB adalah di bawah Rp15.000,00/bulan) sehingga pusat pertokoan tersebut rugi dan mungkin



7.24



Statistika Ekonomi 



tutup usaha. Hal ini diakibatkan kita meneliti pendapat rata-rata penduduk di kabupaten AB hanya memakai 15 orang sebagai sampel (sehingga H 0 diterima padahal dengan n = 200 H 0 ditolak, seharusnya pusat pertokoan tersebut tidak layak didirikan sehingga kesalahan pengambilan keputusan tidak perlu terjadi. Pada Kegiatan Belajar 2 sudah disinggung tentang kemungkinan kita membuat kesalahan pada waktu hipotesis dinyatakan diterima/ditolak. Besarnya kemungkinan kita putuskan menolak H 0 padahal H 0 adalah benar sebesar  (tingkat pengujian). Dalam praktek kita tentukan terlebih dahulu, misal 5%. Artinya peneliti bersedia menerima kesalahan ini sebesar 5% atau 1 kesalahan dalam 20 kali pengujian untuk masalah yang sama. Kemungkinan kesalahan yang lain yaitu kita putuskan menerima H 0 adalah



H 0 dalam kenyataannya salah. Besarnya kesalahan jenis ini adalah sebesar . Tipe-tipe kesalahan seperti di atas dan fungsi  akan dijelaskan di bawah ini: A. KESALAHAN TIPE I DAN TIPE II Seperti diuraikan di atas pada waktu kita membuat keputusan untuk menerima/menolak suatu hipotesis, sebetulnya juga kiat mengambil suatu risiko. Risiko tersebut adalah menolak H 0 padahal H 0 benar atau menerima



H 0 padahal H 0 salah. Di bawah ini disajikan tabel yang memuat kemungkinan yang dapat terjadi pada waktu dilakukan uji hipotesis. Tabel 7.1. Kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi pada waktu melakukan uji hipotesa. Keputusan Ho diterima Kenyataan Bila Ho adalah benar Bila Ho adalah salah



Keputusan yang benar Probabilitas = 1 -  = Derajat kepercayaan Kesalahan tipe II Probabilitas = 



Ho ditolak a c



Kesalahan tipe I b Probabilitas =  = tingkat pengujian Keputusan yang benar d Probabilitas = 1 -  = ketangguhan uji



7.25



 ESPA4123/MODUL 7



Tabel 7.1 dapat dijelaskan dengan gambar dan keterangan-keterangan di bawah ini. Data-data tentang tabung televisi dipakai sebagai contoh. Secara umum dari sebuah distribusi frekuensi yang memiliki o sebagai nilai tengah rata-rata populasi, maka di kiri kanan o terdapat angka-angka yang memiliki nilai probabilitas tertentu bila diberikan batasnya.



=5%



o = 1200



X



kritis =



1249



Misal pada gambar di atas dengan anggapan H 0 benar (dengan



 0  1200 dan simpangan baku 300) bila ditetapkan X kritis  1249, maka akan memiliki probabilitas sebesar 5% atau . Penetapan besarnya  melahirkan kriteria penerimaan/penolakan H 0 dengan anggapan H 0 benar. Seorang peneliti dihadapkan pada pilihan keputusan menerima atau menolak H 0 setelah dia memperoleh nilai-nilai sampel. Kita tahu bahwa nilai sebuah sampel X  1265 misalnya dapat berasal dari populasi dengan  0  1200 atau berasal dari populasi lain dengan



 a  1240 (lihat gambar di bawah ini)



Daerah Penerimaan Ho



Daerah Penolakan Ho



Distribusi probabilita Bila Ho benar



Distribusi probabilita dimana Ha benar  o=1200



a= 1240



X = 1265



7.26



Statistika Ekonomi 



Oleh karena hal di atas seseorang peneliti pada waktu membuat keputusan menerima/menolak H 0 dapat berbuat kesalahan yaitu menolak



H 0 (menerima Ha) akan tetapi H 0 benar. Kata “Ho benar” diketahui kemudian setelah proyek berjalan. Kesalahan jenis ini dinamakan kesalahan tipe I dengan besarnya kemungkinan  = tingkat pengujian. Pikirkanlah seseorang yang menolak calon menantu yang “baik” hanya karena beda suku. Sebaliknya juga oleh karena hal di atas (lihat gambar) seorang peneliti pada waktu membuat keputusan menerima/menolak H dapat berbuat kesalahan yang lain yaitu menerima H 0 padahal H 0 salah (otomatis Ha benar). Kesalahan jenis ini dinamakan kesalahan tipe II =  Dalam kehidupan pengadilan kesalahan tipe II dianalogikan dengan kesalahan para hakim yang menghakimi si benar (tipe I) atau membebaskan si salah (tipe II). B. MEMPERKECIL  DAN  Apabila Anda menginginkan memperkecil  dengan tujuan memperbesar kemungkinan H 0 diterima (daerah penerimaan H 0 ). Sudah benarkah tindakan ini? Jawabannya belum, karena memperkecil , dalam contoh di atas ingin memperkecil kemungkinan si benar dihukum, otomatis memperbesar kemungkinan membebaskan si salah. Dengan gambar di bawah, maka hal tersebut diharapkan menjadi lebih jelas. Dearah Penerimaan Ho



Daerah Penolakan Ho



Bila Ho benar



Bila Ha benar 1







7.27



 ESPA4123/MODUL 7



X kritis



1 = 2 Bila Ho benar



Bila Ha benar 2



2



Dari ke-2 gambar di atas maka dengan memperkecil dari 1 menjadi 2 maka 2 pun menjadi lebih besar dari 1. Kita tidak bisa menekan sampai titik nol. Yaitu membuat yakin 100% bahwa keputusan kita adalah benar tanpa menaikkan  menjadi 100% (membebaskan semua orang yang diajukan ke pengadilan). Satu-satunya jalan untuk memperkecil  dan juga  adalah dengan memperbanyak sampel hingga distribusi frekuensi kita menjadi lebih “runcing”. C. FUNGSI  DAN FUNGSI KETANGGUHAN UJI Tiba saatnya kita hitung besarnya  untuk sebuah uji hipotesis dengan  yang tertentu. Contoh: Kita pakai data tentang tabung televisi di depan,  0  1200 dengan  = 5%  300  dan simpangan baku sampel sebesar   maka kita memiliki  100  X kritis  1249. Andaikan sampel kita X  1265 adalah berasal dari distribusi  a  1240 , hitunglah.



Penyelesaian:  adalah besaran probabilitas menerima H 0 padahal yang benar adalah H a atau  = luas daerah yang terarsir garis mendatar.



7.28



Statistika Ekonomi 



Bila Ho benar



Bila Ha benar 



o = 1200



a = 1240 X kritis = 1249



 X  1249



  Pr



   X  a 1249  1240   Pr   300    n 100     Pr  z  0,30   0, 62 Seperti contoh di atas dapat juga kita hitung berbagai nilai  dengan memakai berbagai hipotesis alternatif sekaligus. Contoh 2: Hitung  bila kita ubah hipotesis menjadi: a.  a  1280 atau b.



a  1320



Ingat sampel kita adalah satu X  1265 Penyelesaian; seperti kita lakukan di atas kita hitung  a.











  Pr X  1249     X  a 1249  1280  Pr    300    n 100   Pr  z  1.03  0,15



b.



 Pr( X  1249)



7.29



 ESPA4123/MODUL 7



   X  a 1249  1320   Pr    300    n 100    Pr  z  2,37   0, 009 Ketiga situasi di atas bila digambar maka didapat gambar berikut ini.:



Daerah Penerimaan Ho



Daerah Penolakan Ho



 = 0,009  = 0,62



 o=1200



 = 0,15 a =1240



a=1240



a=1280



a=1320



 = 5%



Kita dapat pula mengajukan hipotesis alternatif sebagai a > 1200. Jadi setiap a lebih besar dari angka ini kita pakai untuk menghitung . Hasil perhitungan disajikan dalam tabel berikut ini. Tabel 7.2. Berbagai Nilai b pada Berbagai Kemungkinan Hipotesis Alternatif. ( = 5%)



Kemungkinan nilai (a ) 1320 1280 1290 1202 1201 Limit (1200)



Prob menerima H 0 Secara salah () 0,9% 15% 62% 94,2% 94,6% (95,0%)



Prob Menolak H 0 secara benar. Ketangguhan uji (1 - ) 99,1% 85% 38% 5,8% 5,4% (5,0%)



7.30



Statistika Ekonomi 



Catatan : Angka limit yang dipakai di baris terakhir diberi tanda kurung sebagai tanda “perhatian”. Di sini kita tepat berada di a = 1200 di mana H 0 adalah benar, dan angka 95,0% di kolom dua menyatakan probabilitas menerima H 0 , di mana Ho adalah benar. Dari tabel di atas, pada kolom terakhir kita dapatkan nilai (1 – ) yang menyatakan ketangguhan uji, atau probabilitas menolak H 0 di mana H 0 adalah salah (suatu keputusan yang benar, maka dari itu probabilitasnya menyatakan ketangguhan uji). Pada baris dan kolom terakhir nilai (1 – ) adalah 5% atau sama dengan a yang kita pilih. Semakin jauh nilai a terhadap o, ketangguhan uji kita semakin tinggi (mendekati 100%) Keyakinan bahwa o adalah bukan populasi dari nilai sampel kita berasal semakin besar. Tabel di atas bila di gambar, maka didapat sebuah liku  dan sebuah liku ketangguhan uji.



Secara teori sebuah liku tentunya memiliki persamaan matematisnya (fungsi). Liku  memiliki fungsi  dan liku (1 – ) memiliki fungsi (1 – ). Fungsi ini tidak dibicarakan di tingkat penalaran statistik dasar. Salah satu kegunaan liku (1 – ) adalah untuk menilai baik buruknya sampel yang kita peroleh. Bila liku (1 – ) yang didapat semakin cepat mendekati 100%, maka sampel kita semakin baik lihat (garis putus-putus).



 ESPA4123/MODUL 7



7.31



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Sebuah kelompok mahasiswa KKN menerima laporan tentang cara “KB” yang populer yaitu 67% dan yang lainnya 33%. Kurang populernya cara KB yang lain diduga akibat kurangnya penerangan yang disampaikan kepada penduduk setempat.. Setelah diadakan penerangan oleh kelompok mahasiswa tersebut angka di atas berubah menjadi 60% menyukai karet KB dan 40% cara yang lain. Ujilah pendapat kelompok mahasiswa tersebut dengan  = 5% dengan cara klasik dan carilah Nilai Probnya (2 sisi) 1) Buatlah hipotesisnya, dengan kelompok mahasiswa sebagai H a . 2) Buatlah kriteria penerimaan dan penolakan H 0 dengan terlebih dahulu mencari zkritis 3) Buatlah zobservasi dengan catatan setelah diadakan penerangan, diadakan 4) 5) 6) 7)



penelitian lagi dengan memakai 100 orang sebagai cuplikan Buatlah kesimpulannya Buatlah kesimpulan tentang ”cara KB yang populer” Hitunglah Nilai Probnya. Seorang operator Radar bertugas untuk mendekati kapal terbang musuh. Bila ada sesuatu kejadian yang tidak rutin terlihat di layar, maka dia memutuskan satu di antara dua kemungkinan. H 0 = segala sesuatunya berjalan baik, ada kejadian kecil mengganggu layar. H a = kapal terbang musuh menyerang. Bila diputuskan H 0 benar dia tidak perlu membunyikan tanda bahaya dan bila sebaliknya dia harus membunyikan tanda bahaya. Dari data di atas isilah titik-titik di bawah ini. a. Bila tanda bahaya berbunyi tetapi tidak ada kapal terbang musuh yang datang adalah kesalahan tipe ……………………………. b. Dengan probabilitas sebesar …………………………………. c. Bila tanda bahaya tidak berbunyi tetapi kapal terbang datang, adalah kesalahan tipe …………………………………… d. Dengan probabilitas sebesar ………………………



7.32



Statistika Ekonomi 



e.



Dengan membuat alat-alat elektronik yang lebih sensitif dan dapat dipercaya , maka dimungkinkan untuk mengurangi ……………….. f. Dan ……………… 8) Seorang pedagang (jual-beli) mobil bekas suatu hari memeriksa mobil yang akan dibelinya. Mesin mobil tersebut tidak bisa dijalankan. Si pedagang bisa membuat kesalahan tipe I dan II. Ho = Semua dalam keadaan baik, hanya akinya yang lemah/rusak Ha = mobil sudah rusak parah a. Kesalahan tipe I yang bisa dilakukan adalah ….. b. Dan kesalahan tipe II yang bisa dilakukan adalah …….. c. Kesalahan-kesalahan tersebut bisa diperkecil bila ……. 9) Satu macam bibit unggul bisa tumbuh dengan rata-rata sebesar 8,5% cm dan simpangan baku 1 cm. Sebuah percobaan penelitian menanam 100 buah bibit unggul sebagai sampel. Situasi tanah untuk percobaan ini diperkaya dengan pupuk yang lebih baik, diharapkan rata-rata tumbuh menjadi lebih tinggi. Gambarlah liku ketangguhan ujinya Petunjuk Jawaban Latihan 1)



H 0 = o = 1 atau o – 1 = 0, kepopuleran pemakaian karet KB bukan karena kurangnya informasi. H a = o  1, atau o – 1  0, dengan diadakan penerangan bisa



menyebabkan karet KB lebih populer atau cara yang lain yang lebih populer. 2) zkritis dengan  = 5% adalah 1,96



H 0 diterima bila 1,96  zobs  1,96 H a ditolak bila zobservasi  1,96 dan bila zobservasi  1,96. 3)



zobservasi 







 observasi   0  0 1  0 



n 0, 60  0, 67



0, 67 (0,33) 100  1, 4







0, 07 0, 05



 ESPA4123/MODUL 7



7.33



4) Kesimpulan uji karena zobservasi ada dalam daerah penerimaan H 0 , maka H 0 diterima. 5) Pernyataan bahwa kurang populernya cara KB yang lain tidak disebabkan oleh kurangnya penerangan oleh penyuluh KB. 6) Pr  2  0,0808  16,16% . 7)



8)



9)



a. b. c. d. e. f. a. b.



Tipe I  Tipe II  Tipe kesalahan I (= ) dan II ( = ) Mobil tidak dibeli, ternyata hanya akinya yang perlu diganti. Mobil dibeli, ternyata perlu perbaikan yang menyeluruh (ongkos lebih tinggi dari perkiraan semula) c. Dilakukan pemeriksaan yang lebih lengkap, tidak hanya dicoba distarter. Misalnya dicoba dengan aki lain, setelah mesin berjalan bisa dicoba dijalankan, dan sebagainya atau minta tolong seorang ahli mesin. Buatlah H 0 dan H a -nya terlebih dahulu



H 0 = Dengan pupuk yang lebih baik rata-rata kecepatan tumbuhnya sama saja o = 8,5 H a = Rata-rata kecepatan tumbuhnya lebih tinggi a > 8,5 a. Tetapkanlah  nya, misal 5% maka didapat z0,025  1,96 b.



Menghitung X kritis







X kritis  0







 1,96



n 



X kritis  8,5  1,96 1/10 X kritis  8,5  1,96  0,1



= 8,696 c.



Menghitung Nilai masing-masing  untuk berbagai a. Tetapkan a = 8,9 atau a. = 8,8 atau a. = 8,7 atau a. = 8,6 atau a = 8,5 (limit).



7.34



Statistika Ekonomi 



d.



Menghitung 1   



e.



Menggambar liku 1   



Untuk lebih memantapkan pengertian tentang liku-liku ini dilakukan sekali lagi hal di atas dengan n  160 . Apa yang terjadi dengan liku 1    saudara? R A NG KU M AN Uji hipotesis klasik dua sisi tak banyak beda dengan uji hipotesis klasik satu sisi. Dalam hal uji hipotesis dua sisi, penelitian tidak mendapat informasi sehingga tidak bisa memastikan sesuatu bisa menjadi lebih baik atau lebih buruk. Yang dapat dia kerjakan adalah membuat hipotesis “bisa lebih baik dan juga bisa lebih buruk”, “berbeda” atau “tidak sama”, Jenis hipotesis ini mengakibatkan kriteria penerimaan dan penolakan H 0 harus dihitung dengan membagi dua  nya secara sama besar di sisi kiri dan kanan distribusi normal baku. Nilai Probabilitas diperoleh dengan mengalikan 2 nilai Probabilitas yang dihitung dengan satu sisi. Uji hipotesis di mana dipakai informasi tentang nilai sampel untuk membuat keputusan tentang nilai sampel, selalu diikuti dengan risiko (berbuat kesalahan tipe I dan II). Besarnya risiko bisa diperkecil ( dan ) bila dipakai pengamatan yang lebih banyak (n diperbesar), dengan konsekuensi ongkos yang lebih besar. Dalam kehidupan sehari-hari kita juga berhadapan dengan situasi KETERBATASAN INFORMASI yang kita punyai serta menerima lamaran perkawinan berdasarkan informasi perilaku pacar selama musim pacaran; lamaran pekerjaan, dokter yang memberi obat, membeli rumah dan sebagainya. Ternyata kita sudah mempraktekkan uji hipotesis tanpa melakukan perhitungan yang obyektif, hanya didasarkan atas penilaian subyektif. Di samping menguji hipotesis dengan memberi memakai kurva distribusi X2, Poisson, Binomial, Fisher dan lain-lain.



 ESPA4123/MODUL 7



7.35



TES F OR M AT IF 2



Tiga “sumber” menyatakan bahwa rata-rata pendapatan para penarik becak di tahun 1980 adalah masing-masing Rp30.000,00, Rp35.000,00 dan Rp37.000,00. Sebuah penelitian tentang pendapatan rata-rata penarik becak mengambil sampel sebanyak 25 dan didapat = Rp38.000,00 dan simpangan baku sebesar Rp8.000,00 Ujilah ketiga di atas dengan  = 5% secara klasik. Pakailah Ha tidak sama dengan. Carilah juga Nilai Prop atas ke-3 pendapat tersebut. Untuk soal nomor 1 – 6 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Seorang dokter memeriksa pasien dengan keluhan ada tonjolan daging di perut bagian kiri secara manual. H 0 = tonjolan (tumor) tidak ganas.



H a = tonjolan tumor ganas. Kesalahan yang mungkin dibuat dalam menentukan diagnosa, tipe I adalah …. A. H 0 itu tidak apa-apa, tetapi sebulan kemudian pasien meninggal B.



karena tumor ganas H 0 , itu tumor ganas, jadi harus dioperasi.



C.



H 0 , itu tumor ganas, setelah dioperasi ternyata hanya tonjolan



D.



daging biasa. H 0 , tonjolan daging tidak perlu dioperasi



2) Pada masalah no. 1 di atas, kesalahan tipe II yang mungkin dilakukan yaitu …. A. H 0 itu tidak apa-apa, tetapi sebulan kemudian pasien meninggal karena tumor ganas B. H 0 , itu tumor ganas, jadi harus dioperasi. C.



H 0 , itu tumor ganas, setelah dioperasi ternyata tonjolan daging



D.



biasa. H 0 , tumor jinak, sebaiknya dioperasi



3) Guna memperkecil kemungkinan berbuat kesalahan tipe I dan II maka sang dokter hendaknya ….



7.36



Statistika Ekonomi 



A. memperbanyak pemeriksaan B. mengambil contoh tonjolan daging dan memeriksa dengan mikroskop C. konsultasi dengan para ahli D. melakukan pemeriksaan, mengambil contoh, dan melibatkan ahli 4) Di antara dua kemungkinan kesalahan, maka umumnya dokter mengambil keputusan yang memiliki konsekuensi terkecil, yaitu .... A. kesalahan tipe II () B. kesalahan tipe I () C. menolak pasien D. pasien dioperasi 5) 100%



II



I



1- 



a



Kedua liku ketangguhan uji di atas adalah .... A. memakai n yang lebih banyak pada II B. liku ketangguhan uji II lebih banyak disukai dibanding I C. liku ketangguhan uji II lebih memiliki kesalahan sampling yang lebih kecil dibanding I D. semua benar 6) Kembali pada masalah bibit unggul. Diketahui 0 = 8,5 cm ,  = 1 cm, n = 100 dan  = 5% Hitunglah  untuk Ha = a = 8,7 cm dengan memakai = 10% A. 40 % B. 35,94% C. 37,24% D. 36%



7.37



 ESPA4123/MODUL 7



Catatan : bandingkan dengan  disoal dimana  = 5% dan a = 8,7 cm Diharapkan dengan  yang lebih tinggi  menurun.



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar  100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat melanjutkan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



7.38



Statistika Ekonomi 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) H 0 : PB  PA  U (disain kotak sama saja)



H A : PB  PA  0 (disain yang baru lebih baik dibanding disain yang lama) Kriteria Penerimaan H 0 : Bila Nilai Dugaan Rentangnya melewati angka nol maka hipotesis ini diterima. Nilai Dugaan dengan Rentangnya:



 B   A  PB  PA  1.96



P1 1  P1  n1



 0.595  0.405  1.96







P2 1  P2  n2



0.405  0.595  2050







0.595  0.405  2050



 0,19  1.96.0, 0153  0,19  0, 03 atau 0,187   B   A  0,193 Kesimpulan : Nilai Dugaan Rentang tidak melewati angka nol maka hipotesis tidak dapat diterima, maka hipotesis alternatif yang diterima. Catatan : Cara menguji hipotesis ini mengandung kelemahan yaitu menguji hipotesis “satu sisi”dengan nilai dugaan rentang “dua sisi”. 2) Sistem baru bisa dikatakan lebih baik bila menghasilkan tabung yang memiliki daya pijar (umur) lebih lama dibanding cara lama (dalam jangka panjang) H 0 :  B   A  0 (tidak ada perbedaan umur tabung)



H A   B   A  0 (umur tabung dengan sistem baru lebih baik dibanding dengan cara lama). Kriteria Penerimaan Hipotesis nol: Hipotesis ini diterima kalau nilai Dugaan Rentang sampelnya melewati angka nol. Nilai dugaan rentang : a) Derajat kepercayaan 99%, memberi luas kurva normal sebesar 99%, dibagi dua memberi satu sisi 49,5% dari tabel didapat z0,005  2,57



7.39



 ESPA4123/MODUL 7



     n



 B   A  X B  X A  2,57 



 300   65  2,57    n  65  77,1 Kesimpulan : Nilai dugaan rentang beda rata-rata dua populasi  B   A melalui angka nol, jadi disimpulkan bahwa proses baru sama saja dibandingkan dengan proses lama. b.



Dengan jalan yang sama untuk 95% derajat kepercayaan diperoleh z0,25  1,96



B   A  X B  X Z  1.96(



300 100



)



 65  58,8 Kesimpulan : Nilai dugaan rentang beda rata-rata dua populasi  B   A tidak melalui angka nol. Jadi disimpulkan bahwa proses baru lebih baik dibanding proses lama. ( H 0 ditolak H a diterima). c. Kesimpulan sama dengan b d. Kesimpulan sama dengan c Catatan : Dari pengalaman memakai berbagai derajat kepercayaan, ternyata untuk masalah yang sama Hipotesis nol dapat diterima (pada 99%) dan juga dapat ditolak (pada 95% ke bawah). Ketergantungan semacam ini merupakan kelemahan cara uji di mana derajat kepercayaan ditentukan terlebih dahulu. 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)



C B D A A C B



7.40



Statistika Ekonomi 



Tes Formatif 2 1) Hipotesis terdapat 3 hipotesis nol dan tiga hipotesis alternatif a. H 0 = o = 30.000



H a = a  30.000 b.



H 0 = o = 35.000 H a = a = 35.000



c.



H 0 = o = 37.000 H a = a = 375.500



2)



tkritis  0,025; 24  2,064 (mengapa dipakai “t” bukan “z”)



3) a)



tobservasi 



b)



tobservasi 



c)



tobservasi 



38.000  30.000 8.000



38.000  35.000 8.000



25



38.000  37.500 8.000



4) Kesimpulan uji a) H 0 ditolak b)



H 0 diterima



c)



H 0 diterima



5) Nilai Prob a) 0,00% b) 2 (0,0307) = 6,14% c) 2 (0,3783) = 75,66% 6) C



25



25







8.000 5 1.600







3.000  1,875 1.600







500  0,3125 1.600



 ESPA4123/MODUL 7



7.41



Daftar Pustaka Kazmier, L.Y. Theory and problrms of Business Statistics, Schaum’s Series, Mc Graw Hill, 1976, Chapter 10, 11. Wannacott et al, Introductory Statistics, 3 Rd Ed Chapter 9, John Wiley and Son, 1977



Modul 8



Analisis Varian Dra. Ch. Suparmi, S.U.



PEN D A HU L UA N



A



nalisis varian merupakan suatu alat untuk melakukan pengujian terhadap beberapa sampel yang berdiri sendiri, baik yang (sampel-sampel itu) berasal dari satu populasi yang sama atau tidak. Pengujian dimaksud untuk menentukan apakah sampel yang diambil itu sama dengan sampel-sampel yang lain. Untuk dapat memahami pelajaran ini diperlukan pengertian yang cukup tentang sampel dan populasi, rata-rata, varian, dan variasi (simpangan), serta pemahaman tabel distribusi statistik. Secara umum Anda diharapkan dapat menguji apakah suatu sampel yang terdiri dari beberapa observasi berasal dari populasi sama, atau dengan kata lain Anda dapat menguji bahwa suatu alat, metode atau faktor tertentu berbeda atau sama dengan alat, metode atau faktor yang lain. Di samping itu, Anda juga diharapkan bisa menerapkan pengertian analisis varian pada berbagai faktor pengamatan. Setelah mempelajari modul ini, secara khusus Anda diharapkan dapat: 1. menjelaskan peranan varian dalam membedakan populasi; 2. menjelaskan konsep varian yang dijelaskan dan varian yang tidak dijelaskan oleh faktor tertentu; 3. menghitung rasio F, dan mengetahui manfaatnya; 4. menghitung dengan tabel ANOVA, baik dengan satu faktor maupun dengan dua faktor.



8.2



 ESPA4123/MODUL 8



Kegiatan Belajar 1



Analisis Varian Sederhana



A



nalisis varian adalah suatu teknik untuk mengetahui perbedaan atau persamaan dua atau lebih observasi dengan cara mengadakan perbandingan antara dua atau lebih mean (rata-rata). Anggapan yang mendasari analisis varian ini ialah bahwa berbagai ratarata sampel yang dihitung itu masing-masing harus berasal dari populasi yang memiliki distribusi normal dan memiliki varian yang sama. Meskipun demikian, adanya penyimpangan dari anggapan normalitas tersebut di atas relatif tidak mempengaruhi pengujian ini apabila populasipopulasinya bersifat uni modal dan besarnya sampel yang diambil relatif besar. Karena hipotesis nol pada persoalan ini mengatakan bahwa rata-rata dari populasi adalah sama maka anggapan bahwa varian sama, juga dapat diartikan bahwa rata-rata yang dihitung berasal dari populasi yang sama. Ingat bahwa, normalitas distribusi suatu populasi tergantung pada dua parameter yaitu rata-rata dan varian (atau standar deviasi). A. MENGUJI PERBEDAAN Misalnya ada tiga buah mesin akan diperbandingkan. Output yang dihasilkan oleh mesin-mesin itu berbeda-beda, karena adanya dua faktor penyebab. Pertama output bisa berbeda karena mesin dioperasikan oleh manusia, dan kedua output berbeda-beda karena hal-hal lain yang tidak dapat dijelaskan. Pertanyaan pertama yang ingin dijawab di sini ialah: “apakah mesinmesin itu benar-benar berbeda satu sama lain?” Untuk menjawab itu, kita harus membuat suatu cara pengujian seperti yang dilakukan dengan Tabel 8.1. Pada tabel itu masing-masing mesin (i = mesin 1, mesin 2 dan mesin 3) diambil sampel, yang berupa output dari 5 jam produksi yang berbeda-beda. Dari setiap sampel (setiap mesin) dihitung nilai rata-ratanya  X i  , dengan harapan dapat mengurangi “efek fluktuasi” dari random sampel yang diambil. Hasil perhitungan nilai rata-rata  X i  itu disusun ke dalam Tabel 8.1 di bawah ini.



8.3



 ESPA4123/MODUL 8



Tabel 8.1.



Mesin ke atau sampel ke: i=1 2 3



 Xi 



Sampel dari mesin i 47 55 54



53 54 50



49 58 51



50 61 51



46 52 49



49 56 51



X  52 Dengan menggunakan tabel di atas permasalahan menjadi lebih jelas “Apakah mesin-mesin itu benar-benar berbeda? “Pertanyaan itu dapat diartikan sebagai“ Apakah rata-rata sampel  X i  pada Tabel 8.1 di atas, berbeda karena adanya perbedaan rata-rata populasi



  i  ?” Di mana



i



menggambarkan perilaku keadaan rata-rata mesin i. Pertanyaan selanjutnya yang bisa muncul adalah: “apakah perbedaanperbedaan yang ada pada X i disebabkan oleh perubahan fluktuasi saja?” Untuk dapat melihat/menjawab pertanyaan kedua ini, kita susun suatu tabel lain. Kita ambil 3 sampel dari satu mesin saja, masing-masing sampel berisi 5 observasi atas mesin yang sama, seperti terlihat pada Tabel 8.2. Tabel 8.2. Tiga Sampel Output dari Mesin yang Sama



Sampel ke: i = 1 2 3



Xi



Nilai sampel 49 52 55



55 51 51



51 55 52



52 58 52



48 49 50



51 53 50



X = 52 Dalam hal ini i dari masing-masing sampel sudah barang tentu sama. Dengan menghitung nilai X i diharapkan fluktuasi dari sampel dapat diperkecil. Setelah menyusun Tabel 8.1 dan Tabel 8.2 itu maka kita dapat membedakan dua pertanyaan di atas sebagai berikut:



8.4



Statistika Ekonomi 



“Apakah perbedaan X i pada Tabel 8.1 memiliki kesamaan atau disebabkan oleh hal yang sama dengan perbedaan X i pada Tabel 8.2 ?” Dengan kata lain “Apakah perbedaan



X i pada Tabel 8.1 juga



disebabkan oleh perubahan fluktuasi dari sampel saja?” “ataukah perbedaan itu sedemikian besar, sehingga mampu menggambarkan adanya perbedaan i yang mendasarinya?”. Pertanyaan yang terakhir ini nampaknya dapat mempertegas persoalan. Masalahnya bagaimana kita menguji X i (dari Tabel 8.1) itu sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa X i itu berasal dari i yang sama atau sebaliknya berasal dari i yang berbeda. Pertama-tama kita buat suatu hipotesis yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan rata-rata populasi dari ketiga sampel tersebut. Jadi: H0: 1   2   3 . Untuk menguji hipotesis ini pertama-tama diperlukan suatu tolok ukur yang dapat membedakan sampai batas mana, rata-rata sampel dikatakan berbeda. Untuk itu, kita ambil nilai “rata-rata sampel”  X i  dari Tabel 8.1 di atas. Kemudian kita hitung variannya. Dengan suatu catatan bahwa yang kita lakukan adalah menghitung varian dari “rata-rata sampel” dan bukan varian dari nilai-nilai di dalam tabel, sehingga kita peroleh:











r 2 1 Xi  X  (r  1) i 1 1 2 2 2   49  52    56  52    51  52    2



S x2 



13, 0 di mana r = banyaknya baris (banyaknya rata-rata sampel) dan X  rata-rata dari







r



1  X i  52 r i 1



Xi



8.5



 ESPA4123/MODUL 8



Dengan mengetahui S X2 saja, belum cukup untuk mengetahui fluktuasi di dalam masing-masing sampel yang kita teliti. Untuk lebih jelasnya lihat Tabel 8.3. Tabel 8.3. Sampel Output dari Tiga Mesin



Mesin i=1 2 3



Xi



Sampel output dari tiga mesin i 57 46 57



42 59 59



53 64 48



38 61 46



55 50 45



49 56 51 X = 52



Pada Tabel 8.3 ini nilai S x2 sama dengan nilai S x2 dari Tabel 8.1. Sebenarnya bila dilihat pada masing-masing barisnya, nampak bahwa terdapat fluktuasi produksi yang lebih besar pada Tabel 8.3. Implikasi dari perbedaan itu dijelaskan melalui gambar ini:



Gambar 8.1a



8.6



Statistika Ekonomi 



Gambar 8.1b



Gambar 8.1(a) menggambarkan keadaan sampel pada Tabel 8.1, sedang Gambar 8.1b menggambarkan keadaan sampel pada Tabel 8.3. Pada Gambar 8.1b produksi yang dihasilkan oleh mesin sangat besar variasinya (sangat berfluktuasi). Sehingga semua sampel (sampel i  1, i  2, i  3 ) dapat dikatakan berasal dari populasi yang sama (jadi memiliki satu ). Bahwa ada perbedaan “rata-rata sampel” dapat dianggap sebagai suatu “kebetulan“ saja. Sebaliknya, pada Gambar 8.1(a) terlihat bahwa perbedaan rata-rata sampel yang sama (dari Tabel 8.1) tidak dapat dikatakan muncul secara kebetulan, karena tingkat variasi dari data pada masing-masing sampel tidak terlalu besar. Dengan kata lain data sampel pada Tabel 8.1 tidak dapat dianggap berasal dari populasi yang sama. Jadi, dari Tabel 8.1 (atau Gambar 8.1(a)) dapat diambil kesimpulan bahwa i tidak sama nilainya sehingga H0 ditolak karena variasi dari “rata-rata sampel S X2 relatif cukup besar terhadap fluktuasi perubahan output”. Bagaimana kita dapat mengukur perubahan fluktuasi output itu? tingkat perubahan fluktuasi output itu dapat diukur dengan cara mengukur penyimpangan (varian) dari nilai (data) observasi pada masing-masing sampel. Jika kita cari varian dalam sampel ke-1 i  1 sebagai berikut:



8.7



 ESPA4123/MODUL 8



S12 



n 2 1 X ij  X i     n  1 j 1



1 2 2   47  49    53  49   ...  4  7,5



di mana:



X ij adalah observasi ke j dari sampel ke-1 Dengan cara sama kita hitung varian dari observasi pada sampel ke-2  S  dan sampel ke 3  S32  . Rata-rata dari varian-varian itu menunjukkan 2 3



ukuran perubahan fluktuasi total dan sering disebut pooled variance yaitu:



S p2 



1 n 2 1  Si  3  7,5  12,5  3,5 r j 1



 7,83 Pada masing-masing sampel, derajat kebebasan dari variance sampelnya adalah  n  1 . Dengan demikian, derajat kebebasan pooled variance  S 32  adalah r  n 1 ; di mana r adalah banyaknya sampel (atau mesin), yang dalam hal ini = 3. Dengan demikian, persoalan utama dapat kita nyatakan sebagai berikut: Apakah S X2 lebih besar relatif terhadap S p2 ?” Dengan kata lain, bagaimana rasio antara S X2 S p2 . Pengujian di atas itu biasanya menggunakan rumus yang sedikit dimodifikasi yaitu F (=Fisher) rasio:



F



n S X2 S p2



di mana n (= banyaknya observasi dalam sampel) dikalikan pada pembilang dengan tujuan agar apabila H 0 benar, ratio F akan mendekati nilai 1.



8.8



Statistika Ekonomi 



Walaupun demikian, karena adanya fluktuasi statistik, nilai F kadang-kadang di atas 1, dan kadang-kadang lebih kecil 1. Apabila H0 tidak benar (artinya nilai-nilai  tidak sama ) maka nilai n S X2 akan relatif lebih besar daripada nilai S p2 ; dan nilai rasio F akan cenderung lebih besar dari 1. Jadi, kita dapat menyatakan dengan pasti apakah H0 benar atau tidak, tergantung pada apakah rasio F mendekati 1 atau jauh lebih besar dari 1. Secara lebih khusus, untuk menguji H 0 , harus diketahui distribusi statistik F.



Gambar 8.2.



Bila H 0 benar, distribusi dapat terlihat pada Gambar 8.2 tempat batas kritis F0,05 , memotong ujung distribusi sebesar 5%. Untuk menguji dengan derajat kepercayaan 5%, H 0 ditolak apabila nilai F-nya melebihi nilai kritis yaitu 3,89 sebaliknya H 0 diterima apabila F  3,89 . Contoh 1 Perhatikan kembali Tabel 8.1, Tabel 8.2 dan Tabel 8.3. Dari masingmasing tabel itu, marilah kita uji, apakah mesin-mesin itu menunjukkan suatu perbedaan yang significant secara statistik. Dengan kata lain, untuk setiap tabel itu kita uji apakah H0 : 1 = 2 = 3 atau tidak.



 ESPA4123/MODUL 8



8.9



Dari data pada Tabel 8.1, evaluasi yang dilakukan menghasilkan:



F



n S X2 S



2 p







5(13, 0)  8,3 7,83



Karena nilai itu lebih besar dari F0,05 maka H 0 ditolak. Artinya perbedaan antara “rata-rata sampel sangat besar relatif terhadap “perubahan fluktuasi”. Dengan demikian, sampel-sampel yang diambil pada Tabel 8.1, dapat disimpulkan berasal dari populasi yang berbeda. Selanjutnya, dari data pada Tabel 8.2 dapat dihitung:



F



5 1, 0  7,83



 0, 64.



Karena nilai F0,05 tidak lebih dari 3,85 maka H0 tidak dapat ditolak atau H0 diterima. Dalam hal ini perbedaan rata-rata sampel dapat dijelaskan oleh perubahan fluktuasi data observasi. Hal ini, terjadi seperti yang kita harapkan, karena pada Tabel 8.2, dan Tabel 8.3, sampel yang diambil berasal dari sebuah mesin yang sama. Demikian pula halnya dengan data pada Tabel 8.3. Karena nilai F0,05 dalam kasus ini juga lebih kecil dari F0,05 tabel, maka H 0 sekali lagi tidak ditolak. Artinya H0 diterima. Dalam hal ini perbedaan nilai “rata-rata sampel” diimbangi dengan perubahan fluktuasi nilai-nilai data observasi (yaitu pembilang pada rasio f). Dari ketiga hasil uji F di atas terbukti bahwa hanya kasus Tabel 8.1 saja yang menggambarkan bahwa H 0 ditolak, atau 1  2  3 dengan tingkat kepercayaan 5%. Artinya hanya Tabel 8.1 yang menunjukkan bahwa rata-rata sampel berasal dari populasi yang berbeda. Distribusi F Mengenai bentuk distribusi F, seperti terlihat pada Gambar 8.3 sebenarnya hanya salah satu bentuk dari berbagai bentuk distribusi F yang ada. Bentuk distribusi F dipengaruhi oleh derajat kebebasan  r 1 pada pembilang dan derajat kebebasan r  n 1 pada penyebut.



8.10



Statistika Ekonomi 



Berbagai bentuk distribusi F, dengan berbagai kemungkinan derajat kebebasan pada pembilang maupun pada penyebut, dapat dilihat pada Gambar 8.3 di bawah ini.



Gambar 8.3.



Catatan



:



df = derajat kebebasan 2,12  2 untuk pembilang dan 12 untuk penyebut.



Perlu dicatat bahwa distribusi rasio F pada Gambar 8.3 di atas didasarkan atas derajat kepercayaan (df) tersebut. Angka-angka batas bagi distribusi F dapat dilihat pada tabel lampiran kegiatan belajar ini. Dari tabel tersebut kita dapat melihat angka-angka batas untuk menguji, seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 8.3 di atas. B. TABEL ANOVA ANOVA adalah singkatan dari analysis of variance. Pada bagian ini akan ditunjukkan suatu tabel yang menggambarkan semua perhitungan yang sudah kita bicarakan di atas. Sebelumnya pada Tabel 8.4 akan ditunjukkan ringkasan asumsi yang digunakan di dalam model ini. Pada Tabel 8.4 kolom 2 ditunjukkan ringkasan asumsi bahwa semua sampel ditarik dari populasi yang normal dan memiliki variansi sama  2 , meskipun nilai rata-rata  i yang mungkin berbeda-beda. Perbedaan  i itu yang justru akan diuji.



8.11



 ESPA4123/MODUL 8



Dengan tabel itu diharapkan diperoleh gambaran permasalahan dengan lebih jelas. Tabel 8.4.



Populasi



Distribusi yang Diasumsikan



1 N (1, 2 ) 2 N (2, 2 ) i N (i, 2 ) r N (r, 2 ) Hipotesis Nol: H0 : i = 2 = … = i = r Hipotesis tandingan H1 : i  i untuk i  1



Nilai observasi sampel X1j ( j = 1 … n ) X2j ( j = 1 … n ) Xij ( j = 1 … n ) Xrj ( j = 1 … n )



Selanjutnya pada Tabel 8.5 ditunjukkan/dituliskan lay-out rumus-rumus untuk perhitungan “analisis varian” yang kemudian sering disebut “tabel ANOVA”. Penyusunan tabel ANOVA dengan suatu lay out tertentu itu dimaksudkan untuk memudahkan proses perhitungan. Pada baris pertama Tabel 8.5a adalah rumus perhitungan “pembilang” dari rasio F; sedang pada baris kedua Tabel 8.5a adalah rumus perhitungan “penyebut” dari rasio F. Sedangkan pada Tabel 8.5b ditunjukkan contoh kasus “perbandingan tiga mesin” yang ada pada Tabel 8.1 di atas. Dengan menggunakan tabel-tabel itu kita dapat dengan mudah mengetahui perhitungan kita. Pertama untuk setiap perhitungan kita mengetahui besarnya derajat kebebasan (df) yang nampak pada kolom tiga, kedua dapat dilihat sum of square (jumlah kuadrat) pada kolom dua; sum of square antar baris dan sum of square inter (di dalam) baris harus dijumlahkan dan hasilnya harus sama dengan total sum of square. Masing-masing sum of square disebut juga “variasi” sedangkan apabila dibagi dengan „derajat kebebasan” (df) yang bersesuaian akan diperoleh varian, seperti terlihat pada kolom empat dari Tabel 8.5. Varian antarbaris “dijelaskan” oleh kenyataan bahwa masing-masing sampel (baris) bisa berasal dari populasi yang berbeda (misalnya ; mesin yang berprestasi beda satu sama lain).



8.12



Statistika Ekonomi 



Varian inter (dalam) baris “tak dijelaskan” karena hal itu merupakan peristiwa variasi random atau kebetulan yang tidak dapat diterangkan secara sistematis (dengan membandingkan mesin-mesin). Jadi, kadang-kadang rasio F disebut sebagai rasio varian.



F=



Varian yang dijelaskan Varian yang tidak dijelaskan



Dengan mengetahui bahwa terdapat varian yang tidak dijelaskan di dalam uji F maka sebenarnya dengan cara menambahkan faktor-faktor penjelas baru pada penyebut, kita dapat mengusahakan agar F menjadi lebih besar. Misalnya, apabila dalam hal pengujian mesin di atas (Tabel 8.1) produktivitas mesin memiliki tingkat kepekaan yang cukup besar pada operator dalam pengamatan, varian yang tidak dijelaskan menjadi semakin kecil. Dengan demikian, akan semakin mudah bagi kita untuk menolak Ho. Pengujian dengan menggunakan lebih dari 2 faktor pengamatan ini, disebut “ANOVA dengan dua faktor”, dan akan dibicarakan pada Kegiatan Belajar 2.



 ESPA4123/MODUL 8



8.13



8.14



Statistika Ekonomi 



8.15



 ESPA4123/MODUL 8



Pada umumnya H0 diuji dengan derajat kepercayaan 5% atau 1%. Hal itu adalah cara yang umum dan ditentukan menurut kemauan si penguji. Akan tetapi, pada Tabel 8.5b di atas “derajat kepercayaan” itu diubah menjadi suatu “nilai probabilitas”. Angka-angka batas probabilitas itu berasal dari nilai Ftabel yang paling dekat di sekitar angka rasio F. Misalnya, dari hasil perhitungan ANOVA nilai F  8,3 (dari Tabel 8.5b) dengan “derajat kebebasan”  df   2 dan 12. Pada tabel distribusi F (pada lampiran) nilai terdekat dengan ratio F tersebut di atas adalah



F0,01  6,93 dan



F0,001  13, 0 . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa nilai probabilitas



dari H 0 adalah 0,001  prob  0,01 atau dengan cara interpolasi dapat dihitung bahwa nilai prob  0,006. Dengan kata lain probabilitas bahwa H0 diterima (bahwa mesin-mesin pada Tabel 8.1 itu sama) adalah sangat kecil yaitu hanya 0,006. C. KASUS SAMPEL YANG TIDAK SAMA BANYAKNYA Pada umumnya di dalam melakukan pengujian, observasi dikumpulkan dalam jumlah sampel yang sama besarnya. Walaupun demikian, apabila tidak bisa dilakukan pengumpulan sampel-sampel dalam jumlah yang sama, perhitungan ANOVA masih bisa dilakukan dengan sedikit melakukan perubahan cara perhitungan. Cara perhitungan dengan ukuran sampel-sampel yang berbeda ditunjukkan pada tabel ANOVA (Tabel 8.6) berikut ini. Ukuran sampel masing-masing adalah n1 , n2 , n3 , dan seterusnya. Sedangkan nilai rata-rata X tidak lagi rata-rata sederhana, tetapi berupa rata-rata tertimbang dengan n1 sebagai faktor penimbangannya.



8.16



Statistika Ekonomi 



8.17



 ESPA4123/MODUL 8



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Diketahui data populasi dengan  = 50 dan  = 10. Suatu percobaan dilakukan dengan mengambil sampel random sebanyak 5 observasi dari populasi tersebut, dan dinamakan sampel A. Kemudian, sampel semacam itu diulang lagi untuk mendapatkan sampel B dan sampel C dari populasi yang sama. Dengan demikian, terdapat sederet angka yang terdiri 15 observasi, dari sampel A, B dan C. Susunlah tabel ANOVA untuk menguji apakah ketiga sampel tersebut berasal dari populasi yang sama! 2) Pada tahun 1984 dosen pria dan wanita pada “Universitas Terbuka” di sampling secara independen. Hasil observasi itu menghasilkan data upah tahunan ($000) sebagai berikut): Pria 12 11 19 16 22



Wanita 9 12 8 10 16



Hitunglah tabel ANOVA-nya; tentukan juga nilai probabilitas bagi hipotesis nolnya! 3) Sampel dari keluarga di Jawa Tengah pada tahun 1971 dilaporkan memiliki pendapatan (dalam ratusan ribu rupiah) menurut masingmasing wilayah tempat tinggalnya. Tegal Semarang Cilacap Yogyakarta



8 13 7 7



14 9 14 7



8 16



7



Tentukan tabel ANOVAnya dan hitung juga nilai probabilitas terdekat dari hipotesis nolnya!



8.18



Statistika Ekonomi 



Petunjuk Jawaban Latihan 1) Untuk dapat menjawab pertanyaan ini pertama-tama kita harus menentukan “bilangan random” dari distribusi normal yang diambil dari tabel “bilangan random normal” (lihat tabel lampiran). Setelah bilangan random normal (z) diperoleh, kita transformasikan nilai z ke dalam nilai X dengan menggunakan persamaan “distribusi normal” yaitu: X =  + Z = 50 + 10 Z Maka: Sampel A Z 0,5 0,1 2,5 –0,3 –0,1



X1 55 51 75 47 49 X 1 = 55,4 ≈ 55



X1  X1



 X1  X1 



0 –4 20 –8 –6



0 16 400 64 36



≈0



516



2



Sampel B Z 0,3 –0,3 1,3 0,2 –1,0



X2 53 47 63 52 40 = X 2 51



X2  X2



2 –4 12 1 –11 0



X



2



 X2 



4 16 144 1 121 286



2



8.19



 ESPA4123/MODUL 8



Sampel C



0,1 –2,5 –0,5 –0,2 0,5



Jadi



X



X3  X3



X3



Z



51 25 45 48 55 X 3 = 44,8 ≈ 45



  X ij  X i 



2



3



 X3 



6 –20 0 3 10



36 400 0 9 100



0



545



2



 516  286  545



= 1347 Bilangan ini merupakan sum of square dalam baris atau variasi yang tak dijelaskan. Sedang variasi yang dijelaskan dapat dihitung sebagai berikut : Xi



X i  Xi



55,4 51,0 44,8



5,0 0,6 –5,6 0



X = 50,4



X



i



 Xi 



2



25,00 0,36 31,36 56,72



Jadi, variasi yang dijelaskan adalah:







n X i  X







2



 5  56, 72   283, 6



Kemudian tabel ANOVA dapat disusun sebagai berikut: Sumber Antar sampel Residu



Variasi



df



Varian



Rasio F



283,6



2



141,8



1,26



1347



12



112,25



Nilai probabilitas Karena F0,25 = 1,56 maka p > 0,25



8.20



Statistika Ekonomi 



Jadi, dapat disimpulkan bahwa H0 : 1 = 2 = 3 dapat diterima dengan probabilitas p  0,25 Artinya “rata-rata sampel” sangat besar kemungkinannya



 p  0, 25



berasal dari populasi yang sama. 2) Misal



i = 1 adalah pria i = 2 adalah wanita maka tabel ANOVA adalah



Jenis Kelamin



Xi



Xi



X  X  X  X  i



i



2



Sum of square di dalam baris



 X ni



j 1



i=1 i=2



12 11 19 16 22 9 12 8 10 16



ij



 Xi 



16



2,5



6,25



86



11



–2,5



6,25



40



0



12,50



126



X  13,5 Sumber Variasi



Varian



df



Varian



Antar Kelamin



5 (12,50) = 62,5



1



62,5  62,5 1



Residu



126



8



126  15,57 8



Rasio F 62,5 : 15,75 = 3,97



2



Nilai probabilitas Karena F0,1 = 3,46 dan F0,05 = 5,32 0,05 < P < 0,10 atau p ≈ 0,09



Jadi, H 0 diterima dengan derajat keyakinan 5% dan ditolak apabila derajat keyakinan 10%. Atau dengan kemungkinan p = 9% dapat dikatakan bahwa 1 = 2 (rata-rata berasal dari populasi yang sama dengan kata lain upah mereka sama).



8.21



 ESPA4123/MODUL 8



Perlu dicatat bahwa dalam hal ini, besarnya sampel tidak sama satu dengan lainnya.



X ij



Wilayah



 X ij



Ni



Xi 



j



1 ni



X



Sum of square di dalam masingmasing baris ij



j



  X ij  X 



2



j



i=1 2 3 4



8, 14 13, 9 7, 14, 8, 7 7, 7, 16



2 2 4 3



22 22 36 30



x



Total = 11



11 11 9 10



110  10 11



18 8 34 54 114



Sesuai dengan Tabel 8.6 (ANOVA dengan sampel berbeda), kita ketahui bahwa variasi antarbaris” menjadi semakin kompleks yaitu “sum of square” tertimbang.







ni



X X 



2



i



 2 11  10 2  0  2 2 2 11  10      2  4 9  10    4 2  0  3 10  10 



Jadi, Tabel ANOVA dengan sampel berbeda adalah: Sumber Variasi



Variasi



df



Varian



Rasio F



Antar Wilayah



8



3



8 = 2, 67 3



2, 67 = 0,16 16,3



Residu



114



1+1+3+2=7 atau 11 – 4 = 7



14 = 16,3 7



Nilai Probabilitas Karena F 0,25 = 1,72 P > 0,25



Dari tabel ANOVA itu dapat disimpulkan bahwa H 0 tidak dapat ditolak pada tingkat kepercayaan yang “umum”.



8.22



Statistika Ekonomi 



Probabilitas bahwa: H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 diterima (artinya bahwa pendapatan keluarga itu tidak berasal populasi yang berbeda) adalah sangat besar, yaitu jauh lebih besar dari 25%.



R A NG KU M AN Analisis varian ini menguji apakah rata-rata dari beberapa sampel berasal dari populasi yang sama. Kalau populasi sama, berarti sampelsampel itu tidak ada bedanya. Uji atas kesamaan sampel dilakukan dengan uji F yaitu:



F=



Variansi DIJELASKAN Variansi TAK DIJELASKAN



Variansi yang dijelaskan dihitung dari:



 Variansi yang dijelaskan  r 1 di mana: r = banyaknya sampel dan (r – 1) adalah derajat kebebasan. Variansi yang tak dijelaskan dihitung dari:



( Variansi tak dijelaskan ) r (n  1) di mana: n = banyaknya observasi dalam sampel dan r (n  1) adalah derajat kebebasan. Variansi yang dijelaskan dihitung dengan rumus:



SSr 



 ni  X i  X  r



2



i 1



r = jumlah sampel ni = jumlah observasi pada sampel ke i X i = rata-rata pada sampel i X = rata-rata dari rata-rata atau rata-rata total. Variansi yang tak dijelaskan dihitung dengan rumus:



8.23



 ESPA4123/MODUL 8



r



ni







SSu   X ij  X i i 1 i 1



i j Xij Xi



= = = =







2



nomor sampel nomor observasi dalam kelas observasi ke j dalam sampel i rata-rata dari sampel ke i



Selanjutnya, nilai rasio F dibandingkan dengan nilai F   r  1 , r  n  1  dari tabel; di mana  = derajat kepercayaan



 % Apabila rasio F  Ftabel  H 0 ditolak Apabila rasio F  Ftabel  H 0 diterima Pemisahan/pemilahan dilakukan dengan menggunakan beberapa cara berdasarkan prinsip perbedaan: TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Lima belas peserta penataran teknik diminta untuk mengerjakan tes kemampuan dengan menggunakan “tiga metode instruksi” yang berbeda. Nilai hasil tes sebagai suatu kesimpulan atas metode-metode instruksi yang dipakai dapat dilihat pada tabel di bawah ini. Rata-rata nilai tes tersebut masing-masing dikaitkan dengan metode instruksi yang dipakai. Tabel nilai tes dalam tiga metode instruksi



Metode Instruksi A1 A2 A3



Nilai tes 86 90 82



79 76 69



81 88 73



70 82 71



84 89 81



Nilai tes total



Nilai rata-rata tes



400 425 375



80 85 75



Dengan menggunakan cara analisis varian (ANOVA) ujilah hipotesis nol bahwa ketiga rata-rata nilai itu diperoleh dari populasi yang sama!



8.24



Statistika Ekonomi 



1) Besarnya variasi (sum of square) antarsampel adalah …. A. 38,5 B. 125 C. 250 D. 95 2) Variasi yang tak dijelaskan (variasi dalam sampel) adalah …. A. 125 B. 38,5 C. 37,3 D. 448 3) Derajat kebebasan dari variasi yang dijelaskan dan yang tidak dijelaskan oleh rata-rata sampel adalah …. A. 3,12 B. 2,13 C. 2,12 D. 3,15 4) Varian antarsampel (varian yang dijelaskan) adalah …. A. 37,3 B. 125 C. 3,88 D. 35,0 5) Hitung varian yang tidak dijelaskan! A. 37,3 B. 125 C. 3,88 D. 4,48 6) Nilai rasio F adalah …. A. 37,3 B. 125 C. 3,88 D. 29,87 7) Probabilitas bahwa H 0 : 1 = 2 = 3 sama adalah …. A. p > 0,25 B. 0,025 > p > 0,10 C. 0,10 > p > 0,05 D. 0,01 > p > 0,001



8.25



 ESPA4123/MODUL 8



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



8.26



 ESPA4123/MODUL 8



Kegiatan Belajar 2



Analisis Varian Dua Faktor



R



asio F pada pembicaraan sebelumnya pada dasarnya dapat diperbesar dengan cara memperkecil “penyebut”nya, yaitu memperkecil “varian yang tidak dijelaskan”. Varian yang tak dijelaskan ini dapat diperkecil dengan menambah faktor yang diamati. Misalnya kita ulangi kembali penggunaan contoh Tabel 8.1 di muka: Tabel 8.7.



Mesin, atau Sampel i=1 2 3



Sampel dari mesin i 47 55 54



53 54 50



49 58 51



50 61 51



Xi 46 52 49



49 56 51



rata-rata X  X = 52 Misalnya sampel output dari tiga mesin itu juga secara kebetulan dihasilkan oleh lima orang operator yang berbeda: setiap operator menghasilkan satu nilai observasi dari setiap mesin (sampel). Maka data pada Tabel 8.7 di atas dapat diubah susunannya menurut dua klasifikasi yang berbeda (yaitu menurut mesin dan menurut operator), seperti ditunjukkan oleh Tabel 8.8 berikut ini. Dari tabel ini akan diperoleh nilai rata-rata dari setiap operator (rata-rata kolom Xj) dan rata-rata untuk setiap mesin (rata-rata baris Xi).



8.27



 ESPA4123/MODUL 8



Tabel 8.8. Sampel Output (Xij) dari 3 Mesin yang Disusun (juga) Menurut Operator Operator J= 1 2



3



4



5



rata-rata tiap mesin X i



49 54 50



49 56 51



Mesin-mesin i=1 2 3



53 47 61 55 51 51



46 52 49



50 58 54



X = 52 Rata-rata tiap Operator X . j



55 51



49



54



51



X = 52



Dari tabel di atas nampak bahwa ada operator yang efisien (yaitu operator pertama dan keempat) dan ada operator yang kurang efisien. Dengan demikian, dapat kita ketahui bahwa sebenarnya produktivitas mesin bukan tak menentu, tetapi terdapat perbedaan efisien operator. Apabila kita dapat menunjukkan perbedaan efisien operator secara eksplisit maka kita dapat memperkecil “penyakit” pada rasio F. Dengan demikian, akan semakin besar kemungkinan untuk menolak H 0 . Dan terlihat bahwa peranan operator cukup besar di dalam menyebabkan perbedaan fluktuasi observasi dalam sampel pada perhitungan ANOVA (satu faktor) yang terdahulu. Jadi, dengan memperhitungkan faktor lain (operator), diharapkan dapat diperoleh hasil tes yang lebih baik. Pada prinsipnya analisis ini adalah analisis ANOVA biasa yang ditambah faktor pengamatan. Tabel perhitungan (rumus-rumus perhitungan) ANOVA dengan dua faktor adalah sebagai yang terlihat pada Tabel 8.9.



8.28



Statistika Ekonomi 



8.29



 ESPA4123/MODUL 8



Contoh Dengan Tabel 8.9, kita mengaplikasikan persoalan yang sudah disusun pada Tabel 8.8 di atas. Dari Tabel 8.8 kita ketahui bahwa: SS  SSr  SSc  SSn Pertama: kita cari dulu SSr; yaitu jumlah kuadrat menurut baris. r







SSr  C  X i  X i 1







2



2 2 2  5  49  52    56  52    51  52      130



Kemudian kita cari SSc ; yaitu jumlah kuadrat menurut kolom. c



SSc  r  ( X i  X ) 2 j 1



 3  55  52   (51  52) 2  (49  52) 2  (54  52) 2  (51  52) 2     72 2



r



c







SSu   X ij  X i  X j  X i 1 j 1







2



= (53 – 49 – 55 + 52)2 + (47 – 49 – 51 + 52)2 + (46 – 49 – 49 + 52)2 + (50 – 49 – 54 + 52)2 + (49 – 49 – 51 + 52)2 + (61 – 56 – 55 + 52)2 + (55 – 56 – 51 + 52)2 + (52 – 56 – 49 + 52)2 + (58 – 56 – 54 + 52)2 + (54 – 56 – 51 +52)2 + (51 – 51 – 55 + 52)2 + (51 – 51 – 51 + 52)2 + (49 – 51 – 49 + 52)2 + (54 – 51 – 54 + 52)2 + (50 – 51 –51 +52)2



SSu  1  1  0  1  1  4  0  1  0  1  9  1  1  1  0  22



8.30



Statistika Ekonomi 



padahal:



SS  SSr  SSc  SSu  130  72  22  224 Derajat kebebasan (df) dapat dihitung sebagai berikut: df untuk perbedaan antarmesin (antarbaris) adalah r  1  3  1  2 df untuk perbedaan antaroperator (antarkolom) adalah c  1  5  1  4 df untuk perbedaan variasi residu, yang diakibatkan oleh perubahan fluktuasi (yang tak dapat dijelaskan) adalah   r 1 c 1   2 4  8 ,



df total  rc 1  35 1  14 Menghitung Varian: Mean Sum of square (rata-rata jumlah kuadrat) = MSS:



SS r 130  c . S X2   65 r 1 2 SS 72 MSSc  c   18 c 1 4 SSu 22 MSSu    2, 75  r  1 c  1 8 MSS r 



Menghitung Rasio F Terdapat dua macam rasio F, yaitu: F untuk menguji varian mesin dan F untuk penguji varian operator. Pengujian atas perbedaan mesin:



F=



Varian yang dijelaskan oleh mesin Varian yang tidak dijelaskan



F



MSSr 65   23, 6 MSSu 2, 75



 ESPA4123/MODUL 8



8.31



Pengujian atas perbedaan operator:



F=



Varian yang dijelaskan oleh operator Varian yang tidak dijelaskan



F



MSSc 18   6,5 MSSu 2, 75



Membandingkan Rasio F hitung dengan tabel Distribusi F: Uji atas perbedaan mesin: Telah diketahui bahwa Fhitung  23,6 . Dibandingkan terhadap tabel F, dengan df 2 & 8 [sering ditulis F (2,8; )], diperoleh angka terdekat, yaitu F0,001 = 8,65. Jadi, probabilitas bahwa H 0 diterima (yaitu bahwa mesin sama) adalah jauh lebih kecil dari 0,001. Karena F0,001  Fhitung  23,6 . Dengan kata lain mesin-mesin tidak berbeda secara significant. Uji terhadap perbedaan operator. Dari perhitungan F diketahui bahwa Fhitung untuk perbedaan operator = 6,5 dibandingkan dengan tabel distribusi F dengan df = 4 dan 8, diperoleh bahwa angka terdekat dengan Fhitung  6,5 adalah F0,05  3,84 dan F0,01  7, 01 .



Jadi, F0,05  Fhitung  F0,01 Artinya probabilita bahwa H 0 diterima (operator sama) adalah:



0,01  p  0,05 Apabila digunakan derajat keyakinan 5%, maka H 0 ditolak. Artinya terdapat perbedaan operator, cukup significant.



8.32



Statistika Ekonomi 



Seluruh perhitungan di atas dapat disusun ke dalam tabel ANOVA sebagai berikut:



Sumber Antarmesin Antaroperator Residu Total



Variasi



df



Varian



130 72 22 224



2 4 8 14



65 18 2,75



Rasio 23,6 6,5



Nilai prob. untuk H0 P < 0,001 0,1 < p < 0,05



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Tiga orang bekerja pada tugas yang sama yaitu mengerjakan pembungkusan barang. Banyaknya barang yang digunakan oleh masingmasing orang tersebut pada berbagai saat yang berbeda-beda ditunjukkan oleh tabel di bawah ini: Orang Jam Kerja 11.00 – 12.00 13.00 – 14.00 16.00 – 17.00 1) 2) 3) 4)



A



B



C



24 23 25



19 17 21



20 14 17



Hitunglah variasi antar“jam kerja” (baris)! Hitunglah variasi antar“orang” (kolom)! Hitunglah variasi yang tak dijelaskan! Tentukan derajat kebebasan untuk: a) perbedaan antarorang; b) perbedaan antarjam kerja; c) variasi residu; d) total.



8.33



 ESPA4123/MODUL 8



5) Hitung varian jam kerja: Varian antarorang dan Varian yang tidak dijelaskan! 6) Ujilah apakah terdapat perbedaan antarjam kerja, dan apakah terdapat perbedaan antarorang-orang yang mengerjakan; serta susunlah tabel ANOVA! Petunjuk Jawaban Latihan Sebelum mulai menjawab pertanyaan-pertanyaan, tabel soal kita ubah dulu menjadi lebih mudah dimanfaatkan. Orang Jam Kerja 11.00 - 12.00 13.00 – 14.00 16.00 – 17.00 X .j



24 23 25 24



X



4



–1



–3



0



16



1



9



26



X X



.j



.j



 X



A



B



C



19 20 17 14 21 17 19 17



Xi 21 18 21



X = 20



X



i



X



1 –2 1 0



2



Dengan demikian, kita lebih mudah melakukan perhitungan



1)



SSr  C



r



 Xi  X 



2



i 1



= 3 (6) = 18



SSc = r   X . j  X  c



2)



j=1



= 3 (26) = 78



2



X  X  i



1 4 1 6



2



8.34



Statistika Ekonomi 



SSu    X ij  X i  X j  X  r



3)



C



2



i 1 j  i



= (24 – 21 – 24 + 20)2 + (19 – 21  19 + 20 )2 + (20 – 21 – 17 + 20 )2 + (23 – 18 – 24 + 20)2 + (17 – 18 – 19 + 20)2 + (14 – 18 –17 + 20)2 + (25 – 21 – 24 + 20)2 + (21 – 21 –19 + 20 )2 + (17 – 21 – 17 + 20)2 = 1+1+4+1+0+1+0+1+1 = 10 4) df untuk variasi antarjam kerja = (r – 1) = 3–1 = 2 df untuk variasi antarorang   c  1



 3 1 2 df untuk variasi residu   c  1 r  1 2.2 4 df total   rc  1   3 3  1



8 5) Varian antarjam kerja: SS 18 MSSr  r  9 r 1 2 Varian antarorang SSc 78 MSSc    39 c  1   2 Varian yang tak dijelaskan : SSu 10 MSSu    2,5  r  1 c  1 4



8.35



 ESPA4123/MODUL 8



6) Tabel ANOVA Variasi



df



Varian



Antar Jam



3(6) = 18



2



9



Rasio F 3,6



Antar Orang



3(26) = 78



2



39



15,6



Residu



10



4



2,5



Total



106



8



Sumber



Nilai Probabilitas untuk H 0 Karena: F0,025 = 2,00 dan F0,16 = 4,32 0,10 < p < 0,25; = 0,15 Karena F0,05 = 6,94 dan F0,01 = 18,0 0,01 < p < 0,05; p = 0,2



Jadi, probabilitas bahwa terdapat persamaan antarjam kerja sebesar 0,1 < p < 0,25 atau p  0,15. Dengan derajat kepercayaan 95% (atau derajat kesalahan 5%) dapat dikatakan bahwa ada kesamaan produksi antarjam kerja yang berbeda. Probabilitas bahwa terdapat persamaan hasil produksi antarorang (pekerja) adalah: 0,01  p  0,05 atau p  0,02. Jadi, dengan derajat keyakinan 95% (derajat kepercayaan 5%) dapat dikatakan bahwa hasil produksi antarpekerja tidak berbeda. a. Susut penyerapan b. Rusak penyerapan R A NG KU M AN Untuk menghitung tabel ANOVA dengan dua faktor perlu dihitung hal-hal seperti ini: r



a.







SSr  C  X i  X i 1







2



Di mana: c = kolom r = baris



8.36



b.



Statistika Ekonomi 



Variasi antarkolom: c







SSc  r  X . j  X j 1



c.







2



Variasi Residu r



C







SSu   X ij  X i  X . j  X i 1 j 1







2



d.



Varian yang dijelaskan oleh perbedaan menurut “baris” SS MSS r  r  c . S X2 i r 1



e.



Varian yang dijelaskan oleh perbedaan menurut faktor kolom (c) SS MSSc  c  r . S X2 . j c 1



f.



Varian yang tak dijelaskan SSu MSSu   S2  r  1 c  1



g.



Menghitung rasio F yang membedakan faktor “baris” MSSr F MSSu



h.



Menghitung rasio F yang membedakan faktor “kolom” MSSc F MSSu



i.



Membandingkan nilai rasio F dengan Ftabel.



Pemisahan/pemilahan dilakukan dengan menggunakan beberapa cara berdasarkan prinsip perbedaan:



8.37



 ESPA4123/MODUL 8



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Diketahui bahwa lima belas peserta penataran teknik (yang pernah dibicarakan pada tes formatif 1, mengerjakan soal ujian (tes) yang menggunakan tiga metode instruksi yang berbeda. Hasil tes tersebut masih dapat dikelompokkan lagi berdasarkan lima kelompok kemampuan peserta training  B1, B2 , B3 , B4 , B5  . Nilai tes yang diperoleh para peserta penataran berdasarkan perbedaan metode instruksi dan berdasarkan kemampuan peserta, ditunjukkan sebagai berikut: Tingkat Kemampuan B1 B2 B3 B4 B5 Total Rata-rata X .j



Metode instruksi A1 86 84 81 79 70 400



A2 90 89 88 76 82 425



A3 82 81 73 68 71 375



80



85



75



Total Xi



Rata-rata Xi



258 254 242 223 223



86,0 84,7 80,7 74,3 74,3



X = 80



1) Variasi antarbaris yang dijelaskan oleh perbedaan kemampuan peserta penataran adalah …. A. 370 B. 250 C. 350 D. 362 2) Variasi antarkolom yang dijelaskan oleh perbedaan “metode instruksi” adalah …. A. 350 B. 80,7 C. 250 D. 350



8.38



Statistika Ekonomi 



3) Variasi yang tidak dijelaskan adalah …. A. 480 B. 350,8 C. 80,68 D. 98,60 4) Derajat kepercayaan variasi yang dijelaskan oleh “kemampuan” peserta adalah …. A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 5) Derajat kebebasan variasi yang dijelaskan oleh “metode instruksi” adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6) Derajat kebebasan residu adalah …. A. 8 B. 12 C. 6 D. 10 7) Varian yang dijelaskan oleh “kemampuan peserta” adalah …. A. 100 B. 27,5 C. 86 D. 92,5 8) Varian yang dijelaskan oleh “metode instruksi” adalah …. A. 150 B. 86 C. 9,8 D. 92,5 9) Varian residu adalah …. A. 10,83 B. 10,2



8.39



 ESPA4123/MODUL 8



C. 9,8 D. 20 10) Rasio F karena kemampuan adalah …. A. 6,37 B. 8,54 C. 4,6 D. 9,8 11) Rasio F karena “metode instruksi “ adalah …. A. 11,54 B. 10,85 C. 7,8 D. 4,6 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



8.40



Statistika Ekonomi 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C 2) D 3) C 4) B 5) A 6) C 7) C



Tes Formatif 2 1) A 2) C 3) C 4) D 5) B 6) A 7) D 8) C 9) A 10) B 11) A



 ESPA4123/MODUL 8



8.41



Daftar Pustaka Bertens. (1989). Filsafat Barat Abad XX. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Kazmier, L. J. (1979). Theory and Problems of Bussiness Statistics. Schaum‟s outline series. New York:Mc Graw Hill Book Company, Pangeran, Alha. (1998). BMP Pendidikan Pancasila. Jakarta: Penerbit Karunika. Wonnacott, T.H. and Wonnacott R. J.(1985). Introductory Statistics for Bussiness and Economics. New York: John Willey & Sons.



8.42



Statistika Ekonomi 



Lampiran 1 Tabel Nilai kritis Distribusi dengan Tingkat Signifikansi 5%,  = 0,05



Lampiran 2



 ESPA4123/MODUL 8



8.43



Tabel Nilai kritis Distribusi dengan Tingkat Signifikansi 1%,  = 0,01



Modul 9



Angka Indeks Dra. Ch. Suparmi, S.U.



PE NDAHUL UA N



D



alam Modul 9 ini kita akan membahas tentang indeks harga dan indeks kuantitas. Angka indeks pada dasarnya merupakan suatu angka yang dibuat sedemikian rupa sehingga dapat dipergunakan untuk melakukan perbandingan antara kegiatan yang sama seperit ekspor, hasil penjualan, jumlah uang beredar dan sebagainya, dalam dua waktu yang berbeda. Dari angka indeks dapat diketahui maju mundurnya atau naik turunnya suatu usaha atau kegiatan. Jadi tujuan pembuatan angka indeks sebetulnya untuk mengukuk secara kuantitatif terjadinya suatu perubahan dalam dua waktu yang berlainan. Misalnya indeks harga untuk mengukuk perubahan harga (berapa % kenaikannya atau penurunannya), indeks biaya hidup sering dipergunakan untuk mengukur tingkat inflasi dan lain sebagainya. Dengan demikian angka indeks sangat diperlukan oleh siapa saja yang ingin mengetahui maju mundurnya kegiatan atau usaha yang dilaksanakan. Setelah mempelajari modul ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menjelaskan konsep angka indeks 2. menjelaskan pengertian indeks harga 3. menghitung dengan menggunakan konsep indeks harga 4. menjelaskan konsep indeks kuantitas 5. menghitung dengan menggunakan konsep indeks kuantitas



9.2



Statistika Ekonomi 



Kegiatan Belajar 1



Indeks Harga



A



ngka indeks merupakan peralatan statistik yang sangat populer untuk mengukur perubahan atau melakukan perbandingan antara variabelvariabel ekonomi. Perubahan atau perbandingan antar variabel dari waktu ke waktu dan dinyatakan dengan angka-angka indeks umumnya mudah dimengerti. Di samping pengukuran perubahan harga-harga dan jumlah produksi, angka indeks juga berguna bagi pengukuran perubahan biaya hidup (cost of living). METODE PENYUSUNAN INDEKS HARGA Pada dasarnya metode penyusunan indeks harga dapat dibagi menjadi dua, yaitu indeks harga tidak tertimbang dan indeks harga tertimbang. 1.



Indeks Harga tidak Tertimbang Indeks harga tidak tertimbang ada dua macam, yaitu metode agregatif sederhana dan metode rata-rata dari angka relatif. a.



Metode agregatif sederhana Untuk membuat indeks harga dibutuhkan data dari beberapa macam barang seperti terlihat dalam Tabel 9.1 berikut Tabel 9.1. Perhitungan Indeks Harga dengan Metode Agregatif Sedehana



Jenis barang Beras Daging ayam Gula pasir Telur ayam Ikan asin jumlah



P2009



P2010



6.000 20.000 10.000 9.000 13.000 58.000



7.000 25.000 12.000 10.000 15.000 69.000



9.3



 ESPA4123/MODUL 9



Penyusunan indeks harga bahan makanan di atas bertujuan untuk menggambarkan perubahan dari harga eceran bahan makanan tahun 2010 dibandingkan dengan harga pada tahun 2009. Secara matematis, metode agregatif sederhana dapat dirumuskan sebagai berikut: IA 



 Pn  100  P0



Dalam hal ini : Po = harga pada periode dasar Pn = harga pada tahun n 100 = nilai indeks harga pada periode dasar Periode dasar dipilih periode pada saat keadaan perekonomian stabil. Misalnya keadaan perekonomian pada tahun 2009 dianggap lebih stabil, maka periode dasarnya dipilih tahun 2009. Maka indeks harga tahun 2010 dengan periode dasar tahun 2009 dapat dihitung sebagai berikut:



IA 



69.000 100  118,97 58.000



Artinya harga barang-barang pada tahun 2010 lebih tinggi 18,97% dibanding tahun 2009. Atau terjadi inflasi sebesar 18,97%. b.



Metode rata-rata dari angka relatif Dengan menggunakan metode rata-rata angka relatif maka menggunakan rumus



kita



P    n 100  P  I  0 K



Di mana: Pn  100 = angka relatif P0 K = banyaknya macam barang Sebagai contoh kita akan menghitung indeks harga bahan makanan yang dalam Tabel 6.1 di atas



9.4



Statistika Ekonomi 



Tabel 9.2. Perhitungan Indeks Harga dengan Metode Rata-rata Angka Relatif



Jenis barang Beras Daging ayam Gula pasir Telor ayam Ikan asin jumlah



P2009



P2010



Pn  100 P0



6.000 20.000 10.000 9.000 13.000 58.000



7.000 25.000 12.000 10.000 15.000 69.000



116,67 125 120 111 115,38 588,05



Indeks harga dapat dihitung dari hasil perhitungan di dalam Tabel 6.2



I



588,05  117,61 5



Berarti tahun 2010 terjadi inflasi 17,61% 2.



Indeks Harga Tertimbang Indeks harga tertimbang dibuat dengan menggunakan timbangan, timbangan yang digunakan adalah kuantitas barang. Ada beberapa ahli yang menciptakan rumus untuk menghitung indeks harga tertimbang. Perbedaan rumus yang satu dengan yang lain terletak pada kuantitas mana yang diambil sebagai timbangan. Berikut ini adalah beberapa rumus yang dikemukakan oleh beberapa ahli statistik tersebut. a.



Indeks Laspeyres Laspeyres menggunakan kuantitas pada periode dasar sebagai timbangan, sehingga Indeks Laspeyres diformulasikan sebagai berikut: IL 



 Pn  Q0 100  P0  Q0



Sebagai contoh kita akan menghitung indeks tertimbang harga bahan makan seperti terlihat dalam Tabel 9.3 berikut:



9.5



 ESPA4123/MODUL 9



Tabel 9.3. Perhitungan Indeks Laspeyres



Jenis barang Beras Daging ayam Gula pasir Telor ayam Ikan asin jumlah



P2009



6.000 20.000 10.000 9.000 13.000



P2010



Q0



P0  Q0



Pn  Q0



7.000 25.000 12.000 10.000 15.000



40 4 6 10 2



240.000 80.000 60.000 90.000 26.000 496.000



280.000 100.000 72.000 100.000 30.000 582.000



Dari hasil perhitungan dalam tabel di atas, kita dapat menghitung indeks Laspeyres sebagai berikut:



IL 



582.000 100  117,34 496.000



Artinya harga barang pada tahun 2010 lebih tinggi 17,34% dibanding harga-harga tahun 2009, atau terjadi inflasi sebesar 17,34%. Kebaikan indeks Laspeyres: metode perhitungannya mudah, sederhana, karena untuk menghitung indeks selama beberapa tahun, timbangannya hanya satu yaitu kuantitas pada periode dasar. Kebaikan tersebut sekaligus merupakan kelemahan indeks Laspeyres. Karena hanya menggunakan kuantitas pada periode dasar, maka data kuantitas tersebut kurang up to date. b



eks Paache Untuk menghitung indeks Paache, kita menggunakan kuantitas pada periode n. Maka proses perhitungannya lebih repot karena jika kita menghitung indeks beberapa tahun, kita menggunakan kuantitas beberapa tahun. Tetapi kelemahan tersebut sekaligus merupakan keunggulan metode Paache, karena data kuantitas up to date yaitu menggunakan data kuantitas pada periode di mana indeks tersebut dihitung. Indeks Paache dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. IP 



 Pn  Q0 100  P0  Q0



Supaya jelas kita akan mencoba menghitung Indeks Paache dari harga makanan yang ada pada tabel di atas.



9.6



Statistika Ekonomi 



Tabel 9.4. Perhitungan Indeks Paache



Jenis barang



P2009



P2010



Qn



Beras Daging ayam Gula pasir Telor ayam Ikan asin jumlah



6.000 20.000 10.000 9.000 13.000



7.000 25.000 12.000 10.000 15.000



45 5 7 12 3



P0  Q0



270.000 100.000 70.000 108.000 39.000 587.000



Pn  Q0



315.000 125.000 74.000 120.000 45.000 679.000



Dari hasil perhitungan dalam Tabel 9.4 kita dapat menghitung Indeks Paache sebagai berikut:



IP 



679.000 100  115,67 587.000



Artinya harga barang-barang pada tahun 2010 dibandingkan harga barang-barang pada tahun 2009 naik 15,67%, atau terjadi inflasi sebesar 15,67%. c.



Eks Drobish Drobish menggunakan kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada periode n sebagai timbangan, sehingga indeks Drobish dapat dihitung dengan rumus berikut  Pn  Q0  Pn  Qn   P0  Q0  P0  Qn ID   100 2



Apabila indeks Laspeyres dan Indeks Paache sudah dihitung, maka Indeks Drobish dapat dihitung dengan rumus: ID 



IL  IP 2



Agar lebih jelas kita akan menghitung indeks harga bahan makanan menggunakan Tabel berikut.



9.7



 ESPA4123/MODUL 9



Tabel 9.5. Perhitungan Indeks Drobish Jenis barang



P2009



P2010



Qn



P0  Q0



Pn  Q0



Qn



P0  Qn



Pn  Qn



Beras Daging ayam Gula pasir Telur ayam Ikan asin



6.000 20.000 10.000 9.000 13.000



7.000 25.000 12.000 10.000 15.000



40 4 6 10 2



240.000 80.000 60.000 90.000 26.000



280.000 100.000 72.000 100.000 30.000



45 5 7 12 3



270.000 100.000 70.000 108.000 39.000



315.000 125.000 74.000 120.000 45.000



496.000



582.000



587.000



679.000



jumlah



582.000 679.000  ID  496.000 587.000  100  116,505 2



Atau kita menghitung indeks drobish menggunakan indeks Laspeyres dan indeks Paache yang sudah dihitung di bagian depan, sebagai berikut: ID 



117,34  115, 67  116,505 2



Artinya harga barang-barang tahun 2010 lebih tinggi 16,505 % dibanding harga barang-barang pada tahun 2009, atau terjadi inflasi sebesar 16,505% d.



Indeks Irving Fisher Indeks Irving Fisher menggunakan kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada tahun tertentu sebagai timbangan.



IF 



 Pn  Q0  Pn  Qn  100  P0  Q0  P0  Qn



Atau kita menggunakan indeks Lasspeyres dan indeks Paache sebagai berikut IF  IL  IP



Sebagai contoh kita akan menggunakan hasil perhitungan yang dalam Tabel 9.5.



9.8



Statistika Ekonomi 



IF 



582.000 679.000  100  116,5 496.000 587.000



IF  117,34 115, 67  116,5 Artinya harga barang-barang tahun 2010 lebih tinggi 116,5% dibanding harga barang-barang tahun 2009, atau terjadi inflasi sebesar 16,5% Indeks Marshal – Edgeworth Marshal dan Edgeworth menggunakan penjumlahan kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada periode n sebagai timbangan, sehingga indeks Marshal dan Edgeworth dapat dihitung menggunakan rumus berikut: e.



IME 



 Pn  Q0  Qn   P0  Q0  Qn 



100



Sebagai contoh kita akan menggunakan data harga makanan dalam tabel sebelumnya, seperti terlihat dalam Tabel 9.6. Tabel 9.6. Perhitungan indeks Marshal dan Edgeworth Jenis barang



P2009



P2010



Q0



Qn



Q0  Qn



P0 Q0Qn



P0  Q0  Qn 



Beras Daging ayam Gula pasir Telur ayam Ikan asin



6.000 20.000 10.000 9.000 13.000



7.000 25.000 12.000 10.000 15.000



40 4 6 10 2



45 5 7 12 3



85 9 13 22 5



510.000 180.000 130.000 198.000 65.000



595.000 225.000 156.000 220.000 75.000



1.083.000



1.271.000



Jumlah



IME 



1.271.000 100  117,63 1.083.000



Artinya harga barang-barang pada tahun 2010 lebih tinggi 117,36% dibanding harga barang-barang pada tahun 2009, atau terjadi inflasi sebesar 117,36%.



9.9



 ESPA4123/MODUL 9



f.



Indeks Walsh Wals menggunakan akar perkalian kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada periode n sebagai timbangan, sehingga rumus indeks Wals menjadi sebagai berikut



 Pn



IW 



 P0



 Q0  Qn  100  Q0  Qn 



Sebagai contoh kita akan menggunakan data harga makanan. Seperti terlihat dalam Tabel 9.7 berikut ini. Tabel 9.7. Perhitungan Indeks Walsh Jenis barang



P2009



P2010



Q0



Qn



Q0  Qn



P0 Q0Qn



P0  Q0  Qn 



Beras Daging ayam Gula pasir Telor ayam Ikan asin Jumlah



6.000 20.000 10.000 9.000 13.000



7.000 25.000 12.000 10.000 15.000



40 4 6 10 2



45 5 7 12 3



6,71 4,47 6,48 10,95 2,45



268,4 17,88 38,88 109,5 4,9 423,56



301,95 22,35 45,36 131,4 7,35 508,41



Kita dapat menghitung indeks Walsh dengan menggunakan hasil perhitungan dalam Tabel 9.7 sebagai berikut:



IW 



508, 41 100  120,03 423,56



Artinya harga barang-barang pada tahun 2010 lebih tinggi 20,03% dibanding harga barang-barang tahun 2009, atau terjadi inflasi sebesar 20,03 %.



9.10



Statistika Ekonomi 



LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Diketahui harga dan kuantitas beberapa produk pada tahun 2008 dan tahun 2009 dapat dilihat dalam tabel berikut. Jenis barang Buku tulis Ball pen Pensil spidol



1) 2) 3) 4)



P2008 2.000 1.500 1.000 750



P2009 2.500 1.750 1.250 1.000



Q2008 1.000 200 100 50



Q2009 1.200 250 120 60



Hitunglah indeks harga dengan metode Agregatif sederhana Rata-rata angka relatif Laspeyres Paache



Petunjuk Jawab Latihan 1) Jumlahkan harga tahun 2008 dan tahun 2009 . Diperoleh ΣP2008 dan ΣP2009. 2) Bagilah ΣP2009 dengan ΣP2008 kemudian dikalikan 100 diperoleh Indeks agregatif. 3) Hitunglah angka relatif dengan cara Pn dibagi P0 dikalikan 100. 4) Jumlahkan angka relatif semua barang, dibagi jumlah barang  diperoleh indeks rata-rata dari angka relatif. 5) Kalikan P2008 dengan Q2008 dan jumlahkan diperoleh ΣP2008.Q2008. 6) Kalikan P2009 dengan Q2008 dan jumlahkan  diperoleh ΣP2009.Q2008. 7) Hitung indeks laspeyres dengan cara membagi ΣP2009.Q2008 dengan ΣP2008.Q2008 kemudian dikalikan 100. 8) Kalikan P2008 dengan Q2009 dan jumlahkan diperoleh  ΣP2008.Q2009. 9) Kalikan P2009 dengan Q2009 dan jumlahkan  diperoleh ΣP2009.Q2009. 10) Hitung indeks Paache dengan cara membagi ΣP2009.Q2009 dengan ΣP2008.Q2009 kemudian dikalikan 100.



 ESPA4123/MODUL 9



9.11



RA NGK UMA N Angka indeks merupakan ukuran statistik yang sangat popular untuk mengukur perubahan atau melakukan perbandingan antar variabelvariabel ekonomi. Perubahan atau perbandingan antar variabel dari waktu ke waktu dan dinyatakan dengan angka-angka indeks umumnya mudah dimengerti. Metode Penyusunan Indeks Harga Pada dasarnya metode penyusunan indeks harga dapat dibagi menjadi dua, yaitu indeks harga tidak tertimbang dan indeks harga tertimbang. 1.



Indeks Harga tidak Tertimbang Indeks harga tidak tertimbang ada dua macam, yaitu metode agregatif sederhana dan metode rata-rata dari angka relatif. a. Metode agregatif sederhana  Pn IA   100  P0 b.



Metode rata-rata dari angka relatif Dengan menggunakan metode rata-rata angka relatif maka menggunakan rumus P    n 100  P  I  0 K



kita



2. a.



Indeks harga tertimbang Indeks Laspeyres Laspeyres menggunakan kuantitas pada periode dasar sebagai timbangan,  Pn  Q0 IL  100  Pn  Q0



b.



Indeks Paache Indeks Paache menggunakan kuantitas pada periode n sebagai timbangan



9.12



Statistika Ekonomi 



IP 



 Pn  Q0  Pn  Q0



c.



Indeks Drobish Drobish menggunakan kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada periode n sebagai timbangan, sehingga indeks Drobish dapat dihitung dengan rumus berikut  Pn  Q0  Pn  Qn   P0  Q0  P0  Qn ID   100 2 Apabila indeks Laspeyres dan Indeks Paache sudah dihitung, maka Indeks Drobish dapat dihitung dengan rumus: IL  IP ID  2



d.



Indeks Irving Fisher Indeks Irving Fisher menggunakan kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada tahun n sebagai timbangan.  Pn  Q0  Pn  Qn IF   100 atau IF  IL  IP  P0  Q0  P0  Qn



e.



Indeks Marshal – Edgeworth Marshal dan Edgeworth menggunakan penjumlahan kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada periode n sebagai timbangan, sehingga indeks Marshal dan Edgeworth dapat dihitung menggunakan rumus berikut:  Pn  Q0  Qn  IME  100  P0  Q0  Qn 



f.



Indeks Walsh Wals menggunakan akar perkalian kuantitas pada periode dasar dan kuantitas pada periode n sebagai timbangan, sehingga rumus indeks Wals menjadi sebagai berikut



IW 



 Pn  P0



 Q0  Qn  100  Q0  Qn 



 ESPA4123/MODUL 9



9.13



TES FO RMA TIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dalam menghitung angka indeks, kita membutuhkan periode dasar. Tahun yang dipilih sebagai periode dasar adalah periode yang memenuhi syarat .... A. kondisi perekonomian stabil B. tidak terlalu jauh dari periode yang dianalisis C. periode awal dari periode yang dianalisis D. dalam tahun tersebut ada kebijakan pemerintah yang sangat berpengaruh terhadap perekonomian 2) Angka indeks harga dapat digunakan untuk menghitung .... A. nilai riil suatu variabel B. tingkat inflasi C. nilai nominal suatu variabel D. A dan B saja yang benar 3) Perbedaan antara indeks Laspeyres dan indeks Paache adalah .... A. kuantitas yang digunakan sebagai timbangan B. periode yang dipakai untuk menghitung indeks C. harga yang dipakai untuk menghitung angka indeks D. semua jawaban di atas semua salah 4) Kita mengenal bermacam-macam indeks harga di Indonesia, seperti indeks Sembilan bahan pokok, indeks biaya hidup dan indeks harga konsumen. Perbedaan dari ketiga indeks harga tersebut terletak pada .... A. tahun dasar yang dipakai B. periode dari data yang dipakai C. macam barang yang dipakai D. panjangnya seri data yang dipakai 5) Bila indeks harga pada tahun 2009 dengan periode dasar tahun 2008 sebesar 120, maka berarti .... A. indeks harga tahun 2008 = 100 B. indeks harga tahun 2009 = 120 C. inflasi tahun 2009 = 20% D. semua jawaban di atas benar



9.14



Statistika Ekonomi 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



9.15



 ESPA4123/MODUL 9



Kegiatan Belajar 2



Indeks Kuantitas



D



i bagian depan sudah diutarakan bahwa angka indeks merupakan ukuran statistik guna mengukur perubahan atau melakukan perbandingan antar variabel ekonomi dan sosial. Perubahan yang dimaksud tidak hanya perubahan harga dari periode ke periode. Perubahan kuantitas produksi, atau konsumsi dari tahun ke tahun dapat juga diukur atau diperbandingkan dengan menggunakan angka-angka indeks. Angka-angka indeks seperti itu dinamakan indeks kuantitas (quantity index). Pada dasarnya menyusun indeks kuantitas tidak berbeda dengan menyusun indeks harga. Jika pada penyusunan indeks harga berkisar pada perbandingan Pn dan P0 (Pn/P0). Pada penyusunan indeks kuantitas berkisar pada perbandingan antara Qn dan Q0 (Qn/Q0). Pada indeks harga tertimbang maka kuantitas dipakai sebagai timbangan, sedangkan dalam indeks kuantitas tertimbang yang digunakan sebagai timbangan adalah harga. Karena pada prinsipnya menyusun indeks harga dan indeks kuantitas adalah sama, maka kita tidak akan membahas indeks kuantitas secara panjang lebar, kita akan menyajikannya dalam bentuk rumus. METODE PERHITUNGAN INDEKS KUANTITAS Pada dasarnya metode penyusunan indeks kuantitas dapat dibagi menjadi dua, yaitu indeks kuantitas tidak tertimbang dan indeks kuantitas tertimbang. 1.



a.



Indeks tidak Tertimbang Ada dua metode untuk menyusun indeks tidak tertimbang



Metode agregatif sederhana Untuk membuat indeks kuantitas dibutuhkan data kuantitas dari beberapa macam barang seperti terlihat dalam Tabel 9.8 berikut



9.16



Statistika Ekonomi 



Tabel 9.8. Perhitungan Indeks Kuantitas dengan Metode Agregatif Sedehana



Jenis barang Tepung terigu Telor Susu Gula pasir jumlah



Q2009



Q2010



500 100 160 50 810



700 130 200 70 1100



Penyusunan indeks kuantitas bahan makanan di atas bertujuan untuk menggambarkan perubahan dari kuantitas bahan makanan tahun 2010 dibandingkan dengan kuantitas pada tahun 2009. Secara matematis, metode agregatif sederhana dapat dirumuskan sebagai berikut. IA 



 Qn 100  Q0



Dalam hal ini : Qo = kuantitas pada periode dasar Qn = kuantitas pada tahun n 100 = nilai indeks kuantitas pada periode dasar Periode dasar dipilih periode di mana keadaan perekonomian stabil. Maka indeks kuantitas tahun 2010 dengan periode dasar tahun 2009 dapat dihitung



IA 



1.100 100  135,8 810



Artinya jumlah barang yang diproduksi pada tahun 2010 dibandingkan tahun 2009 naik sebesar 35,8%. b.



Rata-rata dari angka relatif Dengan menggunakan metode rata-rata angka relatif maka menggunakan rumus Q    n  100  Q  I  0 K



kita



9.17



 ESPA4123/MODUL 9



Di mana: Qn  100 = angka relatif Q0 K = banyaknya macam barang Sebagai contoh kita akan menghitung indeks kuantitas bahan makanan yang dalam Tabel 9.8 di atas Tabel 9.9. Perhitungan Indeks Kuantitas dengan Metode Rata-rata Angka Relatif



Jenis barang Tepung terigu Telur Susu Gula pasir jumlah



Q2009



Q2010



500 100 160 50



700 130 200 70



Qn  100 Q0



140 130 125 140 535



Indeks kuantitas dengan metode rata-rata dari angka relatif dapat dihitung dari hasil perhitungan di dalam Tabel 9.9



I



535  107 5



Artinya jumlah barang yang diproduksi pada tahun 2010, 7% lebih tinggi dari pada yang diproduksi tahun 2009. 2.



Indeks Kuantitas Tertimbang Indeks kuantitas tertimbang dibuat dengan menggunakan timbangan, timbangan yang digunakan adalah harga barang. Ada beberapa ahli yang menciptakan rumus untuk menghitung indeks kuantitas tertimbang. Perbedaan rumus yang satu dengan yang lain terletak pada harga mana yang diambil sebagai timbangan. Berikut ini adalah beberapa rumus yang dikemukakan oleh beberapa ahli statistik tersebut. a.



Indeks Laspeyres Laspeyres menggunakan harga pada periode dasar sebagai timbangan, sehingga Indeks Laspeyres diformulasikan sebagai berikut:



9.18



Statistika Ekonomi 



IL 



 Qn  P0 100  Q0  P0



Sebagai contoh kita akan menghitung indeks kuantitas bahan makan tertimbang seperti terlihat dalam Tabel 9.10 berikut: Tabel 9.10. Perhitungan Indeks Laspeyres



Jenis barang Tepung terigu Telor Susu Gula pasir jumlah



Q2009



500 100 160 50



Q2010



700 130 200 70



P0



Q0  P0



Qn  P0



6.000 10.000 20.000 9.000



3.000.000 1.000.000 3.200.000 450.000 7.650.000



4.200.000 1.300.000 4.000.000 630.000 10.130.000



Dari hasil perhitungan dalam tabel di atas, kita dapat menghitung indeks Laspeyres sebagai berikut:



IL 



10.130.000 100  132, 42 7.650.000



Artinya produksi bahan makan tahun 2010, 32,42% lebih besar dibanding produksi tahun 2009. Kebaikan indeks Laspeyres: metode ini perhitungannya mudah, sederhana, karena untuk menghitung indeks selama beberapa tahun, timbangannya hanya satu yaitu harga pada periode dasar. Kebaikan tersebut sekaligus merupakan kelemahan indeks Laspeyres. Karena hanya menggunakan harga pada periode dasar sebagai timbangan, maka data harga tersebut kurang up to date. b.



Indeks Paache Untuk menghitung indeks Paache, kita menggunakan harga pada periode n sebagai timbangan. Maka proses perhitungannya lebih repot karena jika kita menghitung indeks beberapa tahun, kita menggunakan harga pada beberapa tahun sebagai timbangan. Tetapi kelemahan tersebut sekaligus merupakan keunggulan metode Paache, karena data harga yang digunakan up to date, karena menggunakan data harga pada periode di mana indeks tersebut dihitung.



9.19



 ESPA4123/MODUL 9



Indeks Paache dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut IP 



 Qn  Pn 100  Q0  Pn



Supaya jelas kita akan mencoba menghitung Indeks Paache dari kuantitas bahan makanan yang ada pada tabel di atas. Tabel 9.11. Perhitungan Indeks Paache



Jenis barang Tepung terigu Telor Susu Gula pasir jumlah



Q2009



500 100 160 50



Q2010



700 130 200 70



Pn



Q0  P0



Qn  P0



7.000 12.000 25.000 10.000



3.500.000 1.200.000 4.000.000 500.000 9.200.000



4.900.000 1.560.000 5.000.000 700.000 12.160.000



Dari hasil perhitungan dalam Tabel 9.11 kita dapat menghitung indeks Paache sebagai berikut



IP 



12.160.000 100  132,174 9.200.000



Artinya produksi bahan makan tahun 2010, 32,174% lebih besar dibanding produksi tahun 2009. c.



Indeks Drobish Drobish menggunakan harga pada periode dasar dan harga pada periode n sebagai timbangan, sehingga indeks Drobish dapat dihitung dengan rumus berikut  Qn  P0  Qn  Pn   Q0  P0  Q0  Pn ID   100 2



Apabila indek Laspeyres dan Indeks Paache sudah dihitung, maka Indeks Drobish dapat dihitung dengan rumus: IL  IP ID  2



9.20



Statistika Ekonomi 



Tabel 9.12. Perhitungan Indeks Drobish Jenis barang



Q2009



Q2010



Tepung terigu Telor Susu Gula pasir jumlah



500 100 160 50



700 130 200 70



P0



Q0  P0



Qn  P0



Pn



Q0  Pn



Qn  Pn



6.000 10.000 20.000 9.000



3.000.000 1.000.000 3.200.000 450.000 7.650.000



4.200.000 1.300.000 4.000.000 630.000 10.130.000



7.000 12.000 25.000 10.000



3.500.000 1.200.000 4.000.000 500.000 9.200.000



4.900.000 1.560.000 5.000.000 700.000 12.160.000



10.130.000 12.160.000  ID  7.650.000 9.200.000  100  132, 297 2



Atau ID 



132, 42  132,174  132, 297 2



Artinya kuantitas bahan pangan yang diproduksi tahun 2010, 32,297% lebih besar dibanding produksi tahun 2009. d.



Indeks Fisher Indeks Irving Fisher menggunakan harga pada periode dasar dan harga pada tahun tertentu sebagai timbangan.



IF 



 Qn  P0  Qn  Pn  100  Q0  P0  Q0  Pn



Atau IF  IL  IP



Sebagai contoh kita akan menggunakan hasil perhitungan yang dalam Tabel 6.12. 10.130.000 12.160.000 IF   100  132,3 7.650.000 9.200.000 atau IF  IL  IP  132, 42 132,174  132,3 Artinya kuantitas bahan pangan yang diproduksi tahun 2010, 32,3% lebih besar dibanding produksi tahun 2009.



9.21



 ESPA4123/MODUL 9



Indeks Marshal – Edgeworth Marshal dan Edgeworth menggunakan penjumlahan harga pada periode dasar dan harga pada periode n sebagai timbangan, sehingga indeks Marshal dan edgeworth dapat dihitung menggunakan rumus berikut: e.



IME 



 Qn  P0  Pn   Q0  P0  Pn 



100



Sebagai contoh kita akan menggunakan data kuantitas makanan dalam tabel sebelumnya, seperti terlihat dalam Tabel 9.13. Tabel 9.13. Perhitungan Indeks Marshal dan Edgeworth Jenis barang



Q2009



Q2010



P0



Pn



P0  Pn



Tepung terigu Telor Susu Gula pasir jumlah



500 100 160 50



700 130 200 70



6.000 10.000 20.000 9.000



7.000 12.000 25.000 10.000



6.500 11.000 22.500 9.500



IME 



Q0  P0  Pn 



Qn  P0  Pn 



3.255.000 1.100.000 3.600.000 475.000 8.430.000



4.550.000 1.430.000 4.500.000 665.000 11.145.000



11.145.000 100  132, 2 8.430.000



Artinya kuantitas bahan pangan yang diproduksi tahun 2010, 32,2% lebih besar dibanding produksi tahun 2009. f.



Indeks Walsh Wals menggunakan akar perkalian harga pada periode dasar dan harga pada periode n sebagai timbangan, sehingga rumus indeks Wals menjadi sebagai berikut IW 



 Qn P0  Pn  Qn P0  Pn



 100



Sebagai contoh kita akan menggunakan data kuantitas makanan. Seperti terlihat dalam Tabel 9.14 berikut ini.



9.22



Statistika Ekonomi 



Tabel 9.14. Perhitungan Indeks Walsh Jenis barang



Q2009



Q2010



P0



Pn



P0 . Pn



Tepung terigu Telor Susu Gula pasir



500 100 160 50



700 130 200 70



6.000 10.00 0 20.00 0 9.000



7.000 12.000 25.000 10.000



6.480,74 10.954,45 22.360,68 9.486,83



jumlah



Q0 P0 Pn



Q0 P0 Pn



3.240.370 1.095.445 3.577.708,8 474.341,5



4.536.518 1.424.078,5 4.472.136 664.078,1



8.387.865,3



11.096.810,6



Kita dapat menghitung indeks Walsh dengan menggunakan hasil perhitungan dalam Tabel 6.14



IW 



11, 096.810, 6 100  132,3 8.387.865,3



Artinya kuantitas bahan pangan yang diproduksi tahun 2010, 32,3% lebih besar dibanding produksi tahun 2009 LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Berikut ini adalah data tentang kuantitas beberapa barang pada tahun 2000 dan 2001 Q2009 Q2010 Jenis barang Kedelai 100 kuintal 125 kuintal Kacang tanah 150 kuintal 160 kuintal Jagung 75 kuintal 100 kuintal Kacang hijau 50 kuintal 60 kuintal Hitunglah indeks kuantitas dengan metode rata-rata dari angka relatif



9.23



 ESPA4123/MODUL 9



Petunjuk Jawab Latihan 1) Hitunglah nilai relatif dari masing-masing barang. 2) Jumlahkan nilai relatif tersebut. 3) Bagilah jumlah nilai relatif dengan banyaknya data. RA NGK UMA N 1.



Indeks tidak tertimbang: Ada dua metode untuk menyusun indeks tidak tertimbang  Qn 100 a. Metode agregatif sederhana: I A   Q0 



b. 2.



Rata-rata dari angka relatif : IRH 



Qn 100 Q0  Q0



Indek tertimbang a.



Indek Laspeyres : IL 



b.



Indeks Paache : IP 



c. d.



 Qn  P0 100  Q0  P0



 Qn  Pn 100  Q0  Pn



 Qn  P0  Qn  Pn   Q0  P0  Q0  Pn  100 Indeks Drobish : ID  2  Qn  P0  Qn  Pn  100 Indeks Fisher : IF   Q0  P0  Q0  Pn



e.



Indeks Marshal – Edgeworth: IME 



f.



Indeks Walsh: IW 



 Qn P0  Pn  Qn P0  Pn



 Qn  P0  Pn   Q0  P0  Pn 



 100 .



100



9.24



Statistika Ekonomi 



TES FO RMA TIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diketahui indeks kuantitas pada tahun 2001 dengan periode dasar tahun 2000 sebesar 120, berarti antara tahun 2000 dan tahun 2001 terdapat kenaikan produksi sebesar .... A. 20% B. 120% C. 100% D. Tidak dapat dihitung perubahannya 2) Pengeluaran masyarakat untuk membeli sembako (Sembilan kebutuhan pokok) pada tahun 2000 sebesar Rp400.000,00 dan pada tahun 2001 naik menjadi Rp500.000,00 maka indeks Paache pada tahun 2001 sebesar .... A. 100 B. 125 C. 500 D. 400 3) Dengan menggunakan data pada soal nomor 2 maka indeks Paache pada tahun 2000 sebesar .... A. 100 B. 120 C. 125 D. 400 4) Jika pengeluaran masyarakat untuk membeli kebutuhan pokok pada tahun 2004 sebesar Rp500.000,00 sedangkan pengeluaran masyarakat untuk membeli barang yang sama pada tahun 2005 dihitung berdasarkan harga-harga pada tahun 2004 sebesar Rp600.000,00 maka kita dapat menghitung indeks kuantitas dengan periode dasar tahun 2004 .... A. Indeks Laspeyres sebesar 100 B. Indeks Laspeyres sebesar 120 C. Indeks Paache sebesar 100 D. Indeks Paache sebesar 120



9.25



 ESPA4123/MODUL 9



5) Jika diketahui indeks Laspeyres tahun tertentu sebesar 120 dan indeks Paache pada periode yang sama sebesar 130, maka kita dapat menghitung indeks Drobish sebesar .... A. 250 B. 125 C. 10 D. 100 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat mengikuti Ujian Akhir Semester (UAS). Selamat! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



9.26



Statistika Ekonomi 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) A 2) D 3) A 4) C 5) D



Tes Formatif 2 1) A 2) B 3) A 4) B 5) B



9.27



 ESPA4123/MODUL 9



Daftar Pustaka Budijoewono, Nugroho. (1987). Pengantar Perusahaan Jilid 2, Yogyakarta: BPFE.



Statistik



Ekonomi



dan



Budijoewono, Nugroho. (1997). Pengantar Statistik Ekonomi dan Bisnis, edisi ke empat, Yogyakarta: UPP AMP YKPN. Dayan, Anto. (1982). Pengantar Matode Statistik Jilid I, cetakan 8, Jakarta: LP3ES. Fleeming, Michael C & Joseph G Nellis. (1991). The Essence of Statistics for Business, Prentice Hall International, UK. Kohler, Heinz. (1994). Statistics For Business And Economics, Third Edition, Harper Collins. Subagyo, Pangestu. (2003). Statistik Deskriptif, edisi 4, Yogyakarta: BPFE. Wonnacott, Thomas H., and Wonnacott, Ronald J. (1990). Introductory Statistics For Business And Economics, fifth Edition.