![KAF Türev 2 Ödev Testi 1-2, Temel Kavram 10-20 [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/kaf-trev-2-dev-testi-1-2-temel-kavram-10-20.jpg)
109 69 13 MB
Turkish Pages 30 Year 2019
Table of contents :
thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin.
1. f (x) = x 2supremegodofeducation, - 2x+5 thegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, 5. academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve 1 doğrusuna en yakın noktası bağlantıparabolünün adresini (sadecey=2x linki) [email protected] adresine gönderin.fonksiyonunun Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, eğrisi, x=1 apsisli noktasında x ekkoordinatları kaçtır? Librarynın of Petrarch" gibi olantoplamı bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin. senine teğet olduğuna göre, b
A)5
8)6
C)7
0)8
kaçtır?
E)9
A) - 2 8)0 C)1 0)2 E)3 thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin. thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin. 2. thegodofeducation, f ( x) = x3 + supremegodofeducation, ax + 1 academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların6.bir kopyasını lütfen bir yandex, google drive, mega vb. f (x) = x3 +herhangi 5 fonksiyonunun x=1 adresini noktasındaki teğeti, x+6y= 1 hesaba yükleyin ve bağlantı (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, doğrusuna dik olduğuna göre, agibi kaçtır? Library of Pergamum, Library of Petrarch" olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir eğrisine, şey değiştirmez. lütfennoktasından ikisini de fonksiyonunun x= 1Varsa apsisli yükleyin. çizilen teğet ve normali ile x ekseni arasında kalan A)7 8)6 C)5 0)4 E)3
1
bölgenin
alanı
kaç birim karedir?
A)72 8)60 C)48 O) 36 E) 24 thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin.
3.
3
f (x) = 2
X
thegodofeducation,eğrisine supremegodofeducation, academictitansgroup, fonksiyonunun x=1 apsisli noktasından çi- atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, zilen denklemi aşağıdakilerden hangisidir? mega teğetin vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri 4 7. bu klasörlerin f ( x) =--;"Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan 2018 yave da g(x) 2019 =2x versiyonu olması bir şey 2x A) y= - 4x-1Varsa lütfen 8)y=4x-1 C) y= - 4X+2 değiştirmez. ikisini de yükleyin.
1
fonksiyonlarının belirttiği eğriler
dik kesiştiğine
Y= - 6x+ 6 O) Y=-6x+9 thegodofeducation, supremegodofeducation,E) academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle a değeri kaçtır? girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfengöre, herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey A)-1 değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin. E)...2_ 8)-1 2 16 12 thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle
girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin.
4. thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin.
1
---_.,;..3--+:::::o--.......x
8.
y = ax3 - 6x 2 + 12x - 8
fonksiyonunun grafiğinin Ox eksenine paralel teğetle thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel Yukarıdaki şekilde f parabolünün grafiği veril miştir. rinin değme noktalarının apsisleri x 1drive, ve x2mega dir. vb. davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, 1 1 Buna göre, f' (O) + f (-3) + f (- 6) x 1. x 2 =olması 4 olduğuna göre, a kaçtır? Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibikaçtır? olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin. A)-4 C) 1 0)2 E)4 B)-2 A)O 8)2 C)4 0)6 E) 8 thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel davetiyelerle girebildiğiniz; drive klasörlerinin içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini de yükleyin.
9.thegodofeducation, f ( x) = ax 2 - 2x + 1 13. f(x) = ax 3 +atgacademictitans, b supremegodofeducation, academictitansgroup, parabolünün üzerindekivb. x=1adreslerden apsisli noktasından çi- davetiyelerle academictitansgroupai gelen özel girebildiğiniz; drive klasörlerinin fonksiyonunun x = ~ noktasındaki teğeti orijinden 4y+x=c doğrusuna paralel olduğuna zilen normali içinden indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, drive,x mega vb.kestiği geçtiğine göre, bugoogle fonksiyonun eksenini göre, a kaçtır? noktanın apsisi kaçtır? hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör "Library 0)4 of Alexandria, A) 1 B)2 isimleri C)3 E)S Library of Pergamum, 3 Library of Petrarch" 5 gibi A) - 1 B)-C)-2 0) - E)-3 olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. Varsa lütfen ikisini 2 2 de yükleyin.
thegodofeducation, supremegodofeducation, academictitansgroup,
14. atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen fonksiyonunun apsisli noktada y=2 A(4, O) çizilen birbirusuna göre, girebildiğiniz; b özel davetiyelerle driveparabolüne klasörlerinin içinden göre, a rine dik A) - 1 B)O dosyaların C) 1 0)2 E)3 indirdiğiniz bir kopyasını lütfen herhangi bir yandex, A) 1 B)2 C)3 0)4 E)S google drive, mega vb. hesaba yükleyin ve bağlantı adresini (sadece linki) [email protected] adresine gönderin. Klasör isimleri "Library of Alexandria, Library of Pergamum, 9 11. f(x) = 20< +1 15. f(x)=Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin 2018 ya da 2019 x fonksiyonu nun üzerindeki x = 1 apsisli A noktaversiyonu şey değiştirmez. Varsa lütfen denoktasından fonksiyonunun eğrisineikisini x = -./3 apsisli çizilen olması x ekseninibir B kesmekteçizilen ile eksenlerin üçgensel dir. yükleyin. kaç birimkaredir? bölgenin 10.
eğrisix =- 1
teğet olduğuna
doğ
noktasından
kaçtır?
olduğuna
teğetler
kaçtır?
eğrisine,
sından
teğeti
noktasında
teğeti
0(0, O) olduğuna göre, ABO üçgeninin rimkaredir?
alanı
oluşturduğu
alanı
kaç bi-
A)6 B)9 C)12 0) 18 E)24 thegodofeducation, supremegodofeducation, A)2 B)3 C)4 0)6 E)8 academictitansgroup, atgacademictitans, academictitansgroupai vb. adreslerden gelen özel girebildiğiniz; drive 12.davetiyelerle 16. klasörlerinin içinden y. indirdiğiniz dosyaların bir kopyasını lütfen herhangi bir 2··················1 drive, mega vb. hesaba yükleyin ve yandex, google bağlantı adresini (sadece linki) ---;;;,,:;;...---+0=-----!2::-----+-•X [email protected] adresine gönderin. f fonksiyonu ile A(2,2) Klasör isimleri "Library of Alexandria,d Library of y=f(x) fonksiyonuna A g(x) = x-f(x) Pergamum, Library of Petrarch" gibi olan bu klasörlerin göre, g (2) Buna göre, bölgenin kaç birimkaredir? 2018 ya da 2019 versiyonu olması bir şey değiştirmez. A)2 B)3 C)4 0)5 E)6 C)9 0)8 E)6 A)18 B)12 Varsa lütfen ikisini de yükleyin. y
A
Yukarıdaki şeki l de,
noktasındaki
teğeti verilm iştir.
Şekildeki
doğrusu,
noktasında
teğettir.
olduğuna
1-C
2-E
1
3-D
4-A
kaçtır?
5-A
boyalı
6- B
7-C
8-C
9-C
10-C
11-B
12-B
alanı
13-C
14-E
15-D
16-A
1.
Pozitif gerçel sayı larda ta nı mlı
5.
f (x) = x 3 - 3x2 + 2
eğrisinin
fonksiyonun grafiğine hangi noktadan çizilen Ox eksenine paralel olur?
x= 2 ve x=0 noktalarındaki teğetleri aratanjant değeri 4 olduğuna göre, a kaç
sındaki açının
teğeti
olabilir? A) - 4
A)(2,- 2)
8)(1,0)
C) (0,2)
D) (-2, 1)
parabolünün A(x,y) n oktas ın daki K(0,3) noktasın da kesmektedir.
y = x3 +ax 2 +b
fonksiyonunun grafiği apsisi x=2 olan noktasında Ox eksenine teğet olduğuna göre, b kaçtır? A) 1
8) 2
C)3
C)3
E)6
D)4
y2 =9x
6.
2.
8) - 3
E)(4,2)
D)4
Buna göre, x+y
A)6
E)5
teğeti
Oy eksenini
kaçtır?
8)8
C) 10
D)12
E)1 4
y = -x 3 ve y = x 2 + 2bx + c
3.
y = ax 2 - 4x + 3
eğrileri
fonksiyonunun grafiği y= 1 ğuna göre, a kaçtır? A)-2
8) - 1
C)1
doğrusuna teğet
D)2
oldu-
A) - 4
E)4
2
fon ksiyonunun grafiğinin Ox eksenine paralel rinin değme no ktaların ın apsisleri x1 ve x 2 dir.
teğetl e
A) - 6
8)-4
C)2
D)3
8) - 2
teğettir.
C) 1
D)2
3'9
noktasından çizilen teğetin üzerinde, değme noktasın dan itibaren IA8I= 1 br olacak şekilde 8 n o ktası a lı nıyo r. noktalarının ordinatları farkı
tır?
E)6
E)4
A(~ _i_J Buna göre, B ve A
x1 + x 2 = 8 olduğuna göre, b kaçtı r?
birbirine
y = x 2 parabolü üzerindeki
D
1
y = 4a x + - x+b
no ktasın da
Buna göre, _ c _ kaçtır? (a>O) a-b
8. 4.
A(a, b)
A)~ 2
8)~ 5
D)2_ 5
kaç-
9.
f ( x ) =3x 2 +12
13.
fonksiyonunun x = a apsisli noktasındaki den geçtiğine göre, f(a) kaçtır? A) 12
8 ) 16
teğeti
0 ) 24
C)1 8
f ( x ) = ~ 2x - 3
fonksiyonunun A(a,b) noktasındaki teğeti orijinden, aynı noktadaki normali ise B(c, O) geçtiğine göre, ABO üçgeninin alanı kaç birimkaredir? (O: Orijin)
orijin-
E) 32
8) 2,/3
A)2
10.
0)4,/3
C)4
E)6
f ( x )= a+x
14.
X
fonksiyonunun ğetlerden
eğrisine
eğimi
pozitif
(1, 1)
noktasından
olanın
değme
çizilen te-
fonksiyonunun eğrisine üzerindeki K(b, 2) noktasın dan çizilen normali y =- 4x - c olduğuna göre, c kaç-
noktasının
ordinatı kaçtır?
11.
tır?
8) 2
A) 1
C) 3
0) 4
E) 5
f(x)=3Fx°
fonksiyonunun eğrisine orijinden çizilen birine dik olduğuna göre, a kaçtır?
8(-6,0) n o kta sı nda kesmektedir. kaçtır?
A) - A) 6
0 )10
C) 12
E) 8
15.
fonksiyonunun A (a, b) nokta s ı n d a ki te ğ eti , Ox eksenini
Buna göre, a
8)1 4
A)16
8) 5
C) 4
0)3
E) 2
1 2
1 8)--
C) - 1 4
4
teğetler
O)_!_ 2
bir-
E) 1
f ( x ) = _g_
12.
X
fon ksiyonunun eğ ri s i ni n üzerindeki A(a, b) n o ktasın daki
fonksiyonunun eğrisi ni n üzerindeki A (a, b) noktasınd aki
te ğeti Oy eksenini 8 (0, - 7) n o kta s ında kesiyor.
teğ eti Oy eksenini 8(0, 4) noktasında kesiyor.
Buna göre, b kaçtı r?
Buna göre, a + b toplamı
A) 11
1-A
2-D
8) 15
3-D
C) 17
4-B
5-D
6- C
A) 4
E) 24
O) 19
7-D
8-E
9-D
10-E
11-A
8)5
12-C
kaçtır?
0) 7
C) 6
13-B
14-B
15-C
E)8
16-E
· Artan .:.. Azalan Fonksiyonlar ./ Artan Fonksiyon:
y.
:/1f(x)
f(x)= x3+ kx 2 + 3x + 5
f : R ~ R.
t(x)= - ~x3 - (a-2) x2 - x + b
f : R~R.
f (x)=x3 -5x2 + 3x-9
f(x), [a,b] aralığında ta nımlı
- -x
-+---''- - - ·
f: R -> R,
(a, b) aralığında türevl i bir fonksiyon olsun. vx e (a,b) için f(x) > O ise f(x), [a, b] aralığında artand ı r.
Fonksiyona artan olduğu aralı kta çizilen teğetler Ox ekseni ile pozitif yönde dar acı yapar. Dolayısıyl a eğ im pozitiftir. Bu sonuç bize fonksiyonun artan olduğu aralı kta türevinin pozitif olduğun u söyler. Sonuç olarak;
3
• f fonksiyonu [a,b] a ralığ ı nda artan ~ ...................... dır.
li·!W!iw f:R~ R.
f (x)=12x - x3
fonksiyonunun artan olduğu aralık [a, b] olduğuna göre, a.b kaçtır?
Buna göre, f 1(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıktaki en büyük x tam
sayısı kaçtır?
./ Azalan Fonksiyon: y
Fonksiyona azalan old uğ u aralı kta çizilen teğetler Ox ekseni ile pozitif yönde geniş acı yapar. Dolayıs ıyla eğim negatiftir. Bu sonuç bize fonksiyonun azalan olduğ u aralıkta türevinin negatif olduğunu söyler. Sonuç olarak; • f fonksiyonu [a,b] aralığında azalan ~ ...................... dır.
l ım!iiiiJ-----fonksiyonunun azalan olduğu aralık [b, b+2] olduğuna göre, a+b
toplamı kaçtır?
(b * O)
f fonksiyonu (a, b) aralığında pozitif değerli artan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta kesinlikle azalandı r?
A)2f (x) 1 D) f ( X)
1
E)--f2 (x)
1.
f :R~ R.
f (x)=x 2 -6x+5
5.
fonksiyonunun azalan olduğu en ğıdakilerden hangisidir? A) (-oo, 1]
geniş aralık aşa
f : R~R .
f ( X)
lıktaki
x tam
x3
2
8)28
8)-4
C)-3
0)4
[-1, 2]
E) f (x)+ x 2
f fonksiyonu (a,b) aralığında pozitif değerli artan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi aynı aralıkta daima azalan bir fonksiyondur? 8)f 2 (x)
A) f(x) +2x
E)6
C) (fof )( x)
1 O) f(x)
D
8.
fonksiyonu daima artan olduğuna göre, m nin kaç farklı tam sayı değeri vardır? A)3
8)4
0)6
C)S
aynı
C)f(x)-2x
f(x)
O) x - f 3 (x)
7.
geniş aralık
E)33
aralığında azalandır.
1 8) - -
A) f(x)+2
E) [-4,4 ]
f(x ) =ax 3 +bx 2 - 12x +7
O) 31
Buna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır?
C) [4, oo)
fonksiyonunun azalan olduğu en olduğuna göre, a.b kaçtır? A)-6
f fonksiyonu (-oo, O)
C)29
aralıkta
geniş aralık aşağı
8 ) [-2, 4] O) [-4,2]
f:R~R.
6.
5
3
fonksiyonunun artan olduğu en dakilerden hangisidir?
3.
sayılarının toplamı kaçtır?
E) [3, oo)
= - - + X + 8x -
A) (-oo,-2]
2 - 8X + 4
Buna göre, f 1(x) fonksiyonunun azalan olduğu ara-
C) [5,oo)
A)27
2.
3
-X
fonksiyonu veriliyor.
8 ) [1,5] O) (- oo,3]
x4 f ( X) =12
f:R~R.
1 E) - f(x)
f fonksiyonu (O,oo) aralığında tanımlı negatif değerli azalan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta kesinlikle artan bir fonksiyondur?
E)7 O)f(x)-x
1-D
2-B
3-A
4-E
5- E
6-D
7-D
8-B
·· Maksimum-Minimum Değerler 1) f fonksiyonunun
tan ı m
kümesine ait olan x=a
./ Ekstremum Noktalar ile Türev İlişkisi:
noktasına
çok yakın değe rl er için, f(x) fonksiyonunun en küçük değeri f(a) ise f(x) fonksiyonu x=a noktasında bir yerel minimuma sahiptir.
Teorem: f: [a,b] --t R, y = f (x) fonksiyonu, [a,b] aral ığ ı nda sürekli ve ( a,b) aralığında türevli olsun. Bu fonksiyonunun x 0 E ( a, b) noktasında yerel ekstrem umu varsa, f 1( xo) = O dır.
f:R~A. f(x)=(x-2) 2
fonksiyonunun grafiğini çizerek, yerel minimum noktasını bulallım.
fonksiyonunun yerel ekstremum
noktalarının
apsisleri
toplamı kaçtır?
2) f fonksiyonunun çok
yakın değerler
tanım
kümesine ait olan x=b noktasına
için, f(x) fonksiyonunun en büyük
f(b) ise f(x) fonksiyonu x=b ma sahiptir.
noktasında
değeri Uyarı: Yukarıdaki
bir yerel maksimu-
teoremin
karşıtı
her zaman
doğru
olma-
yabilir. Yani f 1( x 0 ) = O olduğu halde x 0 E ( a,b) noktası nda fonksiyonun yerel ekstremumu olmayabilir.
f:R~A, f(x) =4x - x 2 f: R --t A, f(x)
fonksiyonunun grafiğini çizerek, yerel maksimum noktasını bulalım.
fonksiyonunun
1
= lx -
3I
grafiğini
çizerek, yerel ekstremumu olup
olmadığını bulalım.
3) Bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarına o fonksiyonun yerel ekstremum nokta ları denir. ./ Yerel ekstremum değerleri kendi içinde yerel ya da mutlak olarak şu şekilde sın ıflandırılabil ir: f(x) fonksiyonunun yerel minimum değerlerinden en küçük olanına mutlak minimum, yerel maksimum değerlerinden en büyük olanına mutlak maksimum denir.
f:[0,3J~A. f (x)=lx 2 -4I
fonksiyonunun inceleyelim.
grafiğini
çizerek, yerel
ekstremumlarını
f: [x1, xs] ~ A olmak üzere,
Y.
D
- 2 :,; X< 1 1:,; X < 2 fonksiyonunun grafiğini çizerek, yerel ekstremumlarını inceleyelim.
v' Yerel min. { ......................}
v' Yerel max.{ ..................}
v' Mutlak min. {..................}
v' Mutlak max.{.................}
4) Ekstremum için fonksiyonun
./ SONUÇLAR:
1) f fonksiyonu
tanı m
kümesindeki bir noktada yerel ekstre-
muma sahip ise, bu noktanın bir kritik nokta ya da uç nokta ol mas ı gerekir.
-+--a----...---"""c---ı~·x
Hatırlatma:
~
f: [ a,c ] --; R
x=c ...................................... .. ... .
f fonksiyonu [a,b]
kapa lı ara lı ğında
sürekli bir
x)
X=a ............................
......,,_ .,...._......,.a____,...x
X=a ..... .... ... ......... .. .... ..... .... ..... .. .
X=b .............. ............................. .
olma koşulu vazge-
y
y
~
tanım lı
çilmezdir. Yani fonksiyon tanımlı değilse 3. maddedeki bilgiler her zaman doğru olmak zoru nda değ ildir.
1
s) Bir fonksiyonun kritik ya da uç
noktasındaki değeri, yerel
ekstremum değeri olmak zorunda deği ldi r. Kritik ya da uç noktadaki değerler o fonksiyon için yerel ekstremum adayl arıd ı r.
fonksiyon olsun. (a,b) aç ı k a ral ı ğında fonksiyonun ; ~
birinci türevinin
sıfır olduğu
~
birinci türevinin
tanımlı o l madığı
noktaya fonksiyonun bir kritik
2) Bir
noktanın
.,/ y
ya da
noktası
den ir.
yerel ekstremum nokta o l ması o noktada
---+---'1 -- - - x
fonksiyonun türevli olmasını gerektirmez. X= 1 ............ ................
X=2 ........................... .
.,/ y
.,/
y
~: :
:
-+-"""a--'-b----'c---ı~x
f: [a,c] --; R X=a .................... ..................... .. .
y
2 ......... .
4 ......... .
X=b .. .......................................... x=c ............. .............................. .
3) Sürekli bir f fonksiyonu x = a öncesinde artan,
azalan ise f fonksiyonu X=a noktasında bir yerel maksimuma, X= b öncesinde azalan, sonrasında artan ise f fonksiyonu x=b noktasında bir yerel minimuma sahiptir. Aşağ ı da,
reel sayılarda tanımlı ve türevli bir f fonksiyonunun grafiğ i ile bu fonksiyona ait türev fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Bu grafiğ i anlamak çok çok önemlidir.
Y.
ı
sonrasında
X=1 ............................
.,/ y
X=2 ... .................... .....
.,/
y 3 ··········•
2 ·~ 1 ············t __ _ _...__ _ _ x
max
3 f (x)
X=3 ............... .............
.,/
X= 1 ........................... .
.,/ y
2
ı\
1··· ····· : \_
---,'1,---;----.x X=2 ............................
X=1 ...................... .. ....
,/ y
y
,/
f: R----.+ R
f : [-1,4]----.+ [0,3]
Mutlak max: ................ .
Mutlak max: .................
Mutlak min: ................. .
Mutlak min: ................. .
y
,/
,/ y
f : (0,3] ----.+ (0,4] Mutlak max: .................
1
f: (-1,3]----.+ (1,3] Mutlak max: .................
Mutlak min: ..................
.... ....
X
Mutlak min: ..................
1
-1
,/ y
2
X
y
,/
f: [0,5]-----+ [-1,3]
f : [-1,3]----.+ [0,2]
Mutlak max: .................
Mutlakmax: .................
Mutlak min: ..................
Mutlakmin: ..................
X
-1
-1
1
,/ y
4
3
f: [-1,3]----.+ A
• ··········· 3
Mutlak max: .................
Mutlak max: .................
Mutlak min: ..................
Mutlak min : ..................
X
X
-1
,/ y
,/ y
2015- LYS
f: [0,3] -----+ [1,+oo)
f: [0,4]----.+ [1,4)
Mutlak max: .................
Mutlak max: .................
Mutlak min: ..................
X
Mutlak min: ..................
1
X
,/
,/ y 4
X
y
,/
f: (0,3) ----.+ (0,4)
1
y f: [-1,2]----.+ (-1,2)
X=2
f: [0,3] -----+ (-oo,4]
Mutlak max: .................
Mutlak max: .................
Mutlak min: ..................
Mutlak min: ..................
X
X -1
../ f(x) sürekli bir fonksiyon ve x = a, f(x) in kritik noktası ise; f 1(x) fonksiyonu x=a noktasında işaret değiştiriyorsa, f(x) fonksiyonu x=a noktas ı nda bir yerel ekstremuma sahiptir. Başka bir deyişle; f 1(x) = O denkleminin tek katlı bir kökü X=a ise f(x) fonksiyonu x=a noktasında bir yerel ekstremuma sahiptir. Eğer x=a, f 1(x) = O denkleminin çift katlı bir kökü ise yerel ekstremum değeri yoktur.
Aşağıdaki fonksiyonların ekstremumlarını
1 Ekstremum
Uygulamalan
IMMW olduğuna
göre, f fonksiyonunun ekstremum
değerlerini
bulalım.
inceleyiniz.
a) f:R~A, f(x)=(x - 2)3
b) f:R~R. f 1(x)= x 3 -4x
fonksiyonunun maksimum
a
b
1
1
C
f : [1,oo)~ R .
1
olduğuna
değeri kaçtır?
(2011- LYS)
f(x) = ~ - ~ 2
göre, f fonksiyonunun ekstremum
noktasının
koordinatları toplamı kaçtır?
x=a
noktasında
.................................................................................... .
x=b noktası f(x) in bir ..................................................... noktasıdır. x=c noktası f(x) in bir ..................................................... noktasıdır.
a
b
C
d
1
1
1
1
x=a noktası f(x) in bir ..................................................... noktasıdır. X=b
noktas ı
f(x) in bir .....................................................
noktas ı dır.
x=c noktas ı f(x) in bir ..................................................... noktasıdır. x=d
noktas ı
f(x) in bir ..................................................... noktas ı d ı r.
o
f : R ~ R,
f ( x ) = x 3 + x 2 + ax - b
fonksiyonunun A(a, b) noktasında bir yerel maksimumu x= c apsisli noktasında ise yerel minimumu olduğuna göre, a.b.c kaçtır? (a ~ O)
,/ Kübik Fonksiyonlarda,
f: R---+ R,
Ekstremum Nokta
f (x) = ~x3 -(a-4)x 2 + 4x +9 3
fonksiyonunun ekstremum 5 olduğuna göre, a kaçtır?
noktalarının
apsisleri
Olmaması
Durumu:
f : R ---+ R, f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d biçimindeki kübik fonksi-
toplamı
yonlarda yerel ekstremum • f 1(x)
noktalarının olmaması
için,
* O (kökü olmamalı) veya
• f 1( x) = O denkleminin çift katlı kökü olmalıdır. Sonuç olarak: f 1(x) = O denkleminde /:ı ~ Oolmalıdır.
ffl 11-M•iU f:R--.+R, f:R--.+R,
fonksiyonunun ekstremumu olmadığına göre, a leceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
f (x)= x 3 + ax 2 - 9x - 7
fonksiyonunun yerel maksimum noktası B dir. [AB] nin orta
noktasının
noktası
A, yerel minimum
apsisi 1 olduğuna göre, a
f(x) = ax 3 -ax 2 +x+4 nın
alabi-
kaçtır?
,/ Kübik Fonksiyonfarda,
f:R--.+R,
1
f (x) = mx(x 2 -3)
fonksiyonunun yerel maksimum noktası B dir.
noktası
A, yerel minimum
3
Farklı
Reel Kök
Olması
Durumu:
f : R ---+ R, f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d biçimindeki kübik fonksiyonlarda 3 farklı reel kök olması durumunu inceleyelim:
IABI = 2Js olduğuna göre, m kaçtır? (m > O)
f: R--.+ R,
f : R---+R,
fonksiyonunun eğrisi x eksenini 3 farklı noktada kestiğine göre, k nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
f (x)= x 3 -6x 2 +9x-b
fonksiyonunun yerel maksimum mum değerine eşittir. Buna göre, b kaçtır?
değeri,
f(x) = 2x3 -6x+k
türevinin yerel mini-
1.
f ( x)=-x 3 + 3x 2
f:R---+R ,
fonksiyonunun ekstremum uzaklık kaç birimdir? A)2
B)2J5
5. noktaları arasındaki
f: R---+R,
f(x )= x 3 - 2(m+1) x 2 + 12x - 5
fonksiyonunun daima artan olabilmesi için m hangi aralıkta olmalıdır?
C)4
0)4J5
E)S
A) [- 1,2]
B) (-4,2] O) [- 2,1]
2.
f (x) = - ~ x 3 - 2x 2 + 4x + 9 3
f : R - > R,
fonksiyonunun ekstremum
noktalarının
6. apsisleri
4
B) 12
fonksiyonunun A(p,9)
0)6
C)8
noktasında
B) 2
C) 3
A)-1
E)4
1 bir yerel maksi-
mumu olduğuna göre, p 2 + k 2 kaçtır? A) 1
f: R ---+ R, f(x) = x 3 - 3x 2 + L
değeri kaçtır?
f : R---+R , f (x)=x 3 -6 x2 - 15x + k
3.
E) [- 2,4]
fonksiyonunun eğrisi x eksenini bir noktada kestiği ne göre, L nin alabileceği en büyük negatif tam sayı
çarpımı - - 1- olduğuna göre, a kaçtır? A) 16
0)4
7.
B) - 2
C)-3
E) - 6
denkleminin birbirinden farklı 3 reel kökünün olması için m aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunmalı dır?
E) S
A)m~ 3
f : R ---+ R, f ( x) = x 3 - 6x 2 + 15x + 9
C) m :5 - 3
B) -3 < m < -2 E) 2 < m :5 3
x 4 -6x 2 + c =Ü
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f 1(x) fonksiyonunun yerel minimum de-
denkleminin birbirinden farklı 4 reel kökü olduğuna göre, c nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri var-
ğeri kaçtır?
dır?
A)3
1- 8
0) - 4
x 3 - 3x + m =Ü
0) - 2 < m < 2
4.
C) (-oo,- 1]
B)6
2-A
C) 12
0 ) 19
3-8
E) 23
4-A
A)1
5-8
B)2
6-A
C) 4
0)6
7-D
E)8
8-E
Grafik Yorumu
Şimdi sıra sizde: Az önce öğrendiklerinizi soru üzerinden yorumlamaya çalışın .
,/ Grafiğ i veri len bir fonksiyonu yorumlamak Grafiğ i verilen bir fonksiyonun, maksimum/minimum ya da artan/azalan olduğu aralıklar tespit edilebilir. Aşağıda
verilen grafik üzerinden belirtilen
Dikkat!
Eğer aynı
grafik f(x) in olursa
aşağıda
verilen iki
nasıl yorumlamalı
yız? f 1(x) in olursa nasıl yorumlamalıyız?
noktaları
IM&d
boşlukları
dolduralım:
,/ y,
Yukarıda Yukarıda
• Artan
verilen
garfiğe
olduğu aralık
• Minimum
noktaları
• Maksimum
• Artan
............................................................. .
olduğu aralık
• Azalan
göre, f(x) fonksiyonunun;
............................................................. .
noktaları
• Maksimum
a.
e
........................................................................ .
olduğu aralık
• Minimum
............................................................. .
noktaları
olduğu aralık
• Azalan
............................................................. .
verilen garfiğe göre, f(x) fonksiyonunun;
..................................................................... .
..........................................................................
noktaları
...................................................................... .
f(x)-f 1(x) < o
eşitsizliğini sağlayan X değerleri hangi aralıkta bulunur?
,/ Türevinin g rafi ği verilen bir fonksiyonu yorumlamak
Türevinin grafiği verilen bir fonksiyonun, maksimum/minimum noktaları ya da artan/azalan olduğu aralıklar tespit edilebilir. Aşağıda
verilen grafik üzerinden belirtilen
boşlukları
dolduralım:
,/
y,
Yukarıda
Yukarıda
• Artan
verilen garfiğe göre, f(x) fonksiyonunun;
olduğu aralık
• Azalan
..............................................................
olduğu aralık
• Minimum
noktaları
• Maksimum
............................................................. .
..............................................................
noktaları
..............................................................
O•
Artan
verilen garfiğe göre, f(x) fonksiyonunun;
olduğu aralık ........................................................................ .
• Azalan
olduğu aralık
• Minimum
noktaları
• Maksimum
..................................................................... .
..........................................................................
noktaları
.......................................................................
• (3,5) aralığında (fof)(x) fonksiyonunun artan ya da
azalanlığını
inceleyiniz.
1.
4.
y C
Şekilde
E f{x)
f{x) fonksiyonunun grafiğ i verilmiştir.
Buna göre, A, B, C, D, E noktalarından hangisi veya hangilerinde f(x) ve f' (x) in işaretleri aynıdır? A) B ve E
B)
Yalnız D
D) A ve D
C) C ve A
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonuna göre, dakilerden hangisi yanlıştır?
1
aşağı
A) f 1{e) > 0 dı r.
B)
E) B ve C
(totY(c) S için fonksiyon
E)7
0) 6
0
![KAF-Temel Kavram Yeni Nesil Sorular (Özel Ders 2.Hafta) [2]](https://pdfs.asia/img/200x200/kaf-temel-kavram-yeni-nesil-sorular-zel-ders-2hafta-2.jpg)
