Ide Dari Skema [PDF]

Citation preview

IDE DARI SKEMA



Mata Kuliah Psikologi Pendidikan Matematika Dosen Pengampu Mata Kuliah: Dr. Siti Khabibah, M.Pd



Disusun Oleh : 1. Putri Dwi Naryaningsih 2. Citra Dwi Anggreini Kelas 2019 A



(19070785008) (19070785009)



UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA 2019



BAB III IDE DARI SKEMA A. Pendahuluan Pada bab sebelumnya, pembahasan hanya ditujukan pada konsep-konsep tunggal dengan sifat-sifat alaminya. Pada dasarnya setiap konsep merupakan turunan dari konsep-konsep yang lain sehingga akan membentuk konsep baru yang pada akhirnya akan menimbulkan rangkaian-rangkaian konsep. Tetapi pada setiap



tingkat



bisa



dipilih



penggolongan-penggolongan



yang



berlainan,



membentuk suatu hirarki yang berbeda-beda. Mobil dapat digolongkan sebagi kendaraan dengan bus, kereta api, dan pesawat terbang. Ketika menyatakan sebuah lambang status seseorang dengan gelar, alamat yang jelas, dan pakaian yang dikenakan. Ketika menyatakan sebuah sumber pendapatan dalam negeri dengan tembakau, hasil bumi, dan pajak kendaraan. Ketika menyatakan sebuah barang ekspor dengan batu bara, biji kopi, bahan pakaian, dan seterusnya. Konsepkonsep golongan yang jadi pusat perhatian kita sampai sekarang ini bukanlah jenis satu-satunya. Diberikan suatu kumpulan yang bukan objek tunggal tetapi dari pasangan objek, sehingga kita menyadari ada kesamaan antara pasangan tersebut. Misalnya: Jika kita diberikan kumpulan pasangan objek-objek, mungkin kita dapat melihat sesuatu yang sama, contohnya: No



Contoh Pasangan Objek



Ide Penghubung



Anak Anjing – Anjing 1



… Anak dari …



Anak Kucing – Kucing Anak –Ayam – Ayam Bristol Inggris



2



… Pelabuhan di …



Hull – Inggris



Rotterdam – Belanda Pada contoh penghubung dari ide-ide tersebut merupakan sebuah konsep dari ide baru yang dinamakan relasi. Sebuah relasi matematika dapat dilihat sebagai sebuah koleksi dari pasangan, contohnya: No



Contoh Pasangan Objek



1



(6,5), (2,1), (9,8), (33,32) (



2



), (



), (



Ide Penghubung … Satu lebihnya dari …



)



… Senilai dengan …



(5,6), (1,2), (8,9), (31,32)



3



…. Satu kurangnya dari …



Relasi “senilai dengan” terkadan tidak identik merepresentasikan angka yang sama. Namun, perhatikan bahwa dalam matematika, merupakan hal biasa menyertakan pasangan objek dalam relasi dengan tanda kurung. Selain itu, urutan dari setiap pasangan diperhatikan (ordered pair). Dalam matematika relasi ini dapat dituliskan sebagai pasangan berurut, dengan cara: 1.



Tiap pasangan ditulis dalam tanda kurung.



2.



Memperhatikan urutan penulisan masalah, seperti contoh pada Tabel 2



Ada dua jenis utama relasi, yaitu: 1.



Relasi terurut/urutan Contoh: lebih dari, nenek moyang dari, terjadi setelah.



2.



Relasi kesamaan/ekivalen Contoh: ukuran yang sama, saudara dari, sama warna dengan.



Kedua jenis relasi tersebut tidak hanya mempunyai struktur konsep yang hierarki, tetapi juga struktur lain dari relasi individual dan golongan-golongan yang saling berhubungan dengan struktur sebelumnya. Suatu sumber lain dan sambungan–sambungan silang, timbul dari kemampuan untuk “mengubah suatu ide menjadi ide lain” dengan melakukan sesuatu pada ide itu. Berawal dari sesuatu yang dapat dilakukan untuk suatu gagasan inilah yang nantinya muncul suatu transformasi atau sering disebut sebagai suatu fungsi. Beberapa hubungan silang terbentuk dari kemampuan kita untu menurunkan dari suatu ide ke ide lain‟. Contoh:



baik  buruk



panas  dingin



tinggi 



baik  terbaik



buruk  terburuk



tinggi 



rendah



Contoh lain: tertinggi



Sesuatu



yang dapat kita lakukan pada sebuah ide‟



dinamakan



transformasi, atau lebih umumnya sebuah fungsi. Ada beberapa jenis fungsi yang dapat kita kombinasikan dari dua fungsi khusus untuk mendapatkan fungsi lain (seperti mengkombinasikan dua nomor untuk mendapatkan nomor lain). Sebagai suatu contoh dengan mengkombinasikan dua fungsi diatas diperoleh baik  terburuk, panas  terdingin, dst



Jadi, fungsi adalah kedua contoh ide yang menghubungkan antara satu dengan yang lain dan



juga merupakan sebuah sumber hubungan lain antara ide-ide



yang dapat diaplikasikan. Sebagai contoh lain dalam matematika dari relasi terurut dapat ditunjukkan sebagai berikut: x 2  4x  6 Turunannya adalah



2x  4



’



ekivalen



2( x  2) Turunannya adalah



Turunannya adalah



2



Dari gambar di atas terdapat relasi terurut x 2  4 x  6 turunannya adalah



2 x  4 , turunan dari 2 x  4 adalah 2, dan relasi kesamaan dari 2 x  4 adalah 2( x  2) . Muncul relasi baru yaitu 2( x  2) yang turunannya adalah 2. Kajian dari



struktur itu merupakan bagian yang penting dalam matematika. Dalam kajian struktur itu dibangun relasi yang merupakan inti dari psikologi belajar matematika. Telah dijelaskan singkat tentang sekilas keragaman cara untuk menghubungkan konsep dan cara menghasilkan sebuah struktur. Kajian tentang struktur dan cara membentuknya berperan penting dalam matematika. Kedua



kajian tersebut (fungsi) adalah hal yang mendasar dalam mempelajari psikologi pembelajaran matematika. Istilah psikologi umum dalam sebuah struktur mental adalah skema. Istilah tersebut tidak hanya mengenai struktur kompleks dari konsep struktur matematika, tetapi merupakan struktur sederhana yang menghubungkan aktivitas sensori motorik. Disini kita memerhatikan secara keseluruhan dari skema konsep abstrak. Pada bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa suatu konsep berawal dari pengalaman



sensori, aktivitas motorik, dari



kehidupan sehari-hari,



dipisahkan



tetapi



kemudian



dari



asalnya



dan



pengembangan selanjutnya diperoleh dari interaksi satu dengan yang lain. Jadi, sebuah skema memiliki dua fungsi utama yaitu menghubungkan pengetahuan sebelumnya dan sebagai alat mental dalam pembelajaran berikutnya juga membentuk suatu pemahaman. B. Fungsi Integratif dari Sebuah Skema Ketika mengenali sesuatu sebagai sebuah contoh konsep, kita sadar akan konsep ini berada pada dua level, yaitu konsep tersebut sebagai konsep itu sendiri dan konsep sebagai bagian dari suatu kelompok. Oleh karena itu, ketika melihat sebuah mobil, secara otomatis mengira bahwa itu adalah mobil pribadi. Tetapi kelas konsep dihubungkan oleh skema mental kita dengan konsep



lain



yang



lebih



besar,



dimana



dapat



membantu



untuk



menyesuaikan diri terhadap situasi-situasi berbeda dimana sebuah mobil dapat membentuk bagian. Andaikan sebuah mobil dijual, maka segala pengalaman motorik dibawa kembali, hal-hal tentang keadaan mobil diingat kembali, dan pertanyaan-pertanyaan akan muncul sendiri. Misalkan harga mobil tersebut tidak sesuai dengan uang yang kita miliki. Maka kredit dari bank, pinjaman, muncul ke pikiran kita. Misalkan, mobil yang kita kendarai mogok, maka segala instrumen yang dapat membantu seperti derek mobil, telepon umum ada di dalam pikiran kita. Kebanyakan skema-skema tersebut mungkin telah dihubungkan dengan konsep mobil yang sebelumnya. Tetapi misalkan ketika mobil diparkir di tepi



pantai dan melihat roda mobil berada pada lempung. Masalah tersebut, menghubungkan skema tentang lempung yang disebabkan oleh air pasang, dan skema-skema lain yang tersedia. C. Skema sebagai Pembelajaran Lanjut Skema dimiliki sebelumnya diperlukan untuk mempelajari pengetahuan lebih lanjut. Hampir semua yang akan di pelajari tergantung pada pengetahuan lain yang diketahui sebelumnya. Untuk mengetahui pesawat terbang kita harus mengetahui aerodinamika, yang dipengaruhi oleh kemampuan kalkulus, yang membutuhkan pengetahuan aljabar, dan yang bergantung pada aritmetika. Prinsip ini–ketergantungan dari pengetahuan baru yang harus memiliki pengetahuan sebelumnya–merupakan generalisasi dari prinsip kedua dari pemahaman konsep. Secara umum, sebuah fitur baru menjadi penting dan tidak terperhatikan ketika kita berkonsentrasi pada pembelajaran konsep khusus, meskipun menggunakan konsep sebelumnya konsep baru tampak tertanam baik. Sebagai sebuah pendahuluan, akan sangat berguna melihat suatu eksperimen yang bertujuan untuk mengisolasi faktor-faktor yang ada dalam sebuah skema dalam pembelajaran, tepatnya, untuk mengetahui perbedaan antara adanya dan tidak adanya skema yang cocok yang dibuat sebagai materi baru yang dapat dipelajari. Untuk tujuan dari sebuah eksperimen, sebuah eksperimen buatan direncanakan, seperti simbol suku Red-indian yang bermula dari 16 simbol dasar seperti gambar: Pengetahuan 1



Pada hari kedua penerjemahan memasangkan simbol menjadi simbol baru yang terdiri dari dua atau tiga simbol seperti berikut: Pengetahuan 2



Arti dari grup-grup kecil simbol dihubungkan ke arti dari setiap simbol dasar. Pada hari ketiga dan keempat kelompok yang diajarkan mulai meluas, artinya terjemahan itu terkait ke kelompok yang lebih kecil. Berikut beberapa contoh (perhatikan bahwa (()) berarti jamak).



Pengetahuan 3



Pengetahuan 4



Tugas final pada hari keempat digunakan untuk mempelajari dua halaman dari simbol, dimana setiap halaman mengandung seratus simbol dalam sepuluh kelompok yang terdiri dari 8 sampai 12 simbol. Pada halaman satu dari setiap kelompok diberikan terjemahan yang berhubungan dengan kelompok yang lebih kecil, seperti pada contoh yang diberikan. Pada halaman lain berisi kelompok simbol yang memiliki arti yang sama terhadap kelompok yang dibandingkan, tetapi tidak untuk subjek penelitian. Kelompok pembanding telah mempelajari simbol yang sama tetapi artinya berbeda. Jadi pada tugas final tiap kelompok memiliki pendekatan pada suatu halaman dan pendekatan lain pada halaman yang berbeda. Dengan kata lain, pendekatan yang dilakukan dalam satu kelompok bermakna bagi dirinya dan tidak bermakna bagi kelompok lain, dan sebalikannya. Ketika



hasil



dari



penstrukturan



dari



sebuah



pembelajaran



dibandingkan, maka hasilnya pun berbeda Tabel 1. Persentase pengulangan (Semua subjek (%))



Setelah empat Saat pembelajaran



Setelah satu hari minggu



Skematik



69



69



58



Menghafal



31



23



8



Pada kasus ini, kemampuan mengulang dengan belajar secara skematik dua kali lebih baik daripada yang menghafal; dan dalam 4 minggu porsi kemampuan mengulang berubah tujuh kali. Pembelajaran skematis bukan hanya merupakan pembelajaran yang lebih baik, tetapi juga mudah dipertahankan. Secara objektif, dua halaman simbol sama untuk semua subjek penelitian. Perbedaannya adalah pada struktur mental yang dijadikan tugas. Lebih jelasnya, skema yang dibangun pada pembelajaran sebelumnya akan menjadi hal krusial untuk dikuasai dalam mempelajari materi selanjutnya.



Ketika pembelajaran dilakukan secara skematis-dimana pada konteks terkinikita tidak hanya belajar secara efisien untuk menghadapi sesuatu, kita mempersiapkan



alat



mental



untuk



mengaplikasikan



pendekatan



yang



sama pada pembelajaran mendatang. Selain itu, efek dari menggunakan alat ini adalah menggabungkan konten sebelumnya dari sebuah skema. Hal ini yang menyebabkan penggunaan skema memberikan manfaat untuk mengingat lebih baik. Belajar skematik memberi keuntungan daripada belajar hafalan. Keuntungan tersebut antara lain: 1) Belajar lebih bermakna 2) Belajar lebih efisien 3) Belajar menyiapkan sebuah akal pikiran untuk menerapkan pendekatan yang sama pada tugas belajar di kemudian hari. Belajar dengan menggunakan skema juga mempunyai beberapa kerugian, antara lain: 1) Pada tugas yang terbatas, pembelajaran skematis membutuhkan waktu yang lama. Aturan dalam menyelesaikan sebuah persamaan sederhana dapat diingat dalam waktu yang singkat daripada mencapai pemahaman. Sebagai contoh, akan sangat mudah dan tidak mengalokasikan waktu yang cukup lama jika membelajarkan menyelesaikan persamaan linear satu variabel dengan menggunakan istilah “pindah ruas” daripada menggunakan istilah “mengurangkan masing-masing ruas dengan”, atau “membagi masing-masing ruas dengan”.



2) Skema mempunyai daya selektif yang kuat Pengalaman baru akan mempengaruhi skema yang telah ada. Apabila skema yang ada diserang dengan jumlah yang besar maka akan mudah dilupakan. Jika skema yang baru tidak sesuai dengan



skema yang lama, maka diperlukan perubahan dari terhadap susunan skema. Ada dua cara agar skema baru dapat dapat diserap oleh skema lama. Cara pertama adalah dengan proses asimilasi, yaitu proses penyerapan skema baru yang skema baru tersebut telah sesuai atau cocok dengan dengan skema lama. Cara kedua adalah akomodasi, yaitu proses merubah skema lama yang dimiliki oleh individu karena skema lama tidak sesuai dengan informasi yang baru. Contoh: ketika anak membedakan orang pribumi dengan orang asing, proses asimilasi terjadi pada saat adanya skema bahwa orang asing adalah orang yang datang dari luar negeri, berbahasa inggris dengan logat yang berbeda. Tetapi ketika si anak tersebut pergi ke luar negeri, dia menemukan bahwa dirinya sendiri dideskripsikan sebagai orang asing. Berdasarkan asimilasi yang telah terjadi sebelumnya maka terbentuklah ide baru bahwa orang asing adalah orang yang tidak di negaranya sendiri, maka inilah yang disebut akomodasi. Hal ini mengantarkan kita untuk mempertimbangkan kesesuaian pada level baru. Selebihnya skema merupakan instrumen penyesuaian utama yang digunakan secara efektif oleh suatu organisasi pengetahuan yang ada, dalam menyelesaikan masalah, dan mempelajari pengalaman yang baru (mungkin saja penyelesaian masalah menjadi masalah baru kedepannya). Maka hal penting dari sebuah skema adalah perubahan stuktur yang harus sesuai dengan apa yang dihadapi. Selain stabil, skema yang berkembang dari pengalaman sebelumnya melalui asimilasi data. Rekonstruksi sangat diperlukan sebelum situasi tersebut untuk dipahami. Mungkin ini sulit dan kadang gagal. Pengalaman baru yang tidak



berhasil



menyesuaikan



diri



diinterpretasikan berkurang,



mengakibatkan



sehingga



seseorang



kemampuan tidak



dapat



mengatasinya. Salah satu skema konsep dasar matematika yang dipelajari adalah sistem bilangan asli, yaitu himpunan dari bilangan dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Ketika menghitung sampai 10, seorang anak dapat berproses sampai 20, dan melanjutkan hitungannya.



Menambahkan sebuah bilangan, dengan bantuan benda kongkret, dapat segera dipelajari. Pengembangannya adalah penambahan dari dua buah bilangan, awalnya, yang kemudian dilanjutkan dengan pemahaman nilai dari suatu bilangan bedasarkan nilai tempat, dan ini harus dikuasai seterusnya sehingga pengembanganya menjadi lebih baik. Perkalian adalah



penjumlahan



berulang,



yang



juga



merupakan



sebuah



pengembangan. Hal lain, pecahan, yang merupakan sistem bilangan baru, dan merupakan pengembangan dari sistem sebelumnya. Sistem numerasi ini berbeda dan memiliki karakteristik baru, contohnya, tak hingga banyaknya pecahan dapat digunakan untuk menyatakan bilangan yang sama. Perkalian tidak lagi dipahami dalam hal penjumlahan yang berulang. Sebelum memahami sistem pecahan, skema tentang bilangan seharusnya kenyataannya



dipahami tidak



terlebih selalu



dahulu. dapat



Beberapa



memahami



orang pecahan



dalam dan



menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Mungkin guru belum memahami sistem itu awalnya, dan kesulitannya terletak pada rekonstruksi khusus dimana membutuhkan anak jenius pada saat materi tersebut diajarkan di umurnya. Ada contoh yang menarik dalam sejarah matematika yang menunjukkan betapa susahnya rekonstruksi dari sistem bilangan baru. Seperti Phyagoras yang menemukan sisi miring segitiga siku-siku tidak selalu dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional dan menjadi hambatan bagi guru untuk menerangkannya. Bell (1937) mengatakan bahwa bilangan ganjil muncul dari kredit dan utang, sebagai sebuah bilangan, yang dibenci seperti halnya bilangan imajiner. Sistem bilangan Hinduarab juga mengalami perlawanan di eropa pada abad ke 13, dan untuk beberapa wilayah dianggap ilegal. Tak boleh dibicarakan, tidak alami, dan ilegal merupakan cara bagi manusia sebagai alat untuk bekerja pada matematika saat ini dimana sudah dicirikan oleh matematikawan sebelumnya. Tetapi sekarang kita mengerti pentingnya memahami



skema kita, dengan mulai memahami sifat dari reaksi terhadap ide baru apapun yang muncul D.Pemahaman Kini akan dibahas tentang apa yang dimaksud dengan pemahaman. Memahami sesuatu berarti mengasimilasi pemahaman ke skema yang tepat. Ini menjelaskan sifat subjektif pemahaman dan juga memperjelas bahwa pemahaman bukan sekedar keadaan biasa. Kita mungkin memperoleh pendapat subjektif tentang pemahaman terhadap proses asimilasi ke skema yang tidak sesuai. Misalnya Bangsa Yunani “memahami” badai hujan petir dengan mengasimilasikan suara petir ke skema sosok Zeus yang besar dan kuat yang sedang marah dan melemparkan sesuatu. Padahal skema yang tepat adalah hal yang berkaitan



dengan kilatan listrik, sehingga pemikiran tersebut tidak



bertahan hingga abad kedelapanbelas



bahwa ada kemungkinan



pemahaman lain tentang petir yang sebenarnya. Langkah besar pertama dilakukan oleh Benjamin Franklin, yang mengasimilasi konsep petir terhadap



pelepasan listrik. Pemahaman sebenarnya tentu melibatkan



pengetahuan tentang proses ionisasi di atmosfer. melibatkan asimilasi ke skema yang lebih luas.



Hal



tersebut



Apa yang terjadi



dalam hal ini, skema dasar diperluas dan untuk asimilasi gagasan awal lebih ditambahkan, contohnya dari suara ke suara, kilatan petir ke percikan listrik. Pengorganisasian internal yang lebih baik dari suatu skema mungkin juga meningkatkan pemahaman dan jelas tidak ada tingkatan dimana proses



pengorganisasian tersebut lengkap. Satu



tantangan untuk peningkatan



pemahaman



lebih



lanjut



adalah



keyakinan bahwa seseorang telah memahami sesuatu secara penuh. Telah dibahas sebelumnya apakah kita memahami sesuatu atau tidak dan apakah ditemukan dengan benar. Ini adalah pendapat subjektif bahwa kita memahami sesuatu dan terbuka terhadap kesalahan berpikir itu mungkin secara umum menandakan kita sekarang mampu bersikap secara tepat dalam keadaan baru.



Perbedaan kemampuan beradaptasi antara yang mengetahui aturan dan yang memahami aturan telah ditunjukkan baik melalui eksperimen M.A. Bell. * Contoh dipilih dari materi topologi karena memiliki keuntungan skema relevant



dapat di bentuk cepat, dimana kebanyakan



cabang matematika lain membentuk skema relevan lebih lama.



Dua diagram di atas menunjukkan jaringan topologi, yang dibuat dari beberapa titik yang disebut titik sudut yang dihubungkan oleh garis lurus atau lengkung yang disebut busur. Melintasi jaringan melewati lintasan



yang tak terputus



berarti



dimana setiap busur pada



jaringan tersebur dilewati hanya sekali saja. Beberapa percobaan akan menunjukkan bahwa jaringan (1) dapat dilintasi dan jaringan (2) tidak.



Berikut ini dua contoh lainnya Dengan cara coba-coba, mudah ditemukan bahwa jaringan (4) dapat dilintasi dan jaringan (3) tidak, meskipun ini tidak sama halnya dengan membuktikan bahwa ini tidak mungkin.



Saat jaringan menjadi lebih rumit, cara coba-coba menjadi lebih sulit, dan kesimpulannya, khususnya secara negatif, mengatarkan pada kurangnya keyakinan. Terdapat aturan sederhana. Hitung banyaknya busur yang bertemu di satu titik sudut. Sebut jumlah tersebut sebagai order pada titik sudut tersebut. Singkatnya, kita katakan bahwa titik sudut ganjil atau genap itu berdasarkan apakah ordernya ganjil atau genap.



Titik sudut dari order 3



Titik sudut dari order 4



Aturan: jaringan yang dapat dilewati jika dan hanya jika, jumlah dari titik sudut ganjil adalah nol atau dua. Dengan aturan ini mudah untuk mengecek apakah jaringan (6) dapat dilalui, dan jaringan (5) tidak bisa. Jaringan yang lebih rumit menunjukkan kesulitan yang lebih besar.



Dua kelompok anak-anak umur sebelas tahun diperkenalkan tentang hal di atas. Kelompok 1 diberikan aturan dan juga penjelasan (yang masih disembunyikan pada saat ini) tentang alasan aturan tersebut. Kelompok 2 hanya diberikan aturannya saja. Kedua kelompok diberikan duabelas masalah seperti di atas, termasuk beberapa jaringan yang cukup rumit. Semua anak pada kedua kelompok dapat menyelesaikan semua masalah tersebut. Pada keadaan ini tidak dapat dibedakan antara siswa yang mengerti penjelasan aturan dan yang tidak. Serangkaian permasalahan jaringan lain kemudian ditunjukkan kepada kedua kelompok, dengan perbedaan kecil. Berikut ini empat jaringan biasa dari tugas tersebut.



Masalah baru yaitu (a) mencoba mencari jaringan yang dapat dilalui seperti sebelumnya, tetapi akhir rute dari jaringan kembali ke titik awal; dan (b) mencoba mencari aturan untuk menyelesaikannya. Kelompok



anak



ketiga,



tanpa



memiliki



pengalaman



tentang



permasalahan ini dan tanpa pengetahuan tentang aturan ini, juga diberikan tugas baru ini. Hasilnya, yang berkaitan dengan anak menemukan aturan baru yang benar, sebagai berikut:



Kelompok 1



sembilan anak



(aturan pertama dengan pemahaman)



lebih dari duabelas



Kelompok 2



tiga anak



(aturan pertama tanpa pemahaman)



lebih dari sepuluh



Kelompok 3



dua anak lebih



(tanpa memiliki pengetahuan



dari duabelas.



(75%)



(30%)



(17%)



sebelumnya) Hasil sebelumnya dari kelompok 1 dan 2 tidak dapat dibedakan, sebaliknya masalah baru menunjukkan perbedaan yang besar.



75% dari



kelompok pertama mampu beradaptasi dengan tugas baru, tetapi hanya 30% dari kelompok kedua, yang mampu melakukannya sedikit lebih baik dari pada kelompok yang tanpa pengalaman sebelumnya. Sekarang ambil sehelai kertas dan salin hanya titik sudut-titik sudut saja dari jaringan (1). Kemudian, gambar jaringan mulai pada sembarang titik sudut tanpa mengangkat pensil dari kertas. (Ini berhubungan dengan melintasi). Perhatikan bahwa setiap saat masuk dan keluar dari sebuah titik sudut, kamu menambahkan dua busur untuk jumlah busur yang bertemu di titik sudut tersebut, sehingga kamu menambahkan order dari titik sudut dengan dua. Sekarang lakukan hal yang sama dengan jaringan (4) dan jaringan (6), mulai dengan sudut kanan atas. Penjelasan ini tentunya lebih singkat dari pada yang diberikan kepada kelompok anak-anak tadi. Ini diharapkan memberikan petunjuk yang cukup untuk memahami aturan pertama. Seharusnya kita berhasil menemukan aturan kedua tanpa penjelasan. Dari suatu pengalaman seseorang yang melakukan program pengajaran mahal yang disebut “Pengantar Topologi”, dipublikasikanlah



pengajaran



tersebut. Pengajaran tersebut hanya memberikan aturan pertama dan tanpa penjelasan. Pengajaran bentuk ini tidak hanya sulit dalam beradaptasi ke masalah kedua; ini juga sulit menjawab pertanyaan relevan lain seperti



“Bagaimana kita yakin bahwa aturan tersebut berlaku untuk jaringan lainnya?”, “Akankah ini berlaku juga untuk jaringan tiga dimensi?” dan khusunya



pertanyaan “Bagaimana bisa kita yakin bahwa jaringan yang



diberikan tidak dapat dilalui oleh seseorang yang cukup



pintar?” Semua



pertanyaan ini dapat dijawab oleh seseorang yang mengerti penjelasan dari aturan, dengan cara demikian menunjukkan kemampuan beradaptasi lebih besar terhadap skema ke masalah-malah baru. E. Implikasi Skema terhadap Pembelajaran Matematika Fungsi utama skema sebagai alat pembelajaran berarti skema awal yang tidak tepat akan membentuk proses asimilasi pemikiran berikutnya jauh lebih sulit dan sepertinya tidak mungkin. Ketidaktepatan juga termasuk hal yang tidak tampak. Belajar memanipulasi simbol- simbol seperti cara mendapatkan jawaban benar mungkin sulit untuk membedakannya saat pembelajaran konsep pada tahapan awal. Peserta didik tidak dapat membedakan benar atau salah jika mereka tidak memiliki pengalaman memahami matematika. Dan semua guru dapat melihat simbol-simbol tersebut. Mereka tidak mengetahui apakah konsep-konsep yang benar tersebut berkaitan atau tidak, atau tidak keduanya. Cara menemukannya yaitu dengan mengetes



kemampuan



beradaptasi



pembelajar



ke



situasi



baru



yang



berhubungan dengan matematika. Dalam hal ini bukanlah tentang perhitungan mekanis. Sejumlah anak memiliki kemampuan yang baik dalam hafalan dan kemampuan belajar matematika mungkin dikembangkan hingga ke sebuah level yang mana hanya pada pembelajaran konseptual yang sesuai dengan situasi ini. Pada tingkatan ini pembelajar mencoba untuk menguasai tugas baru dengan cara-cara yang diketahui karena mereka hanya menghafal aturan untuk setiap jenis masalah. Kini tugas membedakan keterkaitan konsep yang benar menjadi mustahil untuk diselesaikan, bahkan kemampuan belajar siswa berhenti



berkembang, diiringi



berhenti menyelesaikannya.



dengan kesulitan, dan ada siswa lain yang



Skema yang tepat adalah skema yang mempertimbangkan tugas pembelajaran jangka panjang dan bukan jangka pendek. Sebagai contoh solusi persamaan biasanya berdasarkan ide sebuah timbangan. Jika kita menambahkan atau mengurangi beban yang sama di kedua sisi, timbangan tersebut tetap seimbang. Jadi kita bisa menemukan berat yang menyeimbangkan berat yang tidak diketahui. Model ini juga membenarkan memindahkan bilangan ke sisi lain dan merubah tandanya, karena kita akan mendapatkan hasil yang sama dalam penjumlahan, misalnya memindahkan 3 kg ke sisi kiri timbangan, atau mengambil 3 kg itu dari sebelah kanan.



Pada tahap awal, skema sederhana patut disukai. Namun ia tetap memiliki kelemahan dimana x adalah jumlah yang tidak diketahui dan kita harus „menemukannya‟, dan ide timbangan bukan merupakan konsep dasar matematika. Konsep dasar matematika adalah variabel. Tetapi kelemahan utamanya adalah bahwa skema “menyeimbangkan kedua sisi‟ tidak dapat diterapkan pada persamaan seperti:



Dan



Seorang guru harus melihat lebih jauh tugas yang sedang dikerjakan siswa, dan jika mungkinkan sampaikan ide-ide baru sehingga skema-skema jangka panjang yang sesuai dapat dibentuk.



Meskipun memiliki kelemahan, skema di atas masih jauh lebih baik dari aturan-aturan tanpa alasan yang terkadang diajarkan hanya karena masuk akal dan oleh karena itu berkontribusi sebagai kegiatan



yang berarti dalam



matematika. Terkadang kita juga sulit memilih antara skema jangka pendek tetapi mudah dan skema jangka panjang susah. Kita harus merekonstruksi kembali skema, seperti yang telah kita ketahui, hal itu ada kesulitannya. Jadi pilihannya tidak selalu mudah. Meski demikian, secara umum biasanya ideide jangka panjang tidak sulit dipelajari tetapi hanya sulit menemukan awalnya saja. Hal tersebut memindahkan kesulitan dari siswa ke guru. Oleh karena itu, tanggung jawab guru pada tahap-tahap awal sangatlah besar. Mereka harus yakin bahwa pembelajaran skematis terjadi, bukan hanya menghafal manipulasi simbol-simbol. Mereka harus mengetahui tahap mana yang hanya membutuhkan asimilasi langsung dan kapan rekonstruksi dibutuhkan, karena pada tahap berikutnya, kecepatannya melambat dan perkembangan siswa diperiksa dengan lebih teliti. Guru harus merencanakan dasar skema jangka panjang yang akan lebih mampu beradaptasi ke kebutuhan masa depan maupun kebutuhan sekarang. Memenuhi kebutuhan mendatang secara penuh tidaklah mungkin. Tingkat perubahan matematika pada saat ini dan penerapannya, membuat tidak satu pun dapat mengetahui tantangan masa depan yang harus pembelajar masa ini



hadapi,



dan



tingkat



perubahan semakin meningkat. Jadi apa yang



sebaiknya kita lakukan? Bagian pertama dari jawaban hal tersebut adalah mencoba meletakkan dasar yang terstruktur dengan baik dari ide matematika dasar yang bisa siswa bangun untuk menghadapi permasalahan apapun di masa depan; yaitu dengan cara menemukan sendiri dan membantu siswa lain menemukan pola-pola dasar. Kedua, mengajarkan kepada mereka untuk selalu mencari skema sendiri; dan ketiga, mengajarkan mereka untuk selalu siap merekonstruksi skema mereka, untuk menghargai nilai skema sebagai alat yang bisa berfungsi, tetapi mereka juga harus mau menggantinya dengan yang baru. Langkah pertama adalah



mengajarkan matematika, sedangkan langkah kedua dan ketiga adalah mengajarkan mereka untuk belajar matematika. Hanya dua langkah terakhir yang mempersiapkan anak-anak menghadapi masa depan yang tidak menentu.