9 0 205 KB
IRISAN KERUCUT DAN KOORDINAT KUTUB
I.1 DEFINISI DAN BAGIAN IRISAN KERUCUT • Irisan Kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang lengkung kerucut lingkaran tegak dengan bidang datar. • Irisan Kerucut terbagi empat, yaitu : – Berbentuk lingkaran – Berbentuk parabola – Berbentuk elips – Berbentuk hiperbola
Definisi Irisan Kerucut (yang berbentuk parabola, elips, dan hiperbola) Irisan Kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap. keterangan: • Titik tertentu = titik api (fokus) • Garis tertentu = garis arah (direktriks) • Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)
I.2 PARABOLA • Definisi Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.
Bentuk Umum Persamaan Parabola yang Berpuncak di Titik Pusat (0,0) 1. y2 = 4px parabola terbuka ke kanan 2. y2 = -4px parabola terbuka ke kiri 3. x2 = 4py parabola terbuka ke atas 4. x2 = -4py parabola terbuka ke bawah Keterangan : p>0 p = jarak fokus ke titik puncak parabola
RUMUS
y2=4px
y2=-4px
x2=4py
x2=-4py
Koordinat fokus
(p,0)
(-p,0)
(0,p)
(0,-p)
Garis arah
x = -p
x=p
y = -p
y=p
Sumbu simetri
y=0
y=0
x=0
x=0
Titik Latus Rectum
(p,2p) (p,-2p)
(-p,2p) (-p,-2p)
(2p,p) (-2p,p)
(2p,-p) (-2p,-p)
4p
4p
4p
Panjang Latus Rectum 4p
PARABOLA y2 = 4px y
(p,2p) F(p,0)
(p,-2p) direktriks x= -p
x
PARABOLA y2 = -4px y (-p,2p)
x
F(-p,0)
(-p,-2p) direktriks x= p
PARABOLA x2 = 4py y
(2p,p)
(-2p,p) F(0,p)
x 0
direktriks y = -p
PARABOLA x2 = -4py y direktriks y=p x
0
(-2p,-p) F(0,-p)
(2p,-p)
Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Suatu Titik Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda D = 0 garis menyinggung parabola D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung
Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1) Parabola Persamaan Garis Singgung y2 = 4px y2 = -4px x2 = 4py x2 = -4py
yy1 = 2p(x+x1) yy1 = -2p(x+x1) xx1 = 2p(y+y1) xx1 = -2p(y+y1)
Persamaan Garis Normal Ditentukan dari persamaan garis singgung y – y1 = m(x-x1) (m = kebalikan negatif m pada persamaan garis singgung)
I.3 ELIPS • Definisi Elips adalah tempat kedudukan titiktitik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Bentuk Umum Persamaan Elips yang Berpusat di Titik (0,0) 1.
x2 y 2 2 + 2 =1 a b atau
(elips horisontal)
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 2.
x2 y 2 2 + 2 =1 b a a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2b 2
(elips vertikal)
berlaku a 2 > b 2 dan a 2 = b 2 + c 2
RUMUS Titik puncak Titik sb pendek Fokus Panjang sb pjg Panjang sb pdk e Direktriks Panjang LR Titik LR
ELIPS HORISONTAL
ELIPS VERTIKAL
(-a,0) dan (a,0) (0,-b) dan (0,b) (-c,0) dan (c,0) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)
(0,-a) dan (0,a) (-b,0) dan (b,0) (0,-c) dan (0,c) 2a 2b c/a y=-a/e dan y=a/e 2b2/a LR1 : (b2/a,-c) dan (-b2/a,-c)
LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)
LR2 : (b2/a,c) dan (-b2/a,c)
ELIPS HORISONTAL y
B2(0,b)
A1(-a,0)
F1(-c,0)
F2(c,0)
x A2(a,0)
B1(0,-b) x= -a/e
x= a/e
ELIPS VERTIKAL y x= a/e A2(0,a)
F1(0,c) B1(-b,0) F2(0,-c)
B2(b,0)
0
x
A1(0,-a)
x= -a/e
Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1) Elips x2 y 2 2 + 2 =1 a b x2 y 2 2 + 2 =1 b a
Persamaan Garis Singgung xx1 yy 1 2 + 2 =1 a b xx1 yy 1 2 + 2 =1 b a
Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola
I.4 HIPERBOLA • Definisi Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Bentuk Umum Persamaan Hiperbola yang Berpusat di Titik (0,0) 1.
x2 y 2 2 - 2 =1 a b atau
(hiperbola horisontal)
b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2b 2 2.
y 2 x2 2 - 2 =1 a b b 2 y 2 - a 2 x 2 = a 2b 2 berlaku c2 = a2 + b2
(hiperbola vertikal)
RUMUS Titik puncak Fokus Titik sb minor Panjang sb mayor Panjang sb minor e Direktriks Panjang LR Titik LR Pers. Asimtot
HIPERBOLA HORISONTAL
HIPERBOLA VERTIKAL
(-a,0) dan (a,0) (-c,0) dan (c,0) (0,-b) dan (0,b) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)
(0,-a) dan (0,a) (0,-c) dan (0,c) (-b,0) dan (b,0) 2a 2b c/a y=-a/e dan y=a/e 2b2/a LR1 : (-b2/a,c) dan (b2/a,c)
LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)
LR2 : (-b2/a,-c) dan (b2/a,-c)
y=(-b/a)x dan y=(b/a)x
y=(-a/b)x dan y=(a/b)x
Bentuk Siku Empat Dasar Hiperbola
• Tentukan titik puncak A dan A • Tentukan titik sumbu minor B dan B • Gambarkan siku empat dasar yang 1
2
1
2
melalui titik-titik tersebut seperti gambar berikut : A2
B2 A2
A1
B1
B2
B1 A1
Hiperbola horisontal
Hiperbola vertikal
HIPERBOLA HORISONTAL y = (b/a) x y = - (b/a) x B2 F1
A1
A2
B1
x = -a/e
x = a/e
F2
HIPERBOLA VERTIKAL
F1
y = - (a/b) x
y = (a/b) x A2
y = a/e
B1
B2 A1
y = -a/e
F2
Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1) Hiperbola x2 y 2 2 2 =1 a b y 2 x2 2 2 =1 a b
Persamaan Garis Singgung xx1 yy 1 2 2 =1 a b yy 1 xx1 2 2 =1 a b
Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola
I.5 TRANSLASI SUMBU Penyederhanaan Persamaan Dengan Metode Translasi
Hiperbola
Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan konstanta di ruas kanan. Keluarkan koefisien x2 dan y2 sehingga menjadi k1(x2+ax) dan k2(y2+by). Lengkapi kuadrat x2+ax dan y2+by dengan menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y. Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di ruas kanan menjadi 1. Translasikan u = x + a dan v = y + b.
Contoh : 4x2 – 9y2 – 16x + 72y – 164 = 0 4x2 – 16x– 9y2 + 72y = 164 4(x2 – 4x) – 9(y2 – 8y) = 164 4(x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 8y + 16) = 164 + 16 – 144 4(x-2)2 – 9(y-4)2 = 36 (x-2)2 (y-4)2 = 1 9 4 Translasi u = x – 2 dan v = y – 4 u2 9
v2 4
=1 merupakan persamaan hiperbola horisontal
I.6 ROTASI SUMBU Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi
Gunakan substitusi x = u cos θ – v sin θ y = u sin θ + v cos θ dengan
A-C cot 2θ = B
Contoh : 3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 A= 3, B = 10, C = 3, D = 8 Cot 2θ = (A-C)/B (3-3)/10 = 0 Tg 2θ = ∞ 2θ = 900 θ = 450 Sin θ = sin 450 = ½√2 Cos θ = cos 450 = ½√2
x = u cos θ – v sin θ x = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v) y = u sin θ + v cos θ y = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v) 3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 ↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0
↔ 3[½(u-v)2] + 10 [½(u2-v2)]+3[½(u+v)2]+8 = 0 ↔ 3/2 (u-v)2 + 3/2 (u+v)2 + 5 (u2 – v2) + 8 = 0 ↔ 3/2u2 – 3uv + 3/2v2 + 3/2u2 + 3uv + 3/2v2 + 5u2 – 5v2 +8=0 ↔ 8u2 – 2v2 = -8 ↔ v2/4 – u2/1 = 1 (hiperbola vertikal)
I.7 SISTEM KOORDINAT KUTUB • Titik Dalam Koordinat Kutub (r,θ)
(-r,-θ) θ
(-r,θ)
(r,-θ)
Keempat titik tersebut adalah pasangan koordinat kutub.
• Menentukan Persamaan Cartesian dari Grafik Persamaan Kutub Gunakan substitusi persamaan-persamaan :
x 2 + y 2 = r2 x = r cos θ y = r sin θ • Menggambarkan Grafik Persamaan Kutub Gantikan persamaan Cartesian
kutub
ke
persamaan
I.8
GRAFIK PERSAMAAN KUTUB Persamaan Kutub
Persamaan Cartesian
Garis
r = d / cos θ r = d / sin θ
x=d y=d
Lingkaran
r = 2a cos θ
Pusat (a,0), jari-jari = a (x-a)2 + y2 = a2 Pusat (0,a) , jari-jari = a x2 + (y-a)2 = a2
r = 2a sin θ
Konik
r = ed / (1 + e cos θ) r = ed / (1 + e sin θ)
d memotong sumbu x d memotong sumbu y 0