Jawapan Bab 7 [PDF]

Citation preview

Module &



MORE Matematik Tambahan JAWAPAN Bab 7



B



BA



Geometri Koordinat



7



Coordinate Geometry



Analisis Soalan SPM



Pembahagi Tembereng Garis



7.1



Divisor of a Line Segment



2018



3 3



3 3



Point that divides internally a line segment in the ratio of m : n. B(x2, y2)



P=1



P(x, y)



2



gi S



nx1 + mx2 ny1 + my2  ,  m+n m+n



dn .B hd .



Titik yang membahagi dalam tembereng garis dengan nisbah m : n.



m



2017



1 2



NOTA IMBASAN



n



Kertas



A(x1, y1)



NOTA



1. Cari koordinat titik P yang membahagikan garis lurus AB mengikut nisbah AP : PB. Contoh



Penyelesaian: B(7, 17)



2



1 Lukis rajah bagi garis APB. Draw diagram for line APB.



n



3



Pe l



A(–3, 2), B(7, 17); AP : PB = 2 : 3



an



Find the coordinates of point P which divides the straight line AB in the ratio AP : PB.



2 Selesaikan menggunakan rumus. Solve using formula.



P = 1 2(7) + 3(–3) , 2(17) + 3(2) 2+3 2+3 = (1, 8)



2



ta



P



3



bi



A(–3, 2)



(b) A(5, 1), B(–1, 10); AP : PB = 2 : 1



Pe n



er



(a) A(–1, 5), B(9, 9); AP : PB = 3 : 2



3



2



B(–1, 10)



B(9, 9)



1 P



P



A(–1, 5)



2



A(5, 1)



P = 1 3(9) + 2(–1) , 3(9) + 2(5) 2 2+3 2+3 37 = 15, 5 2



P = 1 2(–1) + 1(5) , 2(10) + 1(1) 2 2+1 2+1 = (1, 7)



123



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



2. Cari koordinat titik R yang membahagikan garis lurus PQ mengikut keadaan yang diberi. Find the coordinates of point R which divides the straight line PQ in the given condition.



Contoh



P(9, 6), Q(3, –4); PR = 2RQ



P(0, –6), Q(9, 0); 2PR = RQ Penyelesaian: 2PR = RQ PR = 1 RQ 2



PR = 2RQ PR = 2 RQ 1



1 Tentukan nisbah menggunakan pecahan. Determine ratio using function.



dn .B hd .



2 P(9, 6)



2 Q(9, 0)



1



R



1



Q(3, –4)



R



R = 1 2(3) + 1(9) , 2(–4) + 1(6) 2 2+1 2+1 2 = 15, – 2 3



P(0, –6)



gi S



R = 1 2(0) + 1(9) , 2(–6) + 1(0) 2 2+1 2+1 = (3, –4)



3. Selesaikan setiap yang berikut. Solve each of the following.



an



4



Contoh



Pe l



Titik-titik P(h, 2h), Q(k, p) dan R(3k, 2p) adalah segaris. Q membahagi garis lurus PR dalam nisbah 3  : 2. Ungkapkan k dalam sebutan p.



Points P(h, 2h), Q(k, p) dan R(3k, 2p) lie on a straight line. Q divides the straight line PR in the ratio 3 : 2. Express k in terms of p. 2



n



Points A(2k, k), B(p, t) and C(2p, 3t) lie on a straight line. B divides the straight line AC in the ratio 2 : 3. Express p in terms of t.



Penyelesaian:



R(3k, 2p) 3



ta



1 Lukis rajah dan masukkan nilai ke dalam rumus. Draw diagram and insert values into formula.



3



Q(k, p)



bi



C(2p, 3t) P(h, 2h)



2



3(3k) + 2h , 3(2p) + 2(2h) = (k, p) 2 3+2 3+2 6p + 4h = p 5 h = –p 4 Gantikan nilai h = – p , 4 9k + 2h = k 5 9k + 21– p 2 4 = k 5 9k – p = 5k 2 k = p 8



1



er



B(p, t)



A(2k, k)



3(2k) + 2(2p) , 3(k) + 2(3t) = (p, t) 2 2+3 2+3 2 Samakan koordinat. 3(k) + 2(3t) = t Compare the coordinate. 2+3 3k + 6t = 5t k = – t 3 Gantikan nilai k = – t ke dalam 6k + 4p = p 3 into 5 Replace value of



1



Pe n



BAB



Titik-titik A(2k, k), B(p, t) dan C(2p, 3t) berada pada suatu garis lurus. B membahagi garis lurus AC dalam nisbah 2 : 3. Ungkapkan p dalam sebutan t.



7



3



61– t 2 + 4p = 5p   3 p = –2t



3 Hapuskan sebutan k. Eliminate k term.



124



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



4. Selesaikan setiap yang berikut. Solve each of the following.



5



Contoh



Titik L(3, 6) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik J(–5, 2) dan titik K(5, 7) dengan nisbah m : n. Cari nisbah m : n. Point L(3, 6) divides a straight line joining point J(–5, 2) and point K(5, 7) in the ratio m : n. Find the ratio m : n. n



2



5m – 5n = 3 Compare the x-coordinate. m+n 5m – 5n = 3(m + n) 5m – 5n = 3m + 3n 5m – 3m = 3n + 5n 2m = 8n m = 8 = 4 n 2 1 m : n = 4 : 1



m



dn .B hd .



Penyelesaian: (3, 6) = 1 m(5) + n(–5) , m(7) + n(2) m+n m+n 5m – 5n 7m + 2n (3, 6) = 1 , m+n m+n 2



K(5, 7)



L(3, 6)



Samakan koordinat-x.



J(–5, 2)



Kaedah Alternatif



Beza antara koordinat-x bagi titik J dan L kepada  beza antara koordinat-x bagi titik L dan K. Different of x-coordinate between J and L to different of x-coordinate between L and K.



gi S



m : n = 3 – (–5) : 5 – 3 =8:2 =4:1 atau/ or m : n = 6 – 2 : 7 – 6 =4:1



an



Beza antara koordinat-y bagi titik J dan L kepada  beza antara koordinat-y bagi titik L dan K. Different of y-coordinate between J and L to different of y-coordinate between L and K.



H(10, 11)



Q(–9, 9)



bi



m



7



n



ta



n



n



Point K(1, 5) divides a straight line joining point Point S(k, 6) divides a straight line joining point G(–5, 1) and point H(10, 11) in the ratio m : n. Find the P(–4, –6) and point Q(–9, 9) in the ratio m : n, find ratio m : n. (i) m : n, (ii) nilai bagi k. value of k.



K(1, 5)



S(k, 6)



m



er



G(–5, 1)



Pe n



P(–4, –6)



m(10) + n(–5) , m(11) + n(1) = (1, 5) 2 m+n m+n 10m – 5n = 1 m+n 10m – 5n = m + n 9m = 6n m = 6 n 9 = 2 3 m : n = 2 : 3







1



(i) m : n = PSy : QSy = 6 – (–6) : 9 – 6 = 12 : 3 m : n = 4 : 1 (ii) 4(–9) + 1(–4) = k 4+1 –40 = k 5 k = –8



125



BAB



Pe l



(a) Titik K(1, 5) membahagikan garis lurus yang (b) Titik S(k, 6) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik G(–5, 1) dan titik H(10, 11) menyambungkan titik-titik P(–4, –6) dan Q(–9, 9) dengan nisbah m : n. Cari nisbah m : n. dalam nisbah m : n, cari



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



7.2



Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang Parallel Lines and Perpendicular Lines



NOTA IMBASAN 1.



2.



m1



m1



dn .B hd .



m2



m2



Jika dua garis lurus itu selari, maka kecerunan kedua-dua garis itu adalah sama, iaitu m1 = m2 , dan sebaliknya.



Jika dua garis lurus itu berserenjang, maka m1m2 = –1 dan sebaliknya.



If two straight lines are parallel, then their gradients are equal, that is, m1 = m2 , and vice versa.



If two straight lines are perpendicular, then m1m2 = –1 and vice versa.



gi S



5. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari atau tidak. Determine whether each of the following pairs of straight lines are parallel.



Contoh



(a)  y  = 3x + 4  , 3x + y = 2



 y  = 2x + 7,   y – 2x = 10



an



m1 = 3



Pe l



Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.







y = –3x + 2 m2 = –3



m1 ≠ m2, dua garis lurus itu tidak selari.



m1 = m2, dua garis lurus itu adalah selari.







the two straight line are parallel.



ta



n



1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line.



bi



2 Bandingkan kecerunan/ Compare the gradient m1 = m2 → selari/ parallel



2y = 10x – 3



(c) 3y = x – 8   ,



y = 5x + 8



y = 5x – 3 2 m2 = 5



  y = 1 x – 8 3 3 1 m1 = 3 m1 = m2, dua garis lurus itu adalah selari.



er



(b) y – 5x = 8   ,



Pe n



BAB



Penyelesaian: m1 = 2 y = 2x + 10 m2 = 2



7



3



m1 = 5



m1 = m2, dua garis lurus itu adalah selari.



126



y = 1 x + 4 3 m2 = 1 3



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



6. Diberi setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari. Cari nilai k.



Given that each of the following pairs of straight lines are parallel. Find the value of k.



3



Contoh



2x + ky = 5 ky = –2x + 5 y = – 2 x + 5 k k 2 m1 = – k Dua garis adalah selari, 



, Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



3y + x – 8 = 0 3y = –x + 8 y = – 1 x + 8 3 3 1 m2 = – 3



dn .B hd .



 



The two straight lines are parallel,







m1 = m2 – 2 = – 1 k 3 k = 6



1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line.



2 Bandingkan kecerunan kedua-dua garisan adalah selari. Maka, m1 = m2­­. Compare the gradient. Both line are parallel. Thus, m1 = m2.



gi S



(b) kx + 4y = 1    , 5y – x = 8 4y = –kx + 1 5y = x + 8 k 1 y = – x + y = 1 x + 8 4 4 5 5 k 1 m2 = m1 = – 4 5 Dua garis adalah selari, m1 = m2 – k = 1 4 5 k = – 4 5



7. Cari persamaan garis lurus yang selari dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P.



n



Find the equation of the straight line that is parallel to the given straight line and passes through point P.



7



ta



Contoh



4



Persamaan garis lurus ialah/ Equation of straight line is y – 8 = –2[x – (–3)] y – 8 = –2x – 6 y = –2x + 2



Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



Pe n



er



bi



2x + y = 6; P(–3, 8) Penyelesaian: 2x + y = 6 y = –2x + 6 Kecerunan/  Gradient = –2



BAB



Pe l



an



(a) 3x + ky = 2   , 2y + x = 7 ky = –3x + 2 2y = –x + 7 3 2 y = – x + y = – 1 x + 7 k k 2 2 3 1 m2 = – m1 = – k 2 Dua garis adalah selari, m1 = m2 – 3 = – 1 k 2 k = 6



(a) 4x – 2y – 9 = 0; P(–2, 7)



(b) 6x – 4y + 5 = 0; P(6, –3)



4x – 2y – 9 = 0 2y = 4x – 9 y = 2x – 9 2 Kecerunan = 2 Persamaan garis lurus ialah y – 7 = 2[x – (–2)] y – 7 = 2x + 4 y = 2x + 11







4y = 6x + 5 y = 3 x + 5 2 4 3 Kecerunan = 2 Persamaan garis lurus ialah y – (–3) = 3 (x – 6) 2 y + 3 = 3 x – 9 2 y = 3 x – 12 2 127



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



8. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah berserenjang atau tidak. Determine whether each of the following pairs of straight lines are perpendicular.



3



Contoh



Both straight line are perpendicular.



m1m2 = –61 1 2 6 = –1



1x–3 3 1 3



an











Kedua-dua garis lurus itu tidak berserenjang.



Kedua-dua garis lurus itu adalah berserenjang.



n



BAB



Pe l







2 Jika serenjang, maka m1m2 = –1. If perpendicular, thus m1m2 = –1.



gi S



6y = x – 1 y = 1 x – 1 6 6 1 m2 = 6







1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line.



(b) y – 3x = 8 , 3y = x – 9   y = 3x + 8 y = m1 = 3 m2 = m1m2 = 31 1 2 3 =1



(a) y + 6x – 2 = 0 , 6y – x + 1 = 0 y = –6x + 2 m1 = –6



Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



dn .B hd .



y + 4x – 3 = 0      Tulis dalam bentuk 4y – x + 5 = 0 y = –4x + 3 4y = x–5 kecerunan. Write in gradient y = 1 x – 5 m1 = –4 form. 4 4 1 m2 = 4 1 m1m2 = –41 2 4 = –1 Kedua-dua garis lurus itu adalah berserenjang.



ta



7



9. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P.



er



Contoh



bi



Find the equation of the straight line that is perpendicular to the given straight line and passes throught point P.



x + 3y = 10; P(–2, 7)



3 Tentukan kecerunan yang lagi satu Determine the other gradient m1m2 = –1



Pe n



Penyelesaian:



x + 3y = 10 3y = –x + 10 y = – 1 x + 10 3 3 1 m1 = – 3



4



Kedua-dua garis adalah berserenjang, Both line are perpendicular







m1m2 = –1 – 1  m2 = –1 4 Selesaikan persamaan garis lurus 3 Solve equation of straight line m2 = 3 P(–2, 7);  m = 3 Persamaan garis lurus ialah



1 Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



2 Tentukan kecerunan. Determine the gradient.



Equation of straight line is







128



y – 7 = 3[x – (–2)] y – 7 = 3x + 6 y = 3x + 13



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



(b) y – 4x = 3; P(2, 12)



2y = –x + 10 y = – 1 x + 5 2 m1 = – 1 2 Kedua-dua garis adalah berserenjang, m1m2 = –1 – 1 m2 = –1 2 m2 = 2 Persamaan garis lurus ialah y – (–5) = 2(x – 3) y + 5 = 2x – 6 y = 2x – 11



y = 4x + 3 m1 = 4 Kedua-dua garis adalah berserenjang, m1m2 = –1 4m2 = –1 m2 = – 1 4 Persamaan garis lurus ialah y – 12 = – 1 (x – 2) 4 y – 12 = – 1 x + 1 4 2 1 25 y = – x + 4 2



dn .B hd .



(a) x + 2y = 10; P(3, –5)



gi S



10. Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik yang diberi. Find the equation of the perpendicular bisector of the following straight lines which join the given points.



Contoh



A(2, 3), B(5, –6)



ta



n



Pe l



Titik tengah AB = 1 2 + 5 , 3 + (–6) 2 2 2 Midpoint AB 7 3 = 1 , – 2 2 2 Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah



3 Dapatkan persamaan garis lurus dengan kecerunan garis serenjang dan titik tengah. Get the equation of the straight line with the gradient of perpendicular line and the midpoint.



y – 1– 3 2 = 2 y + 3 = 2



1 x– 7 31 22 1x– 7 3 6 1 y = x – 8 3 3



er



bi



1 Tentukan kecerunan bagi garis lurus serenjang. Determine the gradient of the perpendicular line.



Equation of the perpendicular bisector is



Pe n



(a) E(–1, 11), F(–3, 5)



Titik tengah EF = 1 –1 + (–3)  ,  11 + 5 2 2 2 = (–2, 8)



5 – 11 –3 – (–1) = –6 –2 = 3 m1m2 = –1 3m2 = –1 m2 = – 1 3 m1 =







Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah y – 8 = – 1 [x – (–2)] 3 y – 8 = – 1 x – 2 3 3 1 y = – x + 22 3 3



129



BAB



an



2 Tentukan titik tengah. Determine the midpoint.



Penyelesaian: m1 = –6 – 3 = – 9 = –3 5–2 3 m1m2 = –1 –3m2 = –1 m2 = 1 3



4



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



(b) G(2, –3), H(5, 2) Titik tengah GH = 1 2 + 5 , –3 + 2 2 2 2 = 1 7  , – 1 2 2 2



m1 = 2 – (–3) 5–2 5 = 3 m1m2 = –1 5 m = –1 3 2 m2 = – 3 5



dn .B hd .



gi S



Luas Poligon



Areas of Polygons



1.



Pe l



NOTA IMBASAN



3. Apabila luas bagi ABC ialah sifar, ketiga-tiga titik A, B dan C adalah segaris.



y



B(x2, y2)



n



BAB



Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah y – 1– 1 2 = – 3  1x – 7 2 2 5 2 1 3 21 = – x + y+ 2 5 10 y = – 3 x + 8 5 5



an



7.3







C(x3, y3)



4.



bi



ta



7



A(x1, y1)



y R(x3, y3)



x



Q(x2, y2)



er



0



When the area of ABC is zero, the three points A, B and C are collinear.



S(x4, y4)



Luas ∆ABC



0



Pe n



Area of ∆ABC



x2 x3 x1 1 x1 2 y1 y2 y3 y1 1 = |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| 2 =



P(x1, y1)



x



Luas sisi empat PQRS Area of quadrilateral PQRS



2. Sentiasa menulis koordinat bagi bucu-bucu itu dalam arah lawan jam supaya nilai luas yang diperoleh adalah positif. Always write the coordinates of the vertices in the anticlockwise direction so that the value of area obtained is positive.



130



=



1 x1 2 y 1



x2



x3



x4



x1



y2



y3



y4



y1



=



1 | x y + x y + x y + x y ) – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4)| 2 1 2 2 3 3 4 4 1



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



11. Cari luas poligon berikut dengan bucu yang diberikan. Find the area of the following polygons with the vertices given.



3



Contoh



 



(i) (3, 1), (7, 6), (4, 8)



(ii) (2, 3), (9, 8), (–2, 11), (–5, 4)



Penyelesaian: 2 9 –2 –5 2 (ii) Luas = 1 2 3 8 11 4 3 Area 1 u(16 + 99 – 8 – 15) – (27 – 16 – 55 + 8)u = 2 = 1  u92 – (–36)u 2 = 64 unit2/ units2



dn .B hd .



3 7 4 3 (i) Luas = 1 2 1 6 8 1 Area = 1 u(18 + 56 + 4) – (7 + 24 + 24)u 2 = 1 u78 – 55u 2 = 11.5 unit2/ units2



(a) (2, 3), (8, 5), (6, 9)



(b) (–3, –2), (5, 0), (4, 8)



2 8 6 2 Luas = 1 2 3 5 9 3 1 = u(10 + 72 + 18) – (24 + 30 + 18)u 2 = 1 u100 – 72u 2 = 14 unit2



–3 5 4 –3 Luas = 1 2 –2 0 8 –2 1 = u(0 + 40 – 8) – (–10 + 0 – 24)u 2 = 1 u32 + 34u 2 = 33 unit2



gi S







n



BAB



Pe l



an







ta



7 (d) (8, 0), (5, 7), (0, –2), (4, –3)



0 1 5 3 0 Luas = 1 2 3 1 8 10 3 1 =  u(0 + 8 + 50 + 9) – (3 + 5 + 24 + 0)u 2 = 1  u67 – 32u 2 = 17.5 unit2



8 5 0 4 8 Luas = 1 2 0 7 –2 –3 0 1 = u(56 – 10 + 0 + 0) – (0 + 0 – 8 – 24)u 2 = 1 u46 – (–32)u 2 = 39 unit2



er







Pe n







bi



(c) (0, 3), (1, 1), (5, 8), (3, 10)



131



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



12. Selesaikan setiap yang berikut. Solve each of the following.



4



Contoh 2



Luas segi tiga yang berbucu A(–1, 4), B(2, 3) dan C(6, k) ialah 9.5 unit2. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k. The area of a triangle with vertices A(–1, 4), B(2, 3) and C(6, k) is 9.5 units 2. Find the possible values of k.



Penyelesaian: Luas ∆ABC = 9.5 Area



1 –1 2 4



2



6



–1



3



k



4



Given P(–4, –3), Q(2, 1) and R(11, 7), show that the points P, Q and R are collinear.



Penyelesaian:



–4 Luas ∆PQR = 1 2 –3 Area



2



11



–4



1



7



–3



= 1  u(–4 + 14 – 33) – (–6 + 11 – 28)u 2 = 1  u–23 – (–23)u 2 =0



= 9.5



u(–3 + 2k + 24) – (8 + 18 – k)u = 19 u2k + 21 – 26 + ku = 19 u3k – 5u = 19



gi S



Maka, P, Q dan R adalah segaris. Thus, P, Q and R are collinear.



Pe l



n



Find the possible values of k if the area of triangle ABC with vertices A(–6, 5), B(2, 3) and C(k, 4) is 10 units 2.



1 –6 2 5



2



k



–6



3



4



5



bi







Luas ∆ABC = 10



ta







= 10



u(–18 + 8 + 5k) – (10 + 3k – 24)u = 20 u5k – 10 – 3k + 14u = 20 |2k + 4u = 20



er



7



(a) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k jika luas segi tiga ABC yang berbucu A(–6, 5), B(2, 3) dan C(k, 4) ialah 10 unit2.



(b) Diberi P(2, 3), Q(5, 9) dan R(7, 13), tunjukkan bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris. Given P(2, 3), Q(5, 9), and R(7, 13), show that the points P, Q and R are collinear.



2 5 7 2 Luas ∆PQR = 1 2 3 9 13 3 1 =  u(18 + 65 + 21) – (15 + 63 + 26)u 2 = 1  u104 – 104u 2 =0 Maka, P, Q dan R adalah segaris.



Pe n



BAB



an



3k – 5 = 19   atau 3k – 5 = –19 3k = 24 or 3k = –14 k = 8 k = – 14 3



Diberi P(–4, –3), Q(2, 1) dan R(11, 7), tunjukkan bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris.



dn .B hd .



Contoh 1



2k + 4 = 20   atau 2k + 4 = –20 2k = 16 2k = –24 k = 8 k = –12



132



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



Persamaan Lokus



7.4



Equations of Loci



NOTA IMBASAN 2. Persamaan lokus yang melibatan jarak di antara dua titik boleh ditentukan dengan menggunakan rumus jarak.



Locus of a point P(x, y) is the path travelled by the point which moves under a given condition.



The equation of a locus involving the distance between two points can be determined by using the distance formula.



dn .B hd .



1. Lokus suatu titik P(x, y) ialah lintasan yang dilalui oleh titik itu mengikut syarat yang diberikan.



13. Cari persamaan lokus bagi satu titik P yang bergerak berdasarkan syarat berikut. Find the equation of the locus of a moving point P based on the given conditions.



Contoh 1



5



Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(3, –4) adalah sentiasa 5 unit. Point P moves such that its distance from A(3, – 4) is always 5 units.



gi S



Penyelesaian: Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y).







PA = 5



Gunakan rumus jarak./ Use distance formula.



(x – 3) + (y + 4) = 25   x2 – 6x + 9 + y2 + 8y + 16 – 25 = 0 x2 + y2 – 6x + 8y = 0 2



Kuasa duakan kedua-dua belah./ Square both sides.



n



Pe l



2



ta



Contoh 2



Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(4, 2) dan B(–5, 1) adalah dalam nisbah 2 : 1.



bi



Point P moves such that its distance from A(4, 2) and B(–5, 1) are in the ratio 2 : 1.



Penyelesaian:



er



Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y).



PA : PB = 2 : 1 PA = 2 PB 1 2PB = PA



Pe n







Persamaan lokus bagi titik P ialah/ Equation of locus of point P is



2 [x – (–5)]2  + (y – 1)2 =  (x – 4)2 +  (y – 2)2 4[(x + 5)2 + (y – 1)2] = (x – 4)2 + (y – 2)2 4(x2 + 10x + 25 + y2 – 2y + 1) = x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 4x2 + 4y2 + 40x – 8y + 104 = x2 + y2 – 8x – 4y + 20 3x2 + 3y2 + 48x – 4y + 84 = 0



133



BAB



 (x – 3)2 +  [y – (–4)]2 = 5  







an



Persamaan lokus bagi titik P ialah/ Equation of locus of point P is



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



(a) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(–2, 4) adalah sentiasa 6 unit. Point P moves such that its distance from A(–2, 4) is always 6 units.



Katakan titik P ialah (x, y). PA = 6 Persamaan lokus bagi titik P ialah



dn .B hd .



 [x – (–2)]2 + (y – 4)2 = 6 (x + 2)2 + (y – 4)2 = 36 x2 + 4x + 4 + y2 – 8y + 16 – 36 = 0 x2 + y2 + 4x – 8y – 16 = 0



(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya adalah sama dari titik C(–3, 8) dan D(9, –2). Point P moves such that it is equidistant from point C(–3, 8) and D(9, –2).



gi S



Katakan titik P ialah (x, y). PC = PD Persamaan lokus bagi titik P ialah



an



 [x – (–3)]2  + (y – 8)2 =  (x – 9)2 + [y  – (–2)]2 2 2 2 (x + 3) + (y – 8) = (x – 9) + (y + 2)2 x2 + 6x + 9 + y2 – 16y + 64 = x2 – 18x + 81 + y2 + 4y + 4 24x – 20y – 12 = 0 6x – 5y – 3 = 0



Pe l



ta



n



Katakan titik P ialah (x, y). PA = 2PB



bi



Persamaan lokus bagi P ialah √(x – 4)2 + (y – 5)2 = 2√[x – (–6)]2 + (y – 5)2 (x – 4)2 + (y – 5)2 = 4[(x + 6)2 + (y – 5)2] x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4(x2 + 12x + 36 + y2 – 10y + 25) x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4x2 + 48x + 144 + 4y2 – 40y + 100 3x2 + 3y2 + 56x – 30y + 203 = 0



er



7



Find the equation of locus of a moving point P such that its distance from point A(4, 5) is twice the distance from point B(–6, 5).



Pe n



BAB



(c) Cari persamaan bagi lokus titik bergerak P yang bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(4, 5) ialah dua kali jaraknya dari titik B(–6, 5).



(d) Titik P bergerak di sepanjang lengkok bulatan dengan pusat A(2, 3). Lengkok bulatan melalui titik Q(–2, 0). Cari persamaan bagi lokus titik P.



Point P moves along an arc of a circle with center A(2, 3). The arc of a circle passes through a point Q(–2, 0). Find the equation of locus of point P.



Katakan titik P ialah (x, y). AP = AQ Persamaan lokus bagi P ialah √(x – 2)2 + (y – 3)2 = √[2 – (–2)]2 + (3 – 0)2 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 + 9 x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25 x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 134



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



SPM 7 3. Satu garis lurus melalui A(–2, –1) dan C(2, 11). SPM Titik B membahagi tembereng garis AC dengan 2017 keadaan 3AC = 4BC. Cari koordinat B.



Kertas 1



1. Garis lurus 3y = 4x – h + 6 menyilang paksi-x pada 6k, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. Ungkapkan h dalam sebutan k.



A straight line passes through A(–2, –1) and C(2, 11). The point B divides the line segment AC such that 3AC = 4BC. Find the coordinates of B.



dn .B hd .



SPM 2016



The straight line 3y = 4x – h + 6 intersects the x-axis at 6k, where h and k are constants. Express h in terms of k.



3AC = 4BC AC = 4 BC 3 \  AB : BC = 1 : 3 B = 1 3(–2) + 1(2) , 3(–1) + 1(11) 2 1+3 1+3 –4 8 = 1 , 2 4 4 = (–1, 2)



(6k, 0); x = 6k, y = 0 0 = 4(6k) – h + 6 h = 24k + 6



Diagram shows two straight lines on a Cartesian plane. y



y = 2x + 3



4. Maklumat berikut adalah merujuk SPM persamaan dua garis lurus, PQ dan RS. 2018



F



x



Pe l



Kedua-dua garis lurus itu berserenjang antara satu sama lain. Both the straight lines are perpendicular to each other.



PQ : 3 + 4py – 2x = 0 RS :  y – 4x = 1 2 3k dengan keadaan k dan p ialah pemalar. where k and p are constants.



n



Diberi garis lurus PQ dan RS adalah berserenjang antara satu sama lain, ungkapkan p dalam sebutan k.



ta



(a) Nyatakan nilai q. State the value of q. (b) Cari koordinat bagi F. Find the coordinates of F.



kepada



The following information refers to the equation of two straight lines, PQ and RS.



an



y = qx + 9



0



gi S



2. Rajah menunjukkan dua garis lurus pada suatu SPM satah Cartes. 2016



Given the straight line PQ and RS are perpendicular to each other, express p in terms of k.



bi



(a) m1m2 = –1 2 × q = –1 q = – 1 2 (b) 2x + 3 = – 1 x + 9 2 4x + 6 = –x + 18 4x + x = 18 – 6 5x = 12 x = 12 5 12 y = 21 2 + 3 5 24 = +3 5 = 39 5 \F = 1 12 , 39 2 5 5



Pe n



er



4py = 2x – 3 y = 1 x – 3 2p 4p 1 m1 = 2p y 4x – = 1 2 3k x y + = 1 2 3k – 1 42 m2 = – pintasan-y pintasan-x 2 = – 3k 1– 4 2 = 8 3k



135



BAB



PRAKTIS



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat







m1m2 = –1 1 1 21 8 2 = –1 2p 3k –6pk = 8 p=– 8 =– 4 6k 3k



PQ = √(–6 – 5)2 + [1 – (–2)]2 = √(–11)2 + 32 = √130



5. Rajah menunjukkan kedudukan tiga buah SPM bangunan P, Q dan R di tepi jalan raya utama yang 2018 dilukis pada suatu satah Cartes dengan keadaan P dan Q terletak pada tepi jalan raya utama yang lurus.



dn .B hd .



Luas segi tiga ∆PQR = 50.5 1 (PQ)(RS) = 50.5 2 1 (√130)(RS) = 50.5 2 (50.5)(2) RS = √130 = 8.8583 unit 6.



Diagram shows the position of three buildings at a side of the main road drawn on a Cartesian plane such that P and Q lie on the same side of the straight main road.



y (km)



SPM 2015



Rumah Ali Ali’s House



gi S



y



R(2, 8)



x (km)



O



Rumah Siti



x



Pe l



0



an



P(–6, 1)



Siti’s House Rajah di atas menunjukkan kedudukan rumah Ali dan rumah Siti. Koordinat bagi rumah Ali dan rumah Siti masing-masing ialah (14, 12) dan (−10, −8). Ali dan Siti berbasikal dari rumah ke arah satu sama lain pada sebatang jalan raya yang lurus dengan halaju berbeza. Diberi halaju Ali ialah tiga kali halaju Siti. Cari jarak antara rumah Ali dengan tempat mereka bertemu.



n



bi



ta



The diagram above shows the positions of Ali’s house and Siti’s house. The coordinates of Ali’s house and Siti’s house are (14, 12) and (−10, −8) respectively. Ali and Siti cycle from their house towards each other on a straight road with different velocity. Given that the velocity of Ali is three times velocity of Siti. Find the distance between Ali’s house and the place where they meet.



Aiman wants to cross the main road from building R to the opposite side of the road where the buildings P and Q are located. Find the shortest distance that he can take to cross the main road. Give your answer correct to four decimal places.



er



Kedudukan mereka bertemu = 1 3(–10) + 1(14)  ,  3(–8) + 1(12) 2 3+1 3+1 –16 –12 =1  ,  A(14, 12) 4 4 2 = (−4, –3)



Katakan jarak terdekat daripada bangunan R ke seberang jalan raya ialah RS. Luas segi tiga ∆PQR



u



u



3



= 1   2 –6 5 2 2 8 1 –2 8 = 1 u(2 + 12 + 40) – (–48 + 5 – 4)u 2 = 1 u54 + 47u 2 = 50.5



Jarak =  [14 – (–4)]2  + [12 – (–3) ]2 =  182 + 152 =  549 = 23.43 unit



136



(x, y) 1



7



Aiman hendak melintas jalan raya utama itu daripada bangunan R ke seberang jalan raya yang bertentangan di mana terletaknya bangunan P dan Q. Cari jarak terdekat yang dia boleh lalui untuk menyeberang jalan raya tersebut. Beri jawapan anda betul kepada empat tempat perpuluhan.



Pe n



BAB



Q(5, –2)



B(–10, –8)



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



(b) (i) y = 3x + 3 …… (1) y = 8 – 2x …… (2) Gantikan (1) ke dalam (2): 3x + 3 = 8 – 2x 5x = 5 x = 1 Apabila x = 1, y = 3(1) + 3 = 6 \  koordinat bagi lampu isyarat = (1, 6)



Kertas 2



1. Rajah menunjukkan kedudukan kilang K dan SPM kilang L yang dilukis pada satah Cartes. 2017



Diagram shows the location of factory K and factory L drawn on a Cartesian plane. y



T



dn .B hd .



(ii) Gantikan koordinat kilang R1– 4 , –12 ke 3 dalam kedua-dua persamaan jalan raya, ST dan MN.



K(–4, 1)







ST ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari kilang K dan kilang L ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama. ST is a straight road such that the distance from factory K and factory L to any point on the road is always equal.



an



(a) Cari persamaan bagi ST.



⇒ MN : y = 8 – 2x –1 = 8 – 21– 4 2 3 8 –1 = 8 + 3 –1 ≠ 32 3 \  hanya jalan raya ST melalui kilang R.



gi S



L(2, –1)



Find the equation of ST.







Pe l



(b) Satu lagi jalan raya lurus, MN dengan persamaan y = 8 – 2x akan dibina.



Another straight road, MN with an equation y = 8 – 2x is to be built.



2.



A traffic light is to be installed at the cross roads of the two roads. Find the coordinates of the traffic light.



O



bi



(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui kilang R1– 4 , –12? 3



Which of the two roads passes through factory 4 R – , –1 ? 3



2



C



y = –2



D



The diagram shows a quadrilateral ABCD. The equation of the straight line AD is 2x + y =18.



Pe n



1



x



Rajah di atas menunjukkan sebuah sisi empat ABCD. Persamaan garis lurus AD ialah 2x + y = 18.



er







A



B(2, 4)



ta







y



SPM 2014



n



(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu. Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.



BAB



S







⇒  ST : y = 3x + 3 –1 = 31– 4 2 + 3 3 –1 = –4 + 3 –1 = –1



x



0



(a) Katakan P(x, y) ialah titik pada ST PK = PL 2   √[x – (–4)] + (y – 1)2 = √(x – 2)2 + [y – (–1)]2 (x + 4)4 + (y – 1)2 = (x – 2)2 + (y + 1)2 x2 + 8x + 16 + y2 – 2y + 1 = x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 12x – 4y + 12 = 0 3x – y + 3 = 0



(a) Cari / Find (i) persamaan garis lurus AB.



the equation of the straight line AB.



(ii) koordinat A.



the coordinates of A.



(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik D adalah sentiasa 8 unit. Cari persamaan lokus P.



A point P moves such that its distance from point D is always 8 units. Find the equation of the locus of P.



137



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



3. Rajah menunjukkan segi tiga OPQ.



(a) (i) 2x + y = 18 y = –2x + 18 mAD = –2 mAB(–2) = –1 mAB = 1 2



SPM 2018



Diagram shows a triangle OPQ. y



Q(h, 1)



0



Persamaan garis lurus AB ialah y – 4 = 1 (x – 2) 2 y = 1 x – 1 + 4 2 y = 1 x + 3 2



x



dn .B hd .







P(–3, –5)



(a) Diberi luas segi tiga ialah 13.5 unit2, cari nilai h.



Given the area of triangle OPQ is 13.5 units2, find the value of h.



(b) Titik A(3, –1) terletak pada garis lurus PQ.



(ii) y = –2x + 18 …… 1 y = 1 x + 3  …… 2 2



Point A(3, –1) lies on the straight line PQ.



(i) Cari PA : AQ.



gi S



n



ta



(b) Pada titik D, apabila y = –2 Daripada 1, –2 = –2x + 18 –20 = –2x 10 = x D(10, –2)



bi











5h – 3 = 27   atau 5h – 3 = –27 5h = 30 5h = –24 h = 6 h = – 24 (abaikan) 5 n



Q(6, 1)



m



er



A(3, –1)



P(–3, –5)



m(6) + n(–3) m(1) + n(–5) 1 m + n , m + n 2 = (3, –1) 6m – 3n m – 5n 1 m + n , m + n 2 = (3, –1) 6m – 3n = 3 m+n 6m – 3n = 3m + 3n 3m = 6n m = 2 n 1 PA : AQ = 2 : 1



 (x – 10)2 +  [y – (–2)]2 = 8 (x – 10)2 + (y + 2)2 = 64



x2 – 20x + 100 + y2 + 4y + 4 – 64 = 0



(a) Luas = 1   0   –3   h   0 = 13.5 2 0   –5   1   0 u(0 – 3 + 0) – (0 – 5h + 0)u = 27 5h – 3 = ±27



(b) (i)



Katakan titik P ialah (x, y). PD = 8 Persamaan bagi lokus P ialah



Pe n







Point R moves such that 2RA = RQ. Find the equation of the locus R.



an



Daripada 1, y = –2(6) + 18 =6 \  A(6, 6)



BAB 7



Find PA : AQ.



(ii) Titik R bergerak dengan keadaan 2RA = RQ. Cari persamaan lokus R.



Pe l



Gantikan 1 ke dalam 2. –2x + 18 = 1 x + 3 2 15 = 5 x 2 30 = 5x 6 = x



x2 + y2 – 20x + 4y + 40 = 0



138



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



Diagram above shows a piece of rectangular land OPQR, owned by Encik Yusof. Encik Yusof wants to plant three trees at point A, B and C where A, B and C are collinear. Given the distance of point A is 2 times from point B and 3 times from point C. (a) Cari / Find



(ii) 2RA = RQ  2√(x – 3)2 + [y – (–1)]2  = √(x – 6)2 + (y – 1)2 4(x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1) = x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 4x2 – 24x + 36 + 4y2 + 8y + 4 = x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 3x2 + 3y2 – 12x + 10y + 3 = 0



(i) luas, dalam m2, tanah OPQR,



the area, in m2, of the land OPQR,



(ii) koordinat C.



(b) Encik Yusof hendak meletakkan batu kerikil di sekeliling titik A dengan keadaan jarak batu kerikil dari titik A adalah sentiasa 2 m. Cari persamaan laluan batu kerikil itu.



The coordinates of A, B and C are (4, 7), (h, k) and (3, –6) respectively. If ∠ABC = 90°, show that h2 + k2 – 7h – k – 30 = 0.



Encik Yusof wants to put some pebbles around point A such that the distance of the pebbles from point A is always 2 m. Find the equation of the track of the pebbles.



A(4, 7)



(a) (i) Luas tanah 0 9   4   –10 0 = 1   2 0 4 24   13 0 = 1  u(0 + 216 + 52 + 0) – (0 + 16 + (–240) + 0)u 2 = 1  u268 – (–224)u 2 = 1  u492u 2 = 246 m2



gi S



B(h, k) C(3, –6)



k–7



k – (–6) = –1 h–3 2 (k – 7)(k + 6) = –(h – 4)(h – 3) k2 + 6k – 7k – 42 = –(h2 – 3h – 4h + 12) k2 – k – 42 = –h2 + 7h – 12 h2 + k2 – 7h – k – 30 = 0



Pe l



1 h – 4 21



(ii) A(–3, 12)



ta



n



2:



(3, 8) = 1 2p + 1(–3)  ,  2q + 1(12) 2 2+1 2+1 2p – 3 2q + 12 3 =  , 8 = 3 3 9 = 2p – 3 24 = 2q + 12 2p = 12 2q = 12 p = 6 q = 6 Koordinat C = (6, 6).



y (m)



SPM 2015



er



Q(4, 24)



A(–3,12)



Pe n



P(–10, 13)



B(3, 8) C O



C(p, q)







bi



5.



B(3, 8) 1



(b) Persamaan laluan batu kerikil diberi oleh [x – (–3)]2  + (y – 12)2 = 2  2 (x + 3) + (y – 12)2 = 4 2 x + 6x + 9 + y2 − 24y + 144 = 4 x2 + 6x + y2 − 24y + 149 = 0 x2 + y2 + 6x – 24y + 149 = 0



R(9, 4) x (m)



Rajah di atas menunjukkan sebidang tanah berbentuk sisi empat OPQR yang dimiliki oleh Encik Yusof. Encik Yusof ingin menanam tiga pohon pokok pada titik-titik A, B dan C dengan keadaan A, B dan C adalah segaris. Diberi jarak titik A ialah 2 kali dari titik B dan 3 kali dari titik C.



139



BAB



an



(mAB)(mBC) = –1



the coordinates of C.



dn .B hd .



4. Koordinat bagi A, B dan C masing-masing ialah BUKAN (4, 7), (h, k) dan (3, –6). Jika ∠ABC = 90°, RUTIN tunjukkan bahawa h2 + k2 – 7h – k – 30 = 0.



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



Sudut



KBAT



1. Dalam rajah, SRT adalah selari kepada paksi-y. QR adalah berserenjang dengan SRT. Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari Q(6, 5) adalah dua kali jaraknya dari garis lurus SRT. In the diagram, SRT is parallel to the y-axis. QR is perpendicular to SRT. The point P(x, y) moves in such a way that its distance from Q(6, 5) is twice its distance from the straight line SRT.



dn .B hd .



y S



Q(6, 5)



R



x



0



–4



(a) Cari persamaan lokus bagi titik P.



Find the equation of the locus of point P.



gi S



T



(b) Tentukan sama ada lokus itu menyilang paksi-x atau tidak.



Determine whether the locus intersect the x-axis.



an



Pe l



n



ta



bi



(b) Pada paksi-x, y = 0 3x2 – (0)2 + 44x + 10(0) + 3 = 0 3x2 + 44x + 3 = 0



er



7



PQ = 2 × jarak SRT dengan P



 (x – 6)2 + (y  – 5)2 = 2 [x – (–4)]2 (x – 6)2 + (y – 5)2 = 4(x + 4)2 x2 – 12x + 36 + y2 – 10y + 25 = 4(x2 + 8x + 16) x2 + y2 – 12x – 10y + 61 – 4x2 – 32x – 64 = 0 –3x2 + y2 – 44x – 10y – 3 = 0 3x2 – y2 + 44x + 10y + 3 = 0



a = 3, b = 44, c = 3 b2 – 4ac = 442 – 4(3)(3) = 1 900 > 0



Pe n



BAB



(a) Katakan P(x, y)



b2 – 4ac > 0 Lokus itu menyilang paksi-x pada dua titik.



140



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



y



2. Dalam rajah, titik P bergerak di sepanjang lilitan sebuah bulatan berpusat M(4, 2). Bulatan itu melalui titik-titik A(0, 5) dan B(7, k). In the diagram, the point P moves along a circumference of a circle with center



A(0, 5)



P(x, y)



M(4, 2). The circle passes through point A(0, 5) and point B(7, k).



(a) (i) Cari persamaan lokus P.







M(4, 2)



Find the equation of the locus P.



(ii) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.







dn .B hd .



(b) Tangen kepada bulatan pada titik B memotong paksi-y pada titik Q. Hitung luas segi tiga OQB.



x



0



Find the possible values of k.



B(7, k)



Tangent to the circle at point B cuts the y-axis at point Q. Calculate the area of triangle OQB.



Q



mBQ1– 4 2 = –1 3 \  mBQ = 3 4 3 y = x + c ⇔ B(7, –2) 4 –2 = 3 (7) + c 4 c = – 29 4 3 29   ⇒   Q10, – 29 2 \  y = x – 4 4 4



BAB



(b) mMB = 2 – (–2) = – 4 4–7 3 mBQ mMB = –1







7



gi S



(a) (i) PM = AM √(x – 4)2 + (y – 2)2 = √(0 – 4)2 + (5 – 2)2 (x – 4)2 + (y – 2)2 = 25 2 x – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 = 25 x2 + y2 – 8x – 4y – 5 = 0



Pe l



an



(ii) Gantikan titik B(7, k) ke dalam persamaan lokus: 72 + k2 – 8(7) – 4k – 5 = 0 49 + k2 – 56 – 4k – 5 = 0 k2 – 4k – 12 = 0 (k – 6)(k + 2) = 0



n



k – 6 = 0 k + 2 = 0 k = 6 (abaikan)    k = –2



Pe n



er



bi



ta



Luas segi tiga OQB 0 7 0 0 = 1   29 2 0 –2 – 0 4 = 1  u10 – 203 + 02 – (0 + 0 + 0)u 2 4 = 1 u– 203 u 2 4 203 = unit2 8



+ +



+ KBAT Ekstra



141



Module &



MORE Additional Mathematics ANSWERS Chapter 7



B



BA



Geometri Koordinat



7



Coordinate Geometry



Analisis Soalan SPM



Pembahagi Tembereng Garis



7.1



Divisor of a Line Segment



2018



3 3



3 3



Point that divides internally a line segment in the ratio of m : n. B(x2, y2)



P=1



P(x, y)



2



gi S



nx1 + mx2 ny1 + my2  ,  m+n m+n



dn .B hd .



Titik yang membahagi dalam tembereng garis dengan nisbah m : n.



m



2017



1 2



NOTA IMBASAN



n



Kertas



A(x1, y1)



NOTA



1. Cari koordinat titik P yang membahagikan garis lurus AB mengikut nisbah AP : PB. Contoh



Penyelesaian: B(7, 17)



2



1 Lukis rajah bagi garis APB. Draw diagram for line APB.



n



3



Pe l



A(–3, 2), B(7, 17); AP : PB = 2 : 3



an



Find the coordinates of point P which divides the straight line AB in the ratio AP : PB.



2 Selesaikan menggunakan rumus. Solve using formula.



P = 1 2(7) + 3(–3) , 2(17) + 3(2) 2+3 2+3 = (1, 8)



2



ta



P



3



bi



A(–3, 2)



(b) A(5, 1), B(–1, 10); AP : PB = 2 : 1



Pe n



er



(a) A(–1, 5), B(9, 9); AP : PB = 3 : 2



3



2



B(–1, 10)



B(9, 9)



1 P



P



A(–1, 5)



2



A(5, 1)



P = 1 3(9) + 2(–1) , 3(9) + 2(5) 2 2+3 2+3 37 = 15, 5 2



P = 1 2(–1) + 1(5) , 2(10) + 1(1) 2 2+1 2+1 = (1, 7)



123



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



2. Cari koordinat titik R yang membahagikan garis lurus PQ mengikut keadaan yang diberi. Find the coordinates of point R which divides the straight line PQ in the given condition.



Contoh



P(9, 6), Q(3, –4); PR = 2RQ



P(0, –6), Q(9, 0); 2PR = RQ Penyelesaian: 2PR = RQ PR = 1 RQ 2



PR = 2RQ PR = 2 RQ 1



1 Tentukan nisbah menggunakan pecahan. Determine ratio using function.



dn .B hd .



2 P(9, 6)



2 Q(9, 0)



1



R



1



Q(3, –4)



R



R = 1 2(3) + 1(9) , 2(–4) + 1(6) 2 2+1 2+1 2 = 15, – 2 3



P(0, –6)



gi S



R = 1 2(0) + 1(9) , 2(–6) + 1(0) 2 2+1 2+1 = (3, –4)



3. Selesaikan setiap yang berikut. Solve each of the following.



an



4



Contoh



Pe l



Titik-titik P(h, 2h), Q(k, p) dan R(3k, 2p) adalah segaris. Q membahagi garis lurus PR dalam nisbah 3  : 2. Ungkapkan k dalam sebutan p.



Points P(h, 2h), Q(k, p) dan R(3k, 2p) lie on a straight line. Q divides the straight line PR in the ratio 3 : 2. Express k in terms of p. 2



n



Points A(2k, k), B(p, t) and C(2p, 3t) lie on a straight line. B divides the straight line AC in the ratio 2 : 3. Express p in terms of t.



Penyelesaian:



R(3k, 2p) 3



ta



1 Lukis rajah dan masukkan nilai ke dalam rumus. Draw diagram and insert values into formula.



3



Q(k, p)



bi



C(2p, 3t) P(h, 2h)



2



3(3k) + 2h , 3(2p) + 2(2h) = (k, p) 2 3+2 3+2 6p + 4h = p 5 h = –p 4 p Replace value of hh = – , Gantikan nilai 4 9k + 2h = k 5 9k + 21– p 2 4 = k 5 9k – p = 5k 2 k = p 8



1



er



B(p, t)



A(2k, k)



3(2k) + 2(2p) , 3(k) + 2(3t) = (p, t) 2 2+3 2+3 2 Samakan koordinat. 3(k) + 2(3t) = t Compare the coordinate. 2+3 3k + 6t = 5t k = – t 3 Gantikan nilai k = – t ke dalam 6k + 4p = p 3 into 5 Replace value of



1



Pe n



BAB



Titik-titik A(2k, k), B(p, t) dan C(2p, 3t) berada pada suatu garis lurus. B membahagi garis lurus AC dalam nisbah 2 : 3. Ungkapkan p dalam sebutan t.



7



3



61– t 2 + 4p = 5p   3 p = –2t



3 Hapuskan sebutan k. Eliminate k term.



124



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



4. Selesaikan setiap yang berikut. Solve each of the following.



5



Contoh



Titik L(3, 6) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik J(–5, 2) dan titik K(5, 7) dengan nisbah m : n. Cari nisbah m : n. Point L(3, 6) divides a straight line joining point J(–5, 2) and point K(5, 7) in the ratio m : n. Find the ratio m : n. n



2



5m – 5n = 3 Compare the x-coordinate. m+n 5m – 5n = 3(m + n) 5m – 5n = 3m + 3n 5m – 3m = 3n + 5n 2m = 8n m = 8 = 4 n 2 1 m : n = 4 : 1



m



dn .B hd .



Penyelesaian: (3, 6) = 1 m(5) + n(–5) , m(7) + n(2) m+n m+n 5m – 5n 7m + 2n (3, 6) = 1 , m+n m+n 2



K(5, 7)



L(3, 6)



Samakan koordinat-x.



J(–5, 2)



Kaedah Alternatif



Beza antara koordinat-x bagi titik J dan L kepada  beza antara koordinat-x bagi titik L dan K. Different of x-coordinate between J and L to different of x-coordinate between L and K.



gi S



m : n = 3 – (–5) : 5 – 3 =8:2 =4:1 atau/ or m : n = 6 – 2 : 7 – 6 =4:1



an



Beza antara koordinat-y bagi titik J dan L kepada  beza antara koordinat-y bagi titik L dan K. Different of y-coordinate between J and L to different of y-coordinate between L and K.



H(10, 11)



Q(–9, 9)



bi



m



7



n



ta



n



n



Point K(1, 5) divides a straight line joining point Point S(k, 6) divides a straight line joining point G(–5, 1) and point H(10, 11) in the ratio m : n. Find the P(–4, –6) and point Q(–9, 9) in the ratio m : n, find ratio m : n. (i) m : n, (ii) nilai bagi k. value of k.



K(1, 5)



S(k, 6)



m



er



G(–5, 1)



Pe n



P(–4, –6)



m(10) + n(–5) , m(11) + n(1) = (1, 5) 2 m+n m+n 10m – 5n = 1 m+n 10m – 5n = m + n 9m = 6n m = 6 n 9 = 2 3 m : n = 2 : 3







1



(i) m : n = PSy : QSy = 6 – (–6) : 9 – 6 = 12 : 3 m : n = 4 : 1 (ii) 4(–9) + 1(–4) = k 4+1 –40 = k 5 k = –8



125



BAB



Pe l



(a) Titik K(1, 5) membahagikan garis lurus yang (b) Titik S(k, 6) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik G(–5, 1) dan titik H(10, 11) menyambungkan titik-titik P(–4, –6) dan Q(–9, 9) dengan nisbah m : n. Cari nisbah m : n. dalam nisbah m : n, cari



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



7.2



Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang Parallel Lines and Perpendicular Lines



NOTA IMBASAN 1.



2.



m1



m1



dn .B hd .



m2



m2



Jika dua garis lurus itu selari, maka kecerunan kedua-dua garis itu adalah sama, iaitu m1 = m2 , dan sebaliknya.



Jika dua garis lurus itu berserenjang, maka m1m2 = –1 dan sebaliknya.



If two straight lines are parallel, then their gradients are equal, that is, m1 = m2 , and vice versa.



If two straight lines are perpendicular, then m1m2 = –1 and vice versa.



gi S



5. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari atau tidak. Determine whether each of the following pairs of straight lines are parallel.



Contoh



(a)  y  = 3x + 4  , 3x + y = 2



 y  = 2x + 7,   y – 2x = 10



an



m1 = 3



Pe l



Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.







y = –3x + 2 m2 = –3



m1 ≠ m2, the duatwo garis luruslines itu are tidak straight not selari. parallel.



m1 = m2, dua garis lurus itu adalah selari.







the two straight line are parallel.



ta



n



1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line.



bi



2 Bandingkan kecerunan/ Compare the gradient m1 = m2 → selari/ parallel



2y = 10x – 3



(c) 3y = x – 8   ,



y = 5x + 8



y = 5x – 3 2 m2 = 5



  y = 1 x – 8 3 3 1 m1 = 3 the two straight parallel. garis luruslines itu are adalah selari. m1 = m2, dua



er



(b) y – 5x = 8   ,



Pe n



BAB



Penyelesaian: m1 = 2 y = 2x + 10 m2 = 2



7



3



m1 = 5



m1 = m2, dua garis luruslines itu are adalah selari. the two straight parallel.



126



y = 1 x + 4 3 m2 = 1 3



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



6. Diberi setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari. Cari nilai k.



Given that each of the following pairs of straight lines are parallel. Find the value of k.



3



Contoh



2x + ky = 5 ky = –2x + 5 y = – 2 x + 5 k k 2 m1 = – k Dua garis adalah selari, 



, Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



3y + x – 8 = 0 3y = –x + 8 y = – 1 x + 8 3 3 1 m2 = – 3



dn .B hd .



 



The two straight lines are parallel,







m1 = m2 – 2 = – 1 k 3 k = 6



1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line.



2 Bandingkan kecerunan kedua-dua garisan adalah selari. Maka, m1 = m2­­. Compare the gradient. Both line are parallel. Thus, m1 = m2.



gi S



(b) kx + 4y = 1    , 5y – x = 8 4y = –kx + 1 5y = x + 8 k 1 y = – x + y = 1 x + 8 4 4 5 5 k 1 m2 = m1 = – 4 5 Dua garis adalah selari, The two straight lines are parallel, m1 = m2 – k = 1 4 5 k = – 4 5



7. Cari persamaan garis lurus yang selari dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P.



n



Find the equation of the straight line that is parallel to the given straight line and passes through point P.



7



ta



Contoh



4



Persamaan garis lurus ialah/ Equation of straight line is y – 8 = –2[x – (–3)] y – 8 = –2x – 6 y = –2x + 2



Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



Pe n



er



bi



2x + y = 6; P(–3, 8) Penyelesaian: 2x + y = 6 y = –2x + 6 Kecerunan/  Gradient = –2



BAB



Pe l



an



(a) 3x + ky = 2   , 2y + x = 7 ky = –3x + 2 2y = –x + 7 3 2 y = – x + y = – 1 x + 7 k k 2 2 3 1 m2 = – m1 = – k 2 The straight lines are parallel, Duatwo garis adalah selari, m1 = m2 – 3 = – 1 k 2 k = 6



(a) 4x – 2y – 9 = 0; P(–2, 7)



(b) 6x – 4y + 5 = 0; P(6, –3)



4x – 2y – 9 = 0 2y = 4x – 9 y = 2x – 9 2 Gradient Kecerunan =2 Equation of straight line isialah Persamaan garis lurus y – 7 = 2[x – (–2)] y – 7 = 2x + 4 y = 2x + 11







4y = 6x + 5 y = 3 x + 5 2 4 3 Kecerunan = Gradient 2 Equation of straight line is ialah Persamaan garis lurus 3 y – (–3) = (x – 6) 2 y + 3 = 3 x – 9 2 y = 3 x – 12 2 127



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



8. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah berserenjang atau tidak. Determine whether each of the following pairs of straight lines are perpendicular.



3



Contoh



Both straight line are perpendicular.



m1m2 = –61 1 2 6 = –1



1x–3 3 1 3



an











Both straight garis lines are not perpendicular. Kedua-dua lurus itu tidak berserenjang.



Kedua-dua lurus itu adalah berserenjang. Both straight garis lines are perpendicular.



n



BAB



Pe l







2 Jika serenjang, maka m1m2 = –1. If perpendicular, thus m1m2 = –1.



gi S



6y = x – 1 y = 1 x – 1 6 6 1 m2 = 6







1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan. Determine the gradient for both line.



(b) y – 3x = 8 , 3y = x – 9   y = 3x + 8 y = m1 = 3 m2 = m1m2 = 31 1 2 3 =1



(a) y + 6x – 2 = 0 , 6y – x + 1 = 0 y = –6x + 2 m1 = –6



Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



dn .B hd .



y + 4x – 3 = 0      Tulis dalam bentuk 4y – x + 5 = 0 y = –4x + 3 4y = x–5 kecerunan. Write in gradient y = 1 x – 5 m1 = –4 form. 4 4 1 m2 = 4 1 m1m2 = –41 2 4 = –1 Kedua-dua garis lurus itu adalah berserenjang.



ta



7



9. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P.



er



Contoh



bi



Find the equation of the straight line that is perpendicular to the given straight line and passes throught point P.



x + 3y = 10; P(–2, 7)



3 Tentukan kecerunan yang lagi satu Determine the other gradient m1m2 = –1



Pe n



Penyelesaian:



x + 3y = 10 3y = –x + 10 y = – 1 x + 10 3 3 1 m1 = – 3



4



Kedua-dua garis adalah berserenjang, Both line are perpendicular







m1m2 = –1 – 1  m2 = –1 4 Selesaikan persamaan garis lurus 3 Solve equation of straight line m2 = 3 P(–2, 7);  m = 3 Persamaan garis lurus ialah



1 Tulis dalam bentuk kecerunan. Write in gradient form.



2 Tentukan kecerunan. Determine the gradient.



Equation of straight line is







128



y – 7 = 3[x – (–2)] y – 7 = 3x + 6 y = 3x + 13



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



(b) y – 4x = 3; P(2, 12)



2y = –x + 10 y = – 1 x + 5 2 m1 = – 1 2 Both lines are perpendicular, Kedua-dua garis adalah berserenjang, m1m2 = –1 – 1 m2 = –1 2 m2 = 2 Persamaan garis lurus Equation of straight line isialah y – (–5) = 2(x – 3) y + 5 = 2x – 6 y = 2x – 11



y = 4x + 3 m1 = 4 Both lines are garis perpendicular, Kedua-dua adalah berserenjang, m1m2 = –1 4m2 = –1 m2 = – 1 4 Equation of straight line is ialah Persamaan garis lurus 1 y – 12 = – (x – 2) 4 y – 12 = – 1 x + 1 4 2 1 25 y = – x + 4 2



dn .B hd .



(a) x + 2y = 10; P(3, –5)



gi S



10. Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik yang diberi. Find the equation of the perpendicular bisector of the following straight lines which join the given points.



Contoh



A(2, 3), B(5, –6)



ta



n



Pe l



Titik tengah AB = 1 2 + 5 , 3 + (–6) 2 2 2 Midpoint AB 7 3 = 1 , – 2 2 2 Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah



3 Dapatkan persamaan garis lurus dengan kecerunan garis serenjang dan titik tengah. Get the equation of the straight line with the gradient of perpendicular line and the midpoint.



y – 1– 3 2 = 2 y + 3 = 2



1 x– 7 31 22 1x– 7 3 6 1 y = x – 8 3 3



er



bi



1 Tentukan kecerunan bagi garis lurus serenjang. Determine the gradient of the perpendicular line.



Equation of the perpendicular bisector is



Pe n



(a) E(–1, 11), F(–3, 5)



EF 1 –1 + (–3)  ,  11 + 5 2 Titik Midpoint tengah EF = 2 2 = (–2, 8)







5 – 11 –3 – (–1) = –6 –2 = 3 m1m2 = –1 3m2 = –1 m2 = – 1 3 m1 =







Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah Equation of the perpendicular bisector is y – 8 = – 1 [x – (–2)] 3 y – 8 = – 1 x – 2 3 3 1 y = – x + 22 3 3



129



BAB



an



2 Tentukan titik tengah. Determine the midpoint.



Penyelesaian: m1 = –6 – 3 = – 9 = –3 5–2 3 m1m2 = –1 –3m2 = –1 m2 = 1 3



4



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



(b) G(2, –3), H(5, 2) 2 + 5 , –3 + 2 Titik tengah MidpointGH = GH 1 2 2 2 = 1 7  , – 1 2 2 2



m1 = 2 – (–3) 5–2 5 = 3 m1m2 = –1 5 m = –1 3 2 m2 = – 3 5



dn .B hd .



gi S



Luas Poligon



Areas of Polygons



1.



Pe l



NOTA IMBASAN



3. Apabila luas bagi ABC ialah sifar, ketiga-tiga titik A, B dan C adalah segaris.



y



B(x2, y2)



n



BAB



Persamaan dua bisector sama serenjang ialah Equation ofpembahagi the perpendicular is 1 3 7 y – 1– 2 = –  1x – 2 2 5 2 1 3 21 = – x + y+ 2 5 10 y = – 3 x + 8 5 5



an



7.3







C(x3, y3)



4.



bi



ta



7



A(x1, y1)



y R(x3, y3)



x



Q(x2, y2)



er



0



When the area of ABC is zero, the three points A, B and C are collinear.



S(x4, y4)



Luas ∆ABC



0



Pe n



Area of ∆ABC



x2 x3 x1 1 x1 2 y1 y2 y3 y1 1 = |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| 2 =



P(x1, y1)



x



Luas sisi empat PQRS Area of quadrilateral PQRS



2. Sentiasa menulis koordinat bagi bucu-bucu itu dalam arah lawan jam supaya nilai luas yang diperoleh adalah positif. Always write the coordinates of the vertices in the anticlockwise direction so that the value of area obtained is positive.



130



=



1 x1 2 y 1



x2



x3



x4



x1



y2



y3



y4



y1



=



1 | x y + x y + x y + x y ) – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4)| 2 1 2 2 3 3 4 4 1



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



11. Cari luas poligon berikut dengan bucu yang diberikan. Find the area of the following polygons with the vertices given.



3



Contoh



 



(i) (3, 1), (7, 6), (4, 8)



(ii) (2, 3), (9, 8), (–2, 11), (–5, 4)



Penyelesaian: 2 9 –2 –5 2 (ii) Luas = 1 2 3 8 11 4 3 Area 1 u(16 + 99 – 8 – 15) – (27 – 16 – 55 + 8)u = 2 = 1  u92 – (–36)u 2 = 64 unit2/ units2



dn .B hd .



3 7 4 3 (i) Luas = 1 2 1 6 8 1 Area = 1 u(18 + 56 + 4) – (7 + 24 + 24)u 2 = 1 u78 – 55u 2 = 11.5 unit2/ units2



(a) (2, 3), (8, 5), (6, 9)



(b) (–3, –2), (5, 0), (4, 8)



8 6 2 1 2 Area Luas = 2 3 5 9 3 1 = u(10 + 72 + 18) – (24 + 30 + 18)u 2 = 1 u100 – 72u 2 = 14 units unit2



5 4 –3 1 –3 Luas = Area 2 –2 0 8 –2 1 = u(0 + 40 – 8) – (–10 + 0 – 24)u 2 = 1 u32 + 34u 2 = 33 unit units2



gi S







n



BAB



Pe l



an







ta



7 (d) (8, 0), (5, 7), (0, –2), (4, –3)



1 5 3 0 1 0 Area Luas = 2 3 1 8 10 3 1 =  u(0 + 8 + 50 + 9) – (3 + 5 + 24 + 0)u 2 = 1  u67 – 32u 2 = 17.5 units unit2



5 0 4 8 1 8 Area Luas = 2 0 7 –2 –3 0 1 = u(56 – 10 + 0 + 0) – (0 + 0 – 8 – 24)u 2 = 1 u46 – (–32)u 2 units22 = 39 unit



er







Pe n







bi



(c) (0, 3), (1, 1), (5, 8), (3, 10)



131



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



12. Selesaikan setiap yang berikut. Solve each of the following.



4



Contoh 2



Luas segi tiga yang berbucu A(–1, 4), B(2, 3) dan C(6, k) ialah 9.5 unit2. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k. The area of a triangle with vertices A(–1, 4), B(2, 3) and C(6, k) is 9.5 units 2. Find the possible values of k.



Penyelesaian: Luas ∆ABC = 9.5 Area



1 –1 2 4



2



6



–1



3



k



4



Given P(–4, –3), Q(2, 1) and R(11, 7), show that the points P, Q and R are collinear.



Penyelesaian:



–4 Luas ∆PQR = 1 2 –3 Area



2



11



–4



1



7



–3



= 1  u(–4 + 14 – 33) – (–6 + 11 – 28)u 2 = 1  u–23 – (–23)u 2 =0



= 9.5



u(–3 + 2k + 24) – (8 + 18 – k)u = 19 u2k + 21 – 26 + ku = 19 u3k – 5u = 19



gi S



Maka, P, Q dan R adalah segaris. Thus, P, Q and R are collinear.



Pe l



n



Find the possible values of k if the area of triangle ABC with vertices A(–6, 5), B(2, 3) and C(k, 4) is 10 units 2.



1 –6 2 5



2



k



–6



3



4



5



bi







Area ∆ABC = 10 Luas



ta







= 10



u(–18 + 8 + 5k) – (10 + 3k – 24)u = 20 u5k – 10 – 3k + 14u = 20 |2k + 4u = 20



er



7



(a) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k jika luas segi tiga ABC yang berbucu A(–6, 5), B(2, 3) dan C(k, 4) ialah 10 unit2.



(b) Diberi P(2, 3), Q(5, 9) dan R(7, 13), tunjukkan bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris. Given P(2, 3), Q(5, 9), and R(7, 13), show that the points P, Q and R are collinear.



5 7 2 1 2 Luas Area ∆PQR = 2 3 9 13 3 1 =  u(18 + 65 + 21) – (15 + 63 + 26)u 2 = 1  u104 – 104u 2 =0 Maka, Q dan R collinear. adalah segaris. Thus, P, P, Q and R are



Pe n



BAB



an



3k – 5 = 19   atau 3k – 5 = –19 3k = 24 or 3k = –14 k = 8 k = – 14 3



Diberi P(–4, –3), Q(2, 1) dan R(11, 7), tunjukkan bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris.



dn .B hd .



Contoh 1



2k + 4 = 20   atau or 2k + 4 = –20 2k = 16 2k = –24 k = 8 k = –12



132



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



Persamaan Lokus



7.4



Equations of Loci



NOTA IMBASAN 2. Persamaan lokus yang melibatan jarak di antara dua titik boleh ditentukan dengan menggunakan rumus jarak.



Locus of a point P(x, y) is the path travelled by the point which moves under a given condition.



The equation of a locus involving the distance between two points can be determined by using the distance formula.



dn .B hd .



1. Lokus suatu titik P(x, y) ialah lintasan yang dilalui oleh titik itu mengikut syarat yang diberikan.



13. Cari persamaan lokus bagi satu titik P yang bergerak berdasarkan syarat berikut. Find the equation of the locus of a moving point P based on the given conditions.



Contoh 1



5



Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(3, –4) adalah sentiasa 5 unit. Point P moves such that its distance from A(3, – 4) is always 5 units.



gi S



Penyelesaian: Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y).







PA = 5



Gunakan rumus jarak./ Use distance formula.



(x – 3) + (y + 4) = 25   x2 – 6x + 9 + y2 + 8y + 16 – 25 = 0 x2 + y2 – 6x + 8y = 0 2



Kuasa duakan kedua-dua belah./ Square both sides.



n



Pe l



2



ta



Contoh 2



Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(4, 2) dan B(–5, 1) adalah dalam nisbah 2 : 1.



bi



Point P moves such that its distance from A(4, 2) and B(–5, 1) are in the ratio 2 : 1.



Penyelesaian:



er



Katakan titik P ialah (x, y). Let point P is (x, y).



PA : PB = 2 : 1 PA = 2 PB 1 2PB = PA



Pe n







Persamaan lokus bagi titik P ialah/ Equation of locus of point P is



2 [x – (–5)]2  + (y – 1)2 =  (x – 4)2 +  (y – 2)2 4[(x + 5)2 + (y – 1)2] = (x – 4)2 + (y – 2)2 4(x2 + 10x + 25 + y2 – 2y + 1) = x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 4x2 + 4y2 + 40x – 8y + 104 = x2 + y2 – 8x – 4y + 20 3x2 + 3y2 + 48x – 4y + 84 = 0



133



BAB



 (x – 3)2 +  [y – (–4)]2 = 5  







an



Persamaan lokus bagi titik P ialah/ Equation of locus of point P is



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



(a) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(–2, 4) adalah sentiasa 6 unit. Point P moves such that its distance from A(–2, 4) is always 6 units.



Katakan Let point Ptitik is (x,Py).ialah (x, y). PA = 6 Equation of locus of point is P ialah Persamaan lokus bagi Ptitik



dn .B hd .



 [x – (–2)]2 + (y – 4)2 = 6 (x + 2)2 + (y – 4)2 = 36 x2 + 4x + 4 + y2 – 8y + 16 – 36 = 0 x2 + y2 + 4x – 8y – 16 = 0



(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya adalah sama dari titik C(–3, 8) dan D(9, –2). Point P moves such that it is equidistant from point C(–3, 8) and D(9, –2).



gi S



Let point Ptitik is (x, Py).ialah (x, y). Katakan PC = PD Equation of locus of point is P ialah Persamaan lokus bagi Ptitik



an



 [x – (–3)]2  + (y – 8)2 =  (x – 9)2 + [y  – (–2)]2 2 2 2 (x + 3) + (y – 8) = (x – 9) + (y + 2)2 x2 + 6x + 9 + y2 – 16y + 64 = x2 – 18x + 81 + y2 + 4y + 4 24x – 20y – 12 = 0 6x – 5y – 3 = 0



Pe l



ta



n



Let point Ptitik is (x,Py).ialah (x, y). Katakan PA = 2PB



Equation of locus of point Persamaan lokus bagi PPisialah



bi



√(x – 4)2 + (y – 5)2 = 2√[x – (–6)]2 + (y – 5)2 (x – 4)2 + (y – 5)2 = 4[(x + 6)2 + (y – 5)2] x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4(x2 + 12x + 36 + y2 – 10y + 25) x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4x2 + 48x + 144 + 4y2 – 40y + 100 3x2 + 3y2 + 56x – 30y + 203 = 0



er



7



Find the equation of locus of a moving point P such that its distance from point A(4, 5) is twice the distance from point B(–6, 5).



Pe n



BAB



(c) Cari persamaan bagi lokus titik bergerak P yang bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(4, 5) ialah dua kali jaraknya dari titik B(–6, 5).



(d) Titik P bergerak di sepanjang lengkok bulatan dengan pusat A(2, 3). Lengkok bulatan melalui titik Q(–2, 0). Cari persamaan bagi lokus titik P.



Point P moves along an arc of a circle with center A(2, 3). The arc of a circle passes through a point Q(–2, 0). Find the equation of locus of point P.



Katakan Let point Ptitik is (x,Py).ialah (x, y). AP = AQ Equation of locus of point Persamaan lokus bagi PP isialah √(x – 2)2 + (y – 3)2 = √[2 – (–2)]2 + (3 – 0)2 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 + 9 x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25 x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0



134



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



SPM 7 3. Satu garis lurus melalui A(–2, –1) dan C(2, 11). SPM Titik B membahagi tembereng garis AC dengan 2017 keadaan 3AC = 4BC. Cari koordinat B.



Kertas 1



1. Garis lurus 3y = 4x – h + 6 menyilang paksi-x pada 6k, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. Ungkapkan h dalam sebutan k.



A straight line passes through A(–2, –1) and C(2, 11). The point B divides the line segment AC such that 3AC = 4BC. Find the coordinates of B.



dn .B hd .



SPM 2016



The straight line 3y = 4x – h + 6 intersects the x-axis at 6k, where h and k are constants. Express h in terms of k.



3AC = 4BC AC = 4 BC 3 \  AB : BC = 1 : 3 B = 1 3(–2) + 1(2) , 3(–1) + 1(11) 2 1+3 1+3 –4 8 = 1 , 2 4 4 = (–1, 2)



(6k, 0); x = 6k, y = 0 0 = 4(6k) – h + 6 h = 24k + 6



Diagram shows two straight lines on a Cartesian plane. y



y = 2x + 3



4. Maklumat berikut adalah merujuk SPM persamaan dua garis lurus, PQ dan RS. 2018



F



x



Pe l



Kedua-dua garis lurus itu berserenjang antara satu sama lain. Both the straight lines are perpendicular to each other.



PQ : 3 + 4py – 2x = 0 RS :  y – 4x = 1 2 3k dengan keadaan k dan p ialah pemalar. where k and p are constants.



n



Diberi garis lurus PQ dan RS adalah berserenjang antara satu sama lain, ungkapkan p dalam sebutan k.



ta



(a) Nyatakan nilai q. State the value of q. (b) Cari koordinat bagi F. Find the coordinates of F.



kepada



The following information refers to the equation of two straight lines, PQ and RS.



an



y = qx + 9



0



gi S



2. Rajah menunjukkan dua garis lurus pada suatu SPM satah Cartes. 2016



Given the straight line PQ and RS are perpendicular to each other, express p in terms of k.



bi



(a) m1m2 = –1 2 × q = –1 q = – 1 2 (b) 2x + 3 = – 1 x + 9 2 4x + 6 = –x + 18 4x + x = 18 – 6 5x = 12 x = 12 5 12 y = 21 2 + 3 5 24 = +3 5 = 39 5 \F = 1 12 , 39 2 5 5



Pe n



er



4py = 2x – 3 y = 1 x – 3 2p 4p 1 m1 = 2p y 4x – = 1 2 3k x y + = 1 2 3k – 1 42 pintasan-y m2 = – y-intercept pintasan-x x-intercept 2 = – 3k 1– 4 2 = 8 3k



135



BAB



PRAKTIS



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat







m1m2 = –1 1 1 21 8 2 = –1 2p 3k –6pk = 8 p=– 8 =– 4 6k 3k



PQ = √(–6 – 5)2 + [1 – (–2)]2 = √(–11)2 + 32 = √130



5. Rajah menunjukkan kedudukan tiga buah SPM bangunan P, Q dan R di tepi jalan raya utama yang 2018 dilukis pada suatu satah Cartes dengan keadaan P dan Q terletak pada tepi jalan raya utama yang lurus.



dn .B hd .



Luas segiArea tiga ∆PQR = 50.5 1 (PQ)(RS) = 50.5 2 1 (√130)(RS) = 50.5 2 (50.5)(2) RS = √130 = 8.8583 units unit 6.



Diagram shows the position of three buildings at a side of the main road drawn on a Cartesian plane such that P and Q lie on the same side of the straight main road.



y (km)



SPM 2015



Rumah Ali Ali’s House



gi S



y



R(2, 8)



x (km)



O



Rumah Siti



x



Pe l



0



an



P(–6, 1)



Siti’s House Rajah di atas menunjukkan kedudukan rumah Ali dan rumah Siti. Koordinat bagi rumah Ali dan rumah Siti masing-masing ialah (14, 12) dan (−10, −8). Ali dan Siti berbasikal dari rumah ke arah satu sama lain pada sebatang jalan raya yang lurus dengan halaju berbeza. Diberi halaju Ali ialah tiga kali halaju Siti. Cari jarak antara rumah Ali dengan tempat mereka bertemu.



n



bi



ta



The diagram above shows the positions of Ali’s house and Siti’s house. The coordinates of Ali’s house and Siti’s house are (14, 12) and (−10, −8) respectively. Ali and Siti cycle from their house towards each other on a straight road with different velocity. Given that the velocity of Ali is three times velocity of Siti. Find the distance between Ali’s house and the place where they meet.



Aiman wants to cross the main road from building R to the opposite side of the road where the buildings P and Q are located. Find the shortest distance that he can take to cross the main road. Give your answer correct to four decimal places.



er



Kedudukan Position wheremereka they meetbertemu = 1 3(–10) + 1(14)  ,  3(–8) + 1(12) 2 3+1 3+1 –16 –12 =1  ,  A(14, 12) 4 4 2 = (−4, –3)



Katakan jarakdistance terdekat R ke Let the shortest fromdaripada building Rbangunan to the opposite side of the road RS. ialah RS. seberang jalanis raya Luas segiArea tiga ∆PQR



u



u



3



= 1   2 –6 5 2 2 8 1 –2 8 = 1 u(2 + 12 + 40) – (–48 + 5 – 4)u 2 = 1 u54 + 47u 2 = 50.5



Jarak Distance =  [14 – (–4)]2  + [12 – (–3) ]2 =  182 + 152 =  549 = 23.43 units unit



136



(x, y) 1



7



Aiman hendak melintas jalan raya utama itu daripada bangunan R ke seberang jalan raya yang bertentangan di mana terletaknya bangunan P dan Q. Cari jarak terdekat yang dia boleh lalui untuk menyeberang jalan raya tersebut. Beri jawapan anda betul kepada empat tempat perpuluhan.



Pe n



BAB



Q(5, –2)



B(–10, –8)



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



(b) (i) y = 3x + 3 …… (1) y = 8 – 2x …… (2) Gantikan Replace (1)(1) intoke (2):dalam (2): 3x + 3 = 8 – 2x 5x = 5 x = 1 Apabila When x = 1, y = 3(1) + 3 = 6 \  koordinat bagi lampu Coordinates of the trafficisyarat light = (1, 6)



Kertas 2



1. Rajah menunjukkan kedudukan kilang K dan SPM kilang L yang dilukis pada satah Cartes. 2017



Diagram shows the location of factory K and factory L drawn on a Cartesian plane. y



T



4 , –1 ke 2 3 dalam into both roadskedua-dua equations, STpersamaan anda MN. jalan raya, ST dan MN.



dn .B hd .



1



(ii) Gantikan koordinat (ii) Replace the coordinates of the kilang factory R –



K(–4, 1)







ST ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari kilang K dan kilang L ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama. ST is a straight road such that the distance from factory K and factory L to any point on the road is always equal.



an



(a) Cari persamaan bagi ST.



⇒ MN : y = 8 – 2x –1 = 8 – 21– 4 2 3 8 –1 = 8 + 3 –1 ≠ 32 3 \  hanya raya through ST melalui kilang only ST jalan road passes factory R. R.



gi S



L(2, –1)



Find the equation of ST.







Pe l



(b) Satu lagi jalan raya lurus, MN dengan persamaan y = 8 – 2x akan dibina.



Another straight road, MN with an equation y = 8 – 2x is to be built.



2.



A traffic light is to be installed at the cross roads of the two roads. Find the coordinates of the traffic light.



O



bi



(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui kilang R1– 4 , –12? 3



Which of the two roads passes through factory 4 R – , –1 ? 3



2



C



y = –2



D



The diagram shows a quadrilateral ABCD. The equation of the straight line AD is 2x + y =18.



Pe n



1



x



Rajah di atas menunjukkan sebuah sisi empat ABCD. Persamaan garis lurus AD ialah 2x + y = 18.



er







A



B(2, 4)



ta







y



SPM 2014



n



(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu. Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.



BAB



S







⇒  ST : y = 3x + 3 –1 = 31– 4 2 + 3 3 –1 = –4 + 3 –1 = –1



x



0



Let P(x, y) is a point on STtitik pada ST (a) Katakan P(x, y) ialah PK = PL 2   √[x – (–4)] + (y – 1)2 = √(x – 2)2 + [y – (–1)]2 (x + 4)4 + (y – 1)2 = (x – 2)2 + (y + 1)2 x2 + 8x + 16 + y2 – 2y + 1 = x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 12x – 4y + 12 = 0 3x – y + 3 = 0



(a) Cari / Find (i) persamaan garis lurus AB.



the equation of the straight line AB.



(ii) koordinat A.



the coordinates of A.



(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik D adalah sentiasa 8 unit. Cari persamaan lokus P.



A point P moves such that its distance from point D is always 8 units. Find the equation of the locus of P.



137



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



3. Rajah menunjukkan segi tiga OPQ.



(a) (i) 2x + y = 18 y = –2x + 18 mAD = –2 mAB(–2) = –1 mAB = 1 2



SPM 2018



Diagram shows a triangle OPQ. y



Q(h, 1)



0



AB Persamaan garis lurus Equation of the straight line ABialah is y – 4 = 1 (x – 2) 2 y = 1 x – 1 + 4 2 y = 1 x + 3 2



x



dn .B hd .







P(–3, –5)



(a) Diberi luas segi tiga ialah 13.5 unit2, cari nilai h.



Given the area of triangle OPQ is 13.5 units2, find the value of h.



(b) Titik A(3, –1) terletak pada garis lurus PQ.



(ii) y = –2x + 18 …… 1 y = 1 x + 3  …… 2 2



Point A(3, –1) lies on the straight line PQ.



(i) Cari PA : AQ.



gi S



n



ta



At point when y = –2 (b) Pada titik D, D, apabila From ①, Daripada 1, –2 = –2x + 18 –20 = –2x 10 = x D(10, –2)



bi











5h – 3 = 27   atau 5h – 3 = –27 or 5h = 30 5h = –24 h = 6 h = – 24 (abaikan) (ignore it) 5 n



Q(6, 1)



m



er



A(3, –1)



P(–3, –5)



m(6) + n(–3) m(1) + n(–5) 1 m + n , m + n 2 = (3, –1) 6m – 3n m – 5n 1 m + n , m + n 2 = (3, –1) 6m – 3n = 3 m+n 6m – 3n = 3m + 3n 3m = 6n m = 2 n 1 PA : AQ = 2 : 1



 (x – 10)2 +  [y – (–2)]2 = 8 (x – 10)2 + (y + 2)2 = 64



x2 – 20x + 100 + y2 + 4y + 4 – 64 = 0



(a) Area Luas = 1   0   –3   h   0 = 13.5 2 0   –5   1   0 u(0 – 3 + 0) – (0 – 5h + 0)u = 27 5h – 3 = ±27



(b) (i)



Let point Ptitik is (x, Py).ialah (x, y). Katakan PD = 8 Persamaan bagioflokus Equation of locus point P isialah



Pe n







Point R moves such that 2RA = RQ. Find the equation of the locus R.



an



From ①, Daripada 1, y = –2(6) + 18 =6 \  A(6, 6)



BAB 7



Find PA : AQ.



(ii) Titik R bergerak dengan keadaan 2RA = RQ. Cari persamaan lokus R.



Pe l



Gantikan 1 ke Replace ① into ②.dalam 2. –2x + 18 = 1 x + 3 2 15 = 5 x 2 30 = 5x 6 = x



x2 + y2 – 20x + 4y + 40 = 0



138



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



Diagram above shows a piece of rectangular land OPQR, owned by Encik Yusof. Encik Yusof wants to plant three trees at point A, B and C where A, B and C are collinear. Given the distance of point A is 2 times from point B and 3 times from point C. (a) Cari / Find



(ii) 2RA = RQ  2√(x – 3)2 + [y – (–1)]2  = √(x – 6)2 + (y – 1)2 4(x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1) = x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 4x2 – 24x + 36 + 4y2 + 8y + 4 = x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 3x2 + 3y2 – 12x + 10y + 3 = 0



(i) luas, dalam m2, tanah OPQR,



the area, in m2, of the land OPQR,



(ii) koordinat C.



(b) Encik Yusof hendak meletakkan batu kerikil di sekeliling titik A dengan keadaan jarak batu kerikil dari titik A adalah sentiasa 2 m. Cari persamaan laluan batu kerikil itu.



The coordinates of A, B and C are (4, 7), (h, k) and (3, –6) respectively. If ∠ABC = 90°, show that h2 + k2 – 7h – k – 30 = 0.



Encik Yusof wants to put some pebbles around point A such that the distance of the pebbles from point A is always 2 m. Find the equation of the track of the pebbles.



A(4, 7)



(a) (i) Land Luasarea tanah 0 9   4   –10 0 1 =   2 0 4 24   13 0 = 1  u(0 + 216 + 52 + 0) – (0 + 16 + (–240) + 0)u 2 = 1  u268 – (–224)u 2 = 1  u492u 2 = 246 m2



gi S



B(h, k) C(3, –6)



k–7



k – (–6) = –1 h–3 2 (k – 7)(k + 6) = –(h – 4)(h – 3) k2 + 6k – 7k – 42 = –(h2 – 3h – 4h + 12) k2 – k – 42 = –h2 + 7h – 12 h2 + k2 – 7h – k – 30 = 0



Pe l



1 h – 4 21



(ii) A(–3, 12)



ta



n



2:



(3, 8) = 1 2p + 1(–3)  ,  2q + 1(12) 2 2+1 2+1 2p – 3 2q + 12 3 =  , 8 = 3 3 9 = 2p – 3 24 = 2q + 12 2p = 12 2q = 12 p = 6 q = 6 Koordinat C C==(6, Coordinates of (6, 6). 6).



y (m)



SPM 2015



er



Q(4, 24)



A(–3,12)



Pe n



P(–10, 13)



B(3, 8) C O



C(p, q)







bi



5.



B(3, 8) 1



of the track of the pebbles Persamaan laluan batu kerikil diberi oleh (b) Equation 2   [x – (–3)] + (y – 12)2 = 2 (x + 3)2 + (y – 12)2 = 4 2 x + 6x + 9 + y2 − 24y + 144 = 4 x2 + 6x + y2 − 24y + 149 = 0 x2 + y2 + 6x – 24y + 149 = 0



R(9, 4) x (m)



Rajah di atas menunjukkan sebidang tanah berbentuk sisi empat OPQR yang dimiliki oleh Encik Yusof. Encik Yusof ingin menanam tiga pohon pokok pada titik-titik A, B dan C dengan keadaan A, B dan C adalah segaris. Diberi jarak titik A ialah 2 kali dari titik B dan 3 kali dari titik C.



139



BAB



an



(mAB)(mBC) = –1



the coordinates of C.



dn .B hd .



4. Koordinat bagi A, B dan C masing-masing ialah BUKAN (4, 7), (h, k) dan (3, –6). Jika ∠ABC = 90°, RUTIN tunjukkan bahawa h2 + k2 – 7h – k – 30 = 0.



7



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat



Sudut



KBAT



1. Dalam rajah, SRT adalah selari kepada paksi-y. QR adalah berserenjang dengan SRT. Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari Q(6, 5) adalah dua kali jaraknya dari garis lurus SRT. In the diagram, SRT is parallel to the y-axis. QR is perpendicular to SRT. The point P(x, y) moves in such a way that its distance from Q(6, 5) is twice its distance from the straight line SRT.



dn .B hd .



y S



Q(6, 5)



R



x



0



–4



(a) Cari persamaan lokus bagi titik P.



Find the equation of the locus of point P.



gi S



T



(b) Tentukan sama ada lokus itu menyilang paksi-x atau tidak.



Determine whether the locus intersect the x-axis.



an



Pe l



n



ta



bi



At x-axis, y=0 y = 0 (b) Pada paksi-x, 3x2 – (0)2 + 44x + 10(0) + 3 = 0 3x2 + 44x + 3 = 0



er



7



PQ = 2 × SRT jarak SRT dengan distance from P P



 (x – 6)2 + (y  – 5)2 = 2 [x – (–4)]2 (x – 6)2 + (y – 5)2 = 4(x + 4)2 x2 – 12x + 36 + y2 – 10y + 25 = 4(x2 + 8x + 16) x2 + y2 – 12x – 10y + 61 – 4x2 – 32x – 64 = 0 –3x2 + y2 – 44x – 10y – 3 = 0 3x2 – y2 + 44x + 10y + 3 = 0



a = 3, b = 44, c = 3 b2 – 4ac = 442 – 4(3)(3) = 1 900 > 0



Pe n



BAB



Let P (x, y)P(x, y) (a) Katakan



b2 – 4ac > 0 Lokus ituintersect menyilang paksi-x pada dua titik. The locus the x-axis at two points.



140



  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 



y



2. Dalam rajah, titik P bergerak di sepanjang lilitan sebuah bulatan berpusat M(4, 2). Bulatan itu melalui titik-titik A(0, 5) dan B(7, k). In the diagram, the point P moves along a circumference of a circle with center



A(0, 5)



P(x, y)



M(4, 2). The circle passes through point A(0, 5) and point B(7, k).



(a) (i) Cari persamaan lokus P.







M(4, 2)



Find the equation of the locus P.



(ii) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.







dn .B hd .



(b) Tangen kepada bulatan pada titik B memotong paksi-y pada titik Q. Hitung luas segi tiga OQB.



x



0



Find the possible values of k.



B(7, k)



Tangent to the circle at point B cuts the y-axis at point Q. Calculate the area of triangle OQB.



Q



(b) mMB = 2 – (–2) = – 4 4–7 3 mBQ mMB = –1



mBQ1– 4 2 = –1 3 \  mBQ = 3 4 3 y = x + c ⇔ B(7, –2) 4 –2 = 3 (7) + c 4 c = – 29 4 3 29   ⇒   Q10, – 29 2 \  y = x – 4 4 4



gi S



(a) (i) PM = AM √(x – 4)2 + (y – 2)2 = √(0 – 4)2 + (5 – 2)2 (x – 4)2 + (y – 2)2 = 25 2 x – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 = 25 x2 + y2 – 8x – 4y – 5 = 0



n



k – 6 = 0 k + 2 = 0 k = 6 (abaikan) k = –2 (ignore it)   



ta







7



Area triangle Luasofsegi tiga OQB OQB



0 = 1   2 0



bi



BAB



Pe l



an



(ii) Replace Gantikan titik B(7, k) ke dalamofpersamaan point B (7, k) into equation lokus: locus: 72 + k2 – 8(7) – 4k – 5 = 0 49 + k2 – 56 – 4k – 5 = 0 k2 – 4k – 12 = 0 (k – 6)(k + 2) = 0



7 –2



0 – 29 4



0 0



Pe n



er



= 1  u10 – 203 + 02 – (0 + 0 + 0)u 2 4 = 1 u– 203 u 2 4 203 units = unit2 8



+ +



+ KBAT Ekstra



141