Inversi Matrik [PDF]

Citation preview

INVERSI MATRIK Haryanto 2011



Determinan Matrix 











Jika ada katrix A maka determinan  det(A) atau |A| Jika A = a b maka |A| = a.d – b.c c d Contoh: Tentukan nilai x yg memenuhi pers: x–6=0 x – 3x = 0



Determinan Matrix 



Jawab: nilai x yg memenuhi pers: x–6=0 x – 3x = 0 Adalah: x -6 x -3x = 0



Determinan Matrix Adalah: x -6 x -3x = 0 Menjadi: -3x2 +6x = 0  x(-3x + 6) = 0 Sehingga x = 0 atau -3x = -6  x = 2



Determinan Matrix 



Jika matrix ordo 3x3: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33



|A| = a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32 – a13.a22.a31- a11.a23.a32 - a12.a21.a33



Determinan Matrix 



Cara kofaktor: +a11 - a12 A = - a21 +a22 +a31 - a32



+a13 - a23 +a33



|A| = a11(a22.a33-a23.a32) - a12(a21.a33a23.a31) + a13(a21.a32- a22.a31)



Determinan Matrix 



Contoh: Diketahui matrix A sbb. +2 - 4 +3 A = - 1 +5 - 2 +7 - 8 +1



Jika menggunakan baris pertama, maka diperoleh:



|A| = 2(5 – 16) + 4(– 1+14) + 3(8 – 35) = – 22 + 52 – 81 = – 51



Determinan Matrix Silahkan dicoba jika menghitung baris atau kolom yang lain. +2 - 4 +3 A = - 1 +5 - 2 +7 - 8 +1 Bagaimanakah hasilnya? 



Determinan Matrix Latihan: Bila x1 dan x2 memenuhi pers 2x-1 5 x+2 x = 0 Maka 1/x1 + 1/x2 = .... 



Pilihan jawaban: A. -5/3 B. -3/5



C. 3/5



D. 2/3



E. 5/3



Inversi Matrix 



Adjoin Matrix: Bila A = a b c d



maka adj A = d -c -b a



Contoh: A = 2 3 maka adj A = 5 -4 4 5 -3 2



Inversi Matrix 



Adjoin Matrix: Bila A = a b c maka jika Kij: kofaktor aij d e f g h i



Adj (A) = K11 K21 K12 K22 K13 K23



K31 K32 K33



Inversi Matrix







Contoh: Bila A = 1 2 3 maka jika Kij: kofaktor aij 2 3 2 3 3 4



Adj (A) adalah .... K11=|12-6|=6 K12=-|8-6|=-2 K21=-|8-9|=1 K22=|4-9|=-5 K31=|4-9|=-5 K32=-|2-6|=4



K13=|6-9|-3 K23=-||3-6|=3 K33=|3-4|=-1



Inversi Matrix



Adj (A) adalah .... 6 1 -5 -2 -5 4 -3 3 -1



Inversi Matrix







Inversi Matrix Jika A adalah matrix, maka inversi matrix adalah:



A-1 = Adj(A)/|A|



d -b A-1 = 1/|A| -c a



Jika A = a c



b d



Inversi Matrix







Latihan: Carilah invers matrix di bawah ini 1 1 1



2 3 4



3 4 3



ALGORITMA INVERSI Algoritma Gauss Digunakan untuk persm linier dgn pendekatan matrik. Algoritma: o



1. 2.



3.



4.



Masukan ukuran dan elemen matrik Utk baris ke-i (i=1) sampai n, apakah nilai Xii=0? a. Jika Ya tukarkan baris ke-I dan baris i+k. Jika tdk ada yang tdk 0 maka berhenti (tdk dpt diselesaikan) b. Jika Tidak lanjutkan Untuk baris ke-j (i+1) sampai n a. Hitung c=Xj,i/Xi,j b. Utk kolom k=1 smp n+1, hitung Xj,k=Xj,k-c.Xi,k Hitung akar utk i=n sampai 1 (baris ke-n smp ke-1): Hi=(1/Xi,j)(bi-Xi,j+1Hi+1-Xi,j+2Hi+2- … -Xi,nHn)



ALGORITMA MATEMATIKA o



Contoh: Hitung nilai x, y, dan z dari persm berikut: x + y + 2z = 9 2x + 4y -3z = 1 3x + 6y -5z = 0 dapat ditulis dlm matrik: 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0



ALGORITMA MATEMATIKA 1 2 3



1 4 6



2 9 -3 1 -5 0



1 0 3



1 2 6



2 9 -7 -17 -5 0



1 0 0



1 2 3



2 9 -7 -17 -11 -27



b2-2b1



2-2=0 4-2.1=2 1-2.9=-17 -3-2.2=-7



b3-3b1



3-3.1=0 6-3.1=3 -5-3.2=-11



2b3-3b2



2.3-3.2=0 2.(-11)-3.(-7)=-1 2.(-27)-3.(-17)=-3



0-3.9=-27



ALGORITMA MATEMATIKA 1 0 0



1 2 0



2 9 -7 -17 -1 -3



Maka: x3=3 2x -7.x3 = -17  x2 = 2 x1 + x2 +2x3 = 9  x1 = 1 Jadi nilai x1 = 1; x2 = 2; dan x3 = 3



ALGORITMA MATEMATIKA o



1. 2.



3. 4.



4.



Algoritma Gauss – Jordan merupakan pengembangan dari algoritma Gauss. Masukan ukuran matrik dan elemen-elemennya. Utk baris ke-i (i=1) sampai n, apakah nilai Xii=0? a. Jika Ya tukarkan baris ke-i dan baris i+k. Jika tdk ada yang tdk 0 maka berhenti (tdk dpt diselesaikan) b. Jika Tidak lanjutkan Jadikan nilai diagonalnya menjadi 1 dgn cara setiap kolom k (k=1) smp n+1, hitung: Xi,k=Xi,k/Xi,j Untuk baris ke-j (i+1) sampai n a. Hitung c=Xi,j b. hitung Xj,k=Xj,k-c.Xi,k Hitung akar utk i=n sampai 1 (baris ke-n smp ke1): Hi=Xi,n+1



ALGORITMA MATEMATIKA o



Contoh: Hitung nilai x, y, dan z dari persm berikut: x + y + 2z = 9 2x + 4y -3z = 1 3x + 6y -5z = 0 dapat ditulis dlm matrik: 1 1 2 9 2 4 -3 1 3 6 -5 0



ALGORITMA MATEMATIKA 1 2 3



1 4 6



2 9 -3 1 -5 0



1 0 3



1 2 6



2 9 -7 -17 -5 0



1 0 0



1 2 3



2 9 -7 -17 -11 -27



b2-2b1



b3-3b1



b2*½



2-2=0 4-2.1=2 1-2.9=-17 -3-2.2=-7 3-3.1=0 6-3.1=3 -5-3.2=-11 0-3.9=-27 0. ½=0 2. ½=1 -17. ½=-17/2 -7. ½=-7/2



ALGORITMA MATEMATIKA 1 0 0



1 1 3



2 9 -7/2 -17/2 -11 -27



1 0 0



1 1 0



2 -7/2 -1/2



1 0 0



1 1 0



2 9 -7/2 -17/2 1 3



9 -17/2 -3/2



3-3.1=0 -11+3.7/2=-½ b3-3b2



-27+3.17/2=-3/2



-½.-2=1 -3/2.-2=3 b3*-2 b1-b2



1-0=1 1-1=0 2+7/2=11/2 9+17/2=35/2



ALGORITMA MATEMATIKA 1 0 0



0 1 0



11/2 35/2 -7/2 -17/2 1 3



1 0 0



0 1 0



0 1 -7/2 -17/2 1 3



1 0 0



0 1 0



0 0 1



b1-11/2.b3 1-0=1 0-0=0 11/2-11/2=0 35/2-33/2=1 1+7/2.0=1 b2+7/2.b3 -7/2+7/2=0 -17/2+21/2=2



1 x1=1 2 x2=2 3 x3=3