Filsafat Dan Sejarah Matematika Kelompok 3 [PDF]

Citation preview

FILSAFAT DAN SEJARAH MATEMATIKA “ALIRAN PHYTAGORAS”



OLEH: KELOMPOK 3 1. MAYA ANGRAINI 2.



(1805124275) (Prenseter 1)



(1705110952) (Presenter 2)



3. FAZLUR RAHMAN 4.



(1805) (Presenter 3)



(1705110983) (Presenter 4)



5. NURUL HUDA HAFIZAH



(1805) (Presenter 5)



6. ROSSANTI



(1805) (Presenter 6)



7. NURMILA SARI



(1805) (Presenter 7)



8. ROMI KARISMA



(1805)(Presenter 8)



9. MIRA SUDIARTI



(1805124272)(Presenter 9)



DOSEN PENGAMPU: Dr. NAHOR MURANI HUTAPEA, M.Pd



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS RIAU 2019



1



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pythagoras (582SM – 496SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan danfilsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis. Maka dari itu kami akan menjelaskan tentang Pythagoras beserta Teorema Pythagorasnya sehingga semua yang membaca makalah ini dapat menambah wawasan. B. Rumusan Masalah Bagaimana sejarah hidup Pythagoras ? Bagaimana Pythagoras dalam filsafat ? Apa pengaruh filsafat Pythagoras ? Bagaimana Teorema Pythagoras ? Bagaimana Pythagorean Geometri ? Apa saja ajaran Pythagoras ?



2



BAB II PEMBAHASAN A. Sejarah Phytagoras (Maya Angraini – 1805124275) Dalam biografi Phytagoras, diketahui ia lahir di pulau Aegean wilayah Timur kepulauan Samos, Yunani pada tahun 570 SM. Ibunya bernama Pythias adalah penduduk asli pulau itu sementara ayahnya yang bernama Mnesarchus adalah seorang pedagang permata dari Tirus (Lebanon). Phytagoras juga memiliki dua atau tiga orang saudara kandung. Pythagoras menghabiskan sebagian besar masa kecilnya di kepulauan Samos. Ketika ia tumbuh dewasa, ia mulai menemani ayahnya dalam berdagang. Ayahnya Mnesarchus pernah membawa Phytagoras ke Tirus. Disitu ia belajar di bawah para sarjana dari Suriah. Ada juga kemungkinan ia mengunjungi Italia bersama ayahnya ketika berdagang. Dalam biografi pythagoras diketahui bahwa pada usia delapan belas tahun, Pythagoras pergi ke kota Miletus untuk bertemu Thales yang merupakan seorang ahli matematika dan astronomi. Meskipun pada waktu itu Thales sudah terlalu tua untuk mengajar, pertemuan itu cukup membuahkan hasil. Dari pertemuan itu menimbulkan minat Pythagoras dalam ilmu pengetahuan, matematika dan astronomi. Pythagoras juga belajar ke salah satu murid Thales bernama Anaximander. Karya-karya Pythagoras selanjutnya menunjukkan kemiripan yang mencolok dengan karya-karya Anaximander. Kedua teori astronomi dan geometrinya tampaknya telah berkembang secara alami dari teori-teori filsuf yang lebih tua. Pada 535 SM, Pythagoras berangkat ke Mesir untuk belajar atas nasihat dari Thales. Namun, menurut pendapat lain, Pythagoras pergi ke Mesir untuk melarikan diri dari tirani Polycrates, penguasa Samos kala itu.



3



Pythagoras tinggal di Mesir selama hampir sepuluh tahun. Setelah menyelesaikan ritus atau adat keagamaan yang diperlukan disana, Pythagoras kemudian masuk ke kuil Diospolis dan diterima menjadi imam disana. Ada juga pendapat bahwa selama beberapa tahun Pythagoras belajar di bawah bimbingan pendeta Mesir bernama Oenuphis dari Heliopolis. Pada 525 SM, Kaisar Cambyses II dari Persia menaklukkan Mesir. Pythagoras ditangkap dan dibawa sebagai tahanan ke wilayah Babel atau Babilonia. Di Babilonia, Pythagoras dengan cepat beradaptasi atau berhubungan dengan para imam Persia yang dikenal sebagai orang majusi. Pythagoras juga mulai belajar matematika dan musik di bawah bimbingan mereka. Pada 522 SM, Cambyses II dari Persia meninggal dalam keadaan misterius dan juga Polycrates, penguasa tirani Samos kala itu juga terbunuh. Peristiwa ini membuat kesempatan bagi Pythagoras untuk kembali ke Samos dan kemudian ia lakukan pada tahun 520 SM. Dalam biografi pythagoras diketahui bahwa sekembalinya ke Samos, Pythagoras membuka sekolah bernama The Semicircle. Namun, metode pengajarannya berbeda dan hal ini menarik bagi beberapa orang. Pada saat yang sama, para pemimpin Samos kala itu ingin Pythagoras terlibat dengan pemerintahan kota namun yang tidak menarik hati Pythagoras. Pada 518 SM, Pythagoras memindahkan sekolahnya ke Croton di Italia selatan. Beberapa pendapat mengatakan bahwa dia pergi ke sana untuk belajar ilmu hukum dan tinggal disana. Di Croton inilah dia mulai mengajar dan dengan cepat ia mengumpulkan sekelompok pengikutnya. Selanjutnya, ia mendirikan perkumpulan yang terbuka bagi pria dan wanita. Ini berkembang menjadi sekolah filsafat agama yang religius dan memiliki pengaruh politik yang besar. Para pengikut Pythagoras disebut sebagai Pythagorean dan diterbagi menjadi dua kaum. Ada sebagian dari mereka yang tinggal dan bekerja di sekolah dikenal



4



sebagai matematikawan atau pelajar. Dan sebagian lainnya yang tinggal di luar sekolah dikenal sebagai akousmatik atau pendengar. Pythagoras adalah guru atau master dari kedua sekte atau bagian tersebut. Para pelajar atau matematikawan pengikutnya harus menjalani hidup mereka sesuai dengan aturan, misalnya apa yang mereka makan, kenakan atau bahkan mereka ucapkan. Mereka tidak memiliki barang pribadi dan mengikuti gaya hidup vegetarian yang ketat. Sebaliknya, kaum akousmatik diijinkan untuk memiliki properti pribadi dan makan makanan non vegetarian. Mereka juga menghadiri sekolah hanya pada siang hari. Sekolah milik Pythagoras mempraktekkan kerahasiaan yang ketat tidak hanya tentang ritual mereka, tetapi juga tentang apa yang diajarkan. Oleh karena itu, meskipun itu membuat kontribusi luar biasa untuk matematika namun sulit untuk membedakan antara karya-karya Pythagoras dan para pengikutnya. Pythagoras diketahui menikah dengan wanita bernama Theano, murid pertamanya di Croton. Dia menulis sebuah risalah yang disebut ‘On Virtue’. Namun, ada yang mengatakan bahwa dia bukan istrinya, tetapi hanya seorang murid. Menurut berbagai pendapat , Pythagoras dan Theano memiliki seorang putra bernama Telauges, dan tiga anak perempuan bernama Damo, Arignote, dan Myia. Putri kedua mereka Arignote adalah seorang sarjana yang terkenal. Putri ketiga mereka, Myia, dikatakan telah menikahi pegulat terkenal, Milo of Croton. Lebih lanjut dinyatakan bahwa Milo adalah rekan Pythagoras dan menyelamatkan hidup Pythagoras saat terkena reruntuhan atap. Pythagoras juga memiliki banyak musuh. Salah satu dari musuhnya menghasut massa untuk melawan para pengikut Pythagoras dan membakar tempat mereka tinggal. Namun, Pythagoras berhasil melarikan diri. Dia kemudian pergi ke Metapontum dan menurut sebagian orang disana Pythagoras kelaparan sampai mati. Namun beberapa pendapat lain mengatakan bahwa Pythagoras terjebak dalam konflik antara Agrigentum dan Syracusans dan kemudian dibunuh oleh Syracusans.



5



Apa pun penyebab kematiannya, menurut sebagian besar pendapat dia meninggal pada 495 SM. ‘Teorema Pythagoras’ tetap menjadi warisan Pythagoras yang paling penting bagi dunia matematika hingga saat ini. Daftar Pustaka: Komunitas Cyber Muda Indonesia.2011.Biografi Phytagoras Afri,Gordi.2011.Phytagoras dan Ajaran tentang Jiwa Sudiarja,A (ed) . 2006. Karya Lengkap Driyarkara. Jakarta,Yogyakarta : Gramedia, Penerbit Buku KOMPAS, Kanisius.



B. PHYTAGORAS DALAM FILSAFAT (Sri Indriyani – 1705110952) 1. Filsafat Yunani Filsafat Yunani bukanlah hasil ciptaan filosof-filosof



Yunani semata-



mata,tetapi lebih tepat dikatakan sebagai saingan (pilihan) dari kebudayaan Yunani sebelum masa berfilsafat ,karena filsafat di yunani mula-mula dimaksudkan untuk melepaskan diri dari ytkekuasaan golongan-golongan agama bersahaja dengan jalan menguji ajaran-ajaran nya. Apa yang dapat dibenarkan dengan akal pikiran dinamakan filsafat,dan apa yang tidak dapat diterima oleh akal pikiran dimasukkan dalam “cerita-cerita agama”.Ciri dari pemikiran filsafat Yunani diantaranya yaitu: a. Menurut filsafat Yunani bukan hanya sebab yang pertama (first cause) yang mempengaruhi alam,tetapi juga ada kekuatan-kekuatan lain yang ikut serta mempengaruhinya yaitu akal-akal yang menggerakkan benda-benda langit.Demikian pula “Api Heractilus” yang dianggap sebagai kejadian alam,boleh jadi karena pemujaan api yang dikenal oleh agama-agama Iran pada umumnya. b. Ciri kedua dari pemikiran filsafat Yunani ialah ketidak-selarasan,karena filsafat ini mula-mula terdiri dari bermacam-macam soal yang tidak selaras.Hingga orang-orang yang mempunyai pemikiran filsafat yang



6



sistematis. Seperti Plato dan Aristoteles ,juga tidak terhindar dari ketidakselarasan ini dalam pemikirannya.mereka masih terpengaruh oleh pemikiran-pemikiran



orang



sebelumnya,dengan



segala



macam



perbedaannya dan mengandung ketidak-selarasan pula.Misalnya: Teori ide dari Plato merupakan usaha pemaduan antara dua pemikiran yang berlawanan.Heraclitus dan pengikutnya mengatakan bahwa segala sesuatu selalu berubah (perpetual flux, panta rhei) dan pendapat ini telah dirubah oleh Phytagoras menjadi ajaran yang mengatakan bahwa “perorangan menjadi ukuran segala sesuatu”(man is the measure of all things). Aliran-aliran dalam filsafat Yunani mencakup: a. Aliran tabii (natural philosophy) dengan democritus sebagai tokohnya dan filosofi-filosoflonia yang menghargai alam dan wujud benda setinggitingginya.karena itu menurut aliran ini alam itu abadi. b. Aliran ketuhanan yang menegikuti zat-zat yang metafisik,diwakili oleh aliran Elea dan socrates,yang mengatakan bahwa sumber alam indrawi adalah sesuatu yang berada diluarnya. c. Aliran mistik dan Phytagoras



sebagai tokohnya,yang bermaksud



memperkecil atau mengingkari nilai alam indrawi dan oleh karena itu aliran ini menganjurkan kepada manusia untuk meninggalkannya, serta menuju kepada alam yang penuh kesempurnaan,kebahagian dan kebebasan mutlak sesudah terikat oleh benda alam ini. d. Aliran kemanusiaan yang menghargai manusia setinggi-tingginya dan mengakui



kesanggupannya untuk



mencapai pengetahuan serta



menganggap manusia sebagai ukuran kebenaran. Aliran ini diwakili oleh socrates dan golongan sofis meskipun ada perbedaan antara dia dengan mereka. 2. Filsafat Pythagoras Pythagoras mengajarkan pandangan hidupnya kepada siapa saja yang mau mendengarkan. “Saudara-saudaraku, kebenaran hanya bisa didapat dengan jiwa yang suci dan tulus. Alam menuntut matematika yang harmonis. Jiwa



7



juga harus harmonis dengan alam,” Pythagoras berfilsafat di setiap kesempatan yang ada. Pentingnya menyampaikan kebenaran dalam segala situasi itu merupakan inspirasi yang didapat Pythagoras dari orang-orang Majusi ketika hidup dalam pembuangan di Babilonia. Pelan namun pasti, jumlah orang yang bersimpati dengan ajarannya pun terus bertambah. Pythagoras mulai dikenal sebagai orang bijaksana. Dia mengajarkan pada setiap orang untuk selalu menjaga kesucian jiwa. “Hendaklah jangan saling membunuh. Hapuskan perbudakan, jauhkan peperangan, hindari bermewahmewah dan hiduplah sederhana,” tuturnya lemah lembut. Thales menyatakan bahwa “semua adalah air”. Sementara itu, Pythagoras mengajarkan bahwa “semua adalah bilangan (All is Number)”.  All is Number Pada saat menjelaskan tentang musik dan konfiguari bintang, Pythagoras percaya bahwa bilangan juga dapat digunakan untuk menjelaskan setiap fenomena lainnya. All is number. Menurut Pythagoras segala sesuatu di alam semesta memiliki atribut numerik yang unik (tunggal). Semua hal yang dapat diketahui atau dipahami dapat diwakili atau dinyatakan dengan angka. Lebih dari itu, segala sesuatu adalah angka. Bagi mereka, bilangan mempunyai sifatsifat tertentu sehingga dapat digunakan untuk mendeskripsikan segala sesuatu yang dijumpai di alam. Thomas Heath menulis bahwa Philolaus (abad 4 SM) salah seorang siswa Pythagorean School menyatakan “All things which can be known have number; for it is not possible that without number anything can either be conceived or known” (Irasasi, 2004: 2). Menurut Aristoteles, kaum Pythagorean menganggap bahwa angka adalah prinsip segala sesuatu dan menjadi atribut untuk semua hal secara permanen. Kesimpulan tersebut yang terjadi setelah Pythagoras sampai pada pencerahan tentang harmoni musik dan pengetahuan tripel Pythagoras (Allen, 1999). Dalam all is number, bilangan dapat dinyatakan dengan lambang bilangan (angka)



8



 All is Number dan Lambang Bilangan Pythagoras dan para pengikutnya sangat terobsesi dengan matematika, hingga menyimpulkan Tuhan adalah ahli matematika. Menurut Pythagoras prinsip dari segala sesuatu adalah matematika (angka), semua benda dapat dihitung dengan angka dan angka dapat digunakan untuk mengekspresikan sesuatu. Berangkat dari harmoni musik yang dapat dinyatakan secara numerik atau dengan kata lain harmoni musik bergantung pada angka, maka harmoni alam semesta juga bergantung pada angka. Pythagoras mempertegas lagi gagasannya dengan menyatakan benda-benda adalah angka-angka atau things are numbers. Keyakinan Pythagoras mengenai bilangan berhasil memberikan banyak pencapaian dalam matematika. Baginya bilangan sangat penting untuk memahami sesuatu dan ini memotivasi Pythagoras sehingga memutuskan untuk mempelajari bilangan dengan serius. Pythagoras membagi bilangan menjadi bilangan prima, bilangan komposit, bilangan sempurna (perfect number), bilangan bersahabat (amicable/friendly number), dan bilangan figuratif (figurate number) sebagai suatu metode untuk merepresentasikan bilangan secara geometri (Allen, 1999; Irasasi, 2004). Pythagoras juga memperkenalkan abundant/deficient number, polygonal number, golden section, tripel Pythagoras, dan pentagram (Allen, 1999). Tidak berlebihan jika dikatakan kajian teori bilangan diawali dan dikembangkan pertama kali di Pythagorean School. Bagi Pythagoras matematika dipelajari bukan untuk matematika ansich, tetapi sebagai alat untuk memahami segala sesuatu. Melalui bilangan dan relasi numerik dalam bentuk persamaan matematika, dapat diberikan interpretasi dan pemahaman yang lebih baik tentang berbagai fenomena nyata di dunia.



 All is Number dan Watak Bilangan Ajaran Pythagoras tentang model alam semesta dengan menggunakan angka sebagai basis pemodelannya lebih nampak sebagai filsafat yang abstrak daripada sebagai matematika. Bahkan kualitas, negara, dan aspek lain dari



9



alam semesta dan kehidupan dapat dideskripsikan dengan angka/bilangan. Sebagai contoh angka satu berarti alasan/argumentasi; angka dua berarti genap, wanita, dan pendapat;



angka tiga berarti laki-laki, harmoni; angka empat



berarti keadilan, pajak; angka lima berarti pernikahan; angka enam berarti penciptaan (kreasi), dan seterusnya, serta angka sepuluh berarti tetraktis dan alam semesta (Allen, 1999). Anglin (1994) menyatakan bahwa bagi Pythagoras, sepuluh adalah divine number sebab sepuluh merupakan jumlah dari empat bilangan asli yang pertama dengan 1 menyatakan titik, 2 adalah garis, 3 untuk bidang dan 4 menyatakan solid yang akhirnya jika dijumlahkan menghasilkan sepuluh buah vertek dalam Pythagorean Star bersudut lima (pentagram). Penjelasan ini semua berarti segala sesuatu dapat dinyatakan dengan angka atau segala sesuatu mempunyai watak bilangan. Kaum Pythagorean membedakan antara bilangan genap dan ganjil. Bilanganbilangan ganjil diasosiasikan dengan yang terbatas, maskulin, pria, diam, lurus, cahaya, dan kebaikan, sedangkan bilangan-bilangan genap bersifat infinitif (tak terhingga), feminin, wanita, yang bergerak, kejahatan, kegelapan, setan, dan keragaman (Schimmel, 2006). Ajaran Pythagoras terus dikembangkan oleh pengikutnya yang tergabung dalam the Pythagoreans (Allen, 1999), salah satunya adalah Aristoteles yang mengikuti pendapat Pythagoras menyatakan bahwa angka 4 diasosiasikan dengan keadilan, dengan alasan yang diberikan sendiri oleh Aristitoteles yaitu 4 diperoleh dari dua buah bilangan yang sama yaitu 22. Pythagoras terkenal dengan ajaran penuhanan terhadap bilangan atau angka. Pythagoras dengan tanpa ragu-ragu mengatakan bahwa Tuhan itu adalah angka. Hal ini menurut anggapan Pythagoras karena setiap kebajikan pasti dapat dinyatakan dengan suatu keakuratan. Sehingga suatu kebajikan pasti dapat dihitung letaknya di antara dua posisi ekstrem dalam matematika. Prinsip tersebut diilhami oleh ajaran filsafat Yunani Purba yang mengatakan bahwa kebajikan berada di posisi antara ekstrem kanan dan ekstrem kiri. Menurut Pythagoras sesuatu yang tidak dihitung atau tidak dapat dihitung berarti suatu



10



kejahatan. Oleh karena itu Pythagoras pun berkata bahwa segala sesuatu adalah bilangan. Pythagoras memberi tempat yang istimewa pada bilangan 10. Dia menyebut bilangan ini “bilangan yang diagungkan”. Dia tertarik dengan bilangan tersebut dengan alasan-alasan berikut: a. Angka tersebut digunakan oleh orang Yunani kuno sebagai basis perhitungan. b. Sebagai jumlahan empat bilangan bulat positif pertama, hal ini merepresentasikan dimensi tiga, dengan 1 untuk titik, 2 untuk garis, 3 untuk bidang, dan 4 untuk ruang. c. Ada sepuluh titik dalam bintang Pythagoras titik-lima. Selama masa hidupnya, ajaran filsafat angka Pythagoras memperoleh tanggapan bermacam-macam antara yang setuju maupun yang tidak setuju, bahkan memusuhinya. Meskipun menimbulkan pro- kontra, Pythagoras terus mendalami kajian filsafat angka dengan tekun dan tidak pernah gentar karena berlandaskan pada kebersihan jiwa dan kejernihan akal budi. Sebagai filsuf, cara Pythagoras bekerja merumuskan dalil-dalil filsafatnya selalu berpijak pada ketinggian moral budi manusia. Sistem filsafat Pythagoras yang menyelaraskan ilmu-ilmu pasti seperti matematika, ilmu alam maupun astronomi dengan kepercayaan mistis- religius. Bertrand Russell (1872-1969) menulis, “Saya tak tahu siapa yang paling berpengaruh sama seperti Pythagoras dalam dunia pemikiran. Saya katakan hal ini, sebab apa yang tampak sebagai Platonisme, ternyata, bila dianalisa dalam hakikatnya adalah ajaran Pythagoras. Konsepsi dunia dari dunia abadi, yang nyata bagi intelek, tapi tidak dirasakan, adalah dari dia (yakni Pythagoras)”. Sistem filsafat model Pythagoras dengan penuh keharmonisan antara akal budi dan tafsir metafisis itulah yang sangat membedakan dengan metafisika Timur atau Asia-Afrika yang jauh lebih mistis dan sulit diselaraskan dengan rasio logis. Pada Pythagoras dan para pengikutnya beserta para filsuf yang



11



terinspirasi oleh sistem filsafatnya, metafisika angka-angka Pythagoras menjadi lengkap ilmiah. Walau tidak mutlak seluruhnya adalah benar, namun niscaya ada kebenaran-kebenaran yang telah teruji dalam tempaan zaman. Filsafat angka Pythagoras menyimpan keajaiban. Selain sebagai seorang filsuf, Pythagoras adalah juga seorang agamawan yang mengajarkan adanya reinkarnasi, vegeterianisme dan penyiksaan terhadap diri sendiri. 3. Filsafat Pythagoras Tentang Manusia dan Alam Pythagoras



berada



di



pihak



mistisme,



kendatipun



mistismenya



mengandung ciri intelektual yang ganjil. Ia mengakui dirinya sendiri sebagai tokoh setengah dewa, dan konon pernah mengatakan: “ada manusia dan ada dewa, dan pula orang-orang seperti Pythagoras.” Semua sistem yang ia ilhami, menurut Cornford, “cenderung bercorak adiduniawi, menempatkan semua nilai ke dalam persatuan gaib denganTuhan, dan mengutuk dunia yang kasat mata ini sebagai kepalsuan dan khayalan, suatu medium keruh di mana berkas-berkas cahaya surgawi terhalang dan mengabur di tengah halimun dan kegelapan.” Dikaiarchos mengutarakan bahwa Pythagoras mengajarkan “pertama, bahwa jiwa tak dapat mati, dan bahwa jiwa itu berubah menjadi jenis-jenis makhluk hidup lain; kemudian, bahwa apa pun yang bereksistensi dilahirkan kembali menurut perputaran siklus tertentu, sehingga tak ada sesuatu pun yang benar-benar baru; dan bahwa segala sesuatu yang dilahirkan dengan disertai kehidupan di dalamnya harus dianggap berasal dari satu sumber.” Disebutkan bahwa Pythagoras, seperti Santo Francis , pun memberikan khotbah kepada binatang. Dalam perkumpulan yang ia dirikan, laki-laki maupun perempuan memperoleh perlakuan sama; barang-barang menjadi milik bersama, dan menjalani cara hidup yang sama. Bahkan penemuan-penemuan ilmiah dan matematis dianggap sebagai karya kolektif, dan dari segi mistik merupakan karya Pythagoras, bahkan sekalipun ia wafat. Hippasos dari Metapontion,



12



yang melanggar peraturan ini, mengalami kecelakaan kapal dikarenakan murka dewata atas perbuatannya yang durhaka. Banyak yang harus dipaparkan mengenai dua aspek pada diri Pythagoras: sebagai nabi keagamaan maupun sebagai matematisi murni. Dalam dua bidang tersebut ia sangat berpengaruh. Dan jauh berbeda dengan kesan yang ditangkap oleh pikiran modern, kedua segi itu sebetulnya tak saling terpisah jauh. Kebanyakan ilmu pengetahuan, pada awalnya, biasa dikaitkan dengan sejumlah bentuk kepercayaan yang keliru, yang memberinya nilai fiktif. Astronomi dikaitkan dengan astrologi, kimia dengan kemistri. Matematika dikaitkan dengan kekeliruan yang lebih halus. Pengetahuan matematis tampil dengan sifatnya yang pasti, eksak, dan bisa diterapkan pada dunia nyata; selain itu pengetahuan tadi diperoleh lewat pemikiran murni, tanpa memerlukan observasi. Akibatnya, matematika dianggap mewakili suatu ideal, yang karena itu pengetahuan empiris seharihari dinilai rendah. Berdasarkan matematika, muncul anggapan bahwa pikiran lebih utama daripada indera, intuisi lebih unggul ketimbang obsevasi. Jika dunia inderawi tidak menunjukkan kesesuaian dengan matematika, maka yang dipersalahkan adalah dunia inderawi. Dengan berabagi cara, dicarilah metode yang kian bisa mendekati ideal para matematisi, dan pemikiran-pemikiran yang dihasilkan itulah yang menjadi sumber berbagai kekeliruan dalam metafisika dan teori pengetahuan. Bentuk filsafat demikian ini bermula dari Pythagoras. Phytagoras mengatakan tentang alam bahwa alam ini katanya, tersusun sebagai angka-angka di mana ada matematik ada susunan ada kesejahteraan. Bintang yang banyak di langit itu menyatakan kedudukan yang teratur, kesejahteraan yang sebesar-besarnya. Badan-badan di langit itu mempunyai gerak yang tertentu dan mempunya edaran yang pasti menurut irama yang tetap. Sebab itu Pyhtagoras suka berkata tentang “ kesejahteraan di langit” Mana yang bergerak,berbunyi. Sebab itu di langit ada bunyi di timbulkan oleh gerakan bintang-bintang.Tinggi rendah bunyi lagu itu semata-mata di tentukan



13



oleh perbandingan jarak masing-masing. Manusia tidak mendengar lagu yang sejahtera di langit itu karena ia sudah biasa dengan itu sejak lahirnya. 4. Filsafat Tentang Matematika Dalam filsafat Phytagoras tidak berkuasa dialam saja tetapi berkuas di matematik. Ia juga berkuasa dalam segala barang, dengan jalan ini Phytagoras sampai kepokok ajarannya yang mengatakan ” segala barang adalah angkaangka”. Demikianlah pengaruh matematikaatas dirinya dan pandangannya, sehingga pada segala barang ia melihat angka-angka tidak lain dari angkaangka yang tampak olehnya dan oleh akrena itu mistik yang dibawakan keangka angka tadi, ia terjerumus kedalam dunia fantasi dengan melekatkan berbagai faham yang ajaib pada angka angka. Menurut kebiasan Phytagoras membedakan juga angka genap dengan angka yang ganjil, tetapi pengertian itu dilanjutkannya. Yang genap itu tidak berhingga, dan yang ganjil itu menentukan. Sebagaimana angka dari pada yang genap dan yang ganjil, demikian juga barang-barang didunia ini tersusun dari pada yang bertentangan, angka yang menjadi dasar ialah satu, angka satu itu genap dan juga ganjil. Jadinya tidak berhingga dan juga berhingga angka tiga ajaib, sebab pada nya terdapat awal pertengahan dan akhir. Angka empat maha besar, sebab 1+2+3+4=10. Dan 10 adalah angka yang sepenuh penuhnya, sebab hitungan dari itu keatas tidak lain dari mengulangi saja lagi dari 1 sampai 10. Demikianlah caranya kaum Phytagoras mengajarkan bahwa semuanya itu angka-angka, dalam segala barang terdapat paduan dan hasil dari pada dasar angka-angka. Angka itu adalah asal dari segalanya. Segala perhubungan dapat ditentukan dengan angka-angka, demikianlah tadi: angka 1 ialah titik, angka 2 baris, angka 3 dataran, angka 4 badan, selanjutnya angka 1 jugaa dasar lakilaki, angka 2 dasar perempuan. Keadilan juga jiwa dan pikiran tidak lain dari pada angka-angka. Seperti dikatakan tadi, Phytagoras selain dari pada ahli mistik yang kuat beribadat, adalah juga ahli ilmu sebab itu amal dengan ilmu itu dipandangnya sebagai jalan untuk menyucikan ruh. Kesuciannya dan kejernihan ruh yang sebesar-besarnya dicapai dengan menuntut ilmu. Hidup yang ditunjukan



14



kepada penyelidikan ilmu adalah hidup yang setinggi tingginya dan persediaan penghabisan kejalan pulang kepada tuhan. Ajaran Phytagoras pada hakikatnya terlalu tinggi bagi pengikutnya yang banyak, sebab itu terjadi perpecahan dalam dua cabang: 1. Aliran mistik keagamaan 2. Aliran ilmu Pengikutnya yang memperdalam ajaran ilmunya melengahkan ajaran agamanya, pada penghabisan abad ke-5 sebelum masehi, ahli ahli ilmu tadi tidak memperdulikan lagi, hukum tarikatnya dan menertawakan amal ruhani, dan amal jasmani yang mesti dikerjakan oleh pengikut tarikat Phytagoras, golongan ini terlepas dari tarekatnya dan kaumnya. Kaum Phytagoras yang terbanyak yang mendewakan gurunya tidak tertarik dengan ajaran-ajaran tentang hal angka-angka, matematik, perhubungan musik, dan ilmu bintang. Semuanya dipandang tidak berfaidah dan terlalu gaib, mereka semat-mata menempuh jalan menyucikan ruh dengan hidup bersahaja, berjalan dengan tidak beralas kaki, dantidak makan daging,ikan, kacang. Demikianlah gugurnya madzhab Phytagoras tetapi namanya tercantum dalam sejarah pikiran ilmu sebagi pembuka berbagai jalan. Pada akhir hidupnya Pythagoras bersama pengikut-pengikutnya berpindah ke kota Metapontion karena alasan-alasan polotik dan ia meninggal di sana. Sumber : Afri, Gordi. (2011). Pythagoras dan Ajaran Tentang Jiwa. Macmillan: London. Ismanto, Zainul. (2009). Ilmu Filsafat https://www.slideshare.net/imanueluripsubekti/sejarah-pythagoras http://www.penaraka.com/2012/04/pythagoras.html eprints.uny.ac.id/10482/1/P5-Agung.pdf Sandy H.(2018).Pijar Filsafat Yunani Klasik.



15



C. Pengaruh Filsafat Phytagoras Dalam Matematika (Seftia Wulan Dari – 1705110936) Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap” mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan



sumber



penciptaan



yang



berasal



dari



luar



manusia.



Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipan Galileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami. Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban” pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai tak terhingga. Pemikirannya, substansi dari semua benda adalah bilangan, dan segala gejala alam merupakan penungkapan indrawi dari perbandingan matematis. Bilangan merupakan inti sari dan dasar pokok dari sifat-sifat benda (number rules the universe = bilangan pemerintah jagad raya). Ia juga mengembangkan pkok soal matematik yang termasuk teori bilangan. Umpamanya, dikembangkannya susunan bilangan-bilangan yang mempunyai bentuk geometris. Menurut pythagoras, kearifan yang sesungguhnya hanya dimiliki oleh Tuhan saja, oleh karenanya ia tidak mau disebut sebagai orang arif sperti Thales, akan tetapi



16



menyeburt dirinya sebagai philosophes yaitu pencipta kearifan. Istilah philosophos ini kemudian menjadi philosophia yang terjemahnya secara harfiah adalah cinta kearifan atau kebijakan. Sampai sekarang secara etimologi dan singkat sederhana filsafat dapat diartikan sebagai cinta kearifan atau kebijaksanaan (love of wisdom). (Mohammad



Zamroni,



Filsafat



komunikasi



Pengantar



ontologis,



epistemologis, aksiologis (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2009) Hal. 43) Pythagoras melihat bahwa alam dapat dijelaskan dengan bilangan-bilangan tertentu atau matematika. Matematika merupakan bentuk yang berbeda dengan pengetahuan yang lain. Matematika memiliki universalitas dan kepastian. Proposisi-proposisi matematika dapat diketahui dengan benar secara pasti. Ia terkenal dengan rumus pythagoras. Pythagoras sangat berjasa dalam perkembangan ilmu hitung. (Tasmuji, Sejarah Filsafat Aliran (Surabaya: Alpha, 2005) Hal. 13-14) Selain ahli mistik, Pythagoras merupakan ahli pikir, terutama dalam ilmu matematik dan ilmu berhitung kesohor namanya. Banyak pengertian yang dalama-dalam berasal dari dia. Dialah yang mula-mula sekali teori dari hal angka-angka yang menjadi dasar ilmu berhitung. Ajaran tentang bilangan atau angka iniadalah batu sendi seluruh pandangan hidup Pythagoras. (Muzairi, Filsafat Umum (Yogyakarta : Teras, 2002)) Pemikiran Pythagoras tentang bilangan, ia mengemukakan bahwa setiap bilangan dasar dari 1 sampai 10 mempunyai kekuatan dan arti sendiri-sendiri. Satu adalah asal mula segala sesuatu sepuluh, dan sepuluh adalah bilangan sempurna. Bilangan gasal (ganjil) lebih sempurna dari pada bilangan genap dan identik dengan finite (terbatas). Salah seorang penganut Phytagoras mengatakan bahwa Tuhan adalah bilangan tujuh, jiwa itu bilangan enam,badan itu bilangan empat. Sumber : Mohammad Zamroni, Filsafat komunikasi Pengantar ontologis, epistemologis, aksiologis (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2009) Hal. 43 Tasmuji, Sejarah Filsafat Aliran (Surabaya: Alpha, 2005) Hal. 13-14 Muzairi, Filsafat Umum (Yogyakarta : Teras, 2002)



17



D. Teorema Pythagoras 1. Sejarah Teorema Pythagoras (Firtryani Maruli – 1705110983) Sejarah teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai: pengetahuan tentang segitiga Pythagoras, hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku dan sudut yang berdekatan mereka, dan bukti-bukti dari teorema. Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan sisi-sisi 3, 4, dan 5 satuan panjang menjadi segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku, dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali menjadi dua belas bagian yang sama, sehingga satu sisi segitiga adalah tiga, sisi kedua adalah empat, dan sisi ketiga adalah lima bagian panjang . Sekitar 2500 SM, monumen megalitik di Mesir dan Eropa Utara terdiri segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat. Bartel Leendert van der Waerden dalam hipotesisnya bahwa segitigat Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi (1790 – 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamia 32 terdiri dari banyak entri yang berkaitan erat dengan segitiga Pythagoras. Di India (8 – abad ke-2 SM), Baudhayana Sulba Sutra terdiri daftar segitiga Pythagoras, pernyataan dari teorema, dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki. Pythagoras



(569-475



SM)



menggunakan



metode



aljabar



untuk



membangun segitiga Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada anggapan dari teorema selama hampir lima abad setelah zaman Pythagoras. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero disebabkan teorema untuk matematikawan Yunani ini sedemikian rupa, bahwa atribusi itu diketahui secara luas dan diterima. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari segitiga Pythagoras, yang dicampur baik aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM, di Elemen Euclid ini, yang tertua ada bukti aksiomatis dari teorema disajikan. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM dan 200 AD memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau ‘Gougu Teorema’ (sebagaimana



18



diketahui di Cina) untuk segitiga siku-siku. Selama Dinasti Han (202 SM – 220 M), segitigat Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Matematika, bersama dengan penyebutan segitiga tersebut. Penggunaan tercatat pertama dari teorema di Cina dikenal ‘Gougu Teorema’, dan di India sebagai ‘Bhaskara Teorema’. Salah satu peninggalan Phytagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga sikusiku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Sebagai seorang ahli matematika abadi dengan dalil-dalilnya: jumlah dari luas dua sisi sebuah segitiga siku-siku adalah sama dengan luas sisi miringnya. Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan



dengan



matematika,



dan



merasa



bahwa



segalanya



dapat



diprediksikan dan diukur. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, Pythagoras memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus. Sumber: Husein Al-Kaff. 2009. Artikel tentang Filsafat Ilmu Nurdyansa.



2009.



Artikel



tentang



biografi



Phytagoras.



http://kolom-



biografi.blogspot.com/2009/01/biografi-phytagoras.html. 28 Oktober 2009. Irshadi Bagas, Irshadi. 2008. Artikel tentang mainan peninggalan Phytagoras. http://irshadi-bagas-4all.blogspot.com/2008/03/mainan-peninggalanphytagoras.html. 28 Oktober 2009. 2. Pembuktian teorema phytagoras (YUMNI KARIM – 1705110929)



19



Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi “Pada sebuah segitiga sikusiku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.” 1) Pembuktian dari Sekolah Pythagoras Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah. Perhatikan bahwa:



Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2 Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2 Dengan demikian a2 + b2 = c2 2) Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.



Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh: (a + b)



=



c2 + 4. ½ ab



a2 + 2ab + b2



=



c2 + 2 ab



a2 + b2



=



c2



3) Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)



20



Bukti



berikut



ini



pertama



kali



terdapat



pada



karya



Bhaskara



(matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b. Dengan konstruksi bangun tersebut, maka: Luas PQRS + 4 x luas ABQ



=



luas ABCD



(b – a)2 + 4 x ½ . ab



=



c2



b2 – 2ab + a2 + 2ab



=



c2



a2 + b2



=



c2



4) Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.



Luas trapesium



=(alas + atas)/2. tinggi=



Di lain pihak, luas trapesium =



2. ½ ab + ½ c2



Sehingga, (a + b)/2. (a + b)



=



2. ½ ab + ½ c2



a2 + 2ab + b2



=



2ab + c2



a2 + b2



=



c2



(a + b)/2. (a + b)



5) Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara yang Kedua) Perhatikan gambar berikut:



21



Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ... (1) Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ... (2) Dari (1) dan (2) diperoleh: a2 + b2 = c . c1 + c . c2 a2 + b2 = c (c1 + c2) a2 + b2 = c . c a2 + b2 = c2 6) Bukti menggunakan Transformasi Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh 900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga ABC.



½ a2



=



(1)



½ b2



=



(2) + (3)



------------------------------------ + ½ a2 + ½ b2



=



(1) + (2) + (3)



=



[(1) + (2)] + (3)



=



½ cx + ½ cy



=



½ c (x + y)



=



½ c.c



=



½ c2



Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2 7) Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi



22



Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. Lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada segitiga-segitiga sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di samping. Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2 + b2. Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan publikasi, seperti oleh Birkhoff. 8) Bukti dengan “Bayangan” Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap dengan luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).



9) Bukti dengan “Putaran”



Perhatikan proses dari diagram di atas. Luas daerah gambar awal



= a2 + b2 + 2. ½ . ab



Luas daerah gambar akhir



= c2 + 2. ½. Ab



Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku akan diperoleh: a2 + b2 = c2 (Sumardyono, 2003) 10) Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”



23



Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong, dan memutar. (Sumardyono, 2004)



11) Bukti dari Euclid Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid. Perhatikan gambar di bawah ini.



DBQE



=NLBD ..... kedua bangun kongruen =MLBC...... alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD =SRBC ...... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR =a2



ADEP



=KNDA..... kedua bangun kongruen =KMCA ..... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD =UTCA ...... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU =b2



c2



= BDQE + ADEP =



a2



+ b2



12) Bukti dari Leonardo da Vinci Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan ABC. Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.



24



Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut: Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC Luas ADEFGC = luas ABCJHI Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC, sehingga: Luas ADEFGC – 2. Luas ABC



=



luas ABCJHI – 2. Luas ABC



Luas ABED + luas BCGF



=



luas ACJI



13) Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser” Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC seperti pada gambar sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar dengan luas b – a.



Maka diperoleh: Luas KMNPQR



=



luas KSQR + luas MNP



=



a2 + b2



Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah kanan. Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi c, sehingga luasnya c2. (Sumardyono, 2003) 14) Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi) Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat membuktikannya secara aljabar.



25



15) Bukti dari Tsabit ibn Qorra Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan generalisasi Teorema Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian sehingga < BA’C = < AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas