Jawaban Kalkulus Lanjut [PDF]

Citation preview

LATIHAN 1.1 Untuk soal 1 sampai dengan 10, tentukan persamaan koordinat dan gambar kurva dari setiap fungsi fektor yang diberikan. 1. F(t) = (4 sin t)i + (4 cos t)j, t ∈ R Penyelesaian:  Persamaan koordinat x = 4 sin t y = 4 cos t x2 + y2 = (4 sin t)2 + (4 cos t)2 = 16 sin2t + 16 cos2t = 16 (sin2t + cos2t) = 16 Jadi persamaan koordinatnya : x2 + y2 = 16 



Gambar kurva dari persamaan koordinat x2 + y2 = 16 yaitu dengan pusat (0,0) dengan jari-jari 4. Untuk menentukan arah lintasan gambar tersebut, maka kita y cukup R . Misalkan D mengambil sebuah domain D, ∋ D ⊂ (0,4 = [0,2 π ] , maka



(4,0



(-



x



(0,-



untuk t = 0 F(0) = (4 sin 0)i + (4 cos 0)j = (4 . 0)i + (4 . 1)j =0i+4j = (0, 4) π untuk t = 2 F



Untuk t = π adalah F( π ) = (4 sin π )i + (4 cos π )j = (4 . 0)i + (4 . (-1))j =0i–4j = (0, -4) 3π Untuk t = 2 F



( 32π )



= (4 sin



3π 2 )i + (4 cos



( π2 )



= (4 sin



π 2 )i + (4 cos



π 2 )j



= (4 . 1)i + (4 . 0)j =4i+0j = (4, 0) jadi, gambar kurva dan arahnya seperti gambar di bawah ini. y (0,4



(4,0



(4,0



3π 2 )j



= (4 . (-1))i + (4 . 0)j (0,-



x



= -4 i + 0 j = (-4, 0) Untuk t = 2 π karena t ∈ R , maka kurva F(t) akan terus F( 2 π ) = (4 sin 2 π )i + (4 cos 2 π )j bergerak pada lintasan yang sama secara = (4 . 0)i + (4 . 1)j berulang tanpa berhenti, dengan arah searah =0i+4j arah jarum jam. = (0, 4) 2. F(t) = (2 cos t)i - (2 sin t)j, t ∈[0,2 π ] Penyelesaian:  Persamaan koordinat x = 2 cos t y = -(2 sin t) x2 + y2 = (2 cos t)2 + -(2 sin t))2 = 4 cos2t + 4 sin2t = 4 (sin2t + cos2t) =4 Jadi persamaan koordinatnya : x2 + y2 = 4 



Gambar kurva dari persamaan koordinat x2 + y2 = 16 yaitu dengan pusat (0,0) dengan jari-jari 2.



y (0,2 (-



(2,0 (0,-



x



untuk t = 0 F(0) = (2 cos 0)i - (2 sin 0)j = (2 . 1)i + (2 . 0)j =2i+0j = (2, 0) π untuk t = 2 F



Untuk t = π adalah F( π ) = (2 cos π )i - (2 sin π )j = (2 . (-1))i + (2 . 0)j = -2 i – 0 j = (-2, 0)



( π2 )



= (2 cos



π 2 )i - (2 sin



π 2 )j



= (2 . 0)i - (2 .1)j =0i-2j = (0. -2) jadi, gambar kurva dan arahnya seperti gambar di bawah ini. y (0,2



(2,0



(2,0



x



Untuk t = F



( 32π )



3π 2 = (2 cos



3π 2 )i - (2 sin



3π 2 )j



= (2 .0)i - (2 . (-1))j = 0 i – (-2) j =0i+2j = (0, 2) Untuk t = 2 π berbentuk F( 2 π ) = (2 cos 2 π )i + (2 sin 2 π )j jarum jam. = (2 . 1)i + (2 . 0)j =2i+0j = (2, 0)



(0,-



kurva F(t) melalui lintasan yang lingkaran dengan searah dengan



3. F(t) = (t + 2)i + (t2 – 2t)j, t ∈ R Penyelesaian Dari persamaan F(t) diperoleh: X=t+2 t = x – 2 … (1) y = t2 – 2t … (2) substitusi persamaan 1 ke persamaan 2 y = t2 – 2t y = (x – 2)2 – 2(x – 2) = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = x2 – 6x + 8 Karena t ∈ R , maka untuk t + 2 ∈ R , sehingga x ∈ R Jadi fungsi vektor F(t) dapat ditampilkan sebagai: y = x2 – 6x + 8, x ∈ R Gambar grafik y = x2 – 6x + 8, x ∈R menggambar grafik: titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0 x2 – 6x + 8 = 0 (x – 4)(x – 2) = 0 x=4 ∨ x=2 (4, 0) ∨ (2, 0) Titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0 y = x2 – 6x + 8 y = 02 – 6(0) + 8 y=8 (0, 8)



Titik puncak =



( −b2 a ,− 4Da ) −b b 2−4 ac ,− 2a 4a



=



( ) (−6) −4.1.8 ,− ( −(−6) ) 2 4



=



(3,− 36−32 4 )



=



2



= (3, -1) 4. F(t) = (t + 1)i + (t3 + 1)j, t ∈ R Penyelesaian: Dari fungsi vektor F(t) = (t + 1)i + (t3 + 1)j, t ∈ R , diperoleh x=t+1 x – 1 = t …(1) y = t3 + 1 …(2) substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) y = t3 + 1 = (x – 1)3 + 1 = x3 – 3x2 + 3x – 1 + 1 = x3 – 3x2 + 3x



5. F(t) = (4 sin t)i + (3 cos t)j, t ∈[0,2 π ] Penyelesaian : Dari fungsi vektor F(t) = (4 sin t)i + (3 cos t)j, diperoleh: x = 4 sin t y = 3 cost untuk x = 4 sint x2 = 16 sin2t (kedua ruas dikuadratkan) 9x2 = 144 sin2t (kedua ruas dikali 9) untuk y = 3 cost y2 = 9 cos2t (kedua ruas dikuadratkan) 2 2 16y = 144 cos t (kedua ruas dikali 16) Sehingga, 9x2 +16y2 = 144 sin2t + 144 cos2t 9x2 +16y2 = 144 (sin2t + cos2t ) 9x2 +16y2 = 144 9 x 2 16 y 2 + =1 144 144 x2 y2 + =1 16 9



(kedua ruas dikali



1 144 )



2



jadi, persamaan koordinatnya adalah



2



x y + =1 16 9



Gambar kurva dari persamaan koordinat y



x2 y2 + =1 dapat diketahui bahwa persamaan terbut merupakan 16 9



persamaan elips dengan a = 4 dan b = 3 Untuk menentukan arah lintasan gambar tersebut, maka untuk t = 0



(0,3 (4,0



(-



x



(0,-



F(0) = (4 sin 0)i + (3 cos 0)j = (4 . 0)i + (3 . 1)j =0i+3j = (0, 3) π untuk t = 2 F



( π2 )



= (4 sin



π 2 )i + (3 cos



π 2 )j



= (4 . 1)i + (3 . 0)j =4i+0j = (4, 0)



Untuk t = π adalah F( π ) = (4 sin π )i + (3 cos π )j = (4 . 0)i + (3 . (-1))j =0i–3j = (0, -3) 3π Untuk t = 2 F



( 32π )



= (4 sin



3π 2 )i + (3 cos



jadi, gambar kurva dan arahnya seperti gambar di bawah ini. y (0,3 (4,0



(4,0



3π 2 )j



(0,-



x



= (4 . (-1))i + (3 . 0)j = -4 i + 0 j = (-4, 0) Untuk t = 2 π F( 2 π ) = (4 sin 2 π )i + (3 cos 2 π )j kurva bergerak pada lintasan tersebut = (4 . 0)i + (3 . 1)j dengan arah searah arah jarum jam. =0i+3j



= (0, 3) 6. F(t) = (4 cos t)i + (3 sin t)j, t ∈[0,2 π ] Penyelesaian : Dari fungsi vektor F(t) = (4 sin t)i + (3 cos t)j, diperoleh: x = 4 cos t y = 3 sin t untuk x = 4 sint x2 = 16 cos2t



(kedua ruas dikuadratkan)



9y2 = 144 sin2t



(kedua ruas dikali 9)



untuk y = 3 cost y2 = 9 sin2t



(kedua ruas dikuadratkan)



16y2 = 144 sin2t



(kedua ruas dikali 16)



Sehingga, 9x2 +16y2 = 144 cos2t + 144 sin2t 9x2 +16y2 = 144 (sin2t + cos2t ) 9x2 +16y2 = 144 2



(kedua ruas dikali



1 144 )



2



9 x 16 y + =1 144 144 x2 y2 + =1 16 9 jadi, persamaan koordinatnya adalah



x2 y2 + =1 16 9



Gambar kurva dari persamaan koordinat y



x2 y2 + =1 dapat diketahui bahwa persamaan terbut 16 9



merupakan persamaan elips dengan a = 4 dan b = 3 Untuk menentukan arah lintasan gambar tersebut, maka (0,3 (4,0



(-



x



untuk t = 0 F(0) = (4 cos 0)i + (3 sin 0)j = (4 . 1)i + (3 . 0)j =4i+0j



(0,-



= (4, 0) untuk t =



F



( π2 )



π 2 = (4 cos



π 2 )i + (3 sin



π 2 )j



= (4 . 0)i + (3 . 1)j =0i+3j = (0, 3)



Untuk t = π adalah F( π ) = (4 cos π )i + (3 sin π )j = (4 . (-1))i + (3 . (0))j = -4 i + 0 j = (-4, 0) 3π Untuk t = 2 F



( 32π )



= (4 cos



3π 2 )i + (3 sin



jadi, gambar kurva dan arahnya seperti gambar di bawah ini. y (0,3 (4,0



(4,0



3π 2 )j



(0,-



x



= (4 .0)i + (3 . (-1))j =0i–3j = (0, -3) Untuk t = 2 π F( 2 π ) = (4 cos 2 π )i + (3 sin 2 π )j kurva bergerak pada lintasan tersebut = (4 . 1)i + (3 . 0)j dengan arah berlawanan arah jarum jam. =4i+0j = (4, 0) 7. F(t) = (2 cosh t)i + (sinh t)j, t ¿ 0 Dari fungsi vektor F(t) = (2 cosh t)i + (sinh t)j, diperoleh  x = 2 cosh t x2 = 4 cosh2t  y = sinh t



y2 = sinh2t



(kedua ruas dikali 4)



4y2 = 4 sinh2t  x2 – 4y2 = 4 cosh2t - 4 sinh2t x2 – 4y2 = 4 (cosh2t - sinh2t) x2 – 4y2 = 4 jadi persamaan koordinatnya adalah x2 – 4y2 = 4 Gambar kurva titik potong terhadap sumbu x, y = 0 x2 – 4y2 = 4 x2 – 4(0)2 = 4 x2 = 4 x = ± √4 x = 2 ∨ x = -2 titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0 x2 – 4y2 = 4 (0)2 – 4y2 = 4 -4y2 = 4 y2 = -1 karena kita tidak dapat menentukan nilai y, maka kita dapat menyimpulkan bahwa kurva tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu y. Dengan mengetahui bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu y, maka kita pilih nilai x yang lebih besar dari 4 dan kurang dari 4 untuk membantu sketsa grafik tersebut. misal kita ambil 5 dan -5 x2 – 4y2 = 4



x2 – 4y2 = 4



52 – 4y2 = 4



(-5)2 – 4y2 = 4



-4y2 = 4 – 25



-4y2 = 4 – 25



-4y2 = -21



-4y2 = -21



y2 =



21 4



y2 =



21 4



y = ± 5,25



y = ± 5,25



(5, 5,25) (5, -5,25)



(-5, 5,25) (-5, -5,25)



(5,5.25)



(5,5.25)



(2,0



(-



(5,5.25)



(-5,5.25)θ



8. F(t) = (2 + t cos )i + (-3 + t sin θ )j, t ∈ R , θ tetap Penyelesaian: Dari persamaan vektor F(t) = (2 + t cos θ )i + (-3 + t sin θ )j, diperoleh x = 2 + t cos θ x−2 cos θ



t=



y = (-3 + t sin θ ) x−2 y = (-3 + cos θ sin θ ) y = (-3 + (x-2) tan θ ) y = (-3 + x tan θ – 2 tan θ ) Karena t ∈ R 2 + t cos θ x ∈R



∈R



jadi persamaan koordinatnya y = (-3 + x tan θ – 2 tan θ ), x ∈ R



9. F(t) = (-1 + a cos t)i + (6 + a sin t)j, t ∈[0,2 π ] , a tetap Penyelesaian: Misalkan x = (-1 + a cos t) y = (6 + a sin t) jadi, x = (-1 + a cos t)



y = (6 + a sin t)



x + 1 = a cos t



y – 6 = a sin t



(x + 1)2 = a2 cos2 t



(y – 6)2 = a2 sin2 t



(x + 1)2 + (y – 6)2 = a2 cos2 t + a2 sin2 t (x + 1)2 + (y – 6)2 = a2 (cos2 t + sin2 t) (x + 1)2 + (y – 6)2 = a2 Karena -1 ≤ (cos t, sin t) < 1, maka x = (-1 + a cos t) , t ∈[0,2 π ] x ∈ [-1-a, -1+a] y = (6 + a sin t) y ∈ [6-a, 6+a] jadi persamaan koordinatnya (x + 1)2 + (y – 6)2 = a2 , -a–1 ≤ x < a–1 gambar kurva karena persamaan koordinatnya (x + 1)2 + (y – 6)2 = a2 maka kurva tersebut berbentuk lingkaran dengan pusat (-1, 6) dengan jari-jari a. untuk arah kurva untuk t = 0 F(0) = (-1 + a cos 0)i + (6 + a sin 0)j = (-1 + a .1)i + (6 + a . 0)j = (-1 + a)i + 6 j = ((a – 1), 6) untuk t =



π 2



π F( 2 ) = (-1 + a cos



π 2 )i + (6 + a sin



π 2 )j



= (-1 + a .0)i + (6 + a . 1)j = -1 i + (6 + a)j = (-1, (6 + a)) untuk t = π F( π ) = (-1 + a cos π )i + (6 + a sin π )j = (-1 + a .(-1))i + (6 + a . 0)j = (-1 – a)i + 6 j = ((-1 – a), 6)



untuk t =



F(



3π 2



3π 2 ) = (-1 + a cos



3π 3π )i + (6 + a sin 2 2 )j



= (-1 + a .0)i + (6 + a . (-1))j = -1 i + (6 - a)j = (-1, (6 - a)) untuk t = 2 π F( 2 π ) = (-1 + a cos 2 π )i + (6 + a sin 2 π )j = (-1 + a .1)i + (6 + a . 0)j = (-1 + a)i + 6 j = ((-1 + a), 6)



(-1, (a+6))



y



a ((-a-1), 6)



(-1, 6)



(1,6)



(-1,(6a))



((a-1), 6)



x



−1 1 10. F(t) = (4 cos 2t)i + (3 sin 2t)j, t ∈[ 2 π , 2 π ] Penyelesaian Dari persamaan vektor F(t) = (4 cos 2t)i + (3 sin 2t)j, diperoleh x = 4 cos2t x 4



= cos2t



y = 3 sin2t y=3 y 3



√ 1−cos 2 2 t =



√



x 2 1−( ) 4 2



y ( 3 )2 = 1 x2 16



+



x ( ) 4



y2 9



=1



Jadi persamaan koordinatnya adalah



x2 16



+



y2 9



=1



Gambar kurva 2



dari persamaan koordinat



2



x y + =1 dapat diketahui bahwa persamaan terbut 16 9



y merupakan persamaan elips dengan a = 4 dan b = 3



Untuk menentukan arah lintasan gambar tersebut, maka (0,3



untuk t = -



(4,0



(-



x



π 2



F(0) = (4 cos 2(-



π 2 )i + (3 sin 2(-



π 2 ))j = (4 . (-1))i + (3 . 0)j = -4 i + 0 j (0,-



untuk t = F



( −π4 )



= (-4, 0)



π 4 = (4 cos 2(-



π 4 ))i + (3 sin2(-



= (4 . 0)i + (3 . (-1))j =0i–3j = (0, -3)



π 4 ))j



Untuk t = 0 adalah F( 0 ) = (4 cos 2.0 )i + (3 sin 2.0 )j = (4 . 1)i + (3 . 0)j =4i+0j = (4, 0) π Untuk t = 4 F



( π4 )



= (4 cos2



π 4 )i + (3 sin2



π 4 )j



= (4 .0)i + (3 . 1)j =0i+3j = (0, 3)



jadi, gambar kurva dan arahnya seperti gambar di bawah ini. y (0,3 (4,0



(-



x



(0,-



π 2



Untuk t =



π π π F( 2 ) = (4 cos 2 2 )i + (3 sin 2 2 )j tersebut = (4 . (-1))i + (3 . 0)j = -4 i + 0 j = (-4, 0)



kurva bergerak pada lintasan dengan arah berlawanan arah jarum jam.



11. Tentukan suatu fungsi vector di ruang untuk garis lurus yang melalui dua titik berlainan. Penyelesaian : z Q(x2, y2, z2) P(x1, y1, z1)



y O



x



R(x3, y3, z3)



⃗¿=⃗ OP + ⃗ PR ⃗ PQ dan ⃗ PR kolinear maka ⃗ PR = t ⃗ PQ



Karena



⃗ ⃗ ⃗ Sehingga : ¿=OP +t PQ



[] [ ] [ ] x y z



[] x y z



x1 y1 z1



=



x 2−x1 y 2− y 1 z 2−z1



+t



x 2−x x 1 +t(¿¿ 1) y 2− y y 1+t (¿ ¿ 1 ) = z 2−z ¿ ¿ ¿ z1 +t (¿¿ 1) ¿



Jika [ x 2−x 1 , y 2− y 1 ,



z 2−z 1 ] = [a, b, c] maka



F(t) = ( x 1+t . a )i + ( y 1+ t . b )j + ( z 1+t . c ¿ k , t ∈ R 12. Tentukan suatu fungsi vector di ruang untuk lingkaran berpusat di titik (0,0,3), berjarijari 3 dan terletak pada bidang z = 3. Kemudian gambar kurvanya. Perhatikan bahwa z



y



Q (0,0,3) t x



(0,3,3)



Q



y O



x



x cos t = |PQ| x = |PQ| cost = 3 cost y = |XQ| y sin t = |PQ| y = |PQ| sint = 3 sint z = 3 (konstanta karena terletak di bidang x=3) ∈R



jadi suatu fungsi vector untuk kurva ruang ini adalah (3 cost)I + (3 sint)j + 3k, t



13. Tentukan suatu fungsi vector di ruang untuk elips berpusat di titik (0,0,0), terletak 1 pada bidang y= 3 √ 3 x , sumbu panjang 4 satuan pada bidang XOY dan sumbu pendek 3 satuan berimpit dengan sumbu Z, kemudian gambarkan kurvanya. Jawab : y=



1 √3 x 3



tan θ=



θ= 



1 √3 3



π 6 Untuk bidang XOY π 6 π 6 sin ¿ j ¿ cos ¿ i+¿ v =¿



m=



1 √3 3



14. Tentukan suatu fungsi vector di ruang untuk heliks lingkaran yang terletak pada silinder x2+y2 = 4, melalui titik (2,0,0) dan ( √ 2, √ 2 , √2 ¿ kemudian gambarkan kurva ini dan arah gerakannya. Jawab : Melalui titik (2,0,0) dan titik ( lingkaran



√ 2, √ 2 , √ 2 ¿ persamaan yang melalui silinder beralas



F(t) = (2 cos t)i + (2 sin t)j +ctk 



Titik (2,0,0) dicaai ketika t=0 F(t) = (2 cos 0)i + (2 cos 0)j +c (0)k =2i = (2,0,0)







π √ 2, √ 2 , √2 ¿ dicaai ketika t= 4



Titik (



π 4 2 sin ¿ j+c . ¿ F



π 4



( π4 )=(2 cos π4 )i+¿ ¿ √ 2i+ √ 2 j+



π .c k 4



√ 2, √ 2 , ¿¿



π.c 4 )



Kemudian karena merupakan titik yang sama, maka perhatikan kesamaan vector posisi



√2 √2 2 √ 2 = π√.c √2 4



( )( Maka



)



π .c =√ 2 4 π . c=4 √ 2 c=



4 √2 π



Sehingga persamaan vektornya adalah =



t t 2 cos ¿ j+¿ ¿ 2 cos ¿ i+ ¿ F ( t )=¿



15. Tentukan fungsi vector di ruang untuk heliks eliptik yang terletak pada silinder x2+4y2 = 4 melalui titik (2,0,0) dan (0,1,2) Jawab : x2+4y2 = 4 x2 + y=1 4 x2 y2 + =1 22 12 Melalui titik (2,0,0) dan titik (0,1,2) persamaan kurvanya adalah t ( 2 cos ¿ i+ sin t ) j+ctk F ( t )=¿ 



Titik (2,0,0) dicaai ketika t=0 0 2 cos ¿ i+ ( sin 0 ) j+ c 0 k F ( t ) =¿ ¿ 2i= ( 2,0,0 )







π Titik (0,1,2) dicaai ketika t= 2 π 2



( π2 ) j+ c π2 k π F ( )=¿ 2



2 cos ¿ i+ sin



¿ j.



π .c .k 2



¿(0,1,



π .c ) 2



Perhatikan kesamaan matriks (0,1,2) = (0,1,



Maka 2=



π .c ¿ 2



π .c 2



4 c= π sehingga persamaan kurvanya t 2 cos ¿ i+ ( sin t ) j+



4t k π



F ( t )=¿



16. Selidiki kesamaan fungsi vector F(t) = et i + e-t j + (2 cosh)k, 0 ≤ t