Essai Aljabar Detta, Yuan, Robin [PDF]

Citation preview

ALJABAR Detta Anastasya1), Robiansyah2), Yuannisya Walimun3) 120101100311), 130101100432), 120101101253) 1)2)3)



Pendidikan Matematika, STKIP Surya Jl. Scientia Gading Serpong, Tangerang 15810 Abstrak Sejarah aljabar dimulai dari masa Mesir kuno dan Babilonia. Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya Rhind Papirus yang berisi teka-teki sekitar tahun 1650 sebelum masehi. Dari kebiasaan memecahkan masalah teka-teki, kemudian masyarakat Mesir kuno dan Babilonia mulai memunculkan persamaan hingga berkembang menjadi aljabar. Saat ini dalam pelajaran di sekolah, aljabar mulai dipelajari sejak jenjang SMP hingga ke jenjang SMA. Materi aljabar yang dipelajari di SMA merupakan perkembangan dari topik aljabar yang telah dipelajari di SMP. Adapun materi aljabar yang dipelajari di SMA ialah bentuk pangkat, akar, dan logaritma, persamaan, fungsi, dan pertidaksamaan kuadrat, sistem persamaan linear dan kuadrat, serta pertidaksamaan. Hampir di setiap materi pelajaran matematika di sekolah berkaitan dengan aljabar. Dalam mempelajari aljabar kendala yang muncul dapat berasal dari faktor intern dan ekstern. Namun pada intinya kendala yang ada tergantung pada kondisi kegiatan belajar mengajar di kelas.



A. SEJARAH ALJABAR Sejarah aljabar dimulai dari masa Mesir kuno dan Babilonia. Hal ini dibuktikan dengan ditemukannya Rhind Papirus yang ditemukan sekitar tahun 1650 sebelum masehi. Rhind papyrus ini berisi suatu teka-teki yang mendasari munculnya suatu persamaan. Teka-teki itu yaitu, “A quantity; its fourth is added to it. It becomes fifteen. What is the quantity?” atau dalam bahasa indonesiannya “Suatu nilai; apabila empat dijumlahkan dengannya. Itu akan menjadi 15. Nilai berapakah itu?”. Dari kebiasaan memecahkan masalah teka-teki seperti inilah masyarakat Mesir kuno dan Babilonia mulai memunculkan apa yang kita kenal dengan persamaan dan kemudian berkembang menjadi aljabar. Selanjutnya, penemuan Clay teblets sekitar tahun 1700 sebelum masehi, masyarakat Mesir kuno dan Babilonia belajar untuk memecahkan persamaan linear (𝑎𝑥=𝑏) dan persamaan kuadrat (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 𝑐) yang dipecahkan dengan menggunakan kuadrat sempurna, dan persamaan tak tentu 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2.



Orang



Babel



kuno



dengan



mudahnya



dapat



memecahkan



permasalahan ini dengan dasar prosedur pengerjaan yang sama dengan yang diajarkan saat ini. Kata



aljabar



(aljabr)



yang



berarti



“pertemuan”,



“hubungan”



atau



“perampungan” diambil dari judul buku Hisab al Jabr Wa’l Muqabalah (Perhitungan dengan Restorasi dan Reduksi), karya seorang ahli matematika Arab, Muhammad



Al-Khwarizmi (780–850 M). Dalam bukunya Khwarismi menuliskan penyelesaian suatu persamaan dalam uraian sistematis dari teori dasar, dengan diberikan contoh dan bukti. Buku Khwarizmi kemudian pada abad ke-12 diartikan ke dalam bahasa Latin oleh matematikawan Itali, Fibonacci. Dengan itu, apa yang ditulis oleh Khwarizmi berkembang sangat pesat di Eropa hingga pada abad ke-13. Aljabar menjadi salah satu cabang ilmu matematika yang sangat bermanfaat dalam ilmu ekonomi dan ilmu sosial lainnya. Aljabar adalah cabang metematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf)



untuk



merepresentasikan



bilangan



secara



umum



sebagai



sarana



penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Misalnya, persamaan 2 × ( 5 + 7 ) = 2 × 5 + 2 × 7 adalah ( benar) pernyataan aritmatika tentang himpunan khusus bilangan, sedangkan persamaan x × ( y + z ) = x × y + x × z adalah pernyataan umum yang menggambarkan sebuah teorema yang dipenuhi oleh tiga bilangan. Ini adalah contoh pernyataan dalam aljabar. Kebanyakan dari aljabar dasar terdiri dari metode memanipulasi persamaan untuk menempatkan mereka dalam bentuk yang lebih tepat, atau untuk menentukan (yaitu, memecahkan ) nilai-nilai yang diperbolehkan variabel yang muncul. Misalnya, menulis ulang 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 25 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖 (𝑥 + 3)2 = 25 yang memungkinkan solusi yang mudah untuk x :



x + 3 = 5 , menghasilkan x = 2 , atau x + 3 = -5 ,



menghasilkan x = -8. Aljabar terus berkembang hingga pada tahun 1797, seorang matematikawan Jerman, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dalam disertasi doktoralnya membuktikan teorema fundamental dari aljabar. Dalam teorema itu, Gauss menyatakan bahwa setiap persamaan polynomial dengan derajat n paling tidak memiliki satu dan sebanyak n akarnya, dalam semesta bilangan kompleks. Pada saat itu aljabar telah memasuki fase modern, perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur dari sistem matematika abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku objek matematika, seperti bilangan kompleks yang muncul dalam menentukan akar dari suatu polinomial. Contoh dari sistem ini yaitu Teori Group dan Quaternions. Tokoh yang



berkontribusi dalam munculnya Teori Group yaitu Galios dan Augustin Cauchy Matematikawan Prancis, Arthur Cayley Matematikawan Inggris, dan Matematikawan Norwegia Niels Abel dan Sophus Lie. Sedangkan Quaternions ditemukan oleh Matematikawan Inggris William Rowan Hamilton. Dan setelah penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vector dan ini berpengaruh besar bagi fisikawan pada masa itu. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak dipimpin oleh George Boole dengan menulis hukum pemikiran. Sejak saat itu aljabar modern mulai dikenal dengan aljabar abstrak dan sangat dibutuhkan dalam ilmu-ilmu lainnya. B. Prasyarat Materi Aljabar SMA 1. Aljabar SMP Kelas VII a) Aljabar (i) Bentuk aljabar dan unsur-unsurnya (ii) Operasi bentuk aljabar (iii) Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) (iv) Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) b) Penerapan Bentuk Aljabar (i) Model



Matematika



pada



PLSV



dan



PtLSV



serta



Penyelesaiannya (ii) Pemecahan Masalah dalam Aritmetika Sosial (iii) Penggunaan Perbandingan untuk Pemecahan Masalah



2. Aljabar SMP Kelas VIII a) Faktorisasi Suku Aljabar (i) Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, dan SukuOperasi Hitung pada Bentuk Aljabar (ii) Pemfaktoran Bentuk Aljabar (iii) Operasi pada Pecahan Bentuk Aljabar b) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (i) Persamaan Linear Satu Variabel (ii) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel



(iii) Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (iv) Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel dengan Mengubah ke Bentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel



C. Urutan Materi Aljabar SMA dalam KTSP 2006 Kelas X BAB I



BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA A. Bentuk Pangkat Bulat B. Bentuk Akar C. Pangkat Pecahan D. Logaritma



BAB II



PERSAMAAN, FUNGSI, DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. Akar-Akar Persamaan Kuadrat B. Diskriminan Persamaan Kuadrat C. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat D. Menyusun Persamaan Kuadrat E. Fungsi dan Fungsi Kuadrat F. Menyusun Fungsi Kuadrat G. Model Matematika yang Berkaitan dengan Persamaan atau Fungsi Kuadrat H. Pertidaksamaan Kuadrat



BAB III



SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel C. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat D. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat E. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan



BAB IV



PERTIDAKSAMAAN A. Pertidaksamaan Pecahan B. Pertidaksamaan Bentuk Akar C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak D. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Satu Variabel



Kelas XI IPA BAB IV



LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran



BAB V



SUKU BANYAK A. Algoritma Pembagian Suku Banyak B. Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor C. Akar-akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak



BAB VI



KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI A. Relasi dan Fungsi B. Aljabar Fungsi C. Fungsi Komposisi D. Fungsi Invers



Kelas XI IPS BAB II



KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI A. Komposisi fungsi dari dua fungsi B. Fungsi Invers



Kelas XII IPA BAB II



PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel B. Model Matematika C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif



BAB III



MATRIKS A. Pengertian Matriks



B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear BAB IV



VEKTOR A. Pengertian Vektor B. Operasi pada Vektor C. Perbandingan Vektor D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor



BAB V



BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA A. Barisan dan Deret Arimetika B. Barisan dan Deret Geometri C. Notasi Sigma dan Induksi Matematika D. Aplikasi Barisan dan Deret



BAB VII



FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA A. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma B. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma



Kelas XII IPS BAB II



PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel B. Model Matematika C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif



BAB III



MATRIKS A. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear



BAB IV



BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA A. Barisan dan Deret Arimetika



B. Barisan dan Deret Geometri C. Notasi Sigma dan Induksi Matematika D. Aplikasi Barisan dan Deret Kelas XII BAHASA BAB II



PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel B. Model Matematika C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif



BAB III



MATRIKS A. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear



BAB V



BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA A. Barisan dan Deret Arimetika B. Barisan dan Deret Geometri C. Notasi Sigma dan Induksi Matematika D. Aplikasi Barisan dan Deret



D. Hubungan Materi Aljabar Terhadap Materi Lainnya Hubungan aljabar dengan materi pelajaran matriks adalah terletak pada operasi bentuk matriks. Proses pengoperasian matriks mengadopsi dari operasi pada bentuk aljabar, seperti berlakunya hukum distributif, hukum asosiatif, dan hukum komutatif. Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan di mana a adalah konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut. 



𝑃 + 𝑄 = 𝑄 + 𝑃  hukum komutatif







(𝑃 + 𝑄) + 𝑅 = 𝑃 + (𝑄 + 𝑅)  hukum asosiatif







𝑃(𝑄 + 𝑅) = 𝑃𝑄 + 𝑃𝑅  hukum distributif







dst



Hubungan aljabar dengan materi barisan dan deret bisa dilihat dari rumus dasar barisan aritmetika yang menggunakan unsur-unsur matematika dalam bentuk aljabar, yaitu variabel atau peubah. Suku ke-n barisan aritmetika adalah 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 di mana



𝑈𝑛 = Suku ke-n



𝑎 = Suku pertama 𝑏 = beda 𝑛 = banyaknya suku Selain itu, dalam operasi barisan aritmetika juga masih mengadopsi dari operasi bentuk aljabar. Contoh: Diketahui barisan 5, -2, -9, -16, …, tentukanlah: a.



rumus suku ke-n



Jawab: Selisih dua suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16, …, adalah tetap, yaitu b = -7 sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. a.



Rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑈𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)(−7) = 5 − 7𝑛 + 7 = 12 − 7𝑛



Hubungan aljabar dengan materi statistika adalah di pelajaran statistika kita mengenal istilah data kualitatif dan data kuantitatif. Agar dapat memahami tentang kedua istilah data dalam statistika tersebut, kita harus terlebih dahulu memahami apa itu kalimat matematika terbuka dan tertutup. Materi tersebut kita dapatkan pada saat belajar aljabar.



Hubungan aljabar dengan materi peluang adalah bisa terlihat pada saat menyelesaikan permasalahan tentang peluang yang menggunakan konsep operasi aljabar. Kemudian, pada notasi-notasi yang digunakan contoh: n! (n faktorial). Notasi “n” disana merupakan variabel yang harus dicari nilainya untuk mendapatkan penyelesaian dari persoalan peluang. Pelajaran mengenai variabel telah kita dapatkan di aljabar. Contoh: (𝑛 + 3)! = 10(𝑛 + 2)! ↔ (𝑛 + 3)(𝑛 + 2)! = 10(𝑛 + 2)! ↔ (𝑛 + 3) = 10 ↔𝑛=7 Hubungan aljabar dengan materi trigonometri adalah sama halnya dengan materi pelajaran matematika yang sebelumnya yaitu terlihat jelas pada saat kita akan mengoperasikan permasalahan trigonometri dengan memanfaatkan pengetahuan yang telah kita dapatkan di aljabar.



Hubungan aljabar dengan materi lingkaran adalah terlihat pada banyaknya penggunaan notasi di materi ini. Misalnya koordinat sebuah titik yang dinotasikan dengan (a,b) yang mana (a,b) tersebut merupakan variabel yang harus kita cari nilai sebenarnya agar diperoleh himpunan penyelesaian. Pelajaran mengenai hal tersebut sudah didapatkan pada saat belajar aljabar.



Hubungan aljabar dengan materi limit fungsi adalah dengan mempelajari limit fungsi, maka kita akan mengetahui bahwa sifat dari limit fungsi dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi aljabar. Teorema Limit Utama Jika 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi dan k konstanta maka 1.



lim𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)



2.



lim𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)



3.



lim𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)



4.



lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) =



5.



dst



𝑓(𝑥)



lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)



; lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0



Hubungan aljabar dengan materi diferensial fungsi adalah dengan mempelajari turunan fungsi, maka kita akan mengetahui bahwa konsep dan aturan turunan dapat digunakan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar. limℎ→0



𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ



disebut turunan fungsi f



di x yang ditulis dengan notasi 𝑓′(𝑥),



sehingga kita peroleh rumus sebagai berikut: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ



𝑓 ′ (𝑥) = lim



Jika limitnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di x dan f ‘ disebut fungsi turunan dari f . Hubungan aljabar dengan materi integral adalah di pelajaran integral kita akan banyak sekali menemukan notasi-notasi variabel dan konstanta, kedua istilah ini telah kita dapatkan pada saat belajar aljabar. Dalam proses operasi penyelesaian permasalahan integral juga tidak bisa lepas dari operasi dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh, sedikit materi pada integral yang mengandung unsur aljabar di dalamnya, yaitu: Pengintegralan fungsi 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 dinotasikan sebagai berikut. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 dengan: ʃ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) 𝑓(𝑥) = fungsi integran 𝐹(𝑥) = fungsi integral umum yang bersifat 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑐 = konstanta pengintegralan



Kemudian, pada pelajaran integral juga terdapat aturan integral substitusi. Seperti yang telah kita ketahui bahwa pada aljabar kita juga telah mempelajari metode substitusi terlebih dahulu. Teorema 5 Aturan integral substitusi Jika 𝑢 suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan 𝑟 suatu bilangan rasional tak nol, 𝑟



maka ∫(𝑢(𝑥)) 𝑢′ (𝑥) 𝑑𝑥 =



1



(𝑢(𝑥)) 𝑟+1



𝑟+1



+ 𝑐 , dimana 𝑐 adalah konstanta dan 𝑟 ≠ −1.



Aturan integral substitusi ini merupakan salah satu teorema yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan integral.



E. Kesulitan yang Dihadapi Pendidik dan Peserta Didik dalam Pembelajaran Aljabar Berdasarkan



hasil



wawancara



penulis



dengan



salah



satu



pendidik



matematika, terdapat dua kesulitan dalam mengajarkan matematika aljabar. Kesulitan tersebut yaitu kesulitan intern dan kesulitan ekstern. Kesulitan intern merupakan kesulitan yang datang dari gurunya sendiri, yakni berkenaan dengan kesiapan guru dalam mengajar sedangkan kesulitan eksterent merupakan kesulitan yang muncul antara guru dengan siswa. Dalam kesulitan ekstern yang pertama kali mempengaruhi adalah kemampuan siswa. Jika kemampuan siswanya diatas ratarata maka tidak akan muncul masalah. Namun, jika fakta yang terjadi sebaliknya maka masalah yang muncul adalah guru akan mengalami kesulitan dalam menanamkan konsep yang konkrit dan siswa cenderung lebih susah untuk menyelesaikan langkah demi langkah penyelesaian soal yang terdapat di aljabar karena terlalu banyak langkah yang harus diingat/hafal. Sehingga dapat disimpulkan bahwa kesulitan yang akan dihadapi oleh pendidik sebenarnya bergantung pada situasi di kelas.



Daftar Pustaka Indriyastuti, dkk. 2006. Khazanah Matematika Untuk SMA dan MA Kelas X. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan. Tanton, J. 2005. Encyclopedia of Mathematics. New York: Facts On File, Inc.