Irisan Kerucut Dan Koordinat Kutub [PDF]

Citation preview

IRISAN KERUCUT DAN KOORDINAT KUTUB



I.1 DEFINISI DAN BAGIAN IRISAN KERUCUT • Irisan Kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang lengkung kerucut lingkaran tegak dengan bidang datar. • Irisan Kerucut terbagi empat, yaitu : – Berbentuk lingkaran – Berbentuk parabola – Berbentuk elips – Berbentuk hiperbola



Definisi Irisan Kerucut (yang berbentuk parabola, elips, dan hiperbola) Irisan Kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap. keterangan: • Titik tertentu = titik api (fokus) • Garis tertentu = garis arah (direktriks) • Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)



I.2 PARABOLA • Definisi Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.



Bentuk Umum Persamaan Parabola yang Berpuncak di Titik Pusat (0,0) 1. y2 = 4px parabola terbuka ke kanan 2. y2 = -4px parabola terbuka ke kiri 3. x2 = 4py parabola terbuka ke atas 4. x2 = -4py parabola terbuka ke bawah Keterangan : p>0 p = jarak fokus ke titik puncak parabola



RUMUS



y2=4px



y2=-4px



x2=4py



x2=-4py



Koordinat fokus



(p,0)



(-p,0)



(0,p)



(0,-p)



Garis arah



x = -p



x=p



y = -p



y=p



Sumbu simetri



y=0



y=0



x=0



x=0



Titik Latus Rectum



(p,2p) (p,-2p)



(-p,2p) (-p,-2p)



(2p,p) (-2p,p)



(2p,-p) (-2p,-p)



4p



4p



4p



Panjang Latus Rectum 4p



PARABOLA y2 = 4px y



(p,2p) F(p,0)



(p,-2p) direktriks x= -p



x



PARABOLA y2 = -4px y (-p,2p)



x



F(-p,0)



(-p,-2p) direktriks x= p



PARABOLA x2 = 4py y



(2p,p)



(-2p,p) F(0,p)



x 0



direktriks y = -p



PARABOLA x2 = -4py y direktriks y=p x



0



(-2p,-p) F(0,-p)



(2p,-p)



Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Suatu Titik Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D  D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda  D = 0 garis menyinggung parabola  D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung



Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1) Parabola Persamaan Garis Singgung y2 = 4px y2 = -4px x2 = 4py x2 = -4py



yy1 = 2p(x+x1) yy1 = -2p(x+x1) xx1 = 2p(y+y1) xx1 = -2p(y+y1)



Persamaan Garis Normal Ditentukan dari persamaan garis singgung y – y1 = m(x-x1) (m = kebalikan negatif m pada persamaan garis singgung)



I.3 ELIPS • Definisi Elips adalah tempat kedudukan titiktitik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.



Bentuk Umum Persamaan Elips yang Berpusat di Titik (0,0) 1.



x2 y 2 2 + 2 =1 a b atau



(elips horisontal)



b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 2.



x2 y 2 2 + 2 =1 b a a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2b 2



(elips vertikal)



berlaku a 2 > b 2 dan a 2 = b 2 + c 2



RUMUS Titik puncak Titik sb pendek Fokus Panjang sb pjg Panjang sb pdk e Direktriks Panjang LR Titik LR



ELIPS HORISONTAL



ELIPS VERTIKAL



(-a,0) dan (a,0) (0,-b) dan (0,b) (-c,0) dan (c,0) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)



(0,-a) dan (0,a) (-b,0) dan (b,0) (0,-c) dan (0,c) 2a 2b c/a y=-a/e dan y=a/e 2b2/a LR1 : (b2/a,-c) dan (-b2/a,-c)



LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)



LR2 : (b2/a,c) dan (-b2/a,c)



ELIPS HORISONTAL y



B2(0,b)



A1(-a,0)



F1(-c,0)



F2(c,0)



x A2(a,0)



B1(0,-b) x= -a/e



x= a/e



ELIPS VERTIKAL y x= a/e A2(0,a)



F1(0,c) B1(-b,0) F2(0,-c)



B2(b,0)



0



x



A1(0,-a)



x= -a/e



Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1) Elips x2 y 2 2 + 2 =1 a b x2 y 2 2 + 2 =1 b a



Persamaan Garis Singgung xx1 yy 1 2 + 2 =1 a b xx1 yy 1 2 + 2 =1 b a



Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola



I.4 HIPERBOLA • Definisi Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.



Bentuk Umum Persamaan Hiperbola yang Berpusat di Titik (0,0) 1.



x2 y 2 2 - 2 =1 a b atau



(hiperbola horisontal)



b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2b 2 2.



y 2 x2 2 - 2 =1 a b b 2 y 2 - a 2 x 2 = a 2b 2 berlaku c2 = a2 + b2



(hiperbola vertikal)



RUMUS Titik puncak Fokus Titik sb minor Panjang sb mayor Panjang sb minor e Direktriks Panjang LR Titik LR Pers. Asimtot



HIPERBOLA HORISONTAL



HIPERBOLA VERTIKAL



(-a,0) dan (a,0) (-c,0) dan (c,0) (0,-b) dan (0,b) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)



(0,-a) dan (0,a) (0,-c) dan (0,c) (-b,0) dan (b,0) 2a 2b c/a y=-a/e dan y=a/e 2b2/a LR1 : (-b2/a,c) dan (b2/a,c)



LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)



LR2 : (-b2/a,-c) dan (b2/a,-c)



y=(-b/a)x dan y=(b/a)x



y=(-a/b)x dan y=(a/b)x



Bentuk Siku Empat Dasar Hiperbola



• Tentukan titik puncak A dan A • Tentukan titik sumbu minor B dan B • Gambarkan siku empat dasar yang 1



2



1



2



melalui titik-titik tersebut seperti gambar berikut : A2



B2 A2



A1



B1



B2



B1 A1



Hiperbola horisontal



Hiperbola vertikal



HIPERBOLA HORISONTAL y = (b/a) x y = - (b/a) x B2 F1



A1



A2



B1



x = -a/e



x = a/e



F2



HIPERBOLA VERTIKAL



F1



y = - (a/b) x



y = (a/b) x A2



y = a/e



B1



B2 A1



y = -a/e



F2



Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1) Hiperbola x2 y 2 2 2 =1 a b y 2 x2 2 2 =1 a b



Persamaan Garis Singgung xx1 yy 1 2 2 =1 a b yy 1 xx1 2 2 =1 a b



Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola



I.5 TRANSLASI SUMBU Penyederhanaan Persamaan Dengan Metode Translasi



    



Hiperbola



Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan konstanta di ruas kanan. Keluarkan koefisien x2 dan y2 sehingga menjadi k1(x2+ax) dan k2(y2+by). Lengkapi kuadrat x2+ax dan y2+by dengan menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y. Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di ruas kanan menjadi 1. Translasikan u = x + a dan v = y + b.



Contoh : 4x2 – 9y2 – 16x + 72y – 164 = 0 4x2 – 16x– 9y2 + 72y = 164 4(x2 – 4x) – 9(y2 – 8y) = 164 4(x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 8y + 16) = 164 + 16 – 144 4(x-2)2 – 9(y-4)2 = 36 (x-2)2 (y-4)2 = 1 9 4 Translasi u = x – 2 dan v = y – 4 u2 9



v2 4



=1 merupakan persamaan hiperbola horisontal



I.6 ROTASI SUMBU Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi



Gunakan substitusi x = u cos θ – v sin θ y = u sin θ + v cos θ dengan



A-C cot 2θ = B



Contoh : 3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 A= 3, B = 10, C = 3, D = 8 Cot 2θ = (A-C)/B (3-3)/10 = 0 Tg 2θ = ∞ 2θ = 900 θ = 450 Sin θ = sin 450 = ½√2 Cos θ = cos 450 = ½√2



x = u cos θ – v sin θ x = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v) y = u sin θ + v cos θ y = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v) 3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 ↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0



↔ 3[½(u-v)2] + 10 [½(u2-v2)]+3[½(u+v)2]+8 = 0 ↔ 3/2 (u-v)2 + 3/2 (u+v)2 + 5 (u2 – v2) + 8 = 0 ↔ 3/2u2 – 3uv + 3/2v2 + 3/2u2 + 3uv + 3/2v2 + 5u2 – 5v2 +8=0 ↔ 8u2 – 2v2 = -8 ↔ v2/4 – u2/1 = 1 (hiperbola vertikal)



I.7 SISTEM KOORDINAT KUTUB • Titik Dalam Koordinat Kutub (r,θ)



(-r,-θ) θ



(-r,θ)



(r,-θ)



Keempat titik tersebut adalah pasangan koordinat kutub.



• Menentukan Persamaan Cartesian dari Grafik Persamaan Kutub Gunakan substitusi persamaan-persamaan :



x 2 + y 2 = r2 x = r cos θ y = r sin θ • Menggambarkan Grafik Persamaan Kutub Gantikan persamaan Cartesian



kutub



ke



persamaan



I.8



GRAFIK PERSAMAAN KUTUB Persamaan Kutub



Persamaan Cartesian



Garis



r = d / cos θ r = d / sin θ



x=d y=d



Lingkaran



r = 2a cos θ



Pusat (a,0), jari-jari = a (x-a)2 + y2 = a2 Pusat (0,a) , jari-jari = a x2 + (y-a)2 = a2



r = 2a sin θ



Konik



r = ed / (1 + e cos θ) r = ed / (1 + e sin θ)



d memotong sumbu x d memotong sumbu y 0