Kashf al-asrar 'an 'ilm huruf al-gubar [PDF]

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Qalasadî



kasf al-asra.. a ٠٦ îlm huruf a-l gubar



Texte étttW‫ ؛‬et traduit par Mohamed SOUISSI



MAISON ARABE DU LIVRE



F .N .A T I. N NATIONALE POUR LA TRADUCTION L.ETABLISSEMENT DES TEXTES ET LES ETUDESB .« ٠i٠Hikm٠ - c a r t h a g .



kasf ai-asràr an iim hurCif a l gubar ٠



© T.us droits réservés ٠ 1988



I N T R O D U C T IO N AL QALASADI : SA VIE ET SON ŒUVRE



Abul-Hasün ٢Ali B. Muhammad b. M. b. (Ail A!-Qura‫ ؛‬i Al Qalasâdl est né à Baza (d’où 1’èthique al-Basti), au début du IX. s. de l’Hégiré (xve s. J.C.) 1 II fit ses études dans sa ville natale où il suivit les cours d’(Ali b. MUsS al-Lahml, connu sous le nom d‘alQarabâqJ2 (m. 844H/1440). Parlant de ce dernier dans sa Rihla (Relation de voyages), alQalasadr écrit: “ Sous sa direction, j ’ai étudié le TalqJn âsî, le Tanqlh (sur les partages successoraux) et l’Idâh d’al-p١ de Qârâfi‫؟‬, 'Adab al-xatib d’ibn Qutaybah et son commentaire d’al-Hazragiyya^, en prosodie” . On retrouve ensuite al QalasâdJ à Grenade, où il eut pour maîtres entre autres, deux docteurs éminents, Abul-Hasan Ibrahim Ibn Futùh 5 et l’Imam ‫؛‬Abd-Allah as Saraqus(! (originaire de Saragosse) (m. 865H/1460).. Du premier il reçut, selon ce qu’il rapporte lui-même dans sa Rihla, un enseignement assez spécialisé, à tendance philosophique et scientifique. ( ‫ ) ا‬Zirikii, dans ٨ ! A٤lam. V, !62, adopte sans Condement la date de naissance X15H I412, lantlis que Sarkis, dans son "M u٤gam al malhU.at" 1519, asanee la date 803H/MOO. (2٠



Nayl al ihtiha^, 207



(3) l'anqih.al fusiil 11‫ آ‬US٧1(londemeni ،lu droit) de Sihah ad Oin Ahinad al Oaràfl (ni-6X4H,' 1285) 11en existe un commentaire fait pai l.lalfilu , de Tunis maitre de Qalasadi, (4) p،١ ëme didactique sur la métrique par I.)iy5-'ad-Oin al Haragi (59t)-625H, 1194-1228-29). (5) Vf. Nayl, 53. (6) Nayl, 314.



Quant au second, 1‫! ؛‬U‫ ؛‬dispensa surtout un enseignement de droit musulman et de jurisprudence. De Grenade, Al Qalasadi entreprit son voyage en vue du pèlerinage, s'arrêtant en cours de route, dans les principales villes du Maghreb et d'Egypte, y rencontrant les sommités du monde des Lettres et des Sciences, et profitant de leur enseignement. La liste de ces savants, signalée dans la Riljla, ainsi que certaines précisions biographiques vont nous permettre de situer la date de ce voyage. Suivons donc Qalasâdî de ville en ville, d'un maître â un autre: A Tlemcen, il rencontra : —- M.Ben MarzUq al hafid (le Petit-fils) mort en 843h/1439, qui lui apprit l'exègèse, le hadit, la jurisprudence, le tlroit successoral, la géométrie 7 M. b. Ahmad An Naggâr, mort en 846H/1422. - Le sarTf Muhammad, connu sous le nom de yammU, mort en 847H/I443«. - Ahmad b. M. b.٤ Abd ar.Rahmân, Ibn Zâgû, mort de la peste en 845/1441 à l’âge de 63 ans: il lui en.seigna en particulier l'arithmétique et son application â la science des partages successoraux: Qalasâdi cite certaines des méthodes imaginées par son maître, ou par le père de ce dernier, dans son commentaire du Talhls d’Ibn al Banna‫ ؛‬et dans Lubâb Taqrib alm awârit‫ ؟‬. - Qâsim b. Sa ‫'ﺀ‬l'd b. M. al. ( Uqbânl, cadi de Tlemcen ٠ ٥ dont il fréquenta les cours, après la mort d’Ibn ZâgU: il assista en particulier à ses commentaires d’al-yûfi qui le l'amiliarisèrent avec l’usage des fractions dans les problèmes de partages successoraux'. AlLqbani est décédé 854H/1450.



- Y u s u f b . IsmâCil c٠nnu S.U S le n .m de Zuydùn. Qalasâdî lui-même dit: “ C’est un maître aux c٠nnaissances s٠lides en mathématiques, j’ai assisté à ses c٠urs sur alHUfi (d .n t les questi.ns s٠nt rés٠!ues) au double moyen des nombres entiers et des fractions, au commentaire des Prolégomènes d’Ibn.alB annâ: en algèbre et muqabalah, de son Talhîs et une partie du «Lever du Voilp» (R a fla iH ٤gâb)... fl Cst décédCau cours de 1’épidémie de ^ s t e en 845H/1411’’H. A Tunis, il rencontra-.: -A hm ad al Monastiri 12, contemporain d’Ibn ٤Arafa, qui. lui enseigna le Tah‫؟‬îli3 , les G u^al de ‫ ؟‬Ungi, !‘Alfiyya, so it des livres de syntaxe. -I b n ^ U q a b (M. b. M. b. Ibrahim) 14, cadi alGam â.a de Tunis: il assista à ses'cours d’exègèse coranique, il étudia sous sa dire'ction la- Risala, le Sifâi5 du cadi^Iyad, les Nawâdir d’.Ibn Abi Zayd, et à nouveau la Hûfia. Ibn ^Uqab est mort, d’après ce que rapporte QalaSâdî, en 851H/1447, alors que ce dernier se trouvait encore à la Mecque. -A h m a d b. M. b. A m Allah al ^ISânî, cadi al gamaa à Tunis, après la mort d’Ibn Uqab‫ ؛‬Qalasâdî assista à ses cours d’exègèse, au commentaire des hadite authentiques rassemblés par Suhâri est Muslim,je Tahd^, l’ouvrage d’Ibn al-Hâÿb. ^ISâni mourut en 8 6 3 1 4 5 8 / ‫ ة‬. — M. al Wasili at Tunisi 17. Qalasâdî en parle comme étant un grand maître dont il profita de !’enseignement en l’an 854H/1450.



(!!)N ayl, 354. (12)Nayl١ 79. ( 3 ‫ )ا‬Tahs‫ !؛‬a! fawà'‫؛‬d wa takmîl al maqâsld, livre de syntaxe de M. b.٤ Abd Allah cnnnu sous le nom d’Ibn.Malik, de Jaen, mort en 672H/1273; commentaire d’Ibn Marzuq.



(7)



Nayl. 29.1



(S) Nayl. .108. (9) Nayl. 78. 79.



(l٠ ))N ‫؛‬iyl. 223.



(14) Nayl, 308. (15) As sïfa fi ta.rif huqûq al mustafâ: par le cadi. lyad b. Musa, m 544H/1149. (16) Nayl, 78. (17) Nayl, 315.



Ahmad b. ('^bderrahmân b. Musa b. (Abdal.Haq al Yazlîtni ٠8connu sous le nom de HalUlU, commentateur du Précis de yahl, qui fut nommé cadi de Tripoli, puis revient â Tunis oU il dirigea plusieurs méderças dont la plus importante est celle attribuée à Qâyd Yanîl‫ ؛‬en l’an 875H/I470, il était encore en vie et était âgé de 80 ans. En Orien., Qalasâdî assista au Caire aux cours de: Ibn Ha‫ ؛‬ar al ' qalâni, mort en 852H/144S. ٩ ١ ١



- Zayn ad-Din Tahar b. M. b. A li an NuwayriiQ, (né après 790H/1588, mort en 856H/1452), enseignant à la méderçâ BarqUqiya et à Mosquée TUlUnide. M .b.M . b.(Ali an Nuwayri 20 érudit en jurisprudence, en syntaxe, morphologie, prosodie, logique, belles lettres, calcul‫ ؛‬il mit en vers le livre d’arithmétique, ’an Nuzha’, d’Ibn alHâym et en laissa un bon commentaire. Il composa un poème didactique en matière d’astronomie, et mourut en 857H/1453. En comparant les différentes dates signalées plus haut, nous pouvons situer le voyage aller de Qalasâdî vers les Lieux Saints entre, au moins, 1439, date de la mort de son maître Ibn MarzUq à Tlemcen, et 1447, date oU dans sa Rihla, il a noté qu’il était encore â la Mecque‫ ؛‬d’autre part la copie n . 544 de la Bibliothèque Hassanite de Rabat, du manuscrit de “ Kasf al Asrâr, auquel nous reviendrons plus loin, signale que cet ouvrage a été écrit dans la ville du Caire (' la protégée١ ٠ )dans la zaouia d’Ibn Abi-1-Wafâ, dans la dernière décade du mois de Ragat) 852H/1448” c’est-à-dire qu’on retrouve déjà Qalasâdî sur le chemin du retour. Revenu à Grenade, il s’y fixa se consacrant à l’enseignement et à la rédaction des ouvrages dont nous donnerons la listes par la suite. Parmi ses nombreux élèves et disciples, citons : (18) Nay! 83. (19) Nayl, 130. (2 0 ) Nay!, 311.



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Abû‫؛‬Abd A‫ا‬lah al Mellâlfqui, parlant de son maître, dit : “ C'était un savant émérite‫ ؛‬il était vertueux et généreux‫ ؛‬il a écrit de nombreux ouvrages dont la plupart se rapportent à !’arithmétique et aux partages successoraux, tels son prodigieux commentaire du Tal^îs d’Ibn al Bannâ et œlui١remarquable, d’al-Hûfi”. Ahmad b.(^١ ،li b. Ahmad b. Dâwûd al-Balawî qui a dû quitter Grenade avec son pére١pour Tlemcen après 890H/1485, puis pour l’Orient. Parlant de Qalasâdi, il émet à son sujet ce jugement caractéristique : “ lia été le dernier des savants mathématiciens et des spécialistes de la science des partages successoraux” . Ainsi donc vécut Qalasâdi jusqu’à ce que s’abattit sur sa patrie la, calamité que l’on sait, les Maisons d’Aragon et de Castille ayant décidé de lancer l’attaque ultime contre le dernier bastion musulman en Andalousie. Al Qalasâdî s’employa avec courage pour tenter d’organiser la résistance aux assaillants. Il semble peu vraisemblable, vu son âge, qu’il ait pris effectivement part aux combats qui eurent lieu et qui eurent pour enjeu la prise de Grenade. Peut-être son départ pour le Maghreb et l’Ifriqiya a-t-il eu pour but de rassembler des secours‫ ؛‬peut-être aussi, jugeant la cause désespérée, s’est-ü résigné, comme nous l’avons vu pour Balawi, à se laisser entraîner et à prendre part à l’exode des l'oules andalouses qui déferlèrent sur le Maghreb (se fixant dans la région de Testour, à Tunis (Quartier des Andalous) dans la régjon de Bizerte (Qalat al-Andalus) ou dans le Cap Bon. Qalasâdî mourut â Béjà le 15 Dul Hi‫ ؛ ؛‬a 891H/1486, soit six ans avant la chute de GrenadCentre les mains des Chrétiens. Comparant cette date précise, nettement établie, jour, mois et année, avec les dates avancées au début pour la naissance de Qalasâdî, nous pouvons peut-être opter pour celle retenue par Zirikli dans ses A( lâm, soit 1412, de sorte que Qalasâdî serait mort à l’âge de 74 ans‫ ؛‬en effet, selon celle retenue par Sarkis, 1400, il serait mort à l’âge de 86 ans et on l’imagine mal, à cet âge, encore actif, prenant part aux combats qui eurent lieu dans sa patrie et supportant le long voyage qui l’amena en Ifriqiya. 11



(E IV R E DE QAEASAD!



Nous avons vu que, selon ce qui était courant à son époque, Qalasàdî a reçu un enseignement englobant la culture Iraditionnelle ('droit musulman, hadîi, exégèse, grammaire) mais que sa formation s’était également orient'ée vers des domaines plus ou moins nouveaux, des voies originales, axées principalement sur les p r^ d é s de l’arithmétique et leur iipplication aux partages successoraux. Cette diversité se remarque de même dans 1’æuvre abondante de Qalasâdî. Nous en donnons la liste d’après les renseignements que nous avons surtout recueillis du Nayl al Ibtiha^. Certains de ces ouvrages ont été publiés, mais sans apparat critique, sans établissement scientifique du texte et sans annotations susceptibles d’éclairer les méthodes de calcul exposées. D’autres existent sous la forme de manuscrits inventoriés dans les catalogues connus ou dans Brockelmann‫ ؛‬nous signalons, dans la mesure du possible, les fonds auxquels ils appartiennent et les numéros sous lesquels ils y figurent. Comme hommage à Qalasâdî, à l’occasion du cinquième centenaire de sa mort,, nous apportons comme contribution œtte édition de son livre œiébre “Kasf al as^‫ﺀ^ة‬an film) hurUf algubar” , ouvrage scolaire qui a eu une grande diffusion aussi bien au Maghreb qu’en Crient arabe. Nous y adjoignons sa traduction en français, que nous avons voulue fidèle, reproduisant l’expression même de l’auteur, sans fioriture et sans interprétation modernisante. Ouvrages d’artihmétique et d’algèbre



Tabsirat al mubtadi bi-l-qalam al-hildi‫؛‬ Ra^fâz-zunûn lui donne le titre ‘At-tabsira fr hisâb al gubâr” : d’après un des élèves directs de Qalas.âdî, cet ouvrage serait, dans l’ordre clironologique, le premier livre de mathématique de Qalasâdî‫ ؛‬il a été obligé, par la suite d’en simplifier 1’exposé, laissant souvent de côté les démonstrations qui échappent au lecteur moyen‫ ؛‬il en a tiré le Kasf al gilbâb puis le KaSfal asrâr‫ ؛‬Rampur 1409.3‫؛‬ Tunis 2043 (copie datée de 1020). 12



-At Tabsira Iwâdlha fi masa’il al-à-^dad al.là’iha; Tunis 2049. -^aSf al-gilbab ‫ح‬an( ilm al-hisàb: Tunis 2054 561, 3109, 18743‫ ؛‬Paris, 2463,13‫ ؛‬Caire V, 178‫ ؛‬Escurial 2853,4‫ ؛‬Br. Museum, 418903,12 ‫؛‬-Wœpcke: Journal asiati٩ue s.v, T.1,1854. -InkiSàf al ÿlbàb ^an( ilmal-hisab‫ ؛‬Ben Chençb et LeviProvençal, revue d’Alep, 1922‫ ؛‬Alexandrie, hisab4. -KaSf a!-asràr (astàr) (an (( ilm) hurUf al-gubâr: Paris 2473,5350‫ ؛‬Tunis 3292,2934,4775,168 R: ms personnel‫؛‬ Alger, 399,171448,9 ‫؛‬: Brill 295,532: Rabat 455,456‫؛‬ Rabat Bibliothèque Hassanite, des dizaines d’exemplaires dont le n. 5449‫ ؛‬BayrUt, 239‫ ؛‬publié à Fès 1315/1897 et au Caire 1309/1891. -Qànun a!"hisâb wa gunyat dawT-1-albâb‫ ؛‬Berlin, 5995‫؛‬ Esc. 8534‫ ؛‬l’auteur l’a commenté lui-même sous le titre “ Inkisaf al-hisàb” précédent: ce ms présente certaines ressemblances avec celui de l’Esc. 953 commenté par Sa(îd b. M. al‫ ؛‬Uqbàni al-Gamà‫؛‬i, père d‘Al Qàsim, maître de Qalasâdî à Tlemcen. - Risàla fi maCàni 1-Kasr wa-1-bast, ms Tunis, 2043. -S arh al-Crguza al-yasîniniyya, Br. 1,621‫ ؛‬ms personnel, publie à Fès 1892. - Risàla fi ma( rifat istihràg al-murakkab wa-1-basît‫ ؛‬Tunis 2043. Sarh Çawàt a!-asmà 2‫ ؛‬,ms personnel en un recueil factice comprenant: 1) Sarhal-yasminiyya 2 ) Lubàb taqrîb al mawàrit wa muntahà l^uqul al bawàhit 3) Çawàt al-asmà 4) Bugyat-al mubtadi wa gunyat al-muntahi



٥)h٠us !'avons prCsentée ‫ اﺀ‬publiCe, in “ al hayàt at taqafiyya” , Tunis n"7, Mai-Juin 1976: -Egalement aetes du II" eolloque hispano-tunisien.



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cr.



Sarh Talhî‫ ؟‬Ibn a!-Bannà, Suter 331‫ ؛‬Paris 2464‫ ؛‬Il en a fait deux commentaires, l’un surcinct, l’autre détaillé. Astronomie — ‫ ؛‬arh al’٧ rgûza d’Ibn FutUh, cité par Nayl, semble perdu Ouvrages relatifs aux partages successoraux — Ad-Parûrî fi ('ilm al-mawafft, cité par Zirikli dans ses A٤làm, cité également par un disciple de Qalasâdîdans son commentaire de KaSf al-asrSr.



—- Al-Kulliyat fil-farfi'id — ^l-Mustawfi li masù’il al hUfi — ^arh des partages successoraux de Salah b. Sarîfet d’Ibn a‫؛‬-Sàt



— Sarh du Muhta‫؛‬ar (Précis) d’aï( Oqbani, inachevé — Lubab taqrib al-mawarit wa muntaha ruqul al-bawihil Ouvrages de grammaire “ Gunyat an-nuhàt avec son commentaire — Sarh al-garrunliyya — Sarh al-gumal de Zaggagi — Sarh mulhat al I^rSb‫ ؛‬Br. I. 328, poème didactique, accompagné d’un commentaire‫ ؛‬éd. avec traduction par L. Pinto, 1805-9. ١



Ouvrages de droit malCkite, de hadit, d’apologie du Prophète — ASraf al-masalik iia ma^hab Màlik‫ ؛‬il y en aurait une copie à Tafilalet — H ‫؛‬dayat al’Ânâm fi Sarh qa١và٤id al-Islàm — Sarh al-Burda — Sarh Hikam Ibn ('Ata-Allah “ Sarh al anwàr as-saniyya fil hadit — Sarh lubb al-azhâr‫ ؛‬B‫ ؟‬II, 34‫ذ‬ --- Sarh Muhtasar Halîl



Sarh ragaZ Ibn Rarri



Ouvrages de métrique



— Muh-tasar ٢i-l-(arûd — Sarh ai-Hazragiyya Divers: -^Commentaire d’isagogue



- Sa Rihla, relation de voyage où il donne des précisions sur la vie et l’œuvré d’une vingtaine de ses maîtres. Présentation du “ Kasf aï-asràr (Déchiffrement des secrets)( an‫ ؛‬ilm hurUt aï-g'ubàr” (sur la science des chiffres



de poussière) C’est un précis d’arithmétique et d’algèbre, mis à la portée des débutants, expurgé de commentaires plus ou moins esotériques, laissant de côté les démonstrations, exposant uniquement les méthodes pratiques‫ ؛‬le style est clair‫؛‬ l’auteur a recours à un grand nombre d’exercices, de modèles variés, qu’il traite en détail pour illustrer les règles qu’il énonce. Ouvrage fondamentalement didactique, le “ Kasf” fait souvent usage du style direct, faisant participer les lecteurs et les élèves aux opérations décrites: “ Si l’on te propose le problème suivant, tu ocreras comme suit... et tu obtiendras...” Différentes solutions sont propostes. 1ère Partie: Du nombre entier



!)De l’addition‫؛‬ 2) Soustraction‫؛‬ 3) Multiplication‫؛‬ 4) Division‫؛‬ 5) Décomposition en facteurs premiers 6) Dénomination, Rapports 7) Partages proportionnels 8) Preuves des opérations 2ème Partie: Des fractions : Définition, Nomenclature



Les différentes opérations, réduction, conversion.



— Sarh ragaz Abu (Amr b. Manzur fi asmà’ar-Rasû!



— Sar‫ ؛‬ragaz al Qurtubi



3ème Partie : Des radicaux : Procédés d’extraction‫ ؛‬calcul



approché (sorte de développement limité, plus ou moins' fin)‫ ؛‬évaluation de l’erreur. Opérations sur les irrationnels‫ ؛‬quantités conjuguées.



— Sarh ar-Risàla



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4ème Partie : Recherche de !’Inconnue: nombres proportionnels‫ ؛‬la méthode des plateaux (fausse supposition)‫؛‬ Eléments de calcul algébrique‫ ؛‬résolution d’équations d‫اا‬ 1er et du 2ème degrés. Addenda: Série géométrique - Série arithmétique -



Sommations. Ce petit précis a eu un grand succès‫ ؛‬durant des siècles, il a été le li٧re de chevet de tout mathématicien arabe. Des dizaines de copies s’en trouvent dans les bibliothèques publiques et privées, du Maghreb et de l’Orient arabe. On en rencontre également un grand nombre de commentaires. Nous citerons parmi ces derniers‫؛‬ — Le commentaire d’un des disciples directs de Qalasâdî, dont nous ignorons le nom, mais qui dit “ avoir réuni ces notes directement en assistant à son exposé” ‫ ؛‬ce commentaire a pour titre “ Minhat al-al^Sr, li-ibrUz al١ i^rnSr min Kasf al-asrar, fi^ilm h٧rûf al-gubàr” (ms. Bibliothèque Hassanite, Rabat). — Hidàyatal-bàdi li Kitàb a!-Qalasâdî, par Salim b. Salim alQayrawàni (né à Bizerte, installé au Caire)‫ ؛‬ms. Tunis 168 R et 64 R. -Igàtat dawi listibs.àr iia Kasf al-astar, par MahmUd b. SaCfd ^aqdis de Sfax, 1225H/1809, Tunis 402 R. Sarh KaSf a!-asr^r, commentaire volumineux, d’un grand intérêt par Sayh TfayS, de bardaya - MzSb ( 1226H/1820 1232H/1914)‫ ؛‬commentaire achevé le 21 Ramadan 1283H/1866‫ ؛‬ms de la bibliothèque privée de la famille TfayS-Taminî (bardaya-Algérie).



kasf al.asrâr an iim huruf al gubar 16



Louange à Dieu le Clément, le Miséricordieux Que Dieu bénisse notre Seigneur Muhammad Voici ce que dit celui qui a besoin de Dieu, qui se passe de tout autre que lui, l’esclave de Dieu ‘^Ali ben Muhammad b. Muhammad b. Ali, alQuraSi”, connu sous le nom de Qalasâdî, de Bazâ, l’arithméticien, que Dieu lui accorde miséricorde : “ Louange à Dieu, Lui dont le compte est rapide, qui prodigue les bienfaits et ouvre les portes, que la Bénédiction et le Salut soient sur notre Seigneur Muhammad, Seigneur des deux espèces terrestres (du genre humain et de la gent occulte)” . Voici un condensé suffisant, évitant ‫؟؛‬s longueurs que j’ai extrait de mon livre qui a pour nom “ Kasf al Gilbâb” afin que certains chercheurs y trouvent ce dont ils ont besoin et qu’il soit un aide-mémoire pour les personnes initiées. Je lui ai donné pour titre “ Lever du voile sur les chiffres gubâr’” (de poussière). Je prie Dieu de m’accorder assistance, de me diriger dans la voie droite, de m’inspirer vues justes et m’octroyer réussite dans la vie de ce bas monde et de l’a u M à , qu’il fasse que ce soit une œuvre dont l’effet ne s’arrête pas avec la mort et dont l’auteur n’ait à subir ni regret ni remords. Cet ouvrage se compose d’une introduction, de quatre parties et d’une conclusion. Chaque partie comprend huit chapitres.



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IN TRO D U CTIO N PR E M IE R E PA R TIE De la description de la position de ces caractères et des propriétés correspondantes. Ce sont neuf figures différentes dont la première est 1’unité, suivi du nombre deux et ainsi de suite jusqu’à neuf. Place donc d’abord 1’unité, puis le deux comme suit: 1 2 3 4 5 6 7 8 9



1 l ‫ي‬



D U N O M B R E E N T IE R



Elle comprend huit chapitres. CHAPITRE 1er ‫ ذ‬De l’addition Elle consiste en la réunion des nombres de sorte que (le résultat) puisse être énoncé par un nom unique. Trois cas sont possibles: 1.) La somme des deux nombres est constituée uniquement d’unités du 1er ordre. 2٥) La somme est formée de dizaines. 3٥) La somme comporte des dizaines et des unités.



٣‫ﺀ‬



H ‫ﻳم‬



7 8 9 Si tu disposes de dizaines pose zéro à droite de un, 10, puisdedeux, 20 et ainsi de suite jusqu’à quatre vingt dix, soit 90. Pour onze, pose 1 et place (à gauche) 1, soit 11. Pour douze, pose d’abord 2 puis 1, (à gauche) soit 12, et ainsi de même jusqu’à 19, dix neuf. Si tu disposes d’unités, de dizaines et de centaines, place les unités au premier ordre, les dizaines au second et les centaines au troisième. Exemple : Si l’on te demande d’écrire cent onze, pose 111, car le chiffre 1 placé au 1er ordre vaut une unité, celui du 2d ordre vaut dix, celui du 3‫ﺀ‬vaut cent.



Si tu as à écrire sept cent quarante trois, tu le poseras ainsi 743. Si tu disposes de milliers, tu les placeras au 4‫ﺀ‬ordre. Exemple : Soit à écrire sept mille cinq cent soixante treize, tu



poseras: 7573. S’il manque un chiffre à l’un des ordres, tu places un zéro pour en c o n t e r la ^sition. Exemple ‫ ذ‬Soit à écr:‫؛‬re trois cent cinq, tu places le cinq, suivi (à gauche) d’un zéro puis le trois, comme suit: 305. Si l’on te demande d’écrire huit mille vingt, tu poseras le nombre comme suit: 8020. 20



Dans la pratique, tu poseras les deux nombres à ajouter sur deux lignes parallèles , tu les surmonteras d’un trait (horizontal) au dessus duquel tu inscriras le résultat au cas oU il est formé (uniquement) d’unités du 1er ordre‫ ؛‬si la somme est constituée par des dizaines, place un zéro au dessus des chiffres ajoutés, et introduis une unité à l’ordre suivant. Si la somme est formée de dizaines et d’unités, place les unités au dessus des chiffres ajoutés, puis les dizaines (à gauche). Exemple : Soit à ajouter quatre cent trente deux et deux cent trente et un. Pose l’opération ainsi : 432 231



Ajoute un et deux, soit trois, que tu plaœras au dessus des deux nombres‫؛‬,fait de même trois et trois, soit six que tu écris au dessus, puis deux et quatre, soit six, que tu inscris également en haut. Le total sera six cent soixante trois : 6 6 3 663 432 231 Si tu as à ajouter cent vingt huit et trois cent soixante et onze, pose l’opération ainsi : 128 371 Fais la somme 1 plus 8, soit neuf, que tu placeras au dessus de ces nombres‫ ؛‬c p t plus deux, neuf‫ ؛‬tu en fais de même‫ ؛‬trois et un



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font quatre que tu in.scriras au dessus de 1 et 3٠Le total sera alors quatre centre quatre vingt dix neuf, soit 4 9 9 499 128 371 Si l’on te demande d’ajouter trois cent vingt à cinq cent deux, tu poseras l’opération comme suit: 320 502 Fais la somme zéro plus deux, soit deux que tu placeras en haut du trait, puis zéro plus deux, de même soit deux, que tu poseras au dessus, ensuite tu sommes cinq et trois, soit huit, que tu noteras en haut du trait. La somme sera huit cent vingt deux ou 8 2 2 822 320 502 Exemple du cas où la somme est un nombre de dizaines: Soit à ajouter vingt quatre à soixante seize , tu poseras 1’o'pération comme suit:



suite jusqu’à la fin de !’opération, le résultat sera dix mille ou 1 0 0 0 0 2 324 111



ExempJe du cas où la somme est composée d’unîtés et de dizaines : Soit à faire la somme de quarante huit et de quatre vingt dix sept, poses l’opération comme suit : 48 97 Fais la somme sept plus huit, soit quinze, tu poses le cinq au dessus de 8 et tu introduis un sous le neuf auquel tu l’ajoutes ainsi qu’à quatre, tu obtiens quatorze, tu poseras le quatre au dessus des nombres ajoutés et le dix après (à gauche), lasomme est cent quarante cinq, soit 1 4 5 145 48 97 Si l’on te demande de faire la somme de soixante huit mille sept cent soixante cinq et de quarante six mille cinq cent soixante dix neuf, tu poses l’opération ainsi :



Et tu ajoutes six à quatre, soit dix, que tu poseras au dessus sous forme d’un zéro et tu introduis une unité au dessous du sept, tu en feras la somme et tu ajouteras deux, tu auras dix que tu noteras dans la ligne supérieure sous forme d’un zéro suivi (à gauche) d’une unité. La somme sera cent, soit 1 0 0 100



24 1 \b Si l’on te demande d’ajouter deux mille trois cent vingt quatre à sept mille six cent soixante seize, pose !’.^ ra tio n ainsi : 2 324 Ib ib Fais la somme six plus quatre, soit dix, place le zéro en haut et introduis 1’unité sous le sept, fais en la somme avec sept et deux, soit dix, place à nouveau zéro en haut et un sous le six, et ainsi de



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46579 Puis tu ajouteras neufà cinq, ce qui donne quatorze, tu poseras le quatre au dessus des deux chiffres ajoutés et tu introduis un sous le sept auquel tu l’ajouteras ainsi qu’à six, le résultat est encore quatorze, pose le quatre au dessus et le 1 sous le cinq, ajoute là ce nombre et à sept, tu obtiens treize, pose le trois au dessus et le 1 sous le six fais e.n la somme avec 6 et 8, soit quinze, place le cinq au dessus des nombres ajoutés et 1’unité sous le quatre, fais en la somme avec 4 et 6, soit O i que tu poseras au dessus, le total est alors cent quinze mille trois cent quarante quatre, soit :1 1 5 3 4 4 115344 68765 46579



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CHAPITRE 2 ‫ ذ‬De la soustraction Elle consiste à connaître la différence de deux nombres, l’un plus petit que l’autre. Pratiquement, tu poseras le nombre dont on soustrait sur une ligne horizontale et au dessous le nombre à soustraire‫ ؛‬tu traceras au dessus un trait, puis tu Oteras ,chaque chiffre d’un ordre du chiffre correspondant, tu inscriras chaque différence au dessus du trait, le résultat formé par les différences est le nombre demandé.



Exemple ‫ ذ‬Soit à soustraire six cent cinquante trois de neuf cent soixante dix huit, tu poseras l’opération ainsi‫؛‬ 653 Tu Oteras trois de huit, il reste cinq que tu inscriras au dessus du trait, puis cinq de sept, il reste deux que tu poseras au dessus, enfin six de neuf, trois que tu inscriras de même au dessus du trait, le reste (final) sera trois cent vingt cinq, soit 3 2 5 — Soit à retrancher sept mille six cent vingt quatre de neuf mille sept cent vingt six, tu poseras l’opération ainsi‫؛‬ 9 726 7624 Ote ensuite quatre de six, il reste deux que tu placeras au dessus du trait puis Ote ,deux de deux, il reste zéro que tu placeras au dessus, ôte six de sept, il reste un que tu inscriras au dessus du trait, puis Ote sept de neuf, il reste deux que tu P'iaceras, le reste (final) sera deux mille cent deux soit 2 1 0 2. — Si le chiffre inscrit dans l’un des ordrès du nombre dont on retranche est inférieur au chiffre correspondant du nombre à retrancher, tu ajouteras dix au nombre dont on retranche, et de la somme obtenue, tu Oteras le nombre à retrancher.



Exemple : Soit à retrancher trois cent quatre vingt six de sept cent vingt cinq, pose l’opération comme su it‫؛‬ lis 386 Ote six de cinq, ce qui est impossible, a^utes٠y dix soit quinze dont tu retranches six, il reste neuf que tu placei.as au dessus du trait, ajoute ensuite dix, sous forme d’une unité (du 2‫ ﺀ‬ordre) à huit, soit neuf que tu retrancheras de deux, ce qui est impossible. 24



‫ ^ذ‬u t‫'ا‬s٠ y ‫إل‬x١soit douze dont tu retranches neu٢ ,i! reste trois que tu inscriras au dessus du trait, ^ tr^ u is une unité (du 3‫ﺀ‬ordre) sous ie trois auquel tu l’ajouteras, soit quatre, retranche 4 de sept, il reste trois: le reste (final) sera trois cent trente neuf, soit 339. (Tu peux, si tu le veux, commencer la soustraction à partir du dernier ordre), ôte le trois de sept, il reste quatre, inscris 4 à la pliice du sept ôte ensuite huit de quarante deux, il reste trente quatre, puis ôte six de ce qui est au dessus, il reste trois cent trente neuf. —٢ ٢ 339 ٢ 339 7 ‫ا‬2 ‫ا‬5 - ‫ج‬ 7 ‫ا‬2 ‫ ا‬5 ■3'86 I ' 3 ‘86 I Si tu as à retrancher trois mille neuf cent soixante dix huit de cinq mille sept cent deux, pose l’opération ainsi. 5702 3978 Puis ôte huit de deux, ce qui est impossible, ajoute sy dix, soit douze dont tu ôtes huit, il reste quatre que tu placeras a-udessus du trait, introduis une unité (du 2‫ﺀ‬ordre) sous le sept, fais en la somme, soit huit, que tu retanches du zéro, opération impossible‫؛‬ ajoutes s y dix et ôte huit, il reste deux q.^e tu poseras au dessus, ajoute une unité à neuf, soit dix, que tu Otes de sept, impossible, ajoute dix, soit sept dont tu retranches dix,!‫ ؛‬reste sept que tu places au dessus du trait, ajoute un à trois, :.:oit quatre que tu ôtes de cinq, il reste un que tu poses en haut du trait, le reste final sera alors mille sept cent vingt quatre, soit 17 2 4. 1724 5702 ‫ا‬3 ٠ 9 ‫ا‬78 CHAPITRE 3 : De la multiplication Elle consiste, étant donnés deux nombres connus, d’en déduire un autre inconnu. Elle est de plusieurs sortes : * La multiplication ‘‘ailée” : Le procédé y consiste a placer le multiplicande en une ligne et au dessous le multiplicateur, de manière que le 1er ordre de ce dernier soit aud-essous du dernier ordre du multiplicande, tu multiplies ensuite (le chiffre) de cet, ordre par tous ceux lu multiplicateur, tu rétrogrades ensuite d’un seul ordre et tu multiplies par ce même facteur le chiffre précédent, et ainsi de suite jusqu’a épuisement de l’opération. 25



Exemple de ce cas : Soit à multiplier cinquante deux par soixante treize, pose l’opération ainsi :



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S2 73



48 24 56



Place dessus une ligne brisée, puis multiplie cinq par sept, tu obtiens trente cinq, pose cinq au dessus de .sept et à la suite trois, multiplie ensuite cinq par trois, soit quinze, place le cinq au dessus des deux chiffres multipliés et à gauche 1. Rétrograde le trois sous les unités et le sept dans l’ordre des dizaines, multiplie deux par sept soit quatorze tu poseras le quatre au dessus du multiplicateur 7 et à gauche 1, multiplie deux par trois soit six que tu placeras au dessus. Trace alors un trait au dessus des résultats fais en la somme des nombres obtenus, tu obtiens alo'rs trois mille sept cent q,uatre vingt seize, soit 3 7 9 6.



11 15 35„_ 4 5 582 9736 9 73 6 97 3 6 * Multiplication suivant les “ indices” : (ordres)



L’opération consiste à placer les deux facteurs, sur deux lignes parallèles c’est à dire les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines et ainsi de suite‫ ؛‬multiplie ensuite ordre par ordre par l’ensemble de l’autre facteur. Place le p r^ u it là où le n te s ite l’ordre des indices, et cela en ajoutant le‫