Fungsi [PDF]

Citation preview

MODUL 4



DERIVATIF (TURUNAN)



3.1. TURUNAN FUNGSI EKSPLISIT ( y1 = f1(x ) ) Jika y = f(x), penambahan kecil pada x sebesar ∆x menjadi x +∆x, mengakibatkan bertambahnya y sebesar ∆y menjadi y + ∆y = f(x+∆x). Sehingga apabila ∆x mendekati nol atau (∆x0), maka derivatif atau turunan f(x) di x = x0 diperoleh



∆y = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x→ 0



lim



Karena y = f(x), maka



f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) dy ditulis = dx ∆x



dy df ditulis y1 atau f 1(x) atau dx dx f (x + h) − f (x) df = f 1(x) = lim h→ 0 dx h



Untuk ∆x = h, maka



y1 =



Untuk x = a dan ∆x = h, maka



f 1(a) =



lim f (a + h) − f (a ) h→ 0



h



Contoh: 1.



y = f(x) = x2



dy lim f ( x + h ) − f ( x ) lim ( x + h ) 2 − x 2 ( x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 = = = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 dx h h h =



lim ( 2x + h ) h→ 0



= 2x



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1



2.



y = x3



dy f ( x + h ) − f ( x ) lim ( x + h ) 3 − x 3 = lim = = h→ 0 h→ 0 dx h h = =



( x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 − x 3 h→ 0 h



lim



lim ( 3x



2



h→ 0



+ 3xh + h2 ) = 3x2



3. y = x4 dengan cara yang sama diproleh



dy = 4 x3 dx



...................................... dan seterusnya



4. y = xn dengan cara yang sama diperoleh



dy = n x n-1 dx



Rumus-Rumus Umum Turunan



Jika u = f(x), v = g(x), u1 =



du dv , v1 = , dan k = konstanta , dx dx



maka 1. y = k u







y1 = k u1



2. y = u ± v 



y1 = u1 ± v1



3. y = u v







y1 = u 1 v + u v1







y1 =



4. y =



u v



u1 v − u v1 v2



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1



5. y = sin u



y1 = ( cos u ) . u1







6. y = sin √u 



7. y = ln √u







y1 = ( cos √u ) . ½ . u-1/2 . u1 = ½



y1 = ½ .



y = ½ ln u 



cos u u



. u1



1 . u1 u



Rumus-Rumus Dasar 1. y = xn







y1 = n xn-1



2. y = sin x







y1 = cos x



y = cos x







y1 = - sin x



y = tan x







y1 = sec2 x



y = cot x







y1 = - csc2 x



y = sec x







y1 = sec x tan x



y = csc x







y1 = - csc x cot x



3. y = alog x







y1 =



1 x ln a



y = ln x







y1 =



1 x



y = ax







y1 = ax ln a



y = ex







y1 = ex



5. y = arc sin x







y1 =



y = arc cos x







y1 =



y = arc tan x







y1 =



4.



( a = e -> elog = ln )



1 1− x 2 −1 1− x 2 1 1+ x 2



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1



−1 1+ x 2



y = arc cotg x







y1 =



y = arc sec x







y1 =



y = arc cosec x







y1 =







y1 = cosh x



y = cosh x







y1 = sinh x



y = tanh x







y1 = sech2 x



y = coth x







y1 = - csch2 x



y = sech x







y1 = - sech x tanh x



y = csch x







y1 = - csch x coth x



6. y = sinh x



1 x x 2 −1 −1 x x2 −1



Soal – Soal : Carilah y1 dari:



(2x 3 + 3x 4 )



1. y = ( 5x4 + 3x3)3



2. y = (1/(2x-1))



3. y =



4. y = ( 3x4 + ln3x3)3



5. y = x3 sin(5x2-1)



6. y = cos (2x 3 + 3x 4 )



3 2 5 7. y = e (2 x + 4x )



3 4 8. y = 1/ ( 2x + x )



3 4 9. y = x ( x + 3x )



10. y = (x4+2x2) ln 3x



11. y = arctan(2x2-1)



12. y= ln x 5 + 5x 4



13. y = arcsin( 2x4+5x3)



14. y = (x3/(2x2-1))



15. y = ( ( 2x 3 + 3x 4 ) )5



3.2. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT ( dy/dx = - (dF/dx)/(dF/dy) ) Sub bab 3.1. fungsi eksplisit y = f(x). Sub bab ini, fungsi implisit, yaitu F(x,y) = 0. Semua fungsi eksplisit dapat dijadikan fungsi implisit, tetapi tidak sebaliknya. Contoh: Fungsi eksplisit y = 1/x dapat menjadi xy-1=0. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1



Atau secara umum y = f(x) dapat menjadi y-f(x) = 0 atau F(x,y) = 0. Tetapi fungsi implisit xy2 + x2 sin y = 0 tidak dapat dijadikan fungsi eksplisit y = f(x). Mencari turunan fungsi eksplisit biasanya lebih mudah daripada mencari turunan fungsi implisit, berhati-hatilah.



Turunan fungsi implisit F(x,y) = 0 adalah



Jadi



dF dF dy + . =0 dx dy dx



dF dy dx = dF dx dy



dF artinya F(x,y) di turunkan ke x, dan selain x dianggap konstanta. dx dF artinya F(x,y) di turunkan ke y, dan selain y dianggap konstanta. dy Contoh:



1. F(x,y) = x2 + 2xy -3 = 0



2. F(x,y) = x3 – ln y = 0











dF dy 2x + 2y x+y dx = - dF ==dx 2x x dy dF 3x 2 dy dx 2 = - dF =− 1 =3x y dx y dy



dF 2 sin 2x dy dx 3. F(x,y) = cos 2x–sin y = 0  = - dF =cos y dx dy



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1



3.3. FUNGSI BENTUK PARAMETER ( x=g(t) ; y=h(t) ) y = f(x) atau F(x,y) = 0 dapat disajikan dalam sepasang persamaan x = g(t) dan y = h(t),



di mana t adalah parameter.



Contoh: x = a sin t dan y = a cos t, adalah x2 + y2 = a2



Untuk memperoleh turunan



dy adalah dengan cara merubah bentuk dx



pasangan persamaan di atas menjadi fungsi komposisi y = f(t), dan t = g(x), sehingga diperoleh formula



dy dy dt atau = dx dx dt



dy dy dt = . dx dt dx



Contoh : 1.



dy dy dt = 2 t = t x = 2t-2 ; y = t +5  = dx dx 2 dt



2.



dy dy dt = − 2 sin t = - tan t x = 2sin t - 1 ; y = 2 cos t + 2  = dx dx 2 cos t dt



2



Soal-Soal Campuran 1. x3y2 + 2xy – y2 – 3x + 4y + 5 = 0, y1 = ? untuk x = 1. 2. 3x2 = e4y, y1 = ? untuk x < 0 dan y = 0. 3. y2 = ln



3 − x , y1 = ? untuk x =1, y > 0.



4. x = 2t-π/4 ; y = cos 2t, y1 = ? untuk t = π/4.



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1



5. x = 1/2t ; y = ln 2t, y1 = ? untuk y = e. 6. x = cos t ; y = ln csc t, y1 = ? untuk t = - ½ √2.



3t t2 7. x = ,y= , y1 = ? untuk t = 2. 1+ t 1+ t 8. x2 + y2 + 3xy – 11 = 0, y1 = ? untuk y = 2. 9. x = sin t, y = cos 2t, y1 = ? jika t =



π . 6



10. x = 2a cos3t, y = a sin2t , y1= ? di titik t =



π . 2



3.4. TURUNAN DENGAN BANTUAN LOGARITMA Fungsi-fungsi di bawah ini tidak dapat langsung dicari turunannya, tetapi harus dengan bantuan sifat-sifat logaritma (log) ataupun logaritma natural (ln). Contoh: 1.



y = xx , y1 = ? Dengan bantuan ln, maka ln y = ln xx  ln y = x ln x 



2.



1 1 1 .y =x. + ln x  y1 = y ( 1 + ln x )  y1=xx(1+ln x) // y x



x = ysin x, y1 = ? bila x = π/2 x = π/2  π/2 = ysin π/2 = y ln x = ln ysin x  ln x = sin x ln y  1/x = (cos x)/y. y1 y = xy cos x ln y + x sin x . y1



y − xy cos x. ln y  y1 = = x sin x



3.







π −0 π − π 2 . cos π . ln π 2 2 2 2 = 2 = 1 // π .1 π sin π 2 2 2



xy = yx, y1 = ? bila x = 1 ln xy = ln yx  y ln x = x ln y  y1.ln x +



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



x y = ln y + .y1  y x SUMARDI H.S KALKULUS 1



4.



 y1 ( ln x -



x y ) = ln y y x



 y1 ( ln 1 -



1 1 ) = ln 1  y1 ( 0 – 1 ) = 0 – 1  y1 = 1 // 1 1



 untuk x = 1 -> 1y = y -> y = 1 



y = (sin x )x, y1 = ? bila x = π/2 ln y = x ln sin x 



y1 x = cos x + ln sin x  y sin x



 x = π/2 -> y = (sin π/2)π/2 -> y = 1 



π y1 2  = cos π/2 + ln sin π/2  y1 = 0 + ln 1 = 0 // π 1 sin 2 5.



y = x2 ln x, y1 = ? bila x = e Jawab: x = e  y = e2 ln e = e2



y1 ln y = 2 ln x . ln x = 2 ln x  = 4 ln x . 1/x  y 2







y1 = 4 ln e . 1/e  y1 = 4 . e. ln e = 4 e // 2 e



Soal-Soal 1. y = (2x)sin x, tentukan y1, untuk x = π/2. 2. y = xln x , y1 = ? , untuk x = e2. 3. y = (cos x)x, tentukan y1, untuk x = 2π. 4. y = x1/x , y1 = ? , untuk x = 2 5. y = ln (xcos x), y11 = ? , untuk x = π.



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1



6. x2 y2 = x + 2 y, y11 = ? , untuk x = 2 dan y = 1. 7. x = y ex , y11 = ? , untuk x = 1. 8. x = ysin x, y11 = ?, untuk x = π/2. 9. x = ln t ; y = 1/t, y11 = ?, untuk t = 2. 10. x = sin t ; y = e2t , y11 = ?, untuk t = π. 11. 2 y = x2 ex , tentukan y11 – 2 y1 + y = ?



Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB



SUMARDI H.S KALKULUS 1