Fungsi Invers Trigonometri [PDF]

Citation preview

MAKALAH FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI



DISUSUN OLEH :



PANDE PUTU GEAN RAMAJAYA



(1813011003 / 1D)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA 2018



ii



KATA PENGANTAR



Puji dan syukur saya panjatkan kepada tuhan yang maha esa karena atas anugerahnya saya dapat menyelesaikan makalah “Fungsi Invers Trigonometri”. Seperti yang diketahui bahwa konsep trigonometri ini telah digunakan dalam proyek pembangunan ataupun teknologi komputasi. Penyusunan makalah ini akan memberikan informasi mengenai penegrtian fungsi invers trigonometri, grafik fungsi invers trigonometri, dan hubungan fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri dengan makalah ini untuk memenuhi tugas mata kuliah Trigonometri. Dalam pembuatan makalah ini, saya mengucapkan terima kasih kepada ibu Dr. Ni Nyoman Parwati, M.Pd. selaku dosen pengampu mata kuliah Trigonometri yang telah menugaskan saya untuk membuat makalah ini. Selain itu kami ucapan terima kasih kepada teman-teman yang membantu saya secara tidak langsung dalam bentuk saran pada sistematika makalah. Serta saya berterima kasih kepada referensi buku Trigonometri di perkuliahan yang telah memberikan isi materi yang bisa dipercaya. Demikian makalah ini saya susun dengan segala usaha dalam kelebihan, walaupun masih ada kekurangan yang ada. Oleh sebab itu kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi perbaikan makalah ini, sangat saya harapkan. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat dan pengetahuan bagi pembaca. Demi masa depan yang baik harus dimulai dari yang baik pula, maka pahamilah isi makalah ini.



Singaraja, 14 September 2018 Penyusun



DAFTAR ISI ii



HALAMAN COVER.................................................................................................i KATA PENGANTAR................................................................................................ii DAFTAR ISI.............................................................................................................iii DAFTAR GAMBAR................................................................................................iv BAB I. PENDAHULUAN.........................................................................................1 1.1 Latar Belakang.........................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah....................................................................................1 1.3 Tujuan......................................................................................................1 1.4 Manfaat....................................................................................................2 BAB II. PEMBAHASAN..........................................................................................3 2.1 Pengertian Fungsi Invers Trigonometri...................................................3 2.2 Grafik Fungsi Invers Trigonometri..........................................................3 2.3 Hubungan Fungsi Trigonometri Dengan Fungsi Invers Trigonometri....9 BAB III. PENUTUP................................................................................................13 3.1 Kesimpulan............................................................................................13 3.2 Saran......................................................................................................13 DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................14 LAMPIRAN SOAL-SOAL LATIHAN...................................................................15



DAFTAR GAMBAR



iii



Gambar 1. Diagram panah hubungan fungsi dengan invers....................................3    Gambar 2. Grafik fungsi y  sin x pada domain  ,  ....................................4 



2 2



Gambar 3. Grafik fungsi f ( x) 1  arcsin( x) .........................................................4 Gambar 4. Grafik fungsi y  cos x pada domain  0,   .........................................5 Gambar 5. Grafik fungsi f ( x) 1  arc cos( x) .......................................................5    Gambar 6. Grafik fungsi y  tan x pada domain  ,  ...................................6 



2 2



Gambar 7. Grafik fungsi f ( x) 1  arctan( x) ..........................................................6 Gambar 8. Grafik fungsi y  cosec ( x ) pada domain



      2 , 0    0 , 2  ..............7    



Gambar 9. Grafik fungsi f ( x ) 1  arc cosec ( x) ...................................................7      Gambar 10. Grafik fungsi y  sec ( x ) pada domain 0,    ,   .....................8  2 2 



Gambar 11. Grafik fungsi f ( x) 1  arcsec ( x) ........................................................8 Gambar 12. Grafik fungsi y  cot ( x ) pada domain  0,   ....................................9 Gambar 13. Grafik fungsi f ( x) 1  arccot ( x) ........................................................9 Gambar 14. Konstruksi segitiga siku-siku dengan ACB   .............................10 Gambar 15. Konstruksi dua segitiga siku-siku........................................................12



iv



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Matematika menjadi salah satu bidang ilmu pengetahuan pada sisi kehidupan yang sangat penting, karena hampir dalam setiap aktivitas sehari-hari, baik disadari ataupun tidak, matematika telah membantu banyak orang untuk berkarya. Belajar matematika, dituntut untuk menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan angka, simbol, dan sistem secara eksak. Maka dari hal tersebut, orang-orang telah berhasil menciptakan berbagai alat teknologi dan berbagai konstruksi yang mampu diminati banyak orang, misalnya yaitu jembatan ataupun menara yang membutuhkan pengukuran sudut. Hal ini berkaitan dengan salah satu bidang yaitu trigonometri. Pada trigonometri, memiliki berbagai materi yang pelu dipelajari dan dipahami seperti



identitas



trigonometri,



grafik



trigonometri,



penjumlahan



sudut-sudut



trigonometri, dan lain sebagainya. Pada makalah ini, akan dibahas pada materi invers trigonometri. Fungsi invers pada trigonometri memiliki arti yang sama dengan invers pada fungsi aljabar yaitu kebalikan dari suatu fungsi, namun memiliki suatu aturan pada invers trigonometri, yaitu pada domain atau daerah asal. Dari hal tersebut, akan dibahas lebih lanjut mengenai grafik dan titik asal pada invers trigonometri untuk memudahkan pembaca mengenal lebih dalam mengenai invers trigonometri. 1.2 Rumusan Masalah Dari latar belakang yang telah dipaparkan, terdapat rumusan masalah sebagai berikut. 1. Apa pengertian dari fungsi invers trigonometri ? 2. Bagaimana grafik fungsi invers trigonometri ? 3. Bagaimana hubungan fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri ? 1.3 Tujuan Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan makalah ini sebagai berikut. 1. Untuk menjelaskan pengertian fungsi invers trigonometri 2. Untuk menjelaskan grafik fungsi invers trigonometri 3. Untuk menjelaskan hubungan fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri 1.4 Manfaat Adapun manfaat dari isi makalah ini yaitu : a. Bagi penulis, dapat menambah ilmu mengenai fungsi invers trigonometri dan dapat belajar menulis makalah yang berguna untuk pembaca.



1



b. Bagi pembaca, dapat menambah ilmu mengenai fungsi invers trigonometri agar mampu untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan fungsi invers trigonometri.



BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Fungsi Invers Trigonometri 2



Sebelum kita memahami apa itu fungsi invers trigonometri, kita perlu tahu bagaimana fungsi invers itu. Misalkan terdapat fungsi f ( x )  y , dengan x  bilangan real, maka fungsi inversnya yaitu x  f



1



( y ). Dapat disimpulkan bahwa fungsi invers



yaitu kebalikan dari fungsi awal. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada diagram panah berikut :



●◄



►●



Gambar 1. Diagram panah hubungan fungsi dan invers Hal ini juga berlaku pada trigonometri : Misalkan f ( x)  y  sin x, maka inversnya : x  arcsin( y ) (arcsin adalah penamaan invers pada trigonometri), dengan f Maka, kita dapatkan suatu definisi :



1



( x)  arcsin( x).



y  sin x  x  arcsin( y ) y  cos x  x  arccos( y) y  tan x  x  arctan( y) 2.2 Grafik Fungsi Invers Trigonometri Kita ketahui sebelumnya bahwa invers yaitu kebalikan dari suatu fungsi. Pada grafik fungsi invers trigonometri, grafik fungsi trigonometri pada domain (daerah asal) terhadap titik koordinat di sumbu x pada fungsi f (x) , akan berubah menjadi range (daerah hasil) terhadap titik koordinat di sumbu y pada fungsi. Hal tersebut bisa dikatakan sebagai refleksi (pencerminan) terhadap garis y  x . Jika dituliskan dalam persamaan, maka akan didapat suatu hubungan sebagai berikut : f



1



( f ( x ))  x, untuk nilai x pada domain f atau x  D f



f(f



1



( y ))  y , untuk nilai y pada range f atau y  R f



Note : Perlu diingat bahwa tidak semua range pada fungsi trigonometri memenuhi pada semua sudut, karena fungsi invers trigonometri haruslah berkorespodensi satusatu terhadap domain dan range. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada penjelasan grafik fungsi dalam sudut trigonometri sebagai berikut. 3



a. Grafik fungsi f ( x) 1  arcsin( x)



Perhatikan grafik berikut.



Gambar 2. Grafik fungsi



y  sin x pada



Gambar 3. Grafik fungsi



f ( x) 1  arcsin( x)



   ,  2 2 



domain 



Terlihat bahwa pada fungsi y  sin x memiliki perubahan domain pada fungsi inversnya, yaitu menjadi domain fungsi invers   1, 1 yang didapat dari pencerminan titik koordinat pada grafik fungsi



y  sin x



terhadap garis



y  x . Sehingga



memperoleh range pada hasil domain di y  sin x . Maka dapat dibuat suatu hubungan sebagai berikut. Misalkan y  sin 1 x atau arcsin(x), maka didapat suatu teorema, yaitu :    y   sin( y )  x , kemudian : 2 2 : [−1, 1]    :  ,   2 2



– y  arcsin( x)   – Domain – Range



– sin(arcsin( x))  x  1  x  1   – arcsin(sin( x))  x    x  2



2



b. Grafik fungsi f ( x) 1  arc cos( x)



Misalkan terdapat fungsi f ( x)  y  cos x. Dengan korespodensi satu-satu pada domain  0,   dapat dibuat grafik fungsinya sebagai berikut.



4



Gambar 4. Grafik fungsi y  cos x pada domain  0,   . Kemudian fungsi y  cos x dicerminkan terhadap garis y  x , sehingga didapat grafik fungsi invers f ( x) 1  arc cos( x) sebagai berikut.



Gambar 5. Grafik fungsi f ( x) 1  arc cos( x) . Maka dapat dibuat suatu hubungan sebagai berikut. Misalkan y  cos 1 x atau arccos( x), maka didapat suatu teorema, yaitu : – y  arccos( x)  0  y    cos( y )  x , kemudian : – Domain



:   1, 1



– Range



:  0,  



– cos(arccos ( x))  x  1  x  1 – arccos(cos ( x))  x  0  x   c. Grafik fungsi f ( x) 1  arctan( x )



Misalkan terdapat fungsi f ( x)  y  cos x. Dengan korespodensi satu-satu pada    , dapat dibuat grafik fungsinya sebagai berikut.  2 2 



domain 



5



   Gambar 6. Grafik fungsi y  tan x pada domain  ,  . 



2 2



Kemudian fungsi y  tan x dicerminkan terhadap garis y  x , sehingga didapat grafik fungsi invers f ( x) 1  arctan( x) sebagai berikut.



Gambar 7. Grafik fungsi f ( x) 1  arctan( x ) . Maka dapat dibuat suatu hubungan sebagai berikut. Misalkan y  tan 1 x atau arctan( x), maka didapat suatu teorema, yaitu : - y  arctan( x)  



   y   tan( y )  x , kemudian : 2 2











  – arctan ( x)    x     arctan ( x)   x  2 2 – Domain



:



 , 



   ,  2 2  – tan(arctan ( x))  x  x  Bilangan riil



– Range



: 



6



– arctan(tan( x))  x  



  x 2 2



d. Grafik fungsi f ( x ) 1  arc cosec ( x)



Misalkan terdapat fungsi f ( x)  y  cosec ( x ). Dengan korespodensi satu-satu      pada domain 0,    ;  didapat suatu grafik fungsi yang selanjutnya direfleksikan 



2



2







(dicerminkan) terhadap garis y  x . Sehingga didapat grafik fungsi invers f ( x) 1  arc cosec ( x) sebagai berikut.



Gambar



8.



Grafik



fungsi



y  cosec ( x )



Gambar



9.



Grafik



fungsi



f ( x ) 1  arc cosec ( x)     , 0    0,   2   2



 pada domain 



Maka dapat dibuat suatu hubungan sebagai berikut. Misalkan y  cos ec 1 x atau arccosec(x), maka didapat suatu teorema, yaitu :       y  0    0  y    cosec( y )  x , kemudian : 2  2  



- y  arc cosec(x)    – arc cos ec ( x)  0







 x     arc cosec ( x)  0   x 



– Domain



:   , 1  1,  



– Range



 : 



–



    , 0    0,   2   2



cosec(arc cosec ( x ))  x  x  1



      x  0  0  x   2  2  



– arc cosec(cosec( x))  x   



e. Grafik fungsi f ( x) 1  arcsec ( x)



7



Misalkan terdapat fungsi f ( x)  y  sec ( x). Dengan korespodensi satu-satu      pada domain 0,    ,   didapat suatu grafik fungsi yang selanjutnya direfleksikan  2 2 



(dicerminkan) terhadap garis y  x . Sehingga didapat grafik fungsi invers f ( x) 1  arcsec ( x) sebagai berikut.



Gambar 10.Grafik fungsi



y  sec ( x )



Gambar 11. Grafik fungsi



f ( x ) 1  arcsec ( x)      pada domain 0,    ,    2 2 



Maka dapat dibuat suatu hubungan sebagai berikut. Misalkan y  sec 1 ( x) atau arcsec( x), maka didapat suatu teorema, yaitu :  



- y  arcsec( x)   0  y 



        y     sec( y )  x , kemudian : 2 2 











   x     arcsec ( x)   x  2 2 :   , 1  1,  



– arcsec ( x)   – Domain – Range –



















: 0,    ,    2 2 



sec(arcsec ( x ))  x  x  1



 



– arcsec(sec ( x))  x   0  x 



      x   2 2 



f. Grafik fungsi f ( x) 1  arccot ( x)



8



Misalkan terdapat fungsi f ( x)  y  cot ( x). Dengan korespodensi satu-satu pada domain  0,   didapat suatu grafik fungsi yang selanjutnya direfleksikan atau dicerminkan terhadap garis y  x . Sehingga didapat grafik fungsi invers f ( x) 1  arccot ( x) sebagai berikut



Gambar 12.Grafik fungsi



y  cot ( x )



Gambar 13. Grafik fungsi



f ( x) 1  arccot ( x)



pada domain  0,   Maka dapat dibuat suatu hubungan sebagai berikut. Misalkan y  cot 1 ( x) atau arc cot x  , maka didapat suatu teorema, yaitu : – y  arccot( x)  0  y    cot( y )  x , kemudian : –



arccot ( x)     x     arccot ( x)  0   x 



  , 



– Domain



:



– Range



:  0,  



–



cot(arccot ( x))  x  x  Bilangan riil



– arccot(cot ( x))  x  0  x   2.3 Hubungan Fungsi Trigonometri Dengan Fungsi Invers Trigonometri Sebelumnya pada materi grafik fungsi invers trigonometri, kita diberi persamaan di setiap sudut trigonometri, yaitu :



9



f



1



( f ( x ))  x, untuk nilai x pada domain f atau x  D f



f(f



1



( y ))  y , untuk nilai y pada range f atau y  R f



Kemudian, apabila terdapat persamaan di sudut trigonometri yang ada, kita dapat menentukan persamaan tersebut dengan metode segitiga siku-siku pada identitas trigonometri. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penyelesaian berikut. 1. Tentukan bentuk sederhana dengan menyatakan dalam x dan tentukan domainnya pada bentuk fungsi f ( x)  sin  arccos x  . Pertama kita harus mencari nilai dari arccos x . Misalkan cos( )  x , sehingga jika digambarkan dalam segitiga siku-siku. A 1 1  x2



B



x



C



Gambar 14. Konstruksi segitiga siku-siku dengan ACB   Dengan ACB   , maka cos( ) 



BC x AC



f ( x )  sin  arccos x   f ( x )  sin    f ( x) 



AB 1  x2   1  x2 AC 1



Sehingga f ( x)  sin  arccos x    1  x 2 , dengan domain yaitu ditentukan pada arccos  x  yaitu



  1, 1 .



Atau kita dapat menentukan bentuk sederhana dari fungsi tersebut dengan menggunakan identitas trigonomteri yang telah dipelajari sebelumnya. Misalkan cos( )  x , kemudian kita tahu bahwa sin 2     cos 2     1. Sehingga : f ( x )  sin  arccos x   f ( x )  sin    f ( x) 



1  cos 2   



f ( x) 



1 x2



2. Tentukan bentuk sederhana dari f ( x)  tan  arcsin  x  . Pembahsan : Misalkan sin( )  x , kemudian kita tahu bahwa sin 2     cos 2     1. Sehingga : 10



f ( x)  tan  arcsin  x   f ( x)  tan    f ( x)  f ( x) 



sin    cos   sin   



1  sin    2







x 1  x2



Itulah beberapa contoh dari hubungan fungsi trigonometri dan fungsi invers trigonometri. Untuk selanjutnya, kalian dapat mencari persamaan yang lain dari fungsi invers pada sudut trigonometri dengan metode tersebut. Kemudian berikut adalah beberapa contoh soal dari materi yang telah kalian baca dan pahami. 1. Tentukan nilai-nilai eksak dari fungsi invers berikut  







1 2



a). arcsin  



 



b). cos 2 arctan 3



c). arcsec   2 



Pembahasan :  



1 2



a). Untuk mencari nilai y  arcsin   , kita ketahui bahwa nilai y memiliki interval 1      2 , 2  pada sin  y    2 . Sehingga nilai y yang memenuhi yaitu y  30   6



. b). Pertama kita tentukan dahulu nilai dari arctan  3 .    Nilai dari arctan  3  yaitu bilangan riil x pada interval  ,  dengan  2 2 tan  x  



3.



Sehingga nilai x yang memenuhi yaitu x  60 . Sehingga







cos 2.arctan



 3 



 cos 2  60  cos 120  



1 2



11



c). Untuk mencari nilai p  arcsec   2  , kita ketahui bahwa nilai p memiliki interval      0, 2    2 ,   pada    



1 sec  p   2 atau cos  p    . Sehingga 2



memenuhi yaitu p  120 



nilai



p



yang



2 . 3



2. Buktikan bahwa arcsin x   arccos x  



 . 2



Pembahasan : Dengan persamaan tersebut, Misalkan sin     x dan cos    x . Kita dapat membuat suatu hubungan pada dua segitiga siku-siku untuk mendapat sudut tersebut. Maka didapatlah bangun datar seperti berikut. A



D 1



x 



x







B



C



Gambar 15. Konstruksi dua segitiga siku-siku Dengan sin    



DC x AB x   x dan cos      x, BD 1 BD 1



menyebabkan AD  BC  1  x 2 . Sehingga terbentuklah persegi panjang, dengan tiap sudutnya bernilai 90 , maka    



 . (terbukti) 2



Demikian beberapa contoh soal yang sekiranya mampu untuk memahami bagaimana bentuk soal yang ada pada permaslahan fungsi invers trigonometri. Untuk selanjutnya, kalian dapat berlatih soal fungsi invers trigonometri, dengan soal-soal bisa dilihat di bagian lampiran makalah.



12



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Fungsi invers memiliki arti yaitu kebalikan dari suatu fungsi awal. Pada fungsi invers trigonometri, disimbolkan dengan “arc” atau f



1



( x ) . Grafik fungsi invers



trigonometri ditentukan dengan merefleksikan (mencerminkan) fungsi trigonometri terhadap garis y  x. , yang menyebabkan domain (daerah asal) fungsi f (x) pada sudut trigonometri menjadi range (daerah hasil) pada fungsi f



1



( x) .



Terdapat hal yang harus diperhatikan dalam menentukan suatu nilai pada fungsi invers trigonometri, yaitu range pada fungsi invers trigonometri mengikuti domain, yang ditentukan dari fungsi korespodensi satu-satu, sehingga nilainya tunggal. Kemudian persamaan yang juga berguna dalam menentukan persaamaan fungsi invers pada sudut trigonometri yaitu : f



1



( f ( x ))  x, untuk nilai x pada domain f atau x  D f



f(f



1



( y ))  y , untuk nilai y pada range f atau y  R f



Contohnya yaitu sin(arcsin x   x . Sehingga dapat menentukan persamaan fungsi invers trigonometri dengan hubungan sudut-sudut trigonometri yang berbeda. 3.2 Saran Materi fungsi invers trigonometri ini merupakan materi dasar yang harus dipahami oleh pembaca, karena fungsi invers trigonometri akan berlanjut pada materi di bidang matematika yang lain, seperti aljabar, kalkulus integral, dan yang lainnya. Pembaca tidak harus mempelajari materi ini secara eksak, tetapi juga mampu mengimplementasikannya dalam kehidupan. Misalnya penggunaan cermin tembus pandang ataupun gaya interior pada bangunan yang menggunakan fungsi invers.



13



DAFTAR PUSTAKA Corral, Michael. 2009. Trigonometry. GNU Free Documentation License : Livonia. Stitz, Carl dan Zeager Jeff. 2013. College Trigonometry Version 3. Lorain Country Community College : Elyria.



14



LAMPIRAN SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tentukan nilai eksak pada fungsi invers trigonometri berikut   11 a). arccos cos  6 



   



b). sin  arctan  2 



c). cos arcsec  3  arctan  2  



2. Tentukan bentuk sederhana dan interval x dari fungsi f ( x)  cos 2 arcsin 4 x   



 x 3     3 



3. Tentukan bentuk sederhana dan interval x dari fungsi f ( x)  sin  2 arcsin 



4. Buktikan bahwa arcsec x   arccosec x  



 dan tentukan interval fungsinya. 2



5. Buatlah grafik fungsi f ( x)  2 arc sin  x . Soal Eksplorasi Gunakan gambar berikut untuk membuktikan persamaan berikut. arctan1  arctan 2  arctan 3  



15