Fisika Kuantum [PDF]

Citation preview

Bab 3 Postulat-Postulat Mekanika Kuantum Kegagalan fisika klasik dalam menjelaskan fenomena fisis alam mikroskopik, seperti radiasi benda hitam, efek fotolistrik, hamburan Compton, kestabilan atom dan spektrum diskrit atom Hidrogen, melahirkan teori baru yang disebut fisika (mekanika) kuantum. Teori mekanika kuantum dibangun berdasarkan postulat-postulat dasar. Postulat adalah suatu konsep matematis yang harus diterima kebenarannya karena telah teruji melalui eksperimen. Dengan kata lain, postulat mekanika kuantum tidak diturunkan dari teori fisika sebelumnya tetapi semata-mata berdasarkan data-data eksperimen. Berangkat dari postulat-postulat mekanika kuantum dalam bab ini akan dikaji: 1. Bagaimana



mendeskripsikan keadaan kuantum sistem mikroskopik untuk



sembarang waktu 2. Bagaimana menghitung/mengukur besaran-besaran fisika berdasarkan keadaan kuantum suatu sistem fisis 3. Manakala keadaan suatu sistem pada saat keadaan



sistem



fisis



tersebut



untuk



diketahui, bagaimana menentukan selanjutnya



atau



bagaimana



mendeskripsikan evolusi sistem fisis tersebut



A. Postulat-Postulat Dasar Mekanika Kuantum Postulat 1 : Representasi keadaan kuantum Keadaan sistem fisis mikroskopik (sistem kuantum) diwakili oleh fungsi gelombang yang mengandung informasi yang lengkap tentang sistem kuantum tersebut.



Postulat 2 : Besaran fisika dan Operator Setiap besaran fisika (observabel dinamis)



diwakili oleh operator Hermitean



.



Postulat 3 : Nilai harap operator Pengukuran besaran fisika



yang diwakili oleh operator Hemitean



memungkinkan penentuan nilai eigen 1 Persamaan nilai eigen untuk operator



pada keadaan



operator tersebut secara pasti.



adalah (3.1)



Postulat 4 : Sifat probalisitik hasil ukur Untuk sistem fisis yang berada pada keadaan yang diwakili oleh fungsi gelombang dengan bentuk umum



maka pengukuran observabel O akan



menyebabkan alihan (loncatan) keadaan dari dan dihasilkan nilai eigen



sebesar



dengan peluang .



Postulat 5 : Evolusi sistem kuantum Keadaan



kuantum



berevolusi



terhadap



waktu



menurut



persamaan



Schroedinger



(3.2)



B. Deskripsi Keadaan Sistem Keadaan sistem kuantum diwakili oleh fungsi gelombang



. Fungsi gelombang



mengandung informasi lengkap tentang sistem kuantum oleh karena itu apa pun yang ingin diketahui tentang sistem kuantum tersebut harus digali/diekstrak dari Sebagai catatan, variabel partikel pada saat



dalam fungsi gelombang



1



bukan menyatakan posisi



melainkan menyatakan sederetan posisi yang mungkin ditempati oleh



partikel. Fungsi gelombang dapat dinyatakan dalam ruang posisi momentum



.



atau dalam ruang



.



Nilai eigen atau swanilai menunjukkan nilai yang mungkin keluar jika dilakukan pengukuran besaran fisika



yang diwakili oleh operator



.



Fungsi gelombang



, sebagaimana dijelaskan dalam bab sebelumnya, tidak



memilik arti fisis apa-apa tetapi kuadrat modulusnya, yakni makna fisis. dan



yang memiliki



menunjukkan peluang menemukan partikel pada lokasi antara



dalam elemen volume



pada saat .



Keadaan sistem kuantum tidak hanya diwakili oleh satu fungsi gelombang



yang



tunggal tetapi dapat diwakili oleh superposisi (jumlahan) dua fungsi gelombang atau lebih. Konsep ini dapat dianalogikan dengan rangkaian resistor, pegas atau kapasitor dalam fisika klasik. Misalkan



dan



merupakan dua fungsi gelombang yang mewakili



sistem kuantum maka superposisi dari dua keadaan ini juga mewakili keadaan kuantum tersebut, yakni (3.3) dengan



dan



Himpunan



konstanta. buah fungsi gelombang



membentuk ruang



vektor liner. 1.



Ruang vektor linier Himpunan sembarang



yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian



dengan skalar disebut ruang vektor linier jika dipenuhi sifat-sifat berikut. 1) Untuk setiap



berlaku



.



2) Komutatif 3) Assosiatif, yakni 4) Terdapat



untuk setiap



vektor nol 0



anggota



.



sehingga untuk sembarang



berlaku



. 5) Untuk setiap



terdapat invers (lawannya), yakni



sedemikan sehingga



. 6) Untuk setiap vektor anggota



dan



dipenuhi



. Apabila a,b skalar riil maka ruang vektor



jika a,b adalah skalar kompleks maka 7) Distributif, yakni



dan



juga merupakan vektor disebut ruang vektor riil dan



disebut ruang vektor kompleks. .



8) Assosiatif, yakni 9) Terdapat unsur identitas dan



dan skalar 0 sedemikian sehingga dipenuhi



.



Unsur – unsur/anggota suatu ruang vektor dinamakan vektor. Dalam mekanika kuantum himpunan



dapat berupa fungsi atau matriks. Himpunan



buah vektor bukan nol



dikatakan bebas linier (linierly independent) jika dan hanya jika persamaan



(3.4)



memiliki penyelesaian



Namun, bila terdapat salah satu



sedemikian sehingga salah satu vektor



dapat dituliskan



(3.5)



maka himpunan



dikatakan gayut linier (linierly dependent).



Dimensi ruang vektor linier



sama dengan jumlah maksimal vektor-vektor yang



bebas linier anggota ruang vektor tersebut. Misalkan ruang vektor yang bebas linier maka ruang vektor



dikatakan berdimensi



ruang vektor linier



sembarang vektor



berdimensi



memiliki



vektor . Dalam



dapat dituliskan sebagai



kombinasi linier



(3.6)



Basis bagi ruang vektor



adalah himpunan maksimal vektor-vektor yang saling bebas



linier yang dimiliki oleh ruang vektor tersebut. Himpunan vektor-vektor



ditulis



, dapat berupa himpunan vektor diskrit atau kontinu, merupakan basis bagi ruang vektor . Vektor-vektor



selanjutnya disebut sebagai vektor basis. Meskipun vektor



basis dapat dipilih sembarang vektor bebas linier tetapi pada umumnya dipilih vektor-vektor bebas linier yang ortonormal (ortogonal/tegak lurus dan ternormalisasi). Dua buah vektor dan



dikatakan ortonormal jika produk skalar (3.7)



dengan 2.



adalah delta cronecker, yakni



jika



dan



jika



.



Produk skalar Fungsi gelombang



fungsi gelombang



merupakan fungsi kompleks. Produk skalar antara dua buah



dan



didefinisikan bilangan kompleks



(3.8)



Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut. a. Produk skalar



dan



sama dengan konjugat kompleks dari produk skalar



dan



(3.9) b. Definit posistif, yakni (3.10) jika dan hanya jika c. Linier



(3.11)



dengan



dan



adalah skalar kompleks.



d. Antilinier



(3.12)



Jika basis bagi ruang vektor



merupakan basis kontinu maka produk skalar antara



dan



didefiniskan menurut (3.13) 3.



Fungsi Gelombang dan Persamaan Schroedinger



Fungsi gelombang memiliki arti yang sangat penting dalam mekanika kuatum karena dengan mengetahui fungsi gelombang orang dapat mengetahui semua informasi tentang sistem fisis mikroskopik. Peranan fungsi gelombang



setara dengan peranan posisi



dan momentum partikel setiap saat (trayektori/lintasan) dalam fisika klasik. Ketika posisi dan momentum partikel telah diketahui maka semua hal tentang partikel tersebut dapat diketahui bahkan masa lalu dan masa depan partikel tersebut dapat diprediksi dengan sangat presisi. Demikian halnya dengan fungsi gelombang dalam mekanika kuantum, ketika fungsi gelombang telah diketahui maka semua hal tentang partikel tersebut dapat diketahui termasuk masa lalu dan masa depan sistem kuantum yang bersangkutan. Jadi, pekerjaan utama dalam mekanika kuantum adalah menemukan fungsi gelombang. Fungsi gelombang diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan Schroedinger,



(3.14)



C. Persamaan Schroedinger Pada sub bab ini akan dijabarkan penurunan persamaan Schroedinger melalui persamaan paket gelombang. Energi kinetik partikel bermassa



adalah



(3.15)



dan postulat Planck dan momentum Compton dan



(3.16)



Dengan menggunakan persamaan (3.16), persamaan paket gelombang (2.9) dapat dituliskan



(3.17)



Persamaan (3.17) di atas jika diturunkan terhadap waktu diperoleh



(3.18)



Jika energi dalam persamaan (3.18) adalah energi kinetik partikel maka



(3.19)



Ruas kanan persamaan (3.19) dapat ditulis



(3.20)



sehingga persamaan (3.19) menjadi



(3.21)



atau



(3.22)



Persamaan (3.22) merupakan persamaan diferensial homogen orde dua untuk paket gelombang satu dimensi



. Apabila disubtitusikan energi total



(3.23)



ke dalam persamaan paket gelombang (2.9) akan diperoleh persamaan



(3.24)



Persamaan (3.24) disebut persamaan Schroedinger 1-D. Jika energi total diperluas pada kasus 3-D, yakni (3.25)



maka



(3.26)



. Persamaan (3.26) dapat ditulis



dengan



(3.27)



atau



(3.28)



dengan



(3.29)



Persamaan (3.27) adalah persamaan Schroedinger 3-D.



Dengan menyelesaikan



persamaan (3.24) untuk kasus satu dimensi atau persamaan (3.28) untuk kasus tiga dimensi diperoleh fungsi gelombang yang menyatakan keadaan sistem fisis mikroskopik. Persamaan (3.28) jika dibandingkan dengan persamaan (3.24) diperoleh kaitan dan



(3.30)



Persamaan (3.30) dikenal sebagai operator energi dan operator momentum linier.



D. Observabel (Operator) 1.



Definisi Operator Penyelidikan fenomena fisis suatu sistem terpusat pada pengukuran atau penentuan



observabel-observabelnya: sistem tersebut:



dan lain-lainnya maupun parameter penyusun



dan lainnya. Observabel adalah besaran yang dapat diukur dan



dimiliki sistem serta menggambarkan perilakunya sehingga nilainya dapat berubah, sedang parameter sebagai atribut penyusun sistem yang mencirikan identitasnya mempunyai nilai tetap. Dapat diukur berarti nilainya harus riil sedangkan dimiliki oleh sistem fisis berarti untuk



mendapatkan nilainya harus mengerjakan sesuatu pada sistem fisis itu. Karena keadaan sistem kuantum diwakili oleh fungsi gelombang sedangkan perangkat yang dapat dikerjakan pada fungsi gelombang adalah operator maka satu-satunya pilihan untuk menyajikan besaran fisika adalah dengan operator. Operator dilambangkan dengan huruf abjad ditambahkan topi di atasnya, misal operator



ditulis



. Secara matematis, operator



didefinisikan sebagai peranti matematis yang mengubah/mentransformasi suatu fungsi menjadi fungsi yang lain2. Operator jika dikenakan pada suatu fungsi gelombang akan mentransformasikan fungsi gelombang tersebut menjadi fungsi gelombang yang lain, (3.31) Operasi penjumlahan diferensial/turunan



, pengurangan



, pembagian



, perkalian



, divergensi, crul/rotasi dan Laplasian



, operasi



merupakan contoh-



contoh operator. Berikut beberapa contoh operator dalam mekanika kuantum



2.



1.



Operator posisi



2.



Operator momentum linier



3.



Operator Hamiltonan



(dalam ruang satu dimensi



)



, dan lain-lain.



Aljabar Operator a. Hasilkali (produk) operator Hasilkali dua buah operator



dan



, dituliskan



, pada umumnya tidak



komutatif, (3.32) Hasilkali beberapa operator, misalkan



, bersifat assosiatif, yakni (3.33)



Karena operator pada umumnya tidak komutatif maka ketika operator dikenakan pada fungsi gelombang urutan oprator tersebut perlu diperhatikan,



2



Operator dapat pula didefinisikan sebagai pemetaan dari suatu ruang vektor menuju ruang vektor,



(3.34) b. Operator Linier Operator



disebut operator linier jika dipenuhi dua sifat berikut.



1. 2. dengan



dan



adalah skalar kompleks.



c. Konjugat Hermit Operator Konjugat hermit atau adjoin hermit dari bilangan kompleks konjugat kompleks dari bilangan kompleks tersebut



adalah



yakni



. Suatu operator



disebut operator Hermitean jika konjugat hermitnya sama dengan dirinya sendiri, (3.35) atau (3.36) Konjugat hermit operator memenuhi sifat: 1. 2.



dengan



skalar kompleks.



3. 3.



Komutator Operator-operator dalam mekanika kuantum pada umumnya tidak saling komutatif sehingga perlu didefinisikan kaitan komutasi (komutator). Komutator antara operator dan



dituliskan



didefinisikan



(3.37)



Dua operator dikatakan komutatif jika dirinya sendiri,



Setiap operator komutatif dengan



(3.38) dan .



(3.39)



Setiap operator komutatif dengan sembarang bilangan skalar (3.40) Komutator memenuhi sifat berikut 1. Antisimetri (3.41) 2. Linier (3.42) 3. Distributif (3.43) (3.44) 4. Identitas Jacobi (3.45) Contoh 3.1 Tentukan kaintan komutasi (komutator) antara operator posisi dengan operator momentum linier! Penyelesaian: Berdasarkan definisi komutator sehingga



dengan



dan



Jadi komutator



.



Latihan 3.1 1. Dengan cara sama seperti contoh 3.1 tentukan komutator 2. Bagaimana komutator



dan



! ?



3. Buktikan Identitas Jacobi persamaan (3.44)! 4.



Konsep Pengukuran dalam Mekanika Kuantum Secara umum,



mengukur didefinisikan



sebagai proses membandingkan nilai



(ukuran) suatu besaran dengan besaran sejenis yang ditetapkan sebagai satuannya. Dalam mekanika kuantum, pengukuran observabel O dilakukan dengan cara mengenakan operator



pada fungsi gelombang (3.46)



Persamaan (3.46) disebut persamaan nilai eigen (persamaan swanilai). Fungsi gelombang disebut fungsi eigen dan



disebut nilai eigen. Hasil ukur yang mungkin diperoleh



jika observabel O diukur adalah salah satu dari nilai eigen



. Tidak ada pengukuran yang



menghasilkan suatu nilai di luar nilai eigen tersebut. Himpunan yang beranggotakan semua nilai eigen dari operator operator



ditulis



dinamakan spektrum



.



Pengukuran dua observabel dibedakan menjadi dua macam, yakni pengukuran serempak dan pengukuran tidak serempak.



Pengukuran dikatakan serempak jika



pengukuran observabel kedua dilakukan tepat setelah pengukuran observabel pertama. Pengukuran dikatakan tidak serempak jika pengukuran observabel yang kedua dilakukan setelah selang waktu yang cukup lama dari pengukuran pertama. Pengukuran serempak dua buah observabel dalam mekanika kuantum bergantung pada urutannya.



x p



Proses pengukuran pada umumnya mengubah keadaan sistem, .



(3.47)



Berdasarkan posrtulat I dapat dipahami bahwa keadaan tepat setelah pengukuran pada umumnya tidak sama dengan keadaan sebelum pengukuran. Dua fungsi eigen dikatakan berbeda jika fungsi eigen pertama tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian fungsi eigen kedua dengan suatu skalar. Contoh dan



dengan



dan



konstanta, merupakan fungsi eigen yang sama atau



dengan



dan



adalah konstanta. Fungsi eigen



adalah dua fungsi eigen yang berbeda karena dinyatakan sebagai



dan tidak pernah bisa



dikalikan dengan konstanta.



Latihan 3.1 Apakah pengukuran momentum linier (



) akan mengubah keadaan partikel jika



keadaan partikel saat pengukuran dinyatakan oleh fungsi gelombang a. b.



Latihan 3.2 Tunjukkan bahwa keadaan akhir akibat pengukuran momentum linier dan posisi partikel secara serempak bergantung pada urutan pengukurannya! 5.



Nilai Harap atau Nilai Rata-rata Operator Nilai harap operator diwakili oleh oparator



menunjukkan nilai rata-rata pengukuran besaran pada keadaan



. Nilai harap operator



yang



didefinisikan



menurut (3.48)



Jika fungsi gelombang



tidak ternormalisasi maka nilai harap operator



diberikan oleh persamaan



(3.49)



Andaikan suatu sistem kuantum berada pada keadaan yang diwakili oleh superposisi fungsi gelombang dengan vektor basis diskrit vektor



sedemikan sehingga setiap



dapat dituliskan .



Andaikan pula operator



(3.50)



memenuhi persamaan nilai eigen (3.51)



maka nilai harap operator



diperoleh melalui persamaan (3.52)



dengan



(3.53)



adalah peluang mendapatkan nilai eigen



.



Contoh 3.2 Keadaan kuantum suatu partikel diberikan vektor eigen



dengan a. Apakah



, dan



basis ortonormal.



ternormalisasi?



b. Tentukanlah peluang menemukan partikel masing-masing berada pada keadaan



, dan



! Tunjukkan bahwa peluang total sistem



tersebut sama dengan satu! c. Andaikan 810 partikel identik masing-masing berada pada keadaan kemudian dilakukan pengukuran pada masing-masing partikel perkirakanlah jumlah partikel berada pada keadaan



, dan



!



Penyelesaian: a. Apakah



ternormalisasi?



Tampak bahwa



ternormalisasi.



b. Peluang partikel berada pada keadaan



, dan



adalah



Peluang total



c. Jumlah partikel berada pada



, dan



masing-masing



masing-masing



, dan



Contoh 3.3 Tenaga total suatu sistem kuantum memenuhi persamaan dan



dengan



tetapan riil berdimensi energi. Sistem kuantum tersebut disiapkan



berada pada keadaan



dengan



merupakan basis ortonormal.



a. Tentukan nilai egien energi total yang mungkin muncul (spektrum dari operator ) jika dilakukan pengukuran energi terhadap



! Berapakah peluang



masing-masing? b. Tentukan energi rata-rata (nilai harap energi) sistem tersebut! Penyelesaian: Uji normalisasi,



Jelas bahwa



tidak ternormalisasi.



a. Nilai harap energi



dengan



sehingga nilai



eigen energi yang mungkin muncul sebagai hasil ukur atau spektrum energinya adalah



atau



Peluang masing-masing



b. Nilai rata-rata energi sistem



6.



Ketidakpastian Pengukuran Ketidakpastian (ralat) pengukuran operator atau nilai rata-rata pengukuran operator



diperoleh dari deviasi standar nilai harap yang didefinisikan sebagai



(3.54) dengan (3.55)



dan



7.



.



Nilai Harap Operator Hermitean Sifat Hermitean suatu operator diperlukan untuk menjamin agar informasi numerik (nilai



eigen) yang muncul dari operator tersebut bernilai riil. Dalam subbagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa nilai harap operator



sehingga nilai harap operator Hermitean



adalah



(3.56)



Karena konjugat hermit



maka



(3.57)



Oleh karena itu, nilai harap operator Hermitean (3.58) Dalam subbagian ini akan dijabarkan dua buah teorema operator Hermitean. Toerema 3.1 Nilai eigen operator Hermitean adalah riil Bukti: Dari persamaan (3.56)



sehingga



(3.59)



Jadi



atau



Karena



riil maka



juga riil.



Teorema 3.2 Dua buah fungsi eigen dari operator Hermitean dengan dua nilai eigen berbeda saling ortogonal (tegak lurus). Bukti: Persamaan terakhir (3.57)



(3.60) Sekali lagi



dan



adalah riil. Karena



maka (3.61)



Artinya 8.



dan



Latihan Mandiri Menyusul ya… sabar.



saling ortogonal.