Fisika Modern 1 [PDF]

Citation preview

BAB I 1.1.



RELATIVITAS



RELATIVITAS KHUSUS



Fisika Modern merupakan ilmu mekanika baru yang menyiratkan kaitan yang sangat erat antara Ruang dan Waktu, serta Massa dan Energi. Masalah yang dibicarakan sudah mengarah pada benda mikroskopik (atom). Teori relativitas khusus dikembangkan pada tahun 1905 oleh Albert Einstein, mempersoalkan kerangka acuan universal yang merupakan kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka lainnya. Teori Relativitas khusus mempunyai pengaruh besar pada setiap bidang fisika dan bersandar pada dua postulat relativitas khusus. Jika kita katakan sesuatu bergerak, kita maksudkan kedudukannya berubah relatif terhadap sesuatu. (Penumpang bergerak relatif terhadap kapal udara, kapal bergerak relatif terhadap bumi, bumi bergerak relatif terhadap matahari, matahari bergerak relatif terhadap galaksi bintang (Milky Way ). Postulat Relativitas Khusus : 1. Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap satu terhadap lainnya. 2. Kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat, tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat itu. A



A



v



v



v B



A



B



A Cahaya yang dipancarkan api



Masing-masing orang melihat bola Cahaya merambati sekeliling dirinya



Gambar 1.1. Gejala relativistik berbeda dengan kejadian sehari-hari



Fisika Modern



1



A A



v



A v



B



Masing masing orang melihat pola pada tempat yang berbeda relatif terhadap dirinya.



B



v B



Pola riak yang ditimbulkan oleh batu yang dijatuhkan ke dalam air



Gambar 1.2. Pola riak yang ditimbulkan batu dijatuhkan ke dalam air.



1.2



PEMUAIAN WAKTU



Sebuah lonceng yang bergerak terhadap pengamat kelihatannya berdetak lebih lambat dari pada jika lonceng itu diam terhadapnya. Ini berarti, jika seorang pengamat dalam suatu roket mendapatkan selang waktu antara dua kejadian dalam roket itu t o, orang di bumi mendapatkan selang waktu tersebut lebih panjang , yaitu t. Kuantitas to ditentukan oleh kejadian yang terdapat pada tempat yang sama dan disebut dalam kerangka acuan pengamat sebagai waktu proper. Bila diamati dari bumi, kejadian-kejadian yang menandakan permulaan dan akhir selang waktu itu terjadi pada tempat yang berbeda, sehingga akibatnya selang waktunya kelihatan lebih panjang dari waktu proper. Efek ini disebut pemuaian waktu.



Fisika Modern



2



Cermin



Waktu proper : to 



2 Lo c



…(1.1.1)



Pulsa Cahaya



Cermin



Gambar 1.3. Perjalanan pergi pulang suatu pulsa cahaya dari cermin-bawah ke ata dan kembali.



t/2



0



t



ct/2 Lo



vt/2



Gambar 1.4. Lonceng cahaya dalam roket seperti yang terlihat oleh pengamat yang diam di bumi.



Fisika Modern



3



Keterangan : 2



 ct   vt  2    Lo    2 2



2



t o = Selang waktu pada lonceng yang



diam relatif terhadap pengamat c v t 2   4 2



2



   Lo 2 



t = Selang waktu pada lonceng dalam keadaan bergerak relatif terhadap



2



t2 



t



t



2



4 Lo ( 2 Lo )  2 2 2 c v c (1  v 2 / c 2 ) 2 Lo / c



pengamat



v = Kelajuan gerak c = Kelajuan cahaya



1 v2 / c2 to



……… (1.1.2)



1 v2 / c2



Contoh Soal :



1. Berapakah kelajuan Roket yang loncengnya berbunyi 2 detik terlambat dalam satu jam terhadap lonceng di Bumi. Jawab : to = 1 jam = 3600 detik (waktu diam di bumi) t = 3602 detik (untuk Roket yang bergerak di tinjau di bumi) gunakan persamaan (1.1.2): t



to 1 v2 / c2



(t o / t )  1  v 2 / c 2



(t o / t ) 2  1  v 2 / c 2



 v 2 / c 2  1  (t o / t ) 2 v 2  c 2 (1  (t o / t ) 2 ) v  c (1  (t o / t ) 2 ) v  (3 x10 8 ) (1  (3600 / 3602) 2 )



v = 7.1 x 106 m/s 2



2. Waktu hidup (life time) rata-rata Meson-u dengan laju 0,95 c yang diperoleh melalui pengukuran adalah 6 x 10-6 detik. Hitung waktu hidup rata-rata Fisika Modern



4



Meson-u dalam sebuah sistem pada waktu Meson –u diam. Jawab : Pada saat Meson-u diam mempunyai waktu sejati : v2 t o  t 1  2  6 x10 6 det 1  (0,95) 2 = 1,87 x 10-6 det c 3 Sebuah peswat terbang bergerak terhadap bumi dengan laju 600 m/det. Menurut di bumi, berapa lamakah waktu yang diperlukan agar jam pesawat terbang terlambat dua mikrodetik darinya Jawab : Dari persamaan delatasi waktu : tbumi 



t pesawat 1  v2 / c2



t pesawat







2



�6 x102 m / det � 1 � 8 � �3 x10 m / det �



(1-2 x 10-12) tbumi = t pes Ingat, tbumi - t pes = 2 x 10-6 det t pes







t pesawat 1  4 x1012



…………………….. (1)



= tbumi – 2 x 10-6 det ……….(2)



Gabungan (1) dan (2) (1-2 x 10-12) tbumi tbumi (2 x10-12) det tbumi 



= tbumi – 2 x 10-6 det = 2 x10-6 det 2 x10 6 det  106 det  11, 6.hari 12 2 x10



4. Pion memiliki waktu paro (half-life) 1,8 x10-8 det . Suatu berkas pion meninggalkan akselerator dengan laju 0,8 c. Secara klasik dan relativistik sejauh berapakah separoh pion akan meluruh. Fisika Modern



5



Jawab : to = 1,8 x 10-8 det Secara Klasik : Jarak (s) = v t = (0,8 x 3 x 108 m/det) (1,8 x 10-8 det) = 4,32 m Secara Relativistik : t



to







1 v2 / c2



1,8 x10 8 det  3 x10 8 det 1  (0,8) 2



maka jarak yang ditempuh : s



= v t = (0,8x 3 x 10-8 m/det) (3 x 108 det) = 7,20 m



Bagi pengamat yang diam terhadap berkas pion, jarak (sp) yang harus ditempuh pion adalah lebih pendek dari pada jarak laboratorium s, melalui kontraksi Lorentz. sp  s 1



v2  0,6s, c2



 to = sp/ v  1,8x 10 - 8 det







0,6 s 0,8 x 3 x 10 8 det



s = 7,20 m



1.3



EFEK DOPPLER



Fisika Modern



6



Efek dopller untuk bunyi, berubah tergantung dari apakah sumbernya, atau pengamat atau keduanya bergerak. �1  v / c � u  uo � � 1V / c � �



… (1.2.1)



Keterangan : c = Kelajuan bunyi v = Kelajuan Pengamat ( +  Sumber -  S ) V = Kelajuan Sumber (+  pengamat -  P ) Pada cahaya : 1. Pengamat bergerak tegak lurus sumber cahaya v S



Pengamat



to 



1 uo



t



to 1 v2 / c2



1 uo



1  u 1  v2 / c2  u  uo 1  v 2 / c 2 …(1.2.2) Efek Doppler transversal cahaya Frekwensi teramati selalu lebih kecil dari frekwensi sumber o. 2. Pengamat menjauhi sumber cahaya



S



v



Pengamat



 1 v / c T  t o  2 2  1 v / c



T t



vt c



t



to 1 v2 / c2



  1 v / c 1 v / c    to     1 v / c x 1 v / c    



Fisika Modern



7



T  to



1 v / c 1 v / c



frekwensi yang teramati u  u0



1 v / c 1 v / c



…… (1.2.3)



3. Pengamat mendekati sumber cahaya v S



Pengamat



 1 v / c T  t o  2 2  1 v / c T  to



T t



vt c



t



to 1 v2 / c2



  1 v / c 1 v / c    to   x   1 v / c 1  v / c   



1 v / c 1 v / c



frekwensi yang teramati u  u0



1 v / c 1 v / c



…… (1.2.4)



Contoh Soal



1. Sebuah bintang menjauhi bumi dengan kilapan 5x10-3 C. Berapakah pergeseran panjang gelombang garis D2 spektrum natrium ( 5890 Å ) yang dipancarkannya ? Jawab : Persamaan Doppler memberikan :



u  u0



1 v / c , 1 v / c



c c  l l0



cv cv



 u  c/l



Atau l  lo



Karena itu



  1 v / c 1  0,005  5890 A  5920 A 1 v / c 1  0,005



l = 5920 Å - 5890 Å = 30 Å Fisika Modern



8



Pergeserannya adalah menuju panjang gelombang terbesar (pergeseran merah) . 2 Andaikan pergeseran dari garis D2 spektrum natrium ( 5890 Å ) adalah 100 Å , apakah cahayanya diamati dari sebuah bintang yang jauh lainnya. Tentukan kecepatan bintang tersebut. 1 v / c 1 v / c



l  lo



  1 v / c  (5990 A) 2  (5890 A) 2   1 v / c 











(5990 A) 2 (1  v / c)  (5890 A) 2 (1  v / c) 











((5990 A) 2  (5890 A) 2 )  v / c(5890  5990) A 











c((5990 A) 2  (5890 A) 2 )  v(5890  5990) A



selesaikan akan didapat : v = 0,017 c 1.4



PENGERUTAN PANJANG



Jika sebuah benda diam terhadap seorang pengamat, maka panjangnya dengan mengukur selisih antara koordinat-koordinat ruang titik ujung benda itu. Karena benda itu tidak bergerak, maka pengukurannya dapat dilakukan pada sebarang waktu, dan panjang yang ditentukan disebut panjang diam (rest) atau panjang sejati (proper) benda. Bagi sebuah benda yang bergerak prosedurnya agak rumit karena koordinat-koordinat ruang titik-titik ujung benda itu harus diukur pada saat yang sama. Selisih antara kedua koordinat ini didefinisikan sebagai panjang benda. Tinjau sebuah mistar, yang arah panjangnya x-x’, yakni diam terhadap pengamat O’. Kita ingin menentukan bagaimana pengukuran panjang menurut O dan O saling berkaitan apabila O’ bergerak relatif terhadap O dengan kecepatan v dalam arah x-x’. Ujung mistar ditandai denga A dan B. Dengan menggunakan transformasi Lorentz didapat : x B ' x A ' 



( x B  x A )  v(t A  t B ) 1  (v 2 / c 2



Selisih xB’ – xA’ = Lo adalah panjang (sejati) mistar menurut O’. Jika xB dan xA diukur oleh O pada saat yang sama, sehingga tA – tB = 0, maka selisih xB – xA = L merupakan panjang mistar yang diukur oleh O. Jadi kita peroleh : Fisika Modern



9



……………(1.3.1)



L  Lo 1  v 2 / c 2



Karena



maka kita peroleh L < Lo. Jadi panjang mistar yang bergerak menurut O menjadi memendek. Hasil ini disebut kontraksi (penyusutan). 1 v2 / c2  1



1.5



RELATIVITAS MASSA



Setiap benda yang bergerak menjahui pengamat dengan kelajuan mendekati kecepatan cahaya maka benda tersebut akan mengalami pemuaian massa. Untuk lebih jelasnya kita tinjau tumbukan elastik sempurna (tumbukan yang energi kinetiknya kekal) antara dua partikel C dan D, yang disaksikan oleh pengamat dalam kerangka S dan S’ yang berada dalam gerak relatif uniform. Sifat C dan D identik jika ditentukan terhadap kerangka acuan tempat partikel itu diam.



y



C y’ S



vC’



x’



S’



z z’



Y



vD



x



D



v



Tumbukan terlihat dari kerangka S C S D S



Fisika Modern



10



Tumbukan terlihat dari kerangka S’



C S D S



Gambar 1.5. Tumbukan elastik teramati dalam dua kerangka yang berbeda Kerangka S dan S’ terorientasi seperti Gambar 1.5 dengan S’ bergerak dalam arah + x terhadap S dengan kecepatan v. Sebelum tumbukan partikel D diam terhadap kerangka S dan partikel C terhadap S’. Pada saat yang sama, D dan C di lempar dalam arah + y dengan laju vD, sedangkan C dalam arah – y’ dengan kelajuan vC’ dimana : vD = vC’



…………. (1.4.1)



Kelakuan D terlihat dari S sama dengan C terlihat dari S’ dan setelah tumbukan terjadi D memantul dalam arah –y dengan kelajuan vD dan C memantul dalam arah + y’ dengan kecepatan vC’. Jika partikel tersebut dilempar dari kedudukan berjarak Y, pengamat di S mendapatkan bahwa tumbukan terjadi pada y = ½ Y dan pengamat pada S’ mendapatkan bahwa tumbukan terjadi pada y’ = ½ Y. Waktu pulang pergi To untuk D diukur dari kerangka S menjadi : To = Y/ vD



………………… (1.4.2)



Dan untuk C dari kerangka S’ : To = Y/ vC’



………………. (1.4.3)



Jika momentum kekal dalam kerangka S harus berlaku : mD vD = mC vc



Fisika Modern



……………...(1.4.4)



11



dengan mD dan mC menyatakan massa D dan C, vD dan vc menyatakan kelajuannya diukur dari kerangka S. Dalam kerangka S, vC didapat dari : vC = Y / T



……………. (1.4.5)



Dengan T menyatakan waktu yang diperlukan C untuk pulang pergi seperti diukur dari S. Dalam S’, perjalanan C memerlukan waktu To, dengan : To



T



…………….(1.4.6)



1 v2 / c2



dengan mengganti T dari persamaan (1.4.5) dengan besaran yang sama didapatkan dalam To. vC  Y



1 v2 / c2 To



Dari persamaa ( 1.4.2) : vD = Y / To Dengan mensubsitusikan nilai vD dan vC ke dalam persamaan (1.4.3) kita dapatkan : mD vD



=



mC vc



mD Y/ To = mC Y



1 v2 / c2 To



m D  mC 1  v 2 / c 2



Dari hasil analisa diatas D dan C identik bila dalam keadaan diam terhadap pengamat. Perbedaan antara mD dan mC berarti pengukuran massa, seperti juga ruang dan waktu, bergantung dari kelajuan relatif pengamat, kejadian apapun yang ia sedang amati. Pengamat S akan melihat C mendekat dengan kelajuan v, membuat tumbukan dan kembali. Dalam S : mD mC



= mo = m



sehingga :



Fisika Modern



12



m



mo 1 v2 / c2



massa relativistik



……..(1.4.7)



massa benda yang bergerak dengan kelajuan v relatif terhadap pengamat menjadi lebih dari massa diamnya terhadap pengamat dengan faktor 1 / 1  v 2 / c 2 . Pertambahan massa relativistik hanya penting untuk kelajuan yang mendekati kelajuan cahaya.



1.6



HUKUM NEWTON KEDUA DALAM RELATIVITAS KHUSUS



Pernyataan klasik dari hukum kedua newton adalah gaya total pada sebuah benda sama dengan laju perubahan momentumnya. Untuk measukkan efek relativistik, maka suatu kelonggaran harus dilakukan terhadap kenyataan bervariasinya massa benda terhadap kecepatannya. Jadi generalisasi relativistik hukum kedua newton adalah : dp d  (m.v ) dt dt  mo v dp d  F    dt dt  1  v 2 / c 2  F 



…… (1.5.1)



dan tidak sama dengan : dp d dv dm  (m.v)  m v dt dt dt dt



karena dm/dt tidak nol, jika kelajuan benda berubah terhadap waktu. Contoh Soal :



1. Cari massa elektron (mo = 9,1 x 10-31 kg) yang berkelajuan 0,99 c Jawab : v/c = 0,99 (v/c)2 = 0,98 sehingga :



Fisika Modern



13



mo



m



1  v2 / c2







9,1x10 31 kg  64 x1034 kg 1  0,98



ini berarti massa elektron yang bergerak 7 kali lebih besar dari massa diamnya. 2. Massa diam sebuah meson-u adalah 207 mo dan waktu hidup rata-ratanya dalam keadaan diam adalah 2 x 10-6 det. Berapakah massa meson-u jika waktu hidup rata-ratanya dalam laboratorium adalah 7 x 10-6 det. Jawab : Dari delatasi waktu :



1 v / c 2



m  mo



sehingga :



1.7



1 2







t 7  to 2



1 1 v2 / c2



 207mo(7/2) = 725 mo



MASSA DAN ENERGI



Hubungan yang paling terkenal diperoleh Eintein dari postulat relativitas khusus ialah mengenai massa dan energi. Kita ambil dari difinisi energi kinetik (K) S



K 



 F .ds



…………..



(1.6.1)



0



F  ma  m



dv d  ( m.v) dt dt



sehingga dapat ditulis : S



K 



d (mv ) 0 dt .ds 



mv



 vd (mv) 0



masukkan massa relativitas maka persamaan menjadi : S



K 



d (mv ) 0 dt .ds 



mv



 vd (mv) 0



Fisika Modern



14



v



d ( mo v)



K  v



1 v2 / c2



0



.dv



 gunakan integral parsial :  x dy = xy -  y dx



K



K



v



mo v 2 1 v / c mo v 2 2



 mo 



2



0



vdv 1 v2 / c2



 mo c 2 1  v 2 / c 2 .



. v



0 1 v2 / c2 v2 mo c 2 v2  K  ( 1  )  mo c 2 2  2 2 c2 c 1 v / c  



K



mo c 2 1 v / c 2



2



 mo c 2



Ket : moc2 = Eo = Energi diam (potensial) m c2 = E = Energi total K = Energi kinetik



mo v 1  v2 / c2 K  mc 2  mo c 2



 p = momentum linier



…



…(1.6.2)



Contoh Soal :



1.



Diketahui massa dari elektron = 9,1 x 10-31 kg. Tentukan energi diam elektron dinyatakan dalam joule dan elektron volt Jawab : Eo = mo c2 = (9,1 x10-31 kg) (2,998 x108 m/det)2 = 8,187 x 10-14 J dan 1.MeV � � 1.eV � � (8,187 x1014 J )  � � 6 � 0,511.MeV � 19 1, 60 x10 J � �10 eV � �



2.



Sebuah benda dalam keadaan diam membelah secara spontan menjadi dua bagian yang bergerak dengan arah berlawanan. Bagian yang bermassa diam 3 kg bergerak Fisika Modern



15



dengan kelajuan 0,8 c dan yang 5,33 kg dengan kelajuan 0,6 c. Carilah massa diam benda semula : Jawab: Karena



Eawal



= Eakhir mo1c 2 mo 2 c 2 mo c 2   1 v2 / c2 1 v2 / c2 3kg.c 2



mo c 2 



mo 3.



1 v2 / c2



=







5,33.kg .c 2 1 v2 / c2



11,66 kg .



Berapa kelajuan sebuah elektron yang dipercepat melalui suatu potensial sebesar 105 V? Jawab: Karena :



K = e V = 105 eV = 0,1 MeV



Maka kita dapatkan : K 



mo c 2 1 v / c 2



2



 mo c 2



Dengan mensubsitusikan mo c 2  0,511 .MeV maka didapat v = 0,548 c 4.



Hitung momemtum elektron yang energinya 1 MeV Jawab : E2



= (pc)2 + Eo2



(1 MeV + 0,511 MeV)2 = (pc)2 + (0,511)2 p = 1,42 MeV/c 5.



Hitung energi kinetik elektron yang momentumnya 2 MeV/c Jawab :



E2



= (pc)2 + Eo2



( K + 0,511 MeV)2



=



K



2 MeV x c c = 1,55 MeV



2



+ ( 0,511 MeV)2



1.8 Fisika Modern



16



HUBUNGAN MOMENTUM DAN ENERGI Karena momentum kekal, sedangkan kecepatan tidak, maka seringkali bermanfaat untuk menyatakan energi benda dalam momentumnya daripada dalam kecepatannya.untuk maksud ini kita lihat hubungannya : 2



mo c 4 , E  1 v2 / c2



P2 



2



2



mo v 2 , 1 v2 / c2



p 2c 2 



mo v 2 c 2 1 v2 / c2



2



mo c 4 mo v 2 c 2 E p c   1 v2 / c2 1 v2 / c2 2



2 2



2



mo c 4 (1  v 2 / c 2 ) E p c   mo c 4 2 2 1 v / c 2



2 2



E 2  p 2 c 2  mo c 4 E



 E2=moc4 +p2c2 ……..(1.7.1)



mo c 4  p 2 c 2



untuk partikel tak bermassa , mo= 0 , v < c maka E =P = 0 sehinggga : E = pc 1.9



………….(1.7.2 )



SATUAN UNTUK ENERGI DAN MOMENTUM



Satu elektron volt (eV) adalah energi kinetik sebuah benda yang muatannya sama dengan muatan sebuah elektron, setelah bergerak melewati satu beda potensial sebesar satu volt. 1 eV = (1.602 x 10-19 C ) (1 V) = 1.602 x 10-19 J Satuan baku untuk momentum adalah Kg. M/s. Tetapi, dalam perhitungan relativistik, satuan yang sering kali dipakai untuk momentum adalah MeV/c. Satuan ini muncul dari pernyataan energi momentum :



P



E 2  EO c



2



Faktor konversinya P  Fisika Modern



1.MeV  0,534 x10  21 kgm / s c 17



Kesalahan yang umum terjadi dalam membahas soal-soal massa dan energi adalah menggunakan pernyataan yang salah untuk energi kinetik seperti : K = ½ mo v2 dan K = ½ m v2 Pernyataan yang benar untuk energi kinetik adalah : K = ( m – mo) c2 begitu pula terhadap momentum : P = mo v



Fisika Modern



18