Hadi-Susanto [PDF]

Citation preview

PENERAPAN METODE ELIMINASI GAUSS PADA PENYETARAAN PERSAMAAN REAKSI KIMIA Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu



: Drs. Mulyono, M.Si.



Rombel



: 001 (Jumat Pagi)



oleh Hadi Susanto 4111412049



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM



UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2015 KATA PENGANTAR



Segala puji hanya layak untuk Allah Tuhan SWT. atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas makalah individu mata kuliah Metode Numerik yang berjudul “ PENERAPAN METODE ELIMINASI GAUSS PADA PENYETARAAN PERSAMAAN REAKSI KIMIA” dengan sebaik-baiknya. Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Mulyono selaku dosen mata kuliah Metode Numerik. 2. Kedua orang tua yang selalu memberikan dukungan. Penulis menyadari, dalam makalah ini masih banyak kesalahan dan kekurangan. Hal ini disebabkan terbatasnya kemampuan, pengetahuan, dan pengalaman yang penulis miliki, namun demikian banyak pula pihak yang telah membantu penulis dengan menyediakan sumber informasi, memberikan masukan pemikiran. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca. Demi perbaikan dan kesempurnaan tugas metode numerik ini di waktu yang akan datang. Semoga tugas metode numerik ini dapat bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan pembaca pada umumnya.



Semarang, 25 Juni 2015



Penulis



2



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL ...................................................... 1 KATA PENGANTAR ..................................................... 2 DAFTAR ISI ............................................................... 3 BAB I PENDAHULUAN ................................................ 4 1.1 Latar Belakang ...................................................... 4 1.2 Rumusan Masalah .................................................. 5 1.3 Tujuan .................................................................. 5 1.4 Manfaat ............................................................... 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA ......................................... 6 2.1 Stoikiometri ...........................................................6 2.2 Persamaan Reaksi .................................................. 7 2.3 Penyetaraan Persamaan .......................................... 8 2.4 Solusi Sistem Persamaan Linear ................................ 9 2.5 Metode Eliminasi Gauss ......................................... 11 BAB III PEMBAHASAN .............................................. 14 BAB IV PENUTUP ..................................................... 26 4.1 Kesimpulan ......................................................... 26 4.2 Saran ................................................................. 26 DAFTAR PUSTAKA ................................................... 27



3



BAB I PENDAHULUAN



1.1.



LATAR BELAKANG



Di dalam Metode Numerik, solusi sistem persamaan linear merupakan permasalahan yang penting karena persamaan linear digunakan dalam berbagai bidang kerekayasaan dan sains komputer. Sebagai contoh, persamaan linear digunakan di dalam pemrosesan sinyal digital pada bidang teknik elektro. Banyak permasalahan kerekayasaan dapat dimodelkan menjadi bentuk sistem persamaan linear. Salah satu contoh penyelesaian persoalan dengan sistem persamaan linear adalah pemodelan kuat dan arah arus listrik pada rangkaian listrik dengan hukum Kirchoff serta pemodelan matematika untuk ekonomi suatu negara atau region berdasarkan berbagai sektor perekonomian dengan menggunakan model Leontief. Sistem persamaan linear dapat dicari solusinya dengan menggunakan pendekatan keinformatikaan, yaitu dengan menggunakan berbagai macam algoritma yang ditujukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Beberapa algoritma penyelesaian sistem persamaan linear yang terkenal diantaranya ialah algoritma eliminasi Gauss, algoritma eliminasi Gauss Jordan, dekomposisi matriks LU, dekomposisi matriks Crout, dekomposisi matriks Cholesky, dekomposisi matriks Doolittle, algoritma lelaran Jacobi, algoritma lelaran Gauss Seidel, Successive Over Relaxation atau SOR, dan lain-lain.



4



Dari sekian banyak metode penyelesaian yang ada, Eliminasi Gauss merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linear yang paling popular dan mudah diimplementasikan. Pada makalah ini akan dibahas penggunaan algoritma eliminasi Gauss dalam menyelesaikan masalah klasik di dalam ilmu kimia, yaitu masalah penyetaraan persamaan reaksi kimia.



1.2. RUMUSAN MASALAH 1) Bagaimana cara menghitung koefisien-koefisien persamaan Reaksi Kimia dengan Metode Eliminasi Gauss? 2) Reaksi apa saja yang dapat disetarakan dengan Metode Eliminasi Gauss? 1.3. TUJUAN 1) Mengetahui cara menghitung koefisein-koefisien Persamaan Reaksi Kimia dengan Metode Eliminasi Gauss. 2) Mengetahui reaksi apa saja yang dapat disetarakan dengan Metode Eliminasi Gauss. 1.4.



MANFAAT



Pembuatan makalah ini diharapkan dapat memberikan manfaat, yaitu: 1. Pembaca dapat mengetahui lebih dalam tentang materi Metode Eliminasi Gauss. 2. Pembaca dapat mengetahui penerapan Metode Numerik pada proses penyetaraan persamaan reaksi kimia menggunakan Metode Eliminasi Gauss..



5



BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. STOIKIOMETRI Stoikiometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu stoicheion yang berarti elemen dan metron yang berarti pengukuran. Stoikiometri adalah cabang dari ilmu kimia yang berhubungan dengan jumlah relatif dari reaktan dan produk di dalam reaksi kimia. Di dalam istilah kimia, reaktan adalah materi yang digunakan di dalam reaksi kimia, sedangkan produk adalah materi yang dihasilkan di dalam reaksi kimia. Di dalam suatu reaksi kimia yang setara, hubungan setiap jumlah dari reaktan dan produk biasanya membentuk rasio berupa suatu angka bulat. Sebagai contoh, di dalam reaksi pembentukan Amonia ( N H 3 ), tepat satu molekul Nitrogen ( N 2 ) bereaksi dengan tiga molekul Hidrogen ( H 2 ) untuk menghasilkan dua molekul N H3 . N 2 +3 H 2 → 2 N H 3 Stoikiometri dapat digunakan untuk menghitung jumlah seperti jumlah dari produk yang dapat dihasilkan dari sejumlah reaktan yang diberikan. Perhitungan stoikiometri dapat memprediksikan bagaimana elemen dan komponen terlarut di dalam larutan standard di dalam kondisi eksperimental tertentu. Stoikiometri dibangun dari hukum kekekalan massa, yaitu massa total reaktan sama dengan massa total produk di dalam reaksi kimia. 6



Stoikiometri reaksi mendeskripsikan hubungan kuantitatif dari setiap materi di dalam reaksi kimia. Pada contoh di atas, stoikiometri reaksi mendeskripsikan rasio 1: 3: 2 dari molekul nitrogen, hidrogen, dan amonia. Stoikiometri komposisi mendeskripsikan hubungan kuantitatif massa dari setiap elemen di dalam materi. Pada contoh di atas, stoikiometri komposisi mendeskripsikan hubungan massa nitrogen dan hidrogen di dalam amonia. Sebagai contoh, di setiap mol amonia terdapat satu mol nitrogen dan tiga mol hidrogen. Hukum utama dari stoikiometri ada tiga, yaitu: 1. Hukum kekekalan massa: total sama dengan total massa produk. 2. Hukum kepastian proporsi atau hukum Proust: sebuah materi kimia selalu mengandung proporsi massa yang sama dari setiap elemen. 3. Hukum proporsi banyak atau hukum Dalton: apabila dua elemen bergabung membentuk lebih dari satu materi, maka rasio dari massa pada elemen kedua yang digabungkan dengan rasio tetap dari massa elemen pertama akan menjadi rasio dengan bilangan yang kecil. 2.2. PERSAMAAN REAKSI Persamaan reaksi adalah representasi simbolik dari suatu reaksi kimia. Bentuk umum persamaan reaksi adalah entitas reaktan diletakkan pada bagian kiri persamaan dan entitas produk diletakkan pada bagian kanan persamaan. Koefisien yang berada di dekat simbol dan formula dari entitas adalah nilai absolut dari bilangan stoikiometri. Orang yang pertama kali mengenalkan persamaan reaksi adalah Jean Beguin pada tahun 1915.



7



Persamaan reaksi terdiri atas formula kimia dari reaktan dan produk. Keduanya dipisahkan oleh sebuah simbol panah ( → ) dan setiap substansi dari formula kimia dipisahkan oleh simbol tambah (+). Sebagai contoh, persamaan kimia dari pembakaran metana adalah sebagai berikut: C H 4 +2 O2 → C O2 +2 H 2 O Persamaan di atas dapat dibaca dengan standar pembacaan IUPAC. IUPAC (International Union of Pure Chemistry) merupakan organisasi internasional yang melakukan standardisasi terhadap ilmu kimia. Persamaan reaksi di atas dapat dibaca sebagai: “metana ditambah oksigen menghasilkan karbon dioksida dan air.” Persamaan di atas menunjukkan bahwa dua molekul oksigen dibutuhkan untuk setiap molekul metana dan reaksi ini akan menghasilkan dua molekul air dan satu molekul karbon dioksida. Pada persamaan reaksi, biasanya setiap simbol kimia akan diberikan state untuk setiap simbol. Ada empat buah state yaitu solid (s), liquid (l), gas (g), dan larutan aqueous (aq). Reaksi redoks (reduksi-oksidasi) adalah persamaan reaksi kimia di mana elektrolit dituliskan sebagai ion yang terdisosiasi. Reaksi redoks digunakan untuk menuliskan pelepasan ion-ion (tunggal maupun ganda) yang terjadi di dalam larutan aqueous. Sebagai contoh pada reaksi redoks berikut: NO (¿ ¿3)2 ( aq ) +2 AgCl(s ) CaCl 2 ( aq ) +2 AgN O3 ( aq ) → Ca¿ Persamaan ionik secara lengkap dapat dituliskan sebagai:



8



−¿+ 2 AgCl ( s ) . 2+¿+2 N O3¿ −¿ → Ca¿ +¿+ 2 N O¿3 −¿+2 Ag¿ 2+¿+2 Cl¿ Ca ¿ 2.3. PENYETARAAN PERSAMAAN Persamaan reaksi harus disetarakan untuk melakukan perhitungan kuantitatif kimia. Penyetaraan persamaan kimia dilakukan berdasarkan hukum kekekalan massa. Atom-atom di dalam reaksi tidak akan lenyap, atom-atom yang terdapat pada reaktan haruslah terdapat juga pada produk. Contoh persamaan reaksi yang belum setara seperti pada reaksi sintesis air berikut: H 2+ O 2 → H 2 O Persamaan di atas memiliki dua atom oksigen pada ruas kiri tetapi hanya satu atom oksigen pada ruas kanan. Persamaan reaksi tersebut belum setara. Untuk menyetarakan persamaan reaksi, jumlah atom-atom di ruas kiri dan kanan persamaan haruslah sama. Selain itu, setiap koefisien senyawa haruslah berupa bilangan bulat dan dengan rasio terkecil. Perhatikan penyetaraan persamaan reaksi di atas: 2 H 2 +O2 →2 H 2 O Bentuk lain seperti: 1 H 2+ O 2 → H 2 O 2 4 H 2 +2 O2 → 4 H 2 O Bentuk di atas salah karena tidak memenuhi syarat penyetaraan seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Untuk membenarkan kesalahan di atas, seluruh koefisien pada



9



persamaan reaksi pertama harus dikali dua dan seluruh koefisien pada persamaan reaksi kedua harus dibagi dua. Di dalam penyetaraan persamaan reaksi, tidak boleh mengubah bentuk subscript karena akan mengubah komposisi senyawa. Penyetaraan reaksi hanya bisa dilakukan dengan memodifikasi koefisien senyawa pada persamaan reaksi. Metode penyetaraan persamaan reaksi yang terkenal ada tiga macam, yaitu: 1. Metode inspeksi 2. Metode setengah reaksi 3. Metode aljabar Pada makalah ini penyetaraan reaksi yang akan dilakukan sebenarnya merupakan metode aljabar, tetapi dengan menggunakan metode eliminasi Gauss sebagai pengganti metode aljabar konvensional. 2.4. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Di dalam matematika, sebuah sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang melibatkan variabel yang sama. Sebagai contoh: 3 x+2 y−z =1 2 x −2 y + 4 z=−2



1 −x + y−z=0 2 Sistem persamaan linear tersebut memiliki tiga buah variabel x, y, dan z. Solusi dari sistem persamaan linear adalah setiap variabel memiliki nilai tertentu yang memenuhi setiap persamaan pada sistem persamaan linear. Solusi pada sistem persamaan linear di atas adalah: x=1 y=−2



z=−2



10



Bentuk umum system m buah persamaan linear dengan n buah variabel dapat ditulis sebagai: a11 x 1+ a12 x 2 +…+ a1 n x n=b 1 a21 x 1 +a 22 x2 + …+ a2 n xn =b2 ⋮⋮ ⋮ ⋮ am 1 x 1+ am 2 x 2 +…+ amn x n=bm Dimana a11 , a12 , … , amn



x1 , x2 , … , xn



adalah variabel yang belum diketahui,



adalah koefisien sistem dan



b1 , b2 , … ,b m



adalah



nilai konstan. Sistem persamaan linear dapat diubah dalam bentuk matriks dengan persamaan: Ax=b Di mana A adalah matriks



m× n ,



x



adalah vektor kolom



dengan n buah entri dan b adalah vektor kolom dengan m buah entri.



[



] [] []



a 11 a12 … a1 n a a … a2 n A= 21 22 , x= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am 1 am 2 … amn



x1 x2 , b= ⋮ xn



b1 b2 ⋮ bm



Solusi SPL tersebut adalah himpunan nilai



x1 , x2 , … xn



yang memenuhi n buah persamaan. Di dalam ilmu keinformatikaan, solusi sistem persamaan linear dipelajari di dalam Metode Numerik, khususnya pada bagian aljabar numerik linear. Aljabar numerik linear adalah studi algoritma untuk menyelesaikan komputasi persamaan linear, kebanyakan berupa operasi matriks pada suatu komputer. numerik linear merupakan bagian fundamental dari permasalahan kerekayasaan dan sains komputer, seperti pada pemrosesan citra dan sinyal, telekomunikasi, keuangan komputer, simulasi sains material, biologi structural, data mining, bioinformatika, dan bidang-bidang lainnya.



11



Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, yaitu cara substitusi, eliminasi, dan matriks.



Gambar 2.1 Penggambaran Sistem Persamaan Linear Pada gambar di atas sebuah sistem persamaan linear dengan tiga buah variabel menunjukkan bidang pada sumbu x, y, dan z. Solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah titik potong dari bidang-bidang tersebut



Gambar 2.2 Grafik Sistem Persamaan Linear Pada gambar di atas terdapat sistem persamaan linear x−2 y=−1



3 x+5 y =8 4 x +3 y=7



12



Dengan solusi



x=1



dan



y=1.



Salah satu cara menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan mengeliminasi baris pada matriks persamaan linear. Metode yang terkenal adalah Eliminasi Gauss. 2.5. METODE ELIMINASI GAUSS Di dalam aljabar linear, eliminasi Gauss adalah suatu algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Selain itu algoritma ini juga dapat digunakan untuk menghitung ranking dari sebuah matriks, menghitung determinan dari sebuah matriks, dan menghitung matriks balikan dari sebuah matriks. Metode ini diberi nama sesuai ahli matematika kebangsaan Jerman yaitu Carl Friederich Gauss. Metode Eliminasi Gauss berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas seperti sistem persamaan berikut ini:



[



][ ] [ ]



a11 a12 a13 … a 1n x 1 b1 0 a22 a23 … a 2n x 2 b2 0 0 a33 … a3 n x 3 = b3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 bn 0 … ann x n



maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution):



ann x n=bn → x n =



bn a nn



an−1. n−1 x n−1+ an−1.n xn =bn−1 → x n−1=



bn−1−an−1.n xn an−1.n −1



an−2. n−2 x n−2+ an−2.n−1 x n−1 +a n−2.n x n=bn−2 → x n−2=



bn−2−a n−2.n−1 x n−1−a n−2.n x n a n−2.n−2



 dst. Ketika



x n , x n−1 , x n−2 , … , x k+1 diketahui, maka nilai



dengan 13



x k dapat dihitung



n



bk − xk=



∑



j=k+1



akj x j



akk



, k =n−1, n−2, … , 1dan a kk ≠0.



Kondisi akk ≠ 0 sangat penting, sebab bila akk = 0, persamaan di atas memiliki penyebut nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban. Metode eliminasi Gauss menggunakan operasi baris elementer untuk mengurangi matriks menjadi bentuk baris eselon. Bentuk baris eselon disebut terpenuhi di dalam suatu matriks apabila seluruh baris nonzero, yaitu baris dengan minimal satu elemen bukan nol berada di atas baris dengan elemen nol. Syarat berikutnya ialah koefisien terdepan pada baris nonzero selalu berada pada tepat satu posisi sebelah kanan dari baris di atasnya. Contoh bentuk baris eselon dapat dilihat seperti matriks di bawah:



(



|)



1 a1 a2 a2 0 4 a4 a5 0 0 1 a6



Contoh Eliminasi Gauss pada sistem persamaan linear: 2 x + y −z=8(L1 ) −3 x− y +2 z=−11( L2 ) −2 x + y +2 z =−3( L3) Algoritma eliminasi Gauss ialah: eliminasikan seluruh persamaan dibawah



x



dari



L1 , kemudian eliminasikan



dari seluruh persamaan dibawah



y



L2 . Sistem akan berubah



menjadi bentuk triangular. Kemudian, dengan menggunakan teknik substitusi mundur setiap variabel yang belum diketahui dapat diperoleh solusinya.



14



Pada contoh di atas cara menambahkan L3



dieliminasikan dari



x



3 L 2 1



pada



dengan cara menambahkan



L2 . L1



x



L2



dengan



dieliminasikan dari



pada



L3 . Hasilnya



adalah sebagai berikut: 2 x + y −z=8 1 1 y+ z =1 2 2 2 y+ z =5



Sekarang menambahkan



y



dieliminasikan dari



−4 L2



pada



L2



dengan cara



L3 . Hasilnya adalah sebagai



berikut: 2 x + y −z=8



1 1 y+ z =1 2 2 −z=1 Dengan substitusi mundur, diperoleh solusi sistem persamaan linear, yaitu: z=−1 ( L1 ) y=3( L2) x=2( L3 )



BAB III PEMBAHASAN Metode Eliminasi Gauss dapat digunakan untuk menyetarakan persamaan reaksi kimia. Langkah-langkah



15



penyetaraan persamaan reaksi kimia dengan eliminasi Gauss adalah: 1) Setiap senyawa diberikan koefisien terlebih dahulu. Koefisien masing-masing senyawa haruslah berbeda. Misalnya a, b, c, d, e, dan seterusnya. 2) Jumlah atom di ruas kiri dan kanan persamaan haruslah sama. Karena itu, dibuat persamaan linear untuk masingmasing atom. Seluruh persamaan akan membentuk sistem persamaan linear. 3) Permisalkan salah satu koefisien sebagai angka bulat tertentu, misalnya satu. 4) Selesaikan sistem persamaan linear dengan metode Eliminasi Gauss. Langkah terpenting adalah pemodelan sistem persamaan di dalam matriks. 5) Seluruh koefisien harus diubah menjadi rasio bilangan bulat terkecil dengan cara mengalikan setiap koefisien dengan kelipatan persekutuan terkecil. Untuk lebih memahami penyetaraan persamaan reaksi dengan metode Eliminasi Gauss, tinjau persamaan reaksi berikut: P 2 I 4 + P 4+ H 2 O → P H 4 I + H 3 P O 4 Pertama-tama diberikan koefisien pada persamaan reaksi sehingga persamaan reaksi akan menjadi sebagai berikut: aP2 I 4+ b P4 +c H 2 O → dP H 4 I +e H 3 P O4 Setiap atom harus memiliki jumlah yang sama pada ruas kiri dan kanan. Pertama-tama tinjau atom hidrogen terlebih dahulu. Di ruas kiri terdapat dua buah atom hidrogen dan di ruas kanan terdapat 4 + 3 buah atom hidrogen. Persamaan linear untuk hidrogen adalalah sebagai berikut: 2× c=4 × d+3 × e Dengan cara yang sama, akan diperoleh persamaan linear untuk oksigen: c=4 × e



16



Dan juga persamaan linear untuk fosfor: 2× a+ 4 ×b=d + e Dan juga persamaan linear untuk iodin: 4 × a=d



Sistem persamaan linear yang terbentuk adalah sebagai berikut: 2 c−4 d=3 e c=4 e



2 a+4 b−d=e 4 a−d=0



Apabila dimisalkan



e=1 , maka sistem persamaan linear



akan menjadi sebagai berikut: 2 c−4 d=3 c=4



2 a+4 b−d=1 4 a−d=0



Persamaan ini dapat dipindahkan ke dalam matriks, menjadi:



[



][]



2 4 0 0



4 0 −1 1 0 0 −1 =0 3 0 2 −4 4 0 1 0



Baris kedua ditambahkan dengan



−2 ×



baris pertama.



Matriks akan menjadi seperti berikut:



[



2 0 0 0



4 −8 0 0



][ ]



0 −1 1 0 −1 −2 = 4 1 0 3 2 −4



Baris ketiga dan keempat dipertukarkan. Baris keempat ditambahkan dengan



−2 ×



baris ketiga. Hasil akhir matriks



adalah sebagai berikut, yaitu mencapai bentuk eselon baris:



17



[



2 0 0 0



4 −8 0 0



][ ]



0 −1 1 0 −1 = −2 4 1 0 −5 0 −4



Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun persamaan yang telah disederhanakan menjadi sebagai berikut: 2 a+4 b−d=1 −8 b+d=−2



c=4 −4 d =−5



Dengan manipulasi aljabar, diperoleh hasil-hasil sebagai berikut: 5 d= =1,25 4 c=4 b=



13 =0,4063 32



a=



5 =0,3125 16



Penyelesain system persamaan linear di atas dengan metode Gauss menggunakan program Turbo Pascal. Kodingnya adalah sebagai berikut: uses wincrt; Const Max = 25; Type Matrik = record Row, col : byte; Element : array [1..max, 1..max] of real; End; Vektor = record Row : byte;



18



Element : array [1..max] of real; End; Var x, b : vektor; A : matrik; n : integer; c : real; Err : boolean; Procedure masukkandata; Var i,j : byte; Begin Writeln('Penyelesaian Perhitungan Persamaan Linier dengan Metode Eliminasi Gauss'); Writeln; Write ('Banyaknya persamaan : '); Readln (n); A.row := n; A.col := n ; b.row := n; for i := 1 to n do begin writeln; writeln ('Persamaan ke-',i ); for j := 1 to n do begin write ('Maskkan nilai A[',i,',',j,'] = '); readln (A.element[i,j]); end; write('Masukkan nilai b[',i,'] = '); readln(A.element[i,n+1]); writeln; end;



19



end; procedure eliminasigauss; var I,j,k : integer; temp, S : real; Begin Err := false; For i := 1 to n do Begin If (A.element[i,i] = 0 ) then Begin write(A.element[i,i]) ; Err := true; Exit; End; temp := A.element[i,i]; for k := 1 to n+1 do begin A.element[i,k] := A.element[i,k] / temp; end; For j := 1 to n do begin if(ji) then begin c := A.element[j,i]; for k := 1 to n+1 do begin A.element[j,k] := A.element [j,k] - (c * A.element[i,k]); end; end; end; end;



20



x.row := n; for i := n downto 1 do begin if (A.element [i,i] = 0.0 ) then Begin Err := true; Exit; End; x.element[i] := A.element[i,n+1]; end; end; Procedure tulishasil; Var i : byte; Begin If (err) then Begin Writeln ('Persamaan linear tidak dapat diselesaikan'); End Else Begin Writeln; Writeln ('Penyelesaian persamaan linear dengan Metode Eliminasi Gauss : '); For i := 1 to x.row do Writeln('A',i,' = ',x.element[i]:6:2); End; End; Begin clrscr; Masukkandata; Eliminasigauss;



21



Tulishasil; readln; End.



Apabila kita jalankan program tersebut, muncul tampilan seperti berikut:



Diperoleh



22



a=0,31 b=0,41



c=4 d=1,25



Hasil tersebut sama dengan perhitungan manual yang telah dilakukan sebelumnya. Penyelesain sistem persamaan linear di atas dengan metode Gauss menggunakan program Matlab. Koding programnya adalah sebagai berikut:



23



Apabila kita klik “RUN”, maka hasilnya sebagai berikut:



Diperoleh a=0,3125 b=0,4063



c=4 d=1,25



Hasil tersebut sama dengan perhitungan manual dan perhitungan menggunakan Turbo Pascal yang telah dilakukan sebelumnya. Perhatikan bahwa e dimisalkan adalah 1, dan nilai-nilai a, b, c, d, e, sekarang telah lengkap. Namun, nilainya belumlah bilangan bulat, karena itu semua koefisien akan dikalikan dengan suatu bilangan tertentu, dalam kasus ini bilangan tersebut adalah 32, sehingga hasil akhir seluruh koefisien adalah:



24



a=10 b=13



c=128 d=40



e=32 Maka persamaan reaksi yang telah disetarakan dengan eliminasi Gauss adalah: 10 P 2 I 4 +13 P4 +128 H 2 O → 40 P H 4 I +32 H 3 P O4 Reaksi redoks juga dapat disetarakan dengan metode eliminasi Gauss. Perhatikan reaksi kimia berikut: 3+ ¿ 3+¿+ H 2 O+ Fe¿ 2+¿ →Cr ¿ +¿+ Fe ¿ ¿ 2−¿+ H ¿ Cr 2 O7 Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pertama-tama setiap senyawa diberikan koefisien tertentu: 3+¿ ¿ 3+¿+ e H 2 O+ f Fe 2+¿ → d Cr ¿ +¿+c Fe ¿ 2−¿+ b H ¿ aCr 2 O7¿ Kemudian disamakan atom-atom ruas kiri dan ruas kanan. Untuk reaksi redoks, muatan total ruas kiri dan ruas kanan juga harus disamakan. Untuk atom kromium: 2 a=d



Untuk atom oksigen: 7 a=e Untuk atom hidrogen: b=2 e



Untuk atom besi:



25



c=f Untuk keseimbangan muatan: −2 a+ b+2 c=3 d +3 f



Matriks akan menjadi berukuran besar, karena terdapat 6 buah variabel. Untuk mempermudah penyelesaian, perhatikan bahwa c = f sehingga persamaan muatan dapat disederhanakan menjadi: −2 a+ b−c=3 d Sistem persamaan linear akan menjadi seperti berikut: 2 a=d



7 a−e=0 b−2 e=0



−2 a+ b−c=3 d Apabila d = 1, maka sistem persamaan linear akan menjadi seperti berikut: 2 a=1



7 a−e=0 b−2 e=0



−2 a+ b−c=3 Matriks sistem persamaan linear menjadi sebagai berikut:



[



2 7 0 −2



][]



0 0 0 1 0 0 −1 =0 0 1 0 −2 3 1 −1 0



Baris keempat dipindahkan ke baris yang paling atas. Baris kedua menjadi baris keempat. Kemudian baris kedua ditambahkan dengan



1×



ditambahkan dengan



7/ 2 ×



baris pertama, dan baris keempat baris pertama. Matriks yang akan



terbentuk adalah sebagai berikut:



26



[



−2 1 −1 0 1 −1 0 1 0 0 7 /2 −7 /2



][ ]



0 3 0 = 4 0 −2 21/2 −1



Baris ketiga ditambahkan dengan



1×



baris kedua, maka



matriks yang terbentuk adalah:



[



−2 1 −1 0 1 −1 0 0 1 0 7 /2 −7 /2



][ ]



0 3 0 = 4 −4 −2 21/2 −1



Baris keempat ditambahkan dengan



7/2 ×



baris kedua,



maka matriks yang terbentuk adalah:



[



−2 0 0 0



1 1 0 0



][ ]



−1 0 3 −1 0 = 4 −4 1 −2 −7/2 0 −1



Berdasarkan matriks di atas, diperoleh hasil-hasil sebagai berikut: e=



7 2



c=3 b=7



a=



1 2



d=1 f =3



Seluruh koefisien tersebut akan dikalikan dengan dua sehingga hasil akhir seluruh koefisien adalah: a=2 b=14



c=6 d=2



e=7 f =6 27



Dengan demikian persamaan reaksi redoks yang telah setara adalah: 3+ ¿ 3+¿+7 H 2 O+ 6 Fe ¿ 2+¿ →2 Cr ¿ +¿+6 Fe ¿ ¿ 2−¿+14 H ¿ Cr 2 O7



BAB IV PENUTUP 4.1.



KESIMPULAN



Berdasarkan hal-hal yang telah dijabarkan di atas, dapat disimpulkan bahwa:



28



1. Eliminasi Gauss dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan penyetaraan reaksi pada persamaan reaksi kimia. 2. Reaksi yang dapat disetarakan dengan metode Eliminasi Gauss adalah reaksi kimia biasa maupun reaksi reduksi oksidasi (redoks). 3. Metode Eliminasi Gauss mirip dengan metode aljabar pada penyetaraan persamaan reaksi, namun lebih baik karena menggunakan matriks sehingga hasilnya lebih cepat dibandingkan manipulasi aljabar biasa. 4.2. SARAN 1. Dalam menyederhanakan persamaan reaksi kimia dapat menggunakan Metode Eliminasi Gauss, karena hasilnya lebih cepat dan lebih mudah dalam perhitungannya. 2. Untuk mengembangkan cara menyetarakan persamaan reaksi kimia, dapat diteliti dengan metode lain yang mungkin hasilnya lebih baik dan lebih cepat daripada Metode Eliminasi Gauss.



DAFTAR PUSTAKA



29



Subakti, Irfan. 2006. Metode Numerik. Surabaya. Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Informasi, Instititut Teknologi Sepuluh November. Tias Safitri, dkk. 2015. Makalah Metode Eliminasi Gauss. Semarang: Jurusan Matematika Unnes. Tahir, Ikmal. Persamaan Kimia dan Stoikiometri. Yogyakarta. Universitas Gadjah Mada. Tersedia di http://iqmal.staff.ugm.ac.id/wp-content/uploads/kimiadasar-iqmal-05-perhitungan-kimia.pdf diakses kamis 18 Juni 2015 pukul 10.05 WIB. Anonim. STOIKIOMETRI. http://old.analytical.chem.itb.ac.id/coursesdata/57/Materi/Transparansi/Tra ns_Stoikiometri.pdf kamis 18-6-2015 pkl 10.01 diakses kamis, 18 Juni 2015 pukul 10.01 WIB. Anonim. Metode Eliminasi Gauss untuk Sistem Persamaan Linier. http://www.scribd.com/doc/24456131/Metode-eliminasi-Gaussuntuksistem-persamaan-linier diakses kamis, 18 Juni 2015 pukul 10.13 WIB. Anonim. Pengenalan Matlab. http://ira.lecturer.pens.ac.id/materi/pengolahan %20sinyal%20digital/pengenalan%20matlab%20.pdf diakses hari Senin, 24 mei 2015 pukul 14.37 WIB.



30