Kalkulus Teknik 1ST PDF [PDF]

Citation preview

Riyadi Juhana



Riyadi Juhana



Kalkulus Teknik



Kalkulus Teknik Edisi Pertama



Penulis Editor Desain Sampul Layout



: Riyadi Juhana : : Riyadi Juhana : Riyadi Juhana



E-mail



: [email protected]



Copyright©2020 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang All Right Reserved



ISBN:XXX-XXX-XXXXX-X-X xxix+407 hlm.; 16 x 24 cm Cetakan Pertama: Agustus 2020



KATA PENGANTAR Rekayasa untuk teknologi merupakan salah satu pilar utama dalam mendukung kemajuan dibidang rekayasa dan teknologi. Kalkulus atau matematika merupakan ilmu dasar yang sangat mendukung kemajuan perkembangan rekayasa dan teknologi khususnya rekayasa dan teknologi, karena bidang ilmu matematika khusus bidang kalkulus perannya sangat besar dalam mendukung kemajuan rekayasa dan teknologi khusus yang berhubungan dengan rekayasa teknologi mekanikal dan elektrikal peralatan. yang mendukung sistem rekayasa dan teknologi. Buku Kalkulus Teknik Edisi Pertama ini di khusus sebagai rujukan dan referensi mahasiswa yang akan mendalami kalkulus untuk mendukung kemajuan rekayasa dan teknologi yang saat ini masih sangat jarang keberadaannya. Walaupun disusun sebagai buku teks mahasiswa, buku ini juga bermanfaat bagi umum para praktisi di industri yang ingin memahami kalkulus diaplikasi untuk medukung teknologi. Tidak ada ilmu yang sempurna dan kesempurna hanya milik Nya. Dalam buku ini, kami memahami bahwa akan banyak kekurangan disana-sini untuk penyempurnaan di masa yang akan datang. Kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari para pembaca semua. Terima kasih. Sentul-Bogor, Agustus 2020 Riyadi Juhana



i



DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ................................................................... i DAFTAR ISI ............................................................................. ii BAB 1 PERSAMAAN LINIER DAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN ..................................................... 1 1.1 Persamaan dan Identitas ...................................... 1 1.2 Persamaan Linier ................................................. 1 1.3 Persamaan Linier Simultan dengan Dua Variabel Yang TidakDiketahui ......................................... 135 1.4 Persamaan Linier Simultan dengan Tiga Variabel Yang Tidak Diketahui ........................................ 139 1.5 Penyederhanaan Awal ..................................... 1311 Soal Latihan .......................................................... 1314 Soal Latihan Lanjutan ............................................ 1315 Referensi .............................................................. 1316 BAB 2 SISTEM PERSAMAAN LINIER ...................................... 17 2.1 Pengertian ......................................................... 17 2.2 Metode Penyelesaian ........................................... 18 2.3 Metode Grafis ..................................................... 19 2.4 Metode Substitusi ............................................... 23 2.5 Metode Elimimasi dan Substitusi ........................... 24 2.6 Metode Cramer ................................................... 25 2.7 Metode Langsung ............................................... 29 2.7.1 Eliminasi Gauss ......................................... 29 2.7.2 Eliminasi Gauss-Jordan .............................. 32 2.8 Metode Tak Langsung ......................................... 36 2.8.1 Metode Iterasi Jacobi ................................ 37 2.8.2 Metode Iterasi Gauss-Seidel ....................... 42 2.8.3 Metode Successive Over-Relaxation ............ 46 Kasus Sistem Persamaan Linier Untuk Militer ................ 48 Soal Latihan .............................................................. 51 Referensi .................................................................. 53 BAB 3 TRIGONOMETRI ......................................................... 55 3.1 Pengantar Trigonometri ....................................... 55 3.1.1 Pengertian Trigonomrtri ............................. 55 3.1.2 Teorema Pythagoras .................................. 55 3.1.3 Rasio Trigonometri dari sudut Ketelitian ....... 57 3.1.4 Pecahan dan Bentuk Tak Terukur dari



iii



iv Rasio Trigonometri ......................................60 3.1.5 Penyelesaian dari Segitiga Sudut Kanan .......62 3.1.6 Elevasi Sudut dan Penurunan ......................65 3.2 Bentuk Gelombang Trigonometri ..........................69 3.2.1 Grafik Fungsi Trigonometri .........................69 3.3.2 Besaran Sudut ...........................................71 3.3 Segitiga dan BeberapaAplikasi Praktis ...................75 3.3.1 Aturan Sinus dan Kosinus ..........................75 3.3.2 Luas Segitiga Sembarang ..........................77 Kasus Trigonometri Untuk Operasi Militer .....................79 Soal Latihan ..............................................................81 Referensi ..................................................................84 BAB 4 SISTEM (BAGIAN) KERUCUT .......................................85 4.1 Sistem Koordinat Cartesian ...................................85 4.1.1 Pengantar .................................................85 4.1.2 Merubah dari Cartesian kedalam Koordinat Polar ...........................................85 4.1.3 Merubah dari Polar kedalam Koordinat Cartesian .....................................89 4.1.4 Menggunakan Fungsi Pol/Red di Kalkulator ...91 4.2 Lingkaran dan Sifat-Sifatnya .................................93 4.2.1 Pengantar .................................................93 4.2.2 Sifat-Sifat Lingkaran....................................93 4.2.3 Radian dan Derajat .....................................96 4.2.4 Panjang Busur, Luas Lingkaran dan Sektor ....98 4.2.5 Persamaan Lingkaran ................................ 101 4.2.6 Linier dan Kecepatan Sudut ....................... 105 4.2.7 Gaya Sentripetal ....................................... 108 4.3 Parabola ........................................................... 110 4.4 Elips ................................................................. 116 4.5 Hiperbola .......................................................... 120 4.6 Pergeseran Kerucut ........................................... 126 Soal Latihan ............................................................ 131 Referensi ................................................................ 134 BAB 5 MATRIKS DAN DETERMINAN ..................................... 135 5.1 Matriks ............................................................. 135 5.1.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks ...... 139 5.1.2 Perkalian Matriks ...................................... 140 5.1.3 Transpose Matriks .................................... 144 5.2 Determinan Matriks ........................................... 147



v 5.2.1 Kofaktor ................................................. 148 5.2.2 Adjoint Matriks Bujur Sangkar ................... 150 5.3 Invers Matriks Bujur Sangkar ............................. 152 5.4 Aplikasi Matriks dan Determinan ......................... 154 5.4.1 Penyelesaian dari persamaan simultan oleh Matriks ........................................... 154 5.4.2 Penyelesaian dari persamaan simultan oleh Determinan ............................................. 159 5.4.3 Penyelesaian dari persamaan simultan Menggunbkan kaidah Cramer’s ................. 166 5.4.4 Penyelesaian dari persamaan simultan Menggunbkan kaidah Cramer’s ................. 166 5.4.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..................... 171 Soal Latihan ............................................................. 179 Referensi ................................................................. 182 BAB 6 VEKTOR .................................................................. 183 6.1 Vektor Dalam Bidang ......................................... 183 6.1.1 Vektor ..................................................... 183 6.1.2 Perkalian Skalar........................................ 184 6.1.3 Penjumlahan Vektor: Hukum Jajaran Genjang................................................... 185 6.1.4 Vektor dalam Bidang Kooedinat ................. 186 6.1.5 Panjang Vektor ........................................ 189 6.1.6 Penjumlahan Vektor dalam Bidang Koordinat...................................... 190 6.1.7 Ciri-ciri Vektor.......................................... 192 6.1.8 Vektor Unit .............................................. 192 6.1.9 Vektor Dasar Standar ............................... 194 6.1.10 Bentuk Sudut Vektor Unit ....................... 192 6.2 Sistem Koordinate dan Vektor dalam 3-Ruang...... 200 6.2.1 Sistem Koordinat Dalam Ruang ................. 200 6.2.2 Rumus Jarak ........................................... 203 6.2.3 Rumus Titik Tengah ................................ 205 6.2.4 Vektor Dalam 3 Ruang ............................. 209 6.2.5 Vektor Dasar Standar dalam Ruang .......... 212 Kasus Vektor Untuk Operasi Militer .............................. 213 Soal Latihan .............................................................. 215 Referensi .................................................................. 220



vi BAB 7 LIMIT ....................................................................... 221 7.1 Pengantar Limit ................................................. 221 7.1.1 Contoh Kehidupan Nyata ........................... 221 7.1.2 Definisi Intuitif Sebuah Limit ...................... 222 7.1.3 Limit Satu Sisi .......................................... 228 7.1.4 Penggunaan Utilitas Grafik Untuk Evaluasi Limit ........................................... 234 7.2 Teknik Untuk Menemukan Limit .......................... 239 7.2.1 Menghitung Limit Menggunakan Hukum Limit ........................................... 239 7.2.2 Limit Polinomial dan Fungsi Rasional ......... 243 7.2.3 Limit dari Fungsi Trigonometri .................. 250 7.2.4 Teorema Tiruan ...................................... 251 7.3 Definisi Presisi dari Limit .................................... 257 7.3.1 Interpretasi Geometri............................... 261 7.3.2 Contoh Beberapa Ilustratif........................ 262 7.4 Fungsi Kontinu.................................................. 270 7.4.1 Kontinuitas Bilangan ................................ 271 7.4.2 Kontinuitas di Titik Akhir .......................... 274 7.4.3 Kontinuitas atas Sebuah Interval .............. 276 7.4.4 Kontinuitas dari Fungsi Campuran ............. 280 7.4.5 Teorema Nilai Tengah ............................. 283 7.5 Garis Tangen dan Harga Perubahan ................... 287 7.5.1 Tampilan Yang Intuitif ............................. 287 7.5.2 Estimasi Perubahan Harga Fungsi dari Sebuah Grafik .................................. 289 7.5.3 Contoh Lainnya Yang Melibatkan Prubahan Harga ...................................... 290 7.5.4 Mendefinisikan Garis Tangen .................... 291 7.5.5 Garis Tangen, Garis Secan, dan Perubahan Harga .................................... 296 Soal Latihan ............................................................ 298 Referensi ................................................................ 302 BAB 8 DIFERENSIAL .......................................................... 303 8.1 Pengantar Persamaan Diferensial ........................ 303 8.1.1 Klasifikasi Persamaan Diferensial ................ 303 8.1.2 Persamaan Turunan Biasa dan Sebagian ..... 303 8.1.3 Sistem Persamaan Diferensial .................... 304 8.1.4 Orde Persamaan Diferensial ................ 305305



vii 8.1.5 Solusi Persamaan Diferensial ..................... 306 8.1.6 Persamaan Linier dan Tak Linier ................ 307 8.1.7 Direction Field (Arah Bidang)..................... 308 8.2 Persamaan Diferensial Orde Satu ........................ 309 8.2.1 Persamaan Linier..................................... 310 8.2.2 Persamaan Terpisah ................................ 319 8.2.3 Persamaan Linier dan Tak Linier ............... 323 8.2.4 Persamaan Diferensial Bernoulli ................ 326 8.2.5 Persamaan Diferensial Eksak ................... 328 8.2.6 Persamaan Diferensial Homogen .............. 334 8.2.7 Persamaan Diferensial Polinomial ............. 336 8.2.8 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu .............................................. 338 8.3 Persamaan Diferensial Orde Kedua...................... 340 8.4 Diferensial Perkalian Fungsi ................................ 344 8.5 Diferensial Hasil Bagi Dua Fungsi ........................ 345 8.6 Fungsi dari Fungsi ............................................. 348 8.7 Diferensial Tingkat Tinggi .................................. 354 Kasus Penerapan Pada Operasi Militer(Satelit NASA) ... 359 Soal Latihan ............................................................ 360 Referensi ................................................................ 361 BAB 9 INTEGRAL .............................................................. 363 9.1 Integral Tak Tentu ............................................ 364 9.2 Fungsi dari Fungsi Linier x ................................. 368 9.3 Integral Fungsi Polinomial .................................. 370 9.4 Integral dengan Pecahan Parsial ........................ 372 9.5 Integral Tertentu ............................................... 376 9.6 Integral Lipati ................................................... 386 9.6.1 Integral Lipat Dua ................................... 386 9.6.2 Integral Lipat Tiga ................................... 388 Kasus Integral Pada Operasi Militer(Satelit NASA) ....... 390 Soal Latihan ............................................................ 399 Referensi ................................................................ 402 INDEKS............................................................................... 403 TENTANG PENULIS ...................................................................



BAB 1 Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



BAB 1 PERSAMAAN LINIER DAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN 1.1 Persamaan dan Identitas Persamaan merupakan suatu pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang cocok untuk suatu bilangan nilai variabel tertentu atau suatu variabel yang tidak diketahui, serta penyelesaian persamaan merupakan proses menentukan nilai tertentu ini. Jika pernyataan persamaan benar untuk semua nilai yang tidak diketahui, pernyataan tersebut merupakan suatu identitas. Sebagai contoh x2 + y2 = (x - y)(x + y) nilai x dan y semua benar merupakan identitas. Tanda kesamaan dalam kasus identitas sering diberi tanda garis tiga (≡), tetapi dalam aplikasinya tanda kesamaan normal lebih sering digunakan. (a + 3)2 = a2 + 6a + 9 merupakan identitas, benar untuk semua nilai a, sedangkan untuk (a + 3)2 = a2 + 4a + 17 merupakan persamaan, benar hanya jika a = 4. 1.2 Persamaan Linier Persamaan linier merupakan suatu persamaan hanya satu variabel yang tidak diketahui dengan pangkat tidak lebih tinggi dari variabel yang pertama. Persamaan linier juga merupakan suatu persamaan sederhana. Solusi persamaan linier Solusi persamaan sederhana pada dasarnya merupakan penyederhanaan persamaan dari masing-masing ruas persamaan yang berbenruk ax + b = cx + d menghasilkan ax – cx = d – b sehingga x =



𝐝−𝐛 𝐚−𝐜



.



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



1



2



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Contoh 1: Jika 5x +6 + 4x -2 + 3x – 1 = 30 + 5x, maka 12x + 3 = 5x + 30 jadi 7x = 27, sehingga nilai x =



27 7



Contoh 2: Jika 5(x -1) + 2(x + 7) = 4(2x – 1) + 2(3x +3) maka x = .... Untuk 5(x -1) + 2(x + 7) = 4(2x – 1) + 2(3x +3), Jadi 5x - 5 + 2x + 14 = 8x – 4 + 6x + 6 = 7x + 9 = 14x + 2



𝟕



Jadi 7 = 7x, sehingga nilai x = = 1



𝟕



Persamaan yang dianggap bukan persamaan yang sederhana dapat dikembangkan menjadi suatu persamaan sederhana. Misalkan (4x + 1)(x + 3) – (x + 5)(x – 3) = (3x + 1)(x – 4) (4x2 +13x + 3) – (x2 + 2x – 15) = (3x2 – 11x – 4) Jadi 3x2 + 11x + 18 = 3x2 – 11x – 4 3x2 sekarang dapat dikurangi masing-masing ruas, memberikan 11x + 18 = -11x -4, jadi 22x = -22 sehingga x = -1. Ini biasanya selalu mengecek hasil dengan subtitusi nilai ini untuk x dalam persamaan aslinya yaitu: Ruas Kiri (RKI)= (4x + 1)(x + 3) – (x + 5)(x – 3) = (-3)(2) – (4)(-4) = 10 Ruas Kanan (RKA) = (3x + 1)(x – 4) = (-2)(-5) = 10 sehingga nilai RKI = RKA Contoh 1 Untuk cara yang sama, selesaikan persamaan dibawah ini,



3



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



(4x + 3)(3x – 1) – (5x – 3)(x + 2) = (7x + 9)(x – 3) Berapa nilai x = .... Penyedehanaan persamaan diatas adalah: (12x2 + 9x – 4x – 3) – (5x2 – 3x + 10x – 6) = 7x2 – 21x + 9x – 27 (12x2 + 5x – 3) – (5x2 + 7x – 6) = 7x2 – 21x + 9x – 27 7x2 – 2x + 3 = 7x2 – 12x – 27 Sehingga nilai 10x = -30, jadi x = -3 Dimana untuk menyederhanakan persamaan pecahan aljabar, langkah pertama yaitu mengeliminasi penyebut dengan mengalikan semua dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Contoh 2 Untuk menyelesaikan



x+2 2



-



x+5



=



3



2x−5 4



+



x+3 6



KPK 2, 3, 4 dan 6 yaitu 12, sehingga



12(x+2) 2



-



12(x+5) 3



=



12(2x−5) 4



+



12(x+3) 6



Berapa nilai x = .... 6(x + 2) – 4(x + 5) = 3(2x – 5) + 2(x + 3) 6x + 12 – 4x – 20 = 6x – 15 + 2x + 6 6x – 4x – 6x – 2x = -15 + 6 – 12 + 20 Sehingga nilainya menjadi -6x = -1, Jadi x =



𝟏 𝟔



Ini cukup mudah, Sekarang kita lihat contoh berikutnya yaitu: Untuk menyelesaikan persamaan



4 x−3



+



2 x



=



6 x−5



4



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Disini KPK pembagi adalah x(x – 3)(x – 5) Berapa nilai x = ....



4x(x – 3)(x – 5) x−3



+



2x(x – 3)(x – 5) x



=



6x(x – 3)(x – 5) x−5



Setelah itu coret yang mungkin dapat dicoret,



4x(x – 3)(x – 5) x−3



+



2x(x – 3)(x – 5) x



=



6x(x – 3)(x – 5) x−5



Sehingga persamaan menjadi, 4x(x – 5) + 2(x – 3)(x – 5) = 6x(x – 3) 4x2 – 20x + 2(x2 – 8x – 15) = 6x2 – 18x 4x2 – 20x + 2x2 – 16x – 30 = 6x2 – 18x 6x2 – 36x – 30 = 6x2 – 18x 6x2 – 36x – 30 = 6x2 – 18x – 36x – 30 = – 18x Sehingga nilainya menjadi 18x = 30, jadi x =



𝟓 𝟑



Supaya lebih memahami kerjakan contoh persamaan dibawah ini, Kerjakan dengan cara yang sama, untuk menyelesaikan persamaan



3 x−2



+



5 x−3



-



8 x+3



=0



Berapa kesimpulan nilai x =.... KPK pembaginya adalah (x – 2)(x – 3)(x + 3) Sehingga persamaannya menjadi, 3(x−2)(x−3)(x+3) x−2



+



5(x−2)(x−3)(x+3) x−3



-



8(x−2)(x−3)(x+3) x+3



=0



5



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Sehingga 3(x – 3)(x + 3) + 5(x – 2)(x + 3) – 8(x – 2)(x – 3) = 0 3(x2 – 9) + 5(x2 + x – 6) – 8(x2 – 5x + 6) = 0 3x2 -27 + 5x2 + 5x -30 – 8x2 + 40x – 48 = 0 45x – 105 = 0 Sehingga 45x = 105, jadi x =



𝟏𝟎𝟓 𝟒𝟓



=



𝟕 𝟑



1.3 Persamaan Linier Simultan dengan Dua Variabel Yang Tidak Diketahui Persamaan linier simultan merupakan persamaan dua variabel atau lebih persamaan dengan bilangan yang sama adalah bilangan variabel tercakup yang dibutuhkan untuk mencapai jawabannya. Sehingga dengan dua variabel yang tidak diketahui, diperlukan dua persamaan. Ada dua metode penyelesaian yang umumu yaitu: 1. Subtitusi. 2. Koefisien Persamaan. 1. Solusi dengan subtitusi Contoh 1 Untuk menyelesaikan dua persamaan 5x + 2y = 14 3x + 4y = 24 Untuk (i) 5x + 2y = 14, jadi 2y = 14 – 5x, sehingga y = 7 -



(i) (ii)



5𝑥 2



Jika kita subtitusikan untuk persamaan (ii), kita memperoleh, 3x - 4(7 −



5𝑥 2 ) = 24, maka 3x – 28 + 10x = 24  13x = 52,



jadi nilai x = 52/13 = 4.



6



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Jika nilai x kita subtitusikan pada persamaan asal lain misalnya. Ke persamaan (i) 5(4) + 2y = 14  20 + 2y = 14, maka 2y = -6 Sehingga y = -3, jadi kita mempunyai nilai x =4 dan y = -3. Untuk mengecek apakah nilai tersebut sudah benar, kita dapat mensubtitusikan kedua nilai tersebut pada (i) dan (ii). (i) 5x + 2y = 14  5(4) + 2(-3) = 20 + (-6) = 20 – 6 = 14 (ii) 3x – 4y = 24  3(4) – 4(-3) = 12 + 12 =24 Jadi x = 4 dan y = -3 merupakan solusi yang dibutuhkan. Contoh 2 Untuk menyelesaikan persamaan 3x + 4y = 9 2x + 3y = 8 Dengan cara yang sama penyelesaiannya adalah:



(iii) (iv) seperti



pada



contoh



1.



Maka



Contoh kita ambil dari persamaan (iv) 2x + 3y = 8, jadi 2x = 8 – 3y, sehingga x = 4 -



3y 2



Jika kita subtitusikan untuk persamaan (iii), kita memperoleh, 3(4 −



−y 2



9y −9y 8y 3y ) + 4y = 9  12 – + 4y = 9  + = -3  2 2 2 2



= -3  -y = -6, jadi nilai y = 6



Jika nilai y kita subtitusikan pada persamaan asal lain misalnya.



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



7



Ke persamaan (iv) 2x + 3(6) = 8  2x + 18 = 8  = 2x = -10, maka nilai x = -10/2 = -5, jadi nilai x = -5 dan y = 6. Untuk mengecek apakah nilai tersebut sudah benar, kita dapat mensubtitusikan kedua nilai tersebut pada (iii) dan (iv). (iii) 3x + 4y = 9  3(-5) + 4(6) = -15 + 24 = 9 (iv) 2x – 3y = 8  2(-5) + 3(6) = -10 + 18 = 8 Jadi x = -5 dan y = 6 merupakan solusi yang dibutuhkan. 2. Solusi dengan koefisien persamaan Contoh 1 Selesaikan persamaan dibawah ini 3x + 2y = 16 4x – 3y = 10



(i) (ii)



Untuk menyelesaikan persamaan-persamaan diatas dengan metode koefisien persamaan maka caranya adalah: Mengalikan kedua sisi persamaan masing-masing dengan suatu bilang tertentu sehingga salah satu variabelnya ( x atau y) dapat dihilangkan/dikurangi. Untuk penyelesaian persamaan-persamaan diatas, maka kita mengalikan kedua sisinya. Persamaan (i) dengan 3 (koefisien y pada (i)) juga kita kalikan kedua sisi persamaan (ii) dengan 2 (koefisien y pada (ii)), selanjutnya kita akan mendapatkan. 9x + 6y = 48 8x – 6y = 20 Jika kita jumlahkan kedua persamaan tersebut secara bersamasama, maka suku y akan hilang, menjadi 17x = 68, jadi nilai x = 4.



8



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Subtitusikan hasil x = 4 ini kedalam persamaan awal akan memberikan nilai pada (i) 3(4) + 2y = 16, jika 12 + 2y = 16, maka nilai y = 2. Cek pada persamaan (ii) 4(4) – 3(2) = 16 – 6 = 10. Jadi x = 4 dan y = 2 merupakan solusi yang diperlukan. Jika salah satu suku (x atau y) mempunyai nilai sama tapi tanda berbeda dimasing-masing persamaan, maka untuk meneliminsi salah satu variabel dapat secara langsung menambah kedua persamaan tersebut. Apabila mempunyai nilai dan tanda yang sama untuk satu suku (x atau y) pada masing-masing persamaan maka kita dapat mengeliminasi salah variabelnya. Contoh 2 3x + y = 15 2x - y = 10 Penyelesaianya



(iii) (iv) 3x + y = 15 2x - y = 10 + 5x = 25 x = 25/5 = 5



Subtitusikan hasil x = 5 ini kedalam persamaan (iii) akan memberikan nilai pada 3(5) + y = 15, maka nilai y = 0. Cek pada (iv) 2(5) – 0 = 10 Jadi x = 5 dan y = 0 merupakan solusi yang diperlukan. Contoh 3 3x + y = 18 4x + 2y = 21 Berapa nilai x dan y (v) x 2 6x + 2y = 36



(v) (vi)



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



(vi)



9



4x + 2y = 21 2x = 15 jadi x = 15/2 = 7,5



Subsitusikan x =7,5 pada persamaan (v) 3(7,5) + y = 18  22,5 + y = 18 sehingga y = 4,5 Cek pada (vi) 4x + 2y = 21  4(7,5) + 2(4,5) = 30 – 9 = 21 Jadi x =7,5 dan y = 4,5 merupakan solusi yang diperlukan 1.4 Persamaan Linier Simultan dengan Tiga Variabel Yang Tidak Diketahui Dengan tiga variabel yang tidak diketahui, diperlukan tiga persamaan yang mengandung jawaban yang diperlukan. Metode penyelesaiannya yaitu pengembangan penyelesaian dengan dua variabel. Contoh 1 Sekesaikan persamaan-persamaan dibawah ini, berapa nilai x, y, dan z. 3x + 2y – z = 19 4x – y + 2z = 4 2x + 4y – 5z = 32



(i) (ii) (iii)



Kita ambi dua persamaan dan eliminasi satu variabel, misalnya (i) dan (ii). 3x + 2y – z = 19 4x – y + 2z = 4 (i) x 2 6x + 4y – 2z = 38 (ii) 4x + y + 2z = 4 + 10x + 3y = 42 Sekarang ambil dua persamaan lain misalnya (i) dan (iii)



(i) (ii) (iv)



10



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



(i) X 5 15x + 10y – 5z = 95 (ii) 2x + 4y – 5z = 32 – 13x + 6y = 63



(v)



Sesudah ini penyelesaian selanjutnya yaitu menyelesaikan persamaan (iv) dan (v) untuk mencari nilai x dan y dengan cara sama seperi cara diatas. (iv) x 2 20x + 6y = 84 (v) 13x + 6y = 63 – 7x = 21 jadi x = 21/7 = 3 Subtitusikan ke persamaan (iv) 10(3) + 3y = 30 + 3y = 42, maka 3y = 12, jadi y = 12/3 = 4. Kemudian kita subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan awal yang mempunyai nilai z. Misalkan pada (ii) 4x – y + 2z = 4(3) – 4 + 2z =12 – 4 + 2z = 4, sehingga 2z = -4  z = -4/2 = -2, jadi x = 3, y = 4, dan z = -2. Cek pada (i) dan (iii) sebagai prosedur pengujian (i) 3x + 2y – z = 19  3(3) + 2(4) + 2 = 9 + 8 + 2 = 19 (iii) 2x + 4y – 5z = 32  2(3) + 4(4) +10= 6 + 16 + 10 = 32 Semuanya cocok. Penyelesaian ini jelas lebih panjang daripada hanya dua yang tidak diketahui tetapi metodenya tidak lebih sulit. Berikut ini contoh lainnya. Contoh 2 Selesaikan persamaan-persamaan dibawah ini. 5x – 3y – 2z = 31 2x + 6y + 3z = 4 4x + 2y – z = 30



(vi) (vii) (viii)



11



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Kerjakan dengan cara yang sama dan seperti biasa cek hasilnya x =...., y =...., dan z =.... (vi) x 3 (vii) x 2 (vi) (viii x 2



15x – 9y – 6z = 93 4x + 12y + 6z = 8 + 19x + 3y = 101 5x – 3y – 2z = 31 8x + 4y – 2z = 8 -3x - 7y = -29 atau 3x + 7y = 29



(ix)



(x)



Selesaikan (ix) dan (x) dan subtitusikan kembali memberikan hasil berupa x = 5, y = 2 serta z = -6. Seringkali, persamaan yang diketahui harus disederhanakan sebelum metode penyelesaikan dapat dipecahkan. 1.5 Penyederhanaan Awal Contoh 1 Selesaikan pasangan persamaan dibawah ini. 2(x + 2y) + 3(3x – y) = 38 4(3x + 2y) – 3(x + 5y) = -8 2x + 4y + 9x – 3y = 38 12x + 8y – 3x – 15y = -8



(i) (ii)  11x + y = 38  9x – 7y = -8



(i) (ii)



Pasangan persamaan ini, sekarang dapat diselesaikan dengan cara biasa. (i) x 7 77x + 7y = 266 (ii) 9x - 7y = -8 + 86x = 258, jadi x = 258/86 = 3 Subtitusikan pada (i) 33 + y = 38, jadi y = 38 – 33 = 5 Cek pada (ii) 9(3) – 7(5) = 27 – 35 = 8



12



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Sehingga nilai x = 3 dan y = 5 merupakan solusi yang diperlukan. Contoh 2



2x−1 5 3y+2 3



+



+



x−2y 10



=



4x−3y 2



x+1



=



(iii)



4 5x+4



(iv)



4



Untuk (iii) KPK = 20, jadi



20(2x−1) 5



+



20(x−2y) 10



=



20(x+1) 4



4(2x-1) + 2(x-2y) =5(x+1)  8x – 4 + 2x – 4y = 5x + 5 Jadi 5x – 4y = 9



(v)



Untuk (iv) penyederhanaannya sama seperti (iii). Untuk (iv) KPK = 12, jadi



12(3y+2) 3



+



12(4x−3y) 2



=



12(5x+4) 4



4(3y+2) + 6(4x-3y) = 3(5x+4)  12y + 8 + 24x – 18y =15x – 12 Jadi 24x – 6y + 8 = 15x + 12  9x – 6y = 4



(vi)



Sehingga diperoleh persamaan, 5x – 4y = 9 9x – 6y = 4 Kemudian kita selesaikan dengan substitusi dan eliminasi (v) x 6 (vi) x 4



30x - 24y = 54 36x - 24y = 16 -6x = 38 jadi x = -19/3



(v) (vi)



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



13



Subtitusikan pada persamaan (v) 5(-19/3) – 4y = -95/3 – 4y = 9  -4y = 9 + 95/3  -4y = 122/3 y = -122/12 = -61/6 Contoh 3 5(x + 2y) – 4(3x + 4z) – 2(x + 3y - 5z) = 16 2(3x - y) + 3(x - 2z) + 4(2x - 3y + z) = -16 4(y - 2z) + 2(2x - 4y - 3) – 3(x + 4y - 2z) = -56 Sederhanakan ketiga persamaan diatas ini. Berapa nilai x, y, dan z?. 5x + 10y – 12x – 16z – 2x – 6y + 10z = -9x + 4y – 6z = 16 6x – 2y + 3x – 6z +8x – 12y + 4z = 17x – 14y – 2z = -16 4y – 8z + 4x – 8y – 6 – 3x – 12y + 6z = x – 16y – 2z = -56 Selesaikan ketiga persamaan dengan koefisien persamaan, kita memperoleh x = 2; y = 4; z = -3. Berikut ini penyelesaianya sebagai pengecekan. -9x + 4y – 6z = 16 17x – 14y – 2z = -16 x – 16y – 2z = -56 (vii) (viii) x 3 (viii) (ix)



-9x + 4y – 6z = 16 51x – 42y – 6z = -48 -60x + 46y = 64 jadi -30x + 23y = 32



17x – 14y – 2z = -16 x – 16y – 2z = -56 16x + 2y = 40 jadi 8x + y = 20



(x) (xi) x 23



-30x + 23y = 32 184x + 23y = 460 -214x = - 428 jadi x = 2



(vii) (viii) (ix)



(x)



(xi)



14



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Substitusikan ke (xi) 8x + y = 20 8(2) + y = 16 + y =20  y = 4 Substitusikan untuk x dan y pada (ix) x – 16y – 2z = -56  2 – 64 – 2z = - 56  -62 – 2z = -56 jadi nilai -2z = -56 + 62  -2z = 6, sehingga z = -6/2 = -3. Selanjutnya cek dengan mensubstitusikan semua nilai dalam persamaan (vii). -9x + 4y – 6z = 16  -9(2) + 4(4) -6(-3) = -18 + 16 + 18 = 16 Jadi nilai x = 2; y=4; z = -3 merupakan penyelesaian yang dibutuhkan. Soal Latihan 1.



Selesaikan persamaan linier berikut ini a. 4(x + 5) – 6(2x + 3) = 3(x + 14) – 2(5 – x) + 9 b.



c.



2x + 1 3 2 x−2



-



+



2x + 5 2 3 x



=



=2+



x−1 6



5 x−4



d. (4x – 3)(3x – 1) – (7x + 2)(x + 1) = (5x – 1)(x – 2) – 10



2.



Selesaikan pasangan persamaan-persamaan simultan berikut. 2𝑥 + 3𝑦 = 7 a. { 5𝑥 − 2𝑦 = 8



dengan substitusi



4𝑥 + 2𝑦 = 5 b. { 3𝑥 + 𝑦 = 9



dengan eliminasi



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



3.



15



Selesaikan kelompok tiga persamaan dengan tiga variabel tak diketahui berikut. 2x + 3y – z = -5 x – 4y + 2z = 21 5x + 2y – 3z = -4



4.



Sederhanakan dan selesaikan kelompok persamaan simultan berikut. 4(x + 3y) – 2(4x + 3z) – 3(x – 2y – 4z) = 17 2(4x – 3y) + 5(x – 4z) + 4(x – 3y + 2z) = 23 3(y + 4z) + 4(2x – y - z) + 2(x + 3y – 2z) = 5



Soal Latihan Lanjutan



1. Ketika hukum Kirchhoff’s diaplikasikan pada sirkuit elektrikal



dapat dilihat pada Gambar 1.1 dengan arus I1 dan I2 terhubung oleh persamaan: 1.5I1 + 8(I1 – I2) = 27 2I2 – 8(I1 – I2) = -26



(i) (ii)



Gambar 1.1 Selesaikan persoalan persamaan-persamaan diatas untuk mendapatkan solusi dari nilai arus I1 dan I2.



16 2.



Persamaan Linier dan Persamaan Linier Simultan



Aplikasi hukum Kirchhoff’s pada prosedur sirkuit elektrikal mengikuti persamaan: 5 = 0.2I1 + 2(I1 − I2) (i) 12 = 3I2 + 0.4I2 − 2(I1 − I2) (ii) Hitung nilai arus I1 dan I2.



3.



Hambatan R ohm dari kawat tembaga dengan toC adalah R = Ro(1 + αt), dimana Ro adalah hambatan pada 0oC dan α adalah koefisien temperatur dari hambatan. Jika R = 25,44  pada 30oC dan R = 32,17 pada 100oC, berapa nilai α dan Ro?.



4.



Kecepatan pada saat ditembakan adalah v mengikuti rumus v = u + at. Jika v = 200 ketika t = 2 dan v = 400 ketika t = 7, cari nilai dari u dan a. Juga berapa kecepatan ketika t = 3,5.



5.



Kapsitas panas molar dari suatu bahan campuran plat baja untuk kendaraan tempur adalah c = a + bT. Ketika c = 52, nilai T = 100 dan ketika c = 172, nilai T = 400. Cari nilai a da b.



Referensi 1.



2.



Bird, John, 2007. Engineering Mathematics 5th Edition. Newnes is an imprint of Elsevier Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP, UK 30 Corporate Drive, Suite 400, Burlington, MA 01803, USA Stroud, K.A., 2001. Engineering Mathematics 5th Edition. Industrial Press, Inc. 200 Madison Avanue-New York, NY 10016-4076.



BAB 2 Sistem Persamaan Linier



BAB 2 SISTEM PERSAMAAN LINIER Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai didalam berbagai displin ilmu, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu sosial, teknik, serta bisnis. Sistem-sistem persamaan linier muncul secara langsung dari permasalahan nyata, serta merupakan bagian dari proses penyelesaian permasalahan lain, sebagai contoh solusi permasalahan non-linier simultan. Sistem persamaan linier mempunyai jumlah berhingga persamaan linier, serta bervariabel berhingga. Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier yaitu mencari nilai-nilai variabel-variabel tersebut yang memenuhi seluruh persamaan linier yang diberikan. Dasar penyelesaian sistem persamaan linier terdiri dua metode yaitu: 1. Metode langsung yaitu metode mencari penyelesaian sistem persamaan linier dalam langkah berhingga. 2. Metode tak langsung yaitu metode iterasi, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan selanjutnya berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode iterasi dipergunakan sebagai penyelesaian permasalahan sistem persamaan linier berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, yaitu sistem-sistem yang banyak dijumpai dalam persamaan diferensial. 2.1 Pengertian Persamaan linear yang jumlahnya lebih dari satu dan membentuk suatu sistem disebut dengan sistem persamaan linear. Pengertian lain yaitu suatu persamaan matematika yang mengekspresikan kesamaan dengan memuat tanda “=” yang melibatkan konstanta, variabel, dan operasi-operasi matematika. Didalam sebuah



Sistem Persamaan Linier



17



18



Sistem Persamaan Linier



persamaan, komponen-komponen dikurangkan sesama linier.



yang



dijumlahkan



atau



Serangkaian n persamaan linear:



a11x1 + a12x2 + ….. + a1rxr = b1 a21x1 + a22x2 + ….. + a2rxr = b2 an1x1 + an2x2 + ….. + anrxr = bn Sejumlah n persamaan linear ini harus diselesaikan secara simultan untuk mendapatkan x1, x2,…, xn yang memenuhi setiap persamaan tersebut. Di mana an1, an2,…..,anr dalah koefisien-koefisien dari x1, x2,...., xn yang merupakan bilangan-bilangan yang tak diketahui nilainya (variabel), dan b1, b2,....,bn adalah konstanta-konstanta. Contoh: x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 5 3x + 6y – 5z = 4 2.2 Metode Penyelesaian Dalam menyelesaiakan persoalan sistem persamaan linier, metode penyelesaian tergantung dari jumlah persamaan (n) dan jumlah variabel (r). Untuk jumlah persamaan n ≤ 3, serta jumlah variabel r ≤ 3, maka penyelesaian dapat mengunakan Metode Grafis, Metode Cramer, Eliminasi, serta Metode Substitusi. Sedangkan untuk jumlah persamaan n ≥3, dan junlah variabel r ≥ 3, maka untuk menyelesaiakannya dapat menggunakan Metode Langsung (Eliminasi Gauss, dan Gauss-Jordan), serta Metode Tak Langsung yaitu Iterasi (Jacobi, Gauss-Seidel, dan Successive Over Relaxation).



Sistem Persamaan Linier



19



2.3 Metode Grafis Pada dasarnya metode yang dikembangkan untuk memecahkan masalah sistem persamaan linier ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaanpersamaan dari suatu persamaan-persamaan linier sehingga diperoleh nilai variabel-variabel yang optimal. Contoh 1 x + 2y = 5 2x + y = 4



(i) (ii)



Penyelesaian: Persamaan (i) Jika x = 0, maka y = 5/2 = 2,5, serta jika y = 0, maka x = 5. Kemudian plot nilai x = 5 dan y = 2,5 kedalam grafis lihat Gambar 2.1.



Gambar 2.1 Grafis x + 2y = 5



20



Sistem Persamaan Linier



Persamaan (ii) Jika x = 0, maka y = 4, serta jika y = 0, maka x = 2. Kemudian plot nilai x = 2 dan y = 4 kedalam grafis lihat Gambar 2.2.



Gambar 2.2 Grafis 2x + y = 4



Gambar 2.3 Grafis x + 2y = 5 dan 2x + y = 4



Sistem Persamaan Linier



21



Jika dilihat dari grafis maka nilai x = 1 dan y = 2. Contoh 2 2x + 2y = 6 x+y =6



(iii) (iv)



Sama seperti contoh 1, maka penyelesaian untuk contoh 2 adalah sebagai berikut: Persamaan (iii) Jika x = 0, maka y = 6/2 = 3, dan jika y = 0, maka x = 6/2 = 3. Kemudian plot nilai x = 3 dan y = 3. Kedalam grafis lihat Gambar 2.4. Persamaan (iii) Jika x = 0, maka y = 6, dan jika y = 0, maka x = 6. Kemudian plot nilai x = 6 dan y = 6. Kedalam grafis lihat Gambar 2.4.



Gambar 2.4 Grafis 2x + 2y =6 dan x + y =6



22



Sistem Persamaan Linier



Dilihat dari hasil grafis adalah singular system, dengan bentuk grafis sejajar. Untuk nilai x dan y tidak ada nilai optimal untuk pasangan sistem persamaan linier ini, karena nilai masing-masing persamaan untuk x dan y berbeda. Contoh 3 Pabrik propelan padat akan memproduksi propelan 2 tipe yaitu grade A dan Grade B, bahan baku propelan tersebut berupa nitrogliserin dan nitroselulosa, banyak nitrogliserin sebanyak 40 kg dan nitroselulosa sebanyak 60 kg, untuk proses pembuatan propelan Grade A dibutuhkan nitrogliserin sebanyak 8 kg dan 6 kg nitroselulosa, sedangkan untuk membuat propelan Grade B diperlukan nitrogliserin sebanyak 4 kg dan nitroselulosa 8 kg. Berapa banyak hasil produksi propelan Grade A dan Grade B?. Penyelesaian: Misalkan: Propelan Grade A = x Propelan Grade B = y Banyaknya nitrogliserin = b1 Banyaknya nitroselulosa = b2 Kebutuhan nitrogliserin untuk Propelan Grade A = a11 = 8 kg Kebutuhan nitroselulosa untuk Propelan Grade A = a21 = 6 kg Kebutuhan nitrogliserin untuk Propelan Grade B = a12 = 4 kg Kebutuhan nitroselulosa untuk Propelan Grade B = a22 = 8 kg Jadi formulasi sistem persamaan linier untuk persoalan ini adalah:



a11x + a12y = A  8x + 4y = 40 a21x + a22y = B  6x + 8y = 60 Persamaan (v) Jika x = 0, maka y = 10 dan jika y = 0 maka x = 5 Persamaan (vi) Jika x = 0 maka y = 7,5 dan jika y = 0 maka x = 10



(v) (vi)



23



Sistem Persamaan Linier



Kemudian plot kedua persamaan kedalam grafik dan hasilnya dapat dilihat pada Gambar 2.5 berikut.



Gambar 2.5 Grafis 8x + 4y = 40 dan 6x + 8y = 60 Nilai optimal sistem persamaan linier ini dilihat dari grafis adalah: x = 2, dan y = 6. 2.4 Metode Substitusi Metode substitusi yaitu metode solusi sistem persamaan linier dengan jalan mensubstitusi salah salah satu persamaan kedalam persamaan lainnya. Contoh 2x + 3y = 12 4x + y = 8



(i) (ii)



Penyelesaian: Persamaan (i) 2x + 3y = 12  3y = 12 – 2x 



y =4-



2𝑥 3



24



Sistem Persamaan Linier



Persamaan (ii) 4x + y = 8 Selanjutnya substitusikan hasil nilai y hasil penyederhanaan pada persamaan (i) pada persamaan (ii). 4x + 4 -



Jadi x =



2𝑥



=8



3



12 10



=



6 5



3



2𝑥



-



3



+4=8



10𝑥 3



= 4  10x = 12,



6 5



Kemudian nilai x =



2.



12𝑥



6 5



disubstitusikan pada persamaan (i).



+ 3y = 12  3y = 12 -



Sehingga nilai y =



48 15



=



12 5



 y=



12 3



-



12 15



y=



60 15



-



12 15



,



16 5



Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linier tersebut adalah: x=



6 5



dan y =



16 5



2.5 Metode Eliminasi dan Substitusi Metode ini merupakan kombinasi antara metode eliminasi dengan substitusi. Contoh Berapa nilai x dan y dari sistem persamaan linier berikut. 3x – y = 6 4x – 2y = 10



(i) (ii)



25



Sistem Persamaan Linier Penyelesaian: Langkah-langkah penyelesaian: 1.



Lakukan eliminasi untuk persamaan (i) dan (ii). (i) x 2 6x – 2y = 12 (ii) 4x – 2y = 10 + 10x = 22



2.



x



=



x



=



22 10 11 5



Pilih salah satu persamaan dan lakukan metode substitusi. 3x – y = 6  3. y=



30 5



+



33 5



=



11 5 63



–y=6



33 5



–y=6y=6+



33 5







5



Jadi penyelesaian dari sistem persamaan lini adalah: x=



11 5



dan y =



63 5



2.6 Metode Cramer Metode Cramer merupakan salah satu metode sistem persamaan linier yang diperuntukan sebagai solusi apabila suatu sistem persamaan linier yang variabelnya tak diketahui, serta xi merupakan perbandingan dua determinan matriks. - Penyebut: determinan, D, matriks koefisien sistem persamaan. - Pembilang: determinan matriks koefisien sistem persamaan seperti penyebut, namun koefisien kolom ke-i diganti dengan koefisien ci



26



Sistem Persamaan Linier



Contoh 3 (tiga) persamaan linier berikut. AX = C



a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3 𝑎11 [A] = A = [𝑎21 𝑎31



x1 =



𝑐1 |𝑐2 𝑐3



𝑎12 𝑎22 𝑎32 D



𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 𝑎23 | 𝑎33



𝑎13 𝑎11 𝑎23 ] D = det A = |𝑎21 𝑎33 𝑎31



x2 =



𝑎11 |𝑎21 𝑎31



𝑐1 𝑐2 𝑐3 D



𝑎13 𝑎23 | 𝑎33



𝑎12 𝑎22 𝑎32



x3 =



𝑎13 𝑎23 | 𝑎33



𝑎11 |𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32 D



𝑐1 𝑐2 | 𝑐3



Determinan Matriks Khusus untuk menentukan determinan matriks ordo 3 x 3, Sarrus menemukan suatu cara yaitu dengan meletakkan lagi elemenelemen kolom pertama dan kedua di belakang kolom ketiga sebagai berikut: 𝑎11 𝑎 | | det A = A = | 21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎23 |= 𝑎33



𝑎11 𝑎 | 21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



(-)



(-)



𝑎13 𝑎11 𝑎23 | 𝑎21 𝑎33 𝑎31



(-)



𝑎12 𝑎22 𝑎32



(+) (+) (+)



= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32–a13a22a31–a11a23a32–a12a21a33 Contoh



2 1 2 Diketahui matriks A = [3 5 1] 1 4 2 Hitung determinan matriks A.



27



Sistem Persamaan Linier



Penyelesaian: (-) (-) (-)



2 det A = |3 1



1 2 2 1 5 1| 3 5 4 2 1 4



(+) (+) (+)



= (2)(5)(2)+(1)(1)(1)+(2)(3)(4)–(2)(5)(1)–(2)(1)(4)–(1)(3)(2)



= 20 + 1 + 24 – 10 – 8 – 6 = 21



Dalam menentukan determinan matriks orde 3 x 3 dapat juga menggunakan determinan matriks ordo 2 x 2 sebagai berikut. 𝑎11 𝑎 det A = |A| = | 21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎23 | 𝑎33



det A = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32–a13a22a31–a11a23a32–a12a21a33 = a11a22a33–a11a23a32 +a12a23a31–a12a21a33+a13a21a32–a13a22a31 det A = a11(a22a33-a23a32) – a12(a21a33-a23a31) + a13(a21a32-a22a31) 𝑎22 det A = a11|𝑎 32



𝑎23 𝑎21 𝑎33 | - a12|𝑎31



𝑎22 = (-1)1+1a11|𝑎 32



𝑎23 𝑎21 𝑎33 | + a13|𝑎31



𝑎23 𝑎21 1+2 𝑎33 |+(-1) a12|𝑎31



𝑎22 𝑎32 |



𝑎23 𝑎21 1+3 𝑎33 |+(-1) a13|𝑎31



𝑎22 𝑎32 |



= a11(a22a33-a23a32) – a12(a21a33-a23a31) + a13(a21a32-a22a31) Cara tersebut menggunakan elemen baris pertama Soal Carilah dengan menggunakan metode cramer untuk sistem persamaan linier berikut. 2x + y + z = 7



28



Sistem Persamaan Linier



3x + 2y + z = -3 y+z =5 Penyelesaian:



7 2 1 1 𝑥 𝑦 AX = C  [3 2 1] [ ] = [−3] 0 1 1 𝑧 5 2 1 det A = |3 2 0 1



1 2 1| 3 1 0



1 2 1



= (2)(2)(1)+(1)(1)(0)+(1)(3)(1)–(1)(2)(0)–(2)(1)(1)– (1)(3)(1)



= 4+0+3–0–2–3 = 2



7



det Ax = |−3



5



1 2 1



1 7 1 1| −3 2 1 5 1



= (7)(2)(1)+(1)(1)(5)+(1)(-3)(1)–(1)(2)(5)–(7)(1)(1)– (1)(-3)(1)



= 14 + 5 - 3 – 10 – 7 + 3 = 2 x=



det Ax det A



=



2 2



=1



2



7 1 2 7 −3 1| 3 −3 0 5 1 0 5



det Ay = |3



= (2)(-3)(1)+(7)(1)(0)+(1)(3)(5)–(1)(-3)(0)–(2)(1)(5)–(7)(3)(1)



= -6 + 0 +15 – 0 – 10 – 21 = -22 y=



det Ay −22 = = -11 det A 2



Sistem Persamaan Linier



29



2 1 7 2 1 2 −3| 3 2 0 1 5 0 1



det Az = |3



= (2)(2)(5)+(1)(-3)(0)+(7)(3)(1)–(7)(2)(0)–(2)(-3)(1)–(1)(3)(5)



= 20 + 0 + 21 – 0 + 6 – 15 = 32 z=



det Az 32 = = 16 det A 2



Jadi solusi sistem persamaan linier dari persamaan-persamaan tersebut yaitu: x = 1, y = -11, dan z = 16. 2.7



Metode Langsung



Dalam penyelesaian sistem persamaan linier dengan Metode Langsung dapat menggunakan beberapa konsep matematika yaitu: 1. Eliminasi Gauss. 2. Gauss-Jordan.



2.7.1 Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling lama dan banyak digunakan dalam penyelesain sistem persamaan linier. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga sedemikian sehingga salah satu dari persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu bilangan yang tak diketahui dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui baru. Bentuk segitiga diselesaikan dengan penambahan dan pengurangan dari beberapa persamaan, setelah persamaan tersebut dikalikan dengan suatu faktor (konstan). Tahapan-tahapan penyelesaian sistem persamaan linier dengan eliminasi gauss adalah sebagai berikut.



30



Sistem Persamaan Linier



𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏 [ ].[ ] = [ 2 ] yaitu A.x = b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑥3 𝑏𝑛 Semua hal yang diperlukan untuk memecahkan sistem persamaan diatas dikandung oleh matriks koefisien A dan matriks kolom b. Jika elemen-elemen matriks b kita tuliskan dalam matriks A, maka kita peroleh matriks yang diperluas (augmented matrix) B untuk sistem persamaan tersebut. 𝑎11 𝑎 yaitu B =[ 21 ⋮ 𝑎𝑛1



𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛



𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2



𝑏1 𝑏2 | ] ⋮ 𝑏𝑛



Langkah-langkah eleminasi 1. Langkah 1: Persamaan ke-1, nilai persamaannya tetap. 2. Langkah 2: mengeliminasi elemen-elemen dalam kolom pertama kecuali elemen a11 dengan jalan mengurangi baris ke2 dengan ( dengan ( 3.



𝑎21 𝑎11



𝑎31 𝑎11



dikali baris ke-1) dan mengurangi baris ke-3



dikali baris ke-1), demikian seterusnya.



Langkah ini menghasilkan matriks baru yang berbentuk 𝑎11 𝑎12 𝑐 𝑐22 [ 21 ⋮ ⋮ 𝑐𝑛1 𝑐𝑛2



𝑎13 𝑐23 ⋮ 𝑐𝑛3



⋯ ⋯



𝑎1𝑛 𝑐2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑐𝑛𝑛



𝑏1 𝑑2 | ] ⋮ 𝑑𝑛



Proses ini kita ulangi lagi untuk mengeliminasi elemen kolom kedua ci2 mulai dari baris ketiga ke bawah. Contoh Selesaikan persamaan-persamaan dibawah ini. x1 + 2x2 – 3x3 = 3 2x1 – x2 – x3 = 11 3x1 + 2x2 + x3 = -5



31



Sistem Persamaan Linier Penyelesaian: Persamaan ini dapat ditulis sebagai, 1 2 [2 −1 3 2



−3 𝑥1 3 −1].[𝑥2 ] = [ 11 ] 1 𝑥3 −5



Matriks yang diperluas menjadi, 1 2 [2 −1 3 2 Kurangi baris ke-2 dengan dengan



3 kali baris ke-1 1



−3 3 −1 | 11 ] 1 −5



2 kali baris ke-1 dan kurangi baris ke-3 1



Langkah ini memberikan, 1 2 [0 −5 0 −4



−3 3 5 | 5 ] 10 −14



Selanjutnya kurang baris ke-3 dengan Sehingga matriksnya menjadi, 1 2 [0 −5 0 0 Dengan langkah ini matriks segitiga.



−4 −5



, yaitu



4 5



kali baris ke-2.



−3 3 5 | 5 ] 6 −18



matriks koefisien x telah direduksi menjadi



Langkah selanjutnya, letakkan kolom-kanan kembali ke posisi awal. 1 2 [0 −5 0 0



−3 𝑥1 3 5 ].[𝑥2 ] = [ 5 ] 6 𝑥3 −18



32



Sistem Persamaan Linier



Dengan substitusi mundur, mulai dengan baris yang paling bawah, diperoleh. Baris ke-3: 6x3 = -18  x3 =



−18 3



= -3



Baris ke-2: -5x2 + 5x3 = 5  -5x2 + 5(-3) = 5  -5x2 - 15 = 5  -5x2 = 20, x2 =



20 −5



= -4



Baris ke-1: x1 + 2x2 -3x3 = 3  x1 + 2(-4) – (-3) = 3  x1 – 8 + 9 = 3  x1 = 3 -1 = 2 Jadi solusi dari persamaan linier ini adalah: x1 = 2, x2 = -4, dan x3 = -3 Perhatikan bahwa dalam mengolah matriks yang diperluas, jika dikehendaki kita boleh - Mempertukarkan dua baris. - Mengalikan baris dengan faktor yang tidak nol. - Menambahkan (atau mengurangkan) kelipat salah satu baris dengan (atau dari) baris lain. Operasi ini diperkenalkan karena kita menangani koefisienkoefisien dari kedua ruas persamaan.



2.7.2 Eliminasi Gauss-Jordan Proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu sistem persamaan linier dalam bentuk matriks diperbesar ([A/b]) ke bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi GaussJordan Tahapan penyelesaian sistem persamaan linier dengan Eliminasi Gauss-jordan. 1.



Langkah 1: Apabila elemen a11 pada baris ke-1 tidak sama dengan 1, maka baris ke-1 dapat dikali atau dibagi dengan suatu bilang yang nilai tidak nol, agar elemen a11 =1.



33



Sistem Persamaan Linier 2.



Langkah 2: Apabila elemen a11 =1 eliminasi elemen pada kolom ke-1 kecuali a11 dengan jalan mengurangi bari ke-2 dengan



𝑎21 𝑎11



(



dikali baris ke-1) dan untuk bari selanjutnya adalah



𝑎 mengurangi baris ke-i ( 𝑖1



𝑎11



dikali baris ke-1), dan seterusnya



sampai semua baris dikurangi, sampai matriks baru terbentuk. Contoh 1 x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 =0 2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = -1 5x3 + 10x4 + 15x6 = 5 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 +18x6 = 6



Penyelesaian: Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linier tersebut adalah: 1 [2 0 2



3 6 0 6



−2 0 2 0 0 −5 −2 4 −3 |−1] 5 10 0 15 5 0 8 4 18 6



Operasi baris elementer untuk mengubah matriks diatas menjadi bentuk eselon baris tereduksi adalah sebagai berikut: Kurangi baris ke-2 dengan dengan



2 1



2 kali baris ke-1 dan kurangi baris ke-4 1



kali baris ke-1



1 [0 0 0



3 −2 0 2 0 0 0 −1 −2 0 −3 |−1] 0 5 10 0 15 5 0 4 8 0 18 6



34



Sistem Persamaan Linier



Baris ke-2 dibagi -1, Kurangi baris ke-3 dengan kurangi baris ke-4 dengan



1 [0 0 0



3 0 0 0



−4 kali baris ke-2 1



−2 1 0 0



0 2 0 0



2 0 0 0



5 kali baris ke-2 dan 1



0 0 3 |1] 0 0 6 2



Baris ke-4 pindah ke Baris ke-3 dan sebaliknya. 1 [0 0 0



3 0 0 0



−2 1 0 0



0 2 0 0



2 0 0 0



0 0 3 |1] 6 2 0 0



Baris ke-3 dibagi 6 menjadi. 1 [0 0 0



3 0 0 0



−2 1 0 0



0 2 0 0



2 0 0 0



0 0 3 | 1 ] 1 1⁄3 0 0



Sistem persamaan yang bersesuaian adalah: x1 + 3x2 -2x3 + 2x5 =0 x3 + 2x4 + 3x6 = 1 x6 =1/3 didapat x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5 x2 = -2x4 - 3x6 x6 = 1/3 Substitusikan x6 = 1/3 ke x2 = -2x4 - 1 Substitusi x2 = -2x4 - 1 ke x1 = -3(2x4 -1) + 2x3 – 2x5 x1 = -6x4 + 2x3 -2x5 + 3 Misal x3 = r, x4 = s, dan x5 = t maka didapat penyelesaian



35



Sistem Persamaan Linier



x1 = -3x2 + 2r – 2t = -3(-2s -1) + 2r – 2t = 6s + 2r -2t +3 x2 = -2s - 1 x3 = r x4 = s x5 = t x6 = 1/3 Contoh 2 Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. x1 + x2 – 2x3 = 1 2x1 – x2 + x3 = 2 x1 – 2x2 – 4x3 = -4 Penyelesaian:



1 [2 1 Kurangi baris ke-2 dengan dengan



1 kali baris ke-1 1



1 [0 0



1 −2 1 −1 1 | 2 ] −2 −4 −4 2 1



kali baris ke-1 dan kurangi baris ke-3



1 −2 1 −3 5 | 0 ] −3 −2 −5



Baris ke-2 dibagi -3, dan baris ke-3 dikurang



1 [0 0



1 −2 1 −5/3 0 −7



1 |0] −5



−3 1



kali baris ke-3



36



Sistem Persamaan Linier



Baris ke-3 dibagi -7,



1 1 −2 [0 1 −5/3 0 0 1



1 | 0 ] 5/7



Matriks eselon baris yang dihasilkan kemudian dirubah menjadi bentuk umum sistem persamaan linear. x1 + x2 2x3 = 1 x2 - 5/3x3 = 0 x3 =



5 7



Substitusikan x3 = Substitusikan x2 =



x1 + x1 -



25 21 5



21



-



10 7



5



ke x2 –



7 25 21



5 5



. = 0, sehingga x2 = 3 7



dan x3 =



5 7



ke x1 +



25 21



5



- 2(



7



25 21



) = 1, sehingga



=1



=1



x1 = 1 +



5 26 = 21 21



Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah: x1 =



26 21



, x2 =



25 21



dan x3 =



5 7



2.8 Metode Tak Langsung Dalam penyelesaian sistem persamaan linier dengan Metode Tak Langsung atau iterasi dapat menggunakan beberapa konsep matematika yaitu: 1. Metode Iterasi Jacobi



37



Sistem Persamaan Linier 2. Metode Iterasi Gauss-Seidel 3. Metode Successive Over-Relaxation 2.8.1 Metode Iterasi Jacobi



Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier dan sering ditemui dalam berbagai disiplin ilmu. Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier yang proporsi koefisien nol nya besar. Metode ini ditemukan olek matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl Gustav Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an. Iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematika. Jika diubah dari persamaan linier, maka akan menjadi: A.x =b Kemudian diketahui bahwa A = D + (L + U), dimana D merupakan matriks diagonal, L merupakan matriks segitiga bawah, dan U merupakan matriks segitiga atas. Lalu persamaan tersebut diubah menjadi. Dx + (L +U)x = b x = D-1[b – (L + U)x] Jika ditulis dalam aturan iterasi, maka metode iterasi Jacobi dapat ditulis sebagai berikut : X(k) = D-1(b – (L + U)X(k))



38



Sistem Persamaan Linier



Dimana k merupakan banyaknya iterasi. Jika x(k) menyatakan hampiran ke-k penyelesaian sistem persamaan linier (SPL), maka x(0) adalah hampiran awal.



(𝑘)



𝑥𝑖



=



1 𝑎𝑖𝑖



(𝑏𝑖 -



∑𝑛𝑗≠𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗(𝑘−1) ), i = 1,2,...,n, k = 1,2,3,...,n



Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan dominan secara diagonal apabila: |𝑎𝑖𝑖 | > |𝑎𝑖,1 | + ... +|𝑎𝑖,𝑖−1 | + |𝑎𝑖,𝑖+1 | + ⋯ + |𝑎𝑖,𝑛 | untuk i = 1, 2, ..., n Berikut adalah gambaran bagaimana menggunakan metode iterasi Jacobi dengan sebuah contoh. Misalkan ingin menyelesaikan SPL: 4x1 + 2x2 + 3x3 = 8 3x1 – 5x2 + 2x3 = -14 -2x1 + 3x2 + 8x3 = 27



(i) (ii) (iii)



Penyelesaian: Nyatakan terlebih dahulu setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain: - Nyatakan x1 dari persamaan (i) dalam x2 dan x3 - Nyatakan x2 dari persamaan (ii) dalam x1 dan x3 - Nyatakan x3 dari persamaan (iii) dalam x1 dan x2 Hasilnya adalah sistem persamaan linier (SPL):



8−2𝑥2 − 3𝑥3 4 −14−3𝑥1 − 2𝑥3 x2 = −5 27+2𝑥1− 3𝑥2 x3 = 8 x1 =



(iv) (v) (vi)



39



Sistem Persamaan Linier



8−2𝑥2𝑛− 3𝑥3𝑛 4 −14−3𝑥1𝑛− 2𝑥3𝑛 x2n+1 = −5 27+2𝑥1𝑛− 3𝑥2𝑛 x1n+1 =



x3n+1 =



8



Untuk memulai iterasi ke-0, x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 0, Ini akan membuat iterasi ke-1 dengan mudah. Iterasi ke-1 Nilai x1 = 0, x2 = 0 dan x3 = 0 hasil iterasi ke-0 pada persamaan SPL. x1 = x2 =



8−2(0)− 3(0)



=



8



=2



4 4 −14−3(0)−2(0) 14 =



= 2,8



−5 5 27+2(0)− 3(0) 27 x3 = = = 3,375 8 8 Iterasi ke-2 Nilai x1, x2, dan x3 hasil iterasi ke-1 dimasukan pada persamaan SPL. 14



x1 = =



x2 =



27



8−2( 5 )− 3( 8 ) 309 − 40



4



4 =



81



224 405



−309 = -1,931 160 27 8



−14−3(2)−2( ) −5 214



28



320



629



8− 5 − 8 8 − 40 − 40 − 40 40 = = = 4 4 4



=



54 8



−14−6−



− 8 214 = = = 5,35 −5 40



−5



=



112 48 54 − − 8 8 8



−



−5



40



Sistem Persamaan Linier 14



x3 =



=



42



27+2(2)− 3( 5 )



=



8 113 5



8



27+4− 5



=



8



135 20 42 +5−5 5



8



113 = 2,825 40



=



Iterasi ke-3 Nilai x1, x2, dan x3 hasil iterasi ke-2 dimasukan pada persamaan SPL. 214



x1 =



113



8−2( 40 )− 3( 40 ) 4 309



x2 =



= 113



−5 − 160 +160−160 −5 309



x3 =



=



4



−14−3(−160)−2( 40 ) 2240 927 904



=



320 428 339 − − 40 40 40



8



=



160



= -2,794



927 226



=



214



27+2(−160)− 3( 40 ) 4320 618 2568 − − 160 160 160



−447



−14+160− 40 −5



2217 = 2,771 800



=



8



=



618 642



=



27−160− 40



1134 1280



8 = 0,886



Lanjutkan iterasi-iterasi selanjutnya sampai nilai x1, x2, dan x3 nilai bilangannya mendekati bilangan bulat (- n ≤ 0 ≤ n) n = ± bilangan bulat. Untuk iterasi sistem persamaan linier (SPL) pada persolana ini iterasi lengkapnya disajikan dalam Tabel 2.1 berikut. Tabel 2.1 Iterasi lengkap persoalan SPL dengan Metode Jacobi Iterasi 1



x1



x2



x3



2.000



2.800



3.375



41



Sistem Persamaan Linier Iterasi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36



x1 -1.931 -2.794 -0.050 0.033 -1.819 -1.546 -0.355 -0.749 -1.476 -1.083 -0.667 -1.003 -1.222 -0.958 -0.859 -1.053 -1.085 -0.949 -0.952 -1.042 -1.025 -0.967 -0.989 -1.024 -1.003 -0.984 -1.001 -1.011 -0.997 -0.993 -1.003 -1.004 -0.997 -0.998 -1.002



x2



x3



5.350 2.771 1.478 3.425 3.943 2.548 2.449 3.400 3.297 2.680 2.858 3.240 3.053 2.830 2.995 3.114 2.983 2.926 3.024 3.045 2.976 2.974 3.021 3.014 2.984 2.994 3.012 3.002 2.992 3.000 3.006 2.999 2.996 3.001 3.002



2.825 0.886 1.637 2.808 2.099 1.442 2.033 2.368 1.913 1.770 2.099 2.137 1.909 1.925 2.074 2.037 1.944 1.985 2.040 2.003 1.973 2.003 2.018 1.995 1.989 2.005 2.006 1.995 1.997 2.004 2.002 1.997 1.999 2.002 2.000



42



Sistem Persamaan Linier



Iterasi 37 38 39 40 41 42 43 44 45



x1 -1.001 -0.998 -1.000 -1.001 -1.000 -0.999 -1.000 -1.001 -1.000



x2



x3



2.999 2.999 3.001 3.001 2.999 3.000 3.001 3.000 3.000



1.999 2.000 2.001 2.000 1.999 2.000 2.000 2.000 2.000



Jadi untuk solusi permasalahan ini adalah: nilai x1 =-1, x2 = 3, dan x3 = 2 Cek pada sistem persamaan linier (i), (ii), dan (iii) apakah nilai x1 =-1, x2 = 3, dan x3 = 2 memenuhi persamaan-persamaan tersebut. 2.8.2 Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iterasi. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel hampiran pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas hampiran yang diperbolehkan. Pada metode iterasi Gauss-Seidel, nilai-nilai yang paling akhir dihitung digunakan di dalam semua perhitungan. Jelasnya, di dalam iterasi Jacobi, menghitung, (𝑘)



(𝑘)



(𝑘)



(𝑘)



(𝑘)



(𝑘)



𝑥𝑖 = (𝑥1 , 𝑥2 , ... , 𝑥𝑖−1 , 𝑥1+1 , ... , 𝑥𝑟 )



(i)



43



Sistem Persamaan Linier



Sedang pada iterasi Gauss-Seidel menghitung, (𝑘+1)



𝑥𝑖



(𝑘+1)



= (𝑥1



(𝑘+1)



, 𝑥2



(𝑘+1)



(𝑘)



(𝑘)



, ... , 𝑥𝑖−1 , 𝑥1+1 , ... , 𝑥𝑟 )



(ii)



rumus untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut: (𝑘)



1



(𝑘1)



𝑥𝑖 = 𝑎 (𝑏𝑖 - ∑𝑖−1 𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑖𝑖



(𝑘−1) − ∑𝑛𝑗=1+1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ), dengan syarat



aii ≠ 0 dan k = 1, 2, ... , n. Metode iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Nyatakan matriks koefisien A sebagai, A = D + (L + U), dengan L dan U berturut-turut adalah matriks segitiga bawah dan atas dengan diagonal nol dan D matriks diagonal. Rumus iterasi Gauss-Seidel dapat ditulis dalam bentuk: X(k) = D-1(b – LX(k) - UX(k-1)) (D +L)X(k) = b - UX(k-1) X(k) = (D + L)-1(b –UX(k-1)) Menghasilkan: X(k) = -(D + L)-1UX(k-1) +(D+L)-1b Metode iterasi Gauss-Seidel hampir sama dengan metode iterasi Jacobi. Perbedaannya hanya terletak pada penggunaan nilai elemen vektor x baru yang langsung digunakan pada persamaan di bawahnya. Berikut adalah gambaran bagaimana menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel dengan sebuah contoh. Misalkan ingin menyelesaikan SPL: 4x1 + 2x2 + 3x3 = 8 3x1 – 5x2 + 2x3 = -14



(i) (ii)



44



Sistem Persamaan Linier



-2x1 + 3x2 + 8x3 = 27 x1 = x2 =



(iii)



8−2𝑥2 − 3𝑥3 4 −14−3𝑥1 − 2𝑥3



(iv) (v)



−5 27+2𝑥1− 3𝑥2 x3 = 8



(vi)



8−2𝑥2𝑛− 3𝑥3𝑛 4 −14−3𝑥1𝑛− 2𝑥3𝑛 x2n+1 = −5 27+2𝑥1𝑛− 3𝑥2𝑛 x3n+1 = 8 x1n+1 =



Untuk Metode Gauss-Seidel menjadi



8−2𝑥2𝑛− 3𝑥3𝑛 4 −14−3𝑥1𝑛+1− 2𝑥3𝑛 x2n+1 = −5 27+2𝑥1𝑛+1− 3𝑥2𝑛+1 x3n+1 = 8 x1n+1 =



Untuk memulai iterasi ke-0, x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 0, Ini akan membuat iterasi ke-1 dengan mudah. Iterasi ke-1 Nilai x1 = 0, x2 = 0 dan x3 = 0 hasil iterasi ke-0 pada persamaan SPL. x1 = x2 = x3 =



8−2(0)− 3(0) 8 = =2 4 4 −14−3(2)−2(0) 20 −5 27+2(2)− 3(4) 8



=



=



5 19 8



=4



= 2,375



45



Sistem Persamaan Linier Iterasi ke-2



Nilai x1, x2, dan x3 hasil iterasi ke-1 dimasukan pada persamaan SPL. x1 =



8−2(4)− 3(2,375)



= -1,781



4 −14−3(−1,781)−2(2,375) x2 = = 2,681 −5 27+2(−1,781)− 3(2,681) x3 = = 1,924 8 Iterasi ke-3 Nilai x1, x2, dan x3 hasil iterasi ke-2 dimasukan pada persamaan SPL.



x1 =



8−2(2,681)− 3(1,924)



= -0,784



4 −14−3(−0,784)−2(1,924) x2 = = 3,099 −5 27+2(−0,784)− 3(3,099) x3 = = 2,017 8 Lanjutkan iterasi-iterasi selanjutnya sampai nilai x1, x2, dan x3 nilai bilangannya mendekati bilangan bulat (- n ≤ 0 ≤ n) n = ± bilangan bulat. Untuk iterasi sistem persamaan linier (SPL) pada persolana ini iterasi lengkapnya disajikan dalam Tabel 2.2 berikut. Tabel 2.2 Iterasi lengkap persoalan SPL dengan Metode Gauss-Seidel Iterasi



x1



1 2 3 4 5 6



2.000 -1.781 -0.784 -1.062 -0.982 -1.006



x2



4.000 2.681 3.099 2.969 3.009 2.997



x3



2.375 1.924 2.017 1.996 2.001 2.000



46



Sistem Persamaan Linier



Iterasi



x1



7 8 9 10



-0.998 -1.001 -1.000 -1.000



x2



x3



3.001 3.000 3.000 3.000



2.000 2.000 2.000 2.000



Jadi untuk solusi permasalahan ini adalah: nilai x1 =-1, x2 = 3, dan x3 = 2 Cek pada sistem persamaan linier (i), (ii), dan (iii) apakah nilai x 1 =-1, x2 = 3, dan x3 = 2 memenuhi persamaan-persamaan tersebut. 2.8.3 Metode Successive Over-Relaxation Metode Iterasi Relaksasi (relaxation method) dinyatakan dengan rumus berikut:



(𝑘) 𝑥𝑖



= (1 -



𝜔 (𝑘−1) 𝜔)𝑥𝑖 + 𝑎𝑖𝑖



𝑖−1



𝑛 (𝑘) 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗



[𝑏𝑖 − 𝑗 =1



(𝑘−1)



−



𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗



]



𝑗 =𝑖+1



dimana: i=1,2,3,...,n Untuk lebih jelasnya, diketahui suatu sistem persamaan linier Ax = b yaitu: 4x1 + 3x2 = 24 3x1 + 4x2 – x3 = 30 -x2 + 4x3 = -24 Ketentuan Metode Rexalation dengan konstan  = 1,25, akan digunakan untuk menyelesaiakan sistem persamaan linier diatas dengan x(0) = (1, 1, 1)t. Untuk setiap nilai k = 1, 2, 3,..., persamaan relaxationnya adalah:



47



Sistem Persamaan Linier



(𝑘)



= -0,75𝑥1



(𝑘)



= -0,9375𝑥1



(𝑘)



= 0,3125𝑥2



𝑥1



𝑥2 𝑥3



(𝑘−1)



(𝑘−1)



- 0,9375𝑥2



(𝑘)



+ 0,25𝑥2



(𝑘−1)



(𝑘)



+ 0,25𝑥3



(𝑘−1)



+ 7,5



(𝑘−1)



+ 0,3125𝑥3



+ 9,375



- 7,5



Tabel berikut ini menampilkan perhitungan dari masing-masing metode Relaxation hingga iterasi ke-7. Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Iterasi Relaxation dengan  = 1,25 k



0



1



2



3



4



5



6



7



(𝒌) 𝒙𝟏 (𝒌) 𝒙𝟐 (𝒌) 𝒙𝟑



1



6,3125



2,6223



3,1333



2,9570



3,0037



2,9963



3,0000



1



3,5195



3,9585



4,0102



4,0075



4,0029



4,0009



4,0002



1



-6,6501



-4,6004



-5,0967



-4,9767



-5,0057



-4,9983



-5,0003



Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Relaksasi memerlukan proses iterasi yang lebih singkat dibandingkan iterasi Gauss-Seidel. Jadi, pada kasus ini (dan juga secara umum), Relaksasi lebih efektif dibandingkan Gauss-Seidel. Pertanyaannya sekarang, bagaimanamenentukan nilai ω optimal?. Metode Relaksasi dengan pilihan nilai ω yang berkisar antara 0 dan 1 disebut metode under-relaxation, dimana metode ini berguna agar sistem persamaan linear bisa mencapai kondisi konvergen walaupun sistem tersebut sulit mencapai kondisi konvergen dengan metode Gauss Seidel. Sementara bila ω nilainya lebih besar dari angka 1, maka disebut metode successive over-relaxation (SOR), yang mana metode ini berguna untuk mengakselerasi atau mempercepat kondisi konvergen dibandingkan dengan GaussSeidel. Metode SOR ini juga sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang muncul dari persamaan diferensialparsial tertentu.



48



Sistem Persamaan Linier



Kasus Sistem Persamaan Linier Untuk Pertahanan (Militer) Radar KRI dalam sistem GPS mendeteksi ada letak posisi kapal musuh yang masuk Pertahanan Laut Indonesia. Untuk menyederhanakan perhitungan, kita akan mengasumsikan ada koordinat kartesian 𝑥𝑦𝑧 dengan titik (0,0,0) adalah inti bumi dan panjang satuan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 setara dengan radius bumi sehingga nilai dari 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 adalah sama dengan tinggi permukaan laut. Kecepatan cahaya yang dipakai kira-kira sama dengan 0.047 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠/𝑚𝑠. Tentukan Posisi Kapal musuk yang masuk Pertahanan Laut Indonesia dengan Data yang diterima dari satelit oleh Radar KRI adalah sebagai berikut, Tabel 5.1 Data yang diterima Radar KRI dari Satelit Satelit 1 2 3 4



Posisi (1, 2, 0) (2, 0, 2) (1, 1, 1) (2, 1, 0)



Waktu 19,9 2,4 32,6 19,9



Gambar 2.6 Ilustrasi trilateration pada GPS Pertama misalkan (x, y, z) menjadi posisi kapal dan t waktu ketika sinyal tiba. Tujuan kami adalah untuk menentukan nilai variabel ini. Dengan menggunakan data dari satelit pertama, kita dapat menghitung jarak dari kapal sebagai berikut. Sinyal itu dikirim pada waktu 19,9 dan tiba pada waktu t. Kecepatan cahaya 0,047, yang membuat jarak



Sistem Persamaan Linier



49



Gambar 2.7 Ilustrasi 24 satelit GPS mengelilingi bumi 𝑑 = 𝑠(𝑡 − 𝑡𝑎 )=0,047(𝑡 − 19,9) Dimana: d = jarak kapal s = kecepatan cahaya t = waktu tiba ta = waktu kirim kedua jarak yang sama ini dapat diungkapkan dalam hal (x, y, z) dan posisi satelit (1, 2, 0), dan jarak tersebut arau norma vektor dapat dicari dengan 𝑑 = √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 0)2 Seingga didapat persamaan berikut: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 0)2 = (0,047)2 (𝑡 − 19,9)2



(1)



2𝑥 + 4𝑦 − 2(0,047)2 (19,9)𝑡 = 12 + 22 − (0,047)2 (19,9)2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (0,047)2 𝑡 2



(2)



Ketiga untuk data satelit yang lainnya bisa diturunkan dengan cara yang sama yaitu:



50



Sistem Persamaan Linier



2𝑥 + 4𝑦 − 2(0,047)2 (19,9)𝑡 = 12 + 22 − (0,047)2 (19,9)2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (0,047)2 𝑡 2



(3)



2𝑥 + 4𝑦 − 2(0,047)2 (19,9)𝑡 = 12 + 22 − (0,047)2 (19,9)2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (0,047)2 𝑡 2



(4)



2𝑥 + 4𝑦 − 2(0,047)2 (19,9)𝑡 = 12 + 22 − (0,047)2 (19,9)2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (0,047)2 𝑡 2



(5)



Kurangi Persamaan (2), (3), (4) dan (5) dengan Persamaan (1). 2𝑥 − 4𝑦 + 4𝑧 + 2(0,047)2 (17,5)𝑡 = 8 + 5 − (0,047)2 (19,92 − 2,42 )



(6)



−2𝑦 + 2𝑧 − 2(0,047)2 (12,7)𝑡 = 3 + 5 − (0,047)2 (19,92 − 32,62 )



(7)



2𝑥 − 2𝑦 − 2(0,047)2 (0)𝑡 = 8 + 5 − (0,047)2 (19,92 − 19,62 )



(8)



Dalam bentuk matriks augmented persamaan-persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: 2 −4 [0 −2 2 −2



4 0,077 | 2 −0,056 0 0



3,86 −3,47] 0



Menyelesaiakan persamaan tersebut didapat matrik 1 [0 0



0 0 1 0 0 1



0,095 |0,095 0,067



5,41 5,41] 3,67



Jadi kita mendapat solusi umum sebagai berikut. 𝑥 = 5,41 − 0,095𝑡 𝑦 = 5,41 − 0,095𝑡 𝑧 = 3,67 − 0,067𝑡 Substitusi solusi tersebut pada Persamaan (1) didapat:



Sistem Persamaan Linier



51



(5,41 − 0,095𝑡 − 1)2 + (5,41 − 0,095𝑡 − 2)2 + (3,67 − 0,067𝑡)2 = (0,047)2 (𝑡 − 19,9)2 0,02𝑡 2 − 1,88𝑡 + 43,56 = 6 Dari persamaan tersebut didapat nilai t adalah 43,1 atau 50. Jika kita memakai nilai t=43,1 kita mendapat posisi kapal pada (1,317, 1,317, 0,790) yang mempunyai panjang 2. Itu berarti kapal musuh tidak berada di lautan karena jarak inti bumi dengan permukaan laut adalah 1. Jika kita memakai nilai t=50, kita mendapat posisi kapal musuh (0,667, 0,667, 0,332) yang mempunyai panjang 0,997. Nilai tersebut mendekati 1 yang berarti kapal musuh berada di permukaan laut. Jadi kita dapat menyimpulkan posisi kapal musuh tersebut ada di posisi (0,667, 0,667, 0,332). Soal Latihan 1.



Nyatakanlah sistem persamaan linier (SPL) berikut kedalam bentuk matriks. 2x1 + 4x2 – 5x3 = -7 x1 – 3x2 + x3 = 10 3x1 + 5x2 + 3x3 = 2



2.



Pembuatan dua macam peluru kendali (rudal), rudal pertama P1 dengan jarak tembak 25 km, rudal kedua P2 dengan jarak 50 km. Industri Pertahanan memiliki tiga macam proses, yaitu, proses A membuat sistem pelempar rudal 25 km, proses B membuat sistem pelempar rudal 50 km, dan proses C assembling. Setiap P1 mula-mula dikerjakan dalam proses A selama 2 bulan, kemudian proses C selama 3 bulan, sedangkan P2 dikerjakan dalam proses B selama 3 bulan, dan pada proses C selama 4 bulan. Jam kerja maksimal untuk satu tahun pada proses A = 6 bulan, proses B = 6 bulan, dan proses C = 12 bulan. Dengan menggunakan metode Successive OverRelaxation, berapa unit P1 dan P2 harus diproduksi?



3.



Untuk memenangkan perang di tiga lokasi pertempuran yaitu lokasi x, y dan z, suatu divisi militer akan memiliki sumber



52



Sistem Persamaan Linier



daya (sumda) berupa 1.000 orang personel tentara, serta 200 ton bahan makanan dan obat-obatan dan lain-lain, 100 kendaraan pendukung, dan 500 kendaraan tempur (ranpur). Berdasarkan laporan intelijen untuk memenangkan perang di tiga lokasi pertempuran, untuk lokasi x dibutuhkan 400 tentara, 70 ton bahan makanan dan obat-obatan (bama), 30 kendaraan pendukung (randuk), 200 ranpur, lokasi y dibutuhkan 300 tentara, 60 ton bama, 40 randuk, 150 ranpur, sedang untuk lokasi z dibutuhkan 300 tentara, 70 ton bama, 30 randuk, dan 150 ranpur. Semua kebutuhan perang tersebut dinamakan unit. Untuk mengoptimalkan sumber daya dan memenangkan perang, berapa unit sumda yang di masing-masing lokasi perang?. Metoda apa yang cocok digunakan ke persoalan ini. 4.



Dalam mendukung kesehatan prajurit dalam melakukan operasi militer, sebuah perusahaan produksi pengolahan bahan pangan akan memproduksi 3 (tiga) jenis makanan kemasan/kaleng khusus diperuntukan untuk prajurit yang melakukan operasi militer. 3 (tiga) jenis makanan kaleng tersebut adalah untuk sarapan, makan siang, dan makan malam. Untuk memproduksi makanan kaleng ini perusahaan mempunyai sumber daya berupa protein sebanyak 500 ton, Karbohidrat sebanyak 1000 ton, Vitamin sebanyak 500 ton, mineral sebanyak 700 ton. Untuk mengolah/memproduksi makanan kaleng untuk breakfast membutuhkan 200 g protein, 250 g karbohidrat, 200 g vitamin, 150 g mineral, untuk makanan kaleng lunch dibutuhkan 300 g protein, 350 g karbohidrat, 250 g vitamin, 200 g miniral, sedang untuk makanan kaleng dinner dibutuhkan 400 g protein, 150 g karbohidrat, 300 g vitamin, 250 g mineral. Dengan sumber daya tersebut berapa kaleng/kemasan yang diproduksi untuk masing-masing jenis makanan kaleng tersebut. Gunakan: a. Eliminasi Gausss. b. Eliminasi Gauss-Jordan. c. Metode Iterasi Jacobi. d. Metode Iterasi Gauss-Seidel. e. Metode Successive Over-Relaxation.



Sistem Persamaan Linier



53



Untuk soal No. 5 sampai 7, bentuk matriks yang diperluas dan pecahkan sistem persamaan tersebut dengan menggunakan metode eliminasi Gauss. 5.



5x – y + 2z = 3 2x + 4y + z = 8 x + 3y – 3z = 2



6.



x + 2y + 3z = -4 2x + 6y – 3z = 33 4x – 2y + z = 3



7.



7x – 4y = 12 -4x + 12y – 6z = 0 -6y + 14z = 0



8.



Arus i1, i2, i3 mengalir dalam suatu jaringan listrik dihubungkan oleh persamaan, Z1i1 + Z3i3 = V Z2i2 – Z3i3 = 0 i1 – i2 – i3 = 0 Tentukan nilai i1, i2, dan i3, dinyatakan dalam Z1, Z2, Z3 dan V.



Referensi 1. 2. 3. 4. 5.



Burden, R.L. and Faires, J.D., 2001. Numerical Analysis, 7th Edition, Brooks/Cole, Thomson Learning Academic Resource Center. Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Edition. McGraw-Hill Book Co., New York. Dantzig, B. George, Thapa N. Mukund, 1997. Linier Programming. Springer-Verlag New York, Inc., 175 Fifth Avenue, New York, NY 10010, USA. Gilbert, J. Dan Gilbert, L. 1995. Linier Algebra and Matrix Theory. University of South Carolina at Spartanburg, South Carolina. Kalman, Dan. 2002. An underdetermined linear system for GPS, The Mathematical Association of America 33:5 384-390



54 6. 7.



Sistem Persamaan Linier



Stroud, K.A., 2001. Engineering Mathematics 5th Edition. Industrial Press, Inc. 200 Madison Avanue-New York, NY 10016-4076. Suparno, Supriyanto, 2011. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab. Depok, Universitas Indonesia.



BAB 3 Trigonometri



BAB 3 TRIGONOMETRI 3.1 Pengantar Trigonometri 3.1.1 Pengertian Trigonometri Trigonometri merupakan cabang ilmu matematika yang dihubungkan dengan pengukuran sisi dan sudut dari segitiga dan mereka berhubungan satu sama lain. Dengan ini pengetahuan trigonometri banyak dibutuhkan untuk aplikasi dibidang rekayasa. 3.1.2 Teorema Pythagoras Dengan Gambar 3.1 yaitu:



Gambar 3.1 Segitiga siku-siku Sisi miring sudut kiri disebut hyptenuse. Merupakan bagian dari teorema pythagoras, dalam sudut kiri segitiga, kuadrat hypotenuse merupakan penjumlahan dari kuadrat dari dua sisi lainnya. Dimana



Trigonometri



c2 = a 2 + b 2



55



56



Trigonometri



Contoh 1 Dalam Gambar 3.2 cari panjang dari EF



Gambar 3.2 Persoalan segitiga Penyelesaian: Gambar 3.2 oleh teorema Pythagoras adalah: e2 = d2 + f2 Karenanya 132 = d2 + 52 169 = d2 + 25 d2 = 169 – 25 = 144 Sehingga d = √144 = 12 cm Jadi panjang EF = 12 cm Contoh 2 Dua pesawat tempur meninggalkan pangkalan untuk melakukan operasi pengamanan dengan waktu bersamaan. Pesawat 1 menuju arah utara dengan kecepatan rata-rata 300 km/jam dan pesawat 2 menuju arah barat dengan kecepatan rata-rata 220 km/jam. Hitunglah berapa jarak pesawat 1 dan pesawat 2 setelah 4 jam. Penyelesaian:



Gambar 3.3 Arah pesawat



57



Trigonometri



Setelah 4 jam, pesawat 1 jaraknya 4 x 300 = 1.200 km arah utara dari titik awal, sedangkan pesawat 2 jaraknya 4 x 220 = 880 km arah barat dari titik awal. Berdasarkan Gambar 3.3 jarak antara pesawat 1 dan pesawat 2 setelah 4 jam = BC. Dari teorema Pythagoras: BC2 = 12002 + 8802 = 1440000 + 774400 sehingga BC = √2214400 = 1488



Jadi jarak kedua pesawat setelah 4 jam adalah 1.488 km. 3.1.3 Rasio Trigonometri dari Sudut Ketelitian Berdasarkan segitiga sudut kanan lihat Gambar 3.4



Gambar 3.4 Segitiga siku-siku sudut kanan



a. sin  = b. c. d. e.



AC



=



b



AB c BC a cos  = = AB c AC b sin β tan  = = = BC a cos β BC a cos β cotg  = = = AC b sin β 1 AB c sec  = = = BC a cos 



58



Trigonometri



f.



1 AB c = = BC b sin 



csc  =



secant, cosecant, dan cotangent disebut rasio terbalik/timbal-balik. Contoh 1 Jika cos x =



9 tentukan nilai dari kelima rasio trigonometri. 41



Gambar 3.5 Segitiga XYZ susut kanan Penyelesaian: Jika cos x =



9 , maka XY = 9 dan XZ = 41 41



Menggunakan teorema Pythagoras 412 =92 + YZ2, sehingga, YZ = √412 − 92 = 40 Jadi sin x =



40 41



tan x =



40 9



cosec x =



41 40



cotg x =



9 40



Contoh 2 Jika sin θ = 0.625 and cos θ = 0.500, tentukan nilai dari cosec θ, sec θ, tan θ and cot θ.



59



Trigonometri Penyelesaian: cosec θ = sec θ = tan θ =



1 sin 𝜃 1



cos 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃



cotg θ =



=



sin 𝜃



=



=



1 0,625 1



0,500 0,625 0,500 o,500



=



0,625



= 1,60



= 2,00



= 1,25 = 0,80



Contoh 3



Gambar 3.6 Titik A di koordinat (2, 3) dan titik B di (8, 7). Tentukan a. Jarak AB, b. Gradient dari garis lurus AB, dan c. Sudut AB buat dengan horizontal. Penyelesaian: a. Titik A dan B lihat Gambar 3.6 (a) dan Gambar 3.6 (b), garis horizontal dan garis vertikal AC dan BC adalah membentuk segitiga ABC sudut kanan, AC = (8-2) = 6 dan BC = (7-3) = 4. Maka oleh teorema Pythagoras:



60



Trigonometri



AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 42 sehingga AB = √36 + 16 = √52 = 7,211



b. Gradien dari AB diberikan oleh tan θ, jadi tan θ =



BC AC



=



4 6



=



2 3



Sudut AB dibuat dengan horizontal diberikan oleh tan -1 3.1.4



2 3



=33,69o



Pecahan dan Bentuk Tak Terukur dari Rasio Trigonometri



Dalam Gambar 3.7, ABC adalah segitiga sama sisi dari 2 unit sisi. AD membagi dua susut A dan membagi dua sisi BC. Menggunakan teorema Pythagoras atas sigitiga ABD memberikan:



Gambar 3.7 Segitiga Sama Sisi ABC



AD = √22 − 12 = √3 Karenanya sin 30o =



BD 1 AD √3 = , cos 30o = = AB 2 AB 2



dan



BD 1 = AA √3



tan 30o =



61



Trigonometri



sin 60o =



dan



tan 60o =



AD √3 BD 1 = , cos 60o = = AB 2 AB 2 AD BD



= √3



Gambar 3.8 Segitiga Sama Kaki PQR Dalam Gambar 3.8, PQR adalah segitiga sama kaki dengan PQ = QR = 1. Oleh teorema Pythagoras PR = √12 + 12 = √2. Karenanya. sin 45o =



QR 1 PQ 1 QR = , cos 45o = = dan tan 45o = =1 PR √2 PR √2 QP



Banyaknya hasil tidak tepat atas jumlah rasional disebut tak terukur. Contohya, √2 dan √3 disebut tak terukur karena mereka tidak akan memberikan hasil pecahan dan desimal mungkin selanjutnya tak terbatas. Contohnya, √2 = 1,4142135..., dan √3 = 1,7320508... Dari atas, sin 30o = cos 60o, sin 45o = cos 45o, sin 60o = cos 30o. Umumnya, sin θ = cos (90o - θ) dan cos θ = sin (90o - θ)



62



Trigonometri



Contohnya, itu mungkin diperiksa oleh kalkulator itu, sin 25o = cos 65o, sin 42o = cos 48o dan sin 84o10’ = sin 5o50’, dan selanjutnya. Contoh 1. Menggunakan bentuk tak terukur, dievaluasi: 3 tan 60𝑜 − 2 cos 30𝑜 tan 30𝑜 Dari atas, tan 60o = √3, cos 30o =



1 √3 dan tan 30o = , karenanya 2 √3 √3



3 tan 60o −2 cos 30o 3(√3) −2( 2 ) = 1 tan 30o



√3 √3 3√3 −2 2 2√3 = = 1 1 √3 √3



√3 ) = 2(3) = 6 1



= 2√3( 3.1.5



Penyelesaian dari Segitiga Sudut Kanan



Untuk ‘memecahkan segitiga sudut kanan’ berarti ‘untuk mendapatkan sudut dan sisi tak diketahui. Ini dapat diselesaian oleh (i) teorema Pythagoras, dan/atau (ii) rasio trigonometri. Ini dapat dilihat dalam permasalahan berkut. Contoh 1. Dalam segitiga PQR lihat Gambar 3.9, carilah panjang dari PQ dan PR.



Gambar 3.9 Segitiga PQR



63



Trigonometri



tan 38o =



PQ PQ = karenanya QR 7,5



PQ = 7,5 tan 38o = 7,5(0,7813) = 5,860 cm cos 38o = PR = =



QR 7,5 PR = PR karenanya



7,5 cos 38o 7,5 0,7880



= 9,518 cm



Periksa: Menggunakan teorema Pythagoras, (7,5)2 + (5,860)2 = 90,59 = (9,518)2 Contoh 2. Penyelesaian berati ABC segitiga dilihat di Gambar 3.10.



Gambar 3.10 Segitiga siku-siku ABC Untuk penyelesaian ABC segitiga berati carilah panjang AC dan sudut B dan C. sin C =



35 = 0,94595 karenanya 37



C = sin-10,94595 = 71,08o atau 71o5’ B = 180o – 90o – 71,08o = 18,92o atau 18o55’ (sejak sudut dalam suatu segitiga adalah 180o).



64



Trigonometri



sin B =



AC karenanya 37



AC = 37sin 18,92o = 3(0,3242) = 12,0 mm atau menggunakan teorema Pythagoras, 372 = 352 + AC2, yang mana, AC = √372 − 352 = 12,0 mm Contoh 3: Selesaikan XYZ segitiga memberikan B = 90o, Y = 23o17’ dan YZ = 20,0 mm. Tentukan juga luasnya.



Gambar 3.11 Segitiga siku-siku XYZ Z = 180o – 90o – 23o17’ = 66o43’ sin 23o17’ =



cos 23o17’ =



XZ 20



= karenanya XZ = 20 sin 23o17’ = 20,0(0,3953) = 7,906 mm



XY = karenanya XY = 20,0 cos 23o17’ 20 = 20,0(0,9186) = 18,37 mm



Cek: Gunakan teorema Pythagoras (18,37)2 + (7,906)2 = 400 = (20,0)2 Luas dari XYZ segitiga



1



1



2



2



= (alas)(tinggi) = (18,27)(7,906) = 72,62 mm2



65



Trigonometri 3.1.6 Elevasi Sudut dan Penurunan a.



Jika, dalam Gambar 3.12, BC menggambarkan dasar horizontal dan AB tiang bendera vertikal, maka elevasi sudut dari puncak tiang berdera adalah A, dari titik C adalah sudut garis lurus imajiner AC atau elevasi dari horizontal CB, jika sudutnya θ.



Gambar 3.12 Segitiga Imajiner ABC b.



Jika, dalam Gambar 3.13. PQ menggambarkan jurang vertikal dan R Kapal di laut, maka sudut penurunan dari kapal dari titik P adalah sudut imajiner garis lurus PR atau turunan dari horizontal untuk kapal, jika  besar sudut. Catatan: PRQ juga  merupakan sudut alternatif antara garis paralel.



Gambar 3.13 Segitiga PQR Contoh 1 Posisi menara listrik berada 80 m dari titik C, dan sudut elevasi titik c ke puncak menara adalah 23o. Hitung tinggi menara listrik tersebut gunakan pendekatan meter.



66



Trigonometri



Gambar 3.14 Penyelesaian: Dari Gambar 3.14 tinggi menara AB dan sudut elevasi A dari titik C adalah 23o dan,



Tan 23o =



AB 𝐵𝐶



=



AB 20



Karenanya, tinggi menara AB = 80 tan 23o = 80(0,4245) = 33,96 m~ 34 m. Contoh 2 Surveyor mengukur elevasi sudut tegak lurus puncak gedung adalah 19o. Dia bergerak 120 m mendekati gedung dan diketahui elevasi sekarang menjadi 47o. Carilah tinggi gedung tersebut. Penyelesaian: Tinggi gedung PQ dan elevasi sudut dapat dilihat pada Gambar 3.15.



Gambar 3.15 Segitiga PQS



67



Trigonometri



Dalam segitiga PQS, tan 19o =



h x+120



Karenanya



h = tan 19o(x + 120)



Jadi



h = 0,3443(x + 120)



Dalam segitiga PQR, tan 47o =



(i)



h x



Karenanya h = tan 47o(x) Jadi



h = 1,0724x



(ii)



Samakan persamaan (i) dan (ii) memberikan: 0,3443(x + 120) = 1,0724x 0,3443x + (0,3443)(120) = 1,0724x (0,3443)(120) = (1,0724x – 0,3442)x 41,316 = 0,7281x x =



41,316 0,7281



= 56,74 m



Dari persamaan (ii), tinggi gedung h = 1,0724(56,74) = 60,86 m Contoh 3 Sudut depresi kapal dipandang dari puncak tinggi ketinggian 75 m adalah 30o. Diketahui jarak kapal dari dasar ketinggian seketika. Kapal berlayar menjauh dari dasar ketinggian dengan kecepatan konstan dan 1 menit kemudian sudut depresi dari puncak ketinggian adalah 20o. Tentukan kecepatan kapal dalam km/jam.



68



Trigonometri



Gambar 3.16 Penyelesaian: Gambar 3.16 memperlihatkan ketinggian AB, posisi awal kapal di C dan posisi akhir kapal di D, Sudut depresi awal adalah 30 o maka ACB = 30o (susut alternatif antara garis paralel). tan 30o = karenanya BC =



75



= tan 30o



AB 75 = BC BC



75 0,5774



= 129,9 m = posisi awal awal kapal dari dasar ketinggian. Dalam segitiga ABD, tan 20o =



Karenanya, 129,9 + x =



129,9 + x =



75 0,3640







AB 75 75 = = BD BC+CD 129,9 + x



75 tan 20o 129,9 + x = 206,0



Jadi x = 206,0 – 129,9 = 76,1 m, ini kapal berlayar dalam 1 menit, atau 60 detik, karenanya, Kecepatan kapal =



Jarak = 76,1 m/menit atau waktu



69



Trigonometri



Kecepatan kapal = 3.2



76,1 x 60 4566 m/jam = = 4,566 km/jam 1.000 1.000



Bentuk Gelombang Trigonometri



3.2.1 Grafik Fungsi Trigonometri Menggambar tabel nilai dari 0o sampai 360o, Grafik dari y = sin A, y = cos A dan y = tan A mungkin dapat digambarkan. Nilai diperoleh dengan kalkulator (koreksi untuk 3 desimal-yang mana cukup untuk digambarkan grafiknya), menggunakan interval 30o, lihat dibawah dengan gambaran grafik dapat dilihat di Gambar 3.17. 1. y = sin A A Sin A A Sin A



0 0 210o -0,500



30o 0,500 240o -0,866



60o 0,866 270o -1,000



90o 1,000 300o -0,866



120o 0,866 330o -0,500



150o 0,500 360o 0



180o 0



Gambar 3.17 Grafik Gelombang y = sin A 2. y = cos A A cos A A cos A



0 1 210o -0,866



30o 0,866 240o -0,500



60o 0,500 270o 0



90o 0 300o 0,500



120o -0,500 330o 0,866



150o -0,866 360o 1,000



180o -1,000



70



Trigonometri



Gambar 3.18 Grafik Gelombang y = cos A 3. y = tan A A tan A



0 1



A tan A



210o 0,577



30o 0,577



60o 1,732



90o







120o -1,732



150o -0,577



240o 1,732



270o



300o -1,732



330o -0,577



360o 0







180o 0



Gambar 3.19 Grafik Gelombang y = tan A Dari Gambar 3.17, 3.18, da 3.19 dilihat i. sinus dan cosinus grafiknya berbentuk gelombang antara nilai puncak adalah ±1. ii. Kurva cosinus bentuknya sama dengan kurva sinus tetapi berpindah 90o. iii. Kurva sin dan cosinus adalah kontinus dan intervalnya berulang di 360o; kurva tangen berbentuk diskontinus dan interval pengulangan di 180o.



71



Trigonometri 3.2.2 Besaran Sudut



Gambar 3.20 menunjukkan sumbu persegi panjang XX’ dan YY’ berpotongan pada 0. Seperti grafis, pengukuran dibuat ke kanan dan di atas 0 adalah positif, sementara yang di sebelah kiri dan ke bawah adalah negatif. Biarkan 0A bebas untuk memutar sekitar 0. Dengan konvensi, ketika 0A bergerak pengukuran sudut berlawanan jarum jam dianggap positif, dan sebaliknya. Biarkan 0A diputar berlawanan jarum jam sehingga θ1 adalah setiap sudut pada kuadran pertama dan AB kiri tegak lurus dibangun untuk membentuk segitiga kanan 0AB di Gambar 3.21. Karena ketiga sisi segitiga positif, rasio trigonometri sinus, kosinus dan tangen semua akan positif dalam kuadran pertama. (Catatan: 0A selalu positif karena merupakan radius lingkaran.).



Gambar 3.20



Gambar 3.21



72



Trigonometri



Biarkan 0A diputar lebih lanjut sehingga θ 2 adalah setiap sudut dalam kuadran kedua dan membiarkan AC dibuat untuk membentuk segitiga kanan-siku 0AC. Kemudian, sin θ2 =



+ +



= + cos θ2 =



− +



=-



tan θ2 =



+ −



=-



Biarkan 0A lebih lanjut diputar sehingga θ 3 adalah setiap sudut dalam kuadran ketiga dan biarkan AD dibuat untuk membentuk segitiga kanan 0AD miring. Kemudian, sin θ3 =



− +



= - cos θ3 =



− +



=-



tan θ3 =



− −



=+



Biarkan 0A lebih lanjut diputar sehingga θ 4 adalah setiap sudut dalam kuadran keempat dan membiarkan AE dibuat untuk membentuk segitiga kanan-siku 0AE. Kemudian, sin θ4 =



− +



= - cos θ3 =



+ +



=+



tan θ3 =



− +



=-



Hasil di atas diringkas dalam Gambar 3.22. Huruf menggaris bawahi kata CAST ketika mulai di kuadran keempat dan bergerak dalam arah berlawan jarum jam.



Gambar 3.22



73



Trigonometri Contoh 1



Tentukan semua sudut antara 0o dan 360o yang sinus adalah −0,4638. Penyelesaian:



Gambar 3.23 Sudut yang sinus -0,4638 terjadi pada kuadran ketiga dan keempat sejak sinus adalah negatif dalam kuadran ini lihat Gambar 3.24.



Gambar 3.24 Dari Gambar 3.25, θ = sin−1 0.4638 = 27,63o. Diukur dari 0o, dua sudut antara 0o dan 360o yang sinus adalah −0,4638 adalah 180o + 27,63o, yaitu 207,63o dan 360o − 27,63o, yaitu 332,37o (Perhatikan bahwa Kalkulator hanya memberikan satu jawaban, yaitu −27,632588o).



74



Trigonometri



Gambar 3.25 Contoh 2 Tentukan semua sudut antara 0o dan 360o yang tangen adalah 1,7629. Penyelesaian: Sebuah tangen adalah positif dalam kuadran pertama dan ketiga, lihat Gambar 3.26. Dari Gambar 3.27, θ = tan-11.7629 = 60.44o diukur dari 0o, dua sudut antara 0o dan 360o.



Gambar 3.26



Gambar 3.27



75



Trigonometri



yang tangen adalah 1,7629 yang 60,44o dan 180o + 60,44o, yaitu 240,44o. Contoh 3 Memecahkan persamaan cos−1(−0.2348) = α untuk sudut α antara 0o dan 360o. Penyelesaian: Cosine positif dalam kuadran pertama dan keempat dan dengan demikian negatif dalam kuadran kedua dan ketiga-dari Gambar 3.23 atau dari Gambar 3.18. Dalam Gambar 3.28, sudut θ = cos-1(0,2348) = 76,42o.



Gambar 3.28 Diukur dari 0o, dua sudut yang kosinus −0,2348 adalah α = 180o − 76,42o yaitu 103,58o dan α = 180o + 76,42o, yaitu 256,42o. 3.3 Segitiga dan beberapa aplikasi praktis 3.3.1 Aturan sinus dan kosinus Untuk 'memecahkan segitiga' berarti 'untuk menemukan nilai dari sisi dan sudut yang tidak diketahui'. Jika segitiga yang miring, rasio trigonometri dan teorema Pythagoras dapat digunakan untuk solusinya. Namun, untuk segitiga bukan sudut miring, rasio trigonometri dan teorema Pythagoras tidak dapat digunakan.



76



Trigonometri



Sebaliknya, menggunakan digunakan.



aturan sinus dan peraturan kosinus,



Aturan sinus Dengan mengacu pada ABC segitiga Gambar 3.29, aturan sinus menyatakan:



𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝐴



=



𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝐵



=



𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝐶



Gambar 3.29 Segitiga ABC Sama Sisi Aturan dapat digunakan hanya ketika: (i) 1 sisi dan setiap 2 sudut pada awalnya diberikan, atau (ii) 2 sisi dan sudut (bukan sudut yang disertakan) pada awalnya diberikan. Aturan cosinus Dengan mengacu pada ABC segitiga Gambar 3.29, aturan cosinus menyatakan: a2= b2 + c2 − 2bc cosA atau b2= a2 + c2 − 2ac cosB atau c2= a2 + b2 − 2ab cosC Aturan dapat digunakan hanya ketika: (i) 2 sisi dan sudut yang disertakan pada awalnya diberikan, atau (ii) 3 sisi awalnya diberikan.



77



Trigonometri 3.3.2 Luas Segitiga Sembarang



Luas segitiga sembarang seperti ABC dari Gambar 2.29 diberikan oleh: (i) ½ × tinggi × tegak lurus, atau (ii) ½ab sin C atau ½ac sin B atau ½bc sin A atau (iii) √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) dimana s =



𝑎+𝑏+𝑐 2



Contoh 2 Tegangan dua fase ditunjukkan dalam Gambar 3.31. Jika v1 = 40V dan v2 = 100V menentukan nilai resultan mereka (yaitu panjang OA) dan sudut yang dihasilkan membuat dengan v1.



Gambar 3.31 Sudut OBA = 180o – 45o = 135o Penerapan aturan cosinus: OA2 = v12 + v12 – 2v1v2cosOBA = 402 + 1002 – [(2)(40(100)cos135] = 1.600 + 10.000 –[-5657] = 1.600 + 10.000 + 5.657 = 17.257 Jadi resultan OA = √17.257 = 131.4 V



78



Trigonometri



Penerapan aturan sinus:



131,4 sin 135



=



100 sin AOB



100 sin 135o yang mana, sin AOB = = 0,5381 131,4 Karenanya susut AOB = sin-10,5381 = 32,55o (atau 147,45o yang mana tidak mungkin dalam kasus ini). Karenanya tegangan resultan adalah 131,4 volt di 32,55 o untuk V1. Contoh 3 Dalam Gambar 3.32, PR merupakan jib miring dari derek dan panjangnya 10,0 m. PQ panjanya 4,0 m . Tentukan kecenderungan jib ke vertikal dan panjang QR.



Gambar 3.32 Penerapan aturan sinus:



PR 𝑃𝑄 = sin 120 sin 𝑅 yang mana, sin R =



PQsin 120o (4,0) sin 120𝑜 = = 0,3464 PR 10,0



79



Trigonometri



Karenanya R = sin-10,3464 = 20,27o (atau 159,73o, yang mangkin dalam kasus ini). P = 180o – 120o – 20,27o = 39,73o, yang merupakan kecenderungan dari jib ke vertikal. Penerapan aturan sinus:



10 sin 120



=



𝑄𝑅 sin 139,73



yang mana, panjang QR =



10,0sin39,73 = 7,38 m sin 120



Kasus Trigonometri Untuk Operasi Militer Pengetahuan tentang navigasi pesawat sangat penting untuk keselamatan. Salah satu aplikasi penting adalah operasi pencarian dan penyelamatan. Bayangkan bahwa beberapa orang terjebak di Gunung dalam cuaca buruk. Untungnya, dengan ponsel, mereka berhasil menghubungi dasar Mountain Rescue terdekat untuk bantuan. Tim penyelamat Gunung perlu mengirim helikopter untuk menyelamatkan orang-orang ini. Dengan sinyal yang diterima dari rakyat di gunung, mereka menentukan bahwa bantalan dari Helipad (titik A) ke gunung (titik C) adalah 054° (yaitu sekitar Timur Laut). Juga perkiraan jarak dihitung menjadi 50 km.



Gambar 3.30



80



Trigonometri



Asumsikan bahwa helikopter penyelamat dapat melakukan perjalanan pada kecepatan 100 knot dan angin bertiup 20 knot pada arah 180°. Knot adalah unit standar untuk mengukur kecepatan pesawat dan itu sama dengan satu mil laut per jam.



Berdasarkan Standard International (SI): 1 international knot



= = = =



1 mil laut per jam 1,852 km/jam 1,151 mil/jam 0,514 m/detik



Menggunakan aturan kosinus, kita dapat menemukan kecepatan di darat b sebagai berikut: c2 = a2 + b2 - 2ab cos c 1002 = 202 + b2 – 2 x 20 x b cos 126 10.000 = 400 + b2 – 40bcos 126 b2 – 24,03b - 9.600 = 0 Menggunakan rumus standar untuk solusi Persamaan kuadrat dan mengambil akar positif: (b - 110,70 )(b + 86,7) b = 86,7 knots = 45 m/detik Sekarang kita tahu kecepatan dasar kita, kita dapat menggunakan aturan sinus untuk menghitung ketinggian helikopter harus



81



Trigonometri



mengikuti. Melihat Gambar 3.30, ketinggian sama dengan sudut B. oleh karena itu: sin B =



𝑏 sin 𝐶 𝑐



=



86,7 sin 126 100



B  44,7 derajat Dengan hasil ini, kita dapat menyimpulkan bahwa jika pesawat mengambil ketinggian dari 44,7° dengan kecepatan 100 knot di bawah pengaruh angin bertiup ke arah selatan dengan kecepatan 20 knot, itu benar-benar mengurangi kecepatan pesawat di darat untuk 86,7 knot dan bergerak pada bantalan 54°. Soal Latihan



1. Dalam segitiga ABC lihat Gambar 3.33, Tentukan sin A, cos A, tan A, sin B, cos B and tan B.



Gambar 3.33



2. Untuk segitiga sudut miring lihat Gambar 3.34. Tentukan. (a) sin α. (b) cos θ. (c) tan θ.



Gambar 3.34 3.



Segitiga ABC siku-siku di C, sisi a = 3,6 m dan b = 4,7 m. Berapakah panjang sisi c ?.



82



Trigonometri



4.



Sebuah segitiga ABC memiliki sisi a = 9.0 cm, b = 7,5 cm dan c = 6.5 cm. Tentukan tiga sudutnya dan luas



5.



Pecahkan segitiga XYZ, yang ditunjukkan pada Gambar 3.35 dan temukan area yang diberikan Y = 128 ◦, XY = 7,2 cm dan YZ = 4,5 cm.



Gambar 3.35 6.



Seorang pria meninggalkan titik berjalan pada 6,5 km/jam ke arah E20oN (yaitu 70o arah jam jam). Sebuah pengendara sepeda daun titik yang sama pada saat yang sama ke arah E 40oS (yaitu 130o arah jarum jam) bepergian pada kecepatan konstan. Cari kecepatan rata-rata dari pengendara sepeda jika Walker dan pengendara sepeda yang 80 km terpisah setelah 5 jam.



7.



Sebuah kapal P berlayar pada kecepatan stabil 45 km/jam dalam arah W32oN (yaitu 302o arah jarum jam) dari pelabuhan. Pada saat yang sama kapal lain Q meninggalkan pelabuhan pada kecepatan stabil 35 km/jam dalam arah N15oE (yaitu 15o arah jarum jam). Tentukan jarak mereka terpisah setelah 4 jam.



8.



Dua sisi dari sebidang tanah segitiga adalah 52.0 m dan 34,0 m, masing-masing. Jika luas tabah 620 m2 tentukan (a) keliling



83



Trigonometri



pagar yang diperlukan untuk menutup lahan dan (b) sudutsudut segitiga tersebut. 9.



Sebuah jib crane ditampilkan dalam Gambar 3.36. Jika batang tali PR adalah 8,0 panjang dan PQ adalah 4,5 m panjang tentukan (a) panjang jib RQ dan (b) sudut antara jib dan batang tali.



Gambar 3.36 10. Sebuah lokasi bangunan berbentuk segiempat seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.37, dan luas 1510 m2. Tentukan panjang perimeter lokasi.



Gambar 3.37 11. Mekanisme engkol mesin bensin ditampilkan dalam Gambar 3.38. Lengan OA adalah 10,0 cm panjang dan berputar searah jarum jam sekitar 0. Batang penghubung AB adalah 30,0 cm panjang dan ujung B dibatasi untuk bergerak secara horisontal



84



Trigonometri



Gambar 3.38 (a) untuk posisi yang ditunjukkan dalam Gambar 3.38, tentukan sudut antara batang penghubung AB dan horisontal dan panjang OB. (b) Seberapa jauh Apakah B bergerak ketika sudut AOB berubah dari 50o ke 120o? Referensi 1. 2. 3.



4. 5.



Abramson, J. P., et. al. (2015). Algebra and Trigonometry. Houston:OpenStax College, Rice University. Barnett, R. A., Ziegler, M. R., & Byleen, K. E. (2012). Analytic trigonometry with applications. Hoboken, N.J: Wiley. Bird, John, 2007. Engineering Mathematics 5th Edition. Newnes is an imprint of Elsevier Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP, UK 30 Corporate Drive, Suite 400, Burlington, MA 01803, USA. McKeague, C. P., & Turner, M. D. (2008). Trigonometry. Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2016). Algebra and Trigonometry.Boston: Cengage Learning



BAB 4 Sistem Kerucut



BAB 4 SISTEM (BAGIAN) KERUCUT 4.1 Sistem Koordinat Cartesian Aplikasi di mana koordinat polar akan digunakan termasuk navigasi terestrial dengan perangkat seperti Sonar, dan di bidang teknik dan sains yang melibatkan pola radiasi energi. Aplikasi di mana koordinat Cartesian akan digunakan termasuk setiap navigasi yang melibatkan pola scan grafis (misalnya bitmap-sebuah struktur data dot matrix yang mewakili grid persegi panjang umumnya piksel). Kemampuan untuk mengubah dari Cartesian ke koordinasi Polar sangat penting ketika menggunakan bilangan kompleks dan penggunaannya dalam teori sirkuit listrik AC dan dengan geometri vektor. 4.1.1 Pengantar Ada dua cara di mana posisi titik dalam pesawat dapat diwakili. Ini adalah: (a) Oleh koordinasi Cartesian, (dinamai setelah Descartes∗), yaitu (x, y), dan (b) Oleh koordinasi kutub, yaitu (r, θ), di mana adalah 'radius' dari titik tetap dan θ adalah sudut dari titik tetap. 4.1.2 Merubah dari Cartesian kedalam Koordinat Polar Dalam Gambar 4.1, jika panjang x dan y diketahui, maka panjang r dapat diperoleh dari Teorema Pythagoras, karena OPQ adalah segitiga siku-siku. Maka r2 = (x2 + y2), yang mana r = √x 2 + y 2 .



Gambar 4.1 Sistem Irisan Kerucut



85



86



Sistem Irisan Kerucut



Dari trigonometri (lihat Bab 3) tan θ = 𝑥 𝑦



𝑥 𝑦



yang mana θ = tan-1 . r = √x 2 + y 2 dan θ = tan-1



𝑥 𝑦



adalah dua



formula yang kita perlukan untuk mengubah dari Cartesian menjadi koordinat Polar. Sudut θ, yang dapat dinyatakan dalam derajat atau radian, harus selalu diukur dari René Descartes (31 March 1596–11 February 1650) sumbu x positif, yaitu, diukur dari garis OQ Seorang ahli filsafat Perancis, Matematikawan dan Penulis pada Gambar 4.1. Disarankan ketika mengubah Cartesian ke diagram koordinat Polar harus selalu membuat sketsa. Contoh 1 Rubah Koordinat Cartesian (3, 4) kedalam koordinat polar. Diagram yang merepresentasikan titik (3, 4) ditampilkan dalam Gambar 4.2.



Gambar 4.2 Penyelesaian: Dari teorema Pythagoras, r = √32 + 42 = 5 (catatan untuk −5 tidak dibahas dalam kontek ini). Oleh rasio trigonometri ratios, θ = tan−1 4/3= 53,13o atau 0.927 rad. [Catatan 53.13o = 53.13 ×(/180) rad=0.927 rad.] Karenanya (3, 4) dalam koordinat Cartesian ditulis (5, 53,13o) atau (5, 0,927 rad) di koordinat polar.



87



Sistem Irisan Kerucut



Contoh 2 Ekspresikan dalam koordinat Polar posisi (−4, 3) Sebuah diagram yang merepresentasikan titik dengan menggunakan koordinasi Cartesian (− 4, 3) ditunjukkan dalam Gambar 4.3.



Gambar 4.3 Penyelesaian: Dari teorema Pythagoras , r = √42 + 32 = 5 Oleh rasio trigonometri,  = tan−1 3/4= 36,87o atau 0.644 rad. Karenanya θ = 180o – 36,87o = 143,13o atau θ =  - 0,644 = 2,498 rad. Karenanya posisi titik P di koordinat polar membentuk (5, 143,13o) atau (5, 2,498 rad). Contoh 3 Ekspresi (-5, -12) di koordinat polar. Posisi sketsa memperlihatkan (-5, -12) dilihat dalam Gambar 4.4.



88



Sistem Irisan Kerucut



Gambar 4.4 Penyelesaian: r = √−52 + −122 = 13, dan ,  = tan−1 12/5 = 67,38o atau 1,176 rad. Karenanya θ =  + 1,176 = 4,318 rad. Itu (−5, −12) dalam penulisan koordinat Cartesian untuk (13, 247.38o) or (13, 4.318 rad) di koordinat polar. Contoh 4 Ekspresi (2, -5) di koordinat polar. Posisi sketsa memperlihatkan (5, -12) dilihat dalam Gambar 4.5.



Gambar 4.5



89



Sistem Irisan Kerucut



Penyelesaian: r = √22 + −52 = √29 = 5,385 koreksi 3 desimal,  = tan−15/2 = 68,20o atau 1,190 rad. Karenanya θ = 360o – 68o = 291,80o atau θ = 2 - 1,190 = 5,093 rad Itu (2, −5) dalam penulisan koordinat Cartesian untuk (5,385, 291,80o) or (5,385, 5,093) di koordinat polar. 4.1.3 Merubah dari Polar kedalam Koordinat Cartesian Dari segitiga sudut miring OPQ di Gambar 4.6. cos θ =



x y dan sin θ = , dari rasio trigonometri r r



Karenanya x =rcosθ dan y = rsinθ



Gambar 4.6 Jika panjang r dan sudut θ diketahui, maka x =rcosθ dan y = rsinθ merupakan dua formulasi yang kita butuhkan untuk merubah polar ke koordinat Cartesian. Contoh 1 Rubah (4, 32o) kedalam koordinat Cartesian. Posisi memperlihatkan sketsa (4, 32o) dilihat di Gambar 4.7.



90



Sistem Irisan Kerucut



Gambar 4.7 Penyelesaian: Sekarang x =rcosθ = 4cos32o = 3,39, Dan y =rsinθ = 4sin32o = 2,12 Karenanya (4, 32o) koordinat polar sedang untuk koordinat Cartesian ditulis (3,39, 2,12). Contoh 2 Ekspresikan (6, 137o) dalam koordinat Cartesian. diperlihatkan seketsa (6, 137o) lihat Gambar 4.8.



Gambar 4.8 Penyelesaian: x = rcosθ = 6cos137o =−4,388 yang mana ditulis untuk panjang OA di Gambar 4.8. y = rsin θ = 6sin137o = 4,092 yang mana ditulis untuk panjang AB di Gambar 4.8



Posisi



91



Sistem Irisan Kerucut



Itu (6, 137o) ditulis untuk koordinat polar sedangkan untuk koordinat Cartesian ditulis (-4,388, 4,092). (Catatan: ketika merubah dari polar ke koordinat Cartesian itu bukan merupakan hal yang perlu to sketsa gambar. Menggunakan x = rcosθ dan y = rsin θ otomatis menghasilkan tanda koreksi). Contoh 3 Ekspresikan (4,5, 5,16 rad) dalam koordinat Cartesian. Posisi memperlihatkan sketsa (4,5, 5,16 rad) diperlihatkan di Gambar 4.9.



Gambar 4.9 Penyelesaian: x = rcosθ = 4,5cos5,16 = 1,948 yang mana ditulis untuk panjang OA di Gambar 4.9. y = rsin θ = 4,5sin5,16 = -4,057 yang mana ditulis untuk panjang AB di Gambar 4.9. Itu (1,948, -4,057) untuk koordinat Cartesian, dan untuk (4,5, 5,16 rad) untuk koordinat polar. 4.1.4 Menggunakan Fungsi Pol/Rec di Kalkulator Nama lain untuk koordinat Cartesian yaitu koordinat persegi panjang. Banyak notasi ilmiah di kalkulator memiliki fungsi Pol dan



92



Sistem Irisan Kerucut



Rec. Rec yaitu singkatan dari empat persegi panjang (yaitu Cartesian) dan Pol yaitu singkatan dari polar. Periksa manual operasi pada Kalkulator ilmiah untuk menentukan bagaimana menggunakannya fungsi keduanya. Mereka membuat perubahan dari Cartesian ke koordinat polar, dengan cepat dan mudah. Contoh 1 Dengan kalkulator Casio fx-82ES PLUS atau yang sama to merubah angka Cartesian (3, 4) kedalam bentuk polar, ikuti prosedur berikut: 1. Tekan ‘shift’ 2. Tekan ‘Pol’ 3. Masukan 3 4. Masukan ‘koma’ 5. Masukan 4 6. Tekan ) 7. Tekan = The answer is: r = 5, θ = 59,033o. Karenanya, (3, 4) dalam bentuk Cartesian sama dengan (5, 59,033o) dalam bentuk polar. Contoh 2 Jika sudut yang dibutuhkan dalam radian, maka sebelum mengulang prosedur diatas tekan ‘shift’, ‘mode’ dan selanjutnya 4 untuk merubah kalkulator ke mode radian. Sama, untuk merubah angka bentuk polar (7, 126o) kedalam cartesian atau bentuk persegi panjang, memakai prosedur berikut: 1. Tekan ‘shift’ 2. Tekan ‘Rec’ 3. Masukan 7 4. Masukan ‘koma’ 5. Masukan 126 (asumsi kalkulator dalam mode derajat) 6. Tekan ) 7. Tekan = Jawabannya adalah X = 6.61 dan geser untuk melihat Y = 2.31 Koreksi untuk 2 penempatan desimal.



93



Sistem Irisan Kerucut



Karenanya, (7, 126o) dalam bentuk polar adalah sama dengan (6.61, 2.31) dalam persegi panjang atau bentuk Cartesian. 4.2 Lingkaran dan Sifat-Sifatnya Sebuah lingkaran adalah salah satu bentuk fundamental dari geometri; ini terdiri dari semua titik yang berjarak sama dari titik pusat. Pengetahuan tentang perhitungan yang melibatkan lingkaran diperlukan dengan mekanisme engkol, dengan penentuan lintang dan bujur, dengan bandul, dan bahkan dalam desain klip kertas. Daerah penerangan di lapangan sepak bola, daerah semprotan Taman otomatis sprayer dan sudut lap dari sabuk drive semua bergantung pada perhitungan yang melibatkan busur lingkaran. Kemampuan untuk menangani perhitungan yang melibatkan lingkaran dan properti jelas penting dalam beberapa cabang desain rekayasa. 4.2.1 Pengantar Sebuah lingkaran adalah sosok polos tertutup oleh garis melengkung, setiap titik yang berjarak sama dari titik di dalam, yang disebut pusat. 4.2.2 Sifat-Sifat lingkaran 1.



Jarak dari pusat ke kurva disebut radius, r, lingkaran (Lihat OP di Gambar 4.10).



Gambar 4.10



94 2. 3. 4.



Sistem Irisan Kerucut



Batas lingkaran disebut lingkar,c. Setiap garis lurus yang melewati bagian tengah dan menyentuh lingkar pada setiap ujungnya disebut diameter, d (Lihat QR pada Gambar 4.10). Jadi d = 2r. Rasio lingkar/diameter = konstan untuk setiap lingkaran.Konstanta ini dilambangkan dengan huruf Yunani 



 = 3,14159, benar untuk 5 tempat desimal. Oleh karena itu c/d =  atau c = d atau c = 2r. (diucapkan 'pie'), dimana 5. 6. 7.



8.



Berbentuk setengah lingkaran adalah separuh dari keseluruhan bulatan. Kuadran adalah seperempat dari seluruh lingkaran. Sebuah tangen ke lingkaran adalah garis lurus yang memenuhi lingkaran dalam satu titik saja dan tidak memotong lingkaran ketika diproduksi. AC di Gambar 4.10 adalah bertangen ke lingkaran karena menyentuh kurva di titik B saja. Jika radius OB ditarik, maka sudut ABO adalah sudut yang tepat. Sebuah sektor lingkaran adalah bagian dari lingkaran antara radius (misalnya, Bagian OXY dari Gambar 4.11 adalah sebuah sektor). Jika sektor kurang dari setengah lingkaran itu disebut sektor kecil, jika lebih besar dari setengah lingkaran itu disebut sektor utama.



Gambar 4.11 9.



Sebuah akord lingkaran adalah setiap garis lurus yang membagi lingkaran menjadi dua bagian dan diakhiri pada setiap akhir oleh lingkar. ST, di Gambar 4.11 adalah akord 10. Segmen adalah nama yang diberikan ke bagian di mana lingkaran dibagi dengan Akord. Jika segmen kurang dari setengah lingkaran itu disebut segmen minor (Lihat area yang diarsir di Gambar 4.11). Jika segmen lebih besar dari setengah



95



Sistem Irisan Kerucut



lingkaran itu disebut segmen utama (Lihat area yang tidak diarsir di Gambar 4.11). 11. Busur adalah bagian dari lingkar lingkaran. Jarak SRT di Gambar 4.11 disebut busur kecil dan jarak SXYT disebut busur besar. 12. Sudut di tengah lingkaran, yang diturunkan dengan busur, adalah dua kali sudut di lingkar yang diturunkan oleh busur yang sama. Dengan mengacu pada Gambar 4.12, Sudut AOC = 2 × Sudut ABC. 13. Sudut dalam setengah lingkaran adalah sudut yang tepat (Lihat sudut BQP pada Gambar 4.12).



Gambar 4.12 Contoh 1 Jika diameter sebuah lingkaran adalah 75 mm, tentukan keliling lingkaran tersebut. Penyelesaian: Rumus keliling yaitu: c = d atau c = 2r Jadi Keliling c =



 x 75



= 235,6 mm



Contoh 2 Jika Gambar 4.13, AB adalah tangen untuk keliling B. Jika radius keliling adalah 40 mm dan AB = 150 mm, hitung panjang AO.



Gambar 4.13



96



Sistem Irisan Kerucut



Penyelesaian: A tangen sebuah lingkaran adalah pada sudut kanan ke radius yang ditarik dari titik kontak, yaitu ABO = 90 o. Oleh karena itu, menggunakan teorema Pythagoras: AO2 = AB2 + OB2 AO = √𝐴𝐵2 + 𝑂𝐵2 = √1502 + 402 = 155,2 mm 4.2.3 Radian dan Derajat Satu radian didefinisikan sebagai sudut diturunkan di tengah lingkaran oleh busur sama panjang untuk radius.



Gambar 4.14 Dengan mengacu pada Gambar 4.14, untuk panjang busur s,



θ radians =



𝑠 𝑟



Ketika s = seluruh lingkar (= 2r) kemudian. θ=



s r



=



2r r



yaitu 2 radian = 360o atau Sehingga 1 rad =



 radian =180o



180o = 57,30o 



97



Sistem Irisan Kerucut



Karena







rad = 180o, maka



seterusnya.



π 2



= 90o,



π 3



= 60o,



π 4



= 45o, dan



Contoh 1 Rubah ke radian (a) 125o, (b) 69o47’ Penyelesaian: (a) Karena 180o = 125o = 125( (Catatan radian)



c



(b) 69o47’ = 69



 rad, maka 1o =



π 180o



π 180o



, oleh karena itu



)c = 2,182 rad



tanda ‘ukuran keliling’ dan menunjukkan ukuran



47o 60



= 69,783o



69,783o = 69,783(



π c ) = 1,218 rad 180o



Contoh 2 Rubah ke derajat dan menit (a) 0,749 rad (b) 3/4 rad Penyelesaian: (a) Karena



 rad 180o maka 1 rad = 180o/



0,749 = 0,749(



oleh karena itu



180 o ) = 42,915o 𝜋



0,915o = (0,915 x 60)’ = 55’ jadi 0,719 rad = 42o55’ (b) Karena 1 rad = (



180



3𝜋



𝜋



4



)o maka



rad =



3𝜋 180 4



(



𝜋



)o



98



Sistem Irisan Kerucut



3 (180)o= 135o 4



=



Contoh 3 Ekspresikan dalam radian, dalam istilah 37,5o.



, (a) 150o



(b) 270o (c)



Penyelesaian: Karena 180o= rad then 1o=/180, karenanya



5π π 180) rad = 6 rad 3π π (b) 270o = 270( ) rad = rad 180 2 75π 5π π (c) 37,5o = 37,5( ) rad = = rad 180 360 24 (a) 150o = 150(



4.2.4 Panjang busur, luas lingkaran dan Sektor Panjang busur Dari definisi radian di sub bab sebelumnya dan Gambar 4.14. Panjang busur, s =r dimana  dalam radian Luas lingkaran Untuk lingkaran sembarang, luas =  x (radius)2 yaitu Maka r =



luas =



𝑑 2



r2



, maka luas = r atau 2



𝜋𝑑 2 4



99



Sistem Irisan Kerucut



Luas sektor Luas sektor =



𝜃



(r2) ketika  dalam derajat



360 𝜃 𝟏 = (r2) = 𝜽r2 ketika  dalam radian. 2 𝟐



Contoh 1 Sebuah lapangan hoki memiliki setengah lingkaran radius 14.63 m di sekitar setiap gawang net. Cari daerah tertutup oleh setengah lingkaran, koreksi ke meter persegi terdekat. Penyelesaian: Luas setengah lingkaran =



𝟏 𝟐



 r2



Ketika r = 14,63 m, maka luas =



1  (14,63)2 = 336,21 m2 2



Jadi luas setengah lingkaran = 336 m2 Contoh 2 Cari luas pelat logam melingkar, Koreksi ke milimeter persegi terdekat, memiliki diameter 35.0 mm. Penyelesaian:



𝜋𝑑 2 4 𝜋(35,0)2 Ketika d = 35.0 mm, luas = 4 Luas lingkaran= r2 atau



Yaitu luas pelat lingkaran = 962 mm2



100



Sistem Irisan Kerucut



Contoh 3 Cari luas lingkaran yang memiliki keliling lingkar 60.0 mm. Penyelesaian: Keliling, c = 2r dimana radius r =



60 30 = 2𝜋 𝜋



30 2 ) = 286.5 mm2 𝜋



Luas linkaran =( Contoh 4



Sudut alur runcing diperiksa menggunakan rol diameter 20 mm seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.15. Jika Roller terletak 2,12 mm di bawah bagian atas alur, tentukan nilai sudut θ.



Gambar 4.15 Penyelesaian: Dalam Gambar 4.16, segitiga ABC adalah siku kanan di C (Lihat bagian 4.2.2 7).



Gambar 4.16



101



Sistem Irisan Kerucut



Panjang BC = 10 mm (yaitu radiaus dari lingkaran), dan AB = 30 10 -2,12 = 17, 88 mm dari Gambar 4.16.



𝜃



Karenanya, sin



2



=



10 17,88



dan



𝜃 2



= sin-1(



10 ) = 34o 17,88



Dan sudut  = 68o 4.2.5 Persamaan Lingkaran Persamaan sederhana dari lingkaran, berpusat pada radius r, adalah: x2 + y2 = z2 Contoh, Gambar 4.17 memperlihatkan lingkaran x2 + y2 = 9. Pada umumnya, persamaan dari lingkaran, berpusat di (a, b), dengan radius r, adalah: (x – a)2 + (y – b)2 = r2



(1)



Gambar 4.17 Gambar 4.18 memperlihatkan lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4. Persamaan umum dari lingkaran adalah: x2 + y2 + 2ex + 2fy + c = 0



(2)



102



Sistem Irisan Kerucut



Gambar 4.18 Mengalikan syarat tanda kurung dalam persamaan (1) memberikan: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 Kemudian bandingkan ini dengan persamaan (2) memberikan: 2e = −2a, yaitu a = -



2e 2



dan 2f = -2b, yaitu b = -



2f 2



dan c = a2 + b2 – r2, yaitu r = √(𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐) Jadi, untuk contoh, persamaan x2 + y2 - 4x -6y + 9 = 0 Mewakili sebuah lingkaran dengan center a = -(



−4 −6 ), b = -( ), 2 2



yaitu (2, 3) dan radius r = √(22 + 32 − 9) = 2. Karenanya



x2 + y2 - 4x -6y + 9 = 0 (yang dapat diperiksa dengan mengalikan tanda kurung dalam persamaan (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4).



103



Sistem Irisan Kerucut



Contoh 1 Tentukan (a) radius dan (b) koordinasi Pusat lingkaran yang diberikan oleh persamaan: X2 + Y2 + 8x − 2y + 8 = 0. Penyelesaian: x2 + y2 + 8x − 2y + 8 = 0 adalah bentuk yang ditunjukkan dalam persamaan (2),



8 2



dimana a = -( ) = -4, b = -(



−2 2)=1



dan r = √(−4)2 + (1)2 − 8) = √9 = 3 Oleh karena itu x2 + y2 + 8x − 2y + 8 = 0 mewakili Pusat lingkaran (− 4, 1) dan radius 3, seperti ditunjukkan pada Gambar 4.19.



Gambar 4.19 Alternatifnya, x2 + y2 + 8x − 2y + 8 = 0 dapat disusun ulang sebagai: (x +4)2 +( y −1)2 −9 = 0 yaitu (x + 4)2 + (y − 1)2 = 32 yang mewakili lingkaran, Pusat (− 4, 1) dan radius 3, sebagaimana dinyatakan di atas.



104



Sistem Irisan Kerucut



Contoh 2 Buat sketsa lingkaran yang diberikan oleh persamaan: x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0 Penyelesaian: Persamaan lingkaran, Pusat (a, b), radius r diberikan oleh: (x −a)2 +( y −b)2 = r2 Persamaan umum dari sebuah lingkaran adalah: x2 + y2 + 2ex + 2fy + c = 0 Dari atas a = -



2e 2



,b=-



2f 2



dan r = √(𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐)



Oleh karena itu, jika x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0 maka a = -(



−4 6 2 ) = 2, b = -(2) = -3



dan r = √(2)2 + (−3)2 − (−3) = √16 = 4 Dengan demikian lingkaran memiliki pusat (2, − 3) dan radius 4, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.20.



Gambar 4.20



105



Sistem Irisan Kerucut



4.2.6 Linier dan Kecepatan Sudut Kecepatan Linear Kecepatan linier v didefinisikan sebagai laju perubahan s perpindahan linier sehubungan dengan waktu t. Untuk gerak dalam garis lurus: kecepatan linier =



yaitu:



v=



perubahan perpindahan perubahan waktu



s t



(1)



Satuan kecepatan linier adalah meter per detik (m/s). Kecepatan sudut Kecepatan putaran roda atau poros biasanya diukur dalam putaran per menit atau putaran per detik tetapi unit ini tidak membentuk bagian dari sistem unit yang koheren. Dasar dalam unit SI adalah sudut yang muncul dalam satu detik. Kecepatan sudut didefinisikan sebagai laju perubahan θ perpindahan sudut, sehubungan dengan waktu t. Untuk objek yang berputar tentang sumbu tetap pada kecepatan konstan: kecepatan sudut = yaitu:



𝑆𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙



ω = θ/t



(2)



Satuan kecepatan sudut adalah radian per detik (Rad/s). Sebuah objek berputar pada kecepatan konstan n putaran per detik yang memiliki sudut dari radian 2n dalam satu detik, yaitu kecepatan sudut ω yang diberikan oleh: ω = 2n rad/s



(3)



106



Sistem Irisan Kerucut



Dari 4.2.4 halaman 94, s = rθ dan persamaan (2) di atas, θ = ωt maka s = rωt



s



dari mana



t



= ωr



Namun, dari persamaan (1) v = Maka



s t



v = ωr



(4)



Persamaan (4) memberikan hubungan antara kecepatan linier v dan kecepatan sudut ω. Contoh 1 Sebuah roda dengan diameter 540 mm berputar



1500 𝜋



putaran/menit (rev/min). Hitunglah kecepatan sudut dari roda dan kecepatan linier dari titik velg dari roda. Penyelesaian: Dari persamaan (3), kecepatan sudut ω = 2n dimana n adalah kecepatan putaran dalam putaran/detik (rev/s). Kareana dalam kasus ini n =



1500 1500 (rev/min) = (rev/s), maka 𝜋 60𝜋 𝟏𝟓𝟎𝟎 ) = 50 rad/s 𝟔𝟎𝝅



Kecapatan sudut ω = 2(



Kecepatan linier dari titik atas velg, v = ωr, dimana r adalah radius dari roda yaitu:



540 2



mm =



0,54 2



= 0,27 m



Jadi kecepatan linier v = ωr = (50)(0,27) = 13,5 m/s.



107



Sistem Irisan Kerucut



Contoh 2 Sebuah Ranpur (Kendaraan Tempur) bergerak untuk melakukan operasi dengan kecepatan 64.8 km/jam dan memiliki roda diameter 600 mm. (a) Cari kecepatan sudut roda Rad/s dan Rev/min. (b) Jika kecepatan tetap konstan untuk 1.44 km, menentukan jumlah revolusi (putaran) yang dibuat oleh roda, dengan asumsi tidak ada tergelincir terjadi. Penyelesaian: (a) Kecepatan linier v = 64,8 km/jam (km/h) = 64,8 km/h x 1000 m/km x 1/3600 h/s = 18 m/s Radius roda = 600/2 = 300 mm = 0,3 m Dari persamaan (4) v = ωr, yang mana Kecepatan sudut ω = v/r = 18/0,3 = 60 rad/s Dari persamaan (3), kecepatan sudut, dalam rev/s,



ω = 2n, dimana n



Karenanya kecepatan sudut n = ω/2 = 60/2 rev/s = 60 x 60/2 rev/min = 573 rev/min. (b) Dari persamaan (1), karena v = s/t maka waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan 1.44 km, yaitu 1440 m pada kecepatan konstan 18 m/s diberikan oleh: Waktu t = s/v = 1440 m/18 m/s = 80 s Karena roda berputar di 573 rev/min, maka dalam 80/60 menit itu membuat, 573 rev/min x 80/60 min = 764 revolusi (putaran)



108



Sistem Irisan Kerucut



4.2.7 Gaya Sentripetal Ketika sebuah objek bergerak dalam jalur melingkar pada kecepatan konstan, arah gerak terus berubah dan karenanya kecepatan (yang tergantung pada besaran dan arah) juga terus berubah. Karena akselerasi adalah (perubahan kecepatan)/(waktu yang dibutuhkan), objek memiliki percepatan. Biarkan objeknya bergerak dengan kecepatan sudut konstan ω dan kecepatan tangensial besarnya v dan biarkan perubahan kecepatan untuk perubahan kecil sudut θ (= ωt) menjadi V di Gambar 4.21. Kemudian v2 − v1 = V. Diagram vektor ditunjukkan dalam Gambar4.21 (b) dan karena besaran v 1 dan v2 sama, yaitu v, diagram vektor adalah segitiga sama kaki.



Gambar 4.21 Membagi dua sudut antara v2 dan v1 memberikan: sin



𝜃 2



=



𝑉/2 𝑣2



=



𝑉 2𝑣



yaitu V = 2v sin



𝜃 2



karena θ =ωt, maka t = θ/ω Pembagian persamaan (1) oleh persamaan (2) memberikan:



(1) (2)



109



Sistem Irisan Kerucut 𝜃



𝜃



2v sin vω sin V 2 2 = = t θ/ω θ/2 𝜃



Untuk sudut kecil



Karenanya



sin 2 θ/2



≈ 1



V perubahan kecepatan = t Perubahan waktu = percepatan a = vω



Namun, ω = v/r (dari bagian 4.2.6) Jadi vω = v. v/r = v2/r yaitu percepatan a adalah v2/r dan bergerak menuju pusat lingkaran (sepanjang V). Hal ini disebut percepatan sentripetal. Jika massa objek yang berputar m, maka oleh hukum kedua Newton, gaya sentripetal adalah mv2/r dan arahnya adalah begerak menuju pusat lingkaran. Contoh 1 Sebuah pesawat berputar di ketinggian konstan, gilirannya mengikuti busur lingkaran radius 1.5 km. Jika percepatan maksimum pesawat adalah 2,5 g, tentukan kecepatan maksimum dalam km/jam. Ambil g sebagai 9.8 m/s2. Penyelesaian: Percepatan objek yang berputar dalam lingkaran adalah v2/r Dengan demikian, untuk menentukan kecepatan maksimum, v2/r = 2,5 g, yang mana, Kecepatan, v = √(2,5𝑔. 𝑟 = √(2,5)(9,8)(1500) = √36.750 = 191,7 m/s



110



Sistem Irisan Kerucut



dan 191,7 m/s = (191,7 x 60 x 60)/1000 km/h = 690 km/h. 4.3 Parabola Pertama kita mempertimbangkan bagian kerucut yang disebut parabola. Sebuah Parabola adalah tempat kedudukan titik yang berjarak sama dari titik tetap (disebut fokus) dan garis tetap (disebut directrix), lihat Gambar 4.22.



Gambar 4.22 Jarak antara titik P pada parabola dan fokusnya F adalah sama dengan jarak antara P dan directrix l parabola.



Dengan definisi titik setengah antara fokus dan directrix terletak pada parabola. Titik ini V disebut simpul parabola. Garis melewati fokus dan tegak lurus ke directrix disebut sumbu parabola. Amati bahwa parabola adalah simetris sehubungan dengan sumbu.



Gambar 4.23 Parabola dengan fokus F(0, p)dan directrix y = -p, di mana p > 0



Untuk menemukan persamaan parabola, misalkan parabola ditempatkan sehingga versinya berada di asal dan sumbu di sepanjang sumbu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.23.



111



Sistem Irisan Kerucut



Lebih lanjut, menganggap bahwa fokusnya F adalah (0, p), dan directrix adalah garis dengan persamaan y = -p. Jika P(x, y) ada titik pada parabola, maka jarak antara P dan F adalah: d(P, F) = √𝑥 2 + (𝑦 − 𝑝)2 Sedangkan jarak antara P dan directrix adalah y + p . Dengan definisi jarak ini sama, sehingga, √𝑥 2 + (𝑦 − 𝑝)2 = y + p  Mengkuadratkan kedua belah pihak dan menyederhanakan, kita mendapatkan, x2 + (y - p)2 = y + p = (y + p)2 x2 + y2 – 2py + p2 = y2 + 2py + p2 x2 = 4py Persamaan standar dari Parabola Sebuah persamaan dari parabola dengan fokus (0, p) dan diretrix y = -p adalah x2 = 4py (1) Jika kita menulis a = 1/(4p), maka persamaan (1) menjadi y = ax2. Amati bahwa parabola terbuka ke atas jika p > 0 dan membuka ke bawah jika p < 0. (Lihat gambar 6.) Selain itu, parabola simetris sehubungan dengan sumbu (yaitu, sumbu parabola bertepatan dengan sumbu y), karena persamaan (1) tetap tidak berubah jika kita mengganti x dengan -x.



Gambar 4.24 Parabola x2 = 4py terbuka ketas jika p > 0 dan terbuka kebawah jika p < 0



112



Sistem Irisan Kerucut



Perubahan antar x dan y persamaan (1) memberikan, y2 = 4px



(2)



yang merupakan persamaan parabola dengan fokus F(p, 0) dan directrix x = -p. Parabola terbuka ke kanan jika p > 0 dan terbuka ke kiri jika p < 0. (Lihat Gambar 4.25) Dalam kedua kasus, sumbu parabola bertepatan dengan sumbu x.



Gambar 4.25 Parabola y2 = 4px terbuka ke kanan jika p > 0 dan terbuka kekiri jika p < 0 Catatan parabola dengan simpul pada asal dan sumbu simetri beradadi sumbu x atau sumbu y dikatakan dalam posisi standar. (Lihat gambar 4.24 dan 4.25). Contoh 1 Tentukan fokus dan directrix parabola y2 + 6x = 0, dan buat gambar sketsa parabolanya. Penyelesaian: Tulis ulang persamaan yang diberikan dalam bentuk y 2 = -6x dan membandingkannya dengan persamaan (2), kita melihat bahwa 4p = -6 atau p = -6/4 = -3/2. Oleh karena itu, fokus parabola adalah, F(-3/2, 0) dan directrix adalah x = 3/2. Parabola digambarkan dalam Gambar 4.26.



Sistem Irisan Kerucut



113



Gambar 4.26 Parabola y2 + 6 = 0



Contoh 2 Temukan persamaan parabola yang memiliki simpul pada asalnya dengan sumbu simetri teeletak di sumbu y, dan melewati titik p(3, -4). Berapa fokus dan directrix dari parabola? Penyelesaian: Sebuah persamaan parabola memiliki bentuk y = ax2. Untuk menentukan nilai, kita menggunakan kondisi bahwa titik p(3, -4) terletak pada parabola untuk mendapatkan persamaan -4 = a(3)2memberikan a = -4/9. Oleh karena itu, sebuah persamaan parabola, y = -4/9x2. Untuk menemukan fokus parabola, amati bahwa ia memiliki bentuk F(0, p). Sekarang a = 1/(4p) maka p = 1/4a = 1/(4(-4/9)) =-9/16 Oleh karena itu, fokusnya adalah F(0, -9/16). Directrix adalah y = -p = -(-9/16), atau y = 9/16 Grafik parabola digambarkan dalam Gambar 4.27.



Gambar 4.27 Parabola y = -9/16x2



114



Sistem Irisan Kerucut



Parabola memiliki banyak aplikasi. Misalnya, kabel jembatan suspensi tertentu mengasumsikan bentuk yang parabola. Contoh 3 Kabel jembatan suspensi Gambar 4.28 menggambarkan sebuah jembatan, ditopang oleh kabel yang fleksibel. Jika kita berasumsi bahwa berat kabel diabaikan dibandingkan dengan berat jembatan, maka dapat ditunjukkan bahwa bentuk kabel dijelaskan oleh persamaan y=



Wx2 2H



mana adalah berat jembatan dalam pound per kaki dan merupakan ketegangan pada titik terendah dari kabel dalam pound (asal). Misalkan, rentang kabel adalah ft dan sag adalah ft. a. Cari persamaan yang menggambarkan bentuk diasumsikan oleh kabel dalam hal a dan h. b. Cari panjang kabel jika rentang kabel adalah 400 ft dan sag adalah 80 ft.



Gambar 4.28 sebuah jembatan panjang 2a ditopang oleh kabel fleksibel



Penyelesaian: a.



Kita dapat menulis persamaan yang diberikan dalam bentuk y = kx2, di mana k = W/2H. Karena titik (a, h) ini terletak di parabola y = kx2, kita memiliki h = ka2 atau k = h/a2 sehingga persamaan yang diperlukan adalah y = hx2/a2.



115



Sistem Irisan Kerucut



b.



Dengan a = 200 dan h = 80 persamaan yang menggambarkan bentuk kabel adalah,



y=



80𝑥 2 2002



=



𝑥2 500



Selanjutnya, panjang kabel diberikan oleh 200



s = 2∫0



√1 + (𝑦 ′ )2 dx



Tapi y’ = x/250 sehingga 200



s = 2∫0



𝑥



√1 + (250)2 dx =



200 1 ∫ √2502 125 0



+ 𝑥 2 dx



Cara termudah untuk mengevaluasi integral ini adalah dengan menggunakan tabel integral yaitu: 𝑢



∫ √𝑎2 + 𝑢2 du = 2 ∫ √𝑎2 + 𝑢2 +



𝑎2 ln 2



u + √𝑎2 + 𝑢2 + c



Jika kita membiarkan a = 250 dan Anda u = x, maka 200



s=



1 𝑥 [ ∫ √2502 125 2



=125 [100 ∫ √62500 + 1



4



+



𝑥2



+



2502 ln 2



x +



√2502



+



𝑥2



+] 0



40000 + 31250l 200 + √62500 + 40000  − 31250ln250] 200+ √102500 ) 250



= √102500 + 250ln( 5



≈ 439 atau 439 ft



Aplikasi parabola lainnya termasuk lintasan proyektil dengan tidak adanya perlawanan udara.



116



Sistem Irisan Kerucut



4.4 Elips Sebuah elips adalah himpunan semua titik dalam sebuah pesawat yang jumlah jaraknya dari dua titik tetap (disebut Foci) adalah konstanta. Gambar 4.29 menunjukkan elips dengan Foci F1dan F2. Garis melewati Foci memotong elips pada dua titik, V1 dan V2, disebut simpul elips. Akord yang bergabung dengan simpul disebut sumbu utama, dan titik tengahnya disebut sebagai pusat elips. Akord melewati pusat elips dan tegak lurus ke sumbu utama disebut sumbu minor elips. Gambar 4.29 Sebuah elips dengan Foci F1 dan F2. Sebuah titik P(x, y) adalah pada elips jika dan hanya jika d1 + d2 = konstan . Catatan kita dapat membangun sebuah elips di atas kertas dengan cara berikut: Tempatkan selembar kertas pada papan kayu datar. Selanjutnya, kencangkan ujung dari sepotong senar ke dua titik (Foci dari elips) dengan paku payung. Kemudian jiplak elips yang diperlukan dengan pensil yang mendorong terhadap senar, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.30, memastikan bahwa senar tetap kencang sepanjang waktu. Gambar 4.30 Menggambar elips di atas kertas menggunakan paku payung, senar, dan pensil Untuk menemukan sebuah persamaan untuk sebuah elips, misalkan elips ditempatkan sehingga sumbu utamanya terletak di sepanjang sumbu x dan pusatnya berada di asal, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.31. Kemudian Foci F1 dan F2 berada di titik (-c, 0)



117



Sistem Irisan Kerucut



dan (c, 0), masing-masing. Biarkan jumlah jarak antara titik P(x, y) pada elips dan Foci nya 2a > 2c > 0. Kemudian, dengan definisi elips kita memiliki, d(P, F1) + d(P, F2) = 2a yaitu



√(x + c)2 + y 2 + √(x − c)2 + y 2 = 2a



atau



√(x + c)2 + y 2 = 2a – √(x + c)2 + y 2



Gambar 4.31 Elips dengan foci F1(-c,0) dan F2(c, 0)



Mengkuadratkan kedua sisi persamaan ini, kita mendapatkan x2 - 2cx + c2 + y2 = 4a2 - 4a√(x + c)2 + y 2 + x2 + 2cx + c2 + y2 atau, setelah penyederhanaan, a√(x + c)2 + y 2 = a2 – cx Mengkuadratkan kedua belah pihak, kita telah a2(x2 + 2cx + c2 + y2) = a4 + 2a2cx + c2x2 yang menghasilkan (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) Ingat itu a > c, jadi a2 – c2 > 0. Biarkan b2 = a2 – c2 dengan b > 0. Kemudian persamaan elips menjadi b2x2 + a2y2 = a2b2 atau, setelah membagi kedua belah pihak a2b2, kita mendapatkan



118



Sistem Irisan Kerucut



𝑥2 𝑦2 + 2=1 𝑎2 𝑏 Dengan menetapkan y = 0, kita mendapatkan x = ±a, yang memberi (-a, 0) dan (a, 0) sebagai simpul elips. Demikian pula, dengan menetapkan x = 0, kita melihat bahwa elips memotong sumbu y pada titik (0, -b) dan (0, b). Karena persamaan tetap tidak berubah jika x digantikan oleh –x dan y digantikan, kita melihat bahwa elips simetris terhadap kedua sumbu. Amati juga, b < a karena, b2 = a2 – c2 < a2 Jadi seperti namanya, panjang sumbu utama, 2a, lebih besar dari panjang sumbu Minor, 2b. Akhirnya, amati bahwa jika Foci bertepatan, maka c = 0 dan a = b, sehingga elips adalah lingkaran dengan radius r = a = b. Menempatkan elips sehingga sumbu utama terletak di sepanjang sumbu dan pusatnya adalah di asal mengarah ke sebuah persamaan di mana peran dan terbalik. Untuk meringkas, kita memiliki yang berikut. Persamaan standar elips sebuah persamaan dari elips dengan Foci (±c, 0) dan (±a, 0) simpul adalah,



𝑥2



𝑦2



+ 2=1 𝑎2 𝑏



a≥b>0



(1)



dan persamaan elips dengan Foci dan simpul adalah,



𝑥2



𝑦2



+ 2=1 𝑏2 𝑎



a≥b>0



Dimana c2 = a2 – b2 (lihat Gambar 4.32).



(2)



119



Sistem Irisan Kerucut



Gambar 4.32 Dua elips dalam posisi standar dengan pusat pada asal Catatan elips dengan pusat di asal dan Foci tergeletak di sepanjang sumbu atau sumbu dikatakan dalam posisi standar. (Lihat Gambar 4.32) Contoh 1 Buat sketsa elips Penyelesaian:



𝑥2 16



+



𝑦2 9



= 1. Cari Foci dan simpulya.



Di sini, a2 = 16 dan b2 = 9, jadi a = 4 dan b = 3. Menetapkan y = 0 dan x = 0 dalam suksesi memberikan x dan y berpotongan sebagai ±4 dan ±3, masing-masing. Juga, dari, b2 – a2 – c2 = 16 – 9 = 7 kita mendapatkan c = √7 dan menyimpulkan bahwa Foci elips adalah (±√7). Simpul (Vertex-nya) adalah (±4, 0). Elips digambarkan dalam Gambar 4.33.



Gambar 4.33 Elips



𝑥2 𝑦2 + =1 16 9



120



Sistem Irisan Kerucut



Contoh 2 Temukan persamaan elips dengan Foci (0, ±2) dan simpul (0, ±4). Penyelesaian: Karena Foci dan oleh karena itu sumbu utama elips terletak di sepanjang sumbu y, kita menggunakan persamaan (2). Di sini, c = 2 dan a = 4, jadi, b2 = a2 – c2 = 16 – 4 = 12 Oleh karena itu, bentuk standar persamaan untuk elips



𝑥2 12



+



𝑦2 16



=1



atau 4x2 + 3y2 = 48 4.5 Hiperbola Definisi hiperbola mirip dengan sebuah elips. Jumlah jarak antara Foci dan titik pada elips adalah tetap, sedangkan perbedaan jarak ini tetap untuk hiperbola. Sebuah hiperbola adalah pengaturan dari semua titik dalam bidang perbedaan yang jaraknya dari dua titik tetap (disebut Foci) adalah konstan. Gambar 4.34 menunjukkan hiperbola dengan Foci F1 dan F2 . Garis melewati Foci memotong hiperbola di dua titik, V1 dan V2, yang disebut simpul hiperbola. Segmen garis yang menggabungkan simpul disebut sumbu melintang hiperbola, dan titik tengah sumbu melintang disebut sebagai pusat hiperbola. Amati bahwa hiperbola, berbeda dengan parabola atau elips, memiliki dua cabang terpisah.



121



Sistem Irisan Kerucut



Gambar 4.34 Sebuah hiperbola dengan Foci F1 dan F2. Intinya P(x, y) adalah pada hiperbola jika dan hanya jika d1 – d2  adalah konstan. Derivasi dari sebuah Persamaan Hiperbola mirip dengan elips. Pertimbangkan, misalnya, hiperbola dengan pusat di asal dan Foci F1(-c, 0) dan F2(c, 0) pada sumbu x. (Lihat Gambar 4.35.) Menggunakan kondisi, d(P, F1) + d(P, F2) = 2a di mana a konstan positif, dapat ditunjukkan bahwa jika P(x, y) ada titik pada hiperbola, maka Persamaan Hiperbola adalah



𝑥2 𝑦2 =1 𝑎2 𝑏 2 dimana b = √𝑐 2 − 𝑎2 atau c = √𝑎2 + 𝑏 2 Amati bahwa perpotongan x dari hiperbola adalah x = ±a, memberi (-a, 0) dan (a, 0) sebagai simpul. Tapi tidak ada perpotongan y, karena x = 0 memberikan pengaturan y2 = -b2, yang tidak memiliki solusi nyata. Juga, amati bahwa hiperbola adalah simetris sehubungan dengan kedua sumbu Jika kita memecahkan persamaan karena, kita mendapatkan y = ±



𝑥2 𝑦2 =1 𝑎2 𝑏 2 𝑏 𝑎



√𝑥 2 − 𝑎2



Gambar 4.35 Sebuah Persamaan Hiperbola dengan pusat (0, 0) dan Foci (-c, 0) dan (c, 0) adalah



𝑥2 𝑦2 =1 𝑎2 𝑏 2



122



Sistem Irisan Kerucut



Sejak x2 – a2 ≥ 0 atau, setara, x ≤ 0 atau x ≥0, kita melihat bahwa hiperbola sebenarnya terdiri dari dua cabang terpisah, seperti yang disebutkan sebelumnya. Juga, amati bahwa jika besarnya besar, maka x2 – a2 ≈ x2 begitu y = ±(b/a)x. Argumen heuristik ini menunjukkan bahwa kedua cabang dari pendekatan hiperbola yang miring asymptotes y = ±(b/a)x sebagai x meningkat atau menurun tanpa terikat. (Lihat Gambar 4.36) Anda akan diminta dalam latihan untuk menunjukkan bahwa hal ini benar. Akhirnya, jika Foci hiperbola berada di sumbu, maka dengan membalikkan peran x dan y , kita mendapatkan



𝑦2 𝑥2 =1 𝑎2 𝑏 2 sebagai persamaan dari hiperbola.



Gambar 4.36 Dua hiperbola dalam posisi standar dengan pusat pada asal



123



Sistem Irisan Kerucut



Persamaan standar hiperbola Sebuah persamaan dari hiperbola dengan Foci (±c, 0) dan simpul (±a, 0) adalah



𝑥2



𝑦2



=1 𝑎2 𝑏 2



(3)



Dimana c = √𝑎2 + 𝑏2. Hiperbola memiliki asymptotes y = ±(b/a)x. Sebuah persamaan hiperbola dengan Foci (0, ±c) dan simpul (0, ±a) adalah,



𝑦2 𝑥2 =1 𝑎2 𝑏 2



(4)



dimana c = √𝑎2 + 𝑏 2 , Hiperbola memiliki y = ±(b/a)



asymptotes



Segmen garis panjang 2b bergabung dengan titik (0, -b) dan (0, b) atau (-b, 0) dan (b, 0) disebut poros konjugat dari hiperbola. Contoh 1 Menemukan Foci, 4x2 – 9y2 = 36.



simpul,



dan



asymptotes



dari



hiperbola



Penyelesaian: Membagi kedua sisi dari persamaan yang diberikan oleh persamaan standar



𝑥2 9



-



𝑦2 4



=1



hiperbola. Di sini a2 = 9, dan b2 = 4, jadi a = 3 dan b = 2. Pengaturan y = 0 memberikan ±3 sebagai perpotongan x, begitu (±3, 0) juga simpul dari hiperbola. Juga, kita memiliki



124



Sistem Irisan Kerucut



c = √𝑎2 + 𝑏 2 = 13, dan menyimpulkan bahwa Foci dari hiperbola adalah (±√13, 0). Akhirnya, asymptotes dari hiperbola adalah y=±



𝑏 𝑎



x =±



2 3



x



Ketika Anda sketsa hiperbola ini, menggambar asymptotes pertama sehingga Anda dapat kemudian menggunakannya sebagai panduan untuk membuat sketsa hiperbola itu sendiri. (Lihat Gambar 4.37.)



Gambar 4.37 Grafik Hiperbola 4x2 – 9y2 = 36



Contoh 2 Sebuah hiperbola memiliki simpul (0, ±3) dan melewati titik (2, 5). Temukan Persamaan Hiperbola. Apa yang Foci dan asymptotes? Penyelesaian: Di sini, Foci terletak di sepanjang sumbu, sehingga persamaan standar hiperbola memiliki bentuk



𝑦2 𝑥2 - 2=1 9 𝑏



Catatan a = 3



Untuk menentukan b, kita menggunakan kondisi bahwa hiperbola melewati titik (2, 5) untuk menulis



25 4 4 25 16 - 2=1; = –1= 2 9 𝑏 𝑏 9 9



125



Sistem Irisan Kerucut



Atau b2 = adalah



36 9 = , Oleh karena itu, diperlukan Persamaan Hiperbola 16 4 𝑦2



𝑥2



- 9 =1 9 4



atau, setara y2 – 4 = 9, Untuk menemukan Foci hyperbola, kita menghitung, c2 = a2 + b2 = 9 +



9 4



=



45 4



atau c = ±√



45



5



= ±3√2 dari mana kita 4



5 2



melihat bahwa Foci (0, ±3√ ). Akhirnya asymptotes yang diperoleh dengan mengganti a= 3 dan b =



3 2



kedalam persamaan y = ±(b/a),



memberikan y = ±2x. Grafik hiperbola dilihat dalam Gambar 4.38.



Gambar 4.38 Grafik hiperbola y2 – 4x2 = 9



Contoh 3 Sebuah Scattering Rutherford sebuah inti atom besar yang digunakan sebagai target untuk partikel alfa masuk terletak pada titik (-2, 0), seperti yang ditunjukkan pada Gmabar 4.39. Misalkan partikel alfa yang mendekati nukleus memiliki lintasan yang merupakan cabang hiperbola yang ditunjukkan dengan asymptotes y = ± √ 3𝑥 dan Foci (±2, 0). Menemukan persamaan lintasan.



126



Sistem Irisan Kerucut



Penyelesaian: Asimptot hiperbola dengan pusat dan foci di sumbu x memiliki bentuk persamaan y = ±(b/a)x. Sehingga asimptot dari lintasan adalah y = ± √ 3𝑥 , kita lihat 𝑏 𝑎



= √ 3 atau b = √ 3 𝑎



Selanjutnya foci hiperbola adalah (±2, 0), kita tahu bahwa c = 2 tetapi c2 = a2 + b2, dan ini memberikan 4 = a2 + (√ 3 𝑎)2 = a2 + 3a2 = 4a2 atau a = 1, sehingga b = √ 3 , yang mana persamaan dari



lintasan adalah



𝑥2 1



-



𝑦2 3



=1



atau 3x2 – y2 = 3 dimana x > 0



Gambar 4.39 Lintasan dari sebuah partikel alfa dalam Sebuah Scattering Rutherford merupakan cabang dari hiperbola



4.6 Pergeseran Kerucut Dengan menggunakan teknik di bagian 4.5, kita bisa mendapatkan persamaan conics yang diterjemahkan dari posisi standar. Bahkan, dengan mengganti x dengan x – h dan y oleh y - k dalam persamaan standar, kita mendapatkan persamaan parabola yang Vertex



127



Sistem Irisan Kerucut



diterjemahkan dari asal ke titik dan persamaan elips (atau hiperbola) yang pusatnya diterjemahkan dari asal ke titik (h, k). Kami meringkas hasil ini di Tabel 4.1. Gambar 4.40 menunjukkan grafik dari kerucut ini. Tabel 4.1 Ringkasan Formulasi Kerucut Kerucut



Orientasi sumbu



Persamaan berbentuk kerucut



Ket.



Parabola



Sumbu horisontal



(y - k)2 = 4p(x - h) (1)



Gbr 4.40a



Parabola



Sumbu vertikal



(x - k)2 = 4p(y - h) (2)



Gbr 4.40b



Elips



Sumbu utama horisontal



Elips



Sumbu utama vertikal



Hiperbola



Melintang sumbu horisontal



Hiperbola



Melintang sumbu vertikal



(𝑥−ℎ)2 𝑎2



+



(𝑦−𝑘)2 𝑏2



= 1 (3)



(𝑥−ℎ)2 (𝑦−𝑘)2 + = 1 (4) 𝑏2 𝑎2 2 2 (𝑥−ℎ) (𝑦−𝑘) = 1 (5) 𝑎2 𝑏2 (𝑦−𝑘)2 (𝑥−ℎ)2 𝑎2



-



𝑏2



= 1 (6)



Gbr 4.40c Gbr 4.40d Gbr 4.40e Gbr 4.40f



Gambar 4.40 Pergeseran Kerucut dengan pusat di (h, k)



128



Sistem Irisan Kerucut



Amati bahwa jika h = k = 0, maka masing-masing persamaan yang tercantum dalam Tabel 4.1 mengurangi sesuai persamaan standar dari Kerucut yang berpusat pada asal, seperti yang diharapkan. Contoh 1 Menemukan persamaan standar elips dengan Foci di (1, 2) dan (5, 2) dan sumbu utama panjang 6. Buat sketsa elips. Penyelesaian: Karena Foci (1, 2) dan (5,2) memiliki koordinat yang sama, kita melihat bahwa mereka terletak di sepanjang garis y =2 sejajar dengan sumbu x. Titik tengah segmen garis bergabung menjadi, (1, 2) ke (5, 2) adalah (3, 2) dan ini adalah pusat elips. Dari sini kita dapat melihat bahwa jarak dari pusat elips ke masing-masing Foci 2, jadi c = 2. Berikutnya sehingga sumbu utama elips adalah diketahui dengan panjang 6, kita punya 2a = 6, atau a = 3. Akhirnya, dari hubungan c2 = a2 – b2, kita peroleh,4 = 9 – b2, atau b2 = 5. Oleh karena itu, menggunakan persamaan (3) dari Tabel 4.1 dengan h = 3, k = 2, a = 3, dan b = √ 5 , kita mendapatkan persamaan yang diinginkan:



(𝑥−3)2 9



+



(𝑦−2)2 5



=1



Elips digambarkan dalam Gambar 4.41.



Gambar 4.41 Elips



(𝑥−3)2 (𝑦−2)2 + =1 9 5



Jika Anda memperluas dan menyederhanakan setiap persamaan dalam tabel 1, Anda akan melihat bahwa persamaan ini memiliki bentuk umum,



129



Sistem Irisan Kerucut



Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 dimana koefisien adalah bilangan riil. Sebaliknya, mengingat persamaan tersebut, kita dapat memperoleh persamaan yang setara dalam bentuk yang tercantum dalam Tabel 4.1 dengan menggunakan teknik menyelesaikan persegi. Yang terakhir ini kemudian dapat dianalisis dengan mudah untuk mendapatkan properti dari Kerucut yang diwakilinya. Contoh 2 Temukan persamaan standar hiperbola 3x2 - 4y2 + 6x + 16y - 25 = 0 Temukan Foci, simpul, dan asymptotes, dan sketsa grafiknya. Penyelesaian: Kita melengkapi kotak dan: 3(x2 + 2x) - 4(y2 - 4y) = 25 3[x2 + 2x + (1)2] – 4[y2 - 4y + (-2)2] = 25 + 3 – 16 3(x + 1)2 – 4(y – 2)2 = 12 Kemudian, membagi kedua sisi persamaan ini dengan 12 memberikan persamaan yang diinginkan



(𝑥+1)2 4



-



(𝑦−2)2 3



=1



Membandingkan persamaan ini dengan persamaan (5) dalam Tabel 4.1, kita melihat bahwa itu adalah persamaan dari hiperbola dengan sumbu tengah (-1, 2) dan melintang sejajar dengan sumbu. Kita juga melihat itu a2 = 4 dan b2 = 3, dari mana ia mengikutinya c2 = a2 + b2 = 4 + 3 = 7. Kita bisa memikirkan hiperbola ini sebagai salah satu yang diperoleh dengan menggeser hiperbola yang sama, berpusat pada asal, satu unit ke kiri dan dua unit ke atas. Kemudian



130



Sistem Irisan Kerucut



yang diperlukan Foci, simpul, dan asymptotes diperoleh dengan menggeser Foci, simpul, dan asymptotes ini hiperbola terakhir yang sesuai. Hasilnya adalah sebagai berikut: Tabel 4.2 Foci Sumbu (Vertices) Asymptotes



(-√ 7 − 1, 2) dan (√ 7 − 1, 2) (-3, 2) dan (1, 2) √3 (x + 1) 2



Y -2 = ±



Gambar 4.42 Hiperbola 3x2 – 4y2 + 6x + 16y – 25 = 0



Sifat hiperbola dieksploitasi dalam sistem navigasional LORAN (Long Range Navigation). Sistem ini menggunakan dua set pemancar: satu set terletak di F1 dan F2 dan set lain terletak di G1 dan G2. (Lihat Gambar 4.43) Misalkan sinyal disinkronisasi Dikirim oleh pemancar yang terletak di F1 dan F2 mencapai kapal yang terletak di. Perbedaan dalam waktu kedatangan sinyal dikonversi oleh komputer onboard ke dalam perbedaan di kejauhan d(P, F1) – d(P, F2). Dengan menggunakan definisi hiperbola, kita melihat bahwa ini menempatkan kapal pada cabang hiperbola dengan Foci F1 dan F2 (Gambar 4.43). Demikian pula, kita melihat bahwa kapal juga harus berbaring di cabang hiperbola dengan Foci G1 dan G2. Dengan demikian, posisi dari P adalah yang diberikan oleh persimpangan dua cabang dari hiperbolas.



Sistem Irisan Kerucut



131



Gambar 4.43 Dalam LORAN sistem navigasi, posisi kapal adalah titik persimpangan dari dua pencabangan dari hiperbola Soal Latihan Dalam masalah 1 sampai 8, mengekspresikan Cartesian diberikan koordinasi sebagai koordinasi kutub, koreksi 2 desimal, dalam kedua derajat dan radian. 1. (3, 5) 2. (6.18, 2.35) 3. (−2, 4) 4. (−5.4, 3.7) 5. (−7, −3) 6. (−2.4, −3.6) 7. (5, −3) 8. (9.6, −12.4) Dalam masalah 9 sampai 16, ungkapkan koordinat polar yang diberikan sebagai koordinasi Cartesian, koreksi 3 desimal. 9. (5, 75◦) 10. (4.4, 1.12 rad) 11. (7, 140◦) 12. (3.6, 2.5 rad) 13. (10.8, 210◦) 14. (4, 4 rad) 15. (1.5, 300◦) 16. (6, 5.5 rad) Soal 17 sampai 19 17. Jika radius lingkaran adalah 41.3 mm, hitung lingkar lingkaran. 18. Temukan diameter lingkaran yang perimeter adalah 149,8 cm. 19. Mekanisme engkol ditunjukkan dalam Gambar 4.44, di mana XY adalah tangen ke lingkaran di titik X. Jika radius lingkaran



132



Sistem Irisan Kerucut



OX adalah 10 cm dan panjang OY adalah 40 cm, menentukan panjang batang penghubung XY.



Gambar 4.44 20. Tentukan (a) area yang diarsir dalam Gambar 4.45 (b) persentase seluruh sektor yang mewakili area berbayang.



Gambar 4.45 21. Reflektor parabola gambar berikut menunjukkan penampang reflektor parabolik. Jika reflektor 2 ft lebar pada pembukaan dan 1 ft dalam, seberapa jauh dari simpul sumber cahaya harus ditempatkan di sepanjang sumbu simetri parabola?



22. Luas permukaan parabola satelit 18-in. parabola diperoleh dengan bergulir parabola dengan persamaan



133



Sistem Irisan Kerucut



y = (4/81)x2 tentang sumbu y. Cari luas permukaan parabola tersebut.



23. Menunjukkan bahwa persamaan garis tangen ke elips



𝑥2 𝑦2 + 2=1 𝑎2 𝑏 pada titik dapat ditulis dalam bentuk



𝑥𝑥0 𝑦𝑦0 + =1 𝑎2 𝑏2 24. Lengkungan jembatan jembatan yang membentang di Sungai Citarum memiliki tiga lengkungan yang berbentuk semielliptical. Dasar lengkungan pusat adalah 24 kaki seberang, dan ketinggian maksimum lengkungan adalah 8 ft. Apa ketinggian lengkungan 6 ft dari pusat dasar?



134



Sistem Irisan Kerucut



Referensi 1. 2.



Bird, John, 2014. High Engineering Mathematics 7th Edition. Routledge2 Park Square, Milton Park, Abingdon, Oxon OX14 4RN. Tan, Soo, T., 2010. Calculus. Brooks/Cole, Cengage Learning.



BAB 5 Matriks dan Determinan



BAB 5 MATRIKS DAN DETERMINAN 5.1 Matriks Matriks adalah sekumpulan bilangan riil (atau elemen) atau kompleks yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array) persegi panjang. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks m x n (yaitu ‘m kali n’) atau matriks berorde m x n Suatu matriks ditunujukkan dengan menuliskan jajarannya di antara 5 7 2 kurung siku, misalnya [ ] adalah matriks 2 x 3, yaitu matriks 6 3 8 ‘2 kali 3’, dengan 5, 7, 2, 6, 3, 8 adalah elemen-elemennya. Perhatikan bahwa dalam menyatakan matriks yang pertama disebutkan adalah banyaknya baris dan yang kedua adalah banyaknya kolom. 5 6 4 [2 −3 2] 7 8 7 6 7 5 Matriks diatas merupakan matriks berorde 4 x 3 yaitu matriks dengan 4 baris dan 3 kolom. Contoh 1 3 Untuk matriks berikut [ 4 4 dan [5 6



7 4 ] berorde............ 3 5



3 2] berorde............ 1



Matriks dan Determinan



135



136



Matriks dan Determinan



Penyelesaian: 3 [ 4



7 4 ] berorde 2 x 3, karena matriks tersebut mempunyai 2 3 5 baris dan 3 kolom.



4 3 Sedangkan untuk [5 2] berorde 3 x 2, karena matrik ini 6 1 mempunyai 3 baris dan 2 kolom. Matriks hanyalah sekedar jajaran sekumpulan bilangan, tidak ada hubungan dengan aritmatis antar elemen-elemennya. Matriks berbeda dari determinan, karena tidak ada harga numerik suatu matriks yang diperoleh dari perkalian antar elemennya. Juga, pada umumnya baris dan kolom tidak dapat dipertukarkan seperti dalam determinan. Matriks baris (line matrix): Suatu matriks baris hanya terdiri dari satu baris saja. Contoh, [4 3 7 2] adalah matriks baris berorde 1 x 4. Karena mempunyai 1 baris saja dan 4 kolom. Matrik kolom (column matrix): Suatu matriks kolom hanya terdiri satu kolom saja. 2 Contoh, [3] adalah matriks kolom berorde 3 x 1. Karena mempunyai 4 1 kolom saja dan 4 baris. Untuk menghemat tempat, matriks kolom seringkali dituliskan salam satu garis, tetapi diberi kurung kurawal. Contoh, {2 3 4} menyatakan matriks yang sama dengan matriks kolom berorde 3 x 1. Contoh 2 Berdasarkan pembahasan di atas:



137



Matriks dan Determinan



a. b. c.



3 [ ] adalah matriks ............ berorder............ 4 [ 2 0 2 0] adalah matriks........... berorde............ { 2 3 4} adalah matriks............ berorde............



Penyelesaian: a. b. c.



3 [ ] adalah matriks kolom berorder 3 x 1 4 [ 2 0 2 0] adalah matriks baris berorde 1 x 4 { 2 3 4} adalah matriks kolom berorde 3 x 1



Matriks berelemen tunggal: Sebuah bilangan dapat dipandang sebagai matriks berukuran 1 x 1, yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris dan 1 kolom saja. Notasi dua indeks: Masing-masing elemen suatu matriks memiliki ‘alamat’ atau tempat yang dapat ditentukan dengan menggunakan sistem dua-indeks, indeks pertama menyatakan baris dan indeks kedua menyatakan kolom. Dengan demikian: 𝑎11 [𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎23 𝑎33



𝑎14 𝑎24 ] 𝑎34



 a23 menunjukkan elemen yang terletak pada baris kedua san kolom ketiga Contoh 3 Matriks 6 −5 1 −3 [2 −4 8 3] 4 −7 −6 5 Letak a. b. c.



Elemen 3 dapat dinyatakan dengan............ Elemen -6 dapat dinyatakan dengan............ Elemen 8 dapat dinyatakan dengan............



138



Matriks dan Determinan



Penyelesaian: a. b. c.



Elemen 3 dapat dinyatakan dengan a24 Elemen -6 dapat dinyatakan dengan a33 Elemen 8 dapat dinyatakan dengan a23



Notasi matriks: Jika tidak menimbulkan keragu-raguan, keseluruhan matriks dapat dinyatakan dengan sebuah elemen umum yang dituliskan dalam kurung siku, atau dengan sebuah huruf yang dicetak tebal. Penulisan ini singkat dan rapih, dan juga menghemat banyak huruf dan tempat. Sebagai contoh, 𝑎11 [𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎23 𝑎33



𝑎14 𝑎24 ] 𝑎34



dapat dinyatakan dengan [𝑎𝑖𝑗 ] atau [𝑎] atau dengan A saja. Serupa dengan diatas 𝑥1 [𝑥2 ] dapat dinyatakan dengan [𝑥𝑖 ] atau [𝑥] atau x saja. 𝑥3 Untuk menyatakan matriks (m x n) akan kita gunakan huruf besar tebal, misalnya A. Untuk matriks baris atau matriks kolom kita gunakan huruf kecil tebal, misalnya x. Jadi, jika B menyatakan matriks 2 x 3, tuliskanlah elemen-elemen b dalam matriks tersebut dengan menggunakan notasi dua-indeks. Hasilnya adalah. B=[



𝑏11 𝑏21



𝑏12 𝑏22



𝑏13 ] 𝑏23



Kesamaan matriks: Menurut definisinya, dua matriks dikatakan sama jika semua elemen yang bersesuaian letak sama. Karena itu kedua matriks tersebut harus pula berorde sama. 𝑎11 Jadi, jika [𝑎 21



𝑎12 𝑎22



𝑎13 4 𝑎23 ] = [2



6 5 ] 3 4



139



Matriks dan Determinan



Maka a11 = 4; a12 = 6; a13 = 5; a21 = 2 dan seterusnya Dengan demikian, jika [𝑎𝑖𝑗 ] = [𝑥𝑖𝑗 ] maka aij = xij untuk semua harga i dan j. 5.1.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Agar dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, maka orde kedua matriks tersebut haruslah sama. Selanjutnya jumlah atau selisihnya diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan elemen-elemennya yang bersesuaian. Misalnya: 4 [ 5



2 3 1 8 ]+[ 7 6 3 5



9 4+1 2+8 ]=[ 5+3 7+5 4



3+9 5 10 ]=[ 6+4 8 12



12 ] 10



3−9 4 −6 ]=[ 6−4 2 2



−6 ] 2



dan 4 [ 5



2 3 1 8 ]-[ 7 6 3 5



9 4−1 2−8 ]=[ 4 5−3 7−5



Contoh a.



8 [5 1



3 6 1 2 7 ] - [4 0 4 7



2 3 5 6] =............ 8 9



b.



6 5 4 1 1 4 2 3 [ ] + [ ] =............ 6 −1 0 5 2 3 −7 8



Penyelesaian: a.



8 [5 1



3 6 1 2 7 ] – [4 0 4 7



2 3 8−1 3−2 5 6] = [5 − 4 2 − 5 8 9 1−7 0−8 7 1 = [ 1 −3 −6 −8



3 1] −5



6−3 7 − 6] 4−9



140



b.



Matriks dan Determinan



6 5 4 1 1 4 2 3 [ ] + [ ]= 6 −1 0 5 2 3 −7 8 6+1 5+4 4+2 1+3 7 9 6 4 [ ]=[ ] 2 + 6 3 + (−1) −7 + 0 8 + 5 8 2 −7 13



5.1.2 Perkalian Matriks a.



Perkalian dengan skalar: Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan (yaitu skalar) berarti mengalikan masingmasing elemennya dengan bilangan tersebut. Misalnya: 3 4x[ 6



2 5 4x3 4x2 ]=[ 1 7 4x6 4x1



12 4x5 ]= [ 24 4x7



8 20 ] 4 28



yaitu: secara umum. k[𝑎𝑖𝑗 ] = [𝑘𝑎𝑖𝑗 ] Kebalikannya juga berlaku, yaitu kita dapat mengeluarkan faktor yang sama dari setiap elemen, bukan hanya dari baris atau kolom seperti dalam determinan. 10 Karena itu, [ 35 b.



25 15



45 2 5 ]=5x[ 50 7 3



9 ] 10



Perkalian dua buah matriks: Dua buah matriks dapat dikalikan, satu terhadap yang lain, hanya jika banyaknya kolom dalam matriks yang pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks yang kedua. Misalnya: 𝑎11 A = [𝑎𝑖𝑗 ] = [𝑎 21



𝑎12 𝑎22



𝑏1 𝑎13 𝑎23 ] dan b = [𝑏𝑖 ] = [𝑏2 ] 𝑏3



141



Matriks dan Determinan



𝑏1 𝑎13 𝑎11 𝑏1 𝑎12 𝑏2 𝑎13 𝑏3 𝑏 ][ ] 2] = [ 𝑎23 𝑎21 𝑏1 𝑎22 𝑏2 𝑎23 𝑏3 𝑏3 yaitu masing-masing elemen matriks A dalam baris yang atas dikalikan dengan elemen yang bersesuaian dalam kolom pertama matriks b dan kemudian semua hasil-kalinya dijumlahkan. Serupa dengan itu, baris kedua dari hasil-kali kedua matriks diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen dalam baris kedua matriks A dengan elemen yang bersesuaian dalam kolom pertama matriks b. 𝑎11 Maka Ab = [𝑎 21



𝑎12 𝑎22



Contoh 1 8 4 7 6 [ ]  [5] =............ 2 3 1 9 Penyelesaian: 8 4 7 6 4.8 + 7.5 + 6.9 32 + 35 + 54 121 [ ]  [5] =[ ]=[ ]= [ ] 2 3 1 2.8 + 3.5 + 1.9 16 + 15 + 9 40 9 Contoh 2 1 5 8 4 Jika A = [𝑎𝑖𝑗 ] = [2 7] dan B = [𝑏𝑖𝑗 ] = [ 2 5 3 4 1 5 8 maka AB = [2 7]  [ 2 3 4



3 1 ] 8 6



4 3 1 ] 5 8 6



1.8 + 5.2 1.4 + 5.5 1.3 + 5.8 = [2.8 + 7.2 2.4 + 7.5 2.3 + 7.8 3.8 + 4.2 3.4 + 4.5 3.3 + 4.8 8 + 10 4 + 25 = [16 + 14 8 + 35 24 + 8 12 + 20



3 + 40 6 + 56 9 + 32



1.1 + 5.6 2.1 + 7.6] 3.1 + 4.6



1 + 30 2 + 42] 3 + 24



142



Matriks dan Determinan



18 = [30 32



29 43 32



43 62 41



31 44] 27



Perhatikan bahwa perkalian matriks (3 x 2) dengan matriks (2 x 4) menghasilkan matriks berorde (3 x 4). yaitu orde (3 x 2) x orde (2 x 4)  orde (3 x 4) sama Secara umum, perkalian matriks (l x m) dengan matrik (m x n) akan menghasilkan matriks berorde (l x n). Contoh 3 Jelaskanlah bahwa suatu matriks hanya dapat dikuadratkan jika matriks tersebut merupakan matriks bujur sangkar, yaitu matriks dengan banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Jika



4 A=[ 5



7 ] 2



4 A2 = [ 5



7 4 ][ 2 5



16 + 35 =[ 20 + 10



7 ] 2 28 + 14 51 42 ]==[ ] 35 + 4 30 39



Ingat bahwa perkalian matriks hanya didefinikan jika banyaknya kolom dalam matrik pertama = banyaknya baris dalam matrik kedua 1 5 Benar jika [ 2 9



6 2 3 ][ 1 8 7



Jika A adalah matriks (m x n)



6 ] tidak ada artinya. 1



Maka perkalian AB dan BA keduanya mungkin dlakukan



143



Matriks dan Determinan



dan B adalah matriks (n x m)



Misalnya 1 Jika A = [ 4



Maka



7 2 3 ] dan B = [8 5 6 9



1 AB =[ 4



7 2 3 ][8 5 6 9



7 + 16 + 27 =[ 28 + 40 + 54 50 =[ 122 dan



7 B  A = [8 9



10 11] 12 10 11] 12 10 + 22 + 36 ] 40 + 55 + 72



68 ] 167 10 1 2 3 ] 11]  [ 4 5 6 12



7 + 40 = [8 + 44 9 + 48



14 + 50 21 + 60 16 + 55 24 + 66] 18 + 60 27 + 72



47 = [52 57



81 90] 99



64 71 78



Perhatikan bahwa, dalam perkalian matriks, AB ≠ BA, yaitu perkalian matriks non-komutatif. Urutan faktor dalam perkalian sangatlah penting!. Dalam perkalian AB B dikalikan-kiri (pre-multiplier) dengan A dan A dikalikan-kanan (post-multiplier) dengan B



144



Matriks dan Determinan



5.1.3 Transpose Matriks Transpose matriks: Jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan. Maksudnya: baris pertama menjadi kolom pertama, Baris kedua menjadi kolom kedua, Baris ketiga menjadi kolom ketiga, dan seterusnya. Maka matriks baru yang terbentuk disebut transpose dari matriks semula. Jika matriks semula A, maka transposenya dinyatakan dengan AT. 7  Jika A = [8 9



10 7 11], maka AT = [ 10 12



8 11



9 ] 12



Karena itu, jika diberikan 2 A =[ 3



4 0 7 6 ] dan B = [3 7] 1 5 1 5



Maka A  B =............ dan (A  B)T =............



35 AB =[ 20



79 ], 32



35 (A  B)T = [ 79



20 ] 32



5.1.4 Matriks-Matriks Khusus a.



Matriks bujur sangkar adalah matriks berorde m x m



1 Misalnya [6 1



2 5 8 9] 7 4



adalah matriks 3 x 3



145



Matriks dan Determinan



Matriks bujur sangkar [𝑎𝑖𝑗 ] disebut simetris jika 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , 1 Misalnya [2 5



2 5 8 9] yaitu matriks tersebut simetris terhadap 9 4 diagonal utamanya Perhatikan bahwa di sini berlaku A = AT Matriks bujur sangkar [𝑎𝑖𝑗 ] disebut anti-simetris jika 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 , 1 Misalnya [−2 −5



2 5 8 9] Dalam hal ini A = -AT −9 4



dan juga apabila dalam matriks simetris elemen-elemenya, berlawanan selain elemen diagonalnya maka matriks tersebu adalah 0 2 −5 matriks simetris miring. [−2 0 9] 5 −9 0 b.



Matrik diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal 1 0 0 utama, jadi, [0 8 0] 0 0 4



c.



Matriks satuan (Identitas) adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan satu, yaitu 1 [0 0



0 0 1 0] 0 1



Matriks satuan dinyatakan dengan I. 5 Jika A = [1 7



1 2 4 3 8] dan I = [0 0 9 6



0 0 5 2 1 0] maka A  I = [1 3 0 1 7 9



Serupa dengan itu, jika kita bentuk perkalian I  A kita peroleh,



4 8] 6



146



Matriks dan Determinan



1 I  A = [0 0



0 0 5 2 1 0 ]  [1 3 0 1 7 9



5+0+0 4 8] = [0 + 1 + 0 0+0+7 6 5 = [1 7



2+0+0 4+0+0 0 + 3 + 0 0 + 8 + 0] 0+0+9 0+0+6



2 4 3 8] = A 9 6



AI=IA=A Jadi sifat matriks satuan I sangat mirip dengan bilangan satu dalam ilmu hitung dan aljabar biasa. d.



Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol,



0 yaitu [0 0



0 0 0 0] dan dinyatakan dengan 0 atau cukup 0 saja. 0 0



Jika A  B = 0, kita tidak dapat menarik kesimpulan bahwa A = 0 atau B = 0, 2 1 karena jika A = [ 6 3 2 1 maka A  B = [ 6 3



1 −3 ] dan B = [4 −9 2 1 −3 ]  [4 −9 2



2+4−6 =[ 6 + 12 − 18



9 −6] 4



9 −6] 4



18 − 6 − 12 0 ]=[ 54 − 18 − 36 0



0 ] 0



Jelas bahwa A  B = 0, tetapi A ≠ 0 dan B ≠ 0. e.



Matriks skalar adalah matrik diagonal yang semua elemen pada diagonalnyanya sama, tetapi elemen diagonal bukan merupakan angka 1. 5 0 0 Misalnya [0 5 0] 0 0 5



147



Matriks dan Determinan



f.



Matriks segitiga atas yaitu matriks yang elemen-elemen 2 1 5 dibawah diagonal utamanya adalah nol. [0 3 6] 0 0 4



g.



Matriks segitiga bawah yaitu matriks yang elemen-elemen 2 0 0 diatas diagonal utamanya adalah nol. [1 3 0] 5 6 4



5.2 Determinan Matriks Determinan suatu matriks adalah suatu fungsi skalar dengan domain matriks bujur sangkar (matriks yang n x n, dimana n ≥ 2). Dengan kata lain, determinan merupakan pemetaan dengan domain berupa matriks bujur sangkar, sementara kodomain berupa suatu nilai skalar. Determinan suatu matriks sering digunakan dalam menganalisa suatu matriks, seperti : untuk memeriksa keberadaan invers matriks, menentukan solusi sistem persamaan linear dengan aturan cramer, pemeriksaan basis suatu ruang vektor dan lain-lain. Dengan kata lain perbedaan matriks dan determinannya yaitu matriks dalam tanda. Matrik elemen-elemennya berada dalam kurung siku ‘[ ]’ sedangkan determinan dari matriks elemenelemennya berada dalam kurung garis tegak ‘ ’. Sebagai contoh, 5 2 1 5 2 Determinan dari [0 6 3] adalah |0 6 8 4 7 8 4



1 3| 7



dan harga determinan ini adalah 5(42 – 12) – 2(0 – 24) + 1(0 – 48) = 5(30) – 2(-24) + 1(-48) = 150 + 48 – 48 = 150 5 0 Perhatikan bahwa matriks transpose-nya adalah [2 6 1 3



8 4] dan 7



148



Matriks dan Determinan



5 determinan dari transpose ini adalah |2 1



0 8 6 4| yang harganya 3 7



sama dengan 5(42 – 12) – 0(4 – 14) + 8(6 - 6) = 5(30) = 150 Hal ini menunjukkan bahwa determinan suatu matriks bujur sangkar memiliki harga yang sama dengan determinan matriks transposenya. Suatu matriks yang determinannya sama dengan nol disebut matriks singular. Contoh a.



3 2 5 Harga determinan matriks [4 7 9] adalah............ 1 8 6



b.



5 0 harga determinan matriks diagonal [0 6 0 0



0 0] adalah............ 7



Penyelesaian:



a.



3 2 |4 7 1 8



5 9| = 3(42-72) – 2(24 – 9) + 5(32 – 7) 6 = 3(-30) – 2(15) + 5(25) = -90 – 30 + 125 = 5



b.



5 0 |0 6 0 0



0 0| = 5(42) + 0 + 0 = 210 7



5.2.1 Kofaktor Jika A = [𝑎𝑖𝑗 ] adalah matriks bujur sangkar, kita dapat membentuk determinan yang elemen-elemennya adalah



149



Matriks dan Determinan



𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 [ ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 Masing-masing elemen memberikan kofaktor yang tidak lain daripada minor elemen dalam determinan bersama-sama dengan ‘tanda tempat’ –nya, yang riciannya telah dijelaskan sebelumnya 2 3 5 Misalnya, determinan matriks A = [4 1 6] adalah 1 4 0 2 det A = A = |4 1



3 5 1 6| = 2(0 – 24) – 3(0 – 6) + 5(16 -1) 4 0 = 2(-24) – 3(-6) + 5(15) = -48 + 18 + 75 = 45



1 Minor elemen 2 adalah | 4



6 | = 0 – 24 = -24 0



Tanda tempatnya +. Jadi kofaktor elemen 2 adalah +(-24) = -24 4 Serupa dengan itu, minor elemen 3 adalah | 1



6 | = 0 – 6 = -6 0



Tanda tempatnya - . Jadi kofaktor elemen 3 adalah -(-6) = 6 Untuk masing-masing elemen, monornya diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen yang bersangkutan dan kemudian dibentuk determinan dari elemenlemen yang tersisa. Tanda tempat yang sesuai diberikan oleh



150



Matriks dan Determinan



+ − |+ |∙ ∙ ∙



− + − ∙



+ − +



− +



⋯ | |



Tanda plus dan minus bergantian, dimulai dengan tempat di sudut kiri atas yang memuat tanda +. Jadi, dalam contoh di atas, minor 6 adalah 2 3 | | yaitu 8 – 3 = 5. Tanda tempatnya -. Sehingga kofaktor 1 4 elemen 6 adalah -5. Contoh 7 1 −2 Dengan demikian, untuk matriks [6 5 4 ], kofaktor elemen 3 3 8 9 adalah............ dan kofaktor elemen 4 adalah............ Penyelesaian: Kofaktor elemen 3 adalah 4 – (-10) = 14 Kofaktor elemen 4 adalah –(56 – 3) = -53 5.2.2 Adjoin matriks bujur sangkar 2 3 5 Jika kita mulai dengan A = [4 1 6], determinannya adalah 1 4 0 2 det A = A = |4 1



3 5 1 6| dari sini kita dapat membentuk matriks 4 0



baru C yang elemen-elemennya kofaktor



151



Matriks dan Determinan



𝐴11 C = [𝐴21 𝐴31 1 A11 = + | 4 4 A13 = + | 1 2 A22 = + | 1 3 A31 = + | 1 2 A33 = + | 4



𝐴12 𝐴22 𝐴32



𝐴13 𝐴23 ] dengan A11 adalah kofaktor 𝑎11 , sehingga 𝐴22 Aij adalah kofaktor 𝑎𝑖𝑗 dan seterusnya



6 | = +(0 – 24) = -24 0 4 6 A12 = - | | = -(0 – 6) = 6 1 0 1 | = +(16 – 1) = 15 4 3 5 A21 = - | | = -(0 – 20) = 20 4 0 5 | = +(0 – 5) = -5 0 2 3 A23 = - | | = -(8 – 3) = -5 1 4 5 | = +(18 – 5) = 13 6 2 5 A32 = - | | = -(12 – 20) = 8 4 6 3 | = +(2 – 12) = -10 1



−24  Matriks kofaktornya adalah C =[ 20 13



6 −5 8



15 −5 ] −10



−24 20 13 Dan transpose dari C yaitu adj A = C = [ 6 −5 8 ] Matriks 15 −5 −10 ini T



Disebut matriks adjoin dari matriks A semula dan ditulis adj. A. Jadi untuk memperoleh adjoin suatu matriks bujur sangkar A kita harus a. Membentuk matriks kofaktor C. b. Menuliskan transpose C, yaitu CT.



152



Matriks dan Determinan



Contoh 5 2 Dengan demikian adjoin dari matriks [3 1 4 6



1 4] adalah............ 3



Penyelesaian: 5 det A = A = |3 4 baru C yang 1 A11 = + | 6 3 A13 = + | 4 5 A22 = + | 4 2 A31 = + | 1 5 A33 = + | 3



2 1 1 4| dari sini kita dapat membentuk matriks 6 3



elemen-elemennya kofaktor yaitu: 4 | = +(3 – 24) = -21 3 3 4 A12 = - | | = -(9 – 16) = 7 4 3 1 | = +(18 – 4) = 14 6 2 1 A21 = - | | = -(6 – 6) = 0 6 3 1 | = +(15 – 4) = 11 3 5 2 A23 = - | | = -(30 – 8) = -22 4 6 1 | = +(8 – 1) = 7 4 5 1 A32 = - | | = -(20 – 3) = -17 3 4 2 | = +(5 – 6) = -1 1



−21  Matriks kofaktornya adalah C =[ 0 7



7 11 −17



−21 Dan transpose dari C yaitu adj A =CT = [ 7 14



14 −22] −1 0 11 −22



7 −17] −1



5.3 Invers matriks bujur sangkar Adjoin suatu matriks bujur sangkar sangatlah penting, karena matriks ini memungkinkan kita untuk membentuk invers matriks yang bersangkutan. Jika masing-masing elemen dari matriks adjoin



153



Matriks dan Determinan



A dibagi dengan harga determinan A, yaitu A  ≠ 0, maka diperoleh matriks baru yang di sebut invers dari matriks A dan dituliskan sebagai A-1. atau kalau di formulasi menjadi A-1 =



𝟏 𝐝𝐞𝐭 𝐀



 adj A



=



𝟏  CT 𝐝𝐞𝐭 𝐀



=



𝟏  CT |𝐀|



Untuk matriks yang kita gunakan dalam bagian sebelumnya yaitu, 2 3 A = [4 1 1 4



5 6], 0



2 3 5 det A = A =|4 1 6| = 2(0 – 24) – 3(0 – 6) + 5(16 – 1) = 45. 1 4 0 −24 Matriks kofaktornya adalah C =[ 20 13



6 15 −5 −5 ] 8 −10



−24 Dan matriks adjoin dari A, yaitu adj A = CT = [ 6 15



20 13 −5 8 ] −5 −10



Maka invers dari A diberikan oleh,



A-1 =



1 45



[



−24



20



13



6



−5



8



15



−5



−10



]



Jadi, untuk membentuk invers dari matriks bujur sangkar A: a. Hitung determinan A, yaitu A .



154 b. c. d. e.



Matriks dan Determinan



Bentuk matriks C yang elemen-elemennya adalah kofaktor elemen A . Tuliskan transpose matrik C, yaitu CT, untuk memperoleh adjoin A. Bagian masing-masing elemen CT dengan A . Matriks terakhir yang diperoleh adalah matriks invers A-1 dari matriks A semula.



5.4 Aplikasi Matriks dan Determinan Sudah disebutkan sebelumnya, matriks digunakan untuk menyelesaikan masalah, contoh dalam sirkuit elektrik, optik, mekanik kuantum, statis, robotik, genetik, dan beberapa lainnya juga untuk perhitungan gaya, vektor, tensi, massa, beban dan dan banyak faktor untuk menghitung pada pernasalahan rekayasa. Utamanya matriks dan determinan digunakan untuk menyelesaikan sistem simultan persamaan linier. Penyelesaian simultan dari mencari didalam permasalahan rekayasa persamaan banyak. Fakta. Dalam teknik analisis rekayasa struktur modern atas sistem penyelesaian persamaan simultan. Nilai eigen dan vektor eigen, yang mana berdasarkan atas teori matriks sangan penting dalam rekayasa dan sains, Contoh, nilai eigen analisis perancangan kendaraan dalam dampak kebisingan di kendaraan, analisis nilai eigen digunakan dalam merancang sistem stereo kendaraan, nilai eigen akan digunakan untuk uji retak dan mengubah bentuk dalam bentuk padat dan perusahaan minyak menggunakan analisis nilai eigen pada eksplorasi untuk minyak. 5.4.1 1.



Penyelesaian dari persamaan simultan oleh matriks



Prosedur untuk penyelesaian persamaan simultan linier dalam dua variabel yang tidak diketahui dengan matriks adalah: a) Persamaan ditulis dalam bentuk. a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 b)



Penulisan persamaan matriks ditulis padan pensamaan ini adalah:



155



Matriks dan Determinan



a ( 1 a2 c)



𝑥 𝑐1 b1 ) x (𝑦) = (𝑐 ) b2 2 a1 b1 ) a2 b2



Menetukan Invers matriks dari ( yaitu



a ( 1 𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 a2 1



b1 ) b2



d) Perkalian masing-masing sisi dari (b) oleh matriks invers dan, e) Penyelesaian pada x dan y oleh elemen penulisan persamaan. Contoh 1 Gunakan matriks untuk menyelesaikan persamaan simultan dari: 3x + 5y – 7 = 0 4x – 3y – 19 = 0



(1) (2)



Penyelesaian: i. Tulis persamaan dalam bentuk a1x + b1y = c memberikan: 3x + 5y = 7 4x – 3y = 19 ii. Persamaan matriks adalah:



[



3 4



5 𝑥 ] [𝑦 ] = [ 7 ] 19 −3



iii. Matriks invers [



3 4



5 ] adalah: −3



1 −3 [ (3)(−3) − (5)(4) −4



−5 ] 3



156



Matriks dan Determinan



1 −3 −5 [ ] −29 −4 3 Yaitu



3 29 [4 29



5 29 −3] 29



iv. Kalikan masing-masing sisi dari (ii) oleh (iii) dan mengingat A x A-1 = I, unit matriks memberikan: 1 [ 0



3



0 𝑥 ] [ ] = [29 4 1 𝑦 29



5 7 29 −3] [19] 29 21



95



29



29



+ 𝑥 29 29 Demikian [𝑦] = [28 57] − 𝑥 4 Yakni [𝑦] = [ ] −1 v. Membandingan penulisan elemen: x = 4 dan y = -1 Periksa: Persamaan (1) 3(4) + 5(-1) – 7 = 12 – 5 – 7 = 0 Persamaan (2) 4(4) – 3(-1) – 19 = 16 + 3 – 9 = 0 2.



Prosedur pada penyelesaian persamaan simultan linier dalam tiga variabel yang tidak diketahui menggunakan matriks adalah: a. Persamaan ditulis dalam bentuk



157



Matriks dan Determinan



a1x + b1y +c1z = d1 a2x + b2y +c2z = d2 a3x + b3y +c3z = d3 b. Penulisan persamaan matriks ditulis untuk persamaan ini yakni.



c.



𝑎1 𝑏1 [𝑎2 𝑏2 𝑎3 𝑏3 Tentukan invers matriks



𝑐1 𝑑1 𝑥 𝑐2 ] x [𝑦] = [𝑑2 ] 𝑧 𝑐3 𝑑3 dari



𝑎1 [𝑎 2 𝑎3 d. e.



𝑏1 𝑏2 𝑏3



𝑐1 𝑐2 ] 𝑐3



Kalikan masing-masing sisi dari (b) oleh matriks invers dan Penyelesaian untuk x, y dan z oleh elemen penulisan persamaan.



Contoh 2 Gunakan matriks untuk menyelesaikan persamaan simultan berikut: x+y +Z–4=0 2x – 3y + 4z – 33 = 0 3x – 2y – 2z – 2 = 0 Penyelesaian:



i.



Persamaan ditulis dalam a1x + b1y + c1z = d1. x+ y +z =4 2x – 3y + 4z = 33 3x – 2y – 2z = 2



ii.



Persamaan matriksnya adalah



(1) (2) (3)



158



Matriks dan Determinan



1 [2 3



𝑥 1 1 4 𝑦 −3 4] x [ ] = [33] 𝑧 −2 2 2



iii. Matriks invers dari 1



1



1



A = [2 −3 4] adalah 3



−2 2



A-1 =



adj A | A|



Adjoin dari A adalah transpose dari elemen matriks kofaktor. Matriks kofaktor adalah 14 [0 7



16 5 −5 5 ] dan transpose dari matriks adalah −2 −5



14 Adj A = [16 5



0 7 −5 −2] 5 −5



Determinan A yakni penjumlahan dari produk elemen dan dari kofaktornya, gunakan baris pertama −3 4 2 | - 1| 1| −2 −2 3



4 2 −3 | + 1| | −2 3 −2



= (1x14) – (1 x (-16) + (1 x 5) = 35 Karenanya invers dari A,



A-1 =



𝟏 𝟑𝟓



14 [16 5



0 7 −5 −2] 5 −5



iv. Kalikan masing-masing sisi dari (ii) oleh (iii), dan mengingat A x A-1 = I, unit matriks memberikan:



159



Matriks dan Determinan



1 0 [0 1 0 0



0 𝑥 14 0 7 4 𝟏 0] [𝑦] =𝟑𝟓 [16 −5 −2] [33] 1 𝑧 5 5 −5 2



𝑥 14 𝟏 [𝑦] = [16 𝟑𝟓 𝑧 5



0 −5 5



7 4 −2] [33] = −5 2



𝟏 𝟑𝟓



70 2 [−105] = [−3] 175 5



v. Poleh elemen penulisan dibandingkan menjadi, x = 2, y = -3 dan z = 5, uji kepersamaan awal. 5.4.2 Penyelesaian determinan 1.



dari



persamaan



simultan



oleh



Ketika penyelesaian persamaan simultan linier dalam dua variabel yang tidak diketahui menggunakan determinani: a. Persamaan ditulis dalam bentuk a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 dan selanjutnya b. Penyelesaian diberikan oleh x Dx



𝑏 Dimana Dx = | 1 𝑏2



=



−y Dy



=



1 D



𝑐1 | 𝑐2



Yakni menentukan koefisien kiri ketika kolom x mencakup 𝑎1 Dy = |𝑎 2



𝑐1 𝑐2 |



Yaitu determinan dari koefisien kiri ketika kolom y adalah Tercakup



160



Matriks dan Determinan



dan D = |



𝑎1 𝑎2



𝑏1 | 𝑏2



yakni determinan dari koefisien kiri ketika konstan-kolom tercakup. Contoh 1 Selesaikan mengikuti persamaan simultan menggunakan determinan: 3x – 4y = 12 7x + 5y = 6,5 Penyelesaian: Ikuti prosedur diatas i. 3x – 4y -12 = 0 7x + 5y – 6,5 = 0 ii.



𝑥 −4 −12 | | 5 −6,5



yakni yakni



=



3 | 7



−𝑦 −12 | −6,5



1 3 −4 | | 7 5



=



𝑥 (−4)(−6,5 ) − (−12(5) 𝑥 26+60



yakni



𝑥 86



=



dan karena



=



−𝑦 −19,5+84



−𝑦 65,5 −𝑦 65,5



=



=



−𝑦 (3)(−6,5 ) − (−12(7)



=



1 (3)(5 ) − (−4(7)



1 15+28



𝑥



=



1 43



karena



=



1 43



maka y = -



86



=



1 43



65,5 43



maka x =



86 43



=2



= - 1,5



Contoh 2 Kecepatan dari kendaraan, mempercepat dengan laju konstan diantara dua titik, memberi v = u + at, dimana u adalah kecepatan ketika melewati titik pertama dan t waktu yang diberikan untuk melewati antara dua titik. Jika v =21 m/detik ketika t = 3,5 detik



161



Matriks dan Determinan



dan v = 33 m/detik ketika t = 6,1 detik, gunakan determinan untuk mencari nilau dari u dan a. Penyelesaian: Buat persamaan untuk permasalahan diatas v = u + at yaitu:



dengan formula



21 = u + 3,5a



(1)



33 = u + 6,1a i. Persamaan ditulis dalam bentuk



(2)



a1x + b1y + c1 = 0 yakni u + 3,5a - 21 = 0 dan u + 6,1a - 33 = 0 ii. Penyelesaian memberikan 𝑢 𝐷𝑢



=



−𝑎 𝐷𝑎



=



1 𝐷



Dimana Du adalah deteminan dari koefisien kiri ketika u Mencakup. yakni



3,5 Du = | 6,1



−21 | = (3,5)(-33) – (-21)(6,1) = 12,6 −33



dengan cara yang sama Da = |



dan



D=|



Sehingga yakni u =



1 1



𝑢 12,6 12,6 2,6



1 1



−21 | = (1)(-33) –(-21)(1) −33 = -12



3,5 | = (1)(6,1) – (3,5)(1) = 2,6 6,1 =



−𝑎 −12



=



1 2,6



= 4,846 m/detik



162



Matriks dan Determinan



dan a =



12 2,6



= 4,615 m/detik2



Contoh 3 Penerapan hukum Kirchhoff’s untuk hasil sirkuit elektrik mengikuti persamaan: (9 + j12)I1 – (6 – j8)I2 = 5 -(6 + j8)I1 + (8 + j3)I2 = (2 + j4) Selesaikan persamaan pada I1 dan I2 Penyelesaian: Mengikuti prosedur i. (9 + j12)I1 – (6 – j8)I2 – 5 = 0 -(6 + j8)I1 + (8 + j3)I2 - (2 + j4) = 0 ii.



𝐼1 −𝐼2 = (9+𝑗12) = −(6+𝑗8) −5 −5 | | | | (8+𝑗3) −(2+𝑗4) −(6+𝑗8) −(2+𝑗4) 1 (9+𝑗12) −(6+𝑗8) | | −(6+𝑗8) (8+𝑗3) 𝐼1 (−20+𝑗40)+(40+𝑗15)



=



−𝐼2 (30−𝑗60)−(30+𝑗40)



=



1 (36+𝑗123)−(−28+𝑗96) 𝐼1 20+𝑗55



=



−𝐼2 −𝑗100



=



1 64+𝑗27)



karenanya I1 =



20+𝑗55 64+𝑗27



163



Matriks dan Determinan



=



58,5270,02o 69,4622,870



= 0,8447,15oA dan I2 = = 2.



10090o 69,4622,86o



= 1,4467.13oA



Ketika penyelesaian persamaan simultan dalam tiga variabel yang tidak diketahui menggunakan determinan: a. Tulis persamaan dalam bentuk a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 a3x + b2y + c3z + d3 = 0 dan selanjutnya b.



Penyelesaian yang diberikan x Dx



𝑏1 Dimana Dx = |𝑏2 𝑏3



=



𝑐1 𝑐2 𝑐3



−y Dy



=



z Dz



=



−1 D



𝑑1 𝑑2 | 𝑑3



yaitu determinan dari koefisien diperoleh dengan menutupi kolom x. 𝑎1 Dimana Dy = |𝑎2 𝑎3



𝑐1 𝑐2 𝑐3



𝑑1 𝑑2 | 𝑑3



yaitu determinan dari koefisien diperoleh dengan menutupi kolom y.



164



Matriks dan Determinan



𝑎1 Dimana Dz = |𝑎2 𝑎3



𝑏1 𝑏2 𝑏3



𝑑1 𝑑2 | 𝑑3



yaitu determinan dari koefisien diperoleh dengan menutupi kolom z. 𝑎1 𝑏1 𝑐1 Dimana D = |𝑎2 𝑏2 𝑐2 | 𝑎3 𝑏3 𝑐3 yaitu determinan dari Koefisien diperoleh dengan menutupi konstanta Kolom. Contoh 4 Sebuah sirkuit DC terdiri dari tiga tertutup Loop. Menerapkan hukum Kirchhoff pada penutupan loop memberikan persamaan berikut untuk aliran saat ini dalam miliamperes: 2I1 + 3I2 – 4I3 = 26 I1 – 5I2 – 3I3 = -87 -7I1 + 2I2 + 6I3 = 12 Gunakan determinan untuk memecahkan untuk I1, I2 dan I3. Penyelesaian: i.



Tulis persamaan dalam a1x +b1y+c1z+d1=0 memberikan bentuk. 2I1 + 3I2 – 4I3 – 26 = 0 I1 – 5I2 – 3I3 + 87 = 0 -7I1 + 2I2 + 6I3 - 12 = 0



ii.



Penyelesaian diberikan oleh 𝐼1 DI1



=



−𝐼2 DI2



=



𝐼3 DI3



=



−1 D



165



Matriks dan Determinan



Dimana DI1 adalah determinan dari koefisien diperoleh dengan menutupi kolom I1, yakni 3 DI1 = |−5 2 = (3) |



−4 −26 −3 87 | 6 −12 −3 6



87 −5 87 −5 | − (−4) | | + (−26) | −12 2 −12 2



−3 | 6



= 3(−486) + 4(−114) − 26(−24) = -1290 2 DI2 = | 1 −7 = (2) |



−4 −26 −3 87 | 6 −12 −3 6



87 1 87 1 | − (−4) | | + (−26) | −12 −7 −12 −7



−3 | 6



= 2(36 – 522) + 4(−12 + 114) − 26(6 − 21) = -972 + 2388 + 390 = 1806 2 DI3 = | 1 −7



= (2) |



3 −26 −5 87 | 2 −12 −5 2



1 87 87 1 −5 | − (3) | | + (−26) | | −7 −12 −12 −7 2



= 2(60 – 174) − 3(−12 + 609) − 26(2 − 35) = -228 - 1791 + 858 = -1161



dan,



166



Matriks dan Determinan



2 D=|1 −7



3 −4 −5 −3| 2 6



= (2) |



1 −5 −3 | − (3) | −7 2 6



−3 1 | + (−4) | 6 −7



−5 | 2



= 2(-30 +6) – 3(6 – 21) – 4 (2 – 35) = -48 + 45 +132 = 129 Sehingga 𝐼1 −1290



=



−𝐼2 1806



=



𝐼3 −1161



=



−1 129



Memberikan I1 =



1290



I2 =



1806



129



129



dan I3 =



= 10 mA = 14 mA



1161 129



= 9 mA



5.4.3 Penyelesaian persamaan simultan menggunakan kaidah Cramer’s Tahapan kaidah Cramer’s jika, a11x + a13y + a13z = b1 a21x + a22y + a23z = b2 a31x + a32y + a33z = b3



maka



x=



Dx D



, y=



D𝑦 D



, z=



Dz D Gabriel Cramer (32 Juli 1704 – 4 Januari 1752



167



Matriks dan Determinan



𝑎11 dimana D = |𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑏1 𝑎23 | Dx = |𝑏2 𝑎33 𝑏3



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑎13 𝑎23 | 𝑎33



yakni kolom x diganti oleh kolom b sebelah kanan 𝑎11 Dy = |𝑎21 𝑎31



𝑏1 𝑏2 𝑏3



𝑎13 𝑎23 | 𝑎33



yakni kolom y diganti oleh kolom b sebelah kanan 𝑎11 Dz = |𝑎21 𝑎31



𝑎12 𝑎22 𝑎32



𝑏1 𝑏2 | 𝑏3



yakni kolom z diganti oleh kolom b sebelah kanan Contoh 1 Selesaikan persamaan simultan menggunakan kaidah Cramer’s x+y+z=4 2x – 3y + 4z = 33 3x – 2y – 2z = 2 Penyelesaian: i.



Hitung determinan untuk D, Dx, Dy, dan Dz. 1 D = |2 3



1 1 −3 4 | −2 −2



= 1(6 – (- 8)) – 1((-4) – 12) + 1((-4) – (-9)) = 1(14) + 1(16) + 1(5) = 35 4 Dx = |33 2



1 −3 −2



1 4| −2



168



Matriks dan Determinan



= 4(6 – (- 8)) – 1((-66) – 8) + 1((-66) – (-6)) = 4(14) + 1(74) - 1(60) = 70 1 4 Dy = |2 33 3 2



1 4| −2



= 1((-66) – 8) – 4((-4) – 12) + 1((4) – 99) = 1(-74) + 4(16) + 1(-95) = -74 + 64 – 95 = -105 1 1 4 Dz = |2 −3 33| 3 −2 2 = 1((-6) – (-66)) – 1((4) – 99) + 4((-4) – (-9)) = 1(60) + 1(95) + 4(5) = 60 + 95 + 20 = 175 Karenanya x = dan z =



𝐷𝑧 𝐷



=



𝐷𝑥 𝐷



175 35



=



70 35



= 2, y =



𝐷𝑦 𝐷



=



−105 35



= -3



=5



5.4.4 Penyelesaian persamaan simultan menggunakan metoda eliminasi Gauss Menimbang mengikuti persamaan simultan: x+ y+ z=4 2x – 3y + 4z = 33 3x – 2y – 2z = 2



(1) (2) (3)



Menuju persamaan (1) memberikan: x+ y+ z=4



(1)



Persamaan (2) – 2 x Persamaan (1) Memberi: 0 – 5y + 2z = 25



(2’)



Johann Carl Friedrich Gauss (30 April 1777–23 Februari 1855)



169



Matriks dan Determinan



dan persamaan (3) – 3 x persamaan (1) memberi: 0 – 5y – 5z = -10



(3’)



Menuju persamaan (1) dan (2’) akan memberi: x+ y+ z=4 (1) 0 – 5y + 2z = 25 (2’) Persamaan (3’) – persamaan (2’) memberi: 0 + 0 -7z = -35



(3”)



Oleh manipulasi pendekatan tiga persamaan kita mempunyai pertimbangan dengan bebas nol di posisi lihat persamaan (2’) dan (3”). Saling berlawanan arah, dari persamaan (3”), Z=



35 7



=5



dari persamaan (2’), -5y + 2(5) = 25 yang mana, y=



25−10 −5



= -3



dan dari persamaan (1) x + (-3) + 5 = 4 yang mana, x=4+3–5=2 Metode diatas diketahui sebaga metode eliminasi Gauss. Kita simpulkan dari contoh diatas jika



170



Matriks dan Determinan



a11x + a13y + a13z = b1 a21x + a22y + a23z = b2 a31x + a32y + a33z = b3 Tiga tahap prosedur penyelesaian persamaan simultan dalam tiga variabel yang tidak diketahui menggunakan metode eliminasi Gauss adalah: 𝑎32 i. Persamaan (2) x persamaan (1) untuk bentuk persamaan 𝑎22 𝑎31 (2’) dan persamaan (3) x persamaan (1) untuk bentuk 𝑎11 persamaan (3’). ii.



Persamaan (3’) persamaan (3”).



𝑎32 𝑎22



x persamaan (2’) untuk bentuk



iii. Menetapkan z dari persamaan (3”), selanjutnya y dari persamaan (2’) dan terakhir, x dari persamaan (1). Contoh 1 Sebuah sirkuit DC terdiri dari tiga tertutup Loop. Menerapkan hukum Kirchhoff pada penutupan loop memberikan persamaan berikut untuk aliran saat ini dalam miliamperes: 2I1 + 3I2 – 4I3 = 26 I1 – 5I2 – 3I3 = -87 -7I1 + 2I2 + 6I3 = 12



(1) (2) (3)



Gunakan metode eliminasi Gauss untuk memecahkan pada I1, I2 dan I3. Penyelesaian: Ikuti prosedur diatas: 1.



2I1 + 3I2 – 4I3 = 26



(1)



171



Matriks dan Determinan



1



Persamaan (2) -



2



x persamaan (1) memberi:



0 – 6,5I2 – I3 = -100 1



Persamaan (3) -



2



(2’)



x persamaan (1) memberi:



0 + 12,5I2 – 8I3 = 103 2.



(3’)



2I1 + 3I2 – 4I3 = 26



(1)



0 – 6,5I2 – I3 = -100



(2’)



Persamaan (3’) -



12,5 −6,5



x persamaan (2’) memberi:



0 + 0 – 9,923I3 = -89,308 3.



(3”)



Dari persamaan (3”), I3 =



−89,308 −9,923



= 9 mA



dari persamaan (2’), -6,5I2 – 9 = -100 yang mana I2 =



−1000+9 −6,5



= 14 mA



dan dari persamaan (1) 2I1 + 3(14) – 4(9) = 26 yang mana, I1 =



26−42 +36 2



=



20 2



= 10 mA



5.4.5 Nilai Eigen dan Vaktor Eigen Dalam prakteknya, antara seperti pasangan osilasi (goyangan) dan vibrasi (getaran) mempunyai bentuk persamaan: Ax = x



172



Matriks dan Determinan



terjadi, dimana A adalah matriks persegi dan  (lamda) adalah suatu bilangan. Yang mana x ≠ 0, nilai dari  disebut nilai eigen (eigenvalues) dari matriks A; penulisan persamaan Ax = x disebut vektor eigen (eigenvectors) dari A. Kadang-kadang, istilah nilai eigen (eigenvalues), nilai karakteristik atau akar tersembunyi digunakan. Juga istilah vektor eigen (eigenvectors), vektor karakteristik digunakan. Dari diatas, jika Ax = x maka Ax - x = 0 yakni (A - I) = 0 dimana I adalah matriks unit. Jika x ≠ 0, maka A - I= 0. A - I disebut persamaan karakteristik. Penyelesaian persamaan karakteristik akan memberi nilai (s) dari nilai eigen akan ditunjukkan dalam beberapa permasalahan. Contoh 1 3 Tentukan nilai eigen (eigenvalues) dari matriks A = [ 2



4 ] 1



Penyelesaian: Nilai eigen ditentukan oleh penyelesaian persamaan karakteristik A - I= 0 yakni



3 |[ 2



1 4 ] − [ 1 0



0 ]| = 0 1



yakni



3 |[ 2



4  ]− [ 1 0



yakni



3− 4 | |=0 2 1−



0







]| = 0



(memberikan matrik persegi, kita akan untuk kekuatan dari persamaan karakteristik) Karenanya (3 - )(1 - ) – (4)(2) = 0 yakni



3 - 3 -  + 2 – 8 = 0



173



Matriks dan Determinan



2 - 4 - 5 = 0



dan yakni



( - 5)( + 1) = 0



yang mana  - 5 = 0 yakni  = 5 atau  + 1 = 0 yakni  = -1 (Malahan dari faktor, formula kuadrat akan di pakai; even elektronik, kalkulator can menyelesaikan persamaan kuadrat). 3 4 Karenanya, nilai eigen dari matriks [ ] adalah 5 dan -1. 2 1 Contoh 2 3 Tentukan vektor eigen (eigenvectors) dari matriks A = [ 2



4 ] 1



Penyelesaian: 3 Dari Contoh 1, nilai eigen (eigenvalues) dari [ 2  = 5 dan  = -1



4 ] adalah 1



Menggunakan persamaan (A - I)x = 0 untuk 1 = 5 maka 3−5 [ 2



𝑥1 0 4 −2 ] [𝑥 ] = [ ] yakni [ 2 0 2 1−5



0 4 𝑥1 ][ ]=[ ] −4 𝑥2 0



Yang mana, -2x1 + 4x2 = 0 dan 2x1 – 4x2 = 0 Dari salah satu dari dua persamaan, x1 = 2x2 Karenanya, apakah nilai x1 adalah nilai dari x2 akan bernilai dua nilai lebih besar. Karenanya penyederhanaan vektor eigen adalah x1 = 𝟐 [ ]. 𝟏 Gunakan persamaan (A - I)x = 0 pada 2 = -1 Maka [



3 − (−1) 2



𝑥1 4 0 4 4 𝑥1 0 ] [𝑥 ] = [ ] yakni [ ][ ]=[ ] 1 − (−1) 2 0 2 2 𝑥2 0



yang mana 4x1 + 4x2 = 0 dan 2x1 + 2x2 = 0



174



Matriks dan Determinan



Dari salah satu dua persamaan x1 = -x2 atau x2 = -x1 Karenanya, apakah nilai x1 adalah, nilai x2 akan bernilai -1 nilai lebih besar. Karenanya penyederhanaan vektor eigen adalah 𝟏 2 x2 = [ ]. Ringkasnya, x1 = [ ] adalah vektor eigen penulisan untuk −𝟏 1 𝟏 1 = 5 dan x2 = [ ] adalah vektor eigen penulisan untuk 2 = −𝟏 1 Contoh 3 5 Tentukan nilai eigen (eigenvalues) dari matriks A = [ −9



−2 ] 2



Penyelesaian: Nilai eigen ditentukan oleh penyelesaian persamaan karakteristik A - I = 0 5− −2 Yakni | |=0 −9 2 −  Karenanya (5 - )(2 - ) – (-2)(-9) = 0 yakni



10 - 5 -2 + 2 – 18 = 0



dan



2 -7 - 8 = 0



yakni



( - 8)( + 1) = 0



yang mana



 - 8 = 0, jadi  = 8 atau  + 1 = 0, jadi  = -1



Karenanya, nilai eigen dari matriks [



5 −2 ] adalah 8 dan -1 −9 2



Contoh 4 5 Tentukan vektor eigen (eigenvectors) dari matriks A = [ −9



−2 ] 2



Matriks dan Determinan



175



Penyelesaian: 5 −2 Dari contoh 3. Nilai eigen dari [ ] adalah 1= 8 dan 2= -1 −9 2 Menggunakan persamaan (A - I)x = 0 untuk 1= 8 𝑥1 0 −3 −2 𝑥1 0 5−8 −2 Maka [ ] [𝑥 ] = [ ] yakni [ ][ ]=[ ] 2 0 −9 −6 𝑥2 0 −9 2 − 8 yang mana -3x1 - 2x2 = 0 dan -9x1 - 6x2 = 0 2 Dari salah satu dua persamaan 3x1 = -2x2 atau x1 = − x2 3



Karenya, jika x2 = 3, x1 = -2. Karenanya penyederhanaan vektor −2 eigen adalah: x1 = [ ] 3 Menggunakan persamaan (A - I)x = 0 untuk 2= -1 Maka [



5 − (−1) −9



𝑥1 −2 0 6 −2 𝑥1 0 ] [𝑥 ] = [ ] yakni [ ][ ]=[ ] 2 − (−1) 2 0 −9 3 𝑥2 0



yang mana 6x1 - 2x2 = 0 dan -9x1 + 3x2 = 0 Dari salah satu dua persamaan 6x1 = 2x2 atau x2 = 3x1 Karenya, jika x1 = 1, x2 = 3. Karenanya penyederhanaan vektor 1 eigen adalah: x2 = [ ] 3 −𝟐 Ringkasnya, x1 = [ ] adalah vektor eigen penulisan untuk 1 = 8 𝟑 𝟏 dan x2 = [ ] adalah vektor eigen penulisan untuk 2 = -1 𝟑 Contoh 5 1 2 1 Tentukan nilai eigen dari matriks A = [ 6 −1 0 ] −1 −2 −1 Penyelesaian:



176



Matriks dan Determinan



Nilai eigen ditentukan oleh penyelesaian persamaan karakteristik A - I = 0 1−  2 1 yakni | 6 −1 −  0 |=0 −1 −2 −1 −  Karenanya, menggunakan baris paling atas: (1 - )[(-1 - )( -1 - ) – (-2)(0)] -2[6(-1 - ) – (-1)(0)] + 1[(6)(-2) - (-1)(-1 - )] = 0 yakni (1 - )[-1 +  +  + 2] -2[-6 - 6] + 1[-12 – 1 - ] = 0 yakni (1 - )[ 2+ 2 - 1] + 12 + 12 - 13 -  = 0 dan 2+ 2 + 1 - 3 - 22 -  + 12 + 12 - 13 -  = 0 yakni -3 - 2 + 12 = 0 atau 3 + 2 - 12 = 0 yakni (2 +  -12) = 0 yakni ( - 3)(  + 4) = 0 di faktorkan yang mana  = 0,  = 3 atau  = -4 1 Karenanya, nilai eigen dari matriks [ 6 −1 adalah 0, 3, dan -4



2 1 −1 0 ] −2 −1



Contoh 6 1 2 Tentukan vektor eigen dari matriks A = [ 6 −1 −1 −2 Penyelesaian:



1 0] −1



177



Matriks dan Determinan



1 2 Dari contoh 5. nilai eigen dari [ 6 −1 −1 −2 1 = 0, 2 = 3, dan 3 = 4,



1 0 ] adalah −1



Menggunakan persamaan (A - I)x = 0 untuk 1= 0 1−0 2 Maka [ 6 −1 − 0 −1 −2 1 yakni [ 6 −1 yang mana dan



𝑥1 1 0 𝑥 0 ] [ 2 ] = [0] −1 − 0 𝑥3 0



𝑥1 2 1 0 𝑥 −1 0 ] [ 2 ] = [0] 𝑥3 −2 −1 0 x1 + 2x2 + x3 = 0 6x1 - x2 =0 -x1 - 2x2 - x3 = 0



Dari persamaan kedua,



6x1 = x2



Substitusikan dalam persamaan pertama, x1 + 12x1 + x3 = 0 yakni -13x1 = x3, karenanya, jika x1 = 1, x2 = 6 dan x3 = -13 Karenanya penyederhanaan vektor eigen 𝟏 adalah: x1 = [ 𝟔 ] −𝟏𝟑 Menggunakan (A - I)x = 0 untuk 2 = 3 1−3 2 Maka [ 6 −1 − 3 −1 −2 −2 yakni [ 6 −1 yang mana



𝑥1 1 0 0 ] [𝑥2 ] = [0] −1 − 3 𝑥3 0



2 1 𝑥1 0 −4 0 ] [𝑥2 ] = [0] −2 −4 𝑥3 0 -2x1 + 2x2 + x3 = 0 6x1 - 4x2 =0



diltulis untuk 1 = 0



178



Matriks dan Determinan



-x1 - 2x2 - 4x3 = 0 Dari persamaan kedua, 3x1 = 2x2 Substitusikan dalam persamaan pertama, -2x1 + 3x1 + x3 = 0 yakni x3 = -x1 Karenanya, jika x2 = 3, maka x1 = 2 dan x3 = -2 Karenanya penyederhanaan vektor eigen ditulis untuk 2 = 3 𝟐 adalah: x2 = [ 𝟑 ] −𝟐 Menggunakan (A - I)x = 0 untuk 3 = -4 1 − (−4) 2 6 −1 − (−4) Maka [ −1 −2 5 yakni [ 6 −1 yang mana



𝑥1 1 0 0 ] [𝑥2 ] = [0] −1 − (−4) 𝑥3 0



0 2 1 𝑥1 3 0] [𝑥2 ] = [0] 0 −2 3 𝑥3 5x1 + 2x2 + x3 = 0 6x1 + 3x2 =0 -x1 - 2x2 + 3x3 = 0



Dari persamaan kedua, x2 = -2x1 Substitusikan dalam persamaan pertama, 5x1 - 4x1 + x3 = 0 yakni x3 = -x1 Karenanya, jika x1 = -1, maka x2 = 2 dan x3 = 1 Karenanya penyederhanaan vektor eigen ditulis untuk 3 =-4



179



Matriks dan Determinan



−𝟏 adalah: x2 = [ 𝟐 ] 𝟏 Soal Latihan Untuk persoalan 1 sampai 13, matriks A sampai K adalah 3 A=[ −4



−1 ] 7



5 B=[ −1



4 −7 6 D = [−2 4 0] 5 7 −4



2 ] 6



3 E=[ 5 −1



−1,3 C=[ 2,5



7,4 ] −3,9



3,1 6 2 −1,6 ] F = [ −3 7 5,3 0 2



4 −2 6 G = [ ] H = [ ] J = [−11] −2 5 7



1 0 G = [0 1 ] 1 0



Untuk persoalan 1 smpai 12 tentukan nilai matriksnya 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.



A+B D+E A–B A+B–C 5A + 6B 2d + 3E – 4F AxH AxB AxC DxJ ExK DxF Buktikan bahwa A x C ≠ C x A



Untuk Persoalan 14 sampai 16 14. Hitung determinan dari [



3 −4



−1 ] 7



2,4 6,4 3,8 −1,9] 3,4 −4,8



180



Matriks dan Determinan



−2 15. Hitung determinan dari [ 3



5 ] −6



−1,3 7,4 16. Hitung determinan dari [ ] 2,5 −3,9 Untuk persoalan 17 sampai 19 3 −1 17. Hitung invers dari [ ] −4 7 −2 5 18. Hitung invers dari [ ] 3 −6 −1,3 19. Hitung invers dari [ 2,5



7,4 ] −3,9



Untuk persolanan 20 sampai 23 4 20. Carilah matriks minor dari [−2 5 21. Carilah matriksdari kofaktor dari 4 7 22. Carilah determinan dari [−2 4 5 7



7 6 4 0] 7 −4 4 7 6 [−2 4 0 ] 5 7 −4 6 0] −4



3,1 23. Carilah maatrik minor dari [−1,6 5,3 Untuk persoalan 24 sampai 29



2,4 6,4 3,8 −1,9] 3,4 −4,8



4 −7 24. Tulislah transpose dari [−2 4 5 7



6 0] −4



3 6 1/2 7 ] 25. Tulislah transpose dari [ 5 −2/3 −1 0 3/5



181



Matriks dan Determinan



4 26. Tentukan adjoin dari [−2 5



−7 6 4 0] 7 −4



3 6 1/2 7 ] 27. Tentukan adjoin dari [ 5 −2/3 −1 0 3/5 4 −7 6 28. Carilah invers dari [−2 4 0] 5 7 −4 3 29. Carilah invers dari [ 5 −1



6 −2/3 0



1/2 7 ] 3/5



Untuk persoalan 30 sampai 32 Gunakan determinan untuk penyelesaian persamaan simultan dibawah ini. 30. 3x – 5y = -17,6 7y – 2x – 22 = 0 31. 2,3m – 4,4n = 6,84 8,5n – 6,7m = 1,23 32. 3x + 4y + z = 10 2x - 3y + 5z + 9 = 0 X + 2y – z = 6 Untuk persoalan 33 sampai 39 Tentukan (a) nilai eigen (eigenvalues), (eigenvectors) dari matriks.



(b)



vektor



eigen



−1 −1 1 3 1 2 −4 3 6 33. [ ] 34. [ ] 35. [ ] 36. [−4 2 4] −1 1 1 4 −2 0 −1 1 5 1 −1 0 2 2 −2 1 1 2 37. [−1 2 −1] 38. [1 3 1 ] 39. [ 0 2 2] 0 −1 1 1 2 2 −1 1 3



182



Matriks dan Determinan



Referensi 1. 2. 3.



Bird, John, 2014. High Engineering Mathematics 7th Edition. Routledge2 Park Square, Milton Park, Abingdon, Oxon OX14 4RN. Hartman, Gregory, 2011. Fundamentals of Matrix Algebra 3th Edition. Department of Mathematics and Computer Science, Virginia Military Institute. Stroud, K.A., 2001. Engineering Mathematics 5th Edition. Industrial Press, Inc. 200 Madison Avanue-New York, NY 10016-4076.



BAB 6 Vektor



BAB 6 VEKTOR Vektor merupakan bagian terpenting dari bahasa sains, matematika, dan rekayasa, Ini digunakan untuk membahas kalkulus multivariabel, sirkut kelistrikan dengan arus mengalir, tegangan dan regangan dalam struktur dan bahan, dan aliran atmosfir dan zat cair, serta banyak digunakan dibidang lainnya 6.1



Vektor dalam bidang



6.1.1 Vektor Beberapa penjumlah fisika, seperti gaya dan kecepatan, mempengaruhi besaran (ukuran) dan arah. Penjumlahan ini disebut vektor dan akan diwakili oleh panah atau arah ruas garis. Titik arah panah dari vektor, dan panjang panah memberi besaran vektor. Gambar 6.1a dilihat dari atas sebuah tugboat (kapal tunda) berusaha menarik kapal pesiar yang kandas di perairan dangkal. Besaran dan arah dari gaya yang digunakan oleh kapal tunda diwakili oleh vektor dalam gambar.



(b) Menujukkan gaya vektor dalam menarik kapal



(a) Kecepatan vektor dari sel darah mengalir melewati pembuluh darah



Gambar 6.1 Gambar 6.1b vektor (panah) memberi besaran dan arah dari sel darah mengalir melewati pembuluh darah. Mengamati perubahan panjang vektor; ini menggambarkan kenyataan bahwa sel darah



Vektor



183



184



Vektor



dekat sendi pusat mempunyai kecepatan yang lebih besar dibanding dekat dinding dari pembuluh darah. Vektor ditandai oleh huruf kecil bercetak tebal seperti v dan w. Bagaimanapun, jika vektor v menggambarkan bagian arah garis dari titik awal A dari vektor ke titik akhir B dari vektor, selanjutnya ⃗⃗⃗⃗⃗ . (lihat Gambar 6.2) ditulis v = 𝐴𝐵



Gambar 6.2 v merupakan garis arah dari A ke B Dua vektor, v dan w mempunyai besaran dan arah yang sama ⃗⃗⃗⃗⃗ dan dikatakan sederajat, ditulis v = w. Jadi, vektor v = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ w = 𝐶𝐷 diperlihatkan Gambar 6.3 adalah sederajat.



Gambar 6.3 v dan w sama panjang dan arah 6.1.2



Perkalian Skalar



Berbeda dengan vektor, skalar merupakan penjumlahan besaran tetapi arah tidak. Bilangan nyata dan bilangan kompleks adalah contoh dari skalar. Dalam teks ini, bagaimanapun, istilah skalar akan selalu berkenan untuk bilangan nyata. Sebuah vektor akan dikalikan oleh skalar. Jika c ≠ 0 adalah sebuah skalar dan v adalah sebuah



185



Vektor



vektor, maka perkalian skalar dari c dan v merupakan vektor c v. Bersaran dari c v adalah |𝑐 | satuan besaran dari v, dan arah dari c v sama denga v jika c > 0. (lihat Gambar 6.4) Mengamati dua vektor tidak nol merupakan paralel jika skalar dikalikan dari satu yang lainnya. Untuk kesempatan ini kita menetapkan vektor nol, ditandai oleh 0, untuk vektor dengan panjang nol. Jika c = 0, maka c v = 0 pada sembarang vektor v.



Gambar 6.4 Perkalian skalar dari v 6.1.3



Penjumlahan Vektor: Hukum Jajaran Genjang



Dua vektor dijumlahkan bersamaan. Lihat bagaimana mempertimbangkan dua vektor tidak nol v dan w diperlihatkan di Gambar 6.5a. Menterjemahkan vektor w (langkah w tanpa merubah besaran atau arah) juga titik awal dari w bertepatan dengan titik akhir dari v. (lihat Gambar 6.5b) Maka jumlah dari v dan w, di tulis v + w, adalah vektor diwakili oleh panah dengan ekor di titik awal v dan kepala di titik akhir w (Gambar 6.5c). Jika kamu memeriksa Gambar 6.5d, kamu akan melihat bagian garis diwakili vektor v + w bertepatan dengan diagonal dari jajaran genjang ditentukan oleh v dan w. Pada alasan ini kita katakan penjumlahan vektor mentaati hukum jajaran genjang diterjemahkan vektor v dari pada w, dan meyakinkan kamu sendiri hasilnya adalah sama.



186



Vektor



(a)



(b)



(c)



(d)



Gambar 6.5 Konstruksi Geometri dari v + w menujukkan (a) vektor v dan w, (b) terjemahan w, (c) v + w, (d) v + w diagonal dari jajaran genjang ditentukan oleh v dan w Perbedaan dari dua vektor v dan w, dituliskan v – w didefinsikan oleh v – w = v + (-w). Untuk menggambarkan ini operasi geometri, mempertimbangkan kembali dua vektor v dan w dari Gambar 6.5a, yang mana di gambarkan kembali dalam Gambar 6.6a. Jika w diterjemahkan, kebalikannya -w, dan selanjutnya gunakan hukum jajaran genjang untuk menambah v pada -w, kita mendapat v – w, diperlihatkan dalam Gambar 6.6b.



(a)



(b)



Gambar 6.6 Konstruksi Geometri dari v dan w, (a) Vektor v dan w, (b) Vektor v - w 6.1.4



Vektor dalam bidang koordinat



Sebagai perkenalan dari sistem koordinat empat persegi panjang dalam bidang dibolehkan untuk menggambarkan obyek geometri dalam istilah aljabar, kita akan melihat pengenalan dari sistem koordinat empat persegi panjang dalam “bidang vektor” akan mewakili vektor aljabar.



187



Vektor Contoh 1



Misalkan a sebuah vektor dengan titik awak A(0, 0) dan titik akhir B(3, 2) dan misalkan b sebuah vektor dengan titik awal C(1, 3) dan titik akhir D(4, 5). Menunjukkan a = b. Penyelesaian: Vektor a = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 dan b = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 diperlihatkan di Gambar 6.7. Lihat a = b, kita butuh untuk melihat vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama. Menggunkan formulasi jarang, kita tentukan, Panjang ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = √(3 − 0)𝟐 + (2 − 0)𝟐 = √9 + 4 = √13 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ = √(4 − 1)𝟐 + (5 − 3) Panjang 𝐶𝐷



= √9 + 4 = √13



Gambar 6.7 a = b vektor mempunyai oanjang dan arah sama Juga a dan b mempunyai panjang yang sama, Selanjutnya, kita cari, Kelandaian dari ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ = Kelandaian dari 𝐶𝐷



2−0 3−0 2−0 3−0



= =



2 3



dan



2 3



Jadi a dan b mempunyai arah yang sama, Ini membuktikan a = b.



188



Vektor



Dalam contoh 1 kita diperlihatkan itu vektor b mungkin diwakili oleh vektor a mempunyai titik awal ditempat asal. Umumnya, benar beberapa vektor dalam bidang akan diwakili oleh vektor serupa. Untuk melihat ini, andaikan b = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 adalah vektor sembarang dengan titik awal P1(x1, y1) dan titik akhir P2(x2, y2). (Lihat Gambar ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan 6.8) Jadi a1 = x2 – x1 dan a2 = y2 – y1. Maka vektor a = 𝑂𝑃 O(0, 0) dan P(a1, a2) dibutuhkan vektor, karena panjang b adalah, √𝑎12 + 𝑎22 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 yang mana panjang b = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 . Mirip, kelandaian a adalah 𝑎2 𝑎1



=



𝑦2 −𝑦1 𝑥2 − 𝑥1



x1 ≠ x2



yang mana kelandaian b (kita buktikan kasus x1 = x2). Vektor a dengan titik awal di tempat asal dan titik akhit P(a1, a2) disebut vektor posisi dari titik P(a1, a2) dan ditandai oleh a1, a2. Demikian, kita mempunyai vektor sembarang dalam bidang koordinat adalah sederajat untuk vektor posisi, karena vektor nol mempunyai panjang nol, titik akhir harus bertepatan dengan titik awalr; oleh karena itu, derajat untuk vektor posisi dari titik (0, 0). DEFINISI Sebuah vektor dalam bidang koordinat Sebuah vektor dalam bidang diperintah sepasang a = a1, a2 dari bilangan riil, a1 dan a2 disebut komponen skalar dari a. Vektor nol adalah 0 = 0, 0. Kita juga mempunyai hasil, DEFINISI Titik yang diberikan P1(x1, y1) dan P2(x2, y2), vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 diwakili oleh vektor posisi a = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 =  x2 – x1, y2 – y1



(1)



Karena, komponen vektor ditentukan pengurangan masing-masing koordinat oleh titik awal dari koordinat titik akhir.



189



Vektor



Gambar 6.8 Vektor sembarang b dalam bidang akan diwakili oleh vektor a Contoh 2 Carilah vektor a dengan titik awal A(-1, -2) dan titik akhir B(3, 2) Penyelesaian Menggunaan persamaan (1), kita cari vektor a yaitu: a =  x2 – x1, y2 – y1 =  3 – (-), 2 – (-2) =  4, 4. 6.1.5



Panjang Vektor



Panjang dan besaran sebuah vektor yaitu: a =  a1, a2, ditandai oleh simbol a dicari menggunakan teorema Pythagoras (lihat Gambar 6.9).



Gambar 6.9 Panjang dari a adalah a= √𝑎12 + 𝑎22



190



Vektor



DEFINISI Panjang atau besaran dari a =  a1, a2 adalah: a= √𝑎12 + 𝑎22 6.1.6



(2)



Penjumlah Vektor dalam Bidang Koodinat



Penjumlahan vektor adalah memuat komponen kebijakan. Untuk penambahan dua vektor a =  a1, a2 dan b =  b1, b2, kita tambahkan komponen tersebut (Lihat Gambar 6.10).



Gambar 6.10 Jika a =  a1, a2 dan b =  b1, b2, maka a + b =  a1 + b1, a2 + b2 Hukum Jajaran Genjang pada penjulahan vektor Jika Jika a =  a1, a2 dan b =  b1, b2, maka a + b =  a1 + b1, a2 + b2



(3)



Contoh 3 Jika a =  3, -2 dan b =  -1, 3 maka a + b =  3, -2 + -1, 3 =  3 + (-1), -2 + 3 =  2, 1 Perkalian Skalar Jika a =  a1, a2 dan c adalah skalar, maka c a =  ca1, ca2 (Lihat Gambar 6.11)



(4)



191



Vektor



Gambar 6.11 Jika a =  a1, a2, maka c a =  ca1, ca2 Mengingat pengurangan dari a dan b didefinisikan oleh a – b = a + (-b), juga jika a =  a1, a2, dan b =  b1, b2, maka a – b = a + (-b) = a + (-1)b =  a1, a2 + - b1, -b2 =  a1 – b1, a2 – b2



pengurangan vektor



Contoh 4 Jika a =  1, -2 dan b = -2, 5. Carilah a. b. c. d. e.



a+b a–b 5a 3a + 2b 3a + 2b



Penyelesaian: a. b. c. d. e.



a + b =  1, -2 + -2, 5 = 1 - 2, -2 + 5 = -1, 3 a – b =  1, -2 - -2, 5 = 1 – (-2), -2 - 5 = 3, -7 5a = 5 1, -2 = 5(1), 5(-2) = 5, -10 3a + 2b = 31, -2 + 2-2, 5 = 3, -6 + -4, 10 = -1, 4 3a + 2b = -1, 4= √(−1)2 + (4)2 = √ 1 + 16 = √ 17



192



Vektor



6.1.7



Ciri-ciri Vektor



Operasi dari penjumlahan vektor dan perkalian skalar mematuhi aturan atau kaidah. TEOREMA 1 Aturan pada Penjumlahan Vektor dan Perkalian Skalar Andaikan a, b dan c adalah vektor dan c dan d adalah skalar, maka 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.



a=b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) a+0=0+a=a a + (-a) = 0 c (a + b) = c a + c b c (d a) = (cd)a (c + d)a = c a + d a 1a = a



Kita akan buktikan pertama dari aturan ini dan menuju pembuktian latihan yang lain. PEMBUKTIAN 1 Jika a =  a1, a2, dan b =  b1, b2, maka a + b =  a1, a2 + b1, b2 =  a1 + b1, a2 + b2 =  b1 + a1, b2 + a2 =b+a 6.1.8



Vektor Unit



Sebuah vektor unit adalah 1 panjang vektor. Vektor unit adalah pengguna utama dari indikator arah. Contoh, jika a adalah vektor tidak nol, maka vektor, u=



𝐚 |𝐚|



Adalah sebuah vektor unit mempunyai arah yang sama yaitu a (Lihat Gambar 6.12) Selanjutnya bentuk penulisan a



193



Vektor



𝐚 ) = au |𝐚|



a = a(



(5)



Besaran a



Arah a



Dua ciri dari baesaran dan arah menegaskan sebuah vektor adalah dengan jelas terpajang.



Gambar 6.12 Vektor unit u mengidikasikan arah a Contoh 5 Jika F = 3, 4 adalah sebuah vektor yang menggambarkan sertindak sebagai gaya atas sebuah partikel. Menyatakan F dalam bentuk besaran (in dynes) dan vektor unit mempunyai arah yaitu F. Penyelesaian: Besaran F adalah: F = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 atau 5 dynes (cm-gram) 𝐅



3 4



Jadi



F = 3, 4 = 5u = 5



|𝟓|



=



 , 



u=



|𝐅|



=



3, 4



Arahnya adalah:



5 5



3 4



, 



5 5



(Lihat Gambar 6.13)



194



Vektor



Gambar 6.13 Vektor F = 3, 4 akan ditulis dalam bentuk alternatif F = 5u, dimana u adalah vektor unit dalam arah F 6.1.9



Vektor Dasar Standar



Disana ada dua vektor unit dalam bidang koordinat merupakan satu hasil pada aturan khusus adalah vektor i dan j yang dierangkan oleh i = 1, 0 dan j = 0, 1 Titik i vektor dalam arah x positif, dimana titik j vektor dalam arah y positif. (Lihat Gambar 6.14)



Gambar 6.14 Titik vektor unit i dan j dalan x positif dan y arah, masing-masing Jika a =  a1, a2 vektor dalam bidang koordinat. Maka a =  a1, a2 =  a1, 0 +  0, a2 (definisi dari penjumlahan vektor) = a1 1, 0 + a2 0, 1 (definisi dari pekalian skalar) = a1i + a2j



195



Vektor



Ini dilihat vektor sembarang dalam bidang akan mengekspresikan bentuk vektor i dan j (lihat Gambar 6.15 Pada alasan ini vektor i dan j adalah menunjuk vektor dasar standar. Vektor a1i dan a2j adalah horizontal dan vertikal komponen vektor dari a. Kita juga mengatakan a adalah dipecahkan didalam sebuah (vektor) jumlah a1i dan a2j.



Gambar 6.15 Vektor sembarang dalam bidang akan diekspresikan dalam bentuk vektor dasar standar i dan j Contoh 6 Jika F = 3, 4 gaya vektor (contoh 5). Jelas F dihubungkan dengan vektor dasar standar i dan j , dan mengenal horisontal dan vertikal komponen vektor F. Penyelesaian: Karena



F = 3, 4 = 3i + 4j



Horisontal komponen vektor dari F adalah 3i dan vertikal komponen vektor adalah 4j. Catatan Penggunaan vektor dasar standar, kita dapat untuk menjelaskan vektor sembarang dalam bidang koordinat di dua jalan: a =  a1, a2 dan a = a1i + a2j



196



Vektor



6.1.10



Bentuk Sudut Vektor Unit



Jika  sudut vektor unit u dengan sumbu x positif (Lihat Gambar 6.16) maka pemecahan u didalam penjumlahan dari horisontal dan vertikal komponen vektor memberi, u = (cos )i + (sin )j



(6)



Gambar 6.16 Tiap vektor unit u akan dijelaskan daalam bentuk u = (cos )i + (sin )j Contoh 7 Temukan pernyataan pada vektor a panjang 5 buat sudut /6 radian dengan sumbu positif. Penyelesaian: Menggunakan persamaan (6), kita lihat vektor unit membuat sudut /6 dengan sumbu positif adalah u = (cos )i + (sin )j = (cos /6)i + (sin /6)j =



1 1 √3 i + j = (√3i + j) 2 2 2



197



Vektor Oleh karena itu pernyataan yang diperlukan adalah a = 5u =



5 2



(√3i + j)



Contoh 8 Temukan arah yang benar dan kecepatan permukaan dari sebuah pesawat terbang. Sebuah pesawat terbang, dengan level terbang adalah dipandu dalam arah sudut 45o dari utara (teratur searah jarum jam) dan kecepatan di udara 500 mph. Ekornya tertiup angin dengan kecepatan 80 mph dalam arah 75o dari utara searah jarum jam (lihat Gambar 6.17). Arah yang benar dan kecepatan permukaan dari pesawat terbang diberikan oleh arah dan besaran dari resultan v + w, dimana v adalah kecepatan dari pesawat terbang dan w adalah kecepatan angin (Lihat Gambar 6.18). Temuka arah yang benar dan kecepatan permukaan dari pesawat terbang.



Gambar 6.17 v adalah kecepatan pesawat terbang dan w adalah kecepatan angin



198



Vektor



Gambar 6.18 v + w memberi arah yang benar dan kecepatan permukaan dari pesawat terbang Penyelesaian: Dengan aturan sistem koordinat lihat Gambar 6.17, kita akan diwakili v dan w yaitu v = (500 cos 45o)i + (500 sin 45o)j Kecepatan pesawat dan w = (80 cos 15o)i + (80 sin 15o)j Kecepatan angin Oleh karena itu, v + w = [(500 cos 45o)i + (500 sin 45o)j] + [(80 cos 15o)i + (80 sin 15o)j] = (500 cos 45o + 80 cos 15o)i+(500 sin 45o + 80 sin 15o)j  480,8i + 374,3j Besaran v + w adalah v + w







√(430,8)2 + (374,3)2



 570,7 mph



199



Vektor



dan memberi kecepatan permukaan dari pesawat terbang. Untuk menemukan arah yang benar, kita hitung vektor unit u mempunyai arah sama yaitu v + w. Demikian u=



v+w |v+w|







1 570,7



480,8i + 374,3j  0,7549i + 0,6559j



Jika kita tulis u dalam bentuk u = (cos )i + (sin )j maka kita lihat itu cos 



 0,7549 atau 



 cos-10,7549



 41,0o



Karena  ukuran dari sumbu x positif, kita simpulkan rah yang



benar dari pesawat terbang adalah mendekati (90 – 41)o, atau 49o dari utara searah jarum jam Contoh 9: Kasus di Militer Dalam suatu latihan operasi militer, TNI AD menguji penembakan meriam dengan menggunakan meriam kecil. Kecepatan dari mortir, sebuah mortir ditembakkan dari meriam kecil dengan elevasi sudut 45o ada kecepatan awal 800 ft/detik. Tentukan horisontal dan vertikal komponen vektor dari kecepatan tersebut.



Gambar 6.19 Latihan menembak meriam/mortir



200



Vektor



Penyelesaian: jika v kecepatan horisontal v = (800 cos 45o)i √2 maka v = 800 i = 400√2 i 2 dan w kecepatan vertikal v = (800 sin 45o)j √2 maka w = 800 j = 400√2 j 2 Jadi horisontal dan verikal komponen vektor dari kecepatan mortir adalah 400√2i dan 400√2j. 6.2



Sistem Koordinate dan vektor dalam 3-Ruang



6.2.1 Sistem Koordinat dalam Ruang Bidang curva C diperlihatkan dalam Gambar 6. 20 memberi garis edar yang diambil oleh pesawat terbang yaitu untuk menuju runway (landasan). Posisi dari bidang dititik kordinat P(x, y) atas curva C. Gambar 6.20b memperlihatkan jalur terbang dari bidang setelah tinggal landas. Karena sekarang pesawat sudah mengudara, kita juga membutuhkan spesifik ketinggian ketika posisi tersebut diberikan. Ini akan mengantar sumbu garis tegak lurus pada sumbu asal x dan y. Posisi dari bidang diberikan tiga koordinat x, y dan z dari titik p diwakili oleh tiga kali perintah (x, y, z). Disini bilangan z memberikan ketinggian bidang.



Gambar 6.20 (a) Jalur landasan bidang permukaan, (b) jalur bidang setelah tinggal landas (takeoff)



201



Vektor



Tiga sumbu positif dalam Gambar 6.20b adalah bagian dari sistem koordinat dimensi tiga. Gambar 6.21 memperlihatkan sekitar sistem koordinat empat persegi panjang dimensi tiga dengan titik A(2, 4, 5), B(3, -4, -2) dan C(-2, -3, 3).



Gambar 6.21 Titik A(2, 4, 5), B(3, -4, -2), dan C(-2, -3, 3) Sistem koordinat diperlihatkan di Gambar 6.20 dan Gambar 6.21 adalah aturan tangan kanan: Jika kamu memulai ditunjukkan oleh jari tangan kanan kamu dalam arah sumbu x positif dan jari yang dilipat kearah siku adalah sumbu y positif, untuk sumbu z positif ditunjukkan oleh arah ibu jari keatas. (lihat Gambar 6.22).



Gambar 6.22 Sistem aturan tangan kanan



202



Vektor



Sumbu tiga koordinat menentukan bidang tiga koordinat: Bidang xy ditentukan oleh sumbu x dan sumbu y, bidang yz ditentukan oleh sumbu y dan sumbu z, dan bidang xz ditentukan oleh sumbu x dan sumbu z. (Lihat Gambar 6.23). Bidang koordinat ini dibagi 3 ruang didalam oktan delapan. Oktan pertama adalah satu ditunjukan oleh sumbu positif. Hanya sebuah persamaan dalam x dan y diwakili kurva dalam bidang, sebuah persamaan di x, y, dan z diwakili sebuah permukaan di 3 ruang. Permukaan sederhana dalam 3 ruang , bidang koordinat lainnya, adalah bidang sejajar untuk bidang koordinat.



Gambar 6.23 Bidang tiga koordinat Contoh 1 Sketsa permukaan diwakili oleh persamaan a.



x=3



b. z = 4



Penyelesaian: a. persamaan x = 3 dikatakan bahwa permukaan terdiri dari himpunan titik-titik dalam 3-ruang yang koordinat x diadakan dengan cepat pada 3 sementara y dan z diperbolehkan untuk berbagai atas semua bilangan real, ditulis {(x, y, zx = 3}. Permukaan ini adalah bidang yang sejajar dengan bidang yz dan terletak tiga unit di depannya. (Lihat Gambar 6.24.)



203



Vektor



b. demikian pula, kita melihat bahwa persamaan z = 4 mewakili himpunan {(x, y, zz = 4} dan adalah bidang yang sejajar dengan bidang yz dan terletak empat unit di atasnya.



Gambar 6.24 Bidang x = 3 dan z - 4 Ingat dimensi yang Anda kerjakan. Dalam bidang xy (2-ruang) yang persamaan x = 3 mewakili garis vertikal sejajar dengan sumbu y; dalam bidang xyz (3-ruang) persamaan x = 3 mewakili bidang sejajar dengan bidang yz, seperti yang telah kita. Secara umum, jika k adalah konstan, maka x = k mewakili bidang yang sejajar dengan bidang yz; y = k mewakili bidang yang sejajar dengan bidang xz; dan z = k mewakili bidang yang sejajar dengan bidang xy. 6.2.2 Rumus jarak Untuk menemukan rumus untuk jarak antara dua titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) dalam 3-ruang, lihat Gambar 6.25. Pertama, menerapkan rumus jarak di 2-ruang untuk melihat bahwa jarak antara dan P1’(x1, y1, 0) dan P2’(x2, y2, 0), proyeksi masing-masing dari P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) ke-bidang xy, adalah: d(P1’, P2’) = √(x2 + x1 )2 + (y2 + y1 )2 Tapi ini juga jarak d(P1, Q) antara titik P1(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2). Kemudian menerapkan teorema Pythagoras ke segitiga kanan P1QP2, kita punya,



204



Vektor



Gambar 6.25 [d(P1, P2)]2 = [d(P1, Q]2 + [d(P2, Q]2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 yang setara dengan berikut ini Rumus Jarak d(P1, P2) = √ (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2



(1)



Contoh 2 Tentukan jarak antara (3, -2, 1) dan (1, 0, 3) Penyelesaian: Gunakan rumus jarak (1) dengan P1(3, -2, 1) dan P2(1, 0, 3), kita tentukan jarak yang dibutuhkan adalah d = √ (1 − 3)2 + [0 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = √4+4+4 = √ 16 = 2√ 3



205



Vektor 6.2.3



Rumus Titik Tengah



Rumus menentukan koordinat titik tengah dari bagian garis menggabungkan dua titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) dalam 3 ruang hanya perpanjangan dari koordinat titik tengah dari bagian garis menggabungkan dua titik dalam bidang. Rumus Titik Tengah



(



x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 2



,



,



2



2



(2



)



Contoh 3 Tentukan titik tengah dari bagian garis menghubungkan (3, -2, 1) dan (1, 0, 3). Penyelesaian Gunakan rumus titik tengah (2) dengan P1(3, -2, 1) dan P2(1, 0, 3) kita tentukan titik tengahnya adalah:



(



3+ 1 −2+0 1+ 3 2



,



2



,



2



) atau (2, -1, 2)



Selanjutnya contoh digambarkan, kita juga memakai rumus jarak untuk membantu mencari persamaan dari bola. Contoh 4 a. b.



Tentukan persamaan dari bola dengan pusat C (h, k, l) dan radius r. Tentukan persamaan dari bola mempunyai diameter dengan titik akhir (3, -2, 1 dan (1, 0, 3)



Penyelesaian: a.



Bola adalah himpunan semua titik P(x, y, z) dengan jarak C(h, k, l) adalah r atau setara, jarak persegi dari P ke C adalah r2. Gunakan rumus jarak, kita lihat persamaan bola adalah,



206



Vektor



(x – h)2 + (y – k)2 +(z - l)2 = r2 b.



Dari Contoh 2 Subbab ini, kita lihat jarak antara (3, -2, 1) dan (1, 0, 3) adalah 2√ 3 , juga radius dari bola adalah ½(2√ 3 ), atau √ 3 . Selanjutnya, dari Contoh 3 kita lihat titik tengah dari gabungan bagian garis (3, -2, 1) dan (1, 0, 3) adalah (2, -1, 2). Titik ini adalah pusat dari bola. Terakhir, gunakan hasil dari (a), kita tentukan persamaan dari bola: (x – 2)2 + (y + 2)2 +(z - 2)2 = 3



Persamaan itu kita tentukan dalam Contoh 4a disebut persamaan standar (baku) dari bola. Persamaan Standar (Baku) dari Bola dengan Pusat (h, k, l) dan Radius r (x – h)2 + (y – k)2 +(z – l)2 = r2 Grafik dari persamaan ditampilkan dalam Gambar 6.27.



Gambar 6.27 Bola dengan pusat C(h, k, l) dan radius r



(3)



Vektor



207



Contoh 5 x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 6z + 5 = 0 merupakan sebuah persamaan dari bola, dan tentukan titik pusat dan radiusnya. Penyelesaian: Lengkapi persegi empat x, y, dan z, kita akan tulis persamaan yang diberikan dalam bentuk dengan menambahkan h, k, dan l ke persamaan diatas. Oleh karena itu untuk mendapatkan nilai h, k, dan l yaitu: Ubah persamaan x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 6z + 5 = 0 menjadi x2 – 4x + y2 + 2y + z2 + 6z – 5 = 0



(4)



Bandingkan persamaan (4) dengan persamaan (3) x2 – 4x + y2 + 2y + z2 + 6z – 5 = 0 : (x – h)2+(y – k)2+(z – l)2 = r2 x2 – 4x + y2 + 2y + z2 + 6z – 5 : (x – h)2+(y – k)2+(z – l)2



(5)



dan 0 : r2



(6)



Selanjutnya cari nilai h, k, dan l untuk (5) dan (6), dengan Membandingkan masing-masing komponen ruas kiri dengan ruas kanan persamaan (5) x2 – 4x + y2 + 2y + z2 + 6z + 5 : (x – h)2+(y – k)2+(z – l)2 Untuk nilai h: x2 – 4x : (x – h)2 x2 – 4x + 0 : x2 – 2hx + h2 -4x + 0 : – 2hx + h2 -4x : – 2hx -4x : -2hx 2h : 4 h : 4/2= 2



208



Vektor



Untuk nilai l: y2 + 2y : (z – l)2 y2 + 2y + 0 : y2 -2ky + k2 2y + 0 : -2ky + k2 2y : -2ky 2 : -2k 2k : -2 k : -1 Untuk nilai l: z2 + 6z : (z – l)2 z2 + 6z + 0 : z2 -2lz + l2 6z + 0 : -2lzy + l2 6z : -2lz 6 : -2l 2l : -6 l : -3 Kuadratkan h, k, dan l masing-masing yang hasilnya adalah: n2 = (-2)2 = 4; k2 = (-1)2 = 1; l2 = (-3)2 = 9 Kemudian tambahkan hasil kuadrat ini ke ruas kiri dan kanan persamaan awal yaitu: x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 6z + 5 + h2 + k2 + l2 = 0 x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 + z2 + 6z + 9 +5= 4 + 1 + 9 x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 + z2 + 6z + 9 = -5 + 4 + 1 + 9 x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 + z2 + 6z + 9 = -5 + 4 + 1 + 9 (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 9 (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 32 Disesuaikan dengan persamaan (3), kita simpulkan persamaan dari bola mempunyai radius atau r =3 dengan titik pusat di (2, -1, -3).



209



Vektor 6.2.4



Vektor dalam 3 Ruang



Sebuah vektor dalam 3 ruang adalah tripel dari bilangan riil. a = a1, a2, a3 dimana a1, a2, dan a3 adalah komponen dari vektor. Faktanya, posisi vektor dari sebuah titik P(x1, y1, z1) adalah vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃 = x1, y1, z1 dengan titik asal dan titik akhir P(x1, y1, z1). (Lihat Gambar 6.28)



Gambar 6.28 Posisi vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃 mempunyai titik asal O dan titik akhir P Dasar definisi dan operasi vektor dalam 3 ruang umumnya alami dari bidang vektor. DEFINISI Vektor dalam 3 Ruang Jika a = a1, a2, a3 dan b = b1, b2, b3 adalah vektor dalam 3 ruang dab c adalah sebuah skalar, maka 1. a = b jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2, dan a3 = b3 kesamaan 2. a + b = a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3 penjumlahan vektor 3. c a =  c a1, c a2, c a3 perkalian skalar 4.



a= √𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎33



panjang



210



Vektor



Juga, aturan penambahan vektor dan perkalian skalar dinyatakan dalam teorema 1 di subbab 6.1 adalah valid untuk vektor dalam 3 ruang. Buktinya mirip. Berikut gambaran dari sebuah vektor a dalam 3 ruang adalah biasanya kelanjutan dari gambaran vektor dalam bidang. Vektor dengan titik asal P1(x1, y1, z1) dan titik akhir P2(x2, y2, z2) adalah: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 = x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1



(4)



Demikian, kita tentukan komponen dari sebuah vektor oleh pengurangan masing-masing koordinat dari titik asal ke titik akhir, digambarkan dalam Gambar 6.29. Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃1 dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃2 adalah posisi vektor dari titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2). Biasanya kelanjutan dari definisi dari pengurangan vektor dalam 2 ruang ke dalam 3 ruang, kita mempunyai, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃2 - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃1 = x2, y2, z2 - x1, y1, z1 =x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1



Gambar 6.29 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 = x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 adalah diwakili oleh ⃗⃗⃗⃗⃗ dari titik P(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) posisi vektor 𝑂𝑃 Oleh pertimbangan jajaran genjang OPP 2P1 dalam Gambar 6.29, kamu akan percaya pada diri semdiri ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 adalah diwakili oleh posisi ⃗⃗⃗⃗⃗ dari titik (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). vektor 𝑂𝑃



211



Vektor Contoh 6



Jika P(2, -1, 2) dan Q(1, 4, 5) yaitu dua titik dalam 3 ruang. ⃗⃗⃗⃗⃗ . a. Carilah vektor 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ b. Carilah 𝑃𝑄  c. Carilah vektor unit mempunyai arah yang sama dengan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 Penyelesaian: a.



Menggunakan Persamaan (4) dengan P1 = P dan P2 = Q, kita mempunyai, ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 - 2, 4 – (-1), 5 - 2 = -1, 5, 3 𝑃𝑄



b.



Menggunakan hasil dari (a), kita mempunyai ⃗⃗⃗⃗⃗ = √(−1)2 + 52 + 32 = √35 𝑃𝑄



c.



Menggunakan hasi dar (a) dan (b), kita tetapkan vektor unit,



u=



⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 1 = -1, 5, 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ | √35 |𝑃𝑄



Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 , posisi vektor a yang mana sama ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 , dan unit (posisi) vektor u dapat dilihat dalam Gambar 6.30.



Gambar 6.30 Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 , setara posisi vektor a, dan posisi vektor unit u



212 6.2.5



Vektor



Vektor Dasar Standar dalam Ruang



Di Subbab 6.1, kita lihat vektor sembarang dalam ruang akan memperlihatkan hubungannya dengan vektor dasar standar i = 1, 0 dan j = 1, 0. Dalam ruang tiga dimensi, vektor 3 ruang, i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, k = 0, 0, 1 bentuk dasar dari ruang, dalam pengertian vektor sembarang di ruang akan memperlihatkan hubungan dari vektor ini. Faktanya, jika a = a1, a2, a3 adalah sebuah vektor dalam 3 ruang, kita tulis, a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3 = a11, 0, 0 + a20, 1, 0 + a30, 0, 1 = a1i + a2j + a3k Vetor dasar standar i, j, k diperihatkan dalam Gambar 6.31a. Gambar 6.31b lihat vektor a dan komponen vektor tiga dimensi a1i, a2j, a3k dalam arah x, y, dan z,



(a)



(b)



Gambar 6.31 (a) Vektor dasar standar i, j, dan k; (b) Vektor a1i, a2j, a3k adalah komponen vektor dari a dalam arah x, y, dan z Contoh 7 Tulis a = -1, 2, -3 dan b = 2, 0, 4 dalam hubungan vektor dasar standar i, j, dan k, maka hitung 2a – 3b.



213



Vektor Penyelesaian: Kita mempunyai a = -1, 2, -3 = -i + 2j – 3k



dan b = 2, 0, 4 = 2i + 0j + 4k



Selanjutnya, kita hitung, 2a – 3b = 2(-i + 2j – 3k) – 3(2i + 0j + 4k) = -2i + 4j – 6k – 6i - 12k = -8i + 4j – 18k penambahan komponen Yang mana akan ditulis -8, 4, -18 Kasus Vektor Untuk Operasi Militer Contoh 8 Kontrol Radar Militer. Andaikan unit radar di menara kontrol dari Pangkalan Militer memperlihatkan dimonitor sebuah sistem koordinat tiga dimensi dengan orientasi dalam gambar. Saat ini, radar mendeteksi sebuah Pesawat kita A 1000 ft di barat dan 2000 ft di selatan dari menara dan terbang dengan ketinggian 3000 ft untuk menghadang pesawat musuh dan Pesawat musuh B berada 4000 ft di Timur dan 1000 ft di Utara Menara dan terbang dengan ketinggian 1000 ft.



a.



Tulis koordinat dari Pesawat Musuh A dan Pesawat Kita B.



214 b.



Vektor



Berapa jarak antar pesawat kita A dan pesawat musuh B?



Penyelesaian: a. Koordinat Pesawat musuh A dilihat dari gambat yaitu A(2, 1, 3) dan Pesawat kita B koordinatnya B(-1, 4, 1). b. Jarak pesawat A dan B adalah: Dengan menggunakan rumus jarak dalam vektor 3 ruang, yaitu: d(A, B) = = = = = = =



√ (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2 √ (−1 − 2)2 + (4 − (−1))2 + (1 − 3)2 √ (−3)2 + (5)2 + (−2)2 √ 9 + 25 + 4 √ 38 6,164 x 1000 ft 6164 ft



Contoh 7 Seorang tentara mengintai X keberadaan penyusup diatas jembatan, melihat penyusup menggunakan kano Y dengan kecepatan 5 ft/detik dalam arah paralel di sumbu y. Tentukan rumus dari jarak antara pengintai dan kano. Berapa cepat perubahan jarak ketika kano 60 ft dari jembatan dan jarak X dan Y ?.



215



Vektor Penyelesaian:



Jarak pengintai dengan kano adalah: Misal: pengintai X, dan Kano Y Dengan menggunakan rumus jarak dalam vektor 3 ruang, yaitu: X(0, 0, 15) dan Y(20, 60, 0) d(X, Y) = √ (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2 = √ (20 − 0)2 + (60 − 0))2 + (0 − 15)2 = √ (20)2 + (60)2 + (−15)2 = √ 400 + 3600 + 225 = √ 4225 = 65 ft Jadi jarak X dan Y adalah 65 ft Sedang waktu dengan kecepatan kano 5 ft/detik tepat dibawah pengentai yaitu: 60 ft/5 ft/detik = 12 detik, cepat perubahan jarak adalah percepatan yaitu m/s2. Maka percepatannya dalah: Kecepatan waktu tempuh dari Y ke X



=



5 12



m/detik2



Soal Latihan Untuk Latihan 1 sampai 4, carilah persamaan yang diperlihatkan vektor a dan posisi vektor b dari. 1.



216



Vektor



2.



3.



4.



Untuk Latihan 5 sampai 8, Carilah vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵. Dari sketsa posisi ⃗⃗⃗⃗⃗ vektor tersebut sama dengan 𝐴𝐵 yaitu



Vektor 5.



6.



7.



217



218



Vektor



8.



Untuk latihan 9 sampai 12, Carilah vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵. Buat Sketsa ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . posisi vektor 𝐴𝐵 9. 10. 11. 12. 13. 14.



A(1, 3), B(3, 4) A(3, 4), B(1, 3) A(-1/2, -3/2), B(2, ½) A(0,1, 0,5), B(-0,2, 0,4) Andaikan ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 2, 3 dan A(-1, 1). Carilah B. ⃗⃗⃗⃗⃗ = -1, 4 dan B(0, 2). Carilah A. Andaikan 𝐴𝐵



Untuk latihan 15 sampai 21, carilah 2a, a + b, a – b, dan 2a+b, dari, a = 1, 3 dan b = -2, 1 a = -1, 2 dan b = 3, 1 a = 2i - j dan b = 3i + j a = 3i - 2j dan b = 2i a = 1, 2,4 dan b = -1, 0,4 a= 1/2i + 3/2j dan b = 3/4i – 1/4j Jika a = a1, b1 dan b = b1, b2 dan jika c adalah skalar, carilah a – b dan c (a + 2b)? 22. Perencanaan Produksi Perusahaan Acrosonic memproduksi 2 jenis loudspeaker system dalam dua lokasi. Andaikan produk a1 Model sistem A dan b1 Model sistem B dalam lokasi I, tahun yang lalu. Maka kita akan merekam data ini oleh tulisan vektor produksi v1 = a1, b1, andaikan perusahaan juga memproduksi produk a2 Model sistem A dan b2 Model sistem B di Lokasi II dalam tahun yang sama, Maka kita mencatat ini menggunakan vektor v2 = a2, b2. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.



Vektor



219



a. Carilah v1 + v2, dan artikan hasilnya. b. Untuk tahun depan perusahan mengharapkan kenaikan produksi sistem speaker sebesar 10%. Tulis repleksi level dari luarannya. Untuk latihan 23 sampai 28, plot titik dalam sebuah sistem koordinat tiga dimensi dari, 23. 24. 25. 26. 27. 28.



(3, 2, 4) (2, 3, 2) (3, -1, 4) (0, 2, 4) (-3, -2, 4) (-2, 0 4)



Untuk latihan 29 sampai 30, carilah koordinat dari titik yang ditandai dari gambar berikut. 29.



220



Vektor



30.



31. Seorang intelijen mengintai keberadaan penyusup diatas jembatan, melihat penyusup menggunakan kano dengan kecepatan 5 ft/detik dalam arah paralel Referensi 1.



2. 3. 4. 5.



Bird, John, 2007. Engineering Mathematics 5th Edition. Newnes is an imprint of Elsevier Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP, UK 30 Corporate Drive, Suite 400, Burlington, MA 01803, USA. Bird, John, 2014. High Engineering Mathematics 7th Edition. Routledge2 Park Square, Milton Park, Abingdon, Oxon OX14 4RN. James, Glyn, 2011. Advanced Modern Engineering Mathematics 4th Edition. Pearson Education Limited, Edinburgh Gate, Harlow, Essex CM20 2JE, England. Stroud, K.A., 2001. Engineering Mathematics 5th Edition. Industrial Press, Inc. 200 Madison Avanue-New York, NY 10016-4076. Tan, Soo, T., 2010. Calculus. Brooks/Cole, Cengage Learning.



BAB 7 Limit



BAB 7 LIMIT Notasi sebuah parameter sebuah limit banyak ditemukan dalam kalkulus. Kita mulai dengan sebuah pengantar intuitif untuk limit. Selanjut teknik pengembangan akan memudahkan kita untuk menentukan limit. Fungsi limit memudahkan kita untuk menetapkan pentingnya sifat fungsi secara berkelanjutan. Akibatnya, limit memainkan peran sentral dalam belajar dari dasar perubahan satu kuantitas dengan mematuhi tema sentral yang lainnya dari kalkulus. 7.1



Pengantar Limit



7.1.1 Contoh Kehidupan Nyata Sebuah prototipe maglev (magnetic levitation train) berjalan lurus di atas monorel. Untuk menggambarkan gerakan maglev, kita pikir jalur sebuah garis koordinat. Dari data diperoleh dalam uji jalan, Insinyur bertekad maglev mengukur arah jarak dalan ukuran feet dari titik asal dengan waktu t (dalam detik) diberikan oleh, s = 𝑓(𝑡) = 4t2



0  t  30



(1)



dimana 𝑓 disebut fungsi posisi dari maglev. Posisi maglev atas waktu t = 0, 1, 2, 3,..., 30, diukur dalam feet dari posisi awal, adalah: 𝑓(0) = 0, 𝑓(1) = 4, 𝑓(2) = 16, 𝑓(3) = 36,



..., 𝑓(30) = 3600



(Lihat Gambar 7.1).



Gambar 7.1 Sebuah Maglev bergerak siatas jalur monorel



Limit



221



222



Limit



Kelihatan maglev mempercepat atas interval waktu [0, 30] dan, oleh karena itu, perubahan kecepatan atas waktu. Kenaikan ini mengikuti pertanyaan: Akankah kita mencari kecepatan maglev dengan waktu sembarang dalam interval (0, 30) hanya memakai Persamaan (1)?. Banyak ketentukan, akankah kita mencari kecepatan maglev ketika, t = 2?. Pada permulaan, jika melihat apa jumlahnya kita akan hitung. Kita pasti akan menghitung posisi dari maglev pada beberapa nilai terpilih dari t memakai Persamaan (1), kita lebih dulu. Pemakaian nilai ini dari 𝑓, kita kemudian menghitung kecepatan rata-rata dari maglev atas interval sembarang dari waktu. Pada contoh, untuk menghitung kecepatan rata-rata dari kereta atas interval waktu [2, 4], pertama kita hitung interval perpindahan kereta, 𝑓(4) - 𝑓(2), dan kemudian membagi jumlah tersebut oleh waktu berlalu. Yaitu. Interval Perpindahan waktu berlalu



=



𝑓 ( 4 ) − 𝑓 ( 2) 4−2



=



4(4)2 − 4(2)2 4−2



=



64 − 16 4−2



= 24



Atau 24 ft/detik. Walaupun ini bukan kecepatan sesungguhnya dari maglev t = 2, itu memberikan kita perkiraan kecepatan waktu. Akankah kita bekerja lebih baik? Dengan tidak sengaja, interval waktu lebih kecil kita pilih (dengan t = 2 titik akhir kiri), lebih lekat kecepatan rata-rata atas interval waktu akan memperkirakan kecepatan aktual dari maglev t = 2.* (*sebenarnya, interval sembarang berisi t = 2 akan dikerjakan) Sekarang jika digambarkan proses ini secara umum. Jika t > 2. Kemudian kecepatan rata-rata maglev atas interval waktu [2, t] diberikan oleh, vav =



𝑓 ( 𝑡 ) − 𝑓 ( 2) t−2



=



4𝑡 2 − 4(2)2 t −2



=



4(𝑡 2 − 4) t −2



(2)



Memilih nilai t semakin dekat dan semakin dekat untuk 2, kita menghasilkan urutan bilangan yang memberikan kecepatan ratarata maglev lebih kecil atas dan interval waktu lebih kecil. Kita



223



Limit



melihat dahulu , urutan bilangan akan mendekatkan kecepatan seketika dari kereta t =2. Jika coba beberapa contoh perhitungan. Memakai Persamaan (2) dan mengurutkanya t = 2,5; 2,1; 2,01; 2,001, dan 2,0001, yang mana mendekati 2, kita tentukan, Kecepatan rata-rata atas [2, 2, 5] adalah



Kecepatan rata-rata atas [2, 2, 1] adalah



4(2,5)2 − 4) 2,5 −2 4(2,1)2 − 4) 2,1 −2



= 18 ft/detik



= 16 ft/detik



dan seterusnya, Hasil ini adalah ringkas dalam Tabel 7.1. Dari tabel kita lihat kecpatan rata-rata maglev memperlihatkan mendekati bilangan 16 dihitung lebih kecil dan interval waktu lebih kecil. Ini merupakan usulan perhitungan kecepatan seketika dari kereta di t = 2 adalah 16 ft/detik. Tabel 7.1 Kecepatan rata-rata dari maglev



t vav atas [2, t]



2,5 18



2,1 16,4



2,01 16,04



2,001 16,004



2,0001 16,0004



Catatan: Kita tidak akan memperoleh kecepatan seketika pada maglev di t = 2 oleh pengurangan t = 2 dalam persamaan (2) sebab nilai ini t tidak dalam wewenang dari fungsi rata-rata kecepatan. 7.1.2 Definisi Intuitif Sebuah Limit Mengingat fungsi g didefinisi oleh,



g(t) =



4(𝑡 2 − 4) t −2



yang mana memberikan kevepatab rata-rata dari maglev (lihat Persamaan (2)). Andaikan kita membutuhkan nilai tertentu g(t) mendekati t bilangan 2. Jika kita mengurutkan nilai t mendekati 2 dari sisi kanan, kita terlebih dahulu, melihat g(t) mendekati bilangan 16. Sama dengan, kita mengurutkan nilai t mendekati 2 dari kiri ,



224



Limit



yaitu t = 1,5; 1,9; 1,99;, 1,999, dan 1,9999, kita tentukan hasilnya dalam Tabel 7.2. Tabel 7.2 Nilai g dari t mendekati dua dari kiri



t g(t)



1,5 14



1,9 15,6



1,99 15,96



1,999 15,996



1,9999 15,9996



Melihat g(t) mendekati bilangan 16 dengan t mendekati 2 dari sisi kiri. Dengan kata lain, t mendekati 2 sisi lain 2, g(t) mendekati 16. Situasi ini kita katakan sebagai limit dari g(t) dengan t mendekati 2 adalah 16, ditulis,



𝑡→2



2



4(𝑡 − 4) = 16 t −2 𝑡→2



lim 𝑔(𝑡) = lim



Grafik dari fungsi g, dilihat dalam Gambar 7.2, memperkuat pengamatan ini.



Gambar 7.2 Dengan t mendekati 2, g(t) mendekati 16 Catatan Mengamati bilangan 2 dalam domain g. (Untuk ini alasan titi (2, 16) bukan grafik dari g, dan diindikasikan sebagai lingkaran terbuka atas grafik). Perhatikan, sekalipun ada atau tidak adanya g(t) dengan t = 2 adalah bukan aturan perhitungan dari limit.



225



Limit



DEFINSI Limit dari sebuah fungsi dengan sebuah bilangan Jika 𝑓 merupakan sebuah fungsi yang menggambarkan sebuah interval terbuka berisikan a. Maka limit dari 𝑓(𝑥) dengan x mendekati a adalah bilangan L, ditulis, lim 𝑓(𝑥) = L



(3)



𝑥 →𝑎



jika 𝑓(𝑥) akan dibuat tertutup untuk L dengan mengambil x cukup untuk menutup a Contoh 1 Gunakan Grafik dari fungsi 𝑓 diperlihatkan dalam Gambar 7.3 untuk menentukan limit, a.



lim 𝑓(𝑥) b. lim 𝑓(𝑥) c. lim 𝑓(𝑥) d. lim 𝑓(𝑥) e. lim 𝑓(𝑥)



𝑥 →1



𝑥 →3



𝑥 →5



𝑥 →7



𝑥 →10



Gambar 7.3 Grafik fungsi 𝑓 Penyelesaian: a. b.



Nilai 𝑓 akan dibuat 2 jika kita mengambil x cukup 1. Sehingga lim 𝑓(𝑥) = 2. 𝑥 →1



Nilai 𝑓 akan dibuat 3 jika kita mengambil x cukup 3. Sehingga lim 𝑓(𝑥) = 3. Mengamati 𝑓(3) = 1, tetapi ini tidak memiliki 𝑥 →1



hubungan atas jawaban.



226 c.



Limit



Tidak mengukur bagaimana x untuk 5, ini adalah nilai dari 𝑓, penulisan untuk nilai x lebih kecil dari 5, adalah 1; dan ini nilai 𝑓, penulisan untuk lebih besar dari 5, adalah 4. Dengan kata lain, ini bukan bilangan unik mendekati 𝑓(𝑥), dengan x mendekati 5. Oleh karena itu lim 𝑓(𝑥) tidak ada. Mengamati 𝑥 →5



d.



𝑓(5) = 1, meskipun sekali lagi ini ada atau tidak hubungan dari limit. Tidak mengukur bagaimana x untuk 7, ini adalah nilai dari 𝑓, adalah 2 (penulisan untuk nilai x lebih keci dari 7) dan nilai dari 𝑓 untuk 4 (penulisan untuk nilai lebih besar dari 7). Juga lim 𝑓(𝑥) tidak ada. Mengamati x = 7, bukan domain dari 𝑓, 𝑥 →7



e.



meskipun tidak mempengaruhi jawaban kita. Jika x mendekati 10 dari kanan, 𝑓(𝑥) meningkat tanpa batas. Oleh karena itu, 𝑓(𝑥) bukan mendekati bilangan unik jika x mendekati 10, dan lim 𝑓(𝑥) tidak ada. Disini 𝑓(10) =1, 𝑥 →10



meskipun bukan fakta aturan didalam kita menentukan limit. Catatan Contoh 1 memperlihatkan ketika kita mengevaluasi limit dari fungsi 𝑓 dengan x mendekati a, itu adalah tidak penting apakah 𝑓 didefinisikan pada a. Selanjutnya, jika 𝑓 didefinisikan pada a, nilai 𝑓 pada a, adalah 𝑓(𝑎), tidak memiliki hubungan atas adanya nilai sebuah limit dalam pertanyaan. Contoh 2 Tentukan lim 𝑓(𝑥) jika itu ada, dimana 𝑓 merupakan fungsi dari, 𝑥 →1



4𝑥 + 8, jika 𝑥 ≠ 0 𝑓(𝑥) = { 4, Jika 𝑥 = 0 Penyelesaian: Dari grafik 𝑓 lihat Gambar 7.4, kita melihat



lim 𝑓(𝑥) = 16. Jika



𝑥 →2



kamu membandingkan fungsi 𝑓 dengan fungsi g diskusi terdahulu (halamam 221), kamu akan melihat nilai dari 𝑓 adalah identik untuk nilai g kecuali x = 2 (Gambar 7.2 dan 7.4). Ini, limit dari 𝑓(𝑥) dan g (x) dengan x mendekati 2 sama dengan harapan. Kita akan



227



Limit



melihat kenapa grafik dari dua fungsi bertepatan dimanapun kecuali x =2 ditulis,



g (x) = g (x) =



4(x2 − 4) x −2



pakai x daripada t



4(x+ 4)(x−2)



x −2 = 4(x + 2) Asumsi x ≠ 2.



Yang mana adalah ekuivalen untuk aturan mendefiniskan 𝑓 ketika x ≠ 2.



Gambar 7.4 Grafik dari 𝑓 bertepatan dengan grafik dari fungsi g diperlihatkan dalam Gambar 7.2 kecuali x = 2 Contoh 3 Fungsi Heaviside H (fungsi langkah unit) didefinisikan oleh, 0, 𝐻(𝑡) = { 1,



jika 𝑡 < 0 jika 𝑥 ≥ 0



Fungsi ini, dinamai dari Oliver Heaviside (1850 - 1925), dapat digunakan untuk mendeskripsikan aliran arus dalam sirkuit elektrik DC yang dihidupkan pada saat itu t = 0. Tampilkan lim 𝐻(𝑡)yang tidak ada.



𝑡→0



228



Limit



Penyelesaian: Grafik H ditunjukkan pada Gambar 7.5. Anda dapat melihat dari grafik yang tidak peduli seberapa dekat t adalah 0, H(t) mengambil nilai 1 atau 0, tergantung pada apakah ke kanan atau ke kiri 0. Oleh karena itu, H(t) tidak dapat mendekati nomor unik L sebagai t mendekati 0, dan kami menyimpulkan bahwa lim 𝐻(𝑡) tidak ada. 𝑡→0



Gambar 7.5 lim 𝐻(𝑡) tidak ada 𝑡→0



7.1.3 Limit Satu Sisi Misalkan kita memeriksa kembali fungsi Heaviside. Kami telah menunjukkan bahwa lim 𝐻(𝑡) tidak ada, tapi apa yang bisa kita 𝑡→0



katakan tentang perilaku H(t) di nilai yang dekat dengan t tapi lebih besar dari 0? Jika Anda melihat Gambar 7.5 lagi, jelas bahwa sebagai t mendekati 0 melalui nilai positif (dari kanan 0), H(t) mendekati 1. Dalam situasi ini kita mengatakan bahwa limit kanan H sebagai t mendekati 0 adalah 1, tertulis lim 𝐻(𝑡) = 1 𝑡→0



Lebih umum, kita ikuti:



229



Limit



DEFINISI Limit sisi kanan sebuah Fungsi Misalkan 𝑓 menjadi fungsi yang didefinisikan untuk semua nilai x dekat tapi lebih besar dari a. Kemudian limit kanan 𝑓(𝑥) sebagai x mendekati a sama dengan L, tertulis lim 𝑓(𝑡) = L



(4)



𝑥→𝑎+



Jika 𝑓(𝑡) dapat dibuat sebagai dekat dengan L kita harap dengan mengambil x untuk cukup dekat tetapi lebih besar dari a. Catatan: Persamaan (4) adalah sama dengan Persamaan (3) dengan pembatas x > a. Limit sisi kiri merupakan fungsi didefisikan dengan cara yang sama. DEFINISI Limit sisi kiri sebuah Fungsi Misalkan 𝑓 menjadi fungsi yang didefinisikan untuk semua nilai x dekat tapi lebih kecil dari a. Kemudian limit kiri 𝑓(𝑥) sebagai x mendekati a sama dengan L, tertulis lim 𝑓(𝑡) = L



(5)



𝑥→𝑎−



Jika 𝑓(𝑡) dapat dibuat sebagai dekat dengan L kita harap dengan mengambil x untuk cukup dekat tetapi lebih kecil dari a. Untuk Fungsi H Contoh 3, kita mempunyai lim 𝐻(𝑡) = 0 𝑡→0



Limit sisi kanan dan kiri dari fungsi, lim+ 𝑓(𝑡) dan lim− 𝑓(𝑡), sering 𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



disebut sebagai limit satu sisi, sedangkan lim 𝑓(𝑡) disebut limit dua sisi.



𝑥→𝑎



Untuk beberapa fungsi itu masuk akal untuk melihat hanya pada satu sisi batas. Pertimbangkan, misalnya, fungsi 𝑓 yang didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 , yang domainnya (1, ∞). Di sini



230



Limit



masuk akal untuk berbicara hanya tentang limit sisi kanan dari 𝑓(𝑥) sebagai x mendekati 1. Juga, dari Gambar 7.6, kita melihat bahwa lim+ 𝑓(𝑥) = 0. 𝑥→1



Gambar 7.6 Limit sisi kanan dari 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 x mendekati 1 adalah 0 Contoh 4 Misalkan 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2 , Tentukan lim + 𝑓(𝑥) dan lim− 𝑓(𝑥). 𝑥→−2



𝑥→2



Penyelesaian: Grafik dari 𝑓 adalah setengah lingkaran atas ditunjukkan pada Gambar 7.7. Dari grafik ini kita melihat bahwa lim + 𝑓(𝑥) = 0 dan lim− 𝑓(𝑥) = 0.



𝑥→−2



𝑥→2



Teorema 1 memberi hubungan antara limit satu sisi dan limit dua sisi.



Gambar 7.7 Kita akan mendekati -2 hanya dari kanan dan 2 hanya dari kiri



231



Limit



TEOREMA 1 Hubungan Antara Limit Satu Sisi dan Dua Sisi Misalkan 𝑓 sebuah fungsi didefisikan atas interval terbuka yang berisi a, dengan kemungkinan pengecualian a sendiri. Kemudian lim 𝑓(𝑥) = L jika dan hanya jika lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = L



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



(6)



Dengan demikian, batas (dua sisi) ada jika dan hanya jika batas satu sisi ada dan sama. Contoh 5 Sketsa grafik dari fungsi 𝑓 didefinisikan oleh 3−𝑥 𝑓(𝑥) = { 1



jika 𝑥 < 1 jika 𝑥 = 1



2 + √𝑥 − 1 jika 𝑥 > 1 Gunakan grafik untuk mencari lim− 𝑓(𝑥), lim+ 𝑓(𝑥), dan lim 𝑓(𝑥) 𝑥→1



𝑥→1



𝑥→1



Gambar 7.8 lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 2 𝑥→1



𝑥→1



𝑥→1



Penyelesaian: Dari Grafik 𝑓, diperlihatkan dalam Gambar 7.8, kita lihat lim 𝑓(𝑥) =2 dan lim+ 𝑓(𝑥) =2



𝑥→1−



𝑥→1



232



Limit



Sejak limit satu sisi adalah persamaan, kita simpulkan lim 𝑓(𝑥) = 2, 𝑥→1



Catatan 𝑓(1) = 1, tetapi ini tidak mempunyai efek atas nilai suatu limit. Contoh 6 Misalkan 𝑓(𝑥) = tabel berikut. x



±1



sin 𝑥 𝑥



. Gunakan perhitungan untuk melengkapi



±0,5



±0,1



±0,05



±0,01



±0,005



±0,0001



𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥



Selanjutbya sketsa grafik dari 𝑓, dan gunakan grafik tersebut untuk menaksir nilai dari lim− 𝑓(𝑥), lim+ 𝑓(𝑥) dan lim 𝑓(𝑥). 𝑥→0



𝑥→0



𝑥→0



Penyelesaian: Dengan menggunakan perhitungan, kita mendapatkan Tabel 7.3. (Ingat untuk gunakan mode radian!). Grafik 𝑓 diperlihat dalam Gambar 7.9. Kita tentukan lim 𝑓(𝑥) = 1,



𝑥→0−



lim 𝑓(𝑥) = 1 dan juga lim 𝑓(𝑥) =1



𝑥→0+



𝑥→0



Kita akan buktikan dalam subbab 7.1.2, kita perkirakan ini dengan benar. Tabel 7.3 Grafik dari 𝑓(𝑥) = X ±1 ±0,5 ±0,1 ±0,05 ±0,01 ±0,005 ±0,001



sin 𝑥 𝑥 0,841470985 0,958851077 0,998334166 0,999583385 0,999983333 0,999995833 0,999999833



sin 𝑥 𝑥



233



Limit



Gambar 7.9 Grafik dari 𝑓(𝑥) =



sin 𝑥 𝑥



Contoh 7 1 Misalkan 𝑓(𝑥) = 2 . Evaluasi limit jika itu ada. 𝑥



a.



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→0−



b. lim+ 𝑓(𝑥)



c.



𝑥→0



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→0



Penyelesaian: Beberapa nilai fungsi diurut dalam Tabel 7.4, dan grafik dari 𝑓 diperlihatkan dalam Gambar 7.10 Tabel 7.4 Grafik dari 𝑓(𝑥) = x ±1 ±0,5 ±0,1 ±0,05 ±0,01 ±0,001



1 𝑥2 1 4 100 400 10.000 1.000.000



sin 𝑥 𝑥



234



Limit



Gambar 7.10 Kalau x → 0 dari kiri (atau dari kanan), 𝑓(𝑥) meningkat tanpa batas a.



Kalau x mendekati 0 dari kiri, 𝑓(𝑥) meningkat tanpa batas dan tidak mendekati angka unik. Yang mana, lim− 𝑓(𝑥) tidak ada.



b.



Kalau x mendekati 0 dari kanan, (𝑥) meningkat tanpa batas dan tidak mendekati angka unik. Yang mana, lim− 𝑓(𝑥) tidak ada.



c.



Dari hasil bagian (a) dan (b) kita simpulkan itu lim− 𝑓(𝑥) tidak



𝑥→0



𝑥→0



𝑥→0



ada.



Catatan ratakan lebih dahulu limit lim 𝑓(𝑥) tidak ada, kita tulis 1 𝑥



lim ( 2) = ∞



𝑥→0



𝑥→0



untuk indikasi 𝑓(𝑥) meningkat tanpa batas kalau x



mendekati 0. Kita akan menyelidiki “limit tak terbatas/terhingga” di Subbab 9.5. 7.1.4 Penggunaan Utilitas Grafik Untuk Evaluasi Limit Dalam Contoh 6 kita memperkerjakan mendekati numerik dan grafik untuk menolong menerkanya sin 𝑥 =1 𝑥 →0 𝑥 lim



Salah satu atau kedua mendekati ini sering dapat digunakan untuk memperkirakan batas fungsi sebagai mendekati nilai yang



235



Limit



ditentukan. Tapi ada perangkap dalam menggunakan utilitas grafik, seperti contoh berikut menunjukkan. Contoh 8 Gunakan utilitas Grafik untuk menentukan √𝑥 + 4 − 2 𝑥 →0 𝑥 lim



Penyelesaian:



Kita pertama kali menyelidiki masalah secara numerik dengan membangun tabel nilai dari 𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 4 − 2)/𝑥 yang sesuai dengan nilai x mendekati 0 dari kedua sisi 0. Tabel 7.5a menunjukkan nilai 𝑓 untuk dekat x tapi di sebelah kiri 0, dan tabel 7.5b menunjukkan nilai 𝑓 untuk dekat x tapi di sebelah kanan 0. Jika Anda melihat dievaluasi pada sembilan nilai pertama dari x yang ditunjukkan di setiap kolom, kita tergoda untuk menyimpulkan bahwa limit yang diperlukan adalah



1 4



. Tapi bagaimana kita



mencocokkan hasil ini dengan dua nilai terakhir 𝑓 di setiap kolom? Setelah refleksi kita melihat bahwa perbedaan ini dapat dikaitkan dengan fenomena yang dikenal sebagai loss of significance (hilangnya signifikansi). Tabel 7.5 Nilai f untuk x mendekati 0 (a) x mendekati 0 dari kiri. (b) x mendekati 0 dari kanan. X -0,001 -0,0001 -10-5 -10-6 -10-7 -10-8 -10-9 -10-10 -10-11 -10-12 -10-13



√𝑥 + 4 − 2 𝑥 0,250015627 0,250001562 0,25000016 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,3 0



X 0,001 0,0001 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12 10-13



√𝑥 + 4 − 2 𝑥 0,249984377 0,249998538 0,24999984 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,2 0



236



Limit



Ketika x sangat kecil, nilai yang dihitung √𝑥 + 4 sangat dekat dengan 2. Untuk x = -10-13 atau x = 10-13 (dan nilai yang lebih kecil dalam nilai absolut) Kalkulator putaran dari nilai √𝑥 + 4 ke 2 dan memberikan nilai 𝑓(𝑥) sebagai 0. Gambar 7.11a – b menunjukkan grafik 𝑓 menggunakan jendela tampilan [-2, 2] x [0,2, 0,3] dan [-10-3, 10-3] x [0,2, 0,3] masing-masing. Kedua grafik ini memperkuat pengamatan sebelumnya bahwa limit yang diperlukan 1



adalah . Grafik 𝑓 menggunakan jendela melihat [-10-11, 10-11] x 4



[0,24995, 0,25005], ditunjukkan pada Gambar 7.11c, terbukti tidak membantu karena masalah dengan hilangnya signifikansi dinyatakan sebelumnya.



(a) [-2, 2] x [0,2, 0,3]



(b) [-10-3, 10-3] x [0,2, 0,3]



(c) [-10-11, 10-11] x [0,24995, 0,25005] Gambar 7.11 Grafik 𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 4 − 2)/𝑥 dalam perbedaan jendela tampilan Setelah mengenali sumber kesulitan, bagaimana kita bisa memperbaiki situasi? Mari kita Cari ungkapan lain untuk 𝑓(𝑥) itu tidak melibatkan pengurangan angka yang begitu dekat satu sama lain yang mengakibatkan hilangnya signifikansi. Rasionalisasi numerator, kita mendapatkan.



237



Limit



𝑓(𝑥) =



√𝑥+4−2 √𝑥+4−2 √𝑥+4−2 = . (a + b)(a – b) = a2 – b2 𝑥 𝑥 √𝑥+4−2



=



1 √𝑥+4+2



x≠0



Perhatikan bahwa penggunaan ekspresi terakhir menghindari perangkap yang kita temui dengan ekspresi asli. Kami meninggalkannya sebagai latihan untuk menunjukkan bahwa analisis numerik dan analisis grafis, lim



𝑥→0 √𝑥



1 +4+2



menunjukkan bahwa menebak yang baik



1 √𝑥 + 4 + 2 = lim 𝑥→0 𝑥→0 √𝑥 + 4 + 2 1 lim



Adalah



1 4



, hasil yang dapat dibuktikan dengan menggunakan teknik



yang akan dikembangkan pada bagian selanjutnya. Contoh 9 Tentukan lim sin 𝑥→0



1 𝑥



Penyelesaian: 1 𝑥



Misalkan 𝑓(𝑥) = lim sin . Grafik 𝑓 memakai jendela tampilan [-1, 𝑥→0



1] x {-1,2, 1,2] tidak melihat banyak menolong ke kita dalam menentukkan limit yang dibutuhkan (lihat Gambar 7.12). Untuk 1 memperoleh grafik yang lebih akurat dari 𝑓(𝑥) = sin , catatan 𝑥



fungsi sin dibatasi oleh -1 dan 1. Dengan demikian, grafik 𝑓 antara garis horizontal y = -1 dan y = 1. Selanjutnya, amati bahwa fungsi sinus memiliki periode 2𝜋. Karena 1/x meningkat tanpa terikat



238



Limit



(menurun tanpa terikat) sebagai x mendekati 0 dari kanan (dari 1 kiri), kita melihat sin bahwa mengalami lebih banyak dan lebih 𝑥



banyak siklus sebagai x mendekati 0. Dengan demikian, grafik 𝑓(𝑥) 1 = sin berosilasi antara -1 dan 1, seperti yang ditunjukkan pada 𝑥



Gambar 7.13. Oleh karena itu, tampaknya masuk akal untuk dugaan bahwa limit tidak ada. Memang, kita bisa mendemonstrasikan kesimpulan ini dengan membangun Table 7.6.



1 𝑥



Gambar 7.12 Grafik 𝑓(𝑥) = sin dalam jendela tampilan [-1, 1] x [-1,2, 1,2]



Tabel 7.6 𝑓(𝑥) = sin x sin



1 𝑥



1 𝑥



2 𝜋



2 3𝜋



2 5𝜋



2 7𝜋



2 9𝜋



2 11𝜋



...



1



-1



1



-1



1



-1



...



Gambar 7.13 Grafik 𝑓(𝑥) = sin



1 𝑥



239



Limit



Perhatikan bahwa nilai x mendekati 0 dari kanan. Dari tabel kita melihat bahwa tidak peduli seberapa dekat x adalah 0 (dari kanan), ada nilai 𝑓 yang sesuai dengan nilai ini yang sama dengan 1 atau 1. Oleh karena itu 𝑓(𝑥), tidak dapat mendekati angka tetap sebagai x mendekati 0. Hasil yang sama berlaku jika nilai x mendekati 0 dari kiri. Hal ini menunjukkan bahwa,



lim sin



𝑥→0



7.2



1 𝑥



tidak ada



Teknik Untuk Menemukan Limit



7.2.1 Menghitung Limit menggunakan Hukum Limit Dalam Subbab 7.1 kita menggunakan tabel nilai fungsional dan grafik fungsi untuk membantu kita menebak pada batas fungsi, jika ada. Mendekati ini, bagaimanapun, hanya berguna dalam menyarankan apakah batas ada dan apa nilainya mungkin untuk fungsi sederhana. Dalam prakteknya, batas fungsi dievaluasi dengan menggunakan hukum batas yang sekarang kita perkenalkan. HUKUM 1 Limit dari Fungsi Konstan 𝑓(𝑥) = 𝑐. Jika c adalah bilangan real, maka, lim 𝑐 = 𝑐



𝑥→𝑎



Anda dapat melihat ini secara intuitif dengan mempelajari grafik dari fungsi konstan 𝑓(𝑥) = 𝑐. yang ditunjukkan pada Gambar 7.14. Anda akan diminta untuk membuktikan hukum ini dalam Contoh 15, Subbab 7.3. Contoh 1 lim 5 = 5, lim 3 = 3, dan lim 2𝜋 = 2𝜋.,



𝑥→2



𝑥→1



𝑥→0



240



Limit



Gambar 7.14 Pada Fungsi Konstan 𝑓(𝑥) = 𝑐, lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥→𝑎



HUKUM 2 Limit dari Fungsi Identitas 𝑓(𝑥) = 𝑥 lim 𝑥 = 𝑎



𝑥→𝑎



Sekali lagi, Anda dapat melihat ini secara intuitif dengan memeriksa grafik fungsi identitas. (Lihat Gambar 7.15.) Anda juga akan diminta untuk membuktikan hukum ini dalam Contoh 16, Subbab 7.3.



Gambar 7.15 Jika 𝑓 adalah fungsi identitas 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥→𝑎



Contoh 2 lim 𝑥 = 4, lim 𝑥 = 0, lim 𝑥 = −𝜋



𝑥→4



𝑥→0



𝑥→−𝜋



Aturan hukum limit berikut memungkinkan kita untuk menemukan batas fungsi secara aljabar



241



Limit



HUKUM LIMIT Jika lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 dan lim 𝑔(𝑥) = 𝑀, maka, 𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



HUKUM 3 Hukum Penjumlahan lim [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝑀



𝑥→𝑎



HUKUM 4 Hukum Perkalian lim [ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝐿𝑀



𝑥→𝑎



HUKUM 5 Hukum Multiple Konstan lim [ 𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝐿 pada setiap c



𝑥→𝑎



HUKUM 6 Hukum Pembagian lim



𝑓(𝑥)



𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)



=



𝐿 𝑀



asalkan M ≠ 0



HUKUM 7 Hukum Akar 𝑛



lim 𝑛√𝑓(𝑥) = √𝐿



𝑥→𝑎



asalkan n adalah bilangan bulat positif dan



L > 0 jika n adalah genap.



Dengan kata lain, hukum ini mengatakan bahwa: Limit penjumlahan (perbedaan) dari dua fungsi adalah jumlah (perbedaan) Limit tersebut. Limit perkalian dari dua fungsi adalah perkalian dari limit tersebut. Limit suatu fungsi waktu konstan adalah limit fungsi perkalian konstan. Limit Pembagian dari dua fungsi adalah pembagian dari limit tersebut, asalkan limit pembaginya bukan nol. Limit fungsi akar n adalah akar n dari fungsi, asalkan n adalah bilangan bulat positif dan L > 0 jika n adalah genap.



242



Limit



Meskipun hukum penjumlahan dan hukum perkalian dinyatakan untuk dua fungsi, mereka juga berlaku untuk setiap fungsi bilangan terbatas. Misalnya, jika lim 𝑓1 (𝑥) = 𝐿1 ,



lim 𝑓2 (𝑥) = 𝐿2 , ...,



𝑥→𝑎



lim 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝐿𝑛



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



maka lim [𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝑥)] = 𝐿1 + 𝐿2 + ⋯ + 𝐿𝑛



𝑥→𝑎



dan (1)



lim [𝑓1 (𝑥)𝑓2 (𝑥) … 𝑓𝑛 (𝑥)] = 𝐿1 𝐿2 … 𝐿𝑛



𝑥→𝑎



Jika kita mengambil 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥) = ⋯ = 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥), maka persamaan (1) memberikan hasil sebagai berikut untuk kekuatan 𝑓. HUKUM 8 Jika n adalah bilangan bulat positif dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝑥→𝑎



maka lim [𝑓(𝑥)]𝑛 = 𝐿𝑛 . 𝑥→𝑎



Selanjutnya, jika kita mengambil 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka Persamaan (1) dan Hukum 8 memberi hasil berikut. HUKUM 9 lim 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 , dimana n dalah bilangan bulat positif. 𝑥→𝑎



Contoh 3 Tentukan lim (2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3). 𝑥→2



Penyelesaian: lim (2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3) = lim 2𝑥 3 - lim 4𝑥 2 + lim 3



Hukum 3



= 2 lim 𝑥 3 - 4 lim 𝑥 2 + lim 3



Hukum 5



= 2(2)3 – 4(2)2 + 3 = 3



Hukum 9



𝑥→2



𝑥→2



𝑥→2



𝑥→2



𝑥→2



𝑥→2



𝑥→2



243



Limit



7.2.2 Limit Polinomial dan Fungsi Rasional Metode penyelesaian yang kita gunakan dalam Contoh 3 akan digunakan untuk pembuktian berikut. HUKUM 10 Limit Fungsi Polinomial Jika 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ... + 𝑎0 adalah sebuah fungsi polinomial, maka lim 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑎) 𝑥→𝑎



Demikian, Limit fungsi polinomial x mendekati a adalah sama untuk nilai fungsi a. BUKTI Penerapan (menyamaratakan) hukum penjumlahan dan hukum multiple konstan berulang, kita tentukan lim 𝑝(𝑥) = lim (𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + . . . + 𝑎0 )



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



= 𝑎(lim 𝑥 𝑛 ) + 𝑎𝑛−1 (lim 𝑥 𝑛−1 ) + … + lim 𝑎0 𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



Selanjutnya, Menggunakan Hukum 1, 2 dan 9, kita memperoleh lim 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + . . . + 𝑎0 = 𝑝(𝑎)



𝑥→𝑎



Dalam terang ini, kita bisa memecahkan masalah yang diajukan dalam contoh 3 sebagai berikut: lim (2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3) = = 2(2)3 – 4(2)2 + 3 = 3



𝑥→2



Contoh 4 Tentukan lim (3𝑥 2 + 2𝑥 + 1)5 . 𝑥→1



244



Limit



Penyelesaian: lim (3𝑥 2 + 2𝑥 + 1)5 = [lim (3𝑥 2 + 2𝑥 + 1)]5 Hukum 8



𝑥→1



𝑥→1



= [3(-1)2 + 2(-1) + 1]5 Hukum 10 = 25 = 32 Berikut hasil dari hukum pembagian pada limit dan Hukum 10. HUKUM 11 Limit dari Fungsi Rasional Jika 𝑓 adalah fungsi rasional didefiniskan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥), dimana 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥) adalah fungsi polinomial dan 𝑄(𝑥) ≠ 0, maka, lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) =



𝑥→1



𝑃(𝑎) 𝑄(𝑎)



Demikian, limit fungsi rasional 𝑥 mendekati 𝑎 adalah sama untuk nilai fungsi 𝑎 dengan syarat pembaginya bukan nol atas 𝑎 BUKTI Karena 𝑃 dab 𝑄 adalah fungsi polinomial, kita tahu dari hukum 10 dimana, lim 𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎) dan lim 𝑄(𝑥) = 𝑄(𝑎)



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



Karena 𝑄(𝑎) ≠ 0, kita akan terapkan hukum pembagian untuk menyimpulkan itu,



lim 𝑓(𝑥) = lim



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



lim 𝑃(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑃(𝑥) = = = 𝑓(𝑎) 𝑄(𝑥) lim 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑥→𝑎



Contoh 5 Tentukan 4𝑥 2 + 3𝑥 + 1 𝑥→3 2𝑥 − 4 lim



245



Limit



Penyelesaian: Menggunakan Hukum 11, kita peroleh 4𝑥 2 + 3𝑥 + 1 4(3)2 + 3(3) + 1 = = 14 𝑥→3 2𝑥 − 4 2(3) + 4 lim



Contoh 6 Tentukan 3 2𝑥 + 14 lim √ 2 𝑥→1 𝑥 +1



Penyelesaian: 3



2𝑥+14 𝑥 2 +1



lim √



𝑥→1



3



2𝑥+14 𝑥→3 𝑥 2 −1



Hukum 7



3



2(1)+14 12 +1



Hukum 11



= √lim =√ 3



= √8 = 2 Jangan sampai Anda berpikir bahwa kita selalu dapat menemukan batas fungsi dengan substitusi, pertimbangkan contoh berikut. Contoh 7 𝑥 2 −4 𝑥→2 𝑥−2



Tentukan lim Penyelesaian:



Karena denominator ekspresi rasional adalah 0 pada x = 2, kita tidak dapat menemukan batas dengan substitusi langsung. Namun, dengan memfaktorkan numerator, kita mendapatkan,



246



Limit 𝑥 2 −4 𝑥−2



=



(𝑥+2)(𝑥−2) 𝑥−2



Kemudian jika x ≠ 2, tidak dapat difaktorkan. Sehingga 𝑥 2 −4 𝑥−2



=



x +2, x ≠ 2



Dengan kata lain, nilai dari fungsi 𝑓 yang didefinisikan f(x) =



𝑥 2 −4 𝑥−2



bersamaan dengan nilai dari fungsi 𝑔 yang didefinisikan oleh 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 untuk semua nilai 𝑥 kecuali 𝑥 = 2. Karena limit 𝑓(𝑥) sebagai 𝑥 mendekati 2 hanya tergantung pada nilai selain 2, kita dapat menemukan limit yang diperlukan dengan mengevaluasi limit 𝑔(𝑥) sebagai 𝑥 mendekati 2 sebagai gantinya. Sehingga, 𝑥 2 −4 𝑥→2 𝑥−2



lim



= lim (𝑥 + 2) = 2 + 2 = 4 𝑥→2



Dalam kasus tertentu teknik yang kita gunakan dalam Contoh 7 dapat diterapkan untuk menemukan limit dari hasil bagi di mana baik pembilang dan pembagi dari mendekati hasil bagi mendekati 0 sebagai 𝑥 mendekati 𝑎. Caranya di sini adalah dengan menggunakan manipulasi aljabar yang tepat yang akan memungkinkan kita untuk mengganti fungsi asli oleh salah satu yang identik dengan fungsi itu kecuali mungkin di 𝑎. Limit ini kemudian ditemukan dengan mengevaluasi fungsi ini di 𝑎. Catatan 1. Jika pembilang tidak mendekati 0 tetapi pembaginya tidak, maka limit hasil bagi tidak ada. (Lihat contoh 7 di subbab 7.1). 2. Sebuah fungsi yang membatasi di 𝑎 dapat ditemukan dengan mengevaluasi itu 𝑎 dikatakan terus menerus di 𝑎. (kami akan mempelajari fungsi berkesinambungan di subbab 7.4).



247



Limit



Contoh 8 Tentukan 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑥→−3 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 lim



Penyelesaian: Perhatikan bahwa baik pembilang dan pembagi mendekati hasil bagi 0 sebagai mendekati -3, jadi Hukum 6 tidak berlaku. Sebaliknya, kita lanjutkan sebagai berikut: 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 ((𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = lim 2 𝑥→−3 𝑥 + 4𝑥 − 3 𝑥→−3 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1) lim



𝑥−1 𝑥→−3 𝑥 + 1



= lim



=



−3−1 −3+1



𝑥 ≠ −3



= 2



Contoh 9 Tentukan lim



𝑥→0



√1 + 𝑥 − 1 𝑥



Penyelesaian: Baik pembilang dan pembagi hasil bagi mendekati 0 sebagai x mendekati 0, sehingga kita tidak dapat mengevaluasi limit menggunakan Hukum 6. Mari kita merasionalisasi pembilang dari hasil bagi dengan mengalikan baik pembilang dan pembagi oleh √1 + 𝑥 − 1. Sehingga,



248



Limit



√1 + 𝑥 − 1 √1 + 𝑥 − 1 √1 + 𝑥 + 1 = lim . 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 √1 + 𝑥 + 1 lim



= lim



(√1 + 𝑥 − 1)(√1 + 𝑥 + 1) 𝑥(√1 + 𝑥 + 1)



𝑥→0



= lim



1+𝑥−1



𝑥→0 𝑥(√1



= lim



+ 𝑥 + 1) 1



𝑥→0 (√1 +



𝑥 + 1)



=



1 2



𝑥 ≠0



Semua hukum limit yang dinyatakan untuk limit dua sisi di bagian ini juga berlaku untuk limit satu sisi. Contoh 10 Misalkan 𝑓(𝑥) = {



−𝑥 + 3,



jika 𝑥 < 2



√𝑥 − 2 + 1, jika 𝑥 ≥ 2



Tentukan lim 𝑓(𝑥) jika itu ada. 𝑥→2



Penyelesaian: Fungsi 𝑓 didefinisikan sebagai cara menambah. Untuk 𝑥 ≥ 2 aturan 𝑓 adalah 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 + 1 . Membiarkan 𝑥 mendekati 2 dari kanan, kita mendapatkan,



lim (√𝑥 − 2 + 1) = lim √𝑥 − 2 + lim 1 hukum penjumlahan



𝑥→2



𝑥→2



=0+1=1



𝑥→2



249



Limit



Untuk 𝑥 < 2, 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3, dan lim (−𝑥 + 3) = lim (−𝑥) + lim 3 hukum penjumlahan



𝑥→2



𝑥→2



𝑥→2



= -2 + 3 = 1 Limit kanan dan Limit kiri adalah sama. Oleh karena itu, limit tersebut ada dan, lim 𝑓(𝑥) = 1



𝑥→2



Grafik f dilihat di Gambar 7.16.



Gambar 7.16 lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = 1, juga lim 𝑓(𝑥) = 1 𝑥→2



𝑥→2



𝑥→2



Contoh berikutnya melibatkan fungsi integer terbesar yang didefinisikan oleh f(x) = [x], di mana [x] adalah integer terbesar n seperti itu n ≤ 𝑥. Misalnya, [3] = 3, [2,4]= 2, [𝜋] = 3, [-4,6] = -5, [-√2] = −2, dan seterusnya. Sebagai bantuan untuk menemukan nilai fungsi integer terbesar, pikirkan “pembulatan ke bawah”.



250



Limit



Contoh 11 Perlihatkan bahwa lim [𝑥] tidak ada 𝑥→2



Penyelesaian: Grafik fungsi bilangan bulat terbesar ditunjukkan pada Gambar 7.17. Perhatikan bahwa jika 2 ≤ 𝑥 < 3, maka [𝑥] = 2, dan oleh karena itu, lim [𝑥] = lim+ 2 = 2



𝑥→2+



𝑥→2



Selajutnya, Perhatikan jika 1 ≤ 𝑥 < 2, maka [𝑥] = 1, juga lim [𝑥] = lim− 1 = 1



𝑥→2−



𝑥→2



Karena limit satu sisi ini tidak sama, kita menyimpulkan bedasarkan teorema 1, Subbab 7.1, lim [𝑥] yang tidak ada. 𝑥→2



7.2.3 Limit dari Fungsi Trigonometri Sejauh ini, kita telah berurusan dengan limit yang melibatkan fungsi aljabar. Teorema berikut memberitahu kita bahwa jika 𝑎 adalah angka dalam domain fungsi trigonometri, maka limit fungsi sebagai 𝑥 mendekati 𝑎 yang dapat ditemukan oleh substitusi. TEOREMA 1 Limit Fungsi Trigonometri Misalnya a merupakan bilangan dalam domain fungsi trigonometri yang diberikan. Maka, a. c. e.



lim sin 𝑥 = sin 𝑎



b.



lim tan 𝑥 = tan 𝑎



d.



lim sec 𝑥 = sec 𝑎



f.



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



lim cos 𝑥 = cos 𝑎



𝑥→𝑎



lim cot 𝑥 = cot 𝑎



𝑥→𝑎



lim csc 𝑥 = csc 𝑎



𝑥→𝑎



Bukti dari Teorema 1A dan Teorema 1B digambarkan dalam latihan 97 dan 98. Bukti dari bagian lain mengikuti dari Theorems 1A dan 1B dan hukum limit.



251



Limit



Contoh 12 Tentukan a.



lim 𝑥 sin 𝑥



𝑥→𝜋/2



b.



lim (2𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑡𝑥)



𝑥→𝜋/4



Penyelesaian: a. b.



𝜋 2



lim 𝑥 sin 𝑥 = ( lim 𝑥)( lim sin 𝑥) = 𝑠𝑖𝑛



𝑥→𝜋/2



𝑥→𝜋/2



𝑥→𝜋/2



𝜋 2



=



𝜋 2



lim (2𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑡𝑥) = lim 2𝑥 2 + lim 𝑐𝑜𝑡𝑥



𝑥→𝜋/4



𝑥→𝜋/4



=2( =



𝑥→𝜋/4



𝜋 2 𝜋 ) + cot 4 4



𝜋2 8



+1 =



𝜋2 +8 8



7.2.4 Teorema Tiruan Teknik yang telah kita kembangkan sejauh ini tidak bekerja dalam semua situasi. Misalnya, mereka tidak dapat digunakan untuk menemukan, lim 𝑥 2 sin



𝑥→𝑎



1 𝑥



Untuk batasan seperti ini kita menggunakan Teorema Tiruan. TEOREMA 2 Teorema Tiruan Misalkan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) untuk semua dalam interval terbuka yang berisi, kecuali mungkin pada 𝑎, dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim ℎ(𝑥)



Maka



𝑥→𝑎



𝑥→𝑎



lim 𝑔(𝑥) = 𝐿



𝑥→𝑎



252



Limit



Teorema Tiruan mengatakan bahwa jika 𝑔(𝑥) ditiru antara 𝑓(𝑥) dan ℎ(𝑥) dekat a dan keduanya 𝑓(𝑥) dan ℎ(𝑥) mendekati 𝐿 sebagai 𝑥 mendekati 𝑎, maka 𝑔(𝑥) harus mendekati 𝐿 juga (Lihat gambar 7.17). Sebuah bukti dari Teorema ini diberikan dalam Lampiran B.



Gambar 7.17 Sebuah Ilustrasi Teorema Tiruan Contoh 13 Tentukan lim 𝑥 2 sin



𝑥→0



1 𝑥



Penyelesaian: Sejak −1 ≤ sin 𝑡 ≤ 1 untuk setiap bilangan real 𝑡, kita memiliki −1 ≤ sin



1 ≤ 1 𝑥



Untuk setiap 𝑥 ≠ 0, yang mana 1 𝑥



−𝑥 2 ≤ 𝑥 2 sin ≤ 𝑥 2 𝑥 ≠ 0



253



Limit



Misalkan 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛(1/𝑥), 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝑥) = 𝑥 2 . 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥). Karena itu



Maka



lim 𝑓(𝑥) = lim (−𝑥 2 ) = 0 dan lim ℎ(𝑥) = lim 𝑥 2 = 0



𝑥→0



𝑥→0



𝑥→0



𝑥→0



Teorema Tiruan mengimplikasikan bahwsa 1 𝑥



lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑥 2 sin = 0 (lihat Gambar 7.18)



𝑥→0



𝑥→0



1 𝑥



Gambar 7.18 lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑥 2 sin = 0 𝑥→0



𝑥→0



Properti limit yang diberikan dalam Teorema 3 akan digunakan nanti. (Buktinya diberikan dalam Lampiran B.) TEOREMA 3 Misalkan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk semua dalam interval terbuka yang berisi, kecuali mungkin pada 𝑎, dan, lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 dan lim 𝑔(𝑥) = 𝑀



𝑥→𝑎



Maka



𝑥→𝑎



𝐿 ≤ 𝑀



Teorema Tiruan dapat digunakan untuk membuktikan hasil penting berikut, yang akan dibutuhkan dalam pekerjaan kita nanti.



254



Limit



TEOREMA 4 𝑠𝑖𝑛𝜃 =1 𝑥→𝑎 𝜃 lim



𝜋



BUKTI Pertama, misalkan 0 < 𝜃 < . Gambar 7.19 menunjukkan 2



sektor lingkaran radius 1. Dari gambar kita melihat bahwa, Area 𝑂𝐴𝐵 =



1 2



(1)(𝑠𝑖𝑛𝜃) =



Area sektor 𝑂𝐴𝐵 = Area 𝑂𝐴𝐶 =



1 2



1 2



1 𝑠𝑖𝑛𝜃 2 1 2



(1)2 𝜃 = 𝜃



(1)(𝑡𝑎𝑛𝜃) =



1 𝑡𝑎𝑛𝜃 2



1 2



alas x tinggi



1 2 𝑟 𝜃 2 1 2



alas x tinggi



Gambar 7.19 Karena 0 < area 𝑂𝐴𝐵 < Area sektor 𝑂𝐴𝐵 < Area 𝑂𝐴𝐶, kita punya, 0
0 dan 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 0 untuk 0 < 𝜃 < , kita mendapatkan, 2



1< atau, setelah dibalik,



𝜃 1 < 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃



255



Limit



𝑐𝑜𝑠𝜃
0, kita dapat menentukkan



sehingga 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 menyiratkan bahwa |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀



7.3.1 Interpretasi Geometri Berikut adalah interpretasi geometris definisi. Biarlah 𝜀 > 0 diberikan. Gambarlah garis 𝑦 = 𝐿 + 𝜀 dan 𝑦 = 𝐿 − 𝜀. Karena|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 setara dengan 𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 𝜀, lim 𝐹(𝑥) = 𝐿, ada asalkan kita dapat menemukan bilangan 𝛿 𝑥→𝑎



sehingga jika kita membatasi 𝑥 untuk berbaring dalam interval (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) dengan 𝑥 ≠ 𝑎 0 telah ditemukan, maka setiap bilangan lebih kecil dari 𝛿 juga akan memenuhi persyaratan.



262



Limit



Gambar 7.22 Jika 𝑥 𝜖 (𝑎 − 𝛿, 𝑎) atau (𝑎, 𝑎 + 𝛿), maka gelombang 𝑓(𝑥) didefinisikan oleh 𝑦 = 𝐿 + 𝜀 dan 𝑦 = 𝐿 − 𝜀 7.3.2 Contoh Beberapa Ilustratif Contoh 1 Buktikan lim



𝑥→2



4(𝑥 2 −4) 𝑥−2



= 16. (Ingat bahwa batas ini memberikan



kecepatan sesaat dari Maglev di 𝑥 = 2 seperti yang dijelaskan dalam Subbab 7.1). Penyelesaian: Biarlah 𝜀 > 0diberikan. Kita harus menunjukkan bahwa ada 𝛿 > 0 suatu 4(𝑥 2 − 4) | − 16| < 𝜀 𝑥−2



yang mana 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿. Untuk menentukkan 𝛿 mempertimbangkan



dengan



263



Limit



4(𝑥 2 − 4) 4(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) | − 16| = | − 16| 𝑥−2 𝑥−2 = |4(𝑥 − 2) − 16| = |4𝑥 − 8|



𝑥 ≠2



= 4|𝑥 − 2| Oleh karena itu, 4(𝑥 2 − 4) | − 16| = 4|𝑥 − 2| < 𝜀 𝑥−2



yang mana 1 |𝑥 − 2| < 𝜀 4 Jadi kita dapat mengambil 𝛿 = 𝜀/4. (Lihat Gambar 7.23). Dengan membalik langkah-langkahnya, kita melihat bahwa jika 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿, maka 4(𝑥 2 − 4) 1 | − 16| = 4|𝑥 − 2| < 4 ( 𝜀) = 𝜀 𝑥−2 4



hingga 4(𝑥 2 − 4) = 16 𝑥→2 𝑥 − 2 . lim



264



Limit



Gambar 7.23 Jika kita menetapkan 𝛿 = 𝜀/4, 4(𝑥 2 −4) maka 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ | − 16| < 𝜀 𝑥−2



Contoh 2 Buktikan bahwa lim 𝑥 2 = 4. 𝑥→2



Penyelesaian: Biarlah 𝜀 > 0 diberikan. Kita harus menunjukkan bahwa ada 𝛿 > 0 suatu |𝑥 2 − 4| < 𝜀 Setiap kali|𝑥 − 2| < 𝛿. Untuk menemukan 𝛿, pertimbangkan |𝑥 2 − 4| = |(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)| = |𝑥 + 2||𝑥 − 2|



(5)



265



Limit



Pada tahap ini, salah satu mungkin berubah untuk mengatur |𝑥 + 2||𝑥 − 2| < 𝜀 dan membagi kedua sisi ketidaksetaraan ini mendapatkan |𝑥 − 2|
0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 setiap kali 0 < |𝑥 − 0| < 𝛿 Secara khusus, jika kita mengambil 𝜀 = 1, ada 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 1 setiap kali 0 < |𝑥 − 0| < 𝛿 Jika kita mengambil 𝑥 = −𝛿/2, yang terletak pada interval yang ditentukan oleh 0 < |𝑥 − 0| < 𝛿, kita memiliki 𝛿 |𝑓 (− ) − 𝐿| = |−1 − 𝐿| < 1 2 Ketidaksetaraan ini setara dengan



−1 < 1 − 𝐿 < 1 0 < −𝐿 < 2 atau −2 < 𝐿 < 0 Selanjutnya, jika kita mengambil 𝑥 = 𝛿/2, yang juga terletak pada interval yang ditentukan oleh 0 < |𝑥 − 0| < 𝛿, kita memiliki 𝛿 |𝑓 ( ) − 𝐿| = |−1 − 𝐿| < 1 2 Ketidaksetaraan ini setara dengan −1 < 1 − 𝐿 < 1 −2 < −𝐿 < 0 atau 0 𝑥→𝑎



0 sedemikian rupa sehingga |𝑔(𝑥) − 𝑀|
0, teorema 7 memberitahu kita bahwa akarnya adalah (0,5, 0,75). Proses ini dapat dilanjutkan. Tabel 7.7 merangkum hasil perhitungan kami melalui sembilan langkah. Dari Tabel 7.7 kita melihat bahwa akarnya sekitar 0,68, akurat hingga dua desimal. Dengan melanjutkan proses melalui jumlah langkah yang cukup, kita dapat memperoleh sebagai akurat mendekati ke akar seperti yang kita harap. Tabel 7.7 Tahap 1 2 3 4 5 6 7 8 9



Akar dari 𝒇(𝒙) = 𝟎 (0,1) (0,5, 1) (0,5, 0,75) (0,625, 0,75) (0,625, 0,6875) (0,65625, 0,6875) (0,671875, 0,6875) (0,6796875, 0,6875) (0,6796875, 0,68359375)



Catatan Proses menemukan akar dari 𝑓(𝑥) = 0 digunakan dalam Contoh 9 disebut metode bisection. Hal ini mentah tapi efektif. Kemudian, kita akan melihat metode yang lebih efisien, yang disebut metode Newton-Raphson, untuk menemukan akar 𝑓(𝑥) = 0. 7.5 Garis tangen dan harga perubahan 7.5.1 Tampilan yang intuitif Salah satu dari dua masalah yang memainkan peran mendasar dalam pengembangan kalkulus adalah masalah garis tangen: bagaimana kita menemukan garis tangen pada titik tertentu pada kurva? (Lihat Gambar 7.38a). Untuk mendapatkan perasaan intuitif



288



Limit



untuk gagasan garis tangen ke kurva, pikirkan kurva mewakili bentangan trek roller coaster, dan bayangkan bahwa Anda sedang duduk di sebuah mobil di titik 𝑃 dan melihat lurus ke depan. Kemudian garis tangen 𝑇 ke kurva di 𝑃 hanya garis sejajar dengan garis pandang Anda (Gambar 7.38b).



(a)



(b)



Gambar 7.38 (a) 𝑇 Garis tangen unjtuk Kurva pada 𝑃, (b) Garis Tanda adalah Paralel untuk 𝑇 Amati bahwa kemiringan garis tangen Tpada titik P muncul untuk mencerminkan "kekasaran" dari kurva di 𝑃. Dengan kata lain, kemiringan garis tangen pada titik 𝑃(𝑥, 𝐹(𝑥)) pada grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) memberikan kita dengan tolok ukur alami untuk mengukur tingkat perubahan satu kuantitas (𝑦) sehubungan dengan kuantitas lain (𝑥). Mari kita lihat bagaimana ini pengamatan intuitif beruang di contoh tertentu. Fungsi 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4𝑡 2 memberikan posisi maglev bergerak sepanjang jalur lurus pada waktu 𝑡. Kita telah menggambar garis tangen 𝑇 ke grafik 𝑠 pada titik (2, 16) di Gambar 7.39. Amati bahwa kemiringan 𝑇 adalah 32/2 = 16. Hal ini menunjukkan bahwa kuantitas berubah pada tingkat 16 unit per unit perubahan 𝑡; yaitu, kecepatan dari maglev di 𝑡 = 2 adalah 16 𝑓𝑡/𝑑𝑒t. Anda mungkin ingat bahwa ini adalah sosok kami tiba di dalam perhitungan kami di subbab 7.1!



289



Limit



Gambar 7.39 Posisi maglev pada waktu 𝑡 7.5.2 Estimasi Perubahan Harga Fung dari Sebuah Grafik Contoh 1 Ekonomi Bahan Bakar Ranpur. Menurut penelitian yang dilakukan oleh Depatemen Energi Amerika Serikat dan Shell Development Company, tipe ranpur yang irit bahan bakar merupakan fungsi kecepatan diuraikan oleh fungsi grafik 𝑓 yang dapat dilihat pada Gambar 7.40. Asumsi fungsi perubahan harga 𝑓 pada nilai sembarang 𝑥 diberikan oleh kemiringan garis tangen pada titik 𝑝(𝑥, 𝑓(𝑥)), pakai grafik 𝑓 untuk estimasi perubahan harga tipe ranpur yang irit bahan bakar, diukur dalam mil per liter (mpl), ketika ranpur bergerak pada kecepatan 20 mph dan ketika bergerak pada 60 mph.



Gambar 7.40 Ranpur irit bahan bakar Sumber: Departemen Energi Amerika Serikat dan Shell Development Comapany



290



Limit



Penyelesaian: Kemiringan garis tangen 𝑇1 ke grafik 𝑓 di 𝑃1 (20, 22,5) yaitu sekitar 21,3 ≈ 0,88 Rise/Run 24,3 Ini memberitahu kita bahwa kuantitas 𝑓(𝑥) meningkat pada tingkat sekitar 0,9 unit per perubahan pada 𝑥 saat 𝑥 = 20. Dengan kata lain, ketika mobil didorong pada kecepatan 20 𝑚𝑝ℎ , keiritan bakar biasanya meningkat pada laju sekitar 0,9 𝑚𝑝𝑙 per 1 𝑚𝑝ℎ peningkatan kecepatan mobil. Kemiringan garis tangen 𝑇2 ke grafik 𝑓 di 𝑃2 (60, 28,8) −



14 ≈ −0,47 40



Ini mengatakan bahwa kuantitas menurun pada tingkat sekitar 0,5 unit per perubahan unit pada 𝑥 saat 𝑥 = 60. Dengan kata lain, ketika mobil didorong pada kecepatan 60 𝑚𝑝ℎ, ekonomi bahan bakar biasanya menurun pada laju 0,5 𝑚𝑝𝑙 per 1 𝑚𝑝ℎ peningkatan kecepatan mobil. 7.5.3 Contoh Lainnya yang Melibatkan Perubahan Harga Penemuan hubungan antara masalah menemukan kemiringan garis tangen dan masalah menemukan tingkat perubahan dari satu kuantitas sehubungan dengan yang lain memacu pembangunan di abad ketujuh belas cabang kalkulus disebut Kalkulus diferensial dan membuatnya menjadi alat yang sangat diperlukan untuk memecahkan masalah praktis. Sebuah sampel kecil dari jenis masalah yang kita dapat memecahkan menggunakan Kalkulus diferensial berikut:  Mencari kecepatan (tingkat perubahan posisi sehubungan dengan waktu) dari mobil sport bergerak sepanjang jalan lurus.  Mencari laju perubahan distorsi harmonis dari amplifier stereo sehubungan dengan output daya.



Limit



291



 Mencari laju pertumbuhan populasi bakteri sehubungan dengan waktu.  Mencari tingkat perubahan indeks harga konsumen sehubungan dengan waktu.  Mencari tingkat perubahan laba perusahaan (rugi) yang terkait dengan nilai tingkat penjualan. 7.5.4 Mendefinisikan garis tangen Tujuan utama dari contoh 1 adalah untuk menggambarkan hubungan antara garis tangen dan tingkat perubahan. Idealnya, solusi untuk masalah harus analitik dan tidak bergantung, seperti dalam contoh 1, pada seberapa akurat kita dapat menggambar kurva dan memperkirakan posisi garis singkapan. Jadi tugas pertama kita adalah memberikan definisi yang lebih tepat dari garis tangen ke kurva. Setelah itu, kita akan menyusun metode analisis untuk menemukan persamaan dari garis tersebut. Biarkan 𝑃 dan 𝑄 Jadilah dua titik yang berbeda pada kurva, dan pertimbangkan garis secan yang melewati 𝑃 dan 𝑄. (Lihat gambar 7.41) Jika kita membiarkan 𝑄 bergerak sepanjang kurva ke arah 𝑃, maka garis secan berputar di 𝑃 dan mendekati garis tetap 𝑇. Kita mendefinisikan 𝑇 menjadi garis tangen di 𝑃 pada kurva.



Gambar 7.41 Sebagai 𝑄 mendekati 𝑃 di sepanjang kurva, garis secan potong mendekati garis tangen 𝑇



292



Limit



Misalkan kita membuat gagasan ini lebih tepat: Misalkan kurva adalah grafik dari fungsi yang didefinisikan oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥). (Lihat Gambar 7.42). Misalkan 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) menjadi titik pada grafik 𝑓, dan biarkan 𝑄 menjadi titik pada grafik 𝑓 berbeda dari 𝑃. Kemudian koordinat-𝑥 dari 𝑄 memiliki bentuk 𝑥 = 𝑎 + ℎ, di mana ℎ tepatnya bukan bilangan nol. Jika h>0, maka Q terletak di sebelah kanan P; dan jika ℎ < 0, maka 𝑄 terletak di sebelah kiri 𝑃. Koordinat-𝑦 dari 𝑄 yang bersangkutan adalah 𝑦 = 𝑓(𝑎 + ℎ). Dengan kata lain, kita dapat menentukan 𝑄 ditulis 𝑄(𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎 + ℎ)). Amati bahwa kita dapat membuat 𝑄 mendekati 𝑃 sepanjang grafik 𝑓 dengan ℎ mendekati 0. Situasi ini diilustrasikan dalam Gambar 7.42b. (mengambarkan kasus ℎ < 0).



(a)



(b)



Gambar 7.42 (a) Titik 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) dan 𝑄(𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎_ℎ)); (b) ℎ mendekati 0, 𝑄 mendekati 𝑃 Selanjutnya, dengan menggunakan rumus untuk kemiringan garis, kita dapat menulis kemiringan garis secan yang melewati 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) dan 𝑄(𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎 + ℎ)) adalah



𝑚𝑠𝑒𝑐 =



𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) = (𝑎 + ℎ ) − 𝑎 ℎ



(1)



Ekspresi di sisi kanan persamaan (1) disebut perbedaan hasil bagi. Seperti yang kita amati sebelumnya, jika kita membiarkan h mendekati 0, maka Q mendekati P dan garis secan melewati P dan Q mendekati garis tangen T. Hal ini menunjukkan bahwa jika garis tangen memang ada di P, maka kemiringan 𝑚𝑡𝑎𝑛 menjadi limit



293



Limit



𝑚𝑠𝑒𝑐 diperoleh dengan membiarkan ℎ mendekati nol. Hal ini menyebabkan definisi berikut.



DEFINISI Garis Tangen Misalkan P(a, f(a)) menjadi titik pada grafik fungsi f. Kemudian garis tangen di P (jika ada) pada grafik f adalah garis melewati P dan memiliki kemiringan



𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ→0 ℎ



𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim



(2)



Catatan 1. Jika limit di Persamaan (2) tidak ada, maka 𝑚𝑡𝑎𝑛 tak ditentukan. 2. Jika limit di Persamaan (2) ada, maka kita dapat menentukkan persamaan garis tangen di P dengan menggunakan bentuk titik-kemiringan sebuah persamaan dari garis, sehingga 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑚𝑡𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎). Contoh 2 Temukan kemiringan dan persamaan garis tangen ke grafik pada 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 pada titik 𝑃(1,1). Penyelesaian: Untuk menemukan kemiringan garis tangen pada titik 𝑃(1,1), kita menggunakan persamaan (2) dengan 𝑎 = 1, mendapatkan



𝑚𝑡𝑎𝑛



𝑓 (1 + ℎ) − 𝑓(1) (1 + ℎ)2 − 12 = lim = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 1 + 2ℎ + ℎ2 − 1 2ℎ + ℎ2 = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ



= lim



= lim (2 + ℎ) = 2 ℎ→0



294



Limit



Untuk menemukan persamaan garis tangen, kita menggunakan bentuk titik-kemiringan dari persamaan garis untuk mendapatkan



𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1) atau



𝑦 = 2𝑥 − 1 Grafik dari 𝑓 dan garis tangen di (1, 1) adalah sketsa di Gambar 7.43.



Gambar 7.43 𝑇 garis tangen di titik (2,4) adalah horizontal



Contoh 3 Temukan bidang miring dan persamaan garis tangen untuk grafik persamaan 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 pada 𝑃(2,4). Penyelesaian: Bidang miring garis tangen di titik 𝑃(2,4) adalah dibuat dengan menggunakan persamaan (2) dengan 𝑎 = 2 dan 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥. Kita punya



295



Limit



𝑓 (2 + ℎ) − 𝑓(2) ℎ→0 ℎ



𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim



[−(2 + ℎ)2 + 4(2 + ℎ)] − [−(2)2 + 4(2) = lim ℎ→0 ℎ −4 − 4ℎ − ℎ2 + 8 + 4ℎ + 4 + 8 ℎ→0 ℎ



= lim



ℎ2 = lim − = lim (−ℎ) = 0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ Persamaan garis tangen pada 𝑃(2,4) adalah 𝑦 − 4 = 0(𝑥 − 2) atau 𝑦 − 4 Grafik 𝑓 dan garis tangen di (2, 4) digambarkan di Gambar 7.44



Gambar 7.44 Garis Tangen di titik (2, 4) adalah horizontal Solusinya dalam contoh 3 adalah sepenuhnya diharapkan jika kita ingat bahwa grafik dari persamaan 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 adalah parabola dengan simpul di (2, 4). Pada simpul garis tangen horisontal, dan karena itu kemiringan adalah nol.



296



Limit



7.5.5 Garis Tangen, Garis Secan, dan Perunahan Harga Seperti yang kita amati sebelumnya, tampaknya ada hubungan antara kemiringan garis tangen pada titik tertentu 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) pada grafik fungsi 𝑓 dan laju perubahan harga 𝑓 ketika 𝑥 = 𝑎. Mari kita tunjukkan bahwa ini benar. Pertimbangkan fungsi 𝑓 yang grafiknya ditunjukkan pada gambar 7.45a. Anda dapat melihat dari gambar 7.45a bahwa x perubahan dari 𝑎 ke 𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑥) perubahan dari 𝑓(𝑎) ke 𝑓(𝑎 + ℎ). (Kami sebut ℎ kenaikan di 𝑥). Rasio perubahan dalam f(x) untuk merubah x dalam mengukur tingkat rata-rata perubahan 𝑓 selama interval [𝑎, 𝑎 + ℎ]. DEFINISI Rata-rata perubahan harga dari sebuah Fungsi Rata-rata perubahan harga dari sebuah fungsi 𝑓 selama interval [𝑎, 𝑎 + ℎ] adalah 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ



(a)



(𝟑)



(b)



Gambar 7.45 (a) Rerata perubahan harga 𝑓 selama [𝑎, 𝑎 + ℎ] diberikan oleh



𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ



; (b) 𝑚𝑠𝑒𝑐 =



𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ



Gambar 7.45b menggambarkan grafik fungsi yang sama. Kemiringan garis secan melewati titik 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) dan 𝑄(𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎 + ℎ)) adalah



297



Limit



𝑚𝑠𝑒𝑐 =



𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) = (𝑎 + ℎ ) − 𝑎 ℎ



Tapi ini hanya persamaan (1). Membandingkan ekspresi di (3) dan bahwa pada sisi kanan dari persamaan (1), kita menyimpulkan bahwa tingkat rerata perubahan harga 𝑓 sehubungan dengan 𝑥 selma interval [𝑎, 𝑎 + ℎ] memiliki nilai yang sama dengan kemiringan garis secan lewati titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) dan (𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎 + ℎ)). Selanjutnya, dengan membiarkan ℎ mendekati nol dalam ekspresi di (3), kita mendapatkan (seketika) tingkat perubahan 𝑓 di 𝑎. DEFINISI Tingkat Perubahan Seketika dari suatu Fungsi Tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi f sehubungan dengan 𝑥 di 𝑎 adalah



𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ→0 ℎ lim



Jika limit ada



(4)



Tapi ekspresi ini juga memberikan kemiringan garis tangen ke grafik 𝑓 di 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)). Dengan demikian, kita menyimpulkan bahwa tingkat perubahan seketika dari 𝑓 sehubungan dengan 𝑥 di 𝑎 memiliki nilai yang sama dengan kemiringan garis tangen pada titik (𝑎, 𝑓(𝑎)). Perhitungan kami sebelumnya menyarankan bahwa kecepatan sesaat dari Maglev di 𝑡 = 2 adalah 16 𝑓𝑡/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Kita sekarang memverifikasi pernyataan ini. Contoh 4 Fungsi posisi dari Maglev pada waktu t adalah 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4𝑡 2 , di mana 0 ≤ 𝑡 ≤ 30. Kemudian kecepatan rata-rata dari Maglev selama interval waktu [2, 2 + ℎ] yang diberikan oleh tingkat rerata perubahan fungsi posisi di 𝑠 atas [2, 2 + ℎ], di mana ℎ > 0 dan 2 + ℎ terletak dalam interval (2, 30). Dengan menggunakan ekspresi di persamaan (3) dengan 𝑎 = 2, kita melihat bahwa kecepatan ratarata diberikan oleh,



298



Limit



𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) 4(2 + ℎ)2 − 4(2)2 16 + 16ℎ + 4ℎ2 + 16 = = ℎ ℎ ℎ = 16 + 4ℎ Selanjutnya, gunakan ekspresi di persamaan (4), kita lihat kecepatan seketika maglev di t=2 diberikan oleh, 𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2) = lim (16 + 4ℎ) = 16 ℎ→0 ℎ→0 ℎ



𝑣 = lim



atau 16 𝑓𝑡/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘, seperti yang diamati sebelumnya. Soal Latihan Untuk latihan 1-6, pakai grafik fungsi 𝑓 carilah masing-masing limit. 1.



a. b. c.



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→2−



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→2+



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→2



2. a. b. c.



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→2−



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→2+



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→2



299



Limit



3. a.



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→1−



b.



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→1+



c. lim 𝑓(𝑥) 𝑥→1



4. a. b.



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→3−



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→3+



c. lim 𝑓(𝑥) 𝑥→3



5.



a. b. c.



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→1−



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→1+



lim 𝑓(𝑥)



𝑥→1



300



Limit



6. a. lim− 𝑓(𝑥) 𝑥→0



b. lim+ 𝑓(𝑥) 𝑥→0



c. lim 𝑓(𝑥) 𝑥→0



7.



lim



𝒙 𝒇(𝒙) 8.



1,9



1,99



1,999



2,001



2,01



2,1



1,99



1,999



2,001



2,01



2,1



1,99



1,999



2,001



2,01



2,1



1,99



1,999



2,001



2,01



2,1



1,99



1,999



2,001



2,01



2,1



𝑥−1 2 +𝑥−2 𝑥 𝑥→1



lim



𝒙 𝒇(𝒙) 9.



𝑥−1



𝑥→1 𝑥 2 −3𝑥+2



lim



1,9



𝑥−1



𝑥→1 𝑥 2 −3𝑥+2



𝒙 𝒇(𝒙) 10. lim



𝑥→2



𝒙 𝒇(𝒙) 11. lim



𝑥→0



𝒙 𝒇(𝒙)



1,9



√𝑥+2−2 𝑥−2



1,9



√3+𝑥−√3−𝑥 𝑥



1,9



301



Limit √3+𝑥−√4−𝑥 𝑥 𝑥→0



12. lim 𝒙 𝒇(𝒙)



1,9



1,99



1,999



2,001



2,01



2,1



13. lim(3𝑡 + 4 𝑡→2



14. lim (ℎ4 − 2ℎ3 + 2ℎ − 1) ℎ→1



15. lim (𝑥 2 + 1)(2𝑥 2 − 4) 𝑥→2



16. lim (3𝑥 2 − 4𝑥 + 2)4 𝑥→1



Untuk Latihan 17-22, gunakan grafik dari f dan g berikut untuk mencari indikasi limit, jika itu ada. Jika limit tidak ada, terangkan mengapa



Grafik 𝑓



Grafik 𝑔



302



Limit



17. lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑥→1



18. lim [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑥→0



19. lim [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] 𝑥→1



20. lim



𝑓(𝑥)



𝑥→2 𝑔(𝑥)



21. lim [2𝑓(𝑥) + 3𝑔(𝑥)] 𝑥→0



22. lim [𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)] 𝑥→1



Referensi 1. 2. 3. 4.



Bird, John, 2014. High Engineering Mathematics 7th Edition. Routledge2 Park Square, Milton Park, Abingdon, Oxon OX14 4RN. Hartman, Gregory, 2018. Calculus Version 4.0. Departmen of Applied Mathematics, Virginia Military Institute Stroud, K.A., 2001. Engineering Mathematics 5th Edition. Industrial Press, Inc. 200 Madison Avanue-New York, NY 10016-4076. Tan, Soo, T., 2010. Calculus. Brooks/Cole, Cengage Learning.



BAB 8 Diferensial



BAB 8 DIFERENSIAL 8.1 Pengantar Persamaan Diferensial Dalam bab ini kita akan membicarakan gambaran yang luas tentang Persamaan Diferensial. Persamaan Diferensial merupakan matakuliah yang cukup strategis karena berkaitan dengan bagianbagian sentral dalam matematika seperti dalam Analisis, Aljabar, Geometri dan yang lainnya yang akan sangat berperan dalam pengenalan konsep maupun pemecahan masalah yang berkaitan dengan dunia nyata. 8.1.1 Klasifikasi Persamaan Diferensial Banyak masalah yang sangat penting dalam mesin, ilmu fisika, ilmu sosial dan yang lainya, ketika memformulakan dalam bentuk matematika mensyaratkan fungsi yang memenuhi persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan diferensial. Perhatikan hukum Newton 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎. Jika 𝑦(𝑡) menyatakan posisi partikel bermasa m pada waktu t dan dengan gaya 𝐹, maka kita akan dapatkan, 𝑚



𝑑2𝑦 𝑑𝑦 = 𝐹 [𝑡, 𝑦, ], 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡



(1)



dimana gaya 𝐹 mungkin merupakan fungsi dari t, 𝑦, dan kecepatan 𝑑𝑦/𝑑𝑡. Untuk menentukan gerakan sebuah partikel dengan diberikan gaya 𝐹 yakni dengan mencari fungsi 𝑦 yang memenuhi persamaan (1) 8.1.2 Persamaan Turunan Biasa dan Sebagian Klasifikasi ini didasarkan pada apakah fungsi yang diketahui tergantung pada satu atau beberapa vareabel bebas. Dalam kasus yang pertama disebut persamaan diferensial biasa sedang dalam kasus yang kedua disebut persamaan diferensial sebagian.



Diferensial



303



304



Diferensial



Persamaan (2) merupakan salah satu contoh persaman diferensial biasa. Contoh lainnya misalnya dalam elektronika kita punyai relasi antara kapasitas 𝐶, hambatan 𝑅, induktansi 𝐿, tegangan 𝐸 dan muatan 𝑄 diberikan, 𝐿



𝑑 2 𝑄(𝑡) 𝑑𝑄(𝑡) 1 +𝑅 + 𝑄(𝑡) = 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝐶



(2)



Contoh lain misalkan dalam peluruhan zat radio aktif akan diberikan sebagai 𝑑𝑅(𝑡) = −𝑘𝑅(𝑡) 𝑑𝑡



(3)



dimana 𝑅(𝑡) adalah jumlah zat radioaktif pada waktu 𝑡, dan 𝑘 adalah konstanta peluruhan. Sedangkan contoh untuk persamaan diferensial sebagian misalnya persamaan Laplace yang diberikan sebagai, 𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑦) + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2



(4)



persamaan panas 𝛼2



𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑢(𝑥, 𝑡) = , 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡



(5)



dimana 𝛼 adalah konstanta tertentu. Juga persamaan gelombang yang diberikan sebagai 𝑎2



𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑡) = , 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡 2



(6)



Dengan 𝑎 konstan tertentu. 8.1.3 Sistem Persamaan Diferensial Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui. Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan tetapi jika



305



Diferensial



terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem



persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. Persamaan tersebut mempunyai bentuk, 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝛼𝑥𝑦, 𝑑𝑡



(7)



𝑑𝑦 = −𝑐𝑦 + 𝛾𝑥𝑦, 𝑑𝑡



(8)



dimana 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) adalah populasi species prey dan predator. Konstanta 𝑎, 𝛼, 𝑐 dan 𝛾 didasarkan pada observasi empirik dan tergantung pada spesies tertentu yang sedang dipelajari. 8.1.4 Orde Persamaan Diferensial Orde dari persamaan diferesial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. Persamaan (3) adalah persamaan orde satu, sedang persamaan (4), (5), (6) merupakan persamaan-persamaan diferensial berorde dua. Secara umum persamaan diferensial berorde 𝑛 dapat dituliskan sebagai, 𝐹[𝑡, 𝑢(𝑡), 𝑢′ (𝑡), … , 𝑢𝑛 (𝑡) = 0,



(9)



Persamaan (9) menyatakan relasi antara vareabel bebas t dan nilainilai dari fungsi 𝑢, 𝑢′ , … , 𝑢(𝑛) . Untuk lebih mudahnya dalam persamaan (9) biasanya kita tulis 𝑦 untuk 𝑢(𝑡), 𝑦′ untuk 𝑢′(𝑡) dan seterusnya. Jadi persamaan (9) dapat ditulis sebagai, 𝐹[𝑡, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 (𝑛) = 0,



(10)



𝑦 ′′′ + 2𝑒 𝑡 𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ = 𝑡 4



(11)



Untuk contohnya



adalah persamaan diferensial orde 3 untuk 𝑦 = 𝑢(𝑡). Kita asumsikan bahwa selalu mungkin untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang diberikan untuk turunan yang terbesar, yakni,



306



Diferensial



𝑦 𝑛 = 𝑓(𝑡, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛−1) )



(12)



Kita hanya akan pelajari persamaan dalam bentuk (12). Hal ini untuk menghindari makna ganda yang muncul bahwa sebuah persamaan dalam bentuk (10) bersesuaian dengan beberapa persamaan dalam bentuk (12). Contohnya persamaan dalam bentuk, 𝑦′2 + 𝑡𝑦 ′ + 4𝑦 = 0



(13)



Sampai pada dua persamaan 𝑦′ =



−𝑡 ± √𝑡 2 − 16𝑦 2



(14)



8.1.5 Solusi Persamaan Diferensial Sebuah solusi dari persamaan diferensial (12) pada interval 𝛼 < 𝑡 < 𝛽 adalah sebuah fungsi ∅ sedemikian sehingga ′ ′′ 𝑛 ∅ (𝑡), ∅ (𝑡), … , ∅ (𝑡) ada dan memenuhi, ∅𝑛 (𝑡) = 𝑓[𝑡, ∅(𝑡), ∅′ (𝑡), … , ∅𝑛−1 (𝑡)



(15)



untuk setiap 𝑡 dalam 𝛼 < 𝑡 < 𝛽. Kita asumsikan bahwa fungsi 𝑓 untuk persamaan (12) adalah fungsi yang bernilai riil dan kita tertarik untuk mendapatkan solusi-solusi yang bernilai riil 𝑦 = ∅(𝑡). Adalah sangat mudah untuk menunjukkan dengan substitusi langsung bahwa persamaan diferensial orde satu, 𝑑𝑅 = −𝑘𝑅 𝑑𝑡



(16)



Mempunyai solusi 𝑅 = ∅(𝑡) = 𝑐𝑒 −𝑘𝑡 , −∞ < 𝑡 < ∞. Kasus sama, bahwa fungsi-fungsi 𝑦2(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝑡) adalah solusi-solusi dari,



(17) 𝑦1(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)



dan



307



Diferensial



𝑦 ′′ + 𝑦 = 0



(18)



untuk semua 𝑡. Kita berikan contoh yang lebih rumit untuk membuktikan ∅1(𝑡) = 𝑡 2 ln(𝑡) adalah sebuah solusi dari 𝑡 2 𝑦 ′′ − 3𝑡𝑦 ′ + 4𝑦 = 0,



𝑡>0



(19)



Kita catat bahwa, ∅1(𝑡) = 𝑡 2 ln(𝑡) 1 ∅′ 1(𝑡) = 𝑡 2 ( ) + 2𝑡 ln(𝑡) = 𝑡 + 2𝑡 ln(𝑡) 𝑡 1 ′′ ∅ 1(𝑡) = 1 + 2𝑡 ( ) + 2 ln(𝑡) = 3 + 2 ln(𝑡). 𝑡



(20)



Kita substitusikan (20) ke dalam persamaan diferensial (19) dan kita peroleh,



𝑡 2 (3 + 2 ln(𝑡)) − 3𝑡(𝑡 + 2𝑡𝑙𝑛(𝑡)) + 4(𝑡 2 ln(𝑡)) = 3𝑡 2 − 3𝑡 2 + (2 − 6 + 4)𝑡 2 ln(𝑡) =0



(21)



yang membuktikan bahwa ∅1(𝑡) = 𝑡 2 ln(𝑡) adalah sebuah solusi persamaan (19). 8.1.6 Persamaan Linier dan Tak Linier Persamaan diferensial biasa 𝐹(𝑡, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 (𝑛) ) = 0, dikatakan linear jika 𝐹 adalah linear dalam vareabel-vareabel 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛). Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear order 𝑛 diberikan dengan, 𝑎0 (𝑡)𝑦 (𝑛) + 𝑎1 (𝑡)𝑦 (𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛 (𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡).



(22)



308



Diferensial



Persamaan yang tidak dalam bentuk persamaan (22) merupakan persamaan tak linear. Contoh persamaan tak linear, persamaan pendulum, 𝑑2𝜃 𝑔 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 𝑑𝑡 2 𝐿 Persamaan tersebut tak linear karena suku 𝑠𝑖𝑛𝜃. Persamaan diferensial, 𝑦′′ + 2𝑒 𝑡 𝑦′ + 𝑦𝑦′ + 𝑦 2 = 𝑡 4 juga tak linear karena suku 𝑦𝑦’ dan 𝑦 2 . 8.1.7 Direction Field (Bidang Arah) Lapangan arah dapat diberikan sebagai berikut. Misalkan diberikan persamaan diferensial, 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑡, 𝑦) 𝑑𝑥



(23)



Solusi persamaan diferensial (23) adalah suatu fungsi 𝑦 = ∅(𝑡), yang secara geometri merepresentasikan sebuah kurva fungsi. Secara geometri persamaan (23) dapat dipandang sebagai kemiringan (𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒)



𝑑𝑦 𝑑𝑥



dari solusi di setiap titik (𝑡, 𝑦) diberikan



dengan 𝑓(𝑡, 𝑦). Koleksi dari semua segmen garis yang merepresentasikan 𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 ini dalam bidang 𝑡𝑦 disebut Bidang arah (𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑙𝑒𝑑). Untuk mendapatkan bidang arah ini dapat dengan mudah ditunjukkan dengan program Maple. Contoh 1 Gambarkan bidang arah 𝑑𝑦 3 − 𝑦 = 𝑑𝑡 2



309



Diferensial



Penyelesaian: Dengan menggunakan Maple (bisa juga dilakukan dengan tangan) dapat diberikan dalam Gambar 8.1. Dalam Gambar 8.1 dapat diperhatikan bahwa pada garis 𝑦 = 2 maka semua titik mempunyai 1 𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 , berarti semua solusi akan memotong garis 𝑦 = 2 dengan 2



1 2



kemiringan kurva (𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒) . Juga semua solusi akan menurun bila 𝑦 > 3 dan akan naik untuk 𝑦 < 3. Dan semua solusi akan menuju 3 jika 𝑡 → ∞.



Gambar 8.1 Bidang arah



𝑑𝑦 𝑑𝑡



=



3−𝑦 2



8.2 Persamaan Diferensial Orde Satu Dalam bab ini kita akan mempelajari persamaan diferensial orde satu yang mempunyai bentuk umum, 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑡, 𝑦) 𝑑𝑡



(24)



dimana 𝑓 adalah fungsi dalam dua variabel yang diberikan. Sebarang fungsi terturunkan 𝑦 = ∅(𝑡) yang memenuhi persamaan



310



Diferensial



ini untuk semua 𝑡 dalam suatu interval disebut solusi. Tujuan kita adalah untuk menentukan apakah fungsi-fungsi seperti ini ada dan jika ada kita akan mengembangkan metoda untuk menemukannya. Akan tetapi untuk sebarang fungsi 𝑓 tidak terdapat metoda umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikannya dalam bentuk fungsifungsi sederhana. Kita akan membahas beberapa metoda yang dapat dipakai untuk menyelesaikan beberapa jenis persamaan diferensial orde satu. 8.2.1 Persamaan Linier Apabila fungsi 𝑓 dalam persamaan (24) bergantung linear pada variabel bebas 𝑦, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk, 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡



(25)



dan disebut 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒂𝒎𝒂𝒂𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 𝒐𝒓𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒕𝒖. Kita asumsikan bahwa 𝑝 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval 𝛼 < 𝑡 < 𝛽. Untuk contohnya persamaan diferensial, 𝑑𝑦 1 3 + 𝑦= 𝑑𝑡 2 2



(26)



adalah contoh sederhana dari persamaan diferensial linear dengan 1 3 𝑝(𝑡) = dan 𝑔(𝑡) = yang merupakan fungsi-fungsi konstan. 2



2



Contoh 1 Selesaikan persamaan (26) dan tentukan bagaimana perilaku solusi untuk 𝑡 yang cukup besar. Dan juga tentukan solusi dalam grafik yang melalui titik (0, 2). Penyelesaian:



Kita tulis persamaan (26) dalam bentuk 𝑑𝑦 −𝑦 − 3 = 𝑑𝑡 2



311



Diferensial



atau jika 𝑦 ≠ 3 𝑑𝑦/𝑑𝑡 1 =− 𝑦−3 2



(27)



Karena ruas kiri persamaan (27) merupakan turunan dari 𝑙𝑛|𝑦 − 3|, maka kita punyai, 𝑑 1 𝑙𝑛|𝑦 − 3| = − 𝑑𝑡 2 Ini berarti bahwa, 𝑡 𝑙𝑛|𝑦 − 3| = − + 𝐶, 2 dimana 𝐶 adalah sebarang konstanta integrasi. Dengan mengambil eksponensial kedua ruas diperoleh, |𝑦 − 3| = 𝑒 𝐶 𝑒 −𝑡/2 , atau 𝑦 − 3 = ±𝑒 𝐶 𝑒 −𝑡/2 , Jadi solusinya 𝑦 = 3 + 𝑐𝑒 −𝑡/2 ,



(28)



dimana 𝑐 = ±𝑒 𝐶 yang merupakan konstanta tak nol. Catat bahwa jika 𝑐 = 0 maka kita peroleh fungsi konstan 𝑦 = 3 yang juga merupakan solusi persamaan (26). Dari persamaan (28) jelas bahwa jika 𝑡 → ∞ maka 𝑦 → 3. Untuk sebuah nilai tertentu dari 𝑐 akan bersesuaian dengan sebuah garis yang melalui (0, 2). Untuk menemukan nilai 𝑐 kita substitusikan 𝑡 = 0 dan 𝑦 = 2 ke dalam persamaan (28) dan kita pecahkan 𝑐 dan akan diperoleh 𝑐 = −1. Jadi 𝑦 = 3 − 𝑐𝑒 −𝑡/2



312



Diferensial



adalah sebuah solusi yang melalui titik (0, 2). Kurva integralnya dapat dilihat pada Gambar 8.2. Persamaan diferensial orde satu dengan koefisien konstan yang lebih



Gambar 8.2 Kurva Integral 𝑦’ =



−𝑦−3 2



Bentuk umum dapat diberikan sebagai, 𝑑𝑦 = 𝑟𝑦 + 𝑘, 𝑑𝑡



(29)



dimana 𝑟 dan 𝑘 adalah konstanta-kontanta dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti contoh 1. Jika 𝑟 ≠ 0, dan 𝑦 ≠ −𝑘/𝑟, kita dapat menulis persamaan (29) dalam bentuk, 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 𝑟. 𝑘 𝑦+( ) 𝑟 Maka 𝑘 𝑙𝑛 |𝑦 + | = 𝑟𝑡 + 𝐶, 𝑟 dimana 𝐶 adalah sebarang konstan. eksponensial pada kedua ruas kita peroleh,



Dengan



mengambil



313



Diferensial



𝑦+



𝑘 = ±𝑒 𝐶 𝑟 𝑟𝑡 , 𝑟



Dengan menyelesaiakan untuk 𝑦 kita dapatkan, 𝑘 𝑦 = − + 𝑐𝑒 𝑟𝑡 , 𝑟



(30) 𝑘



dengan 𝑐 = ±𝑒 𝐶 . Fungsi konstan 𝑦 = − adalah solusi juga untuk 𝑟



𝑐 = 0. Periksa bahwa persamaan (26) bersesuaian untuk 𝑟 = − 3



1 2



dan 𝑘 = dalam persamaan (29) demikian juga solusi (28) dan (30) 2



juga bersesuaian. Perilaku umum dari solusi persamaan (30) sangat tergantung pada tanda parameter 𝑟. Untuk 𝑟 < 0 maka 𝑒 𝑟𝑡 → 0 bila 𝑡 → ∞, dan grafiknya untuk setiap solusi mendekati garis 𝑘 horizontal 𝑦 = − secara asimptotik. Dilain pihak jika 𝑟 > 0, maka 𝑟



𝑒 𝑟𝑡 membesar tak terbatas jika 𝑡 bertambah. Grafiknya untuk 𝑘 semua solusi akan menjauh dari garis 𝑦 = − bila 𝑡 → ∞. Solusi konstan 𝑦 =



𝑘 − 𝑟



𝑟



sering disebut solusi setimbang (equilibrium



solution) karena 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 0. Solusi setimbang ini dapat ditemukan tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensialnya, yakni dengan memisalkan 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 0 dalam persamaan (29) dan kemudian pecahkan untuk 𝑦. Solusi-solusi lain dapat juga disket dengan mudah. Untuk contohnya jika 𝑟 < 0 maka 𝑑𝑦/𝑑𝑡 < 0 untuk 𝑦 > −𝑘/𝑟 dan 𝑑𝑦/𝑑𝑡 > 0 jika 𝑦 < −𝑘/𝑟. Kemiringan dari kurva solusi akan cukup tajam jika 𝑦 cukup jauh dari −𝑘/𝑟 dan menuju 0 jika 𝑦 mendekati −𝑘/𝑟. Jadi semua kurva solusi menuju garis horizontal yang bersesuaian dengan solusi equilibrium 𝑦 = −𝑘/𝑟. Perilaku solusi akan berkebalikan jika 𝑟 > 0. Akhirnya kita katakan bahwa solusi (30) hanya valid untuk 𝑟 ≠ 0. Jika 𝑟 = 0 persamaan diferesialnya menjadi 𝑑𝑦/𝑑𝑡 = 𝑘, yang mempunyai solusi 𝑦 = 𝑘𝑡 + 𝑐, yang bersesuaian dengan kelompok garis lurus dengan gradien 𝑘. 𝑭𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 − 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍. Dengan memperhatikan solusi dari persamaan (29) kita dapat menemukan sebuah metode yang dapat memecahkan persamaan linear orde satu dengan koefisien tak konstan. Pertama kita tulis kembali persamaan (30) dalam bentuk,



314



Diferensial



𝑘 𝑦𝑒 −𝑟𝑡 = − 𝑒 −𝑟𝑡 + 𝑐, 𝑟



(31)



kemudian dengan mendeferensialkan kedua ruas terhadap 𝑡, dan kita akan dapatkan, (𝑦 ′ − 𝑟𝑦)𝑒 −𝑟𝑡 = 𝑘𝑒 −𝑟𝑡 ,



(32)



yang ekuivalen dengan persamaan diferensial (29). Periksa bahwa kita sekarang dapat memecahkan persamaan diferensial (29) dengan membalik langkah di atas. Pindahkan suku 𝑟𝑦 ke ruas kiri dari persamaan dan kalikan dengan 𝑒 −𝑟𝑡 , yang akan memberikan persamaan (32). Catat bahwa ruas kiri persamaan (32) adalah turunan dari 𝑦𝑒 −𝑟𝑡 sehingga persamaannya menjadi, (𝑦𝑒 −𝑟𝑡 )′ = 𝑘𝑒 −𝑟𝑡 ,



(33)



Akhirnya dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (33) kita peroleh persamaan (31) yang merupakan solusi (30). Dengan kata lain satu cara untuk memecahkan persamaan (29) adalah pertama dengan mengalikan dengan sebuah fungsi e¡rt. Karena perkalian ini membawa persamaan menjadi bentuk yang langsung dapat diintegralkan, fungsi e¡rt disebut faktor integral untuk persamaan (29). Untuk dapat dipakai dalam menyelesaikan persamaan lain dengan metode ini kita harus dapat menemukan faktor integral dari persamaan diferensial secara langsung. Sekarang kita kembali pada persamaan umum (25). Kita harus dapat menemukan faktor integral yang merupakan pengali persamaan diferensial (25) 𝑦 ′ + 𝑝(𝑡)𝑦 = 𝑔(𝑡) yang dapat membawa kedalam bentuk yang dapat diintegralkan. Misalkan kita kalikan persamaan diferensial (25) dengan sebuah fungsi yang belum diketahui 𝜇(𝑡). Maka kita punyai 𝜇(𝑡)𝑦 ′ + 𝜇(𝑡)𝑝(𝑡)𝑦 = 𝜇(𝑡)𝑔(𝑡).



(34)



Kita akan menandai ruas kiri persamaan (34) sebagai turunan dari sebuah fungsi. Bagaimana mungkin ini terjadi? Kenyataannya terdapat dua suku dan salah satu sukunya adalah 𝜇(𝑡)𝑦′ yang dapat



315



Diferensial



kita duga bahwa ruas kiri persamaan (34) merupakan turunan dari hasil kali 𝜇(𝑡)𝑦. Agar ini benar maka suku kedua dari ruas kiri persamaan (34), 𝜇(𝑡)𝑝(𝑡)𝑦, haruslah sama dengan 𝜇′(𝑡)𝑦. Ini berarti 𝜇(𝑡) haruslah memenuhi persamaan diferensial 𝜇′(𝑡) = 𝑝(𝑡)𝜇(𝑡).



(35)



Jika sementara kita asumsikan bahwa 𝜇(𝑡) positif, maka kita dapat tuliskan persamaan (35) sebagai, 𝜇′(𝑡) = 𝑝(𝑡) 𝜇(𝑡) atau 𝑑 𝑙𝑛𝜇(𝑡) = 𝑝(𝑡), 𝑑𝑡



(36)



dan dengan mengintegralkan kedua ruas kita peroleh ln 𝜇(𝑡) = ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑘



(37)



Dengan memilih sebarang konstanta 𝑘 = 0, kita peroleh fungsi paling sederhana untuk 𝜇, yakni 𝜇(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡



(38)



Periksa bahwa 𝜇(𝑡) > 0 untuk semua 𝑡. Dengan faktor integral yang diperoleh kita kembali pada persamaan (25) dan kalikan dengan 𝜇(𝑡) dan kita dapatkan persamaan (34). Karena 𝜇 memenuhi persamaan (35) maka persamaan (34) dapat disederhanakan menjadi, [𝜇(𝑡)𝑦]′ = 𝜇(𝑡)𝑔(𝑡),



(39)



Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (39) kita peroleh,



316



Diferensial



𝜇(𝑡)𝑦 = ∫ 𝜇(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶, atau 𝑦=



∫ 𝜇(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐 𝜇(𝑡)



(40)



Karena 𝑦 menyatakan sebarang solusi dari persamaan (25), kita simpulkan bahwa setiap solusi persamaan (25) termasuk dalam ruas kanan persamaan (40). Oleh karena itu persamaan ini disebut solusi umum persamaan (25). Periksa bahwa untuk menemukan solusi seperti persamaan (40) dua integrasi disaratkan, pertama untuk menemukan 𝜇(𝑡) dari persamaan (38) dan kedua untuk menemukan 𝑦 dari persamaan (49). Catat juga bahwa sebelum menghitung faktor integral 𝜇(𝑡) dari persamaan (38), adalah perlu untuk meyakinkan bahwa persamaan diferensial adalah eksak dalam bentuk (25) khususnya koefisien 𝑦’ haruslah 1, karena kalau tidak 𝑝(𝑡) yang digunakan dalam penghitungan 𝜇 akan salah. Kedua setelah menemukan 𝜇(𝑡) dan mengalikan dengan persamaan (25) yakinkan bahwa suku-sukunya memuat 𝑦’ dan 𝑦 yang tidak lain adalah turunan 𝜇(𝑡)𝑦. Ini dapat dicek pada penghitungan 𝜇. Jelas salah satu solusi dapat diperoleh, dan untuk mengeceknya dengan mensubstitusikan kedalam persamaan diferensianya. Interpretasi geometri dari persamaan (40) adalah sebuah keluarga takhingga dari kurva-kurva solusi, untuk setiap 𝑐 merupakan grafik solusi persamaan (28) dari persamaan (26). Kurva-kurva ini sering disebut kurva-kurva integral. Kadang-kadang penting untuk mengambil salah satu kurva, ini dapat dilakukan dengan mengindentifikasi titik kusus (𝑡0 , 𝑦0 ) yang disaratkan dilewati oleh grafik solusi, dan biasanya ditulis, 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0



(41)



yang disebut sebagai kondisi awal. Persamaan diferensial orde satu seperti persamaan (24) atau (25) dan sebuah kondisi awal seperti (41) bersama-sama disebut masalah nilai awal,



317



Diferensial



Contoh 2 Temukan solusi masalah nilai awal 𝑦′ −



𝑦 = 𝑒 −𝑡 2



(42)



𝑦(0) = −1



(43)



Penyelesaian: Periksa bahwa persamaan ini memenuhi persamaan (25) dengan 𝑝(𝑡) = −1/2 dan 𝑔(𝑡) = 𝑒 −𝑡 . Sehingga kita punyai faktor integralnya,



𝜇(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 ∫ (−



𝑑𝑡 ) = 𝑒 −𝑡/2 2



dan kita kalikan faktor integral ini dengan persamaan (42) dan akan kita dapatkan 𝑡



𝑒 −2 𝑦 𝑒 −𝑡/2 𝑦 ′ − = 𝑒 −3𝑡/2 2



(44)



Ruas kiri persamaan (44) adalah turunan dari 𝑒 −𝑡/2 𝑦, sehingga kita tulis persamaan ini menjadi, 𝑡



′



(𝑒 −2 𝑦) = 𝑒 −3𝑡/2 , dengan mengintegralkan kita dapatkan 2 3𝑡 𝑒 −𝑡/2 𝑦 = − 𝑒 − 2 + 𝑐, 3 dimana 𝑐 adalah sebarang konstan. Oleh karena itu 𝑦=−



𝑡 2 −𝑡 𝑒 + 𝑐𝑒 2 3



(45)



318



Diferensial



yang merupakan solusi dari persamaan (42). Untuk memenuhi kondisi awal (43) kita substitusikan 𝑡 = 0 dan 𝑦 = −1 dalam persamaan (45) dan pecahkan untuk 𝑐, kita peroleh 𝑐 = −1/3. Jadi sebuah solusi dari masalah nilai awal yang diberikan adalah, 𝑦=−



2 −𝑡 1 𝑡 𝑒 − 𝑒2 , 3 3



(46)



Contoh 3 Temukan masalah nilai awal 𝑦 ′ + 2𝑡𝑦 = 𝑡,



𝑦(0) = 0,



(47)



Penyelesaian: Kita pertama menemukan faktor integral, yaitu: 𝜇(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 ∫ 2𝑡𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡



2



Kita kalikan persamaan dengan 𝜇(𝑡) kita peroleh 2



2



2



𝑒 𝑡 𝑦 ′ + 2𝑡𝑒 𝑡 𝑦 = 𝑡𝑒 𝑡 , atau 2



′



(𝑦𝑒 𝑡 ) = 𝑡𝑒 𝑡



2



Oleh karena itu 1 2 2 2 𝑦𝑒 𝑡 = ∫ 𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐 = 𝑒 𝑡 + 𝑐, 2 sehingga 𝑦=



1 2 + 𝑐𝑒 −𝑡 2



(48)



319



Diferensial



merupakan solusi umum persamaan diferensial yang diberikan. Untuk memenuhi kondisi awal 𝑦(0) = 0 kita harus memilih 𝑐 = −1/2. Jadi 𝑦=



1 1 −𝑡 2 − 𝑒 2 2



merupakan solusi masalah nilai awal (47). Ada solusi yang melewati titik asal (0, 0). Periksa bahwa semua solusi mendekati solusi equilibrium 𝑦 = 1/2 untuk 𝑡 → ∞. 8.2.2 Persamaan Terpisah Kadang-kadang akan lebih baik menggunakan 𝑥 untuk menyatakan vareabel bebas dari pada 𝑡 dalam persamaan diferensial. Dalam kasus ini persamaan umum linear orde satu mempunyai bentuk 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑑𝑥



(49)



Jika persamaan (49) adalah tak linear, yakni 𝑓 tidak linear dalam vareabel bergantung 𝑦, maka tidak terdapat metode umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikannya. Dalam bagian ini kita akan membahas subklas dari persamaan linear orde satu yang dapat diintegralkan langsung. Pertama kita tulis kembali persamaan (49) dalam bentuk 𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)



𝑑𝑦 = 0, 𝑑𝑥



(50)



Adalah selalu mungkin untuk mengerjakan ini dengan memisalkan 𝑀(𝑥; 𝑦) = −𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝑥; 𝑦) = 1, tetapi mungkin cara lain juga bisa. Dalam kasus 𝑀 hanya fungsi dari 𝑥 dan 𝑁 hanya fungsi dari 𝑦, maka persamaan (49) menjadi 𝑀(𝑥) + 𝑁(𝑦)



𝑑𝑦 = 0, 𝑑𝑥



(51)



Persamaan ini disebut persamaan terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk



320



Diferensial



𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0,



(51)



kemudian kita dapat memisahkannya dalam ruas yang lain. Persamaan (51) lebih simetrik dan dapat menghilangkan perbedaan vareabel bebas dan tak bebas. Contoh 4 Tunjukkan bahwa persamaan 𝑑𝑦 𝑥2 = 𝑑𝑥 1 − 𝑦 2



(52)



adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva integralnya. Penyelesaian: Kita dapat tulis persamaan (52) ke dalam −𝑥 2 + (1 − 𝑦 2 )



𝑑𝑦 =0 𝑑𝑥



(52)



yang mempunyai bentuk seperti persamaan (50), oleh karena itu terpisah. Periksa bahwa suku pertama persamaan (53) yang merupakan turunan dari −𝑥 3 /3 dan suku yang ke dua dengan menggunakan aturan rantai merupakan turunan dari 𝑦 − 𝑦 3 /3 terhadap 𝑥. Jadi persamaan (53) dapat ditulikan sebagai 𝑑 𝑥3 𝑑 𝑦3 (− ) + (𝑦 − ) = 0, 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 3 atau 𝑑 𝑥3 𝑦3 (− + 𝑦 − ) = 0, 𝑑𝑥 3 3 Oleh karena itu kita dapatkan



321



Diferensial



−𝑥 3 + 3𝑦 − 𝑦 3 = 𝑐,



(53)



dimana 𝑐 adalah sebarang konstan, yang merupakan kurva integral dari persamaan (52). Sebuah persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (𝑥0 , 𝑦0 ) dapat ditemukan dengan mensubstitusikan 𝑥0 dan 𝑦0 untuk 𝑥 dan 𝑦 berturutturut ke dalam persamaan (53) dan kita dapat temukan c. Sebarang fungsi terturunkan 𝑦 = ∅(𝑥) yang memenuhi (53) adalah solusi dari persamaan (51). Dengan menggunakan cara yang sama untuk persamaan (49) dengan memisalkan 𝐻1 dan 𝐻2 adalah sebarang fungsi sedemikian sehingga 𝐻 ′1 (𝑥) = 𝑀(𝑥), 𝐻 ′ 2 (𝑦) = 𝑁(𝑦),



(54)



maka persamaan (49) menjadi 𝑑𝑦 = 0, 𝑑𝑥



(55)



𝑑𝑦 𝑑 = 𝐻 (𝑦), 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2



(56)



𝐻 ′1 (𝑥) + 𝐻 ′ 2 (𝑦) Dengan menggunkan aturan rantai 𝐻 ′ 2 (𝑦)



maka persamaan (56) menjadi 𝑑 [𝐻 (𝑥) + 𝐻2 (𝑦)] = 0, 𝑑𝑥 1



(57)



Dengan mengintegralkan persamaan (57) kita dapatkan 𝐻1 (𝑥) + 𝐻2 (𝑦) = 𝑐,



(58)



dengan 𝑐 adalah sebarang konstan. Setiap fungsi 𝑦 = ∅(𝑥) yang memenuhi persamaan (58) adalah solusi dari (51). Dengan kata lain persamaan (58) mendefinisikan solusi implisit daripada eksplisit. Fungsi-fungsi 𝐻1 dan 𝐻2 adalah antiturunan dari 𝑀 dan 𝑁 berturutturut. Dalam prakteknya persamaan (58) biasanya diperoleh dari persamaan (52) dengan mengintegralkan suku pertama terhadap 𝑥



322



Diferensial



dan suku ke dua terhadap 𝑦. Jika persamaan (51) ditambah dengan kondisi awal 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 maka solusinya merupakan solusi dari (58) dengan mensubstitusikan 𝑥 = 𝑥0 dan 𝑦 = 𝑦0 dan akan didapatkan 𝑐 = 𝐻1 (𝑥0 ) + 𝐻2 (𝑦0 ). Substitusikan kembali 𝑐 ke dalam persamaan (58) dan catat bahwa 𝑦



𝑥



𝐻1 (𝑥) + 𝐻2 (𝑥0 ) = ∫ 𝑀(𝑠)𝑑𝑠, 𝐻1 (𝑦) + 𝐻2 (𝑦0 ) = ∫ 𝑁(𝑠)𝑑𝑠, 𝑥0



𝑦0



Maka kita dapatkan 𝑥



𝑦



∫ 𝑀(𝑠)𝑑𝑠 + ∫ 𝑁(𝑠)𝑑𝑠 = 0, 𝑥0



(59)



𝑦0



Persamaan (59) merupakan solusi implisit dari persamaan diferensial (51) yang memenuhi kondisi awal 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 . Contoh 5 Selesaikan masalah nilai awal 𝑑𝑦 3𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = , 𝑦(0) = 1, 𝑑𝑥 2(𝑦 − 1)



(60)



Penyelesaian: Persamaam diferensial ini dapat dituliskan sebagai 2(𝑦 − 1)𝑑𝑦 = (3𝑥 2 + 4𝑥 + 2)𝑑𝑥. Kita integralkan ruas kiri terhadap 𝑦 dan ruas kanan terhadap 𝑥 dan memberikan 𝑦 2 − 2𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑐,



(61)



323



Diferensial



dengan 𝑐 adalah sebarang konstan. Kemudian kita substitusikan kondisi awal 𝑥 = 0 dan 𝑦 = −1 ke dalam persamaan (61) didapat 𝑐 = 3. Jadi solusi masalah nilai awal dapat diberikan 𝑦 2 − 2𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 3,



(62)



Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (62) kita pecahkan 𝑦 sebagai fungsi dari 𝑥 dan kita dapatkan 𝑦 = 1 ± √𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 4



(63)



Persamaan (63) memberikan dua solusi, tetapi hanya ada satu yang memenuhi kondisi awal, yakni 𝑦 = ∅(𝑥) = 1 − √𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 4



(63)



Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (62) yang sebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya 𝑦(0) = 3. Untuk menentukan daerah dimana solusi (63) valid yakni kita harus temukan nilai dibawah tanda akar haruslah positif, jadi 𝑥 > −2. 8.2.3 Persamaan Linier dan Tak Linier Di dalam mempelajari masalah nilai awal 𝑦 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0



(64)



pertanyaan mendasar yang harus dipikirkan adalah apakah solusinya ada, apakah tunggal, pada interval mana terdefinisi dan bagaimana mengkonstruksi solusinya atau bagaimana menggambarkan grafiknya. Jika persamaan itu linear maka terdapat formula umum dari solusinya, contohnya seperti pada bagian terdahulu. Tambahannya untuk persamaan linear terdapat solusi umum (yang memuat sebuah konstanta sebarang) yang memuat semua solusi, dan kemungkinan titik-titik diskontinu dari solusi dapat dilokalisasi titik-titik diskontinu dari koeffisien-koefisien. Akan tetapi dalam kasus tak linear tidak terdapat formula yang bersesuaian sehingga lebih sulit untuk menyatakan sifat-sifat umum dari solusi. Dalam bagian ini kita akan pelajari perbedaan tersebut.



324



Diferensial



Teorema Eksistensi dan Ketunggalan. Misalkan f dan ∂f/∂y kontinu pada daerah 𝛼 < 𝑡 < 𝛽, 𝛾 < 𝑦 < 𝛿 yang memuat titik (𝑡0 , 𝑦0 ). Maka dalam suatu interval -ℎ < 𝑡 < 𝑡0 + ℎ di 𝛼 < 𝑡 < 𝛽 terdapat solusi tunggal 𝑦 = ∅(𝑡) dari masalah nilai awal (64). Bukti. Lihat buku persamaan diferensial dalam referensi. Contoh 6 Selesaikan masalah nilai awal 𝑦 ′ = 𝑦 1/3 , 𝑦(0) = 0, 𝑡 ≥ 0,



(65)



Penyelesaian: Masalah ini dapat mudah diselesaikan dengan metoda terpisah. Jadi kita punya, 𝑦 −1/3 𝑑𝑦 = 𝑑𝑡 sehingga 3 2/3 𝑦 = 𝑡+𝑐 2 Atau 3



2 2 𝑦 = [ (𝑡 + 𝑐)] 3



Kondisi awal akan terpenuhi jika 𝑐 = 0, sehingga 2 3/2 𝑦 = ∅1 (𝑡) = ( 𝑡) , 𝑡 ≥ 0, 3



(66)



2 3/2 𝑦 = ∅2 (𝑡) = − ( 𝑡) , 𝑡 ≥ 0, 3



(67)



Dilain pihak fungsi



325



Diferensial



dan 𝑦 = (𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0,



(68)



juga merupakan solusi. Jadi untuk sebarang 𝑡0 , fungsi 𝑦 = (𝑡) = {



0, jika 0 < 𝑡 < 𝑡0 , 3/2 2 ± [ (𝑡 − 𝑡0 )] , jika 𝑡 ≥ 𝑡0 3



(69)



adalah kontinu dan terturunkan (khususnya pada 𝑡 = 𝑡0 ), dan merupakan solusi masalah nilai awal (65). Masalah ini mempunyai takhingga banyak keluarga solusi. Ketidaktunggalan solusi masalah (65) tidak bertentangan dengan teorema ketunggalan dan eksistensi karena, 𝜕 𝜕 1 𝑓(𝑡, 𝑦) = (𝑦 1/3 ) = 𝑦 −2/3 , 𝜕𝑦 𝜕𝑦 3 dan fungsi ini tidak kontinu atau meskipun terdefinisi pada setiap titik 𝑦 = 0. Oleh karena itu teorema tidak berlaku pada semua daerah yang memuat sumbu 𝑡. Jika (𝑡0 , 𝑦0 ) sebarang titik yang tidak terletak pada sumbu 𝑡 maka terdapat sebuah solusi yang tunggal dari persamaan diferensial 𝑦 ′ = 𝑦 1/3 yang melewatinya. Contoh 7 Selesaikan maslah nilai awal 𝑦 ′ = 𝑦 2 , 𝑦(0) = 1,



(70)



Dan temukan dimana solusinya ada Penyelesaian: Karena 𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝑦 2 dan



𝜕𝑓 𝜕𝑦



= 2𝑦 kontinu dimana-mana maka



keberadaan dijamin oleh teorema. Untuk menemukan solusi pertama kita nyatakan persamaan diferensial dalam bentuk,



326



Diferensial



𝑦 −2 𝑑𝑦 = 𝑑𝑡



(71)



Maka −𝑦 −1 = 𝑡 + 𝑐 dan 𝑦=−



1 𝑡+𝑐



(72)



Dengan mensubstitusikan kondisi awal akan diperoleh 𝑐 = −1, sehingga solusinya, 𝑦=−



1 1−𝑡



(73)



Jelas bahwa solusi akan menjadi takterbatas untuk 𝑡 → 1 oleh karena itu solusi hanya akan ada pada interval −∞ < 𝑡 < 1. Jika kondisi awal diganti dengan 𝑦(0) = 𝑦0 , maka konstanta 𝑐 dalam persamaan (72) menjadi 𝑐 = −1/𝑦0 , sehingga solusinya menjadi 𝑦=−



𝑦0 1 − 𝑦0 𝑡



(74)



v Periksa bahwa solusinya menjadi takterbatas jika 𝑡 → 1/𝑦0 , sehingga interval keberadaan solusinya menjadi −∞ < 𝑡 < 1/𝑦0 jika 𝑦0 > 0 dan 1/𝑦0 < 𝑡 < ∞ jika 𝑦0 < 0. 8.2.4 Persamaan diferensial Bernoulli Bentuk umum persamaan Bernouli diberikan dengan, 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 𝑛 𝑑𝑥



(75)



Cara penyelesaian persamaan Bernoulli yakni dengan membagi kedua ruas persamaan (75) dengan 𝑦′ dan dengan memisalkan 𝑣 = 𝑦 1−𝑛 sehingga,



327



Diferensial



𝑑𝑣 𝑑𝑦 = (1 − 𝑛)𝑦 −𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Dan kita dapatkan persamaan, 1 + 𝑃𝑣 = 𝑄, 1 − 𝑛𝑑𝑥



(76)



𝑑𝑣 + (1 − 𝑛)𝑃𝑣 = (1 − 𝑛)𝑄 𝑑𝑥



(77)



atau



yang merupakan persamaan diferensial orde satu yang dapat diselesaikan dengan metode faktor integral. Contoh 8 Selesaikan 𝑑𝑦 + 3𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 Penyelesaian: Persamaan di atas dapat ditrulis dalam bentuk 𝑦 −2 Misalkan 𝑣 = 𝑦 −1 . Maka



𝑑𝑣 𝑑𝑥



𝑑𝑦 + 3𝑥𝑦 −1 = 𝑥. 𝑑𝑥 = −𝑦 −2



−



𝑑𝑦 , 𝑑𝑥



sehingga kita punyai



𝑑𝑣 + 3𝑥𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥



atau 𝑑𝑣 − 3𝑥𝑣 = −𝑥 𝑑𝑥



328



Diferensial



Dipunyai 𝑝(𝑥) = −3𝑥, dan 𝑞(𝑥) = −𝑥. Jadi FI (faktor integral) nya adalah, 𝑒 ∫ −3𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 −3/2𝑥



2



Dan kita kalikan persamaan diferensial dengan faktor integral tersebut, kita dapatkan persamaan, ′



2



2



(𝑣𝑒 −3/2𝑥 ) = −𝑥𝑒 −3/2𝑥 , atau 1 1 2 2 2 𝑣𝑒 −3/2𝑥 = ∫ 𝑑(𝑒 −3/2𝑥 ) = 𝑒 −3/2𝑥 + 𝑐. 3 3 Jadi 𝑣=



1 2 + 𝑐𝑒 3/2𝑥 , 3



Dan kita dapat solusinya , yakni



𝑦 −1 =



1 2 + 𝑐𝑒 3/2𝑥 , 3



8.2.5 Persamaan Diferensial Eksak Dalam bagian terdahulu kita telah membahas bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial eksak, dimana persamaan diferensial itu dapat dipisahkan variabel - variabelnya, dalam hal ini kita punyai, 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥),



𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑦).



Dalam sub bagian ini, kita akan membahas bagaimana jika 𝑃(𝑥, 𝑦) + 𝑄(𝑥, 𝑦)



𝑑𝑦 = 0, 𝑑𝑥



(78)



329



Diferensial



tetapi 𝑃(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑃(𝑥),



𝑄(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑄(𝑦)



Untuk menyelesaikan persamaan diferensial (78), kita misalkan suatu fungsi,



 (𝑥, 𝑦(𝑥)) − 𝑐, dimana 𝑐 adalah suatu konstanta, dan  (𝑥, 𝑦) adalah suatu fungsi dari 𝑥 dan 𝑦(𝑥) yang akan kita temukan kemudian. Dengan menggunakan aturan rantai kita punyai: 𝑑 𝜕 𝜕 𝑑𝑦 [ (𝑥, 𝑦(𝑥))] = + = 0, 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝑑𝑥



(79)



Jika kita samakan persamaan (79) di atas dengan persamaan diferensial (78), maka kita akan peroleh, 𝜕 = 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝜕𝑥 dan 𝜕 = 𝑄(𝑥, 𝑦), 𝜕𝑥 Jika kondisi di atas dipenuhi oleh persamaan diferensial, maka  (𝑥, 𝑦) = 𝑐 adalah solusi dari persamaan diferensial. Pertanyaan penting yang perlu kita jawab adalah kapan kita bisa terapkan teknik di atas dan bagaimana kita bisa menyelesaikan  (𝑥, 𝑦)? Pertanyaan pertama dapat kita jawab dengan mengingat kembali dalam kalculus multivariabel bahwa, 𝜕 2 𝜕 2 = 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 Jadi kita dapat temukan bahwa



330



Diferensial



𝜕 𝜕 𝜕𝑃 ( )= 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 dan 𝜕 𝜕 𝜕𝑄 ( )= , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 yang harus sama. Sehingga kita harus memiliki kondisi agar persamaan diferensial di atas dapat di selesaikan (menjadi persamaan diferensial eksak), yakni 𝜕𝑃 𝜕𝑄 = . 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Kemudian bagaimana menemukan  (𝑥, 𝑦), kita perhatikan contoh berikut: Contoh 9 Selesaikan persamaan diferensial (4𝑥 + 2𝑦) + (2𝑥 − 2𝑦)𝑦 ′ = 0. Penyelesaian: Kita pertama perhatikan bahwa 𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 2𝑦 → 𝑃𝑦 = 2, 𝑄(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 2𝑦 → 𝑄𝑦 = 2, Jadi 𝑃𝑦 = 𝑄𝑥 , dan kita katakan persamaan diferensial tersebut eksak. Kita akan menemukan penyelesaiannya yaitu  (𝑥, 𝑦) dengan: 𝜕 = 𝑃 = 4𝑥 + 2𝑦 𝜕𝑥 dan 𝜕 = 𝑄 = 2𝑥 − 2𝑦 𝜕𝑦



331



Diferensial



Kita integralkan persamaan pertama terhadap variable 𝑥 dan kita akan peroleh,



 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + ℎ(𝑦), dimana ℎ(𝑦) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabel 𝑥 yang dapat tergantung pada variable 𝑦 (fungsi dari variabel 𝑦). Kita substitusikan  (𝑥, 𝑦) ke dalam persamaan ke dua dan kita akan dapatkan, 𝜕 𝑑ℎ = 2𝑥 + = 2𝑥 − 2𝑦, 𝜕𝑦 𝑑𝑦 Jadi kita peroleh 𝑑ℎ = −2𝑦 𝑑𝑦 Yang jika kita integralkan akan menghasilkan ℎ(𝑦) = −𝑦 2 Jadi penyelesaian dari persamaan diferensial eksak di atas adalah



 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 𝑐, dimana kontanta 𝑐 dapat ditentukan dari kondisi awal. Contoh 10 Selesaikan persamaan diferensial (𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥 exp(𝑦)) + sin 𝑥 + 𝑥 2 exp(𝑦) − 1)𝑦 ′ = 0 Penyelesaian: Kita pertama perhatikan bahwa, 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥 exp(𝑦) → 𝑃𝑦 = cos 𝑥 + 2𝑥 exp(𝑦) ,



332



Diferensial



𝑄(𝑥, 𝑦) = sin 𝑥 + 𝑥 2 exp(𝑦) − 1 → 𝑄𝑥 = cos 𝑥 + 2𝑥𝑒𝑥𝑝(𝑦). Jadi 𝑃𝑦 = 𝑄𝑥 , dan kita katakan persamaan diferensial tersebut eksak. Kita akan menemukan penyelesaiannya yaitu  (𝑥, 𝑦) dengan: 𝜕 = 𝑃 = 𝑦 cos 𝑥 + 2𝑥 exp(𝑦) , 𝜕𝑥 dan 𝜕 = 𝑄 = sin 𝑥 + 𝑥 2 exp(𝑦) − 1 𝜕𝑦 Kita integralkan persamaan pertama terhadap variable 𝑥 dan kita akan peroleh,



 (𝑥, 𝑦) = 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥 2 exp(𝑦) + ℎ(𝑦), dimana ℎ(𝑦) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabel 𝑥 yang dapat tergantung pada variable 𝑦 (fungsi dari variabel 𝑦). Kita substitusikan  (𝑥, 𝑦) ke dalam persamaan ke dua dan kita akan dapatkan, 𝜕 𝑑ℎ = sin 𝑥 + 𝑥 2 exp(𝑦) + = sin 𝑥 + 𝑥 2 exp(𝑦) − 1 𝜕𝑦 𝑑𝑦 Jadi kita peroleh 𝑑ℎ = −1 𝑑𝑦 Yang jika kita integralkan akan menghasilkan ℎ(𝑦) = −𝑦 Jadi penyelesaian dari persamaan diferensial eksak di atas adalah



 (𝑥, 𝑦) = 𝑦 sin 𝑥 + 𝑥 2 exp(𝑦) − 𝑦 = 𝑐,



333



Diferensial



dimana kontanta 𝑐 dapat ditentukan dari kondisi awal. Seringkali persamaan diferensial yang bukan eksak dapat dibentuk menjadi eksak. Dalam hal ini konsep dari faktor integral diperlukan kembali. Perhatikan persamaan diferensial, 𝑃(𝑥, 𝑦) + 𝑄(𝑥, 𝑦)



𝑑𝑦 = 0, 𝑑𝑥



bukan eksak, yakni 𝑃𝑦 ≠ 𝑄𝑥 . Kita dapat mengalikan persamaan direfensial tersebut di atas sedemikian sehingga persamaan itu menjadi eksak. Misalkan kita kalikan persamaan diferensial itu dengan sebuah fungsi 𝜇(𝑥, 𝑦) yang akan kita tentukan kemudian. Kita akan peroleh, 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦) + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥, 𝑦)



𝑑𝑦 = 0. 𝑑𝑥



Persamaan tersebut akan menjadi eksak jika memenuhi (𝜇𝑃)𝑦 = (𝜇𝑄 )𝑥 , Yang memberikan 𝑃𝜇𝑦 − 𝑄𝜇𝑥 + (𝑃𝑦 − 𝑄𝑥 )𝜇 Umumnya persamaan diferensial ini sulit untuk menemukan 𝜇. Akan tetapi kita perhatikan kasus di mana 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝜇(𝑥), sehingga kita akan punyai persamaan diferensial dalam 𝜇, yakni



𝑑𝜇 𝑃𝑦 − 𝑄𝑥 = 𝜇, 𝑑𝑥 𝑄 di mana



𝑃𝑦 −𝑄𝑥 𝑄



𝜇



harus merupakan fungsi dalam



𝑥. Jika



ini dapat



dipenuhi maka kita akan mudah untuk mendapatkan faktor integral 𝜇 dan kita akan mendapatkan persamaan diferensial eksak.



334



Diferensial



Contoh 11



Selesaikanlah persamaan diferensial (3𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + (𝑥 2 + 𝑥𝑦)𝑦 ′ = 0,



(80)



Penyelesaian: Kita pertama perhatikan bahwa 𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 → 𝑃𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 → 𝑄𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 Jadi 𝑃𝑦 ≠ 𝑄𝑥 , dan kita katakan persamaan diferensial tersebut tidak eksak. Kita akan temukan faktor integral fungsi 𝜇 sehingga persamaan tersebut menjadi eksak. Kita kalikan persamaan (80) dengan 𝜇 dan kita dapatkan, 𝜇(3𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + 𝜇(𝑥 2 + 𝑥𝑦)𝑦 ′ = 0,



(81)



Misalkan 𝜇 = 𝜇(𝑥) hanya fungsi dalam 𝑥, maka haruslah kita punyai (3𝑥 + 2𝑦) − (2𝑥 + 𝑦) 1 𝑑𝜇 𝑃𝑦 − 𝑄𝑥 = 𝑑𝑥 = = . 𝜇 𝑄 𝑥 2 + 𝑥𝑦 𝑥 Jadi kita punyai 𝜇 = 𝜇(𝑥). Dan kita kalikan persamaan dengan 𝜇 = 𝑥, kita peroleh, (3𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 ) + (𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦)𝑦 ′ = 0 Pembaca perlu memeriksa bahwa 𝑃𝑦 = 𝑄𝑥 , dan persamaan diferensial menjadi eksak. Penyelesaiannya kemudian mengikuti cara di atas (pembaca perlu menyelesaikan). 8.2.6 Persamaan Diferensial Homogen Dalam sub bagian ini kita akan membahas suatu persamaan diferensial yang kita sebut persamaan diferensial homogen. Bentuk



335



Diferensial



umum dari persamaan diferensial homogen dapat dinyatakan sebagai, 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓 ( ) 𝑑𝑥 𝑥 Cara termudah untuk menyelesaikan persamaan homogen yaitu dengan mendefinisikan variable baru 𝑧=



diferensial



𝑦 𝑧



dan persaman diferensialnya menjadi 𝑥



𝑑𝑧 + 𝑧 = 𝑓(𝑧) 𝑑𝑥



di mana ruas kiri dari persamaan diferensial ini diperoleh dengan 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 menerapkan aturan rantai pada 𝑦 = 𝑧𝑥, = + =𝑥 + 𝑑𝑥



𝑑𝑧 𝑥



𝑑𝑥



𝑑𝑥



𝑧. Dalam bentuk ini kita selalu akan memisahkan variabelvariabelnya, yakni 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 𝑥 𝑓(𝑧) − 𝑧 yang dengan mudah kita dapat selesaikan persamaan diferensial di atas dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan. Contoh 12 Selesaikan persamaan diferensial 𝑑𝑦 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥2 Penyelesaian: Kita dapat nyatakan persamaan diferensial di atas dalam bentuk



336



Diferensial



𝑑𝑦 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 𝑦 2 𝑦 = = 2 +2 , 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 Jadi persamaan diferensial di atas merupakan persamaan homogen. 𝑦 Misalkan 𝑧 = , maka kita peroleh, 𝑧



𝑥



𝑑𝑧 + 𝑧 = 𝑧 2 + 2𝑧 𝑑𝑥



Kita pisahkan variable-variabelnya, dan kita akan dapatkan 𝑑𝑥 𝑑𝑧 1 1 = 2 =( − ) 𝑑𝑧. 𝑥 𝑧 +𝑧 𝑧 𝑧−1 Kita integralkan kedua ruas persamaan dan kita dapatkan 𝑙𝑛|𝑥 | + ln 𝑐 = 𝑙𝑛|𝑧| − 𝑙𝑛|𝑧 − 1| → 𝑐𝑥 =



𝑧 . 𝑧+1



𝑦 𝑧



Kita substitusikan kembali 𝑧 = , dan kita dapatkan penyelesaian dari persamaan direfernsial, yaitu 𝑦=



𝑐𝑥 2 , 1 − 𝑐𝑥



dimana konstanta 𝑐 dapat ditentukan dari kondisi awalnya. 8.2.7



Persamaan Diferensial Polinomial



Kita melihat pola yang lebih jelas. Dengan pangkat 𝑥: Pada koefisien diferensial, indeks sebelumnya menjadi koefisien dan indeks yang baru bekurang satu indeks pangkat awalnya. Misalnya, jika 𝑦 = 𝑥 𝑛 , maka 𝑑𝑦 = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥



337



Diferensial



Tabel 8.1 Diferensial 𝑦 𝑐 x 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5



𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 1 2𝑥 3𝑥 2 4𝑥 3 5𝑥 4



Kita telah menyatakan bahwa 𝜕𝑦 (i) Jika y= konstanta, = 0. 𝜕𝑥



(ii) Koefisien konstan yang tersisa tidak diubah Misal, jika 𝑦 = 𝑎𝑥 4 ,



𝜕𝑦 𝜕𝑥



= 𝑎, 4𝑥 3 = 4𝑎𝑥 3 .



Untuk 𝒎𝒆𝒏𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒔𝒊𝒂𝒍𝒌𝒂𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍, kita mendiferensialkan masing-masing suku. Misal jika 𝑦 = 𝑥 4 + 5𝑥 3 − 4𝑥 2 + 7𝑥 − 2 Maka 𝑑𝑦 = 4𝑥 3 + 5.3𝑥 2 − 4.2𝑥 + 7.1 − 0 𝑑𝑥 Jadi 𝑑𝑦 = 4𝑥 3 + 15𝑥 2 − 8𝑥 + 7 𝑑𝑥 Contoh 13 Tentukan nilai persamaan untuk 𝑦 = 2𝑥 5 + 4𝑥 4 − 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 5𝑥 − 7 Dengan nilai 𝑑𝑦/𝑑𝑥 pada 𝑥 = 2



338



Diferensial



Penyelesaian: Jadi, mula-mula, 𝑑𝑦 = 10𝑥 4 + 16𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 − 5 𝑑𝑥 Kemudianm tunjukkan ruas kanan dalam bentuk jaringan distribusi 𝑥 = 2, kita peroleh: Pada 𝑥 = 2, maka 𝑑𝑦 = 10(2)4 + 16(2)3 − 3(2)2 + 6(2) − 5 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (10 𝑥 16) + (16 𝑥 8) − (3 𝑥 4) + (6 𝑥 2) − 5 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 160 + 128 − 12 + 12 − 5 = 𝟐𝟖𝟑 𝑑𝑥 8.2.7 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu Dalam bagian ini kita akan bahas beberapa penerapan persamaan diferensial orde satu. Dalam kehidupan sehari-hari banyak penomena yang dalam menyelesaikannya menggunakan persamaan diferensial orde satu. Contoh penerapan diferensial orde satu sering dijumpai dalam masalah pencairan atau pemekatan suatu cairan, masalah suku bunga bank, masalah pembelahan dan pertumbuhan sel, masalah dalam mekanika dan lain sebagainya. Kasus Penerapan Pada Take off Pesawat Tempur Setelah take off dari landasan sebuah pesawat tempur naik selama 10 detik sebelum belok ke kanan. Membentuk garis terbang selama periode waktu akan diuraikan oleh kurva pesawat 𝑥𝑦 dengan persamaan, 𝑦 = −1,06𝑥 3 + 1,61𝑥 2



0 ≤ 𝑥 ≤ 0,6



339



Diferensial



Dimana x adalah panjang jarak landasan dalam mil, y adalah tinggi atas landasan dalam mil, dan titik yang mana pesawat meninggalkan landasan adalah lokasi sebenarnya. Carilah sudut naik pesawat ketika titik garis terbang x=0,5 (lihat Gambar 8.3)



Penyelesaian:



Gambar 8.3 Garis terbang pesawat



Diperlukan sudut naik, 𝛼, diberikan oleh tan 𝛼 =



𝑑𝑦 | 𝑑𝑥 𝑥=0,5



tetapi 𝑑𝑦 𝑑 (−1,06𝑥 3 + 1,61𝑥 2 ) = −3,18𝑥 2 + 3,22𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 juga 𝑑𝑦 | = (−3,18𝑥 2 + 3,22𝑥)|𝑥=0,5 = 0,815 𝑑𝑥 𝑥=0,5



340



Diferensial



Oleh karena itu tan 𝑥 = 0,815 dan 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 0,815 ≈ 39,18𝑜 memberikan sudut naik yang diperlukan dari pesawat mendekati 39𝑜 . 8.3 Persamaan Diferensial Orde Kedua Jika 𝑦 = 2𝑥 4 − 5𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 4, maka dengan metode yang lalu, 𝑑𝑦 = 8𝑥 3 − 15𝑥 2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 Persamaan ini untuk 𝑑𝑦/𝑑𝑥 adalah polinomial pangkat 𝑥 dan dapat didiferensialkan dengan cara yang sama seperti sebelumnya yaitu kita dapat menemukan koefisien diferensial 𝑑𝑦/𝑑𝑥. 𝑑 𝑑𝑦 ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥



ditulis



𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2



dan adalah koefisien diferensial kedua y terhadap



x. Jadi, pada contoh ini kita punyai, 𝑦 = 2𝑥 4 − 5𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 4 𝑑𝑦 = 8𝑥 3 − 15𝑥 2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 = 24𝑥 2 − 30𝑥 + 6 𝑑𝑥 2 Kita dapat, jika mungkin, menemukan koefisien diferensial ketiga 𝑦 dengan cara yang sama. 𝑑3𝑦 = 48𝑥 − 30 𝑑𝑥 3 Contoh 1 Tentukan diferensial orde kedua jika 𝑦 = 3𝑥 4 + 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 5𝑥 + 1 Penyelesaian: Pertama cari diferensial orde ke-1, yaitu:



341



Diferensial



𝑑𝑦 = 12𝑥 3 + 6𝑥 2 − 8𝑥 + 5 𝑑𝑥 Hasil diferensial orde ke-1 kemudian didiferensial lagi menjadi diferensial orde ke-2, yaitu: 𝑑2𝑦 = 36𝑥 2 + 12𝑥 − 8 𝑑𝑥 2 Derivatif koefisien diferensial fungsi sering kali diacu sebagai derivatif fungsi. Misalnya, jika 𝑦 = 5𝑥 3 − 5𝑥 + 6 Derivatif pertama 𝑦, adalah Derivatif kedua 𝑦, adalah



𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2



= 15𝑥 2 − 5



= 30𝑥



Koefisien Diferensial Standar Sedemikian jauh, pekerjaan berdasarkan koefisien diferensial standar, 𝑑 𝑛 (𝑥 ) = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 Koefisien diferensial lain dapat diterapkan dengan menggunakan rumus trigonometri. Kita akan membahas dengan beberapa hal ini dalam berikut ini. a.



Koefisien Diferensial 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙. Jika 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑦 + 𝜕𝑦 = sin(𝑥 + 𝜕𝑥) jadi 𝜕𝑦 = sin(𝑥 + 𝜕𝑥) − sin 𝑥. Sekarang kita terapkan formula trigonometri. sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos Jadi



𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 sin 2 2



342



Diferensial



2𝑥 − 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 2 cos ( ) . sin ( ) = 2 cos (𝑥 + ) . sin ( ) 2 2 2 2 Jadi 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 cos (𝑥 + 2 ) . sin ( 2 ) cos (𝑥 + 2 ) . sin ( 2 ) = = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 sin ( 2 ) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + ) . 𝜕𝑥 2 2 Jadi 𝜕𝑥 → 0,



𝜕𝑦 𝑑𝑦 → 𝜕𝑥 𝑑𝑥



dan 𝑑𝑦 → cos 𝑥. 1 𝑑𝑥 Sehingga 𝑦 = sin 𝑥,



𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥



b. Koefisien Diferensial 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙. Ini dipunyai dalam beberapa cara salah satu telah dinbahas sebelum ini. Jika 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑦 + 𝜕𝑦 = cos(𝑥 + 𝜕𝑥) jadi 𝜕𝑦 = cos(𝑥 + 𝜕𝑥) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Sekarang kita pakai formula, cos A − cos 𝐵 = 2 sin



𝐵+𝐴 𝐵−𝐴 sin 2 2



Jadi 𝑠𝑖𝑛(−𝜃) = − sin 𝜃



343



Diferensial



𝜕𝑦 = 2 𝑠𝑖𝑛



2𝑥 + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 . sin (− ) 2 2



= 2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +



sin(−𝜃) = − sin 𝜃



𝜕𝑥 −𝜕𝑥 ) . sin ( ) 2 2



= −2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 +



𝜕𝑥 𝜕𝑥 ) . sin ( ) 2 2



Jadi, 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 −2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 2 ) . sin ( 2 ) 𝜕𝑥 sin ( 2 ) = = −𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + ) . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 2 Sebagai 𝜕𝑥 → 0,



𝜕𝑦 𝜕𝑥



→ − 𝑠𝑖𝑛 𝑥. 1 ∴ jika 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥,



𝜕𝑦 𝜕𝑥



= − 𝑠𝑖𝑛 𝑥



Pada tahap ini, ada satu lebih koefisien diferensial kita harus tentukan. Koefisien Diferensial 𝒚 = 𝒆𝒙 Kita telah menemukan deret yang diwakili 𝑒 𝑥 ∴ 𝑦 = 𝑒 𝑥 = +1 + 𝑥 +



2𝑥 𝑥 3 𝑥 4 + + +⋯ 2! 3! 4!



jika kita menurunkan setiap pangkat 𝑥 pada ruas kanan akan menghasilkan 𝑑𝑦 2𝑥 3𝑥 2 4𝑥 3 =0+1+ + + +⋯ 𝑑𝑥 2! 3! 4! =1+𝑥+



𝑥2 𝑥3 + +⋯ 2! 3!



= 𝑒𝑥 ∴ jadi 𝑦 = 𝑒 𝑥 ,



𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥



344



Diferensial



Perhatikan bahwa 𝑒 𝑥 adalah fungsi tertentu dengan koefisien diferensial yang sama dengan fungsi itu sendiri. Jadi kita punya beberapa hasil standar yang penting: 𝑑𝑦 a) Jika 𝑦 = 𝑥 𝑛 . = 𝑛. 𝑥 𝑛−1 . 𝑑𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑥



b)



Jika 𝑦 = 𝑐 (𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛),



c)



Faktor konstan tidak diubah yaitu jika 𝑦 = 𝑎. 𝑥 𝑛 ,



d)



Jika 𝑦 = sin 𝑥,



e)



Jika 𝑦 =



f)



Jika 𝑦 =



= 0.



𝑑𝑦 = cos 𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑦 cos 𝑥, = − sin 𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑒𝑥, = 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑎, 𝑛. 𝑥 𝑛−1 .



8.4 Diferensial Perkalian Fungsi Misal 𝑦 = 𝑢𝑣 dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah fungsi 𝑥. Jika 𝑥 → 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑢 → 𝑢 + 𝑑𝑢, 𝑣 → 𝑣 + 𝑑𝑣 𝑦 → 𝑦 + 𝑑𝑦.



dan sebagai hasilnya



𝑦 = 𝑢𝑣 ∴ 𝑦 + 𝑑𝑦 = (𝑢 + 𝑑𝑢)(𝑣 + 𝑑𝑣) = 𝑢𝑣 + 𝑢. 𝑑𝑣 + 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑑𝑢. 𝑑𝑣 Dikurangi oleh 𝑦 = 𝑢𝑣 ∴ 𝜕𝑦 = 𝑢. 𝑑𝑣 + 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑑𝑢. 𝑑𝑣 ∴



𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝑑𝑣 =𝑢 +𝑣 + 𝑑𝑢. 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥



Jika 𝜕𝑥 → 0, maka 𝜕𝑦 𝑑𝑦 → , 𝜕𝑥 𝑑𝑥 ∴



𝜕𝑢 𝑑𝑢 → , 𝜕𝑥 𝑑𝑥



𝜕𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑢 =𝑢 +𝑣 +0 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥



𝜕𝑣 𝑑𝑣 → , 𝜕𝑥 𝑑𝑥



∴ jika 𝑦 = 𝑢𝑣,



𝜕𝑢 → 0



𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑢 =𝑢 +𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥



Misal. Untuk mendiferensialkan perkalian dua fungsi: Letakkan yang



pertama (diferensialkan yang kedua) + tinggalkan yang kedua (diferensialkan yang pertama).



345



Diferensial



Contoh 1 𝑦 = 𝑥 3 . sin 𝑥 Penyelesaian: 𝑑𝑦 = 𝑥 3 (cos 𝑥) + sin 𝑥(3𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 3 cos 𝑥 + 3𝑥 2 sin 𝑥 = 𝒙𝟐 (𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝒙) Contoh 2 𝑦 = 𝑥 4 . cos 𝑥 Penyelesaian: 𝑑𝑦 = 𝑥 4 (−sin 𝑥) + cos 𝑥(4𝑥 3 ) 𝑑𝑥 = −𝑥 3 sin 𝑥 + 4𝑥 3 cos 𝑥 = 𝒙𝟑 (𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙) Contoh 3 𝑦 = 𝑥5. 𝑒 𝑥 Penyelesaian: 𝑑𝑦 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 5𝑥 4 = 𝒙𝟒 𝒆𝒙 (𝒙 + 𝟓) 𝑑𝑥 8.5 Diferensial Hasil Bagi Dua Fungsi Misal 𝑦=



𝑢 𝑣



Dengan 𝑢 dan 𝑣 adalah fungsi 𝑥. Maka 𝑦 + 𝜕𝑦 =



𝑢 + 𝜕𝑢 𝑣 + 𝜕𝑣



346



Diferensial



∴ 𝜕𝑦 =



=



𝑢 + 𝜕𝑢 𝑢 − 𝑣 + 𝜕𝑣 𝑣 𝑢𝑣 + 𝑣. 𝜕𝑢 − 𝑢𝑣 − 𝑢. 𝜕𝑣 𝑣. 𝜕𝑢 − 𝑢. 𝜕𝑣 = 2 𝑣(𝑣 + 𝜕𝑣) 𝑣 + 𝑣𝜕𝑣)



𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑣 𝜕𝑥 − 𝑢 𝜕𝑥 ∴ = 2 𝜕𝑥 𝑣 + 𝑣. 𝜕𝑣 Jika 𝜕𝑥 → 0, 𝜕𝑢 → 0, 𝜕𝑣 → 0 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑣 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 ∴ = 𝑑𝑥 𝑣2 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑑𝑦 𝑣 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 ∴ jika 𝑦 = , = 𝑣 𝑑𝑥 𝑣2 Jadi: Untuk mendiferensialkan hasil bagi dua fungsi {Tinggalkan yang dibawah (diferensialkan yang diatas) – tinggalkan yang diatas (diferensialkan yang dibawah)] dibagi [semua yang dibawah dikuadratkan]. Contoh 1 𝑦=



sin 𝑥 𝑑𝑦 , =⋯ 𝑥2 𝑑𝑥



Penyelesaian: Untuk 𝑦=



sin 𝑥 𝑑𝑦 𝑥 2 cos 𝑥 − sin 𝑥. (2𝑥) , = (𝑣 2 )2 𝑥2 𝑑𝑥 =



𝑥 2 cos 𝑥 − 2𝑥 sin 𝑥 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝑣4 𝒗𝟑



347



Diferensial



Contoh 2 𝑦=



5𝑒 𝑥 cos 𝑥



Penyelesaian: 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑣 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑣2



𝑢 𝑦= , 𝑣



= ∴



cos 𝑥. (5𝑒 𝑥 ) − 5𝑒 𝑥 . (− sin 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥



𝑑𝑦 𝟓𝒆𝒙 (𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙) = 𝑑𝑥 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙



Contoh 3 𝑦=



sin 𝑥 cos 𝑥



Penyelesaian: 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑣 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑣2



𝑢 𝑦= , 𝑣



=



∴



cos 𝑥. cos 𝑥 − sin 𝑥. (− sin 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥



𝑑𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥



tetapi 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1



1 𝑐𝑜𝑠2 𝑥



juga



1 = sec 𝑥 cos 𝑥



= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥



dan



sin 𝑥 = tan 𝑥 cos 𝑥



=



∴ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 = tan 𝑥 ,



𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥



348



Diferensial



Dan ini adalah salah satu dari dasar koefisien diferensial standar. Jadi sekarang kita punya koefisien diferensial standar, yaitu: Tabel 8.2 Koefisien Diferensial Standar 𝒚



𝒅𝒚/𝒅𝒙



𝑥𝑛 𝑐 𝑎. 𝑥 𝑛 sin 𝑥 cos 𝑥 tan 𝑥 𝑒𝑥



𝑛𝑥 𝑛−1 0 𝑎𝑛. 𝑥 𝑛−1` cos 𝑥 − sin 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑒𝑥



Rumus Pekalian dan Hasil Bagi Diferensial 𝑦 = 𝑢𝑣,



𝑢 𝑦= , 𝑣



𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑢 =𝑢 +𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑣 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑣2



8.6 Fungsi dari Fungsi Jika 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 adalah fungsi sudut 𝑥, karena nilai 𝑦 tergantung pada nilai yang diberikan 𝑥. Jika 𝑦 = sin(2𝑥 − 3), 𝑦 fungsi sudut (2𝑥 − 3) yang adalah fungsi x itu sendiri. Sehingga, 𝑦 adalah fungsi dari (fungsi 𝑥) dan dikatakan menjadi fungsi sebuah fungsi 𝑥. Diferensial Fungsi sebuah Fungsi Untuk mendiferensialkan fungsi sebuah fungsi, pertama kita harus memperkenalkan aturan rantai, 𝑦 = sin(2𝑥 − 3), kita pakai 𝑢 = 2𝑥 − 3.



349



Diferensial



Dengan contoh diatas, 𝑦 = sin(2𝑥 − 3), kita pakai 𝑢 = 2𝑥 − 3 yaitu, 𝑦 = sin 𝑢 dengan 𝑢 = 2𝑥 − 3. Jika x mempunyai penambahan 𝜕𝑥, 𝑢 akan memiliki tambahan 𝜕𝑢 dan kemudian y akan mempunyai penambahan 𝜕𝑦, yaitu 𝑥 → 𝑥 + 𝜕𝑥, 𝑢 → 𝑢 + 𝜕𝑢 dan 𝑦 → 𝑦 + 𝜕𝑦. Pada tahap ini, penambahan 𝜕𝑥, 𝜕𝑢, dan 𝜕𝑦 adalah semua nilai tertentu dan sehingga kita dapat katakan bahwa, 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑢 = . 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 Jika sekarang 𝜕𝑥 → 0, maka 𝜕𝑢 → 0 dan 𝜕𝑦 → 0 Juga 𝜕𝑦 𝑑𝑦 → , 𝜕𝑥 𝑑𝑥



𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝜕𝑢 𝑑𝑢 → 𝑑𝑎𝑛 → 𝜕𝑢 𝑑𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥



dan pernyataan sebelumnya, sekarang menjadi 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Ini adalah aturan rantai dan biasanya berguna jika menentukan koefisien diferensial fungsi sebuah fungsi, Contoh 1 Untuk mendiferensialkan 𝑦 = sin(2𝑥 − 3) Penyelesaian: Ambil 𝑢 = (2𝑥 − 3) ∴ 𝑦 = sin 𝑢 ∴



𝑑𝑢 𝑑𝑦 = 2 dan = cos 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . = cos 𝑢. (2) = 2 cos 𝑢 = 2 cos(2𝑥 − 3). 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥



350



Diferensial



∴ jika 𝑦 = sin(2𝑥 − 3) ,



𝑑𝑦 = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝑑𝑥



Contoh 2 Jika 𝑦 = (3𝑥 + 5)4 , tentukan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 Penyelesaian: 𝑦 = (3𝑥 + 5)4 . Ambil 𝑢 = (3𝑥 + 5) . 𝑑𝑢 = 3, 𝑑𝑥



∴ 𝑦 = 𝑢4



∴



𝑑𝑦 = 4𝑢3 dan 𝑑𝑢



∴



𝑑𝑦 = 4𝑢3 . (3) = 12𝑢3 = 12(3𝑥 − 5)3 𝑑𝑥



∴ jika 𝑦 = (3𝑥 − 5)4 ,



𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥



𝑑𝑦 = 𝟏𝟐(𝟑𝒙 − 𝟓)𝟑 𝑑𝑥



Contoh 3 Jika 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(4𝑥 + 1), tentukan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 Penyelesaian: 𝑦 = tan(4𝑥 + 1), ∴ 𝑢 = 4𝑥 + 1 ∴ 𝑦 = tan 𝑢 ∴



𝑑𝑢 =4 𝑑𝑥



𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢



𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢. (4) = 4𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∴ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 = tan(4𝑥 + 1) ,



𝑑𝑦 = 𝟒𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟒𝒙 + 𝟏) 𝑑𝑥



351



Diferensial



Contoh 4 Jika 𝑦 = 𝑒 5𝑥 , tentukan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 Penyelesaian: 𝑦 = 𝑒 5𝑥 𝑦 = 𝑒𝑢



∴ 𝑢 = 5𝑥 ∴



maka



𝑑𝑢 =5 𝑑𝑥



𝑑𝑦 = 𝑒𝑢 𝑑𝑢



𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . = 𝑒 𝑢 . (5) = 5𝑒 𝑢 = 5𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∴ Jika 𝑦 = 𝑒 5𝑥 ,



𝑑𝑦 = 𝟓𝒆𝟓𝒙 𝑑𝑥



Beberapa fungsi ini dapat didiferesialkan dengan modifikasi sisi dengan sisi terhadap daftar standar joefisien diferensial kita. Tabel 8.3 Diferensial Koefisien Standar Fungsi sebuah Fungsi F adalah fungsi 𝑥 𝒅𝒚 𝒚 𝒅𝒙



𝒚 𝐹𝑛 𝑎. 𝐹 𝑛 sin 𝐹



𝑑𝐹 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑎. 𝑛𝐹 𝑛−1 . 𝑑𝑥 𝑑𝐹 cos 𝐹. 𝑑𝑥 𝑛𝐹 𝑛−1 .



cos 𝐹 tan 𝐹 𝑒𝐹



𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝑑𝐹 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑠𝑒𝑐 2 𝐹. 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑒𝐹 . 𝑑𝑥



−sin 𝐹.



Sekarang kita perhatikan koefisien diferensial 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙. Jika 𝑦 = ln 𝑥



∴ 𝑥 = 𝑒𝑦



Diferensial terhadap x



𝑑 𝑑𝑥



(𝑥) =



𝑑 𝑑𝑥



= (𝑒 𝑦 )



352



Diferensial



Diferensial terhadap 𝑥 𝑑 𝑑 𝑦 (𝑥) = (𝑒 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 = 𝑒𝑦 . 1 = 𝑥.



𝑑𝑦 𝑑𝑥



karena 𝑦 adalah fungsi 𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑦 1 ∴ = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥



∴ jika 𝑦 = ln 𝑥,



𝑑𝑦 𝟏 = 𝑑𝑥 𝒙



Kita dapat menambahkan ke dalam daftar koefisien diferensial standar dan jika 𝐹 adalah 𝑥. 𝑦 = ln 𝐹



∴



𝑑𝑦 1 𝑑𝐹 = . 𝑑𝑥 𝐹 𝑑𝑥



Contoh 5 Jika 𝑦 = ln(3𝑥 − 5) ,



𝑑𝑦 1 3 = .3 = 𝑑𝑥 3𝑥 − 5 3𝑥 − 5



dan, jika 𝑦 = ln(sin 𝑥) ,



𝑑𝑦 1 cos 𝑥 = . cos 𝑥 = = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝑑𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥



Ada satu koefisien diferensial standar selanjutnya yang dinyatakan pada tingkat ini, sehingga lanjutkan ke pembahasan selanjutnya. Koefisien Diferensial 𝒚 = 𝒂𝒙 Kita tahu bahwa jika 𝑦 = 𝑒𝑥, Dan bahkan 𝑦 = 𝑒𝐹 ,



𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝐹 = 𝑒𝐹 . 𝑑𝑥 𝑑𝑥



353



Diferensial



Maka, jika 𝑦 = 𝑎 𝑥 , kita dapat menulis 𝑎 = 𝑒 𝑘 dan kemudian 𝑦 = 𝑎 𝑥 = (𝑒 𝑘 )𝑥 = 𝑒 𝑘𝑥 . ∴



𝑑𝑦 𝑑 = 𝑒 𝑘𝑥 . (𝑘𝑥) = 𝑒 (𝑘𝑥) = 𝑘. 𝑒 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥



Tetapi, 𝑒 𝑘𝑥 = 𝑎 𝑥 dan 𝑘 = ln 𝑎



∴ jika 𝑦 = 𝑎 𝑥 ,



𝑑𝑦 𝑑𝑥



=𝒂𝒙 𝐥𝐧 𝒂



Kita dapat menambahkan hasil ke daftar kita untuk referensi selanjutnya. Ini melengkapi program diferensial pada tahap ini. Kita akan mebahas topik lebih mendalam buku lainnya. Namun sekarang kesimpulan mengikuti. Penting bila kita sejak menghitung angka dengan teknik baru yang anda akan benar-benar butuhkan sebagai kemajuan. Bab ini memerlukan waktu jika ingin merevisi beberapa bab yang meningkatkan ketidakpastian. Maka ada latihan soal yang diikuti dengan masalah selanjutnya sebagai latihan tambahan. Rangkuman 1.



Koefisien Diferensial Pangkat dari 𝑥. 𝑑𝑦 a) 𝑦 = 𝑥 𝑛 , = 𝑛𝑥 𝑛−1 . 𝑑𝑥



b) 𝑦 = 𝑐 (𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛), c) 2. 3.



𝑦 = 𝑎. 𝑥 𝑛 ,



𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 0.



= 𝑎. 𝑛𝑥 𝑛−1 .



Diferensial polinomial-diferensial masing-masing suku. Koefisien Diferensial 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑢 a) Perkalian 𝑦 = 𝑢𝑣, =𝑢 +𝑣 . 𝑑𝑥



b) Pembagian 𝑦 = 4.



𝑢 𝑣



,



𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑𝑥



=



Koefisien Diferensial Standar



𝑣



𝑑𝑢 𝑑𝑣 −𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑣2



𝑑𝑥



.



𝒚



𝒅𝒚/𝒅𝒙



𝑥𝑛 𝑐 𝑎. 𝑥 𝑛



𝑛𝑥 𝑛−1 0 𝑎𝑛. 𝑥 𝑛−1`



354



5.



Diferensial



𝒚



𝒅𝒚/𝒅𝒙



sin 𝑥 cos 𝑥 tan 𝑥 𝑒𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑎𝑥



cos 𝑥 − sin 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑒𝑥 1/𝑥 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎



Fungsi Sebuah Fungsi a) Ambil u= fungsi yang lebih dalam. Diagram rantai 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 b)



Daftar modifikasi koefisien diferensial standar.



𝒚 𝐹𝑛 𝑎. 𝐹 𝑛 sin 𝐹



F adalah fungsi 𝑥 𝒅𝒚 𝒚 𝒅𝒙 𝑑𝐹 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑎. 𝑛𝐹 𝑛−1 . 𝑑𝑥 𝑑𝐹 cos 𝐹. 𝑑𝑥 𝑛𝐹 𝑛−1 .



𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝑑𝐹 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑠𝑒𝑐 2 𝐹. 𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑒𝐹 . 𝑑𝑥



cos 𝐹



−sin 𝐹.



tan 𝐹 𝑒𝐹



8.7 Diferensial Tingkat Tinggi Operasi pendiferensialan mengambil alih sebuah fungsi 𝑓 dan 𝑑𝑦 menghasilkan sebuah fungsi baru 𝑓’ atau Jika 𝑓’ sekarang kita 𝑑𝑥



diferensialkan, kita dapat menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh 𝑓’’ (dibaca dua aksen) atau



𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2



disebut diferesial orde kedua



(turunan kedua) dari 𝑓. Pada saatnya turunan kedua dapat diturunkan lagi, dengan demikian menghasilkan 𝑓’’’ atau



𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3



. Yang



355



Diferensial



disebut turunan ketiga, dan seterusnya. Sebagai contoh, seandainya kita punya fungsi, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 7𝑥 − 8 Maka 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2 − 8𝑥 + 7 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 8 𝑓′′′(𝑥) = 12 𝑓′′′′(𝑥) = 0



Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka turunan tingkat tinggi yang lebih tinggi akan menghasilkan nilai nol. Kita telah memperkenalkan tiga notasi untuk turunan (sekarang disebut juga turunan pertama) dari 𝑦 = 𝑓(𝑥). Mereka adalah



𝑓’(𝑥) 𝐷𝑥 𝑦



𝑑𝑦 𝑑𝑥



Masing-masing disebut notasi aksen, notasi d, notasi Leibniz. Terdapat sebuah variasi dari cara notasi aksen, y-yang kadang kala akan kita pakai juga. Semua notasi ini mempunyai perluasan untuk turunan tingkat tinggi, seperti diperlihatkan dalam Tabel 8.4. Khususnya perhatikan notasi Leibniz yang walaupun rumit, kelihatanya paling cocok untuk Leibniz. Yang menurutnya lebih wajar dari pada menulisnya, 𝑑 𝑑𝑦 𝑑2𝑦 ( ) sebagai 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2



356



Diferensial



Tabel 8.3 Cara Penulisan (Notasi) Untuk Turunan dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) Turunan



notasi 𝒇’



notasi 𝒚’



Notasi 𝑫



Notasi Leibniz



Pertama



𝑓’(𝑥)



𝑦′



𝐷𝑥 𝑦



𝑑𝑦 𝑑𝑥



Kedua



𝑓’’(𝑥)



𝑦 ′′



𝐷𝑥2 𝑦



𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2



Ketiga



𝑓’’’(𝑥)



𝑦 ′′′



𝐷𝑥3 𝑦



𝑑3𝑦 𝑑𝑥 3



Keempat



𝑓 ′′′′ (𝑥)



𝑦 ′′′′



𝐷𝑥4 𝑦



𝑑4𝑦 𝑑𝑥 4



Kelima



𝑓 (5) (𝑥)



𝑦 (5)



𝐷𝑥5 𝑦



𝑑5𝑦 𝑑𝑥 5



Keenam



𝑓 (6) (𝑥)



𝑦 (6)



𝐷𝑥6 𝑦



𝑑6𝑦 𝑑𝑥 6



⋮



⋮



⋮



⋮



𝑓 (𝑛) (𝑥)



𝑦 (𝑛)



𝐷𝑥𝑛 𝑦



𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛



⋮ Ke-n Contoh 1 Jika



𝑦 = sin 2𝑥, Cari 𝑑3𝑦 , 𝑑𝑥 3



𝑑4𝑦 , 𝑑𝑥 4



dan



𝑑12 𝑦 𝑑𝑥 12



Penyelesaian: 𝑑𝑦 = 2 cos 2𝑥 , 𝑑𝑥



𝑑2𝑦 = −22 sin 2𝑥, 𝑑𝑥 2



𝑑3𝑦 = −23 cos 2𝑥, 𝑑𝑥 3



357



Diferensial



𝑑4𝑦 = 24 sin 2𝑥, 𝑑𝑥 4



𝑑5𝑦 𝑑12 𝑦 5 cos 2𝑥, … , = 2 = 212 sin 2𝑥, 𝑑𝑥 5 𝑑𝑥 12



Kecepatan dan Percepatan Kita akan memakai pengertian kecepatan saat untuk memotivasi definisi turunan. Kita akan mengkaji ulang pengertian ini dengan memakai sebuah contoh. Juga, sejak saat ini kita akan memakai kata tunggal kecepatan sebagai ganti istilah kecepatan sesaat yang lebih praktis. Contoh 2 Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi 𝑠-nya memenuhi, 𝑠 = 2𝑡 2 − 12𝑡 + 8, dengan 𝑠 diukur dalam sentimeter dan 𝑡 dalam detik. Tentukan kecepatan bilamana 𝑡 = 1 dan 𝑡 = 6. Kapan kecepatannya 0?. Kapan nilainya positif?. Penyelesaian: Jika kecepatan dilambangkan dengan 𝑣(𝑡) untuk kecepatan pada saat 𝑡, maka, 𝑣(𝑡) =



𝑑𝑠 = 4𝑡 − 12 𝑑𝑡



Sehingga pada 𝑡 = 1, maka 𝑣(1) = 4(1) − 12 = −8 𝑐𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 dan pada 𝑡 = 6, maka 𝑣(6) = 4(6) − 12 = 12 𝑐𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 Apabila ingin kecepatan 0, maka 4𝑡 − 12 = 0, yaitu pada saat 𝑡 = 3. Kecepatan positif bila 4𝑡 − 12 > 0, atau pada saat 𝑡 > 3. Terdapat perbedaan teknis antara perkataan kecepatan ( velocity) dengan laju (speed). Kecepatan (velocity) mempunyai sebuah



358



Diferensial



tanda yang dihubungkan dengannya; mungkin positif atau negatif. Sedangkan Laju didefinisikan sebagai nilai mutlak kecepatan. Jadi dalam Contoh 2 di atas, laju pada saat 𝑡 = 1 adalah |−8| = 8 𝑐𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Pengukuran dalam kebanyakan kendaraan adalah laju (speedometer), itu selalu memberikan nilai-nilai tak negatif. Sekarang kita ingin memberi tafsiran fisik mengenai turunan kedua 𝑑2 𝑦 . 𝑑𝑥 2



Tentu saja, ini hanya turunan pertama dari kecepatan. Jadi,



untuk mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu yang dinamakan percepatan. Jika dinyatakan oleh 𝑎, maka 𝑎=



𝑑𝑣 𝑑 2 𝑠 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2



Dalam Contoh 2, 𝑠 = 2𝑡 2 − 12𝑡 + 8, jadi, 𝑣=



𝑑𝑠 = 4𝑡 − 12 𝑑𝑡



𝑎=



𝑑2𝑠 =4 𝑑𝑡 2



Ini berati bahwa kecepatan bertambah dengan suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm/detik setiap detik, yang kita tulis sebagai 4 cm/detik/detik. Contoh 3 Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian sehingga posisinya pada saat 𝑡 dinyatakan oleh 𝑠 = 𝑡 3 − 12𝑡 2 + 36𝑡 − 30 s diukur dalam meter dan t dalam detik a. kecepatan 0?. b. Kapan kecepatan positif?. c. Kapan titik bergerak mundur (yaitu, ke kiri). d. Kapan percepatannya positif?.



359



Diferensial



Penyelesaian a. b. c.



d.



𝑣=



𝑑𝑠 𝑑𝑡



= 3𝑡 2 − 12𝑡 + 36 = 3(𝑡 − 2)(𝑡 − 6). Jadi v=0 pada t=2



dan t=6. 𝑣 > 0 bilamana (𝑡 − 2)(𝑡 − 6) > 0. Atau {𝑡: 𝑡 < 2 atau 𝑡 > 0} atau dalam notasi selang (-∞, 2) ∪ (6, ∞). Titik bergerak kearah negatif bilamana 𝑣 < 0, yaitu (𝑡 − 2)(𝑡 − 6) < 0. Ketaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang (2, 6). 𝑑𝑣 𝑎 = = 6𝑡 − 24 = 6(𝑡 − 4). Jadi 𝑎 > 0 bilamana 𝑡 > 4. Gerak 𝑑𝑡



titik secara menuju positif. Kasus Penerapan Pada Operasi Militer (Setelit NASA) Sebuah Teleskop satelit mata-mata Hubble yang luncurkan pada tanggal 24 April 1990, oleh Pesawat Ulak-alik Discovery. Sebuah model kecepatan dari pesawat ulak-alik selama melakukan misi, dari peluncuran pada 𝑡 = 0 sampai mendorong roket padat untuk meringankan muatan pesawat pada 𝑡 = 126 detik, diberikan oleh rumus: 𝑣(𝑡) = 0,001302𝑡 3 − 0,09029𝑡 2 + 23,61𝑡 − 3,083 (dalam feet (kaki) per detik). Dengan menggunakan model ini, diperkirakan nilai maksimum dan minimum mutlak dari akselerasi pesawat antara peluncuran dan meringankan muatan pesawat dari pendorong.



Gambar 8.4 Satelit Mata-Mata Hubble



360



Diferensial



Penyelesaian: Kita berbicara bukan nilai ekstrim dari fungsi kecepatan yang diberikan, daripada fungsi akselerasi. Juga kita butuhkan turunan pertama untuk mencari akselerasi: 𝑎(𝑡) = 𝑣 ′ (𝑡) =



𝑑 (0,001302𝑡 3 − 0,09029𝑡 2 + 23,61𝑡 − 3,083) 𝑑𝑡



= 0,003906𝑡 2 − 0,18058𝑡 + 23,61 Kita sekarang menerapkan Metode Interval Tertutup untuk fungsi kontinu 𝑎 pada interval 0 ≪ 𝑡 ≪ 126. Turunannya adalah 𝑎′ (𝑡) = 0,007812𝑡 − 0,18058 Hanya angka kristis terjadi ketika 𝑎’(𝑡) = 0: 𝑡1 =



0,18058 ≈ 23,12 0,007812



Mengevaluasi 𝑎(𝑡) pada angka kritis dan titik akhir, kita punya 𝑎(0) = 23,61



𝑎(𝑡1 ) ≈ 21,52



𝑎(126) ≈ 62,87



Juga akselerasi maksimum atas 62,87 ft/𝑠2 dan akselerasi minimum adalah 21,52 ft/𝑠2 . Soal Latihan Untuk soal 1 sampai 3 tentukan persamaan untuk 𝑑𝑦/𝑑𝑥 dalam setiap kasus berikut dan hitung nilai 𝑑𝑦/𝑑𝑥 pada nilai yang ditentukan 𝑥. 1. 𝑦 = 3𝑥 4 − 7𝑥 3 + 8𝑥 − 4 dengan 𝑥 = 2 5 4 3 2. 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 4𝑥 − 4 dengan 𝑥 = −1 3. 𝑦 = 5𝑥 3 − 7𝑥 2 + 4𝑥 − 5 dengan 𝑥 = 3 Untuk soal 4 sampai 9, Tentukan diferensial dari soal-soal dibawah ini. 4. 𝑦 = 𝑒 𝑥 . sin 𝑥



361



Diferensial



5. 6. 7. 8. 9.



𝑦 = 4𝑥 3 . sin 𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑥 . cos 𝑥 𝑦 = cos 𝑥 . sin 𝑥 𝑦 = 3𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑦 = 2𝑥 5 . cos 𝑥



Untuk soal 10 sampai 19 pada masing-masing fungsi berikut, tentukan persamaan untuk 𝑑𝑦/𝑑𝑥. 10. 𝑦 = 𝑥 2 cos 𝑥 11. 𝑦 = 𝑒 𝑥 sin 𝑥 12. 𝑦 = 13. 14. 15. 16.



sin 𝑥



𝑦 = 4𝑥 2 . tan 𝑥 𝑦 = 𝑥 5 . sin 𝑥 𝑦 = 5𝑥 3 . 𝑒 𝑥



𝑦=



17. 𝑦 = 18. 𝑦 = 19. 𝑦 = 20. 21. 22. 23.



4𝑒 𝑥



cos 𝑥 𝑥4 cos 𝑥 sin 𝑥 tan 𝑥 𝑒𝑥 3𝑥 2 cos 𝑥



𝑦 = cos(2𝑥 − 1) 𝑦 = 𝑒 (3𝑥+4) 𝑦 = (5𝑥 − 2)2 𝑦 = 4. 𝑒 sin 𝑥



Referensi. 1. 2. 3.



Boyce, W.E, Diprima, R.C. 1997. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons,Inc. Canada Farlow, S.J. 1994. Introduction to Differential Equations and Their Applications. McGraw-Hill, Inc. New York Kreyszig, E. 1999. Advanced Engineering Mathematics, 8th edition. JohnWiley & Sons, Inc. New York



362 4. 5.



6.



Diferensial



Nagle, R.E, Saff, E.B. 1996. Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems . Addison-Wesley Publishing Company. New York. Stroud, K.A., 2001. Engineering Mathematics 5th Edition. Industrial Press, Inc. 200 Madison Avanue-New York, NY 10016-4076. Williamson, R.E. 1996. Introduction to Differential Equations and Dynamical Systems. The McGraw-Hill Company, Inc. New York



BAB 9 Integral



BAB 9 INTEGRAL Integral adalah proses kebalikan perdiferensial. Pada diferensial kita mulai dengan fungsi dan proses menemukan koefisien diferensialnya. Pada integral kita mulai dengan koefisien diferensial dan kemudian menentukan fungsi dari yang telah diturunkannya. Sebagai contoh,



𝑑 𝑑𝑥



(𝑥 4 ) = 4𝑥 3 . Sehingga, integral 4𝑥 3 terhadap 𝑥



kita ketahui menjadi 𝑥 4 . Ini ditulis ∫ 4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 , simbol ∫ ⋯ 𝑑𝑥 menotasikan integral dari... terhadap 𝑥.



Konstanta Integral Jadi



𝑑 (𝑥 4 ) 𝑑𝑥



Juga



𝑑 (𝑥 4 𝑑𝑥



+ 2) = 4𝑥 3



∴ ∫ 4𝑥 3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 2



dan



𝑑 (𝑥 4 𝑑𝑥



− 5) = 4𝑥 3



∴ ∫ 4𝑥 3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 4 − 5



= 4𝑥 3



∴ ∫ 4𝑥 3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 4



Pada ketiga contoh ini, kita telah mengetahui fungsi dari mana 4𝑥 3 diturunkan menjadi koefisien diferensial. Tetapi beberapa suku konstan pad fungsi awalnya menjadi nol. Pada koefisien diferensial dan semua coretan hilang; Jadi kita mengetahui arah koefisien diferensial 4𝑥 3 , kita tidak dapat menjelaskan nilai suku konstantanya. 0, +2, −5 atau nilai lain. Sehingga kita tidak bisa menentukkan kondisi suku konstan seperti itu dengan menambah simbol 𝐶 ke hasil integral. yaitu ∫ 4𝑥 3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝐶 𝐶 disebut konstanta integral dan harus selalu ditulis.



Integral



363



364



Integral



Integral seperti itu disebut integral tak tentu karena secara normal kita tidak mengetahui nilai C. Namun dalam kondisi tertentu, nilai C mungkin dapat ditentukan jika informasi selanjutnya tentang integral tersedia. Sebagai contoh, tentukan 𝐼 = ∫ 4𝑥 3 . 𝑑𝑥, menunjukkan bahwa 𝐼 = 3 Jika 𝑥 = 1. Seperti sebelumnya 𝐼 = ∫ 4𝑥 3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝐶 Tapi 𝐼 = 3 jika 𝑥 = 1 Jadi, pada kasus ini



∴ 3= 1+𝐶 𝐼 = 𝑥4 + 2



∴ 𝐶=2



9.1 Integral Tak Tentu Setiap koefisien diferensial, ditulis sebagai kebalikan. Yaitu



𝑑 𝑑𝑥



(sin 𝑥) = cos 𝑥



∴ ∫ cos 𝑥. 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶.



Ini dikuti daftar koefisien diferensial standar menyediakan sumber integral standar. a)



𝑑 𝑑𝑥



(𝑥 𝑛 ) = 𝑛. 𝑥 𝑛−1 . Ganti 𝑛 dengan (𝑛 + 1),



𝑑 𝑛+1 (𝑥 ) = (𝑛 + 1)𝑥 𝑛 𝑑𝑥 ∴



𝑑 𝑥 𝑛−1 ( ) = 𝑥𝑛 𝑑𝑥 𝑛 + 1



∴ ∫ 𝑥 𝑛 . 𝑑𝑥 =



𝑥 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1



Ini benar kecuali n=1, karena kemudian kita harus membagi 0 b)



𝑑 (sin 𝑥) 𝑑𝑥



= cos 𝑥



∴ ∫ cos 𝑥. 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶



c)



𝑑 (cos 𝑥) 𝑑𝑥



= −sin 𝑥



∴



𝑑 (− cos 𝑥) 𝑑𝑥



∴ ∫ sin 𝑥. 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶



= sin 𝑥



365



Integral



d)



𝑑 (𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑥



𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥



∴ ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶



e)



𝑑 (𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥



= 𝑒𝑥



∴ ∫ 𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶



f)



𝑑 (𝑙𝑛 𝑑𝑥



1 𝑥



∴ ∫ . 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 𝑥



g)



𝑑 (𝑎 𝑥 ) 𝑑𝑥



= 𝑎 𝑥 . ln 𝑥



∴ ∫ 𝑎 𝑥 . 𝑑𝑥 = +𝐶 ln 𝑎



1



𝑥) = 𝑥



𝑎𝑥



Seperti pada diferensial, koefisien konstan tidak dapat diubah yaitu ∫ 5. cos 𝑥 𝑑𝑥 = 5 sin 𝑥 + 𝐶, dan seterusnya. Tabel 9.1 Koefisien Integral Standar 𝒇(𝒙) 𝑥𝑛 1 𝑎 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑒𝑥 𝑎𝑥 1 𝑥



𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 1 √1 − 𝑥 2 −1 √1 − 𝑥 2 1 1 + 𝑥2 1 √𝑥 2 + 1



∫ 𝒇(𝒙), 𝒅𝒙 𝑥 𝑛+1 +𝐶 𝑛+1 𝑥+𝐶 𝑎𝑥 + 𝐶 − cos 𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 + 𝐶 tan 𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑎 . ln 𝑎 + 𝐶 ln 𝑥 + 𝐶



𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 + 𝐶 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. sin 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. cos 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. tan 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. sinh 𝑥 + 𝐶



366



Integral



𝒇(𝒙)



1 √𝑥 2 − 1 1 1 − 𝑥2



∫ 𝒇(𝒙), 𝒅𝒙



𝑎𝑟𝑐. cosh 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. tanh 𝑥 + 𝐶 (𝑛 ≠ 1)



Rumus-rumus di atas dinamakan integral tak tentu, karena masih terdapat suatu konstanta yang belum di ketahui harganya yaitu 𝐶. Contoh 1 (a). ∫ 𝑥 6 . 𝑑𝑥 =



𝑥7 +𝐶 7



(f). ∫ 𝑥 6 . 𝑑𝑥 =



(b). ∫ 3. 𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 = 3. 𝑒 𝑥 + 𝐶



𝑥7 + 𝐶, 7



(g). ∫ 8. 𝑑𝑥 = 8𝑥 + 𝐶, 3



(c).



∫ 4𝑥 . 𝑑𝑥



=



𝑒 𝑥 . ln 𝑥



+𝐶



6 (d). ∫ . 𝑑𝑥 = 6. ln 𝑥 + 𝐶 𝑥



(h).



1 ∫ 𝑥 2 . 𝑑𝑥



2𝑥 2 = + 𝐶, 3



(i). ∫ 2 cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = 2 sin 𝑥 + 𝐶,



(e). ∫ 5 sin 𝑥 . 𝑑𝑥 = −5 cos 𝑥 + 𝐶 (j). ∫ 𝑥 −3 . 𝑑𝑥 = −



1 + 𝐶, 2𝑥 2



Contoh 2 Tentukan 𝐼 = ∫ 4𝑥 2 . 𝑑𝑥, memberikan 𝐼 = 25 jika 𝑥 = 3 Penyelesaian: 𝐼 = ∫ 4𝑥 2 . 𝑑𝑥 = ∴ 25 = 36 + 𝐶



4𝑥 3 + 𝐶 = 36 + 𝐶 3 ∴ 𝐶 = −11



367



Integral



∴ ∫ 4𝑥 2 . 𝑑𝑥 =



4𝑥 3 − 11 3



Contoh 3 Tentukan 𝐼 = ∫ 5. 𝑑𝑥, memberikan 𝐼 = 16 jika 𝑥 = 2 Penyelesaian: 𝐼 = ∫ 5. 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝐶 = 10 + 𝐶 ∴ 16 = 10 + 𝐶



∴𝐶=6



∴ ∫ 5. 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 6



Contoh 4 Tentukan 𝐼 = ∫ 2 cos 𝑥 . 𝑑𝑥, memberikan 𝐼 = 7 jika 𝑥 =



𝜋 2



Penyelesaian: 𝐼 = ∫ 2 cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = 2 sin 𝑥 + 𝐶 = 10 + 𝐶 = 2 + 𝐶 ∴7 =2+𝐶



∴𝐶=5



∴ ∫ 2 cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = 2 sin 𝑥 + 5



Contoh 5 Tentukan 𝐼 = ∫ 2𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥, memberikan 𝐼 = 50.2 jika 𝑥 = 3 Penyelesaian:



(radian)



368



Integral



𝐼 = ∫ 2𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 = 2𝑒 𝑥 + 𝐶 = 2𝑒 3 + 𝐶 ∴ 50.2 = 2𝑒 3 + 𝐶 = 40.2



∴ 𝐶 = 10



∴ ∫ 2𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 = 2𝑒 𝑥 + 10 9.2 Fungsi dari Fungsi Linier 𝑿 Sering perlu untuk mengintegralkan beberapa fungsi yang ditunjukkan pada integral standar jika variabel, 𝑥, diganti dengan fungsi linier 𝑥, misal bentuk (𝑎𝑥 + 𝑏). Sebagai contoh 𝑦 = ∫(3𝑥 + 2)4 . 𝑑𝑥 adalah struktur yang sama dengan 𝑦 = ∫ 𝑥 4 . 𝑑𝑥 kecuali bahwa 𝑥 digantikan dengan fungsi linier (3𝑥 + 2). Sekarang kita ambil 𝑢 = (3𝑥 + 2). Maka ∫(3𝑥 + 2)4 . 𝑑𝑥, menjadi ∫ 𝑢4 .dx dan kita harus mengubah variabel dalam dx sebelum kita dapat selesaikan. Dengan definisi integral, jika 𝑦 = ∫(3𝑥 + 2)4 . 𝑑𝑥, maka (3𝑥 +



2)4 .



Menerapkan,



𝑢 = 3𝑥 + 2, 𝑢 − 2 = 3𝑥



∴𝑥=



𝑢−2 𝑑𝑥 1 ∴ = 3 𝑑𝑢 3



𝑑𝑦 𝑑𝑥



=



(1)



Jadi 𝑑𝑦 = (3𝑥 − 2)4 = 𝑢4 𝑑𝑥 Sekarang, 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = . 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 Jika



(2)



369



Integral



𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = . 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢



𝜕𝑥 → 0, Dari (1) dan (2),



𝑑𝑦 = 𝑢4 𝑑𝑥 Dan 𝑑𝑥 1 = 𝑑𝑢 3



∴



𝑑𝑦 1 = 𝑢4. 𝑑𝑢 3



1 1 𝑢5 1 (3𝑥 + 2)5 ∴ 𝑦 = ∫ 𝑢4 . . 𝑑𝑢 = . + 𝐶 = . +𝐶 3 3 5 3 5 ∴



(𝟑𝒙 + 𝟐)𝟓 𝟏𝟓



Jadi. Untuk menintegralkan fungsi linier x, sederhanakan dengan



mengganti x dengan hasil standar yang berhubungan dengan fungsi linier dan dibagi koefisien x pada fungsi liniernya. Contoh 1 ∫(4𝑥 − 3)2 . 𝑑𝑥 Penyelesaian: Integral Standar ∫ 𝑥 2 . 𝑑𝑥 = ∴ ∫(4𝑥 − 3)2 . 𝑑𝑥 =



𝑥3 3



+𝐶



(4𝑥 − 3)3 1 (𝟒𝒙 − 𝟑)𝟑 . +𝐶 = +𝑪 3 4 𝟏𝟐



Contoh 2 ∫ cos 3𝑥 . 𝑑𝑥 Penyelesaian:



370



Integral



Integral Standar ∫ cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 1 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒙 ∴ ∫ cos 3𝑥 . 𝑑𝑥 = sin 3𝑥. + 𝐶 = +𝑪 3 𝟑 Contoh 3 ∫ 𝑒 5𝑥+2 . 𝑑𝑥 Penyelesaian: Integral Standar ∫ 𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 1 𝒆𝟓𝒙+𝟐 ∴ ∫ 𝑒 5𝑥+2 . 𝑑𝑥 = 𝑒 5𝑥+2 . 𝑑𝑥 = +𝑪 5 𝟓 Pada bab sebelumnya, kita menurunkan fungsi polinomial dengan memperhatikan suku yang terpisah satu demi satu. Ini tidak mengejutkan, sehingga kita dapat mengerjakan yang sama dengan integral fungsi polinomial. 9.3 Integral Fungsi Polinomial Fungsi polinomial diintegralkan suku demi suku dengan konstan integral individu ditetapkan dengan satu simbol 𝐶 untuk semua fungsi. Sebagai contoh 1.



∫(4𝑥 3 + 5𝑥 2 − 2𝑥 + 7)𝑑𝑥 = 𝑥 4 +



2.



∫(cos 2𝑥 − 3 sin 𝑥)𝑑𝑥 =



3.



∫ (4. 𝑒 2𝑥+4 + 4𝑥−1) 𝑑𝑥 =



3



sin 2𝑥 2



5𝑥 3 3



+ 𝑥 2 + 7𝑥 + 𝐶



+ 3 cos 𝑥 + 𝐶



4.𝑒 2𝑥+4 2



+



3.ln(4𝑥−1) 4



+𝐶



371



Integral 3 4



= 2. 𝑒 2𝑥+4 + . ln(4𝑥 − 1) + 𝐶 Jadi, bagaimana dengan yang satu ini? Jika I=∫(8𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥, tentukan nilai 𝐼 jika 𝑥 = 3, yang menghasilkan bahwa pada 𝑥 = 2, 𝐼 = 26. Pertama-tama kita menentukan fungsi untuk I, jadi penyelesaian integral, kita peroleh ∫(8𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥 = 2𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 + 𝐶 Sekarang kita dapat menghitung C sejak kita tentukan bahwa jika x=2, I=26. Jadi, mengekspresikan fungsi untuk I dalam bentuk jaringan kita mempunyai. I= {[(2𝑥 − 1)𝑥 + 2]𝑥 − 5}𝑥 + 𝐶 Substitusi 𝑥 = 2. Kita peroleh 26 = 22 + 𝐶 ∴ 𝐶 = 4 Sehingga 𝐼 = {[(2𝑥 − 1)𝑥 + 2]𝑥 − 5}𝑥 + 4 Contoh 1 Sekarang ada tipe yang sama untuk lainnya. Tentukan nilai 𝐼 = ∫(4𝑥 3 − 6𝑥 2 − 16𝑥 + 5)𝑑𝑥 jika 𝑥 = −2, menghasilkan bahwa pada 𝑥 = 3, 𝐼 = −13. Penyelesaian: Seperti sebelumnya a. Bentuklah integralnya. b. Tunjukkan fungsi hasil dalam bentuk jaringan. c. Nyatakan konstantan integral, menggunakan fakta bahwa jika x=3, I=-13. d. Tentukan nilai I jika x=-2 Metode ini seluruhnya.



sama



dengan



sebelumnya,



sehingga



kerjakan



372



Integral



∴ jika 𝑥 = −2 maka 𝐼 = 12 Berikut adalah cek penyelesaian tersebut a. b. c. d.



𝐼 = 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 8𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑐. Jaringan 𝐼 = {[(𝑥 − 2)𝑥 − 8]𝑥 + 4}𝑥 + 𝐶. Pada 𝑥 = 3, 𝐼 = −13 = −33 + 𝐶 ∴ 𝐶 = 20 {[(𝑥 ∴𝐼= − 2)𝑥 − 8]𝑥 + 4}𝑥 + 20 ∴ jika 𝑥 = −2, 𝐼 = 12



9.4 Integral dengan Pecahan Parsial Persamaan seperti ∫



7𝑥−8 𝑑𝑥 2𝑥 2 +11𝑥+5



standar tetapi untuk penerapan matematis.



tidak terdapat pada daftar integral



menyelesaikannya



Kita lihat bahwa persamaan



7𝑥−8 2𝑥 2 +11𝑥+5



terdapat



beberapa



dapat ditunjukkan dalam



pexahan parsial yang lebih sederhana pada strukturnya. Kenyataannya



2𝑥 2



7𝑥 − 8 7𝑥 − 8 3 1 = = + + 11𝑥 + 5 (𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) 𝑥 + 5 2𝑥 + 1



Sehingga, ∫



7𝑥 − 8 3 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 2𝑥 2 + 11𝑥 + 5 𝑥+5 2𝑥 + 1



Pecahan parsial ini adalah fungsi dari fungsi linier x, berdasarkan 1 integral standar ∫ sehingga hasilnya jelas. 𝑥



∫



2𝑥 2



7𝑥 − 8 7𝑥 − 8 3 1 𝑑𝑥 = ∫ =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + 11𝑥 + 5 (𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) 𝑥+5 2𝑥 + 1



373



Integral



1 = 3 ln(𝑥 + 5) + ln(2𝑥 + 1) + 𝐶 2 Contoh 1 Tentukan, ∫



3𝑥 2 + 18𝑥 + 3 𝑑𝑥 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2



Penyelesaian: Dengan dengan menggunakan rumus aturan pecahan parsial yaitu: 3𝑥 2 + 18𝑥 + 3 13𝑥 + 5 =1+ 2 2 3𝑥 + 5𝑥 − 2 3𝑥 + 5𝑥 − 2 Faktorisasi penyebut menjadi (3𝑥 − 1)(𝑥 + 2) sehingga pecahan parsial dan dari,



dan



13𝑥 + 5 13𝑥 + 5 = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2 (3𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 13𝑥 + 5 𝐴 𝐵 = + (3𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) 3𝑥 − 1 𝑥 + 2



∴ 13𝑥 + 5 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(3𝑥 − 1) = 𝐴𝑥 + 2𝐴 + 3𝐵𝑥 − 𝐵 = (𝐴 + 3𝐵)𝑥 + (2𝐴 − 𝐵) [𝑥] ∴ 𝐴 + 3𝐵 = 13 [𝐶𝑇] 6𝐴 − 3𝐵 = 15 + 𝟕𝑨 = 28 𝟐𝟖 ∴𝑨= =𝟒 𝟕 ∴ 𝐴 + 3𝐵 = 13 → 4 + 3𝐵 = 13 → 3𝐵 = 13 − 4 → 3𝐵 = 9 ∴ 𝑩 = 𝟑



374



∴



Integral



13𝑥 + 5 4 3 = + (3𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) 3𝑥 − 1 𝑥 + 2



∴∫



3𝑥 2 + 18𝑥 + 3 4 3 𝑑𝑥 = ∫(1 + + )𝑑𝑥 2 3𝑥 + 5𝑥 − 2 3𝑥 − 1 𝑥 + 2 =𝑥+



4. ln(3𝑥 − 1) + 3. ln(𝑥 + 2) + 𝐶 3



Contoh 2 Tentukan, ∫



4𝑥 2 + 26𝑥 + 5 𝑑𝑥 2𝑥 2 + 9𝑥 + 2



Penyelesaian: Dengan dengan menggunakan rumus aturan pecahan parsial yaitu:



dan



4𝑥 2 + 26𝑥 + 5 8𝑥 − 3 =2+ 2 2 2𝑥 + 9𝑥 + 4 2𝑥 + 9𝑥 + 4 8𝑥 − 3 𝐴 𝐵 = + (𝑥 + 4)(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4 2𝑥 + 1



∴ 8𝑥 − 3 = 𝐴(2𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 + 4) = 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 + 4𝐵 = (2𝐴 + 𝐵)𝑥 + (𝐴 + 4𝐵) [𝑥] ∴ 8𝐴 + 4𝐵 = 32 [𝐶𝑇] 𝐴 − 4𝐵 = −3 𝟕𝑨 = 35 𝟑𝟓 ∴𝑨= =𝟓 𝟕 ∴ 2𝐴 + 𝐵 = 8 → 10 + 𝐵 = 8 → 𝐵 = 8 − 10 = −2 ∴ 𝑩 = −𝟐



375



Integral



∴



8𝑥 − 3 5 2 = − (𝑥 + 4)(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4 2𝑥 + 1



∴∫



4𝑥 2 + 26𝑥 + 5 5 2 𝑑𝑥 = ∫(2 + − )𝑑𝑥 2 2𝑥 + 9𝑥 + 4 𝑥 + 4 2𝑥 + 1 2. ln(2𝑥 + 1) +𝐶 2 = 2𝑥 + 5. ln(𝑥 + 4) − ln(2𝑥 + 1) + 𝐶



= 2𝑥 + 5. ln(𝑥 + 4) −



Contoh 3 Tentukan, ∫ Penyelesaian:



16𝑥 + 7 𝑑𝑥 6𝑥 2 + 𝑥 − 12



Dengan dengan menggunakan rumus aturan pecahan parsial yaitu: 16𝑥 + 7 16𝑥 + 7 𝐴 𝐵 = = + 2 6𝑥 + 𝑥 − 12 (2𝑥 + 3)(3𝑥 − 4) 2𝑥 + 3 3𝑥 − 4 dan



∴ 16𝑥 + 7 = 𝐴(3𝑥 − 4) + 𝐵(2𝑥 + 3) = 3𝐴𝑥 − 4𝐴 + 2𝐵𝑥 + 3𝐵 = (3𝐴 + 2𝐵)𝑥 − (4𝐴 + 3𝐵) [𝑥] ∴ 9𝐴 + 6𝐵 = 48 [𝐶𝑇] 8𝐴 − 6𝐵 = 14 + 𝟏𝟕𝑨 = 34 𝟑𝟒 ∴𝑨= =𝟐 𝟏𝟕 ∴ 3𝐴 + 2𝐵 = 16 → 6 + 2𝐵 = 16 → 2𝐵 = 16 − 6 = −2 ∴ 𝑩 = 𝟓 ∴



16𝑥 + 7 2 5 = + (2𝑥 + 3)(3𝑥 − 4) 2𝑥 + 3 3𝑥 − 4



376



∴∫



Integral



16𝑥 + 7 2 5 𝑑𝑥 = ∫( + )𝑑𝑥 6𝑥 2 + 𝑥 − 12 2𝑥 + 3 3𝑥 − 4 = ln(2𝑥 + 3) +



5. ln(3𝑥 − 4) +𝐶 3



5 = ln(2𝑥 + 3) + ln(3𝑥 − 4) + 𝐶 3 9.5 Integral Tertentu Dimisalkan 𝑓 (𝑥) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] dan dapat terintegralkan, maka: 𝑏



∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎



Disebut integral tentu (integral Riemann) dari 𝑓(𝑥) mulai 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏. Adapu harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan rumus dasar sebagai berikut: Jika diketahui anti turunan dari 𝑓(𝑥) adalah 𝐹(𝑥) maka: 𝑏



𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎



𝑎



Selanjutnya juga perlu diketahui bahwa integral tertentu mempunyai sifat-sifat yang sama dengan integral tak tentu dalam hal operasi aljabar, baik penjumlahan, pengurangan dua fungsi atau lebih maupun perkalian antara suatu fungsi dengan bilangan konstan.



377



Integral



Contoh 1 Hitunglah: 2



∫(4𝑥 − 9𝑥 2 )𝑑𝑥 1



Penyelesaian: 2



2 ∫(4𝑥 − 9𝑥 2 )𝑑𝑥 = [2𝑥 2 − 3𝑥 3 ] = {2(4) − 3(8)} − {2(1) − 3(1)} 1 1



= {8 − 24} − {2 − 3} = −16 + 1 = −𝟏𝟓



Contoh 2 Hitunglah: 1/4𝜋



∫ 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑥). cos(2𝑥)𝑑𝑥 0



Penyelesaian: 1/4𝜋



∫ 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑥). cos(2𝑥)𝑑𝑥 0



Misal



1 2



𝑢 = sin 2𝑥 → 𝑑𝑢 = 2 cos 2𝑥𝑑𝑥 → 𝑑𝑢 = cos 2𝑥𝑑𝑥



soal tersebut dapat diganti: 1/4𝜋



∫



1/4𝜋



𝑠𝑖𝑛3 (2𝑥). cos(2𝑥)𝑑𝑥



0



1/4𝜋



1 1 = ∫ 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑥). cos(2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 2 2 0



=



sehingga



1 𝑢4 𝑠𝑖𝑛4 2𝑥 +𝐶 = +𝐶 2 4 8



0



378



Integral



Karena itu, menurut Teorema Dasar 1/4𝜋



𝑠𝑖𝑛4 2𝑥 1/4𝜋 𝜋 ∫ 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑥). cos(2𝑥)𝑑𝑥 = [ ] = 1/8(𝑠𝑖𝑛4 − 𝑠𝑖𝑛4 0) 0 8 2 0



=



𝟏 𝟏 = 𝟖(𝟏 − 𝟎) 𝟖



Luas Daerah di Bawah Kurva Luas daerah dibawah suatu kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) diatas sumbu 𝑥 dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 sebagaimana tampak pada Gambar 9.1 dibawah yaitu daerah yang diarsir dapat dihitung dengan rumus:



Gambar 9.1 Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑏



𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 𝑎



𝑏



atau 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 dalam satuan luas 𝑎



Contoh 3 Hitunglah luas daerah yang diarsir pada Gambar 9.2 di bawah ini!



379



Integral



Gambar 9.2 Kurva 𝑦 = 𝑥 2 + 1 Penyelesaian: Luas daerah yang diarsir (𝐴) 2



1 2 𝐴 = ∫(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = [ 𝑥 3 + 𝑥] −2 3 −2



1 1 = { (2)3 + 2} − { (−2)3 + (−2)} 3 3 8 −8 = { + 2} − { − 2} 3 3 =



16 28 𝟏 +4= = 𝟗 𝐬𝐚𝐭𝐮𝐚𝐧 𝐥𝐮𝐚𝐬 3 3 𝟑



Contoh 4 Hitunglah luas daerah antara kurva 𝑦 = 2 + √𝑥 dan sumbu 𝑥 dari 𝑥 = 1 sampai 𝑥 = 4. Penyelesaian: 4



2 3 4 𝐴 = ∫(2 + √𝑥)𝑑𝑥 = [2𝑥 + 𝑥 2 ] 1 3 1



380



Integral



3 3 2 2 = {2(4) + ( ) (4)2 } − {2(1) + ( ) (1)2 } 3 3



= {8 + =



16 2 } − {2 + } 3 3



40 8 32 𝟐 − = = 𝟏𝟎 𝐬𝐚𝐭𝐮𝐚𝐧 𝐥𝐮𝐚𝐬 3 3 3 𝟑



Luas Daerah Antara Dua Kurva Jika diketahui kurva-kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) dan keduanya kontinu pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Maka luas daerah antara kedua kurva tersebut dari 𝑥 = 𝑎 sampai𝑥 = 𝑏 dapat ditentukan dengan rumus: 𝑏



𝐴 = ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 satuan luas 𝑎



Gambar 9.3 Kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) Harga batas a dan dalam hal ini tidak selalu telah diketahui secara eksplisit, namun dapat ditentukan, yaitu dengan jalan mencari titik potong antara kedua kurva (tergantung maslahnya).



381



Integral



Contoh 5 Hitunglah luas daerah antara kurva 𝑦 = 2 − 𝑥 2 dan kurva 𝑦 = 𝑥 seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 9.4 dibawah.



Gambar 9.4 Kurva 𝑦 = 2 − 𝑥 2 dan 𝑦 = 𝑥 Penyelesaian: Pertama-tama xari dahulu batas potongan integrasinya, yaitu titik potong kedua kurva 2 − 𝑥 2 = 𝑥 → 2 − 𝑥 2 − 𝑥 = 0 → 𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 0 sehingga (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0. 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2 atau 𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1 Jadi, batas integrasi untuk menghitung luas daerah yang dimaksud adalah 𝑥 = −2 sampai 𝑥 = 1, sehingga: 1



1



𝐴 = ∫{(2 − 𝑥 2 ) − 𝑥}𝑑𝑥 = ∫(−𝑥 2 − 𝑥 + 2)𝑑𝑥 −2



=[



−2



−1 3 1 2 1 𝑥 − 𝑥 + 2𝑥] −2 3 2



382



Integral



−1 1 −1 1 = { (1)3 − (1)2 + 2(1)} − { (−2)3 − (−2)2 + 2(−2)} 3 2 3 2 −1 1 −8 4 ={ − + 2} − { − − 4} 3 2 3 2 7 20 27 𝟏 = + = = 𝟒 𝐬𝐚𝐭𝐮𝐚𝐧 𝐥𝐮𝐚𝐬 6 6 6 𝟐 Contoh 6 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabol 𝑦 2 = 4𝑥 dan garis yang persamaannya 4𝑥 – 3𝑦 = 4 Penyelesaian: Kedua kurva 𝑦 2 = 4𝑦 dan 4𝑥 – 3𝑦 = 4 dipotongkan sehingga diperoleh :



𝑦 2 − 3𝑦 = 4 𝑦 2 − 3𝑦 − 4 = 0 (𝑦 − 4)(𝑦 + 1) = 0



𝑦−4=0 →𝑦 =4 𝑦 + 1 = 0 → 𝑦 = −1 Untuk 𝑦 = 4 diperoleh 𝑥 = 4 dan 𝑦 = −1 diperoleh 𝑥 = 1/4 1 Jadi titik potong kedua kurva (4, 4) dan ( , 1). 4



Daerah yang dicari luasnya tampak seperti Gambar 9.5 berikut.



1 4



Gambar 9.5 Kurva perpotongan (4, 4) dan ( , 1).



383



Integral



Dalam hal ini luasnya dihitung denganrumus: 𝑏



𝐴 = ∫{𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)}𝑑𝑦 𝑎



Bila ditulis dalam fungsi 𝑦 didapat:



𝑦2 = 4



1 𝑥 = 𝑦2 4



4𝑥 − 3𝑦 = 4



3 𝑥= 𝑦+1 4



Jadi luas daerah tersebut: 4



4



−1



−1



3 𝑦2 1 𝐴 = ∫ 𝑦 + 1 − 𝑑𝑦 = ∫(3𝑦 + 4 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 4 4 4 1 3 1 4 = [ ( 𝑦 2 + 4𝑦 − 𝑦 3 )] −1 4 2 3 1 3 1 1 3 1 = { ( (4)2 + 4(4) − (4)3 )} − { ( (1)2 + 4(1) − (1)3 )} 4 2 3 4 2 3 1 3 1 1 3 1 125 = { ( (16) + 16 − (64))} − { ( (1) + 4 − )} = 4 2 3 4 2 3 25 = 5,21 satuan luas Menghitung Volume Beda Putar Jika suatu daerah di bawah kurva 𝑦 = 𝑓 (𝑥) antara garis 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 diputar mengelilingi sumbu 𝑥 sejauh satu putaran ( 360𝑜 ), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :



384



Integral 𝑏



𝑉=



𝑏



𝜋 ∫{𝑓(𝑥)}2 𝑑𝑥



atau 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦 2 𝑑𝑥



𝑎



𝐬𝐚𝐭𝐮𝐚𝐧 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞



𝑎



Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva 𝑥 = 𝑓 (𝑦) antara 𝑦 = 𝑎 dan 𝑦 = 𝑏 di putar mengelilingi sumbu 𝑌 sejauh satu putaran maka volume benda putarnya : 𝑏



𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑦



𝐬𝐚𝐭𝐮𝐚𝐧 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞



𝑎



Gambar 9.6 Kurva volume 𝑦 = 𝑓(𝑥) Contoh 7 Daerah yang di batasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 2 , sumbu 𝑥 dan garis 𝑥 = 3 di putar mengelilingi sumbu 𝑥 sejauh 360𝑜 Hitunglah volume benda putar yang terbentuk! Penyelesaian: Isi (volume) benda putar yang terjadi:



385



Integral 3



𝑉=



3



𝜋 ∫ 𝑦 2 𝑑𝑥 0



=



3



𝜋 ∫(𝑥 2 )2 𝑑𝑥 0



= 𝜋 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 0



1 1 1 3 = [ 𝜋𝑥 5 ] = { 𝜋(3)5 } − { 𝜋(0)5 } = 𝟒𝟖, 𝟔𝝅 𝐬𝐚𝐭𝐮𝐚𝐧 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 0 5 5 5 Contoh 8 Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 3 , sumbu 𝑦 dan garis 𝑦 = 3 diputar satu putaran mengelilingi sumbu 𝑦! Penyelesaian: Dalam masalah ini akan lebih mudah jika digunakan perubah integral dalam 𝑦, sehingga volume benda putar yang terbentuk dihitung dengan rumus : 𝑏



𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑎 1



Karena 𝑦 = 𝑥 3 maka 𝑥 = 𝑦 3 sehingga didapat 𝑏



𝑉=



2 𝜋 ∫(𝑦 1/3 ) 𝑑𝑦 𝑎



=



𝑏



3 3 = 𝜋 ∫ 𝑦 2/3 𝑑𝑦 = 𝜋. 𝑦 5/3 ] 0 5 𝑎



3 . 𝜋. (3)5/3 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟔 𝐬𝐚𝐭𝐮𝐚𝐧 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞 5



386



Integral



9.6 Integral Lipat 9.6.1 Integral Lipat Dua Pernyataan,



𝑦2



𝑥2



∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦1



𝑥1



Disebut integral lipat dua (double integral) alasannya jelas, dan menunjukkan bahwa (i) Pertama-tama 𝑓(𝑥, 𝑦) diintegrasikan terhadap 𝑥 (dengan menganggap 𝑦 konstan) dengan batas 𝑥 = 𝑥1 dan 𝑥 = 𝑥2 . (ii) Hasilnya kemudian diintgrasikan terhadap 𝑦 dengan batas 𝑦 = 𝑦1 dan 𝑦 = 𝑦2 . Contoh 1 Hitunglah, 2



4



𝐼 = ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 1



2



Penyelesaian: Jadi, pertama-tama (𝑥 + 2𝑦) diintegrasikan dahulu terhadap 𝑥 di antara 𝑥 = 2 dan 𝑥 = 4, dengan 𝑦 untuk sementara dianggap konstan. 2



𝐼=∫ 1 2



=∫ [ 1



4



∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥



𝑑𝑦



2



𝑥2 4 + 2𝑥𝑦] . 𝑑𝑦 2 2



2



= ∫ {(8 + 8𝑦) − (2 + 4𝑦)}𝑑𝑦 1



387



Integral 2



2 = ∫ (6 + 4𝑦)𝑑𝑦 = [6𝑦 + 2𝑦 2 ] 1 1 = (12 + 8) − (6 + 2) = 20 − 8 = 𝟏𝟐 Contoh 2 Hitunglah, 2



3



𝐼 = ∫ ∫ 𝑥 2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 1



0



Penyelesaian: 2 2 𝑥3 9𝑦 2 2 𝑥=3 𝐼 = ∫ [ . 𝑦] 𝑑𝑦 = ∫ (9𝑦)𝑑𝑦 = [ ] = 18 − 4,5 = 𝟏𝟑, 𝟓 𝑥=0 3 2 1 1 1



Contoh 3 Hitunglah, 2



𝜋



𝐼 = ∫ ∫ (3 + sin 𝜃)𝑑𝜃𝑑𝑟 1



0



Penyelesaian: Ini jalannya: 2



𝜋



𝐼 = ∫ ∫ (3 + sin 𝜃)𝑑𝜃𝑑𝑟 1 2



0 2



𝜋 = ∫ [3𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃] 𝑑𝑟 = ∫ {(3𝜋 + 1) − (−1)}𝑑𝑟 0 1 1



388



Integral 2



2 = ∫ (3𝜋 + 2)𝑑𝑟 = [(3𝜋 + 2)𝑟] = (3𝜋 + 2)(2 − 1) = 𝟑𝝅 + 𝟐 1 1 9.6.2 Integral lipat tiga Kadang-kadang kita harus berhadapan dengan pernyataan sebagai berikut. 𝑏



𝑑



𝑓



𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑎



𝑐



𝑒



Tetapi aturannya tetap sama, mulailah dengan integral yang paling dalam dan berturut-turut makin keluar. 3 2 𝑏



𝑑



∫



∫



𝑎



𝑐



1



𝑓



∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥



𝑑𝑦



𝑑𝑧



𝑒



Semua simbol untuk sementara dianggap konstan, kecuali satu variabel yang sedang digunakan pada tahap integral tersebut. Cobalah langsung contoh berikut ini. Contoh 4 Hitunglah, 3



1



2



𝐼 = ∫ ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1



−1 0



Penyelesaian: 3



1



2



𝐼 = ∫ ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦 − 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1



−1 0



389



Integral 3 1 𝑥2 2 = ∫ ∫ [ + 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑧] 𝑑𝑦𝑑𝑧 0 1 −1 2 3



1



3



1 = ∫ ∫ (2 + 4𝑦 − 2𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ [2𝑦 + 2𝑦 2 − 2𝑦𝑧] 𝑑𝑧 −1 1 −1 1 3



3



= ∫ {(2 + 2 − 2𝑧) − (−2 + 2 + 2𝑧)}𝑑𝑧 = ∫ 4 − 4𝑧)𝑑𝑧 1



1



3 = [4𝑧 − 2𝑧 2 ] = (12 − 18) − (4 − 2) = −𝟖 1 Contoh 5 Hitunglah, 2



3



1



𝐼 = ∫ ∫ ∫ (𝑝2 + 𝑞 2 − 𝑟 2 )𝑑𝑝. 𝑑𝑞. 𝑑𝑟 1



0



0



Penyelesaian: Karena, 2



3



1



𝐼 = ∫ ∫ ∫ (𝑝 2 + 𝑞 2 − 𝑟 2 )𝑑𝑝. 𝑑𝑞. 𝑑𝑟 1



0



0



2 3 𝑝3 1 = ∫ ∫ [ + 𝑝𝑞 2 − 𝑝𝑟 2 ] 𝑑𝑞. 𝑑𝑟 0 3 1 0 2 3 1 = ∫ ∫ { + 𝑞 2 − 𝑟 2 } 𝑑𝑞. 𝑑𝑟 1 0 3 2



𝑞 𝑞3 3 = ∫ [ + − 𝑞𝑟 2 ] 𝑑𝑟 0 3 3 1 2



= ∫ (1 + 9 − 3𝑟 2 )𝑑𝑟 1



390



Integral



2 = [𝑟 + 9𝑟 − 𝑟 3 ] = (2 + 18 − 8) − (1 + 9 − 1) = 12 − 9 = 𝟑 1 Kasus Integral Pada Operasi Militer Mempertimbangkan skenario yang tepat dimana sebuah unmanned border security radar station mendeteksi masuknya rudal (ICBM) masuk ke area pertahanan negara pada kecepatan/laju 2.000 𝑚/ 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Rudal diketahui pada titik horizon pada sudut 20𝑜 atas permukaan. Diperkirakan ketinggian rudal 50.000 𝑚 diatas permukaan bumi dan kepalanya pada sudut 80𝑜 dalam keadaan normal. Stasion mempunyai empat sistem pencegah otomatis untuk rudal udara dengan daftar digambarkan pada Tabel 9.2. Asumsi firepower (daya dorong) dari rudal masin-masing adalah kapabilitas keberhasilan mencegah rudal tersebut. Tabel 9.2 Kecepatan Rudal Tipe Rudal



Kecepatan



Patriot KS-1 HQ-9 S-300



Mach 5,0 750 m/detik Mach 4,2 1.800 m/detik



Operation Delay 72 30 70 42



detik detik detik detik



Berdasarkan informasi diatas, carilah rudal yang datang untuk dicegah dan juga cari lokasi pencegahan dan juga sudut (dengan tanah) dari misl saat meluncur. Rudal dicegah kurang 5.000 m diatas permukaan tidak bermaksud merusak. Analisis gerak proyektil dari rudal memakai fungsi nilai vektor termasuk integral dari fungsi nilai vektor dalam teknik pesawat dimensi dua. Selanjutnya posisi mencegah dan waktu dihitung menggunakan sistem dan teknik trigonometri.



Missile



391



Integral



Gambar 9.7 Lokasi misl datang pada waktu deteksi Tahapan permasalahan masuk/masuknya rudal dideteksi di ketinggian 50.000 𝑚 atas tanah dengan kecepatan 2.000 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 kepalanya di sudut 80𝑜 dalam sudut normal dan 20𝑜 atas permukaan. Yang mana, karena itu waktu di saat masuk mis1l saat dideteksi dengan adalah 𝑡𝑜 = 0. Informasi ini diberikan, sesuai perhitungan lokasi dari dasar sistem deteksi rudal dan setup fungsi nilai vektor untuk menggambarkan gerak masuk dan kepergian rudal. Lokasi didasarkan oleh kepatuhan untuk masuk rudal pada 𝑡𝑜 adalah (𝑥, 𝑦) = (



50.000 , 0) tan 20𝑜



= (50.000 cot(20𝑜 ) , 0)(137,137, 0)



(1)



Posisi rudal digambarkan oleh fungsi nilai vektor, 𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗



(2)



Karena hanya gaya rudal adalah gravitasi, yang mana akselerasi 𝑎(𝑡) = 9,8 𝑚/𝑠2 arah 𝑗, fungsi akhir waktu kecepatan diberikan oleh,



392



Integral



𝑣(𝑡) = ∫ 𝑎𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑎𝑦 (𝑡)𝑗 = ∫ 0𝑖 − 9,8𝒋 = (𝑣0 )𝒊 + (𝑣0 − 9,8𝑡)𝒋



(3)



Demikian juga, fungsi posisi dari rudal diberikan oleh integral dari fungsi kecepatan mereka. 𝑟(𝑡) = ∫ 𝑣𝑥 (𝑡)𝒊 + 𝑣𝑦 (𝑡)𝒋𝑑𝑡 = ∫ 𝑣𝑥 𝒊 + (𝑣𝑦 − 9,8)𝒋



= (𝑥0 + 𝑣𝑥 𝑡 + (𝑦0 + 𝑣𝑦𝑡 −



9,8𝑡 2 )𝒋 2



(4)



Tahapan permasalahan masuk rudal harus dicegah sebelum mencapai ketinggi kritis 5.000 𝑚. Oleh karena itu penting untuk mencari waktu kritis 𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 diambil untuk masuk rudal untuk mencapai ketinggian kritis. Ini akan diterima oleh komponen j dari persamaan posisi vektor untuk ketinggian kritis 𝑦𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 dan pemecahan pada 𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 : 𝑦𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 = 𝑦0 + 𝑣𝑦 𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 −



2 9,8𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 2



(5)



Sekali wajtu kritis dibuat akan dibandingkan dengan waktu tunggu dari perbedaan rudal akan digunakan untuk mencegah datangnya rudal. Hanya dengan waktu nunggu yang kecil waktu kritis 𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 akan dipertibangkan oleh sistem embedded pada ketepatan pencegat. Dalam urutan untuk mencari titik (s) dari pencegahan and sudut peluncuran pada peluncuran persamaan sistem rudal harus diatur. Lebih sesuai untuk mengatur persamaan komponen 𝒊 untuk yang lainnya dan pemecahan pada 𝑡𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ . Itu penting untuk menyimpan



393



Integral



dalam ingatan waktu pada peluncuran rudal akan diberikan oleh (𝑡 − 𝑡𝑛𝑢𝑛𝑔𝑔𝑢 ) dimana 𝑡𝑡𝑢𝑛𝑔𝑔𝑢 adalah menunggu operasi pada spesifikasi rudal pencegah. Ulangi prosedur yang sama dengan komponen 𝒋, sumbat dalam 𝑡𝑝𝑒𝑛𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ dan penyelesaian untuk sudut 𝜃 dari ketinggian dari tanah untuk peluncuran rudal. Sekali lagi 𝑡𝑝𝑒𝑛𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ dan 𝜃 adalah dibentuk, memungkin untuk variasi posisi pada 𝑡𝑝𝑒𝑛𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ dari keduanya masuk dan keluar rudal adalah sama, artinya berhasil mencegah dari rudal masuk: 𝑟𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 (𝑡𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ ) = 𝑟𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 (𝑡𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ )



(6)



Penyelesaian: Dengan informasi yang diberikan, lokasi berdasarkan dengan aturan rudal masuk mempunyai 𝑡0 perhitungan di (1). Itu diketahui rudal meluncur pada kecepatan konstan 2.000 m/detik pada 80𝑜 dari normal di kedua arah 𝒊 dan 𝒋 dan itu titik pertama di ketinggian 50.000 m. Ini, fungsi posisi gerak diuraikan dari rudal: 𝑟𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 (𝑡) = (2.000 sin(80𝑜 )𝑡)𝒊 + (50.000 − 2.000 cos(80𝑜 )𝑡 − 4,9𝑡 2 )𝒋



(7)



Rudal masuk harus dicegah sebelum menjangkau ketinggian dibawah 5.000 𝑚. Waktu untuk rudal mencapai ketingian kritis 5.000 𝑚 dibangun menggunakan fungsi gerak diuraikan dalam arah 𝒋 berikut: 5.000 = 50.000 − 2.000 cos(80𝑜 )𝑡 − 4,9𝑡 2



(8)



Pemecahan (8) menghasilkan 𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 = 66,74 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘.



(9)



Ini berarti sistem deteksi rudal sekitar 67 detik untuk menentukan rudal yang mana untuk digunakan, tujuan dan pembakaran sebelum rudal masuk menjangkau ketinggian kritis. Sistem mempunyai pilihan dari penggunaan empat tipe berbeda yang memuat rudal, tetapi untuk batas waktu 66,74 detik. Rudal Patriot dan HQ-9 diluncurkan karena waktu nunggu lebih tinggi dari waktu pembatas. Rudal patriot mempunyai waktu tunggu 72 detik dan HQ-9 mempunyai waktutunggu 70 detik; keduanya melampau 𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠



394



Integral



(lihat Tabel 9.2). Menuju sistem dengan hanya dua pilihan yaitu rudal KS-1 dan Rudal S-300. Tahap berikutnya memverifikasi rudal pilihan rudal terbaik untuk dibandingkan satu sama lainnya untuk mencegah rudal masuk setelah menunggu operasi dan sebelum menjangkau ketinggina kritis. Ini akan dikerjakan oleh setting persamaan posisi rudal masuk sama untuk rudal keluaruntuk mencari waktu pencegahan dan sudut peluncuran. Catatan oleh (1) dan (4) rudal keluar akan memenuhi berikut. 𝑟𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 (𝑡) = (50.000𝑐𝑜𝑡20𝑜 − 𝑣𝑐𝑜𝑠(𝜃)(𝑡 − 𝑡𝑛𝑢𝑛𝑔𝑔𝑢 )) 𝒊 + (𝑣𝑠𝑖𝑛 𝜃(𝑡 − 𝑡𝑛𝑢𝑛𝑔𝑔𝑢 ) − 4,9(𝑡 − 𝑡𝑛𝑢𝑛𝑔𝑔𝑢 )2 )𝒋



(10)



Menggunakan nilai pada Rudal KS-1 di Tabel 9.2 dengan (10), kita beri 𝑟𝐾𝑆−1 (𝑡) = (50.000 cot 20𝑜 − 750cos(𝜃)(𝑡 − 30)) + (750 sin 𝜃(𝑡 − 30) − 4,9(𝑡 − 30)2



(12)



Persamaan (6) dikatakan sama (7) dan (11). Kesamaan ini oleh koordinat 𝒊 dan 𝒋 memberikan sistem persamaan pada 𝑡𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ dan sudut 𝜃: 2.000 sin(80𝑜 )𝑡 = 50.000 cot 20𝑜 − 750 cos(𝜃)(𝑡 − 30) (12) { 50.000 − 2.000 cos(80𝑜 )𝑡 − 4,9𝑡 2 = 750 sin 𝜃(𝑡 − 30) − 4,9(𝑡 − 30)2 dan hasilnya dalam 𝒕𝒄𝒆𝒈𝒂𝒉 ≈ 𝟔𝟎, 𝟗𝟏𝟖𝟕 𝐝𝐞𝐭𝐢𝐤



dan



𝜽 ≈ 𝟑𝟐, 𝟎𝒐



(13)



Setelah 60,9187 detik rudal masuk di titik, Rudal KS-1 akan mencegah di posisi tersebut.



(𝑥, 𝑦) = (119986, 10659)



(14)



395



Integral



Artinya pada waktu t=0 rudal masuk titik pada (0, 50000) dan rudal yang disiapkan yaitu rudal KS-1 untuk mencegah. Tiga belas detik kemudian, Rudal KS-1 melucur pada sudut 41,4𝑜 and mencegah rudal masuk kira-kira 40,9 detik kemudian pada posisi daftar atas (14). Catatan rudal mencegah rudal masuk dalam 6 detik dari waktu kritis 𝑡𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠 = 66,74 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 dibangun di (9). Lihat Gambar 9.8 dibawah.



Gambar 9.8 Lintasan rudal masuk dan KS-1 mencegah rudal Prosedur yang sama menggunakan perhitungan waktu pencegahan 𝑡𝑐𝑒𝑔𝑎ℎ dan sudut luncur 𝜃 pada Rudal pencegah S-300. Berdasarkan Tabel 9.2 kecepatan rudal S-300 adalah 1.800 m/detik dan waktu nunggu adalah 42 detik. Sama (12) sistem kita adalah: 2.000 sin(80𝑜 )𝑡 = 50.000 cot 20𝑜 − 1.800 cos(𝜃)(𝑡 − 42) (15) { 50.000 − 2.000 cos(80𝑜 )𝑡 − 4,9𝑡 2 = 1.800 sin 𝜃(𝑡 − 42) − 4,9(𝑡 − 42)2 Dan hasilnya dalam 𝒕𝒄𝒆𝒈𝒂𝒉 ≈ 𝟓𝟕, 𝟔𝟑𝟏𝟑 𝐝𝐞𝐭𝐢𝐤



dan



𝜽 ≈ 𝟑𝟐, 𝟎𝒐



(16)



396



Integral



Posisi dari rudal masuk, 57,6 detik setelah terdeteksi adalah (𝑥, 𝑦) = (113511, 13710)



(17)



Oleh karena itu rudal S-300 juga cocok pada pencegahan.



Gambar 9.9 Lintasan Rudal Masuk dan S-300 mencegah Rudal Rangkuman 1. 2.



Integral adalah kebalikan diferensial. Diketahui koefisien diferensial kita harus mencari fungsi dari mana persamaan ini diturunkan.



Integral Standar



𝒇(𝒙) 𝑥𝑛 1



∫ 𝒇(𝒙), 𝒅𝒙 𝑥 𝑛+1 + 𝐶, 𝑛 ≠ −1 𝑛+1 𝑥+𝐶



397



Integral



𝒇(𝒙)



∫ 𝒇(𝒙), 𝒅𝒙



𝑎 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑒𝑥 𝑎𝑥 1 𝑥



𝑎𝑥 + 𝐶 − cos 𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 + 𝐶 tan 𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑎 . ln 𝑎 + 𝐶



𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 1



𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 + 𝐶 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝐶



√1 − 𝑥 2 −1 √1 − 𝑥 2 1 1 + 𝑥2 1 √𝑥 2 + 1 1 √𝑥 2 − 1 1 1 − 𝑥2



ln 𝑥 + 𝐶



𝑎𝑟𝑐. sin 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. cos 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. tan 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. sinh 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. cosh 𝑥 + 𝐶 𝑎𝑟𝑐. tanh 𝑥 + 𝐶



𝐶= konstanta integral 3.



Integral tak tentu : integral dengan nilai konstanta integral



4.



Integral fungsi dari fungsi x : Ganti x pada integral standar yang



5.



yang tidak diketahui.



berhubungan dengan fungsi linier dan dibagi dengan koefisien x pada fungsi linier. Integral fungsi polinomial : Integralkan suku per suku dan kombinasikan konstanta masing-masing integral dengan satu simbol C.



398 6.



Integral



Integral pecahan parsial : Pecahan aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan parsial mengacu integral yang mungkin, integral masing-masing pecahan parsial ∫



𝐴 𝑑𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏



menghasilkan 𝐴 7.



ln(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎



Luas di bawah kurva Luas A dibatasi oleh kurva A 𝑦 = 𝑓(𝑥), sumbu 𝑥 dan ordinat 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏, yang diselesaikan dengan, 𝑏



𝐴 = ∫ 𝑦 𝑑𝑥 𝑎



8.



Integral Tertentu Sebuah integral dengan limit (misal 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 seperti pada bagian 7 disebutintegral tertentu. Konstanta integral 𝐶 pada kasus seperti ini akan selalu diabaikan pada tahap pengurangan maka, 𝑏



∫ 𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎



𝑥=𝑏



𝑦𝑑𝑥 − ∫ 𝑥=𝑎



𝑦𝑑𝑥.



399



Integral



Soal Latihan 1.



2.



Tentukan integral berikut: (a)



∫ 𝑥 6 𝑑𝑥



(b)



∫ 3. 𝑒 𝑥 𝑑𝑥



(c)



∫ 4𝑥 𝑑𝑥



(d)



∫ 𝑥 𝑑𝑥



(e)



∫ 5. sin 𝑥 𝑑𝑥



(f)



∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥



(g)



∫ 8. 𝑑𝑥



(h)



∫ 𝑥 2 𝑑𝑥



(i)



∫ 2. cos 𝑥 𝑑𝑥



(j)



∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥



6



1



Tentukan Integral berikut ini (a)



∫(1 − 4𝑥)2 𝑑𝑥



(b)



∫ 4. 𝑒 5𝑥−2 𝑑𝑥



(c)



∫ 2. sin(2𝑥 + 1). 𝑑𝑥



(d)



∫(3 − 2𝑥)−5 𝑑𝑥



(e)



∫ 2𝑥−5 . 𝑑𝑥



(f)



∫ cos(1 − 3𝑥) 𝑑𝑥



7



400



Integral



(g) ∫ 23𝑥−1 . 𝑑𝑥 (h) ∫ 6. 𝑠𝑒𝑐 2 (2 + 3𝑥). 𝑑𝑥



3. 4. 5. 6.



(i)



∫ √3 − 4𝑥. 𝑑𝑥



(j)



∫ 5. 𝑒 1−3𝑥 𝑑𝑥



Tentukan luas yang dibatasi dengan 𝑦 = 5 + 4𝑥 − 𝑥, sumbu 𝑥 dan ordinat 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 4. Hitungan luas di bawah kurva 𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 + 3, antara 𝑥 = 2 dan 𝑥 = 5. Tentukan luas yang dibatasi 𝑦 = 2𝑥 2 − 2𝑥 + 3, sumbu 𝑥 dan ordinat 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 3. Hitunglah: 2



(a) ∫1 (2𝑥 − 3)4 . 𝑑𝑥 5 1 . 𝑑𝑥 𝑥+5



(b) ∫0



3



𝑑𝑥



(c) ∫−3 2 . 𝑑𝑥 𝑥 +9 𝑒



(d) ∫1 𝑥 2 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 7.



Hitunglah yang berikut: 𝜋/2 sin 2𝑥 . 𝑑𝑥 1+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥



(a) ∫1



𝜋



(b) ∫0 𝑥 2 sin 𝑥 . 𝑑𝑥 𝜋



𝑐𝑜𝑠𝜃



8.



Hitunglah ∫0 ∫0



9.



Hitunglah



2𝜋



3



𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑑𝑟. 𝑑𝜃



∫0 ∫0 𝑟 3 (9 − 𝑟 2 )𝑑𝑟𝑑𝜃



401



Integral 1



3𝑥+2



10.



∫−2 ∫𝑥 2 +43𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥



11.



∫0 ∫0 ∫0 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧



12.



∫0 ∫0 ∫0 (2𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧



13.



∫0 ∫0



14.



∫0



15.



∫0 ∫0



𝑎



𝑏



𝑐



𝑎



𝑏



𝑐



𝜋



𝜋/2



𝜋/2



𝜋



𝑟



∫0 (𝑥 2 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝜃𝑑∅



𝑡𝑎𝑛−1 (2)



∫𝜋/4



4.cos 𝑧



4



∫0 𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧



√(16−𝑦 2 )



∫0



𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧



16. Tunjukkanlah bahwa luas daerah di luar lingkaran 𝑟 = 𝑎 dan di dalam lingkaran 𝑟 = 2 acos 𝜃 diberikan oleh 𝜋/3



2 acos 𝜃



𝐴 = 2∫



∫



0



𝑎



𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃



Hitunglah integral ini 17. Sebuah balok tegak dibatasi oleh bidang-nidang kerangka koordinat acuan dan bidang-bidang x=3, y=4, z=2. Kerapatannya disetiap titik dalam balok secara numerik sama dengan kuadrat jaraknya dari titik asal. Tentukan massa total balok tersebut. 18. Bentuk integral lipat dua yang menyatakan luas bidang yang dibatasi oleh kurva kutub 𝑟 = 3 + 2 cos 𝜃 dan jari-jari vektor 𝜋 pada 𝜃 = 0 dan𝜃 = , dan kemudian hitunglah integral tersebut.



2



19. Sebuah segitiga dibatasi oleh sumbu 𝑥, garis 𝑦 = 2𝑥 dan ordinat pada 𝑥 = 4. Bentuklah integral lipat dua yang menyatakan momen kedua luas untuk segitiga ini terhadap sumbu 𝑥 dan hitunglah integralnya.



402



Integral



Referensi 1. 2.



3. 4.



Anton, Howard, Bivens, Irl, Davis, Stephen, 2012. Calculus Early Transcendentals 10th Edition. John Wiley & Sons, Inc. Bird, John, 2007. Engineering Mathematics 5th Edition. Newnes is an imprint of Elsevier Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP, UK 30 Corporate Drive, Suite 400, Burlington, MA 01803, USA. Stroud, K.A., 2001. Engineering Mathematics 5th Edition. Industrial Press, Inc. 200 Madison Avanue-New York, NY 10016-4076. Tan, Soo, T., 2010. Calculus. Brooks/Cole, Cengage Learning.



Indeks



INDEKS A Adjoin matriks bujur sangkar, 150 Aplikasi matriks dan determinan, 154 Aturan cosinus, 77 Aturan pada Penjumlahan vektor, 192 Aturan sinus, 76 Augmented matrix, 30 B Bentuk sudut vektor unit, 196 Besaran sudut, 71 D Definisi intuitif sebuah limit, 223 Definisi presisi dari limit, 257 Determinan matriks, 26, 147 Diferensial eksak, 328 Diferensial homogen, 335 Diferensial polinomial, 336 Direction Field, 308 E Elevasi sudut, 65 Elips, 117 Eliminasi, 9 Eliminasi Gauss, 29 Eliminasi Gauss-Jordan, 33 F Fungsi dari fungsi linier x, 368 Fungsi kontinu, 269



Indeks



403



404



G Gaya sentripetal, 108 H Hiperbola, 121 Hukum jajaran genjang, 190 Hukum kedua Newton, 110 Hukum limit, 239 Hyptenuse, 55 I Identitas, 1 Integral, 363 Integral dengan pecahan parsial, 372 Integral fungsi polinomial, 370 Integral lipat dua, 386 Integral lipat tiga, 388 Integral tak tentu, 364 Integral tertentu, 376 Interpretasi geometri, 262 Invers matriks bujur sangkar, 153 K Kecepatan Linear, 105 Kecepatan sudut, 105 Kelipatan persekutuan terkecil (KPK), 3 Kesamaan matriks, 138 Koefisien diferensial, 353 Koefisien persamaan, 5 Kofaktor, 149 Konstanta Integral, 363 Kontinuitas atas sebuah interval, 277 Kontinuitas bilangan, 271 Kontinuitas dari fungsi campuran, 281 Kontinuitas di titik akhir, 275



Indeks



Indeks



L Limit satu sisi, 228 Lingkaran dan sifat-sifatnya, 93 Lotka-Volterra, 305 Luas lingkaran, 98 Luas sektor, 99 M Metode Cramer, 26 Metode eliminasi dan substitusi, 25 Metode grafis, 19 Metode iterasi, 17 Metode Iterasi Gauss-Seidel, 42 Metode Iterasi Jacobi, 37 Metode langsung, 17 Metode langsung, 29 Metode substitusi, 23 Metode successive over-relaxation, 46 Metode tak langsung, 17 Metode tak langsung, 37 Matriks, 135 Matriks baris, 136 Matriks berelemen tunggal, 137 Matriks bujur sangkar, 144 Matriks diagonal, 145 Matriks kolom, 136 Matriks-matriks khusus, 144 Matriks nol, 146 Matriks satuan (identitas), 145 Matriks segitiga atas, 147 Matriks segitiga bawah, 147 Matriks skalar, 147 Matriks yang diperluas, 30 N Nilai Eigen dan Vaktor Eigen, 172



405



406 Notasi matriks, 138 P Panjang busur, 98 Panjang vektor, 189 Parabola, 110 Permasalahan non-linier simultan, 17 Penjumlahan dan pengurangan matriks, 139 Penjumlahan vektor, 185 Pergeseran kerucut, 127 Perkalian dengan skalar, 140 Perkalian matriks, 140 Perkalian skalar, 184, 190 Persamaan Bernouli, 326 Persamaan diferensial, 303 Persamaan diferensial biasa, 307 Persamaan linier, 1 Persamaan linier simultan, 5 Persamaan linear, 17 Persamaan lingkaran, 101 Persamaan standar dari Parabola, 112 Persamaan standar elips, 119 Persamaan standar hiperbola, 124 Prototipe maglev, 221 R Radian dan derajat, 96 Rumus jarak, 204 Rumus titik tengah, 205 S Sifat-sifat lingkaran, 93 Singular system,, 22 Sistem koordinat Cartesian, 85 Sistem Koordinat dalam Ruang, 200 Subtitusi, 5



Indeks



Indeks



T Teknik untuk menemukan Limit, 239 Teorema nilai Tengah, 284 Teorema tiruan, 251 Teorema Pythagoras, 55 Transpose matriks, 144 Trigonometri, 55 V Vektor, 183 Vektor dalam 3 Ruang, 209 Vektor dalam bidang, 183 Vektor dalam bidang koordinat, 186 Vektor dasar standar, 194 Vektor dasar standar dalam ruang, 212 Vektor unit, 192



407



TENTANG PENULIS Saat ini penulis menjabat sebagai Konsultan dan Pernah menjadi Dosen di Fakultas Teknik Universitas Suryakancana, Cianjur. Dan pernah menjabat sebagai Sekretaris Prodi Teknik Informatika dari tahun 20012002, Sekretaris Prodi Teknik Industri 2002-2007. Dan 2015-2017, Fakultas Teknik, Universitas Suryakancana Cianjur. Penulis merupakan lulusan Magister Teknologi Pertahanan Program Studi Industri Pertahanan dari Universitas Pertahanan. Selain Pendidikan umum, Penulis pernah bekerja di Berbagai perusahaan, Bimantara Automotive tahun 1992 sampai 1999 dengan jabatan terakhir Engineering Assistant Manager, PT. Nipress (NS Battery) tahun 1999 sampai tahun 2001, dengan jabatan terakhir PPIC Manager, PT. Panfila Indosari Drinking Water Industry, 2001 sampai 2003, Jabatan terakhir Plant Deputy Manager, PT. Altin Cap, 2003 sampai 2006 sebagai PPIC & Production Manager, serta PT. IHE Cendekia Rekayasa, 2015 sampai 2017 sebagai Project General Manager. Selain itu penulis menjadi ahli, pada Lapi-ITB dan Lapi Ganeshatama Consulting. Disamping itu penulis sebagai Ahli Madya di Bidang Keselamatan dan Kesehatan Kerja (K3).