Geometri Analisis Kompleks [PDF]

Citation preview

BAB II PEMBAHASAN A. Arti Geometri Bilangan Kompleks Menurut definisi formal, bilangan kompleks merupakan pasangan terurut dua bilangan real. Suatu bilangan kompleks 𝑧 = (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦𝑖, secara geometri dinyatakan sebagai titik (𝑥, 𝑦) pada bidang Cartesian. Dengan demikian semua bilangan kompleks dapat terwakili oleh semua titik pada bidang Cartesian. Dalam keadaan ini ada penamaan baru untuk sumbu 𝑥 sebagai sumbu real dan sumbu 𝑦 dinamakan sumbu imajiner. Titik asal 𝑂 menyatakan bilangan kompleks 𝑧 = 0 dan titik yang koordinatnya (𝑥1 , 𝑦1 ) menyatakan bilangan kompleks 𝑧 = (𝑥1 , 𝑦1 ) = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖. Bidang Cartesian dinamakan bidang kompleks atau bidang 𝑧. Penyajian bilangan kompleks dalam bidang ini disebut Diagram Argand.



𝑥 ∶ sumbu real 𝑦 ∶ sumbu imajiner 𝑂 ∶ (0,0) Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks. Definisi modulus (nilai mutlak)



 Modulus (nilai mutlak) z  x  iy didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif



x 2  y 2 dan ditulis sebagai



Modulus z =



z =



x2  y2 .



Secara geometri, z menyatakan jarak antara titik x, y  dan titik asal.



Misalkan z1  x1  iy1 dan z 2  x2  iy 2 . Jarak antara z1 dan z 2 didefinisikan dengan



z1  z 2 



x1  x2 2   y1  y 2 2 .



Selanjutnya, persamaan



z  z 0  R menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian



dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat z 0 dan jari-jari R. Definisi bilangan kompleks sekawan



 Bilangan kompleks sekawan dari z  x  iy didefinisikan sebagai bilangan kompleks z  x  iy .



B. Geometri Bilangan Kompleks Pembaca telah mengenal hubungan-hubungan tertentu antara konsep-konsep aljabar bilangan dan geometri di dalam geometri analitik. Misalnya saja: 1.



Bilangan nyata digambarkan dengan sumbu x Catatan : Suatu pernyatan yang berbentuk “ P jika dan hanya jika Q “ sesungguhnya mencakup dua pernyataan (1) “jika P maka Q” dan “jika Q maka P”. Jadi pada soal harus dibuktikan (1) jika z = ż maka z bilangan nyata, dan (2). Jika z bilangan nyata maka z = ż.



2.



|a – b| diartikan sebagai jarak antara a dan b



3.



Persamaan dengan dua peubah digambarkan sebagai kurva (garis lengkung) dalam bidang datar. Hubungan-hubungan seperti itu mempunyai kegunaan penting dalam teori dan terapan



peubah kompleks. Landasan bagi keseluruhan konsep itu dapat ditemukan pada definisi awal bilangan kompleks, yang menciptakan secara alami suatu padanan (korespondensi) satu-satu antara himpunan bilangan kompleks dua himpunan titik-titik pada bidang –xy. Jadi bilangan kompleks 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 dipadankan dengan titik (𝑎, 𝑏) di bidang datar dan sebaliknya Pentingnya pemadanan ini bukan dilebih-lebihkan, dan hal ini akan bertambah jelas pada pengembangan kemudian. Sesungguhnyalah, identifikasi bilangan kompleks dengan titik pada bilangan datar demikian kuatnya sehingga dalam praktek antara bilangan a+ ib dan titik (a,b) tidak dibedakan; akibatnya sering dikatakan bilangan (a,b) atau titik a + ib. Karena



identifikasi ini, bidang xy seterusnya disebut bidang kompleks atau bidang –z; sumbu x dan sumbu y masing-masing dinamakan sumbu nyata dan sumbu khayal . Lebih jauh lagi, dapat juga diidentifikasi bilangan kompleks sebagai vektor. Jadi bilangan kompleks a + ib dapat dipikirkan sebagai vektor pada bilangan datar, berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik (a,b). Sekarang untuk sembarang bilangan kompleks z = a + bi , modulus z, yang ditulis sebagai |z|, didefinisikan sebagai panjang vektor z ; jadi 1



|z| = [𝑎2 + 𝑏 2 ]2 Argumen z, dituliskan agar z, didefinisikan sebagai salah satu sudut yang manapun yang dibentuk oleh vektor z dengan sumbu nyata positif. Dengan kata lain, arg (a + bi) adalah salah satu sudut 𝜃 sedemikian rupa hingga: sin 𝜃 =



𝑏 𝑎 dan cos 𝜃 = |𝑧| |𝑧|



Lihat gambar di bawah ini



Gambar 2.1 Modulus 𝑧 dan arg 𝑧. Sehubungan dengan dua konsep yang baru saja didefinisikan, maka catatan-catatan berikut ini sangat penting untuk diperhatikan. Catatan 1 Dari definisi diatas jelaslah modulus z merupakan jarak titik z ketitik pusat dan oleh karena itu, modulus z merupakan bilangan nyata tak negatif. Khususnya, jika z = a + ib adalah nyata ( b = 0 ), maka : 1



|z| = (𝑎2 )2



Yang merupakan definisi nilai mutlak suatu bilangan nyata a. Hal ini menunjukkan bahwa modulus bilangan kompleks dapat dipikirkan sebagai pengembangan konsep nilai mutlak bilangan nyata . Catatan 2 Konsep |z| yang menyatakan jarak linier antara 0 dan z, dapat dikembangkan secara sangat alami, untuk mendefinisikan jarak antara sembarang dua bilangan z = a +bi dan w = c + di sebagai besaran |z – w| Bahwa ini benar-benar merupakan jarak antara titik-titik (𝑎, 𝑏) dan (𝑐, 𝑑), dengan itu mudah dapat diperlihatkan sebagai berikut: |𝑧 − 𝑤| = |(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖)| = |(𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖| = [(𝑎 − 𝑐)2 + (𝑏 − 𝑑)2 ]1/2 Bentuk terakhir ini tepat seperti bentuk jarak dua titik, seperti yang kita kenal dari geometri analitik.



Catatan 3 Argumen nol tidak dapat didefinisikan secara berarti. Secara aljabar, hal ini jelas, karena orang harus puas degan bentuk tak tentu 0⁄0; Secara geometris , juga jelas karna vektor nol yang menjadi padanan bilangan z = 0, tidak mempunyai panjang sehingga tidak dapat membentuk suatu sudut dengan sumbu nyata positif.



Catatan 4 Dari definisi diatas jelaslah bahwa dokumen bilangan kompleks bukanlah suatu besaran tunggal: kenyataannya, setiap z ≠ 0 mempunyai tak hingga banyaknya argumen yang khusus, yang berbeda satu dengan yang lain dengan kelipatan 2𝜋. Keadaan ini mirip dengan persoalan dalam geometri anilitik bila orang manyatakan koordinat-koordinat titik dalam bentuk kutub. Misalnya, arg (1 + i) dapat diambil 𝜋/4 atau 9𝜋/4 atau -15𝜋/4 atau secara umum (𝜋/4 + 2k𝜋), dengan k bilangan bulat. Guna memperbaiki situasi ini, yang dalam kasus tertentu mungkin tidak diinginkan, kita perkenalkan konsep “nilai utama” arg z.



Untuk sembarang bilangan z ≠ 0 nilai utama arg z didefinisikan sebagai nilai tunggal arg z yang memenuhi hubungan. Nilai ini dituliskan dengan arg 𝑧. Sejalan dengan catatan 4, mudahlah dilihat bahwa arg 𝑧 = arg 𝑧 + 2𝑘𝜋,



𝑘 = 0 ± 1, ±2.



Contoh 1 Bilangan z = −√12 − 2i telah dituliskan dalam Gambar 1.2. Modulusnya ialah |z| = 1



|−√12 − 2i| = [(−√122 + (−2)2 ]2 = 4. Sekarang dengan menyatakan arg z dengan θ, kita mendapatkan bahwa sinθ = −



1 √3 dan cosθ = − 2 2



Gambar 2.2 Contoh 1 Jadi arg z = 0 =



7π + 2kπ 6



Dan Arg z = −



5π 6



Contoh 2 π



Carilah z sedemikian hingga |z| = 2 dan arg z = . 4



π



Tuliskan z = x + iy. Karena argumennya θ = 4 , kita mendapatkan sinθ =



y √2 √2 , jadi = |z| 2 2



Tetapi |z| = 2. maka y = √2. Sama seperti di atas: cos θ =



√2 2



Jadi x √2 = |z| 2 Maka x = √2. Sehingga diperoleh z = √2 +√2i. Sifat-sifat |𝐳| Untuk setip dua bilangan kompleks z dan w, berlaku sifat-sifar berikut: 1.



|z| = |−z| = |z̅|.



2.



|z − w| = |w − z|.



3.



|z|2 = |z 2 | = zz̅, jadi, jika z ≠ 0, = 2 |z|



4.



|zw| = |z||w|.



5.



|w| = |w| , untuk w ≠ 0.



6.



|z + w| ≤ |z| + |w|.



7.



||z| − |w|| ≤ |z − w|.



8.



|z| − |w| ≤ |z + w|



1



z̅



z



z



|z|



Sifat 6 dikenal sebagai ketiaksamaan segitiga (triangle inequality) dan kebenarannya akan dibuktkan dalam contoh berikut ini. Bukti sifat-sifat 1,2 dan 3 dapat diturunkan langsung dari definisi modulus sifat 4 dan 5 diturnkan dengan menggunakan sifat 3, sedang sifat 7 dan 8 sebagai akibat yang pasti dari ketidaksamaan segitiga. Lihat soal 2.14. Contoh 3 Buktikan ketidaksamaan segitiga. Suatu alasan singkat diberikan untuk membenarkan setiap langkah pada bukti ini. Pembaca akan menyadari pentingnya melengkapi penjelasan tersebut, bilamana terdapat kekurang-jelasan.



Kita ikuti suatu prosedur yang biasa dipakai dalam pembuktian pernyataan yang menyangkut modulus. Khususnya, sebagai pengganti bukti |z + w| ≤ |z| + |w|, kita buktikan “hubungan kuadratnya” |z + w|2 ≤ [|z| + |w|]2 . ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ |z + w|2 = (z + w)(z + w)



sifat 3



= (z + w)(z̅ + w ̅)



distributif kesekawanan



= zz̅ +ww ̅ + zw ̅ + z̅w



aljabar



= |z|2 + |w|2 + 2R(zw ̅)



sifat 3, soal 1.23.



≤ |𝑧|2 + |𝑤|2 + 2|𝑧𝑤 ̅|



Soal 2.14 (g)



= |𝑧|2 + |𝑤|2 + 2|𝑧||𝑤|



sifat 1 dan 4



= [|𝑧| + |𝑤|]2



aljabar



Karena besaran-besaran dalam langkah pertama dan langkah terakhir tidak negative, maka ketidaksamaan segitiga dipenuhi. Pada contoh berikut, kita akan mengilustrasikan suatu kenyataan bahwa korespondensi antara konsep-konsep geometri analitik dengan bilangan kompleks, dapat ditingkatkan lebih lanjut sehingga memberikan apa yang dinamakan bentuk kompleks persamaan pada bidang datar. Contoh 4 Tunjukkan bahwa persamaan |𝑧 + 𝑖 = 2| merupakan lingkaran dan tentukan pusat serta jarijarinya. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan dalam bentuk |𝑧 − (−𝑖) = 2| Kita perhatikan bahwa ruas kiri menyatakan jarak dari 𝑧 ke – 𝑖. Jadi persamaan itu akan dipenuhi oleh semua titik z yang jaraknya dari 𝑖 sama dengan 2. Jelaslah bahwa himpunan semua titik semacam itu adalah lingkaran yang pusatnya – 𝑖 dan jari-jarinya 2. Hasil yang sama dapat kita peroleh dengan cara aljabar sebagai berikut : Misal 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖. kemudian persamaan yang diberikan menjadi |𝑥 + (𝑦 + 1)𝑖| = 2 Dari situ [𝑥 2 + 𝑦 + 1)2 ]1/2 = 2 Yang menghasilkan



𝑥 2 + (𝑦 + 1)2 = 4 Pembaca akan mengenali ini sebagai lingkaran dengan pusat pada (0, −1) dari jari-jari 𝑟 = 2. Contoh 6 Tentukan secara geometri kemudian secara aljabar, tempat kedudukan titik-titik 𝑧 sedemikian sehingga : |𝑧 − 2𝑖| = |𝑧 + 2| Secara geometri : Kita cari semua titik 𝑧 yang jaraknya dari 2𝑖 dan −2 sama. Dari geometri bidang datar kita mengetahui bahwa tempat kedudukan titik-titik itu ialah sumbu yang membagi dua sama besar dan tegak lurus pada penggal garis yang menghubungkan titik-titik 2𝑖 dan -2. Dengan menggambar titik-titik tersebut, kita dapatkan tempat kedudukan yang dinyatakan ialah garis: 𝑦 = −𝑥 Secara Aljabar : Ambil 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, pada persamaan yang diberikan, kita mendapatkan: |𝑧 − 2𝑖| = |𝑧 + 2| |𝑥 + (𝑦 − 2)𝑖| = |(𝑥 + 2) + 𝑦𝑖| [𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 ]1/2 = [(𝑥 + 2)2 + 𝑦 2 ]1/2 Dengan



mengkuadratkan



kedua



ruas



dan



kemudian



menyederhanakannya,



kita



mendapatkan: 𝑦 = −𝑥 Contoh 7 Tentukan bentuk kompleks dari persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 2 Dengan memisalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, kita ingat dari soal 1.17 bahwa 1 (𝑧 + 𝑧̅) 2 1 𝑦 = (𝑧 − 𝑧̅) 2𝑖 𝑥=



Kemudian



dengan



mensubstitusikan



ke



dalam



persamaan



menyederhanakannya kita mendapatkan: (3 + 𝑖)𝑧 + (−3 + 1)𝑧̅ = 4𝑖



yang



diberikan



dan



Yang merupakan bentuk kompleks dari persamaan linier yang diberikan. Contoh 8 Jelaskan melalui suatu hubungan matematik seluruh titik pada bidang datar yang terletak di dalam lingkaran yang pusatnya 𝑧0 dan jari-jarinya 𝑟. Penjelasan bertahap soal ini, dapat kita mulai dengan mencari semua titik 𝑧 yang jaraknya dari pusat 𝑧0 kurang dari jari-jari 𝑟. Sedangkan jarak-jarak antara titik-titik telah diberikan secara baik oleh modulus selisih titik-titik itu. Jadi, tempat kedudukan yang kita cari dapat dinyatakan dengan hubungan: |𝑧 − 𝑧0 < 𝑟| Sekarang kita teruskan memperkenalkan “bentuk kutub” bilangan kompleks. Pembaca masih ingat bahwa suatu titik (𝑥, 𝑦) pada bidang datar dapat juga dinyatakan dalam bentuk koordinat kutub 𝑟 dan 𝜃 dan bahwa hubungan antara kedua system koordinat itu ialah: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃



𝑦 = 𝑟 sin 𝜃



(1)



Dari sini orang mendapatkan hubungan kebalikannya: 𝑦



𝑟 = [𝑥 2 + 𝑦 2 ]1/2



𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥



(2)



Sekarang, bila diberikan sembarang bilangan 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Substitusi dari persamaan (1) ke persamaan ini memberikan: 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) Yang dinamakan bentuk kutub 𝑧. Dari persamaan (2) tidak sulit untuk melihat bahwa: 𝑟 = |𝑧| dan 𝜃 = arg 𝑧 Biasanya, kita tulis 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃 Untuk mengganti 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) Seperti kita lihat setelah contoh berikut, diantara begitu banyak penggunaanya, bentuk kutub bilangan kompleks memberikan cara yang terbaik dalam menyatakan perkalian pembagian dan perpangkatan sebarang bilangan bulat. Misalkan 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃 adalah suatu bilangan kompleks. Karena 𝜃 sesungguhnya adalah arg 𝑧, maka sejalan dengan catatan 4, 𝜃 dapat diberi nilai yang berbeda-beda yang tak



berhingga banyaknya, perbedaan sembarang dua nilai itu ialah kelipatan 2𝜋. Situasi ini menyuruh kita berhati-hati dalam mendefinisikan apa yang kita maksudkan bila kita mengatakan dua bilangan sama dalam bentuk kutub. Kita definisikan kesamaan bilangan kompleks dalam bentuk kutub sebagai berikut: 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝑡 = 𝜌 𝑐𝑖𝑠 𝜃 Jika dan hanya jika 𝑟 = 𝜌 dan



𝑡 = 𝜃 + 2𝑘𝜋,



𝑘 = bilangan bulat



Contoh 9 Nyatakan bilangan 𝑧 = −5 + √75𝑖 dalam bentuk kutub. Kita tahu 2 1/2



𝑟 = [(−5)2 + (√75) ]



= 10



Dan 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔



√75 2𝜋 = + 2𝑘𝜋 −5 3



Jadi −5 + √75𝑖 = 10 𝑐𝑖𝑠



2𝜋 3



Dalam hal ini kita telah memilih nilai utama 𝜃, yaitu arg 𝑧. Sekarang andaikan kita mempunyai dua bilangan kompleks sembarang: 𝑧1 = 𝑟1 𝑐𝑖𝑠 𝑡1



dan



𝑧2 = 𝑟2 𝑐𝑖𝑠 𝑡2



Kemudian, dengan menghitung langsungdidapatkan rumus-rumus berikut : 𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2cis (𝑡1 + 𝑡2 )



(3)



Dan 𝑧1 𝑧2



=



𝑟1 𝑟2



cis (𝑡1 − 𝑡2 ), untuk 𝑧2 ≠ 0



(4)



Kedua rumus ini memberikan perkalian dan pembagian dua bilangan kompleks dalam bentuk kutub. Dari persamaan (3) orang membuat iktisar sederhana berikut : Hasil kali dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks juga yang modulusnya adalah hasil kali kedua modulus yang argumennya adalah jumlah kedua argument semula. Aturan yang sama di dapat dari persamaan (4)



Suatu rumus yang bagus untuk pangkat bulat bagi sembarang bilangan kompleks sekarang dapat diturunkan , jika kita pasang: 𝑧1 = 𝑧2 = z = r cis t Maka dengan menggunaka persamaan (3) secara berulang menghasilkan : 𝑧 2 = 𝑟 2 cis 2t,



𝑧 3 = 𝑟 3 cis 3t,



𝑧 4 = 𝑟 4 cis 4t,



Dan secara induksi : 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 cis nt,



(5)



Untuk sembarang bilangan bulat n ≥



0. Perluasan untuk nilai negatif n dapat dilakukan



langsung dengan menggunakan persamaan (4) dengan 𝑧1 = 1 dan 𝑧2 = 𝑧 𝑛 Dengan rumus (5) sebagai alat kita, sekarang kita dalam posisi menghitung akar ke-n suatu bilangan kompleks c. tentu saja ini sama artinya dengan menyelesaikan persamaan 𝑧𝑛 − 𝑐 = 0 Untuk semua akarnya , jadi jika diberikan c = 𝜌 𝑐𝑖𝑠 𝜃, kita mencari bilangan z = r cis t Sedemikian hingga 𝑧 𝑛 = c . dengan mengamati (5), persamaan terakhir menjadi : 𝑟 𝑛 cis nt = 𝜌 cis 𝜃 Maka 𝑟𝑛 = ,



nt = 𝜃 + 2𝑘𝜋 ,



k = bilangan bulat



Atau 1



1



r = 𝜌𝑛



dan 𝑡𝑘 = 𝑛 (𝜃 + 2𝑘𝜋),



k = bilangan bulat 1



Karena r adalah bilangan nyata taknegatif, maka r = 𝜌𝑛



merupakan akar pangkat n



taknegatif dan nyata dari 𝜌. Di pihak lain, bila untuk k diambil n bilangan bulat berurutan (misalnya k = 0, 1, 2, … , n – 1 ), kita mendapatkan n nilai berbeda untuk t, yang 1



digabungkan dengan 𝜌𝑛



menghasilkan n akar pangkat n dari c : 1



𝑧𝑘 = 𝜌𝑛 cis 𝑡𝑘 ,



k = 0, 1, …., n – 1



Dapat diperlihatkan bahwa rumus (6) benar-benar menghasilkan n akar yang berbeda bagi c dan bahwa nilai k seterusnya akan menghasilkan akar-akar yang berulang seperti yang telah di dapat.



Contoh 10. Carilah ketiga akar pangkat tiga dari i. Sebenarnya kita sedang menyelesaikan persamaan 𝑧 3 = i. jadi, dengan menyatakan z dan i dalam bentuk kutub pada persamaan di atas, kita dapatkan : 𝜋



𝑟 3 = cis 3t = 1 cis 2 Kemudian 𝜋



𝑟 3 = 1 dan 3t = 2 + 2k𝜋 Jadi 𝜋



r = 1 dan 𝑡𝑘 = 6 +



2𝑘𝜋 3



Dengan mengambil k = 0, 1, 2, kita dapatkan berturut-turut : 𝜋



𝑡0 = 6 ,



𝑡1 =



5𝜋 6



𝑡2 =



,



3𝜋 2



Dipenuhilah bahwa ketiga akar pangkat tiga dari i ialah 𝜋



𝑧0 = 1 cis 𝑧1 = 1 cis



6



5𝜋 6



√3 2



=



=−



𝑖



+2



√3 2



𝑖



+2



Dan 𝑧2 = 1 cis



3𝜋 2



=-i



Sebagai kasus khusus dari pengembangan yang mendahului lebih lanjut dan di gambarkan oleh contoh 10. Kita menyelesaikan persamaan . 𝑧𝑛 = 1 Untuk mendapatkan n akar pangkat n dari 1